inversa y rango

RANGO E INVERSA

CONTENIDO

3.1 Matrices equivalentes3.2 Ejercicios3.3 Rango de una matriz3.4 Ejercicios3.5 Inversa. Definiciones y propiedades3.6 Ejercicios3.7 Métodos para obtener la inversa de una matriz3.8 Ejercicios

3.1 MATRICES EQUIVALENTES

En esta sección veremos que cada una de las operaciones de filas puede realizarse en A multiplicando A por la izquierda por una matriz obtenida al efectuar dicha operación a la matriz identidad. Para este fin, definiremos una matriz elemental como cualquier matriz que se obtenga a partir de la matriz identidad mediante una operación elemental de filas, para lo cual utilizaremos el siguiente resultado: Sea A una matriz de n x m. Supongamos que B se obtiene a partir de A mediante una operación elemental de filas. Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar las mismas operaciones elementales de filas en la matriz identidad. Entonces B = EA. Esto es, la matriz elemental E obtenida a partir de la matriz identidad mediante una operación elemental de filas realiza la misma operación elemental en A al multiplicarla por la izquierda.

EJEMPLO 3.1.1Dada la matriz

A =

verifique el resultado antes mencionado.SOLUCIONObtengamos B a partir de A intercambiando las filas f(2) y f(3):

B =

Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener:

E =

Ahora verificamos que E efectúa la misma operación de filas en A al multiplicar por la izquierda a la matriz A por E:

RANGO E INVERSA

EA = = = B.


A =

verifique el resultado antes mencionado.SOLUCIONMultiplicamos la tercera fila de A por –2 para obtener B:

B =

Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener

E =

Entonces

EA = = = B.

Algunas veces necesitaremos efectuar una sucesión de operaciones de filas en una matriz A. Esto puede hacerse multiplicando A por la izquierda por un producto de matrices elementales.


A =

Multiplique la matriz A por la izquierda por un producto de matrices elementales.SOLUCIONIntercambiamos las filas f(2) y f(3):

Multiplicamos la segunda fila por 3/4:

A la segunda fila le sumamos la primera:

INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

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RANGO E INVERSA

B =

Cada operación puede ser realizada mediante una matriz elemental:

E(1) = , E(2) = , E(3) =

Se forma

E(3)E(2)E(1) = = =

Si se multiplica A por la izquierda por este producto de matrices elementales, obtenemos el resultado final de las tres operaciones de filas:

(E(3)E(2)E(1))A = = = B.

DEFINICIÓN 3.1.1Se dice que la matriz A es equivalente por filas a la matriz B si B se obtiene a partir de A mediante una sucesión de operaciones elementales de filas.

Esto significa que la matriz B debe ser de la forma E(n)E(n-1) ... E(1)A para matrices elementales E(1), E(2), ..., E(n). Las matrices equivalentes por filas tienen las siguientes propiedades:

TEOREMA 3.1.1Toda matriz es equivalente por filas a sí misma.

DEMOSTRACIONObservemos que la matriz A siempre puede obtenerse a partir de A mediante una operación elemental de filas.

TEOREMA 3.1.2Si la matriz A es equivalente por filas a la matriz B entonces B es equivalente por filas a A.

DEMOSTRACIONSe obtiene la matriz B a partir de la matriz A intercambiando las filas i y j de A, obtenemos a A a partir de B intercambiando las filas i y j de B. Si obtenemos la matriz B a partir de la matriz A multiplicando la fila j de A por un número k distinto de cero, obtenemos A a partir de B multiplicando la fila j de B por 1/k. Si obtenemos la matriz B a partir de la matriz A sumando k veces la fila i a la fila j, obtenemos A a partir de B sumando –k veces la fila i a la fila j de B. En resumen, si obtenemos B a partir de A mediante operaciones elementales de filas, podemos recuperar A a partir de B mediante operaciones elementales de filas del mismo tipo. Ahora supongamos que A es equivalente por filas a B. Entonces B puede obtenerse a partir de A mediante una sucesión de operaciones elementales de filas. Por lo tanto,


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RANGO E INVERSA

A se obtiene a partir de B mediante una sucesión de operaciones elementales; así que B es equivalente por filas a A.

TEOREMA 3.1.3Si la matriz A es equivalente por filas a la matriz B y B es equivalente por filas a la matriz C entonces A es equivalente por filas a C.

DEMOSTRACIONSi la matriz B se obtiene a partir de la matriz A mediante un producto de matrices elementales, y la matriz C se obtiene a partir de B mediante un producto de matrices elementales, hemos obtenido C a partir de A mediante un producto de matrices elementales; por lo tanto, A es equivalente por filas a C.

Sea la matriz A de n x m. Si una fila tiene un elemento distinto de cero, el elemento principal de la fila es su primer elemento distinto de cero, leyendo de izquierda a derecha. Una fila que tiene únicamente ceros no tiene elemento principal. Decimos que la matriz A es una matriz reducida si A tiene las siguientes características:1.- El elemento principal de cada fila distinto de cero es 1.2.- Si una fila tiene su elemento principal en la columna j, todos los otros elementos de la columna j son cero.3.- Toda fila que tiene únicamente ceros está debajo de las filas que tienen elementos distintos de cero.4.- Si el elemento principal de la fila f(1) está en la columna c(1), el elemento principal de la fila f(2) está en la columna c(2) y f(1) < f(2), entonces c(1) < c(2).

