From the SelectedWorks of Sergio Da Silva

January 2010

Demanda

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Demanda Hal R. Varian Intermediate Microeconomics, 8th edition Capítulo 6

A maximização da utilidade, levando em conta a restrição orçamentária, leva à escolha ótima. Esta depende, portanto, da renda do consumidor e dos preços. Quando a renda e os preços dos bens se alteram, a escolha ótima também deverá se alterar. As funções demanda do consumidor expressam as quantidades ótimas de cada bem em função dessas possíveis alterações da renda e dos preços: 1 1 1 2( , , )x x p p m= 2 2 1 2( , , )x x p p m= . Podemos prosseguir com análises de “estática comparativa”, onde “comparativa” significa que comparamos as situações de antes e de depois das mudanças ocorridas na renda e nos preços. “Estática” significa que desconsideramos o que ocorre entre o equilíbrio inicial e o final.

Bens normais e inferiores

Quando a renda aumenta, a reta orçamentária desloca-se para cima. E desloca-se paralelamente, porque os preços não variam. Na Figura 1, vemos que isto provoca um aumento da quantidade demandada. Se o bem 1 se encaixar nesse caso, ele será um “bem normal” e

*1 0x

m∆∆ > .

Porém, se o bem 1 for um produto de baixa qualidade ou um bem para o qual há alternativas tecnologicamente melhores, pode ocorrer que

*1 0x

m∆∆ < . Nesse caso, ele será um

“bem inferior” (Figura 2).

Curva renda-consumo e curva de Engel

Unindo os pontos de escolha ótima da Figura 1 obtemos o caminho de expansão da renda ou curva renda-consumo. Se tanto o bem 1 como o bem 2 forem normais, a curva renda-consumo terá inclinação positiva (Figura 3).

Para o bem 1, plotando as escolhas ótimas para diferentes níveis de renda, obtemos a curva de Engel (Figura 4). Como exemplo, para bens substitutos perfeitos, se 1 2p p< o consumidor consumirá apenas o bem 1, como vimos no Capítulo 5. No ótimo de fronteira, quando a renda aumenta, o consumo ótimo do bem 1 aumenta. Logo, a curva renda-consumo ficará sobre o eixo horizontal (Figura 5). Além disso, como na escolha ótima

1

*1

mpx = , temos que *

1 1m p x= . A

curva de Engel será então a linha reta que passa pela origem e possui inclinação 1p (Figura 6).

Para o caso de bens complementares perfeitos, como na escolha ótima

1 2

*1

mp px += ,

então *1 2 1( )m p p x= + . A curva renda-consumo será a diagonal que passa pela origem, porque

* *1 2x x= (Figura 7). Já a curva de Engel será a reta que passa pela origem de inclinação

1 2p p+ (Figura 8).

Para o caso de preferências Cobb-Douglas: 1 2 1 2( , ) c du x x x x= , a escolha ótima do bem 1 será, como vimos,

*1

1

c mxc d p

=+

.

Sendo c a= e 1d a= − ,

11 2 1 2( , ) a au x x x x −=

e

*1

1(1 )a mx

a a p=

+ −

*1

1

amxp

= .

Dado 1p , a demanda pelo bem 1 será função linear de m .

A demanda pelo bem 2 será:

*2

2

d mxc d p

=+

ou

*2

2

1(1 )

a mxa a p

−=

+ −

*2

2

(1 )a mxp−

= ,

que é também função linear da renda. Isso implica que a curva renda-consumo é a reta que passa pela origem (Figura 9). Como

*221

pm xa

=−

,

substituindo no m de *

1x :

* *21 2

11pax x

a p=

−.

Para qualquer m , dados os preços 1p e 2p , *

1x será função linear de *2x ; se *

2 0x = , logo *1 0x = e a reta passará pela origem.

Para o bem 1, como

*11

pm xa

= ,

a curva de Engel será a reta de inclinação 1p

a (Figura 10).

