introducciÓn xvii - junioyjulio.files.wordpress.com · biografÍa histÓrica * galileo galilei...

2LÍMITES y CONTINUIDAD

INTRODUCCIÓN Los matemáticos del siglo XVII estuvieron profundamente interesados en elestudio del movimiento de objetos en la Tierra o cerca de ella, así como en el movimiento delos planetas y las estrellas. Este estudio incluyó tanto la rapidez de los objetos como la direc- -ción de su movimiento en cualquier instante; los matemáticos sabían que la dirección era tan-gente a la trayectoria del movimiento. El concepto de límite es fundamental para determinar lavelocidad de un objeto en movimiento y la tangente a una curva. En este capítulo desarro-llamos tal concepto, primero de una manera intuitiva y luego formalmente. Utilizamos límitespara describir la forma en que una varía función. Algunas funciones varían continuamente,cambios pequeños en x producen sólo cambios pequeños en f(x). Otras funciones pueden tenervalores que "saltan", varían erráticamente, o tienden a aumentar o disminuir sin cota. La no-ción de límite brinda una forma precisa de distinguir entre dichos comportamientos.

2.1 Tasas de cambio y tangentes a curvas

BIOGRAFíA HISTÓRICA*

Galileo Galilei(1564-1642)

El cálculo es una herramienta que sirve para ayudamos a comprender cómo cambian las rela-ciones funcionales, tal como la posición o la rapidez de un objeto en movimiento como unafunción de! tiempo, o bien, el cambio de la pendiente de una curva por la cual se desplaza unpunto. En esta sección presentamos las ideas de tasas de cambio promedio e instantánea ymostramos que están muy relacionadas con la pendiente de una curva en un punto P en lacurva. En e! siguiente capítulo estudiaremos desarrollos precisos de conceptos tan importantes,pero por ahora utilizaremos un enfoque informal, el cual permitirá ver al lector cómo esos con-ceptos conducen de una manera natural a la idea central de este capítulo: el límite. Veremos quelos límites desempeñan un papel fundamental en cálculo y en el estudio del cambio.

Rapidez promedio y rapidez instantánea

A finales del siglo XVI, Galileo descubrió que si un sólido, cerca de la superficie terrestre,se deja caer a partir del reposo (es decir, cuando no está en movimiento) y se le permite caer li-bremente, recorrerá una distancia proporcional al cuadrado del tiempo durante el que ha caído.Este tipo de movimiento se denomina caída libre. Se supone que la resistencia que ejerceel aire para detener la caída del objeto es despreciable y que la única fuerza que actúa sobre elobjeto es la gravedad. Si y denota la distancia recorrida en pies (ft) después de t segundos, en-tonces la ley de Galileo es

y = 16t2,

donde 16 es la constante de proporcionalidad (aproximada). (Si y se mide en metros, la cons-tante es 4.9).

La rapidez promedio de un objeto en movimiento durante un intervalo de tiempo se de-termina dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido al recorrer esa distancia.La unidad de medida es longitud por unidad de tiempo: kilómetros por hora, pies (o metros)por segundo o cualquiera que sea adecuada para el problema del que se trate.

* Para aprender más acerca de los personajes históricos mencionados en el texto, así como sobre el desa-rrollo de muchos elementos importantes y temas de cálculo, visite www.aw.com/tbomas.

39

2.1

BIOGRAFÍA HISTÓRICA *

Galileo Galilei (1564- 1642)

2 LÍMITES y CONTINUIDAD

INTRODUCCIÓN Los matemáticos del siglo XVII estuvieron profundamente interesados en el estudio del movimiento de objetos en la Tierra o cerca de ella, así como en el movimiento de los planetas y las estrellas. Este estudio incluyó tanto la rapidez de los objetos como la dirección de su movimiento en cualquier instante; los matemáticos sabían que la dirección era tangente a la trayectoria del movimiento. El concepto de límite es fundamental para determinar la velocidad de un objeto en movimiento y la tangente a una curva. En este capítulo desarrollamos tal concepto, primero de una manera intuitiva y luego formalmente. Utilizamos límites para describir la forma en que una varía función. Algunas funciones varían continuamente, cambios pequeños en x producen sólo cambios pequeños en f(x). Otras funciones pueden tener valores que "saltan", varían erráticamente, o tienden a aumentar o disminuir sin cota. La noción de límite brinda una forma precisa de distinguir entre dichos comportamientos.

Tasas de cambio y tangentes a curvas

El cálculo es una herramienta que sirve para ayudarnos a comprender cómo cambian las relaciones funcionales, tal como la posición o la rapidez de un objeto en movimiento como una función del tiempo, o bien, el cambio de la pendiente de una curva por la cual se desplaza un punto. En esta sección presentamos las ideas de tasas de cambio promedio e instantánea y mostramos que están muy relacionadas con la pendiente de una curva en un punto P en la curva. En el siguiente capítulo estudiaremos desarrollos precisos de conceptos tan importantes, pero por ahora utilizaremos un enfoque informal, el cual permitirá ver al lector cómo esos conceptos conducen de una manera natural a la idea central de este capítulo: el limite. Veremos que los límites desempeñan un papel fundamental en cálculo y en el estudio del cambio.

Rapidez promedio y rapidez instantánea

A finales del siglo XVI, Galileo descubrió que si un sólido, cerca de la superficie terrestre, se deja caer a partir del reposo (es decir, cuando no está en movimiento) y se le permite caer libremente, recorrerá una distancia proporcional al cuadrado del tiempo durante el que ha caído. Este tipo de movimiento se denomina caída libre. Se supone que la resistencia que ejerce el aire para detener la caída del objeto es despreciable y que la única fuerza que actúa sobre el objeto es la gravedad. Si y denota la distancia recorrida en pies (ft) después de t segundos, entonces la ley de Galileo es

y = 16t2,

donde 16 es la constante de proporcionalidad (aproximada). (Si y se mide en metros, la constante es 4.9).

La rapidez promedio de un objeto en movimiento durante un intervalo de tiempo se determina dividiendo la distancia recorrida entre el tiempo transcurrido al recorrer esa distancia. La unidad de medida es longitud por unidad de tiempo: kilómetros por hora, pies (o metros) por segundo o cualquiera que sea adecuada para el problema del que se trate.

* Para aprender más acerca de los personajes históricos mencionados en el texto, así como sobre el desarroll.o de muchos elementos importantes y temas de cálculo, visite www.aw.comj thomas.

39 http://gratislibrospdf.com/

40 Capítulo 2: Límites y continuidad

EJEMPLO 1 Se deja caer una roca desde lo alto de un acantilado. ¿Cuál es la rapidez promedio

(a) durante los primeros 2 segundos de la caída?(b) durante el intervalo de un segundo entre el segundo 1 y el segundo 2?

Solución La rapidez promedio de la roca durante el intervalo de tiempo dado es el cambio enla distancia, Lly, dividido entre el intervalo de tiempo, !1t. (En el apéndice 3 se revisan incre-mentos tales como ~y y !1t). Si medimos la distancia en ft y el tiempo en segundos, tenemoslos siguientes cálculos:

(a) Para los primeros 2 segundos:~y

~t

~y!1t

16(2f - 16(0)2 ft2 - O = 32 seg

16(2)2 - 16(1)2 ft2 - 1 = 48 seg(b) Del segundo 1 al segundo 2: •

Buscamos una forma para determinar la rapidez de un objeto que cae en el instante to, en vezde utilizar su rapidez promedio en un intervalo de tiempo. Para hacer esto, examinamos lo quesucede cuando calculamos la rapidez promedio en intervalos cada vez más pequeños, iniciandoen to. El siguiente ejemplo muestra el proceso. Aquí, nuestro análisis es informal, pero se harácon mayor precisión en el capítulo 3.

EJEMPLO 2 Determine la rapidez de la roca que cae en el ejemplo 1, en tt = 2 segundos.

1 Y en

Solución Podemos calcular la rapidez promedio de la roca en un intervalo de tiempo[to, lo + h], que tiene una longitud ~t = h, como

16(to + h)2 - 16t02h

(1)

No es posible utilizar esta fórmula para calcular la rapidez "instantánea" en el momento exactoto haciendo simplemente la sustitución h = O, ya que no podemos dividir entre cero. Pero po-demos usarla para calcular la rapidez promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeñosiniciando en to = 1 Y to = 2. Cuando hacemos esto, vemos un patrón (tabla 2.1).

TABLA2.1 Valores de rapidez promedio en intervalos de tiempo pequeños [to, to + h]

. . ~y 16(to + h)2 - 16t02Rapidez promedio: - = h

!1t

Rapidez promedio en elintervalo de longitud hque inicia en to = 1

Rapidez promedio en elintervalo de longitud hque inicia en to = 2

Longitud delintervalo detiempo h

1

0.10.010.0010.0001

4833.632.1632.01632.0016

8065.664.1664.01664.0016

La rapidez promedio en intervalos que inician en to = 1, cuando la longitud del inter-valo disminuye, parece que se aproxima a un valor límite de 32. Esto sugiere que la roca, ento = 1 seg, cae con una rapidez de 32 ft/seg. Confirmemos esto algebraicamente.

40 Capítu lo 2: Límites y continuidad

EJEMPLO 1 Se deja caer una roca desde lo alto de un acantilado. ¿Cuál es la rapidez promedio

(a) durante los primeros 2 segundos de la caída?

(b) durante el intervalo de un segundo entre el segundo 1 y el segundo 2?

Solución La rapidez promedio de la roca durante el intervalo de tiempo dado es el cambio en la distancia, .:ly, dividido entre el intervalo de tiempo, M. (En el apéndice 3 se revisan incrementos tales como .:ly y M). Si medimos la distancia en ft y el tiempo en segundos, tenemos los siguientes cálculos:

(a) Para los primeros 2 segundos: .:ly 16(2)2 - 16(0)2 ft .:lt 2 - O = 32 seg

(b) Del segundo 1 al segundo 2: .:ly 16(2)2 - 16(1)2 ft

M 2 - 1 = 48 seg • Buscamos una forma para determinar la rapidez de un objeto que cae en el instante to, en vez de utilizar su rapidez promedio en un intervalo de tiempo. Para hacer esto, examinamos lo que sucede cuando calculamos la rapidez promedio en intervalos cada vez más pequeños, iniciando en lo. El siguiente ejemplo muestra el proceso. Aquí, nuestro análisis es informal, pero se hará con mayor precisión en el capítulo 3.

EJEMPLO 2 Determine la rapidez de la roca que cae en el ejemplo 1, en l 1 Y en l = 2 segundos.

Solución Podemos calcular la rapidez promedio de la roca en un intervalo de tiempo [lo, lo + h], que tiene una longitud.:ll = h, como

16(to + h)2 - 16102

h (1)

No es posible utilizar esta fórmula para calcular la rapidez "instantánea" en el momento exacto lo haciendo simplemente la sustitución h = O, ya que no podemos dividir entre cero. Pero podemos usarla para calcular la rapidez promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños iniciando en lo = 1 Y lo = 2. Cuando hacemos esto, vemos un patrón (tabla 2.1).

TABLA 2.1 Va lores de rapidez promedio en interva los de tiempo pequeños [to, to + h]

Longitud del intervalo de tiempo h

0.1

0.01

0.001

0.0001

. . .:ly 16(lo + h)2 - 16102

Rapidez promedlO: - = h .:ll

Rapidez promedio en el intervalo de longitud h que inicia en lo = 1

48

33.6

32.16

32.016

32.0016

Rapidez promedio en el intervalo de longitud h que inicia en lo = 2

80

65 .6

64. 16

64.016

64.0016

La rapidez promedio en intervalos que inician en lo = 1, cuando la longitud del intervalo disminuye, parece que se aproxima a un valor límite de 32. Esto sugiere que la roca, en lo = 1 seg, cae con una rapidez de 32 ft/seg. Confirmemos esto algebraicamente.

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y

Q(Xb fiX2l¿.IIIIII:~yII

~--- I

~X = h :

I ) xo Xl X2

FIGURA 2.1 Una secante a la gráfica dey = f(x). Su pendiente es ~y/ fu, la tasade cambio promedio de f en el intervalo[Xl, X2].

FIGURA 2.2 L es tangente a la circunferenciaen P si pasa por P de manera perpendicularal radio OP

2.1 Tasas de cambio y tangentes a curvas 41

Si consideramos que to = 1, luego desarrollamos el numerador en la ecuación (1) y sim-plificamos, encontraremos que

ilyilt

16(1 + h)2 - 16(1)2h

16(1 + 2h + h2) - 16h

32h + 16h2 = 32 + 16h.

h

Para valores de h diferentes de cero, las expresiones de los lados derecho e izquierdo son equi-valentes, y la rapidez promedio es de 32 + 16h ft/seg. Ahora vemos por qué la rapidez pro-medio tiene el valor límite 32 + 16(0) = 32 ft/seg, cuando h se aproxima a cero.

De forma análoga, si en la ecuación (1) se establece que to = 2, el procedimiento da comoresultado

ily = 64 + 16hilt

para valores de h diferentes de cero. Cuando h está cada vez más cercana a cero, para to = 2,la rapidez promedio tiene el valor límite de 64 ft/ seg, como lo sugiere la tabla 2.1. •

La rapidez promedio de un objeto que cae es un ejemplo de una idea más general, la cualse analiza a continuación.

Tasas de cambio promedio y rectas secantesDada una función arbitraria y = f(x), calculamos la tasa de cambio promedio de y con respectoa x en el intervalo [Xl, X2] al dividir el cambio en el valor de y, ily = f(X2) - f(XI) entre la lon-gitud ilx = X2 - Xl = h del intervalo durante el cual ocurre el cambio. (Para simplificar lanotación, aquí y posteriormente, utilizamos el símbolo h en lugar de ilx).

DEFINICIÓN La tasa de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x, en el inter-valo [Xl, X2], es

f(XI + h) - f(XI)h

ily f(X2) - f(XI)ilx - X2 Xl

h i= O.

Geométricamente, la tasa de cambio de f en [x¡, X2] es la pendiente de la recta que pasa porlos puntos P(XI, f(xI)) y Q(X2, f(X2)) (figura 2.1). En geometría, una recta que une dos puntosde una curva es una secante de esa curva. Así, la tasa de cambio promedio de f de Xl a X2 es lamisma que la pendiente de la secante PQ. Considere lo que sucede cuando el punto Q se apro-xima al punto P a lo largo de la curva, de manera que la longitud h del intervalo en el queocurre el cambio se aproxima a cero.

Definición de Lapendiente de una curvaSabemos lo que significa la pendiente de una recta, que nos indica la razón a la cual se eleva odesciende, esto es, su tasa de cambio como la gráfica de una función lineal. Pero, ¿qué sig-nifica lapendiente de una curva en un punto P de ésta? Si existe una recta tangente a la curva enP (una recta que sólo toca la curva, como la tangente a una circunferencia) sería razonableidentificar la pendiente de la tangente como la pendiente de la curva en P. Así, necesitamos unsignificado preciso para la tangente en un punto de esta curva.

Para circunferencias, la tangencia es directa. Una recta, L, es tangente a una circunferen-cia en un punto P si L pasa por P perpendicularmente al radio en P (figura 2.2). Tal recta sólotoca la circunferencia. Pero, ¿qué significa decir que una recta L es tangente a alguna curva een el punto P?

y

1

1

1

1

1 1

:~y

1 1

~-4-"""'_'"'-__________ 1

/1 ~x = h :

~O~----XL¡ --------------X~2--~X

FIGURA 2.1 Una secante a la gráfica de

y = f(x). Su pendiente es ~y/~, la tasa

de cambio promedio de f en el intervalo

[Xl, X2].

FIGURA 2.2 L es tangente a la circunferencia

en P si pasa por P de manera perpendicular al radio OP


Si consideramos que to = 1, luego desarrollamos el numerador en la ecuación (1) y simplificamos, encontraremos que

Lly

Llt

16(1 + h)2 - 16(1)2

h

16(1 + 2h + h2) - 16

h

32h + 16h2

= 32 + h 16h.

Para valores de h diferentes de cero, las expresiones de los lados derecho e izquierdo son equivalentes, y la rapidez promedio es de 32 + 16h ft/seg. Ahora vemos por qué la rapidez promedio tiene el valor límite 32 + 16(0) = 32 ft/seg, cuando h se aproxima a cero.

De forma análoga, si en la ecuación (1) se establece que to = 2, el procedimiento da como resultado

Lly = 64 + 16h Llt

para valores de h diferentes de cero. Cuando h está cada vez más cercana a cero, para to = 2, la rapidez promedio tiene el valor límite de 64 ft/ seg, como lo sugiere la tabla 2.1 . •

La rapidez promedio de un objeto que cae es un ejemplo de una idea más general, la cual se analiza a continuación.

Tasas de cambio promedio y rectas secantes

Dada una función arbitraria y = f(x), calculamos la tasa de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo [Xl, X2] al dividir el cambio en el valor de y, Lly = f(X2) - f(XI) entre la longitud ilx = X2 - Xl = h del intervalo durante el cual ocurre el cambio. (Para simplificar la notación, aquí y posteriormente, utilizamos el símbolo h en lugar de ilx).

DEFINICIÓN La tasa de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x, en el inter-valo [Xl, X2], es

Lly

LlX

f(XI + h) - f(XI)

h h i= O.

Geométricamente, la tasa de cambio de f en [XIo X2] es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(XI, f(XI)) Y Q(X2, f(X2)) (figura 2.1). En geometría, una recta que une dos puntos de una curva es una secante de esa curva. Así, la tasa de cambio promedio de f de Xl a X2 es la misma que la pendiente de la secante PQ. Considere lo que sucede cuando el punto Q se aproxima al punto P a lo largo de la curva, de manera que la longitud h del intervalo en el que ocurre el cambio se aproxima a cero.

Definición de La pendiente de una curva

Sabemos lo que significa la pendiente de una recta, que nos indica la razón a la cual se eleva o desciende, esto es, su tasa de cambio como la gráfica de una función lineal. Pero, ¿qué significa la pendiente de una curva en un punto P de ésta? Si existe una recta tangente a la curva en P (una recta que sólo toca la curva, como la tangente a una circunferencia) sería razonable identificar la pendiente de la tangente como la pendiente de la curva en P. Así, necesitamos un significado preciso para la tangente en un punto de esta curva.

Para circunferencias, la tangencia es directa. Una recta, L, es tangente a una circunferencia en un punto P si L pasa por P perpendicularmente al radio en P (figura 2.2). Tal recta sólo toca la circunferencia. Pero, ¿qué significa decir que una recta L es tangente a alguna curva e en el punto P?



Pierre de Fermat(1601-1665)

Con la finalidad de definir tangencia para curvas generales, necesitamos un enfoque quetome en cuenta el comportamiento de las secantes que pasan por P y puntos cercanos Q,cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva (figura 2.3). A continuación presentamosla idea:

1. Inicie con lo que podemos calcular, es decir, la pendiente de la secante PQ.2. Investigue el valor límite de la pendiente de la recta secante cuando Q se aproxima <1 P a lo

largo de la curva. (En la siguiente sección aclaramos la idea de límite).3. Si el límite existe, tómelo como la pendiente de la curva en P y defina la tangente a la

curva en P como la recta que pasa por P con esta pendiente.

Seguimos este procedimiento en el problema de la roca que caía analizado en el ejemplo 2.El siguiente ejemplo ilustra la idea geométrica para la tangente a una curva.

BIOGRAFíA HISTÓRICA

Tangente Secantes

Q

FIGURA 2.3 La tangentea la curvaen P es la recta quepasa por P cuyapendientees el límitedelas pendientesde las rectas secantescuandoQ -'> P por amboslados.

EJEMPLO 3 Seguimos este procedimiento en el problema de la roca que caía analizado en elejemplo 2. El siguiente ejemplo ilustra la idea geométrica para la tangente a una curva.

SoLudón Iniciamos con una recta secante que pasa por P(2, 4) Y Q(2 + h, (2 + h)2), unpunto cercano. Luego escribimos una expresión para la pendiente de la secante PQ e investi-gamos lo que sucede a la pendiente cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva:

Lly (2 + h)2 - 22

Pendiente de la secante = - = ------Llx h

h2 + 4h + 4 - 4h

h2 + 4h = h + 4h .

Si h > 0, entonces Q está arriba y a la derecha de P, como en la figura 2.4. Si h < 0, entoncesQ está a la izquierda de P (no se muestra). En cualquier caso, cuando Q se aproxima a P a lolargo de la curva, h se aproxima a cero y la pendiente de la secante h + 4 se aproxima a 4.Tomamos 4 como la pendiente de la parábola en P.

yLapendiente (2 + h)2 - 4 = h + 4.de la secantees h

-----~~+-~~~---~----~x2+h

NO ESTÁ A ESCALA

FIGU RA 2.4 Determinaciónde la pendientede la parábolay = x2 en el puntoP(2, 4) comoel límitede las pendientesde las rectas secantes(ejemplo3).


BIOGRAFíA HISTÓRICA

Pierre de Fermat (1601 - 1665)

Con la finalidad de definir tangencia para curvas generales, necesitamos un enfoque que tome en cuenta el comportamiento de las secantes que pasan por P y puntos cercanos Q, cuando Q se mueve hacia P a lo largo de la curva (figura 2.3). A continuaciój1 presentamos la idea:

1. Inicie con lo que podemos calcular, es decir, la pendiente de la secante PQ.

2. Investigue el valor límite de la pendiente de la recta secante cuando Q se aproxima <1 P a lo largo de la curva. (En la siguiente sección aclaramos la idea de límite).

3. Si el límite existe, tómelo como la pendiente de la curva en P y defina la tangente a la curva en P como la recta que pasa por P con esta pendiente.

Seguimos este procedimiento en el problema de la roca que caía analizado en el ejemplo 2. E! siguiente ejemplo ilustra la idea geométrica para la tangente a una curva.

Tangente Secantes

p

Q

FIGURA 2.3 La tangente a la curva en P es la recta que pasa por P cuya pendiente es el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando Q --;. P por ambos lados.

EJEMPLO 3 Seguimos este procedimiento en el problema de la roca que caía analizado en el ejemplo 2. El siguiente ejemplo ilustra la idea geométrica para la tangente a una curva.

Soludón Iniciamos con una recta secante que pasa por P(2, 4) Y Q(2 + h, (2 + h)2), un punto cercano. Luego escribimos una expresión para la pendiente de la secante PQ e investigamos lo que sucede a la pendiente cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva:

~y (2 + h)2 - 22

Pendiente de la secante = - = ------~x h

h2 + 4h + 4 - 4 h

h2

+ 4h = h + 4 h .

Si h > 0, entonces Q está arriba y a la derecha de P, como en la figura 2.4. Si h < 0, entonces Q está a la izquierda de P (no se muestra). En cualquier caso, cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva, h se aproxima a cero y la pendiente de la secante h + 4 se aproxima a 4. Tomamos 4 como la pendiente de la parábola en P.

y La pendiente (2 + h)2 - 4 = h + 4. de la secante es h

--------~~+-~4L~------L---------~x 2 +h

NO ESTÁ A ESCALA

FIGU RA 2.4 Determinación de la pendiente de la parábola y = x2 en el punto P(2, 4) como el límite de las pendientes de las rectas secantes (ejemplo 3).


y = 4 + 4(x - 2)

Y = 4x - 4.

Ecuación punto pendiente


La tangente a la parábola en P es la recta que pasa por P con pendiente 4:

•Tasas de cambio instantáneas y rectas tangentes

Los valores de rapidez (tasas de cambio) a la que caía la roca en el ejemplo 2 en los instantest = 1 Y t = 2 se denominan tasas de cambio instantáneas. Éstas y las pendientes de rectas tan-gentes están estrechamente relacionadas, como veremos en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 4 La figura 2.5 muestra cómo una población p de moscas de la fruta (Drosophila)crece en un experimento de 50 días. El número de moscas se contó en intervalos regulares,tales valores se graficaron con respecto al tiempo t y los puntos se unieron mediante una curvasuave (de color naranja) en la figura 2.5. Determine la tasa promedio de crecimiento del día 23al día 45.

SoLución Había 150 moscas el día 23, y 340 el día 45. Así que el número de moscas se in-crementó en 340 - 150 = 190 en 45 - 23 = 22 días. La tasa de cambio promedio de lapoblación del día 23 al día 45 fue

T d bi di I1p 340 - 150 190 86 Id'asa e cam 10 prome 10: --¡;¡ = 45 _ 23 = 22 ~ . moscas la.

p

350/'

V /'" Q(4' ,340)

V 1// V ~~ 190

)

)P 23, 1 O)~ V /lt "" 8. mos asId a

)/' ff' Lt = b

I

/ //~V

o 10 20 30 40 50

'" 300'"u~ 250E~ 2008e 150'::lZ 100

50

Tiempo (días)

FIGURA 2.5 Crecimiento de una población de moscas de la fruta

en un experimento controlado. La tasa promedio de cambio durante

los 22 días es la pendiente !1p/ l1t de la recta secante (ejemplo 4).

Este promedio es la pendiente de la secante que pasa por los puntos P y Q en la gráfica de lafigura 2.5. •

La tasa de cambio promedio del día 23 al día 45, que se calculó en el ejemplo 4, no nosdice qué tan rápido cambia la población el día 23. Para eso necesitamos examinar intervalos detiempo más cercanos al día en cuestión.

EJEMPLO 5ejemplo 4?

¿Qué tan rápido aumentó, en el día 23, el número de moscas en la población del

SoLución Para responder la pregunta, examinamos las tasas de cambio promedio en interva-los cada vez más pequeños que inicien en el día 23. En términos geométrico s, encontramosdichas tasas mediante el cálculo de las pendientes de las rectas secantes de P a Q, para unasucesión de puntos Q que se aproximan a P a lo largo de la curva (figura 2.6).


(35,310)

Pendiente de PQ = I1p/ l1t 350(moscas/ día)

300'"'"340 - 150 i;l~ 8.6 o 250

45 - 23 S<U 200"el

330 - 150 o10.6

H~ <U 15040 - 23 S';:l

310 - 150z 100

~ l3.335 - 23 50

265 - 150 16.4~ O30 - 23

B(35,350)/~ /'~

Arh7" Q(45,340)

~ VA l;::/'

P(23, 150)J V

h('

/ ~~ ~

'/

/lff ~ 20 30 40 50


p

Q

(45,340)

(40,330)

FIGURA2.6 Las posiciones y pendientes de cuatro secantes que pasan por el punto P en la gráfica de la mosca de la fruta(ejemplo 5).

Los valores en la tabla indican que las pendientes de las secantes aumentan de 8.6 a 16.4cuando la coordenada t de Q disminuye de 45 a 30; esperaríamos que las pendientes aumen-ten un poco cuando t continúe hacia 23. Geométricamente, las secantes giran alrededor de Py, en la figura, parece que se aproximan a la recta en negro. Como esta recta parece que pasapor los puntos (14, O)y (35,350), tiene pendiente

~~0_-1~ = 16.7 moscas/día (aproximadamente).

En el día 23 la población se incrementaba a una razón de alrededor de 16.7 moscas/día. _

Se encontró que las tasas instantáneas, en el ejemplo 2, eran los valores de la rapidezpromedio, o tasas de cambio promedio, cuando la longitud del intervalo de tiempo, h, se apro-ximaba a cero. Esto es, la tasa instantánea es el valor al que se aproxima la tasa promediocuando la longitud h del intervalo, en el que ocurre el cambio, se aproxima a cero. La tasa decambio promedio corresponde a la pendiente de una recta secante; la tasa instantánea corres-ponde a la pendiente de la recta tangente cuando la variable independiente se aproxima a unvalor fijo. En el ejemplo 2, la variable independiente, t, se aproximó a los valores t = 1 Y t = 2.En el ejemplo 3, la variable independiente x se aproximó al valor x = 2. Así, vemos quelas tasas instantáneas y las pendientes de rectas tangentes están estrechamente relacionadas.Estudiaremos tal relación a lo largo del siguiente capítulo, pero para hacerlo necesitamos delconcepto de límite.

Ejercicios 2.1

Tasas de cambio promedioEn los ejercicios 1 a 6, encuentre la tasa de cambio promedio de la funciónen el intervalo o intervalos dados.

5. R(e) = \!"4.e+1; [0,2]

6. p(e) = e3 - 4e2 + se; [1,2]

b. [1Tj6,1Tj2]

Pendiente de una curva en un puntoEn los ejercicios 7 a 14, utilice el método del ejemplo 3 para determinar(a) la pendiente de la curva en el punto dado P y (b) una ecuación de larecta tangente en P.