Por la segunda característica, si una columna contiene un elemento principal en alguna fila, todos los otros elementos de esa columna son cero. Dicho de otra manera, todos los elementos que están directamente por encima o debajo de cualquier elemento principal son cero. La cuarta característica dice que los elementos principales se mueven hacia abajo y a la derecha conforme se ve la matriz.

TEOREMA 3.1.4Sea A una matriz de n x m. Entonces A es equivalente por filas a una matriz en forma reducida.

DEMOSTRACIONSi la matriz A está en forma reducida, ya se acaba el proceso. Si no, leyendo de izquierda a derecha la matriz, supongamos que la columna c(1) es la primera columna que tiene un elemento distinto de cero. Sea k el primer elemento distinto de cero de esa columna, digamos que aparece en la fila f(1). Multiplicamos la fila f(1) por 1/k para obtener una matriz B. Por la elección de f(1), la columna c(1) de B tiene exactamente ceros por encima del 1 en la fila f(1). Si cualquier fila debajo de f(1) tiene un elemento r distinto de cero en la columna c(1) sumamos –r veces la fila f(1) a esa fila. Obteniendo una nueva matriz con un cero donde estaba localizada r en B. La repetición de este proceso da como resultado la matriz C que tiene ceros por encima y debajo de la fila f(1) en la columna c(1). Ahora intercambiamos las filas 1 y f(1) de C para producir la matriz D que tiene como entrada principal 1 en la fila 1 y la columna c(1) y todos los demás elementos de esa columna son cero. Además, por la elección de c(1), cualquier columna de D a la izquierda de la columna c(1) tiene solamente elementos iguales a cero. Finalmente D es equivalente por filas a A ya que llegamos a D por una sucesión de operaciones elementales de filas.


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RANGO E INVERSA

Si D es reducida, se acaba el proceso. Si no, repetimos este proceso, pero ahora observando la primera columna, digamos la columna c(2), a la derecha de la columna c(1) y que tiene un elemento distinto de cero debajo de la fila 1. Sea f(2) la primera fila debajo de la fila 1 que tiene un elemento distinto de cero, digamos s. Dividimos la fila f(2) por s para obtener una matriz E con 1 como elemento f(2), c(2). Si la columna c(2) de E tiene un elemento distinto de cero s en una fila por encima o debajo de f(2) sumamos –s veces la fila f(2) a esa fila. La repetición de este proceso da una matriz F con ceros en la columna c(2) por encima y debajo del elemento 1 en la fila f(2). Finalmente, intercambiamos las filas 2 y f(2) de F para obtener G. Si la matriz G está en forma reducida, se acaba el proceso. Si no, localizamos la primera columna a la derecha de la columna c(2) y que tenga un elemento distinto de cero debajo de la fila f(2) y repetimos el proceso que hemos estado utilizando. Como A tiene un número finito de columnas, eventualmente llegamos a una matriz reducida y esta matriz reducida es equivalente por filas a A.

El proceso de obtener una matriz reducida equivalente por filas a una matriz dada A se llama reducción de A. Observemos que usualmente es posible efectuar distintas sucesiones de operaciones elementales de filas en A para obtener una matriz reducida.

Sea A una matriz de n x m. Suponga que se aplica una sucesión S(1) de operaciones elementales de filas empezando con la matriz A y obteniendo una matriz reducida B. Suponga que se aplica otra sucesión S(2) de operaciones elementales de filas empezando con A y se obtiene una matriz reducida C. Entonces B = C. Esto implica que para una matriz A, el resultado final siempre es el mismo no importa cuáles operaciones elementales de filas hayamos usado para llegar a él. Debido a esto, hablaremos de la forma reducida de A en lugar de una forma reducida de A. Denotaremos a la forma reducida de A como A(R).

EJEMPLO 3.1 4Reducir la matriz

A =

SOLUCIONEmpezamos con la primera columna, que tiene un elemento distinto de cero en la primera fila.

La segunda columna de la última matriz tiene elementos distintos de cero debajo de la primera fila. Como queremos un 1 en esa posición, entonces hacemos las siguientes operaciones:


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RANGO E INVERSA

La tercera columna de la última matriz tiene elementos distintos de cero debajo de la segunda fila. Como queremos un 1 en esa posición, entonces hacemos las siguientes operaciones:

.

Esta última matriz es A(R), la forma reducida de A. En este caso A(R) = I.

Hemos obtenido A(R) a partir de A por una sucesión de operaciones elementales de filas. Además, hemos visto que podemos realizar cualquier sucesión de operaciones elementales de filas en A multiplicando a A por la izquierda por un producto de matrices elementales. Esto nos indica que dada una matriz A de n x m. Entonces existen matrices elementales E(1), E(2), ..., E(n) tales que A(R) = E(n)E(n-1) ... E(1)A.

3.2 EJERCICIOS

3.2.1 En las siguientes matrices, efectúe la operación elemental de filas indicada en A para obtener la matriz B. Después encuentre la matriz E tal que EA = B:

a.- A = ; multiplicar la tercera fila por i.

b.- A = ; sumar el producto de la tercera fila por –1 a la primera fila.

c.- A = ; intercambiar las filas f(1) y f(3).

