UNIVERIHOADNACIONALDECOLOMBIA SEDEDEMEDELLIN FACULTADDEMINAS Departamento deIngenieraCivil INTRODUCCIONALCALCULOTENSORIAL CarlosGonzlezRodrguez Profesor Asistente Medelln,Agosto de1978 UNAL-Medelln ~ ~ 64000 00055964 4 INDICE l',BREVENOTAHISTORIA 1 II' d.:l. SESRECIPROCAS3 IIICOORDENADASCURVILINEAS7 IVTRANSFORMACIONDECANTIDADES16 vVECTORESCONTRAVARIANTESyVECTORESCOVARIANTES20 \;1TENSORES36 VIIALGEBRATENSORIAL42 VIIITENSORMETRICO51 IXGEODESICASyLOSSIMBOLOSDECHRISTOFFEL 67. xDIFERENCIACIONDELASCOMPONENTESTENSORIALES85 XITENSORESRELATIVOS99 XIITENSORESCARTESIANOS118 l BIB LIOG RAFIA138 , i -/66'69 CAPITULO1 BREVENOTAHISTORICA Eldesarrollodelclculotensorial(tambinllamadoanlisismultilineal)sehaya ligadoal desarrollo delageometradiferencial;eltrabajodeKarlF.Gauss (1777-1855)sobrela geometraintrnsecadelassuperficiescurvasbidimensionales fu generalizadopor BernhardRiemann(182 6-1866)quiendesarrolllageometrair:.trn-secaparaTIsuperficies TInoeuclideanasden-dimensiones(manifold s) ;en unma-nifold. cadapuntoest definidopor ncoordenadasyenel caso tenemosunasuperficienoeuclideanaqueesel nicotipodemanifoldque ' pode-moscaptar intuitivamente.En1827Gaussmostrquelaspropiedadesmtricas deunasuperficiesepueden expresar pormediodeloscoeficientes3t](ir j=l, 2) delasiguienteformadiferencial: d U;a.d V,+J2.l.d.Ul..duz. I d-..s siendoel cuadradodeladistanciaentredospuntosdelasuperficieinfini-tamentecercanosyd (J,Id thson losdiferencialesdelascoordenadasintrn-secas delasuperficieocoordenadasgaussianas. Riemanngeneraliz en 1854esta frmulapara" superficies"dendimensionesas: -J (i,j=1 ,2...... n) Por mediodeloscoeficientesJLJ'quedandeterminadastodaslaspropiedadesm-tric;::asen el manifold,porejemplo,longituddecurvas,nguloentrecurvas,"areas" sobremanifoldetc. Despusde1868sedespiertael intersdelosmatemticosporalgunosdelospun-tostocadosporRiemannensustrabajos;Christoffel yLipzchitzintrodujeronel copceptodediferenciacincovariante,BeltramiyKroneckere s tudiaronlacurvatu-radevariosespaciosysuperficiesn-dimensionales.Jordangeneralizlasfrmu-lasdeSerret-Frenetparacurvasenelespacion-dimensional. Todosestostrabajosabrieron el caminoalagran generalizacin quehizoel ge-mtraitalianoG.Ricci(1853-1925)aquienseconsiderafundadordelclculoten- Ricciseapoyen lamtricadesarrolladaporRiemannyenladiferenCia-cincovariantedeChristofel;elprofesor TullioLevi-Civita,granimpulsador delclculo dete nsoresafirm:"el desarrollodelostensorescomounaramasis-temticadelasmatemticasfuunprocesoposterior Ielcrdito delcualsedebe aRicciquiendurantelosdiezafiasdesde1887a1896elaborlateorayrealiz laeleganteycomprer:.sivanotacinquepermiteadaptarlafcilmenteaunagran I 2 variedaddetemasdeanlisisIgeometrayfsica". Elxito deRiccise debi alagranintuicin quetuvocuandopercibiquelas propiedadesdelageometrariemaniannasonpropiedadesdeciertosve ctores ytensorescovariantesycontravariantes;esto lepermitisimplificar