ISOMETRIAS

STEFANY TATIANA OSPINA CASTELLANOS Cód.: 20131167043

LEIDY MILENA SÁNCHEZ RAMÍREZ Cód.: 20131167032

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA II

BOGOTA

2013

ISOMETRIAS

STEFANY TATIANA OSPINA CASTELLANOSCód.: 20131167043

LEIDY MILENA SÁNCHEZ RAMÍREZ Cód.: 20131167032

Trabajo como requisito en la materia de Geometría

Fernando Villarraga Poveda

Docente

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

GEOMETRÍA II

BOGOTA

2013

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

OBJETIVOS……………………………………………………………………..

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………

JUSTIFICACION………………………………………………………………….

1. CAPÍTULO I. HISTORIA………………………………………………………….

1.1 Definición de Isometría……………………………………………………

1.2 Historia de las Isometrías………………………………………………

2. CAPITULO II. MOVIMIENTOS EN EL PLANO.

2.1 Definición………………………………………………………………….

2.2 Tipos de movimiento en el plano………………………………………..

2.2.1 Movimiento de traslación……………………………………….

2.2.2 Movimiento de rotación………………………………………..

2.2.3 Movimiento de reflexión…………………………………………

2.2.4 Movimiento de reflexión desplazada……………………………

2.3 Composición de isometrías………………………………………………..

2.3.1 Composición de dos traslaciones……………………………..

2.3.2 Composición de dos rotaciones……………………………….

2.3.2.1 Composición de dos giros con el mismo centro……..

2.3.2.2 Composición de dos giros con distinto centro………..

2.3.3 Composición de dos reflexiones………………………………..

2.3.3.1 Composición de dos simetrías de ejes paralelos…..

2.3.3.2 Composición de dos simetrías de ejes secantes…..

2.3.4 Composición de una traslación y una rotación…………………

2.3.5 Composición de una rotación y una reflexión…………………..

2.3.5.1 Composición de una rotación y una reflexión cuyo eje pasa por el centro del giro………………………………………..

2.4 Diseños

2.4.1 Clasificación de diseños……………………………………….

2.4.1.1 Diseños finitos……………………………………….

2.4.1.1.1 Grupos con centro de giro de orden n……

2.4.1.1.2 Grupos con n ejes de simetría centrales……

2.4.1.2 Diseños traslacionales………………………………

2.4.1.2.1 Monotraslaciones…………………………..

2.4.1.2.2 Distraslacionales…………………………

2.5 Mosaicos………………………………………………………………….

2.6 Trama……………………………………………………………………..

2.6.1 Trama de celda formada por paralelogramos……………………

2.6.2 Trama de celda cuadrada………………………………………… 2.6.3 Trama de celda rectangular………………………………………. 2.6.4 Trama rómbica centrada…………………………………………..

2.6.5 Trama hexagonal……………………………………………………

2.7 Azulejos……………………………………………………………………….

2.8 Unidad de traslación………………………………………………………….

2.9 Dominio fundamental…………………………………………………………

3. Capítulo III. Grupos de isometrías……………………………………………………..

3.1 Grupo I (p1)………………………………………………………………….

3.2 Grupo II (p2)……………………………………………………………………

3.3 Grupo III (p3)……………………………………………………………………

3.4 Grupo IV (cmm)………………………………………………………………..

3.5 Grupo V (pm)…………………………………………………………………..

3.6 Grupo VI (pg)…………………………………………………………………..

3.7 Grupo VII (pmm)……………………………………………………………….

3.8 Grupo VIII (pgg)……………………………………………………………….

3.9 Grupo IX (pmg)…………………………………………………………………

3.10 Grupo X (p4)………………………………………………………………….

3.11 Grupo XI (p4m)………………………………………………………………

3.12 Grupo XII (p4g)………………………………………………………………

3. 13 Grupo XIII (p3)………………………………………………………………

3.14 Grupo XIV (p3m1)……………………………………………………………

3.15 Grupo XV (p31m)…………………………………………………………….

3.16 Grupo XVI (p6)……………………………………………………………….

3.17 Grupo XVII (p6m)……………………………………………………………

4. Capítulo IV. Conclusiones……………………………………………………………

5. Capítulo V. Bibliografía………………………………………………………………..

6. Capítulo VI. Webgrafía…………………………………………………………………

OBJETIVOS

Objetivo General

Identificar los distintos movimientos en el plano indicando su significado y desarrollo con el estudio de las isometrías.