3.2.2 En las siguientes matrices, obtenga una matriz B a partir de la matriz A dada efectuando la sucesión de operaciones. Después obtener una matriz C tal que CA = B:

a.- A = ; sumar 2 veces la primera fila a la tercera fila, intercambiar las filas f(1) y

f(3), multiplicar la tercera fila por 2.

b.- A = ; intercambiar las filas f(2) y f(4), sumar i veces la segunda fila a la

tercera fila, sumar la primera fila a la tercera fila, multiplicar la segunda fila por i.


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c.- A = ; sumar –i veces la segunda fila a 7 veces la tercera fila, intercambiar

las filas f(1) y f(3), multiplicar la tercera fila por (1 – 2i).

3.2.3 En las siguientes matrices, determine si la matriz está en forma reducida. Si no lo está, haga una lista de todas las condiciones de la definición que no se cumplen y utilice las operaciones elementales de filas para reducir la matriz:

a.- A = ; b.- A = ; c.- A = .

3.3 RANGO DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz se relaciona de manera importante con el concepto de rango de una matriz. Para calcular prácticamente el rango de una matriz pueden seguirse distintos procedimientos. Uno de ellos consiste en comprobar con las dos primeras filas si existe algún determinante de 2 x 2 no nulo; si ocurre así, se procede de la misma manera respecto a las tres primeras filas, y de la misma manera hasta agotar el número de filas o encontrar un primer conjunto de menores de k x k que sean nulos en su totalidad; en el primer caso, el rango es igual al número de filas n, y en el segundo, es k – 1.

DEFINICIÓN 3.3.1El rango de una matriz A es el orden de la matriz de mayor orden, cuyo determinante es diferente de cero que se puede obtener de A al suprimir filas y/o columnas. Representamos este número por Rang(A). Se dice que A tiene rango 0 si todos sus elementos son cero.

Es evidente que el rango de una matriz de m x n cuando más puede ser igual al menor de los números m y n, pero puede ser menor.

TEOREMA 3.3.1Sea una matriz A de m x n y sea k un número entero positivo. Entonces Rang(A) k si la matriz A contiene un subdeterminante distinto de cero de orden k.

DEMOSTRACIONSupongamos que Rang(A) k. Entonces el rango por filas de la matriz A será, por lo menos, k, y así en la matriz A hay k filas linealmente independientes. Numeremos estas filas con f1, f2, ..., fk y sea B la matriz k x n en la que la fila i-ésima sea la fila fi de la matriz A. Entonces, el rango por filas de B ha de ser k y, por lo tanto, Rang(B) = k. De esto se desprende que el rango por columnas de B sea k y que, por lo tanto, B contenga k columnas linealmente independientes. Consideremos la matriz C cuadrada de orden k que conste de esas columnas. Las columnas de C son linealmente independientes y, por lo tanto, Rang(C) = k. Por consiguiente Det(C) 0. Puesto que C es una submatriz de A, hemos demostrado que A debe contener un subdeterminante de orden k distinto de cero.


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RANGO E INVERSA

EJEMPLO 3.3.1Hallar los valores del parámetro k, para que la matriz

A =

Tenga rango máximo. ¿Cuánto es el rango para los otros valores de k?SOLUCIONLa matriz A tiene rango máximo si el Det(A) 0, es decir:

= (k + 3) - k = 36.

Como 36 0, entonces la matriz tiene rango máximo si k R.

TEOREMA 3.3.2El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos los demás subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero.

DEMOSTRACIONSi Rang(A) = k, entonces la matriz A contendrá un subdeterminante de k x k distinto de cero. Además, A no puede contener un subdeterminante de k + 1 x k + 1 que sea distinto de cero, pues, de ser así, su rango no podría ser menor que k + 1.

EJEMPLO 3.3.2Calcular el rango de la matriz

A =

SOLUCIONUtilizaremos la definición, es decir:

= - 18

Como este menor es diferente de cero, procedemos a tomar un menor de mayor orden:

Por lo tanto el Rang(A) = 2.

DEFINICIÓN 3.3.2El número de filas distintas de cero de una matriz A en la forma reducida se denomina rango de la matriz A.

Si A es una matriz de n x m, obviamente Rang(A) n. Además, como A(R) es una matriz reducida su rango es el número de sus filas distintas de cero; por lo tanto Rang(A) es igual al número de filas de A(R) no nulas.INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL JOE GARCIA ARCOS

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TEOREMA 3.3.3Sea A una matriz de n x m. Entonces A es equivalente por filas a una matriz en forma reducida.

