is g predavanja 2018-19ptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2019/05/is_g_predavanja_2018-19.pdf- brzina...

INŽENJERSKE SIMULACIJE

Aleksandar Karač

Kancelarija 1111

tel: 44 91 20, lok. 129

[email protected]

http://ptf.unze.ba/inzenjerske-simulacije

MREZA

Nermin Redžić

Kancelarija 4202

tel: 44 91 20, lok.128

[email protected]

www.ptf.unze.ba

IS 18/19 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije 2

Izvođenje nastave• predavanja: 2 časa sedmično

• vježbe (laboratorijske, RC): 3 časa sedmično

Obaveze studenata• redovno prisustvo na predavanjima i vježbama

• kolokviranje praktičnog dijela (računari - kontrukcije)

Cilj predmeta • savladati korištenje informatičkih tehnologija za proračun građevinskih konstrukcija korištenjem savremenih softverskih alata (CAE)

• samostalno koristiti računar za statičke i dinamičke simulacije građevinskih konstrukcija

Kompetencije (Ishodi učenja)

Po završetku kursa studenti će biti u stanju:•koristiti savremene CAE programske pakete za analizu naprezanja•razlikovati tipove konačnih elemenata i graničnih uslova•odrediti raspodjelu deformacija i naprezanja za ravninske i 3D probleme za različite slučajeve opterećenja i oslanjanja•primijeniti stečena znanja na proračun građevinskih konstrukcija

O kursu Računarske simulacije


Provjera znanja

Konačna ocjena

• kolokvij iz urađenih praktičnih primjera (program)

• praktična provjera/ispit – rad na računaru

• pismeni dio ispita (zadaci + teorija)

• prisustvo nastavi: 0 %

• kolokvij: 20 %

• praktična provjera/ispit 50 %

• pismeni dio ispita 30 %

Napomena: Svaka od stavki mora biti ispunjena minimalno 51%!!!

Ocjena 6 55-65%

Ocjena 7 65-75%

Ocjena 8 75-85%

Ocjena 9 85-95%

Ocjena 10 95-100%



Sadržaj kursa - predavanja1. O računarskom inženjersvu 1 sedmica

2. Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma (CCM) 2 sedmice

3. Diskretizacija domene 1 sedmica

4. Metod konačnih razlika (FDM) 1 sedmica

5. Metod konačnih volumena (FVM) 1 sedmica

6. Metod konačnih elemenata (FEM) 4 sedmice

7. Primjeri primjene u FEM 5 sedmica

Sadržaj kursa - vježbe1. Primjena računara u rješavanju konstrukcija (grede, ramovi, ...) 10 sedmica

2. Primjena računara u rješavanju CCM problema 3 sedmice

Praktična provjera/ispit – 22-23.05. i 29-30.05. 2019.

Pismeni dio ispita – termini završnih ispita



LITERATURA

• Autodesk Robot Structural Analysis (2015) Verification Manual Eurocodes, https://knowledge.autodesk.com/support• K-J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, 1996.• I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD, Dublin

dodatna

osnovna

• Predavanja, vježbe – sekvencionalno postavljanje

• Zaimović-Uzunović N., Lemeš S. (2002) Metod konačnih elemenata, Dom štampe Zenica, ISBN 9958-42-079-1

• Autodesk Robot Structural Analysis (2011) Metric Getting Started Guide, https://knowledge.autodesk.com/support

• Autodesk Robot Structural Analysis (2010) Metric Training Manual, https://knowledge.autodesk.com/support

• I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998.

• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.



Značaj numeričkih istraživanja

Neophodnost poznavanja raznih osobina čvrstih tijela i tečenja

- deformacije i naponi,

- brzina strujanja, raspodjela pritiska i temperature,

- sile uzgona i potiska,

- gubici pritiska ili energije,

- brzina prenosa toplote ili mase, ...

u svrhu:

-poboljšanja efikasnosti,

-smanjenja potrošnje energije,

-povećanja granice tečenja,

-poboljšanja izdržljivosti,

-smanjenja zagađenja,

-smanjenja buke, • M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.



O računarskom inženjerstvu*Značaj numeričkih istraživanja

- poznavanja procesa, ...

Smanjenje troškova!!!

Kako doći do znanja o sistemu???

Teoretske metode:

- Analitička rješenja jednačina koji opisuju probleme su uslovno primjenljiva na rješavanje realnih problema

- Problemi su veoma kompleksni, opisani sistemima parcijalnih diferencijalnih jednačina, pa time analitički nerješivi

- Pojednostavljenja, neophodna za rješavanje jednačina, obično nisu validna i vode pogrešnim rezultatima

- Aproksimacijski izrazi koji se često koristi obišno nisu dobivena čistim analitičkim postupcima.




Kako doći do znanja o sistemu??? – nastavak ....

Eksperimentalna istraživanja

- Korištenje mjerne opreme u svrhu dobivanja traženih informacija putem eksperimenata (testova)

- Mjerenja mogu biti otežana ili nemoguća (dimenzije mjerenog objekta, vrijeme trajanja eksperimenta, mjesta mjerenja, ...)

- Ograničenja u korištenju modela/uslova eksperimenata

- Zabrana obavljanja eksperimenata zbog sigurnosti ili utjecaja na okolinu

- Cijena eksperimenta.

Numeričke simulacije

- Naučna disciplina ‚sama za sebe‘

- Upotreba numeričkih metoda na računarima

- Brže dobivanje rezultata nego u testovima, manji troškovi

- Jednostavne parametarske varijacije

- Mogućnost dobivanja mnogo više rezultata/informacija o simuliranom problemu• M. Schäfer, Computational Engineering – Introduction to Numerical Methods, Springer, 2006.



Kako doći do znanja o sistemu??? – nastavak ....

Bez obzira na prednosti numeričkih simulacija u odnosu na eksperimentalna istraživanja

-Simulacije NIKAD neće u potpunosti zamijeniti eksperimente

-Simulacije I eksperimenti OBOJE treba da se i dalje razvijaju i međusobno nadopunjavaju kako bi se došlo do optimalnog rješenja



O računarskom inženjerstvu*Razvoj numeričkih metoda

- Mogućnost korištenja približnih rješenja pomoću Metode Konačnih Razlika poznata još u XIX vijeku (Gauss, Euler) – neupotrebljivo zbog prevelikog broja računaskih operacija

- Razvoj (elektronskih) računara (2018, IBM, 122.3 petaflops)Razvoj snage i capaciteta računara

- Stalno povećanje brzine računara

- Stalno povećanje efikasnosti algoritama

- Sve tačniji rezultati eksperimenata



O računarskom inženjerstvu*Razvoj numeričkih metoda

Razvoj numeričkih metoda (lijevo) i u računarskim tehnologijama (desno)



O računarskom inženjerstvu*Karakterizacija numeričkih metoda


Procedure za primjenu tehnika numeričkih simulacija za rješavanje inženjerskih problema

1. Izbor matematičkog modela/softvera

2. Diskretizacija

- domena (vrijeme, prostor)

- jednačina

- Metod Konačnih razlika (FDM)

- Metod Konačnih Volumena (FVM) – mehanika fluida

- Metod Konačnih elemenata (FEM) – mehanika konstrukcija

3. Rješenje sistema algebarskih jednačina

4. Vizualizacija i interpretacija rezultata

5. Provjera

- Validacija: riješene su odgovarajuće jednačine

- Verifikacija: jednačine korektno riješene


O računarskom inženjerstvu*Karakterizacija numeričkih metoda


Neophodne oblasti i međusobne relacije za numeričke simulacije praktičnih inženjerskih problema

Interdiciplinarnost numeričkih simulacija u inženjerskim problemima


Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuuma

*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998

I. Demirdžić, A. Ivanković, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD

Dva pristupa u analiziranju kretanja materijala:

1. Statistički pristup

materijal se tretira kao skup molekula

makroskopski fenomeni se objašnjavaju kao posljedica molekularne aktivnosti

računanje primjenom zakona mehanike i vjerovatnoće

2. Fenomenološki pristup

• Koncept kontinuuma: zanemaruje se diskretna struktura materije. Materijal ispunjava prostor kontinuirano.

