justifications des sections aux eurocodes

Guide de justification des sectionsJanvier 2014

Logiciels Ouvrages d’Art

SOMMAIRE Versions des EC utilisées..................................................................................................... 3 Justification en flexion des sections aux ELS ....................................................................... 4

Contraintes normales limites ............................................................................................. 4 Analyse élastique à l'ELS caractéristique :..................................................................... 4 Si la section est mixte : .................................................................................................. 4 Si la section est fissurée : .............................................................................................. 4

Respiration des âmes (ELS fréquent) ............................................................................... 5 Calcul et présentation du critère .................................................................................... 5 Détermination des coefficients de voilement .................................................................. 5

Contraintes de cisaillement limites à l'ELS ........................................................................ 8 Vérification à la fatigue oligo-cyclique (à l'ELS fréquent)................................................... 8

Justification des sections à l'ELU fondamental ..................................................................... 9 Classification des éléments métalliques de sections ......................................................... 9

Introduction.................................................................................................................... 9 Méthode de calcul........................................................................................................ 11 Classification des tôles d'un profilé .............................................................................. 11 Classification d'une poutre en I .................................................................................... 22 Classification d'un caisson ........................................................................................... 24

Caractéristiques efficaces des semelles d'un caisson..................................................... 29 Cas où la semelle ne comporte aucun raidisseur longitudinal: ..................................... 29 Cas où la semelle comporte plusieurs raidisseurs : ..................................................... 31

Calcul des contraintes pour une section de classe 4....................................................... 34 Justification en plasticité ................................................................................................. 35 Justification en élasticité ................................................................................................. 37

Justification en élasticité des section de classe 3 ........................................................ 37 Justification en élasticité des section de classe 4 ........................................................ 37

Vérification de la résistance plastique des âmes à l'effort tranchant ............................... 38 Vérification de la résistance des âmes au voilement par cisaillement ............................. 39

Vérification du cisaillement avec voilement .................................................................. 39 Interaction des âmes Moment/Effort tranchant ............................................................ 41

Vérification du déversement............................................................................................ 43 Calcul de la raideur des pièces de pont ....................................................................... 43 Calcul de la raideur des entretoises ............................................................................. 45 Méthode simplifiée de vérification ................................................................................ 47

Connexion .......................................................................................................................... 49 Dimensionnement à ELS................................................................................................. 50 Dimensionnement à l'ELU............................................................................................... 51

Vérification à la fatigue....................................................................................................... 54 Vérification à la fatigue de la charpente métallique : .................................................... 59 Vérification à la fatigue des connecteurs...................................................................... 61

Maîtrise de la fissuration..................................................................................................... 63 Ferraillage minimum de non-fragilité ............................................................................... 63

Vérification de l'ouverture de fissure due aux actions non calculées............................ 64 Vérification de l'ouverture de fissure due aux charges extérieures............................... 64

Versions des EC utilisées Lorsqu'on calcule un pont mixte, le texte normatif directeur est la partie 2 de l'Eurocode 4. La figure 1 montre les principaux textes utilisés avec l'EN1994-2 ainsi que les priorités d'appel des textes entre eux :

Figure 1 : Principaux textes Eurocodes utilisés dan s OM3

EN 1994 – 2 : ponts mixtes

EN 1993 – 2 : ponts métalliques

EN 1992 – 2 : ponts en béton

EN 1992 – 1-1 : règles générales béton

EN 1993 – 1-1 : Règles générales acier

EN 1993 – 1-5 : Raidissage ; voilement

des plaques EN 1993 – 1-9 : fatigue

EN 1993 – 1-10 : Rupture fragile

EN 1990 : Bases de calcul

Annexe A2 : application aux

ponts

EN 1991 : 1-1 Charges permanentes

1-5 Température 1-6 Charges d'exécution 2 Trafic

Justification en flexion des sections aux ELS

Contraintes normales limites

Analyse élastique à l'ELS caractéristique : Il faut vérifier le critère suivant :

• Pour la fibre supérieure de la semelle supérieure

Mser

yspsemelle_sufibre_sup_

f

γσ ≤

Équation 1 : Limitation des contraintes fibre sup s emelle sup ELS Caractéristique

• Pour la fibre inférieure de la semelle inférieure

Mser

yifsemelle_infibre_inf_

f

γσ ≤

Équation 2 : Limitation des contraintes fibre inf s emelle inf ELS Caractéristique

Si la section est mixte : Il faut vérifier le critère : EN 1994-2,7.2.2 (2) qui renvoie à EN 1992-1.1,7.2

ckhourdis f6.0sup_ ≤σ

Équation 3 : Limitation des contraintes sup hourdis ELS Caractéristique

ckhourdis f6.0inf_ ≤σ

Équation 4 : Limitation des contraintes inf hourdis ELS Caractéristique

Si la section est fissurée : Il faut vérifier le critère : EN 1994-2,7.2.2 (4) qui renvoie à EN 1992-1.1,7.2 (5)

skpassifacier f8.0_sup_ ≤σ

Équation 5 : Limitation des contraintes en nappe su p des aciers passifs ELS caractéristique

skpassifacier f8.0_inf_ ≤σ

Équation 6 : Limitation des contraintes en nappe in f des aciers passifs ELS caractéristique

Attention !!! Lorsque Mc,Ed est négatif, le projeteur doit ajouter aux

contraintes σ_sup_ aciers_passifs et σ_inf_ aciers_passifs

calculées dans le béton participant, le terme ∆ σs lié à la rigidité du béton tendu entre les fissures.

Respiration des âmes (ELS fréquent) Calcul et présentation du critère

(EN 1994-2,7.2.3 (1) qui renvoie à EN 1993-2 & 7.4) A chaque passage de véhicules sur le pont, l’âme se déforme légèrement hors de son plan, suivant l’allure de la déformée du premier mode critique, avant de revenir à sa position initiale. Cette déformation répétée, appelée respiration de l’âme, est susceptible de générer des fissures de fatigue à la jonction âme/semelle. Pour les âmes dépourvues de raidisseurs longitudinaux (ou pour un sous-panneau d'âme raidie), les risques de respiration de l'âme sont négligeables si :

)300,430min( Lt

h

w

w +≤

Équation 7: Critère d'élancement ELS fréquent

où L est la longueur de la travée en m ( L >= �20 m ). De façon générale, ce critère est largement satisfait pour les ponts routiers. A défaut, l'EN1993-2 définit tout de même un critère plus précis à partir des contraintes critiques de voilement de l'âme non

raidie (ou d'un sous-panneau), σcr = kσ σE et τcr = kτσE, et des contraintes sollicitantes σx,Ed,ser et τx,Ed,ser sous combinaison ELS fréquente :

1,1

1,1

2

cr

serEd,x,2

cr

serEd,x, ≤

+

ττ

σσ

Équation 8 : Critère de non-respiration du panneau d'âme

Soit ea l'épaisseur de l'âme Pour un caisson eat=2*ea pour poutres en I eat=ea Pour un caisson Isl est l'inertie des raidisseurs d'une seule âme. Si ha/ ea < min(30+4L,300) et L(=portée) > 20 mètres on néglige le critère précédent : (EN 1993-2 & 7.4)

σEd est la contrainte de compression maximum en fibre extrême du sous-panneau

Contrainte critique d'Euler :

( ) 22

22

112

..

a

aae

h

eE

νπσ

−=

Équation 9 : Calcul de la contrainte d'Euler

Détermination des coefficients de voilement Il est nécessaire de différencier les panneaux raidis des panneaux non raidis. Dans le cas de panneaux raidis (types âmes entière) les formules données par l’Eurocode 1993-1-5 sont enrichies d’un terme kst détaillé ci-dessous. Il est naturellement possible de vérifier ces coefficient à l’aide d’outils numériques plus fins

Calcul des coefficients de voilement des raidisseur s d’âmes Selon (EN 1993-1-5, A.3) Isl = Inertie des raidisseurs d'âmes a = Espacement des cadres

= 34

3

3

2

.1,2

,.

.9maxa

sl

aaa

slast

h

I

eeh

I

a

hkτ

Équation 10 : Calcul de ktst

Calcul de k τ

kτ se déduit des conditions de raidissage du sous-panneau : • Si le panneau n’est pas raidi OU a/ha >3 :

o Si a/ha < 1 :

sta

ka

hk ττ +

+=2

.34,54

Équation 11 : Calcul de kt, cas 1

o Si a/ha > 1 :

sta

ka

hk ττ +

+=2

.434,5


• Sinon :

332

3

..2,2..18,03,6

1,4aa

a

aa

sl

eh

I

h

aeh

I

ksl+

++=τ


Calcul de kσ : kσ se déduit de la répartition des contraintes dans le sous-panneau. C’est pourquoi dans la note de calcul ELS fréquent dans OM3, il existe autant de kσ que de cas possibles (six en l’occurrence : max et min pour trois concomitants). Voici le détail du calcul du coefficient en fonction de la répartition des contraintes, avec σ1 la contrainte normale au bord supérieur du panneau et σ2 en bord inférieur:

• Si (σ1< 0 et σ2> 0) L'âme est tendue en haut et comprimée en bas.

ψψσσψ == k,

2

1

Si (ψ <-2.0) ψk=-2.0 Si (ψ > 1.0) ψk=1.0

Si (ψ > 0.0) kσ=8.2/(ψk+1.05)

Si (ψ < 0.0 ET ψ > -1.0) kσ = 7.81-6.29*ψk+9.78*ψk*ψk

Sinon (ψ < -1) kσ=5.98*(1.0-ψk)*(1.0-ψk)

• Si (σ1> 0 et σ2< 0) L'âme est comprimée en haut et tendue en bas

ψ= σ2/σ1 ; ψk=ψ SI (ψ <-2.0) ψk=-2.0 SI (ψ > 1.0) ψk=1.0

SI (ψ > 0.0) kσ=8.2/(ψk+1.05)

SI (ψ < 0.0 ET ψ > -1.0) kσ=7.81-6.29*ψk+9.78*ψk*ψk

SI ( psi < -1) kσ=5.98*(1.0-ψk)*(1.0-ψk)

• SI (σ1 > 0.0 ET σ2 > 0.0) L'âme est entièrement comprimée

ψ= σ2/σ1 ; ψk=ψ

kσ=8.2/(ψk+1.05)

Contraintes de cisaillement limites à l'ELS Il faut vérifier : τEd <= fys/sqrt(3)* γMser τEd <= fyi/sqrt(3)* γMser Il faut vérifier le critère de Von Mises à l'ELS caractéristique :

sqrt(σ semelle sup**2+3τEd **2) <= fys/γMser

sqrt(σ semelle inf**2+3 τEd **2) <= fyi/γMser Dans OM3 les contraintes de cisaillement sont calculées au centre de gravité de la poutre métallique.

Vérification à la fatigue oligo-cyclique (à l'ELS fréquent) Il faut vérifier : ∆σ fréquent charpente < 1.5*fy/γMser

Justification des sections à l'ELU fondamental

Classification des éléments métalliques de sections

Introduction

Les différentes sections constituant une structure mixte sont vérifiées sous les combinaisons d’actions ELS et ELU. Les vérifications à l'ELU font appel à la notion de classe de sections. Selon la classe d’une section, les vérifications sont de natures différentes. La classe d’une section dépend de ses caractéristiques géométriques (incluant la prise en compte de l’ensemble dalle / connecteurs comme élément stabilisant de la semelle supérieure), mais aussi du signe et de l’intensité des efforts appliqués. La classification repose essentiellement sur l’Eurocode 3 1-1, la section métallique étant isolée de la section complète. La mixité de la section intervient cependant dans la classification, par exemple pour la semelle supérieure dont sa connexion avec la dalle améliore son classement. On distingue 4 classes de sections : Classe 1 : Section transversale massive pouvant atteindre sa résistance

plastique sans risque de voilement et possédant une réserve plastique suffisante pour introduire dans la structure une rotule plastique susceptible d'être prise en compte dans une analyse globale plastique.

