jailbreak fecamp x 9, 15 16 ตุลาคม 2559 แนวข้อสอบ pat3 ... ·...

โครงการ Jailbreak โดย FECamp X (www.fecampchula.net) คณะวศวกรรมศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ระหวางวนท 9, 15 – 16 ตลาคม 2559

คณตศาสตร หนา 1

แนวขอสอบ PAT3 วชา คณตศาสตร

ขอ 1 ถา 2 3 4

x x x xf ' x e 1 x ...

2 ! 3 ! 4 ! จงหาคาของ f x

1. xf x e 2. xf x e 1 3. xf x e 1

4. 2 3 4x x x

f x 1 x ...2 ! 3 ! 4 !

5. ไมมขอใดถก

ตอบ 5. ไมมขอใดถก

เนองจาก 2 3

x1

x xf x f ' x dx x ... c e C

2! 3 !

ซงโจทยไมไดก าหนดคา C มาให (คา C เปนจ านวนจรงใด ๆ กได) f x จงไมจ าเปนทจะตองมคาดงชอยส 1 ถง 4

ขอ 2 ก าหนดให 2y x x จงหาอนพนธของ 2y เทยบ 2x ทจด x 2 1. 0 2. 1 3. 2

4. 3 5. 4 ตอบ 4. 3

จาก 22 2 4 3 2y x x x 2x x ให 2A x จะไดวา

32 2 2y A 2A A

ดงนน

32 2

12 222

2

d A 2A Ady dy

2A 3A 1 2x 3 x 1dx dA dA

จงได อนพนธของ 2y เทยบ 2x ทจด x 2 คอ 22 2 3 2 1 3


หนา 2 คณตศาสตร

ขอ 3 ก าหนดให 1m และ 2m เปนความชนของกราฟสมการ 2 22x 5xy 3y 0 ณ จด P 1,2

และ Q 3, 1 ตามล าดบ แลว 1 23 m m มคาเทาไร 1. 5 2. 4 3. 3

4. 2 5. 1 ตอบ 1. 5

พจารณา 2 22x 5xy 3y 0 2x y x 3y 0 ได y 2x และ x

y3

ดงนน กราฟของสมการ 2 22x 5xy 3y 0 คอกราฟ y 2x กบกราฟ x

y3

จากจด P 1,2 อยบน y 2x จงได 1m 2

จากจด Q 3, 1 อยบน x

y3

จงได 2

1m

3

ดงนน จงได 1 23 m m 5

ขอ 4 ก าหนดให b 1 และ b

1

x 1dx 4

x x

จงหาคาของ 21 b b

ตอบ 91 พจารณา

b b b

b

11 1 1

x 1 x 1 x 1 1dx dx 1 dx x 2 x b 2 b 1

x xx x 1

ดงนน b 2 b 1 4 b 2 b 3 0 b 3 b 1 0

ได b 3 เทานน จะได b 9

ดงนน 21 b b 91



ขอ 5 ก าหนดให 1

2

0

f x 3x x f x dx 4

จงหาคา f 0 f ' 0

ตอบ -10 แทน x 0 ได f 0 0 0 4 4

ให 1

0

f x dx k ซง k เปนจ านวนจรงคาหนง และท าการใส 1

0

dx ทงสองขางของสมการ จะไดวา

1 1 1 1

2

0 0 0 0

f x dx 3x dx kxdx 4dxk

121 13

000

xk x k 4x

2

k1 4 k 6

2

จากโจทย จงได 2f x 3x 6x 4 ดงนน f ' x 6x 6 f ' 0 6 ได f 0 f ' 0 4 6 10 ขอ 6 (PAT3 ต.ค. 53) เสยงระฆงทหอนาฬกาจะตบอกเวลาทก ๆ ชวโมง เมอเวลา 9 โมงเชา (ระฆงต 9

