Said A. Kas-Danouche R. y Franklin R. Astudillo V.INTRODUCCIN A MECNICA DE FLUIDOS Y MODELACININTRODUCCIN A MECNICADE FLUIDOS Y MODELACINMRIDA, VENEZUELA, 31 de agosto al 5 de septiembre de 2014XXVII ESCUELA VENEZOLANA DE MATEMTICASEMALCAVENEZUELA 2014Said A. Kas-Danouche R. y Franklin R. Astudillo V.PORT Said Kas-Danouche y Franklin Astudillo MATE 2014.indd 1 16/07/2014 05:04:20 p.m.XXVIIESCUELAVENEZOLANADEMATEMATICASEMALCA-VENEZUELA2014IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacionSaid A. Kas-Danouche R.Lab.deMatem aticasAplicadasalaIndustriaUniversidaddeOriente.N ucleodeSucresak0525@gmail.com,skasdano@udo.edu.veFranklin R. Astudillo V.Lab.deMatem aticasAplicadasalaIndustriaUniversidaddeOriente.N ucleodeSucrefastudillo@udo.edu.veMERIDA,VENEZUELA,31DEAGOSTOAL5DESEPTIEMBREDE2014XXVIIESCUELAVENEZOLANADEMATEMTICASLa Escuela Venezolana de Matemticas es una actividad de los postgra-dos en matemticas de las instituciones siguientes: Centro de Estudios AvanzadosdelInstitutoVenezolanodeInvestigacionesCientfcas,Fa-cultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, Facultad de CienciasdelaUniversidaddeLosAndes,UniversidadSimnBolvar, Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado y Universidad de Orien-te, y se realiza bajo el auspicio de la Asociacin Matemtica Venezolana.La XXVII Escuela Venezolana de Matemticas recibi fnanciamiento de la Academia de Ciencias Fsicas, Matemticas y Naturales de Venezuela, el Banco Central de Venezuela, el Fondo Nacional de Ciencia, Tecnolo-ga e Innovacin (FONACIT), el Instituto Venezolano de Investigaciones Cientfcas (Centro de Estudios Avanzados, Departamento de Matem-ticasyEdicionesIVIC),laUniversidaddelosAndes(CEP,CDCHT, DepartamentodeMatemticasdelaFacultaddeCiencias,Decana-todeCienciasyVicerrectoradoAdministrativo),UninMatemtica deAmricaLatinayelCaribe(UMALCA)yCentreInternationalde Mathematiques Pures et Appliquees (CIMPA).2010 Mathematics Subject Classication: 76-01, 76A02, 76B07, 76B47,76D05 Ediciones IVICInstituto Venezolano de Investigaciones CientfcasRif: G-20004206-0Introduccion a Mecnica de Fluidos y ModelacinSaid A. Kas-Danouche R. y Franklin R. Astudillo V.Diseo y edicin: Escuela Venezolana de Matemticas Preprensa e impresin: Grfcas Lauki C.A.Deposito legal: If66020145102246ISBN: 978-980-261-153-9 Caracas, Venezuela2014Al DiosdeAbraham,deIsaacydeJacob.Amishijos:JorgeAsaad,SaidAlejandroyYamil Andres.SaidAntonio.AlamemoriademihermanaMarisol del Valle.FranklinRafael.IndicegeneralPrefacio IX1. Modelosmatematicosdelmovimientodeuidos 11.1. Elmodelomatematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Algunasdenicionesbasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Ecuacionesdeconservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Conservaciondemasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Conservaciondemomentumoecuaciondemovimiento. . 151.6. LaecuaciondeNavier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. CondicionesdeFrontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.1. SuperciesSolidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7.2. Interfacesdeuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. Flujosincompresibles 252.1. Fluidoideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Flujosideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Eln umerodeReynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Flujoincompresiblerestringidoporparedes . . . . . . . . 282.5. Flujocompletamentedesarrollado . . . . . . . . . . . . . . 292.6. FlujodePoiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7. FlujodeCouette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8. Flujolaminar, incompresibleypermanenteentreplacasparalelaseinclinadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Movimientoirrotacional.Teoremasintegrales 373.1. Vorticidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Elcasodeuidonoviscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . 38iii3.2.1. LaecuaciondeEuler: . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2. Casodeujoestacionario: . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3. Casodeujoirrotacional: . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4. Casodeujoestacionarioeirrotacional: . . . . . . 413.3. Flujo irrotacional y potencial de velocidad en tres dimen-siones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1. Analogaentreujodeuidoirrotacional yelec-trostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2. Corrienteuniformeenpresenciadeunafuenteenelorigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4. Circulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. TeoremadecirculaciondeKelvin. . . . . . . . . . . . . . 524. Flujosbidimensionales 534.1. Funcioncorriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Potencialcomplejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Aplicacionesconformales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4. Potencialcomplejoparaalgunosujossimples . . . . . . . 614.4.1. Elcampodeujouniforme . . . . . . . . . . . . . 614.4.2. Fuentesysumideros . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.3. Dipoloodoblete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4.4. Vorticepotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Superposicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.6. Elmetododelasimagenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7. Flujo potencial que pasa una seccion de un cilindro circular 694.8. Flujoque pasaunaseccionde uncilindrocircular concirculacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.9. TransformaciondeJoukowski . . . . . . . . . . . . . . . . 744.9.1. Flujoquepasauncrculo . . . . . . . . . . . . . . 754.9.2. Flujoquepasaunplatochatonito . . . . . . . . 774.9.3. Flujoquepasaunaaladeavionsimetrica . . . . . 794.10. TransformaciondeSchwarz-Christoel . . . . . . . . . . . 824.10.1. Unabandasemi-innita . . . . . . . . . . . . . . . 824.10.2. Unabandainnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.10.3. Aplicandounabandasobreuncrculo . . . . . . . 87iii5. Flujodevorticesoujovorticoso 895.1. Teoremasrelacionadosconujodevortices . . . . . . . . 895.2. Potencialcomplejodebidoavortices . . . . . . . . . . . . 915.2.1. Unlamentovortice . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.2. Doslamentosvortices . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.3. Unparvortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.4. Filamentovorticeparaleloaunplano . . . . . . . 925.2.5. Dobletevortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2.6. Vortices de igual esfuerzo, , ubicados en (x, y) =(ma, 0),conm = 0, 1, 2, , n, . . . . . . 945.2.7. LacallevorticedeKarman . . . . . . . . . . . . . 956. Ondasacuaticas 976.1. Movimientodeonda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2. Condicioncinematicaenlasupercielibre . . . . . . . . . 996.3. Condiciondepresionenlasupercielibre . . . . . . . . . 1006.4. Ondasviajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.5. Ondasestacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106ivIndicedeguras1.1. Flujo entre dos plataformas con la plataforma superior enmovimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. (a)Flujolaminar. (b)Flujoturbulento. . . . . . . . . . 71.3. Representaciondelasregionesdeunujoexterno. . . . . 91.4. Representaciondeunujoexternoideal.. . . . . . . . . . 101.5. Flujoexterno que pasa uncuerpoconforma similaralaslneasdecorriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. Esquemadelascoordenadascilndricas. . . . . . . . . . . 121.7. Flujodeuidoquecruzaunasupercie. . . . . . . . . . . 131.8. Vectornormalalasupercie. . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9. Superciez =(x, y, z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10. Radios de las circunferencias circunscritas en una supercie. 232.1. Tubohorizontalconunextremoinmersoenunembalse. . 282.2. Flujolaminarcompletamentedesarrolladoentreparedesjas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Flujolaminardentrodeuncilindrocircular. . . . . . . . . 302.4. FlujodeCouetteentredosplacasparalelas. . . . . . . . . 322.5. Flujo de Couette entre dos placas paralelas inclinadas unangulorespectoalahorizontal. . . . . . . . . . . . . . . 332.6. Flujolaminarentredosplacasparalelasinclinadas. . . . . 363.1. Dipolo:unafuenteyunsumidero. . . . . . . . . . . . . . 453.2. Relacionentrelasdistanciasradialesdeunafuenteyunsumidero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3. VelocidaddecorrienteU0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4. Corrienteuniformeconunafuenteenelorigen. . . . . . . 483.5. Flujodeuidonoviscosoquepasaunaesferaderadior0. 50vvi4.1. Reddeujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2. Lneafuentebidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3. Mitadsuperiordelplano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4. Sectorenelplanozqueseobtienealusarunatransfor-macion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5. Fuenteysumideroparaformarundipolo. . . . . . . . . . 624.6. Patronesdeujodeundipolo. . . . . . . . . . . . . . . . 634.7. Potencialdevelocidadyfuncioncorrientedeunvortice. . 654.8.OvalodeRankine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.9. Flujo producido por una fuente ubicada cerca de una pared. 684.10. Flujouniformequepasasobreuncilindrocircular. . . . . 704.11. Para2< (4U0r0)2:Dospuntosdeestancamiento. . . . 734.12. Para2= (4U0r0)2:Unpuntodeestancamiento. . . . . 734.13. Para2>(4U0r0)2: Unpuntodeestancamientofueradelcilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.14. TransformaciondeJoukowski:deuncrculoaunaelipse. 764.15. TransformaciondeJoukowski: delaslneasdecorrientealrededordeuncrculoaalrededordeunaelipse. . . . . . 764.16. Flujoquepasaunplatochatonito. . . . . . . . . . . . . 774.17. Flujoqueterminaparaleloalplatochatonito. . . . . . . 784.18. Flujoquepasaunaaladeavionsimetrica. . . . . . . . . . 794.19. Flujo que pasa un cuerpo bidimensional con seccion trans-versalC.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.20. TransformaciondeSchwarz-Christoel.. . . . . . . . . . . 824.21. Bandasemi-innitaenelplanoz.. . . . . . . . . . . . . . 834.22. Semiplanosuperioren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.23. Unabandainnitaenelplanoz. . . . . . . . . . . . . . . 844.24. Plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.25. Transformacionesentreelplanozyelplano. . . . . . . 864.26. Aplicandounabandasobreuncrculo. . . . . . . . . . . . 875.1. CircuitocerradoC(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2. Unparvortice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3. Filamentovorticeparaleloaunplano. . . . . . . . . . . . 935.4. Dobletevortice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.5. LacallevorticedeK arman. . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1. Comparacion del perl de onda para dos tiempos diferentes. 98vii6.2. Diferenciadepresionesenunasupercielibre. . . . . . . . 1006.3. Ondaviajeraprogresiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4. Frentedeondaconrapidezvp. . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5. VectorfasorA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.6. Envolventeparaunaondaviajeraprogresiva. . . . . . . . 