i NDEKLER NDEKLER .................................................................................................................... i BLM I .......................................................................................................................................................1GR .............................................................................................................................................................. 11.1 Sinyal ................................................................................................................................................11.2 Sinyal Parametreleri .....................................................................................................................41.3 Problemler .......................................................................................................................................6 BLM II .....................................................................................................................................................72. FOURIER DNM ................................................................................................................... 72.1 Giri ...................................................................................................................................................72.1.1 Spektrum Kavram ..............................................................................................................9 2.2 Fourier Dnm ..................................................................................................................... 102.2.1 Fourier Kuram .................................................................................................................. 112.2.2Fourier Serileri ................................................................................................................. 122.2.3Tek ve ift Fonksiyonlarn Fourier Serileri ............................................................ 142.3 Fourier Serilerinin Karmak (complex) ekli .................................................................. 152.4 Fourier Integrali ve Fourier Dnm .............................................................................. 172.5 Fourier Serisine Alm rnek Problemler ........................................................................ 272.6 Fourier Dnm rnek zmleri .................................................................................. 342.7 Fourier Dnmnn zellikleri ........................................................................................ 362.7.1 Dorusallk ve Toplama zellii ................................................................................. 362.7.2 Bakmllk zellii ........................................................................................................ 372.7.3 Zaman Kaymas zellii ................................................................................................ 372.7.4 Frekans Kaymas zellii .............................................................................................. 382.7.5 Zaman leklenmesi zellii .......................................................................................392.7.6 Frekans leklenmesi zellii ..................................................................................... 392.7.7 Fourier iftinin Ortak Bant zellii ................................................................. 402.7.8 Zaman ve Fourier Trevleri zellikleri ..................................................................... 41 ii2.7.9 Zaman ve Frekans ntegralleri zellii ......................................................................422.7.10 Elenik zellii ...............................................................................................................422.7.11 Evriim (Konvolsyon) zellii ................................................................................422.7.12 liki (Korelasyon) zellii .........................................................................................432.7.13 ift fonksiyonlar (Even Functions) .......................................................................... 442.7.14 Tek fonksiyonlar (Odd Functions) ............................................................................ 452.7.15 Dalga ekli Ayrm (Waveform Decomposition) ............................................... 462.8 Fourier Spektrumu ..................................................................................................................... 482.8.1 Ayrk Veriler ...................................................................................................................... 