ครง) หากจบเวลาหลงจากไดยนเสยงระฆงครงแรกจนกระทงสนเสยงระฆงครงสดทายไดเวลา 9 วนาท อยากทราบวาทเวลา 5 โมงเยน (ระฆงต 17 ครง) ระยะเวลาตงแตไดยนเสยงระฆงครงแรก จนกระทงสนเสยงระฆงครงสดทาย คดเปนเวลากวนาท

ตอบ 18 วนาท สงเกตวาการตระฆง 9 ครง จะมชวงระหวางการต 8 ชวง ดงรป

1 2 3 4 5 6 7 8 9| | | | | | | | |

ดงนน แตละชวงนาน 9

8 วนาท

การตระฆง 17 ครง จะมชวงระหวางการต 16 ชวง

ดงนน ใชเวลาในการตทงสน 9

16 188

วนาท



ขอ 7 การจดวางไพใหเปนรปพระมดหนงชนท าไดโดยการองไพสองแผนเขาดวยกน ส าหรบการวางไพพระมดใหสงกวาหนงชนขนไปจ าเปนตองมไพวางราบเปนฐานเชอมยอดของพระมดชนลางกอน แลวหลงจากนนจงสามารถวางไพใหสงขนไปได ยกตวอยางเชน พระมดสองชนใชไพ 7 ใบในการจดวางและพระมดสามชนใชไพ 15 ใบในการจดวาง ดงรป

จงหาวาไพ 4 ส ารบ (204 ใบ) จะสามารถวางซอนใหเปนพระมดไพไดสงสดกชน ตอบ 11 ชน สงเกตวา

พระมดทม n ชน จะมฐาน จ านวน n อน อยทชนลางสด

แลวชนถด ๆ ไป จะมสามเหลยม จ านวน n 1 , n 2 , n 3 , … อน ไลขนไปเรอยๆ ดงนน ในการสรางพระมดทม n ชนจะตองใชไพทงหมด

2 n 3 n 1 n 2 n 3 ... 1

2n 1 n 3n n2n 3

2 2

ใบ

ตองการหาจ านวนเตม n ซง 23n n

2042

ท าการแทนคาออกมาจะได n 11

ดงนน จงสามารถวางซอนใหเปนพระมดไดสงสด 11 ชน



ขอ 8 พนทผวของปรซมทรงสเหลยมมมฉากรปหนงมคาเปน 64 ตารางหนวย และผลบวกของความกวาง ความยาว และความสงของปรซมนเปน 10 หนวย จงหาความยาวของเสนทแยงมมทยาวทสดของปรซมน

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8 5. 9 ตอบ 2. 6

จากรป จะไดวาเราตองการหาความยาวของเสนสแดง ซงมความยาวเทากบ

2 2 2a b c หนวย จากโจทยจะไดวา 2 ab bc ca 64 และ a b c 10

ดงนน 2 2 2a b c 2a b c 2 ab bc ca

100 64 6 หนวย

ขอ 9 จงหาปรมาตรของพระมดฐาน 6 เหลยมดานเทามมเทาทมสนยาว 25 หนวย สง 24 หนวย

ตอบ 588 3 ลกบาศกหนวย

จะได 2 2x 25 24 7

แบงพระมดเปน 6 สวนเทาๆกน ดงรป แลวคดปรมาตรเพยงสวนเดยว จะได ปรมาตรพระมดทงหมด คอ 6 ปรมาตรพระมดอนเลก

21 36 7 24

3 4

588 3 ลกบาศกหนวย



ขอ 10 จงหาคาของ 2.3456

ในรปเศษสวน

1. 23,433

9,900 2.

23,433

9,990 3.

23,433

9,999

4. 23,226

9,900 5.

23,226

9,990

ตอบ 2. 23,433

9,990

2.3456

4 7 102.3 456 10 456 10 456 10 ...

