Содржина:

1. Чисто смолкнување ....................................................................................................................... 1

1.1. Вовед .......................................................................................................................................... 1

1.2. Анализа на состојба на напрегања при чисто смолкнување ........................................... 2

1.2.1. Напрегања во напречен пресек ........................................................................................... 2

1.3. Деформации - модул на лизгање ............................................................................................ 3

1.4. Димензионирање на елементи напрегнати на чисто смолкнување ................................ 5

1.4.1. Дозволени тангенцијални напрегања ............................................................................... 5

1.5. Димензионирање на различни типови на врски ................................................................... 6

2. Напрегања на торзија ................................................................................................................... 6

2.1. Торзија на стап со кружен пресек ............................................................................................ 6

2.2. Димензионирање на елементи со кружен напречен пресек при чиста торзија . 11

3. Користена литература ................................................................................................................. 14

1. Чисто смолкнување

1.1. Вовед

Еден конструктивен елемент е оптоварен на чисто смолкнување ако надворешните

сили што делуваат на елементот може да се редуцираат на две еднакви сили со

спротивна насока, нормални на оската на елементот на бесконечно мало

растојание, кои тежат двата соседни, бескрајно блиски пресеци, да ги смолкнат,

односно да ги лизнат еден во однос на друг, Сл.1.

Сл. 1Стап оптоварен на чисто смолкнување (а), деформација при чисто смолкнување (b)

Под дејство на овие сили, елементот, односно стапот е во рамнотежа. Во

тежиштето на напречниот пресек делува само трансверзална сила 𝑇 = 𝐹,

додека сите останати компоненти на внатрешните пресечни сили се еднакви

на нула (𝑁 = 0, 𝑀 = 0). Ова значи дека, се занемарува и влијанието на

моментот на спрегот eFM , бидејќи неговиот интензитет е многу мал во однос

на интензитетот на силите 𝐹, заради фактот што истите делуваат на бескрајно

мало растојание е.

Независно од тоа што елементот е во рамнотежа (∑𝐹 = 0), истиот нема да се

движи, меѓутоа ќе се деформира. Во практиката, оваа состојба на напрегања се

јавува кај елементите со кои се врши продолжување или поврзување на

компонентите од челичните и дрвените конструкции.

1.2. Анализа на состојба на напрегања при чисто смолкнување

1.2.1. Напрегања во напречен пресек

Од анализата на напрегања кај аксијално оптоварени елементи беше констатирано

дека во еден кос пресек, освен нормалните напрегања σ, се јавуваат и

тангенцијални напрегања 𝜏, кои настојуваат да ги смолкнат двата дела од

елементот. Најпрвоќе биде дефинирана распределбата на напрегањата во

карактеристичен напречен пресек А, која зависи од обликот на пресекот. За таа цел

се користи методот на пресеци прикажан на сл.2. Стапот се пресекува вдолж

пресекот што се поклопува со правецот на силите А𝐵 и дејството се заменува со

внатрешни сили во рамнината на пресекот, каде делуваат само силите на

смолкнување 𝜏.

Во пресекот важи условот за рамнотежа на силите 𝑇 = 𝐹 . Врската помеѓу

трансверзалнта сила Т и напрегањата кои делуваат во рамнината на

разгледуваниот напречен пресек може да се добие ако се претпостави дека на

секоја елементарна површина 𝑑𝐴 ќе дејствува внатрешна тангенцијална сила

𝑑𝐹𝜏 = 𝜏 ∙ 𝑑𝐴, каде τ претставува напрегање на смолкнување на единица

површина.

Сл. 2 Метод на пресеци (а); пресечни сили Т и елементарни тангенцијални сили τdA (b); распределба на τ напрегања по површината на пресекот (c)

Ако и овде се воведе претпоставката дека напрегањата на смолкнување се

рамномерно распределени по површината на пресекот, т.е. τ=const., тогаш од

условите за рамнотежа на делот II, се добива, Сл.3.2 (b, c):

∑ 𝑌 = 0 ; −𝐹 + ∫ 𝜏 ∙ 𝑑𝐴 = 0𝐴

(1)

односно:

𝜏 = Т

А=

𝐹

𝐴(𝑃𝑎, 𝑀𝑃𝑎) (2)

Бидејќи во општ случај τ напрегањата по контурата на напречниот пресек се

еднакви на нула, следува дека нивната распределба не може да биде рамномерна,

туку истата зависи од обликот на напречниот пресек. Иако претпоставката за

константно τ напрегање практично никогаш не е исполнета, сепак изразот (2) многу

често се користи при пресметувањето на елементите изложени на чисто

смолкнување. Притоа ова напрегање е средно тангенцијално напрегање.

