jakob BernoulliPara otros miembros de la familia Bernoulli, vaseFamilia Bernoulli.

Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli.

Nacimiento27 de diciembrede1654Basilea,Confederacin Suiza

Fallecimiento16 de agostode1705(50 aos)Basilea,Confederacin Suiza

CampoTeora de probabilidadClculo diferencialTeora de nmerosGeometra

InstitucionesUniversidad de Basilea

Alma mterUniversidad de Basilea

EstudiantesdestacadosJohann BernoulliJacob HermannNicolaus I Bernoulli

ConocidoporEcuacin diferencial de BernoulliPolinomios de BernoulliEnsayo de BernoulliLey de los grandes nmerosLemniscata

NotasHermano deJohann Bernoulli

Jakob Bernoulli(Basilea,27 de diciembrede1654-ibd.16 de agostode1705), tambin conocido comoJacob,JacquesoJames Bernoulli, fue un genia lmatemticoycientficosuizoy hermano mayor deJohann Bernoulli(parte de lafamilia Bernoulli).Siendo joven su padre Nikolaus Bernoulli, lo envi a la Universidad de Basilea para estudiar filosofa y teologa, con el nimo de que se convirtiera en telogo. Pero Jakob continu, a escondidas, las que eran sus autnticas aficiones la fsica y las matemticas.A partir de los planteamientos deLeibnizdesarroll problemas declculo infinitesimal. Fund enBasileaun colegio experimental. Estudi por s mismo la forma del Clculo ideada por Leibniz. Desde 1687 hasta su muerte fue profesor de Matemticas en Basilea. Jacob I fue uno de los primeros en desarrollar el Clculo ms all del estado en que lo dejaron Newton y Leibniz y en aplicarlo a nuevos problemas difciles e importantes. Sus contribuciones a la Geometra analtica, a la teora de probabilidades y al clculo de variaciones, fueron de extraordinaria importancia. Tenemos ya una muestra del tipo del problema tratado por el clculo de variaciones en el teorema de Fermat sobre el tiempo mnimo. La matemtica del problema se reduce a hacer que una cierta integral tome un valor mximo sometido a una condicin restrictiva. Jacob I resolvi este problema y lo generaliz. el hecho de que la cicloide es la curva de ms rpido descenso fue descubierto por los hermanos Jacob I y Johannes I, en 1697, y casi simultneamente por varios autores Durante un viaje a Inglaterra en1676, Jakob Bernoulli conoci aRobert BoyleyRobert Hooke. Este contacto le inspir una dedicacin vitalicia a la ciencia y la matemtica. Fue nombrado Lector en laUniversidad de Basileaen1682, y fue promocionado a Profesor de Matemticas en1687.En 1690 se convirti en la primera persona en desarrollar la tcnica para resolver ecuaciones diferenciales separables.Se familiariz con elclculomediante su correspondencia conGottfried Leibniz, y colabor con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicacin de artculos encurvas trascendentales(1696) eisoperimetra(1700,1701).Su obra maestra fueArs Conjectandi(el Arte de la conjetura), un trabajo pionero en lateora de la probabilidad. La public su sobrino Nicholas en1713, ocho aos tras su muerte por tuberculosis. Los trminosensayo de Bernoulliynmeros de Bernoullison resultado de su trabajo. Tambin existe un crter en laLunabautizadocrter Bernoullien honor suyo y de su hermano Johann.ndice[ocultar] 1La espiral logartmica 2Citas 3Enlaces externos 4Vase tambin 5Referencias

La espiral logartmica[editar]Bernoulli escogi la figura de laespiral logartmica(propuesta antes por su aprendiz Andres Beat E.S), as como y el emblema en latn "Eadem mutata resurgo" (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo) para su epitafio; contrariamente a su deseo de que fuese tallada unaespiral logartmica(constante en su radio), laespiralque tallaron los maestros canteros en su tumba fue unaespiral de Arqumedes(constante en su diferencia).[1]La espiral logartmica se distingue de laespiral de Arqumedespor el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan enprogresin geomtrica, mientras que en una espiral de Arqumedes estas distancias son constantes.

La espiral construida utilizando rectngulos con laproporcin urearesulta una aproximacin a laespiral logartmica, que Bernouilli dese para su tumba, en lugar de laespiral de Arqumedesque finalmente fue errneamente tallada.El trminoespiral logartmicase debe a Pierre Varignon. La espiral logartmica fue estudiado porDescartesyTorricelli, pero la persona que le dedic un libro fueJakob Bernoulli, que la llamSpira mirabilisla espiral maravillosa. Impresionado por sus propiedades, pidi que grabaran en su tumba, en Basilea, la espiral logartmica con la mximaeadem mutata resurgo, pero, en su lugar, se grab unaespiral de Arqumedes. D'Arcy Thompson le dedic un captulo de su tratadoOn Growth and Form(1917)."Eadem mutata resurgo" y laespiral logartmicaes tambin el emblema delColegio de Patafsica.1Jakob Bernoulliescribi que laespiral logartmicapuede ser utilizada como un smbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como smbolo del cuerpo humano, el cual, despus de todos los cambios y mutaciones, incluso despus de la muerte, ser restaurado a su Ser perfecto y exacto.[2]Citas[editar]

Tumba de Jakob Bernoulli. En una carta aGottfried Leibnizescribi:La ley de grandes nmeros es una regla que incluso la persona ms estpida conoce mediante cierto instinto natural per se y sin instruccin previa.