7. Y = y} - 3, P(2,1)

8. Y = 5 - y}, P(1,4)

9. Y = x2 - 2x - 3, P(2, -3)

10. Y = x2 - 4x, P(l, -3)

11. Y = x3, P(2,8)

1. ¡(x) = x3 + 1

a. [2,3]2. g(x) = y}

a. [-1,1]

3. h(t) = cot ta. [1Tj4,31Tj4]

4. g(t) = 2 + cos t

a. [0,1T]

b. [-1,1]

b. [-2, O]


12. Y = 2 - Xl, P(l,l)

13. Y = X3 - 12x, P(I, -11)

14. Y = X3 - 3x2 + 4, P(2, O)

Tasas de cambio instantáneas

15. Rapidez de un automóvil La siguiente figura muestra la gráficadistancia-tiempo para un automóvil deportivo que acelera a partirdel reposo.

s

650600:1 1

º:[J,

17-u

L -O/ºl -1)

L1J¿~

500

E';;;'400'gJ3 300'"Q

200

100

O 205 10 15Tiempo transcurrido (seg)

a. Estime las pendientes de las secantes PQI, PQ2, PQ3 y PQ4,luego anote los valores en una tabla como en la figura 2.6.¿Cuáles son las unidades adecuadas para estas pendientes?

b. Después estime la rapidez del automóvil en el instante t = 20 seg.

16. La siguiente figura muestra la gráfica de la distancia contra eltiempo de caída para un objeto que cae de un módulo lunar desdeuna altura de 80 m con respecto a la superficie de la Luna.

a. Estime las pendientes de las secantes PQI, PQ2, PQ3 y PQ4,luego anote los valores en una tabla como en la figura 2.6.

b. ¿Qué tan rápido iba el objeto cuando chocó con la superficie lunar?

y1

P~,-

V-tz

1

o. L./

ºl~Y

V J ~

§ 80

'" 60:g'"uQ) 40"O

'"'üt:~ 20Q

O 5

Tiempo transcurrido (seg)

D 17. En la siguiente tabla se indican las utilidades de una compañía pe-queña para cada uno de los primeros cinco años de operación.

10

Año Utilidad en miles de dólares

20002001200220032004

62762

111174

a. Trace los puntos que representan la utilidad como una función delaño y únalos mediante una curva suave.


b. ¿Cuál es la tasa promedio de aumento de la utilidad entre 2002y 2004?

c. Utilice su gráfica para estimar la razón a la cual cambiaron lasutilidades en 2002.

O 18. Construya una tabla de valores para la función F(x) = (x + 2)/(x - 2)en los puntos x = 1.2,x = 11/10,x = 101/100,x = 1001/1000,x = 10001/10000 y x = 1.

a. Con base en su tabla, determine la tasa promedio de cambio deF(x) en los intervalos [1, x] para cada x # 1.

b. Si es necesario, amplíe la tabla para tratar de determinar la tasade cambio de F(x) en x = 1.

019. Seag(x) = Vxparax 2: O.

a. Determine la tasa de cambio promedio de g(x) con respecto a xen los intervalos [1, 2], [1, 1.5] y [1, I + h].

b. Construya una tabla de valores de la tasa promedio de cambiode g con respecto a x en el intervalo [1, I + h] para algunosvalores de h que se aproximen a cero, digamos, h = 0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001 Y 0.000001.

c. De acuerdo con su tabla, ¿cuál es el valor de la tasa de cambio deg(x) con respecto a x en x = 1?

d. Calcule el límite de la tasa de cambio promedio de g(x) con res-pecto ax en el intervalo [1, I + h], cuando h se aproxima a cero.

020. Sea/(t) = l/tparat #- O.

a. Determine la tasa de cambio promedio de/con respecto a t enlos intervalos (i) desde t = 2 a t = 3 y (ii) de t = 2 a t = T.

b. Construya una tabla de valores de la tasa de cambio promedio de/ con respecto a t en el intervalo [2, 1'] para algunos valores de tque se aproximen a 2, digamos, t = 2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001 y 2.000001.

c. ¿Qué valor indica su tabla para la tasa de cambio de/con res-pecto a ten t = 2?

d. Calcule el límite cuando t se aproxima a 2 de la tasa de cambiopromedio de / con respecto a t en el intervalo de 2 a T. Tendráque trabajar con un poco de álgebra antes de poder sustituirt = 2.

21. La siguiente gráfica muestra la distancia total s recorrida por unciclista después de t horas.

s

/'J

V./"'"

/"

//

~ 40g.¡g 30'§~ 20'"'ü§ 10

i5O 2 3 4

Tiempo transcurrido

a. Estime la rapidez promedio del ciclista durante los intervalos detiempo [O, 1], [1, 2.5] y [2.5, 3.5].

b. Estime la rapidez instantánea del ciclista en los instantes t = 1/2,t = 2 y t = 3.

c. Estime la rapidez máxima del ciclista y el momento específicocuando esto ocurre.



22. La siguiente gráfica muestra la cantidad total de gasolina, A, en eltanque de gasolina de un automóvil después de haberlo conducidodurante / días.

a. Estime la tasa promedio de consumo de gasolina durante losintervalos de tiempo [0,3], [O,5] Y [7,10].

b. Estime la tasa instantánea de consumo de gasolina en los instantest = 1, t = 4 Y t = 8.

c. Estime la tasa máxima de consumo de gasolina y el instanteespecífico en el que ocurre.

A

- <,

"- \.\ -,

<;r-i---

~ 16

'".!:!! 12Q)

E.9'" 8~

"Oce"O 4.~

'"U ° 2 3 4 5 6 7 8 9.10Tiempo transcurrido (días)

2.2 Limite de una función y Leyes de Los Limites

En la sección 2.1 vimos que los límites surgen cuando determinamos la tasa instantánea decambio de una función o la tangente a una curva. Aquí iniciamos con una definición informalde límite y mostramos cómo calcular los valores de límites. En la siguiente sección se presentauna definición precisa.

ENSAYO HISTÓRJCO Limites de LosvaLores de una funciónLímites Con frecuencia, cuando estudiamos una función y = f(x), estamos interesados en el compor-

tamiento de la función cerca de un punto particular x, pero no en xo. Por ejemplo, éste podríaser el caso si Xo es un número irracional, como 7T o V2, cuyos valores sólo pueden aproxi-marse mediante números racionales "cercanos" en los que en realidad evaluamos la función.Otra situación ocurre cuando tratamos de evaluar una función en xo, lo cual lleva a una divisiónentre cero, que no está definida. Esta última circunstancia la encontramos al buscar la tasa ins-tantánea de cambio eny considerando el cociente !1y/h para h muy cercano a cero. A continua-ción damos un ejemplo específico donde exploramos numéricamente cómo se comporta unafunción cerca de un punto particular en el que no es posible evaluar directamente la función.

y

2Lx2 - 1Y =j(x) =--

1 x- 1

EJEMPLO 1 ¿Cuál es el comportamiento de la función

--~--~4------L----------+x/1 O¡(x) x2 - 1

x-ly cerca de x = 1?

Solución La fórmula dada define a f para todos los números reales x, excepto x = 1 (nopodemos dividir entre cero). Para cualquier x -=1= 1, es posible simplificar la fórmula al factorizarel numerador y cancelar los factores comunes:

(x - I)(x + 1)¡(x) = x _ 1 = x + 1 para x =F 1.

--7L--~~-----L----------+x La gráfica defes la recta y = x + 1, a la cual se le quita el punto (1, 2). Este punto se muestracomo un círculo vacío o "agujero" en la figura 2.7. Aunque f(1) no está definida, es claro quepodemos hacer el valor de f(x) tan cercano a 2 como se quiera si se selecciona a x suficien-temente cerca de 1 (véase la tabla 2.2).

FIGURA 2.7 La gráfica de f es idénticaa la de la recta y = x + 1, excepto enx = 1,donde f no está definida (ejemplo 1). •


Valores de x menores y mayores a 1 x2 -1f(x) = -- = x + 1,

x-l x*1

2.2 Límite de una función y leyes de los límites 47

TABLA 2.2 Cuanto más cerca esté x de 1, más cerca parecerá estarf(x) = (x2 - l)j(x - 1) de 2

0.91.1

0.991.010.9991.0010.9999991.000001

1.9

2.11.992.011.9992.0011.9999992.000001

Ahora generalizamos la idea ilustrada en el ejemplo l.

Suponga que f(x) está definida en un intervalo abierto alrededor de xo, excepto posiblemente enXo. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L (tan cercano como queramos) para toda x suficiente-mente cercana a Xo, decimos que f se aproxima al límite. L cuando x tiende a Xo y escribimos

lím f(x) = L,x~xo

que se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a Xo es L". En el ejemplo 1 diríamos que f(x)tiende al límite 2 cuando x se aproxima a 1 y escribimos

lím f(x) = 2,x-->!

o, ~ - 1hm---=2

x-->! X - 1 .

En esencia, la definición dice que los valores de f(x) están cercanos al número L siempre que xsea cercana a Xo (a cualquier lado de xo). La definición es "informal", porque las frases arbi-trariamente cercana y suficientemente cerca no son precisas; su significado depende del con-texto. (Para un mecánico que fabrica un pistón, cercano significaría a unos cuantos milésimosde una pulgada. Para un astrónomo que estudia galaxias distantes, cercano sería a unos cuan-tos miles de años luz). No obstante, la definición es suficientemente clara para permitimosreconocer y evaluar límites de funciones específicas. Sin embargo, necesitaremos la defini-ción precisa de la sección 2.3 cuando demostremos teoremas acerca de límites. A continuaciónestán algunos ejemplos más que exploran la idea de límites.

EJEMPLO 2 Este ejemplo ilustra que el valor límite de una función no depende de cómoesté definida la función en el punto al que se está aproximando. Considere las tres funcionesen la figura 2.8. La funciónftiene límite 2 cuando x ~ 1, aunquefno esté definida en x = 1.

y y y

J' I)X J' I !)x,l/ I)XO 1 /-1 O

(a) fix) = x2 - 1x- 1 ¡x2 - 1

(b) g(x) = x - 1 ' x * 1

1, x = 1(e) h(x) = x + 1

FIGURA 2.8 Los límites de f(x), g(x) y h(x) son iguales a 2 cuando x tiende a L Sinembargo, sólo h(x) tiene el mismo valor de la función que su límite en x = 1 (ejemplo 2).


TABLA 2.2 Cuanto más cerca esté x de 1, más cerca parecerá estar f(x) = (x 2

- l) / (x - 1) de 2

Valores de x menores y mayores a 1

0.9 l.l

0.99 1.01 0.999

1.001 0.999999 1.000001

X2 -1 f(x) = - - = x + 1,

x-1

1.9 2.1 1.99 2.01 1.999 2.001

1.999999 2.000001

Ahora generalizamos la idea ilustrada en el ejemplo l.

x*l

Suponga que f(x) está definida en un intervalo abierto alrededor de xo, excepto posiblemente en xo. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L (tan cercano como queramos) para toda x suficientemente cercana a xo, decimos que f se aproxima al límite L cuando x tiende a Xo y escribimos

lím f(x) = L, x~xo

que se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a Xo es L". En el ejemplo 1 diríamos que f(x) tiende al límite 2 cuando x se aproxima a 1 y escribimos

lim f(x) = 2, x ->!

o , ~ - 1

hm --1

= 2. x ->! X -

En esencia, la definición dice que los valores de f(x) están cercanos al número L siempre que x sea cercana a Xo (a cualquier lado de xo). La definición es "informal", porque las frases arbitrariamente cercana y suficientemente cerca no son precisas; su significado depende del contexto. (Para un mecánico que fabrica un pistón, cercano significaría a unos cuantos milésimos de una pulgada. Para un astrónomo que estudia galaxias distantes, cercano sería a unos cuantos miles de años luz). o obstante, la definición es suficientemente clara para permitirnos reconocer y evaluar límites de funciones específicas. Sin embargo, necesitaremos la definición precisa de la sección 2.3 cuando demostremos teoremas acerca de límites. A continuación están algunos ejemplos más que exploran la idea de límites.

EJEMPLO 2 Este ejemplo ilustra que el valor límite de una función no depende de cómo esté definida la función en el punto al que se está aproximando. Considere las tres funciones en la figura 2.8. La funciónftiene límite 2 cuando x ~ 1, aunquefno esté definida en x = 1.

y

(a) j(x) = x2 - II x-

y

--~-----r----~~x

¡x2 -1 --- .x* l (b) g(x) = x - 1

l . x = 1

y

--~-----r----~~x

(c) h(x) = x + 1

FIGURA 2.8 Los límites de f(x). g(x) y h(x) son iguales a 2 cuando x tiende a 1. Sin embargo, sólo h(x) tiene el mismo valor de la función que su límite enx = 1 (ejemplo 2).


y La función g tiene límite 2 cuando x ~ 1, aunque 2 ,¡=. g(1). La función h es la única de las tresfunciones, en la figura 2.8, cuyo límite cuando x ~ 1 es igual a su valor en x = l. Para h,tenemos límx->l h(x) = h(l). Esta igualdad del límite y el valor de la función son importantes;regresaremos a ello en la sección 2.5. •


y=x

EJEMPLO 3------------~----~L-----_+x

(a) Función identidad

k

(a) Sif es la función identidad, ¡(x) = x, entonces para cualquier valor de Xo (figura 2.9a),

Iím ¡(x) = lím x = Xo.x~xo x~xo

y

(b) Sifes la función constante, ¡(x) = k (función con el valor constante k), entonces paracualquier valor de Xo (figura 2.9b),

y=k

lím ¡(x) = lím k = k.x~xo x~xo

-------------+------~----_+x° xo

(b) Función constante

Como ejemplos de cada una de estas reglas, tenemos

lím x = 3x-->3

y Iím (4) = lím(4) = 4.x-->-7 x-->2

FIGURA 2.9 Las funciones en el ejemplo 3

tienen límites en todos los puntos xo.En el ejemplo 3 de la sección 2.3 demostramos estas reglas. •Algunas formas en las que los límites no existen se ilustran en la figura 2.10; se describen

en el siguiente ejemplo.

y y y

y = {O, x < °1,x~O

--------------~O+-------------~x

1 II ~11II

1I1Ii¡I11IIIIIIIi¡

-------~~II~I~~--_f--------~° 1: x

:: l0' x:S °11 Y = 111 sen x' x> °1111

-1 e

--------------O~------------~x

(a) Función escalón unitario U(x) (b) g(x) (c)f(x)

FIGURA 2.10 Ninguna de estas funciones tienen límite cuando x tiende a O (ejemplo 4).

EJEMPLO 4 Analice el comportamiento de las siguientes funciones cuando x ~ O.

(a) U(x) {O,1,

{k,o, x=O

x<Ox2:0

x,¡=.O(b) g(x) =

(e) ¡(x){O, x :s; °

sen k, x > °


y

------------~------L-----~ x

(a) Función identidad

y

k y=k

-------------+------~----_+ x

° xo

(b) Función constante

FIGURA 2.9 Las funciones en el ejemplo 3

tienen límites en todos los puntos Xo.

y

y = {O, x < ° 1, x ~ O

---------------o------------~ x

°

(a) Función escalón unitario U(x)

La función g tiene límite 2 cuando x -'> 1, aunque 2 =1= ge l). La función h es la única de las tres funciones, en la figura 2.8, cuyo límite cuando x -'> 1 es igual a su valor en x = l. Para h, tenemos lÚUx->1 h(x) = h(l). Esta igualdad del límite y el valor de la función son importantes; regresaremos a ello en la sección 2.5 . •

EJEMPLO 3

(a) Sif es la función identidad, ¡ (x) = x, entonces para cualquier valor de Xo (figura 2.9a),

Iím ¡(x) = lím x = Xo. x~xo x~xo

(b) Sifes la función constante, ¡(x) = k (función con el valor constante k), entonces para cualquier valor de Xo (figura 2.9b),

Hm ¡(x) = lím k = k. X----7XO X ----7Xo

Como ejemplos de cada una de estas reglas, tenemos

lím x = 3 x->3

lím (4) = lím (4) = 4. x->-7 x->2

y

En el ejemplo 3 de la sección 2.3 demostramos estas reglas. • Algunas formas en las que los límites no existen se ilustran en la figura 2.10; se describen

en el siguiente ejemplo.

y

11, x * ° y =

0, x = °

----------------~------------~ x

°

(b) g(x)

y

1 IIJI 1II I Ii¡ Ii¡ 111 111 Ii¡ Ii¡

--------~TIIIH' tr~--_+--------~ x ° :: 11 11 11 11 11 11

- 1 c.

(c)f(x)

jO, x:s ° y-

- sen 1, x> °

FIGURA 2.10 Ninguna de estas funciones tienen límite cuando x tiende a O (ejemplo 4).

EJEMPLO 4 Analice el comportamiento de las siguientes funciones cuando x -'> O.

(a) U(x)

(b) g(x) =

(e) ¡(x)

{O,

1,

{f, O,

x<O x2: 0

x =1= ° x = O

{O, x :s; ° sen f, x> °



Leyes de los limitesCuando se estudian límites, en ocasiones utilizamos la notación x ~ xo, si queremos enfatizarel punto Xoque se considera en el proceso del límite (por lo regular, para mayor claridad de unanálisis o un ejemplo particular). En otras ocasiones, tal como en los enunciados del teore-ma siguiente, emplearemos la notación más sencilla x ~ e o x ~ a, que evita el uso del sub-índice en xo. En todos los casos, los símbolos Xo,c y a se refieren a un solo punto en el eje x quepuede o no pertenecer al dominio de la función que se estudie. Para calcular límites de fun-ciones, que son a su vez combinaciones aritméticas de funciones con límites conocidos, uti-lizamos varias reglas sencillas.

Soludón

(a) La función tiene un salto: La función escalón unitario U(x) no tiene límite cuando x ~ O,ya que sus valores saltan en x = O.Para valores negativos de x, arbitrariamente cercanosa cero, U(x) = O.Para valores positivos de x, arbitrariamente cercanos a cero, U(x) = l.No existe un único valor L al que se aproxime U(x) cuando x ~ O(figura 2.1Oa).

(b) Lafunción "crece" demasiado y no tiene límite: g(x) no tiene límite cuando x ~ O,ya quelos valores de g crecen arbitrariamente en valor absoluto cuando x ~ OYno permanecencercanos a algún número real fijo (figura 2)Ob).

(e) Lafunción oscila demasiado y no tiene límite: f(x) no tiene límite cuando x ~ O,ya quelos valores de la función oscilan entre + 1 y -1 en cada intervalo abierto que contenga a O.Los valores no permanecen cerca de algún número cuando x ~ O(figura 2.1Oc). •

En palabras, la regla de la suma dice que el límite de una suma es la suma de los límites. Deforma análoga, las siguientes reglas indican que el límite de una diferencia es la diferenciade los límites; el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la fun-ción; el límite de un producto es el producto de los límites; el límite de un cociente es elcociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea O); el límite de una po-tencia (o raíz) entera positiva de una función es la potencia (o raíz) entera del límite (siempreque la raíz del límite sea un número real).

Es razonable que las propiedades en el teorema 1 sean verdaderas (aunque tales argumen-tos intuitivo s no constituyan demostraciones). Con base en nuestra definición informal delímite, si x es suficientemente cercana a e, entonces f(x) es cercana a L, y g(x) es cercanaa M. Entonces es razonable que f(x) + g(x) sea cercana a L + M; f(x) - g(x) sea cercana aL - M; kf(x) sea cercana a kL; f(x)g(x) sea cercana a LM, y f(x)/g(x) sea cercana a L/M, siM no es cero. En la sección 2.3, con base en una definición precisa de límite, demostraremosla regla de la suma. Las reglas 2 a 5 se demuestran en el apéndice 4. La regla 6 se obtiene al

TEOREMA1: Leyes de los limites

lím f(x) = Lx-e-e

Si L, M, c y k son números reales y

lím g(x) = M, entoncesx->c

y

1. Regla de la suma:

2. Regla de la diferencia:

3. Regla del múltiplo constante:

4. Regla del producto:

lím(f(x) + g(x» = L + Mx->c

lím(f(x) - g(x» = L - Mx->c

lím Lc- f(x» = k· Lx->c

lím(f(x)' g(x» = L' Mx->c

, f(x) Lhm -( ) = M' M -:j. O

x->c g x

lím[f(x»)" = U', n es un entero positivo.x->c

5. Regla del cociente:

6. Regla de la potencia:

7. Regla de la raíz: lím'l.fi(;) = "'\Ii = L 1/11, n es un entero positivox--+c

(Si n es par, suponemos que límf(x) = L > O.)x->c


Solución

(a) La función tiene un salto: La función escalón unitario U(x) no tiene límite cuando x ~ O, ya que sus valores saltan en x = O. Para valores negativos de x , arbitrariamente cercanos a cero, U(x) = O. Para valores positivos de x, arbitrariamente cercanos a cero, U(x) = 1. No existe un único valor L al que se aproxime U(x) cuando x ~ O (figura 2. 1 Oa).

(b) Lafunción "crece" demasiado y no tiene límite: g(x) no tiene límite cuando x ~ O, ya que los valores de g crecen arbitrariamente en valor absoluto cuando x ~ O Y no permanecen cercanos a algún número real fijo (figura 2) Ob).

(e) Lafunción oscila demasiado y no tiene límite: f(x) no tiene límite cuando x ~ O, ya que los valores de la función oscilan entre + I y - ) en cada intervalo abierto que contenga a O. Los valores no permanecen cerca de algún número cuando x ~ O (figura 2.1 Oc). •

Leyes de los limites

Cuando se estudian límites, en ocasiones utilizamos la notación x ~ xo, si queremos enfatizar el punto Xo que se considera en el proceso del límite (por lo regular, para mayor claridad de un análisis o un ejemplo particular). En otras ocasiones, tal como en los enunciados del teorema siguiente, emplearemos la notación más sencilla x ~ c o x ~ a, que evita el uso del subíndice en xo. En todos los casos, los símbolos xo, c y a se refieren a un solo punto en el eje x que puede o no pertenecer al dominio de la función que se estudie. Para calcular límites de funciones, que son a su vez combinaciones aritméticas de funciones con límites conocidos, utilizamos varias reglas sencillas.

TEOREMA 1: Leyes de los limites

lím f(x) = L y

Si L, M, c y k son números reales y

lím g(x) = M , entonces x ->c x->c

1. Regla de la suma: lím(f(x) + g(x)) = L + M x->c

2. Regla de la diferencia: lím(f(x) - g(x)) = L - M x-> c

3. Regla del múltiplo constante: lím (k' f(x)) = k· L x ->c

4. Regladelproducto: lím(f(x )'g(x)) = L'M

5. Regla del cociente:

6. Regla de la potencia:

7. Regla de la raíz:

x ->c

lím f (x) = 1:... x ->c g(x) M '

M i' O

lím[f(x))" = Ln, n es un entero positivo.

x ->c

lím'\IM = "\Ii = LI /I1, n es un entero positivo x-+ c

(Si n es par, suponemos que límf(x) = L > O.) x->c

En palabras, la regla de la suma dice que el límite de una suma es la suma de los límites. De forma análoga, las siguientes reglas indican que el límite de una diferencia es la diferencia de los límites; el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función; el límite de un producto es el producto de los límites; el límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea O); el límite de una potencia (o raíz) entera positiva de una función es la potencia (o raíz) entera del límite (siempre que la raíz del límite sea un número real).

Es razonable que las propiedades en el teorema I sean verdaderas (aunque tales argumentos intuitivos no constituyan demostraciones). Con base en nuestra definición informal de límite, si x es suficientemente cercana a c, entonces f(x) es cercana a L, y g(x ) es cercana a M. Entonces es razonable que f(x) + g(x) sea cercana a L + M; f(x) - g(x) sea cercana a L - M; kf(x) sea cercana a kL; f(x)g(x) sea cercana a LM, y f(x )/ g(x) sea cercana a L/ M, si M no es cero. En la sección 2.3, con base en una definición precisa de límite, demostraremos la regla de la suma. Las reglas 2 a 5 se demuestran en el apéndice 4. La regla 6 se obtiene al



aplicar la regla 4 de manera repetida. La regla 7 se demuestra en textos más avanzados. Lasreglas de la suma, de la diferencia y del producto pueden extenderse a cualquier número defunciones, no sólo para dos.

EJEMPLO 5 Utilice las observaciones límx->c k = k Y límx->c x = e (ejemplo 3) las propie-dades de los límites para determinar los siguientes límites.

(a) lím(x3 + 4x2 - 3)x->c

(e) lím V4x2 - 3x->-2

Solución

(a) lím(x3 + 4x2 - 3) = lím x3 + lím 4x2 - lím 3x~c x~c x~c x~c

Reglas de la suma y de la diferencia

(b), x4 + x2 -11m 2

x->c X + 5

= c3 + 4c2 - 3

límfx" + x2 - 1)x->c

Regla del cociente

Reglas de la potencia y del múltiplo

lím(x2 + 5)x->c

lím x4 + lím x2 - lím 1x~c x~c x~c

Reglas de la suma y de la diferencialím x2 + lím 5x~c x~c

Reglas de la potencia y el producto

(e) lím V4x2 - 3x->-2

V lím (4x2 - 3)x->-2

Regla de la raíz con n = 2

V lím 4x2 - lím 3x----70-2 x~-2

Regla de la diferencia

V4(-2)2-3

ví6=3ví3

Reglas del producto y del múltiplo

•Dos consecuencias del teorema 1 simplifican aún más la tarea de calcular límites de funcionespolinomiales y racionales. Para evaluar el límite de una función polinomial cuando x se apro-xima a e, basta con sustituir x por e en la fórmula de la función. Para evaluar el límite de unafunción racional cuando x se aproxima a un punto c, en el que el denominador no sea cero,sustituya la x por e en la fórmula de la función. (Véase los ejemplos 5a y 5b). Veremos losresultados formalmente en los siguientes teoremas.

TEOREMA 2: Limites de polinomiosSi P(x) = anxn + an-l xn-1 + ... + ao, entonces

lím P(x) = P(c) = ancn + an_1Cn-1 + ... + ao.x->c

TEOREMA 3: Limites de funciones racionalesSi P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(c) i=- 0, entonces

, P(x) P(c)11m --=--.x-e-e Q(x) Q(c)


aplicar la regla 4 de manera repetida. La regla 7 se demuestra en textos más avanzados. Las reglas de la suma, de la diferencia y del producto pueden extenderse a cualquier número de funciones, no sólo para dos.

EJEMPLO 5 Utilice las observaciones límx-->c k = k Y límx-->c x = c (ejemplo 3) las propie-dades de los límites para determinar los siguientes límites.

(a) lím(x3 + 4X2 - 3) x-->c

, x4 + X2 -(b) hm --2---

x-->c X + 5

Solución

(a) lím(x3 + 4x2 - 3) = lím x3 + lím 4x2 - lím 3 x~c x~c x----?-c x~c

(b) , x4 + x2 -

11m 2 x-->c X + 5

(e) lím \l4x2 - 3 x-->-2

= c3 + 4c2 - 3

lím(x4 + x2 - 1) x-->c

lím(x2 + 5) x-->c

lím x4 + lím X2 - lím 1 x-->c

lím x2 + lím 5 x-->c x-->c

V lím (4x2 - 3) x-->-2

V lím 4X2 - lím 3 x----70 - 2 x~-2

V4( - 2)2 - 3

ví6=3 ví3

(e) lím V4x2 - 3

x-->-2


Reglas de la potencia y del múltiplo

Regla del cociente


Reglas de la potencia y el producto

Regla de la raíz con n = 2

Regla de la diferencia

Reglas de l producto y del múltiplo

• Dos consecuencias del teorema 1 simplifican aún más la tarea de calcular límites de funciones polinomiales y racionales. Para evaluar el límite de una función polinomial cuando x se aproxima a c, basta con sustituir x por c en la fórmula de la función. Para evaluar el límite de una función racional cuando x se aproxima a un punto c, en el que el denominador no sea cero, sustituya la x por c en la fórmula de la función. (Véase los ejemplos 5a y 5b). Veremos los resultados formalmente en los siguientes teoremas.