492.8.2 ok Boyutlu Fourier Dnm ve Fourier Spektrumu .......................................50 BLM III ........................................................................................................................ 683. SPEKTRUM HESAPLAMALARINDA N LEMLER VE PENCERELER ............................................................................................................................683.1 Spektrum Hesaplamalarnda n lemler ........................................................................... 683.1.1 Frekans katlanmas (Aliasing) ...................................................................................... 703.1.2 Ynseme (trend) Giderilmesi ........................................................................................ 713.2 Pencereler ..................................................................................................................................... 723.2.1 Sonlu Uzunluklu Veriler ve Dikdrtgen Pencere ....................................................723.2.2 gen Pencere (Bartlett Penceresi) ............................................................................. 773.2.3 Genelletirilmi Kosins Pencereleri .......................................................................... 783.2.4 ki Terimli Kosins Pencereleri ................................................................................... 793.2.5 Hann (Hanning) Penceresi ............................................................................................. 793.2.6 Hamming Penceresi ......................................................................................................... 803.2.7 terimli Kosins Pencereleri ..................................................................................... 803.2.8 Blackman Penceresi ......................................................................................................... 803.2.9 Blackman-Harris Penceresi ........................................................................................... 813.2.10 Gekinli-Yavuz Penceresi ........................................................................................... 813.2.11 Drt Terimli Pencereler ................................................................................................ 833.2.12 Dier Sk Kullanlan Pencereler ................................................................................ 843.2.12.1 Perzen Penceresi ................................................................................................. 843.2.11.2 Dolph-Chebyshev Penceresi ........................................................................... 843.3 Pencere Uygulamalar ...............................................................................................................85 iii BLM IV .................................................................................................................................................894. HANKEL (FOURIER-BESSEL) DNM .................................................................... 89 BLM V .................................................................................................................................................. 925. LAPLACE DNM ................................................................................................................ 92 BLM VI .............................................................................................................................................. 1046. Z- DNM ............................................................................................................................... 104 BLM VII ............................................................................................................................................ 1137. HILBERT DNM .............................................................................................................. 113 BLM VIII .......................................................................................................................................... 1198. ZAMAN - ORTAMI LEMLER ............................................................................................. 1198.1 apraz-Korelasyon (Kart liki) (Cross-Correlation) ............................................... 1208.2 Otokorelasyon (ziliki) (Autocorelation) ...................................................................... 1238.3 Konvolsyon (Evriim, Katlamal arpm)(Convolution) ......................................... 1258.3.1 Saysal Toplama Yntemi ........................................................................................... 