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Interferencia Intersimbólica (ISI)

Ing. Verónica M. MiróComunicaciones Eléctricas2007

ISI - Interferencia Intersimbólica

Nueva fuente de errores en sistemas de Tx Banda Base

Canal dispersivo. Modulación discreta de pulsos, PAM. Datos binarios

{bk} : símbolos 0 y 1, con duración Tb

{ak}: nueva secuencia de pulsos cortos representados en forma polar

ak = 1 si el símbolo bk es 1 ak = (-1) si el símbolo bk es 0


La secuencia de pulsos cortos pasa a través del filtro de Tx [rta. al impulso g(t)], produce la señal transmitida

s(t) es modificada por el paso a través del canal con respuesta al impulso h(t)


El canal introduce ruido aleatorio (blanco) a la entrada del receptor.

La señal ruidosa x(t) pasa a través del filtro de recepción (MF) que tiene respuesta al impulso c(t)

La salida del filtro es muestreada en forma sincrónica con el transmisor, en los instantes de muestreo determinados por un clock (ti = i Tb) que se extraea la salida del MF


La secuencia de muestras obtenidas es usada para reconstruir la secuencia de datos original a través del dispositivo de decisión

Cada muestra se compara con un nivel de umbral λ.


Si el nivel medido es superior al umbral λ se toma la decisión por un símbolo 1

Si el nivel medido es inferior al umbral λ se toma la decisión por un símbolo 0

Si el nivel medido es exactamente igual al umbral λ el receptor toma la decisión aleatoria por cualquiera de los dos símbolos (experimento de la moneda).


La salida del filtro receptor

µ: factor de escala. p(t): pulso que será definido luego.

Se debería considerar un tiempo aleatorio t0 en el argumento de p(t) que representa el retardo de transmisión del sistema


El pulso µp(t) es obtenido por una doble convolución que incluye la respuesta al impulso del filtro de transmisión g(t), la respuesta al impulso del canal h(t) y la respuesta al impulso del filtro receptor c(t)

µp(t) = g(t) * h(t) * c(t)Debemos asumir que el pulso p(t) está

normalizado p(0) = 1 (µ: factor de escala)


En el dominio frecuencial

µP(f) = G(f) . H(f) . C(f)

donde P(f), G(f), H(f), C(f) son las transformadas de Fourier de p(t), g(t), h(t), c(t) respectivamente.

n(t): Ruido producido a la salida del filtro receptor debido al ruido del canal w(t) w(t) Ruido blanco gaussiano , de valor medio cero


La salida del filtro receptor es muestreada en los instantes ti = i Tb (i: número entero)


1er.Término: µai : Contribución del i-ésimo bit transmitido.

2do.Término: Efecto residual de todos los otros bits transmitidos en la decodificación del i-ésimo bit ISI

3er.Término:Muestra del ruido en el instante ti


La ausencia del 2do. y 3er. Términos (ISI y ruido) y(ti) = µ ai (caso ideal)

Dispositivo de decisión: Decisión correcta

La presencia del 2do. y 3er. Términos (ISI y ruido) agrega niveles de señal (de amplitud y signos aleatorios)

Dispositivo de decisión: Probabilidad de Decisión errónea


Objetivo de minimizar ISI y ruido: Diseño adecuado de los filtros de Tx y Rx, para poder entregar los datos en el destino con la menor tasa de error posible.

Caso particular: Canal Telefónico (S/N alta), podemos ignorar n(ti)

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Hipótesis:

Respuesta en frecuencia del canal conocidaForma del pulso de Transmisión conocido

Determinar:Respuesta en frecuencia de los filtros

transmisor y receptor para poder reconstruir la tira de datos binaria {bk}

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión En el receptor:

Extraer los coeficientes {ak} de la salida y(t) muestreada en los tiempos t = i Tb

Decodificar la secuencia de coeficientes.

Esto requiere que [ak p(iTb – kTb)] para i = k esté libre de ISI, debido a la superposición de las colas de los otros pulsos en k ≠ i

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión El pulso deberá cumplir las siguientes

condiciones

donde p(0) = 1 Normalización Entonces si p(t) satisface ambas

condiciones, ignorando el ruido

ISI NULA

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Las dos condiciones aseguran perfecta

recepción en ausencia de ruido. Desde el punto de vista del diseño del

filtro es importante transformar las condiciones anteriores al dominio frecuencial {p(nTb)} ; n = 0,+/-1, +/-2, …

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión El muestreo en el dominio del tiempo

produce periodicidad en el dominio de la frecuencia.

Donde tasa de bits (bits/seg)

:Transformada de Fourier de una secuencia periódica infinita de funciones δ de período Tb

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Antitransformando

Sea el entero m = i – k, i = k, m = 0 i ≠ k, m ≠ 0

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión

Con esas consideraciones resulta:

Por lo tanto Condición sin ISI

; Rb = 1/Tb

Criterio de Nyquist Transmisión binaria sin distorsión Criterio de Nyquist para transmisión en

banda base sin distorsión:La función de la frecuencia P(f) que elimina

la ISI para las muestras tomadas en los intervalos Tb, satisface

P(f) refiere a todo el sistema Filtro Tx Canal Filtro Rx

Canal ideal de Nyquist

La forma más simple de la función P(f)

Rect(f/2W): Función rectangular de amplitud unitaria centrada en f = 0 y ancho de banda:W

