Komet i Sunce

Komet i Sunce

Komet i Sunce

Komet i Sunce

Komet i Sunce

Komet i Sunce

Komet i Sunce

Jednadžba tangente u točki hiperbole

Prisjetimo se …

• Kako glasi jednadžba hiperbole? 𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 - kanonski oblik

𝑥𝑥2

𝑎𝑎2− 𝑦𝑦2

𝑏𝑏2= 1 - segmentni oblik

• Kako glasi jednadžba pravca? 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑙𝑙 - eksplicitni 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0 - implicitni

𝑥𝑥𝑚𝑚

+ 𝑦𝑦𝑛𝑛

= 1 - segmentni

• Koliko zajedničkih točaka mogu imati hiperbola i pravac?

Što je tangenta?

Zadatak s mature Na slici je prikazana hiperbola i njezina točka 𝐴𝐴.

Izračunajte koordinate točke u kojoj tangenta na tu hiperbolu u točki 𝐴𝐴 siječe os 𝑥𝑥.

Pravac i hiperbola

Primjer 1.

Odredi za koje vrijednosti parametra 𝑙𝑙 pravac

𝑦𝑦 = 52𝑥𝑥 + 𝑙𝑙 i hiperbola 4𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = 36 imaju:

a) Dvije,

b) Jednu,

c) Niti jednu zajedničku točku.

Pravac i hiperbolaPrimjer 1. je trebalo riješiti ovako:

Uvrstimo 𝑦𝑦 = 52𝑥𝑥 + 𝑙𝑙 u jednadžbu hiperbole

4𝑥𝑥2 −52𝑥𝑥 + 𝑙𝑙

2

= 36

4𝑥𝑥2 −254𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥𝑙𝑙 − 𝑙𝑙2 = 36

Dobijemo kvadratnu jednadžbu

−94𝑥𝑥2 − 5𝑙𝑙𝑥𝑥 − 𝑙𝑙2 − 36 = 0

Računamo diskriminantu

−5𝑙𝑙 2 − 4 � −94

� −𝑙𝑙2 − 36 = 16𝑙𝑙2 − 324

Pravac i hiperbola

• Ako je 16𝑙𝑙2 − 324 = 0 ⇒ 𝑙𝑙 = 92

- pravac je tangenta hiperbole.

• Ako je 16𝑙𝑙2 − 324 > 0 ⇒ 𝑙𝑙 > 92

- pravac siječe hiperbolu u dvije točke.

• Ako je 16𝑙𝑙2 − 324 < 0 ⇒ 𝑙𝑙 < 92

- pravac i hiperbola nemaju zajedničkih točaka.

Tangenta u točki hiperbole

• Kako ćemo izračunati koliko zajedničkih točaka imaju pravac 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑙𝑙 i hiperbola 𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2?

• Riješimo sustav𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑙𝑙

𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2𝑦𝑦2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

• Uvrstimo 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑙𝑙 u jednadžbu hiperbole:

𝑏𝑏2𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎2(𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑙𝑙)2= 𝑎𝑎2𝑏𝑏2

• Kad to malo „sredimo” dobijemo kvadratnu jednadžbu

(𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑘𝑘2)𝑥𝑥2 − 2𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎2𝑙𝑙2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 0.

• Njena rješenja su

𝑥𝑥1,2 =𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑙𝑙 ± 𝑎𝑎2𝑏𝑏2(𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑘𝑘2+𝑙𝑙2)

𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑘𝑘2

𝒂𝒂𝟐𝟐𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒃𝒃𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒌𝒌𝟐𝟐 +𝒍𝒍𝟐𝟐 - diskriminanta

Dakle,𝑎𝑎2𝑏𝑏2 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑘𝑘2 +𝑙𝑙2 = 0,

𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑘𝑘2+𝑙𝑙2= 0.