Jacob es el primero delos Bernoullien estudiar en una universidad, el primero en investigar en las ciencias matemticas, el primero en recibir un ttulo de doctor y el primero de la familia en ser aceptado como catedrtico de matemticas en la Universidad de Basilea. Jacob pronto se convirti en gua espiritual y en ejemplo de todos los dems magnficos gemetras Bernoulli que le sucedieron. Era de un humor colrico, muy susceptible. Gustaba de desafiar intelectualmente a los dems, de consagrarse a la resolucin de problemas y de polemizar sobre las soluciones. Nunca pudo aceptar queJohann, su hermano menor y ms brillante, lo pudiera aventajar como gemetra. Su vida cientfica gir alrededor del ncleo fuerte del estudio de las curvas con el uso del nuevo clculo.

El deseo de su padre lo llev a realizar estudios filosficos, teolgicos y de idiomas en la Universidad de Basilea. Se gradu con el grado de magster en filosofa a los 17 aos, y 5 aos ms tarde era doctor en teologa. Dominaba los idiomas alemn, francs, ingls, latn y griego. Pero Jacob senta una gran inclinacin hacia las matemticas y, a escondidas, estudiaba diferentes aspectos de ellas, sin maestro alguno y casi sin libros adecuados. No obstante, a los 18 aos, ya resolva correctamente algunos problemas matemticos difciles, en especial los relacionados con la astronoma.Como era costumbre en la poca, al trmino de sus estudios comenz un largo periplo de cuatro aos por Suiza, Francia e Italia. De regreso en Basilea, inspirado por la aparicin de un gran cometa en 1680, Jacob publica su primer trabajo cientfico, lo dedic a la teora de los cometas. Aqu propone las leyes que gobiernan el comportamiento de estos cuerpos celestes y en particular afirm que sus trayectorias, podan ser predichas con suficiente antelacin. La teora elaborada por Jacob no era totalmente correcta, pero constituy un pronunciamiento contra la creencia de la poca segn la cual los cometas estaban regidos por la voluntad divina. Este trabajo atrajo fuertes crticas de los telogos.

En el perodo de su viaje por Francia e Italia, Jacob comenz a llevar una libreta de notas donde inclua diferentes comentarios de carcter cientfico. Un lugar fundamental en estas notas lo ocupa la resolucin de problemas matemticos. Por estos puede juzgarse el inters de Jacob por las aplicaciones. Realiz importantes trabajos en fsica, tales como la determinacin del centro de oscilacin de cuerpos slidos y el clculo de la resistencia de los cuerpos que se mueven en un lquido. Estas notas revelan cmo, de forma paulatina, Jacob se comenz a interesar primero por los mtodos matemticos conocidos en su poca y ms tarde por los mtodos infinitesimales, a cuyo desarrollo y perfeccionamiento contribuy significativamente.

Como era costumbre en la poca, al trmino de sus estudios comenz un largo periplo de cuatro aos por Suiza, Francia e Italia. De regreso en Basilea, inspirado por la aparicin de un gran cometa en 1680, Jacob publica su primer trabajo cientfico, lo dedic a la teora de los cometas. Aqu propone las leyes que gobiernan el comportamiento de estos cuerpos celestes y en particular afirm que sus trayectorias, podan ser predichas con suficiente antelacin. La teora elaborada por Jacob no era totalmente correcta, pero constituy un pronunciamiento contra la creencia de la poca segn la cual los cometas estaban regidos por la voluntad divina. Este trabajo atrajo fuertes crticas de los telogos.

En el perodo de su viaje por Francia e Italia, Jacob comenz a llevar una libreta de notas donde inclua diferentes comentarios de carcter cientfico. Un lugar fundamental en estas notas lo ocupa la resolucin de problemas matemticos. Por estos puede juzgarse el inters de Jacob por las aplicaciones. Realiz importantes trabajos en fsica, tales como la determinacin del centro de oscilacin de cuerpos slidos y el clculo de la resistencia de los cuerpos que se mueven en un lquido. Estas notas revelan cmo, de forma paulatina, Jacob se comenz a interesar primero por los mtodos matemticos conocidos en su poca y ms tarde por los mtodos infinitesimales, a cuyo desarrollo y perfeccionamiento contribuy significativamente.

Cuando Jacob comenz a interesarse en problemas matemticos, los trabajos de Newton y Leibniz eran todava desconocidos. Realiz sus estudios con algunas de las obras matemticas ms significativas de la poca: la Geometra de Descartes, la Arithmetica infinitorum de Wallis y las Lecciones de geometra de Barrow.

Dos aos despus de su regreso a Basilea, Jacob viajar de nuevo, pero esta vez lo har a Holanda e Inglaterra. En Amsterdam conoce a Huygens, que, en particular, ejercer una influencia enorme en su trabajo sobre teora de probabilidades. En Inglaterra visitar el Observatorio Real de Greenwich, donde ser recibido por su fundador y primer director, John Flamsteed, cuyas observaciones lunares suministraron los datos que Newton, utilizara para verificar su teora de la gravitacin.

Este ser el ltimo viaje de estudio y placer que realizar Jacob, pues despus de su regreso no sali ms de Basilea, excepto para acudir a los sanatorios, cuando enferm gravemente. Como resultado de sus viajes, estableci relaciones con varios gemetras europeos de primera lnea, con los cuales mantuvo una amplia correspondencia durante toda su vida.