Preferências homotéticas

As preferências para substitutos perfeitos, complementares perfeitos e Cobb-Douglas são homotéticas. Neste caso, as curvas renda-consumo e de Engel serão linhas retas que passam pela origem. Além disso, se a renda aumentar ou diminuir no montante 0t > , a cesta demandada aumentará ou diminuirá na mesma proporção.

Preferências quase-lineares

Preferências quase-lineares são representadas por curvas de indiferença que são versões deslocadas verticalmente de uma inicial (Figura 11). Sua função utilidade é dada por: 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + .

No equilíbrio * *1 2( , )x x , se aumentarmos a renda em m k= chegaremos ao novo equilíbrio em

que * *1 2( , )x x k+ . O aumento da renda não alterará o consumo de equilíbrio inicial do bem 1:

apenas aumentará o consumo do bem 2.

Para o bem 1, a curva de Engel fica vertical depois do equilíbrio inicial (Figura 12). Se m variar, *

1x permanecerá constante. Como exemplo, se o bem 1 for lápis e o bem 2 for “dinheiro”, que pode ser usado para gastar com os outros bens, de início podemos gastar a renda apenas em lápis; mas isto deixará de acontecer em seguida.

Bens de Giffen

Se 1p diminuir e 2p e m ficarem constantes, 1x aumentará, no caso de bens comuns. Na Figura 13, 1p se reduzirá e a reta orçamentária rotará para a direita, ficando menos inclinada.

Porém, para os bens de Giffen, mesmo que as preferências sejam bem comportadas, se

1p diminuir e 2p e m ficarem constantes, 1x diminuirá (Figura 14). Sendo mingau o bem 1, digamos que seu consumo ótimo seja *

1 7x = tigelas. Sendo leite o bem 2, o seu consumo ótimo é *

2 7x = copos. Caso 1p se reduza, o consumidor poderá consumir as mesmas 7 tigelas e ainda ficar com dinheiro sobrando. Com o dinheiro que sobrou, ele poderá aumentar o consumo de leite e até mesmo reduzir o de mingau. Embora improvável, isto será possível.

Curva preço-consumo e curva de demanda

Com 2p e m fixos, se 1p cair, a reta orçamentária girará para a direita: unindo os pontos de escolha ótima encontraremos a curva preço-consumo, que mostra as cestas demandadas a diversos preços do bem 1 (Figura 15). A curva de demanda apresenta esta mesma informação. Ela é o gráfico da função demanda 1 1 2( , , )x p p m , onde 2p e m estão fixos. No exemplo da Figura 15, inicialmente *

1 2x = e 1 40p = . Se 1 20p ↓= , *1 4x = . Se 1 10p ↓= , *

1 6x = . Para a maioria dos bens (bens comuns), quando 1p se reduz, 1x aumenta e, portanto, a curva de demanda apresenta inclinação negativa. Em termos de taxas de variação:

1

1

0xp

∆<

∆.

Porém, para os bens de Giffen, como 1 1p x↓→ ↓ , a curva de demanda apresenta inclinação positiva.

Exemplos de curvas de demanda

Para bens substitutos perfeitos, como vimos no Capítulo 5:

1

1 2

1 1 2

1 2

0, se pqualquer número sobre a reta orçamentária, se p

, se pmp

px p

p

>

= = <

Na Figura 16, dado 2 5p = , se 1 2 5p p> = (por exemplo, 1 10p = ), na cesta ótima,

*1 0x = . Se 1 2 5p p= = , todos os pontos sobre a reta orçamentária contêm cestas ótimas. Se

1 2 5p p< = (por exemplo, 1 2p = ), então *1

1

mxp

= .

Para bens complementares perfeitos, como vimos no Capítulo 5,

11 2

mxp p

=+

e a curva preço-consumo será uma diagonal (Figura 17), porque, a qualquer preço, o consumidor demandará a mesma quantidade dos dois bens.