При димензионирање на елементи изложени на вакво напрегање за определување

на напречниот пресек се користи максималното напрегање кое е 2 и повеќе пати

поголемо од средното.

𝐴𝑝𝑜𝑡𝑟 ≥𝐹

𝜏𝑑𝑜𝑧(𝑚2)

1.3. Деформации - модул на лизгање

За да се анализираат деформациите предизвикани од тангенцијалните напрегања,

наједноставно е ако од еден стап што е напрегнат на чисто смолкнување се исече

една квадратна елементарна призма ABCD со единична дебелина и со страни а.

Дијагоналите на елементарната призма во ненапрегната состојба имаат иста

должина d (𝑑 = 𝑎 √2 ), се сечат под прав агол и зафаќаат агол од 450 со

координатните оски z и y, Сл.3.8 (а). На страните на призмата ќе дејствуваат само

тангенцијални напрегања τ, додека нормалните напрегања ќе бидат еднакви на

нула.

Сл. 3 Деформации кај чисто смолкнување: (а) недеформиран елемент и диспозиција на напрегања; (b) скица на деформиран елемент во напрегната состојба

Бидејќи елементот е напрегнат, во правците на дијагоналите кои претставуваат

главни оски/правци на напрегања ќе делуваат главните нормални напрегања 𝜎1 и

𝜎2. Така, во правецот AD, се јавува нормално напрегање на затегнување 𝜎1 = 𝜏,

а во правецот BC напрегање на притисок 𝜎2 = −𝜏, Сл. 3 (а). Оваа состојба

предизвикува подеднакво издолжување и скратување на соодветните дијагонали,

така што аголот меѓу нив останува прав.

После деформацијата, квадратната призма го менува обликот и минува во ромб

A’B’C’D’, чии страни се еднакви со должината на страните на недеформи- раниот

квадрат, Сл. 3 (b). При ова, волуменот на призмата не се менува бидејќи не се

променила ни површината на основата на елементарната призма ABCD, под

претпоставка дека дебелината на плочата е многу мала.

Од диспозицијата на деформациите на Сл. 3 (b) може, на елементарен начин да се

дефинира врската меѓу лизгањето 𝛾 и тангенцијалното напрегање 𝜏.

Пред деформацијата должината на дијагоналите била d, а после истата се менува

за ∆𝑑 = ±𝜀 ∙ 𝑑 и се добива:

дијагонала 1-1 𝐴′𝐷′ = 𝑑 + ∆𝑑 = 𝑑 + 𝜀1 ∙ 𝑑 = 𝑑(1 +1+𝜇

𝐸∙ 𝜏)

дијагонала 2-2 𝐶′𝐵′ = 𝑑 + ∆𝑑 = 𝑑 + 𝜀2 ∙ 𝑑 = 𝑑(1 −1+𝜇

𝐸∙ 𝜏)

Понатаму споредувајќи ги овие два изрази се добива:

𝑡𝑔𝛾

2=

1 + 𝜇

𝐸∙ 𝜏

Ако се искористи тоа дека аголот при лизгањето е многу мал може приближно да

се усвои дека:

𝑡𝑔𝛾

2≅

𝛾

2

𝛾

2=

1+𝜇

𝐸∙ 𝜏

од каде аголот на лизгање може да се изрази во функцијата од тангенцијалното

напрегање:

𝛾 =2(1 + 𝜇)

𝐸∙ 𝜏

Од оваа формула е очигледно дека γ и τ се меѓусебно пропорционални големини,

бидејќи изразот 2(1 + µ)/𝐸 претставува одредена константа за избраниот

материјал. Од ова може да се дефинира врската помеѓу напрегањето на

смолкнување и лизгањето:

𝜏 =𝐸

2(1 + 𝜇)∙ 𝛾

Аналогно, се констатира дека и оваа врска е линеарна, каде коефициентот на

пропорционалност Е/2(1 + µ) се означува со G и е познат како модул на лизгање

и има мерна единица на напрегање, т.е. (Pa) или (MPa).