1066.7. Ondaestacionaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107viiiPrefacioAtravesdelossiglos, lossereshumanoshemosusadolasmatematicaspararesolverproblemasenm ultiplesareasdelavidacotidiana.Esporelloque, las matematicas tienenvariadas perspectivas que vandesdeel desarrollodecomplejasteorasintelectuales, hastalamodelaciondefenomenososituacionesqueocurrenennuestroentorno. Estedesarro-lloharecibidosusaportesdedestacadosmatematicos, queenmuchasocasionesestabanresolviendoproblemasfsicos; podemosmencionaraalgunosdeelloscomoArqumedes, Newton, Euler, Navier, Stokes, en-treotros. Hahabidounabrechaentreloartsticoylautilidaddelasmatematicas, unabrechaentrecrear nuevas estructuras enel mundomatematicoy,resolver,saberexplicaryregularelmundoenelquees-tamosinmersos.Enel universo, oal menos ennuestroSistemaSolar, todolorelativoamateria, quesiguelas leyes deconservaciondelaFsica, sepodraclasicarcomogas,lquido,solido,ocualquiercombinacionentreellos.Encuantoaloquenosata neenestecurso, lossereshumanoshemoscoexistidosiempreconlos uidos. El comohemos aprendido, ademasdelcuandoiniciamosausarlos,nosepuededeterminar.Ahorabien, los modelos matematicos paradinamicade uidos invo-lucranecuaciones enderivadas parciales no lineales. Dichos modelospodranestar constituidos por unasolaecuacion, comopor unsiste-made varias ecuaciones acopladas yque, engeneral, conllevangrandicultadycomplejidadmatematica.Estasecuacionesconstituyenunodelosmediosdecomorelacionarlasmatematicas abstractas (fundamentadas enel analisis funcional ylosixxsistemasdinamicos)conel campodesusaplicaciones, quetienenla-nalidadde lograr las soluciones cuantitativas aproblemas de lavidadiaria.Enmecanicadeuidos,seestudiandiversostiposdeproblemas;entreelloscabedestacarel desarrolloylaresoluciondemodelosma-tematicos paraujos centro-anulares, que es laespecializacionde losautores.Es as como, hemos procurado en este libro establecer la teora introduc-toriaenlacualsebasalamecanicadeuidosparamodelarproblemasde ujos de uidos, que pueden ser aplicados sin mayores complicacionesaujosestraticados,entreloscualesestanloscentro-anularesinmisci-bles.Queremos agradecer a Neptal Romero por habernos animado a proponereste curso y, por su puesto, a escribir este libro que lo acompa na. Ha sidouna oportunidad muy apreciada por nosotros. Finalmente, agradecemosel apoyo de nuestras respectivas familias, quienes en ocasiones como estassonlasquemassientennuestraausencia,mientrasnosotrosdedicamosnuestrosmejoresesfuerzosparaescribir.LosAutoresCaptulo1ModelosmatematicosdelmovimientodeuidosAntes de abordar el tema de este libro, es importante entender lo que supropiottuloconlleva. Esunasencillaintroduccionamecanicadeui-dosparaemprenderelviajedelconocimientoatravesdelamodelacionen esta area del saber. As, iniciaremos mencionando que una sustancia,bajolaaplicaciondeunesfuerzocortanteofuerzatangencial alasu-percie[2],quesedeformacontinuamentesedenominauido[10],[15],[14].Incluyetantoaloslquidoscomoalosgases,losprimeroscambianfacilmentedeformaperonodevolumen, mientrasquelos ultimos, losgases,cambianfacilmentetantodeformacomodevolumen.Por otrolado, lamecanicaes el estudio, enreposooenmovimiento,decuerpos bajolaacciondefuerzas [13]. As, lamecanicadeuidoseslaramadelascienciasqueseocupadelestudiodelcomportamientodelos uidos tantoenreposocomoenmovimiento. Particularmente,ladinamicaesel estudiodel movimientodelamateria. As, dinamicade uidos tiene que ver con el comportamiento de uidos en movimiento.Siempre la presencia de fuerzas tiene alg un efecto en los materiales. As,cuandounafuerzadadaproduceenunmaterial unadeformacionper-manenteapesardeeliminartal fuerza, sedenominaplasticidad; si ladeformaciondenidadesaparececuandolafuerzaseelimina, recibeelnombre de elasticidad; y si la deformacion crece continuamente sin lmi-12 SaidKas-Danouchetesbajolaacciondefuerzas,a unpeque nas,seledenominaujo[25].Enpresenciadetemperaturaypresionconstantes,unlquidoposeeunvolumen denido y, bajo los efectos de la gravedad, adopta la forma de laparte inferior del envase que lo contiene; superiormente estara delimitadoporunasupercielibrecompletamentehorizontal.Enlamayoradeloscasosloslquidosseconocencomouidosincompresibles.Sinembargo,ungasllenaraporcompletotodoel espacioqueloencierrayparaalcualtieneacceso.Losgasesseconocencomouidoscompresibles[33].1.1. ElmodelomatematicoComolomencionaGrangeren[11]: Lamodelacionesuninstintohu-mano,...queseusaparaentendery, posiblemente, interpretarel com-portamiento del fenomeno en estudio. El mundo de los ni nos esta repletode modelos en su accionar diario mientras juegan; recuerdo que yo usabalas piezas del domino para construir distribuidores de autopistas, circui-toscerradosdepistasparacarros; ademasdecrearobjetosypueblosconjuegosdepiezasenformadebloquesdediferentestama nosyfor-mas. Lamodelacion, enestaepocadelavidadel serhumano, esclavepara el desarrollo de la creatividad, hacer descubrimientos y expandir laimaginacion.Enelmundoadultoyprofesional,seusanlosmodeloscomounaherra-mientaparacomprenderelcomportamientodelosfenomenosoproble-mas que se estudian y se quieren resolver. Es aqu donde las matematicastienen un papel primordial, pues los modelos matematicos, aparte de po-der aproximar las soluciones exactas de los problemas, permiten jugarconlosdiversosparametrosinvolucradosenelmodelo,yquerepresen-tanalgunacaractersticafsicadel problemaque se estaresolviendo,paraluegovislumbrar uncuadromasampliodel comportamientodelmismo.Unmodelomatematico, enterminosgenerales, esunaecuacionocon-juntodeecuacionesmatematicasquedansolucionaunproblemama-tematicoespecco. Esteproblema, enmuchoscasoseslaidealizaciondel problemafsicoreal planteadoparaserresuelto. LaidealizacionesIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 3elprocesoatravesdelcualseplanteansuposicionesparasimplicarelproblemaaresolver; estosehaceporquenoesfacil darcontodaslasecuaciones involucradas, paramodelar dichoproblema, desdeunsolointentoydeunasolavez.Despuesderesolverel problemaidealizado, selea nadennuevascarac-tersticas, que se traducen en ecuaciones o condiciones, que forman partedel problemaoriginal, yseprocuraencontrarsumodelo. Unavezre-sueltoestenuevoproblema,sevuelveaa nadiralgunaotracondicion,yas sucesivamente. Eventualmente, losnuevosmodelosarrojaranresul-tados mas cercanos a lo que se espera sea la realidad. De ah que, uno delos principios de la modelacon es ir de lo mas simple a los mas complejo.Al tratarlasrelacionesdel ujodeunuido, conbasesmatematicasoanalticas, paraobtenerunmodelomatematicodel fenomeno, al uidonolotratamos comoconformadopor partculas sencillas, sinoqueseconsideralaestructuramolecularrealcomounmediocontinuo,conoci-docomoelcontinuo[14],[33].Alseleccionaralg unpuntodelespacioenrelacionconalg unsistemadecoordenadas, amedidaquepasael tiempo, el uidoenesepuntocon-tinuamentesesustituyeporuidonuevo. As, nosenecesitamantenerregistrodealgunapartculadeterminadadel uido; sinomasbien, selleva registro historico, en ese punto del espacio, sin importar la porciondeuidoqueesteendichopuntoencualquier tiempoparticular. Taldescripciondeluidoseconocecomoladescripcioneuleriana.Cuan-doserequieremantenerregistrodeunapartculaindividual, comoendinamicadecuerposrgidos,seconocecomoladescripcionlagrangia-na.Almodelarujosestraticados,hastalaactualidadsehanconsideradomuchosregmenesdiferentes,entreloscualesmencionamoslosujosdedos uidos. Especialmente, aquellos de dos lquidos a traves de un domi-nio de medio poroso [6], los cuales se clasican en miscibles e inmiscibles.Tambien, estan los ujos de dos uidos con conguracion centro-anular.Sonujos de dos uidos concentricos, unoacumuladoenel centroyel otroocupandolaregionanularqueenvuelveal uidocentral, yque4 SaidKas-Danoucheestaencontactoconlapareddel cilindro. Estetipodeujoconsisteenqueambos uidos seencuentranviajandosimultaneamentedentrodel cilindro. Respectoaestetipodeproblemas, podemosmencionarelartculodePapageorgiou,MaldarelliyRumschitzki[27],quienestraba-jaronenujos centro-anulares conungradientedepresionconstanteanalizandolaestabilidaddelainterfazentreambos uidos; ellos tra-bajaronendichoproblemainspiradosenel trabajodeHammond[12],quiennoconsideroensuproblemagradientedepresionexterno, obte-niendo una ecuacion complicada en la que el termino de mayor orden esnolineal.En el a no 2002, Kas-Danouche [17], Kas-Danouche, Papageorgiou y Sie-gel [19], [20], desarrollaron un nuevo modelo para un ujo de dos uidoscentro-anulares consurfactantes insolubles enlainterfazentreambosuidosbasadosen[27];esdecir,conungradientedepresionconstante.El modelo obtenido es un sistema de dos ecuaciones integro-diferencialesparcialesnolinealesyacopladas, obteniendouncomportamientomuyrico de soluciones que van desde ondas estacionarias modales, ondas via-jerasmodales,periodicasentiempohastallegarasolucionescaoticas.Inspirado en este ultimo trabajo, Astudillo [3] desarrollo un modelo ma-tematicoparaunujocentro-anular consurfactantes insolubles, perodistribuidosnouniformementeenlainterfazentrelosdosuidos.Des-pues,Lugo[23]estudialasrutashaciaelcaosenelmismoproblemadeujocentro-anularconsurfactantesinsolublesen[17].Porotrolado,enela no2007,Kas-Danouchepublicaen[18],unnuevomodelomatematicotomandocomobaseel modelodeHammond[12]ya nadiendosurfactantesinsolublesenlainterfaz, el resultadofueunsistema de dos ecuaciones acopladas integro-diferenciales parciales, peroaltamente no lineales con el termino de mayor orden multiplicado por lafuncionincognitaelevadaal cubo. El desarrollonumericodeeste ulti-momodelolorealizoRivas[30],ya uninvestigamoselcomportamientonumericodelainuenciadelos surfactantes enel modelodesarrolla-doporKas-Danouche[18]. Enel a no2012, GalloyKas-Danouche[9]publicaronunainvestigacionrelativaalacomparacionentremetodosnumericospararesolverelproblemaqueestudioHammonden[12].IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 5Parael a no2011, Astudillo[4], desarrollounnuevomodeloa nadiendosurfactantessolublesal problemaresueltoporKas-Danoucheet al. en[20].Obtuvounsistemadetresecuacionesacopladas,dosdelascualesson diferenciales parciales no lineales, y una de estas dos ultimas ecuacio-nes,conunterminointegral.Tambiendesarrollounesquemanumericoparaencontrarsolucionesaproximadasdelmodelo.Sonmuchaslasideasquesepuedendesarrollarenestaareadel saber;porejemplo, laconstrucciondeunprototipodesimuladorparael mo-deloelaboradoporKas-Danouche[17]fuedesarrolladoporMekhedjian[24], en el cual se puede observar, tridimensionalmente, como la interfazentreambosuidosvaevolucionandoeneltiempodesdeeliniciohastael tiemponal; ademasde, laevoluciondelaconcentraciondesurfac-tantesendichainterfaz.Enlasiguienteseccionsuministraremosalgunasdenicionesdepropie-dades basicas que poseenlos uidos, comopresion, viscosidad, entreotros.1.2. AlgunasdenicionesbasicasLapresionsedenecomounesfuerzonormal, queesunafuerzasu-percial compresivanormal por unidaddearea, queact uasobreunasupercie,enestecaso,sumergidaeneluido[14],[26].Laviscosidadesunacantidadfsicaconlacualsemidelaresistenciaqueel uidoejerceaunesfuerzocortanteofuerzatangencial cuandoesteseencuentramoviendose.El esfuerzo cortante, , se dene como la fuerza tangencial por unidadde area necesaria para mover una supercie plana, ver Figura 1.1. Vieneexpresadopor: = uy,donde,engeneral,seconocecomolaviscosidadabsolutaoviscosidad6 SaidKas-DanouchePlataforma jaPlataforma en movimientoFigura1.1: Flujoentredosplataformasconlaplataformasuperiorenmovimiento.dinamica, y es la constante de proporcionalidad entre el esfuerzo cortan-teyelgradientedevelocidad.Laviscosidadcinematica, , eslarazondelaviscosidadabsoluta,,conladensidaddemasa:= /.Laviscosidad(absoluta)deunlquidodecrececuandolatemperaturacrece, perolaviscosidaddelosgasescrececuandolatemperaturacrece.Unuidoquenotengaviscosidadyquenouyaenunamaneraturbu-lenta,recibeelnombredeuidoidealomascorrectamenteelujosellamaideal. Realmente, ning unuidoesideal, peroalgunosuidos, enciertas regiones de ujo y bajo ciertas circunstancias, aproximan las con-diciones ideales y se consideran como tal para el analisis. En el Captulo2dedicamosunaseccionaestetema.FlujolaminaryujoturbulentoUnujopuramenteviscosoesunujodeuidoqueuyeporcapasolaminas, de ah que tambien se le denomine ujo laminar. Por otro lado,cuandoenunujolas componentes develocidadtienenuctuacionesaleatorias muyvariadas sobre sus valores medios, se denominaujoturbulento.