TEOREMA 2: Limites de polinomios

Si P(x) = anxn + an - l xn- 1 + ... + ao, entonces

lím P(x) = P(c) = ancn + an _1Cn- 1 + ... + ao . x-->c

TEOREMA 3: Limites de funciones racionales

Si P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(c) =1= 0, entonces

, P(x) P(c) 11m -- = --. x-->c Q(x) Q( c)


I Identificación de factores comunesPuede demostrarse que si Q(x) es unpolinomio y Q(c) = 0, entonces (x - e)es un factor de Q(x). Así que si en unafunción racional de x, tanto el numeradorcomo el denominador son iguales a ceroen x = e, entonces éstos tienen (x - e)como un factor común.

yy=X2+x-2

x2 - x

3

~, I I 'X-2", O .

(a)

y

y=x+2x

3

~i\OI! .x

(b)

FIGURA 2.11 La gráfica dej(x) =(x2 + X - 2)/(x2 - x) en el inciso (a) es lamisma que la gráfica de g(x) = (x + 2)/xen el inciso (b), excepto en x = 1, donde jno está definida. Las funciones tienen elmismo límite cuando x ~ 1 (ejemplo 7).


EJEMPLO 6 Los siguientes cálculos ilustran los teoremas 2 y 3.

1, x3 + 4~ - 3un

x->-[ x2 + 5

(_1)3 + 4( _1)2 - 3 O-'-----'--:-'---'---- = - = O

(_1)2 + 5 6 •

Eliminación algebraica de denominadores iguales a ceroEl teorema 3 sólo se aplica si el denominador de la función racional no es cero en el puntolímite c. Si el denominador es cero, al cancelar los factores comunes en el denominador y elnumerador, es posible reducir la fracción a una cuyo denominador ya no sea cero en c. Si estosucede, mediante sustitución en la fracción simplificada, encontraremos el límite.

EJEMPLO 7 Evalúe

2 .21, x + x-im

x->l x2 - x

Solución No podemos sustituir x = 1, ya que eso convierte en cero al denominador. Pro-bamos para ver si el numerador también es cero en x = l. Sí es el caso; por lo tanto, tiene unfactor común (x - 1), con el denominador. Al cancelar (x - 1), se obtiene una fracción mássencilla con los mismos valores que la original para x =1= 1:

x2+x-2~ -x

(x - 1)(x + 2)x(x - 1)

si x =1= l.x+2x

Con la fracción más sencilla, mediante sustitución, es posible determinar el límite cuandox~ 1:

lím ~ + x - 2 = lím x ~ 2 = .L.±...l = 3.x-> 1 ~ - X .x-r+ 1 1

Véase la figura 2.11. •

Uso de calculadoras y computadoras para estimar limitesCuando no podemos utilizar la regla del cociente del teorema 1 porque el límite del denomina-dor es cero, tratamos de utilizar una calculadora o una computadora para hacer una conjeturanumérica del límite cuando x está cada vez más cercana de c. Utilizamos dicho enfoque en elejemplo 1, pero las calculadoras y las computadoras en ocasiones dan valores incorrectos oimpresiones erróneas para funciones que no se definen en un punto o no tienen límite allí,como lo ilustramos a continuación.

EJEMPLO 8 Estime el valor de lím V~ + 100 - 10x->o ~

Solución La tabla 2.3 lista los valores de la función para varios valores cercanos a x = O.Cuando x se aproxima a Omediante los valores ± 1, ±0.5, ±0.10 y ±0.01, la función pareceaproximarse al número 0.05.

Cuando tomamos valores aún más pequeños de x, ±0.0005, ±0.0001, ±0.00001 y±0.000001, parece que la función se aproxima al valor cero.

¿La respuesta es 0.05 o O, o algún otro valor? En el siguiente ejemplo contestamos lapregunta. •

I Identificación de factores comunes Puede demostrarse que si Q(x) es un polinomio y Q(c) = 0, entonces (x - e) es un factor de Q(x). Así que si en una función racional de x, tanto el numerador como el denominador son iguales a cero en x = e, entonces éstos tienen (x - e) como un factor común.

y

y= x2 + x -2 x2 - x

3

--------2 O

(a)

y

y=x+ 2 x

3

x

------~~--~O+-~----------~ x

(b)

FIGURA 2.11 La gráfica de f(x) =

(x2 + X - 2)/(x2 - x) en el inciso (a) es la

misma que la gráfica de g(x) = (x + 2) /x

en el inciso (b), excepto en x = 1, donde f no está definida. Las funciones tienen el

mismo límite cuando x ~ 1 (ejemplo 7).

2.2 Límite de una fun ción y leyes de los lími tes 51

EJEMPLO 6 Los siguientes cálculos ilustran los teoremas 2 y 3.

1, x3 + 4~ - 3 1m

x->-[ x2 + 5

(-1 ? + 4( _ 1)2 - 3 O --- ----- = - = O

( _ 1)2 + 5 6 •

Eliminación algebraica de denominadores iguales a cero El teorema 3 sólo se aplica si el denominador de la función racional no es cero en el punto límite c. Si el denominador es cero, al cancelar los factores comunes en el denominador y el numerador, es posible reducir la fracción a una cuyo denominador ya no sea cero en c. Si esto sucede, mediante sustitución en la fracción simplificada, encontraremos el límite.

EJEMPLO 7 Evalúe

Solución No podemos sustituir x = 1, ya que eso convierte en cero al denominador. Probamos para ver si el numerador también es cero en x = l . Sí es el caso; por lo tanto, tiene un factor común (x - 1), con el denominador. Al cancelar (x - 1), se obtiene una fracción más sencilla con los mismos valores que la original para x =1= 1:

(x - l)(x + 2)

x(x - 1) x+2

x si x =F l.

Con la fracción más sencilla, mediante sustitución, es posible determinar el límite cuando x ---'> 1:

lím ~ + x - 2 = lím x + 2 = l..±...l = 3. x -> 1 ~ - X x-> [x 1

Véase la figura 2.11. •

Uso de calculadoras y computadoras para estimar limites Cuando no podemos utilizar la regla del cociente del teorema 1 porque el límite del denominador es cero, tratamos de utilizar una calculadora o una computadora para hacer una conjetura numérica del límite cuando x está cada vez más cercana de c. Utilizamos dicho enfoque en el ejemplo 1, pero las calculadoras y las computadoras en ocasiones dan valores incorrectos o impresiones erróneas para funciones que no se definen en un punto o no tienen límite allí, como lo ilustramos a continuación.

EJEMPLO 8 . , V x2 + 100 - 10

Estlffie el valor de hm 2 . x->O .r

Solución La tabla 2.3 lista los valores de la función para varios valores cercanos a x = O. Cuando x se aproxima a O mediante los valores ± 1, ±0.5, ±0.10 y ± 0.01, la función parece aproximarse al número 0.05.

Cuando tomamos valores aún más pequeños de x, ±0.0005, ± 0.0001 , ±0.00001 y ± 0.000001 , parece que la función se aproxima al valor cero.

¿La respuesta es 0.05 o O, o algún otro valor? En el siguiente ejemplo contestamos la pregunta. •



Vx2 + 100 - 10TABLA 2.3 Valores de f(x) = 2 cerca x = O

x

x f(x)

±1±0.5±0.1±0.01

±0.0005±0.0001±0.00001±0.000001

0.049876 }0.049969

¿Se aproxima a 0.05?0.0499990.050000

0.080000}0.0000000.000000 ¿Se aproxima a O?

0.000000

Con una computadora o una calculadora se podrían obtener resultados ambiguos, como enel último ejemplo. En el problema, no es posible sustituir x = O,Yel numerador y el denomi-nador no tienen factores comunes evidentes (como en el ejemplo 7). Sin embargo, en ocasionespodemos crear un factor común algebraicamente.

EJEMPLO 9 Evalúe

1, Vx2 + 100 - 10Hfl .

x-r-e Ü x2

Solución Éste es el límite que consideramos en el ejemplo 8. Es posible crear l!n factorcomún mediante la multiplicación tanto del numerador como del denominador por la expresiónradical conjugada V ~ + 100 + 10 (que se obtiene al cambiar el signo que está después dela raíz cuadrada). Mediante propiedades algebraicas, racionalizamos el numerador:

Por lo tanto,

Vx2 + 100 - 10~

V ~ + 100 - 10 V ~ + 100 + 10

x2 Vx2 + 100 + 10

x2 + 100 - 100

Factor común x2

Para x * 0, cancelar x2

v'X2 + 100 + 10

1, VX2 + 100 - 10 1Hl], = lím -~===c:::---

x-r-e-Ü x2 x-r-e-O Vx2 + 100 + 10El denominador no es °en x = O; sustituir

V02 + 100 + 10

1= 20 = 0.05.

Tales cálculos dan la respuesta correcta, en contraste con los resultados ambiguos en el ejemplo 8obtenidos mediante una computadora. •

No siempre podemos resolver algebraicamente el problema de determinar el límite de uncociente donde el denominador se vuelve cero. En algunos casos, el límite podría determinar-


Vx2 + 100 - 10 TABLA 2.3 Valores de f(x) = 2 cerca x = O

x

x

± l

±0.5

±O. l

±0.01

±0.0005

±0.0001

±0.00001

±0.000001

f(x)

0.049876 } 0.049969

¿Se aproxima a 0.05? 0.049999

0.050000

0.080000} 0.000000 0.000000 ¿Se aproxima a O?

0.000000

Con una computadora o una calculadora se podrían obtener resultados ambiguos, como en el último ejemplo. En el problema, no es posible sustituir x = O, Y el numerador y el denominador no tienen factores comunes evidentes (como en el ejemplo 7). Sin embargo, en ocasiones podemos crear un factor común algebraicamente.

EJEMPLO 9 Evalúe

1, Vx2 + 100 - 10 1m .

x--+O x2

Solución Éste es el límite que consideramos en el ejemplo 8. Es posible crear l!n factor común mediante la multiplicación tanto del numerador como del denominador por la expresión radical conjugada V ~ + 100 + 10 (que se obtiene al cambiar el signo que está después de la raíz cuadrada). Mediante propiedades algebraicas, racionalizamos el numerador:

Vx2 + 100 - 10

~

Por lo tanto,

V ~ + 100 - 10 V ~ + 100 + 10

x2 Vx2 + 100 + 10

X2 + 100 - 100

1, Vx2 + 100 - 10 1m = lím -r=;::====---

x--+O x2 x--+O Vx2 + 100 + 10

V 02 + 100 + 10

1 = 20 = 0.05.

Factor común x2

Para x * O, cancelar x2

El denominador no es O en x = O; sustituir

Tales cálculos dan la respuesta correcta, en contraste con los resultados ambiguos en el ejemplo 8 obtenidos mediante una computadora. •

No siempre podemos resolver algebraicamente el problema de determinar el límite de un cociente donde el denominador se vuelve cero. En algunos casos, el límite podría determinar-


y

2.2 Límite de una función y Leyes de Los Límites 53

se con ayuda de un poco de geometría aplicada al problema (véase la demostración del teore-ma 7 en la sección 2.4) o mediante métodos de cálculo (ilustrados en la sección 7.5). El teo-rema que aparece a continuación también es útil.

El teorema de la compresión (o del sándwich)El siguiente teorema nos permite calcular una variedad de límites. Se denomina teorema de lacompresión o del sándwich porque se refiere a una función j cuyos valores quedan entre losvalores de otras dos funciones g y h, que tienen el mismo límite L en el punto c. Al quedar atra-pados entre los valores de dos funciones que se aproximan a L, los valores de j también deben

O I ~ ) x aproximarse a L (figura 2.12). En el apéndice 4, encontrará la demostración.

FIGURA2.12 La gráfica de f está atrapadaentre las gráficas de g y h.

y = 1 + i2

1 O I ) x

FIGURA2.13 Cualquier función u(x) cuyagráfica está en la región entre y = l + (x2/2)y Y = I - (x2/ 4) tiene límite I cuando x -'> O(ejemplo 10).

-'Tr

(a)

y

t y = lsl

:"~':-. ,-,_-c)K__-,_ l 2-2

(b)

FIGURA2.14 El teorema de la compresiónconfirma los límites del ejemplo 11.

TEOREMA 4: Teorema de Lacompresión Suponga que g(x) s; j(x) S; h(x) paratodos los valores de x en algún intervalo abierto que contiene a e, exceptoposiblemente en x = e. También suponga que

lím g(x) = lím h(x) = L.x~c X----7C

Entonces límx->cf(x) = L.

El teorema de la compresión también se denomina teorema del emparedado o teorema delsándwich.

EJEMPLO 10 Puesto que

:2- :2-1 - - s; u(x) s; 1 + -

4 2 para toda x * O,

determine lírnx->o u(x) , no importa qué tan complicada sea u.

Solución Como

lím(l - (x2/4» = 1x-o

y lím(l + (:2-/2» = 1,x-O

el teorema del sándwich implica que límx->ou(x) = 1 (figura 2.13). •EJEMPLO 11 El teorema de la compresión nos ayuda a establecer varias reglas importantesde límites:

(a) lím sen é = O (b) lím cose = 1e-o e-o

(e) Para cualquier funciónj, lím If(x) I = Oimplica lím f(x) = O.x~c X----7C

Solución

(a) En la sección 1.3 establecimos que -le 1s; sen e s; le 1para toda e (figura 2.14a). Comolímo->o( -1 e 1) = límo->o 1e 1 = O, tenemos

lím sen e = O.e-o

(b) Con base en la sección l.3, O s; 1 - cos e s; 1 e 1 para toda e (figura 2.14b); tenemoslírno->o(1 - cos e) = Oo

lím cos e = l.e-o

(e) Como -If(x) 1 s; f(x) s; If(x) 1 y -If(x) 1 y If(x) 1 tienen límite igual a cero cuandox ~ e, se sigue que límx->cf(x) = O. •

y


se con ayuda de un poco de geometría aplicada al problema (véase la demostración del teorema 7 en la sección 2.4) o mediante métodos de cálculo (ilustrados en la sección 7.5). El teorema que aparece a continuación también es útil.

El teorema de la compresión (o del sándwich) El siguiente teorema nos permite calcular una variedad de límites. Se denomina teorema de la compresión o del sándwich porque se refiere a una función f cuyos valores quedan entre los valores de otras dos funciones g y h, que tienen el mismo límite L en el punto c. Al quedar ah'apados entre los valores de dos funciones que se aproximan a L, los valores de f también deben

-o+-------cc>-------... x aproximarse a L (figura 2.12). En el apéndice 4, encontrará la demosh·ación.

FIGURA 2.12 La gráfica de f está atrapada

entre las gráficas de g y h.

FIGURA 2.13 Cualquier función u(x) cuya

gráfica está en la región entre y = I + (x2/ 2)

y Y = I - (x2 / 4) tiene límite I cuando x ~ O (ejemplo 10).

Ca)

y

~1~Y= lel

y = 1 - cos e ~~ ~. -~~ ~ -~ --. ~.- -~ ....... -.. _, ~ .. ~~, e - 2 -1 o 1 2

Cb)

FIGURA 2.14 El teorema de la compresión

confirma los límites del ejemplo 11.

TEOREMA 4: Teorema de La compresión Suponga que g(x) ::; f(x) ::; h(x) para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contiene a c, excepto posiblemente en x = c. También suponga que

Iím g(x) = Iím h(x) = L. x~c x~c

Entonces Iímx->c ¡(x) = L.

El teorema de la compresión también se denomina teorema del emparedado o teorema del sándwich.

EJEMPLO 10 Puesto que

1 - :2- ::; u(x) ::; 1 + :2-4 2

para toda x -¡:. O,

determine lírnx->o u(x) , no importa qué tan complicada sea u.

Solución Como

Iím(1 - (x2/ 4)) = 1 x->o

y Iím(1 + (:2-/ 2)) = 1, x->O

el teorema del sándwich implica que límx->o u(x) = 1 (figura 2.13). • EJEMPLO 11 El teorema de la compresión nos ayuda a establecer varias reglas importantes de límites:

(a) lím sene = O 8->0

(b) lím cos e = 1 8->0

(e) Para cualquier funciónf, lím I ¡(x) I = O implica lím ¡(x) = O. x~c x~c

Solución

(a) En la sección 1.3 establecimos que -1 el::; sen e ::; 1 e 1 para toda e (figura 2.14a). Como límo->o ( - 1 e 1) = límo->o 1 e 1 = O, tenemos

lím sen e = O. 0->0

(b) Con base en la sección l.3 , O ::; 1 - cos e ::; 1 e 1 para toda e (figura 2.14b); tenemos lírno->o (1 - cos e) = O o

lím cos e = l. 0->0

(e) Como - I¡(x) 1 ::; ¡(x) ::; 1 ¡(x) 1 y -I¡(x) 1 y 1 ¡(x) 1 tienen límite igual a cero cuando x ~ c, se sigue que límx->c ¡(x) = O. •



lím f(x) $ lím g(x).x-e-e x-e-e

Otra propiedad importante de los límites se expone en el teorema que veremos a conti-nuación, y en la siguiente sección presentaremos una demostración.

TEOREMA 5 Si f(x) $ g(x) para toda x en algún intervalo abierto que contengaa e, excepto posiblemente en x = e, y los límites de f y g existen cuando x seaproxima a e, entonces

Es falsa la afirmación que resulta de cambiar, en el teorema 5, la desigualdad menor o igual($) por la desigualdad estricta menor que «). La figura 2.14a indica que para e *- o, -Iel <sen e < le I, pero que en el límite cuando e ~ O, se cumple la igualdad.

Ejercicios 2.2

Límites y gráficas1. Para la función g(x), que se grafica a continuación, determine los

límites siguientes o explique por qué no existen.

a. lím g(x) b. lím g(x) c. lím g(x) d. lím g(x)x~ 1 x---+2 x---+3 x---+2.5

y

2. Para la función f(t), que se grafica aquí, determine los límites si-guientes o explique por qué no existen.

a. lím f(t)1---+-2

b. lím f(t)t---+-}

c. lím f(t)1-->0

d. lím f(t)1-->-0.5

y

--L----Q~--~----~--+x

4. ¿Cuáles de los siguientes enunciados, con respecto a la funcióny = f(x) graficada aquí, son verdaderos y cuáles son falsos?

a. lím f(x) no existe.x-->2

b. lím f(x) = 2x-->2

c. lím f(x) no existe.x-->1

d. lím f(x) existe para todo punto Xo en ( -1, 1).X---+Xo

e. lím f(x) existe para todo punto Xo en (1, 3).X---+Xo

yy = f(x)

Existencia de limitesEn los ejercicios 5 y 6, explique por qué los límites no existen.

5. lím ~ 6. lím _1-1x-->O [x I x--> 1 X -

7. Suponga que una función f(x) está definida para todos los valoresreales de x, excepto para x = xo. ¿Puede decir algo acerca de la exis-tencia de límx--->xo f(x)? Dé razones para su respuesta.

8. Suponga que una función f(x) está definida para toda x en [-1, 1].¿Puede decir algo acerca de la existencia de límx--->of(x)? Justifiquesu respuesta.

s

s = f(t)

-1

3. ¿Cuáles de los siguientes enunciados, con respecto a la funcióny = f(x) graficada aquí, son verdaderos y cuáles son falsos?

a. lím f(x) existe.x->O

b. lím f(x) = Ox-->O

c. lím f(x) = 1x-->O

d. lím f(x) = 1x-->I

e. lím f(x) = Ox-->I

f. lím f(x) existe para todo punto Xo en ( -1, 1).X---+Xo

g. lím f(x) no existe.x---+1


Otra propiedad importante de los límites se expone en el teorema que veremos a continuación, y en la siguiente sección presentaremos una demostración.

TEOREMA 5 Si f(x) $; g(x) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a e, excepto posiblemente en x = e, y los límites de f y g existen cuando x se aproxima a e, entonces

lím ¡(x) $; lím g(x). X----""c x-)oc

Es falsa la afirmación que resulta de cambiar, en el teorema 5, la desigualdad menor o igual ($;) por la desigualdad estricta menor que «). La figura 2.14a indica que para e"* o, -Iel < sen e < le I , pero que en el límite cuando e ~ O, se cumple la igualdad.

Ejercicios 2.2

Límites y gráficas 1. Para la función g(x), que se grafica a continuación, determine los

límites siguientes o explique por qué no existen.

a. lím g(x) b. lím g(x) c. lím g(x) d. lím g(x) x~ 1 x---+2 x---+3 x ---+2.5

y

2. Para la función f(t) , que se grafica aquí , determine los límites siguientes o explique por qué no existen.

a. lím f(t) b. lím f(t) c. lím f(t) d. lím f(t) 1---+-2 t---+ - } ,--.,.0 1---+-0.5

s

s = j(t)

- 1

3. ¿Cuáles de los siguientes enunciados, con respecto a la función y = f(x) graficada aquí, son verdaderos y cuáles son falsos?

a. lím f(x) existe. x --+Q

b. lím f (x) = O x--+Q

c. lím f(x) = l x--+ Q

d. lím f(x) = 1 x ---+l

e. lím f(x ) = O x--+l

f. lím f(x) existe para todo punto Xo en ( -1 , 1). X---+Xo

g. lím f(x) no existe. x---+ 1

y

--L----Q~--~----~__+ x

4. ¿Cuáles de los siguientes enunciados, con respecto a la función y = f(x) graficada aquí, son verdaderos y cuáles son falsos?

a. lím f(x) no existe. x --+2

b. lím f(x) = 2 x --+2

c. lím f(x) no existe. x--+j

d. lím f(x) existe para todo punto Xo en ( - 1, 1). X ---+Xo

e. lím f(x) existe para todo punto Xo en (1, 3). X---+Xo

y y = j(x)

Existencia de limites En los ejercicios 5 y 6, explique por qué los límites no existen.

5. lím ~ x--+Q Ixl

6. lím _ 1- 1 x---+ 1 x-

7. Suponga que una función f(x) está definida para todos los valores reales de x, excepto para x = xo. ¿Puede decir algo acerca de la existencia de límx--+xo f(x)? Dé razones para su respuesta.

8. Suponga que una función f(x) está definida para toda x en [ - 1, 1]. ¿Puede decir algo acerca de la existencia de límx--+o f(x)? Justifique su respuesta.



9. Si límx~1 f(x) = S, debe estar definida en x = 1? Si es así, ¿debeser f(l) = S? ¿Puede concluir algo acerca de los valores de f enx = 1? Explique.

10. Si f(1) = S, ¿límx~ 1f(x) debe existir? Si es así, ¿entonces debecumplirse que límx~ 1f(x) = S? ¿Es posible concluir algo acerca delímx~1 f(x)? Explique.

Aplicación de las reglas de los límites51. Suponga que límx~o f(x) = 1 Y límx~o g (x) = - 5. Indique las re-

gias del teorema 1 que se usaron para realizar los pasos (a), (b) y (e)de los siguientes cálculos.

Cálculo de límitesEn los ejercicios 11 a 22, determine los límites.

lím 2f(x) - g(x) = 1~(2f(x) - g(x»

x~o (j(x) + 7j2/3 lím (j(x) + 7j2/3x"'" o

(a)

11. lím (2x + S)x--7

12. lím(-~+5x-2)X"'" 2

lím 2f(x) - lím g(x)x-o x-o

(lím (¡(x) + 7) )2/3X"'" o

(b)

13. lím 8(t - 5)(t - 7)t •...•6 14. lím (~ - 2~ + 4x + 8)

x--2

15. lím x + 3x ....•2 X + 6

2 lím f(x) - lím g(x)x-o x-o

17. lím 3(2x - lj2x--}

16. lím 3s(2s - 1)s ....•2/3

y+218. lím --=------y ....•2l + 5y + 6

20. lím (2z - 8)1/3z •...•o

( lím f(x) + lím 7)2/3x-o x-O

(e)

(2)(1) - (-S) 7

(1 + 7)2/3 419. lím (5 - y)4/3

y ....•-3

321. 1~Y3h + 1 + 1

22. lím V5h+4 - 2h •...• O h

52. Sean límx~1 h(x) = 5, límx~1 p(x) = 1, Y límx~1 r(x) = 2. Indi-que las reglas del teorema 1 que se usaron para realizar los pasos (a),(b) Y (e) de los siguientes cálculos.

x - S23. 1~x2 - 25

Determine los límites en los ejercicios del 23 a 42.

24. lím x + 3x....•-3 ~ + 4x + 3

lím V5hW = 1~V5hWx"'" 1 p(x)(4 - r(x» lím (P(x)(4 - r(x»)

x~1(a)

Límites de cocientes

25. lím ~ + 3x - 10x ....•-5 x + 5

226. Iím x - 7x + 10

x ....•2 x - 2

v'lím Sh(x)x-l

27. lím? + t - 2/ •...• 1 ? - I

28. lím ? + 31 + 2/~-1 ? - 1 - 2

30. lím si + 8ly ....•O 3/ - 16l

(lím p(x») ( lím (4 - r(x»))x-1 x-I

(b)

29. lím-2x - 4

x ....•-2 x3 + 2x2

, ~ - 131. hm --

x ....•l X - 1

33. lím u4

- 1u •...• 1 u3 - 1

35 l' Vx - 3.lm -x~9 x - 9

• /Slím h(x)V·x-l

(límp(x»)(lím 4 - lím r(x»)x-l x-l .r-r-e l

(e)

3' ~+ _1_

2. lím 1 x + 1x-o X

v(5)(5) _ 2(1)(4 - 2) - 2

~34. lím2

4 _ 16v ....• v53. Suponga que límx~c f(x) = 5 Y Iímx~c g(x) = -2. Determine

x - 137. lím. ~+ 3 _ 2

x-l V X + j

v?+l2 - 439. lím x _ 2x~2

36. lím 4x - x2

x~4 2 - Vx

38. lím W+8 - 3x~-1 X + 1

a. lím f(x)g(x)x ....•e b. lím 2f(x)g(x)

x-e

c. lím (j(x) + 3g(x»x ....•c

d. lím~x-r+c f(x) - g(x)

54. Suponga que límx~4 f(x) = Oy límx~4 g(x) = - 3. Determine

41. lím 2 - \I?"-=sx ....•-3 x + 3

x + 240. x!!.~2 v?+s - 3

4-x42. lím \1?+9x ....•4 S -

a. lím (g(x) + 3)x ....•4

c. lím (g(x»2x •...•4

b. lím xf(x)x •...•4

1, g(x)

d.lm--x ....•4 ¡(x) -

55. Suponga que lím.Lg j'(x) = 7ylímx~bg(x) = -3. Determine

Límites con funciones trigo nométricas Determine los límites en losejercicios del 43 aSO.

a. lím (j(x) + g(x»x~b

c. lím 4g(x)x ....•b

b. lím f(x)' g(x)x-l-b .

d. lím f(x)jg(x)x ....•b

43. Iím (2 sen x - 1) 44. Iím serr' xx"'" o x"'" o

45. lím secx 46. lím tanxx....•o x"'" o

47. lím l+x+senx 48. lírn (~ - 1)(2 - cos x)x~o 3 cosx x"'"o

49. Iím ~cos(x + 7T) 50. lím Y7 + sec? xX---+-7T x-o

56. Suponga que Iímx~-2 p(x) = 4, límx~-2 r(x) = O, Y Iímx~-2s(x) = -3. Determine

a. lím (P(x) + r(x) + s(x»x--2

b. lím p(x)· r(x)' s(x)x--2

c. lím (-4p(x) + 5r(x»js(x)x--2



Límites de tasas de cambio promedioDebido a su relación con las rectas secantes, tangentes y tasas instan-táneas, los límites de la forma

, f(x + h) - f(x)hm hh--->O

aparecen con mucha frecuencia en cálculo. En los ejercicios 57 a 62,evalúe este límite para el valor dado de x y la funciónj.

57. f(x) = x2, X = 1 58. f(x) =~, x = -2

59. f(x) = 3x - 4, x = 2 60. f(x) = l/x, x = -2

61. f(x) = Vx, x = 7 62. f(x) =~, x = O

ApLicación deL teorema de La compresión

63. Si ~ ~ f(x) ~ ~ para toda -1 ~ x ~ 1, deter-

mine límx--->of(x) .

64. Si 2 - x2 ~ g (x) ~ 2 cos x para toda x, determine límx--->og (x) .

65. a. Puede demostrarse que las desigualdades

x2 xsenx <- 6" < 2 - 2 cosx

se cumplen para todos los valores de x cercanos a cero. ¿Nos in-dica algo acerca de

lím x senx 7x--->O 2 - 2 cosx

Justifique su respuesta.