Mehanika se bavi proučavanjem sila koje djeluju na tijela i nastalog kretanja i deformacija. Zasnovana je na konceptima vremena, prostora, materije, sile i energije. Dijeli se (u širem smislu):

1. Klasična mehanika – čestice i mehanika krutog tijela

2. Mehanika kontinuuma – obuhvata mehaniku čvrstog tijela i mehaniku fluida

Osnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*


Osnove (Numeričke) Mehanike kontinuumaOsnovni pojmovi i koncepti mehanike kontinuuma*



Osnovne pretpostavke (u pogledu materije)

• Neprekidnost – materijal ispunjava prostor kontinuirano bez prisustva pora i šupljina i osobine se mogu opisati jednoznačnom neprekidnom funkcijom

• Homogenost – osobine materijala su iste u svim tačkama

• Izotropnost – osobine materijala su iste u svim pravcima

Matematske osnove

• Karakteristike kontinuuma (npr. gustina, brzina, napon, ...) se izražavaju kao neprekidne funkcije prostora i vremena

• Razvoj matematske discipline teorije polja (radi primjene u mehanici kontinuuma)

• skalarna, vektorska, tenzorska

• invarijantnost geometrijskih i fizičkih veličina

• odabir koordinatnog sistema

• operacije s poljima (algebarske, diferencijalne, integralne teoreme)



Matematske osnove - nastavak

Proizvod skalara s i vektora v je vektor

Proizvod skalara s i tenzora T je tenzor

Zbor dva tenzora S i T je tenzor

( , , )i i x y zs sv sv sv sv v i

xx xy xz

ij i j yx yy yz

zx zy zz

sT sT sTs sT sT sT sT

sT sT sT

T i i

( ) ( , , )i i i x x y y z za b a b a b a b a b i

( )xx xx xy xy xz xz

ij ij i j yx yx yy yy yz yz

zx zx zy zy zz zz

S T S T S TS T S T S T S T

S T S T S T

S T i i

Zbir dva vektora a i b je vektor








Skalarni proizvod dva vektora je skalar

Vektorski proizvod dva vektora je vektor

Tenzorski (dijadski) proizvod dva vektora je tenzor (dijada)

i i x x y y z za b a b a b a b a b

ijk i i i x y z

x y z

e a b a a ab b b

i j k

a b i ( )

(Levi-Civita permutacijski simbol)ijk i j ke i i i

x x x y x z x x x y x z

i j i j y x y y y z y x y y y z

z x z y z z z x z y z z

a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

ii ij ikab i i ji jj jk

ki kj kk





Skalarni proizvod vektora v i tenzora T je vektor

Skalarni proizvod vektora v i diade ab je vektor

Vektorski proizvod vektora v i tenzora T je tenzor

( )( )( )

x xx y yx z zx x xx y yx z zx

i ij j x xy y yy z zy x xy y yy z zy

x xz y yz z zz x xz y yz z zz

v T v T v T v T v T v Tv T v T v T v T v T v T v T

v T v T v T v T v T v T

iv T i j

k

( ) i i j jv a b v ab i

ijk i jl k le v Tv×T i i






Skalarni proizvod dva tenzora je skalar

Vektorski proizvod dva tenzora je vektor

Skalarni proizvod dva tenzora je tenzor

:xx xx xy yx xz zx

ij ji yx xy yy yy yz zy

zx xz zy yz zz zz

S T S T S TS T S T S T S T

S T S T S T

S T



ijk jl lk ie S TS×T i

ik kj i jS T S T i i

IS 18/19 http://ptf.unze.ba/inzenjerske -simulacije

Gradijent skalarnog polja (vektor)

Divergencija (skalar), rotor (vektor) i gradijent (tenzor) vektorskog polja

20




Jedinični tenzor, nula tenzor, Kronecker delta, trag tenzora (tr), determinanta tenzora (det), simetrični i antisimetrični tenzor, sferni i devijatorski tenzor


grad jj

s s s ss sx x y z

i i j k

div j yx z

j

v vv vx x y z

v v

rot kijk i

j

x y z

vex x y z

v v v

i j k

v v i

grad

yx z

yx z

yx z

vv vx x x

vv vy y y

vv vz z z

v v



Divergencija tenzorskog polja (vektor)

Nabla (Hamiltonov) operator



div

yxxx zx

ji xy yy zyi

j

yzxz zz

TT Tx y z

T T T Tx x y z

TT Tx y z

i

T T i j

k



0

1(...) lim (...)dSV

SV

n (...) (...) (...) (...)(...) jjx x y z

i i j k







Fluks ili protok vektorskog polja kroz površinu

Cirkulacija vektorskog polja duž zatvorene krive C

Gaussova teorema za protok vektorskog polja

Stokesova teorema za cirkulaciju vektorskog polja

d dS S

V S

v n v S

dC

v x

d div dS V

S V v n v

d rot dC S

S v x v n





Tipovi polja

Nestacionarno, stacionarno

Dvodimenzionalno. jednodimenzionalno, ...

Vektorsko uniformno

Vektorsko potencijalno (v=grad s) – s je potencijal polja v

Potencijalno polje je i nevrtložno [rot v = rot (grad s)= ∇⨯(∇s)=0]

Bezizvorno ili solenoidno (div v = 0)

Bezizvorno i potencijalno je Laplaceovo (harmonijsko)

2

=grad div div(grad ) ( ) 0

ss s s

vv





Deformacija i tečenje

Deformacija – promjena oblika kontinuuma između početne (nedeformisane) i tekuće (deformisane) konfiguracije

Tečenje – neprekidno kretanje kontinuuma definisano nestacionarnim poljem brzine



Materijalni i prostorni opis

Lagrangeov ili materijalni opis – referentni položaj je uvijek isti, može se promijeniti samo tekući položaj. Osobine su funkcije materijalnih (referentnih) koordinata

Eulerov ili prostorni opis – Osobine su funkcije prostornih (lokalnih) koordinata



Osnovni zakoni mehanike kontinuuma

Osnovni (opšti) zakoni fizike:

Zakon o održanju mase

Zakon o održanju količine kretanja (prvi Eulerov, drugi Newtonov zakon)

Zakon o održanju momenta količine kretanja (drugi Eulerov zakon)

Zakon o održanju energije (Prvi zakon termodinamike)

Zakon o proizvodnji entropije (Drugi zakon termodinamike)

Konstitutivne relacije

Hookeov zakon (elastičnosti)

Stokesov zakon (viskoznosti)

Fourierov zakon (provođenja toplote)