deunmo-donotabletodoslosestudiosanterioresalavezqueabrihorizontesparanue- vaslnveStlgaclones. Elclculo deRiccidespertelintersgeneralluegodeque A.Einstein hizou-so del ensuformulacindelateorageneral delarelatividad(1913-1916); ensuteora,Einsteinnecesittrabajarcon unespacioriemannianodecuatro dimensionesyencontr quetodala herramientamatemticanecesariayahaba sidoelaboradaporRicci. Finalmente,en1917GerhardHessenbergensu obrasobrelafundamentacin vec-torialdelageometradiferencialpresentaunnuevopuntodevistasobrelosten-sores;segnHessenberguntensorpuedesermiradocomounaformamultilineal homogeneadadaenvectoresbaseyqueesinvariantebajotransformacin de coordenadas;eltensorsecomponeas deunconjunto deescalares(componen-tesdeltensor)cadaunodeellosadscrito aun grupodevectoresbase;segn es-tapresentacin,unvector esuntensor deordenunoporqueesunaformalineal homogneadevectoresbaseesto es: ......- - ~ A =.A,il +Alt . ' ~ +A3(:J -;--...,~ siendo1.."l ~J(..3basevectorialentresdimensiones. Lascomponentesdeltensor cambian alcambiar desistemacoordenadoperoel tensormismopermaneceigual,esuninvariante. Ennuestrapresentacintrataremosalgunostemasdesdeestepuntodevistaque desarrollHessenberg. 'f A-CAPITULOII BASESRECIPROCAS VECTORESBASE:Enel espaciotridimensionalcualquier conjuntodetres vectoresnocoplanarespuedeservir debaseatodoslos vectoresdeese espacio,esdecir,todovectorApuedeexpresarsecomounacombina-cinlineal deesostresyaquesiempreesposibleconstruirunparalep-pedotal queunadesus diagonalestengalamagnitudydireccin deA yquelostresladospartiendodeunodelosextremosdeesa diagonal tenganrespec'tivamenteladireccindelosvectoresbase; -.., lla.> a'i' a:2,"a3:vectoresbase Q., B- BASESRECIPROCAS: S....,.-'"'-.tb Ial,aZ'a3represen an unaase ysedefinenotrostresvectores ,a3delasiguientemanera: 2-1- ......, d-=Q.'1..X.Q.'). J le\;a')1 [- - .-..,)- - -).,.....,.(- - '1 con:ct, Ch Q:\=a.,. ( a. '2)Ca.'):: a. Ilta. LJ::. ...;.,.- - -, "'1.a."l entonceslas dosbasesa, al ya:. Cl.1sellamanrecIprocas;comose I---.-. puedeapreciar deladefinicinlos vectoresa'0..1.0...'son respectivame ;- ::( ( a; )tlii)] - .[ al 0:-1.0:3] 3;eltripleproductodelnume-radorloexpandimosutilizandolaregla: ti' Ir(b" e) ::(u. L ) b - (i'. ;- ) F==!:;7 (cr;. Xa?'3). F!h lt0.'1)II(el. lt a..:Json: ----?-Losvectores0-.,C1l., --'9 --'> -C} d .f_d1 1, , (.4-(, (3-::t...."l(,1- ,)- ""j J;;; 'j 't;;J :s l:. , tenemos: X:z..d'"' ;;>::1"JL osea:4-2 I d t;; dX,=- d 1L'(sumandosobrei= 1 ,2 , 3) 'j, tambin4-3)d -./d!L'::;;'dX3_ =L...;;11',;)'jt' l;:'. Lastresexpresiones4-1,4-2,4-3sepuedenexpresar enunasola:4-4) d -v'd_- .::tid lit' '-"'-J- J d1t' , Aqucomosabemosdebemossumarsobreel ndicerepetidoen untrminoenes-tecaso(i);elndicejvaratomandolosvalore sj= 1, j= 2Ij= 3Yencadaca-sonosdlasecuaciones4-1),4-2)I4-3), Estaforma4-4esmuytilparatrabajar yaqueconunasolaecuacin estamos escribiendo3ecuacionescadaunacontrestrminosaladerechadelsigno