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 7(a) Laminar (b) TurbulentoFigura1.2:(a)Flujolaminar. (b)Flujoturbulento.Latensionsupercial es el esfuerzoaparente que existe enlaca-pasupercial, deunlquido, queact uacomounamembranaestirada,pudiendogenerarunadiferenciadepresionesatravesdelasupercielquidacurva. Latensionsupercial esunaenergaasociadaconcual-quierinterfazuido-uido.Envistadequelasupercielquidasecomportacomounamembrana,lasgotasdelluviamientrascaentoman,masomenosformasesfericas.Atraves delasupercieinterfacial entredos uidos, ladiferenciaenpresionpsebalanceaporlatensionsupercial T. Estamembranaocapa especial en el lquido se puede entender que existe, en parte, por laatraccionentrelasmoleculasdellquidodebajodelasupercie.Ladensidad, , deunuidosedenecomolacantidaddemasadeuidopor cadaunidadde volumende dichouido. Ademas, es unapropiedadtermodinamicaydependedelestadodeluido,deahlafac-tibilidaddeexpresarlacomofunciondetemperaturaypresion. Dichaexpresion,fenomenologicaoderivadadeconsideracionesmicroscopicas,se conoce como una ecuacion de estado. Por ejemplo, para una gas ideal[14]: p = RT, donde Res la constante delgas, se conoce como la ecua-ciondeestado. Esbuenosaberquehayecuacionesdeestadomasmascomplicadasqueesta.En ujos compresibles hay dos grupos mayoritarios en los cuales se pue-den clasicar dependiendo de la velocidad del sonido. Un ujo que desa-rrolle velocidades menores que la velocidad del sonido, se denomina ujosubsonico;elujoquedesarrollevelocidadesmayoresqueladelsonido,8 SaidKas-Danouchesedenominaujosupersonico.El n umero de Mach, M, es una medida de la rapidez relativa y se denecomo la relacion de la rapidez del ujo de uido con la rapidez del sonidolocal:M =Va,donde V es la rapidez del ujo de uido y a es la rapidez del sonidolocal.Deestamanera, cuandoM 1 tenemos ujos supersonicos. Flujo transonico ocurre cuandoparte del cuerpo (avion, proyectil, etc) tiene uido uyendo sobre el conM< 1 y otra parte del cuerpo tiene uido uyendo sobre el con M> 1,as que en alg un punto del cuerpo M= 1. Como es que M< 1, M> 1sobreelmismocuerpoyalmismotiempo?Lavelocidaddelsonidoylavelocidaddel uidovaransobreel cuerpo. Engeneral, latemperaturaenuncuerpovaraydeallquelavelocidaddelsonidolocalvaratam-bien.Cuandoenunujolascomponentesdevelocidadylaspropiedadester-modinamicas en cada punto del espacio no cambian con el tiempo, esta-mosenpresenciadeunujoestacionario.Siendiferentestiempossetoman fotos del uido, estas luciran iguales sin importar el tiempo en quesehayantomado.Ademas,esimportanteentenderqueunuidopuedetener una aceleracion en un punto en el espacio a un en ujo estacionario.Deacuerdoalaestructuradelosujos, sepuedenclasicarcomo: u-josubsonico-compresible, ujocompresible-supersonico, ujolaminar-compresible, ujo turbulento-incompresible, ujo laminar-incompresible,entreotros.Respectoalasregionesespaciales,basicamentehaydosti-posdeconguracionesdelosujos:ujointernoyujoexterno.El ujoexternoesel movimientodeunuidosobreunobjetocomoenaerodinamica.Laregiondondeuyeeluidoalrededordeunobjetose puede dividir entres regiones. Lejos del cuerpo, donde el ujoesesencialmente ideal. Cercadel cuerpo, donde desarrollaunacapaenIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 9lacual act uael esfuerzocortante (yaque lavelocidaddebe ser ceroenlasupercie del cuerpo) lavelocidady/olaturbulenciase hacenimportantes. Esta capa se conoce como capafronteriza o capalmite(boundarylayer)ypuedeserlaminaroturbulenta. Detrasdel cuerpo,una tercera region se distingue, se conoce como la estela. Generalmente,esunaregiondealtaturbulenciaybajapresion.Punto de separacinCapa fronterizaEstelaLneas de corrienteFigura1.3:Representaciondelasregionesdeunujoexterno.La estela ocurre debido a la separacion de la capa fronteriza de la super-cie del cuerpo que, al mismo tiempo, se debe a la viscosidad del uido.Si el uido fuera absolutamente no viscoso, no tendramos separacion, yenconsecuencia,niestela.Sinestela,elpatrondeluido(elcualseraideal)serasimetricodesdeel frente hasta la parte posterior del cilindro, y la presion sera la mismatantoenfrentecomodetrasdel cilindro. Nohabraarrastredeobjetosinsertados eneluidoenmovimiento.Esta ausenciade arrastrecontra-dice la experiencia; por lo tanto, concluimos que todos los uidos tienenqueteneralgunafriccioninterna;esdecir,viscosidad.10 SaidKas-DanoucheFigura1.4:Representaciondeunujoexternoideal.Si uncuerpotieneunaformasimilaralaslneasdecorriente; digamosque, el extremoposteriorterminagradualmenteenuncontornosuavehasta llegar a una punta, entonces la separacion no ocurrira, pues la capafronterizacubriracompletamenteel cuerpo. Enestoscasos, el ujoesideal completamente alrededor del cuerpo, excepto por la capa fronterizayunaesteladelgada.Estela delgadaCapa fronteriza sin separacinLneas de corrienteFigura1.5: Flujoexternoquepasauncuerpoconformasimilaralaslneasdecorriente.Unujoes internocuandoel movimientodel uidoocurredentrodetubos, canales, boquillas, entreotros; es decir, el ujoestaconnadoporlasparedesdelcuerpoquelocontiene.1.3. EcuacionesdeconservacionAntes de escribir las ecuaciones de conservacion, es importante describirunpuntoespacial ylavelocidadendichopuntoparauntiempodado.Sean las componentes de velocidad escritas como ui(x, t), con i = 1, 2, 3,ydenidasenuntiempotdadoyenunpuntox=(x1, x2, x3)dado,IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 11independientementedelapartculaqueesteenxeneltiempot.Porlocual,laaceleracionai=uit,puesuitambiendependedex.As,tendramosenrealidadlasiguienteexpresionparalaaceleracionai=uit+uix1x1t+uix2x2t+uix3x3t;pero,ui=xit.Porlotanto,ai=uit+3

k=1ukuixk=uit+ukuixk(Convencionparasumatoria)Acontinuacion, denimos laderivadasustancial (derivadamaterial oderivadatotal)comoDDt=uit..partelocal+ ukxk. .parteconvectivaencoordenadascartesianas.Siu = (u1, u2, u3),entoncesDDt=uit+u grad,dondegrad =_x1,x2,x3_.Hay muchos problemas cuya conguracion geometrica no permite que seapliquenlasecuacionesenrepresentacioncartesiana;porejemplo,paraunproblemaqueinvolucratuberasserequierequelasecuacionesestenexpresadasencoordenadaspolarescilndricas.12 SaidKas-DanoucheAcontinuacionexpresamosladerivadatotalenterminosdelascoorde-nadascilndricas:Figura1.6: Esquemade lascoordenadascilndricas.x = (r, , z)u = (u, v, w)grad _r, 1r,z_Porlotanto,DDt=t+ur+vr+wzLaslneasderecorridoodecaminosontrayectoriasdelaspartculas.Laslneasdecorrientesonlneasporlascualesel vectorvelocidadestangenteenuninstanteparticular.Engeneral,lneasdecorriente = lneasdecamino.Sinembargo,sielujoesestacionario,entonces:lneasdecorriente = lneasdecamino.1.4. ConservaciondemasaLadensidadeslamasaporunidaddevolumen(x1, x2, x3, t)IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 13VsFigura1.7:Flujodeuidoquecruzaunasupercie.Lacantidaddemasaqueentramenoslacantidaddemasaquesaleesiguala_suilids,donde uilidses lacantidadde uidoque cruzaundiferencial de su-percie, ds, porunidaddetiempo, yuili=u1l1 + u2l2 + u3l3=u n(proyecciondeusobrelanormal n).Teorema1.4.1(TeoremadeDivergencia). Seaundominioacotadoen R3quesatisface:- LafronteraS= deconsistedeunn umeronitodesuper-ciessuaves.- Cualquier lnea recta paralela a cualquiera de los ejes coordenados,o intersecta a Sen un n umero nito de puntos o tiene un intervalocompletocom unaS.Sean=(nx, ny, nz)el vectorunitarionormal aSdirigidoenladirec-cionexteriora.SeaV=(P, Q, R)uncampovectorial denidoenlaclausuradetal quecadaunadelafuncionescomponentesP, Q, RsonC1()yC0()ysupongamosque__Px+Qy+Rz_dxdydz14 SaidKas-Danoucheesconvergente.Entonces:_ Vd =_SV n ds.Paraunapruebadeesteteorema, vease[31]. El cambiodelamasaeneltiempoesigualalamasaqueentramenoslamasaquesaleatravesdelafrontera(supercie)delvolument_VdV. .masadeV= _Su nds_VtdV = _Vdiv(u)dV.Latransformacionenlaintegral delaizquierdasehaceconsiderandoque el volumenes jo (no cambia en el tiempo) yen la integral delladoderecho,usamoselTeoremadelaDivergencia.As,_V_t+ (u)_dV= 0 , paratodoV .Porlotanto,t+ (u) = 0 (ConservaciondeMasa). (1.1)TambienseconocecomolaEcuaciondeContinuidad, yotraformadeescribirlaes:t+representasumatoria..xi(ui) =0.Entonces:t+xiui. .

+ uixi= 0DDt+ uixi..divu= 0.UnuidoesincompresiblesiDDt= 0.Estoimplicaquediv u = 0. (1.2)IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 151.5. ConservaciondemomentumoecuaciondemovimientoIniciemosestaseccionpresentandodemaneramuyfundamentalloquees la ecuacion de movimiento para un uido. Es una expresion en la cualla razon de cambio de momentum de una porcion de uido y la suma detodaslasfuerzasqueact uansobredichaporcionseigualan.Consideremos uncuerpodeuidoconvolumenV encerradopor unasupercie S, el momentum [5] de este cuerpo se expresa como la integral,tomada sobre el volumen, del producto de la velocidad u del cuerpo porsu densidad ; lo cual escribimos como_u dV ; es decir, la suma de losproductosdemasayvelocidaddecadaporciondevolumen. Porotrolado, la razon de cambio de este mismo cuerpo de uido, viene expresadacomo_DuDt dV,observamos quees lasumadelos productos delaaceleracionpor lamasaencadacadaunodeloselementosqueconformanelvolumenV .Cadaunadelasporcionesdeuidotienefuerzas,tantodelasuperciecomodel volumen, queact uanenel. Denotamos al vector resultantedelasfuerzasdevolumenporunidaddemasadeuidomedianteF.Asque,lafuerzatotaldevolumensobreunaporciondeuido,dV es_F dV.Lai-esimacomponentedelafuerzadecontactoqueseaplicaatravesdeunelementodesuperciedeareaSyelvectornormal n,sepuedeescribircomoel siguienteproductoijnjS, siendoijel tensordees-fuerzos; esta fuerza tambien se conoce como la fuerza supercial. De estamanera, la fuerza supercial total que ejerce la masa sobre la porcion deuidorodeadaporlamismaes_ijnjdS;pero,usandoelTeoremadelaDivergencia,tenemosque:_ijnjdS =_ijxjdV.16 SaidKas-DanoucheEnconclusion, el balance del momentumparaunaporcionde uidoquedadelaforma_DuiDt dV =_Fi dV+_ijxjdV,paratodaselecciondelvolumenV .Porlotanto,DuiDt= Fi +ijxj, (1.3)entodoslospuntosdel uido. Sepuedeobservarqueestaecuaciondi-ferencial dene la aceleraciondel uido enterminos de la fuerza devolumenlocalydeltensordeesfuerzos.Estaexpresionseconocecomolaecuaciondemovimiento.Cuandounuidoestaenreposo,soloseejercenesfuerzosnormalesyeltensordeesfuerzosvienedadoporlaexpresionij= p ij,donde p es la presion del uido estatico, y dependera solamente de la pro-fundidad del uido, la densidad del uido y la aceleracion de la gravedad.Cuando el uido esta en movimiento, no hay razones para considerar quelo anterior sea valido, pues los esfuerzos tangenciales, en general, no soncero,ylacomponentenormaldelesfuerzoqueact uaatravesdeunele-mento de supercie depende de la direccion de la normal al elemento (desupercie). Enlamayoradeloscasosdeunuidoenmovimiento, lanocion de una presion que act ua de manera igual en todas las direccionessepierde.El valor promedio de las componentes del esfuerzo normal a un elementodesupercie[5]enlaposicionxes13ijij=13ii=13(11 +22 +33).Porconsiguiente,lapresionenunpuntodeunuidoenmovimientosepuededenircomoelopuestodelpromediodelesfuerzonormalp = 13ii.