Iº ESO UNIDAD 12

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12 FIGURAS PLANAS

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

12.1 Dibuja polgonos convexos de 3, 4 y 5 lados con sus correspondientes diagonales. Cuntas hay en cada uno?

Tringulo (0 diagonales)

Cuadriltero (2 diagonales)

Pentgono (5 diagonales)

12.2 Dibuja las siguientes figuras planas. a) Un polgono cncavo regular. b) Una figura que no sea un polgono.

a) Al ser un polgono cncavo, tiene al menos un ngulo mayor de 180 . Si fuera regular, debera tener todos los ngulos iguales, y eso es imposible, porque no existe un polgono regular con los ngulos mayores de 180 . b) No es un polgono porque los lados se cortan y no estn unidos sucesivamente.

12.3 Dibuja un pentgono regular en una circunferencia circunscrita de 4 centmetros de radio. Cunto mide el lado del pentgono? Se dibuja la circunferencia de 4 cm de radio y 5 ngulos centrales de 72 .

72o

El lado del pentgono mide 4,70 cm.

12 FIGURAS PLANAS

12.4 Se puede dibujar un hexgono de 6 centmetros de lado en una circunferencia de 6 centmetros de dimetro? No porque en el radio de la circunferencia circunscrita a un hexgono regular tiene la misma medida que el lado del hexgono. Y el radio de esa circunferencia es de 3 cm y no de 6 cm. 12.5 Construye un decgono regular de 25 milmetros de lado. Se dibuja un decgono regular en una circunferencia cualquiera. Luego se prolonga un lado del decgono hasta que tenga 25 mm y se dibujan los radios y las paralelas para obtener la circunferencia circunscrita al polgono buscado.

12.6 Dibuja un octgono de 3,5 centmetros de lado. a) Cunto mide el radio de la circunferencia circunscrita? b) Cmo construiras un cuadrado a partir del octgono? Cunto medira su lado? Se realiza como en el ejercicio anterior pero con un octgono.

a) El radio de la circunferencia mide 4,58 cm b) Uniendo vrtices no contiguos dejando uno entre ellos. Su lado medira: l 12.7 Dibuja un tringulo rectngulo issceles. Para que sea rectngulo debe tener un ngulo de 90 , y para que sea issceles, los catetos deben medir lo mismo. (4,58)2 (4,58)2 6,48 cm

3 cm

3 cm

12.8 Fjate en el rectngulo y el romboide. a) Qu tienen en comn? a) Son paralelogramos con lados paralelos iguales. b) En que el rectngulo tiene los cuatro ngulos iguales, y el romboide los tiene iguales dos a dos. b) En qu se diferencian?

12 FIGURAS PLANAS

12.9 Clasifica los polgonos. a) De tres lados. b) De cuatro lados.

a) Tringulo escaleno acutngulo.

b) Cuadriltero, paralelogramo, romboide.

12.10 Se puede construir un tringulo de manera que sus ngulos midan 105 , 45 y 35 ? Razona la respuesta. La suma de los ngulos de un tringulo debe ser 180 . Se suman los 3 ngulos dados: 105 45 35 185 180 ; por tanto, no se puede construir el tringulo.

12.11 En un tringulo rectngulo un ngulo agudo mide 30 . Cunto mide el otro? En un tringulo rectngulo, un ngulo mide 90 , y conocemos otro que mide 30 . Como la suma de los ngulos de un tringulo es 180 , el otro ngulo mide: 180 12.12 Contesta a las siguientes cuestiones sobre un heptgono regular. a) Cul es la suma de sus ngulos interiores? b) Cunto mide cada uno de ellos? c) Si el heptgono fuera irregular, valdran lo mismo? a) La suma de sus ngulos interiores es: 180 (n 2) 180 (7 2) 180 900 7 5 900 128,57 128 34c

90

30

60 .

b) Al ser regular, todos los lados y ngulos miden lo mismo. Cada ngulo mide: c) Podran valer lo mismo. Por ejemplo, si en el primer heptgono, que es regular, sustituimos cualquier lado, por ejemplo, b, por otro segmento paralelo b , los ngulos permanecen iguales, pero los lados a, b y c varan.c

b

b

a

a

12.13 Son iguales los siguientes rectngulos?

4 cm 2 cm 4 cm 2 cm

S, porque tienen los lados iguales y los ngulos correspondientes iguales.

12 FIGURAS PLANAS

12.14 Si dos cuadrados tienen un lado igual, se puede decir que son iguales? S, porque los cuadrados tienen todos los ngulos iguales a 90 y todos los lados iguales. Por tanto, si coinciden en un lado, coinciden en todos. 12.15 Si dos rombos tienen un lado igual, se puede decir que son iguales? No necesariamente. Solo se puede afirmar que al ser los lados de un rombo iguales, los dos rombos tienen los lados iguales, pero no se puede asegurar que sus ngulos tambin lo sean. 12.16 Son iguales dos hexgonos regulares con los lados iguales? Como los ngulos de cualquier hexgono regular miden 120 y sus lados son iguales, los hexgonos son iguales. 12.17 Indica cules de las rectas dibujadas en la figura son ejes de simetra.b a c d

Los ejes de simetra son: a y d 12.18 Dibuja un tringulo equiltero de 8 centmetros de lado y traza en l todos los ejes de simetra. Cunto mide el ngulo que forman dos ejes contiguos?