Dobili smo uvjet tangencijalnosti

𝑘𝑘2𝑎𝑎2 −𝑏𝑏2=𝑙𝑙2. („kabl”)

Sad za 𝑥𝑥0 vrijedi

𝑥𝑥0 =𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑙𝑙

𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2𝑘𝑘2=𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑙𝑙−𝑙𝑙2

= −𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑙𝑙

,

pa je

𝑦𝑦0 = 𝑘𝑘𝑥𝑥0 + 𝑙𝑙 =−𝑘𝑘2𝑎𝑎2 + 𝑙𝑙2

𝑙𝑙= −

𝑏𝑏2

𝑙𝑙.

Diralište je u točki

𝐷𝐷 = 𝑥𝑥0,𝑦𝑦0 = −𝑎𝑎2𝑘𝑘𝑙𝑙

,−𝑏𝑏2

𝑙𝑙.

Uvjet tangencijalnosti i diralište

Jednadžba tangente u točki hiperbole

Ako je zadana točka 𝐷𝐷 = 𝑥𝑥0,𝑦𝑦0 na hiperboli, lako dobijemo

𝑙𝑙 = −𝑏𝑏2

𝑦𝑦0, 𝑘𝑘 =

−𝑥𝑥0𝑙𝑙𝑎𝑎2

=𝑥𝑥0𝑏𝑏2

𝑦𝑦0𝑎𝑎2, 𝑦𝑦0 ≠ 0

pa jednadžba tangente u toj točki glasi

𝑦𝑦 =𝑥𝑥0𝑏𝑏2

𝑦𝑦0𝑎𝑎2𝑥𝑥 −

𝑏𝑏2

𝑦𝑦0, 𝑦𝑦0 ≠ 0.

Što zbog lakšeg pamćenja pišemo

𝑥𝑥0𝑥𝑥𝑎𝑎2 −

𝑦𝑦0𝑦𝑦𝑏𝑏2 = 1.

Zadatci – izaberi i riješi Zadatak 1.

Da li su pravci 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 1 = 0 i 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 4 = 0tangente hiperbole 3𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = 3?

Zadatak 2.

Odredi jednadžbu tangente hiperbole

4𝑥𝑥2 − 5𝑦𝑦2 = 20 u točki dodira 𝐷𝐷 = (5,−4).

Zadatak 3.

Hiperbola prolazi točkom 𝐴𝐴 = (6,−1), a pravac 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 je asimptota hiperbole.

Odredi jednadžbu tangente povučene na hiperbolu u točki 𝐴𝐴.

Rješenje 1. zadatkaTrebalo je provjeriti da li pravci zadovoljavaju uvjet tangencijalnosti 𝑘𝑘2𝑎𝑎2−𝑏𝑏2= 𝑙𝑙2.2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 1 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥 + 1 ⇒ 𝑘𝑘1 = −2, 𝑙𝑙1 = 1.

3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 4 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 =32𝑥𝑥 − 2 ⇒ 𝑘𝑘2 =

32

, 𝑙𝑙2 = −2.

3𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = 3 �:3⇒ 𝑥𝑥2 −

𝑦𝑦2

3= 1 ⇒ 𝑎𝑎2 = 1, 𝑏𝑏2 = 3.

−2 2 � 1 − 3 = 1 32

2� 1 − 3 = −2 2

4 − 3 = 1 94− 3 = 4

1 = 1 34

= 4

Rješenje 2. zadatka

4𝑥𝑥2 − 5𝑦𝑦2 = 20 �:20

⇒𝑥𝑥2

5−𝑦𝑦2

4= 1

𝑎𝑎2 = 5, 𝑏𝑏2 = 4𝐷𝐷 = 5,−4 ⇒ x0 = 5, y0 = −4

Jednadžba tangente𝑥𝑥0𝑥𝑥𝑎𝑎2

−𝑦𝑦0𝑦𝑦𝑏𝑏2

= 1

5 � 𝑥𝑥5

−−4 � 𝑦𝑦

4= 1

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1

Rješenje 3. zadatkaAsimptota je 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = 1

2𝑥𝑥 ⇒ 𝑏𝑏

𝑎𝑎= 1

2⇒ 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏

Točka 𝐴𝐴 = (6,−1) je na hiperboli pa𝑏𝑏262 − 𝑎𝑎2 −1 2 = 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 ⇒ 36𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎2𝑏𝑏2 = 0

Uvrstimo 𝑎𝑎 = 2𝑏𝑏36𝑏𝑏2 − 2𝑏𝑏 2 − 2𝑏𝑏 2𝑏𝑏2 = 0

32𝑏𝑏2 − 4𝑏𝑏4 = 0𝑏𝑏2 = 8

pa 𝑎𝑎2 = 2𝑏𝑏 2 = 4𝑏𝑏2 = 32.