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 17Eltensordeesfuerzosijlopodemosdenircomolasumadeunapar-teisotropica(laspropiedadesentodaslasdireccionessonlasmismas)pij, tomandolamismaformaqueel tensordeesfuerzosenunui-doenreposo(aunqueel valordepnoseael mismoparaunuidoenmovimiento), yunapartenoisotropica, dijdigamos, quevienedelosesfuerzostangencialesyelementosdiagonalesij= pij +dij. (1.4)La parte no isotropica dijpuede llamarse el tensor de esfuerzos deviatori-co, o desviador como le dicen otros autores, y se debe al movimiento deluido. En 1843 Saint-Venant y en 1845 Stoke, obtuvieron una expresionparadij[5]dij= 2_eij13ij_; (1.5)donde denota eii. Elparametro depende del estado localdel uido,es la constante de proporcionalidad entre la razon de la fuerza cortante ylafuerzatangencialporunidaddeareaenpresenciadedecapasplanasdeuidosquesedeslizanunasobreotra;aesteparametroseleconocecomolaviscosidaddeluido.Ademas,eij=12_uixj+ujxi_.1.6. Laecuaci ondeNavier-StokesConsiderandolaexpresion(1.5)paraeltensordeesfuerzosdeviatorico,elesfuerzototal(1.4)tomalaformaij= pij+2_eij13ij_, (1.6)dondeeij=12_uixj+ujxi_y =eiiukxk.Substituyendo(1.6)enlaecuaciondemovimiento(1.3),obtenemos:DuiDt= Fipxi+xj_2_eij13ij__,18 SaidKas-DanouchequerecibeelnombredelaecuaciondemovimientodeNavier-Stokes.Entonces,DuiDt= Fipxi+xj__uixj+ujxi23ijukxk__.Haycasosparaloscualeslaviscosidad, , del uidodependeengranmaneradelatemperatura.Sienelcampodelujoseapreciandiferen-ciasdetemperatura,necesariamentedebemosconsideraracomounafuncion de posicion. Ahora, tambien es cierto que en muchos casos talesdiferencias de temperatura son sucientemente peque nas, para los cualessepuedeconsiderarcomouniformeentodoeluido.EntalcasoDuiDt= Fipxi+_2uix2j+xi( u) 23xi( u)_.Porlotanto,DuiDt= Fipxi+_2ui+13xi( u)_. (1.7)Unuidoincompresibleesuncasoespecial ydegranimportanciaqueestudiaremosenestecurso.Laecuaciondeconservaciondemasa(1.1),comovimospreviamente,sereducea u = 0.Enconsecuencia,laecuacion(1.7)seconvierteenDuiDt= Fipxi+2ui.UsandonotacionvectorialquedaraDuDt= F p +2u,querecibeelnombredelaecuaciondeNavier-Stokesincompresible.Existen casos para los cuales la viscosidad es despreciable. En tales casos,seobtienelaecuaciondeEulerincompresible:DuDt= F p.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 19Sin embargo, cuando el ujo es muy viscoso; en otras palabras, es muygrande,tenemosF p +2u = 0,queseconocecomolaecuaciondeStokes.1.7. CondicionesdeFronteraParacompletarelplanteamientodeunproblemaespecco,senecesitasaber (osuponer) el comportamientodel uidoenlafronteradondeact uael ujo; esdecir, serequierenlasdescripcionesdel problemaenlasdistintaspartesdelafrontera,sinlascualesnosepodraresolverelproblemaespecco.Enestasecciontratamosloscasosmascomunesyclasicosdecondicionesdefrontera.1.7.1. SuperciesSolidasEsteesunodelostiposmascomunesdefronteraalaqueseexponeunaregiondeuido, seconocecomolaparedrgidaimpermeable. Lacondiciondeimpermeabilidaddeunaparedsereereaquenadadel uido debera traspasar la pared. Si la velocidad con la cual se muevelaparedesUyunapartculadeluidoquetocalaparedsemueveconvelocidad u,estacondiciondefronteranosindicaquelascomponentesnormalesdeambasvelocidadesdebenseriguales;as,setieneque u n =U n, (1.8)donde neselvectorunitarionormalalasuperciedelafrontera.Figura1.8:Vectornormalalasupercie.20 SaidKas-DanoucheAmenudo, seescogeunmarcodereferenciaparael cual lasfronterasquedanenreposo. Porlotanto,U=0, yestacondiciondefronteraseconvierteen u n = 0.En coordenadas cartesianas, con ynormal a la pared y, x y zen el planotangenciallocalalapared,seobtienev = 0.La condicion de no deslizamientoo condicion de adherenciase nalaqueentreunaparedrgidayeluidoqueentraencontactoconella, no hay velocidad tangencial relativa a ambas, lo que nos indica que u n =U n, (1.9)yenel casocuandoseescogeunmarcodereferenciaparael cual laparednosemueve;esdecir,U= 0,setiene u n =0, o u =w=0.Considerandoambascondiciones,(1.8)y(1.9),tenemos u =U.En coordenadas cartesianas y escogiendo un marco de referencia para elcuallaparednosemueve,obtenemosu =v =w=0.Lacondiciondefronteratotal sereereaquenohaymovimientorelativoentreunuidoylaparedconlacualentraencontacto.1.7.2. InterfacesdeuidosAqu consideremos z =(x, y, z) una supercie tridimensional como semuestraenlasiguienteguraIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 21Figura1.9:Superciez =(x, y, z).Digamosqueeluidodebajodelasupercielollamamosuido1yalqueseencuentraporencimadelasupercielollamamosuido2.As,todoparametroovariableconsubndice1correspondealuido1yconsubndice2,aluido2.Acontinuacionexplicamosalgunascondicionesrelacionadascon(x, y, z).1. Condicioncinematica:Si la interfaz, z =(x, y, t), esta en movimiento, podemos descri-birladeniendoF(x, y, z, t)=0, dondetrepresentatiempo, yFalgunafunciondetiempoyposicionencoordenadascartesianas,digamosF z (x, y, t)[8]. ComoF=0enlainterfazparatodos los tiempos, laderivadaconrespectoal tiemposiguiendounapartculamaterial enlainterfaz(laderivadamaterial)tienequesertambiencero.Porlotanto,0 =DFDt=Ft+ u F= t+ u(x, y, 1)= tuxvy+ w.22 SaidKas-DanoucheAssetiene,w =t+ux+vy.La condicion cinematica indica que no hay formacion de cavidadesenlainterfaz.2. Continuidaddelasvelocidadessobre:Estacondicionindicaque, aunquelosperlesdevelocidadesenel uido1yenel uido2sondiferentes, amboscoincidenenlainterfaz;esdecir u1= u2.3. Continuidaddelosesfuerzos:Cabese nalarqueelbalancedeesfuerzosestacaracterizadopor[ n. ]12= n(. n) ,donde [.]12representa la diferencia de la expresion encerrada por [.]deluido1menosladeluido2; =(ij)representaeltensordeesfuerzos; representalatensioninterfacial; n. representaelesfuerzo(fuerzaporunidaddearea)queejerceeluido2sobreeluido1yel queejerceel uido1sobreel uido2, seg unseaelcaso (generalmente tendra ambas componentes, la normal y la tan-gencial); n(. n)representalafuerzadelacurvaturanormalporunidaddeareaasociadaconlacurvaturalocaldelainterfaz; representalosesfuerzostangencialesasociadosconlosgradientesen la tension supercial. Esta ecuacion recibe el nombre de Ecua-ciondelBalancedeEsfuerzos. Ahora bien, en la interfaz estosesfuerzosnormalesytangencialesdebenbalancearse.a) BalancedelosEsfuerzosNormales(BENoNSBporsussiglaseningles):Aplicandoel productopuntodelaecuaciondel balancedeesfuerzosconlanormal n, sedesarrollael balancedeloses-fuerzosnormalesenlainterfaz:[ n n]12= ( n),IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 23dondeel ladoderechorepresentalafuerzadecurvaturaporunidaddearea.As,tenemos[ n n]12= _1R1+1R2_sobre z =(x, y, t),dondeesel coecientedetensionsupercial yR11yR12sonlascurvaturasprincipales.R1yR2sonlosradiosdecir-cunferenciascircunscritasalainterfaz.Punto sobre la supercieFigura 1.10: Radios de las circunferencias circunscritas en una supercie.Losesfuerzosnormalessonlascomponentesnormalesdelafuerza supercial que act ua a traves de un elemento de la su-percieplanaparalelaalosplanoscoordenados. El saltoenlosesfuerzosnormalesqueatraviesanlainterfazdebebalan-cearlafuerzadecurvaturaporunidaddearea.Observamosqueunasupercieconcurvaturanoceroexponeunsaltoenlosesfuerzosnormalesatravesdelainterfaz.b) Balancedelos Esfuerzos Tangenciales (BEToTSBporsussiglaseningles):DemanerasimilarqueenBEN,tomamoselproductopuntodelaecuaciondelbalancedeesfuerzosconelvectorunitariotangente,t, alainterfaz. De estamanera, se desarrollaelbalancedelosesfuerzostangencialesenlainterfaz:[t n]12= s t alolargodelasupercie,dondeteselvectorunitariotangencial(alasupercie)y seselgradientedesupercie.24 SaidKas-DanoucheElladoizquierdorepresentaelsaltoenlascomponentestan-gencialesdelesfuerzohidrodinamicoenlainterfaz,tienesologradientesdevelocidad, nohaypresion; porlocual si enellado derecho se tiene un sno cero en la interfaz del uido,estoconduciraamovimiento. El ladoderechorepresentalosesfuerzos tangenciales asociados congradientes en, comopodraresultardegradientesentemperaturaocomposicionqumicaenlainterfaz.Captulo2FlujosincompresiblesEn terminos generales, un ujo de uido es incompresible cuando su vo-lumennocambiaenel tiempo; porejemplo, loslquidos. Sinembargo,losgasescuandoestanexpuestosapresion(posiblementeporlaacciondereducirlasuperciedel envasequeloscontiene), cambiansuvolu-men(enestecasosecomprimen);porlocualsoncompresibles.Enestecaptuloestudiaremosalgunosujosincompresiblescomo,porejemplo,ujolaminar incompresibleyconnadoados capas, ujonoviscoso,entre otros.Tambien dedicamos una seccion para estudiarel n umero deReynolds.2.1. FluidoidealUnuidoideal esincompresibleynotienefriccion[33]. Suponerunuidocomoideal es util cuandose analizanujos enproblemas queconsiderangrandes cantidades de uido; por ejemplo, los mares. Unuidoidealsatisfacelassiguientescondicionesoecuaciones[33]:(a) Laecuaciondecontinuidadoconservaciondemasaparauidosincompresibles u =0,oux+vy+wz= 0.(b) La segunda ley del movimiento de Newton en cualquier punto y encualquierinstante.EstaleynoesmasquelaecuaciondeNavier-2526 SaidKas-DanoucheStokesparauidoscondensidadconstante:DuDt= p +2u+F.(c) El ujonopuedepenetrarningunafronterasolida, ni sepuedenformarvacosentrelafronterayeluido.2.2. FlujosidealesUnujoideal esaquel ujodeunuidoideal; enotraspalabras, eselujo de un uido que se asume que no tiene viscosidad; es decir, no tienefriccioninterna;porlotanto,nosoportaesfuerzoscortantesyuyesindisipaciondeenergay,porconsiguiente,nohayesfuerzostangencialesentredos capas vecinas. Aestetipodeujotambienseledenominaujonoviscosooujoperfecto. Hayproblemasquesesimplicanmucho cuando se considera que el uido bajo estudio es no viscoso o quesuviscosidadestanpeque naquepuedeserdespreciable. Sinembargo,hayquetenercuidadocercadelafronteradeluidopueslacapafron-terizatieneunainuenciaimportante.Asumirqueunujoesnoviscoso,porlogeneral,esvalidoenaquellosproblemasenloscualeslasfuerzasviscosassonpeque nascomparadascon las fuerzas inerciales. Cuando las fuerzas viscosas se consideran des-preciables, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplican y se conviertenenlasecuacionesdeEuler:DuDt= p +F.Unparametroadimensional que aparece enlaecuaciones de Navier-Stokes, se conoce conel nombre de n umerode Reynolds yrelacionalasfuerzasinercialesconlasfuerzasviscosasdel ujodeuido. Enlasiguienteseccionestudiaremosesteparametroycomosecaracterizanalosujosseg unelvalorquetome.2.3. Eln umerodeReynoldsLanaturalezadeunujodadodeunuidoincompresiblesecaracte-rizaporsun umerodeReynolds. Determinarsi el ujoesturbulentooIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 27laminar, osi tieneunatendenciadeturbulentoalaminaroviceversa,dependera del valor que tome el n umero de Reynolds asociado a ese ujo.ElirlandesOsborneReynolds(1842-1912)realizonotablescontribucio-nes en dinamica de uidos, y a el es que se debe la existencia del n umerode Reynolds. Se graduo de