Classe 2 : Section transversale massive pouvant atteindre sa résistance

plastique sans risque de voilement, mais ne possédant pas de réserve plastique suffisante pour introduire une éventuelle rotule plastique dans l'analyse globale.

Classe 3 : Section transversale pouvant atteindre sa résistance élastique,

mais pas sa résistance plastique à cause des risques de voilement.

Classe 4 : Section transversale à parois élancées ne pouvant atteindre sa

résistance élastique à cause des risques de voilement. La classe d'une section mixte est la classe la plus élevée des parois comprimées en acier qui la composent. On peut faire trois remarques préliminaires :

1)Le voilement local ne peut être provoqué que par des contraintes de compression. Toute paroi soumise uniquement à de la traction est obligatoirement de classe 1 quel que soit son élancement.

2)Si une paroi est de classe n sous compression uniforme, alors elle est forcément de classe m ≤ n pour tout autre cas de sollicitation qui ne peut que diminuer les efforts de compression.

3)Si les connecteurs respectent les espacements définis dans l'EN1994-2, 6.6.5.5, alors une semelle comprimée en acier connectée à une dalle en béton est de classe

1. Pour classer une paroi interne (c'est à dire une paroi bordée par 2 autres parois perpendiculaires qui la stabilisent sur ses bords) comme une âme de poutre en I ou un sous-panneau de fond de caisson, on utilise le tableau 5.2, feuille 1/3, de l'EN1993-1-1. Pour classer une paroi en console (c'est à dire une paroi bordée d'un seul côté) comme une moitié de semelle de poutre en I, on utilise le tableau 5.2, feuille 2/3, de l'EN1993-1-1. Ces tableaux fournissent les élancements limites entre les classes. Pour déterminer la classe d'une paroi d'une section donnée, on suppose que cette paroi est de classe 1 ou 2. Elle est calculée en plasticité dans OM3. La position de l'axe neutre plastique (ANP) de la section permet de déterminer l'élancement limite de cette paroi (entre classe 2 et classe 3), et de valider cette hypothèse. Si ce n'est pas le cas, le diagramme élastique des contraintes de l'ELU (issu de l’analyse globale fissurée et tenant compte du phasage de construction de la structure) permet de déterminer l'élancement limite de la classe 3. Si celui-ci est dépassé à son tour, la paroi étudiée est de classe 4.

Dans la pratique des ponts mixtes, toutes les sections rencontrées soumises à des moments négatifs seront généralement de classe 3 ou 4 (élancement des âmes). Les sections en travée soumises à un moment fléchissant positif sont généralement de classe 1 ou 2. (EN1994-2, 5.5.1(1), EN1994-2, 5.5.1(2), EN1994-2, 5.5.2(1), EN1993-1-1, tableau 5.2 EN1994-2, 5.5.2(3))

Une section en I de classe 3 l'est souvent à cause de son âme, paroi la plus élancée. L'EN1994-2 permet de reclasser cette âme en classe 2 et donc de justifier la section en plasticité. Le moment résistant plastique est alors déterminé en limitant les hauteurs d'âme comprimée à 20e tw , c'est à dire en supprimant la zone d'âme susceptible de voiler.

Méthode de calcul On utilise les résultats du calcul des contraintes généralisées en analyse fissurée.

Conformément à la norme EN 1994-2, 5.5.1 le béton tendu sur la fibre sup. ou inf. de la dalle ne doit pas être pris en compte. Si c'est le cas, les contraintes à prendre en compte sont celles en analyse fissurée obtenues à partir de caractéristiques mécaniques ne tenant pas compte de la dalle en béton.

Une combinaison d'action est le résultat d'un cumul de chargements élémentaires, chacun étant affecté d'un coefficient d'équivalence particulier. Si chaque charge élémentaire de la combinaison est appliqué sur la poutre métallique seule, la section sera dite de type 'métal seul' sinon elle sera de type "mixte". Cette distinction est essentielle pour la détermination de la classe de la section.

Classifier une section c'est donc classer tous les éléments la constituant, c'est à dire analyser les champs de contrainte longitudinale se développant dans les 2 semelles et l’âme.

En fonction des classes obtenues, les largeurs de semelles et hauteurs d’âme efficaces sont calculées pour les semelles lorsqu’elles sont de classe 4, pour l’âme lorsqu’elle est de classe 4 et éventuellement lorsqu’elle est de classe 3 et que les 2 semelles sont de classe 1 ou 2 (reclassement de l’âme en classe 2 moyennant une perte de section efficace).

La classe de la section sera donc définie comme le vecteur suivant :

Classe de la section = { classe semelle sup. ; clas se de l'âme; classe semelle inf.}

Classification des tôles d'un profilé

A partir des données suivantes : c = largeur de l'élément e =épaisseur de l'élément fy = limite d’élasticité de l'élément (tenant compte de son épaisseur) ε = (235/fy)½}

Ceff1 Ceff2

c

Si élément de semelle en console : (Voir norme EN 1993-1-1 tableau 5-2 (2) (3) et EN 1993-1-5 Tableau 4-2) σacier1= contrainte dans la semelle au niveau de l'encorbellement σacier2= contrainte au bord de la semelle (Contraintes dans le plan moyen de la semelle) ceff1=c ; ceff2=0 Si l'élément est une semelle sup. d'une section mix te classe=1 Si σacier1 < 0 et σacier2 < 0 :

L'élément est entièrement tendu d'où classe=1

Si σacier1 < 0 (tension) et σacier2 > 0 (compression):

Ψ= σacier1/ σacier2 ; Ψk= Ψ

Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1

kσ = 0.57-0.21 Ψk + 0.07 Ψk2

k1=9/α, k2=10/α, k3=21(kσ)½

Calcul de la classe de l'élément (voir figure 1)

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.748 ρ=1

Sinon ρ=(λp-0.188)/λp2 <= 1 (EN 1993-1-5 & 4.4 (2))

c

Ceff1

σacier1

σacier2

kα =1/(1- Ψ) ; ceff1=(1+ kα(ρ-1))c ceff2=0 Sinon Si σacier1 > 0 (compression) et σacier2 < 0 (tension) :


Si Ψ <-1 alors Ψk=-1 Si Ψ > 1 alors Ψk=1

Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 0.578/(Ψk + 0.34)

Si Ψ < 0 kσ = 1.7-5 Ψk + 17.1 Ψk2

k1=9/(α.α½),k2=10/(α.α½), k3=21(kσ)½

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.748 ρ=1

Sinon ρ=(λp-0.188)/λp2 <= 1.0

kα =1/(1- Ψ) ; ceff1=kα.ρ.c ceff2=(1-kα)c

c

Ceff1

σacier1

σacier2

Ceff2

Sinon σacier1 > 0 et σacier2 > 0

(l'élément est entièrement comprimé, compression uniforme)

kσ = 0.43

k1=9, k2=10, k3=14

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.748 ρ=1

sinon ρ=(λp-0.188)/λp2 <= 1.0

ceff1=ρ.c ceff2=0

c

ceff1 σacier1 σacier2

Si élément de semelle interne :

(Voir norme EN 1993-1-1 tableau 5-2 (1) (3) et EN 1993 1-5 Tableau 5-1)

(cas du caisson fermé pour les semelles sup. et inf. ou cas du caisson ouvert pour la semelle inf.) : σacier1= contrainte en début d'élément σacier2= contrainte en fin d'élément

ceff1=c/2 ceff2=c/2

Si l'élément est une semelle sup. d'une section mix te classe=1 Si σacier1 < 0 et σacier2 < 0 :


Si σacier1 < 0 (traction) et σacier2 > 0 (compression) :


Si Ψ <-3 alors Ψk=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1 (EN 1993-1-5 tableau 4.1)

Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)

Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2

Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2

SI α > 0.5 k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)

SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α

Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)

Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½

Ceff1

Ceff2

c

σacier1

σacier2

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.673 ρ=1

Sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2 <= 1.0

kα =1/(1- Ψ) ; ceff1= (1-kα+ 0.6ρ.kα)c ceff2=0.4 kα.ρ.c

Sinon Si σacier1 > 0 (compression) et σacier2 < 0 (traction) :


Si Ψ <-3 alors Ψ=-3 Si Ψ > 1 alors Ψk=1 (EN 1993-1-5 tableau 4.1)

Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)

Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2

Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2

SI α > 0.5 k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)

SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α

Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)

Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.673 ρ=1

Sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2 <= 1.0

kα =1/(1-Ψ) ; ceff1=0.4 kα.ρ.c ; ceff2=(1-kα+ 0.6ρ.kα)c

Ceff1

Ceff2

c

σacier1

σacier2

Sinon σacier1 > 0 et σacier2 > 0 (élément comprimé uniformément) :

Ψ=1

kσ = 4.0

k1=33, k2=38, k3=42

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.673 ρ=1

sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2 <= 1.0

ceff1=0.5.ρ.c ceff2=0.5.ρ.c

Ceff1

Ceff2

c

σacier1 σacier2

Si élément interne perpendiculaire à l'axe de flexi on :

(Voir norme EN 1993-1-1 tableau 5-2 (1) (3) et EN 1993 1-5 Tableau 4-1)

(cas d'une âme de poutre ou d'une âme d'un caisson)

ceff1=c/2 ceff2=c/2

σacier1= contrainte en haut de l'âme

σacier2= contrainte en bas de l'âme Si σacier1 < 0 et σacier2 < 0 :


Si σacier1 < 0 (tension) et σacier2 > 0 (compression) :



Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)

Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2

Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2

SI α > 0.5 k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)

SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α

Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)

Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Ceff1

Ceff2

σacier1

σacier2

c

Si λp <= 0.673 ρ=1

sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2 <= 1.0

kα =1/(1- Ψ) ; ceff1= (1-kα+ 0.6ρ.kα)c ceff2=0.4kα.ρ.c

Sinon Si σacier1 > 0 (compression) et σacier2 < 0 (tension):



Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)

Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2

Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2

SI α > 0.5 k1=396/(13 α-1), k2= 456/(13 α-1)

SI α <= 0.5 k1=36/α, k2=41.5/α

Si Ψ > -1 k3=42/(0.67+0.33 Ψ)

Si Ψ <= -1 k3=62(1-Ψ)(-Ψ) ½

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.673 ρ=1

sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2 <= 1.0

kα =1/(1- Ψ) ; ceff1=0.4 kα.ρ.c ceff2= (1-kα+ 0.6ρ.kα)c

Ceff1

Ceff2

σacier1

σacier2

c

Sinon σacier1 > 0 et σacier2 > 0 (élément entièrement comprimé)

Ψ= min(σacier1, σacier2)/ max(σacier1, σacier2) ; Ψk= Ψ


Si Ψ < 1 et Ψ > 0 kσ = 8.2/(Ψk + 1.05)

Si Ψ < 0 et Ψ > -1 kσ = 7.81-6.29 Ψk + 9.78 Ψk2

Si Ψ < -1 kσ = 5.98(1-Ψk) 2

k1=33, k2=38, k3=42

Si σacier1 > σacier2 α1=2/(5- Ψ), α2=1- α1

Si σacier2 > σacier1 α2=2/(5- Ψ), α1=1- α2

Si classe=4 :

λp=(c/e)/(28.4ε(kσ)½)

Si λp <= 0.673 ρ=1

Sinon ρ=(λp-0.055(3+ Ψ))/λp2 <= 1.0

ceff1=α1.ρ.c ceff2=α2.ρ.c

Ceff1

Ceff2

σacier1

σacier2

c

Figure 1 : Classe de l'élément

(2) Si l'élément est une âme de classe 3 et si les semelles sont de classe 1 ou 2, il peut être reclassé en classe 2

classe = 1 Oui

classe = 2

Oui

Non

Non

c / e ≤ k1 x ε ?

c / e ≤ k2 x ε ?

classe = 3 (2)

classe = 4

Non

c / e ≤ k3 x ε ?