1268.3.2 Katlanma Yntemi ......................................................................................................... 1268.3.3 Z-Dnm Yntemi .................................................................................................. 1278.3.4 Matris Notasyonu Yntemi ......................................................................................... 1278.4 Dekonvolsyon (Ters Evriim) ........................................................................................... 1288.4.1 Temel Kavram ................................................................................................................ 128 BLM I GR 1.1 Sinyal Birsistemindurumvedavranbilgilerinitayan,birveyadahafazladeikenile tanmlananbirfonksiyonolupveriilemdedalgaolarakadlandrlr.Birdalga,genlii, dalga boyu (veya peryodu) ve faz ile tanmlanr (ekil 1.1). T veya y(t) veya y(x)t veya x2aaaekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya dalga boyu) rnek:Merkezietrafndasabitbirhzladnenryaraplbirdiskinkenarndakiitme kolunabalanmbirkalem,birmesnetierisindeaayukarhareketedebilsin.Kalem, bumesnetinaltndasabithzlahareketedenkatzerinebirsinsdalgasizer(ekil 1.2a). Businsdalgasnn;genlii(a)diskinyarapnaeittirveperyoduisediskindnme hznnbirfonksiyonudur.Businsdalgasna,yukardaanlatlanmekaniksistemin davranbilgisiniverenbirsinyalgzilebaklabilir.Bylebirsinyalinherhangibir pozisyondaki genlik deeri sin a y =(1.1)5yaeittir.Budzenekte,tambirdalgaeklininizilmesiiindisk360(veya 2 radyan)lktambirdeviryapmaldr.Kalem,katzerindeherhangibirkonuma getirilereksistemhareketegeirilsin.Sinsdalgasnnbuandakifazas;kalemin balanganndakikonumunudiskmerkezinebirletirendorununyataylayaptaya edeerdir.(ekil1.2bde as).Fazasnndeiimine,dierbirdeyilekalemin konumuna, gre sinyalin ekli (ekil 1.3)de grlmektedir. Mekaniksistemebalkaleminkatzerindekiherhangibirxuzaklndanitibaren kayda baland ve daha sonra hareketin durdurulduu kabul edilsin. O andaki genlik + = Tta a2sin+ = xa a2sin(1.2) -a--b- ekil 1.2 Dorusal dnme hareketini bir sins dalgasna dntren mekanik sistem, a)Diskinyarapveherhangibirkonumununyatayileyaptasnn,sinsdalgasnn genlik ve faz as arasndaki iliki,b)Disktambirdeviryaptndaann0dan2 radyanakadardeitiigrlmektedir (Davis, 1973). olacaktr. (1.1) bants gz nne alnacak olursa, faz as + = Tt 2 + = x 2(1.3) olarak hesaplanr. Burada dikkat edilmesi gereken en nemli konu balang noktasnda bir sabitolan = fazasnndahasonrakibtngenlikvefazhesaplamalarndasabit olarakgrlmesidir. sabiti;faz,fazas(balangfaz)veyafazsabitiolarakbilinir. 6Ayrcabirsinsdalgasnnfazasnnyataymerkezizgisindenlldnedikkat edilmelidir. ekil1.3Balangdeeri danfazasnndeiimi.Herhangibirxiuzaklktakigenlikdeeri ( ) + = / sin .ix a a 2ve( ) + = /ix 2 Fazvefazfarkkavramnndahaiyianlalmasiineitperyodluikidalgakaynann aynandadalgaretmeyebaladnvarsayalm.Oluandalgalaraynandamaksimum deereulayorisebuikikaynanmaksimumfazdaolduusylenir.Eerkaynaklardan birisit sre gecikme ile dalga retiyor ise bu kaynan oluturduu dalgalar, maksimuma dierkaynandalgalarnagre, t sregecikmeileularlar.BugecikmeTperyodunun kesri olarak ifade edilirse Ttp=xp= 7 ekil1.4Diskdnmesinebalolaraksinsvekosinsdalgalararasndakiiliki.Sinsvekosins dalgalarnnfazalarsrasile ve ,Kayt; = 0balayp2 dendahabykdeerleredoru devam edildiini gstermektedir. olurvepyefazfarkdenir.Bupdeeri1 0 p bantsnsalar.p=0veyap=1iseiki kaynak ayn fazda alyor p=1/2 ise iki kaynak zt fazda alyor denir. Sins dalga eklinin tanmna benzer ekilde, bir kosins dalgas diskin orijinindeki dey izgidenitibarenllen fazasnasahipbirdalgaolaraktanmlanabilir.Bu,yani kosinsdalgas,sinsdalgasnn900(veya radyan)tesindebirfazasahiptir.Yani aralarnda900likbirfazfarkvardr.ekil1.2dekisinyalretecinebirbakakalem balanrsa(ekil1.4)hemsinshemdekosinsdalgasaynandaretilebilir.Buiki dalganngenlikvedalgaboylaraynolacanagrebirbirlerindenancakfazasile ayrlabilirler. 1.2 Sinyal Parametreleri Bir sinyalde; genlik, peryod (veya dalga boyu) ve faz as parametrelerinin tam bir dalgaeklitanmlar(ekil1.1).BuradaTperyod(veya dalgaboyu)olup;birbirini izleyen edeer genlikli iki nokta arasndaki zaman fark veya bir sinyalde ard arda gelen iki tepe noktas arasndaki uzaklk olarak tanmlanr. Peryodun tersi frekans veya zamansalfrekans(ft) ve dalga boyunun tersi ise uzaysal frekans (fx) ft = 1/T fx = 1/ (1.4)olupbirimzamanveyauzaklktakitamdalgaekillerininsaysdr.Zamanbirimisaniye olarak alnrsa ft=fin birimi s-1 (yani Hertz) uzakln birimi metre alnrsa fxin birimi m-1dir. Sinyalin kendi kendisini dzenli olarak tam bir tekrarlamas iin gereksindii zamana 8sinyalinperyodudenir.Periyodterimidalgaboyunaedeerdir.Fakatdalgaboyunun uzaklk(metregibi)birimiylellmesinekarlk,periyodzamanbirimiyle(saniyegibi) llr. Dzenli aralklarla tekrarlanan sinyallere periyodik sinyaller denir. Dalgannilerlemedorultusundakihz(izgiselhz)vise tvft = ,vT = dnmleri yaplabilir. Birdalgaeklininenukurundanentepesinekadarolanyksekliinyarsnagenlik (amplitd)denir.Birbirindenfarkldalgaekillerioluturmakiingenlikvedalgaboyu veyafazasdeitirilmelidir.