D b. Grafiquejuntasy = 1 - (x2/6), y = (xsenx)/(2 - 2cosx), y

y = 1 para - 2 ~ x ~ 2. Comente algo sobre el comportamientode las gráficas cuando x --> O.

66. a. Suponga que las desigualdades

1. _ .i. < 1 - cos x < 1.2 24 x2 2

se cumplen para valores de x cercanos a cero. (Son válidas, comolo verá en la sección 10.9). ¿Qué nos indica esto con respecto al


D b. Grafique juntas las ecuaciones y = (1/2) - (x2 /24),y = (1 - cosx)/x2, y y = 1/2 para -2 ~ x ~ 2. Comentealgo sobre el comportamiento de las gráficas cuando x --> O.

D Estimación de LímitesPara los ejercicios 67 a 74 será útil manejar una calculadora graficadora

67. Sea f(x) = (x2 - 9)/(x + 3).

a. Construya una tabla de valores de! en los puntos x = - 3.1,-3.01, -3.001 y así sucesivamente, tanto como 10permita sucalculadora. Luego estime límx--->-3f(x). ¿Cuál es la estimaciónsi ahora evalúa! enx = -2.9, -2.99, -2.999, ... 7

b. Respalde sus conclusiones del inciso (a) mediante la gráfica de!cerca de xo = - 3, así como utilizando las funciones Zoom yTrace para estimar valores de y en la gráfica cuando x --> - 3 .

c. Determine algebraicamente límx--->-3f(x) como en el ejemplo 7.

68. Sea g(x) = (x2 - 2)/(x - V2\a. Construya una tabla de valores de g en los puntos x = 1.4,

1.41,1.414 Y así sucesivamente con aproximaciones decimales

de V2. Estime líffix--->v2 g(x).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de g

cerca de xo = V2 así como utilizando las funciones Zoom y

Trace para estimar valores de y en la gráfica cuando x --> V2.c. Determine algebraicamente límx--->v2 g(x).

69. SeaG(x) = (x + 6)/(x2 + 4x - 12).

a. Construya una tabla de valores de G en los puntos x = -5.9,-5.99, -5.999, Yasí sucesivamente. Luego estime

límx--->-6G(x) . ¿Cuál es la estimación si ahora evalúa

Genx = -6.1, -6.01, -6.001, ... 7

b. Respalde sus conclusiones del inciso (a) mediante la gráficade G, así como utilizando las funciones Zoom y Trace paraestimar valores de y en la gráfica cuando x --> -6.

c. Determine algebraicamente límx--->-6G(x) .

70. Seah(x) = (x2 - 2x - 3)/(x2 - 4x + 3).

a. Construya una tabla de valores de h en x = 2.9,2.99,2.999 Yasí sucesivamente. Luego estime límx--->3h(x) . ¿Cuál es laestimación si ahora evalúa h en x = 3.1,3.01,3.001, ... 7

b. Respalde sus conclusiones del inciso (a) mediante la gráfica de hcerca de xo = 3, así como utilizando las funciones Zoom y Tracepara estimar valores de y en la gráfica cuando x --> 3 .

c. Determine algebraicamente límx--->3h(x) .71. Seaf(x) = (x2 - l)/(Ixl- 1).

a. Construya una tabla de valores de! en valores de x que seaproximen a xo = -1, tanto por arriba como por abajo. Luegoestime límx--->-l f(x).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de!cerca de Xo = - 1, así como utilizando las funciones Zoom yTrace para estimar valores de y en la gráfica cuando x --> - 1 .

c. Determine algebraicamente límx--->-l f(x) .

72. SeaF(x) = (x2 + 3x + 2)/(2 -Ixl).

a. Construya una tabla de valores de ! en valores de x que seaproximen a Xo = -2, por arriba y por abajo. Luego estimelímx--->-2F(x).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de!cerca de Xo = -2, así como utilizando las funciones Zoom yTrace para estimar valores de y en la gráfica cuando x --> - 2.

c. Determine algebraicamente límx--->-2F(x).

73. Sea g(e) = (sen e)/e.

a. Construya una tabla de valores de g para valores de e que seaproximen a eo = O, por arriba y por abajo. Luego estimelíme--->og(e).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de!cerca de eo = o.

74. Sea G(t) = (1 - cos t)/F.a. Construya tablas de valores de G para valores de t que se aproxi-

men a to = O, por arriba y por abajo. Luego estime límt--->oG(t).

b. Respalde su conclusión en el inciso (a) con la gráfica de G cercade to = O.

Teoría y ejempLos

75. Si x4 ~ f(x) ~ x2 para x en [-1, 1]Y x2 ~ f(x) ~ x4 para x < -1Y x > 1, ¿en qué puntos e usted puede conocer automáticamentelímx--->cf(x) 7 ¿Qué puede decir acerca del valor del límite en estospuntos7


Límites de tasas de cambio promedio Debido a su relación con las rectas secantes, tangentes y tasas instantáneas, los límites de la forma

, f(x + h) - f(x) hm h

h--->O

aparecen con mucha frecuencia en cálculo. En los ejercicios 57 a 62, evalúe este límite para el valor dado de x y la funciónj.

57. f(x) = x2, X = 1 58. f(x) = ~, x = - 2

59. f(x) = 3x - 4, x = 2 60. f(x) = l/x, x = -2

61. f(x) = Vx, x = 7 62. f(x) = ~, x = O

ApLicación deL teorema de La compresión

63. Si ~ ~ f(x) ~ v'5="7 para toda -1 ~ x ~ 1, deter

mine límx--->o f(x) .

64. Si 2 - x2 ~ g (x) ~ 2 cos x para toda x, determine límx--->o g (x) .

65. a. Puede demostrarse que las desigualdades

X2 xsenx < - 6" < 2 - 2 cosx

se cumplen para todos los valores de x cercanos a cero. ¿Nos indica algo acerca de

lím x senx 7 x--->O 2 - 2 cosx


D b. Grafiquejuntasy = 1 - (x2/6), y = (xsenx)/(2 - 2cosx), y

y = 1 para - 2 ~ x ~ 2. Comente algo sobre el comportamiento de las gráficas cuando x ~ O.

66. a. Suponga que las desigualdades

1. _ .i. < 1 - cos x < 1. 2 24 x2 2

se cumplen para valores de x cercanos a cero. (Son válidas, como lo verá en la sección 10.9). ¿Qué nos indica esto con respecto al


D b. Grafique juntas las ecuaciones y = (1/2) - (x2 /24), y = (1 - cosx)/x2, y y = 1/2 para -2 ~ x ~ 2. Comente algo sobre el comportamiento de las gráficas cuando x ~ O.

D Estimación de Límites Para los ejercicios 67 a 74 será útil manejar una calculadora graficadora

67. Sea f(x) = (x2 - 9)/ (x + 3).

a. Construya una tabla de valores de f en los puntos x = - 3.1, - 3.01, - 3.001 y así sucesivamente, tanto como lo permita su calculadora. Luego estime límx--->- 3 f(x). ¿Cuál es la estimación si ahora evalúaf enx = - 2.9, -2.99, - 2.999, ... 7

b. Respalde sus conclusiones del inciso (a) mediante la gráfica de f cerca de xo = - 3, así como utilizando las funciones Zoom y Trace para estimar valores de y en la gráfica cuando x ~ - 3 .

c. Determine algebraicamente límx--->-3 f(x) como en el ejemplo 7.

68. Sea g(x) = (x2 - 2)/ (x - \1'2\ a. Construya una tabla de valores de g en los puntos x = 1.4,

1.41,1.414 Y así sucesivamente con aproximaciones decimales

de v2. Estime líillx---> v2 g(x).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de g

cerca de xo = v2 así como utilizando las funciones Zoom y

Trace para estimar valores de y en la gráfica cuando x ~ v2. c. Determine algebraicamente límx--->v2 g(x) .

69. SeaG(x) = (x + 6)/(x2 + 4x - 12).

a. Construya una tabla de valores de G en los puntos x = - 5.9,

- 5.99, - 5.999, Y así sucesivamente. Luego estime

límx--->- 6 G(x) . ¿Cuál es la estimación si ahora evalúa

Genx = - 6.1, - 6.01, - 6.001, .. . 7

b. Respalde sus conclusiones del inciso (a) mediante la gráfica de G, así como utilizando las funciones Zoom y Trace para estimar valores de yen la gráfica cuando x ~ -6.

c. Determine algebraicamente límx--->-6 G(x) .

70. Seah(x) = (x2 - 2x - 3)/(x2 - 4x + 3).

a. Construya una tabla de valores de h en x = 2.9,2.99,2.999 Y así sucesivamente. Luego estime límx--->3 h(x) . ¿Cuál es la estimación si ahora evalúa h en x = 3.1,3.01,3.001, ... 7

b. Respalde sus conclusiones del inciso (a) mediante la gráfica de h

cerca de xo = 3, así como utilizando las funciones Zoom y Trace para estimar valores de y en la gráfica cuando x ~ 3 .

c. Determine algebraicamente límx--->3 h(x) .

71. Seaf(x) = (x2 - I)/( Ixl- 1).

a. Construya una tabla de valores de f en valores de x que se aproximen a xo = -1, tanto por arriba como por abajo. Luego estime límx--->- l f(x).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de f cerca de Xo = - 1, así como utilizando las funciones Zoom y Trace para estimar valores de y en la gráfica cuando x ~ - 1 .

c. Determine algebraicamente límx--->-l f(x) .

72. SeaF(x) = (x2 + 3x + 2)/(2 -Ixl).

a. Construya una tabla de valores de f en valores de x que se aproximen a Xo = - 2, por arriba y por abajo. Luego estime límx--->- 2 F(x).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de f cerca de Xo = -2, así como utilizando las funciones Zoom y Trace para estimar valores de y en la gráfica cuando x ~ - 2.

c. Determine algebraicamente límx--->-2 F(x).

73. Sea g(e) = (sen e)/e.

a. Construya una tabla de valores de g para valores de e que se aproximen a eo = O, por arriba y por abajo. Luego estime líme--->o g(e).

b. Respalde su conclusión del inciso (a) mediante la gráfica de f cerca de eo = O.

74. SeaG(t) = (1- cost)/F.

a. Construya tablas de valores de G para valores de t que se aproximen a to = O, por arriba y por abajo. Luego estime límt--->o G(t).

b. Respalde su conclusión en el inciso (a) con la gráfica de G cerca de to = O.

Teoña y ejempLos

75. Si x4 ~ f(x) ~ x2 para x en [ -1, 1] Y x2 ~ f(x) ~ x4 para x < -1 Y x > 1, ¿en qué puntos e usted puede conocer automáticamente límx--->c f(x) 7 ¿Qué puede decir acerca del valor del límite en estos puntos7


2.3 La definición formal de límite 57

D 81. a. Grafique g(x) = x sen (l/x) para estimar límx-->og(x), en casonecesario, haga un acercamiento (zoom) en el origen.

b. Mediante una demostración, confirme su resultado del inciso (a).

D 82. a. Grafique h(x) = x2 cos (l/x3) para estimar límx-->oh(x), en casonecesario, haga un acercamiento (zoom) en el origen.

b. Confirme su estimación del inciso (a) mediante una demostración.

76. Suponga que g (x) oS f(x) oS h(x) para toda x*"2 Y que

lím g(x) = lím h(x) = -5.x-+2 x~2

¿Puede concluir algo acerca de los valores de f, g y h en x = 27 ¿Esposible que f(2) = 07 ¿Es posible que límx-->2 f(x) = 07 Justifiquesus respuestas.

77. Si lím f(x) -25= 1, determine lím f(x).

x~4 X - x--+4

78 S· lí f(x) 1 d .• 1 nn ~ = , etermme

x--+-2 x-

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAEstimación gráfica de limitesEn los ejercicios 83 a 88, utilice un SAC para realizar los siguientes pasos:

a. Trace la función cerca del punto Xo al que se aproxima.b. Con base en su gráfica, haga una conjetura acerca del valor del

límite.

a. lím f(x) b. lím f~)x--+-2 x--+-2

79. a. Si lím f(x) -25 = 3, determine lím f(x).x--+2 x - x--+2

b S· lí f(x) - 5 4 d . lí f(). I im 2 = , etermme im x.

x-3>2 x - x--+2

80 S· l' f(x) 1 d .• 1 im -2- = , etermme

x-re-Ü x

a. lím f(x)x-->O

2.3

b. lím f(x)x--+O x

~-~-5x-3x4 - 1684. lím (x + I?x-+-]

83. Iím ~

x2 - 9

x-->2

\Yl+x - 186. lím -w+7 _ 4x--+3 x

85. Iím x

2x2

x-->O

1 - cosx88. lím 3 - 3cosxx--+O

87. lím xsenxx-->O

La definición formaL de Limite

Ahora ponemos nuestra atención en la definición formal de límite. Reemplazamos las frasesvagas como "se acerca arbitrariamente a" de la definición informal con condiciones específi-cas que pueden aplicarse a cualquier ejemplo particular. Con una definición precisa, es posibledemostrar las propiedades de los límites que se dieron en la sección anterior y establecer mu-chos límites específicos.

Para demostrar que el límite de f(x) cuando x ~ xo es igual al número L, necesitamosdemostrar también que la distancia entre f(x) y L puede hacerse "tan pequeña como queramos"si x se mantiene "suficientemente cerca" de xo. Veamos lo que esto requerirá si especificamosel tamaño de la distancia entre f(x) y L.

y

EJEMPLO 1 Considere la función y = 2x - 1 cerca de Xo = 4. Intuitivamente parece que yestará cerca de 7 cuando x esté cerca a 4, por lo que límx-->4 (2x - 1) = 7. Sin embargo, ¿quétan cerca de Xo = 4 debe estar x para hacer que y = 2x - 1 difiera de 7, digamos en menosde dos unidades?

Solución Preguntamos: ¿Para qué valores de x es Iy - 71 < 2? Para determinar la respues-ta, primero expresamos Iy - 71 en términos de x:

Para ¡9satisfacer 7esto

51 1'" '

Iy - 71 = 1(2x - 1) - 71 = 12x - 81·

Entonces la pregunta se transforma en: ¿qué valores de x satisfacen 12x - 81 < 2? Para en-contrarios, resolvemos la desigualdad:Cota inferior:

y=512x-81<2

-2 < 2x - 8 < 26 < 2x < 103 < x < 5

-1 <x-4 < l.

1/ t. t l X

FIGURA 2.15 Si se mantiene x a una unidad

de Xo = 4, el valor de y se mantendrá a dosunidades de yo = 7 (ejemplo 1).

Al mantener x a menos de una unidad de Xo = 4, mantendremos a ya menos de dos unidadesde yo = 7 (figura 2.15). •


58 CapítuLo 2: Límites y continuidad

f(x)¡(x) se

L encuentra aquí

1L - lO

para toda x * Xoque esté aquí,..---A-,

~~ x-4-----{----o--*-4--+xO xo-/l Xo xo+/l

FIGURA 2.16 ¿Cómo debemos definiro > O de manera que manteniendo a xdentro del intervalo (xo - o, Xo + o)el valor de f(x) se mantenga dentro del

intervalo (L - /0' L + /o)?