Para bens discretos, sendo o bem 1 discreto, 1r seu preço de reserva e o consumidor for indiferente entre consumir ou não o bem, se 1p for alto de modo que 1 1p r> , o consumidor não irá querer consumir o bem; e se 1p for baixo de modo que 1 1p r< , o consumidor irá querer apenas uma unidade do bem.

Na Figura 18, inicialmente a reta orçamentária passa por dois pontos com consumo ótimo *

1 0x = ou *1 1x = , onde 1 1p r= . Se 1 2p r↓= , a reta orçamentária girará e agora passará

pelos outros dois pontos com consumo ótimo *1 1x = ou *

1 2x = . A “curva” de demanda será descrita pela sequência de quedas desses preços de reserva, quando 1x aumenta em mais outra unidade. Observe que agora 1r satisfaz a equação 1 2 1( , ) (0, ) (1, )u x x u m u m r= = − (1) e que 2r satisfaz a 2 2(1, ) (2, 2 )u m r u m r− = − , (2)

onde 2(1, )u m r− é a utilidade de se consumir uma unidade do bem discreto ao preço 2r , e

2(2, 2 )u m r− é a utilidade de se consumir duas unidades do bem discreto, cada uma ao preço

2r .

Para calibrar, podemos supor que a utilidade é quase-linear: 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + , sendo (0) 0v = . Nesta forma funcional, os preços de reserva não dependerão da quantidade do bem 2 possuída pelo consumidor (no caso, dada por m ). Assim, (1) fica sendo 1(0) (1)v m v m r+ = + −

1(1)m v m r= + − 1 (1)r v= . (3)

Analogamente, (2) fica sendo 2 2(1) (2) 2v m r v m r+ − = + − 2 22 (2) (1)r r v v− = −

2 (2) (1)r v v= − . (4) Podemos, então, inferir que o preço de reserva da terceira unidade será: 3 (3) (2)r v v= − , (5)

e assim por diante. O preço de reserva irá medir o aumento de utilidade necessário para induzir o consumidor a escolher mais outra unidade do bem discreto. Os preços de reserva medem então as utilidades marginais do consumo adicional do bem discreto. Como a utilidade marginal é decrescente: 1 2 3...r r r> > Dado um preço qualquer p , a questão é saber onde ele se situará na lista dos preços de reserva. Se, por exemplo, p estiver entre 6r e 7r , sendo 6 7r r> , isto significa que o consumidor estará disposto a abrir mão de p unidades monetárias para obter 6 unidades do bem discreto (bem 1), pois 6p r< . Isto também significa que ele não estará disposto a abrir mão de p unidades monetárias para obter a sétima unidade do bem 1, pois 7p r> . Se o consumidor demandar 6 unidades do bem 1, isto gerará mais (ou a mesma) utilidade que 5 unidades. Então (veja (2)): 1 2( , ) (6, 6 ) (5, 5 )u x x u m p u m p= − ≥ − . Na forma quase-linear 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + , temos: (6) 6 (5) 5v m p v m p+ − ≥ + − (6) (5) 6 5v v p p− ≥ − (6) (5)v v p− ≥ . Por (5): 6 (6) (5)r v v= − . Substituindo, temos: 6r p≥ . Por outro lado, se o consumidor demandar 6 unidades do bem 1, isto gerará mais (ou a mesma) utilidade que 7 unidades: (6, 6 ) (7, 7 )u m p u m p− ≥ − . Para a utilidade quase-linear: (6) 6 (7) 7v m p v m p+ − ≥ + −

(7) (6) 7 6v v p p− ≤ − (7) (6)v v p− ≤ 7r p≤ . Portanto, 7 6r p r≤ ≤ .