matematico en la Universidad de Cambridgeen1867. Estudiolascondicionesenlasqueunuidoconnadoenuncilindrocircularcambiabadesuestadolaminaral regimenturbulento.Eln umerodeReynoldsllegoaconocerseen1883cuandosepublicasuartculo[29].Reynolds llego a la conclusion de que si se tienen dos problemas de ujogeometricamentesimilares, estosserandinamicamenteidenticossiam-bos posean ecuaciones diferenciales generales equivalentes. He aqu don-de el n umero de Reynolds cobra importancia. Al re-escalar las unidadesdelongitud,detiempoydemasausandocantidadescaractersticasdelmismo problema dado, Reynolds obtuvo la expresion adimensional ul/igualparaamboscasos.Lavariableueslavelocidadcaractersticaquese describe usando la longitud y el tiempo caractersticos utilizados parahacerelre-escalamiento,esladensidaddemasayeslaviscosidad,ambasdadasporelproblema.Estaexpresionadimensionaleslaqueseconocecomoeln umerodeReynolds(Re).As,escribimosRe=ul.Cuando Re toma valores grandes, signica que al menos uno de (podransertodos)losterminosdel numeradortendra(n)quesergrande(s)encomparacionconel valordel denominador. Interpretandolodichopre-viamente, del numeradortendramosunagranextensiondeuido, al-tasvelocidadesyaltasdensidades; del denominadorseinducequelasviscosidades sonextremadamentepeque nas, ocombinaciones detalescantidades. Las variables del numerador estan relacionadas con las fuer-zasinerciales, estassoncausadasporlaaceleracionodesaceleraciondeluido. La variable en el denominador es el motivo de las fuerzas cortan-tes viscosas. De esta manera, el n umero de Reynolds puede considerarsecomolarelacionentrelasfuerzasinercialesylasviscosas.28 SaidKas-DanoucheEngeneral, amedidaqueel n umerodeReynoldscrece, laintensidaddelaturbulenciaaumenta.Cuandolosefectosinercialescomolosdelaviscosidadsonimportantes, el n umerodeReynolds(Re)tomavaloresintermedios. Porejemplo, encilindroscirculares(paraotrascongura-ciones,loquesiguevara)siRe< 2100signicaqueelujoeslaminar,si Re> 3000 signica que el ujo es turbulento. Para valores de Reentre2100 y 3000 decimos que el ujo esta en regimen de transicion, las capassevanondulandovariablementeeneltiempoperonosemezclan.Enconclusion, el n umerodeReynolds proveeunamedidausandolosresultados experimentales obtenidos conciertoujo, parapronosticarelcomportamientodeotrosujosdeuido.Sinembargo,todavanoseconoce a ciencia cierta el mecanismo y los motivos por los cuales un ujoeslaminaroturbulento.2.4. Flujoincompresible restringidopor pare-desEnestaseccionseconsiderael casodeujosdelimitadosporparedesdondelacapafronterizapuedetenerefectocompletamenteatravesdetodoelujo.Supongamosquetenemosunujohorizontal conunextremoinmersoenunembalse,comosemuestraenlasiguientegura:Longitud de transicinFigura2.1:Tubohorizontalconunextremoinmersoenunembalse.EnlaseccionAB,cercadelaentrada,queseraenrealidadlaconexionconelembalse,lavelocidadtieneunperl,atravesdelasecciontrans-versal, casi uniforme. En vista de que las moleculas del uido que tocanIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 29lapared, permanecenadheridasaella, el esfuerzocortantehacequeeluido se retarde cerca de la pared. Como consecuencia de la continuidad,despuesdeciertalongitud,sepuedeobservarquelavelocidadesmayorenlaregioncentral.Apartirdeesalongitudquellamaremoslongituddetransicion ydenotaremos porL, el perl delavelocidaddejadecambiar,puesahlosefectosdelaparedalcanzaronlalneacentraldelcilindro.La longitud de transicion depende del n umero de Reynolds; por ejemplo,Langhaar [22] en su investigacion logra desarrollar una formula, para unujoestacionarioenuntuborecto, enlacual relacionalalongituddetransicion,L,coneln umerodeReynolds,Re,comosigue:LD= 0,058Re,lacualcoincidemuybienconlosresultadosobservados.2.5. FlujocompletamentedesarrolladoSonaquellosujosquehanalcanzadounestadoenel cual superl develocidadnocambiamas amedidaque pasael tiempo; estodebido,principalmente,aquelosefectosdelasfronterasalcanzaronsulmite.A continuacion consideremos el ujo laminar completamente desarrolla-doentreparedesjasFigura2.2:Flujolaminarcompletamentedesarrolladoentreparedes-jas.Podemosobservarquelavelocidadsolodependedey;y,ademas,tieneunmaximoenel centroytomael valorceroenlasparedes. Ladistri-30 SaidKas-Danouchebuciondevelocidadessimetricaconrespectoal ejex. Laecuaciondemovimiento,usandolasecuacionesdeNavier-Stokes,vienedadapor:0 = dpdx+_d2udy2_,conu = 0paray= h,yu/y= 0paray= 0.Integrandolaecuacionanteriorconrespectoay,obtenemosdudy=dpdxy +A,yutilizandolacondiciondefronterau/y=0paray=0, seobtieneA = 0.Volviendoaintegrarconrespectoay,tenemos:u =12dpdxy2+B,y utilizando la condicion de frontera que nos queda, u(h) = 0, se obtiene:B= 12pxh2.As,lasoluciones:u(y) =12dpdx(y2h2).2.6. FlujodePoiseuilleEl ujo de Poiseuille es un ujo laminar completamente desarrollado quepuedeocurrir, bienseaentredosplacasrgidasjas, oenuntubodecorte transversal circular. El caso de ujo laminar entre dos paredes jasyalovimosenlaseccionanterior.Acontinuacionestudiaremosel casodel ujolaminardentrodeunci-lindrocircular,comosemuestraenlasiguientegura:Figura2.3:Flujolaminardentrodeuncilindrocircular.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 31Laecuaciondemovimiento,usandolasecuacionesdeNavier-Stokesencoordenadascilndricas,enestecasovienedadapor:dpdx+1rddr_rdudr_ = 0.Porlotanto,_d2udr2+1rdudr_dpdx= 0,considerando que la viscosidad, , es uniforme. Las condiciones de fron-teravienendadas por: u(R) =0y(u/r)(0) =0. Integrandoconrespectoar,obtenemos:rdudr=12dpdxr2+A.Usandolacondiciondefrontera(u/r)(0) = 0,seobtieneA = 0,ylaecuacionnosquedaconlaforma:dudr=12dpdxr.Volviendoaintegrarconrespectoar,tenemos:u =14dpdxr2+B,yusandolacondiciondefronteraquenosqueda,u(R) = 0,obtenemosB= 14dpdxR2.As,lasolucionquedaexpresadacomou(r) =14dpdx(r2R2).2.7. FlujodeCouetteSeg unlageometradelproblema,elujodeCouetteseclasicaendostipos: ujodeCouetterotatorioyujodeCouetteplano[28]. Enelprimercaso,elujoseencuentraentredoscilindrosconcentricosenlos32 SaidKas-Danouchecuales uno de ellos mantiene un movimiento rotatorio; el segundo ocurreentreplacasparalelasdondeunadeellassemuevelateralmenteensupropioplano.Enestecurso,trataremossoloelcasodeujodeCouetteentreplacasparalelas.FlujodeCouetteplano: Consideremos unujolaminar completa-mente desarrollado entre dos placas paralelas horizontales. SupongamosquelaplacasuperiorsemueveaunavelocidadconstanteUylaplacainferiorpermaneceja.Figura2.4:FlujodeCouetteentredosplacasparalelas.Enesteproblematenemosu = (u, 0, 0),conu = 0,queeslacomponen-tedevelocidadenladireccionxycambiadependiendodey, comosepuedeverenlaFigura2.4.Usando las ecuaciones de Navier-Stokes, obtenemos la siguiente ecuaciondemovimientoparaesteproblema:d2udy2=dpdx,conlassiguientescondicionesdefrontera: u=0paray=0, yu=Uparay= h.Resolviendo,demanerasimilaralosproblemasanteriores,obtenemos:u =Uhy +12dpdx(y2hy).Si suponemosqueU=0, el problemasetransformaenunproblemaparaujodePoiseuille,conu =12dpdx(y2hy),IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 33mostrandoclaramentequeelperldevelocidadesunaparabola.Si,porotrolado,suponemosquenohaygradientedepresion;esdecir,dp/dx = 0, entonces la distribucion de la velocidad, u, toma la forma deunalnearecta,comopodemosveracontinuacion:u =Uhy.2.8. Flujo laminar, incompresible y permanenteentreplacasparalelaseinclinadasConsideremos unuidoque permanentemente uye entre dos placasparalelas,inclinadasunanguloconrespectoalpiso.Supongamosqueel ujoes laminar, yquelaplacasuperior semueveaunavelocidadconstanteU. El casoespecial cuandoambasplacassonjasseobtienecuandoU 0.Figura2.5: FlujodeCouetteentredos placas paralelas inclinadas unangulorespectoalahorizontal.34 SaidKas-DanoucheAqu, u=(u, 0, 0), conu =0, representael perl delavelocidadenladireccionlycambiaseg unycambia.Tambien,F= (F1, 0, 0),conF1=g sin ; pero, delagura, sabemosque: sin = h/l. Deestamanera,tenemosF=_g sin , 0, 0_ =_hl , 0, 0_,donde= g.UsandolasecuacionesdeNavier-Stokes:_ut+uul+vuy+wuz_= ghl pl+_2ul2+2uy2+2uz2_,obtenemos:0 = hl pl+d2udy2;pero,p p(l)yh h(l) unicamente,entonces:d2udy2=ddl_p +h_.Ahora,integrandoconrespectoay,encontramos:dudy= y ddl_p +h_+A.Integrandounavezmasconrespectoay,obtenemos:u =12y2ddl_p +h_+Ay +B.Ahora, considerandolascondicionesdefrontera: u=0paray=0, yu = Uparay= a,tenemos0 = u(y= 0) = 0 + 0 +B, B= 0,U = u(y= a) = u =a22ddl_p +h_+Aa,A =aU a2ddl_p +h_.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 35Porlotanto,u =Ua y 12ddl_p +h_(ay y2),encontrandoloquebuscabamos.Ahora,siquisieramosconocerelcaudal,Q,quepasapormediodeunasecciontransversal ja, loquesehaceesintegrarauconrespectoayconsiderandotodaladistanciaentrelasplacas;esdecirQ =_a0udy =Ua2112ddl_p +h_a3.Por otrolado, parael casocuandolaplacasuperior nosemueve; esdecir, U=0, setienenlascondicionesdefrontera: u=0tantoparay= 0comoparay= a.Enestecaso,obtenemosB= 0yA = a2ddl(p +h).As,u =12ddl_p +h_(y2ay),Ejemplo2.8.1. Consideremos unaplacaquesemueveconrespectoalaotracomosemuestraenlagura2.6. Aqu =0,1N.s/m2y = 925Kg/m3.Hallarelperldevelocidadesyelcaudal.Solucion.36 SaidKas-DanoucheFigura2.6:Flujolaminarentredosplacasparalelasinclinadas.EnA : p +h = 1750 + 925 9, 806 3 = 29111, 5EnB : p +h = 600 + 925 9, 806 0 = 600, 0ddl_p +h_=600 29111, 5_(0 4)2+ (3 0)2= 28511, 55= 5702, 3.Delaguravemosquea = 0, 012m,U= 1, 2m/s,entonces:u(y) =Ua y 12ddl_p +h_(ay y2)=1, 20,012 y 12 0,1(5702, 3)(0,012 y y2)= 100 y + 342, 138 y 28511, 5 y2 u(y) = 242, 138 y 28511, 5 y2.Encuantoalcaudal,calculamoslaintegraldeuconrespectoayQ =_0,0120udy =_121, 069 y29503, 833 y3_0,0120= 0, 0010113 m2/s.Captulo3Movimientoirrotacional.TeoremasintegralesEnlaatmosfera,bajounregimenturbulento,sepuedeobservarlaexis-tenciaoapariciondeconmocionesatmosfericas,tempestadesy/oremo-linosdeescalasespacialesytemporalesmuyvariadas.Porejemplo,unodeestosfenomenosimportantesesel ciclon, caracterizadoporuncen-trodepresionyvientosquegiranasualrededor. Enestecaptulo, setratandoscantidadesfsicasrelacionadasconlarotacion, estassonlavorticidadylacirculacion.Elhechodequeenuncampovectorialaparezcanestructurasrotantes,conducealaintroducciondel operadorvectorial rotacional. Si enunaregionde uido, sus partculas rotanalrededor de uneje cualquiera,decimosqueestamosenpresenciadeunujovorticeoqueel ujoesrotacional. Si, porel contrario, laspartculasnorotandecimosqueelujoesirrotacional. Enmecanicadeuidos, al rotacional del campodevelocidadessellamavorticidad,queestudiaremosdeinmediato.3.1. VorticidadLavorticidades unacantidadque ayudaacuanticar localmente larotaciondeunuido.Enmatematicas,lavorticidad,w,deunuidose3738 SaidKas-Danouchedenecomoelcurldelvectorvelocidadu;esdecir,w = curl u = u.Enfsica, lavorticidadserepresentamedianteunvectorqueposeelamisma naturaleza que el vector de velocidad angular. El producto uvienedenidocomou =jkxyzu v w=_wy vz_ +_uz wx_j +_vx uy_k.Claramente,lascomponentesdewson:wx=wy vz, wy=uz wx, wz=vx uy.Muchosdelosproblemasaresolvercorrespondenaujosrotacionalesque se desarrollan dentro de cilindros o tuberas, en cuyos casos convieneusarcoordenadaspolarescilndricas:wr=1ruz uzw=urzuzrwz=ur+ur1rur .3.2. ElcasodeuidonoviscosoEnmuchoscasospracticoselpatrongeneraldeunujoestacompuestodedosregiones: lacapafronteriza, queeslaregiondel ujoquecon-tieneunaparteencontactoconlasparedesdel objeto, ylaregiondeujoexterno, quecorrespondeal ujofueradelacapafronteriza. Enlacapafronteriza, lasfuerzasviscosascobranimportancia, esenestaregiondondelavorticidadestapresente.