4

3

456 102.3

1 10

0.0456

2.30.999

456

2.39,990

23,433

9,990



ขอ 11 (PAT3 ม.ค. 54) ถาผลรวมของ 3 3 3 31 2 3 ... n มคาเทากบ 2K โดยทจ านวนเตม 10 K 16 แลว จงค านวณหาผลรวมของคา K ทงหมดทเปนไปได

ตอบ 25

จาก

23 3 3 3 2n n 1

1 2 3 ... n K2

จะได

n n 1K

2

แทน n 1 ได K 1, 1 แทน n 2 ได K 3, 3 แทน n 3 ได K 6, 6 แทน n 4 ได K 10 แทน n 5 ได K 15 ท n 5 จะได K ไมอยในชวงทโจทยก าหนด ดงนน ผลรวมของคา K ทงหมดทเปนไปได คอ 1 1 3 3 6 6 10 15 25



ขอ 12 นสตคนหนงตองการเกบเงนไวในกระปกออมสน โดยเดอนแรกเกบเงน 200 บาท เดอนตอ ๆ ไปเกบเพมอก 10 บาท, 10 + 20 บาท, 10 + 20 + 30 บาท,… ไปเรอย ๆ กลาวคอ เดอนทสองเกบเงนอก 210 บาท เดอนทสามเกบเงนอก 230 บาท เดอนทสเกบเงนอก 260 บาท เปนตน เมอครบ 20 เดอน นสตดงกลาวจะมเงนเกบเทาไร

ตอบ 17,300 บาท ท าการตงบวกเลข ดงน

200

200 10

200 10 20

200 10 20 30

.

.

.

200 10 20 30 ... 190

___________________________________________________

20 200 19 10 18 20 17 30 ... 1 190

19

n 1

4,000 20 n 10n

19

2

n 1

4,000 200n 10n

19 19

2

n 1 n 1

4,000 200 n 10 n

19 20 19 20 39

4,000 200 102 6

17,300 บาท



ขอ 13 ถา (a – 4), (a + 1), b, 5a เปนเลข 4 จ านวน ซง 3 จ านวนแรกเรยงกนเปนล าดบเลขคณต และ 3 จ านวนหลงเรยงกนเปนล าดบเรขาคณต คา a และ b คอเทาไร

1. a 4 และ b 10 2. a 2.5 และ b 8.5 3. a 2.25 และ b 3.75

4. ขอ 1 และ 3 ถก 5. ไมมขอใดถก

ตอบ 4. ขอ 1 และ 3 ถก 3 จ านวนแรกเรยงกนเปนล าดบเลขคณต d d b a 1 a 1 a 4

ได a 6 b

3 จ านวนหลงเรยงกนเปนล าดบเรขาคณต 5a b

r rb a 1

แทน b a 6 ลงไป จะได

2a 6 5a a 1 24a 7a 36 0 4a 9 a 4 0

ดงนน 9

a4

หรอ a 4 แทนกลบใน a 6 b ได

a,b 4,10 , 2.25,3.75



ขอ 14 ก าหนดให 1 2 10x , x ,..., x มคาเปน 5, 6, a, 7, 10, 15, 5, 10, 10, 9 ตามล าดบ โดยท a 15 ถา

พสยของขอมลชดนเปน 12, b เปนจ านวนจรงทท าให 10

2

ii 1

x b

มคานอยทสดและ c เปน

จ านวนจรงทท าให 10

ii 1

x c

มคานอยทสด จงหาคาของ a b c

1. 19 2. 20 3. 21 4. 22 5. 23 ตอบ 1. 19 จาก a 15 และ พสย 12 ท าใหไดวา 15 a 12 เทานน ดงนน a 3 ขอมลทงหมดจงเปน 3, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 10, 10, 15 จากสมบต จะไดวา b คอ คาเฉลยของขอมล และ c คอ มธยฐานของขอมล ดงนน b 8 และ c 8 ท าให a b c 3 8 8 19



ขอ 15 ในการสอบครงหนง มสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 3.5 มผลรวมคาทกคาในขอมลเทากบ 450 และมผลรวมของก าลงสองของคามาตรฐานของขอมลทกคาเทากบ 15 ถานาย A สอบได 37 คะแนน จงหาคามาตรฐานของนาย A