Despus de rechazar un puesto en los asuntos eclesisticos, ya que haba decidido consagrar su vida a las matemticas, inici su labor docente profesional en 1683 cuando comenz a ensear fsica experimental en la Universidad de Basilea. Al cumplir 30 aos, Jacob Bernoulli se cas y tuvo un hijo, al que llamaron Nicolaus y una hija. Este Nicolaus no se dedic a las matemticas y prefiri desarrollar la veta artstica de la pintura, muy presente tambin en la familia Bernoulli.

En octubre de 1686 el senado universitario lo eligi, de forma unnime, para el puesto de profesor de matemticas en la Universidad de Basilea. Con este acto modesto comenz un hecho sin parangn en la historia de esta ciencia: la ctedra de matemticas de la Universidad de Basilea sera ocupada ininterrumpidamente por algn miembro de la familia Bernoulli durante ms de cien aos. An ms, los miembros de esta familia seran profesores de su universidad natal ininterrumpidamente durante un cuarto de milenio, hasta el comienzo de la segunda mitad del siglo XX.

En ese mismo ao, Jacob ley el trabajo pionero de Leibniz sobre el Nuevo Mtodo, donde se publicaban escuetamente las primeras ideas del ahora denominado clculo diferencial e integral. Jacob le escribi a Leibniz pidindole aclaraciones, pero Leibniz se encontraba de viaje y recibira la carta tres aos despus de ser escrita, cuando ya para Jacob la consulta no era en absoluto necesaria, pues no slo lo haba comprendido perfectamente, sino que ya haba realizado sus primeras aportaciones al desarrollo de esta nueva rama de las matemticas.

Uno de los episodios ms significativos en la vida de Jacob Bernoulli ocurri cuando su hermano menor Johann comenz a estudiar matemtica bajo su tutora. Johann, 13 aos ms joven que Jacob, al tiempo que estudiaba la carrera de medicina, quiso que su hermano le enseara los misterios de las matemticas. Y as ambos hermanos comenzaron a estudiar el clculo de Leibniz. Los hermanos no solo llegaron a dominar el clculo diferencial e integral, sino que, ellos mismos contribuyeron significativamente a su desarrollo.

El primer trabajo relacionado con el anlisis de los infinitesimales publicado por Jacob fue en 1690 en elActa Eruditorum. En l resolvi un problema que haba sido propuesto por Leibniz tres aos antes y que Jacob Bernoulli redujo a la resolucin de una ecuacin diferencial. Este trabajo es particularmente importante para la historia del clculo, ya que la denominacin integral aparece por vez primera con su significado actual de proceso inverso al de la diferenciacin.

Al final de este trabajo Jacob propuso como un reto el conocido como problema de la catenaria:

Encontrar la forma que toma una cuerda (o cadena), perfectamente flexible y homognea, por la accin slo de su peso, si sus extremos son fijos.

Este era un viejo problema que los gemetras ms eminentes de pocas anteriores no haban sido capaces de resolver satisfactoriamente. La forma que toma la cuerda tiene un gran parecido con una parbola y precisamente sta fue la primera conjetura formulada por varios matemticos, Galileo entre ellos. Con solo 17 aos Huygens haba demostrado que la curva no era una parbola, aunque no pudo precisar cul era la curva buscada.

Despus de lanzado el reto por Jacob, el problema fue resuelto geomtricamente por Huygens y, mediante el uso de los medios del clculo infinitesimal, por Johann Bernoulli y Leibniz. Y todos obtuvieron constructivamente la misma curva a la que Huygens denomin catenaria, del vocablo latino catena que significa cadena. Actualmente esta curva se describe a travs de la funcin exponencial, mediante la funcin conocida como coseno hiperblico:, pero en la poca que nos ocupa la funcin exponencial an no se haba introducido.

Uno de los tipos de curvas que ms agradaban a Jacob eran las espirales. La primera espiral conocida en la historia de la matemtica es la de Arqumedes. Primeramente Jacob introdujo e investig la llamada espiral parablica(p - a)2= 2ap,a,pconstantes). Para ello, Jacob presenta, aunque en forma embrionaria, una idea de lo que hoy conocemos como coordenadas polares. El problema de hallar la longitud de un arco de esta espiral condujo a Jacob a considerar la primeraintegral elpticaen la historia de la matemtica, teora esta que ha sido el motor impulsor de innumerables investigaciones posteriores que llegan hasta nuestros das.

Pero la espiral que recab la mayor atencin de Jacob fue la que actualmente se conoce comoespiral logartmica. Esta curva apareci por primera vez en el siglo XVI, relacionada fundamentalmente con los problemas de la navegacin interocenica.

Jacob analiz una serie de curvas relacionadas con la espiral logartmica (evoluta, involuta, custica...) y el resultado era frecuentemente otra espiral logartmica. Esta propiedad extraordinaria de reproducirse bajo diversas transformaciones fue lo que motiv que Jacob denominara a esta espiral spira mirabilis (espiral milagrosa) y que ordenase que fuera colocada en la lpida de su tumba junto a la inscripcin latinaEadem mutata resurgo, lo que puede traducirse como:An siendo modificada, resurjo. Sin embargo, por ironas del destino, la espiral que aparece grabada en su tumba es la de Arqumedes y no la logartmica, como l haba dispuesto.

En los ltimos aos del siglo XVII, estall una amarga contr oversia de Jacob con su hermano Johann. Esta situacin se debi sin duda a las difciles caractersticas de la personalidad, tanto de uno como de otro hermano. Jacob posea una naturaleza sensible e irritable y, probablemente, se molest porque Johann alardeaba y nunca agradeci la formacin recibida de l. Por otra parte, la ctedra de matemtica de la Universidad de Basilea la ocupaba Jacob, por lo que Johann tuvo que buscar una ctedra disponible fuera de su ciudad natal. Gracias a sus relaciones con Huygens la hall en Groninga.