Tb = 1/Rb = 1/2W


No son necesarias frecuencias mayores que la mitad de la tasa de bits

W = Rb/2 = 1 / 2Tb

El par transformado que satisface las dos condiciones anteriores


DefinicionesRb = 2W : tasa de Nyquist W: Ancho de banda de NyquistEl sistema de Transmisión ideal, banda

base queda descripto por P(f) en el dominio f ó p(t) en el dominio t: Canal de NYQUIST


La función p(t) puede ser representada por la respuesta al impulso de un filtro pasabajos ideal con amplitud 1/2W y ancho de banda W

La función p(t) tiene su valor pico en el origen y tiene cruces periódicos por cero en múltiplos enteros de la duración del bit Tb


En el receptor, si: La función y(t) es muestreada en los

instantes de tiempo t = 0, ± Tb, ± 2Tb, … Los pulsos definidos por µp(t - iTb), con µ

de valor arbitrario e i = 0, ± 1, ± 2, …

Los pulsos no se interfieren entre sí

Resuelve el problema de la ISI de forma satisfactoria

Utiliza el menor ancho de banda posible



Dificultades prácticas de diseño: Se requiere que P(f) sea plano entre –W y

W y cero fuera de este intervalo, Físicamente irrealizable

La función p(t) decrece a una tasa 1/ItI, para grandes valores de ItI. Baja tasa de decaimiento (discontinuidades de P(f) en ±W, no puede haber error en los instantes de muestreo)


Errores en el instante de muestreo: Evaluar y(t) en t = ∆t, con ∆t: error en el instante de

muestreo


Considerando 2WTb = 1, reescribimos la ecuación anterior

1. Símbolo deseado 2. Interferencia Intersimbólica causada por el error en el

instante de muestreo de y(t)

Es una serie divergente decisiones erróneas en el receptor

Espectro de Coseno Realzado

Resuelve las dificultades prácticas del canal ideal de Nyquist extendiendo el valor mínimo del ancho de banda (W = Rb/2), a un valor ajustable entre W y 2W

Tomaremos 3 términos de la ecuación del criterio de Nyquist para transmisión sin ISI (transparencia 24) y restringiremos el ancho de banda a [-W, W]


Es posible encontrar algunas funciones de banda limitada que cumplan la condición anterior

Espectro de coseno realzado

1. Porción Plana 2. Porción de caída senoidal (rolloff)


La frecuencia f1 y el ancho de banda W están relacionados

α : Factor de Rolloff, exceso de ancho de banda sobre la solución ideal de ancho de banda W

El ancho de banda de transmisión BT queda definido


P(f) está normalizada a 2W.

α = 0

Canal ideal de Nyquist, f1 = W.

α = 1/2

Caída gradual, f1 = W/2.

α = 1

Caída gradual, f1 = 0


La respuesta al impulso p(t) es la transformada inversa de Fourier de P(f)

1. Caracteriza el canal ideal de Nyquist. Asegura los cruces por cero en los instantes de muestreo t = iTb (i: Entero positivo ó negativo)

2. Factor que decrece con 1/ItI2 a medida que ItI crece. Reduce las colas de los pulsos anteriores y posteriores considerablemente por debajo de las obtenidas del canal ideal de Nyquist

La transmisión de ondas binarias usando pulsos de coseno realzado, son relativamente insensibles a los errores en los tiempos de muestreo


α = 1 Factor de Rolloff Full Coseno El factor de rolloff es el más gradual, f1 = 0.

La amplitud de las colas del pulso p(t) es pequeña La cantidad de ISI resultante de un error de timming decrece a

medida que el factor de rolloff aumenta de cero a uno.

Espectro de Coseno Realzadoα = 1 Factor de Rolloff Full Coseno

Propiedades En t = ±Tb/2 = ± 1/4W, p(t) = 0.5, el

ancho del pulso medido a la amplitud media es exactamente igual a la duración de bit Tb

Existen cruces por cero adicionales en t = ±3Tb/2, ±5Tb/2, … además de los usuales t = ±Tb, ±2Tb, …

Extracción de señal de reloj para sincronización.

Duplicación del ancho de banda del canal a comparación del requerido por el canal ideal de Nyquist

Modulación Multinivel

En un sistema PAM Banda Base M-ario: uno de M posibles niveles de amplitud.

Utiliza código Gray (1 posición de bit) Sistema M-ario = M símbolos Cada nivel de amplitud = 1 símbolo

Modulación Multinivel – Cuaternario

Modulación Multinivel

R = 1 / T : Tasa de señalización (símbolos/seg ó baudios)

Caso binario: M=2 Caso cuaternario: T = 2 Tb, M=4

1 baudio = 2 bits/seg Cada símbolo representa 2 bits de información

M-ario: 1 baudio = log2 M (bps) T = Tb log2 M

Modulación Multinivel - Conclusiones Dado un AB de canal, usando un sistema M-

ario: La tasa de transmisión es log2 M mayor que el

sistema PAM binario. Para mantener la misma probabilidad de error de

símbolo, se requiere mayor potencia transmitida (M2/ log2 M ) comparado con PAM binario

El diseño del modulador de amplitud M-ario y del dispositivo de decisión son mucho más complejos.

ISI, ruido e imperfecta sincronización causarán errores en la detección de los pulsos

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