y

L+E lf(x) sef(x) J encuentra aquíL

L-E

para toda x * Xoque esté aquí

~~~

x-O~-------4--~~----~--~x

xo-/l Xo xo+/l

FIGURA 2.17 La relación de o y E en la

definición de límite.

En el ejemplo anterior, determinamos qué tan cerca debe estar x de un valor particular Xopara asegurar que las salidas f(x) de alguna función estén dentro de un intervalo preestablecidoalrededor del valor límite L. Para mostrar que el límite de f(x), cuando x ~ Xo en realidad esigual a L, debemos ser capaces de mostrar que la distancia entre f(x) y L puede hacerse menorque cualquier error prescrito, sin importar cuán pequeño sea éste, manteniendo a x suficiente-mente cerca a xo.

Definición de limiteSuponga que vemos los valores de una función f(x) cuando x se aproxima a Xo (sin tomaren cuenta el valor mismo xo). Desde luego, queremos ser capaces de decir que f(x) está amenos de un décimo de unidad de L tan pronto como x esté a menos de alguna distancia ode Xo (figura 2.16). Pero, en sí mismo, eso no es suficiente, ya que cuando x continúa su ca-mino hacia xo, ¿qué impediría a f(x) oscilar en un intervalo de L - (1/10) a L + (1/10) sintender hacia L?

Podríamos decir que el error no es mayor que 1/100 o 1/1000 o 1/100,000. Cada vezdeterminamos un nuevo intervalo o alrededor de xo, de manera que si mantenemos a x den-tro de ese intervalo se satisface la nueva tolerancia de error. Cada vez existe la posibilidadde que f(x) oscile y se aleje de L en alguna etapa.

Las figuras de la siguiente página ilustran el problema. Puede pensar en esto como unadiscusión entre un escéptico y un académico. El escéptico presenta E-retos para mostrar que ellímite no existe o, con mayor precisión, que hay lugar a dudas. El académico responde cadareto con un o-intervalo alrededor de Xo que mantiene los valores de la función a menos deEunidades de L.

¿Cómo acabar con esta, en apariencia, serie sin fin de retos y respuestas? Al mostrar quepara cada tolerancia de error E que el retador proponga, podemos encontrar, calcular o conje-turar una distancia o correspondiente que mantenga a x "suficientemente cerca" de Xo paraque f(x) esté dentro del rango de tolerancia de L (figura 2.17). Lo anterior lleva a la definiciónformal de límite.

DEFINICIÓN Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de xo, exceptoposiblemente en xo. Decimos que el límite de f(x) cuando x se aproxima a Xo esel número L y escribimos

lím f(x) = L,x~xo

si, para todo número E > O, existe un número o > O correspondiente tal que paratoda x,

O < [x - xol < o If(x) - LI < E.

Una manera de interpretar tal definición es suponer que operamos un taladro de precisión.Podemos intentar obtener el diámetro L, pero como nada es perfecto, debemos quedar satis-fechos con un diámetro f(x) entre L - EYL + E. La o es la medida de qué tan preciso habre-mos de establecer el control para x de forma que se garantice este grado de precisión en eldiámetro del orificio. Observe que cuanto más estricta sea la tolerancia para el error, tal veztendremos que ajustar o. Esto es, el valor de o (que determina qué tan estricto debe ser nues-tro control) depende del valor E, que es la tolerancia de error.

Ejemplos: Comprobación de la definiciónLa definición formal de límite no dice cómo determinar el límite de una función, pero nospermite verificar que un límite supuesto es correcto. Los siguientes ejemplos muestran cómopuede usarse la definición para verificar los límites en el caso de funciones específicas. Sinembargo, el propósito real de la definición no es para hacer cálculos como éstos, sino paracomprobar teoremas generales de manera que los cálculos de límites específicos puedansimplificarse.


y

L+!J } f(x) f(x) se

L encuentra aquí

1 L - lO

para toda x * Xo que esté aquí ,.--A-,

~~ x

-4-----4----~ __ -4__+x O xo-/l Xo xo+/l

FIGURA 2.16 ¿Cómo debemos definir /l > O de manera que manteniendo a x dentro del intervalo (xo - 8, Xo + 8) el valor de f(x) se mantenga dentro del

intervalo (L - /0' L + :O)?

y

L+E

L

L-E

l f(x) se f(x ) J encuentra aquí

para toda x * Xo que esté aquí ~

~~ x

-04r------~--~~----~--~x

xo-/l Xo xo+/l

FIGURA 2.17 La relación de 8 y E en la definición de límite.

En el ejemplo anterior, determinamos qué tan cerca debe estar x de un valor particular Xo para asegurar que las salidas f(x) de alguna función estén dentro de un intervalo preestablecido alrededor del valor límite L. Para mostrar que el límite de f(x), cuando x ~ Xo en realidad es igual a L, debemos ser capaces de mostrar que la distancia entre f(x) y L puede hacerse menor que cualquier error prescrito, sin importar cuán pequeño sea éste, manteniendo a x suficientemente cerca a xo.

Definición de limite

Suponga que vemos los valores de una función f(x) cuando x se aproxima a Xo (sin tomar en cuenta el valor mismo xo). Desde luego, queremos ser capaces de decir que f(x) está a menos de un décimo de unidad de L tan pronto como x esté a menos de alguna distancia o de Xo (figura 2.16). Pero, en sí mismo, eso no es suficiente, ya que cuando x continúa su camino hacia xo, ¿qué impediría a f(x) oscilar en un intervalo de L - (l/ID) aL + (1/10) sin tender hacia L?

Podríamos decir que el error no es mayor que 1/100 o 1/1000 o 1/100,000. Cada vez determinamos un nuevo intervalo o alrededor de xo, de manera que si mantenemos a x dentro de ese intervalo se satisface la nueva tolerancia de error. Cada vez existe la posibilidad de que f(x) oscile y se aleje de L en alguna etapa.

Las figuras de la siguiente página ilustran el problema. Puede pensar en esto como una discusión entre un escéptico y un académico. El escéptico presenta E-retos para mostrar que el límite no existe o, con mayor precisión, que hay lugar a dudas. El académico responde cada reto con un o-intervalo alrededor de Xo que mantiene los valores de la función a menos de E unidades de L.

¿Cómo acabar con esta, en apariencia, serie sin fin de retos y respuestas? Al mostrar que para cada tolerancia de error E que el retador proponga, podemos encontrar, calcular o conjeturar una distancia o correspondiente que mantenga a x "suficientemente cerca" de Xo para que f(x) esté dentro del rango de tolerancia de L (figura 2.17). Lo anterior lleva a la definición formal de límite.

DEFINICIÓN Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de xo, excepto posiblemente en xo. Decimos que el límite de f(x) cuando x se aproxima a Xo es el número L y escribimos

lím ¡(x) = L, x~xo

si, para todo número E > O, existe un número o > O correspondiente tal que para toda x,

O < Ix - xol < o I¡(x) - LI < E.

Una manera de interpretar tal definición es suponer que operamos un taladro de precisión. Podemos intentar obtener el diámetro L, pero como nada es perfecto, debemos quedar satisfechos con un diámetro f(x) entre L - E Y L + E. La o es la medida de qué tan preciso habremos de establecer el control para x de forma que se garantice este grado de precisión en el diámetro del orificio. Observe que cuanto más estricta sea la tolerancia para el error, tal vez tendremos que ajustar o. Esto es, el valor de o (que determina qué tan estricto debe ser nuestro control) depende del valor E, que es la tolerancia de error.

Ejemplos: Comprobación de la definición

La definición formal de límite no dice cómo determinar el límite de una función, pero nos permite verificar que un límite supuesto es correcto. Los siguientes ejemplos muestran cómo puede usarse la definición para verificar los límites en el caso de funciones específicas. Sin embargo, el propósito real de la definición no es para hacer cálculos como éstos, sino para comprobar teoremas generales de manera que los cálculos de límites específicos puedan simplificarse.


y y

11 ¡L+-I10 ,. -" .L +lolL L

, I I ) X -----il ') Xo \ ) x

xO-OIlIO xO+OlllORespuesta:

Ix - xol < 01110 (un número)

o Xo

El reto:

Establecer lJ(x) - LI < E = loy

1L + 1000 7" ¡-1

L

. I I ) Xo Xo

Nuevo reto:1

E = 1000

y y

1L + 100,000 #'

~k ----4 ~L -- 7/

lL -100,000

y


y

1L + 100

L1

L -100

, 1 1 ) X

o Xo

Nuevo reto:

Establecer IJ(x) - LI < E = 160

y

1L + 1000 (,

-1 ...L

r I "1 I ) Xo Xo

Respuesta:

Ix - xol < 01/1000

y

1L + 100

Ll

L -100

-----t¡ )) Xo

\ ) x

Xo - 011100 xo + 011100Respuesta:

Ix - xol < 01/100

1L + 100,000 ./

~b ---i!?I--L ---- A I

1/L -100,000

, 1 1) X

L + E"f-= ~/'L - "'.7L-E

o xo o, 1 1) x

oNuevo reto:

1E = 100,000

Xo

Respuesta:

Ix - xol < 011100,000

EJEMPLO 2 Demuestre que

lím (5x - 3) = 2.x-->l

Nuevo reto:

xo

E = ...

Solución Establecemos Xo = 1, f(x) = 5x - 3, Y L = 2 en la definición de límite. Paracualquier E > Odado, tenemos que encontrar un 8 > Oadecuado, de manera que si x *- 1 Yxestá a una distancia menor a 8 de Xo = 1, esto es, siempre que

O < [x - 11 < 8,

se cumple que f(x) está a una distancia menor a E de L = 2, es decir,

1f(x) - 21 < E.


y y y y

I L + 10 1---- ----1-__. 1 L + 10 1---..,-----4----,

1 1 L + 100 I-----;----f- --:¡

L L

L + 1001------+ - .

L I

L - lOO

---~------~------~ x -----'-O-+----'--/ f---x-L" O----!-\ ---+ x -----':-lf---------c"-------~ x Xo

--~+_-~/f-~-~\---+ x o / xo Xo - 8 1/10 Xo + 81110 Xo - /JI / lOO Xo + /J I/ lOO

El reto: Respuesta: Nuevo reto: Respuesta:

Establecer I j(x) - LI < E = fa I x - xol < /J IIIO (un número) Establecer I j(x) - LI < E = 1 bo Ix - xol < /J I/ lOO

y y

1 L + 1000

--r------.---~~--.

L

-------+-------~-------+ x ------'c+-------"-~--"'----~ x o

Respuesta: Nuevo reto: 1

E = 1000 Ix - xol < /J lllooo

y

y = ¡(x)

I L + 100,000

~I------="," L f-----7'+-- -' /

1 L - ¡OO,OOO

--------'--+-------~----_+ x O

Nuevo reto: 1

E = 100,000

y

1 L + 100 000

'~ L f--_-_-_-_-_-_-_-_~I '---;

[/ L - 100,000

/ --------'-O-+-------~~~--~ x

Respuesta:

I x - xo l < /J1 /100.000


y

---':-l--------~--------~X

Nuevo reto:

E = ...

lím (5x - 3) = 2. x ->]

Solución Establecemos Xo = 1, ¡ (x) = 5x - 3 , Y L = 2 en la definición de límite. Para cualquier E > O dado, tenemos que encontrar un o > O adecuado, de manera que si x =1=- 1 Y x está a una distancia menor a o de Xo = 1, esto es, siempre que

O<lx- l l < o,

se cumple que f(x) está a una distancia menor a E de L = 2, es decir,

1 ¡(x) - 21 < E.



yy=Sx-3

2+E~--------------~-----.

2 -------------,III

2-E :III__+- +--L__L-~ ~x

O 1 + ~S

NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 2.18 si f(x) = Sx - 3, entoncesO < [x - l] < E/S garantizaque[[(x) - 21< E (ejemplo2).

y

~+o~------~~~~------~xo

~-O~-------,¡~-+--------~

FIGURA 2.19 Para la funciónf(x) = x,encontramosque O < Ix - xol < ogarantizaráque If(x) - xol < E siempreque o :s E (ejemplo3a).

y

y=kk+E~--------------------~.

k •••• ---;·~k-E~------~-L--~------~'

____+- L--'-__ L- ~xO

FIGURA 2.20 Para la funciónf(x) = k,

encontramosque If(x) - kl < E paracualquiero positivo(ejemplo3b).

Determinamos el valor de {)si trabajamos hacia atrás a partir de la desigualdad con E:

I(Sx - 3) - 21 = ISx - SI < E

Slx - 11 < E

[x - 11 < E/S.

Así, tomamos {) = E/S (Figura 2.18). Si O < [x - 11 < {) = E/S, entonces

I(Sx - 3) - 21 = ISx - SI = Slx - 11 < S(E/S) = E,

lo cual prueba que límx-> 1(Sx - 3) = 2.El valor de {)= E/S no es el único que hará que O < Ix - 11< {)implique ISx - si < E.

Cualquier valor positivo más pequeño para {)también funcionará. La definición no preguntapor el "mejor" valor positivo de 8, sólo por uno que funcione. -

EJEMPLO 3 Pruebe los siguientes resultados, presentados gráficamente en la sección 2.2.

(a) lím x = xox~xo

(b) lím le = le (le constante)x~xo

Solución(a) Sea E > O dado. Debemos encontrar 8 > O tal que para toda x

O < [x - xol < 8 [x - xol < E.implica

(b)

La implicación se cumplirá si {)es igual a E o cualquier número positivo menor (figura2.19). Lo anterior prueba que lírnx->xo x = xo.Sea E > O dado. Debemos encontrar {)> O tal que para toda x

O < [x - xol < {) Ile-lel<E.implica

Como le - le = O, utilizamos cualquier número positivo para {)y la implicación se cum-plirá (figura 2.20). Esto prueba que límx->xo k = le. -

Determinación algebraica de delta para épsilon dadaEn los ejemplos 2 y 3, el intervalo de valores alrededor de xo, para el cual Íj'(») - L 1 es menorque E, fue simétrico con respecto a xo, por lo que podríamos tomar 8 como un medio de la lon-gitud de ese intervalo. Cuando no se tiene tal simetría, lo cual es bastante común, tomamos {)como la distancia de Xo al extremo más cercano del intervalo.

EJEMPLO 4 Para el límite límx->5 Vx--=-l = 2, determine una {)> O que funcione paraE = 1. Esto es, determine 8 > O tal que para toda x

O < [x - SI < 8 1Vx--=-l - 21 < 1.

Solución Organizamos la búsqueda en dos pasos, como se describe a continuación.

1. Resuelva la desigualdad 1Vx--=-l - 21 < 1 para encontrar un intervalo que contengaa Xo = S, en el que la desigualdad se cumpla para toda x * Xo·

1Vx--=-l - 21 < 1

-1 < Vx--=-l-2< 1

1 < Vx--=-l < 3

1<x-1<9

2 < x < 10


y y= 5x -3

2 + E f--------f------,

2 -------------, I I I

2 - E f-------¡r---+--r---~

-O~----T-L--L-l~+-~--~X

5

J NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 2.18 Si f(x) = 5x - 3, entonces O < Ix - 11 < E/ 5 garantiza que [[(x) - 21 < E (ejemplo 2).

y

Xo + E

Xo + 8 1--------,.(-'-----.....,

Xo

Xo - 8 f-------,¡----¡.---t------'

FIGURA 2.19 Para la funciónj(x) = x, encontramos que O < Ix - xol < 8 garantizará que I!(x) - xol < E siempre que 8 ::s E (ejemplo 3a).

y

y= k k+ E I------------~1

k ..... ---, k - E f----+--'-----t--------=I

--r---~L-~-L----_+x

O

FIGURA 2.20 Para la funciónf(x) = k,

encontrarnos que If(x) - kl < E para cualquier 8 positivo (ejemplo 3b).

Determinamos el valor de o si trabajamos hacia atrás a partir de la desigualdad con E:

I (5x - 3) - 2 1 = 15x - 51 < E

5 1x - 11 < E

Ix - 11 < E/ 5.

Así, tomamoso = E/ 5(Figura2.18). SiO < Ix - 11 < o = E/ 5 ,entonces

1(5x - 3) - 21 = 15x - 51 = 51x - 11 < 5(E/ 5) = E,

lo cual prueba que límx--> I (5x - 3) = 2. El valor de 0= E/ 5 no es el único que hará que O < Ix - 11 < o implique 15x - 51 < E.

Cualquier valor positivo más pequeño para o también funcionará. La definición no pregunta por el "mejor" valor positivo de o, sólo por uno que funcione. •

EJEMPLO 3 Pruebe los siguientes resultados, presentados gráficamente en la sección 2.2.

(a) lím x = xo (b) lím k = k (k constante) X-...,»Xo x~xo

Solución

(a) Sea E > O dado. Debemos encontrar o> O tal que para toda x

(b)

O < Ix - xol < o implica Ix - xol < E.

La implicación se cumplirá si o es igual a E o cualquier número positivo menor (figura 2.19). Lo anterior prueba que limx->xo x = xo.

Sea E > O dado. Debemos encontrar o > O tal que para toda x

O < Ix - xol < o implica Ik-kl< E.

Como k - k = O, utilizamos cualquier número positivo para o y la implicación se cumplirá (figura 2.20). Esto prueba que límx-->xo k = k. •

Determinación algebraica de delta para épsilon dada

En los ejemplos 2 y 3, el intervalo de valores alrededor de xv, para el cuallf(x) - L I es menor que E, fue simétrico con respecto a xv, por lo que podríamos tomar o como un medio de la longitud de ese intervalo. Cuando no se tiene tal simetría, lo cual es bastante común, tomamos o como la distancia de Xo al extremo más cercano del intervalo.

EJEMPLO 4 Para el límite límx-->5 ~ = 2, determine una o > O que funcione para E = 1. Esto es, determine o > O tal que para toda x

O < Ix - 5 1 < o I~ - 2 1 < 1.

Solución Organizamos la búsqueda en dos pasos, como se describe a continuación.

1. Resuelva la desigualdad I ~ - 2 1 < 1 para encontrar un intervalo que contenga a Xo = 5, en el que la desigualdad se cumpla para toda x =F xv.

1~ - 21 < 1

- 1 < ~ -2 < 1

1 <~<3 l <x- l < 9

2 < x < 10


3 3li !:!! J I I I ) x258

FIGURA 2.21 Un intervalo abierto deradio 3 alrededor de Xo = 5 estará dentrodel intervalo abierto (2, 10).

y

3\. y=~,?:I 1I 11 11 1I 1I 1I I

2 r- --;----- ¡;TI11I

3 3 ~

10

10


It! 1 I

8

La desigualdad se cumple para toda x en el intervalo abierto (2, 10), así que también secumple para toda x =1= 5 en ese intervalo.

2. Determine un valor de 8 > Opara colocar el intervalo centrado 5 - 8 < x < 5 + 8(centrado en Xo = 5) dentro del intervalo (2, 10). La distancia de 5 al extremo más cer-cano de (2, 10) es 3 (figura 2.21). Si tomamos 8 = 3 o cualquier número positivo máspequeño, entonces la desigualdad O < [x - 51 < 8 automáticamente colocará a x entre 2y 10 para hacer !~ - 2! < 1 (figura 2.22):

0<!x-5!<3 !~-2!<1. •

01 1 2 5

~

puede realizarse en dos pasos.

1. Resuelva la desigualdad I f(x) - L I < E para determinar un intervalo abierto(a, b) que contenga a Xo en el cual se cumpla la desigualdad para toda x #- xo.

2. Determine un valor de 8 > Oque coloque un intervalo abierto (xo - 8, Xo + 8)con centro en Xo dentro del intervalo (a, b). La desigualdad If(x) - LI < E secumplirá para toda x =1= Xo en este 8-intervalo.

NO ESTÁ A ESCALA

Dados ¡,L, Xo y E > 0, ¿cómo determinar algebraicamente una 8?El proceso para determinar una 8 > Otal que para toda x

FIGURA 2.22del ejemplo 4.

La función y los intervalos

O < [x - xo! < 8 ~ !f(x) - L! < E

y

y = Xl

4 + El ,

4

EJEMPLO 5 Pruebe que límx-+2 f(x) = 4 si

f(x) = {x2,1,

x-¡:.2

x = 2.

----'''''"01./ ) ~ 1" ) X

v'4=E V'4+"E

FIGURA 2.23 Un intervalo que contienea x = 2, de manera que la función delejemplo 5 satisfaga If(x) - 41 < E.

Solución Nuestra tarea es mostrar que dado E > O,existe 8 > O,tal que para toda x

O < [x - 2! < 8 ~ !f(x) - 4! < E.

1. Resuelva la desigualdad !f(x) - 4! < € para determinar un intervalo abierto que con-tenga Xo = 2 en el que la desigualdad se cumpla para toda x -¡:. xo.

Para x -¡:. Xo = 2, tenemos f(x) = x2, por lo que la desigualdad a resolver es!x2 - 4! < E:

!X2 - 4! < E

-E < ~ - 4 < E

4-E<x2<4+E

~<!x!<~

~<x<~.

Suponga que E < 4;lea más adelante.

Un intervalo abierto alrededorde Xo = 2 que resuelve ladesigualdad.

La desigualdad !f(x) - 4! < E se cumple para x -¡:. 2 en el intervalo abierto (~,~) (figura 2.23).

2. Determine un valor 8 > Oque coloque el intervalo centrado (2 - 8, 2 + 8) dentro del

intervalo (~, ~).

Tome 8 como la distancia de Xo = 2 al extremo más cercano de (~, ~).

En otras palabras, tome 8 = mín {2 - ~, ~ - 2}, el mínimo (el menor)

3 3 --~I I~! ____ ~8~ ____ ~.~I--L-~~) X

2 5 8 10

FIGURA 2.21 Un intervalo abierto de

radio 3 alrededor de Xo = 5 estará dentro del intervalo abierto (2, 10).

y

3 y ="Vx/

K : I 1

2 I I --- -----, 1 I

I 1 1 1 1 1 1 I 1 1 I I

1 1 1 3 3 I I ( ) 1 1 1

O 5 8 10 NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 2.22 La función y los intervalos del ejemplo 4.

y

y = xZ

4 + E r-------t---------,

4

FIGURA 2.23 Un intervalo que contiene a x = 2, de manera que la función del

ejemplo 5 satisfaga I!(x) - 41 < E .

x

2.3 La defi nición forma l de límite 61

La desigualdad se cumple para toda x en el intervalo abierto (2, 10), así que también se cumple para toda x =1= 5 en ese intervalo.

2. Determine un valor de 8 > O para colocar el intervalo centrado 5 - 8 < x < 5 + 8 (centrado en Xo = 5) dentro del intervalo (2, 10). La distancia de 5 al extremo más cercano de (2, 10) es 3 (figura 2.21). Si tomamos 8 = 3 o cualquier número positivo más pequeño, entonces la desigualdad O < Ix - 51 < 8 automáticamente colocará a x entre 2

y 10 para hacer 1 ~ - 21 < 1 (figura 2.22):

O< lx - 51 <3 1~ - 21< 1.

Dados ¡, L, Xo y E > 0, ¿cómo determinar algebraicamente una 8?

El proceso para determinar una 8 > O tal que para toda x

O < Ix - xol < 8 If(x) - LI < E

puede realizarse en dos pasos.

1. Resuelva la desigualdad 1 f(x) - L 1 < E para determinar un intervalo abierto (a, b) que contenga a Xo en el cual se cumpla la desigualdad para toda x -=j:. Xo.

2. Determine un valor de 8 > O que coloque un intervalo abierto (xo - 8, Xo + 8) con centro en Xo dentro del intervalo (a , b). La desigualdad I¡(x) - LI < E se cumplirá para toda x =1= Xo en este 8-intervalo.

•

EJEMPLO 5 Pruebe que límx-->2 f(x) = 4 si

{x2

f(x) = ' 1,

x -=j:. 2

x = 2.

Solución Nuestra tarea es mostrar que dado E > O, existe 8 > O, tal que para toda x

O < Ix - 21 < 8 If( x ) - 41 < E.

1. Resuelva la desigualdad 1 f(x) - 41 < E para determinar un intervalo abierto que contenga Xo = 2 en el que la desigualdad se cumpla para toda x -=j:. xo.

2.

Para x -=j:. Xo = 2 , tenemos f(x) = x2, por lo que la desigualdad a resolver es Ix2 - 41 < E:

IX2 - 41 < E

- E < ~ - 4 < E

4-E <x2 < 4+E

~<Ixl<~ ~<x<~.

Suponga que E < 4; lea más adelante.

Un interva lo abierto alrededor de Xo = 2 que resuelve la desigualdad.

La desigualdad 1 f(x) - 41 < E se cumple para x -=j:. 2 en el intervalo abierto (~, ~) (figura 2.23).

Determine un valor 8 > O que coloque el intervalo centrado (2 - 8, 2 + 8) dentro del

intervalo (~, ~).

Tome 8 como la distancia de Xo = 2 al extremo más cercano de (~, ~).

En otras palabras, tome 8 = mín {2 - ~, ~ - 2} , el mínimo (el menor)



de los dos números 2 - ~ y ~ - 2. Si o tiene éste o cualquier valor posi-tivo menor, la desigualdad O< [x - 21 < o automáticamente colocará a x entre ~y ~ para hacer I/(x) - 41 < E. Para toda x,

O < [x - 21 < o If(x) - 41 < E.Q

Lo anterior completa la prueba para E < 4.Si E ~ 4, entonces tomamos o como la distancia de Xo = 2 al extremo más cercano

del intervalo (O, ~). En otras palabras, tomamos 0= mín {2, ~ - 2}.(Véase la figura 2.23). •

Uso de La definición para demostrar teoremasPocas veces empleamos la definición formal de límite para verificar límites específicos, comolos de los ejemplos anteriores. En vez de ello, recurrimos a los teoremas generales de límites,en particular a los teoremas de la sección 2.2. La definición se utiliza para demostrar dichosteoremas (véase el apéndice 4). Como un ejemplo, demostramos la parte 1 del teorema 1, laregla de la suma.

EJEMPLO 6 Dado que límx->cf(x) = L Ylírnx->cg(x) = M, demuestre que

lím (f(x) + g(x» = L + M.x->c

Solución Sea E > Odado. Queremos encontrar un número positivo o, tal que para toda x

O < [x - el < o If(x) + g(x) -!L + M)I < E.

Reagrupando términos, obtenemos

If(x) + g(x) - (L + M)I = I (f(x) - L) + (g(x) - M)I

s If(x) - LI + Ig(x) - MI·

Desigualdad del triángulo:

la + bl :=; lal + lbl

Como límx->cf(x) = L, existe un número 01 > Otal que para toda x

O < [x - el < 01 If(x) - LI < E/2.

De forma análoga, como límx->cg(x) = M, existe un número 02 > Otal que para toda x

O < Ix - el < 02 Ig(x) - MI < E/2.

Sea 0= mín {01, 02}, el menor de 01 y 02. Si O < [x - el < o entonces [x - el < 01, asíque If(x) - LI < e/2, y [x - el < 02, así que Ig(x) - MI < E/2. Por lo tanto,

If(x)+g(x)-(L+M)I <~+~=E.

Esto prueba que límx->c(f(x) + g [x)) = L + M. •Ahora demostramos el teorema 5 de la sección 2.2.

EJEMPLO 7 Dado que lírnx->cf(x) = L Y límx->cg(x) = M, Y además, f(x) s g(x) paratoda x en un intervalo abierto que contiene a e (excepto posiblemente a e mismo), demuestrequeL sM.

Solución Utilizamos el método de demostración por contradicción. Suponga, por el con-trario, que L > M. ASÍ,por la regla del límite de una diferencia del teorema 1,

lím (g(x) - f(x» = M-L.x-e-e


de los dos números 2 -~ y ~ - 2. Si o tiene éste o cualquier valor posi

tivo menor, la desigualdad O < Ix - 21 < o automáticamente colocará a x entre ~ y ~ para hacer I/(x) - 41 < E. Para toda x,

O < Ix - 2 1 < o Q I f(x) - 41 < E .

Lo anterior completa la prueba para E < 4. Si E ~ 4, entonces tomamos o como la distancia de Xo = 2 al extremo más cercano

del intervalo (O, ~). En otras palabras, tomamos 0= mÍn {2, ~ - 2}. (Véase la figura 2.23). •

Uso de La definición para demostrar teoremas

Pocas veces empleamos la definición formal de límite para verificar límites específicos, como los de los ejemplos anteriores. En vez de ello, recurrimos a los teoremas generales de límites, en particular a los teoremas de la sección 2.2. La definición se utiliza para demostrar dichos teoremas (véase el apéndice 4). Como un ejemplo, demostramos la parte 1 del teorema 1, la regla de la suma.

EJEMPLO 6 Dado que límx-->c f(x) = L Y lírnx-->c g(x) = M, demuestre que

lím (f(x) + g(x» = L + M. x->c

Solución Sea E > O dado. Queremos encontrar un número positivo o, tal que para toda x

O < Ix - el < o If(x) + g(x) -!L + M)I < E .

Reagrupando términos, obtenemos

If(x) + g(x) - (L + M)I = I (f(x) - L) + (g(x) - M)I

:S If(x) - L I + Ig(x) - MI·

Desigualdad del triángulo:

la + bl :$ lal + Ibl

Como límx-->c f(x) = L, existe un número 01 > O tal que para toda x

O < Ix - el < 01 If(x) - LI < E/2.

De forma análoga, como límx-->c g(x) = M, existe un número 02 > O tal que para toda x

Ig(x) - MI < E/2.

Sea 0= mÍn {01, OÚ , el menor de 01 y 02. Si O < Ix - el < o entonces Ix - el < 01, así

que If(x) - LI < E/ 2, Y Ix - el < 02 , así que Ig(x) - MI < E/ 2. Por lo tanto,

E E I f(x) + g (x) - (L + M) I < 2" + 2" = E.

Esto prueba que límx-->c (f(x) + g (x» = L + M . • Ahora demostramos el teorema 5 de la sección 2.2.

EJEMPLO 7 Dado que lírnx-->c f(x) = L Y límx-->c g(x) = M, Y además, f(x) :S g(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a e (excepto posiblemente a e mismo), demuestre queL:S M.

Solución Utilizamos el método de demostración por contradicción. Suponga, por el con-trario, que L > M. ASÍ, por la regla del límite de una diferencia del teorema 1,

lím (g(x) - f(x» = M - L. x->c



Por lo tanto, para cualquier € > O,existe un o > Otal que

I (g(x) - f(x» - (M - L)I < € siempre que O < [x - el < o.

Como, por hipótesis, L - M > O, tomamos € = L - M en particular y tenemos un númeroO > Otal que

I (g(x) - f(x» - (M - L)I < L - M siempre que O < Ix - el < o.

Como para cualquier número a, a :s: la 1, tenemos

(g(x) - f(x» - (M - L) < L - M siempre que O < [x - el < O

que se reduce a

g(x) < f(x) siempre que O < Ix - el < o.

Pero esto contradice f(x) :s: g(x). Así, la desigualdad L > M debe ser falsa. Por lo tanto,L:s:M _

Ejercicios 2.3

Intervalos centrados en un puntoEn los ejercicios 1 a 6, trace un bosquejo del intervalo (a, b) en el eje x conel punto Xo dentro. Luego, determine un valor de 8 > O tal que para toda x,O< Ix - xol < 8 =? a < x < b.

1. a = 1, b = 7, Xo = 5

2. a = 1, b = 7, Xo = 2

3. a = -7/2, b = -1/2, Xo = -3

4. a = -7/2, b = -1/2, Xo = -3/2

5. a = 4/9, b = 4/7, Xo = 1/26. a = 2.7591, b = 3.2391, Xo = 3

Determinación gráfica de deltasEn los ejercicios 7 a 14, utilice las gráficas para encontrar una 8> Otal que para toda x

0< Ix-xol <8 ~ If(x)-LI <E.7. 8.

y yj(x) = -;J.x + 3

2Xo =-3L = 7.5E = 0.15

Y = -;J.x + 32

o

6.2r-----J(i1 j(x) = 2x - 46 ------ 1 xo=5