(1.4)bants(1.2)deyerinekonularakyazlrsa herhangibir x uzaklndaki genlik;( ) + = kx a a 2 sin (1.5)olur.Olayzamanabalolarakdeiiyorise(1.4)ileverilenk=1/ denklemindedalga boyu yerine T peryodu gelecek ve frekans f=1/T olacak ve (1.2) bantsnda x yerine t gelecektir. Buna gre yukardaki denklem zamana bal olarak; ( ) + tf 2 sin a a = (1.6)olacaktr. Fazdaki gecikme zamanda kaymaya neden olacaktr. Bu da f t 2 / = bants ile verilip negatif ise t=0a gre sada, pozitif ise solda olur. ekil 1.5de genlik vedalgaboylaraynolanvebiridierinegrebirazkaymzdeikisinsdalgas grlmektedir. y(t)tyyt12C ekil 1.5 Genlik ve dalga boylar ayn olan zde iki sins dalgas. Iki dalga arasnda sadece faz fark vardr. 9Genlikvedalgaboylarnnaynolmasnaramentzamanndakiikisinyaliny1vey2 genlikleri birbirinden farkldr. Bu fark tamamen iki dalga ekli arasndaki akla karlk gelir.Buaklkise,herikisinyalinfazalararasndakifarkaedeerolupikisinyal arasndaki faz fark olarak adlandrlrlar. Dnen cisimler iin olay ele alnacak olursa frekans asnn fonksiyonu olarak da tanmlanabilir. Buna gre, T2f 2= = olarak tanmlanr ve birim zamanda taranan adr. Benzer durum uzaklk boyutu iin de geerlidir. ya asal (veya dairesel) frekans denir. = =2f 2 kx Burada da birim uzaklkta taranan a ifade edilmektedir. Burada k dalga says olarak adlandrlr. k ve arasndakv = ilikisi vardr. NicelikBirimi HzUzaklk/Zaman Tfkv= = =PeryodZaman v fT= = =1 2 Asal frekansZaman-1 kv fT= = = 22 Frekans (izgisel)Zaman-1 vTf = = =12 Dalga boyuUzaklk vTfvk= = =2 Dalga saysUzaklk-1 vfvk 2 2= = = 101.3 Problemler 1.PeryodlarT1=T2=200msolanikisinyalarasndat=16.6mslikbirzamanfark llmtr. Bu iki sinyal arasndaki faz farkn bulunuz. (zm iin Ttp=eitliinden yararlannz) 2.Frekans 10 Hz olan bir sinyalin t=0.08 sn. deki faz asn bulunuz. (zmiin + = Tt 2eitliindenyararlannz.Buradabalangfaznn verilmediine dikkat ediniz) 3.PeryoduT1=50msveT2=20msolanikisinyalarasndat=122msdekifazfarkn bulunuz. 4.Dalga boyu 30 m olan bir sinyalin x=65 m deki fazn hesaplaynz. (zmiin + = x 2eitliindenyararlannz.Buradabalangfaznn verilmediine dikkat ediniz) 5.Dalga boyu 30 m olan bir sinyalin x=65 m deki fazn hesaplaynz. (zmiin + = x 2eitliindenyararlannz.Buradabalangfaznn verilmediine dikkat ediniz) Dalgaboylar1=2=200molanikisinyalarasndax=34mlikbiruzaklkfark llmtr. Bu iki sinyal arasndaki faz farkn bulunuz. (zm iin xp=eitliinden yararlannz) 6.Balang faz 0o, 30o, 40o, 60o genikleri 2 cm ve frekanslar 0.1 Hz olan sins dalgalar iziniz. BLM II 2. FOURIER DNM 2.1 Giri Yerkremizdegzlenenjeofizikolaylarzamanayadauzaklabalolarakgeliir. Gzlenenjeofizikolayzamannbirfonksiyonuisezamanortam(TimeDomain), uzunluunbirfonksiyonuiseuzaklkortam(SpaceDomain)szkonusudur.ayetolay frekansabalolarakgzlenmi,yanifrekansnbirfonksiyonuisefrekansortam (Frequency Domain)ndan sz edilir. Herhangi bir ortamda kaydedilmi jeofizik sinyaldeki bilgilerin tamamn bu ortamda ak seikgrp,ileyipsonulardeerlendirmekkolayhattaolanaklolmayabilir.Bugibi durumlardaverigzlendiiortamdanbakabirortamaaktarlarakincelenipirdelendikten sonra bir sonuca varlr. Gerekir ise ikinci bir aktarma ile verinin gzlendii ilk ortama geri dnlebilir.rnein;zamanortamndakaydedilmibirsismiksinyalfrekansortamna aktarlarakistenmeyenbileenleriayklandktansonratekrarzamanortamnageri dnlebilir.Frekansortamndayaplanbuayklamailemizamanortamndayaplmak istenseydibirtakmsorunlarlakarlalabilinirdi.Bunungibi,herhangibirortamda gzlenmi bir sinyalin baka bir ortama aktarlmasna dnm ve aktarma tekniklerine de dnmyntemleridenir.Fourier,Laplace,Hankel,Hilbert,Zdnmgibieitli dnm yntemleri gelitirilmitir. ortamvednmkavramlarnndahaiyianlalmasiinfrekanszmlemesi yapankprizmasnngzdengeirilmesidahayararlolacaktr(ekil2.1).Beyazn optikprizmayaverildiitarafaA,farklfrekanstayediayrrenkeklindekibileenlerinin elde edildii tarafa da B diyelim. Tersine, prizmann B tarafndan bu yedi renk verilirse A tarafndan beyaz k elde edileceini biliyoruz. Burada gerek A blgesi gerekse B blgesi ayn bilgiyi tanmlamakta ancak olaya bak as farkldr. 