igual;elndicejlollamamosndicelibre(freeindex)porquenosepuedecam-biar por cualquieraotrosin cambiarel valor delaexpresin(locualnoocurre conel ndicevaco);cadavalor delndicelibre,dentrodelrangodevaloresque puedetomarl,nosdunadistinta ecuacinas comoenelejemplolavaria-cin dejdeunoatresnosproducelastresecuacionesanteriores. Otracantidadquepodemosestudiar c6mosetransformaes cP(JI, ),fun-cin escalar depunto;este eselcasoporejemplodelavariacin delatempera-turaenel interior deuncuerpo;si cambiamosdecoordenadas,cp( ' '!,';f?)'3) seconvierteen(;t,);nosinteresaapreciarcmosetransforma cadaunadelascomponentesdelgradientedec;( Ti cp)cuandohacemosel cambiodecoordenadas,tenemos: (segnlaconvencinde Einstein);tenemospues: 18 Similarmente: ) E s tastresecuacionesseescriben enunasolaas: __C)':!L' d.x.j')'ji ;aqujtomasucesivamentelosvalores 1,2,3 dandolugar alastresidentidadesanterioresyencadauna' deellas(o seaparacadavalordej)hacemoslasumatoriaparaidesdeunohastatres. Comounejemplofinaldetransformacindecantidadestransformemoseldelta deKronecker ; si llamamosal deltareferidoalascoordenadas, (JIIj'L. 'j 3)Y&!el deltareferidoa( I:x::'L.:l::.,),en tonces se '1 transformaenSI(atravsdelasiguienteexpresin: 4-4);alladodela derecha hayunadoblesumatoriaporquehay dosndicesrepetidosi,j;si efectuamos enextenso esasoperacionesresulta: 'i.. d::J../" crJ(/' .!t

+ dXd13 4-5) 1(= + -d 'J I OlXK-;;)':f j'd .xl( .;)1' d'jI + + Oi.i rr

+9:;(1( d 'p. d'jl.d;(1( ):12 :;>.xl( d+ d b; + ).:!d'1:+ .,;)':$3;;X" =... dJ3a,xK ;;J 'j?):X t<

Vemosqueparacadapar devalores(J(-t),Keslasumade9trminos conteniendoa. (J/. Comosabemosquec)vale1parai=j,Y valeceroparai=1jresulta4-5: + por ' . tanto: I S! mosque( entonces .. 19 3 S)-a.:x:. .( L -a.:X ,.,.-, . ;)'JL a ,.;x:. K. l.:; I 4 - 6) Ipero .comosabe-::lL 1)x'Z.. -ax-} ;;;:x. 1(, )sonvariablesindeendientes vale1si J< (r: es decir e scorrectalafrmulaquenostransformd(.en(j";vemosaqu quelaconvencin deEinsteinnoscomienzaareportar beneficiospuesesmuy sencilla yconcisalaexpresin4-4comparadacon4-5;apartir de. 4-4poda-moshaber llegadomsa4-6sinnecesidaddehaber desarrollado enextensocomoen4-5;parahaceresto volvamosa4-4: 'J2_dX_t.L'SIt vectorAsetransformanenAlsegnlaley: I'-.:t. "1- d.::t3 A3 C) ::1 \ :i3 -Estudiaremosahoraladefinicin devectorescovariantesycontravariantesen surelacinconlasbasesrecprocas ru-=sf?y (C-::.1123). a.1l Enprimerlugar vamosasuponer queenuncierto. espaciohaydossistemasde (Xly'l.::i.1)Y()"'J'I.'.13)curvilneasen general defini-dosunoen funcindelotropor lasecuaciones . 5- 5)a) X.t::: b) Enelentorno detodopuntoPsepuedeexpresar elradio vectorqueU!leaP conunpuntoGtinfinitamenteprximoalas: 23 tambin: S-6, b) -si9!1dolosvectores ay en elsistemacoorde- .'