introduction `a la mécanique des milieux continus déformables
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Introduction a la Mecanique des MilieuxContinus Deformables
Samuel Forest
Centre des Materiaux/UMR 7633Mines ParisTech /CNRS
BP 87, 91003 Evry, [email protected]
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L’equipe enseignante
• Gilles Damamme Departement Materiaux–CEACouplages multiphysiques, materiaux heterogenes
• Samuel Forest CNRS / Ecole des Mines de ParisMilieux continus generalises, materiaux cristallins
• Serge Kruch ONERALois de Comportement et Mecanique de l’Endommagement
• Vincent Maurel Ecole des Mines de ParisComportement a haute temperature et fatiguethermomecanique des materiaux et structures
• Matthieu Maziere Ecole des Mines de ParisStabilite des materiaux et des structures
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
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Structures du genie civil
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Structures du genie civil
La commission administrative a conclu que deux evenements etaient a l’origine del’effondrement, qui a cause la mort de 4 personnes et blesse 3 autres, le 23 mai 2004 :”d’une part, le pliage et la perforation de la coque en beton arme par les etaismetalliques qui devaient la soutenir. Dautre part, la rupture et la chute de la poutrequi supportait la coque”.
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Structures du genie civil
La commission a ”fait des propositions pour ameliorer les regles et pratiques pour desconstructions non courantes, notamment pour accepter les modalites etude et decontrole liees a leur complexite, instaurer, dans certains cas, un suivi de la vie desouvrages”.L’enquete administrative avait pointe la faible resistance initiale de la structure(insuffisance du ferraillage, faible epaisseur du beton...), conduisant le gestionnaire dela plate-forme a decider en mars de detruire la voute de la jetee pour la reconstruiretotalement. “La structure en beton doit etre remplacee tout ou partie par unestructure en acier”.Le cout de l’operation est estime a 150 millions d’euros et sera ”tres largementcouvert par les assurances”.
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Rigueur et responsabilite
Bad Reichenhall, 2-01-2006
• un probleme de statiqueDie Statik der Halle war deutlich schlechter
als fur derartige Hallen vorgeschrieben. Eine
genaue Berechnung der Tragfahigkeit der
Halle und der Dach-Statik hat uberhaupt nie
stattgefunden. Allein deshalb hatte die Halle
laut Staatsanwalt gar nicht gebaut werden
durfen.
• un probleme de materiauUngeeigneter Klebstoff beim Dach. Ein
weiterer Fehler laut Gutachten ist, dass das
Dach mit Klebstoffen zusammengehalten
worden ist, die fur Eishallen gar nicht
geeignet sind. Die verwendeten
Harnstoff-Formaldehyd-Kleber sind nur fur
absolut trockene Raume zugelassen.
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Structures industrielles
moteur d’avion
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La pale de MMC de janvier 2006
Dimensionnement des disques deturbine de moteur d’helicoptere
Les disques de turbine des moteurs d’avions et d’helicopteres sont des piecestournantes dont le dimensionnement est d’une importance capitale pour l’integrite dumoteur en service. Ils sont soumis a des forces centrifuges considerables et ne doiventpas eclater. Un assemblage complet de turbines de moteur d’helicoptere est presentesur la figure 1 (a) comprenant la partie froide (compresseur) et la partie chaude dumoteur (turbines haute pression en sortie de chambre de combustion). Les specificitesdu moteur d’helicoptere par rapport au moteur d’avion de ligne sont sa taille limitee etdes vitesses de rotation des turbines sensiblement plus elevees. Dans ce moteur, ondistingue deux familles de disques :
• les disques aleses possedent un alesage (trou) concentrique permettant lepassage de l’arbre. Deux exemples sont donnes sur les figures 1 (b) et (c).
• les disques non aleses sont situes en tete ou fin d’assemblage et ne possedentpas de trou central (figure 1 (d)).
Les disques sont munis d’aubes formant un monobloc (figure 1 (b)) ou attachees
grace a des encoches comme sur les figures 1 (c) et (d). Les disques non solidaires de
l’arbre sont entraınes en rotation grace a des barres reliant les disques et passant par
les trous visibles sur les disques des figures 1 (c) et (d).
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
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Los Angeles, le 2 juin 2006...