8Yukardakirnekte,sadecebeyaznincelenmesi,kaynakhakkndahibirbilgi vermeyebilir.Bunakarlkprizmadangeirilipayrtrlarakfarklfrekanstakibileenleri dierbirdeyilespektrumueldeedilirse,bileenlerinindalgaboyuveyafrekanslar, miktarlar ve birbirlerine oranlar incelenerek beyaz veren kaynan bileimi, ss ve onumeydanagetirenmalzemeninyapshakkndaokayrntlbilgilereldeedilebilir. Bunungibi,zamanserilerininzamanveyagspektrumlarnnincelenmesionunyaps veyaorijinihakndanemlibilgilerverebilir.Dieryollarlabubilgilerinsalanmas olanakl olmayabilir. ekil 2.1Beyaz n optik spektrumu Logaritmailemiaslndabirdmilemindenbakabireydeildir.rnein,arpma ileminiyapmakiinarpanlarnceLogortamnadntrlr.Hesaplamalarbu ortamdayaplr(Bilindiigibi,arpmailemiLogortamndatoplamaileminednr). Daha sonra ters dnm ilemi (Anti Logaritmik Ortam) ile orijinal ortama dnlr (ekil 2.2). Orjinal Ortamr- Ortamf(r)'yiieren ortamr- OrtamndaProbleminzmUygunDnmlemiTersDnmlemiFonksiyonF(s) olur.s- Ortamndazmmaj Orams- Ortam ekil 2.2Logaritmik dnm ak emas 9rnein; (3 )65618 Log 33.8169700388 Dnm yntemleri veri ilemciye byk kolaylklar salar. Dnm ileminde; verinin zelliklerideitirilmedenzamanortamndanfrekansortamnaveyauzaklkortamndan dalgasaysortamgibibakabirortamageilmektedir.Iyibirdnmynteminingeri dnm de olmaldr (ekil 2.3). rnein; zaman ortamndan frekans ortamna geilmi ise, frekans ortamndan tekrar zaman ortamna dnlebilmelidir. X ORTAMI Y ORTAMI ekil 2.3Iyi bir dnm yntemi ift ynl olmaldr. 2.1.1 Spektrum Kavram Zaman ortamnda gzlenmi verilerin frekans ortamna aktarlmas ile elde edilen verilere spektrumadverilir.Zamanortamndakienerjiveyagenlikgibibyklklerinfrekans ortamnda,frekansveyadalgasaysgibiparametreleregredeiiminibelirtmekiin kullanlr.Matematikolarak,f(t)eklindegsterilenbirsinyalinspektrumuF( )ile verilir.Buradaki asalfrekanstr.SpektrumuifadeedenF( )fonksiyonukarmak (complex) olup aadaki iki ekilden birisi ile gsterilebilir (Al Sadi, 1980, s. 107). 1) Gerel ve sanal ksmlarn toplam olarak ) ( ) ( ) ( ib a F = 2) Gerel ve sanal ksmlarn arpm eklinde ( )( ) ie F F . ) ( = Burada; ( ) ( ) ( ) | |2 12 2/ b a F + =( )( )( ) nab21+=tan n = 0, 1, 2, ... olup( ) F modl genlik, ( ) argman ise faz spektrumu olarak adlandrlr. 102.2 Fourier Dnm Fourier dnm; bir takm sinsoidal fonksiyonlarn toplamndan olutuu dnlen bir f(t) fonksiyonunu bileenlerine ayrp her bileenin genliinin bulunmas esasna dayanr. Dahancedeinildiigibi,Fourierdnmzamanortamndan(timedomain)frekans ortamna(frequencydomain)geiisalayantersinirbiraratr.ekil2.1debeyazk yerinesismiksinyalikoyaraktarafyerineiseortamdeyimlerikullanlarakdnm kavramna doru bir gei salanabilir (ekil 2.4). ZAMAN ekil 2.4 Frekans analizi yapan optik prizma; zaman (veya zel) ortamndaki beyaz , frekans ortamnda renk spektrumuna dntrr. Zamanortamndakibirolaynfrekansortamndakigsterimineonunspektrumudenir. Zamanortamndakibirdizigenlikdeeriileanlatlanbilgininfrekansortamndaki gsterimi,genlikvefazspektrumuileolur.Genliklerinfrekansnfonksiyonuolarak gsteriliinegenlikspektrumuveyinefazalarnnfrekansnfonksiyonuolarak gsteriliineisefazspektrumudenir.Genliklerinkarelerininfrekansnfonksiyonu olarakgsteriliinegyounluuspektrumudenirvezamandizisininziliki fonksiyonunun Fourier dnmne edeerdir. Fourier dnm tamamyle dorusal bir ilemdir. Yani, ortamlardan birinde (zaman veya frekans)yaplanbirilemindierortamdamutlakabirkarlvardr.Bilgininheriki ortamdakianlatmlareitkesinliktedir.Ancakbazilemleringerekletirilmesi ortamlardan (domain) birinde dierine gre daha kolay olabilir. 11ok geni bir uygulama alannn oluu ve eitli konulardaki bir ok problemin zmnde kullanlmaktaolmasnedeniyleFourierdnmzerindeoldukaayrntlbiimde durulacaktr.Budnm,genlikvefazdeerlerigibiikinemlifizikselbyklkten oluup karmak bir say ile ifade edilir. 2.2.1 Fourier Kuram FranszmatematikisiJosephFourierin1807deortayakoyduuvekendiadylabilinen Fourier kuramna gre, baz kuullar salayan herhangi bir f(t) fonksiyonu sonsuz sayda trigonometrikfonksiyonlarntoplamolarakgsterilebilir(ekil2.5).Fourierkurambaz kuullardageerlidir.Drichletkuullarolarakbilinenbukstlamalaraada zetlenmitir (Drichlet 1829). 1-f(t) fonksiyonu peryodiktir. Yani f(t) = f(t+nT) olup buradaki T peryod ven = 0, 1, 2,...dir.f(t)fonksiyonuperyodikdeilfakatsnrlbiraralktatanmlanmise, sonsuzsaydakisinsoidaldeiimlerintoplambelirlenenaralktayinef(t)ye yaklamaldr. Bu araln dnda, toplam f(t)nin tekrarlarn gsterecektir. ekil 2.5Herhangi bir fonksiyon belirli artlarda sonsuz sayda sinsoidin toplam toplam eklinde gsterilebilir. 122-f(t) fonksiyonusrekli,enazndan belirli aralklarda srekli olmal ve sreksizliklerin says snrl olmaldr. 3-f(t) fonksiyonunun bir peryod iindeki maksimum ve minimum says sonlu olmaldr. 4-f(t) fonksiyonu bir peryod aralnda sonlu yani, ( ) < =sonlu dt t fTT22// integralini yaknsamaldr. Fourierserisinealacakbirf(t)fonksiyonununbuartlarnhepsinidesalamasart deildir.Bunedenle,Fourieranalizipekokfonksiyonauygulanabilir.Zirauygulamada karlalan fonksiyonlarn pek ou yukardaki kuullardan en az birini salar. 