Classification d'une poutre en I

Classer la semelle sup : c=((bs-ea)/2)-Largeur_d_une_soudure σ1=σ_semelle_sup ; σ2=σ1 fy=fys Calculer la classe d'un élément en console Si la poutre est mixte Classe_de_la_semelle_sup=1 Si Classe_de_la_semelle_sup=4 calculer la largeur efficace : bseff=(Largeur_efficace_de_l'élément+Largeur_d_une_soudure).2+ea

haseff

haieff

bseff

bieff

ha

bs

bi

Classer la semelle inf : c=((bi-ea)/2)-Largeur_d_une_soudure e=ei σ1=σ_semelle_inf σ2=σ1 fy=fyi Calculer la classe d'un élément en console Si la classe de la semelle sup est égale à 4 calculer la largeur efficace : bieff=( Largeur_efficace_de_l'élément +Largeur_d_une_soudure).2+ea Classer l'âme : La valeur de la contrainte est celle calculée à une distance de la hauteur d'une soudure par rapport au sommet ou à la base de l'âme. c=ha-2*Hauteur_d_une_soudure e=ea ; fy=fya Si le moment conventionnel est positif : si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme : l'âme est tendue donc de classe égale à 1 si l'axe_neutre_plastique est placé à l'intérieur de l'âme : α =(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/c si l'axe neutre plastique est placé au dessous de l'âme : α =1 Si le moment conventionnel est négatif ou nul : si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme : α =1 si l'axe neutre plastique est placé à l'intérieur de l'âme : α =1-(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/c si l'axe neutre plastique est placé au dessous de l'âme : l'âme est tendue donc de classe égale à 1 Remarque : Dz_axe_neutre_plastique est la distance de l'axe neutre plastique par rapport à la fibre inf de la semelle inf. Calculer la classe d'un élément interne : Si l'élément est une âme de classe 3 et si les semelles sont de classe 1 ou 2 il peut être traité en classe 2 avec les hauteurs efficaces suivantes : ε = (235/fya)½} Ψ = σ1/σ2 Si σ1> 0 et σ2 < 0 : ceff1=20.ea. ε ; ceff2=20.ea.ε + (1- α). c Sinon ceff2=20.ea.ε ; ceff1=20.ea.ε + (1- α). c haseff=ceff1+Hauteur_d_une_soudure ; haieff=ceff2+Hauteur_d_une_soudure Si la classe de l'ame=4 : haseff=ceff1+Hauteur_d_une_soudure ; haieff=ceff2+Hauteur_d_une_soudure

Classification d'un caisson bs = largeur totale de la semelle sup ea=épaisseur de l'âme dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'âme beta=Inclinaison_des_ames*pi/180 L'entraxe des âmes est mesuré : - Entre les intersections des axes des âmes-avec la fibre SUP de la semelle sup (si les épaisseurs des semelles sup et inf varient vers l'intérieur (cas INTR) ou si les épaisseurs des semelles sup varient vers l'intérieur et les semelles inf varient vers l'extérieur (cas SOUS)). - Entre les intersections des axes des âmes-avec la fibre INF de la semelle sup (si les épaisseurs des semelles sup et inf varient vers l'extérieur (cas EXTR)) htpano=ha/cos(beta) Largeur_du_fond_de_caisson=Entraxe_des_ames-(ea/cosinus(beta))-(2*ha*tangente(beta))

bs/2

es

bsc2 bsc1

bseff/2

Entraxe des âmes du

Inclinaison de Largeur du fond de

caisson

bic2 bic1

bieff/2

bi

ha

haseff

haieff

ea

Si le caisson est ouvert : bsc1=((bs/2)-(ea/cosinus(beta)))/2 ; bsc2=bsc1 haieff=ha/2 ; haseff=ha/2 bic1=((bi-Largeur_du_fond_de_caisson)/2)-(ea/cosinus(beta)) bic2=Largeur_du_fond_de_caisson/2 Si le caisson est fermé : bsc1=(bs-Entraxe_des_ames-(ea/cosinus(beta))/2 bsc2=(Entraxe_des_ames/2)-(ea/cosinus(beta))/2 haieff=ha/2 ; haseff=ha/2 bic1=((bi-Largeur_du_fond_de_caisson)/2)-(ea/cosinus(beta)) bic2=Largeur_du_fond_de_caisson/2 Classer la semelle sup en console : Si le caisson est ouvert : c=((bs/2)-2.Largeur_d_une_soudure-(ea/cosinus(beta)))/2 Si le caisson est fermé : c=(bs-Entraxe_des_ames-2.Largeur_d_une_soudure-(ea/cosinus(beta)))/2 e=es σ1=σ_semelle_sup σ2=σ1 fy=fys Calculer la classe d'un élément en console Si la poutre est mixte la classe de la semelle sup en console est égale à 1 Si la classe de la semelle sup est égale à 4 calculer la largeur efficace : bsc1=(ceff1+Largeur_d_une_soudure) bsc2=bsc1 ; bseff=(bsc1+bsc2+(ea/cosinus(beta))).2 Classe_de_la_semelle_sup_interne=Classe_de_la_semelle_sup_en_console Si le caisson est fermé : Classer la semelle sup interne : c=Entraxe_des_ames-2.Largeur_d_une_soudure-(ea/cosi nus(beta)) e=es σ1=σ_semelle_sup σ2=σ1 fy=fys Calculer la classe d'un élément interne : Si la poutre est mixte la classe de la semelle sup interne est égale à 1 Si la classe de la semelle sup interne est égale à 4 calculer la largeur efficace : bsc2=(ceff1+Largeur_d_une_soudure) bseff=(bsc1+bsc2+(ea/cosinus(beta)))*2 Classe_de_la_semelle_sup=max(Classe_de_la_semelle_s up_en_console, Classe_de_la_semelle_sup_interne)

Classer la semelle inf en console c=(bi-2.Largeur_d_une_soudure-Largeur_du_fond_de_ca isson-(2.(ea/cosinus(beta)))/2 e=ei σ1=σ_semelle_inf σ2=σ1 fy=fyi Calculer la classe de la semelle inf en console bic1=ceff1+Largeur_d_une_soudure Classe_de_la_semelle_inf_interne=Classe_de_la_semel le_inf_en_console Si le caisson est fermé : Classer la semelle inf interne : c=Largeur_du_fond_de_caisson-2xLargeur_d_une_soudur e e=ei σ1=σ_semelle_inf σ2=σ1 fy=fyi Si la classe de la semelle inf interne est égale à 4 : bic2=(ceff1+Largeur_d_une_soudure) bieff=(bic1+bic2+(ea/cosinus(beta))).2 Classe_de_la_semelle_inf=max(Classe_de_la_semelle_i nf_en_console, Classe_de_la_semelle_inf_interne)

Classer l'âme La valeur de la contrainte est celle calculée à une distance de la hauteur d'une soudure par rapport au sommet ou à la base de l'âme. c=htpano-2.Hauteur_d_une_soudure et cv=c*cos(beta ) e=ea fy=fya Si le moment conventionnel est positif : si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme : l'âme est tendue donc de classe égale à 1 si l'axe_neutre_plastique est placé à l'intérieur de l'âme : α =(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/cv si l'axe_neutre_plastique est placé au dessous de l'âme : α =1 Si le moment conventionnel est négatif ou nul: si l'axe neutre plastique est au dessus de l'âme : α =1 si l'axe neutre plastique est placé à l'intérieur de l'âme : α =1-(ha+ei-Dz_axe_neutre_plastique-Hauteur_d_une_soudure)/cv si l'axe neutre plastique est placé au dessous de l'âme : l'âme est tendue donc de classe égale à 1 Remarque : Dz_axe_neutre_plastique est la distance de l'axe neutre plastique par rapport à la fibre inf de la semelle inf. Classifier l'élément interne : Si l'élément est une âme de classe 3 et si les seme lles sont de classe 1 ou 2 il peut être traité en classe 2 avec les hauteurs efficaces suivantes : ε = (235/fya)½}

Ψ = σ1/σ2

Si σ1> 0 et σ2 < 0 : ceff1=20.ea. ε ceff2=20.ea.ε + (1- α). c sinon ceff2=20.ea.ε ceff1=20.ea.ε + (1- α). c haseff=ceff1*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure haieff=ceff2*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure Si la classe de l'âme est égale à 4 : haseff=ceff1*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure haieff=ceff2*cos(beta)+Hauteur_d_une_soudure

Détermination de l'axe neutre plastique : Effort semelle sup : Fs=bs.es.fys/γM0 Effort semelle inf : Fi=bi.ei fyi/γM0 Effort dans l'âme : Fa=ea.ha.fya/γM0 Remarque : Pour un caisson ea correspond à la somme des épaisseurs de l'âme (épaisseur mesurée dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'âme). a) Si le moment est positif : Prise en compte de la dalle béton. Effort dans la dalle Fbd=Section_dalle_béton_participante. 0.85.fck/γc Effort dans le renformis Fbr=Section_renformis.0.85.fck/γc (il y a deux renformis si la poutre est un caisson). Avec Section_dalle_béton_participante =Section de la portion de dalle participante affectée à la poutre étudiée ou section de toute la dalle participante pour un caisson. Les largeurs participantes sont celles calculées pour le calcul des contraintes généralisées dans l'analyse des sections. γc=1.5 (paramétrés dans le fichier des paramètres om3.par) Effort total Ft=0.5(Fs+Fi+Fa+Fbd+Fbr) b) Si le moment est négatif : Faps=Section_aciers_passifs_nappe_sup.fsk/γs Fapi=Section_aciers_passifs_nappe_inf.fsk/γs avec γs=1.15 et par exemple fsk=500 Mpa Avec Section des aciers passifs pour la portion de dalle participante affectée à la poutre ou toute la dalle si la section est un caisson. Nota : Fap = 0 si Section métal seul Effort Ft=0.5(Fs+Fi+Fa+Faps+Fapi) c) Dans tous les cas : Soit xp la position de l'axe neutre plastique par rapport au bas de la poutre Si Ft > Fs+Fi+Fa xp=ha+ei+es (si le moment est positif la section métallique est tendue donc de classe 1 et une partie du béton est tendue il faut alors négliger ce béton pour le calcul du moment plastique, si le moment est négatif une partie des aciers passifs est comprimée avec la charpente équilibrant le reste des aciers passifs en traction, cas impossible en pratique). Sinon si Ft > Fi+Fa xp=ha+ei+es.(Ft-Fa-Fi)/Fs Sinon si Ft > Fi xp=ei+ha.(Ft-Fi)/Fa Sinon xp=ei.Ft/Fi

Caractéristiques efficaces des semelles d'un caisson

A l'ELS on prend en compte le traînage de cisaillement (voir Manuel de référence chapitre 2.5.2)

A l'ELU le traînage de cisaillement est pris en compte au moyen du facteur de réduction β**k . Ce coefficient est ensuite appliqué sur la section efficace Aceff obtenue en réduisant la section brute Ac de la semelle comprimée pour tenir compte de son voilement. La section efficace résistante finale Aeff de la semelle utilisée pour

calculer les contraintes à ELU est égale à βkAceff. Dans les cas où la semelle est

tendue (pas de risque de voilement) le coefficient β**k s'applique directement sur la section brute pour obtenir la section efficace résistante finale (ce qui revient à donner la valeur 1.00 à roc dans les calculs qui suivent).

On calcule les caractéristiques mécaniques de la section en remplaçant l'aire brute de la semelle par son aire efficace. La forme de la membrure inférieure est conservée. Les épaisseurs des différents éléments de la partie 'milieu' sont affectées

d'un coefficient roc. βk alors que les épaisseurs des éléments de la partie 'bord' sont

affectées d'un coefficient βk. A partir des valeurs des moments Ma et Mc et des

caractéristiques mécaniques efficaces on détermine les contraintes normales extrêmes sollicitant l'âme à l'ELU. Puis on calcule la classe de l'âme et si elle est de classe 4 on cherche sa section efficace. En dernier lieu on calcule à nouveau les caractéristiques mécaniques de la section et les contraintes normales extrêmes à tous les niveaux de la section.