En junio de 1696, mientras Johann estaba en Groninga, propuso el problema de la braquistcrona y ret a la comunidad matemtica a resolverlo antes del fin del ao, aadiendo con sarcasmo que la curva es una bien conocida de los matemticos.El problema se expresa como sigue:Dados dos puntos A y B en un plano vertical, hallar el camino AMB por el que una partcula mvil M, descendiendo por su propio peso, ira de A a B en el menor tiempo posible.En la Pascua del ao siguiente aparecieron en total 5 soluciones: adems de Johann y Leibniz resolvieron el problema Jacob Bernoulli, L'Hpital y Newton. La curva solucin de este problema result ser efectivamente, una curva bien conocida y estudiada por la comunidad cientfica, era nada ms y nada menos que lacicloide.

El mtodo de solucin de Jacob result muy general, penetrando profundamente en la esencia de la cuestin y ejerci gran influencia en Euler cuando dio los primeros pasos en lo que ms tarde sera el Clculo de Variaciones. El trabajo en que Jacob presenta su mtodo lleva el original ttuloResolucin del problema de mi hermano, a quien yo a mi vez planteo otro, y efectivamente propone no uno, sino dos nuevos problemas.

La segunda cuestin propuesta por Jacob en su trabajo es notable, entre otras cosas, por revivir el antiguo problema isoperimtrico. Jacob propone un problema realmente difcil y con ello mostr la confianza que tena en la potencia del mtodo por l desarrollado.

No es de extraar que Jacob ofreciera una recompensa a su hermano si aceptaba el reto en un plazo de 3 meses y daba la solucin antes de un ao. Johann, con su fanfarronera habitual respondi que en lugar de 3 meses el no necesitaba ms de 3 minutos para alcanzar la solucin, e incluso para ir ms all y resolver un problema an ms general. Pero en realidad Johann solo resuelve una parte del problema y no precisamente la ms importante. Precisamente esta idea incorrecta de Johann es lo que provoca un hiriente intercambio entre los hermanos, que Jacob da por terminado en 1701 con un trabajo largo y difcil, donde realiza un profundo y correcto anlisis del problema.

Entre los aos 1689-1704 Jacob public cinco memorias con el ttulo general de Proposiciones aritmticas acerca de las series infinitas que fueron la primera gua que existi para el estudio de la teora de series, a pesar de usar mtodos poco ortodoxos y obtener algunos resultados de dudosa validez.

En particular se interes junto a su hermano J ohann por la serie de los inversos de todos los nmeros naturales,desconociendo los resultados que sobre este asunto se haban hallado anteriormente. Cuando demostr la divergencia de esta serie, Jacob asombrado exclam:Entonces una suma donde el ltimo trmino desaparece puede ser infinitamente grande!

Tambin Jacob analiz el comportamiento de la serie, demostrando que tena una suma menor o igual que 2. Sin embargo, no fue capaz de encontrar exactamente el valor de su suma. Este desafo lanzado por Jacob pronto se conoci como elproblema de Basileay solo fue resuelto por la perspicacia de Euler 30 aos despus.

Euler fue mucho mas all. Despus de lograr sumar los inversos de las potencias de orden 4, 6, 8, hasta la exagerada potencia 26, observ una relacin extraordinaria entre las sumas infinitas de los inversos de potencias de orden par y los llamados nmeros de Bernoulli.

Los nmeros de Bernoulli fueron introducidos por Jacob con el fin de sumar las potencias de los primeros nmeros naturales. Sin embargo, su fama se debi a las variadas relaciones, bastante misteriosas, de estos nmeros con otras constantes que aparecen en el Anlisis, la Teora de nmeros, la Topologa Diferencial y con otros problemas de ndole diversa. Quizs, la ms asombrosa de estas relaciones fue la hallada por Ernst Kummer, a mediados del siglo XIX, con el famoso teorema de Fermat.

Primera pgina del Ars conjectandi (1713)

Pero los importantes nmeros de Bernoulli no aparecieron en una obra de anlisis infinitesimal, sino en la que se considera la produccin de Jacob que ha tenido mayor trascendencia:Ars conjectandi(Arte de las conjeturas), publicada en Basilea en 1713 por su sobrino Nicolaus I, ocho aos despus de la muerte de su autor. Cuando muere Jacob, el trabajo estaba an incompleto; no obstante, constitua una obra de gran significacin para una nueva rama de las matemticas que se estaba gestando en esa poca: la teora de las probabilidades.

Bernoulli divide su libro en cuatro partes, pero, desde un punto de vista actual, podemos distinguir dos secciones muy bien diferenciadas. En la primera seccin Jacob se apoya en un trabajo anterior de Huygens, realizando una serie de comentarios y adiciones importantes. En particular, aqu es donde introduce los nmeros de Bernoulli, antes mencionados. Tambin resuelve una serie de problemas relacionados con los juegos de azar para lo que introduce varias nuevas herramientas de clculo, entre ellas la denominada distribucin de Bernoulli o distribucin binomial.

Lo que distinguimos como segunda seccin es la cuarta parte de la obra. Aqu Jacob rompe radicalmente con la temtica tradicional y realiza consideraciones infinitesimales en el clculo de probabilidades al enunciar y demostrar el teorema lmite. Este teorema, que ms tarde Poisson denominar ley de los grandes nmeros, ha sido objeto de numerosas generalizaciones y aplicaciones. En especial, en l se basa la definicin estadstica de probabilidad.