5.8 -----1:: L=61 1 1 E = 0.2111111111

7.657.57)5

NO ESTÁ A ESCALA

1 1 1 I '\/ -3" <) x-3.1 -2.9

, I '.JJ ~x

2NO ESTÁ A ESCALANO ESTÁ A ESCALA


Por lo tanto, para cualquier € > O, existe un o > O tal que

I (g(x) - ¡(x)) - (M - L)I < € siempre que O < Ix - el < o.

Como, por hipótesis, L - M > O, tomamos € = L - M en particular y tenemos un número o> O tal que

I(g(x) - ¡(x)) - (M - L) I < L - M siempre que O < Ix - el < o.

Como para cualquier número a, a ::s la 1, tenemos

(g(x) - ¡(x)) - (M - L) < L - M siempre que O < Ix - el < o

que se reduce a

g(x) < ¡(x) siempre que O < Ix - el < o.

Pero esto contradice f(x) ::s g(x). ASÍ, la desigualdad L > M debe ser falsa. Por lo tanto, L::S M. •

Ejercicios 2.3

Intervalos centrados en un punto En los ejercicios 1 a 6, trace un bosquejo del intervalo (a, b) en el eje x con el punto Xo dentro. Luego, determine un valor de 8 > O tal que para toda x,

O < Ix - xol < 8 =} a < x < b.

1. Cl = 1, b = 7, Xo = 5

2. a = 1, b = 7, Xo = 2

3. a = - 7/ 2, b = -1/ 2, Xo = - 3

4. a = -7/ 2, b = - 1/ 2, Xo = - 3/ 2

5. a = 4/ 9, b = 4/ 7, Xo = 1/ 2

6. a = 2.7591 , b = 3.2391, Xo = 3

Determinación gráfica de deltas En los ejercicios 7 a 14, utilice las gráficas para encontrar una 8> O tal que para toda x

O < Ix - xol < 8 = I¡(x) - LI < €.

7.

y

6.2 ------ 1 j(x) = 2x - 4 6 Xo = 5

5.8 L = 6 € = 0.2

-j-T-----;.L..L.':----~x O

o ESTÁ A ESCALA

8.

j(x) = -ª-x + 3 2

Xo = -3 L = 7.5 € = 0.15

y

7.65 7 .5 7..35

----/~_-3~~--~~-+ x

- 3.1 -2.9

NO ESTÁ A ESCALA

9.

5 4 1 3 4

y j(x) = V-;

Xo = 1 L = 1 € = .!

4

-j--~-~--L-~ x

O 9 25 16 16

11. y

f(x) = y} Xo = 2 L=4 € = 1

NO ESTÁ A ESCALA

10.

12.

y j(x) = 2Vx + 1

Xo = 3 L =4 € = 0.2

NO ESTÁ A ESCALA

f(x) = 4 - x2 Xo = - 1 L=3 € = 0.25

y

1 1 1

Y = 4 - x2 - -1- - - 3 1

1

1 1 -1--1--- 2.75

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

__ L-_~-L-~-~~x

Vs -1 V3 O 2 2

NO ESTÁ A ESCALA



13. 14.

y y

j(x) = _2_j(x) = ~~

xo =-1 1L=2 2.01

xo = 2E = 0.5 L=2

IE = 0.01I

2___ L

II I

2.5 I II 1.99 ____LLI I II I I

--¡---- 2 I II I I II I I I

----~--f_--- 1.5 I I

I I I I I

I I I III

I I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I I II I I X

X O 1/ 1 "-..116 -1 _16 O 2-"9 25 2.01 1.99

NO ESTÁ A ESCALA

Determinación algebraica de deltas

En cada uno de los ejercicios 15 a 30 se da una función/(x), así como nú-meros L, Xo y E > O. En cada caso, determine un intervalo abierto alrede-dor de Xo en el que se cumpla la desigualdad I/(x) - LI < E. Luego, dé unvalor para o > O tal que para toda x que satisface O < [x - xol < o secumple la desigualdad I/(x) - LI < E.

15. f(x) = x + 1, L = 5, xo = 4, E = 0.01

16. f(x) = 2x - 2, L = -6, Xo = -2, E = 0.02

17. f(x) = Vx+l, L = 1, Xo = O, E = 0.1

18. f(x) = Vx, L = 1/2, Xo = 1/4, E = 0.1

19. f(x) = ~, L = 3, Xo = 10, E = 1

20. f(x) = ~, L = 4, Xo = 23, E = 1

21. f(x) = l/x, L = 1/4, Xo = 4, E = 0.05

22. f(x) = x2, L = 3, Xo = V3, E = 0.1

23. f(x) = x2, L = 4, Xo = -2, E = 0.5

24. f(x) = l/x, L=-l, xo=-l, E=O.1

25. f(x) = ? - 5, L = 11, Xo = 4, E = 1

26. f(x) = 120/x, L = 5, Xo = 24, E = 1

27. f(x) = mx, m > O, L = 2m, Xo = 2, E = 0.03

28. f(x) = mx, m> O, L = 3m, Xo = 3, E = e> O

29. f(x) = mx + b, m > O,Xo = 1/2, E = e > O

L = (m/2) + b,

L = m + b, Xo = 1,30. f(x) = mx + b,E = 0.05

m> O,

Aplicación de la definición formalEn los ejercicios 31 a 36 se presenta una función /(x), un punto Xo yun número positivo E. Determine L = lím f(x). Luego, encuentre un

x~xonúmero o > O tal que para toda x

O < [x - xol < o If(x) - LI < E.

31. f(x) = 3 - 2x, Xo = 3, E = 0.02

32. f(x) = -3x - 2, Xo = -1, E = 0.03

? - 433. f(x) = x _ 2' Xo = 2, E = 0.05

34. f(x) =x2+6x+5 Xo = -5, E = 0.05

x + 5,

35. f(x) = Vl='5x, Xo = -3, E = 0.5

36. f(x) = 4/x, Xo = 2, E = 0.4

En los ejercicios 37 a 50, pruebe los límites que se proponen.

37. lím (9 - x) = 5x-->4

38. lím (3x - 7) = 2x-->3

40. lím~=2x-->O

39. lím Vx'-=-s= 2x-->9

41. lím f(x) = 1 six-->l

f(x) = {?,2,

f(x) = {?,1,

x v- -2x = -2

x '* 1x = 1

42. lím f(x) = 4 six~-2

43. lím ¿ = 1x-->l

44. lím 1.-. = 1..x--> v3 x2 3

x2 - 945. lím -- = -6

x-->-3 x + 346. Iím x

2- 1 = 2

x-r+I X - 1

( ) f(x) -_ {4 - 2x,47. Iím f x = 2 si

x-r-e l 6x - 4,x < 1x 2': 1

48. lím f(x) = O si f(x) = {2X,x-r-O x/2,

x < OX 2': O

49. lím xsen¿ = Ox-e O

y



¿Cuándo un número L no es el límite de J(x) conforme x --> xo?Demostración de que L no es el límite Podemos probar quelím, ...•xo f(x) * L determinando una E > O tal que no exista posibleo > O que satisfaga la condición

Realizamos esto para nuestro candidato E, mostrando que para cada o> Oexiste un valor de x tal que

50. lím x!- sen k = Ox"" o

y

para toda x, O < [x - xol < o

I ) •••.~ 1<')/ )X O < [x - xol < o

y

= If(x) - LI < E.

y If(x) - LI ;?: €.

y =f(x)

L

L + El I e I

,L - E I! _! 'Teoría y ejemplos

51. Explique lo que significa lím g(x) = k.x->O

52. Pruebe que lím f(x) = L si y sólo si lím f(h + e) = L.x-r+c h---+Q

53. Una afirmación errónea acerca de límites Por medio de un ejem-plo demuestre que la siguiente afirmación es errónea.

El número Les el límite de f(x) cuando x se aproxima a Xo sif(x) se hace muy cercano a L cuando x se aproxima a xo.

Explique por qué la función en su ejemplo no tiene el valor dado de Lcomo límite cuando x --> xo.

54. Otra afirmación errónea acerca de límites Mediante un ejemplodemuestre que la siguiente afirmación es errónea.

57. Sea f(x) {X, X < Ix + 1, x > 1.

f(x) , : 7('

I I • I I ) X

O xo-8 \ Xo xo+8

un valor de x para el cual0< Ix - xol < 8 Y If(x) - LI ;?: E

El número L es el límite de f(x) cuando x se aproxima a Xo si, dadocualquier E > O, existe un valor de x para el que If(x) - LI < E.

Explique por qué la función en su ejemplo no tiene el valor dado de Lcomo límite cuando x --> Xo.

O 55. Fabricación de cilindros Antes de solicitar la fabricación de cilin-dros para motor de automóvil con área transversal de 9 in2, necesitaconocer cuánta desviación del diámetro ideal del cilindro, que es deXo = 3.385 in, se puede permitir para, aun así, obtener un área queno difiera más de 0.01 in2 con respecto a las 9 in? requeridas. Parahacerlo, considere A = 7T(x/2)2 y busque el intervalo en el cual debeestar x para hacer que lA - 91 :s; 0.01. ¿Cuál es ese intervalo?

56. Fabricación de resisto res eléctricos La ley de Ohm para circuitoseléctricos, como el que se ilustra en la siguiente figura, establece queV = Rl. En esta ecuación, Ves un voltaje constante, 1es la corrienteen amperes y R es la resistencia en ohms. A su empresa le han soli-citado suministrar los resistores para un circuito en el que V será de120 volts e 1será 5 ~ 0.1 amperes. ¿En qué intervalo debe estar Rpara que 1esté a menos de 0.1 amperes del valor lo = 5?

y

2 '7y = j{x)

l~

/" ><

a. Sea € = 1/2. Demuestre que no existe posible o > O quesatisfaga la siguiente condición:

Para toda x, O < [x - 11 < o = If(x) - 21 < 1/2.

Esto es, para cada o > O demuestre que existe un valor de xtal que

O < [x - 11 < o

(0y If(x) - 21 ;?: 1/2.

Lo anterior demostrará que lím, ...•¡ f(x) * 2.

b. Demuestre que lím, ...•¡ f(x) * l.

c. Demuestre que Iím, ...•¡ f(x) * 1.5.

R

50. lím x?- sen 1 = O x->o

y

Teoña y ejemplos

51. Explique lo que significa lím g(x) = k. x->o

52. Pruebe que lím f(x) = L si y sólo si lím f(h + e) = L. x~c h~O

53. Una afirmación errónea acerca de límites Por medio de un ejemplo demuestre que la siguiente afirmación es errónea.

El número L es el límite de f(x) cuando x se aproxima a Xo si f(x) se hace muy cercano a L cuando x se aproxima a xo.

Explique por qué la función en su ejemplo no tiene el valor dado de L como límite cuando x ~ xo .

54. Otra afirmación errónea acerca de límites Mediante un ejemplo demuestre que la siguiente afirmación es errónea.

El número L es el límite de f(x) cuando x se aproxima a Xo si, dado cualquier E > O, existe un valor de x para el que If(x) - LI < E .

Explique por qué la función en su ejemplo no tiene el valor dado de L como límite cuando x ~ Xo .

O 55. Fabricación de cilindros Antes de solicitar la fabricación de cilindros para motor de automóvil con área transversal de 9 in2, necesita conocer cuánta desviación del diámetro ideal del cilindro, que es de Xo = 3.385 in, se puede permitir para, aun así, obtener un área que no difiera más de 0.01 in2 con respecto a las 9 in2 requeridas. Para hacerlo, considere A = 7T(x/ 2)2 y busque el intervalo en el cual debe estar x para hacer que lA - 91 :5 0.01. ¿Cuál es ese intervalo?

56. Fabricación de resisto res eléctricos La ley de Ohm para circuitos eléctricos, como el que se ilustra en la siguiente figura, establece que V = Rl. En esta ecuación, V es un voltaje constante, 1 es la corriente en amperes y R es la resistencia en ohms. A su empresa le han solicitado suministrar los resistores para un circuito en el que V será de 120 volts e 1 será 5 ± 0.1 amperes. ¿En qué intervalo debe estar R para que 1 esté a menos de 0.1 amperes del valor 10 = 5?

R


¿Cuándo un número L no es el límite de f(x) conforme x ~ xQ?

Demostración de que L no es el límite Podemos probar que límx->x, f(x) 1= L determinando una E > O tal que no exista posible 8 > O que satisfaga la condición

para toda x, O < Ix - xo l < 8 If(x)-L I < E.

Realizamos esto para nuestro candidato E, mostrando que para cada 8 > O existe un valor de x tal que

O < Ix - xo l < 8 y If(x) - LI ~ E.

y

y =f(x)

L + E f---,---- "'--.----....,

L

,L - E f--+--::----+-----'

f(x) '--i-~

----+--'-:-*--'---....I....-:----~ X

O xo- 8 \ Xo xo+ 8

un valor de x para el cual

O < I x - xol < /) y I f(x) - LI ~ E

57. Sea f(x) = { x, x < x + 1, x > 1.

y

2

y = j(x)

1/ ---~-~~----~x

/ a. Sea E = 1/ 2. Demuestre que no existe posible 8 > O que

satisfaga la siguiente condición:

Para toda x , O < Ix - 11 < 8 ==:> If(x) - 21 < 1/ 2.

Esto es, para cada 8 > O demuestre que existe un valor de x

tal que

O < Ix - 11 < 8 y If(x) - 21 ~ 1/ 2.

Lo anterior demostrará que límx-> 1 f(x) 1= 2.

b. Demuestre que límx-> l f(x) 1= 1.

c. Demuestre que límx .... 1 f(x) 1= 1.5 .



{

Xl,58. Sea h(x) = 3,

2,

x < 2

x=2x> 2.

y

y

y = h(x)4

• 2

3

y=22

--~-------L----------~xO 2

y = g(x)

Demuestre que

a. lím h(x) f= 4x-).2

b. lím h(x) f= 3x-2

c. lím h(x) f= 2x-2

59. Para la función que se grafica a continuación, explique por qué

a. lírn f(x) f= 4x~3

b. lím f(x) f= 4.8x-3

c. lím f(x) f= 3x~3

y

4.8

4 •

----r---~--------r---~xO

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAEn los ejercicios 61 a 66, explorará con mayor detalle la determinacióngráfica de deltas. Utilice un SAC para realizar los siguientes pasos:

a. Trace la función y = !(x) cerca del punto Xo al que se quiereaproximar.

b. Conjeture acerca del valor del límite L y luego evalúe simbó-licamente el límite para ver si su suposición fue correcta.

c. Utilizando el valor E = 0.2, en la misma gráfica trace las rectasde la banda YI = L - E YY2 = L + E, junto con la función!cerca de xo.

d. Con base en su gráfica del inciso (e), estime una 8> O tal quepara toda x,

O < [x - xol < 8 If(x) - LI < E.

y = f(x)3

Compruebe su estimación al graficar !, YI YY2 en el intervaloO < Ix - xol < 8. Para la ventana utilice Xo - 28 ~ x ~ Xo + 28Y L - 2E ~ Y ~ L + 2E. Si algunos valores de la función estánfuera del intervalo [L - 2E, L + 2E] significa que eligió una 8demasiado grande. Intente con una estimación más pequeña.

e. Repita los incisos (e) y (d) sucesivamente para E = 0.1,0.05Y 0.001.

x4 - 8161. f(x) = --3-' Xo = 3x-

62. f(x) = 5x3 + 9x

2, Xo = O

2X5 + 3x2

63 f() - sen 2x - O• x - 3x' Xo-

x(l - cos x)64. f(x) = x sen x ' Xo = O

-Yx - 165. f(x) = 1 ' Xo = 1x-

3x2 - (7x + l)Vx + 566. f(x) = l' Xo = 1x-

2.4 Limites laterales

En esta sección ampliaremos el concepto de límite a límites laterales (o de un solo lado), queson límites cuando x se aproxima al número e sólo por el lado izquierdo (donde x < c) o sólopor el lado derecho (x > c).

Para tener un límite L cuando x tiende a e, una función debe estar definida en ambos lados de ey sus valores f(x) deben aproximarse a L cuando x se aproxima a c. Debido a ello, los límitesordinarios se denominan límites bilaterales.

-0~--------~3L-------~X

60. a. Para la función graficada a continuación, demuestre quelíl11x~-1 g(x) f= 2.

b. ¿Parece que existe lím, ...•-I g(x) Si es aSÍ, ¿cuál es el valor dellimite? Si no existe, ¿por qué?

Limites laterales


y

xy= ~

----------------~----------------_+) xo

-------<9--1

FIGURA2.24 Diferentes límites laterales,por la derecha y por la izquierda, en elorigen.

y

2

y=~

• • ) x-2 o

FIGURA2.26 lím ~ = OYx-?2-

lím ~ = O(ejemplo 1).x----?-2+

2.4 Límites laterales 67

Si f carece de límite bilateral en e, podría tener un límite lateral, esto es, un límite si laaproximación es sólo por un lado. Si tal aproximación se da por la derecha, el límite es unlímite por la derecha. Si es por la izquierda, es un límite por la izquierda.

La función f(x) = x/lxl (figura 2.24) tiene límite 1 cuando x se aproxima a O por laderecha, y límite igual a - 1 cuando x tiende a Opor la izquierda. Como dichos valores paralos límites laterales son diferentes, no existe un solo número al que f(x) se aproxime cuandox tiende a O.Así que f(x) no tiene límite (bilateral) en O.

De manera intuitiva, si f(x) está definida en el intervalo (e, b), con e < b, Y se aproximaarbitrariamente a L cuando x tiende a e dentro de ese intervalo, entonces f tiene límite por laderecha igual a L en e. Escribimos

lím f(x) = L.x~c+

El símbolo x ~ e+ significa que sólo consideramos valores de x mayores a e.De forma análoga, si f(x) está definida en un intervalo (a, e), con a < e, y se aproxima-

arbitrariamente a M cuando x tiende a e dentro de ese intervalo, entonces f tiene límite por laizquierda igual a M en e. Escribimos

lím f(x) = M.x-e-e"

El símbolo x ~ e- significa que sólo consideramos valores de x menores que e.Tales definiciones informales de límites laterales se ilustran en la figura 2.25. Para la fun-

ciónf(x) = x/lxl en la figura 2.24 tenemos

lím f(x) = 1 Y lím f(x) = -1.X----70+ x----7O-

y y

Mf(x)L

-----01 L~ •••••• ~J ) X -----01 ~ •••• ~} ) x

(a) lím f(x) = Lx-?c+

(b) lím f(x) = Mx-?c-

FIGURA2.25 (a) Límite por la derecha cuando x se aproxima a e. (b) Límite por la izquierdacuando x se aproxima a c.

EJEMPLO 1 El dominio de f(x) = ~ es [-2,2]; su gráfica es la semicircunferenciade la figura 2.26. Tenemos

lím ~=Ox----?-2+

y lím~=O.x-r-e-Z"

La función no tiene límite por la izquierda en x -2 ni límite por la derecha en x - 2.No tiene límite ordinario bilateral en -2 ni en 2. •

Los límites laterales tienen todas las propiedades que se listan en el teorema I de la sec-ción 2.2. El límite por la derecha de la suma de dos funciones es la suma de sus límites por laderecha y así sucesivamente. Los teoremas para límites de polinomios y funciones racionalesse cumplen con límites laterales, así como el teorema del sándwich y el teorema 5. Los lími-tes laterales se relacionan con los límites de la siguiente manera.

TEOREMA 6 Una función f(x) tiene un límite cuando x tiende a e si y sólo si ahítiene límites por la derecha y por la izquierda, y además si estos límites lateralesson iguales:

lím f(x) = Lx-->c

lím f(x) = LX---7C-

y lím f(x) = L.x----?c+

~

y

x y = ~

--------------+-------------+x o

FIGURA 2.24 Diferentes límites laterales,

por la derecha y por la izquierda, en el

origen.

y

--*--------+--------~~x - 2 o 2

FIGURA 2.26 lím ~ = O Y x-? 2-

lím ~ = O (ejemplo 1). x ----? -2+


Si f carece de límite bilateral en e, podría tener un límite lateral, esto es, un límite si la aproximación es sólo por un lado. Si tal aproximación se da por la derecha, el límite es un límite por la derecha. Si es por la izquierda, es un límite por la izquierda.

La función f(x) = x/lxl (figura 2.24) tiene límite 1 cuando x se aproxima a O por la derecha, y límite igual a - 1 cuando x tiende a O por la izquierda. Como dichos valores para los límites laterales son diferentes, no existe un solo número al que f(x) se aproxime cuando x tiende a O. Así que f(x) no tiene límite (bilateral) en O.

De manera intuitiva, si f(x) está definida en el intervalo (e , b), con e < b, Y se aproxima arbitrariamente a L cuando x tiende a e dentro de ese intervalo, entonces f tiene límite por la derecha igual a L en e. Escribimos

lím f(x) = L. X-7 C+

El símbolo x ~ e+ significa que sólo consideramos valores de x mayores a e.

De forma análoga, si f(x) está definida en un intervalo (a, e), con a < e, y se aproximaarbitrariamente a M cuando x tiende a e dentro de ese intervalo, entonces f tiene límite por la izquierda igual a M en e. Escribimos

lím f(x) = M. x----7c~

El símbolo x ~ e- significa que sólo consideramos valores de x menores que e. Tales definiciones informales de límites laterales se ilustran en la figura 2.25. Para la fun

ciónf(x) = x/lx l en la figura 2.24 tenemos

lím f(x) = 1 X-70+

y lím f(x) = -1. x----';)oo-

y y

L j{x) j{x) M

--~O~--~~c-.----~xL------------+x --~O~--------~XL--.----C~----~ X

(a) lím j{x) = L x-?c+

(b) lím j{x) = M x-?c-

FIGURA 2.25 (a) Límite por la derecha cuando x se aproxima a c. (b) Límite por la izquierda cuando x se aproxima a c.

EJEMPLO 1 El dominio de f(x) = ~ es [-2,2]; su gráfica es la semicircunferencia de la figura 2.26. Tenemos

y lím~ = O. x -->T

La función no tiene límite por la izquierda en x = -2 ni límite por la derecha en x 2. No tiene límite ordinario bilateral en - 2 ni en 2. •

Los límites laterales tienen todas las propiedades que se listan en el teorema 1 de la sección 2.2. El límite por la derecha de la suma de dos funciones es la suma de sus límites por la derecha y así sucesivamente. Los teoremas para límites de polinomios y funciones racionales se cumplen con límites laterales, así como el teorema del sándwich y el teorema 5. Los límites laterales se relacionan con los límites de la siguiente manera.

TEOREMA 6 Una función f(x) tiene un límite cuando x tiende a e si y sólo si ahí tiene límites por la derecha y por la izquierda, y además si estos límites laterales son iguales:

lím f(x) = L x-->c

lím f(x) = L x ----7c-

y lím f(x) = L . X-7C+



y

2y = f{x)

~•

o

EJEMPLO 2

Enx = O:

Enx = 1:

Enx = 2:

Enx = 3:Enx = 4:

Para la función que aparece en la figura 2.27,

límx_o+ f(x) = 1,límx_o- f(x) y límx_o f(x) no existen. La función no está definida a laizquierda de x = O.límx_¡- f(x) = O aunque f(1) = 1,límx_¡+ f(x) = 1,límx_¡ f(x) no existe. Los límites por la derecha y por la izquierda noson iguales.límx_2- f(x) = 1,límx_2+ f(x) = 1,límx_2 f(x) = 1 aunque f(2) = 2.límx_r f(x) = límx_3+ f(x) = límx_3 f(x) = f(3) = 2.límx_4- f(x) = 1 aunque f( 4) -:f. 1,

límx_4+ f(x) y límx-->4 f(x) no existen. La función no está definida a laderecha de x = 4.

En cualquier otro punto e, en [O, 4], f(x) tiene límite igual a f(c). •Definición formal de limites laterales

La definición formal del límite de la sección 2.3 se puede modificar fácilmente para los límiteslaterales.

lím f(x) = Lx~xo+

(véase la figura 2.28)

Xo < x < Xo + 8 If(x) - LI < E.

Decimos que f tiene límite por la izquierda igual a L en Xo, por lo que escribimos

lím f(x) = Lx---+xo-


xo-8<x<xo If(x) - L I < E.


lím Vx = O.x-->O+

Solución Sea E > Odado. Aquí Xo = OYL = O, así que necesitamos determinar 8 > Otalque para toda x

0<x<8 IVx-OI<E,

3 42

FIGURA 2.27 Gráfica de la función en elejemplo 2.

L+E

L-E

y

L

f{X)}f{x) seencuentra aquí

para toda x * Xoque esté aquí,---A-----,

8X

~~----~r---~----~--~Xo

FIGURA 2.28 Intervalos asociados con ladefinición de límite por la derecha.

L+E

L-E

y

L

f{X)}f{x) seencuentra aquí

para toda x * Xoque esté aquí,---A-----,

8

o

FIGURA 2.29 Intervalos asociados con ladefinición de límite por la izquierda.

DEFINICIONES Decimos que f(x) tiene límite por la derecha igual a L en Xo, porlo que escribimos

si para todo número E > O, existe un número 8 > O correspondiente tal que paratoda x

si para todo número E > O, existe un número 8 > O correspondiente tal que paratoda x

o bien

O<x<15 Vx < E.


y

y = f{x) 2

~ •

o 2 3 4

FIGURA 2.27 ejemplo 2.

Gráfica de la función en el

y

L +E

L-E

L f{X) } f{x) se

encuentra aquí

para toda x '* Xo que esté aquí ~

(5 )

--~----~r---~x~---r--~ x o

FIGURA 2.28 Intervalos asociados con la

definición de límite por la derecha.

y

L + E

L -E

L f{X) } f{x) se

encuentra aquí

para toda x '* Xo

I

que esté aquí

. ~. (5 ---l-------fE--------~ x O xo-(5 Xo

FIGURA 2.29 Intervalos asociados con la

definición de límite por la izquierda.

EJEMPLO 2 Para la función que aparece en la figura 2.27,

En x = O: límx- .o+ f(x) = 1,

límx->o- f(x) y límx->o f(x) no existen. La función no está definida a la izquierda de x = O.

Enx = 1: límx-> 1- f(x) = O aunque fO) = 1,

límx-> 1+ f(x) = 1,

límx-> 1 f(x) no existe. Los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales.

Enx = 2:

Enx = 3:

Enx = 4 :

límx->T f(x) = 1,

límx->2+ f( x) = 1,

límx->2 f(x) = 1 aunque f(2) = 2.

Iímx->r f(x) = límx->3+ f(x) = límx->3 f(x) = f(3) = 2.

límx->4- f(x) = 1 aunque f( 4) -:f. 1,

Iímx->4+ f(x) y límx->4 f(x) no existen. La función no está definida a la derecha de x = 4.

En cualquier otro punto e, en [O, 4],f(x) tiene límite igual afee). • Definición formal de limites laterales

La definición formal del límite de la sección 2.3 se puede modificar fácilmente para los límites laterales.

DEFINICIONES Decimos que f(x) tiene límite por la derecha igual a Len Xo , por lo que escribimos

Iím f(x) = L x~xo+


si para todo número E > O, existe un número i5 > O correspondiente tal que para toda x

Xo < x < Xo + i5 If(x) - LI < E.

Decimos que f tiene límite por la izquierda igual a L en Xo, por lo que escribimos

lím f(x) = L x--+xo-


si para todo número E > O, existe un número i5 > O correspondiente tal que para toda x

xo - i5<x<xo 1 f(x) - L 1 < E.


lím Vx = O. x--+ O+

Solución Sea E > O dado. AquÍ Xo = O Y L = O, así que necesitamos determinar i5 > O tal que para toda x

O < x<i5 IVx - OI < E, o bien

O <x< i5 Vx < E.


FIGURA 2.30 lím Vx = Oen elx~o+ De acuerdo con la definición, esto muestra que límx->o+Vx = O(figura 2.30). •


y Al elevar ambos lados de la última desigualdad al cuadrado, se obtiene

E

x < €2 si O < x < o.

j(x)

Si elegimos o = €2, tenemos

O < x < o = €2 ~ Vx < e ,

o bien11I ) X~.,.,-c-:..•,

O < x < €2 ~ IVx-OI<€.L=O x

ejemplo 3.Las funciones analizadas hasta ahora tienen algún tipo de límite en cada punto de interés.

En general, esto no necesariamente ocurre.

EJEMPLO 4 Muestre que y = sen(l/x) no tiene límite cuando x tiende a cero por cualquierlado (figura 2.31).

y

plH

~

111111 qll1111 11111111 11111111 11111111 1111. I!II ItI •

I i:;t> I:i:1111 11111111 11111111 111111- 111U /11.' d

FIGURA 2.31 La función y = sen(1/x) no tiene límite porla derecha ni límite por la izquierda cuando x tiende a cero(ejemplo 4). En la gráfica se mniten valores muy cercanosal eje y.

Solución Cuando x tiende a cero, su recíproco, l/x, crece sin cota y los valores de sen(1/x)se repiten de manera cíclica de -1 a 1.No existe un número L al que los valores de la funciónestén suficientemente cercanos cuando x se aproxima a cero. Esto es cierto incluso si restrin-gimos x a valores positivos o a valores negativos. La función no tiene límite por la izquierdani límite por la derecha en x = O. •

Limites que incluyen a (sen 8)/8Un hecho importante acerca de (sen 8)/8 es que, medido en radianes, su límite 8 -) Oes 1. Enla figura 2.32 podemos ver esto y confirmarlo de manera algebraica si aplicamos el teoremade la compresión. Verá la importancia de este límite en la sección 3.5, donde se estudiarán lastasas instantáneas de cambio de las funciones trigonométricas.

y

_ sen e (radianes)y- e

,---------....., v I '~I~I )(}

-37T -i~7T 7T27T 37T

NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 2.32 La gráfica de f(e) = (sen (j)/(j sugiere queambos límites, por la derecha y por la izquierda, cuando (j seaproxima a cero son iguales a 1.



y

T

p

-=~~--------~~----~LL~~XO

FIGURA 2.33 Figura para la demostracióndel teorema 7. Por definición, TA/OA =tan 8, pero OA = 1, por lo que TA = tan 8.

I La ecuación (2) es donde intervienela medida en radianes: el área delsector OAP es 8/2 sólo si 8 se mideen radianes.

TEOREMA 7

lím sen8 =0-->0 8

(8 en radianes) (1)

Prueba El plan es mostrar que tanto el límite por la derecha como el límite por la izquierdason iguales a 1. Entonces sabremos que el límite bilateral también es 1.

Para mostrar que el límite por la derecha es 1, iniciamos con valores positivos de 8menores que 7T /2 (figura 2.33). Observe que

Área de !lOAP < área del sector OAP < área de !lOAT.

Podemos expresar estas áreas en términos de 8 como sigue

, l 1 lArea de !lOAP = 2 base X altura = 2 (1)(sen 8) = 2 sen 8

, l? l 2 8Area del sector OAP = 2 r8 = 2 (1) 8 = 2

, 1 l 1Areade !lOAT = 2base X altura = 2 (1)(tan8) = 2tan8.

(2)

Así que,

1 1 12 sen 8 < 2 8 < 2 tan 8.

Esta última desigualdad no se altera si dividimos los tres términos entre el número (1/2) sen 8,el cual es positivo, ya que O < 8 < 7T /2:

1 < _8_ < _1_sen 8 cos 8'

Al tomar recíprocos, las desigualdades se invierten:

1 > sen8 > 88 cos.

Puesto que límo-->o+cos 8 = 1 (ejemplo llb, sección 2.2), el teorema del sándwich nos da

lím sen 8 = 1.0-->0+ 8

Recuerde que sen 8 y 8 sonfunciones impares (sección 1.1). Por lo tanto,/(8) = (sen 8)/8es unafitnción par, con una gráfica simétrica con respecto al eje y (figura 2.32). Esta simetríaimplica que el límite por la izquierda en O existe y tiene el mismo valor que el límite por laderecha:

así que por el teorema 6 se tiene límo-->o(sen 8)/8 = 1. •

EJEMPLO 5 Muestre que (a) lím cos h - 1 = Oh-->O h y (b) lím sen 2x = ~.

x-r-e-O 5x 5


y

T

-o~--~--------~L-----~L-~ X

FIGURA 2.33 Figura para la demostración

del teorema 7. Por definición, TA I GA =

tan 8, pero GA = 1, por 10 que TA = tan 8.

I La ecuación (2) es donde interviene la medida en radianes : el área del sector GAP es 812 sólo si 8 se mide en radianes.

TEOREMA 7

lím sen e = 0-->0 8

(8 en radianes) (1)

Prueba El plan es mostrar que tanto el límite por la derecha como el límite por la izquierda son iguales a 1. Entonces sabremos que el límite bilateral también es 1.

Para mostrar que el límite por la derecha es 1, iniciamos con valores positivos de 8 menores que 7T / 2 (figura 2.33). Observe que

Área de !lOAP < área del sector OAP < área de !lOAT.

