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INTRODUCCION DEL CALCULO INTEGRAL(Continuacin)

por

M.A.NUEL RUlZ DOMINGUEZ

APROXIMACION DE UNA FUNCION CUALQUIERACON FUNCIONES ESCALONADAS

Pensemos en un ro cualquiera, que tenga una longtud de 1.000 kil-metros, por ejemplo, y del que queremos conocer, en cada momento,la intensidad de su erosin o su sedimentacin a lo largo de todo sucurso. Todos sabemos que el curso de un ro se divide en tres partes:TRAMO ALTO, en el que hay una gran Intensidad erosiva; TRAMOMEDIO, en el que tenemos poca erosin y principio de sedimentacin,y TRAMO INFERIOR, en l, la erosin es prcticamente nula y haymucha sedimentacin. Con un pequeo esfuerzo de imaginacin pode-mos considerar la sedimentacin como una erosin negativa.

En un ao determinado, por ejemplo, en 1960, se hacen medicionesde la erosin, tanto positiva como negativa, a lo largo del curso del ro,y se anota el valor de la intensidad de erosin cada: 100 Km, hallando lamedia de las medidas hechas en esos 100 Km. Supongamos que las me-didas anotadas se ajustan a la grfica de t-: tanto en sta como en lastres que le siguen, sobre el eje vertical medimos la intensidad de ero-sin, y sobre el horizontal medimos las distancias al nacimiento del ro(origen). Ya se comprende que cuanto ms cerca estemos del nacimiento,mayor es la erosin, y cuanto ms cerca de la desembocadura, mayor esla sedimentacn.

A los cinco aos (en 1965) se efecta la misma operacin, pero ahora1>e anota cada 50 Km, obtenindose as la grfica f a-

Repetimos el proceso en 1970, pero anotando cada 25 Km, obtene-mos as la grfica de fa. Se puede proseguir as indefinidamente, obte-nindose grficas de funciones escalonadas, cuyos escalones son cadavez ms estrechos, y la dferencia de intensidad entre dos escalonesconsecutivos, en valor absoluto, se va haciendo cada vez ms pequea;se verifica, adems, que I f(x) - t, (x) I para cada abscisa x se va ha-

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INTENSIDAD OE EROSION

r----1 I: 1 Ir--1 I1 I I 1, r----: I 1I 1 I---! 1J , 1 I 1 f 'I 1 I r-----i 1f I1 : 1 I ! 1 II 1 1 , r--"'l \l: 1 1 ~

--t l ] 1 11 I 1 I fr-T""I ' 1llH 11 1111 1 I f 1 i1 I I ?--1 1 1 1 1: J I 1 r-lH

I JI: J1 1 1 I 1 I I 1 1 I I:J\ 1 : 1 ~ : l 112: III1 J II I 1 ~ 11111,111 1 , 1 1 , 1 l'--"'iH' I 1 1 Ii : I I 1 I 1 I I I 1 I 1 I ,1'\ 1 I1 l' 1 I 1 1-1-U111 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 11 I 1 I 1 1 I 1 I I I I 1

50 100 ISO 200 250 ~ ~ IIJ(J 450 SOO SSO ~ 'f 7lf 'jO1 1 11

1, ,, 1 ,, , 1

,

1 1 1f I JI J JI I I I II 1 I I I

Km

1 : i lQo1 : 12

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diciones? La grfica de /3 ya parece que nos indica algo de lo que ocu-rrir si seguimos obteniendo ms funciones.

Podramos dibujar una curva que nos diera, con bastante aproxi-macin, el valor de la intensidad de erosin en cada punto del trayectodel ro? La respuesta a esta pregunta est en la cuarta grfica, que ya noes la grfica de una funcin escalonada, pero que, segn como la hemosobtenido, podemos encontrar una funcin escalonada, cuya grfica seaproxime a la cuarta tanto como queramos, para ello bastara tomarsuficientemente pequeos los intervalos de las abscisas, es decir, hacerlas mediciones, por ejemplo, cada Km, o si se quiere ms aproxima-cin, hariamos las mediciones cada 100, 10 1 m, naturalmente enteora, pero, por la imperfeccin de los instrumentos de dibujo, no po-demos hacerla en la prctica.