El ngulo que forman dos ngulos contiguos mide: 180 3 60

12.19 Traza todos los ejes de simetra que tiene un hexgono regular cuya circunferencia circunscrita tiene 5 centmetros de radio. Cunto mide el ngulo que forman dos ejes contiguos?

El ngulo que forman dos ngulos contiguos mide: 180 6 30

12 FIGURAS PLANAS

12.20 Dibuja un tringulo con los datos siguientes. a) Un lado mide 7 centmetros, y los ngulos contiguos, 45 y 63 . b) Un ngulo es recto, y los catetos miden 3 y 4 centmetros. c) Dos lados miden 5 y 6 centmetros, y el ngulo que forman es de 108 . a) Dibujamos el segmento a p C 45 y p B 63 . 7 y, con vrtice en sus extremos, construimos los ngulos

El punto de corte es el otro vrtice, A, del tringulo.45o 7 cm 63o

b) Dibujamos el ngulo recto. A partir de su vrtice y sobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a 3yb 4. Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el tringulo.

3 cm

4 cm

p 108 con el comps o el transportador. A partir de su vrtice y c) Dibujamos el ngulo C sobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a 5yb 6. Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el tringulo.5 cm 108o 6 cm

12.21 Las medidas de los lados de un tringulo son: 5 centmetros, 7,20 centmetros y 35 milmetros. Los lados de otro tringulo miden: 72 milmetros, 3,5 centmetros y 0,5 decmetros. Dibjalos y estudia si son iguales. Si ponemos todas las medidas en centmetros, los lados de los tringulos coinciden: 5; 7,2 y 3,5 cm. Por el primer criterio de igualdad de tringulos, estos dos tringulos son iguales ya que tienen los lados iguales.50 3, cm

5c m=

35

m m

=

0,5 dm

7,20 cm = 72 mm

12.22 Es posible construir un tringulo con los lados iguales a 4, 6 y 10 centmetros? Por qu? No, porque la suma de las medidas de los lados ms pequeos debe ser mayor que la del grande. Al intentar dibujarlo, resultara un segmento. 12.23 Dibuja las mediatrices de un tringulo issceles cuyos lados iguales miden 8 centmetros y el ngulo que forman es de 80 . Seala el circuncentro.

80o

cm

8 cm

8

C

12 FIGURAS PLANAS

12.24 Traza las mediatrices de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 12 y 5 centmetros. Dnde se cortan?

Las tres mediatrices se cortan en el circuncentro.C 5 cm

12 cm

12.25 Uno de los lados de un tringulo mide 7 centmetros, y sus ngulos contiguos, 65 y 40 . a) Seala su circuncentro. b) Dibuja la circunferencia que pasa por los tres vrtices del tringulo. a) Construimos el tringulo dibujando el lado. En sus extremos trazamos dos semirrectas con las medidas de los ngulos, y donde se cortan est el otro vrtice. Luego, trazamos las mediatrices y sealamos el punto donde se cortan, que es el circuncentro.

65o 7 cm

C

40o

b) Es la circunferencia que tiene como centro el circuncentro y por radio la distancia de este punto a cualquiera de los vrtices del tringulo.

65o 7 cm

C

40o

12.26 Traza las bisectrices de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 4 y 3 centmetros. Una vez realizado el tringulo, trazamos las bisectrices de los tres ngulos.

3 cm

4 cm

12 FIGURAS PLANAS

12.27 Uno de los lados de un tringulo mide 6 centmetros, y los ngulos contiguos a l, 45 y 80 . a) Seala el incentro. b) Cul es el radio de la circunferencia tangente a los tres lados del tringulo? Dibujamos el tringulo empezando por el lado y luego, en sus extremos, midiendo los ngulos. Las semirrectas que determinan esos ngulos se cortan en un punto que es el otro vrtice del tringulo. a) Luego, trazamos las bisectrices de los ngulos, y el punto de corte es el incentro, I.80o 45o 6 cm

I

P

b) El radio de la circunferencia tangente a los tres lados es la longitud del segmento IP.

12.28 En un tringulo issceles los lados iguales miden 7 centmetros cada uno y el ngulo que forman, 120 . a) Dibuja su incentro. b) Dibuja la circunferencia tangente a los tres lados del tringulo. a) Una vez dibujado el tringulo, trazamos las bisectrices de los ngulos, y el punto de corte es el incentro, I.120o I

7 cm

7 cm

b) La circunferencia es la que tiene su centro en el incentro del tringulo, y su radio es la distancia del incentro a uno de los lados del tringulo.120o I

7 cm

7 cm

12.29 Traza las alturas de un tringulo issceles cuyos lados iguales miden 6 centmetros cada uno y el ngulo que forman es de 70 .

70o 6 cm 6 cm

12 FIGURAS PLANAS

12.30 Dibuja un tringulo rectngulo issceles de catetos iguales a 5 centmetros. Halla el ortocentro e indica con qu otro punto coincide. El ortocentro coincide con el vrtice del ngulo recto.

5 cm

O

5 cm

12.31 Los tres lados de un tringulo miden 5, 4 y 8 centmetros. a) Traza sus alturas. b) Seala su ortocentro e indica si es interior o exterior al tringulo. a) y b) El ortocentro es exterior al tringulo.8 cm 4 cm 5 cm

O