. nado:(lyb 7,b:)b; losvectorese ne 1s is tema Ci ( el -d;l.' -, .b Jel:t' ::: o;;-3;:> ;estaecuacincontienetrestrmi-cadaunodeellosconunparntesisquecontienetrescantida-(i= 1 ,2 I3) ICo m olosd'5 Jso nin de pe n - \ dientesentresi(j:=., z)3 benanularparaquesecumpla 5-14) 27 )entonceslostrminosentreparntesis 5-12,por lotanto: sede-Similarmente:si en5-12)reemplazamosel lJ' 5-10(esdecirel.1Jd. X(' porsuvalor queseobtienede )tendremos: -? ' r'aL_- ;,J -111-0..) I d;;!" ': - . a 'jJ -- 8X':- dXI.:";:7p l 'Ji d.1l.' ;::f.::)-=---'='? 5-14Y5-14a.nosdicenquelosvectores setransformancontravariantemente. ::::O:::!::: Quedapor lotantojustificado expresareL Y' decualquieradelassiguientescua-tro :fOrma s:. j:j -'7 5-15 -el :tL aL' -d:v--djL b L' d7 ::: d-->'>. :tL'eL L d:7dJl bL Enesasexpresionessedebesumarsobrei. --;> Enel caso dequeenelpuntoPsetengaunvectorAdiferentedelvector

y'comolopodemosexpresar enlasbasesrecprocasQ lJal' delsistema t"T7, coordenado(:t.1:t 1.X'3)Y enlasbasesrecprocas()"').(J Ldelsistema J, coordenado(ji, 1"t. 'i -;)? I -"'7 Enprimerlugar debemos veralvectorAcomounvectorfijoenelpunto 'P porlotantoloquevamosaencontrareslaexpresin desuscomponentessegn cuatrobasesdiferentes;ahoraestevector-;;'esigualaKcf7siendoK , 28 J-4\:I unescalar yVunvector infinitesimalenladireccin de A:entoncescomo -::-7 Aesinvariante(es fijolsumagnitud yorientacinenel espacionocam-,, bian)Ktampococambiaralcambiar decoordenadas::t.'"aJ"oviceversa; por lotantosicadaunadelasecuaciones5-15lasmultiplicamosporlacons-tante1 componentesesegunU\- !J(' -? ComoseveIdadounvectorAsuscomponentessegnlosvectoresbas9s covariantes(yaseaEt) setransforman ys1!s componentessegnlosvectoresbasescontravariantes(yaseaaL6bL ) se transformancovariantemente;porlotantosi en unpuntoPtenernosunsistema coordenadoXL'(J ,-.1,,) ) L::..',"l. )silosvectoresbase.,. directosson tri=a.:i.ylosvectoresbaserecprocossonal' ='l:Lt:.entonces ;:)::t. " cualquier vectorA"sepuedeexpresar decualquieradelasdosmanerassi-guientes:-A=?'AL--"7"7A' =al::'LU --:-"? Amododeejemplo:sien unplanotenemosunvector 'Aestesepuededescom-ponersegnlasosegnat comosemuestraen el dibujosiguiente: -'1\ Aa.a" " " " , -al \ \ , \ \ \ \ , , " , --------).,. 29 x' OPERACIONESCONVECTORESENCOORDENADASCURVILINEAS -:;. Dadaslascoordenadas:i.l' =Xl'(1,'11.unvector Acualquieraenun puntoPdelespaciopuedeserlabasedevectoresdirectos segnlabaserecprocaaL'; en general11"7puedeser escritoas: 5-16)/\=Al. eL'=Al' -;-'?f-:-'?-') SitomamosA=ti!J..,.ymultiplicamosescalarmentea.ambosladospor(j.'f resulta:A,al=A t' el(. Zif=AL'=AJ'.::::';)5.J6CL)AJ=A. 211 tenemosas quelascomponentescontravariantesdeun vectorseobtienenmultiplicandoes-calarmentelestevectorporloscorrespo%!ientesvectoresbasesrecprocos; similarmenteseobtiene:5-16b)AL'=A,lflsea:lascomponentesco-variantesdeunvectorseobtienenmultiplicandoaestee sCllarmenteporlosco rrespondientesvectoresbasedirectos . _-JI>-:-':? el productoescalarA, --Bseobtiene - 7:''( jL' eeL',uJ ) =- A'.8Jo L':.A13l' 30 -:?