Cas où la semelle ne comporte aucun raidisseur longitudinal: Comportement de type plaque : psi=1.0

kσp=4.0 ; epsilon = sqrt(235.0/Limite_elastique_semelle_inf)

λp=(Largeur_fond_de_caisson/ei)/(28.4*epsilon*sqrt(kσp)) avec ei égale à l'épaisseur de la semelle inf Facteur de réduction pour le comportement de plaque ro : Si L'élément est entièrement tendu ro=1.0 et roc=1.0 Si l'élément est entièrement comprimé compression uniforme : Si (λp <= 0.673) ro=1.0 Sinon ro=min(1.0,( λp-(0.055*(3.0+ψ)))/( λp**2))

Comportement de colonne si (Espacement_des_cadres/Largeur_fond_de_caisson) < 1 : EN 1993-1-5 § 4.4 (6) : L'instabilité de type flambement peut gouverner et il convient d'effectuer la vérification selon le §4.5.4 Facteur de réduction Xc αe=0.21

σcrc=(Pi*Pi*Ea*ei**2)/(12.0*(1.0-(nu**2))*Espacement_des_cadres**2)

λc=sqrt(Limite_elastique_semelle_inf/σcrc) fi=0.5*(1.0+(αe*(λc-0.2))+( λc**2)) Xc=1.0/(fi+sqrt((fi*fi)-( λc**2))) selon EC3 1-1 § 6.3.1.2 Contrainte critique élastique de voilement de la plaque raidie σE =(Pi*Pi*Ea*ei*ei)/(12.0*(1.0-(nu*nu)) *Largeur_fond_de_caisson*Largeur_fond_de_caisson)

σcrp= kσp *σE Facteur de réduction roc interpolation entre comportement de colonne et de plaque (EN 1993-1-5 § 4.5.4)

chi=min((�crp/�crc)-1.0,1.0) SI (chi < 0.0) chi=0.0 roc=((ro-Xc)*chi*(2.0-chi))+Xc lbordfdc=(bi-Largeur_fond_de_caisson)/2.0 avec bi = largeur de la semelle inf α0=1.0 k=α0*(Largeur_fond_de_caisson/2.0)/le α=abs(Inclinaison_des_ames)*Pi/180.0

eimilieufdc=roc*βk*ei ; eibordfdc=ei

Cas où la semelle comporte plusieurs raidisseurs : Calculer la section brute des raidisseurs sur la semelle du caisson : Asl et Isl Si la semelle du caisson est entièrement tendue ro est égal à 1 Sinon il faut calculer la section efficace de la colonne : Asl1ef f et Isl1eff Calculer la section brute de la colonne : Asl1 et Isl1 Calculer la section brute de la plaque raidie Islpr Distance entre centre de gravité de la colonne brute et centre de gravité raidisseur brut : e1 Distance entre centre de gravité de la colonne et centre de gravité tôle de fond : e2 Contrainte critique de flambement de la colonne :

σcrc=(Pi**2.Ea.Isl1)/(Asl1.Espacement_des_cadres**2) Coefficient d'efficacité de la colonne vis a vis du voilement local : βac=Asl1eff/Asl1

Elancement réduit de la colonne : λc=sqrt((βac*Limite_elastique_semelle_inf)/σcrc) coefficient d'imperfection usuel alpha de la courbe c (raidisseurs ouverts) les augets sont ramenés à des raidisseurs ouverts en forme de té pour simplification alpha=0.49 facteur de réduction Xc αae=α+(0.09/((sqrt(Isl1/Asl1))/max(e1,e2))) fi=0.5*(1.0+(alphae*(λc-0.2))+(λc**2)) Xc=1.0/(fi+sqrt((fi**2)-( λc**2))) Comportement de plaque (facteur ro)

coefficient de voilement kσp α=max(Espacement_des_cadres/Largeur_fond_de_caisson,0.5) delta=Asl/(Largeur_fond_de_caisson*ei) Inertie de la plaque raidie=Islpr γ=Islpr*12.0*(1.0-(nu**2))/(Largeur_fond_de_caisson.ei**3) ψ=1.0 Si (α <= sqrt(sqrt(γ)))

kσp =2.0*(gamma-1.0+(1.0+(α**2))**2)/(α**2*(ψ+1.0)*(1.0+delta))

sinon kσp =4.0*(1.0+sqrt(γ))/((ψ+1.0)*(1.0+delta))

Contrainte critique élastique de voilement de la plaque raidie σE =(Pi**2.Ea.ei**2/(12.0.(1.0-(nu**2)).Largeur_fond_de_caisson**2)

σcrp= k�p**2 Aire efficace de la partie centrale de la plaque raidie tenant compte du voilement des sous panneaux

Aceffmilieu=Nombre_de_raidisseurs_sur_semelle_inf*Asl1eff Coefficient d'efficacité de la plaque vis à vis du voilement local Ac= aire brute de la tôle de fond avec ses raidisseurs βac=Aceffmilieu/Ac

λp=sqrt((βac*Limite_elastique_semelle_inf)/σcrp) Facteur de réduction pour le comportement de plaque ro Si la semelle est entièrement tendue ro=1 et roc=1 Si la semelle est entièrement comprimée : Si (λp <= 0.673) ro=1 Sinon ro=min(1.0,(λp-(0.055*(3.0+psi)))/(λp**2)) Facteur de réduction roc interpolation entre comportement de colonne et de plaque

chi=min((σcrp/σcrc)-1.0,1.0) SI (chi < 0.0) chi=0.0 roc=((ro-Xc)*chi*(2.0-chi))+Xc

Aire efficace des bords de la plaque raidie en tenant compte du voilement des sous panneaux lbordfdc=((bi-Largeur_fond_de_caisson)/2.0)+(Largeur_sous_panneau_fond_de_caisson- Largeur_trou_sous_panneau_fond_de_caisson)/2.0 Aire efficace de la plaque raidie α0=sqrt(1.0+((Asl/2.0)/((Largeur_fond_de_caisson/2.0)*ei))) k=α0*(Largeur_fond_de_caisson/2.0)/le α=abs(Inclinaison_des_ames)*Pi/180.0 β=((2.0*lpci2)-(ea/cos(α)))/Largeur_fond_de_caisson avec lpci2 largeur efficace dû au traînage de cisaillement

esreduitraidifdc=roc*βk*esraidifdc ; eareduitraidifdc=roc*βk

*earaidifdc

eimilieufdc=roc*βk*ei ; eibordfdc=βk

*ei

Remarque : -Dans le cas des raidisseurs en forme de T d'un fond de caisson le projeteur devra vérifier que ces raidisseurs sont suffisamment rigides en torsion (voir EN 1993-1-5 9.2.1 (8)

Calcul des contraintes pour une section de classe 4 OM3 vérifie les sections en classe 4 pour la combinaison d'action à l'ELU en analyse globale fissurée avec comme composante privilégiée la contrainte sur la fibre sup. de la semelle sup., et en analyse globale fissurée avec comme composante privilégiée la contrainte sur la fibre inf. de la semelle inf. On extrait les efforts Na et Ma du chargement avant prise du béton de la section considérée. Ces efforts sont destinés au calcul des contraintes efficaces poutre métal seul. σ1_semelle_sup=Na*(1/Seff_efficace_metal_seul)+(Ma- epsilon*Na*Delta_zg_metal_seul)*(veff_efficace_metal_seul/Ieff_efficace_metal_seul) avec Delta_zg_metal_seul=Zg_efficace_metal_seul-Zg_initial_metal_seul Le calcul est identique pour la semelle inf. Puis on extrait les efforts Nc et Mc appliqués sur la section efficace mixte après la prise du béton. Calcul des contraintes efficaces pour la section mixte : Delta_zg_mixte=Zg_efficace_mixte-Zg_initial_mixte_brute

σ2_semelle_sup=Nc*(1/Seff_efficace_mixte)+( Mc-epsilon*Nc*Delta_zg_mixte)* (veff_efficace_mixte/Ieff_efficace_mixte) Le calcul est identique pour la semelle inf Contraintes finales :

Contrainte efficace semelle sup=σ1_semelle_sup+σ2_semelle_sup Le calcul est identique pour la semelle inf Remarques : -Pour un phasage de bétonnage le chargement avant prise du béton correspond au chargement coulage du plot (cumul) -Dans le cas d'une dalle préfabriquée totalement le chargement avant prise du béton correspond au chargement poids propre métal seul -Le coefficient d'équivalence pris en compte pour le calcul des caractéristiques mécaniques efficaces en classe 4 est le coefficient d'équivalence à court terme.

Justification en plasticité Les sections de classe 1 ou 2 (et éventuellement les sections de classe 3 reclassées en classe 2 efficace) sont justifiées en plasticité. La position de l'axe neutre plastique (ANP) ainsi que le moment résistant plastique Mpl,Rd, sont calculés en considérant les résistances plastiques suivantes pour les matériaux : -acier de charpente (traction ou compression) : fyd = fyk /γM0 -armatures passives (traction) : fsd = fsk /γS -béton (compression) : 0,85 fcd = 0,85 fck /γC La résistance du béton tendu et celle des armatures comprimées sont négligées. Les figures 8.2 (resp. 8.3) schématisent de façon très générale le diagramme plastique pris en compte pour une poutre en I sous moment positif MEd ≥ 0 (resp. sous MEd < 0). Pour un acier à haute limite d'élasticité (S420 ou S460), le béton peut se trouver fissuré par excès de compression. La diminution consécutive de résistance de la section est prise en compte par un facteur réducteur b appliqué directement sur Mpl,Rd +, et fonction de la position de l'ANP. Dans les sections de classe 1 ou 2, c'est-à-dire généralement sous moment positif en travée, on doit vérifier que le moment sollicitant à l'ELU reste inférieur au moment résistant plastique : MEd ≤ Mpl,Rd. De plus, MEd est déterminé par une analyse globale élastique fissurée (voir chapitre 2.8.6 du manuel de référence) qui ne tient pas compte de l’effet sur la distribution longitudinale de MEd, d’une éventuelle plastification en travée d’une section de classe 1 ou 2. Dans le cas où la section située sur l’appui intermédiaire adjacent est de classe 3 ou 4, et où le balancement entre travées adjacentes à cet appui est inférieur à 0.6, l’EN1994-2 considère que la non prise en compte (dans l’analyse globale) de la plastification en travée est couverte en rendant la vérification précédente plus sévère : MEd ≤ 0.9 Mpl,Rd. Si la section est de classe 1 ou 2 OM3 procède aux vérifications suivantes : n=Ned/NplRd et a=Aire de l'âme/Aire de la poutre Si (n > 0.25 ou Ned > 0.5*fya*ha*eat/γM0) MnRd=min(MplRd*(1-n)/(1-0.5*a),MplRd) sinon

MnRd=MplRd

Il faut vérifier le critère suivant : MEd < MnRd*Coeff_du_moment_plastique Remarques : -Si le balancement est trop faible (< 0.6) et si la section sur l'appui voisin intermédiaire est de classe 3 ou 4 alors il faut réduire le coefficient du moment plastique (=0.9) (EN 1994-2 & 6.2.1.3 (2) -Autre condition de réduction du moment plastique EN 1994-2&6.2.1.2 (2) : Si le signe du moment conventionnel est positif et nuances des tôles = S420 ou S460 :

hts=ha+ei+es+epr+Epaisseur_du_hourdis xpl=hts-Dz_axe_neutre_plastique Si (xpl/hts < 0.15) kβ=1.00 Si (xpl/hts > 0.15 ET xpl/hts < 0.40) kβ=1.00-(((xpl/hts)-0.15)*0.15/0.25) Sinon kbeta=0.85 Coeff_du_moment_plastique=Coeff_du_moment_plastique*kβ

Justification en élasticité

Justification en élasticité des section de classe 3 Il faut vérifier le critère suivant : σ_semelle_sup < Limite_elastique_semelle_sup/γM0

σ_semelle _inf< Limite_elastique_semelle_inf/γM0 Si la section est mixte : Si le signe du moment conventionnel est positif : Il faut vérifier le critère suivant : Valeur admissible=fck/γc

σ_sup_hourdis < αcc*fck/ γc

σ_inf_hourdis < αcc *fck/ γc Avec γc =1.5 (EN 1994-2 & 2.4.1.2 (2)) et fck EN 1992-1-1 & 3-1 (paramétré dans le fichier paramètre om3.par) Si le signe du moment conventionnel est négatif : Il faut vérifier le critère :

σ_sup_ aciers_ba < fsk/γs

σ_inf_ aciers_ba < fsk/γs (=1.15 paramétré dans om3.par)

Justification en élasticité des section de classe 4 Il faut vérifier les critères précédents (chapitre 3.5.1) avec la section efficace (voir chapitre 3.3).