DEMOSTRACIONDemostremos que una operación elemental no puede aumentar el rango k de una matriz A. Si A tiene el máximo rango posible, esto es evidente. Sea k menor y considérese cualquier submatriz cuadrada B de A con k + 1 filas. Por definición de rango Det(B) = 0. Sea C la matriz obtenida a partir de B aplicando una operación elemental a A. Si C = B, entonces Det(C) = 0. Sea C = B:a.- Supóngase la operación de intercambio de dos filas de A. Si los dos tienen elementos en B, entonces Det(C) = -Det(B). En caso contrario, C es igual a otra submatriz cuadrada de A con k + 1 filas. De aquí que Det(C) = 0.b.- Bajo la operación elemental de la multiplicación de una fila de A por un número r diferente de cero, se tiene Det(C) = rDet(B) = 0.c.- Bajo la adición de un múltiplo constante de una fila de A a otra fila, la matriz C difiere de la B en una fila, digamos c, de la forma c = b + ra, donde b es la fila correspondiente de B. Así se tiene Det(C) = Det(B) + rDet(D) = rDet(D), donde D, tiene dos filas idénticas, o bien, es una submatriz cuadrada con k + 1 filas de la matriz A.En cualquier caso, Det(D) = 0 y Det(C) = 0. Esto completa la demostración de que una operación elemental no puede aumentar el rango de una matriz A. Vamos a demostrar ahora que una operación elemental no puede disminuir ese rango. Por inversa de una operación elemental se entiende la operación que deshace el efecto de la operación dada. Esa inversa existe y es una operación elemental. De aquí que, si una operación elemental pudiera disminuir el rango, su inversa lo aumentaría, pero esto es imposible por lo que acaba de demostrarse.

Este teorema implica que si se desea determinar el rango de una matriz dada, primero puede simplificarse la matriz por medio de operaciones elementales. Más importante, este teorema servirá de base para el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.

EJEMPLO 3.3.3Hallar los valores del parámetro k, para que la matriz

A =

Tenga rango máximo. ¿Cuánto es el rango para los otros valores de k?SOLUCIONLa matriz A tiene rango máximo si el Det(A) 0, es decir:

= k = k3(k + 2) 0.

Como k3(k + 2) 0, entonces k 0 y k - 2. Por lo tanto k R \ {-2, 0}. Cuando k = - 2:


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RANGO E INVERSA

Rang(A) = 3.

Cuando k = 0:

Rang(A) = 2.

TEOREMA 3.3.4Sea A una matriz de n x n. Entonces Rang(A) = n si y sólo si A(R) = I.

DEMOSTRACIONSi A(R) = I, entonces la matriz A(R) tiene n filas no nulas; por lo tanto Rang(A) = n. Recíprocamente, supongamos que Rang(A) = n. Entonces A(R) tiene exactamente n filas no nulas y por lo tanto no tiene filas nulas. Toda fila de A(R) tiene elemento principal 1. A(R) tiene cada elemento de la diagonal principal igual a 1. Todos los elementos de la columna c(j) por encima y debajo de la diagonal principal son nulos. Por lo tanto, A(R) = I.

TEOREMA 3.3.5El rango del producto de varias matrices no es superior al rango de cada uno de los factores.

DEMOSTRACIONSean dadas las matrices A y B, para las cuales tiene sentido el producto AB; emplearemos la notación AB = C. Veamos la definición del producto de matrices, que da la expresión de los elementos de la matriz C. Tomando esta fórmula para un k dado y todos los i posibles, obtenemos que la k-ésima columna de la matriz C representa una suma de todas las columnas de la matriz A, tomadas con ciertos coeficientes. De este modo, queda demostrado que el sistema de columnas de la matriz C se expresa linealmente mediante el sistema de columnas de la matriz A, y, por consiguiente, el rango del primer sistema es menor o igual al rango del segundo sistema; en otras palabras, el rango de la matriz C no es mayor que el rango de la matriz A. Por otra parte, como de la definición, para un i dado y todos los k, se deduce que toda i-ésima fila de la matriz C es combinación lineal de las filas de la matriz B, con razonamientos análogos obtenemos que el rango de C no es mayor que el rango de B.

TEOREMA 3.3.6El rango de la transpuesta de una matriz es el mismo que el de la matriz dada.

DEMOSTRACIONSea Rang(A) = k y sea B una submatriz cuadrada de A con k filas y Det(B) . Evidentemente BT es una submatriz de AT. Por lo tanto Det(BT) = Det(B). De donde Rang(AT) k. Por otra parte, si A contiene una submatriz cuadrada C de k + 1 filas, entonces, por definición de rango, Det(C) = 0. Como C corresponde a CT en AT y Det(CT) = 0, se concluye que AT no puede contener una submatriz cuadrada de k + 1 filas con un determinante diferente de cero. Como consecuencia, Rang(AT) k. En conjunto, Rang(AT) = k y se completa la demostración.


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3.4 EJERCICIOS

3.4.1 Demuestre que Rang(A + B) Rang(A) + Rang(B).

3.4.2 Hallar los valores de k, para los cuales la matriz

tiene el rango mínimo. ¿Cuál será el rango para los k hallados y cuál será para otros valores de k?

3.4.3 Dada la matriz

¿Cuál será el rango de la matriz para distintos valores de k?

3.4.4 Demuestre que si una matriz está compuesta de m filas y su rango es r, cualesquiera s de sus filas forman una matriz, cuyo rango no es inferior a r + s - m.

3.4.5 Demuestre que cualquier matriz de rango r puede representar en forma de una suma de r matrices de rango 1, pero no se puede representar en forma de una suma inferior a r de semejantes matrices.

3.4.6 Demuestre que si el rango de la matriz A es igual a r, el menor d que se encuentra en la intersección de cualesquiera r filas linealmente independientes y r columnas linealmente independientes de esta matriz, es diferente de cero.

3.4.7 Demuestre que el rango de una matriz antisimétrica es un número par.

3.4.8 Para cualquier matriz B con elementos reales o complejos todos los menores principales de la matriz A = BB+ son no negativos y el rango de A es igual al rango de B.