Objetivos Específicos

1. Estudiar y entender los 17 grupos de isometrías

2. Analizar las transformaciones en el plano y su desarrollo lógico.

3. Optimizar el manejo de la herramienta de GeoGebra para reconstruir los 17 grupos de isometrías en el plano.

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INTRODUCCION

El tema principal de este trabajo serán las isometrías; se desarrollará este trabajo para entender de manera clara y concisa las transformaciones en el plano.

Desarrollaremos este trabajo dando definiciones y ejemplos de isometrías, de teselaciones; se utilizará la herramienta de GeoGebra para graficar los ejemplos.

La metodología usada en este trabajo será cualitativa; ya que se examinarán dichos fenómenos pero el énfasis del trabajo se hace en entender los mismos tal como existen.

JUSTIFICACIÓN

El siguiente trabajo se hace con el fin de incorporar e interpretar el concepto de isometrías como aplicación lineal en la geometría, para generar un desarrollo multifuncional y armónico entre las distintas ramas de las matemáticas. De esta manera es necesario la concepción y análisis de todos y cada uno de los grupos de isometrías que serán definidos posteriormente. Es determinante entonces, reconocer la importancia de la sistematización otorgada a esta clasificación de movimientos, que a su vez forman un mosaico, clave para el ordenamiento de las isometrías.

Capítulo I. HISTORIA

1.1 ¿QUÉ ES UNA ISOMETRÍA?

Las Transformaciones en el plano hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del mismo. Existen muchas formas de transformar el plano, pero existe una particular, esta consiste en transformar el plano conservando las distancias, es decir, la distancia entre dos puntos es igual a la distancia entre sus transformaciones. Estos tipos de transformaciones reciben el nombre de isometrías.

Según Euclides es una asignación. A cada elemento del plano le asignamos otro elemento del plano (Una función). Ahora, para que eso sea un movimiento, esa función tiene que asignarle a una figura, otra figura congruente. Literalmente es la manera euclidiana de definir isometrías.

Dicho de otra manera: Sea T una transformación y P(x,y) y Q(z,w) puntos cualesquiera en el plano, la distancia entre los puntos P y Q debe ser igual a la distancia entre los punto T(P) y T(Q). Por lo tanto

d(T(x,y),T(z,w))=d((x,y),(z,w))

1.3 HISTORIA DE LAS ISOMETRIAS

El termino isométrico, deriva del griego; igual medida, y proviene del prefijo –iso-, que significa igual y de la palabra métrico que significa medida; ya que la escala de medición es la misma a lo largo de cada eje.

Las antiguas civilizaciones utilizaban teselados o mosaicos para la construcción de sus casas y templos cerca del año 4,000 A.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geométricos. Ellos usaban arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos demostraron maestría en este tipo de trabajo. Ellos fueron los persas, los moros y los musulmanes.

La palabra teselado proviene de tessellae. Así llamaban los romanos a las construcciones y pavimentos de su ciudad. Las primeras concepciones sobre simetría arquitectónica identificaron la simetría con la proporción, el equilibrio y la belleza. Esta equivalencia mantenida por Policleto, Platón y Pitágoras, entre otros, quedó perfectamente encuadrada con la definición de simetría.

La simetría o conmensuración es, precisamente, el vínculo armónico de cada uno de los miembros del oficio, es la correspondencia proporcional de cada una de las partes consideradas en sí, respecto a la figura global dela obra. Así como en el cuerpo del hombre la cualidad de la euritmia está conmensurada por el antebrazo, el pie,la palma de la mano, el dedo y las otras partes, lo mismo ocurre en el perfecto y completo edificio.

Dicha concepción influyó notablemente en el Renacimiento: Durero, Miguel Angel, Piero della Francesca, Paccioli, Leonardo da Vinci...etc, hicieron notables contribuciones a la simetría sin desligar esta del proporcionado de la obra. La referencia de Palladio: entiendo que los edificios deben parecer un entero y buen definido cuerpo en el que un miembro convenga al otro y todos los miembros sean necesarios para aquello que se quiere hacer, sintetiza perfectamente esta vinculación arquitectónica de simetría y proporción en un aspecto global. Desde los grabados sumerios con simetría bilateral, hasta las villas de Palladio con sala central y

habitaciones equidistribuidas (con un carácter centralizador y simetrizante) toda una multitud de ejemplos fueron marcando la constante reafirmación de la necesidad simetría-proporción en su aspecto global y sistemático: los templos griegos y romanos, las termas y losarcos de Roma, las basílicas cristianas, las capillas de Leonardo, las fachadas modularmente diseñadas enel renacimiento...etc.

