1

Диференцијална једначина провођења топлоте у Декартовим, 

поларно‐цилиндричним и сферним координатама 

 

Детаљно извођење диференцијалне једначине провођења топлоте је дато на предавањима. Ради 

лакшег  решавања  проблема  провођења  топлоте  кроз  тела  различитих  облика  (нпр.  кроз  раван 

зид,  зид цилиндричне цеви, куглу итд.) приказаћемо ову  једначину у различитим координатним 

системима.  

Декартове координате: 

 

 

У општем случају имамо:

v p

T T T Tq c

x r y y z z t

 

2 2 2

2 2 2

ако je , , (тј. није функција координата) имамо:

v

p

x y z

qT T T Ta

x y z c t

 

  2

Поларно‐цилиндричне координате: 

 

 

Према елементарним правилима диференцијалног рачуна: 

2 22 2

sincos . .

T T r T T z x T y T T T

x r x x z x r x y x r rx y

 

sinоператор cos

x r r

 

С обзиром на то имамо да је: 

2

2

2 2

2

sincos

sin sin sin sincos cos cos cos

sin sicos cos 0 cos

T T T

x x x x r r

T T T T

r r r r r r r r

T T T T

r r r r

2

2 2

2

n

sin sin sin coscos sin

r

T T T T

r r r r r r

 

  3

2 2 22

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2

sin cos sin coscos

sin cos sin sin sin cos

sin cos sin cos sin sincos 2 2

T T T T

x r r r r

T T T T

r r r r r r

T T T T T T

x r r r r r r r

 

Аналогно претходном извођењу: 

cossin . .

T T r T T z T T

y r y y z y r r

 

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2

sin cos sin cos cos cossin 2 2

T T T T T T

y r r r r r r r

 

 

2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2

2 22

2 2 2

1 1

1 1

x y z r r r r z

T T TT r

r r r r z

 

 

2

У општем случају имамо:

1 1i p

T T T Tr q c

r r r r z z t

 

2 2

2 2 2

ако je , , (тј. није функција координата) имамо:

1 1 i

p

x y z

qT T T Ta r

r r r r z c t

 

  4

 

Сферне Координате: 

 

 

2 2 22

2 2 2 2 2 2 2

22

2 2 2

2 1 1 cos

sin

1 1 1sin

sin sin

T T T T TT

r r r r r r

T T Tr

r r r

 

22 2

У општем случају имамо:

1 1sin

sin sin i p

a T T T Tr q c

r r r t

 

2

22 2 2

ако je , , (тј. није функција координата) имамо:

1 1sin

sin sini

p

x y z

qa T T T Tr

r r r c t