Според ова може да се напише во препознатливиот облик на Hook-овиот закон

при смолкнување

𝜏 = 𝐺 · 𝛾

Релацијата 𝜏 = 𝐺 · 𝛾 е аналогна со познатата релација 𝜎 = 𝐸 · 𝜀 со која се

изразува Hook-овиот закон при аксијално оптоварување.

1.4. Димензионирање на елементи напрегнати на чисто смолкнување

1.4.1. Дозволени тангенцијални напрегања

Слично на σ-ε дијаграмот кај аксијалното напрегање, може врз основа на

експериментални испитувања да се добие зависноста помеѓу тангенцијалните

напрегања τ и аголот на лизгање γ при чисто смолкнување, Сл. 3.9. Овој дијаграм

е сличен со дијаграмот σ – ε и ги има истите карактеристичните точки: граница на

пропорционалност 𝜏𝑃, граница на еластичност 𝜏𝐸, граница на течење или големи

развлекување 𝜏𝑇 и јакост на смолкнување 𝜏𝑀.

Сл. 4Елемент напрегнат на чисто смолкнување(а); τ - γ дијаграм (b)

Линеарната зависност помеѓу τ и лизгањето γ, τ=G•γ, важи само до определен

интензитет на напрегањето и таа вредност во овој случај претставува граница на

пропорционалноста. Со експерименти е покажано дека оваа граница, како и

границата на течење се пониски од оние во σ – ε дијаграмот. Границата на

течење при смолкнување изнесува околу 80% од границата на течење при

затегнувње за истиот материјал, на пример за челикот.

Затоа, не смее да се дозволат напрегања на смолкнување поголеми од

напрегањата на течење, туку да се намалат неколку пати во зависност од

усвоениот коефициент на сигурност. Во практиката, вообичаено дозволените

напрегања на смолкнување се усвојуваат во функција од дозволените нормални

напрегања:

𝜏𝑑 = (0,5 − 0,8)𝜎𝑑

1.5. Димензионирање на различни типови на врски

Во градежништвото, многу често, поодделни елементи од конструкциите се

изложени на дејство на надворешни сили кои предизвикуваат деформации на

смолкнувања. При проектирањето и пресметувањето на ваквите елементи се

анализираат напрегањата на смолкнување.

Меѓутоа, во техничката практика, често смолкнувањето е комбинирано со

свиткување, така што во напречните пресеци се јавуваат истовремено нормални и

тангенцијални напрегања. При тоа, во некој случај доминантна улога имаат

нормалните напрегања, а во друг тангенцијалните. Смолкнувањето најчесто се

јавува кај елементите со кои се спојуваат или продолжуваат поодделни делови од

конструкцијата, како што се:

Заковани врски

Врски со завртки

Заварени врски

Врски кај елементи од дрво

2. Напрегања на торзија

2.1. Торзија на стап со кружен пресек

Конзолниот стап AB со кружен напречен пресек со радиус R и должина l , Сл. 5, е

круто вклештен на едниот крај, а на слободниот крај В е изложен на дејство на

надворешни сили кои може да се редуцираат на еден момент Мt кој дејствува во

рамнината на напречниот пресек нормална на геометриската оска на стапот.

Тогаш, на местото на вклештувањето А ќе се јави реактивен момент, момент на

вклештување, кој има ист интензитет како и моментот на усукување или т.н. момент

на торзија Мt, дејствува во рамнината на напречниот пресек во вклештувањето

А, меѓутоа, има спротивна насока од насоката на торзиониот момент Мt на

слободниот крај.

Сл. 5 Конзолен елемeнт со кружен напречен пресек оптоварен со момент на торзија

Надворешното оптоварување, т.е. моментот на торзија Мt, предизвикува

соодветна деформација на стапот. Овој момент го усукува стапот околу

неговата геометриска оска, а напрегањето што го предизвикува се вика

напрегање на усукување или напрегање на торзија.

Определувањето на напрегањата и деформациите на греден елемент изложен

на чиста торзија зависи од видот, односно од обликот на напречниот пресек.