Podemos expresar estas áreas en términos de 8 como sigue

, 1 1 1 Area de !lOAP = "2 base X altura = "2 (1 )(sen 8) = "2 sen 8

, l ? 1 2 8 Area del sector OAP = "2 r8 = "2 (1) 8 = "2 (2)

, 1 1 1 Areade !lOAT = "2base X altura = "2 (1)(tan8) = "2 tan 8.

Así que,

1 1 1 "2 sen 8 < "2 8 < "2 tan 8 .

Esta última desigualdad no se altera si dividimos los tres términos entre el número (1 / 2) sen 8, el cual es positivo, ya que O < 8 < 7T / 2:

1 < _8_ < _1_ sen 8 cos 8·

Al tomar recíprocos, las desigualdades se invierten:

1 > sen8 > II 8 cos (7.

Puesto que límo->o+ cos 8 = 1 (ejemplo 11b, sección 2.2), el teorema del sándwich nos da

Recuerde que sen 8 y 8 sonfunciones impares (sección 1.1). Por lo tanto,j(8) = (sen 8)j8 es unafunción par, con una gráfica simétrica con respecto al eje y (figura 2.32). Esta simetría implica que el límite por la izquierda en O existe y tiene el mismo valor que el límite por la derecha:

así que por el teorema 6 se tiene límo-->o (sen 8)/ 8 = 1. •

EJEMPLO 5 Muestre que (a) lím cos h - 1 = O h-->O h

y (b) lím sen 2x = ~. x-->O 5x 5



Solución

(a) Utilizando la fórmula del ángulo medio, cos h = l - 2 sen2(h/2), calculamos

1, cos h - 1 , 2 serr' (h/2)1m = hm -----

h->O h h->O h, sen é

-hm --sene0->0 e Sea f) = h/2.

Ecuación (1) Y ejemplo 11ade la sección 2.2.-(1)(0) = O.

(b) La ecuación (1) no se aplica a la fracción original. En el denominador necesitamos 2x,no 5x. Para obtenerlo, multiplicamos numerador y denominador por 2/5:

= ~ lím sen2x5 x-r+Ü 2x

, sen 2x ,(2/5)' sen2xlím -- = hm ~---

x->O 5x x->O (2/5) . 5x

Ahora, la ecuación (1)se aplica con f) = 2x.

=~(l)=~5 5 •

EJEMPLO 6 Determine lím tan t sec 2t1->0 3t

Solución Con base en la definición de tan t y sec 2t, tenemos

Ejerddos 2.4

lím tan t sec 2t = 1lím sen t . _1_._1_1->0 3t 3 1->0 t cos t cos 2t

1= 1(1)(1)(1) = 3'

3Ecuación (1) Y ejemplo 11bde la sección 2.2. •

Determinación gráfica de límitesL De los siguientes enunciados, respecto de la función y = f(x) que

aparece graficada, ¿cuáles son verdaderos y cuáles son falsos?

yy = j(x)

\l¿ ."-1 O 2

a. lirn ¡(x) = 1 b. lím ¡(x) = Ox~-I+ x~o-

c. lím ¡(x) = 1 d. lím ¡(x) = lím ¡(x)~W ~w ~~

e. lím ¡(x) existe. f. lím ¡(x) = OX--JoQ X--JoQ

g. lím ¡(x) = 1 h. lím ¡(x) = 1X--JoO x-+l

i. lím ¡(x) = O j. lím ¡(x) = 2x-+) x-+2-

k. lirn ¡(x) no existe. 1. lím ¡(x) = Ox-r+t-L" x---+2+

2. De los siguientes enunciados, respecto de la función y = f(x) queaparece graficada, ¿cuáles son verdaderos y cuáles son falsos?

y

y = j(x)2) .;i~"-1 O 1 2 3

a. lím ¡(x) = 1x-+-l+

b. lím ¡(x) no existe.x->2

c. lím ¡(x) = 2x->2

e. lím ¡(x) = 1x-+¡+

g. lím ¡(x) = lím ¡(x)x---+O+ x-t+Ü"

h. lím ¡(x) existe para toda e en el intervalo abierto (- 1, 1).x->c

d. lím ¡(x) = 2.r-r-e l"

f. lím ¡(x) no existe.x->I

i. lím ¡(x) existe para toda e en el intervalo abierto (1, 3).x->c

j. lím ¡(x) = Ox-re r-L"

k. lím ¡(x) No existe.X---43+


Solución

(a) Utilizando la fórmula del ángulo medio, cos h = 1 - 2 sen2(h/ 2), calculamos

1, cos h - 1 2 sen2 (h/ 2) h~ h = l!.To - h

, sene -11m - - sen e 0-+0 e

-(1)(0) = o.

Sea f) = h/ 2 .

Ecuac ión ( 1) Y ejemplo I la de la secc ión 2.2.

(h) La ecuación (1) no se aplica a la fracción original. En el denominador necesitamos 2x, no 5x. Para obtenerlo, multiplicamos numerador y denominador por 2/ 5:

EJEMPLO 6

Solución

Ejerddos 2.4

Determinación gráfica de límites

, sen 2x ,(2/ 5) . sen 2x 11m -- = 11m ---- -x->O 5x x -+O (2/ 5) . 5x

= ~ lím sen2x 5 x-+O 2x

Ahora, la ecuación ( 1) se ap li ca con f) = 2x.

D t . r tan t sec 2t e errnme I~ 3t .

Con base en la definición de tan t y sec 2t, tenemos

lím tantsec2t = ..!.lím sent._1_. _ 1_ 1-+0 3t 3 1-+0 t cos t cos 2t

1 1 = "3 (1)(1)(1) = 3"

y

Ecuación ( 1) Y ejemplo I lb de la secc ión 2.2.

1. De los siguientes enunciados, respecto de la función y = f(x) que aparece graficada, ¿cuáles son verdaderos y cuáles son falsos?

y = j(x)

y y = j(x)

- 1 O

a. lirn ¡(x) = 1 x~- I +

b. lirn ¡(x) = O x~o-

c. lím ¡(x) = 1 x~o-

d. lím ¡(x) = lím ¡(x) x~o- x----+Q+

e. lím ¡(x) existe. X~O

f. lím ¡(x) = O x~O

g. lím ¡(x) = 1 x~o

h. lím ¡(x) = 1 x~ l

i. lirn ¡(x) = O x~ l

j . lím ¡(x) = 2 x----+2-

k. lirn ¡(x) no existe . x~- I -

1. lím ¡(x) = O x---+2+

2. De los siguientes enunciados, respecto de la función y = f(x) que aparece graficada, ¿cuáles son verdaderos y cuáles son falsos?

-~-~~-~--2~--3~--+ x

a. lím ¡(x) = 1 x~-l +

b. lím ¡(x) no existe. x~2

c. lím ¡(x) = 2 x~2

d. lím ¡(x) = 2 x----+}-

e. lím ¡(x) = 1 f. lím ¡(x) no existe. x----+ l+ x---+ l

g. lím ¡(x) = lím ¡(x) x ---+O+ x---+O-

h. lím ¡(x) existe para toda e en el intervalo abierto (- 1, 1). x~c

i. lím ¡(x) existe para toda e en el intervalo abierto (1 , 3). x~c

j. lím ¡(x) = O x---+- ¡ -

k. lím ¡(x) No existe. x---+3+

•

•



3. Sea f(x) ={

3 - x,

~ + 12 ' x> 2.

x<2

y

2 4o

a. Determine límx-->2+f(x) y límx-->z- f(x).

b. ¿Existe ellímx-->2 f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

c. Determine límx-->4- f(x) y límx-->4+f(x).

d. ¿Existe el lím•..•4 f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

4. Seaf(x) = {~X,2'

x<2x = 2

x> 2.

y

a. Determine límx-->2+ f(x), límx-->2- f(x), y f(2).

b. ¿Existe ellímx-2f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

c. Determine límx-->-¡- f(x) y líillx-->-¡+ f(x).

d. ¿Existe el Iím,.....•1 f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

{

O, x::S °5. Sea f(x) = 1

senx' x> O.

y

\\1111111111__________~~I~I~~--+_--------~x

O :::;111111111111Ul1111

_[ 11lO, x::S°

y = 1seni' x>O

a. ¿Existe ellímx-->o+ f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

b. ¿Existe ellímx-->o- f(x)? existe? Si es así, ¿cuál es? Si no existe,¿por qué?

c. ¿Existe ellímx-->o f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

6. Sea g(x) = Vx sen(l/x).

-[ y =-Vx

a.

b.

c.

7. a.

b.

c.

8. a.

b.

c.

¿Existe ellímx-->o+ g(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

¿Existe ellímx-->o- g (x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

¿Existe ellímx-->o g(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

Grafique f(x) = {x3, X ~ 1

O, x - 1.

Determine lírnx-->¡- f(x) y límx-->¡+ f(x).

¿Existe el lím, .....•¡ f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

Grafique f(x) = {1 - :l-, x ~ 12, x - 1.

Determine lím, .....•¡+ f(x) y límx-->¡- f(x).

¿Existe el lím, .....•1 f(x)? Si es así, ¿cuál es? Si no existe, ¿por qué?

Grafique las funciones en los ejercicios 9 y 10. Luego responda estas pre-guntas.

a. ¿Cuál es el dominio y cuál el rango de f?b. ¿En qué puntos e, si los hay, existe lím, .....•e f(x)?

c. ¿En qué puntos sólo existe el límite por la izquierda?

d. ¿En qué puntos sólo existe el límite por la derecha?

{V1"-=-7

9. f(x) = 1, ,

2,

10. f(x) = {~:

O,

° ::s x < 1l::Sx<2

x = 2

-1 ::s x < O, o ° < x ::s

x=Ox < -1 o x> 1

Determinación algebraica de limites lateralesCalcule los límites en los ejercicios 11 a 18.

11. 1, ~+21m --x->-OY X + 1

l' (x ) (2X + 5)x-lIEz+ X + 1 x2 + X

,~-112. hm --2x~l+ x +

13.

14. x~~-(~)(9)e ~x)15. lím Yh2 + 4h + 5 - Vs

h-->O+ h


2.5 Continuidad 73

16 u V6 - VSh2 + llh + 6. h!..IIJ- h

[x + 2117. a. lím (x + 3)--2-

x~-2+ x +V2x(x - 1)

18. a. lím ----x--->l+ [x - 11

tan e41. J!To e2 cot 38

42. lím e cot 488--->0serr' 8 cof 28

Ix + 21b. lím (x + 3)--x--->-T X + 2

V2x(x - 1)b. lím ---...:.---...:.x-r+ l" [x - 11

Teoría y ejemplos43. Si usted sabe que en un punto interior del dominio de 1, límx--->a+¡(x)

y límx--->a- ¡(x) entonces ¿se cumplirá límx--->a¡(x)? Justifique surespuesta.

44. Si sabe que existe límx--->c¡(x) ¿puede encontrar su valor calculandolímx--->c+¡(x)? Justifique su respuesta.

45. Suponga que I es una función impar de x. ¿Saber quelímx--->o+¡(x) = 3 le indica algo acerca de límx--->o-¡(x)? Justifiquesu respuesta.

46. Suponga queIes una función par de x. ¿Saber que límx--->T¡(x) = 7le indica algo acerca de límx--->-T¡(x) o de lílllx--->-2+¡(x)? Justifiquesu respuesta.

Utilice la gráfica de la función máximo entero y = [xJ(figura 1.10 de lasección 1.1) para ayudarse a encontrar los límites en los ejercicios 19 y 20.

l8J [eJ19. a. lím -8- b. lím -8-8--->3+ 8--->r

20. a. lím (r - ltJ) b. límJt - [tJ)1---44+ t~4

_ sen OUso de 11m-0- = 18--->0En los ejercicios 21 a 42, determine los límites.

21. lím senV2e 22 lí sen kt (k constante)8--->0 V28 't~ t

sen 3y24. lím ~23. lím-4-y--->O y n-s«: sen

25. lím tan 2x . 2t26. lím tt

x~O x (--->Oan

27. lím x csc 2x 28. lím 6x2(cotx)(csc 2x)x-e O cos 5x x--->O

. x + xcosx 30. lím x2 - x + senx29. lun sen x cos x 2xx--->O x--->O

31. lím 1 - cos 832. lím x - x cosx

8--->0 sen 2e x--->o sen23x

33. límsen (1 - cos r)

34. límsen (sen h)

{--->O 1 - cost h--->O sen h

35. lím sen8 36. lím sen5x8--->0sen28 x-e-O sen4x

37. lím e cos e 38. lím sen e cot 2e8--->0 8--->0

39. lím tan 3x 40. límsen 3ycot 5y

x--->Osen 8x y--->o ycot4y

Definiciones formales de límites laterales47. Dado € > O, determine un intervalo 1= (5, 5 + 8), 8 > O, tal que

si x está en 1entonces ~ < €. ¿Qué límite se verifica y cuál essu valor?

48. Dado € > O, determine un intervalo 1= (4 - 8, 4), 8 > O, tal quesi x está en 1entonces ~ < s . ¿Qué límite se verifica y cuáles su valor?

En los ejercicios 49 y 50, utilice las definiciones de límite por la derechay límite por la izquierda para probar los siguientes enunciados acerca delímites.

49. lím _IX = -1 50. lím ~ = lx-e O" x] x--->2+[x - 21

51. Función máximo entero Determine (a) Jímx--->400+[x J y(b) lím,T--->4oo-[x J; luego utilice las definiciones de límites paraverificar sus resultados. (e) Con base en sus conclusiones de losinciso s (a) y (b), ¿qué puede decir acerca de límx--->40olxJ? Justi-fique su respuesta.

{x2 sen (l/x), x < O

52. Límites laterales Sea ¡(x) = ,rvx, x> O.

Determine (a) límx--->o+¡(x) y (b) Jílllx--->o-¡(x); luego utilice lasdefiniciones de límites para verificar sus resultados. (e) Con base ensus conclusiones de los incisos (a) y (b), ¿qué puede decir acercade límx--->o¡(x)? Justifique su respuesta.

2.5 Continuidad

Cuando trazamos valores de una función generados en un laboratorio o recolectados en el cam-po de estudio, con frecuencia los unimos con una curva continua para mostrar los valores de lafunción en los tiempos que no medimos (figura 2.34). Al hacerlo, suponemos que trabajamoscon unafunción continua, de forma que sus salidas varían continuamente con las entradas y nosaltan de un valor a otro sin tomar los valores intermedios. El límite de una función continua,cuando x se aproxima a e, puede encontrarse con el simple cálculo del valor de la función en c.(En el teorema 2 vimos que esto es cierto para polinomios).

De manera intuitiva, cualquier función y = f(x), cuya gráfica puede trazarse en todo sudominio con un movimiento continuo sin levantar el lápiz, es un ejemplo de una función con-tinua. En esta sección estudiaremos de manera más precisa lo que significa que una función sea



y

('u.J p

VIj)i

In. /./

Q¡1/V

i.--V

80:[~ 60'¡;¡u

~ 40'"·üt:~ 20O

S 10

Tiempo transcurrido (seg)

FIGURA 2.34 Los puntos de los datos

experimentales Q¡, Q2, Q3, ... para un objeto

que cae están conectados mediante una línea

curva sin rupturas.

O

y

•

2

~~ __~ __~ ~ __-L__~x023 4

FIGURA 2.35 La función es continua en

[0,4] excepto enx = l,x = 2 Yx = 4

(ejemplo 1).

Continuidad Continuidad porpor la derecha los dos lados Continuidad

~

~ por la izquierda~ ...?'

¡

: : y =f{x) :1 ¡ 1

1 1 1I I I ) X

a e b

FIGURA 2.36byc.

Continuidad en los puntos a,

continua. También estudiaremos las propiedades de funciones continuas y veremos que muchasde las funciones presentadas en la sección 1.1 son continuas.

Continuidad en un puntoPara entender la continuidad es útil considerar una función como la de la figura 2.35, cuyoslímites analizamos en el ejemplo 2 de la última sección.

EJEMPLO 1 Determine los puntos en los que la función f de la figura 2.35 es continua y lospuntos donde f no es continua.

Solución La función f es continua en todo punto de su dominio [O, 4], excepto en x = 1,x = 2 Y x = 4. En estos puntos, la gráfica se corta. Observe la relación entre el límite de fy el valor de f en cada punto del dominio de la función.

Puntos en los que la función es continua:

Enx = 0, lím f(x) = f(O).x~O+

lím f(x) = f(3)·x->3

lím f(x) = f(e).x->c

Enx = 3,

EnO < e < 4,e i= 1,2,

Puntos en los que la función no es continua:

Enx = 1, lím f(x) no existe.x->[

lím f(x) = 1, pero 1 i= f(2).x->2

lím f(x) = 1, pero 1 i= f( 4) .x-~A-

Enx = 2,

Enx = 4,

En e < 0, e > 4, tales puntos no están en el dominio de f. •Para definir continuidad en un punto en el dominio de una función, necesitamos definir

continuidad en un punto interior (que implica un límite por los dos lados) y continuidad en unextremo (que implica un límite lateral) (figura 2.36).

DEFINICIÓNPunto interior: Una función y = f(x) es continua en un punto interior e de su do-miniosi

lím f(x) = f(e).x->c

Punto extremo: Una función y = f(x) es continua en un extremo izquierdo a o escontinua en un extremo derecho b de su dominio si

lím f(x) = f(b),x=+b"

lím f(x) = fea)x~a+

respectivamente.o

Si una función f no es continua en un punto e, decimos que f es discontinua en e, y que ees un punto de discontinuidad de f. Observe que e no necesita estar en el dominio de f.

Una funciónf es continua por la derecha (continua desde la derecha) en un punto x = een su dominio si límx->c+ f(x) = f( e). Es continua por la izquierda (continua desde la iz-quierda) en e si límx->c- f(x) = f( e) . Así, una función es continua en un extremo izquierdo a


y

y=~2

I I I)X- O 2FIGURA 2.37 Una [unción que es continuaen todo punto de su dominio (ejemplo 2).

y

y = U(x)

------~oO 'x

FIGURA 2.38 Una [unción que tiene unadiscontinuidad de salto en el origen(ejemplo 3).

y

4

4 -3 --.o

y = lxJ2 --.o

--.o---'----..>--_0 ) x

-1 2 3

----o -2

FIGURE 2.39 La función máximoentero es continua en todo punto no entero.Es continua por la derecha, pero no escontinua por la izquierda, en cada puntoentero (ejemplo 4).

2.5 Continuidad 75

de su dominio si es continua por la derecha en a, y es continua en un extremo derecho b de sudominio si es continua por la izquierda en b. Una función es continua en un punto interior e desu dominio si y sólo si es continua por la derecha y continua por la izquierda en e (figura 2.36).

EJEMPLO 2 La función f(x) = ~ es continua en todo punto de su dominio [-2,2](figura 2.37) si incluye a x = -2, donde f es continua por la derecha, y en x = 2, donde escontinua por la izquierda. _

EJEMPLO 3 La función escalón unitario U(x), que se grafica en la figura 2.38, es continuapor la derecha en x = O, pero no es continua por la izquierda ni continua allí. Tiene una discon-tinuidad de salto en x = O. _

Resumimos continuidad en un punto en la forma de una prueba o un criterio.

Prueba de continuidadUna función f(x) es continua en un punto interior x = e de su dominio si y sólo sicumple las siguientes tres condiciones:

1. f(e) existe

2. Existe el Iím.L; f(x)

3. líffix->cf(x) = f( e)

(e pertenece al dominio de f).

(f tiene límite cuando x --'> e).

(el límite es igual al valor de la función).

Para la continuidad lateral y la continuidad en un punto extremo, los límites en las partes 2y 3 de la prueba deben reemplazarse por los límites laterales apropiados.

EJEMPLO 4 La función y = lxJ, que se presentó en la sección 1.1, está graficada en lafigura 2.39. Es discontinua en cada entero, puesto que los límites por la izquierda y porla derecha no son iguales cuando x --'> n:

límJx J = n - 1x->n

y lím lx J = n.x---""n+

Como lnJ = n, la función máximo entero es continua por la derecha en cada entero n (pero noes continua por la izquierda).

La función máximo entero es continua en cada número real que no sea entero. Porejemplo,

lím lxJ = 1 = l1.5J.x->1.S

En general, si n - 1 < e < n , n es un entero, entonces

lím l x ] = n - 1 = le lx->c -

La figura 2.40 muestra varios tipos de discontinuidades. La función en la figura 2.40a escontinua en x = O. La función en la figura 2.40b sería continua si tuviera feO) = l. La funciónen la figura 2.40c sería continua si feO) fuera 1 en vez de 2. Las discontinuidades en la figura2.40b y e son removibles (o evitables). Cada función tiene límite cuando x - O; podemos evi-tar la discontinuidad si hacemos feO) igual a este límite.

Las discontinuidades en la figura 2.40d a 1.40f son más serias: límx->of(x) no existe yno hay forma de mejorar la situación cambiando f en O. La función escalonada en la figura2.40d tiene una discontinuidad de salto. Los límites laterales existen, pero con valores di-ferentes. La funciónf(x) = 1/x2 en la figura 2.40e tiene una discontinuidad infinita. La fun-ción en la figura 2.40ftiene una discontinuidad oscilante. Oscila demasiado para tener límitecuando x --'> O .

y

y=~ 2

~----~-----4--+x

- 2 o 2

FIGURA 2.37 Una [unción que es continua

en todo punto de su dominio (ejemplo 2).

y

y = U(x)

------~o0-------~X

FIGURA 2.38 Una [unción que tiene una

discontinuidad de salto en el origen

(ejemplo 3).

y

4 -3

y = lxJ 2

- 1 2 3 4

----o -2

FIGURE 2.39 La función máximo

entero es continua en todo punto no entero.

Es continua por la derecha, pero no es

continua por la izquierda, en cada punto

entero (ejemplo 4).

2.5 Continuidad 75

de su dominio si es continua por la derecha en a, y es continua en un extremo derecho b de su dominio si es continua por la izquierda en b. Una función es continua en un punto interior e de su dominio si y sólo si es continua por la derecha y continua por la izquierda en e (figura 2.36).

EJEMPLO 2 La función f(x) = ~ es continua en todo punto de su dominio [- 2, 2] (figura 2.37) si incluye a x = -2, donde f es continua por la derecha, y en x = 2, donde es continua por la izquierda. • EJEMPLO 3 La función escalón unitario U(x), que se grafica en la figura 2.38, es continua por la derecha en x = O, pero no es continua por la izquierda ni continua allí. Tiene una discontinuidad de salto en x = O. •

Resumimos continuidad en un punto en la forma de una prueba o un criterio.

Prueba de continuidad Una función f(x) es continua en un punto interior x = e de su dominio si y sólo si cumple las siguientes tres condiciones:

1. f(e) existe

2. Existe ellímx-->c f(x)

3. límx-->cf(x) = f(e)

(e pertenece al dominio de f).

(f tiene límite cuando x ----'> e).

(el límite es igual al valor de la función).

Para la continuidad lateral y la continuidad en un punto extremo, los límites en las partes 2 y 3 de la prueba deben reemplazarse por los límites laterales apropiados.

EJEMPLO 4 La función y = lxJ, que se presentó en la sección 1.1, está graficada en la figura 2.39. Es discontinua en cada entero, puesto que los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales cuando x ----'> n:

límJx J = n - 1 y x-->n

Como l n J = n, la función máximo entero es continua por la derecha en cada entero n (pero no es continua por la izquierda).

La función máximo entero es continua en cada número real que no sea entero. Por ejemplo,

lím lxJ = 1 = l1.5J . x->1.S

En general, si n - 1 < e < n, n es un entero, entonces

límlx J = n - 1 = leJ. • x->c

La figura 2.40 muestra varios tipos de discontinuidades. La función en la figura 2.40a es continua en x = O. La función en la figura 2.40b sería continua si tuviera feO) = l. La función en la figura 2.40c sería continua si feO) fuera 1 en vez de 2. Las discontinuidades en la figura 2.40b y c son removibles (o evitables). Cada función tiene límite cuando x - O; podemos evitar la discontinuidad si hacemos feO) igual a este límite.

Las discontinuidades en la figura 2.40d a 1.40f son más serias: límx-->o f(x) no existe y no hay forma de mejorar la situación cambiando f en O. La función escalonada en la figura 2.40d tiene una discontinuidad de salto. Los límites laterales existen, pero con valores diferentes. La funciónf(x) = l/x2 en la figura 2.40e tiene una discontinuidad infinita. La función en la figura 2.40ftiene una discontinuidad oscilante. Oscila demasiado para tener límite cuando x ----'> o.



y

y

(a)

J'==-----,:-of----==~x

y y

(e)

Funciones continuas

EJEMPLO 5

1. Sumas:

2. Diferencias:

3. Múltiplos constantes:

4. Productos:5. Cocientes:6. Potencias:

7. Raíces:

y

----+~+--_ x

-------~----~x

RA .41 La función y = l/x escontinua en cada valor de x excepto enx = O.Tiene un punto de discontinuidaden x = O(ejemplo 5).

y = j(x)1

~--""0<>---4 X

(b) (d)

y =j(x) = ~x2

(f)

FIGURA2.40 La función en (a) es continua en x = O;las funciones en las gráficas (b) a (f)no lo son.

Una función es continua en un intervalo si y sólo si es continua en cada punto del intervalo. Porejemplo, la función semicircunferencia graficada en la figura 2.37 es continua en el intervalo[-2,2], que es su dominio. Una función continua es aquella que es continua en cada puntode su dominio. Una función continua no necesita ser continua en todos los intervalos.

(a) La función y = l/x (figura 2.41) es una función continua, ya que es continua en todopunto de su dominio. Tiene un punto de discontinuidad en x = O; sin embargo, como noestá definida allí, es discontinua en cualquier intervalo que contenga a x = O.

(b) De acuerdo con el ejemplo 3 de la sección 2.3, la función identidad f(x) = x y las fun-ciones constantes son continuas para todo número real. _

Combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas donde estén definidas.

TEOREMA 8: Propiedades de las funciones continuas Si las funciones f y gson continuas en x = c, entonces las siguientes combinaciones son continuas enx = c.

f+gf-gk· t . para cualquier número k

f'gits, siempre queg(c) =1- O

[", donde n es un entero positivoyr¡ siempre que esté definida en un intervalo que,contenga a e, donde n es un entero positivo.


y

----------~----------~x

41 La función y = l / x es

continua en cada valor de x excepto en

x = O. Tiene un punto de discontinuidad

en x = O (ejemplo 5).

y y y y

l~y_=.....:;..j(;..;x);....

---r-:+-------+ x ---r- :+-- -----+ x

(a) (b) (e) (d)

(e) (f)

FIGURA 2.40 La función en (a) es continua en x = O; las funciones en las gráficas (b) a (f) no lo son.

Funciones continuas

Una ftrnción es continua en un intervalo si y sólo si es continua en cada punto del intervalo. Por ejemplo, la función semicircunferencia graficada en la figura 2.37 es continua en el intervalo [- 2,2], que es su dominio. Una función continua es aquella que es continua en cada punto de su dominio . Una función continua no necesita ser continua en todos los intervalos.

EJEMPLO 5

(a) La función y = l / x (figura 2.41) es una función continua, ya que es continua en todo punto de su dominio . Tiene un punto de discontinuidad en x = O; sin embargo, como no está definida allí, es discontinua en cualquier intervalo que contenga a x = O.

(b) De acuerdo con el ejemplo 3 de la sección 2.3, la función identidad f(x) = x y las ftrn-ciones constantes son continuas para todo número real. _

Combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas donde estén definidas.

TEOREMA 8: Propiedades de las funciones continuas Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes combinaciones son continuas en x = c.

lo Sumas:

2. Diferencias:

3. Múltiplos constantes:

4. Productos:

5. Cocientes:

6. Potencias:

7. Raíces:

f+g f-g k· f , para cualquier número k

f·g f/g, siempre queg(c) =1= O

r, donde n es un entero positivo

V1, siempre que esté definida en un intervalo que contenga a c, donde n es un entero positivo.


2.5 Continuidad 77

La mayoría de los resultados del teorema 8 se deducen de las reglas de los límites del teo-rema 1, sección 2.2. Por ejemplo, para probar la propiedad de la suma, tenemos

lím(f + g)(x) = lím(j(x) + g(x))x~c x-r+c

= lím f(x) + lím g(x),x-e-e x-e-e

= f(e) + g(e)

= (j+g)(e).

Regla de la suma, teorema I

Continuidad de I y g en e

Esto muestra quef + g es continua.

EJEMPLO 6

(a) Todo polinomio P(x) = anx' + an-1x"-1 + ... + ao es continuo, ya que, por el teo-rema 2, sección 2.2, se tiene lím P(x) = P(e).

x-e

(b) Si P(x) Y Q(x) son polinomios, entonces la función racional P(x)/ Q(x) es continua siempreque esté definida (Q(e)"* O) por el teorema 3, sección 2.2. •

EJEMPLO 7 La función f(x) = Ixl es continua en todo valor de x. Si x > 0, tenemosf(x) = x, un polinomio. Si x < 0, tenemos f(x) = -x, otro polinomio. Por último, en el origen,límx_o [xl = ° = [0[. •

Las funciones y = sen x y y = cos x son continuas en x = ° por el ejemplo 11 de la sec-ción 2.2. De hecho, ambas funciones son continuas en todos los reales (ejercicio 68). Conbase en el teorema 8, se deduce que las seis funciones trigonométricas son continuas siem-pre que estén definidas. Por ejemplo, y = tan x es continua en ... U (-7T/2, 7T/2) U(7T/2, 37T/2) U ...

Composición de funcionesToda composición de funciones continuas es continua. La idea es que si f(x) es continua enx = e, y g(x) es continua en x = f(e), entonces g o f es continua en x = e (figura 2.42). En estecaso, el límite cuando x ~ e es g(f(e)).

gol

Continua en e

I~~ Continua

• me. mfi~ ~e fie) g(f(e»

FIGURA 2.42 Las composiciones de funciones continuas son continuas.

g

TEOREMA9: Composición de funciones continuas Si f es continua en e y g escontinua en f(e), entonces la composición g o f es continua en e.

De manera intuitiva, el teorema 9 es razonable, ya que si x es cercana a e, entonces f(x) escercana a f(e) , y como g es continua enf(e) se sigue que g(f(x)) es cercana a g(f(e)).

La continuidad de la composición se cumple para cualquier número finito de funciones.El único requisito es que cada función sea continua donde se aplique. En el ejercicio 6 delapéndice 4 aparece un esquema de la prueba del teorema 9.

2.5 Continuidad 77

La mayoría de los resultados del teorema 8 se deducen de las reglas de los límites del teorema 1, sección 2.2. Por ejemplo, para probar la propiedad de la sruna, tenemos

lím(J + g)(x) = lím(j(x) + g(x» x~c x~c

= lím ¡ (x) + lím g(x), Regla de la suma, teorema I x~c x~c

= ¡(e) + g(e) Continuidad de I y g en e

= (j+g)(e) .

Esto muestra que f + g es continua.

EJEMPLO 6

(a) Todo polinomio P(x) = anx' + an_ l~-l + ... + ao es continuo, ya que, por el teorema 2, sección 2.2, se tiene lírn P(x) = P(e).

x ->e

(b) Si P(x) Y Q(x) son polinomios, entonces la función racional P(x) j Q(x) es continua siempre que esté definida (Q(e) "* O) por el teorema 3, sección 2.2. •