Vérification de la résistance plastique des âmes à l'effort tranchant Aire de la charpente cisaillée par VEd : Av=eta*ha*eat avec eta fixé par l'annexe nationale et fonction de la nuance de l'acier, défini dans le fichier paramètre om3.par EN 1993-1-5,5.1 (2) Résistance plastique à l'effort tranchant de la charpente métallique :

VplRd=Av*fya/(sqrt(3)* γM0) et VcRd=VplRd Quelque soit la classe de la section mixte on doit vérifier : (abs(VEd) <= VcRd) Remarques : -L'effort tranchant VEd appliqué dans OM3 est celui de la section étudiée. Il appartient au projeteur de vérifier le cisaillement avec le VEd maxi du panneau où se trouve la section étudiée. -Attention !! la vérification du cisaillement moyen dans la tôle de fond ainsi que le cisaillement dû à la torsion ne sont pas implémentés dans OM3. - Pour un caisson VEd=VEd calculé/cos(inclinaison des âmes)

Vérification de la résistance des âmes au voilement par cisaillement Vérification du cisaillement avec voilement Pour cette vérification OM3 suppose l'existence d'éléments transversaux en travée.

ε=sqrt(235/fya) élancement=ha/ea Moment d'inertie de flexion des raidisseurs d'âmes pour les âmes comportant deux ou plusieurs raidisseurs égaux, Isl est la somme de la rigidité des raidisseurs séparés. (Annexe A3 EN 1993-1-5) Pour chaque panneau et sous panneau on calcule lambdaw. On vérifie la résistance au voilement avec la valeur la plus forte des lambdaw. Contrainte critique d'Euler : (EN 1993-1-5,4.2.2.3 (2))

σE =(π*π*Ea*ea*ea)/(12*(1-nu*nu)*ha*ha) Isl=Inertie des raidisseurs d'âmes a=Espacement_des_cadres kτst=9*(ha/a)*(ha/a)*(Isl/(ha*ea**3))**(3/4) (EN 1993-1-5,4.3.3 (5) et A.3) Si (kτst < (2.1/ea)*(Isl/ha)**(1/3)) kτst=(2.1/ea)*(Isl/ha)**(1/3) Si nombre de raidisseurs longitudinaux =0 ou > 2 : Si (a/ha < 1) kτ=4+5.34*(ha/a)*(ha/a)+ kτst Sinon kτ=5.34+4*(ha/a)*(ha/a)+ kτst Si le nombre de raidisseurs longitudinaux est égal à 1 ou 2 : Si (a/ha < 3.0) kτ=4.10+((6.30+0.18*Isl/(ha*ea**3))/((a/ha)*(a/ha))+2.2*(Isl/(ha*ea**3))**(1/3) Sinon kτ=5.34+4.00*(ha/a)*(ha/a)+ kτst

Contrainte critique de voilement par cisaillement ( τcr) :

τcr = kτ*σE

λw=0.76*sqrt(fya/τcr) (EN 1993-1-5,4.3.3 (5) et (7) Contribution de l'âme Khiw : (EN 1993-1-5 § 5.3) Si le montant vertical est rigide :

Si (λw >= 1.08) Khiw=1.37/(0.7+ λw)

Si (λw >= 0.83/eta) Khiw=0.83/ λw Sinon Khiw=eta Si Le montant vertical est souple :

Si (λw >= 1.08) Khiw=0.83/ λw

sinon Si (λw >= 0.83/eta) Khiw=0.83/ λw sinon Khiw=eta Si ((élancement > 31*ε*sqrt(k�)/eta et les âmes sont raidies) ou (élancement > 72*ε/eta ET les âmes ne sont pas raidies)) Il faut procéder à la vérification du cisaillement avec voilement (critère n3 <= 1) EN 1993-1-5 § 5.1 (2) Soit MfRd le moment résistant plastique des semelles. Si un effort axial NEd est appliqué il convient de réduire MfRd : As=es*bs ; Ai=ei*bi Si (NEd > 0) MfRd=MfRd*(1.0-(NEd/(As*fys+Ai*fyi)/ γM0)) (EN 1993-1-5 § 5.4 (5.9) Si (abs(MEd) <= MfRd et la contribution des semelles est souhaitée) Contribution des semelles : c'est le cas de la semelle non connectée à la dalle ce qui est le cas de la semelle inf. Les semelles participent à la résistance sous VEd à la condition qu'elles ne soient pas complètement épuisées par MEd c=a*(0.25+(1.6*bi*ei*ei*fyi)/(eat*ha*ha*fya)) ( EN 1993-1-5 §5.4/5.8) VbfRd=((bi*ei*ei*fyi)/(c*γM1))*(1.0-(MEd/MfRd)*(MEd/MfRd))

Contribution de l'âme à la résistance au voilement par cisaillement : VbwRd=Khiw*fya*ha*eat/(sqrt(3)* γM1) pour les âmes VbRd est la somme des contributions de l'âme et des semelles métalliques calculées en tenant compte du voilement sous cisaillement. Toute participation de la dalle est négligée. VbRd1=VbwRd+VbfRd pour semelles+âmes VbRd2=eta*fya*ha*eat/sqrt(3)* γM1 VbRd=min(VbRd1,VbRd2) EN 1993 1-5 § 5.2 (eq 5.1)

Résistance maximale à l'effort tranchant (VRd) : (EN 1994-2, 6.2.2 § 6.2.2.4 (1)) VRd=min(VbRd,VplRd)

Vérification à l'effort tranchant, Analyse plastiqu e ELU : n3=abs(VEd)/VbRd Si (n3 <= 1) le cisaillement est vérifié

Interaction des âmes Moment/Effort tranchant Lorsque VEd est supérieur à la moitié de VRd = min(VbRd ; VplRd), VEd diminue la résistance à la flexion. La diminution à prendre en compte dépend de la classe de la section : -Pour les sections en I de classe 1 ou 2, la limite d'élasticité de l'aire cisaillée Av est réduite pour le calcul du moment résistant plastique avant justification en flexion. Dans le calcul de MplRd, on ne tient pas compte du décalage de l'ANP introduit par la modification des limites d'élasticité sur l'aire cisaillée Av. Dans le cas général où l'on a à la fois un effort tranchant et un moment. n3=abs(VEd)/VRd Si (n3 > 0.5) on doit vérifier l'interaction flexion/cisaillement Interaction (M+V) en classe 1 ou 2 : ro=((2*abs(VEd)/VRd)-1)**2 fyar=(1-ro)*fya Calcul du moment plastique résistant réduit MplRd_reduit avec fyar Résistance plastique réduite calculée en utilisant une épaisseur d'âme réduite n=Ned/NplRd_reduit et a=Aire de l'âme/Aire de la poutre Si n > 0.25 ou Ned > 0.5*fya*ha*eat/γM0 MnRd_reduit=min(MplRd_reduit*(1-n)/(1-0.5*a),MplRd_reduit) EN 1993 1.1 § 6.2.9.1 (5)

sinon MnRd_reduit=MplRd_reduit Si (abs(MEd) <= MnRd_reduit) l'interaction est vérifiée Interaction (M+V) en classe 3 : (EN 1993-1-5 § 7.1) n3b=VEd/VbwRd Hauteur totale de la poutre : ht=ei+ha+es n1= max(MEd/MplRd, MfRd/MplRd) Si (n1+(1-MfRd/MplRd)*(2*n3b-1)**2 <= 1) l'interaction est vérifiée Interaction (M+V) en classe 4 : n3b=VEd/VbwRd n1=max(MEd/MplRd, MfRd/MplRd) Si (n1+(1.0-MfRd/MplRd)*(2.0*n3b-1.0)**2 <= 1) l'interaction est vérifiée Remarques : (EN 1994-2 §6.2.1.3) - Attention !! l'étude du cisaillement moyen dans l a tôle de fond d'un caisson ainsi que le cisaillement dû à la torsion ne sont pas traités dans OM3. - La vérification des interactions ne concernent qu e les âmes. - Sur pile il faut vérifier l'interaction à hw/2 de l'axe de la pile (EN 1994-2 §6.2.1.3) - En classe 4 MplRd est calculé avec les semelles efficaces mais avec toute l'âme (EN 1993-1-5&7.1 (1)) - En classe 1,2, 3 le MplRd d'un caisson prend en c ompte le traînage de cisaillement - Dans tous les cas le MplRd d'un caisson dans OM3 ne prend pas en compte les raidisseurs des semelles. - Pour un caisson VEd=VEd calculé/cos(inclinaison des âmes) - L'espacement des cadres (ou largeur a des sous-pa nneaux) est calculé en fonction du nombre de cadres intermédiaires par travée saisi e dans le menu "Données/Ossature1" même si les données de l'entret oise ou pièce de pont ne sont pas renseignées dans le menu "Données/Eléments tran sversaux", données géométriques destinées au calcul du déversement.

Vérification du déversement

Calcul de la raideur des pièces de pont Soient : h0=Distance entre l'intrados de la poutre et l'intrados de l'élément transversal ht=Hauteur totale de la poutre nu=Coefficient de Poisson Coeff_N=Coefficient d'équivalence acier-béton Ea=Module d'young de l'acier charpente L'ensemble pièce de pont+montants peut être modélisé suivant un portique Largeur participante de la dalle dans la rigidité: Largeur_participante_dalle =min(0.2*Espacement_maxi_des_poutres,Espacement_des_pièces_de_pont) sb=Largeur_participante_dalle*Epaisseur_du_hourdis Largeur participante de l'âme de la poutre : L'aire et l'inertie des montants doivent tenir compte d'une certaine longueur d'âme de poutre. Pour cette participation de l'âme, on prendra en compte de chaque côté des montants la moitié de la dimension correspondant à l'élancement maximal d'un élément comprimé de classe 3 maintenu sur ses bords soit : epsilon=sqrt(235/Limite_elastique_ame) largeur=2*15*Epaisseur_ame_poutre*epsilon+Epaisseur_ame_montant Inertie de la pièce de pont : ya,va,ha,sa Inertie du montant : ym,vm,htm,sm Inertie de la dalle participante : yb=Largeur_participante_dalle*(Epaisseur_du_hourdis**3)/12 Distance des centres de gravité dalle pièce de pont : dg=(ha-va)+Epaisseur_du_hourdis/2 Inertie mixte dalle + pièce de pont : yp=ya+(yb/Coeff_N)+sa*sb*dg*dg/(Coeff_N*sa+sb) (A) Flexibilite du montant inférieur

At=(h0)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant) A1=At+(h0**3)/(3.0*Ea*ym) avec ym=Inertie du montant vertical Distance entre les axes neutres des montants verticaux : de=Espacement_maxi_des_poutres-2*vm avec vm=distance âme au cdg du montant Distance entre les semelles sup des montants verticaux : dpe=Espacement_maxi_des_poutres-2*htm+Epaisseur_ame_poutre avec htm hauteur du montant (B) Flexibilité de la pièce de pont (pièce de pont +dalle participante) h=h0+va+(dg*sb)/(Coeff_N*sa+sb) B2=(dpe*h*h/(2*yp))/Ea Bt=(2*dpe)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant) (C) Extensibilité de la pièce de pont C3=(dpe/(2*(sa+sb/Coeff_N)))/Ea Souplesse pour des efforts de sens opposé soupl1=A1+B2+C3 Souplesse pour des efforts de même sens soupl2=A1+((dpe/de)*(dpe/de)*(B2/3))+C3+((ht)/de)*((ht)/de)*Bt Souplesse du cadre=max(soupl1,soupl2)