2.2.2Fourier Serileri FourierkuramnagreDrichletkoullarnsalayanbirf(t)fonksiyonuaadakigibi sonsuzsaydasinsvekosinsterimlerinintoplamndanoluantrigonometrikbirseriile gsterilebilir. L + + + + = t a t a t a a t f 3 cos 2 cos cos21) (3 2 1 0 L L + + + + t b t b t b 3 sin 2 sin sin3 2 1 ( ) ft a a n t b n tn nn( ) cos sin = + +=1201 (2.1) Bu seriye Fourier serisi denir. Burada n indisi harmonik,a an 0,vebn bu harmoniklereait Fourierkatsaylarolup = 2/ asalfrekanstr. Verilenbirf(t)fonksiyonununFourier serisine almna harmonik analiz denir. Yukarda verilen denklem (2.1) ( ) ftac n tnnn( ) cos = + +=0102 eklindedeyazlabilir.Burada( ) c n tncos 0 0+ genelteriminef(t)fonksiyonununn.ci harmonik fonksiyonu denir. Burada, harmonik genlii; ( )212 2n n nb a c + = 13ven faz as ( )n n na b / tan =1olarak ifade edilir. Fourier katsaylarn bulmak iin (2.1) denkleminin her iki taraf sras ile 1,t m0 cosve t m0 sinile arplp sins ve kosins fonksiyonlarnn, ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin cos cos/mt nt dt mt nt dtTTTTT = =

22222m= n0m n ve ( ) ( ) sin cos mt nt dtTT=220Btn m ve n deerleri iin ortogonalite (diklik) zellii gz nne alnarak tam bir peryod aralnda integre edilirse a an 0,vebn dt t fTaTT=2202) (( )dt t n t fTaTTn 0222 cos ) (=( )=2202 TTndt t n t fTb sin ) ((2.2) Fourier katsaylar bulunur. Buradaki m ve n tamsaylardr. Grld gibia0/2 katsays f(t) fonksiyonunun aritmetik ortalamasdr. PeryodikbirfonksiyonunFourierserisiilegsterilmesi,bufonksiyonundeiik frekanslardakisinzoidlerintoplamolarakgstermektir. ( ) nn =0 frekansndaki sinoidalbileene,seriyealanfonksiyonunninciharmoniidenilir.Ilkharmoniin frekans 0 022fT = = cps (devir/saniye) veya Hz (Hertz) oluptemelasalfrekansdenir.Tperyoduisefonksiyonunperyodunaeittirvetemel peryod olarak adlandrlr. 14Denklem(2.1)ileverilenFourierserileri,sonsuzsaydaterimalndzaman,yanine birden sonsuza kadar deerler verildiinde, ancak f(t) fonksiyonu tam olarak gsterilebilir. Sonlusaydaterimalnrsabulunantoplam,f(t)ninbirsreksizlikcivarndaki deerlerinden byk deerler gsterir. Bu deerler, genlii sreksizlikten uzaklatka f(t)KatlanmaGenliiFourier Serisininlk 3 TerimininToplamFourier Serisininlk 9 TerimininToplamt ekil2.6TestereazfonksiyonununFourierserisinealmndasonlusaydateriminalnmasGIBSS olayn dourur (Al Sadi, 1980) azalan salnmlar gsterir. Terim saysnn arttrlmas sreksizlikteki hatann bykln azaltmazfakatf(t)ninsrekliksmlariindahaiyibiryaklamsalar.Buekilde, hatalarn salnmlar gstermesine gibss olay denir (ekil 2.6). 2.2.3Tek ve ift Fonksiyonlarn Fourier Serileri Fourier serisine alacak olan f(t) fonksiyonunun ift yani, f(-t) = f(t) veya =22222TTTTdt t f dt t f ) ( . ) (olmas halinde byle bir fonksiyonu Fourier serisi; =+ =10 021nnt n a a t f cos ) ((2.3)olup btn n deerleriiin bn =0 dr. 15ayet seriye alacak fonksiyon tek yani f(-t) = -f(t) veya =220TTdt t f ) (ise byle bir fonksiyonun Fourier serisi ==10nnt n b t f sin ) ((2.4)olup btn n deerleri iin an = 0 ve a0 = 0dr. iftfonksiyonlarnFourierserisinealmndayalnzcakosinslterimlerolduundan denklem(2.3)ileverilenalmakosinsserisidenilir.Tekfonksiyonlarnalmnda yalnzca sinsl terimler bulunduundan (2.4) almna sins serisi denilir. 2.3Fourier Serilerinin Karmak (complex) ekli Fourierserilerindetrigonometrikfonksiyonlaryerinekarmak(kompleks)ifadeler kullanlarakseriileilgilihesaplarbasitletirilebilir.Denklem(2.1)ileverilenseride trigonometrik ifadeler yerine Euler forml ile verilen( )20 00t in t ine et n += cos( )ie et nt in t in20 00 = sinstel karlklar konularak (2.1) denklemi aadaki = ((

+++ =102 2 20 0 0 0nt in t innt in t innie ebe eaat f ) (eklindeyazlabilir.Burada1/i=-ivei=(-1)1/2olduudikkatealnarakyenibir dzenleme ile yukardaki denklem ( ) ( )=((

+++ =10 0 02 2 2nt in n n t in n neib aeib a at f ) ( (2.5) eklinde yazlr. Burada 200aC =n0 iin ( )n n nib a c =21 16ve n0 iin( ) c a ibn n n = +12 konularak, ( ) | |=+ + =10 nt innt inne c e c c t f (2.6)karmak Fourier serisi elde edilir. Son olarak yukardaki (2.6) denklemi aadaki ekilde ( ) =+ + =110t innnt inne c e c c t f yazlarak, karmak Fourier serisi ==nt inne c t f) ((2.7)eklindeeldeedilir.Buifadeaadakiekildedeyazlabilir(birokyayndabuifade kullanlr). ( ) ( )=+ + =10 nn nt n c c t f cos(2.8)Buradacncos(nt+n)teriminef(t)fonksiyonununninciharmoniicnkatsaysna harmonik genlii ve nasna ise harmoniin faz as denir. dev: 2.7 veya edeeri olan 2.1 bantsndan 2.8 bantsna gei ilemini gsteriniz. cn ile an ve bn katsaylar arasndaki iliki aadaki ekilde elde edilir. (1.6) bantlarndann>0 iin 2n nnib ac=bu bantda an ve bn deerlerini koyarsak = dt nt t f i dt nt t f cn 21 21sin ) ( cos ) ( | |= 12ft nt i nt dt ( ) cos sinc ft e dtn =12( )int (2.9)ilikisi elde edilir. Benzer ekilde ( )= + = 2121dt e t f ib a cn n nint) ((2.10) 17bulunur. Her ikisini (2.9 ve 2.10) birlikte n=0,1, 2,........ tamsay olmak zere( )=dt e t f cnint21 (2.11)tek forml ile gsterebiliriz. Uygulamadagerekolaylargzlenipllr.Bubakmdan,jeofizikverilerinilenip problemlerinzmndekullanlanhesaplamalargerekbyklerleilgiliolduundan karmak olarak bulunan sonular gerek byklklere evrilmelidir. Eerf(t)birgerelfonksiyonise(2.6)denklemindec-nkatsays,cninkarmakelenii (complex conjugate) c*n = c-ndir. Bu durumda (2.7) denklemi n ninin n ne c e c c c = = = nc ve*(2.12)eklinde yazlr. Burada,| |2 12 221n n nb a c + = (2.13)) / ( tann n na b =1dir.Bubantlarn=0dndabtnndeerleriiindorudurcnkatsaysnaharmonik genliivenasnaiseharmonikfazasdenildiidahabelirtilmiti.Bucn Fourier katsaylarnn asal frekans ya kar grafik izimi f(t) fonksiyonunun genlik spektrumu veaynekilden fazalarnnizimineisefazspektrumunuadverelir.Bu spektrumlarn gerel (real) ve sanal (imaginer) bileenlerle ifadesi:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n m n n n n nn e n n n n nc I c c i c c i bc R c c i c c i ac a2220 0 = = == + = + ==** (2.14)olduudagznnealnarak(2.3)denklemindenkarlabilir.BuradaReveIm notasyonlar cn in gerel ve sanal ksmlarn belirtmektedir. 2.4 Fourier Integrali ve Fourier Dnm Buraya kadar olan incelemelerde f(t) fonksiyonu peryodik kabul edildi. Oysa uygulamada karlalanproblemlerdeoukezperyodikfonksiyonbulunmaz.Butrolaylarbirkez meydana gelir ve bir daha tekrarlanmaz. Peryodik olmayan bu tr fonksiyonlar iin Fourier serisikullanlmaz.BudurumdaincelenenTboyundakiverisonsuzdaperyodikmigibi dnlerekuygunbiralmeldeedilebilir.Butrproblemlerinzmyaniperyodik olmayan fonksiyonlarn Fourier serileriile gsterilebilmesini Fourier integrali salar. 18Hersonlu(-T/2,T/2)aralndaDirichletkoullarnsalamayanve(-,+)aralnda yaknsayanf(t) fonksiyonunun karmak (complex) Fourier serisinin, ==nt inne c t f0) (T20 =(2.7)ve yine dt e t fTct inTTn0221 =//) ((2.11)olduunu biliyoruz. Sonbantdageiciolarakt=xdeikendnmyapalmvecnindeeriniilk bantdaki yerineT=2/0 koyalm. =((

=nt inTTx ine dx e x fTt fo 0221 //) ( ) ((2.15)ve burada T yerine koyarak 022021 =((

=nt inTTx ine dx e x f t fo//) ( ) ((2.16)eklindeyazalm.Tolurkentemelfrekans0=2/Tsonsuzkkdeeralr.n=n0 srekli bir deikene dnr. Yani birbirini izleyen ardk iki frekans arasndaki fark Tnn2= Tnn) ( 1 21+=+ T TnTnn n 2 2 1 21= += = +) ( okkkolur.Budurumdann=n arpmsreklibirdeikenine yaklar. (2.16) bantsnda 0= alnrsa ((

= = t innx ine dx e x f t f ) ( ) (21 (2.17)olur. T sonsuz ve dya gittii limit durumunda nda ya giderek n0 harmonik frekanslarnagrehesaplanancnkatsaylarnnizimisreklilikkazanrve(2.17) bantsndaki toplam integrale dnr: ((

= d e dx e x f t ft in x in) ( ) (21 (2.18) 19Bu bantya peryodik olamayan fonksiyonlar iin Fourier integrali denir. Iteki integralde x yerine t koyarsak = dt e t f Ft i ) ( ) ( (2.19) = d e F t ft i) ( ) (21(2.20)olur.Busonikibantperyodikfonksiyonlariinolmayanzamanvefrekans(veya Fourier)ortamtanmlamalardr.(2.19)bantsf(t)fonksiyonununFourierdnm, (2.20)bantsdaF()nntersFourierdnmdr.F()vef(t)yeFourierifti denir. (2.18) bants ile verilen Fourier integralinin, geici verilerin Fourier ifti (2.19) ve 2.20) integrallerinin geerli olmas iin < = snrl2dt t f ) ( (2.21)olmaldr.Bukoulyeterliancakherzamangereklideildir.Fourierintegralininvarl iin Dirichlet koullarnn bazlarnn salanmas gerekir. Bunun dnda f(t)nin snrl bir aralkta sreksizliklerinin snrl olmas gibi uygulamada karlalan veriler iin her zaman salanan koul yeterli olmaktadr. F() karmak olduundan F a ib ( ) ( ) ( ) = = F ei( )( ) yazlabilir.BuradaF()karmak fonksiyonun modl, ei()ise argman dr. sanalgerelF( ) b( ) a( ) () ekil 2.7 Fourier spektrumunun bileenleri F a b ( ) ( ) ( ) = 2 2(2.22)( ) tan( )( )= |\

|.|1ba (2.23) 20F()yaf(t)ningenlikspektrumu,()yafazspektrumudenir.()yerinebazen-() kullanlr. Buna da faz-gecikme spektrumu denir. nemlitanmveirdelemeleryaplrkenkullanlanasalfrekansyerineuygulamadaf frekans kullanlr. Bu nedenle (2.19) ve (2.20) bantlarnda =2f ve d=2df deiimi yaplrsa = dt e t f f Fft i 2) ( ) ( (2.24) = df e f F t fft i 2) ( ) ( (2.25)biimleri elde edilir. F(f) karmak olduundan ) ( ) ( ) ( f ib f a f F =(2.26)

) () (f ie f F=(2.27)yazlabilir. a(f) ve b(f), F(f)in gerel ve sanal bileenleridir. f(t)nin genlik spektrumu ) ( ) ( ) ( f b f a f F2 2+ = (2.28)ve faz spektrumu ||.|