3.4.9 Dada A una matriz de m x n y k un entero positivo. Entonces Rang(A) k si y sólo si A contiene un subdeterminante distinto de cero de orden k.

3.4.10 El rango de A, de una matriz m x n, será igual a r (r > 0) si y sólo si hay por lo menos un subdeterminante de A de orden r que sea distinto de cero mientras que todos los demás subdeterminantes de A de orden r + 1 son cero.

3.5 INVERSA. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

El determinante de una matriz se relaciona de manera importante con el concepto de no singularidad de una matriz.


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RANGO E INVERSA

DEFINICIÓN 3.5.1Sea A una matriz cuadrada de n x n, si existe una matriz B de n x n tal que AB = I se considera que B es una inversa por la derecha de A. Si existe una matriz C de n x n tal que CA = I se dice que C es una inversa por la izquierda de A.

DEFINICIÓN 3.5.2Sea A una matriz de n x n. Si B es una matriz de n x n tal que AB = I y BA = I, donde I es la matriz identidad de n x n, entonces se dice que la matriz B es una inversa de la matriz A y se representa por B = A-1. Además podemos decir que toda matriz cuadrada A de n x n se denomina singular, si su determinante es igual a cero; en caso contrario, se denomina no singular.

EJEMPLO 3.5.1Sean A y B matrices de n x n tales que AB = I. Demuestre que Det(A) 0 y Det(B) 0.SOLUCIONSuponga que A y B son matrices de n x n tales que AB = I. Entonces, se sabe que Det(AB) = 1. Si Det(A) = 0, entonces se concluye que Det(AB) = Det(A)Det(B) = 0, lo cual es una contradicción. Por consiguiente es posible concluir que Det(A) 0. Si Det(B) = 0, se obtiene una contradicción semejante.

EJEMPLO 3.5.2Si A y B son matrices de n x n con B no singular, demuestre que

Det(A) = Det(B-1AB).SOLUCIONHaciendo uso de la propiedad del producto de determinantes, tenemos

Det(B-1AB) = Det(B-1)Det(A)Det(B) = Det(A)Det(B-1)Det(B) = Det(A)Det(B-1B) = Det(A)Det(I) = Det(A).

TEOREMA 3.5.1Si una matriz A de n x n tiene inversa, entonces ella es única.

DEMOSTRACIONSupongamos que B y c son matrices inversas de la matriz cuadrada A. Entonces

AB = BA = I y AC = CA = I.Entonces

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.Con esto demostramos que la inversa de una matriz es única.

TEOREMA 3.5.2Si A y B son matrices no singulares, entonces:a.- AB es no singular y (AB)-1 = B-1A-1.b.- A-1 es no singular y (A-1)-1 = A.c.- Para k 0, kA es no singular y (kA)-1 = k-1A-1.


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RANGO E INVERSA

DEMOSTRACIONa.- Como A y B son matrices no singulares, existen A-1 y B-1. Ahora calculamos

(AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I(B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B = B-1IB = B-1B = I

Por lo tanto B-1A-1 es la inversa de AB.b.- De la definición de matriz inversa y la unicidad se sigue que

(A-1)-1 = A.c.- Por las propiedades de las matrices, obtenemos

(k-1A-1)(kA) = (k-1k)A-1A = 1I = I(kA)(k-1A-1) = (kk-1)AA-1 = 1I = I

con lo que podemos decir que(kA)-1 = k-1A-1.

EJEMPLO 3.5.3Dadas las matrices A y B de n x n. Demuestre que (ATBT)-1 = (A-1B-1)T, donde A y B son matrices no singulares.SOLUCIONSi A y B son matrices no singulares, entonces:

(ATBT)(A-1B-1)T = ATBT(B-1)T(A-1)T = ATBT(BT)-1(AT)-1 = AT(AT)-1 = I(A-1B-1)T(ATBT) = (B-1)T(A-1)TATBT = (BT)-1(AT)-1ATBT = (BT)-1BT = I

y, por tanto (A-1B-1)T es la inversa de la matriz ATBT.

TEOREMA 3.5.3Si A = A(1)A(2) ... A(n) y A(1), A(2), ..., A(n) son todas matrices no singulares, entonces A es no singular y

A-1 = (A(1)A(2) ... A(n))-1 = A-1(n) ... A-1(2)A-1(1).

DEMOSTRACIÓNEn el producto

(A-1(n) ... A-1(2)A-1(1))(A(1)A(2) ... A(n)) = A-1(n) ... A-1(2)A-1(1)A(1)A(2) ... A(n)como A-1(i)A(i) = I, entonces

(A-1(n) ... A-1(2)A-1(1))(A(1)A(2) ... A(n)) = A-1(n) ... A-1(2)IA(1)A(2) ... A(n) = A-1(n) ... A-1(2)A(2) ... A(n) = A-1(n) ... I ... A(n) = A-1(n) ... A(n) = … = I.

Del mismo modo demostramos que(A(1)A(2) ... A(n))(A-1(n) ... A-1(2)A-1(1)) = A(1)A(2) ... A(n)A-1(n) ... A-1(2)A-1(1)

= A(1)A(2) ... I... A-1(2)A-1(1) = A(1) ... A-1(n) = ... = I.

Con lo cual queda demostrado que los dos productos son inversos uno del otro.