Calcul de la raideur des entretoises Soient : h0=Distance entre l'intrados de la poutre et de l'intrados de l'élément transversal=h'm1 ht=Hauteur totale de la poutre nu=Coefficient de Poisson Coeff_N=Coefficient d'équivalence acier-béton Ea=Module d'young acier charpente

L'ensemble entretoise+dalle-montants peut être modélisé suivant un portique à deux traverses Largeur participante de l'âme de la poutre : Largeur_participante_ame_poutre =2*15*Epaisseur_ame_poutre*epsilon+Epaisseur_ame_montant Inertie de l'entretoise (ye,ve,he,ae): Inertie du montant vertical (ym,vm,htm,am) : Hauteur de la poutre au dessus de l'entretoise : hpm2=ht-h0-he (A) Flexibilité de la partie inférieure du montant : At=(h0)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant) A=At+(h0**3)/(3.0*Ea*ym) avec ym inertie du montant Hauteur de la poutre au dessus de l'axe neutre de l'entretoise : hm1=h0+ve avec ve=Distance du centre de gravité de l'entretoise à la fibre sup de l'entretoise

Hauteur de la poutre au dessous de l'axe neutre de l'entretoise : hm2=ht-hm1 Distance entre les axes neutres des montants verticaux : de=Espacement_maxi_des_poutres-2*vm Distance entre les semelles sup des montants verticaux : dpe=Espacement_maxi_des_poutres-2*htm+Epaisseur_ame_poutre avec htm hauteur du montant (B1,B2,B3,Bt) Flexibilité de l'entretoise : B1=dpe*hm1**2/(2*Ea*ye) avec ye=Inertie de l'entretoise B2=dpe*hm2**2/(2*Ea*ye) B3=dpe*ht**2/(2*Ea*ye) Bt=(2*dpe)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant) (C) Extensibilite de l'entretoise : C=dpe/(2*Ea*ae) avec ae=aire de l'entretoise (D) Flexibilité de la partie supérieure du montant : Dt=(hpm2)/((Ea/(2*(1+nu)))*Epaisseur_ame_montant*Hauteur_ame_montant) D=Dt+(hpm2**3)/(3*Ea*ym) avec ym Inertie du montant Souplesse pour des efforts de sens opposé : soupl1=A+((B3*C)+(B1*D)+(C*D))/(B2+C+D) % selon BT11 soupl1=A+B1+C-((C-((hm1/hm2)*B2))*(C-((hm1/hm2)*B2))/(B2+C+D) Souplesse pour des efforts de même sens : soupl2=A+((dpe/de)*(dpe/de)*(B3/3))+D+((ht)/de)*((ht)/de)*Bt Souplesse du cadre=max(soupl1,soupl2) Raideur du cadre=(1/Souplesse du cadre)/Espacement_des_entretoises

Méthode simplifiée de vérification Calcul de l'âme associée à la semelle inférieure :

hac=(ht*σ_inf_semelle_inf/(σ_inf_ semelle_inf -σ_sup_semelle_sup))-ei-es Partie soumise au déversement : La partie soumise au déversement comprend la membrure comprimée et le tiers de l'âme comprimée. Af=bi*ei Awc=hac*Epaisseur_ame_poutre Aire_section_comprimee=Af+(1/3)*Awc Inertie de la semelle comprimée : I=(ei*bi**3)/12 Effort critique de déversement : L= Distance entre entretoises infiniment rigides (en fait la distance entre appuis de part et d'autre de la section étudiée)

γ=Raideur_du_cadre*L**4/(I*Ea)

m=2.0*sqrt(γ)/ π**2 N_critique=m* π* π *Ea*I/L**2 Longueur de flambement : lk= π *sqrt(Ea*I/N_critique) Contrainte critique de flexion vis a vis du déversement :

σ_critique=N_critique/Aire_section_comprimee Coefficient de réduction du au déversement :

λLT=Elancement réduit Si la classe de la section est égale à 1 ou 2 ou 3 alors ßA=1 Si la classe de la section est égale à 4 :

haceff=(ht*σ_efficace_inf_ame/(σ_efficace_inf_ame-σ_efficace_sup_ame))-ei Afeff=bieff*ei Awceff=haceff*Epaisseur_ame_poutre

ßA =(Afeff+(Awceff/3.0))/Aire_section_comprimee Elancement réduit :

λLT =sqrt(Limite_elastique_semelle_inf* ßA/σ_critique)

ФLT=0.5*(1.0+Coefficient_d_imperfection*( λLT -0.2)+ λLT **2)

XLT=1.0/( ФLT +(sqrt(ФLT **2- λLT**2))) Vérification au centre de la semelle inférieure :

SI (σ_cmax <= XLT *Limite_elastique_semelle_inf/γM1 le déversement est vérifié.

Connexion L'EN1994-2 traite uniquement les connecteurs "goujons". Les autres types de connecteurs utilisés classiquement en France (cornières, arceaux, …) sont traités dans l'annexe nationale de l'EN1994-2. Outre les goujons verticaux classiques de connexion d'une dalle en béton horizontale, l'EN1994-2 traite aussi dans son article 6.6.4 des goujons disposés horizontalement dans la dalle, comme par exemple des goujons sur une âme métallique pour la connexion d'un hourdis inférieur de pont. Dans la suite, seuls les goujons verticaux sont abordés. On distingue deux modes de ruine pour ce type de connecteurs :

▪ La ruine par cisaillement de l’acier en pied, vis à vis de laquelle on a une résistance caractéristique :

48,0

21 d

fP uRk π=

▪ La ruine par écrasement du béton en pied, vis à vis de

laquelle on a une résistance caractéristique :

cmckRk EfdP 22 29,0 α=

EN1994-2,6.6.3.1 (1)

d : diamètre du goujon (qui doit être compris entre 16 et 25 mm) h : hauteur du goujon

uf : résistance ultime à la traction de l’acier (qui ne doit pas excéder 500 MPa)

ckf : résistance caractéristique à la compression du béton (qui ne doit pas être inférieure à 17,2 MPa)

cmE : module d’élasticité du béton

+= 12,0d

hα si 43 ≤≤d

h, sinon 1=α

La résistance caractéristique d’un goujon donné s’écrit alors : ( )21 ; RkRkRk PPMinP =

Et la résistance de calcul RdP s'obtient en divisant RkP par le coefficient partiel

V 1,25=γ . Il s'agit là de la valeur recommandée de ce coefficient qui est soumis au choix de l'annexe nationale. Sa résistance de calcul vaut :

▪ A l’ELS : PRd ELS=0.6 PRd Le coefficient 0.6 est soumis au choix de l'annexe nationale.

EN1994-2,7.2.2 (6) qui renvoie à

hd

▪ A l’ELU : ELURd RdP P= 6.8.1(3)

Dimensionnement à ELS Lorsque le comportement de la structure demeure élastique dans une section donnée, chaque cas de charge produit un flux de cisaillement ν à l’interface entre la dalle en béton et la charpente métallique (appelé aussi « glissement »). Ce flux se déduit aisément des caractéristiques de la section et des efforts généraux auxquels elle est soumise :

mixte

c

I

Vµν =

cµ : moment statique de la dalle en béton par rapport au centre de gravité de la section mixte

mixteI : moment d’inertie de la section mixte V : effort tranchant sous un cas de charge donné Quand sous un cas de charge donné, la section est soumise à un moment négatif et la dalle est par conséquent fissurée, les caractéristiques cµ et mixteI restent calculées sur la section mixte non fissurée, homogénéisée avec le même coefficient d'équivalence que celui utilisé pour le calcul des sollicitations sous le cas de charge (voir EN1994-2, 6.6.2.1 (2) ). Lorsque l’on superpose plusieurs cas de charge, le flux de cisaillement résultant s’obtient en additionnant algébriquement les contributions de chacun des cas de charge. Le comportement de la structure restant entièrement élastique à l’ELS, on détermine en toute section d'abscisse x, l’enveloppe en valeur absolue du flux de cisaillement :

( ))(;)()( maxmin xxMaxxELS ννν =

Dans toute section du tablier, la densité de connecteurs doit être suffisante pour reprendre intégralement le flux de cisaillement. Pour des raisons constructives, il n’est en général pas envisageable de faire évoluer continûment la densité de connecteurs. On divise alors l’ouvrage en n tronçons de longueur [ ]nili ;1, ∈ , sur chacun desquels on dispose un nombre [ ]niN i ;1, ∈ de connecteurs (densité constante par tronçon). Le choix des tronçons s’effectue en observant les variations de )(xELSν , chaque tronçon ayant typiquement une longueur comprise entre 5 et 15 mètres. On doit vérifier alors en tout point :

ELSRd

i

iELS Pl

Nx ≤)(ν

Dimensionnement à l'ELU Cas des zones plastifiées sous moment positif Lorsqu’une section soumise à un moment positif est plastifiée à l’ELU, le calcul précédent doit être complété par une vérification supplémentaire. En effet, dès lors que le comportement de la structure n’est plus élastique, la loi donnant le flux de cisaillement en fonction des efforts généraux n’est plus linéaire et donc le calcul précédent devient inexact. En zone de plastification, on assiste en général à une sollicitation importante de la connexion et à de fortes redistributions entre sections voisines. Délimitation de la zone plastifiée : La vérification consiste à raisonner globalement sur la zone plastifiée, dont on détermine les limites (sections A et C). Elles correspondent aux sections pour lesquelles la contrainte normale sur l’une des fibres de la poutre mixte (béton ou charpente métallique) atteint sa limite élastique, dans l’état de sollicitation le plus défavorable. Les contraintes de l'ELU sont déterminées en tenant compte du phasage de construction et des coefficients d’équivalence relatifs à chaque cas de charge.

Définition de la zone plastique

En A (respectivement C), l’effort normal AF (respectivement CF ) global dans la dalle en béton s’obtient aisément par intégration des contraintes sur l’épaisseur de la dalle. On recherche également la section B, définie comme celle étant soumise à la plastification maximale. En général et en l’absence de variation brutale des caractéristiques de section, la section B est celle qui est soumise au moment de flexion maximal.

Α Β C

Zone plastifiée

Moment fléchissant MEd

Diagramme d'interaction dans la section B : Pour dimensionner la connexion, il est nécessaire de connaître BF , l’effort normal dans la dalle dans la section B. La section évoluant dans le domaine plastique, la loi qui lie BF au moment fléchissant BM est non linéaire. L'EN1994-2, 6.2.1.4 (6), la modélise par un diagramme d’interaction construit à partir de quelques points remarquables.

FB

MB

MplRdMSd+MelRd

MaSd

Fe FB2 FplBFB0

GG

JJ

HH

FB

MB

MplRdMSd+MelRd

MaSd

Fe FB2 FplBFB0

GG

JJ

HH

Diagramme d'interaction M/F dans la section B

Point G : a,EdM dépend du phasage de construction de l’ouvrage. C'est le moment

de flexion dans la section B à la date t du phasage, quand le béton du plot de dalle auquel appartient la section B est coulé mais n'a pas encore fait sa prise (dalle en béton non sollicitée, c'est à dire FB = 0). Point H : pl,RdM est le moment résistant plastique de la section B mixte. Pour

l’atteindre, il faut en particulier solliciter complètement la résistance de la partie comprimée de dalle (hauteur hc sur une largeur participante beff tenant compte du traînage de cisaillement). Alors l'abscisse du point H est donnée par :

ceffc

ckplB hb

fF

γ85,0

=

Point J : elRdM est le moment résistant élastique (défini dans EN1994-2, 6.2.1.4 (6))

et eF est la résultante de compression dans la dalle qui lui est associée. Ces efforts sont calculés en recherchant l’état de sollicitation élastique maximal, compte-tenu du phasage de construction. Cet état correspond à la combinaison de 2 états :

▪ Etat 1 : la résistance de la section B est celle de la seule charpente métallique. On se situe dans le phasage de construction à la même date t que celle définissant Ma,Ed ci-dessus : le plot de dalle vient d'être bétonné dans la section B mais le béton n'a pas encore fait sa prise.