Les objets de la mecanique des milieux continus 18/90
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Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...
http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx
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Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...
http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx
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Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...
http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx
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Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...
http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx
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Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...
http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx
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Batam Island, Indonesia, le 4 novembre 2010...
An interim ATSB investigation report has confirmed the sequenceof events that led to the 4 November 2010 uncontained enginefailure on board a Qantas A380 aircraft over Batam Island,Indonesia.Released today, the report highlights how the intermediate pressureturbine disc in the aircraft’s No. 2 engine had been weakened by anoil fire. As a result, the disc separated from its shaft, increasedits rotation speed and broke into several parts. Sections of thefractured disc and other engine components penetrated theaircraft’s left wing and a number of other areas on the aircraft,resulting in significant structural and systems damage.The oil fire that weakened the disc was due to a manufacturingdefect in an oil feed pipe. That defect resulted in fatiguecracking in the pipe, so that oil sprayed into an engine cavitywhere it ignited because of the high air temperature.
http://www.atsb.gov.au/newsroom/news-items/qantas-airbus-a380-singapore.aspx
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Eclatement de disque de turbine
Essai de survitesse realise sur banc jusqu’a eclatement
source : Turbomeca
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Turbine de moteur d’helicoptere
source : Turbomeca
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Turbine de moteur d’helicoptere
source : Turbomeca
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Prevision de l’eclatement d’un disque de turbine
calcul de structure par elements finis, carte des deformations[Maziere, 2006]Les objets de la mecanique des milieux continus 28/90
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Structures industrielles
compresseur / chambre de combustion / turbine haute pression
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Structures industrielles
disque de turbine / aubes de turbine
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Thermomecanique des structures
champ de temperature dans une aube de turbinecouplage thermomecanique
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Micro–mecanique des composants electroniques
wafer de silicium avec ses microprocesseurs
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Micro–mecanique des composants electroniques
processeur multicouches / circuits de connections
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Nano–mecanique
nanomachine / deformation de nanotubes de carbone
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 36: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/36.jpg)
La nature n’est pas continue...
Les materiaux ont une structure multiechelles : echelle atomique(materiau ceramique)
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La nature n’est pas continue...
Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique
microstructure granulaire : grain d’un polycristal de zinc(revetement de tole d’acier galvanisee)
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La nature n’est pas continue...
Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique
microstructure granulaire : cristaux d’hornblende et quartz dansune roche metamorphique (taille de grain ∼ 50µm)
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La nature n’est pas continue...
Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique
microstructure granulaire : spherolites dans un polymeresemi–cristallin
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La nature n’est pas continue...
Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique
microstructure cellulaire : mousse de polyurethanne a porositeouverte (pavage de l’espace par des polyedres)
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Materiaux composites
Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique
structure periodique : nid d’abeilles en aluminium
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Materiaux composites
Les materiaux ont une structure multiechelles : echellemicroscopique
composites carbone–epoxy / composite a matrice metallique
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 44: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/44.jpg)
Dynamique moleculaire
partir des equations de Newton...limites : 109 atomes, potentiels atomiques, informations inutiles...
demarche de Navier, Cauchy : l’hypothese moleculaire
Les objets de la mecanique des milieux continus 44/90
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Mecanique des milieux granulaires
simulation numerique d’un milieu granulaire : mecanique dessolides indeformables + contact (non lineaire)
limites : quelques milliers de grainsinterets : lignes materielles
[Nouguier, ECL, 2004]
Les objets de la mecanique des milieux continus 45/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 47: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/47.jpg)
Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 48: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/48.jpg)
L’element de volume dV de la mecanique desmilieux continus
• Notion de point materiel ouparticule : un volumeinfinitesimal dV centre en Xdans l’espace affine euclidien
• dV ∼ Volume ElementaireRepresentatif
d LVER L
d taille des heterogeneitesLVER taille physique du VERL taille de la structure
• on va suivre le point materielsans s’occuper des constituantscontenus dans le VER...