... *I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998




Zakon o održanju mase (mass conservation)

D D dD D V

M Vt t

Zakon o održanju količine kretanja (momentum conservation)

D d dS dD V S V

V Vt

v n f

Promjena količine kretanja

Površinske sile

Zapreminske sile





Zakon o održanju momenta količine kretanja (moment of momentum conservation)

D d dS dD V S V

V Vt

x× v x× n x× f

Promjena momentakoličine kretanja

Moment površinskih sile

Momentzapreminskih sila

ij jiT T

Zakon o održanju energije (energy conservation)

D D ( )D D V S V V S

E edV dS hdV dV dSt t

bq n f v v n

Promjena ukupneenergije

Dovedena toplota

Izvršeni rad (snaga)*I. Demirdžić, Predavanja iz Mehanike kontinuuma, Mašinski fakultet u Sarajevu, 1998


Toplotniizvor



Zakon o proizvodnji entropije (entropy production)

Brzina promjene entropije sistema veća je ili jednaka odnosu ukupno na povratan način razmijenjene toplote i temperature sistema:



pov pov nepovD 1 1 1 0D

S dQ dQ dQt T dt T dt T dt

Opšta transportna jednačina

m p m p

d

D d dS div dD

V

V S V

H V

H V Vt

n



(Klasične) Konstitutivne relacije



Hookeov zakon (elastičnosti)

E

Nelinearni materijali, plastični materijali, viskoelastični materijali

m0: E TC T N Cauchyjev tenzor napona

m0

m(tr ) 2 T T N E I E I

Generalisani Hookeov zakon

2(1 )EG

(1 )(1 2 )

E

2 3 3(1 2 )

E K

Elastično čvrsto tijelo



(Klasične) Konstitutivne relacije - nastavak



Pascalov zakon

Newtonov zakon (viskoznosti)

p Fp pSS

f n

= =F duS dy

Newtonov fluid

: (tr ) 2p C p N I D I D I D

2 03

2 (tr ) 23

p

N I D I D



(Klasične) Konstitutivne relacije - nastavak



Nenewtonovi fluidi

Fourierov zakon (provođenja toplote)

= grad dTq k k Tdx



Matematski modeli

Linearno elastično čvrsto tijelo



T

0 m

d grad grad d

div 3 2 d d

V S

S V

V St t

T T S V

u u u n

u n f

03 2 div dd grad d dV S VV

cTV k T S h V T

ttV

un





Matematski modeli

Newtonov nestišljivi fluid


Tmd d grad grad d d

V S S VV S p S V

t

vvv n I v v n f

T

d d grad d d

grad grad : grad d

V S S V

V

cTV cT S k T S h V

tV

v n n

v v v

dS

S v n





Klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednačina (jednačine matematičke fizike)


Hiperbolički problemi (talasna jednačina)

Parabolički problemi (difuziona jednačina)

Eliptički problemi (Poissonova jednačina, Laplaceova jednačina)

2 22

2 2

u uct x

2

2 ( )u v xx

2

2

u uDt x



Početni i granični uslovi


Granični uslovi (za stacionarne probleme)

o Dirichletov granični uslov – definiše se vrijednost varijable na granici

o Neumannov granični uslov – definiše se gradijent varijable na granici

o Miješani granični uslov – definiše se vrijednost varijable na granici u jednom pravcu (na primjer, normalno na graničnu površinu) i gradijent varijable u drugom pravcu (na primjer, tangentno na graničnu površinu)

o Simetrični granični uslov – u slučaju simetrije na ravni simetrije vrijedi da je pomjeranje normalno na površinu jednako nuli i svi gradijenti i pravcu normale na površinu su jednaki nuli

Početni uslovi (za nestacionarne probleme)

Vrijednosti varijabli (pomjeranje, brzina, temperatura) moraju biti poznate u svim tačkama domene u početnom trenutku




Diskretizacija*


Cilj: aproksimirati kontinuiranu domenu (u vremenu i prostoru) pomoću diskretne reprezentacije

Diskretizacija vremena – podjela intervala vremena na određeni broj vremenskih pointervala (sheme diskretizacije); nestacionarne simulacije



Diskretizacija prostora – definisanje numeričke mreže, koja se sastoji od konačnog broja računarskih tačaka (generisanje mreže)

Osnovne jednačine neophodno je transformisati u sistem (ne)linearnih algebarskih jednačina

Diskretizacija jednačina – zamjena pojedinačnih članova u osnovnim jednačinama algebarskim izrazima koji povezuju čvorne tačke na numeričkoj mreži



Diskretizacija prostora

o Modeliranje geometrije – CAD programi, IGES, STEP, ...

Modeliranje zapremine

Modeliranje graničnih površina/linija

o Numerička mreža

Što je mreža regularnija to su algoritni za rješavanje efikasniji, ali i nefleksibilnija u odnosu na kompleksnu geometriju

Diskretizacija*



o Tipovi numeričke mreže – veza sa diskretizacijom i metodama rješavanja

1D – podintervali

2D – trougli, četverokuti, ..., mnogouglovi

3D – tetraedri, heksaedri, prizme, piramide, ..., poliedri

Boundary-fitted Cartesian overlapping

Diskretizacija*Diskretizacija prostora



Diskretizacija prostora

o Struktura mreže

strukturne – uređena raspodjela; postoji uređena veza između susjednih entiteta

(jednostavnost generisanja, lakše programiranje, manja memorija, rješenje ASJ, paralelizacija)

nestrukturne – neregularna raspodjela

(modeliranje kompleksne geometrije, lokalno rafiniranje mreže, automatsko generisanje mreže)

structured unstructured

Diskretizacija*


o Struktura mreže - nastavak

Block-structured

Hierarchically-structured

Block-wise locally refined


Diskretizacija prostoraDiskretizacija*


o Generisanje mreže

Strukturne: algebarsko i eliptičko


Nestrukturne: metoda napredovanja, Delaunay triangulacija, quadtree/octreemetode

Diskretizacija prostoraDiskretizacija*


Osobine numeričkih metoda



Osnovni aspekti

Tačnost – greška mora težiti nuli s povećanjem broja računarskih tačaka ka beskonačnosti (konsistentnost, red diskretizacije)

Stabilnost – implicitne i eksplicitne metode

Efikasnost – računarska memorija i CPU vrijeme

Konzervativnost – fizičkih karakteristika

Ograničenost - rješenja

Diskretizacija*


Diskretizacija jednačinaDiskretizacija

Tri klasične metode za rješavanje PDJ

• Metod konačnih razlika

• Metod konačnih volumena

• Metod konačnih elemenata

• ...


Metod konačnih razlika

• Najstarija metoda za rješavanje PDJ

• Najjednostavnija metoda za jednostavne geometrije

Postupak:

1. Osnova je jednačina održanja u diferencijalnom obliku

2. Domena je podijeljena mrežom

3. U svakoj čvornoj tački diferencijalna jednačina se aproksimira zamjenom parcijalnih derivacija aproksimacijama u odnosu na vrijednosti funkcija u čvornim tačkama

4. Dobija se po jedna jednačina po čvornoj tački u kojoj su vrijednosti varijable u čvornoj tački i određenom broju susjednih čvorova nepoznanice

U principu, metod se može primijeniti na sve vrste mreža, ali (je uobičajeno da) se primijenjuje na strukturne mreže.