ตอบ 2

เนองจาก N

2i

i 1

z N

<<< เปนสมบตทควรร

จงไดวา N 15

จาก 15

ii 1

x 450

จงได

N

ii 1

x450

30N 15

จาก AA

xz

จงไดวา A

37 30z 2

3.5

( คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมล และ คอ สวนเบยงเบนมาตราฐานของขอมล)

ขอ 16 ก าหนดให 212f x 3f x

x

เมอ x 0 จงหาคาของ 4f 2

1. -3 2. -5 3. -7 4. -9 5. -11 ตอบ 3. -7

แทน x 2; 1

2f 2 3f 42

แทน 1

x ;2

1 1

2f 3f 22 4

แกสมการออกมาจะได 7

f 24

ดงนน 4f 2 7



ขอ 17 ถา 1 xf x

x 2

และ fog x 2 3x 6 แลว g 2 เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 1.5 3. 2 4. 2.5 5. 3 ตอบ 2. 1.5

จาก f g x 2 3x 6 จะได 1g x 2 f 3x 6

แทน x 0 จงได 1 6g 2 f 6 1.5

6 2

ขอ 18 ก าหนดให 2A x, y R R | y 2016 x และ

B x, y R R | x y 2559 จงหาโดเมนของ A และ เรนจของ B

ตอบ AD 2016 , 2016 และ BR 0,2559

AD ; 2 22016 x 0 x 2016 0 x 2016 x 2016 0

ดงนน AD 2016 , 2016

BR ; จาก x 2559 y และ x 0 จะไดวา 2559 y 0

เนองจาก y R จงไดวา BR 0,2559



ขอ 19 นกพยาธวทยาท าการเพาะเซลลชนดหนงเรมตนมเซลลทงหมด 4,000,000 เซลล พบวาทก ๆ 3 นาท

เซลลจะตายไปรอยละ 50 ของจ านวนทมอย จงหาวาทเวลาในขอใดทจะมจ านวนเซลลต ากวา 4,000

เซลล เปนครงแรก (ก าหนดให log2 0.301 และ log3 0.477 )

1. 10 นาท

2. 15 นาท

3. 20 นาท 4. 25 นาท 5. 30 นาท ตอบ 5. 30 นาท

เมอผานไป x นาท จะไดวาเหลอเซลลอย x

3

4,000,000

2 เซลล

ดงนน เราตองการหาคาของ x ซง

x

3

4,000,0004,000

2

x

31000 2

ท าการ Take Log ทงสองขาง จะไดวา x

3x

3 log 2 log23

ดงนน 9 9

x 29.9log2 0.301

จงตองตอบ 30 นาท



ขอ 20 หาผลบวกของค าตอบของสมการ x 2x 1 x8 3 2 5 2 12 0 1. 2log 3

2. 2log 4

3. 2log 6

4. 2log 8

5. 2log 12

ตอบ 5. 2log 12

ให x2 A จากโจทยจะได 3 2A 6A 5A 12 0 แกไดเปน A 1 A 3 A 4 0 ได A 1,3,4

ดงนน x2 3,4 (เพราะ x2 0 เสมอ จงไมเอา –1) ได 2 2x log 3,log 4 ผลบวกค าตอบของสมการจงเปน 2 2 2log 3 log 4 log 12



ขอ 21 (PAT3 ม.ค. 54) คณะวศวกรรมศาสตรจดงานเลยงตอนรบทมนกศกษาจากประเทศฝรงเศส การทกทายกนในงานเลยงคอการ ‘ลาบส’ (La bise) ตามวฒนธรรมฝรงเศส ซงคอการน าแกมมาแนบกน โดยในการท าลาบสแตละครงจะน าแกมมาแนบกน 3 ครง เชน ซาย – ขวา – ซาย ก าหนดใหแขกแตละคจะท าลาบสกนเพยง 1 ครงเทานน และแขกแตละคนตองท าลาบสกบแขกคนอนในงานทกคน หากนบจ านวนการแนบแกมกนในงานเลยงครงนได 108 ครง จงหาวามแขกในงานเลยงกคน

1. 9 2. 10 3. 12 4. 15 5. 18 ตอบ 1. 9 สมมตวามแขกในงานเลยงทงหมด n คน

จะไดวามการท าลาบสทงหมด n

2

ครง จงมการแนบแกมเกดขน n

32

ครง

ดงนน

n n !3 108 3 108 n n 1 72

2 n 2 !2 !