EJEMPLO 12

Un ciclista sale a las 5 de la maana desde el Km O de la Puerta delSol, para hacer un cierto recorrido midiendo la distancia que le separadel punto de partida:

Primero lo hace cada dos horas de la siguiente forma: en cada inter-valo de dos horas, hace varias medidas, calculando la media, que es loque anota de recorrido en esas dos horas.

Al da siguiente repite el proceso pero anotando las medicionescada hora.

Hace lo mismo el tercer da, pero anotando cada media hora. Aspuede seguir indefinidamente.

Supongamos que las notas que tom responden a las tablas quesiguen:

1er )dia: /1 I

2.da t,

Antes de 5 h. : O Km.De 5 h. a 7 n. : 2 Km.De 7 h. a 9 h. : 18 Km.

Antes de 5 h. : O Km.1

De 5 h. a 6 h. : - Km.29

De 6 h. a 7 h. : - Km.2

25De 7 h. a 8 h. : - Km.

249

De 8 h. a 9 h. : - Km.2

De 9 h. a 10 h. : 32 Km.

De 9 h. a 1l h. : 32 Km.De 1l h. a 13 h. : 30 Km.Despus de 13 h. : O Km.

(vuelve en tren)

De 10 h. a 1l h. : 32 Km.

De 1l h. a 12 h. : 31 Km.

De 12 h. a 13 h. : 29 Km.

I Despus de 13 h. : O Km.

3erda fa

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Antes de 5 h. : O Km.1

De 5 h. a 5 h. 30 mino : - Km.8

De 5 h. 30 mino a 6 h. : 1 Km.De 6 h. a 6 h. 30 mino : 3 Km.De 6 h. 30 mino a 7 h. : 6 Km.De 7 h. a 7h. 30 mino : 10 Km.De 7 h. 30 mino a 8 h. : 15 Km.De 8 h. a 8 h. 30 mino : 21 Km.De 8 h. 30 mino a 9 h. : 28 Km.

De 9 h. a 9 h. 30 mino : 32 Km.

De 9 h. 30 mino a 10 h. : 32 Km

De 10 h. a 10 h. 30 mino:32 KmDe 10h. 30 mino a llh.: 32 KmDe 11h a 11h 30 mn.: 31,5 KmDe 11h 30 mino a 12h: 30,5 KmDe 12h a 12h 30 mn.: 29,5 KmDe 12h 30 mino a 13h.: 28,5KmDespus de 13 h. : O Km.

Como puede suponerse, estas tres tablas corresponden a tres fun,ciones escalonadas, que las representaremosj en una misma granea:

DISTANCIA AL KM o

32

'O

25

20

15

10

to 11 12 13TIEMPO EN HORAC)

Ya se comprende que podramos seguir poniendo funciones escalo-nadas, pero, al mismo tiempo, se ve que stas se van complicando cadavez ms, puesto que el nmero de escalones de cada funcin es doble delque tiene la funcin anterior, pero creo que no es necesario dibujar unacuarta funcin o, por lo menos, no escribir su correspondiente tabla,pues constara de 38 intervalos, de todas formas si se puede dibujaruna aproximacin en la misma grfica, pero no la hacemos por no re-cargar demasiado el dibujo.

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La idea que perseguimos est lograda, y es que esta SUCESION defunciones escalonadas se aproxima cada vez ms a la funcin 1, cuyagrfica est dibujada con trazo ms grueso; esto ultimo, en Matem-ticas, se suele decir:

La sucesin de funciones: 1" I~' 1., .... TIENDE A LA FUNCION 1o esquemticamente: 1, I~, la, ... --+ 1

Naturalmente, esto no ocurre siempre, es decir, que cualquier su-cesin de funciones escalonadas no tiene por qu aproximarse a unafuncin determinada. Para que esto ocurra la sucesin de funciones es-calonadas debe cumplir ciertos requisitos. Vamos a tratar de explicarqu debe cumplir la sucesin de funciones para que exista una funcina la que se aproxima la sucesin:

Supongamos que la sucesin de Iuncrones es:

11' 12' 13' 14' ... , In, In + l' (la sucesin no acaba nunca). Para que se cumpla que

11,/2' la, 14' ... ,In, In+l' .. --+ I (funcin cualq.)es necesaria y suticienie que vo: E (a 'r/ x E R), el valor absoluto de ladiferencia: Ip(x) - Iq(x) sea cada vez ms cercano a O, a medida quep y q crecen (p y q han de exceder siempre a un cierto numero natural, m,que se puede calcular segun el acercamiento a O que deseemos paraI Ip(x) - Iq(x) I ).