Esta búsqueda constante del canon y el orden con simetría y proporción se reflejó no solo en los diseños de las plantas y las fachadas sino en todos los subelementos integrantes del edificio: frisos, columnatas, mosaicos. En muchos casos el tributo a la belleza esteticista no se correspondió con la adecuación funcional, por ello en todo este tipo de proyecciones rigurosamente simetrizadas y proporcionadas aparece más un culto al símbolo y a la armonización que una intencionalidad resolutiva. Cabe anotar a la mayoría de dichas obras en un sentido más simbólico e ideológico que funcional.

Pero la isometría no es un mero juego matemático ni un artefacto del entendimiento humano. Para su sorpresa, el hombre la ha descubierto en el mundo natural, impuesta por la propia naturaleza tridimensional del espacio en el que vive. Cuando el primer estudioso de las formas de los cristales minerales se dio cuenta de que cualquier cristal de un mismo mineral presenta ángulos constantes entre sus diversas caras debió de sentir con toda razón que la naturaleza le estaba hablando palabras secretas. Esa ley de la constancia de los ángulos es en efecto una consecuencia, una manifestación de la simetría con la que se ordenan los átomos o moléculas que forman el cristal. Los cristalógrafos sistematizaron todas las combinaciones de simetría posibles en nuestro espacio de tres dimensiones y pudieron clasificar todas las sustancias cristalinas (es decir aquellas que presentan orden atómico a largo alcance) de acuerdo con estascombinaciones.

Capítulo II. Movimientos en el plano

2.1 ¿QUE SON LOS MOVIMIENTOS DEL PLANO?

Un movimiento del plano es una isometría. Así todo movimiento preserva la forma de los objetos ubicados en el plano; de esta manera los movimientos envían líneas rectas en líneas rectas y puntos en puntos, entre otros; sin modificación alguna. Por ejemplo si se le aplica movimiento a un triángulo, el triángulo resultante mantendrá el mismo tamaño y forma de tal modo que estos serán congruentes.

2.2 TIPOS DE MOVIMIENTO EN EL PLANO

2.2.1 Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas. Esta se puede definir como

T(x,y)=(x+a,y+b)

Donde T es el vector traslación que va desde (0,0) hasta (a,b) y (x,y) un punto cualquiera en el plano.

2.2.2 Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.

Sea R una rotación R(A,) con centro en A y ángulo de rotación es un movimiento que hace girar los puntos del plano de acuerdo a la relación siguiente: cada punto B es enviado a un punto C tal que B y C se encuentren sobre la misma circunferencia de centro A y radio igual a la distancia desde B a C. Adicional a ello, el ángulo entre los radios AB y AC es igual a

Se dice que una figura es simétrica por rotación si al girarla un determinado ángulo (distinto de 360°), alrededor del centro de rotación, la figura vuelve a su posición inicial.

Debemos rotarla 120° y 240° para que la figura vuelva a su posición inicial.

Se llama orden de rotación (n) al número de veces que hay que rotar el ángulo menor (a) para dar una vuelta completa (n=360°/a).La figura es de orden 3.

2.2.3 Reflexión o simetría axial: Isometría en que todos los puntos son enviados a sus imágenes reflejadas con respecto a una recta de reflexión, que actúa como espejo.

Una reflexión con respecto a una recta l es un movimiento del plano que actúa de la siguiente forma: cada punto C del plano es enviado a otro punto E, tal que existe un único punto sobre la recta l, que notaremos por C’, tal que la recta que une a C y E es perpendicular a la recta l y además se tienen las siguientes igualdades entre las distancias

d(C,C’)=d(C’,E)

2.2.4 Simetría de deslizamiento (Reflexión desplazada) Es un movimiento el cual consiste de una reflexión, seguido de una traslación en la dirección del eje de reflexión.

Los movimientos de rotación y traslación mantienen la orientación del plano; por lo que son llamados movimientos directos. Mientras que los movimientos de reflexión y simetría de deslizamiento invierten la orientación y se conocen como movimientos inversos.