TEOREMA 3.5.4Para toda matriz A de n x n, no singular se cumple que

Det(A-1) =


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RANGO E INVERSA

DEMOSTRACIONComo A-1A = I, se concluye que Det(A-1A) = Det(I). Por consiguiente, se debe tener que

Det(A-1)Det(A) = 1.Como Det(A) = 0, la demostración puede completarse dividiendo entre Det(A), es decir

Det(A-1) = .

EJEMPLO 3.5.4Sean A y B matrices de n x n con B no singular. Dé un ejemplo para el que B-1AB A. Luego, demuestre que Det(B-1AB) = Det(A).SOLUCIONHaciendo

B = , B-1 = , A = , B-1AB = .

Det(B-1AB) = Det(B-1)Det(A)Det(B) = Det(B-1)Det(B)Det(A) = Det(B)Det(A) = Det(A).

EJEMPLO 3.5.5Demuestre que el rango del producto a la derecha y a la izquierda de una matriz A por una matriz cuadrada no singular B, es igual al rango de la matriz A.SOLUCIONSea AB = C. Del ejemplo anterior se deduce que el rango de la matriz C no es mayor que el rango de la matriz A. Por otra parte, multiplicando a la derecha la igualdad AB = C por B-1, llegamos a la igualdad A = CB-1 y, por consiguiente, el rango de A no es mayor que el rango de C. Comparando estos dos resultados obtenemos la coincidencia de los rangos de las matrices A y C.

TEOREMA 3.5.5Sean A y B matrices no singulares y conmutativas, entonces:

A-mB-n = B-nA-m m, n N

DEMOSTRACIONSi AB = BA, entonces AB – BA = O. Ya que B es no singular, B-1 existe, y, por tanto

B-1AB = A-1BA = AAdemás

B-1ABB-1 = AB-1.De la misma manera, puede encontrase que

A-1B = BA-1.De donde deducimos fácilmente que A-mB-n = B-nA-m.

TEOREMA 3.5.6Sea T una matriz triangular no singular; su inversa es triangular con la misma estructura.

DEMOSTRACIONSea T triangular inferior; su inversa T-1 cumplirá TT-1 = T-1T = I ya que I al ser diagonal es triangular inferior, T-1 debe ser, asimismo, triangular inferior. Los elementos de T -1 pueden calcularse con facilidad planteando el sistema asociado al producto TT-1. En efecto se tendrá


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RANGO E INVERSA

la suma sólo tendrá sentido para los términos en los cuales i k j; luego

.

DEFINICIÓN 3.5.3Una matriz A de orden n, se llama ortogonal cuando el producto de la matriz A por su matriz transpuesta AT es la matriz identidad I, es decir AAT = I.

EJEMPLO 3.5.6Demostrar que el determinante de una matriz ortogonal es igual a ± 1.SOLUCIONSi A es una matriz ortogonal, entonces por definición AT = A-1, por tanto

AA-1 = AAT = I Det(AA-1) = Det(A)Det(AT) Det(I) = Det(A)Det(A)

1 = [Det(A)]2

Det(A) = ± 1.

DEFINICION 3.5.4Una matriz A de orden n, se llama unitaria cuando el producto de la matriz A por su matriz transpuesta – conjugada A+ es la matriz identidad I, es decir AA+ = I.

EJEMPLO 3.5.7Demostrar que el determinante de una matriz unitaria tiene el módulo igual a ± 1.SOLUCIONSi A es una matriz unitaria, entonces por definición A+ = A-1, por tanto

AA-1 = AA+ = I Det(AA-1) = Det(AA+) = Det(A)Det(A+)

Det(I) = Det(A)[Det(A)]C

1 = Det(A) 2

Det(A) = ± 1.

3.6 EJERCICIOS

3.6.1 Demuestre que al multiplicar la matriz A a la izquierda o a la derecha por una matriz no singular, su rango no varía.

3.6.2 El rango de una matriz no necesariamente cuadrada, no cambia si se le multiplica por una matriz no singular.

3.6.3 Demuestre que si A es una matriz de rango 1, por lo menos una de las matrices I + A y I – A es no singular.


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RANGO E INVERSA

3.6.4 Demuestre que cualquier matriz A de rango r puede representarse en forma de un producto A = PRQ, donde P y Q son matrices no singulares y R es una matriz rectangular de las mismas dimensiones que A, en cuya diagonal principal los primeros r elementos son iguales a la unidad, mientras que todos los demás elementos son nulos.

3.6.5 Demuestre que B es una inversa izquierda para la matriz A si y sólo si BT es inversa derecha para AT.

3.6.6 Si A, B y C son no singulares, ¿cuál es la inversa de AB-1C? ¿es A2 no singular? ¿es A + B no singular? Mostrar que A-1(A + B)B-1 = A-1 + B-1.

3.6.7 Si

A = y A I,

determine las condiciones sobre los elementos de la matriz, para que A = A-1.

3.6.8 Sean las matrices

B = y C = .

Hallar A sabiendo que:a.- AT = BA-1

; b.- AT + A-1 = C.

3.6.9 Sea

A = .

Hallar una matriz B triangular superior tal que AB sea ortogonal.

