1

Kap. 7. Tidejord. Torge Kap. 3.5.2 og 8.3.5. (S. Abbas Khan)

Koordinatsystem: Nulpunkt i Jordens massemidtpunkt (C).

2

Kap. 7, Tidekræfter på jordoverfladen.

Kræfter fra Sol og Måne adderes.Periodiske med perioder 365 dage og 28 dage.For stiv Jord: Newtons tiltrækningslov

benyttes.Ifølge Newton 2 lov vil der herved opstå en

modsat rettet fiktiv acceleration. Det fiktive felt (se figuren ovenfor) er konstant, dvs. alle punkter på jorden vil opleve samme fiktive acceleration.

3

Kap. 7, Fiktive og reelle kræfter.

• I jorden centrum C gælder at den fiktive acceleration er lig tyngde påvirkningen fra solen.

• Dette kan udnyttes til at beregne tide accelerationen i punktet P,

fikttyngde

fikttyngdetide

CbPb

PbPbPb

)()(

)()()(

4

Kap. 7, Tidepotentialet på jordoverfladen.

• Tide potential i P er givet ved,

• (1)

• hvor

fiktivtyngdetide PWPWPW )()()(

l

GMPW tyngde )(

5

Kap. 7, Tidepotentialet.

Det fiktive potentiale kan udledes af potentiale forskellen (fiktiv) mellem C og P,

fiktivfiktfikt CWPWPW )()()(

2

cos

02

cos

)()()(

R

zGMr

R

GM

drR

GM

R

GM

PWCWPWzr

fiktfiktivfikt

6

Kap. 7, Tidepotentialet - rækkeudvikling.

• Tide potentialet i P fås ved at indsætte (2) og (3) i (1)

• (4)

• 1/d kan udtrykkes ved en rækkeudvikling (se Torge side 67)

2

cos11)(

R

zr

RdGmPW

)(cos11

0zP

R

r

Rd n

n

n

7

Kap. 7, Tidepotentialet - rækkeudvikling.

Ved indsættelse af ligning (5) i ligning (4) elimineres de første to udtryk i potentialet svarende til n=0 og n=1

man kan således nøjes med at summere fra n=2

)(coscos1cos1

2

1

2

0

2zP

R

r

R

zr

RR

zr

RR

GmW n

n

n

nn

)(cos2

zPR

r

R

GmW n

n

n

8

Kap. 7, Tidepotential - rækkeudvikling.

Dette kan skrives som,

Til de fleste geodætiske formål kan man nøjes med at se på anden ordens potentialet W2 .

...432 WWWW

)(cos2

2

2 zPR

r

R

GmW

)3

12(cos

4

32

2

z

R

r

R

GmW

9

Kap. 7, Tidepotentialet udtrykt ved koordinater.

• Til praktisk brug af ligning (7) er det bekvemt at erstatte zenith vinklen med koordinaterne for Månen eller Solen position.

• Antag at observationspunktet P på jordoverfladen har koordinaterne og Solen har koordinaterne

• der gælder

,,r

SS hR ,,

)cos()cos()cos()sin()sin(cos SSS hz

10

Kap. 7, Tidepotential.

Indsætter vi, hvor vi nøjes med at se på W2 fås,

)(cos2

2

2 zPR

r

R

GmW

2

2 4

3

R

r

R

GmW

)sin31)(sin3

1( 22

S lang periodiske variationer

)cos(2sin2sin SS h hel-daglige variationer

SS h2coscoscos 22 halv-daglige variationer

11

Kap. 7, Den elastiske Jord – Love tal.

Jorden er imidlertid ikke et stift legeme men et elastisk legeme som deformeres ved påvirkning af eksterne kræfter.

Dette giver anledning til yderligere ”tide” potentiale ændringer, som kan beskrives ved indførelse af såkaldte ”Love tal” k, l og h.

12

Kap. 7, Love-tal.

Disse kan bestemmes udfra en jordmodel, hvor densitet () samt Lamé parametrene ( og ) er kendt. Love tal kan således bruges til at definere tide deformationer ved jordens overflade,

vertikalt

nord-syd

øst-vest

2n

nnr g

Whu

2

1n

nn

Wl

gu

2 sin

1n

nn

Wl

gu

13

Kap. 7, Jordens respons.

Når jordoverfladen deformeres ændres potentialet yderligere som følge af ”masse flytning”. Denne potentiale ændring defineres ved Love tallet k,

20 n nnWkVV

14

Kap. 7, Tidepotentialets 3 bidrag.

• Potentiale ændringer på jordoverfladen som følge af Månens (eller Solens) masse tiltrækning kan altså opdeles i 3 bidrag

• Den direkte masse tiltrækning giver potentiale ændring W2

• Overflade bevægelser W’ = - hW2

• Ændringer i masse fordelingen W* = kW2

15

Kap. 7, Tidepotentialet.