2.3 Composición de Isometrías

2.3.1 Composición de dos traslaciones

La composición o producto de una traslación T1, (con vector de traslación u), con una segunda traslación T2, (con vector de traslación v), es otra traslación T de vector de traslación la suma de los vectores u + v(p), es decir es una nueva traslación T, que designamosT2°T1, que transforma todo punto (A) del plano, o figura P, en otro punto del plano A’, o P2, del siguiente modo T2°T1(P) =T2(P1) = P2, primero lo transformamos en el punto A', o figura P1, mediante una traslación de vector u y después en un nuevo punto A",o figura P2, mediante la traslación de vector v obteniendo como producto o composición una traslación de vector las = u+ v (vector p). La composición de funciones es una transformación conmutativa.

2.3.2 Composición de dos rotaciones

2.3.2.1 Composición de dos rotaciones con el mismo centro

La composición de una rotación de ángulo con otro de ángulo y centro común C, es otra rotación de cuya amplitud es la suma y el centro el mismo.

R(C,°R(C,) BC= R(C,C’ = C”

2.3.2.2 Composición de dos rotaciones con diferente punto centro

El producto de dos rotaciones de distinto centro R(O,y R(O, es otra rotación cuya amplitud es la suma de los ángulos y el centro de giro el punto donde se cortan las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de la figura inicial (polígono 1) y la transformada mediante la composición (polígono 3).

2.3.3.1 Composición de dos simetrías respecto a ejes paralelos

La composición de una simetría de eje a con otra de eje b paralelo al anterior es una traslación de vector 2v siendo v el vector perpendicular que une los dos ejes a y b en ese sentido.

2.3.3.2 Composición de dos simetrías de ejes secantes

La composición de una simetría de eje a con otra de eje n que concurren en un punto A es un giro de centro A y amplitud el doble de la amplitud del ángulo que forman los dos ejes del producto y en ese sentido.

2.3.4 Composición de una traslación y una rotación

La composición o producto de una traslación T de vector u y, por, un giro de centro M y amplitud es otro giro de la misma amplitud y centro de giro N donde este es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen dos puntos homólogos de las figura inicial P1 y la final P3.

2.3.5 Composición de una rotación y una reflexión

2.3.5.1 Composición de una rotación y una reflexión cuyo eje pasa por el centro del giro.

La composición de una rotación de centro F y ángulo con una reflexión de eje a1que pasa porF da como producto una reflexión cuyo eje pasa por el centro de giro y está girado - /2.

2.3.5.2 Composición de una rotación y una simetría cuyo eje no pasa por el centro de la rotación.

La composición de un giro de centro D y ángulo con una simetría de eje d que no pasa por el centro de giro da como producto una simetría con deslizamiento cuyo eje está girado - /2.

2.4 Diseños: se considera diseños a cualquier figura con alguna isometría.

2.4.1 Clasificación de diseños: los diseños se encuentran clasificados en dos: finitos y traslacionales

2.4.1.1 Diseños finitos: son los diseños que poseen un centro M ejes de giro alrededor de los cuales sus elementos constituyentes pueden rotar. Sin embargo no se presentan el resto de las isometrías. Los diseños finitos pueden clasificarse en dos:

2.4.1.1.1Grupos con centro de giro de orden n: tiene un centro de rotación de orden n, girando (en sentido de las manecillas del reloj, o en contra) n veces 360°/n se vuelve al motivo inicial

En la figura anterior observamos que la figura es de orden 4; girando 4 veces para así volver a la ubicación inicial

2.4.1.1.2 Grupos con n ejes de simetría centrales: El objeto se refleja n veces respecto de n ejes centrales de simetría que forman ángulos de 360°/n grados.

2.4.1.2 Diseños traslacionales: es una repeticiónregular de un objeto mediante traslaciones de sus baldosas. Estos se clasifican en:

2.4.1.2.1 Monotraslaciones: si la traslación se dirige solo en una dirección del plano; son los diseños monotraslaciones (FRISOS)

2.4.1.2.2 Distraslacionales: Se traslada el objeto en dos direcciones del plano; se llaman mosaicos.

_______________________________________________________________

2.5 Mosaicos: Es un recubrimiento total o teselación del plano, con piezas las cuales no pueden superponerse ni dejar ningún tipo de espacio, haciendo composiciones con polígonos mediante traslaciones en dos direcciones.