\| =) () (tan ) (f af bf1(2.29)bantlar ile verilir. FourierdnmndedikkatedilmesigerekenbirkonuF(f)ninbirimidir.(2.24) bantsndangrleceigibi,F(f)ninbirimif(t)verisininbirimiiletninbiriminin arpmna eittir. rnein, f(t)nin Volt((V), tnin ise saniye(s) olmas durumunda F(f)nin birimi (Vs) olacaktr. Eer (s) yerine (1/Hz) yazlacak olursa F(f)nin birimi (V/Hz) olarak verilebilir.Bubirimfrekansbanadengenlikyounluuolarakbilinirvezellikle F(f)genlikyounluuspektrumuolarakdaadlandrlr.F(f)ninfaznveren(2.29) bantsnda(f)birimsiz(yaniradyan)olmasnakarnyukardaaklananF(f)nin biiminearmyapmasiin(f)fazyounluuspektrumuolarakda adlandrlrmaktadr. 21f(t)gerelbirfonksiyonolduundaF(f)ningerelvesanalbileenleria(f)veb(f), srasyla, kosins ve sins dnmlerinden elde edilir. Ayrca a(f)=a(-(f)) yani a(f) bir ift fonksiyon, b(f)= -b(-f) yani b(f) bir tek fonksiyondur. Bunlar (2.24) bantsndaft i ft eft i 2 22sin cos =(2.30)konularak gsterilebilir: = dt e t f f Fft i 2) ( ) ( = ftdt t f i ftdt t f 2 2 sin ) ( cos ) () ( ) ( f ib f a =olur. Yani = ftdt t f f a 2 cos ) ( ) ( (2.31) = ftdt t f f b 2 sin ) ( ) ( (2.32) dir. Son iki bantda f yerine -f konulduunda ) ( cos ) ( ) cos( ) ( ) ( f a ftdt t f dt ft t f f a = = = 2 2 (2.33)) ( sin ) ( ) sin( ) ( ) ( f b fdt t f dt ft t f f b = = = 2 2 (2.34)olur. a(f)=a(-f) ve b(-f)= -b(f) olduundan) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f F f ib f a f ib f a f F= + = = (2.35)olur. Burada * simgesi karmak elenii gstermek iin kullanlmtr. (2.35) bants bir gerelfonksiyonunFourierdnmnneleniksimetrikolduunugsterir.Bununtersi dedorudur.YaniFourierdnmeleniksimetrigsterenbirgerelfonksiyondur. GerelfonksiyonlarngenlikyounluuspektrumuF(f)iftfonksiyon,fazyounluu spektrumu ise tek fonksiyondur. (2.27) bantsndan ) () ( ) (f ie f F f F =(2.36) ) () ( ) (f ie f F f F = (2.37)olur. f(t) gerel fonksiyonu iin F(-f)=F*(f) olduundan son iki bantdan ) ( ) () ( ) (f i f ie f F e f F = (2.38)olur. Mod ve faz bileenleri eitlendiinde 22( ) ( ) f F f F = ( ) ( ) f f = olur. FourierdnmileeldeedilenF(f)ninbiimif(t)fonksiyonununtekfonksiyonveya ift fonksiyon olmas durumuna gre zel biim alr. Her f(t) fonksiyonu( ) ( ) ( ) t f t f t fe 0+ =(2.39)( ) ( ) ( ) ( ) t f t f t fe + =21(2.40)( ) ( ) ( ) ( ) t f t f t f =210(4.41)biimindeiftfe(t)vetekfo(t)fonksiyonlarnntoplamolarakyazlabilir.(2.39) denklemininFourier dnm alnacak olursa F(f) ( ) ( ) ( ) f F f F f Fe 0+ =(2.42)biiminde,iftvetekfonksiyonlarnFourierdnmlerinintoplamolarakyazabiliriz. Burada ( ) ( ) dt e t f f Fft ie e 2 = (2.43)( ) ( ) dt e t f f Fft i 20 0 = (2.44)dir. (2.30) ile verilen Euler eitlii kullanlarak fe(t), f0(t) ve e-i2pft nin tye gre ( ) ft t f 2 2 cos cos = (2.45)( ) ft t f 2 2 sin sin = (2.46) ( ) ft i t f ie e 2 2= (2.47)biimindeki simetri zellikleri gznne alndnda (2.43) ve (2.44) denklemleri aadaki biimde yazlabilir.( ) ( ) ftdt t f f Fe e 2 20cos=(2.48)( ) ( ) ftdt t f f F 2 200 0sin=(2.49)Fourierdnmnntekveiftfonksiyonlarauygulandndaoluanbudenklemler kosinsvesinsdnmolarakbilinirler.Yukardakidenklemlerdenaka grlmektedirki,Fe(f)iftfonksiyon,F0(f)tekfonksiyondur.Peryodikverileriin 23gsterilenParsevalkuramFourierdizilerindenFourierdnmnegeerkenyapld gibi T , a = , n gei ilemleri yapldnda( ) ( ) df f F dt t f22 = (2.50)olur.Grldgibi,peryodikolmayanverininzamanvefrekansortamndakienerjileri eittir.Verininenerjisisnrlbyklkteolduundan,sonsuzaralktakiortalamaenerji veya g ok kk olur. Sonsuz sayda peryodik bileenlerin her birinin katks ok kk olmasgerekir.nksonsuzsaydaperyodikbileendenoluanperyodikolmayan fonksiyonuntoplamenerjisisnrldr.F(f)2yef(t)fonksiyonununenerjiyounluu spektrumudenir.F(f)2 ninenerjiyounluuolduuParsevaleitliikullanlarak aklanabilir.f(t)gerilimverisiolsun.Birdirencintkettiienerji(V2s)dirve(2.50) bantsnn sol tarafnda verilmitir. Ayn bantnn sa tarafnda frekans fye gre alnan integralinaynbirimivermesiiinF(f)2ninbiriminin(V2s/Hz)=(V2s2)olmasgerekir. YaniF(f)2 birimfrekanstakienerji,yanienerjiyounluudur.Gerekteyukarda deinildiigibi,birtekfrekanstakienerjisfrdr.Birokverigerilimeevrilip alglandndanF(f)2 yeenerjiyounluudenilmesiallagelmibiradlandrmadr. F(f)2 birim frekanstaki enerji younluu yani g olduundan, F(f)2 ye g spektrumu demek btn ortamlarda llen veriler iin geerli bir adlandrmadr. 24 Tablo 2.1Baz fonksiyonlarn Fourier dnmleri. FonksiyonFourier dnm a)Dikdrtgen =1 1 20 1 2, /, /tt sin( / )/ 22 2= sncb)Fourier entii sinsinatta at =wa 2|\

|.| c) ( ) cos t w t0sin(( ) / ) sin(( ) / )(sin sin )w ww ww ww ww wc w w+++=++00000 02 212 2 2 d)gen fonksiyon A tt t( ),,= >1 110, t sincw22 e) sgnt =1 , t > 0,-1 ,t < 0, iw2 f)Dirak delta fonksiyonu ( )( )tt dt= =0 ,1t 0,- 1 g)12 (w) h) u tt( ),= 1 00 ,, t < 0, ( ) w -i 1w i)cos w0 t ( ( ) ( )) w w w w + 0 0+j) sin w0ti((w+w0) - (w-w0) k)u(t) cos w0 t 20 002 2( ( ) ( )) w w w wiww w+ +l)u(t) sin w0 t iw w w www w 20 0002 2( ( ) ( )) + -m)|t| 22w n)u(t)e-at a iwa w+2 2 o)Laplace Fonksiyonu e-a|t| 22 2aa w + p)Gauss Fonksiyonu eat 2aew a 24 / 25 ekil 2.8 Tablo 2.1de verilen fonksiyonlar ve Fourier dnmleri 26 ekil 2.8 (Devam) Tablo 2.1de verilen fonksiyonlar ve Fourier dnmleri 272.5 Fourier Serisine Alm rnek Problemler rnek 1 ( )< < +