Најчесто се користи теоријата за чисто усукување на греди со кружен напречен

пресек. Таа се темели на основните претпоставки кои се цитирани

подолу.

(1) Важи хипотезата на Бернули за рамни пресеци - напречните пресеци кои пред деформацијата биле рамни и нормални на оската на елементот остануваат рамни и нормални и после деформацијата.

(2) Кон оваа хипотеза се додава и хипотезата на Кулон (Coulomb), според која се претпоставува дека гредниот елемент е составен од безброј многу, бескрајно тенки крути дискови кои може да се завртат еден спрема друг без да се деформираат во својата рамнина, т.е. без да се искриват (без депланација), при што не се менува должината и правоста на радиусите на истите. Правците на радиусите се ротираат, се завртуваат за ист агол како и напречните пресеци. Оваа хипотерза се нарекува уште и хипотеза за крутост на пресеците.

(3) Растојанието помеѓу напречните пресеци не се менува при деформацијата на гредниот елемент, што значи дека во правецот на оската на елементот нема нормални напрегања (надолжните дилатации се еднакви на нула).

Важноста на овие претпоставки во однос на деформациите на елементот

изложен на торзија се докажува врз база на резултатите од експерименталните

испитувања. За таа цел, на контурната површина на еден конзолен стап

со кружен напречен пресек се црта квадратна мрежа која се состои од

изводници и кружници кои ја претставуваат контурата на напречните

пресеци, Сл. 6 (а). Елементот се оптоварува со момент на торзија што

предизвикува деформација на истиот. Од деформираната слика е очигледно

дека квадратите го промениле обликот и се претвориле во ромбови, Сл. 6(b),

што е карактеристично за деформациите при чисто смолкнување.

За да се дефинираат елементите на деформацијата при чистата торзија на

надворешната контура од недеформираниот стап се посматра едно влако ab

кое е паралелно со геометриската оска на гредата, Сл. 7.

Aголот на усукување φ претставува агол на завртување на напречниот пресек

на слободниот крај на конзолата во однос на напречниот пресек во

вклештувањето. При тоа, големината на аголот на усукување е во директна

функција од големината на моментот на торзија, φ=φ(Mt). Оваа зависност

може графички да се прикаже со помош на дијаграмот Mt-φ.

а) недеформирана состојба б) деформирана состојба

Сл. 6 Експериментално испитување на деформацијата на конзолен елемент изложен на дејство на момент на торзија

Сл. 7 Графичка презентација на аголот на лизгање и аголот на усукување/торзија

Сл. 8 Дијаграм Mt-φ за елемент изработен од мек челик изложен на торзија

Значи конечно, еден елементарен дел од стапот кој што е ориетиран во

насока на неговата геометриска оска се наоѓа во состојба на чисто

смолкнување, Сл. 9

Во косите пресеци од елементот се јавуваат нормални и тангенцијални

напрегања кои може да се определат според релациите добиени од

анализата на состојбата на напрегања при чисто смолкнување. При тоа беше

констатирани дека главните напрегања

σ1=σmax=τ σ2=σmin=-τ

се насочени под агол од 450 во однос на надолжната оска на стапот.

Воочливо е дека најголемите нормални напрегања дејствуваат во косата

рамнина под агол од 450, а најголемото напрегање на смолкнување дејствува

во напречениот и во радијалниот пресек.

Сл. 9 Состојба на напрегања во кос пресек од елемент изложен на торзија

Со експерименти е покажано дека начинот на рушење на елементите

оптоварени на торзија зависи од материјалот од кој што се изведени истите.

Кртите материјали имаат помала јакост на затегнување отколку на

смолкнување. Затоа, кај елементите од крти материјали рушењето, односно

лом во материјалот настанува во рамнините на најголемите нормални

напрегања σ1. Површината на рушење е наклонета под агол од 450 во однос

на надолжната осака, Сл. 10 и Сл. 11, Сл. 12

Сл. 10Начин на рушење на елемент изведен од

Сл. 11Начин на рушење на елемент од еластопластичен материјал

Дрвото е анизотропен материјал има значително помала јакост на смолкнување

во правец на влакната. Затоа кај елементи од дрво со надолжно распоредени

влакна рушењето започнува со појава на надолжни пукнатини по контурната

површина

Сл. 13 Појава на пукнатини по контурната површина на дрвен елемент оптоварен на торзија

а) варовник б) лиено железо в) челик

Сл. 12Вршење проба на различни материјали

2.2. Димензионирање на елементи со кружен напречен пресек при

чиста торзија

Во практиката чистото усукување или торзија се јавува многу ретко.