ได n 9 ขอ 22 (PAT3 ธ.ค. 54) นกกฬาบาสเกตบอลคนหนงโยนลกโทษแตละครงมโอกาสทลกบาสเกตบอลจะลง

หวงเปน 0.6 ถานกกฬาไดโยนลกโทษ 3 ครง โอกาสทลกบาสเกตบอลจะลงหวงอยางนอย 2 ครง คดเปนกเปอรเซนต

ตอบ 64.8 เปอรเซนต

โอกาสทบอลลงหวง 2 ครง คอ 1 23

1 0.6 0.6 0.4322

โอกาสทบอลลงหวง 3 ครง คอ 33

0.6 0.2163

ดงนน โอกาสทบอลลงหวงอยางนอย 2 ครง คอ 0.432 + 0.216 = 0.648 = 64.8%



ขอ 23 (PAT3 ม.ค. 54) บรษทแหงหนงมพนกงานทงหมด 35 คน โดยเปนหวหนาแผนกทงหมด 5 คน บรษทตองการจดงานเลยงพนกงานโดยการเชญคนในบรษทมารวมงานเลยงจ านวน 10 คน ถามวาโอกาสทหวหนาแผนกจะถกเชญมาครบทงหาคนเปนเทาไร

1. 5!35!

10!30! 2.

10!30!

5!35! 3.

5!

30!

4. 5!

10! 5.

30!

5!

ตอบ 2. 10!30 !

5!35!

เหนไดชดวา 35

n S10

พจารณา การหาคา n E จะไดวา เนองจาก หวหนาแผนกทง 5 คนถกเชญมาครบ ท าใหเหลอทใหรวมงานเลยงอก 5 ท และเหลอคนท

จะเชญมารวมงานเลยงไดอก 30 คน ซงจดได 30

5

วธ

ดงนน

3030!

5n E 10!30 !25!5!P E 35!35n S 5!35!25!10 !5



ขอ 24 ก าหนดให A เปนเมตรกซมต 3 3

โดยท det(A) 0 และ 2det Aadj A 2 det A 3 det A 0

จงหาคาของ det adj A

ตอบ 9

จาก 1adj A det A A จงได Aadj A det A I ดงนน

20 det Aadj A 2 det A 3 det A

20 det det A I 2 det A 3 det A

3 20 det A 2 det A 3 det A (ใช mdet kB k det B )

0 det A det A 3 det A 1 ได det A 3 (เพราะโจทยก าหนด det A 0 )

ดงนน det adj A 1det det A A

3 1det A det A (ใช mdet kB k det B )

3 1det A det A

2det A

9



ขอ 25 ให A , B , C เปนเวกเตอรซง A 3 , B 2 , C 1 และ ถา A B 4C 0

จงหาคาของ A B B C C A

ตอบ -2.5 จาก A B 4C 0 จะได A B C 3C

ดงนน 2 2A B C 3C

2 2 2 2

A B C 2 A B B C C A 9 C

9 4 1 2 A B B C C A 9 1 ดงนน A B B C C A 2.5

ขอ 26 จงหาคาของ 2

5cis 80 2cis 20

1. 38 2. 39 3. 40 4. 41 5. 42 ตอบ 2. 39

2

5cos80 2cos20 i 5sin80 2sin20

2

2 25cos80 2cos20 5sin80 2sin20

2

2 2 2 225 cos 80 sin 80 4 cos 20 sin 20 20 cos80 cos20 sin80 sin20

2

25 1 4 1 20cos 80 20

21

29 202

39

jailbreak fecamp x 9, 15 16 ตุลาคม 2559 แนวข้อสอบ pat3 ... ·...

Documents