VER pour un polycristalmetallique
Le modele continu 48/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
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Corps materiel M
M
M
( , )E R
Le corps materielMest un ensemble depoints materiels
Le modele continu 50/90
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Placement de reference dans l’espace physique
M
Ω0
M
X
( , )E R
p0
• Ω0 est laposition occupeedans l’espacephysique E munid’un referentielR a un instantdonnee t0
• le point materielM ∈M occupela position Xdans cetteconfiguration
• on l’adopteracommeconfigurationde reference
Le modele continu 51/90
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Configuration actuelle dans l’espace physique
M
Ω Ω0 t
M
X x
( , )E R
p p0 t
• Ωt est laposition actuelleoccupee par lecorps materieldans l’espacephysique E al’instant t
• le point materielM ∈M occupela position xdans cetteconfiguration
• on l’appelleconfigurationactuelle
Le modele continu 52/90
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Configuration actuelle dans l’espace physique
M
Ω Ω0 t
M
X x
( , )E R
p p0 t
Φ
• La transformation
x = Φ(X , t)
fait passer de Ω0 aΩt
• La transformationest supposeebijective etbicontinue
X = Φ−1(x , t)
? pas de fission!? pas de fusion!
Le modele continu 53/90
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Configuration intermediaire du corps materiel
M
Ω
Ω
Ω0 t
τ
M
X x
x( )τ
( , )E R
p p
p
0
τ
t
Φ
• La position de Ma 0 ≤ τ ≤ t estnotee Ωτ s’appelleconfigurationintermediaire ducorps materiel
• La transformationΦ(X , τ)0≤τ≤t
contient l’histoirede deformationdu corps materielentre ces instants
Le modele continu 54/90
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Transformation du milieu continu
Ω
Ω
Ω0 t
τ
X x
x( )τ
( , )E R
Φ
• La transformation
x = Φ(X , t)
fait passer de Ω0 aΩt
• Le deplacementdu point materielest defini par
u (X , t) = x − X
u (X , t) = Φ(X , t)−X
Le modele continu 55/90
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Champs de tenseurs sur MDes grandeurs physiques et thermomecaniques peuvent etreattachees a chaque point du corps materiel.On distingue alors deux situations :
• cas des milieux a microstructure sous–jacente : plutot“solides”L’element de volume dV ∈ Ω0 centre en X devient dv ∈ Ωt
centre en x . dV et dv contiennent les memes particulesmaterielles.champs de fonctions tensorielles F (X , t)
c’est l’approche ...
• cas des milieux sans microstructure sous–jacente : plutot“fluides”Les particules materielles sont interchangeables et nonidentifiees. On ne s’interesse qu’aux quantites moyennes(vitesses) relatives aux particules traversant dv centre aupoint geometrique x ∈ Ωt a l’instant tchamps de fonctions tensorielles f (x , t)
c’est l’approche ...Le modele continu 56/90
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Points de vue lagrangien et eulerien
• cas des milieux a microstructure sous–jacente : “solides”L’element de volume dV ∈ Ω0 centre en X devient dv ∈ Ωt
centre en x . dV et dv contiennent les memes particulesmaterielles.champs de fonctions tensorielles F (X , t)
c’est l’approche lagrangienne ou materielle
• cas des milieux sans microstructure sous–jacente : “fluides”Les particules materielles sont interchangeables et nonidentifiees. On ne s’interesse qu’aux quantites moyennes(vitesses) relatives aux particules traversant dv centre aupoint geometrique x ∈ Ωt a l’instant tchamps de fonctions tensorielles f (x , t)
c’est l’approche eulerienne ou spatiale
• Les points de vue lagrangien et eulerien sont equivalents :
f (x , t) := F (Φ−1(x , t), t), F (X , t) := f (Φ(X , t), t)
Le modele continu 57/90
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Un exemple de transformation du milieu continu
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
xi = QijXj + ci
Q∼
tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q∼.Q∼
T = Q∼
T .Q∼
= 1∼ avecdetQ
∼= 1
Le modele continu 58/90
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Un exemple de transformation du milieu continu
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
xi = QijXj + ci
Q∼
tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q∼.Q∼
T = Q∼
T .Q∼
= 1∼ avecdetQ
∼= 1
Il s’agit d’unmouvement de corps rigide= rotation(t)+translation(t)d’ensembleLa rotation et la translation ne doivent pas dependre de X . La
dependance en t peut etre quelconque (acceleration non nulle).
Dans un repere cartesien orthonorme dont le troisieme axe est l’axede rotation x1
x2
x3
=
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1
X1
X2
X3
+
c1
c2
c3
Le modele continu 59/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
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Milieux continus ou presque...Les discontinuites sont tout a fait envisageables en MMC
• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); lesgrandeurs mecaniques sont continues “presque partout”...