Esquemticamente:

11,/2' ... , In, .. --+ 1 'r/ X E Q " I fp(X) - fq(x) I --+ Osiempre que

p y q > que un cierto m EN.Esto tambin se suele decir de la siguiente forma:

11,/2' .... , In, --+ f ' a e E (a R), 3 m E N,tal que si

p, q > m=:>'

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Definicin de f:fQ---?- R

X ----?- f(x} = n.O al que se aproxima fp(x), cuando fp avanza en lasucesin.

(En fin, esto, por ms vueltas que le demos y por mucho que dis-fracemos el lenguaje, es un concepto muy drcil, que sera mas aconse-jable a nivel de unverstano,

Dmosnos cuenta que la Iormahzacn matematica de esto encierraconocimientos bastante complicados de anhsis funcional:

- Espacios de runciones (espacios vectoriales normados).- Sucesiones de funciones. Limite.- Completitud de E: J= = { funciones segmentaras continuas }.- E es denso en i=.Ms que nada, lo que perseguimos es que el chico adquiera una idea

intuitiva de que una funcin cualquiera se puede aproximar con funcio-nes escalonadas, para que as podamos aproximar la integral defmidacon el rea que encierra una funcin escalonada de una de las posiblessucesiones que tiendan hacia esa uncin.

A continuacin daremos una idea de cmo construir una sucesin defunciones escalonadas que tengan por Irmte a una funcin cualquieradada de antemano.

Despus aproximaremos la integral definida de una functn cual-quiera.)

Vamos a ver cmo construimos una sucesin de tuncrones escalo-nadas que tienda hacia una Iuncin cualquiera dada.

Esto slo lo podremos hacer cuando la runcin de que se trate seanule fuera de un mtervalo cerrado [a, b] de Q. Es decir, la funcin hade tener, como caso general. una grfica de la forma:

o' a o I I

~b b'

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El intervalor [a, b] puede ser el indicado en la grfica, pero no esnecesario que sea precisamente ese, puede ser tambin el [a', b'].

Para aproximar una funcin cualquiera y = I(x), con una sucesinde funciones escalonadas, podemos proceder del siguiente modo:

Dividimos el intervalo [a, b] mediante los puntos de abscisas

(los mtervalos resultantes [al, ai+l] no tienen por qu ser de la mismalongitud), si la funcin y = I(x) tiene puntos de salto, stos deben estarentre los al.

La primera funcin 11' de la sucesin, puede ser:

I(x) = 0, si x < ao"/l(X) = 1(~ : al ) , si ao

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APROXIMACION DEL AREA QUE ENCIERRA UNA FUNCIONCUALQUIERA POR AREAS DE FUNCIONES ESCALONADASEJEMPLO 13

Imaginemos una fuerza que acta sobre un mbolo, en el mismo sen-tido del desplazamiento de ste, tratando de comprimir un gas que hayen un recipiente tapado por el mbolo; ya se comprende que es medidaque aumenta la presin, se necesita ms fuerza para un mismo despla-zamiento del mbolo.

Supongamos, por ejemplo, que la fuerza viene expresada por la ecua-cin F = d, donde F representa a la fuerza en Nw y d el desplazamien-to del mbolo en cm. Se desea calcular el trabajo que se realiza paradesplazar el mbolo 1) cm, naturalmente calcularemos una aproxima-cin del valor verdadero, ya que el trabajo viene dado por el rea queencierra la grfica de la funcin F = d2 (parbola), con el eje d (horizon-tal) y la ordenada d = 6. Este rea la calcularemos por aproximacinde las reas de una sucesin de funciones escalonadas que tienda haciala funcin dada.