La demostracin dada por Jacob a su teorema es totalmente rigurosa, la insuficiencia del resultado y las crticas que ha recibido son de ndole prctica y radican en el hecho de que la estimacin realizada del nmero de ensayos necesarios es demasiado grande. Su sobrino Nicolaus I y especialmente Abraham de Moivre mejoraron el estimado.

La excelencia de su obra fue reconocida por la comunidad cientfica de la poca. Dos ejemplos de ello lo constituyen el que en 1699 la Academia de Pars, por vez primera, eligi ocho miembros extranjeros y entre ellos estaban, adems de Newton y Leibniz, los hermanos Jacob y Johann Bernoulli. Por su parte, en 1701 la Academia de Berln tambin eligi a ambos hermanos Bernoulli como miembros extranjeros.

A fines del siglo XVII, Jacob enferma seriamente, al parecer de tuberculosis. La enfermedad y las tensiones generadas por las enconadas e insensatas controversias con su hermano provocaron que falleciera, en plenas facultades mentales, el 16 de agosto de 1705.

Ensayo de BernoulliDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En la teora de probabilidad y estadstica, un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que slo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como xito y fracaso). Se denomina as en honor a Jakob Bernoulli.Desde el punto de vista de la teora de la probabilidad, estos ensayos estn modelados por una variable aleatoria que puede tomar slo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para representar el xito.Si p es la probabilidad de xito, entonces el valor del valor esperado de la variable aleatoria es p y su varianza, p (1-p).Los procesos de Bernoulli son los que resultan de la repeticin en el tiempo de ensayos de Bernoulli independientes pero idnticos.Ejemplos[editar]En la prctica, los ensayos de Bernoulli se utilizan para modelar fenmenos aleatorios que slo tienen dos resultados posibles, como por ejemplo: Al lanzar una moneda, comprobar si sale cara (xito) o cruz (fracaso). Se suele suponer que una moneda tiene una probabilidad de xito de 0,5. Al lanzar un dado, ver si se obtiene un seis (xito) o cualquier otro valor (fracaso). Al realizar una encuesta poltica, tras escoger un votante al azar, ver si ste votar "si" en un referndum prximo. Era el recin nacido nia? Son verdes los ojos de una persona? Decidi un cliente potencial comprar determinado producto?Hay que entender que xito y fracaso son etiquetas para los resultados y que no debe ser interpretado literalmente.EL MODELO DE DISTRIBUCIN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD PROPUESTO POR JACOB BERNOULLI.Aportes Cientficos de Jacob Bernoulli:Mientras desde Inglaterra la nocin de un universo newtoniano determinista y mecanicista comenzaba a expandirse a todo el mundo entre los hombres de ciencia y los librepensadores, se observa que por la misma poca en Suiza una importante familia de comerciantes y matemticos, de apellido Bernoulli, tambin aport su grano de arena al desarrollo de la Teora de la Probabilidad.

En efecto, Jacob Bernoulli (16541705), quien tambin es conocido como James o Jacques Bernoulli, fue un matemtico nacido en Basilea (Suiza), quien mantuvo correspondencia con el sabio Gottfried Leibniz para debatir los fundamentos del clculo infinitesimal, y luego en compaa de su hermano Johann Bernoulli (16671748) profundiz en el estudio de las curvas integrales o logartmicas y en las ecuaciones que surgen a partir de las lneas espirales, y as termin desarrollando mtodos innovadores para la solucin de las ecuaciones diferenciales. Jacob Bernoulli conoci sobre los trabajos de Fermat, Pascal y Huygens referentes a la probabilidad, y as concluy que el modelo ideal que ellos propusieron para establecer la forma como se comportan los fenmenos aleatorios se basaba en una Distribucin Uniforme y Frecuentista de la probabilidad, es decir, el modelo propuesto por Pascal, Fermat y Huygens asume que cada posible resultado de un juego de azar, al ser equiprobable, debe aparecer homogneamente y segn sus probabilidades una determinada cantidad de veces dentro de un nmero de jugadas realizadas: por ejemplo, si en el lanzamiento de un solo dado al aire la probabilidad de aparicin de un punto de sus seis caras (1, 2, 3, 4, 5, 6) es de 1/6, entonces dentro de 6 lanzamientos del dado las matemticas indican que ese punto debe aparecer idealmente una sola vez (6 lanzamientos del dado 1/6 de probabilidad = 6/6 = 1), y dentro de 12 lanzamientos del dado ese punto debe aparecer idealmente 2 veces (12 lanzamientos 1/6 de probabilidad = 12/6 = 2), y dentro de 18 lanzamientos del dado ese punto debe aparecer 3 veces (18 lanzamientos 1/6 = 18/6 = 3), y as sucesivamente en una relacin que es directamente proporcional al nmero de lanzamientos realizados. Por tanto, para Jacob Bernoulli el modelo de la probabilidad existente hasta ese momento se basaba en asumir que cada posible resultado de un juego de azar, segn su respectiva probabilidad de ocurrencia, debe observar cierta Frecuencia de aparicin dentro de un determinado nmero de lanzamientos o ensayos, lo cual implica que a la luz de este modelo ideal se puede calcular por anticipado la cantidad esperada de aciertos que ocurrirn dentro de un nmero de lanzamientos o ensayos, idea que es el fundamento de lo que actualmente se conoce como Teorema de Bernoulli o Ley de los Grandes Nmeros, que en su primera formulacin afirma que la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio se mantiene constante sin importar el aumento en el nmero de jugadas, lanzamientos o ensayos realizados.LA OBRA Ars conjectandi (El Arte de conjeturar) y el Modelo de la Distribucin Binomial de la Probabilidad:Estas conclusiones sobre el modelo ideal de la probabilidad desarrollado por Fermat, Pascal y Huygens, las expuso Jacob Bernoulli en su obra titulada Ars conjectandi (El arte de conjeturar), la cual slo sera publicada pstumamente hasta 1713. En esta obra Bernoulli afirma que el modelo ideal de la probabilidad propuesto hasta el momento era claramente frecuentista, es decir, se trataba de un modelo matemtico que siempre asume que los resultados aleatorios posibles de un juego de azar deben aparecer segn cierta frecuencia dentro de un determinado nmero de jugadas o ensayos, frecuencia que est condicionada por la probabilidad individual de ocurrencia de cada resultado. En este razonamiento, que constituye el eje del Teorema de Bernoulli, est implcito el fundamento de lo que actualmente se conoce como la Ley de los Grandes Nmeros entendida como una forma de Regularidad Estadstica, porque si por ejemplo al lanzar un solo dado hay una probabilidad de 1/6 para que aparezca cualquiera de los seis puntos del dado (que son equiprobables), entonces dentro de 6 lanzamientos del dado cada uno de los seis puntos del dado debe aparecer 1 vez, y dentro de 12 lanzamientos del dado cada uno de los seis puntos del dado debe aparecer 2 veces, y dentro de 18 lanzamientos del dado cada uno de los seis puntos del dado debe aparecer 3 veces, y as sucesivamente de forma homognea y uniforme porque la probabilidad se mantiene constante, por lo cual se puede concluir que a largo plazo, entre ms lanzamientos se realicen, la frecuencia de aparicin determinar que todos los seis puntos del dado aparezcan un mismo nmero de veces dentro de cierta cantidad de lanzamientos, todo lo cual se observa en las siguientes grficas:

La primera grfica muestra que si un punto especfico del dado (1, 2, 3, 4, 5, 6) tiene una probabilidad de aparicin equivalente a 1/6, entonces segn esa probabilidad dentro de 6 lanzamientos del dado el punto debe aparecer 1 vez, y dentro de 12 lanzamientos del dado el punto debe aparecer 2 veces, y dentro de 18 lanzamientos del dado el punto debe aparecer 3 veces, y as sucesivamente en una relacin que es proporcional, homognea y uniforme porque la probabilidad de aparicin se mantiene constante independientemente del aumento del nmero de lanzamientos. Las apariciones esperadas del punto del dado estn determinadas por una frecuencia matemtica, la cual a su vez se basa en la respectiva probabilidad de ocurrencia del punto. Si esto es as, entonces la segunda grfica muestra que si se realizan 600 lanzamientos de un dado, a la larga lo que debera ocurrir segn el modelo frecuentista es que cada uno de los 6 puntos del dado debera aparecer una misma cantidad de veces, es decir, 100 veces cada uno, porque cada punto del dado dentro de los 600 lanzamientos simplemente aparecer cumpliendo la frecuencia delimitada por su propia probabilidad de ocurrencia: 1/6 de probabilidad 600 lanzamientos = 600/6 = 100 apariciones esperadas para cada punto del dado. Jacob Bernoulli tambin profundiz en el estudio de un nuevo modelo ideal de la probabilidad en el cual no slo se tiene en cuenta la frecuencia de ocurrencia de un evento aleatorio, sino adems las muchas maneras como pueden aparecer los aciertos a un determinado resultado cuando se presentan las mltiples combinaciones que se dan entre un resultado A que es favorable al jugador y un resultado que es desfavorable al jugador, todo lo cual es representado dentro de una relacin binomial. De este modo, Jacob Bernoulli plante lo que actualmente se conoce como Distribucin Binomial o Distribucin de Bernoulli de la probabilidad, la cual es una medida ideal de la aleatoriedad basada en la frecuencia de ocurrencia de un evento y en el Anlisis Combinatorio de la posible aparicin de dos resultados opuestos, probabilidad la cual se calcula mediante la siguiente frmula matemtica propuesta por Bernoulli:b(k, n, p) =np k (1 p) n k