Вообичаено, како што беше веќе потенцирано претходно, во зависност од видот

на товарите се јавува комбинирано дејство на моменти на торзија и моменти на

свиткување. Последните се предизвикани од влијанието на сопствената тежина

и од надворешното напречно оптоварување. Кога моментите на свиткување се

мали во однос на моментите на торзија, тие се занемаруваат и стаповите се

димензионираат на чиста торзија.

За да може еден елемент оптоварен на торзија да ги прими и пренесе товарите

тој треба да задоволи два услови: еден јакосен услов и еден услов на

крутоста. Затоа е неопходно, максималното тангенцијално напрегање да не

ја надмине дозволената вредност на напрегањето τdoz, а исто така

максималниот релативен агол на торзија да не ја надмине дозволената

вредност θdoz, востановена во практиката за даден конкретен случај.

Условот за димензионирање според најголемите тангенцијални напре- гања,

т.н. јакосен услов гласи: τmax ≤ τdoz

Вториот услов, крутосниот услов е дефиниран со релацијата: θmax ≤ θdoz .

Димензиите на напречниот пресек се определуваат со користење на двата

услови, значи за дијаметарот односно за радиусот на пресекот се добиваат две

вредности. Се избира пресметаниот поголем дијаметар и се заокружува на цел

сантиметар или на цел милиметар, соодветно на тоа дали е пресекот

изработен од бетон или дрво, или од челик.

Првите две претпоставки кои беа направени при изведувањето на напрегањата

на торзија за елементи со кружен напречен пресек не може да се применат

ако пресекот има било каков друг облик, примерно правоаголен. Ова

наједноставно се докажува со експериментално истражување на

деформациите на еден гумен елемент со правоаголен напречен пресек

изложен на дејство на моменти на торзија Мt, сл 14

Сл. 14 Елемент со правоаголен напречен пресек (а) пред оптоварување, (b) после нанесување на моменти на торзија

Аналогно, како и кај стаповите со кружен напречен пресек, се докажува дека и

кај стаповите со пресек различен од круг, во точките по контурата векторот на

тангенцијалните напрегања е во правец на тангентата на контурата и постојано

има иста насока. Ако напречниот пресек има агли, како на пример кај

правоаголниот или триаголниот пресек, тогаш во аглите напрегањата се

еднакви на нула.

На Сл. 15 е прикажан дијаграмот на тангенцијаллните напрегања за елемент

со правоаголен напречен пресек со b<h. Од анализата на истиот може да

се констатира:

(1) во аглите на напречниот пресек напрегањата на смолкнување се

еднакви на нула,

(2) најголемо напрегања се јавува во половината на подолгата страна на

контурата на пресекот, во точка А која е најблиску до оската на стапот

𝜏А = 𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑡

𝛼 ∙ ℎ ∙ 𝑏2

(3) тангенцијалните напрегања на половината на помалата страна се:

𝜏𝐵 = 𝜂 ∙ 𝜏𝐴 = 𝜂 ∙ 𝜏𝑚𝑎𝑥

(4) максималниот агол на торзија max е

𝜑𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑡 ∙ 𝑙

𝛽 ∙ 𝐺 ∙ ℎ ∙ 𝑏3

Сл. 15 Распределба на тангенцијални напрегања кај елемент со правоаголен напречен пресек изложен на дејство на момент на торзија

Во горните релации , и се коефициенти кои зависат од односот на

страните на правоаголникот h/b и се дадени во Таб. 1

Табела 1 Вредности на коефициентите

h/b

1

1,5

1,75

2

2,5

3

4

6

8

10

0,208

0,231

0,239

0,246

0,258

0,267

0,282

0,299

0,307

0,313

0,333

0,141

0,196

0,214

0,229

0,249

0,263

0,281

0,299

0,307

0,313

0,333

1,000

0,859

0,820

0,795

0,766

0,753

0,745

0,743

0,742

0,742

0,742

3. Користена литература

Јакост на материјалите – предавања на Универзитет „Кирил и Методиј“ - Скопје