-?I11.ohA):B esdecir:5-17)A,.a==- .. + 11.01+- J;en el caso dequelas coordenada3seancartesianasentonceslasbases11/ya1(t':. J, '1.)"3) estnformadasporvectoresunitarioseigualesCal'=lotantonohay di-ferenciaentrecomponentescontravariantesycovariantesdeunvectorpudin-doseescy:.bir5-17as:X.E=A l'lit'=Al8, +A&.lh + B)queesla expresinparaelproductoescalar cuandolascoordenadassoncartesianas(es decir vectoresbaseunitariosytriplementeortogonales). Otraformadeescribir elproducto-;:. Bes lasiguiente: --? -?( -"')-";) A.S::'-.Al (JL'),(BJ' GJ)==Al 13j'(m . aj') llamemos 11---='77f'A"""'"-::?A ['8/ q d lJ'::aL'.uj'resultapues..b==1u ) perode5-2 o: ) porlotanto: \ 32 --Cornovimosenel artculo2) porlotanw: sumasobrei, j, k) I --.... Terminamosestecaptuloconun ejemplosobrecomponentescovariantesycon-travariantesdeunvectorencoordenadascurvilneas. Determinemoslascomponentescovariantesycontravariantesdelvectorveloci-daddeunapartculaPmovindoseenelespacio entrminosdecoordenadas cilndricas ---------I I -------Sean(I:f"l..,j'})lascoordenadascartesianasy llndricas;brelacinentrelascoordenadasesla y: -=- y-=- x, xt.. :1 z...;:.-y A Jl/Y)-B:.:X I.-6.(mX 7.. :J ?>:=.:: 3 ::z1::-L:1"2. .:t."L':Q.Pfccan,'j ./ ,/ ,/ / '-..,.,....."...,.-') nenlasmismasdireccionesdellD.:2.tl..3ycomoD.,yCL3sonunitarios, entonces a' ya:Jtambinlosonportanto a=alyZi3-::a 3ynormales a 1 vector11lysedebecumplirVx, -::VJLI,V;(. ')=y:t.')nosecumple tIVX'L-';>J queV Xl.=yaqueaunque aa. tengalamismadireccindea..noson vectoresunitariossinoque0.;'esylvecesmasgrandequeZJ).(compa- rarCl:l.yal.al finaldelcap. In)porlotantolacomponentedeVsegntl.i e .s,a.maspequeaquelacomponentesegnO-?, estoes:==\. V::t.lyt CAPITULOVI TENSORES Elconcepto detensorsurgenaturalmentecomounageneralizacin delascanti-dadesescalaresyvectoriales;enlosescalaresel valor delacantidadpenna-neceinateradaparatrarisfrmacin decoordenadas;porejemplosi enelinte-rior deu:;.8uerpolatemperaturasepuedeexpresar cornounafuncin depunto t-j(J.::h13)ysi elmismopuntoseexpresaen otrosistemade 'coordenadas Xicom':)!.,J entonceslatemperaturaser-C;t.(x. I:r".; obviamentelatempera turaencadapuntotieneunvalor de terminadoindependien-tedelsistemacoordenadoutilizadoparalocalizarloporlotanto: ('J,'f 'jtx.I X 1 ,X:, ) E stetipodetransformacineslamaselementalqueexiste;enellalascompo-nentesdelacantidad(lacantidadescalartieneunasola"componente":sumag-nitud)permaneceninvariablesalcambiar decoordenadas. Tambinsabernosquelascomponentesdeunvectorsetransformanalcambiar coordenadas;estatransformacinpuedeser covarianteocontravarianteparaca-davector;esdecirsuscomponentes IyaseanAJ' AJ'segnqueesten ex-presadasen labase recprocaodirectarespectivamenter setransformanenAl!, Al.:alcambiar delsistemaJl'al-:t.l':estas dostransformacionesson aSl: ,, A t.':::. , A t..';::: Recordemosqueloquesetransfonnapormediodelasanterioresecuaciones sonciertotipodecomponentesdel vector peronoel vectormismoyaqueeste permanecefijooinalterado,esuninvariante, encuantoamagnitudydireccin con respectoaalgnsistema"absoluto" decoordenadas.Entoncesel vectorsepuedeexpresarsegnlascoordenadas::t,'osegnlasL'Yencadaunode estossistemasseexpresasegnlosvectoresbasedirectososegn losrecpro-cos;por lotanto:\..,_?