Empezaremos dividiendo [0, 6) por los puntos: ;, 2, 4, 6. La primerafuncin de la sucesin responde a la tabla:fl(d) = 0, Nw, si d < O fl(d) = 52 = 25 Nw, si 4 < d < 6fl(d) = 1" = 1, Nw, si O < d < 2 fl(d) = O Nw, si 6 < dfl(d) = 3 2 = 9 Nw, si 2 .;;; d < 4(fl est representada en la primera grfica, junto con la funcin F = d 2. )

El rea que encierra esta funcin es:Sf = 2 . (1 + 9 + 25) = 70 Nw . cm

Luego una primera aproximacin del trabajo pedido es:

1W, = 70Nw'cm I

Nw

3535

30

25

lh20 I

II

15IJII

10 IIIIfII

4 Cm.

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Aunque 11 es todava una aproximacin dencente de I : F = da,sm embargo, el rea se comprende que se aproxima bastante: La figuranos dice claramente que las reas que sobran de I y de 11' en ciertomodo se contrarrestan.

Para la 2. a funcn, la, dividimos cada mtervalo en dos partes igua-les y asignamos a cada intervalo la ordenada de I en el punto medio:

491M) = O, si d < O la(d) =--,si3

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Para la tabla de la hacemos lo mismo que en las dos anteriores:

441 11la(d) = --, si 5

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Por lo que la 3. a aproximacin del trabajo pedido es:

I W = 71,875 Nw x cm

Como ya apuntamos antes, en cada grfica estn sealadas lasreas que se contrarrestan, naturalmente no exactamente.

El tercer valor calculado para el trabajo es el que ms se aproximaal valor exacto, esto no lo podemos demostrar con detalle, igual queocurri cuando hablamos de la sucesin de funciones que tiende haciauna funcin (condicin necesaria y suficiente); la demostracin de estoltimo se basa en aquello; por tanto, igual que all slo daremos unaidea intuitiva:

A medida que vamos obteniendo funciones escalonadas, ms apro-ximadas a la funcin, esta misma aproximacin hace que las reasvayan siendo cada vez ms aproximadas; naturalmente, el que las apro-ximaciones obtenidas sean por defecto, slo depende de la propia fun-cin que se quiere aproximar, y de la manera elegida para la obtencinde la sucesin.

Podramos haber seguido calculando aproximaciones, que, si lasobtenemos por el mismo mtodo que las tres calculadas, obtendramosvalores para el trabajo ms aproximados an.

Para dar una idea de la aproximacin obtenida, diremos que, cal-culado el valor del trabajo exactamente, es 72 Nw . cm; el procedimientoempleado an no es asequible.

Tambin se podra haber calculado el trabajo aproximado utilizandootra sucesin de funciones, pero, naturalmente, nos dara una aproxi-macin distinta.

Ya se comprende que para calcular el rea aproximada de una fun-cin cualquiera, no es necesario calcular tres o cuatro aproximaciones,todo lo que habr que hacer es dividir el intervalo en varias partesiguales (no es necesario, pero s aconsejable por la facilidad del clculo);cuanto ms divisiones, ms aproximacin tendremos, y as calculare-mos una sola aproximacin.

Actuaremos, pues, de la siguiente manera:Sea y = (x) la funcin de la que queremos calcular aproximadamente

el rea que encierra con el eje x, y las ordenadas en x = a y en x = b;primero dividimos [a, bj por los puntos:

ao = a , al' a z, . .. ,an-l' an = bCalculamos

(al + al+ l ) ,i=o, ... ,n-l

2 /son las ordenadas de y = (x) en los puntos medios de los intervalos[ai, al+ l]; y si llamamos

h = al - aD= a z - al an - an-l

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entonces la aproximacin pedida es:

y

o

y =f(x)

x

Volvemos a repetir que cuanto mayor es n, mejor ser la aproxima-cin para el rea pedida.

As podemos obtener aproximaciones con muy poco error, peronunca obtendremos el rea exacta, esta es la causa por la que se ha pen-sado en otro procedimiento que nos d el rea exacta y sin necesidadde hacer tanto clculo, sin embargo es mucho ms complicado que elque acabamos de ver.

Ejercicio 8Calcular el rea aproximada de la funcin definida en el ejercicio 7,

dividiendo el intervalo [-1, 8] en nueve partes.

lNTRODUCCION DE LA FUNCION DERIVADAy DE LA FUNCION INTEGRAL

EJEMPLO 14

Imaginemos un tren, que sale de Madrid a las O horas y marchacon una velocidad constante, de tal forma que en 3 horas ha recorrido150 Km; desde las 3 h. hasta las 4 h. est detenido por averia; a las 4 h. sepone en marcha de nuevo, recorriendo, en 2 horas, 200 Km. A las 6 h.