Za dobivanje aproksimacija prvog i drugog izvoda u odnosu na koordinate koriste se razvoj u Taylorov red ili aproksimacija polinomima

• J.H. Ferziger, M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2002.


Metod konačnih razlika*

PREDNOSTI: vrlo jednostavna i efikasna metoda za struktuiranu mrežu; jednostavno dobivanje shema višeg reda na regularnim mrežama

MANE: konzervativnost nije nametnuta; ograničenje na jednostavniju geometriju


Osnovni princip

• Lokalno struktuirana mreža – mrežne linije se poklapaju s lokalnim koordinatnim osama

• Mrežne linije iz iste ‚porodice‘ se ne sijeku; linije iz različitih ‚porodica‘ se sijeku samo jednom

• Čvor je definisan skupom indeksa, pri čemu se indeksi susjeda razlikuju za jedan

• Broj jednačina jednak je broju nepoznatih; za granične čvorove s poznatom vrijednošću (Dirichlet granični uslov) jednačina nije potrebna



Osnovni princip - nastavak

Taylorov red

21

1

2 311

2 32 6i i ii ii

i i ii i

x xx x yy yyx x

y ČVRx xx

22 31

2 31

11

2 6i i ii

i i

i i

i ii

x xx x y y Čy yy VRx xx x x

2 2 3 32 31 11 1 1

22 31 1 1 1

1

1 1 2 6i i i i i i i i

i

i i

i i i iii ii

x x x x x x x xy y ČVRx x x xx x

y yyx x x

Greška skraćivanja (tačnost)





x

f (x)

x x1 x2

f (xi-h) f (xi)

A

f (xi+h)

B

C t

tc

t-

t+

Aproksimacija prvog izvoda (Taylorov red)




Aproksimacija prvog izvoda – ostale metode

2 2 2 21 1 1 1

1 1

i i i i i i i

i i i i i

y x y x y x xyx x x x x

• parabola (aproksimacija polinomom)

• Kompaktne sheme, spektralne metode – uniformne mreže






Aproksimacija drugog izvoda (na primjer ...)

21

21

i i

i ii

y yy x x

x x x

21 1

22

2i i i

i

y y yyx x



.I. Trako, Numeričko rješavanje greda na elastičnim osloncima upotrebom softvera MathCAD, PTF UNZE, 2019.

2 2

2 2

d d yEI w kydx dx

Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)

Aproksimacija izvoda

1 1

2i i

i

y ydydx L

21 2

221

2i i i

i

y y yd ydx L

32 1 1 2

33

2 22

i i i i

i

y y y yd ydx L

42 1 4 2

44

4 6 4i i i i i

i

y y y y yd ydx L




ii

i Mdx

ydEI

2

2

2 2

2 2

d d yEI w kydx dx

iii

i

ykwdx

Md

2

2

2

11 2L

yyyEIM iiiii

2121

12

LyyyEIM iiii

i

2

2111

2L

yyyEIM iiiii

iii

iii ykwL

MMM

211 2

LykPL

MMMiii

iii

11 2

LykPyIyIIyIIIyIIyI

LE

iiiiiiiiiiiiiiiii 21111111213 )(2)4()(2

iiiiiiiiiiiiiiii PyIyIIyELkIIIyIIyI

LE

2111

41111213 )(2)/4()(2



Metod konačnih razlika*Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)


iiiiiiiiiiiiiiii PyIyIIyELkIIIyIIyI

LE

2111

41111213 )(2)/4()(2

E

LkIII

LEd i

iiiii

4

113, 4

3

11,11,

2L

IIEdd ii

iii

31

,22, LEI

dd iiiii

3

11,11,

2L

IIEdd ii

iii

31

,22, LEI

dd iiiii

D_

Di iE

L3Ii 1 4 Ii Ii 1

ki L4

E

Di i 12 E

L3Ii Ii 1

Di i 2E

L3Ii 1

Di i 12 E

L3Ii 1 Ii

Di i 2E

L3Ii 1

Di 1 i Di i 1

Di 2 i Di i 2

Di 1 i Di i 1

Di 2 i Di i 2

i 2 n 2for

D

Unutrašnji čvorovi




Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Slobodni krajevi

ELkI

LEd

41

231,15,0

32

1,22,12LEIdd

32

1,33,1 LEIdd

ELkII

LEd

42

3232,2 4

3

322,33,2

2L

IIEdd

33

2,44,2 LEI

dd

E

LkI

LEd n

nnn

4

13,5,0

31

,11,2

LEI

dd nnnnn

31

,22, LEI

dd nnnnn

ELk

IILEd n

nnnni

41

1231,1 4

312

1,22,1)(2

LIIE

dd nnnnnn

32

1,33,1 LEI

dd nnnnn




Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Jednostavno oslonjeni krajevi (zglobni oslonac)




Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Uklješteni krajevi




Primjer: greda na elastičnim osloncima (Winklerov model tla)Sistem algebarskih jednačina

inn

i

i

i

n

i

nnnnn

n

n

n

dP

dPdPdP

y

y

yyy

dddd

dddddddddddd

,

,33

,22

,11

3

2

1

,3,2,1,

,33,32,31,3

,23,22,21,2

,13,12,11,1

.

.

.

.

...

.

.0.

.

......

0..1..000.........

..0..

..0..

..0..

1Y D P


Metod(e) konačnih volumena

• Uveden(e) 1970-tih

• Uglavnom se primijenjuje za probleme tečenja fluida, ali nema ograničenja ni za ostale probleme

• Principi održanja (osnovi mehanike kontinuuma) su ispunjeni i za diskretne jednačine -konzervativnost


Postupak:

1. Osnova je jednačina održanja u integralnom obliku

2. Domena je podijeljena na kontrolne volumene

3. Aproksimacija integrala numeričkom integracijom

4. Aproksimacija funkcija veličina i izvoda interpolacijom između čvornih vrijednosti (u kojima se nalaze nepoznate varijable)

5. Formiranje i rješavanje diskretnog algebarskog sistema

CVčvor




Metod(e) konačnih volumenaDiskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija

d d 0xS V

Tk n S h Vx

03 2 div dd grad d dV S VV

cTV k T S h V T

ttV

un

2

2 0Tk hx

+ granični uslovi

( )( )

k f xh f x




Metod(e) konačnih volumenad d 0x

S V

Tk n S h Vx

Diskretizacija jednačina – stacionarna 1D toplotna kondukcija

iLx xN

, ,, , 1e w i x e x wS S S V S x n n

1 1

1 1

( )( )( )

i i P

i i W

i i E

T x T TT x T TT x T T

d d 0 d d d 0e w

x x xS V S S V

T T Tk n S h V k n S k n S h Vx x x

0e e w w Pe w

T Tk S k S h Vx x

Računanje integrala (Teorem srednje vrijednosti) i gradijenata





0e e w w Pe w

T Tk S k S h Vx x

Računanje integrala i gradijenata

( ), ( ), ( )2 2e i w i P ix xk k x k k x h h x

X 1

1

i i E P

e

i i P W

w

T T T TTx x x

T T T TTx x x

Tx

?

w eS S S





Diskretizirane jednačine


1 1 0

e wi i i i P i

i e i e i P

k kT T S T T S h Vx x

Q Q Q Q H H

1 1

, 1 1 , , 1 1

w w e ei i i P i

i i i i i i i i i i

k S k S k S k ST T T h Vx x x x

a T a T a T b

, 1 , 1 ,, , e w w e

i i i i i i

i i P i

k S k S k S k Sa a ax x x x

b H h V

Implicitna shema

Proračunaska molekula





Sistem jednačina


, 1 1 , , 1 1i i i i i i i i i ia T a T a T b

11 1 12 2 1

21 1 22 2 32 3 2

32 2 33 3 34 4 3

, 1 1 , , 1 1

.......................................... .

i i i i i i i i i i

a T a T ba T a T a T b

a T a T a T b

a T a T a T b

1, 2 2 1, 1 1 1, 1

, 1 1 ,

......................................