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 39Unamaneraenlaquesepuedegenerarvorticidadesmedianteel con-tactodel uidoconlasfronterassolidas, al considerarlacondiciondenodeslizamiento. Por efectos delaviscosidad, lavorticidadsevadi-fundiendoamedidaque se vaalejandode lafronterahacialapartemas interna del uido; es decir, a medida que se aleja de la frontera soli-da y a causa de los efectos de la viscosidad, la vorticidad se va apocando.Apesardeque, desdeel puntodevistateorico, esposiblequeenunuidonoviscosoexistavorticidad, generalmente, podemos identicarregionesconviscosidaddespreciableyquesatisfacenlascondicionesdeujoirrotacional[21];esdecir,espaciosdelujodondelavorticidadwllegaasercero.Enlaregiondeujoexterno, laviscosidadesdespreciableyel ujoescasi irrotacional encaracter. Enestecaptulo, consideramoslaregiondeujoexterno, dondelasfuerzasviscosassondespreciables. EstonosllevaaestudiarlaecuaciondeEulerenlasiguientesub-seccion.3.2.1. Laecuaci ondeEuler:En el captulo 1, derivamos la ecuacion de Euler (1.8), para el movimien-todeunuidonoviscoso[32],lacualre-escribiremosacontinuacion:DuDt= p +F. (3.1)Podemos expresar la fuerza corporal, F, como el gradiente de un poten-cialescalar;as,F= ,ylaecuaciondeEulertomalaforma:DuDt= 1p. (3.2)Porotrolado,siconsideramoslaidentidad:(u ) u =12_u2_u curl u, (3.3)40 SaidKas-Danoucheyenvistadequelavorticidadsedenecomow=curlu, laecuaciondeEuler(3.2),usando(3.3)yladeniciondederivadatotalDuDt=ut+ (u ) u,quedaexpresadadelasiguientemanera:ut+12_u2_u w = 1p. (3.4)Enlastressiguientessub-seccionesanalizaremosloscasosdeujos:es-tacionario,irrotacional,ylacombinaciondeambos.3.2.2. Casodeujoestacionario:Decimosqueunujoesestacionariocuandonocambiaeneltiempo,loque signica que su perl de velocidad es siempre el mismo; as, se tieneu/t = 0,ylaecuacion(3.4)tomalaexpresion1p +_u22_+ = u w. (3.5)El producto uwes una cantidad vectorial, que es siempre perpendicu-lar al vector velocidad u. Lo que nos indica que, si integramos la ecuacion(3.5)alolargodeunalneadecorriente, siguiendoel movimientodeluido, que en este caso esta bajo condiciones de ujo estacionario, no ob-tendremos contribucion alguna del lado derecho. Por lo tanto, al integrar(3.5)siguiendounalneadecorriente,resultalasiguienteecuacion_1dp +12u2+ = constante, (3.6)dondelaconstanteseproduceseg unlalneadecorrientealolargodelacualseintegre.Supongamos que la fuerza corporal Fen la ecuacion (3.1) corresponde alafuerzaprovocadaporlagravedadterrestre.Enestecaso,elpotencialescalar quedara representado por gz, y (3.5) se transforma en la muyIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 41conocida ecuacion de Bernoulli para ujos no viscosos que se desarrollanalolargodeunalneadecorriente:_1dp +12u2+gz = constante,conlaconstante que viene de lalneade corriente que se sigue. Si,ademas,ladensidadesconstante,obtenemoslaecuacion1p +12u2+gz = constante.Esinteresantesaberquesucedecuandonohayvorticidadenelsistemaqueseestaestudiando.Estoesloqueestudiaremosenlasiguientesub-seccion.3.2.3. Casodeujoirrotacional:Unujoes irrotacional cuandosuvorticidad, w, es ceroentodos lospuntos del uido. Hayproblemas que tienenvorticidad; pero, es tanpeque naquesedespreciayel ujoseconsiderairrotacional. Enestasituacion,laecuaciondemovimientodeEuler,(3.4),setransformaen:ut= 12_u2_ 1p. (3.7)Si consideramos que tratamos conuidos incompresibles; es decir, es constante, laecuacionanterior sepuedefactorizar conrespectoaloperador yquedaraexpresadadelasiguientemanera:ut= _1 p +12 u2+_.Hasta aqu hemos visto lo que sucede si el ujo es estacionario o si el ujoesirrotacional.Sinembargo,haycasosenloscualeselujoesalavezirrotacionalyestacionario,estoesloqueestudiaremosacontinuacion.3.2.4. Casodeujoestacionarioeirrotacional:Yahemoshemosdichoqueunujoesestacionariocuandonocambiaenel tiempo; esdecir, superl develocidadessiempreel mismo, yes42 SaidKas-Danoucheirrotacional cuandosuvorticidad, w, es ceroentodos los puntos deluido. Bajoestas consideraciones, laecuaciondeEuler (3.4) tomalaforma:1p +_12 u2_+= 0.Si, ademas, el uidoesincompresible, laecuaciondepuedefactorizarconrespectoaloperador ,quedando:_1 p +12 u2+_= 0. (3.8)Elpaso siguiente es integrar la ecuacion(3.8),lo que resulta enla ecua-cionparaujoirrotacionalincompresibleestacionario1 p +12 u2+ = constante, (3.9)dondelaconstanteenestecasoeslamismaparatodaslaslneasdecorriente. Yunavezmas, si lafuerzacorporal es producidasoloporlagravedad, entoncesel potencial escalarseraigual agzy(3.9)setransformaenlafamosaecuaciondeBernoulli:1 p +12 u2+gz = constante,dondelaconstanteeslamismaparatodaslaslneasdecorriente.3.3. FlujoirrotacionalypotencialdevelocidadentresdimensionesAquseestudialarelacionquehayentreunujoirrotacionalylaexis-tencia de un potencial de velocidad. Para ello denimos, a continuacion,loqueesuncampovectorialconservativo.Denicion3.3.1. Uncampovectorial usedescribeenterminosma-tematicos comoconservativosi el vector usepuedeexpresar comoelgradientedeunpotencial escalarcuyovalordependesolodel vectorposicionr.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 43No es difcil probar que si u = , entonces curl u = 0, y viceversa. As,cuandoestudiamosunujoirrotacional,dondetenemoscurl u = 0pordenicion, entonces la velocidad la podemos denir como el gradiente deunpotencialdevelocidad.Engeneral,porconvenienciaintroducimosunsignonegativotal quecuandoungradientedecaeproduceunvalorpositivo para la velocidad u, y as denimos el potencial velocidad comou = . (3.10)Deestamanera, laecuaciondecontinuidadparaujoincompresible,divu = 0 o u = 0,seconvierteenlaecuaciondiv = 0.Esta ecuacion se puede re-escribir, usando la notacion div = 2, como2 = 0,lacualesmuydifundidayampliamenteconocidayaplicada,laecuaciondeLaplace.Entonces, en que consiste hacer un analisis matematico de un ujo irro-tacional?ConsisteenencontrarsolucionesalaecuaciondeLaplacequesatisfaga ciertas condiciones de fronteras que esten bien especicadas enel problema a resolver. Por ejemplo, se podra considerar la aplicacion dela condicion de frontera en la cual, para todos los puntos de una super-ciesolida,lacomponentedevelocidaddeluido,normalalasuperciedel mismo, seacero; pero, conestacondicionnopodemossatisfacerelrequisitodenodeslizamientoenlasuperciesolida.Esascomo,alresolverlaecuaciondeLaplace,loquerealmentehace-moseshallarunadistribuciondevelocidadquesatisfagalaecuaciondecontinuidadqueconllevaensvorticidadigualacero.Siqueremosencontrarocalcularladistribuciondepresioneneluido,entoncesloquehayquehaceresresolverusandolaecuaciondeEulerodeBernoulli.En fsica matematica, la ecuacion de Laplace aparece en muchas ocasio-nespueseslaecuaci onbasicaquegobiernaladistribucionespacialdelpotencial enlateoraelectrostatica, magnetismoycamposgravitacio-nalesnewtonianos.44 SaidKas-Danouche3.3.1. Analogaentreujodeuidoirrotacional yelec-trostaticaPara lograr entender mejor los ujos irrotacionales, se ha observado queexisteunafuerteanalogaentre estosylaelectrostatica,queestudialasinterrelaciones entre cargas electricas en reposo. Para ello se introduce elconcepto de un punto fuente lo cual es el equivalente a un punto de carga.Envistade que lamasa, normalmente nose puede crear odestruir,entonces un punto fuente o sumidero no podra, normalmente, existir enel mundo fsico real. As que, el enfoque mas proximo a un punto fuente,enel ambitodeingeniera, serauncapilardediametroinnitesimal atraves del cual sale uido bajo presion a un peque no distribuidor esfericoysumergidoenel uido; sinembargo, esteconceptopresentaalgunasdicultadesobvias. Apesardeello, si seasumequetal fuentepudieraexistir con una razon de ujo de volumen Q m3/s y que se tiene simetraesferica, lavelocidadradial conlaquelafuenteemiteel uidotendralaexpresionur=Q4r2, (3.11)dondelavariablercorrespondealadistanciaradialquesemidedesdeelpuntofuente.Porcierto,esteresultadovienedebidoaqueelareadelasuperciedeunaesferaderadiores4r2.Como, bajo condiciones de ujo irrotacional, la velocidad esta relaciona-daconelgradientedelpotencialmedianteladenicion(3.10),laecua-cionparalavelocidadradial,(3.11),puedeserre-escritacomosigue:r= Q4r2. (3.12)Ahora,paraobtenerelpotencial,,integramos(3.12)conrespectoar,yobtenemos =Q4r+C,dondeCeslaconstantedeintegracion. Considerandoel potencial develocidad igual a cero cuando el radio es innito, se llega a la conclusionIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 45dequeC= 0;as,tenemosqueelpotencialdevelocidadparaunpuntofuentevieneexpresadopor =Q4r. (3.13)Enlateoradeelectrostaticaseobtieneunresultadomuysimilar,peroreemplazando la cantidad Q/(4) con la carga electrostatica e. Si segui-moslaanaloga, lacantidadQ/(4)enlaecuacion(3.13)seconoceracomolafuerzadelafuente.Si en la ecuacion del potencial de velocidad para un punto fuente (3.13),seintroduceunsignonegativo,obtenemoslafuncionpotencialparaunpuntosumidero. Las fuentes ylos sumideros sepuedencomparar, enelectrostatica, conlas cargas positivas ynegativas; lacombinaciondeunafuenteyunsumidero, aunadistanciapeque naxentreambos, essimilaraundipolo. Enelectrostatica, el momentodeundipolosede-necomoelproductodelacargaeyladistanciadeseparacionx.Demanerasimilar, lamagnitudmdeundipoloodobleteenunujodeuidoslapodemosdenircomoelproductoQx4.Fuente SumideroFigura3.1:Dipolo:unafuenteyunsumidero.Ahora, esimportantepoderdenirlafuncionpotencial paraundipo-lo. Sepuederepresentarporlasumadel potencial delafuentemasel46 SaidKas-Danouchepotencialdelsumidero,ysepuedeexpresardelasiguientemanera: = 1 +2=Q4r1+_Q4r2_ =Q4_ 1r11r2_=mx_ 1r11r2_.Observandoenlasiguientegura,encontramosquer2= r1x cos ,Figura3.2: Relacionentre las distancias radiales de unafuente yunsumidero.Si a medida que hacemos decrecer x, incrementamos Q de tal forma queel valordempermanezcaconstante, setienequelafuncionpotencialparaundipolosepuedetransformaren =Q4_ 1r11r2_ =mx_ 1r11r2_=m(r1r2)/ cos _r1r2r1r2_= mcos _1r1r2_,si,ademas,suponemosquer = r1= r2,entoncesobtenemos = mr2cos ,ytambienrecibeel nombredefuncionpotencial paraundobletedemomentomqueseencuentraubicadoenelorigen.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 47PatronesdeujoaxisimetricotridimensionalEnestaseccionseestudiacomo, combinandofuentes, sumiderosydo-bletesconmovimientosdecorrienteuniformeparalelosal eje, puedenconstruirsegracamenteciertos patrones deujos axisimetricos tridi-mensionales.La funcion potencial para una corriente uniforme de izquierda a derechaparalelaal ejexserepresenta, sinperdidadegeneralidad, como=U0x,dondeU0eslavelocidaddelacorriente.Figura3.3:VelocidaddecorrienteU0.Deestamanera, = U0r cos .3.3.2. CorrienteuniformeenpresenciadeunafuenteenelorigenConsideremosunujouniformequesemuevehaciaelorigen,puntoenel cual se encuentra con una fuente, como se ilustra mediante la siguientegura,48 SaidKas-Danoucherazn delujo devolumenLa velocidad de la fuente yla velocidad de la corriente se igualan.Figura3.4:Corrienteuniformeconunafuenteenelorigen.Estacombinaciondeunacorrienteuniformeconunafuente,nosdaunpotencialdevelocidadquesepuedeexpresarmediantelaformula = U0r cos +Q4r.Deahque,lacomponenteradialdelavelocidad,ur,enunpuntode-nidoporlascoordenadasesfericasr, , quedaraexpresado, despuesdederivarconrespectoar,delasiguienteformaur= r= U0 cos +Q4r2. (3.14)ObservandoconcuidadoenlaFigura3.4,enelpuntoE,tenemosU0= rr=a=Q4r2r=a=Q4a2 a =_Q4U0.Enlamismagura, =0deneel ejedesimetraparapuntos aladerechadel origeny=deneel ejedesimetraparapuntosalaIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 49izquierdadelorigen.As,sievaluamosur,usandolaecuacion(3.14),enel puntoE; esdecir, evaluamoslavelocidadradial enel puntoE, queseencuentraubicadosobreel ejedesimetradeterminadopor=yr = a,seobtiene:ur(r = a, = ) = U0 cos +Q4a2ur(a, ) = U0 +Q4Q4U0= U0 +U0= 0,resultadoquecoincideconloqueseesperaba.Si volvemos a la Figura 3.4, notaremos que se forma una envolvente conlalneasdecorrienteseparadas. Estaenvolventeseparael ujodevo-lumenasociadoconlacorrienteuniformedel ujodevolumenqueseoriginadelafuente.Envistadequenopuedehaberujoquetraspaselaenvolvente, enteora, estasuperciesepodrareemplazar por unafronterasolidayasumiendoquelacondiciondenodeslizamientoenlafronteranosesatisface.Porotrolado, podemoscalcularel diametro, d0, delaenvolvente; ob-servemosqueaciertadistanciasucientecorrienteabajo, laslneasdecorriente comienzan a ser nuevamente paralelas; dentro de la envolvente,lavelocidaddel uidodebeserigual alavelocidadU0delacorrienteprincipal,queeslaqueestafueradelaenvolvente.Esascomosetiened0= 2Rsin