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Antes de las O h. Y despus de las 7 h., como el tren est parado,

v = O Km/h.

Ya vemos que la grfica de la velocidad resulta ser la de una fun-cin escalonada.

Por otra parte, al ser la velocidad del tren constante en cada inter-valo, ha sido muy fcil calcularla; pero si no fuera constante, su clculose complica mucho ms, pues debemos ir calculndola a cada momento,y lo tenemos que hacer midiendo el espacio recorrido en un instante,o intervalo de tiempo muy pequeo, para poder suponer que la veloci-dad es prcticamente constante, de esta forma, dividiendo ese espaciorecorrido, por el tiempo transcurrido, obtenemos la velocidad en esemomento, es lo que en Fsica se llama velocidad instantnea. Ms ade-lante haremos un ejemplo en el que la velocidad no es constante.

A la funcin de la velocidad, 1, la llamaremos, en general, [uncinderivada de la [uncuin f 1.

(En el ejemplo visto anteriormente hemos calculado en cada puntola derivada por la derecha, aunque esto basta hacerlo en los puntos dengulo, pues en los dems d lo mismo. En estos puntos de ngulo sa-bemos que no hay derivada, pues no coincide la derivada por la derechacon la de la izquierda, pero como todas las funciones escalonadas estu-diadas son aplicaciones, parece aconsejable que s definamos la deri-vada en esos puntos, aunque quizs sea bueno advertir a los alumnosque en esos puntos la derivada puede tener dos valores, pero que, porahora, supondremos siempre que toma el valor en el escaln de la de-recha de cada punto de ngulo.)

Tambin ocurre que, dada la funcin 1 de la velocidad, se puedeobtener la funcin 11, pero si sabemos con certeza que el tren sale deMadrid, pues ya se comprende que si slo se conoce la velocidad quetiene el tren en cada momento, esta grfrca de velocidad puede corres-ponder a un tren que salga, por ejemplo, de Valladolid, o que salga,por ejemplo, a 60 Km de Madrid.

Vamos a obtener, por ejemplo, la grfica de los espacios que recorreel tren, suponiendo que este tren sale a los 60 Km. de Madrid, dada lamisma funcin f:

La grfica arrancar del punto (O h., 60 Km.), naturalmente, al serv = Oantes de las Ohoras, en este perodo el tren no se mueve, es decir,est siempre a 60 Km de Madrd, por lo que la grfica, hasta aqu,ser una horizontal.

Si de Oh. a 3 h., la velocidad es constante y vale v = 50 Km /h , cadahora recorre 50 Km., luego en tres horas ha recorrido 150 Km, por loque se encuentra a 60 + 150 = 210 Km. de Madrid.

Si de 3 h. a 4 h. la velocidad es nula, este trayecto est representadopor un segmento horizontal, ya que en todo este tiempo el tren se en-cuentra sempre a 210 Km. de Madrd.

Si de 4 h. a 6 h., v = 100 Krri/h, entonces, durante 2 horas recorre200 Km., por lo que se encuentra a 410 Km. de Madrid.

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Si de 6 h. a 7 h. marcha durante l hora a una velocidad de 70 Km.jh,recorre, pues, 70 Km, por lo que se encuentra a 480 Km de Madrid.A partir de las 7 h el tren est parado, por lo que se mantiene la dis-tancia a Madrid de 480 Km.

t I1 I1 II I, I iI I II I II I I1 I II 1 II I 1I I 1I 1 1I 1 II I I

3H 4H 5 H. 6H 7H. T.

f

2H1 H.o

70KmlH

SOKmlH ....... ........,.................,

V.100KmlH

ESPACIO

210

100

420

Comparemos t, y t2'Vemos que la ordenada de cualquier punto x en t, supera en 60 Km. a

la ordenada en t-; correspondiente a la misma abscisa x.