3.6.10 Si A = B y A-1 existe, ¿es necesario que A-1 = B-1?

3.7 METODOS PARA OBTENER LA INVERSA DE UNA MATRIZ

I. METODO DE LA MATRIZ ADJUNTA

A continuación obtendremos una fórmula para determinar la inversa de una matriz en términos de su determinante y de los cofactores de sus elementos.

DEFINICIÓN 3.7.1Una matriz Cof(A), cuyos elementos son complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la matriz A de n-ésimo orden, donde el complemento algebraico del elemento a(i, j) está situado en la intersección de la j-ésima fila y la i-ésima columna, se define como la matriz de cofactores de la matriz A.


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RANGO E INVERSA


A =

determine la matriz de cofactores.SOLUCIONPor definición, la matriz de cofactores esta dada de la siguiente manera:

Cof(A) = = .

DEFINICIÓN 3.7.2La transpuesta de la matriz de cofactores Cof(A) de los elementos a(i, j) de la matriz A se denomina matriz adjunta y se denota por Adj(A).

TEOREMA 3.7.1Si A es una matriz con determinante diferente de cero y Adj(A) es la matriz adjunta, entonces:

A-1 = .

DEMOSTRACIONSea Det(A) = 0. Demostraremos por inducción que la matriz A es singular. Si n = 1, entonces Det(A) = 0 implica que A = O. Supongamos que este teorema sea válido para todas las matrices cuadradas de n – 1 x n – 1, es decir, que para una matriz de este orden un determinante cero implica singularidad, y supongamos que esto no se verifique para la matriz A, es decir, que A sea no singular a pesar de nuestra hipótesis de que Det(A) = 0. Obtendremos una contradicción. Si Det(A) = 0, entonces A(Adj(A)) = O, y, por lo tanto resultaría A-1AAdj(A) = O, es decir Adj(A) = O. En otras palabras, todos los menores de la matriz A serían cero. Sea a continuación B la matriz n – 1 x n – 1 que consista en las n – 1 primeras filas de A. Puesto que toda matriz cuadrada de n – 1 x n – 1 compuesta por n – 1 columnas de B tendrá determinante cero, podemos concluir, por la hipótesis de inducción, que cada una de estas matrices cuadradas de n – 1 x n – 1 es singular, es decir, que tiene un rango menor que n – 1. Por lo tanto, no puede haber en B más que n – 2 columnas linealmente independientes y por tanto, no más de n – 2 filas linealmente independientes. De esta manera resulta que las filas de B y las filas de A son linealmente dependientes, lo que contradice la suposición de la no singularidad de A.

Este teorema propone que el rango de una matriz cuadrada de n x n será n si y sólo si su determinante es distinto de cero. Esto constituye, de hecho, un caso particular de un hecho más general, acerca del que hay un teorema que relaciona el rango con los determinantes.


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RANGO E INVERSA

EJEMPLO 3.7.2Demuestre que si Det(A) = 1 y todos los elementos de A son enteros, entonces todos los elementos de A -1

también deben ser enteros.SOLUCIONSuponga que Det(A) = 1 y que todos los elementos de A son enteros. Lo anterior implica que todos los elementos de Adj(A) deben ser enteros. Además, como

A-1 = Adj(A) = Adj(A)

Puede concluir que todos los elementos de A-1 deben ser enteros.

EJEMPLO 3.7.3Demuestre que si A es una matriz no singular de n x n, entonces se cumple que

Adj(A-1) = (Adj(A))-1.SOLUCIONSuponga que A es una matriz no singular de n x n. Como Adj(A-1) = A Det(A-1) y

(Adj(A))-1 = (A-1Det(A))-1 = A = A Det(A-1),

se concluye que Adj(A-1) = (Adj(A))-1.

EJEMPLO 3.7.4Demuestre que si Det(A) = Det(B) 0, entonces hay una matriz C tal que Det(C) = 1 y A = CB.SOLUCIONSuponga que Det(A) = Det(B) 0. Entonces B es no singular y al hacer C = AB-1, se concluye que

A = CB y Det(C) = Det(A)Det(B-1) = Det(A) = 1.

EJEMPLO 3.7.5Hallar la inversa de la matriz

A = .

SOLUCIONComo Det(A) = 1, entonces:

(Cof(A))T = A-1 = .

EJEMPLO 3.7.6Hallar la inversa de la matriz

A =


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RANGO E INVERSA

SOLUCIONComo Det(A) = 0, entonces la matriz A es singular, es decir A no admite inversa.

TEOREMA 3.7.2Si A es una matriz antisimétrica, entonces la matriz Adj(A) es simétrica si n es impar, y antisimétrica si n es par.

DEMOSTRACIONSi A es una matriz antisimétrica. Entonces AT = - A, por tanto

(AT)-1 = (A-1)T = - A-1

De (AT)-1, tenemos que A-1 = Adj(A), entonces

(AT)-1 = (Adj(A))T = Adj(A) = (-1)n Adj(A) = - A-1

pero – A-1 = (-1) (Adj(A))T, igualando las ecuaciones

(AT)-1 = (-1)n Adj(A) y – A-1 = (-1) (Adj(A))T

obtenemos

(-1)n Adj(A) = (-1) (Adj(A))T.

Si n es par, entonces n = 2p, y(-1)2p-1Adj(A) = (Adj(A))T - Adj(A) = (Adj(A))T,

por lo tanto, es antisimétrica. Si n es impar, es decir n = 2p + 1, entonces(-1)2p+1-1Adj(A) = (Adj(A))T (-1)2pAdj(A) = (Adj(A))T Adj(A) = (Adj(A))T,

por lo tanto, es simétrica.