Još jednadžba tangente6 � 𝑥𝑥32

−−1 � 𝑦𝑦

8= 1 ⇒ 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 16 = 0

Rješenje zadatka s mature

𝑎𝑎 = 2 ⇒ 𝑎𝑎2 = 4 ⇒ ℎ…𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

𝑏𝑏2= 1

𝐴𝐴 ∈ ℎ ⇒62

4−

22

𝑏𝑏2= 1 ⇒ 9 −

4𝑏𝑏2

= 1 ��𝑏𝑏2

9𝑏𝑏2 − 4 = 𝑏𝑏2 ⇒ 8𝑏𝑏2 = 4 ⇒ 𝑏𝑏2 =12

ℎ…𝑥𝑥2

4−𝑦𝑦2

12

= 1

Rješenje zadatka s mature

𝐴𝐴 ∈ 𝑡𝑡 ⇒ 𝑡𝑡…6𝑥𝑥4−2𝑦𝑦12

= 1

𝑡𝑡…32𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 1,𝑦𝑦 = 0 ⇒

32𝑥𝑥 − 4 � 0 = 1

32𝑥𝑥 = 1 ⇒ 𝑥𝑥 = 2

3⇒ Rješenje: 2

3, 0

Usporedimo i upamtimo!

Elipsa Hiperbola

Jednadžba 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝒂𝒂𝟐𝟐+ 𝒚𝒚𝟐𝟐

𝒃𝒃𝟐𝟐= 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐

𝒂𝒂𝟐𝟐− 𝒚𝒚𝟐𝟐

𝒃𝒃𝟐𝟐= 𝟏𝟏

Uvjet tangencijalnosti 𝒌𝒌𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒃𝒃𝟐𝟐= 𝒍𝒍𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐𝒂𝒂𝟐𝟐−𝒃𝒃𝟐𝟐= 𝒍𝒍𝟐𝟐

Diralište 𝑫𝑫 = −𝒂𝒂𝟐𝟐𝒌𝒌𝒍𝒍

,𝒃𝒃𝟐𝟐

𝒍𝒍𝑫𝑫 = −

𝒂𝒂𝟐𝟐𝒌𝒌𝒍𝒍

,−𝒃𝒃𝟐𝟐

𝒍𝒍

Jednadžba tangente

𝒙𝒙𝟎𝟎𝒙𝒙𝒂𝒂𝟐𝟐

+𝒚𝒚𝟎𝟎𝒚𝒚𝒃𝒃𝟐𝟐

= 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟎𝟎𝒙𝒙𝒂𝒂𝟐𝟐

−𝒚𝒚𝟎𝟎𝒚𝒚𝒃𝒃𝟐𝟐

= 𝟏𝟏

Domaća zadaća 1. Nađi jednadžbu tangente u diralištu 𝑇𝑇 = (5, 8

3) na

hiperbolu 4𝑥𝑥2 – 9𝑦𝑦2 = 36.

2. Kako glasi jednadžba tangente hiperbole 4𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = 36 okomita pravcu 2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 + 11 = 0 ?

3. Za koji 𝑎𝑎 je pravac 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 24 tangenta hiperbole 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 = 36 ?

4. Napiši jednadžbu hiperbole koju pravac 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 2 = 0 dodiruje u točki 𝐷𝐷 = (4,2).

5. Napiši jednadžbu tangente hiperbole 𝑥𝑥2 − 3𝑦𝑦2 =9 koja odsijeca segment na osi 𝑦𝑦 tri puta veći nego na osi 𝑥𝑥.