N N N N N N N N N N

N N N N N N N

a T a T a T ba T a T b

Matrica sistema rijetka (tridijagonalna)





Konzervativnost

• Toplotni fluks na svakoj površini ćelije se predstavlja istim izrazom za dva susjedna kontrolna volumena

• Ukupni toplotni fluks je tačno zadovoljen (osim za grešku zaokruživanja) bez obzira na broj kontrolnih volumena

• Konzervativnost je prirođena MKV, ali se može narušiti nesmotrenom diskretizacijom

0 1 1

1 2 2

2 3 3

1

1

00

000

.............................0

.............................0

i i i

N N N

N

N ii

Q Q HQ Q HQ Q H

Q Q H

Q Q H

Q Q H





Ograničenost

• Da li je numeričko rješenje fizički moguće?

• Fizički nestabilne situacije s izvorom koji je ovisan o temperaturi i raste s povećanjem temperature; prenos toplote konvekcijom i kondukcijom

Stabilnost

• Nema povećanja greške (bilo koje) u toku numeričkog rješavanja

• Primjer nestacionarne kondukcije i različitih shema diskretizacije (eksplicitna, implicitna/Euler, Cranck-Nicolsonova)





Tačnost

2''

1( )d ( ) ( ), ( , )

24

e

w

x ne w

mi e w e wix

x x xf x x f x x f x xn

Integrali

Teorem srednje vrijednosti – drugi red tačnosti

Gradijenti na površima ćelija

v. slajd 46!!!

Vremenska tačnost

Prvi red tačnosti – implicitna (Euler), eksplicitna

Drugi red tačnosti – Crank-Nicolson





Tačnost

Disipacija i disperzija – usljed odbacivanja članova višeg reda

Tačnorješenje

Disipacija(tipično za prvi

red tačnosti)

Disperzija(tipično za drugi

red tačnosti)


Metod(e) konačnih elemenata

• Razvoj metode u 1940-, 1960-tim (Boing)(https://www.simscale.com/blog/2015/11/75-years-of-the-finite-element-method-fem/)

• U početku prvenstveno za statičku analizu mehanike čvrstih tijela, ali danas i za dinamičku, prenos toplote, tečenja fluida, ...

• Veliki broj komercijalnih softvera: NASTRAN, ABAQUS, ANSYS, ADINA, DYNA, ..., PLAXIS, SW, ...

Postupak (Galerkinov metod):

1. Osnova je PDE u tzv. slaboj formulaciji (integralna jednačina)

2. Domena je podijeljena na elemente s vrhovima (čvorovima) – mreža konačnih elemenata

3. Pomjeranja se definišu funkcijama oblika (interpolacionim funkcijama), koje ovise o diskretnim nepoznatim pomjeranjima u čvorovima, te poznatim funkcijama oblika

4. Virtualna jednačina (jednakost sila unutrašnjih čvorova sa silama spoljašnjih) se svodi na sistem KU=f; K – matrica krutosti, U, vektor nepoznatih pomjeranja, f – vektor sila u čvorovima

Elementi mogu biti različiti, ali su za 2D najčešće trougaoni, pravougaoni (kvadratni) ili krivolinijski, a za 3D probleme tetraedri, heksaedri, prizme i krivolinijski elementi.



* KJ Bathe, Finite Element Procedures, Prentice Hall, Inc., 1996.

1. Idealizacija: sistem se idealizira skupom/asamblom elemenata

2.Ravnoteža elementa: zahtjev za ravnotežom u svakom elementu je postavljen u odnosu na varijable stanja

3.Povezivanje elemenata: vrši se međusobno povezivanje elemenata radi dobijanja seta simultanih jednačina za varijable stanja

4.Računanje odgovora: simultane jednačine se rješavaju za varijable stanja, a preko ravnoteže elemenata se računa i odgovor/ponašanje svakog elementa



Određivanje matrice krutosti (metode)

1.Direktni metod – povezuju se sile elemenata i pomjeranja čvorova elemenata na osnovu ravnoteže sila za svaki element: 1D elementi (ramovi, ...)

2.Variijacioni metod – princip stacionarnosti funkcionala (princip minimuma potencijalne energije)

3.Metode težinskog reziduala (Galerkinova metoda) – diferencijalne jednačine

4.Metode energetskog balansa

N.Zaimović-Uzunović, S.Lemeš, Metod konačnih elemenata, Dom štampe, Zenica, 2002..

Svaki konačni element ima svoju matricu krutosti [k] za koju važi

f k d

pri čemu k zavisi od lokalnog koordinatnog sistema, čvornih pomjeranja d i vektora sila f.

Struktura koja analizira sastoji se od međusobno povezanih konačnih elemenata za koju se postavlja globalna matrica krutosti K (definisana u globalnom koordinatnom sistemu, kao i pomjeranja čvorova).



Definisanje funkcija oblika za element (N)

1( ) ( )

nNa

i a ia

u N U

x x

1( ) ( )

NELe a

i a ia

u N U

x x

1 u čvoru 0 u ostalim čvorovima

ea

aN

11

NELea

aN

0 izvan elementa eaN e

Uslovi za funkcije oblika

I. Demirdžić, A. Ivanković, N. O’Dowd, Computational Continuum Mechanics (CCM), Lecture notes, UCD

Osnovni zadatak je izračunavanje/postavljanje i inverzija matrice krutosti sistema.

Princip: svi proračini koji se izvode na nivou elementa trebaju informaciju samo od tog elementa – ovo se postiže preko tzv. funkcija oblika



Definisanje funkcija oblika za element (N) – 1D linearna funkcija (‚element roditelj‘)

1

2

1( ) (1 )21( ) (1 )2

N x x

N x x

1

2

1 1( ) (1 ) (1 )2 2

Uu x x x

U

Postoji li drugi oblik?