Vi kan udnytte, at samtlige 3 bidrag vist ovenfor kan skrives,

Den direkte potentiale ændring har afhængighed af r2 d.v.s n=2

nrSU ),(

r

nUledhvertpånrS

r

U n :),( 1

r

W

r

W dd22 2

16

Kap. 7, Samlede ændringer:

Det andet bidrag som skyldes at overflade bevægelser har også afhængighed af r2 d.v.s n = 2

Det sidste bidrag som skyldes ændringer i massefordelingen har afhængighed af 1/r3 dvs. n = -3 (fremgår af ligning 3.88 side 70 i Torge)

r

W

r

W bb22 2

r

W

r

W mm22 3

17

Kap. 7, Tidekræfter, samlet kraft.

Tyngde ændringer på jordoverfladen

• observeret tyngdeændring) = (Astronomisk tyngdeændring) x ( 1 –3/2 k + h )

• ( 1 –3/2 k + h ) kaldes også for Delta faktoren eller amplitude faktoren.

r

W

r

W

r

W

r

V

r

V mb

2220

r

Wk

r

Wh

r

Wgg 222

0 322

12.1

232

0 12

khr

Wggg

18

Kap. 7, Ændringer i Niveaufladen fra Månen

Ved indsættelse af jorden radius, månens masse og middelafstand mellem måne og jord fås,

herved fås højdeændringer af niveaufladen (for ikke elastisk jord)

)2(cos627723.2 31

2 zW

)2(cos 2676.0)2(cos82.9

627723.231

312 zz

g

Wdhm

19

Kap. 7, Niveaufladeændring fra Solen.

tilsvarende fås for solen,

Den samlede højdeændring af niveaufladen er

Dette giver min og max værdier på –26 cm og 52 cm

mzzg

WdhS )2(cos 1230.0)2(cos

82.9

208490.131

312

sm dhdhdh

20

Kap. 7, Højdeændringer på jordoverfladen.

. De tilsvarende højdeændringer af den fysiske jordoverflade (som kan måles med GPS) er,

Love tallet h = 0.60

Højdeændringer af niveaufladen for en elastisk jord er givet ved,

hdhdhdh Smoverfl )(

)1()( hkdhdhdh Smsøer

21

Kap. 7,Måling af højdeændringer.

Ved at observere vanstands ændringer i søer kan man måle (1 + k - h)

Love tallet k kan også bestemmes udfra ændringer i satellit baner, idet satellit banerne afhænger af massefordeling (under satellitten).

22

Kap. 7,Ocean loading.

Det er imidlertid ikke kun 'den faste jord' som deformeres af himmellegemerne,

Også vandet i oceaner omfordeles eller rettere sagt flyttes fra et område til et andet.

Dette fænomen kaldes 'tidevand' eller 'ocean tide' og kan ses ved at observere vandstandens ændringer ved kysterne eller fra højdemålinger fra satellit.

23

Kap. 7, Ocean loading.

Ændringer i vandstanden giver imidlertid anledning til yderligere deformationer af jorden,

Oceanerne konstant påtrykker jordoverfalden, ændringer i vanstanden vil dermed give ændringer i jordoverfladens form.

Dette kaldes 'ocean loading' og kan beskrives på samme vis som 'tidejord'.

24

Kap. 7, Ocean loading

Antag, at P er et punkt på jordoverfladen. Loading effekten dL() fra en punktmasse i punktet Q(,) er givet ved,

er den sfæriske afstand mellem observationspunktet P og 'load' punktmassen Q

G er Greens funktion.

dmGdL )()(

25

Kap. 7, Ocean loading, samlet effekt

Den samlede loading effekt fås ved at integrere over hele jordoverfladen,

Her er ρ densiteten af vand og h(,)er vandstanden i punktet Q

dhGL v ),()(

26

Kap. 7, Loading.

Ligningen bruges til at bestemme loading effekten på tyngde observationer eller deformationer af jordoverfladen, dvs. forskydningen af et punkt i et retvinklet koordinatsystem (vertikal, øst og vest). Greens funktion, G, beskriver hvor meget jorden påvirkes af en punkmasse placeret i afstanden fra observationspunktet.

Greens funktion er forskellig, man har således een Greens funktion for tyngder og en anden for deformationer.

27

Kap. 7, Greens funktion

For tyngder er Greens funktion

og er loading Love tal. er Legendre polynomier og er jordens masse

0

'' )(cos)1(2n nnn

eg Pknhn

m

gG

em)(cosnP'

nh 'nk

28

Kap. 7, Greens funktion

Ved indsættelse af 'tyngde'-Greens funktion i fås,

Man benytter som regel vandstand data samt satellit data til at bestemme en global ocean tide model. Denne globale ocean model kan så bruges som input til at bestemme ocean loading effekten på tyngde observationer.

dPknhnm

ghL

n nnne

vg

0

'' )(cos)1(2),(