( K:::.A l'a- =AL'al' =Abi ==A l'b siendoat', ti z::base sdirectayrecprocaen-::::l L'= ::r'l'l '3','j t;j-:;) --;-;: t..' tJ t:,(V:basesdirectayrecprocaen t:::.'1 l:(::L "Xl, X3) componentescontrava.riantesycovariantesrefeddasa I los:i. L: , I, AL. , 37 componentescontravariantesy00 variantesre-feridosalosj('(losE (.'yl! l.'delasecua-ciones5-15a). Podemosgeneralizar ahoraysuponerqueexistencantidades,tambininvarian-tescomolamagnituddeunescalar ocomounvector fijo,cuyascomponentesse transformc:1demaneracompletamentesimilar acomosetransformanlascompo-nentesdeunvector;por ejemplopodemossuponer laexistenciadeunacierta cantidadAtalq.e: A= Enestacantidad(ormadapor nuevecomponentes:32) lostrminosA I'J'sella-manlascomponentesdeAsegnaL'5.1;laexpresin(!t@'noesunpro-ductoElevectores(niescalarnivectorial)simplementeeslacolocacindelos dosvectoresunoacontinuacin delotroparaindicar quelacomponente!'1IJ correspondeopertenecetantoaa . ~ 'comoaO:!, Reco!1ocemosuntipodetal cantidadeneltensor detensioneselcualcomosabemosseacostumbraescri-bircomolamatriz: ~ l l cf"23 Q;2 Esteconjunto denuevecantidadesnospermiteencontrarlatensin(fuerza / area)paracualquiersuperficieinfin itesimal enelentornodeunpuntoPPara elcualseconocenlost.: las podernos tantoalasat'cornoalas ar,sernlasC5J';en esteltimocasot;S'"J'representalatensinenlacaracuyanormalestenladi-reccin de.:'latensinmismatomadaenladireccin de11..J', Lascantidadescuyascomponentessetransformancomoen6-1,6-2 I6-3laslla-mamosrespectivamentetensorcovariantederangodos Itensor contravariantede rangodosytensormixtoderangodos,(lapalabratensorseuspor primeravez en relacinconeltensor detensioner:;).Sinembargonodebemosperder devista quelosadjetivoscovariarie,contravarianteymixtoserefierenexclusivamentea lascomponentesdeltensornoaltensor,esteesuninvariante.Deahoraen ade-lantedesignaremosuntensorA porsucomponentegenricaporlotantosiel '-.JL' tensoresderangodospodemosrepresentarloporA',Al,A J; esostres smbolosrepresentanalmismotensorsoloqueen elprimercasosedansuscom-ponentescovariantes,en elsegundolascontravariantesyenel ltimolasmix-tas. Enlasecuaciones(6-1,6-2,6-3)quenosdefinentensoresderango dos(ode segundoorden)losndicesqueaparecenpuedentomarlosvalore sde1,2 I3si estamosenunespaciotridimensional;ytornaranlosvalores1-2si estamosen unasuperficie;porejemploenel tridimensional6-1quedaas: , 40 1 C) l'.2Q A11 )'i'.A .1- A,)lo A ..... ):::L 't..a .;. lJ;:i. K81R..--a..:t 0.f:AZJ S?1:A21-t ? A 22--r .J. 8::Ll(8:1-14 B;i..Kax ):L""o.x 8'j'A31 -r _013 A32. ;-SJ'f:8;iKa.xR. ):t)(. 8z"

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