=> Etat de contraintes 1

▪ Etat 2 (pondéré par k): le béton dans la section B a fait prise et la résistance

de la section est désormais mixte. Les cas de charge correspondant à la fin du phasage de construction (jusqu'à l'état à vide) et à l'application des charges variables (actions climatiques, trafic, …) introduisent un moment Mc,Ed repris par la section mixte B.

=> Etat de contraintes 2 Note : l'effet (en terme de moments et de contraintes) de chaque cas de charge est pondéré par les coefficients de combinaison de l'ELU, directement au cours du phasage. Si le coefficient de pondération k sur l'état 2 de contraintes est égal à 1, l'état 3 correspond à la détermination élastique des contraintes ELU dans la section B (issues du modèle général de calcul). La section B étant partiellement plastifiée, certaines contraintes de cet état 3 vont alors dépasser les limites élastiques. Le coefficient k (<1) est déterminé de façon que le diagramme de contraintes de l'état 3 soit ramené dans les limites élastiques. Dans le cas de la figure 11.3, la limite est atteinte sur la fibre inférieure de la semelle inférieure :

0

yf (1) (2)ai ai ai

M

fk.= = +σ σ σ

γ

On obtient alors : el,Rd a,Ed c,EdM M k.M= + .

La résultante eF est alors calculée en intégrant les contraintes dans la dalle à l’Etat 3 (en tenant compte de la pondération k sur �b). Le diagramme d’interaction est constitué des deux segments de droite [GJ] et [JH]. Sa simple lecture permet d’estimer la résultante BF associée au moment sollicitant

Ed,maxM attendu dans la section B à l’ELU.

Dimensionnement des connecteurs dans la section B : Référence : EN1994-2, 6.6.2.2 (2) Entre les sections A et B (respectivement B et C), le nombre de connecteurs doit globalement être suffisant pour reprendre en cisaillement la variation d’effort normal dans la dalle :

( )ELU

Rd

ABAB P

FFN

−≥ ;

( )ELU

Rd

CBBC P

FFN

−≥

Les connecteurs peuvent être répartis avec une densité constante entre les sections A et B (respectivement B et C). Remarques : -Le flux de cisaillement à l'interface acier/béton, utilisé dans les calculs précédents, ne tient compte que des effets hyperstatiques (ou secondaires) du retrait et de la température. Il est donc nécessaire que le projeteur vérifie aussi pas que les connecteurs sont assez nombreux aux extrémités libre du tablier, pour accrocher le flux de cisaillement créé par les effets isostatiques (ou primaires) du retrait et de la température.

Vérification à la fatigue La vérification à la fatigue consiste à s’assurer que la probabilité de ruine d’un ouvrage par propagation de fissure à l’intérieur d’un composant du tablier soumis à des variations répétées de contraintes reste faible. Pour ce faire, il convient de retenir la méthode de la durée de vie sûre de l’EN1993-1-9. Les composants à vérifier en fatigue dans un pont mixte sont : ▪ la charpente métallique et ses connecteurs, ▪ les armatures passives de la dalle, ▪ le béton de la dalle. L’EN1994-2, 6.8 définit les conditions de la vérification à la fatigue. La vérification à la fatigue du béton, ainsi que celle des aciers passifs de la dalle ne sont pas traitées dans OM3 Le programme étudie le passage d'un convoi de fatigue unique nommé FLM3 de poids total 480 kN à partir de la combinaison de fatigue suivante : (Gk+Pk)+0.6 Tk + QFLM3 La vérification repose sur l'évaluation de l'amplitude des variations de contrainte. Cependant il ne s'agit pas de rechercher brutalement les enveloppes de cette combinaison de fatigue. En effet les amplitudes éventuelles provenant des termes (Gk+Pk) ou même des phénomènes thermiques Tk ne sont pas de nature à engendrer des phémomènes de fatigue. L'utilisation de la combinaison de fatigue telle qu'elle est écrite doit donc être comprise de la manière suivante : on cherche la variation de contrainte maximale sous le seul effet du convoi de fatigue FLM3, cette variation pouvant s'opérer à partir d'un état initial quelconque, correspondant à des conditions de température fréquentes. Les variations de contraintes dans la dalle, dues à FLM3 seront maximales dès lors que la dalle en béton est fissurée et donc négligée dans les calculs de section. En effet on dispose alors des caractéristiques de section minimales. L'état initial à considérer pour le passage du convoi est donc celui qui produit la plus forte traction dans la dalle. Pour en déduire les variations de contraintes dans la semelle sup ou inf OM3 procède de la manière suivante : Convention_de_signe =+1 pour une structure spatiale Convention_de_signe =-1 pour une structure plane Soient : S1,I1,v1 les caractéristiques mécaniques de la section mixte AVEC béton S2,I2,v2 les caractéristiques mécaniques de la section mixte SANS béton

Variation de contrainte dans les aciers passifs : ∆σs=0.2*fctm/( αst*(As/Act)) avec : αst =(S2*I2)/(Sa*Ia) Act =Aire de la section de béton comprise dans la largeur efficace As=Aire totale des aciers passifs longitudinaux dans l'aire efficace Act Correction sur le terme de rigidité de la dalle ∆σs : Correction = As/Aa + (As*a*ya) / Ia avec : a = distance entre le barycentre des As et le centre de gravité de la section charpente seule ya = bras de levier de la fibre étudiée par rapport au centre de gravité de la section charpente seule. Charges fréquentes Maxi : Mctrg_freq_maxi = moment de flexion maxi à partir d'une contrainte généralisée (N/S + M*V/I avec 1/S nul et V/I égal à 1) Charges fréquentes Mini : Mctrg_freq_mini= moment de flexion mini à partir d'une contrainte généralisée (N/S + M*V/I avec 1/S nul et V/I égal à 1) Charges de fatigue FLM3 Maxi : MFLM3,max= Moment maxi sous FLM3 σ_FLM3_maxi_section avec_béton = Contrainte maxi sur la semelle sup ou inf section avec la dalle béton σ_FLM3_maxi_section sans_béton = Contrainte maxi sur la semelle sup ou inf section sans la dalle béton Charges de fatigue FLM3 Mini : MFLM3,min= Moment mini sous FLM3 σ_FLM3_mini_section avec_béton= Contrainte mini semelle sup ou inf section avec la dalle béton σ_FLM3_mini_section sans_béton= Contrainte mini semelle sup ou inf section sans la dalle béton Moment MEd max ou min qui apporte le plus de tracti on dans la dalle : MC,Ed,max = Mctrg_freq_maxi

MC,Ed,min =Mctrg_freq_mini Moments conventionnels : Dans le cas d'une structure plane plus le moment est positif plus la dalle est tendue : MC,Ed=Convention_de_signe* MC,Ed,max MEd_maxi=MEd_freq + Convention_de_signe * MFLM3,max MEd_mini=MEd_freq + Convention_de_signe * MFLM3,min Dans le cas d'une structure spatiale plus le moment est négatif plus la dalle est tendue : MC,Ed=Convention_de_signe* MC,Ed,min MEd_maxi= MC,Ed + Convention_de_signe * MFLM3,min MEd_mini= MC,Ed + Convention_de_signe * MFLM3,max Si (MEd_maxi < 0.0) La dalle est tendue pour la charge de fatigue qui tend le plus la dalle SI (MEd_mini < 0.0) La dalle est tendue pour la charge de fatigue qui tend le moins la dalle Soit ys la distance du cdg des aciers passifs au cd g de la section fissurée σsmmin0 = Med_maxi*ys/I2 σsmmin = σsmmin0 + (0.2*fctm/( As/Act)) * ((As*ys*ys/I2) + (As/S2)) σsmmax0 = Med_mini*ys/I2 σsmmax = σsmmax0 + (0.2*fctm/( As/Act)) * ((As*ys*ys/I2) + (As/S2)) CAS 1 La dalle est tendue sous MEd_maxi et sous M Ed_mini : On ne prend en compte que la charge de fatigue Qfat avec une section SANS la dalle béton Cas d'une structure plane : σmaxi=Convention_de_signe* MFLM3,min *( Convention_de_signe *v2/I2) σmini=Convention_de_signe* MFLM3,max*( Convention_de_signe *v2/I2) pour la semelle inf : ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) Si la semelle sup est légèrement tendue (σsmmin >= 0) : ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) Si la dalle est suffisamment tendue sous la sollicitation maxi (σsmmax >= 0) : (la sollicitation mini ne tend pas la dalle) ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)- ∆σs *correction Si sous la sollicitation mini la dalle est tendue :

∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini)- ∆σs *kmoment *correction Avec : kmoment=abs( MFLM3,max - MFLM3,min ) / abs(MC,Ed + Convention_de_signe* MFLM3,max ) Cas d'une structure spatiale : Pour la semelle inf : σmaxi=Convention_de_signe* MFLM3,max * ( Convention_de_signe *v2/I2) σmini= Convention_de_signe* MFLM3,min * ( Convention_de_signe *v2/I2) ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) Pour la semelle sup : Si la dalle est légèrement tendue (σsmmin >= 0) : ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) Si la dalle est suffisamment tendue sous la sollicitation maxi (σsmmax >= 0): (la sollicitation mini ne tend pas la dalle) ∆σfatigue = abs(σmaxi-σmini) - ∆σs *correction Si la dalle est tendue sous la sollicitation mini : ∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) - ∆σs *kmoment *correction Avec : kmoment=abs( MFLM3,max - MFLM3,min )/ abs(MC,Ed + Convention_de_signe * MFLM3,min ) CAS 2 La dalle est comprimée sous MEd_maxi et sous MEd_mini : on ne prend en compte que la charge de fatigue Qfat avec une section prenant en compte la dalle béton Cas d'une structure plane : σmaxi=(Convention_de_signe* MFLM3,min * (Convention_de_signe*v1/I1) σmini=Convention_de_signe* MFLM3,max *(Convention_de_signe*v1/I1) Cas d'une structure spatiale : σmaxi= (Convention_de_signe* MFLM3,max)*(Convention_de_signe*v1/I1) σmini= (Convention_de_signe* MFLM3,min)*(Convention_de_signe*v1/I1)

∆σfatigue =abs(σmaxi-σmini) CAS 3 La dalle est tendue sous charge de fatigue m axi et comprimée sous charge de fatigue mini Pour la semelle inf : ∆flm3= σ_FLM3_maxi_section avec_béton - σ_FLM3_mini_section sans_béton ∆σfatigue =∆flm3 + (Convention_de_signe * ((v1/I1)- (v2/I2)) * MC,Ed) Si la semelle sup est légèrement tendue (σsmmin >= 0): ∆σfatigue =∆flm3 + (Convention_de_signe * ((v1/I1)- (v2/I2))* MC,Ed) Sinon : ∆σfatigue =∆flm3 + (Convention_de_signe * ((v1/I1)-(v2/I2)) * MC,Ed) – ∆σs *correction

Vérification à la fatigue de la charpente métalliqu e :

Pour les calculs de fatigue de la charpente métallique, l'EN1994-2 autorise le recours à la méthode simplifiée des étendues de contrainte équivalentes. La variation de contrainte dans un détail donné de la charpente est alors obtenue par le passage unique sur le pont d'un camion calibré pour avoir le même effet que le trafic réel. La méthode simplifiée s'utilise avec le modèle de charge de fatigue n°3 défini par l'EN1991-2. Ce modèle est appelé FLM3 dans la suite. L'EN1991-2 définit 5 modèles différents de charge de fatigue. Pour des justifications particulières et suivant le format de vérification adopté par l'Eurocode de projet (ici EN1994-2), ces modèles de charge peuvent être utilisés. Globalement, le format de vérification de la méthode simplifiée des contraintes équivalentes est le suivant : γFf ∆σE,2 <= ∆σc / γMf où : γFf est le coefficient partiel appliqué aux charges, ∆σE,2 est l’étendue de contrainte équivalente d’amplitude constante relative à 2 millions de cycles, ∆σc est la valeur de référence de la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles (catégorie de détail), γMf est le coefficient partiel de résistance à la fatigue.