EJEMPLO 3.7.7Dada una matriz A no singular de n x n. Suponga que n 3. Demostrar que

Det(Adj(A)) = (Det(A))n-1.SOLUCIONSuponga que A es una matriz de n x n. Como

Adj(A) = A-1Det(A),Se concluye que

Det(Adj(A)) = Det(A-1Det(A)) = (Det(A))nDet(A-1) = (Det(A))n-1.

II. OPERACIONES ELEMENTALES

Usando el método de operaciones elementales, los cálculos se realizan convenientemente en la matriz aumentada más grande, formada combinando las matrices. Para la matriz dada A de n-ésimo orden construimos una matriz rectangular (AI) de dimensión (n x 2n), añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego, haciendo uso de las transformaciones elementales sobre las filas, reducimos la matriz (AI) a la forma (IB), lo que es siempre posible, si A es regular. En este caso B = A-1.

.


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RANGO E INVERSA

A continuación explicaremos, porqué con este método se obtiene A-1. Cuando hacemos las operaciones elementales de filas para reducir a A en el lado derecho de (I | A) también las hacemos en el lado izquierdo. Por lo tanto, hacemos en I exactamente las operaciones elementales de filas utilizadas para reducir a A. Esto produce una matriz C que es un producto de matrices elementales cada una efectuando una de las operaciones utilizadas para reducir a A. Por lo tanto, sea o no A(R) = I tenemos CA = A(R). Cuando A(R) = I, C debe ser A-1.

TEOREMA 3.7.3Sea A una matriz de n x n. Entonces A es no singular si y sólo si Rang(A) = n.

DEMOSTRACIONConsideremos la ecuación AB = I, con B una matriz de incógnitas de n x n que queremos resolver. Si AB = I, la columna c(j) de AB es igual a la columna c(j) de I, en la que la última matriz columna tiene un 1 en la fila f(j) y cero en los demás. Por tanto, la columna c(j) de B se encuentra con el sistema de ecuaciones AX = C, donde la matriz C tiene un 1 en la fila f(j). Ahora supongamos que Rang(A) = n. Entonces el sistema AX = C tiene una única solución. Por lo tanto, podemos encontrar una única matriz B tal que AB = I. Es posible demostrar que también BA = I; por lo tanto B es la inversa de A. Recíprocamente, si A es no singular, el sistema AX = C tiene una única solución para j = 1, 2, ..., n, ya que estas soluciones forman las columnas de A-1. De esta forma podemos concluir que Rang(A) = n.

EJEMPLO 3.7.8Hallar la inversa de la siguiente matriz:

A = .

SOLUCION

A-1 = .

EJEMPLO 3.7.9Sea A una matriz cuadrada no singular:a.- Si se intercambian dos filas de A, ¿en qué es comparable la inversa de la matriz resultante con A-1;b.- Responda a la pregunta del inciso a) si una fila de A se multiplica por un número k distinto de cero;c.- Responder a la pregunta del inciso a) si la i-ésima fila de A se multiplica por un número k y se suma a la j-ésima fila.


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RANGO E INVERSA

SOLUCIONa.- Si B se obtiene de A al intercambiar las filas i y j, entonces B-1 se obtiene de A-1 al intercambiar las columnas i y j.b.- Si B se obtiene de A al multiplicar la fila i por a 0, entonces B-1 se obtiene de A-1 al multiplicar la columna i por 1/a.c.- Si B se obtiene de A al sumar k veces la fila i a la fila j, entonces B -1 se obtiene de A-1 al restar k veces la columna j de la columna i.

EJEMPLO 3.7.10Demuestre que toda matriz elemental es no singular, y la inversa también es una matriz elemental.SOLUCIONSi E es una matriz elemental, entonces E se obtiene al efectuar algunas operaciones en las filas de I. Sea E(0) la matriz que se obtiene cuando la inversa de esta operación se efectúa en I. Usando el hecho de que las operaciones inversas en las filas cancelan mutuamente su efecto, se concluye que E(0)E = EE(0) = I. Así, la matriz elemental E(0) es la inversa de E.

3.8 EJERCICIOS

3.8.1 Si A es una matriz de n x n con n 2, demostrar cada una de las propiedades siguientes de su matriz cofactor:a.- Cof(AT) = (Cof(A))T.b.- (Cof(A))TA = (Det(A))I

3.8.2 Demuestre que si Det(A) = 1, entonces Adj(Adj(A)) = A.

3.8.3 Demuestre que si A es una matriz de n x n y Det(A) = 0, entonces Det(Adj(A)) = 0.

3.8.4 Demuestre que si A es una matriz cuadrada de n x n, entoncesA(Adj(A)) = (Adj(A))A = I Det(A).

3.8.5 Demuestre que Adj(kA) = kn-1Adj(A). Para cualquier número k y cualquier matriz A de n x n.

3.8.6 Determine la inversa de las matrices siguientes:

a.- ; b.- ; c.- .

3.8.7 Dada

A = .

a.- Determine el determinante de A. ¿Es A no singular?b.- Determine Adj(A) y el producto A Adj(A).


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inversa y rango

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