2

1( ) ( ) a

aa

u x N x U




Definisanje funkcija oblika za element (N) – 1D kvadratna funkcija

1

2

23

( 1)( )2

( 1)( )2

( ) 1

x xN x

x xN x

N x x

1

2 2

3

( 1) ( 1)( ) 12 2

Ux x x xu x x U

U

3

1( ) ( ) a

aa

u x N x U




Definisanje funkcija oblika za element (N) – 2D (bi)-linearna funkcija

1

2

3

4

1( , ) (1 )(1 )41( , ) (1 )(1 )41( , ) (1 )(1 )41( , ) (1 )(1 )4

N x y x y

N x y x y

N x y x y

N x y x y

, , diakb ijkl a j b lV

K c N N V Globalna matrica krutosti:1

(x) (x)eN

ea a

eN N




Matrica krutosti štapnog elementa – funkcije oblika


const.d const.d

d d 0d d

xT AuAEx

uAEx x

2 11

11 2

2

x xx

x

x

d du x dL

du N N

d

1 2

1 1

2 2 1

(0)( )

x

x x

u a a xu d au L d a L d

1

2

1 xNL

xNL

dd

Eux

Izbor tipa elementa, izbor funkcije oblika



Matrica krutosti štapnog elementa

2 1

x x

x x

T A AEd dT AE

L

1 1 2

2 2 1

x x x

x x x

AEf T d dL

AEf T d dL

1 1

2 2

1 11 1

x x

x x

f dAEf dL

1 11 1

AEkL

2 1dd

x xx

x x

d dux L

E




Matrica strukture/konstrukcije (globalna matrica krutosti)

1

1

Ne

e

Ne

e

F K d

K k

F f

Koristi se za izračunavanje pomjeranja i sila u čvorovima

1.Određuju se nepoznate nakon unošenja graničnih uslova

2.Napišu se skalarne jednačine iz kojih se izračunaju nepoznata pomjeranja

3.Određuju se deformacije i naponi na osnovu pomjeranja

4.Nalaze se sile F




1 11 1

AEkL

61 2 6

63 6

1 1 1 11 30 10 101 1 1 130

1 1 1 12 15 10 101 1 1 130

k k

k

6

1 1 0 01 1 1 1 0

100 1 1 1 10 0 1 1

K

d1x d2x d3x d4x

Primjer: statički neodređen 1D problem

Matrica strukture/konstrukcije (globalna matrica krutosti)

1 2 - elementi elementa 12 3 - elementi elementa 2

3 4 - elementi elementa 1

1 i 2: E=30e6 N/cm2 , A=1 cm2

3: E=15e6 N/cm2 , A=2 cm2




Matrica konstrukcije – linearna konstrukcija

15

2 65

3

4

1 1 0 0 01 2 1 0 2 10

100 1 2 1 1 100 0 1 1 0

x

x

x

x

FFFF

1 4 2

26

3

0, 3000

3000 2 110

0 1 2

x x x

x

x

d d F

dd

1

2

3

4

3

4

6

1

2

1 1 0 01 2 1 0

100 1 2 10 0 1 1

xx

x

x

x

x

x

x

dFF

d

Fdd

F

Granični uslovi




Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija

Transformacione matrice koordinatnih sistema


1 1

1 2

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

x

y

d dd d

Transformaciona matrica (2D)

Globalna matrica krutosti (štapnog elementa)

1 1

1 1

2 2

2 2

x x

y y

x x

y y

f df d

kf df d

f k d





Globalna matrica krutosti

1 1

1 1

2 2

2 2

cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0

0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0

0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )

lx x

l y y

x x

y y

d dd d

d T dd dd d

T

lf T f

1 1

1 2


x

y

d dd d





1 1

1

/ ( )

l ll l

l T

l T l

T l

f k d k T d T f

T f k T d T T T

f T k T d T k T d

k T k T



Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija 1 11 1

AEkL


1 1

2 2

1 11 1

x xa

x x

f dAEf dL

1 1

2 2

1 11 1

y yt

y y

f dAEf dL

1 1

1 1

2 2

2 2

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

x x

y y

x x

y y

f df dAEf dLf d

, 0a tE E E

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

AEkL




2 2

2 2

2 2

2 2

cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( ) cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( ) cos( ) sin ( )

cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( ) cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( ) cos( ) sin ( )

AEkL


cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0

0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )

T

1 0 1 00 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0

AEkL

T lk T k T





Naponi u štapovima

2

1 1

2 2

12

2

1

2

1 11 1

1 1

1 1

lx

l lx x

x x

lxl

xx

lx

x

fA

f dAEf dL

dAEfdL

dEdL

1 1

1 1

2 2

2 2

1

11

22

2

cos( ) sin( ) 0 0sin( ) cos( ) 0 0

0 0 cos( ) sin( )0 0 sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0 00 0 cos( ) sin( )

lx x

l y y

x x

y y

xl

yx

xx

y

d dd d

d T dd dd d

dddddd

1

1

2

2

1

1

2

2

cos( ) sin( ) 0 01 1

0 0 cos( ) sin( )

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

x

y

x

y

x

y

x

y

ddEdLd

ddEdLd





Primjer 1: Naći matricu krutosti sistema

2 2

2 2

2 2

2 2

cos ( ) sin( )cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( )cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )

cos ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin( )cos( )sin( ) cos( ) sin ( ) sin( )cos( ) sin ( )

AEkL

E=30e6 N/cm2 , A=2 cm2

Štap 1 - 90°

6

(1)

0 0 0 00 1 0 12 30 100 0 0 0100 1 0 1

k

d1x d1y d2x d2y

(Sila od 10000 N djeluje u čvoru 1 prema dole)






Primjer 1 – nastavak

2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

E=30e6 N/cm2 , A=2 cm2

Štap 2 - 45°

6

(2)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 30 101/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 210 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

k

d1x d1y d3x d3y







2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

E=30e6 N/cm2 , A=2 cm2

Štap 3 - 0°

6

(3)

1 0 1 00 0 0 02 30 101 0 1 010

0 0 0 0

k

d1x d1y d4x d4y






6

(1)

0 0 0 00 1 0 12 30 100 0 0 0100 1 0 1

k

d1x d1y d2x d2y

6

(2)

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 22 30 101/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 210 21/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

k

d1x d1y d3x d3y

6

(3)

1 0 1 00 0 0 02 30 101 0 1 010

0 0 0 0

k

d1x d1y d4x d4y

6

2 / 4 1 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 1 0

2 / 4 2 / 4 1 0 1 2 / 4 2 / 4 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0

6 102 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 0

2 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 01 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K

d1x d1y d2x d2y d3x d3y d4x d4y





1

2

2 6

3

3

4

4

2 / 4 1 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 1 0010000 2 / 4 2 / 4 1 0 1 2 / 4 2 / 4 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0

6 102 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 0

2 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 01 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

x

x

y

x

y

x

y

d

FFFFFF

1

2

2

3

3

4

4

000000

y

x

y

x

y

x

y

ddddddd

16

1

1

1

0 1.354 0.3546 10

10000 0.354 1.354

0.0035435 cm0.013209 cm

x

y

x

y

dd

dd






1

2

2 6

3

3

4

4

2 / 4 1 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 1 0010000 2 / 4 2 / 4 1 0 1 2 / 4 2 / 4 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0

6 102 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 0

2 / 4 2 / 4 0 0 2 / 4 2 / 4 0 01 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

x

x

y

x

y

x

y

d

FFFFFF

1

2

2

3

3

4

4

0.00354350.013209

000000

y

x

y

x

y

x

y

ddddddd


Sile u štapovima





Primjer 1 – nastavak Naponi u štapovima

1

1

2

2


x

y

x

y

ddEdLd

1

1(1)

2

2

6(1)

2

cos(90 ) sin(90 ) cos(90 ) sin(90 )

0.00345350.01320930 10 N0 1 0 1 39627

010 cm0

x

y

x

y

ddEdLd

1

1(2)

3

3

6(2)

2

cos(45 ) sin(45 ) cos(45 ) sin(45 )

0.00345350.01320930 10 2 2 2 2 N14633.2

02 2 2 2 cm10 20

x

y

x

y

ddEdLd

1

61(3)