.As, para obtener el patron de ujo teorico para otros problemas, es posi-ble usar un procedimiento similar. Por ejemplo, lograr obtener el patrondeujoparaunacorrienteuniformequeuyepasandouncuerpoderevoluciondeformaovalada. Estoesposiblelograrlosi combinamoselpotencialdevelocidadparaunafuenteyelpotencialdevelocidadparaunsumidero, localizadosaunadistanciadeseparacionnitasobreeleje,conelpotencialdevelocidadparaunacorrienteuniforme.Si hacemostenderaceroladistanciaentrelafuenteyel sumidero, elproblemase convierte enel problemalmite de unujode corriente50 SaidKas-Danoucheuniformeconundobletedemagnitudmenel origenyparael cual lafuncionpotenciales = U0r cos mr2cos . (3.15)Deestamanera, lacomponenteradial develocidad, ur= /r, sepuedehallarusandolaexpresionparaen(3.15),obteniendour= _U0 cos +2mr3cos _=_U02mr3_cos ,para cualquier punto (r, ) en el ujo. En terminos generales, ur sera cerocuandoU02m/r3= 0;esdecir,cuandor r0=_2mU0_1/3.La interpretacion de lo anterior indica que a traves de la supercie esferi-caderadior0, el ujoesnulo; porlotanto, el potencial develocidadparaundobletequehallamos,yqueestadadopor(3.15),secumpleosesatisfaceparavaloresdermayoresquer0;enotraspalabras,corres-pondealpotencialdevelocidadparaelujodeunacorrientedeuidonoviscosoideal quepasaunaesferaderadior0. EnlasiguienteguraseilustraelpatrondedichoujodobleteFigura3.5:Flujodeuidonoviscosoquepasaunaesferaderadior0.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 51Alsustituirm =U0r302,enlaecuacion(3.15),obtenemos: = U0r cos U0r302r2cos = U0r_1 +12r30r3_cos .Paraujosdeuidoconn umerodeReynoldsgrandeyquepasanunaesfera, la expresion en la ecuacion anterior es un modelo que genera lneasdecorriente, cuyopatroncoincidemuybienconlaslneasdecorrienteobservadassobrelamitadfrontaldedichaesfera.3.4. Circulaci onEndinamicadeuidos, lacirculacionesel ujoentornoaunacurvacerrada.Enterminosfsico-matematicos,sepuededenircomolainte-gral de la velocidad a todo lo largo de la curva e integrada alrededor delcircuitoqueencierraelareapordondepasaeluido;enotraspalabras,eslaintegral delnea, tomadaalrededordelacurvaqueacotael areadel uido, de la componente de la velocidad tangente a la curva; y usual-mente, sedenotapor. Entonces, alrededordecualquierciclocerradoeneluido,lacirculacionsedenecomo =_u dl =_curl u ds =_w ds.Estaintegral,porconvencion,sellevaacaboenelsentidoantihorario;esdecir, contrarioal delasagujasdel reloj. Si serealizaenel sentidode las agujas del reloj, entonces a la integral se le agrega un signo menos.Rotacion, comolaespecicalavorticidad, corresponde acambiar laorientacionenespaciodelapartculadel uidoynoel movimientodeuna partcula sobre un camino cerrado. Puede ocurrir que cada partculadeunuidosemuevaalrededordeuncaminocircular; pero, suvorti-cidadseacero.Otrocasoesque,cadapartculadeluidosemuevaenunalnearectaperoteniendovorticidad.52 SaidKas-DanoucheLa existencia de lneas de corriente cerradas en un patron de ujo implicaquehayciclosparaloscuales =0; as, el ujonoesirrotacional entodas partes. Sin embargo, un ujo sin lneas de corriente cerradas puedeenvolvercirculacion.Esquem aticamentetenemos:lneasdecorrientecerradas circulacioncirculacionlneasdecorrientecerradas3.5. TeoremadecirculaciondeKelvinLacirculacionalrededordeunciclolodenimosporlaecuacion =_u dl.Podemosconsideraruncicloqueconsistecontinuamentedelasmismaspartculasdeuido;esdecir,cadaelementodl seestamoviendoconeluido. Tal ciclo lo llamamos un ciclo material. El teorema de circulacionde Kelvin asegura que para cualquier ujo gobernado por la ecuacion deEuler,lacirculacionalrededordeunciclomaterialseconserva.EstosepuedeescribircomoDDt_u dl = 0,dondeelsignicadodeloperadordiferencialDDthasidoligeramenteex-tendido de su aplicacion en un simple punto a indicar que cada punto delcicloseestamoviendoconeluido.Hayqueresaltarque,enunuidoviscosolacirculacionalrededordeunciclomaterial nonecesariamenteseconserva.Captulo4FlujosbidimensionalesEnlanaturaleza que nosrodea,nos movemos enelespaciotridimensio-nal y, por supuesto, por este motivo los ujos son basicamente tridimen-sionales; sin embargo, en ingeniera hay muchos casos en los cuales el ujotieneuncaracterquerazonablementesepodraconsideraraproximada-mentebidimensional. Esaqu dondesehaceusodel analisiscomplejocontodassusaplicacionesposiblespararesolverlaecuaciondeLaplaceendosdimensiones:2x2+2y2= 0,lo que nos dice que es armonica. Recordemos que esta ecuacion provie-ne de la ecuacion de continuidad cuando los ujos son incompresibles; esdecir, divu = 0 para u = grad , donde es el potencial de velocidad.4.1. FuncioncorrienteEn esta seccion introducimos la funcion corriente para entender el patronde un ujo. As que, primero denamos la funcioncorriente,, comoaquellaquesatisfacelasigualdadessiguientes:u = yy v=x.5354 SaidKas-DanoucheBajo estas condiciones, la funcion funcion corriente satisface la ecuaciondecontinuidadux+vy= 2xy+2yx= 0,sin importar si el ujo es irrotacional o no. Considerando que el ujo seairrotacional,lavorticidaddebeserceroencadapunto;as,tenemoswz=vx uy= 0,paraelcasobidimensional.Conesto,concluimosque,sielujoesirro-tacional,2x2+2y2= 0,esarmonica, loqueindicaqueestagobernadaporlabienconocidaecuaciondeLaplace. Estafunciontomaunvalorconstantealolargodeunalneacorriente, yporestarelacionquetieneconlaslneasdecorrienteesquerecibeelnombredefuncioncorriente.Dibujando lneas que concuerden con la direccion que tienen los vectoresencadapuntodelcampodevelocidad,enuninstantedetiempot,ob-tenemosprecisamenteunconjuntodelneasdecorriente.Sabemosque,pordenicion,ning unujopuedeatravesarunalneadecorriente.El dibujo obtenido de las lneas de corriente para un tiempo particular tnospresentaraelpatrondelujoinstantaneo,elcualcambiaamedidaque el tiempocambia, amenos que el ujoseaestacionario; yparaestecasoenparticular,elpatrondelaslneasdecorrientesemantieneidenticoconel pasodel tiempo. Laecuacionbasicaparaunalneadecorriente[33]esdxux=dyuy=dzuz.Sielujoesestacionario,lafotografadelaslneasdecorrienteperma-necesincambioalpasareltiempoylaslneasdecaminodeelementosIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 55individualesdeluidocoincidiranconlaslneasdecorriente.Entonces,aquobtenemosdxu=dyvvdx = udy.As,alolargodeunalneadecorrientetenemosque:d=xdx +ydy= vdx + (u)dy= 0;esdecir,esconstante.Ademas,obtenemoslasecuacionesdeCauchy-Riemannu = x= y, v= y=xque,encoordenadaspolares(r, ),tomanlaformavr= r= 1r , v= 1r=r .Como la vorticidad en cualquier punto en el ujo debe ser perpendicularalalneadepotencialconstantequepasaportalpunto,laslneasdecorrienteylaslneasequipotencialesdebenformarunconjuntoortogo-nal decurvasqueseintersectanunasaotrasenangulosrectos. Enlasiguienteseccion, nosintroduciremosenlosn umeroscomplejosconlanalidaddedenirelpotencialcomplejo.4.2. PotencialcomplejoA partir de este momento es necesario introducir un cambio de notacion.Enestecaptuloestaremostratandoexclusivamenteconujosbidimen-sionales. As que, nousaremos laletraz comolaterceracoordenadacartesiana, sinoqueladesignaremospararepresentaral n umerocom-plejodenidoporz= x +iy, (4.1)dondeel smboloidenotalarazcuadradademenosuno, (i=1).Encoordenadaspolaresseraz= r(cos +i sin ) = rei. (4.2)56 SaidKas-DanoucheConel ndevisualizarlasdistribucionesdelasfuncionesdecorrienteydelpotencialdevelocidad,seacostumbracrearunareddeujocom-puestaporunafamiliadelneas(oniveles)deconstanteylneas(oniveles)deconstante.Figura4.1:Reddeujo.Unalnea(onivel)deconstanteseconocecomounalneaequipoten-cial.Unalnea(onivel)deconstanteestangentealvectorvelocidadencualquierpuntoysiempreintersectaraunalneaequipotencial for-mandoangulosrectos.Denamos el potencialcomplejo de un ujo, bajo condiciones de ujoirrotacionalbidimensional,como:W= +i,queesunafuncionanalticadel n umerocomplejozdenidopor(4.1)o(4.2).En consecuencia, Wtiene una unica derivada con respecto a zen regio-nes donde las condiciones de Cauchy-Riemann se satisfacen. Si tomamosIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 57zparaleloalejey,entoncesz= iyy,porlotantodWdz=iy+iiy= iy+y= (u iv).Porotrolado, si tomamoszparaleloal ejex, entoncesz=xy,portantodWdz=x+ix= (u iv).Luego,larapidezestadadaporq =_u2+v2=dWdzEjemplo4.2.1.ConsideremoselcasodeunalneafuentebidimensionalLneas de corrienteFigura4.2:Lneafuentebidimensional.58 SaidKas-DanoucheLa lnea fuente localizada en el origen en el plano z se asume que emite unujodevolumen,porunidaddelongitud,deQm2/s.As,lavelocidadradial enel radior, ur, porlalongituddearcodel crculoderadioresigual al ujodevolumenporunidaddelongitudQ=2rur; porlotanto,r ur=Q2r.Estolopodemosintegrardirectamentenotando,delasimetradeldia-grama,queesunafunciondersolamente,as: = Q2 ln r +C(r = r0) = 0 C= 0 +Q2 ln r00 =Q2 ln_rr0_,ysihacemos(r = r0) = 0,elpotencialdevelocidadestaradadopor: = Q2 ln_rr0_.Podemosextenderesteresultadoexpresandoel potencial complejoWcomolafuncionequivalentedelavariablecomplejaz= rei;esdecir,W = Q2 ln_ zr0_y,porlotanto +i = Q2 ln_reir0_ = Q2_ln_rr0_+i_.Ahora, si igualamos las partes reales obtenemos lo que ya tenamos antes: = Q2 ln_rr0_,parael potencial develocidady, si igualamos las partes imaginarias,obtenemosparalafuncioncorriente: = Q2,lo que conrma que las lneas de corriente son lneas radiales que emanandelafuentecomoseveenlaFigura4.2.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 594.3. AplicacionesconformalesConsideraremosqueelplanocomplejozrepresentaelplanofsicoenelcual el ujo se desarrolla; es decir, el plano donde las lneas de corriente =constantecorrespondenacurvasenelplanocomplejoz= (x, y).Consideremos ahora, el planoF, donde F =(, ) =+i; aqu,comosepuedenotar, yformanunaredrectangular. Ahorasurgelapregunta: Seraposible pasar del planoz aotroplano, medianteunatransformacionqueresguardelanaturalezaortogonal dey?Supongamos una transformacion que lleva elementos del plano z al plano= +i,yquetengalaforma= f(z). (4.3)Porsupuestoque, si sebuscantransformacionesconlascualessepue-dan lograr ujos con patrones complicados a partir de ujos con patronessencillosyconocidos,facilitaraladescripcionenelplanodelujomascomplicado. As, digamos que hallamos funciones apropiadas de la forma(4.3) con las cuales, a partir de F(z) con un patron mas sencillo, se logradescribirenelplanounujoF()cuyospatronessonmascomplica-dos. Ilustraremosloanteriorconel siguienteejemplo: consideremoslatransformaciondescritaenlaFigura4.3PlanoFigura4.3:Mitadsuperiordelplano.Sepuedeobservarque,mediantelatransformacion= z,60 SaidKas-Danouchedonde el origen esta excluido, se puede transformar la mitad superior delplanoenunsectordel planoz, comosepuedeobservarenlaFigura4.4.PlanoFigura4.4:Sectorenelplanozqueseobtienealusarunatransforma-cion.Ahora, consideremos laexistenciade unujouniforme que viajadeizquierdaaderechaenelplano,loqueindicaqueF = U0= U0( +i) = U0 iU0;perotambiensetieneque,enelplanozF = U0= U0z= U0rei= U0rcos() i U0rsin()= x +iyyseracomosemuestraenlaFigura4.4,querepresentaaunujoquepasaporunaesquina.