jornadas de aplicações da matemática, isel, out. 98 analogia entre sinais e vectores isabel milho...

Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98

Analogia entre Sinais e Vectores

31

2

z 3

g 3

1

32

31 1+ a 32 2

Isabel Milho e Fernando SousaCCISEL, ISEL

DEEC, ISEL

16-10-1998 Analogia entre Sinais e Vectores

Introdução

Espaços Vectoriais (operações e relações)Espaços de Sinais (def. produto interno)Aplicações

Série de Fourier / Transformada de Fourier DCT em compressão de imagem Descritores de Fourier em imagem (contornos) Desenho de sistemas de comunicação digital ...


Espaços Vectoriais

Operações e relações produto interno, norma, ortogonalidade, teorema de Pitágoras, desigualdade de Schwarz’s, base ortonormada, procedimento de Gram-Schmidt

vu,

v

0, vu222

wvwv

wvwv ,

K

kkkv

1

31

2

z 3

g 3

1

32

31 1+ a 32 2


Espaços de Sinais

Produto Interno medida de semelhança entre 2 sinais

Norma (Energia ou Potência): ou

dttwtvwv )()(, *

2

2

* )()(1

lim,T

TT

dttwtvT

wv

Sinais de Energia

Sinais de Potência

vEv 2

vPv 2


Série de Fourier

Base ortonormada de sinais sinais de potência periódicos em T0

0

2

)( T

tkj

kkk

kk etv

0

0

2

0

)(1

,T

T

tkj

kk dtetvT

v

|V ( nf 0 )| = | k |

ff0

arg [ V ( nf 0 )] = arg [ k]

f-180º

180º

Coeficientes da Série de Fourier


Transformada de Fourier

Sinais de energia

dfefVdfffVtv tfj

2)()()()(

dtetvfvfV tfj 2)()(,)(

|V ( f )|

ff0

arg [ V ( f )]

f-180º

180º

Transformada de Fourier


Transformadas DiscretasDFT e DCT

Transformadas discretas de sinais 1D e 2D Representação do sinal original - base de

funções/imagens Filtragem, compressão de dados, extracção de

características e outras aplicações

DFT e DCT (Discrete Fourier/Cosine Transform) Implementação em O(Nlog2N) operações com o

algoritmo FFT (Fast Fourier Transform)


DFT-Discrete Fourier Transform

1,...,1,0,)(1

)(1

0

NnWkvN

nuN

k

knN

1,...,1,0,)()(1

0

NkWnukv knN

N

n

N

j

N eW2

DFT

IDFT

com


DCT-Discrete Cosine Transform

1,...,1,0,2

)12(cos)()()(

1

0

NnN

knkvknu

N

k

1,...,1,0,2

)12(cos)()()(

1

0

NkN

knnukkv

N

n

1,...,2,1,2

)(,1

)0( NkcomN

kN

DCT

IDCT

com


0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

0 50 100 150 2000

10

20

30

40

50

60

70

80

Linha de uma imagem digital com 256 níveis de cinzento

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Linha da imagem digital

DFT DCT


FFT2shift da Imagem Original

50 100 150 200 250 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

2

4

6

8

10

Compressão de imagem usando a DCT

DCT2 da Imagem Original

50 100 150 200 250 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

FFT2 da Imagem Original

50 100 150 200 250 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

2

4

6

8

10


Compressão de imagem usando a DCT (cont.)

original

final

T

T1compressão deTaxa

Imagem Original Taxa de compressão = 75% Taxa de compressão = 93,75%


Representação de contornos com Descritores de Fourier

Representação do contorno definido pelos pontos (x,y) tal que:

10,)(1

)(21

0

NnekaN

nu N

nkjN

k

10,)()(21

0

Nkenuka N

nkjN

n

1,...,1,0),(j)()( Nnnynxnu

y

x

Descritores de Fourier - FD (Fourier Descriptors)


Representação de contornos com Descritores de Fourier (cont.)

0 5 10 15 20 25 30-50

0

50

100

150

200

250

300

0 5 10 15 20 25 30-50

0

50

100

150

200

250

Contornooriginal

Reconstrução com apenas 9 FD'sReconstrução com os FD’s quantizados em 25 níveis

FD’s (Parte Real)

FD’s (Parte Imaginária)


Desenho de Sistemas de Comunicação Digital

s iCodificador

Codificadorde Linha

Detector Descodificadorm i

w (t) ruído branco gaussiano

s i(t) x mFonte

Transmissor Receptor

x (t)

2

1

x

xx

M={m1, m2, m3, m4}

2

1

i

i

s

sis

2

1

)()(j

jiji tsts base ortonormada


Detector óptimo

1(t)

x 1T

dt0

N (t)

xNT

dt0

2(t)

x2T

dt0x (t)

...

Detector Descodificador


s i(t) x m

Receptor

x (t)

Banco de Correladores

Nx

x

x

2

1

x


ksx, Produto interno-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Descodificador óptimo

erros=[2 1 3 2]media(erros)=2percentagem=2%

Detector Descodificador


s i(t) x m

Receptor

x (t)

Regra de decisão óptima:

ikmP

mm

kk

i

para )|(max

seˆ

x

ikEsx

mm

k

N

jkjj

k

i

para 2

1max

seˆ

1

2min k

ksx


Outras aplicações

Desenho do filtro óptimo para detecção de pulsos na presença de ruído

Interpretação dos valores de um sinal amostrado, como coordenadas da projecção do sinal sobre uma base ortonormada de funções sinc

Funções de correlação - sua interpretação como funções de produtos internos (deslizantes).

…


Conclusões

Ferramenta “Analogia entre Sinais e Vectores” simples (operações e relações vectoriais) facilita a compreensão de algumas operações em

processamento de sinais reduz a complexidade do problema

Aplicações: filtragem, compressão de dados, extracção de características, desenho de sistemas comunicação digital e outras.

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