24

4

0.00345350.01320930 10 Ncos(0 ) sin(0 ) cos(0 ) sin(0 ) 1 0 1 0 10360.5

010 cm0

x

y

x

y

ddEdLd






2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Štap 1 – (cos=3/5, sin=4/5)

9

(1)

0.36 0.48 0.36 0.480.64 0.48 0.640.0006 210 10

0.36 0.4850.64

k

d1x d1y d2x d2y

E=210 GPa , A=0.0006 m2

=50 mm






2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

E=210 GPa , A=0.0006 m2

=50 mm

Štap 2 – 90°

9

(2)

0 0 0 01 0 10.0006 210 10

0 041

k

d1x d1y d3x d3y






9

(1)

0.36 0.48 0.36 0.480.64 0.48 0.640.0006 210 10

0.36 0.4850.64

k

d1x d1y d2x d2y

9 9

(1)

0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 5 / 4 0 5 / 40.0006 210 10 0.0006 210 10

0 0 0 04 51 5 / 4

k

d1x d1y d3x d3y

0.36 0.48 0.36 0.48 0 01.89 0.48 0.64 0 1.25

0.36 0.48 0 025200000

0.64 0 00 0

1.25

K

d1x d1y d2x d2y d3x d3y

d1x d1y d3x d3y





1 1

1

2 2

2 2

3 3

3 3

0.36 0.48 0.36 0.48 0 01000 1.89 0.48 0.64 0 1.25

00.36 0.48 0 025200000

00.64 0 000 001.25

x x

y

x x

y y

x x

y y

F dd

F dF dF dF d

1

1

1

0.36 0.4825200000

1000 0.48 1.89

0.0337 m

x

y

y

Fd

d






1

2 2

2 2

3 3

3 3

0.050.36 0.48 0.36 0.48 0 01000 0.003371.89 0.48 0.64 0 1.25

00.36 0.48 0 025200000

00.64 0 000 001.25

x

x x

y y

x x

y y

F

F dF dF dF d

Primjer 2 – nastavakReakcije oslonaca






Naponi u štapovima

1

1

2

2


x

y

x

y

ddEdLd

9(1)

9(2)

0.050.0337210 10 0.6 0.8 0.6 0.8 127.68 MPa

050

0.050.0337210 10 0 1 0 1 1769.25 MPa

040






2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Svi štapovi, E A

Štap 3 – (cos= - 4/5, sin= - 3/5)

(3)

0.64 0.48 0.64 0.48 0.128 0.096 0.128 0.0960.36 0.48 0.36 0.072 0.096 0.072

0.64 0.48 0.128 0.09650.36 0.072

EA EAkL L

d1x d1y d3x d3y





Primjer 3 - nastavak

2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Svi štapovi, E A

Štap 1 – (cos= 4/5, sin= - 3/5)

(1)

0.64 0.48 0.64 0.48 0.128 0.096 0.128 0.0960.36 0.48 0.36 0.072 0.096 0.072

0.64 0.48 0.128 0.09650.36 0.072

EA EAkL L

d1x d1y d2x d2y






2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Svi štapovi, E A

Štap 2 – (cos = - 1, sin=0)

(2)

1 0 1 0 0.125 0 0.125 00 0 0 0 0 0

1 0 0.125 080 0

EA EAkL L

d2x d2y d3x d3y





(2)

0.125 0 0.125 00 0 0

0.125 00

EAkL

d2x d2y d3x d3y

(1)

0.128 0.096 0.128 0.0960.072 0.096 0.072

0.128 0.0960.072

EAkL

d1x d1y d2x d2y

(3)

0.128 0.096 0.128 0.0960.072 0.096 0.072

0.128 0.0960.072

EAkL

d1x d1y d3x d3y

0.256 0 0.128 0.096 0.128 0.0960.144 0.096 0.072 0.096 0.072

0.253 0.096 0.125 00.072 0 0

0.253 0.0960.072

EAKL







1

1

2

2 2

3 3

3 3

0.256 0 0.128 0.096 0.128 0.0960.144 0.096 0.072 0.096 0.072

0 0.253 0.096 0.125 000.072 0 000.253 0.09600.072

x

y

x

y y

x x

y y

F dF d

dEAF dLF dF d

1

1

2

11

1

2

0.256 0 0.1280 0.144 0.096

0 0.128 0.096 0.253

0.256 0 0.128 5.906 2.667 40 0.144 0.096 2.667 10.

0.128 0.096 0.253 0

x

y

x

x

y

x

F dEAF dL

d

d FL FLd F

EA EAd

1 8.5735 5.333 1 13.167

4 5.333 8 0 9.333

FLEA






Primjer 3 – nastavakReakcije oslonaca

2

3

3

0.096 0.072 0.096 8.572 0.8750.128 0.096 0.125 13.167 10.096 0.072 0 9.333 0.125

y

x

y

FEA FLF FL EA

F

1

1

2

2 2

3 3

3 3

0.256 0 0.128 0.096 0.128 0.0960.144 0.096 0.072 0.096 0.072

0 0.253 0.096 0.125 000.072 0 000.253 0.09600.072

x

y

x

y y

x x

y y

F dF d

dEAF dLF dF d






Naponi u štapovima

1

1

2

2


x

y

x

y

ddEdLd

(1)

(2)

(3)

8.57213.167

0.8 0.6 0.8 0.6 1.469.3335

0

9.3330

1 0 1 0 1.17080

8.57213.167

0.8 0.6 0.8 0.6 0.21050

E FL FL EA A

E FL FL EA A

E FL FL EA A



Matrica konstrukcije – ravanska konstrukcija – (pokretni) oslonci (pod uglom)


3 3 33

3 3 3

3


0 00 00 0

lx x x

y y y

l

T l

d d dt

d d d

d T d

d T d

IT I

t

I – jedinična matrica 2x2





lf T f

f K d

T f T K d

1 1

1 1

2 2

2 2

33 3

3 3

0 00 0

0 0

lx x

y y

x x

y yT

x x

y y

d dd d

Id d

Id d

td dd d

1 1

1 1

2 2

2 23

3 3

3 3

0 00 00 0

x x

y y

x x

y yl

x xl

y y

f ff f

If f

If f

tf ff f

T lT f T K T d

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

x x

y y

Tx x

y yl lx x

l ly y

F dF dF d

T K TF dF dF d





Primjer 4

E=210 GPa , A1,2=0.0006 m2,

A3=0.000848 m2

2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Štap 1 – (cos= 0, sin= 1)

9 4

(1)

0 0 0 01 0 1210 10 6 10

0 011

k

d1x d1y d2x d2y






E=210 GPa , A1,2=0.0006 m2,

A3=0.000848 m2

2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Štap 2 – (cos= 1, sin= 0)

9 4

(2)

1 0 1 00 0 0210 10 6 10

1 010

k

d2x d2y d3x d3y






E=210 GPa , A1,2=0.0006 m2,

A3=0.000848 m2

2 2

2 2

2 2

2 2



AEkL

Štap 3 – (cos= 0.707, sin= 0.707)

9 4 9 4

(3)

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5210 10 8.48 10 210 10 6 10

0.5 0.5 0.5 0.51.41 10.5 0.5

k

d1x d1y d3x d3y






9 4

(1)

0 0 0 01 0 1210 10 6 10

0 011

k

d1x d1y d2x d2y

9 4

(2)