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Si llamamos Cl a la funcin que a cualquier abscisa x siempre lecorresponde de ordenada 60 Km., es decir:

VxeQ , , (C l : funcin constante)resulta, entonces, que 12 = 11 + Cl , definiendo previamente la suma defunciones de este tipo igual que se defini para funciones escalonadas:

vemos claramente que V a: , , 12(X) = Il(X) + 60, es decir:

luego tenemos que

Vx , ,

Ms general an: igual que se ha hecho con 60 Km. se podra haberhecho con cualquier otra constante, por lo que si llamamos C a cualquierfuncin constante, entonces la funcin g = 11 + C tiene la propiedadde que su funcin derivada es tambin [; en efecto, cualquier funcinque se obtenga de f 1, sumndole una funcin constante, tendr una gr-fica completamente anloga a la de 11' por lo que los espacios recorridosson los mismos que en f 1 Y con los mismos tiempos, por tanto nos dar lamisma grfica de velocidad, 1; luego 1 es tambin la funcin deriva-da de g.

A cualquiera de estas funciones, t., 12' g, etc., cuya funcin derivadaes 1, se la llama funcin integral de la funcin t, como una funcin tienemuchas funciones integrales, se suele hallar una de ellas, por ejemplo,11' y decimos: la funcin integral de f es t, + C,), donde C es una fun-cin constante, es decir, la integral se suele dar en forma general, node manera particular, como 11 y 12'

A cada funcin integral particular, como f1 Y f 2, se la suele llamarfuncin primitiva de la funcin l.

Resumiendo, podemos decir:

- Una funcin slo tiene una funcin derivada.- Una funcin tiene muchas primitivas, pero todas se diferencian en

una funcin constante, por lo que estarn todas determinadas cuan-do se conozca una de las primitivas.

Regla de Barrow

Vamos a relacionar ahora el rea que encierra una funcin con susfunciones primitivas.

Volvamos otra vez a las grficas de 1 y de f2' Compruebe el alumnoque la ordenada en 12' correspondiente a cualquier abscisa to (tiempo),es igual a 60 ms el rea encerrada por t, el eje t y las ordenadas de f en1 = o y en t = lo (en las grficas anteriores est sealado para lo = 2 h. Y

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para to = 5 h.), es decir, que para cualquier to se cumple que I.(to) - 60 == rea encerrada por 1, el eje t y las ordenadas de I en Oy en to, o, sim-blicamente, representando el rea con la letra S, pero alargada, pode-mos escribir:

toJI = 12(l0) - 60o

y como 60 = 12(0)loJI = 12(to) - 12(0)

o

El alumno puede comprobar, con clculos muy sencillos, que loanterior tambin se cumple para cualquier punto a del eje t, en vez depara el O.

Por ltimo, si queremos el rea que encierra I con el eje t y las orde-nadas I(a) y I(b), ser: (a < b)

b

JI = I.(b) - 12(a)a

Pero, y si tomamos otra primitiva distinta de la l.?, el n,

bJIa

cambiar? o, mejor dicho, cambiar el nmero la(b) - la(a)? Vamosa ver que este nmero no vara si cambiamos de primitiva:

Sea g una primitiva cualquiera de la funcin 1; ya dijimos antes quedos primitivas de una misma funcin se diferencian en una funcin cons-tante, es decir, que

g = 12 + edonde e cumple:

vt : C(t)siempre vale por mismo y por tanto,

C(b) = C(a)

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luego

g(b) - g(a) = (ta + C) (b) - (ta + C) (a) = ta(b) ++ C(b) - ta(a) - C(a) = ta(b) - tD(a)

Luego tambinbJt = g(b) - g(a)

a

En definitiva, el rea que encierra t entre el eje t, y las ordenadas ena y en b, est exactamente determinada en el momento que se conozcauna primitiva cualquiera de la funcin t. Si g representa una primitivacualquiera de t, el valor de este rea es:

bJt = g(b) - g(a)a

Con esto hemos resuelto en parte el problema de hallar el rea queencierra una funcin cualquiera; decimos en parte porque slo hemosresuelto el problema para funciones sencillas (funciones escalonadas),que ya estaba resuelto antes, con la simpleza de sumar las reas de va-rios rectngulos; pero 10 interesante de esto est en que esta teora delas funciones derivadas y de las funciones primitivas nos proporcionaun camino para ensayar lo mismo con funciones ms complicadas, queno son escalonadas.

A continuacin veremos un par de ejemplos ms, en los que tratare-mos de hacer lo mismo que en el ejemplo anterior, pero con funcionesms complicadas.

(Continuar)