Le modele continu 61/90
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Milieux continus ou presque...Les discontinuites sont tout a fait envisageables en MMC
• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); lesgrandeurs mecaniques sont continues “presque partout”...
• fissure : le deplacement est discontinu
Le modele continu 62/90
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Milieux continus ou presque...Les discontinuites sont tout a fait envisageables en MMC
• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); lesgrandeurs mecaniques sont continues “presque partout”...
• fissure : le deplacement est discontinuMecanique de la rupture
Le modele continu 63/90
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Milieux continus ou presque...Les discontinuites sont tout a fait envisageables en MMC
• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); lesgrandeurs mecaniques sont continues “presque partout”...
• fissures
• sillage d’un cylindre dans un fluide, decollement
Le modele continu 64/90
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Milieux continus ou presque...Les discontinuites sont tout a fait envisageables en MMC
• sur des domaines de mesure nulle (surfaces, lignes, points); lesgrandeurs mecaniques sont continues “presque partout”...
• mecanique des solides : fissures, interfaces...
• mecanique des fluides : sillages, ondes de chocs, casturbulent non envisage icien realite, couches limites...
Le modele continu 65/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 67: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/67.jpg)
Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 68: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/68.jpg)
Mecanique des solides indeformables
• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
nombres d’inconnues (a l’instant t)?
Comportement des materiaux 68/90
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Mecanique des solides indeformables
• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
6 degres de liberte : 3 translations + 3 angles de rotation(angles d’Euler)
Comportement des materiaux 69/90
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Mecanique des solides indeformables
• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
6 degres de liberte : 3 translations + 3 angles de rotation(angles d’Euler)
• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M O
Comportement des materiaux 70/90
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Mecanique des solides indeformables
• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
6 degres de liberte : 3 translations + 3 angles de rotation(angles d’Euler)
• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M Oregle de transformation :O ′,R ′,M O′, avec R ′ = R , M O′ = M O + O′O ∧ R
Comportement des materiaux 71/90
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Mecanique des solides indeformables
• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
6 degres de liberte : 3 translations + 3 angles de rotation(angles d’Euler)
• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M Otorseur dynamique (des quantites d’acceleration) :O,A , d
dt σ O
Comportement des materiaux 72/90
![Page 73: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/73.jpg)
Mecanique des solides indeformables
• les solides indeformables ne peuvent subir que desmouvements de la forme
x (t) = Q∼(t).X + c (t)
6 degres de liberte : 3 translations + 3 angles de rotation(angles d’Euler)
• Relation fondamentale de la dynamiquetorseur des efforts appliques : O,R ,M Otorseur dynamique (des quantites d’acceleration) :O,A = ma G , d
dt σ OIl existe au moins un referentiel dit galileen tel que
A = R ,d
dtσ 0 = M O
6 equations : le systeme est “ferme, clos”
Comportement des materiaux 73/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 75: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/75.jpg)
Necessite des lois de comportement
• solide indeformable : le torseur des efforts appliques determinesans ambiguıte le mouvement
• corps deformable : son mouvement depend des effortsappliques et de la nature du materiauun meme chargement applique a une barre d’acier ou decaoutchouc ne conduit pas a la meme transformation...
Comportement des materiaux 75/90
![Page 76: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/76.jpg)
Necessite des lois de comportement
• solide indeformable : le torseur des efforts appliques determinesans ambiguıte le mouvement
• corps deformable : son mouvement depend des effortsappliques et de la nature du materiauun meme chargement applique a une barre d’acier ou decaoutchouc ne conduit pas a la meme transformation...
• la loi de comportement permet de prendre en compte lesproprietes de la matiere dans la modelisation. On reviendra endetail sur sa forme.
• Variete des comportements? elasticite ←− exemple developpe dans ce cours? viscosite? plasticite? elastoviscoplasticite...