1 0 1 00 0 0210 10 6 10

1 010

k

d2x d2y d3x d3y

9 4

(3)

0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5210 10 6 10

0.5 0.510.5

k

d1x d1y d3x d3y

5

0.5 0.5 0 0 0.5 0.51.5 0 1 0.5 0.5

1 0 1 01260 10

1 0 01.5 0.5

0.5

K







1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

x x

y y

Tx x

y yl lx x

l ly y

F dF dF d

T K TF dF dF d

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

0 0 0 0 2 / 2 2 / 2

0 0 0 0 2 / 2 2 / 2

T

3

3


0 00 00 0

t

IT I

t






1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

x x

y y

Tx x

y yl lx x

l ly y

F dF dF d

T K TF dF dF d

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

0 0 0 0 2 / 2 2 / 2

0 0 0 0 2 / 2 2 / 2

T

1 1

1 13

2

2 2

3 3

3 3

00

1000 100

00

x x

y y

T x

y yl lx x

l ly y

F dF d

dT K T

F dF d

F d

5

0.5 0.5 0 0 0.5 0.51.5 0 1 0.5 0.5

1 0 1 01260 10

1 0 01.5 0.5

0.5

K



Matrica krutosti za gredu


2

2z

d v Mdx EI

3

3

d vEI V xdx

4

4 d vEI w xdx

Funkcija (poprečnog/vertikalnog) pomjeranja

3 21 2 3 4( )v x a x a x a x a

1 4

1 30

3 22 1 2 3 4

2 22 1 2 3

0, (0)

0,

, ( )

, 3 2

y

x

y

x L

x v d a

dvx adx

x L v L d a L a L a L a

dvx L a L a L adx

3 21 2 1 2 1 2 1 2 1 13 2 2

2 1 3 1( ) 2y y y y yv x d d x d d x x dL L L L





Funkcija (poprečnog/vertikalnog) pomjeranja i funkcije oblika

3 21 2 1 2 1 2 1 2 1 13 2 2


1

11 2 3 4

2

2

,

y

y

v N d

d

d N N N N Nd

3 2 31 3

3 2 2 32 3

3 23 3

3 2 24 3

1 2 3

1 2 2

1 2 3

1

N x x L LL

N x L x L xLL

N x x LL

N x L x LL





3 21 2 1 2 1 2 1 2 1 13 2 2


2

2 ( )d vEI M xdx

3

3

d vEI V xdx

3

1 1 1 2 23 30

22 2

1 1 1 2 22 30

3

2 1 1 2 23 3

22 2

2 1 1 2 22 30

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

y y yx

y yx

y y yx L

y yx

d v EIf V EI d L d Ldx L

d v EIm m EI Ld L Ld Ldx L







3

1 1 1 2 23 30

22 2

1 1 1 2 22 30

3

2 1 1 2 23 3

22 2

2 1 1 2 22 30

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

y y yx

y yx

y y yx L

y yx





1 12 2

1 13

2 22

2 2

12 6 12 64 6 2

12 64

y y

y y

f dL Lm L L LEIf dLLm L

2 2

3

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL





Primjer 1: Naći matricu krutosti grede

V=1000N, m=1000Ncm

2 2

3

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

2 2

13

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

2 2

23

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

d1y 1 d2y 2

d2y 2 d3y 3





Primjer 1: Naći matricu krutosti grede i postavi (matrični) sistem jednačina

V=1000N, m=1000Nm

2 2

3

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

2 2

13

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

2 2

23

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

d1y 1 d2y 2 d2y 2 d3y 3

1 12 2

1 1

2 22 2 23

2 2

3 32

3 3

012 6 12 6 0 004 6 2 0 0

1000 12 12 6 6 12 61000 4 4 6 2

012 60 4

y y

y y

y y

F dL LM L L L

F dL L LEIM L L L LL

F dLM L

d1y 1 d2y 2 1 d3y 3





Primjer 1: Naći matricu krutosti grede i postavi (matrični) sistem jednačina

V=1000N, m=1000Nm

2 2

3

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

1 12 2

1 1

2 22 23

2 2

3 32

3 3

012 6 12 6 0 004 6 2 0 0

1000 24 0 12 61000 8 6 2

012 60 4

y y

y y

y y

F dL LM L L L

F dLEIM L L LL

F dLM L

22 2

232 2

3

1000 4 0 61000 0 8 2

0 6 2 4

yL dEI L LL

L L L





Primjer 2: Naći matricu krutosti grede i odgovarajuće nagibe i ugibe

2 2

3

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

2 2

13

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

2 2

23

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

d1y 1 d2y 2 d2y 2 d3y 3

12 2

1

2 22 2 23

2

3 32

3 3

12 6 12 6 0 00 4 6 2 0 0

012 12 6 6 12 60 4 4 6 2

012 604

y

y y

y y

P dL LL L L

F dL L LEIL L L LL

F dLM L

d1y 1 d2y 2 1 d3y 3





12 2

1

2 22 2 23

2

3 32

3 3

12 6 12 6 0 00 4 6 2 0 0

012 12 6 6 12 60 4 4 6 2

012 604

y

y y

y y

P dL LL L L

F dL L LEIL L L LL

F dLM L

12 2

132

2

11 3 3

2 21 2 2

22

2

12 6 60 4 20 8

7 3 1 712 4 4 1212 6 6

5 1 34 2 0 04 4 4

8 0 01 14 4

y

y

P L L dEI L LL

L

L Ld L L P PL LL LEI EI L L L

L

L L

3PLEI




Matrica krutosti za gredu – kontinuirano opterećenje


kont 0( ) ( )

LW w x v x dx disk 1 1 2 2 1 1 2 2y y y yW m m f d f d

3 21 2 1 2 1 2 1 2 1 13 2 2


4 3 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 13 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 1 3 1 24 3 2y y y y y

y y y y

L L Lw d d d d d LL L L L

m m f d f d

2 2

1 2 1 2, , , 2 2 12 12y y

wL wL wL wLf f m m





Primjer 3: Naći matricu krutosti grede i odgovarajuće nagibe i ugibe

2 2

3

2

12 6 12 64 6 2

12 64

L LL L LEIk

LLL

1

2 12 21

13

22

22

2012 6 12 604 6 212

12 602 4

012

y

y

y

wLF

dL LwLm L L LEIdwL LL

LwL






223 2

2

4

32

2 32

2

12 6 26 4

121 1

2 83 21 1

2 12 6

y

y

wLdLEI

L LL wL

wL wLd L EIL

EI wL wLL L EI

1

2 12 21

13

22

22

2012 6 12 604 6 212

12 602 4

012

y

y

y

wLF


LwL

21 22 2 4

13

22 3

22

0 212 6 12 6 0

4 6 2 12 212 6 8 024 0

612

y

y

wL

wLF L L wL wLm L L LEI wLF L wLL EIm L wL

wLEI






1

2 12 21

13

22

22

2012 6 12 604 6 212

12 602 4

012

y

y

y

wLF


LwL

211 22 2

113

22

22

2012 6 12 604 6 2 12 20 12 6 0

20 4 0

12

yy

y

wL

wLdF L L wL wLm L L LEIdL wLL

LwL

0F K d F


S R E T N O !!!

is g predavanja 2018-19ptf.unze.ba/wp/wp-content/uploads/2019/05/is_g_predavanja_2018-19.pdf- brzina...

Documents