Un format semblable se retrouve pour les vérifications au cisaillement ainsi que pour les interactions entre contraintes normales et cisaillement. Dans OM3 on s'est limité au cas des contraintes normales. Il conviendrait bien sûr d'envisager l’ensemble des vérifications pour un projet réel.

L'étendue de contraintes ∆σE,2 sous FLM3 est donnée par :

∆σE,2 = λ Φ ∆σp = λ Φ [σmax,f - σmin,f ] où λ est le coefficient de dommage équivalent, et Φ est le coefficient de dommage équivalent d'impact. Φ=1 pour les ponts routiers (valeur par défaut proposé par OM3 dans le fichier paramètres om3.par). En effet, les effets dynamiques sont inclus directement dans le calibrage des charges d'essieu du camion FLM3. Toutefois, Φ est augmenté au passage d'un joint de chaussée : Φ=1.3( 1 - D / 6 )où D (en m) est la distance entre le détail vérifié en fatigue et le joint de chaussée (avec D ≤ 6 m).

Nous attirons l’attention du projeteur sur le fait que l’EN1994-2 note la variation de contrainte ∆σE, alors que l’EN1993-2 la note ∆σE,2. C’est cette dernière notation que nous retiendrons ici.

Les coefficients partiels

Le coefficient partiel sur les charges de fatigue est pris égal à γFf = 1,0. Le coefficient partiel de sécurité pour la résistance à la fatigue de la charpente est pris égal à γMf = 1,35. Il correspond à une vérification selon le concept de la durée de vie sure, avec de fortes conséquences suite à la ruine de l'ouvrage (voir tableau du paragraphe 4-5 de la partie II de ce guide). Le coefficient de dommage équivalent est donné par : λ= min(λ1.λ2.λ3.λ4, λmax)

-Le facteur λ1 prend en compte les effets de l’endommagement dû au volume de trafic en fonction de la longueur L de la ligne d’influence de la sollicitation considérée. Si la section est dans la travée i : λ1=2.55-0.7(L-10)/70 Si L < 25 λmax=2.50-0.5(L-10)/15 Si L > 25 λmax=2.00 avec L=longueur de la travée i Si la section est sur appui : Si L < 30 λ1=2.00-0.3(L-10)/20 et λmax=1.80 Si L >30 λ1=1.70+0.5(L-30)/50 et λmax=1.80+0.9(L-30)/50 L=(Longueur_de_la_travée(i-1) + Longueur_de_la_travée(i))/2 Si L < 10 L=10 Si L > 80 L=80 -λ2 rend compte de la composition du trafic λ2=(Qml/Q0).(Nobs/N0)**1/5 avec Qml=Poids moyen des camions circulant sur la voie lente Les valeurs de référence pour Q0 et N0 valent : Q0=480 kN (poids de FLM3) et N0=0.5 E+6 (EN 1993-2,9.5.2(3)) Le nombre indicatif de véhicules lourds prévus par an et par voie lente doit être donné par le cahier des charges du projet. Par défaut le programme OM3 propose pour chaque catégorie de trafic les valeurs suivantes : Catégorie de trafic Nobs Qml 1 2.0 445 pour longue distance 2 0.5 410 pour distance moyenne 3 0.125 317 pour trafic local 4 0.05 (voir le fichier paramètre om3.par et l'EN 1991-2 4.6 tableau 4.5 pour Nobs voir l'EN 1991-2,4.6 tableau 4.7 pour Qml avec Qml=(∑niQi

5/ ∑ni)1/5 EN 1993-2 9.5.2 (4) avec

ni pourcentage de camions suivant le type de trafic et Qi les charges d'essieu équivalentes) -λ3=1.0 (pour une durée de vie de l'ouvrage de 100 ans par défaut) coefficient introduit dans om3.par -λ4 prend en compte les effets du trafic lourd sur les autres voies lentes définies au projet. OM3 ne traite que le cas d’une seule voie lente, λ4 = 1,0 par défaut dans le fichier om3.par. Remarques : -OM3 ne traite pas la vérification en fatigue sur le cisaillement dans la charpente -Pour les limites en fatigue représentées sur les graphiques de la fatigue (hors connexion), OM3 ne tient implicitement pas compte du coefficient d'abattement (25/t)0.2 des soudures transversales de raboutage des semelles. Nous attirons l'attention de l'utilisateur sur la nécessité de le prendre en compte ou non, selon l'assemblage qu'il vérifie.

Vérification à la fatigue des connecteurs Effet du convoi de fatigue : La manière commune de procéder est d’utiliser un convoi de fatigue unique, nommé FLM3, de poids total 480 kN. Sous le passage de ce convoi, on note en chaque section :

▪ τ∆ la variation de contraintes de cisaillement à la base des connecteurs : celle-ci est calculée en fonction du flux de cisaillement, de la densité locale de connecteurs et de la section nominale de chaque connecteur à sa base ;

▪ σ∆ la variation de contraintes normales dans la membrure supérieure de la poutre métallique. Etendue de contrainte équivalente : Le principe retenu est d’affecter un coefficient aux effets du convoi de fatigue, pour pouvoir comparer les contraintes extrapolées à la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles. On définit ainsi : σλσ ∆Φ=∆ 2,E et τλτ ∆=∆ xE 2, où

• λ et Φ on été définis lors de la vérification de la charpente métallique à la fatigue.

• 4,3,2,1, vvvvv λλλλλ = avec 55,11, =vλ pour les ponts routes et 2,vλ à 4,vλ ont

des définitions similaires à celles données pour les vérifications générales vis-à-vis de la fatigue, mais avec des exposants 8 et 1/8.

• Catégorie de trafic Nobs Qml 1 2.0 457 pour longue distance 2 0.5 430 pour distance moyenne 3 0.125 360 pour trafic local 4 0.05 Si, sous le passage du convoi de fatigue, la membrure supérieure de la poutre métallique reste comprimée, la seule vérification à effectuer concerne le taux de cisaillement à la base des connecteurs et s’écrit :

sMf

cEFf

,2, γ

ττγ ∆≤∆

avec 0,1=Ffγ

15,1, =sMfγ (annexe nationale de l'EN 1994-2)

MPac 90=∆τ (catégorie de détail) Si, sous le passage du convoi de fatigue, la membrure supérieure de la poutre métallique décomprime, deux vérifications supplémentaires sont à effectuer, en plus de la vérification précédente.

Mf

cEFf γ

σσγ ∆≤∆ 2, et 3,1

,

2,2, ≤∆

∆+

∆∆

sMfc

EFf

Mfc

EFf

γττγ

γσσγ

avec 35,1=Mfγ

MPac 80=∆σ (catégorie de détail)

En toute rigueur σ∆ et τ∆ (à l'origine 2,Eσ∆ et 2,Eτ∆ ) doivent être des valeurs

concomitantes. Par simplification le logiciel OM3 utilise les valeurs maximales ce qui place en sécurité. Remarque : A l'ELU, OM3 ne vérifie pas le critère selon lequel, par tronçon, le nombre de connecteurs doit être suffisant pour transmettre la totalité de l'effort de cisaillement (cf second critère du guide EC3/4, §11.4.1). Cette vérification complémentaire doit être effectuée par l'utilisateur d'OM3.

Maîtrise de la fissuration

Ferraillage minimum de non-fragilité Le ferraillage minimum à disposer est le suivant :

As,min = ks.kc.k.fcf,eff.Act / fsk

Axe neutre section non fissurée n0 court terme

Section après fissuration

σs

z0

-fct,eff

Section non fissurée

Axe neutre section non fissurée n0 court terme

Section après fissuration

σs

Section après fissurationSection après fissuration

σs

z0

-fct,eff

Section non fissurée

-fct,eff

Section non fissurée La quantité kc.fct,eff.Act est une expression approchée de l'effort dans le béton tendu sous l'effet du moment de fissuration :

▪ La contrainte au milieu du béton tendu sous l'effet d'un moment de fissuration (moment créant une contrainte fct,eff en fibre supérieure de la dalle en section non fissurée) est donné par

0

,

0

0

,

21

1

2 z

hf

hz

zf

c

effct

c

effctc

+=

+=σ

D'où kc = 1 / ( 1 + hc / 2z0)

▪ Il convient d'ajouter la traction supplémentaire due au retrait gêné, terme non calculé évalué forfaitairement à kc = 0,3

▪ L'ensemble est plafonné à kc = 1,0, qui correspondrait à un effort de traction

uniforme de fct,eff sur l'ensemble de la dalle

Commentaire : on obtient souvent kc = 1,0 Cet effort de traction est ensuite réduit pour tenir compte forfaitairement de différents effets :

▪ non-uniformité des contraintes dans la dalle : coefficient k = 0,8 ▪ transfert d'effort de la dalle vers la charpente au moment de la fissuration :

coefficient ks = 0,9

On met donc en place un ferraillage permettant d'équilibrer cet effort, en travaillant à la limite élastique fsk. On obtient ainsi le ferraillage de base à mettre en place dans toute section (y compris dans les sections comprimées sous ELS caractéristique) (EN 1994-2,7.4.2(5)) Au moins la moitié du ferraillage minimum doit être placé en nappe supérieure.

Vérification de l'ouverture de fissure due aux acti ons non calculées Il faut vérifier l'ouverture des fissures dans les zones tendues de la dalle sous ELS caractéristique. Le calcul d'ouverture de fissure suppose de connaître la contrainte dans les aciers passifs. Sous l'effet des retraits gênés (retrait de dessiccation, retrait thermique), on ne connaît pas cette contrainte. Le calcul conventionnel suivant est proposé:

σs = ks.kc.k.fcf,eff.Act / As Commentaire : Il s'agit de la formule du ferraillage minimum lue à l'envers. Il s'agit donc de la contrainte qui se développe dans les aciers au moment de la fissuration causée par le retrait gêné.

Vérification de l'ouverture de fissure due aux char ges extérieures OM3 permet d'obtenir les valeurs de contraintes en section fissurée sous l'effet de la combinaison ELS fréquente des charges. Les valeurs doivent être majorées pour tenir compte de la présence de la charpente :

σs = σs,0 + ∆σs EN 1994-2-7 4.3 (3)

Commentaire : Cette formule se démontre à partir de l'équilibre des efforts dans les deux modèles de comportement ci-dessous :

Cdg section fissurée

ε Effortsσ = E.ε

ysNM N = E.As.εsm+ β.As.fctm/ρs

εsm


ε Efforts

ysNM

σ = E.ε

N = E.As.εs

εs,0

Comportement section fissurée

Comportement réel

bay +=ε

'' bya +=ε


ε Effortsσ = E.ε


εsm


ε Efforts

ysNM

σ = E.ε

N = E.As.εs

εs,0


Comportement réel

bay +=ε

'' bya +=ε


ε Effortsσ = E.ε


εsm


ε Effortsσ = E.ε

ysysysysNM NM N = E.As.εsm+ β.As.fctm/ρs

εsm


ε Efforts

ysNM

σ = E.ε

N = E.As.εs

εs,0


ε Efforts

ysysNM NM

σ = E.ε

N = E.As.εs

σ = E.ε

N = E.As.εs

εs,0


Comportement réel

bay +=ε

'' bya +=ε

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