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 614.4. Potencial complejo para algunos ujos sim-plesEnlateoradeujopotencial, unadelasherramientasmaspoderosaslaconstituyeel metododevariablescomplejas. Estemetodoformalabase de aerodinamica subsonica. A traves de transformaciones sucesivasdepatronesdeujossimplesenpatronesdeujosmascomplejos, confrecuenciaesposibleelaborarel ujoalrededordeobjetostalescomocilindros,alasdeavion,entreotros.Algunospotencialescomplejosderelevanciaseranmencionadosenestaseccion, presentando descripciones de sus patrones de ujo. Cabe desta-carque,lospotencialescomplejossepuedensuperponerparaobtenerogenerarvariospatronesdeujos.4.4.1. ElcampodeujouniformeEl potencial complejo para un ujo uniforme U0ya lo hemos establecidopreviamente;tienelaforma:F = U0= U0z= U0(x +iy) = +i,dondeseconsideraqueel ujouniformeU0vaparaleloal ejexydeizquierdaaderecha. Igualandolaspartesimaginariasyreales, corres-pondientemente,tenemos = U0x y = U0y.4.4.2. FuentesysumiderosSupongamos que una fuente tiene esfuerzo Q, entonces su potencial com-plejovieneexpresadocomoF = Q2 ln z= Q2 ln_rei_= Q2 (ln r +i) .Deestamanera,correspondientementetenemos = Q2 ln r y = Q2.62 SaidKas-DanoucheEnel casodeunsumidero, lasexpresionessonigualesal casoconunafuente,soloquecambiandesigno;as,tenemosF =Q2 ln z=Q2 ln rei=Q2 (ln r +i) .Porconsiguiente,obtenemos =Q2 ln r y =Q2.4.4.3. DipoloodobleteParaestudiarestecaso, inicialmenteconsideremosqueenel puntoA,ubicadoenz =aei, hayunafuentedeesfuerzoQyenel puntoB,ubicado en z= aei, hay un sumidero de esfuerzo Q, como se muestraenlaFigura4.5FuenteSumideroFigura4.5:Fuenteysumideroparaformarundipolo.Aqu,elpotencialcomplejoparaelujosuperpuestodefuenteysumi-derovieneexpresadocomolasumadelospotencialescomplejosdelaIntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 63fuenteydelsumideroF = Q2 ln(z aei) +Q2 ln(z +aei).Ahora,cuandoAyBsevanaproximandoelunoalotro,elujolmitecuandoa 0;esdecir,cuandoAyBcoinciden,esF=meiz,dondem=Qa/=constantea uncuandoa 0. Cuandoa 0,Q ylma0Qa= m,elesfuerzodeldipolo.Los patrones del ujosoncrculos anidados (oencajados) tantoparalneas decorrientecomoparael potencial develocidad, comosepuedeobservarenlaFigura4.6constanteconstanteconstanteconstanteFigura4.6:Patronesdeujodeundipolo.64 SaidKas-DanoucheAhora,F =meiz=mcos +imsin x +iyx iyx iy=m(cos +i sin )(x iy)x2+y2=mxcos +my sin +im(xsin y cos )x2+y2;porlotanto, =m(xcos +y sin )x2+y2y =m(xsin y cos )x2+y2.Aqu,yrepresentancrculostangentesalorigen.Sisuponemosqueelangulodeinclinacionescero, = 0,obtenemos =mxx2+y2y= myx2+y2.4.4.4. VorticepotencialPrimero,revisemosalgunasdeniciones:Deniciones 4.4.1. Unalneadevorticesedenecomounalneadibujada en el uido tal que la tangente en cualquier punto tiene la mis-madirecciondel vectorvorticidadenesepunto. Unalneadevorticemantieneunarelacionconelvectorvorticidadwcomounalneadeco-rrienteconelvectorvelocidadu.Si atravesdecadapuntodeunacurvacerradapeque nadibujamoslalneadevorticecorrespondiente, formamos untuboel cual llamamostubodevortice.Eluidocontenidodentrodeuntubovorticecuyaareadelcortetrans-versal es innitesimal constituye lo que se llama un lamento de vorti-ce.Parael vorticepotencial, el potencial develocidadylafunciondecorrientevienendadaspor = 2 y =2 lnrr0IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 65constanteconstanteFigura4.7:Potencialdevelocidadyfuncioncorrientedeunvortice.El termino/2se conoce comoel esfuerzodel vortice. As que, demanerasimilar,elvorticepotencialcomplejoesF = i2 lnzr0= i2 ln reir0= i2_lnrr0+i_= 2 +i2_lnrr0_.4.5. SuperposicionUnadelaspropiedades utilesdelosujospotencialesseraaquellaquenospermitiera, medianteel usodeujospotencialessimples, analizarujos potenciales complicados.Esta se llama la propiedad de superposi-cion[16],yconsisteenlacombinaciondevariosujospotencialesparaobtenerunonuevoqueseguirasiendounujopotencial.Comoejemplodesuperposiciondedosomasujospotencialesexaminaremoselujo66 SaidKas-DanouchefuentesumideroFigura4.8:OvalodeRankine.llamado ovalo de Rankine. Una fuente y un sumidero de igual esfuerzosecolocanequidistantesdel origensobreel ejexenunujouniformeU0 x; aqu x = (0, 0, 1). Todo el uido que emana de la fuente lo absorbeel sumidero, y hay una lnea de corriente divisoria denida entre el uidode corriente uniforme y el uido que se transere de la fuente al sumidero.Estalneadecorrientedivisoriasepuedeconsiderarcomolasuperciedelasecciontransversal deuncilindrodeformaovalada. Lasuperpo-siciondeestosujosnosdarael ujoexternoalrededordeuncilindroovalado. Combinando muchas fuentes y sumideros podramos obtener elujo aproximado alrededor de un cilindro con forma arbitraria, simetricoalrededordelejex.ParaelcasodelovalodeRankine,tenemos: = U0x Q2 ln r1 +Q2 ln r2 = U0y Q21 +Q22.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 67As,tenemosque = U0x Q2_ln_(x +a)2+y2_1/2ln_(x a)2+y2_1/2_= U0x Q4 ln (x +a)2+y2(x a)2+y2, = U0y Q2_arctan_yx +a_arctan_yx a__.Enlasiguiente seccionestudiaremos unprocedimientoparaestudiarsuperposiciones,sedenominaelmetododelasimagenes.4.6. ElmetododelasimagenesSi en un ujo pudieramos hacer coincidir una lnea de corriente constan-te, , con una frontera, entonces podramos especicar el ujo a lo largodedichafrontera.Ademas,cuandosetieneunujosobreunobjeto,lasuperciedel objetoesunalneadecorrienteconstante. Bajoestassuposiciones, podramos considerar que una lnea de corriente pueda serunafronterasolida[11].Generalizando,confrecuenciaesposiblecrearunalneadecorrienteconstantequecoincidaconunaparedofrontera, superponiendovariospatronessencillosdeujo.Unejemplo utildeestemetodoeselmetododelasimagenes.Considerardosujosidenticosseparadosporunplanoenelmediodeellos;elplanonodebetenerujoquelocruce,deahsepuedepensarcomounafronterasolida.Precisamente con el metodo de las imagenes [14], [1], se superponen ujosmediante la reexion con respecto a una frontera solida a traves de la cualelujonopasa.Deestamanera,unagrancantidaddeujoscomplejossepuedensintetizarusandoestemetodo. Porejemplo, consideremoselujo desde una fuente (o sumidero) cerca a una pared (el eje x) como semuestraenlaFigura4.968 SaidKas-DanoucheParedFuenteFuente imagenFlujo imagen paraFigura 4.9: Flujo producido por una fuente ubicada cerca de una pared.Construimosel ujoproducidoporunafuenteeny=ayunafuenteimageneny= a; el ejexesunalneadecorrientedivisoriaopared.Lasfuncionesyson = Q2 ln r1Q2 ln r2= Q4 ln_(x2+ (y a)2)(x2+ (y +a)2) = Q21Q22= Q2_arctan_y ax_+ arctan_y +ax__.talquelacomponentenormaldevelocidadenlapared(y=0)escero(v(y= 0) = 0.)IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 69Enlasiguientesecciontrataremos conel potencial complejoparaunujo bidimensional que pasa una seccion cilndrica circular de radio jo.4.7. Flujopotencialquepasaunasecci ondeuncilindrocircularEnestaseccionanalizamoselujopotencialbidimensionalparaelcasocuandoseintroduceuncilindrocuyocortetransversal escircular[35].Para ello, estableceremos uno de los resultados mas importantes relacio-nadoconeldesarrollodeestateora,elteoremadeMilne-Thomson.Teorema4.7.1(CrculodeMilne-Thomson). Consideremos unujobidimensionalirrotacionaldeuidoviscosoincompresibleenelplanoz.Supongamos que no hay fronteras rgidas y sea f(z) el potencial complejodel ujo, dondelassingularidadesdef(z)estantodasaunadistanciamayor queadesdeel origen. Si uncilindrocircular tipicadopor susecciontransversal, el crculoC: |z| =a, seintroduceenel campodeujo,el potencial complejovieneaserW = f(z) +f_a2 z_.Seguidamente, buscamos unaexpresionparael potencial complejodeunujobidimensionalquepasaporuncilindroconsecciontransversalcircularderadior0;vienerepresentadoporelTeorema4.7.1)(TeoremadeMilne-Thomson),delasiguientemanera:W = U0_z +r20z_= U0_rei+r20rei_= U0r_1 +r20r2_cos iU0r_1 r20r2_sin .Haciendoalgunasmanipulacionesalgebraicas,obtenemos: = U0x_1 +r20r2_y = U0y_1 r20r2_.70 SaidKas-DanouchePorlotanto, = U0x U0r20xx2+y2 = U0y +U0r20yx2+y2;as, se muestra que el ujo que pasa sobre un cilindro circular viene a sercomolasuperposiciondeunujouniformesobreundipolodeesfuerzor20U0.Figura4.10:Flujouniformequepasasobreuncilindrocircular.Enr=r0, el contornodel cilindrodebecoincidirconunalneadeco-rriente.Estaarmacionescierta,yaque(r = r0) = 0.Porotrolado, si estamosinteresadosenel campodevelocidad,estesepuedecalcularusandodWdz= u iv,elcualsepuedeexpresarencoordenadaspolaresdWdz= U0 +U0r20z2= U0 +U0r20e2ir2= U0_r20r2cos(2) 1_+iU0r20r2sin(2).IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 71Porlotanto,elcampodevelocidadvieneexpresadocomo:u = U0_r20r2cos(2) 1_v = U0r20r2sin(2).4.8. Flujoquepasaunasecciondeuncilindrocircularconcirculaci onEnestaseccion, consideramos lasuperposiciondeunujodevorticepotencial con circulacion y un ujo uniforme que pasan sobre un cilindrocircular[14]. As, podemosescribirel potencial complejototal paraunujobidimensionalconvelocidadnoperturbadauniformeU0,quepasaunaseccioncirculardeuncilindroderadioroconcirculacion[21],comosigue:W = U0_z +r20z_+i2 ln_ zr0_= U0_rei+r20zei_+i2 ln_reir0_= U0_r +r20r_cos 2 i_U0_r r20r_sin 2 ln_rr0__.Entonces, = U0r_1 +r20r2_cos 2 = U0r_1 r20r2_sin +2 ln_rr0_.Lavelocidadtangencialusepuedeencontrarcomou= 1r= 1r_U0r_1 +r20r2_sin 2_= U0_1 +r20r2_sin +2r.72 SaidKas-DanoucheEnlasuperciedelcilindro(r = r0),tenemosu= 2U0 sin +2r0.Notamos que la velocidad tangencial o circunferencial es cero para valo-resdetalesquesin =4U0r0.Porlogeneral, habradosvaloresparaquesatisfacenlaecuacionan-terioryqueespecicaranlospuntosdeestancamiento.Lavelocidadcomplejaencualquierpuntodelujoesu +iv =dWdz= U0_1 r20z2_+i2z.LospuntosdeestancamientoseconsiguenresolviendolaecuacionU0_r20z2 1_+i2z= 0,multiplicandopor z2U0z2i2z U0r20= 0.Porlotanto,z1,2=i2 _242+ 4U20r202U0= r0_i4U0r01 2162U20r20_.Haytrescasos:2< (4U0r0)2,2= (4U0r0)2y2> (4U0r0)2.(i) Si 2< (4U0r0)2,entonces z1,2= r0( +i), < 1 y1 < < 0, ( < 0).As,haydospuntosdeestancamiento.IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 73Figura4.11:Para2< (4U0r0)2:Dospuntosdeestancamiento.(ii) Si 2=(4U0r0)2, entonces z= ir0, pues (4U0r0)2,entonces z= ir0,donde =4U0r02162U20r20174 SaidKas-DanoucheFigura 4.13: Para 2> (4U0r0)2: Un punto de estancamiento fuera delcilindro.4.9. TransformaciondeJoukowskiEstaesunadelastransformacionesmasimportantesaplicadasaujosbidimensionales,yvieneexpresadacomo: = z +c2z.Por medio de esta transformacion podemos aplicar el plano zen el plano,yviceversa[25].f(z) = z +c2z, f(z) z parazgrandef

(z) = 1 c2z2, f

(z) = 2c2z3.Porlotanto,f

(c) = 0 y f

(c) = 0.Latransformacioninversaesz=12 +_142c2_1/2IntroduccionaMecanicadeFluidosyModelacion 75Tomamoselsigno+talquez paravaloresgrandesde ||.z=12 +_142_1/2= paragrande;as,elujosiguesiendouniformeenelinnito.4.9.1. FlujoquepasauncrculoEn esta seccion consideramos el efecto de = z+c2zsobre un crculode radi