2.6 Trama: Son un conjunto de puntos que forman una red regular entre líneas paralelas. En el plano hay cinco tipos de tramas con azulejos distintos; en las que se basan los diecisiete grupos de simetrías del plano:

2.6.1 Trama de celda formada por paralelogramos

2.6.2 Trama de celda cuadrada

2.6.3 Trama de celda rectangular:

2.6.4 Trama rómbica centrada La trama rómbica a pesar de que el azulejo es un romboide, también posee una estructura de rectángulo en donde sus centros están los vértices de los rombos, por eso también es conocida como rectangular centrada.

2.6.5 Trama hexagonal

2.7 Azulejos: son cada uno de las baldosas que pertenecen a la trama.

2.8 Unidad de traslación: Es el área mínima que mediante traslaciones sucesivas generan un diseño completo. Posee la misma área de los azulejos pero no tiene que tener la misma forma, ni siquiera debe ser un paralelogramo.

Todo azulejo constituye una unidad de traslación, sin embargo no toda unidad de traslación constituye un azulejo. Adicional a ello los lados opuestos de una unidad de traslación deben ser paralelos; no necesariamente tienen que ser líneas rectas.

2.9 Dominio fundamental: es objeto mínimo o más pequeño con lo que se puede generar o componer el mosaico mediante isometrías

Capítulo III. GRUPOS DE ISOMETRIAS.LOS 17 GRUPOS DE MOSAICOS PERIODICOS

3.1 GRUPO I (p1)

Es el grupo más sencillo. Sólo tiene traslaciones, no se dan rotaciones, reflexiones ni reflexiones con deslizamiento. Las celdas resultan ser simétricas respecto de dos ejes de traslación, que no tienen por qué ser perpendiculares. La celda o dominio base tiene forma de paralelogramo.

Celda

Teselación

3.2 GRUPO II (p2)

Se diferencia del anterior en que, además, puede contener rotaciones en 180°, ejes binarios. Los vectores de traslación pueden formar ángulos distintos de 90° y la rejilla es también un paralelogramo, siendo su celda fundamental la mitad de ese paralelogramo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.3 GRUPO III (cm)

Se dan en el reflexiones y reflexiones con deslizamiento pero no rotaciones. La dirección de deslizamiento puede formar cualquier ángulo, pero el eje de reflexión debe ser bisectriz de los de deslizamiento. La rejilla es rómbica y la celda fundamental es la mitad del rombo

Celda

Baldosa

Teselación

3.4 GRUPO IV (cmm)

Este grupo tiene dos reflexiones de ejes perpendiculares (vertical y horizontal) y un giro de 180° con centro en el punto medio del otro lado. La rejilla es rómbica y la celda base es la cuarta parte del rombo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.5 GRUPO V (pm)

Es el primer grupo de simetría en que se da la reflexión. El eje de reflexión es paralelo a uno de los de traslación y perpendicular al otro (normalmente la traslación vertical y la reflexión horizontal). La malla es rectangular y la celda base un rectángulo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.6 GRUPO VI (pg)

En este grupo ya aparece la simetría con deslizamiento, pero no se dan rotaciones ni reflexiones. La dirección de deslizamiento es paralela a la de traslación y perpendicular a la de simetría. La rejilla es rectangular y la celda base la mitad de un rectángulo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.7 GRUPO VII (pmm)

Este grupo se forma con dos reflexiones de ejes de simetría perpendiculares. No se da reflexión con deslizamiento pero si centros de giro binarios (180°) en las intersecciones de los ejes de simetría. La rejilla es rectangular, que puede tomarse como base para construir el mosaico a base de traslaciones y la celda base la mitad del rectángulo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.8 GRUPO VIII (pgg)

En este grupo se dan dos reflexiones con deslizamiento y un giro de 180°. Los dos ejes de reflexión son perpendiculares y el centro de giro es el punto medio del rectángulo que forma la rejilla. La celda unidad la constituye el rectángulo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.9 GRUPO IX (pmg)

Los mosaicos que pertenecen a este grupo se forman mediante reflexiones y rotaciones de 180° (ejes binarios). El centro de rotación es el punto medio del lado que no es el eje de reflexión. La rejilla es rectangular y la celda base la mitad del rectángulo.

Celda

Baldosa

Teselación

3.10 GRUPO X (p4)

Este es el primer grupo en el que se da el giro de 90° (una rotación de orden 4) pero también se dan giros de 180° (orden 2). No hay reflexiones. La rejilla es cuadrada y el dominio fundamental o celda base es la cuarta parte del cuadrado.