k

La explicacin de esta frmula y la forma de aplicarla ser un tema a tratar en profundidad mucho ms adelante, al momento de explicar los fundamentos del Anlisis Combinatorio (tambin conocido como Combinatoria) y los fundamentos de la resolucin de los denominados Coeficientes Binomiales aplicados al clculo de probabilidades.El Valor Matemtico de la Probabilidad:En Ars conjectandi tambin Bernoulli seal que como la probabilidad es una proporcin que se expresa mediante un nmero fraccionario (x/y), en el cual generalmente los resultados a favor de un jugador son menores o iguales a la cantidad de resultados posibles que arroja el juego (x y), entonces el valor resultante de ese fraccionario siempre estar ubicado entre 0 y 1, ante lo cual se puede asumir que los valores ms cercanos a 0 indican una baja o nula probabilidad de ocurrencia de un resultado, mientras que los valores ms cercanos a 1 indican una alta probabilidad de ocurrencia de un resultado. En otras palabras, la probabilidad de ocurrencia de un evento siempre se puede medir mediante valores matemticos que fluctan entre 0 y 1. Por ejemplo, si al lanzar un dado un jugador slo puede ganar cuando obtiene el as, entonces al tener una sola opcin favorable su probabilidad es de 1/6 = 0,1666, es decir, su probabilidad es baja porque an es cercana a 0; pero si el jugador puede ganar si en el tiro del dado obtiene el as, el 2 o el 3, entonces ahora tiene 3 opciones a su favor y por tanto su probabilidad es de 3/6 = 0,5, lo que equivale a que ahora su probabilidad est a medio camino entre los valores 0 y 1; y si el jugador pudiera ganar si en el tiro del dado aparece el as, el 2, el 3, el 4 o el 5, entonces su probabilidad se incrementa porque ahora tiene 5 opciones favorables sobre 6 posibles y por tanto su probabilidad es 5/6 = 0,8333 que se aproxima ms al valor de 1; y por supuesto, si el jugador pudiera ganar con la aparicin de cualquiera de los 6 nmeros del dado, entonces su probabilidad sera de 6/6 = 1, lo que indica que sera un juego con la mxima probabilidad para ganar siempre. En sntesis, Bernoulli descubri que la probabilidad de cualquier evento aleatorio siempre tiene un Valor, el cual se ubica entre 0 y 1, lo cual permite concluir que el evento es improbable cuando el valor obtenido se aproxima a 0 y que el evento es ms probable cuando el valor obtenido se aproxima a 1. No hay duda de que la labor investigativa de Bernoulli ocasion que la Teora de la Probabilidad adquiriera mayor cuerpo doctrinal como disciplina diferenciada de la simple aritmtica, pues ahora gracias a sus aportes el anlisis combinatorio de los posibles resultados aleatorios comenz a ser entendido desde la ptica de las Distribuciones de la Probabilidad, desde el Valor de la Probabilidad que le corresponde a un evento aleatorio y desde la Ley de los Grandes Nmeros como un lmite ideal a la ocurrencia de los eventos aleatorios. FUENTES DE CONSULTA:Ecuacin diferencial de BernoulliDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda Las ecuacin diferencial de Bernoulli es Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuacin fue transformada, por Godofredo Leibnitz en 1693 y por Juan Bernoulli en 1697, en una una ecuacin diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitucin y1-n = v [1] , que se caracteriza por adoptar la forma:

donde y son funciones continuas en un intervalo abierto y es un nmero real cualquiera [2]ndice[ocultar] 1 Mtodo de resolucin 1.1 Caso general 1.2 Caso particular: = 0 1.3 Caso particular: = 1 2 Ejemplo 3 Notas 4 Bibliografa 5 Vase tambin

Mtodo de resolucin[editar]Caso general[editar]Si se descuentan los casos particulares en que =0 y =1 y se divide la ecuacin por y se obtiene:(1) Definiendo:

o ,equivalentemente, Z = y1-lleva inmediatamente a las igualdades:

Gracias a esta ltima relacin se puede reescribir (1) como:(2) Ecuacin a la cual se puede aplicar el mtodo de resolucin de una ecuacin diferencial lineal obteniendo como resultado:

Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1- se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuacin diferencial pueden calcularse utilizando la expresin:(3) Con . Donde el factor integrante se define en, por ejemplo, 0 < x < Caso particular: = 0[editar]En este caso la ecuacin se reduce a una ecuacin diferencial lineal cuya solucin viene dada por:(4) Caso particular: = 1[editar]Tenemos una ecuacin diferencial lineal (Ecuacin de variables separables). En este caso la solucin viene dada por:(5) Ejemplo[editar]Para resolver la ecuacin:(*) Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:(**) Multiplicando la ecuacin anterior por el factor: se llega a:

Si se sustituye (**) en la ltima expresin y operando:

Que es una ecuacin diferencial lineal que puede resolverse fcilmente. Primeramente se calcula el factor integrante tpico de la ecuacin de Bernouilli:

Y se resuelve ahora la ecuacin:

Deshaciendo ahora el cambio de variable:

Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :

Polinomios de BernoulliDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En matemticas, los polinomios de Bernoulli se definen mediante la funcin generatriz:

Aparecen en el estudio de numerosas funciones especiales, en particular de la funcin zeta de Riemann y de la funcin zeta de Hurwitz. Los nmeros de Bernoulli son los trminos independientes de los polinomios correspondientes, i.e., .La identidad nos permite dar una forma cerrada de la suma

ndice[ocultar] 1 Expresin explcita de polinomios de menor grado 2 Vase tambin 3 Referencias 4 Enlaces externos

Expresin explcita de polinomios de menor grado [editar]

.Ensayo de BernoulliDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En la teora de probabilidad y estadstica, un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que slo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como xito y fracaso). Se denomina as en honor a Jakob Bernoulli.Desde el punto de vista de la teora de la probabilidad, estos ensayos estn modelados por una variable aleatoria que puede tomar slo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para representar el xito.Si p es la probabilidad de xito, entonces el valor del valor esperado de la variable aleatoria es p y su varianza, p (1-p).Los procesos de Bernoulli son los que resultan de la repeticin en el tiempo de ensayos de Bernoulli independientes pero idnticosLey de los grandes nmerosDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En la teora de la probabilidad, bajo el trmino genrico de La ley de los grandes nmeros se engloban varios teorema que escriben el comportamiento del promedio de una sucesin de variables aleatorias conforme aumenta su nmero de ensayos.Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes nmeros (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.Las leyes de los grandes nmeros explican por qu el promedio de una muestra al azar de una poblacin de gran tamao tender a estar cerca de la media de la poblacin completa.Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del lmite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribucin de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribucin subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estndar.La frase "ley de los grandes nmeros" es tambin usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el nmero de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotera es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotera es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletosconverge en probabilidad a . En otras palabras, para cualquier nmero positivo se tiene