Comportement des materiaux 76/90
![Page 77: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/77.jpg)
Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 78: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemple de mise en œuvre de la MMC
simulation numerique de la reponse d’une culasse automobile(calcul parallele)
Comportement des materiaux 78/90
![Page 79: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/79.jpg)
Exemple de mise en œuvre de la MMC
simulation numerique de la reponse d’une culasse automobile(calcul parallele)
Comportement des materiaux 79/90
![Page 80: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/80.jpg)
Bio–mecanique
simulation numerique du choc passager automobile[ENSAM Paris, 2003]
Comportement des materiaux 80/90
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Mecanique du vivant
comportement viscoelastique d’une cellule vivante[Suresh, 2003]
Comportement des materiaux 81/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 83: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/83.jpg)
Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 84: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/84.jpg)
Notationschamps de tenseurs euclidiens; base orthonormee (e 1, e 2, e 3)
• tenseurs d’ordre 0 : scalaires f (X , t)
• tenseurs d’ordre 1 : vecteurs x (X , t)
x = xie i , [x ] =
x1
x2
x3
• tenseurs d’ordre 2 : applications lineaires / formes bilineaires C∼(X , t)
C∼ = Cij e i ⊗ e j , [C∼ ] =
C11 C12 C13
C21 C22 C23
C31 C32 C33
• operations sur les tenseurs dans une base orthonormee
a .b = aibi = [a ]T [b ], σ∼ .n = σijnj e i , [σ∼ .n ] = [σ∼ ] [n ]
m .σ∼ .n = miσijnj = [m ]T [σ∼ ][n ]
σ∼ : L∼ = σijLij = trace (σ∼ .L∼T ) = trace ([σ∼ ] [L∼]T )
Plan du cours 84/90
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Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
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Plan du cours oral
Amphis1. Introduction : du discret au continu
2. Equations de bilan : masse, quantite de mouvement, moment
cinetique
3. Le tenseur des contraintes : une vraie nouveaute
4. Tenseurs : pour la mecanique et la physique
5. Cinematique : deformation du milieu continu
6. Lois de comportement : necessite et principes fondamentaux
7. Hyperelasticite8. Comportement thermoelastique lineaire9. Probleme d’equilibre linearise : formulation et methodes de
resolution
Exercices : problemes d’equilibre linearise des solidesthermoelastiques (traction, flexion, torsion, reservoirs souspression, ondes elastiques, etc.)
Plan du cours 86/90
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Supports de cours
• le poly + sa version interactive a telecharger depuis le site
• le site web
? http://mms2.ensmp.fr/? retrouvez les transparents sur le site web!
• les exercices
Plan du cours 87/90
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Quelques recommandations
• Le cours de Mecanique des Milieux Continus est un coursdifficile, enseigne en un temps record (attention: coursdissemines d’octobre a decembre et tres concentre en janvier).
• Le pouvoir de fascination de l’une des plus belles disciplines dela Physique moderne naıtra d’un travail assidu!
• Les connaissances necessaires a l’examen sont le contenu ducours oral et des PC.
• On ne peut pas faire des exercices sur toutes les parties ducours...
• Le poly est epais car les explications sont detaillees. Il depasselargement le contenu du cours. On s’y referera pour toutedemonstration ou prolongement des resultats du cours.Telechargeable a distance, il pourra jouer le role de handbookpour vos sejours a l’etranger ou en entreprise.
Plan du cours 88/90
![Page 89: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/89.jpg)
Plan
1 Les objets de la mecanique des milieux continusStructures, microstructures, nanostructuresMatiere, materiauxModelisations discretes
2 Le modele continuDu discret au continu : notion de point materielTransformation du milieu continuDiscontinuites, singularites
3 Comportement des materiauxCas des solides rigidesLe probleme de fermeture : lois de comportementExemples de modelisations continues
4 Plan du coursChamps de tenseurs–NotationsDemarche adoptee / supports pedagogiquesLiens avec les autres cours de l’Ecole
![Page 90: Introduction `a la Mécanique des Milieux Continus Déformables](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052318/586785471a28ab63408bd4af/html5/thumbnails/90.jpg)
Liens avec les autres cours de l’EcoleC’est le cours introductif a
• la mecanique des materiaux solides 3122;
• la thermomecanique des fluides 3243;
Il fait appel a des notions qui seront developpees dans le detail en
• Mathematiques 1201 - 1121 - 1132;
• Thermodynamique 2411;
• Materiaux pour l’ingenieur 6134;
• Cristallographie S2333 ⇐= importance des SYMETRIES
Prolongements
• Mecanique des milieux continus 2 S3324;
• Dynamique des constructions S3933;
• Geomecanique et geologie de l’ingenieur S4633; HydrogeologieS4923;
• Calcul scientifique S1923; Elements finis S3733 - S3735;
• Physique des solides S2634; Mise en œuvre des polymeres;
Plan du cours 90/90