Celda

Baldosa

Teselación

3. 11 GRUPO XI (p4m)

Se diferencia del anterior en que también tiene reflexiones además de giros de 90º y 180º. Los ejes de simetría forman ángulos de 45º entre si y se cortan en el centro de giro de 90º. La trama es cuadrada y la celda básica o dominio fundamental es el triángulo mitad del cuadrado.

Celda

Baldosa

Teselación

3.12 GRUPO XII (p4g)

También tiene reflexiones además de giros de 90°, pero los ejes de simetría son perpendiculares y no pasan por los centros de giro. La trama es cuadrada y la celda básica o dominio fundamental es el triángulo octava parte del cuadrado.

Celda

Baldosa

Teselación

3. 13 GRUPO XIII (p3)

Es el grupo más sencillo con giros de 120º (tercer orden) y el primero en que la rejilla es hexagonal.

Celda

Baldosa

Teselación

3. 14 GRUPO XIV (p3m1)

Este grupo contiene giros de 120º y simetrías respecto de ejes que forman 60º, unos pasan por los centros de rotación y otros no. La malla o rejilla es también hexagonal. La celda base es el cuadrilátero conocido como "cometa".

Celda

Baldosa

Teselación

3.15 GRUPO XV (p31m)

Se diferencia del anterior en que todos los centros de rotación caen en los ejes de simetría. Tiene giros de 120º. La malla es también hexagonal pero el dominio fundamental o celda base es un triángulo obtusángulo.

Celda

Teselación

3. 16 GRUPO XVI (p6)

En este grupo cristalográfico se dan rotaciones de 60° (orden 6). También contiene giros de ´ordenes 2 y 3, pero no reflexiones. Su malla y su celda base son hexagonales.

Celda

Baldosa

Teselación

3.17 GRUPO XVII (p6m)

Contiene giros de 180º, 120º y 60º además de reflexiones que pasan por todos los centros de giro. En los centro de orden 6 se cortan seis ejes de simetría formando ángulos de 30º. La rejilla y celda base son hexagonales.

Celda

Baldosa

Teselación

Capítulo IV. CONCLUSIONESEl concepto de Isometría tiene una trascendencia importante en la historia del arte y la ciencia, esto se da de una manera intuitiva y no con conocimiento de lo que es una isometría ya que en varias ramas se aplica una reflexión, una rotación o una reflexión sin saber qué es eso pero lo hacen y llevan al límite estos conceptos de una manera en la cual se transforma en un lenguaje universal el cual puede ser entendido por cualquier persona que quiera entender conceptos hermosos e interesantes escondidos en la naturaleza del arte.

Aunque existan infinitas posibilidades de teselaciones, en el plano estas son representadas solo por 17 grupos distintos de isometrías. Son distintas!

Después de crear una baldosa, se puede rellenar el plano, solo con traslaciones de esta, tiene el mismo efecto que aplicar las isometrías a cada celda.

Es fácil observar con una misma celda aplicada en grupos distintos, nos genera una teselación notablemente diferente una a la otra.

El más mínimo cambio de la celda original puede cambiar considerablemente la teselación.

Capítulo V. BIBLIOGRAFÍA.Ochoa, Carlos. (2012) Momento geométrico. Isometrías en el plano.

Guerrero, Ana Berenice. (2002) Geometría en el plano y en el espacio. Movimientos en el plano, Isometrías.

Palacios, Esteban. Molano, Santiago. (2013) Isometrías. Historia, Grupos de isometrías en el plano.

Capítulo VI. WEBGRAFÍATeselaciones. (2013, 7 de septiembre) Teselaciones. Recuperado de: http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/teselacionesplano/index.html

Buenas Tareas (2013, 8 de septiembre) Introducción Isometrías. Recuperado de: http://www.buenastareas.com/ensayos/Introducci%C3%B3n-Isometr%C3%ADa/5153922.html

Mosaicos. (2013, 14 de septiembre) Definiciones. Recuperado de: http://www.acorral.es/index1.htm

Estudio de Mosaicos en el plano. (2013, 15 de septiembre) El nombre del grupo cristalográfico. Recuperado de: http://jmora7.com/Mosaicos/4300gupos.htm

Grupos de Isometrías de los Mosaicos. (2013, 24 de septiembre) Los 17 grupos de mosaicos periódicos. Recuperado de: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/isometrias/informacion/mosaicos.html