Ley fuerte [editar]La ley fuerte de los grandes nmeros establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesin infinita de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas que cumplen E(|Xi|) < y tienen el valor esperado , entonces

es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1).Esta ley justifica la interpretacin intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".Demostracin (resultado preliminar)[ocultar]Demostraremos el siguiente resultado: Sea una sucesin de variables aleatorias independientes e integrables con (esperanza 0) y ; entonces, el promedio casi seguramente cuando . Este teorema no asume que las variables aleatorias son idnticamente distribuidas pero controla el crecimiento de las varianzas. Para demostrar el teorema haremos uso del siguiente lema:Desigualdad Maximal. Sean variables aleatorias independientes y sean y constantes positivas que cumplen para cada i. Luego

Demostracin del lema: Sean y . Definamos asimismo la variable aleatoria

Tenemos entonces:

Ahora bien, si y entonces implica que por ende:

con lo que se concluye el lema. (Fin demostracin del lema)Sigamos con la demostracin del teorema: Definamos

Tenemos entonces que la serie es convergente pues:

La convergencia c.t.p. que asegura el teorema es equivalente a:

Por el lema de Borel-Cantelli, es suficiente demostrar que, para todo ( 1) Cada probabilidad en la suma anterior puede ser acotada por:

Ahora se aplica la desigualdad maximal:

La ltima desigualdad de la lnea anterior se justifica por la desigualdad de Chebyshev. Una nueva aplicacin de esta misma desigualdad nos permite acotar los :

Es decir, hemos logrado acotar cada sumando de la (1) por una constante por los trminos de una sumatoria que sabemos convergente, demostrando la convergencia de dicha sumatoria y concluyendo via Borel-Cantelli la convergencia fuerte del teorema.(Fin de la demostracin)Demostracin de la ley fuerte de los grandes nmeros (Kolmogorov)[ocultar]Sea una sucesin de variables aleatorias independientes, integrables e idnticamente distribuidas con (esperanza 0), entonces, el promedio casi seguramente cuando . Definamos y . Tenemos que . Adems, usando la hiptesis de distribuciones idnticas, podemos en general reemplazar (no siempre) una distribucin genrica por un representante, digamos . Tenemos entonces:(1) La ltima convergencia a cero viene dada por la convergencia puntual ms convergencia dominada por . Tambin tenemos que:(2) La tercera igualdad viene de que para cualquier variable aleatoria se cumple que:

La (2) implica, por Borel-Canteli, que el conjunto tiene probabilidad cero. Por lo tanto, en un conjunto de probabilidad 1 se cumple:(3) De la desigualdad podemos deducir que:

Por el teorema anteriormente demostrado tenemos:(4) casi seguramente. Como adems tenemos que:

Entonces, de las ecuaciones (1), (3) y (4) se deduce que en casi en todos los puntos, concluyendo el teorema.LemniscataDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda

Lemniscata.En geometra analtica, considrese n puntos del plano F1, F2, ...,Fn y k un nmero real estrictamente positivo. El conjunto de los puntos del plano cuyo producto de las distancias a cada uno de los puntos F1, F2,...,Fn es constante e igual a k es una curva (lugar geomtrico) llamada lemniscata de n focos[1] .En matemtica y en particular, la lemniscata de Bernoulli es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuacin en coordenadas cartesianas:y tiene slo dos focos [2] .La representacin grfica de esta ecuacin genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el smbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemtica. El smbolo en s mismo es, a veces, llamado lemniscata. Su representacin en Unicode es y su cdigo es ().La lemniscata fue creada, en 1694, por Jakob Bernoulli como la modificacin de una elipse, curva que se define como el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposicin, una lemniscata es el lugar geomtrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llam lemniscus, que en Latn significa "cinta colgante".La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hiprbola, con el crculo inversor centrado en el centro de la hiprbola (punto medio del segmento que une los dos focos)[citarequerida].ndice[ocultar] 1 Otras ecuaciones 2 En coordenadas bipolares 3 Derivadas 3.1 Con como funcin de 3.2 Con como funcin de 4 Parmetro arco y funciones elpticas 5 Referencias y notas 6 Vase tambin

Otras ecuaciones [editar]La lemniscata puede ser descrita mediante coordenadas polares segn la siguiente ecuacin:

En coordenadas bipolares [editar]Llmanse coordenadas bipolares del punto P de un plano, con respecto a los polos O y O', al par ordenado (r, r') que son sus sendas distancias del punto a los polos. [3] .Similarmente, en coordenadas bipolares, su ecuacin es:, donde k es una constante real estrictamente positiva.Derivadas [editar]Cada derivada fue calculada usando Diferenciacin implcita.Con como funcin de [editar]

Con como funcin de [editar]

Parmetro arco y funciones elpticas [editar]La determinacin del parmetro arco de la lemniscata llev a las integrales elpticas, que fueron descubiertas durante el siglo XVIII. Alrededor de 1800, las funciones elpticas que intervienen en estas integrales fueron estudiadas por Carl Friedrich Gauss. No seran publicadas hasta mucho tiempo despus, pero se hacan alusiones a ellas en las notas de su obra Disquisitiones Arithmeticae. La base del retculo definido por los pares fundamentales de perodos (pares ordenados de nmeros complejos) tiene una forma muy especial, siendo proporcional a los enteros de Gauss. Por esta razn el conjunto de funciones elpticas con el producto complejo por la unidad imaginaria se denomina conjunto lemnisctico.