Bens substitutos e complementares imperfeitos

Lápis vermelhos e lápis azul são substitutos perfeitos para o consumidor que não se importa com cor. Lápis e caneta são substitutos – pode-se escrever com eles – mas somente até certo ponto. Não se pode, por exemplo, assinar documentos com lápis. Sapato e meia são bens complementares imperfeitos: são consumidos em conjunto, embora não necessariamente. Já que a função demanda 1 1 2( , , )x p p m depende dos dois preços, além da renda, se 1x ↑ quando 2p ↑ , o bem 1 será substituto do bem 2. Se o bem 2 ficar mais caro, o consumidor o substituirá pelo bem 1. Em termos de taxas de variação, para bens substitutos brutos,

1

2

0xp∆

>∆

.

Se 1x ↓ quando 2p ↑ , o bem 1 será complementar ao bem 2. Se café ficar mais caro, isto pode reduzir o consumo de açúcar. Então, para bens complementares brutos,

1

2

0xp∆

<∆

.

Função demanda inversa

Para a curva de demanda de inclinação negativa podemos obter a função demanda inversa, onde agora é preço que é função da quantidade. O gráfico é similar ao da função demanda direta (Figura 19). Mudamos apenas o ponto de vista: para cada nível de demanda do bem 1, a função demanda inversa informa qual deverá ser o preço para que o consumidor escolha esse nível de consumo. Considerando a função demanda (direta) Cobb-Douglas

11

amxp

= ,

a função demanda inversa será, apenas,

11

ampx

= .

Vimos que, na escolha ótima interior,

1

2

TMS pp

=

ou 1 2 TMSp p= ⋅ .

Portanto, no ótimo, o preço do bem 1 será proporcional à TMS entre o bem 1 e o bem 2. Para 2 1p = , 1 TMSp = . Neste caso, o preço do bem 1 medirá em quanto o consumidor está disposto a abrir mão de quantidades do bem 2 para obter mais do bem 1 (custo de oportunidade). Se o bem 2 for a quantidade de dinheiro a ser gasta em todos os outros bens, a TMS passa a ser a quantidade de dinheiro que o consumidor quer oferecer para consumir mais do bem 1: a TMS torna-se a propensão marginal a pagar. Como 1 TMSp = , então 1p passa a medir a propensão marginal a pagar. No caso de preferências quase-lineares, estas apresentam curvas de indiferenças exatamente similares que podem ser representadas pela função utilidade 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + . A restrição orçamentária

1 1 2 2p x p x m+ = pode ser escrita como 2 2 1 1p x m p x= −

1 12

2

m p xxp−

=

e substituída na função utilidade para maximizá-la:

1 21 2,

max ( )x x

v x x+

1

11 1

2 2

max ( )x

pmv x xp p

+ −

11

1 2

( ) 0pu v xx p∂ ′= − =∂

* 11

2

( ) pv xp

′ = .

Logo, a demanda quase-linear pelo bem 1 independe da renda ( m ), desde que 0m ≠ . A demanda inversa pode ser escrita como:

*

1 2 1( )p p v x′= . Para a forma funcional específica de 1( )v x dada por

1 2 1 2( , ) lnu x x x x= +

podemos encontrar a função demanda direta pelo bem 1 como:

1

11 1

2 2

max lnx

pmx xp p

+ −

1

1 2

1 0px p− =

1

1 2

1 px p=

* 21

1

pxp

= .

Logo, a função demanda inversa será:

21 *

1

ppx

= .

A função demanda direta do bem 2 pode agora ser encontrada substituindo 1x de volta na restrição orçamentária:

12 1

2 2

pmx xp p

= −

1 22

2 2 1

p pmxp p p

= −

*2

2

1mxp

= − .

Assim, a demanda pelo bem 2 passa a depender da renda m . Se

2

*2 21 0m

pm p x< → < → < , o

que é impossível. Logo, a solução acima não se define para 2m p< . Na prática, *2 0x = , já que

não pode ser negativo. Em suma,

2

*2

22

0, se

1, se

m px m m p

p

≤= − >

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