EJEMPLO 7 La función f(x ) = Ixl es continua en todo valor de x. Si x > O, tenemos f(x) = x, un polinomio. Si x < O, tenemos f(x) = - x, otro polinomio. Por último, en el origen, límx->o Ixl = O = 101· •

Las funciones y = sen x y y = cos x son continuas en x = O por el ejemplo 11 de la sección 2.2. De hecho, ambas funciones son continuas en todos los reales (ejercicio 68). Con base en el teorema 8, se deduce que las seis funciones trigonométricas son continuas siempre que estén definidas. Por ejemplo, y = tan x es continua en . . . U ( - 71'/ 2,71'/ 2) U (n/ 2, 3n/ 2) U ....

Composición de funciones

Toda composición de funciones continuas es continua. La idea es que si f(x) es continua en x = e, y g(x) es continua en x = f(e), entonces g o f es continua en x = e (figura 2.42). En este caso, el límite cuando x ~ e es g(f(e».

Continua en e

f g

~ Continua .~ ene __ ~~.~ __________ enfie) __________ •• ____ _

e fie) g!j(e»

FIGURA 2.42 Las composiciones de funciones continuas son continuas.

TEOREMA 9: Composidón de fundones continuas Si f es continua en e y g es continua enf(e), entonces la composición g o f es continua en e.

De manera intuitiva, el teorema 9 es razonable, ya que si x es cercana a c, entonces f(x) es cercana a f(e) , y como g es continua enf(e) se sigue que g(f(x» es cercana a g(f(e».

La continuidad de la composición se cwnple para cualquier número finito de funciones. El único requisito es que cada función sea continua donde se aplique. En el ejercicio 6 del apéndice 4 aparece un esquema de la prueba del teorema 9.


límx---+cg(f(x» = g(b) = g(límx---+c f(x».


EJEMPLO 8 Demuestre que las siguientes funciones son continuas en todos los puntos desus dominios respectivos.

(a) y = v:2- - 2x - 5 X2/3(b)y = -1--4+x

(d) = 1 x sen x 1y :2-+2Ix - 21(e) y = :2- - 2

y

Solución

(a) La función raíz cuadrada es continua en [O, 00), ya que es una raíz de la función iden-tidad f(x) = x, que es continua (parte 7, teorema 8). Entonces, la función dada es lacomposición del polinomio f(x) = x2 - 2x - 5 con la función raíz cuadradag(t) = Vi, por lo tanto es continua en su dominio.

(b) El numerador es la raíz cúbica de la función identidad elevada al cuadrado; el denomi-nador es un polinomio que siempre es positivo. Por lo tanto, el cociente es continuo.

(e) El cociente (x - 2)j(x2 - 2) es continuo para toda x =1= ± \/2, y la función es la compo-sición de este cociente con la función valor absoluto, que es continua (ejemplo 7).

(d) Puesto que la función seno es continua en todos los reales (ejercicio 68), entonces eltérmino del numerador x sen x es el producto de funciones continuas, y el término deldenominador x2 + 2 es un polinomio siempre positivo. La función dada es la composi-ción de un cociente de funciones continuas con la función continua valor absoluto(figura 2.43). •

0.4

li

I1

FIGURA 2.43 La gráfica sugiere quey = I(x senx)/(x2 + 2)1es continua(ejemplo 8d).

En realidad, el teorema 9 es una consecuencia de un resultado más general que ahora es-tableceremos y demostraremos.

TEOREMA 10: Limites de funciones continuas Si g es continua en el punto by límx---+c f(x) = b, entonces

Prueba Sea E > Odado. Ya que g es continua en b, existe un número 01 > Otal que

Ig(y) - g(b) I < E siempre que O < Iy - bl < 01.

Puesto que límx---+c f(x) = b, entonces existe o > Otal que

If(x) - bl < 01 siempre que O < [x - el < o.

Si hacemos y = f(x), entonces tenemos que

Iy - bl < 01 siempre que O < [x - el < o,

lo que, con base en el primer enunciado, implica que Ig(y) - g(b)1 = Ig(f(x» - g(b)1 < E,

siempre que O< Ix - el < o. De la definición de límite, esto prueba quelímx---+cg(f(x) = g(b). •

EJEMPLO 9 Como una aplicación del teorema 10, tenemos

x.!i~/2 cos (2X + sen (3; + x ) ) = cos C.!i~122x + x.!i~12 sen (3; + x) )

= cos (7T + sen Zrr) = COS7T = -1. •


y

0.4

FIGURA 2.43 La gráfica sugiere que

y = I(x sen x)/ (x2 + 2)1 es continua

(ejemplo 8d).

EJEMPLO 8 Demuestre que las siguientes funciones son continuas en todos los puntos de sus dominios respectivos.

(a) y = V~ - 2x - 5

Ix - 21 (e) y = ~ _ 2

Solución

X2/ 3

(b) y = -1--4 +x

( d) = 1 x sen x 1 y ~ + 2

(a) La función raíz cuadrada es continua en [O, 00), ya que es una raíz de la función identidad f(x) = x, que es continua (parte 7, teorema 8). Entonces, la función dada es la composición del polinomio f(x) = x2 - 2x - 5 con la función raíz cuadrada g(t) = Vt, por lo tanto es continua en su dominio.

(b) El numerador es la raíz cúbica de la función identidad elevada al cuadrado; el denominador es un polinomio que siempre es positivo. Por lo tanto, el cociente es continuo.

(e) El cociente (x - 2)j(x2 - 2) es continuo para toda x #- ± v2, y la función es la composición de este cociente con la función valor absoluto, que es continua (ejemplo 7).

(d) Puesto que la función seno es continua en todos los reales (ejercicio 68), entonces el término del numerador x sen x es el producto de funciones continuas, y el término del denominador x2 + 2 es un polinomio siempre positivo. La función dada es la composición de un cociente de funciones continuas con la función continua valor absoluto (figura 2.43). •

En realidad, el teorema 9 es una consecuencia de un resultado más general que ahora estableceremos y demostraremos.

TEOREMA 10: limites de funciones continuas Si g es continua en el punto b y límx-->c f(x) = b, entonces

líillx-->c g(f(x)) = g(b) = g(límx-->c f(x)).

Prueba Sea E > O dado. Ya que g es continua en b, existe un número 01 > O tal que

Ig(y) - g(b) I < E siempre que O < Iy - bl < 01.

Puesto que límx-->c f(x) = b, entonces existe o > O tal que

If(x) - bl < 01 siempre que O < Ix - el < o.

Si hacemos y = f(x), entonces tenemos que

Iy - bl < 01 siempre que O < Ix - el < o,

lo que, con base en el primer enunciado, implica que Ig(y) - g(b) I = Ig(f(x)) - g(b)1 < E ,

siempre que O < Ix - el < O. De la definición de límite, esto prueba que límx-->cg(f(x)) = g(b). •

EJEMPLO 9 Como una aplicación del teorema 10, tenemos

x.!i~/2 cos (2X + sen (3; + x) ) = cos C.!i~12 2x + x.!i~12 sen (3; + x) )

= cos (1T + sen21T) = COS1T = - 1. •


2.5 Continuidad 79

Extensión continua hacia un puntoLa función y = f(x) = (sen x)/x es continua en todo punto, excepto en x = O. En esto se parecea la función y = l/x. Pero y = (sen x)/x es diferente de y = l/x en que tiene un límite finitocuando x ~ O (teorema 7). Por lo tanto, es posible extender el dominio de la función para in-cluir el punto x = O, de tal manera que la función ampliada sea continua en x = O. Definimosuna nueva función ¡senx

F(x) = -x-,

1,

xi=O

x = O.

La función F(x) es continua en x = O, ya que

senx = F(O)lím -xx--->O

(figura 2.44).

y y

(0,1)

»>: ~

(0,1)

tI' ~)F(x)

(I' ~) tI' ~)Ti

(I' ~)2 O Ti

X

2Ti

(a)

-2 O Tix

(b)"2

FIGURA 2.44 La gráfica (a) de f(x) = (sen x)/x para = tt /2 :s x :s 7T/2 no incluye al punto(O, 1), ya que la función no está definida en x = O. (b) Es posible eliminar la discontinuidad dela gráfica si se define la nueva función F(x) con F(O) = l y F(x) = f(x) en todos los demáspuntos. Observe que F(O) = lím ¡(x).

x--->o

Con mayor generalidad, una función (tal como una función racional) puede tener límite,aunque en ese punto no esté definida. Si f(e) no está definida, pero existe ellímx-->c f(x) = Ldefinimos una nueva función F(x) mediante la regla

F(x) = {f(x),L,

si x está en el dominio de fsix = e.

La función f es continua en x = e. Se denomina extensión continua de f para x = c. Para fun-ciones racionales f, las extensiones continuas por lo regular se determinan cancelando losfactores comunes.


x2+x-6f(x) = o , x i= 2-4

tiene una extensión continua para x = 2 y determine esa extensión.

Solución Aunque f(2) no está definida, si x i= 2, tenemos

f(x) = ~ + x - 6·0 -4

(x - 2)(x + 3)

(x - 2)(x + 2)x + 3x + 2·

La nueva función

F(x) = x + 3x+2



y

2

-_~J--~0~~--~2~~3--~4~x

(a)y

x+3y=--x+2

-_~J--~0+---L-~2---3~~4~x

(b)

FIGURA 2.45 (a) La gráfica de f(x) y(b) la gráfica de su extensión continua F(x)(ejemplo 10).

y

3 • •

2

~0~--~~---2L----L3----~4----+x

FIGURA 2.46 La función

{2x - 2, I:s:x < 2

¡(x) = 3, 2 :S: x :S: 4

no toma todos los valores entre f(l) = OYf(4) = 3; le faltan todos los va~oresentre2 y 3.

es igual a f(x) para x =1=2, pero es continua en x = 2, con valor igual a 5/4. Por lo tanto, f esla extensión continua de f para x = 2 Y

lím x2 + x - 6 = lím f(x) = l.

x-->2 x2 - 4 x-->2 4

La gráfica defse presenta en la figura 2.45. La extensión continuaftiene la misma gráfica,salvo que no muestra un agujero en (2,5/4). En efecto,jes la funciónfcon su punto de dis-continuidad en x = 2 removido. _

Teorema del valor intermedio para funciones continuasLas funciones que son continuas en intervalos tienen propiedades que las hacen particularmen-te útiles en matemáticas y sus aplicaciones. Una de éstas es la propiedad del valor intermedio.Se dice que una función tiene la propiedad del valor intermedio si siempre que toma dos valo-res, también toma todos los valores entre esos dos.

TEOREMA 11: Teorema deLvaLorintermedio para funciones continuas Sifes una función continua en un intervalo cerrado [a, b] Ysi yo es cualquier valor entrefea) y f(b), entonces Yo = f(c) para algún c en [a, b].

y

y =f(x)

-------------~ IIIIIIIIIII1I1I

f(b)

fea) f- - --

~O+-----la--------~c------~b---+x

El teorema 11 dice que funciones continuas en intervalos cerrados finitos tienen la pro-piedad del valor intermedio. Geométricamente, el teorema del valor intermedio indica que cual-quier recta horizontal y = Yo que cruza el eje y entre los números fea) y f(b) cruzará la curvay = f(x) al menos una vez en el intervalo [a, b].

La prueba del teorema del valor intermedio depende de la propiedad de completez del sis-tema de los números reales (apéndice 6) y puede encontrarse en textos más avanzados.

La continuidad de f en el intervalo es esencial para el teorema 11. Si f es discontinua,aunque sea en un solo punto del intervalo, la conclusión del teorema podría no cumplirse,como sucede para la función graficada en la figura 2.46 (basta seleccionar yo como cualquiernúmero entre 2 y 3).

Una consecuencia para Lagraficación: Conectividad El teorema 11 implica que la gráficade una función continua, en un intervalo, no puede tener rupturas en el intervalo. Será conexa,esto es, una curva sin cortes. No tendrá saltos, como la gráfica de la función máximo entero(figura 2.39), ni ramas separadas como la gráfica de l/x (figura 2.41).

Una consecuencia para Ladeterminación de raíces Una solución de la ecuación f(x) = Ose llama raíz de la ecuación o cero de la función f. El teorema del valor intermedio nos diceque sifes continua, entonces cualquier intervalo en el quefcambia de signo tendrá un cero dela función.

En términos prácticos, cuando en una pantalla de computadora vemos que la gráfica deuna función continua cruza el eje horizontal, sabemos que no brinca el eje. En realidad, exis-te un punto donde el valor de la función es cero.


y

2

x - 1 O I 2 3 4

(a) y

x+ 3 2

Y= - -

2- -----.: x + 2

4 1

-_~1--~O~~--~2L-~3--~4~x

(b)

FIGURA 2.45 (a) La gráfica de j(x) y (b) la gráfica de su extensión continua F(x)

(ejemplo lO).

y

3 • •

2

~O~--~~--~--~3----~4--~x

FIGURA 2.46 La función

{2x - 2, I :s X < 2

¡(x) = 3, 2 :S X :S 4

no toma todos los valores entre j(1) = O

Y j(4) = 3; le faltan todos los va~ores

entre 2 y 3.

es igual a f(x) para x =1= 2, pero es continua en x = 2, con valor igual a 5/4. Por lo tanto, f es la extensión continua de f para x = 2 Y

lím x2 + x - 6 = lím f(x) = l. x --> 2 X2 - 4 x-->2 4

La gráfica defse presenta en la figura 2.45. La extensión continuaftiene la misma gráfica, salvo que no muestra un agujero en (2,5 / 4). En efecto,jes la funciónfcon su punto de discontinuidad en x = 2 removido. _

Teorema del valor intermedio para funciones continuas

Las funciones que son continuas en intervalos tienen propiedades que las hacen particularmente útiles en matemáticas y sus aplicaciones. Una de éstas es la propiedad del valor intermedio. Se dice que una función tiene la propiedad del valor intermedio si siempre que toma dos valores, también toma todos los valores entre esos dos.

TEOREMA 11: Teorema del valor intermedio para funciones continuas Sif es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] Y si Yo es cualquier valor entre fea) y f(b), entonces Yo = f(c) para algún c en [a , b].

y

y =f(x)

f(b) --- -- ---- -- --~

Yo - -- -- -- --- -

fea)

--O+-----~a--------~c------~bL-~X

El teorema 11 dice que funciones continuas en intervalos cerrados finitos tienen la propiedad del valor intermedio. Geométricamente, el teorema del valor intermedio indica que cualquier recta horizontal Y = Yo que cruza el eje Y entre los números fea) y f(b) cruzará la curva Y = f(x) al menos una vez en el intervalo [a , b].

La prueba del teorema del valor intermedio depende de la propiedad de completez del sistema de los números reales (apéndice 6) y puede encontrarse en textos más avanzados .

La continuidad de f en el intervalo es esencial para el teorema 11 . Si f es discontinua, aunque sea en un solo punto del intervalo, la conclusión del teorema podría no cumplirse, como sucede para la función graficada en la figura 2.46 (basta seleccionar Yo como cualquier número entre 2 y 3).

Una consecuencia para la graficación: Conectividad El teorema 11 implica que la gráfica de una función continua, en un intervalo, no puede tener rupturas en el intervalo. Será conexa, esto es, una curva sin cortes. No tendrá saltos, como la gráfica de la función máximo entero (figura 2.39), ni ramas separadas como la gráfica de l / x (figura 2.41).

Una consecuencia para la determinación de raices Una solución de la ecuación f(x) = O se llama raíz de la ecuación o cero de la función f. El teorema del valor intermedio nos dice que sifes continua, entonces cualquier intervalo en el quefcambia de signo tendrá un cero de la función.

En términos prácticos, cuando en una pantalla de computadora vemos que la gráfica de una función continua cruza el eje horizontal, sabemos que no brinca el eje. En realidad, existe un punto donde el valor de la función es cero.


2.5 Continuidad 81

EJEMPLO 11 Demuestre que entre 1 y 2, existe una raíz de la ecuación x3 - x - 1 = O.

Solución Seaf(x) = x3 - X - 1.Como f(l) = 1 - 1 - 1 = -1 < ° y f(2) = 23 - 2 - 1 =5 > 0, vemos que yo = ° es un valor entre f(1) y f(2). Como f es una función continua, elteorema del valor intermedio dice que existe un cero de f entre 1 y 2. La figura 2.47 muestrael resultado de hacer acercamiento s para ubicar la raíz alrededor de x = 1.32. _

5

2

1.6

-11' , 1 ' '/' ,

-2(a) (b)

0.003

1.320 1.330 1.3240

-0.02

1.3248

(e) (d)

FIGURA 2.47 Acercamiento a un cero de la función ¡(x) = x3 - X - l. El cero está cercadex = 1.3247(ejemplo 11).

EJEMPLO 12 Utilice el teorema del valor intermedio para probar que la ecuación

~=4-X2

y tiene una solución (figura 2.48).

Solución Rescriba la ecuación como

~+x2=4,

y establezca que f(x) = ~ + r.Ahora g(x) = ~ es continua en el intervalo[- 5/2, (0), ya que es la composición de la función raíz cuadrada con la función lineal no nega-tiva y = 2x + 5. Entonces f es la suma de la función g y la función cuadrática y = x2, la cual escontinua para todos los valores de x. Se sigue que f(x) = ~ + x2 es continua en el in-tervalo [-5/2, (0). Por ensayo y error, encontramos los valores de la funciónfeO) = Vs ~ 2.24 y f(2) = V9 + 4 = 7, observe queftambién es continua en el intervalocerrado [0,2] - [- 5/2, (0). Como el valor Yo= 4 está entre los números 2.24 y 7, por el teo-rema del valor intermedio, existe un número e - [0,2] tal que f(e) = 4. Esto es, el número eresuelve la ecuación original. _

o e 2

FIGURA 2.48 Las curvas y = ~y y = 4 - :x? y y = 4 - x2 tienen el mismovalor en x = e cuando ~ = 4 - :x?(ejemplo 12).

y

~ y = V 2x + 5

--------+-----~--~~ x o e 2

FIGURA 2.48 Las curvas y = ~ y y = 4 - x?- y y = 4 - x2 tienen el mismo valor en x = e cuando ~ = 4 - x?(ejemplo 12).

2.5 Continuidad 81

EJEMPLO 11 Demuestre que entre 1 y 2, existe una raíz de la ecuación x3 - x - 1 = O.

Solución Seaf(x) = x 3 - x - 1. Como f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < ° y f(2) = 23 - 2 - l = 5 > 0, vemos que Yo = ° es un valor entre f(l) y f(2). Como f es una función continua, el teorema del valor intermedio dice que existe un cero defentre 1 y 2. La figura 2.47 muestra el resultado de hacer acercamientos para ubicar la raíz alrededor de x = 1.32. •

5

-1 '----'---+-----'----L--T-'----' 2

-2 (a) (b)

0.003

1.330 1.3248

(e) (d)

FIGURA 2.47 Acercamiento a un cero de la función f(x ) = x3 - X - l . El cero está cerca dex = 1.3247 (ejemplo 11).

EJEMPLO 12 Utilice el teorema del valor intermedio para probar que la ecuación

tiene una solución (figura 2.48).

Solución Rescriba la ecuación como

y establezca que f(x) = ~ + x2. Ahora g(x) = ~ es continua en el intervalo

[-5/ 2, (0), ya que es la composición de la función raíz cuadrada con la función lineal no nega

tiva y = 2x + 5. Entoncesfes la suma de la función g y la función cuadrática y = x2, la cual es

continua para todos los valores de x . Se sigue que f(x) = ~ + ~ es continua en el in

tervalo [-5/ 2,00). Por ensayo y error, encontramos los valores de la función

feO) = Vs ~ 2.24 y f(2) = V9 + 4 = 7, observe quef también es continua en el intervalo

cerrado [O, 2] - [- 5/ 2, (0). Como el valor Yo = 4 está entre los números 2.24 y 7, por el teo

rema del valor intermedio, existe un número e - [0,2] tal que f(e) = 4. Esto es, el número c

resuelve la ecuación original. •



Ejerddos 2.5

7. a. ¿Estáfdefinida enx = 2? (Véase la definición deJ)o

b. ¿f es continua en x = 2?

8. ¿En cuáles valores de x la funciónfes continua?

9. ¿Qué valor debe asignarse a f(2) para hacer que la función extendidasea continua en x = 2?

10. ¿A qué nuevo valor debe cambiarse f(l) para eliminar la discon-tinuidad?

Continuidad de las gráficasEn los ejercicios 1 a 4, indique si la función graficada es continua en[ - 1, 3). Si no, ¿en dónde no es continua y por qué?

1. 2.

y y

y = j(x) y = g(x)

2

---L--:-+----L----L2----L3~ xx-j O 2 3 -1 O

3. 4.

Y Y

Y = h(x)2

y = k(x)

~ __ ~ __ L_ __ ~ __ ~-+x-1 O 2 32 3-1 O

Los ejercicios 5 a 10 se refieren a la función

f(x) =¡f,- 1,

-2x + 4,

O,

-l :s; x < O

O<x<1x = 1l<x<22<x<3

que se grafica a continuación.

- ...•..----{'l------"-----l~--ó---~x3

y =~-1 -1

Gráfica para los ejercicios 5 a 10.

5. a. ¿Existe f( -1)?

b. ¿Existe límr-->-I+ f(x)?

c. ¿límx-->-I+ f(x) = f(-l)?

d. ¿La funciónf es continua en x = -1?

6. a. ¿Existe f(I)?

b. ¿Existe límx--> 1 f(x)?

c. ¿límx--> I f(x) = f(1)?

d. ¿La funciónf es continua en x = 1?

Aplicación del criterio de continuidad¿En qué puntos no son continuas las funciones de los ejercicios 11 y 12?¿En cuáles, si acaso, las discontinuidades son removibles? ¿En cuáles noson removibles? Justifique sus respuestas.

11. Ejercicio 1, sección 2.4 12. Ejercicio 2, sección 2.4.

¿En qué puntos las funciones de los ejercicios 13 a 30 son continuas?

113. Y = x _ 2 - 3x

114. Y = 2 + 4

(x + 2)

16. Y = x + 3~ - 3x - lO

1 ~18. y=----[x] + 1 2

15. Y = x + 1~ - 4x + 3

17. Y = [x - 11 + senx

19 = cosx.y x

x + 220. Y = cosx

7TX22. y = tan224. y = \.I'7+l

1 + sen2 x

21. Y = csc2x

23 = xtanx. y ~ + l

25.y=~

27.Y = (2x- 1)1/3

29. g(x) = {X2

: ~ ~ 6,

5,

26.y=~

28. Y = (2 - x)1/5

x » 3

x = 3

{

X3 - 8~ - 4'

30. f(x) = 3,

4,

x"" 2,x "" -2

x = 2x = -2

Límites que incluyen funciones trigonométricasDetermine los límites en los ejercicios 31 a 36. En el punto al que seaproximan, ¿las funciones son continuas?

31. lím sen (x - senx) 32. }!!!b sen (~cos (tan t) )x-->'1T

33. lím sec (y sec2 y - tan2 y - 1)y-->l

34. 1~tan ( *cos (sen x1/3) )

35. lím cos ( 7T ) 36. lím V ese/ x + 5 V3 tan x1-->0 V 19 - 3 sec 21 x~7T/6


Extensiones continuas37. Defina g(3) de manera que extienda g(x) = (x2 - 9)/(x - 3) para que

sea continua en x = 3. :

38. Defina h(2) de manera que extienda h(t) = (t2 + 3t - 10)/(t - 2)para que sea continua en t = 2.

39. Defina f(1) de manera que extienda f(s) = (s3 - 1)/(s2 - 1) paraque sea continua en s = 1.

40. Defina g( 4) de manera que extienda

g(x) = V - 16)/(~ - 3x - 4)

para que sea continua en x = 4.

41. ¿Para qué valores de a

f(x) = {x2

- 1, x < 32ax, x:20 3

es continua en toda x?

42. ¿Para qué valores de b

g(x) = {X,

bx2,

x < -2x:20 -2

2.5 Continuidad 83


43. ¿Para qué valores de a57.

f(x) = {a2x - 2a, x:20 2

12, x<2

es continua en toda x?58.

44. ¿Para qué valores de b

rb x < Og(x) = b + l '

~ + b, x> O 59.


45. ¿Para qué valores de a y b

{

-2, x,,;-1

f(x) = ax - b, -1 < x <3, x :20 1


46. ¿Para qué valores de a y b

{

ax + 2b,g(x) = x2 + 3a - b,

3x - 5,

x,,; O0<x,,;2

x> 2

Teoría y ejemplos51. Se sabe que una función continua y = f(x) es negativa en x = O Y po-

sitiva en x = 1. ¿Por qué la ecuación f(x) = O tiene al menos unasolución entre x = O Yx = I? Ilustre con un bosquejo.

52. Explique por qué la ecuación cos x = x tiene al menos una solución.

53. Raíces de una cúbica Demuestre que la ecuación x3 - 15x + I = Otiene tres soluciones en el intervalo [-4,4].

54. Valor de una función Demuestre que la función F(x) = (x - a)2.(x - b)2 + x toma el valor (a + b)/2 para algún valor de x.

55. Resolución de una ecuación Si f(x) = x3 - 8x + 10, demuestreque existen valores e para los que f(e) es igual a (a) 7T; (b) - V3;(e) 5,000,000.

56. Explique por qué los siguientes cinco enunciados piden la misma in-formación.

a. Determine las raíces de f(x) = x3 - 3x - 1.

b. Determine la abscisa de los puntos donde la curva y = x3 cruzaa la recta y = 3x + l.

c. Determine todos los valores de x para los que x3 - 3x = l.

d. Determine las abscisas de los puntos donde la curva cúbicay = x3 - 3x cruza a la recta y = l.

e. Resuelva la ecuación x3 - 3x - l = O.

Discontinuidad re movible Dé un ejemplo de una función f(x) quesea continua para todos los valores de x, excepto en x = 2, dondetiene una discontinuidad removible. Explique cómo sabe que f es dis-continua en x = 2 Y cómo sabe que la discontinuidad es removible.

Discontinuidad no removible Dé un ejemplo de una función g(x)que sea continua para todos los valores de x, excepto en x = -1,donde tiene una discontinuidad no removible. Explique cómo sabeque g es discontinua allí y por qué la discontinuidad es no removible,

Una función discontinua en todo punto

a. Con base en el hecho de que todo intervalo no vacío de númerosreales contiene tanto números racionales como irracionales,demuestre que la función

{1,

f(x) = O,si x es racional

si x es irracional


D En los ejercicios 47 a 50, grafique la funciónf para ver si parece que tieneuna extensión continua en el origen. Si es así, utilice las funciones Tracey Zoorn para determinar un buen candidato para el valor de la función ex-tendida en x = O. Si la función no parece tener una extensión continua,¿podrá extenderse para que sea continua en el origen por la derecha o porla izquierda? Si es así, ¿cuál(es) debería(n) ser el(los) valore(s) de la fun-ción extendida?

47. f(x) = lO' - lx

49. f(x) = senx[x]

10lxl 148. f(x) = x-

50. f(x) = (l + 2x)l/x

60.

es discontinua en todo punto.

b. ¿En algún punto f es continua por la derecha o continua por laizquierda?

Si las funciones f(x) y g(x) son continuas para O ,,; x ,,; 1, ¿podríaser f(x)/g(x) discontinua en algún punto de [O, 1]? Justifique surespuesta.

Si la función producto h(x) = f(x) . g(x) es continua en x = O, ¿lasfunciones f(x) y g(x) deben ser continuas en x = O? Justifique surespuesta.

Composición discontinua de funciones continuas Dé un ejemplode funciones f y g, ambas continuas en x = O, para las cuales la com-posición f o g sea discontinua en x = O. ¿Esto contradice el teore-ma 9? Justifique su respuesta.

Funciones continuas que nunca son cero ¿Es cierto que una fun-ción continua que nunca es cero en un intervalo nunca cambia designo en ese intervalo? Justifique su respuesta.

61.

62.

63.



64. Estiramiento de una liga de hule ¿Es cierto que si estira una liga,moviendo un extremo hacia la derecha y otro hacia la izquierda, al-gún punto de la liga quedará en su posición original? Justifique surespuesta.

65. Un teorema de punto fijo Suponga que una función f es continuaen el intervalo cerrado [O, I], Yque O::; f(x) ::; l para toda x en [O,1].Demuestre que debe existir un número e en [O, l] tal que f(e) = e(a e se le denomina punto fijo de f).

66. La propiedad de conservar el signo de las funciones continuasSea f definida en un intervalo (a, b) y suponga que f(e) i= O en al-gún e, dondefes continua. Demuestre que existe un intervalo (e - 8,e + 8) alrededor de e donde f tiene el mismo signo que f( e).

67. Pruebe que f es continua si y sólo si

lím i(e + h) = [ic),h--->O

68. Utilice el ejercicio 67 junto con las identidades

sen(h + e) = senhcose + coshsene,

cos (h + e) = cos h cos e - sen h sen e

2.6 Limites que incluyen aLinfinito; asíntotas de gráficas

y

4

3

21Y=:x

para probar que f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas en todopunto e.

ResoLución gráfica de ecuacionesO En los ejercicios 69 a 76 utilice el teorema del valor intermedio para pro-

bar que cada ecuación tiene una solución. Luego utilice una computadorao una calculadora graficadora para resolver las ecuaciones.

69. x3 - 3x - l = O

70. 2x3 - 2x2 - 2x + l = O

71. x(x -1)2 = 1 (una raíz)

72. x' = 2

73. Vx+~=4

74. x3 - 15x + 1 = O (tres raíces)

75. cos x = x (una raíz). Asegúrese de utilizar el modo radianes.

76. 2 senx = x (tres raíces). Asegúrese de utilizar el modo radianes.

En esta sección estudiamos el comportamiento de una función cuando la magnitud de la varia-ble independiente x se hace cada vez más grande, o x - ±co. Además, ampliamos el conceptode límite al de límites infinitos, que no son límites como los que hemos estudiado hasta ahora,sino que implican un nuevo uso del término de límite. Los límites infinitos ofrecen símbolos ylenguaje útiles para describir el comportamiento de funciones cuyos valores se hacen arbitra-riamente grandes en magnitud. Utilizamos tales ideas de límites para analizar las gráficas defunciones que tienen asintotas horizontales o asintotas verticales.

Límites finitos cuando x ~ ± 00

El símbolo de infinito (00) no representa un número real. Utilizamos 00 para describir el com-portamiento de una función cuando los valores de su dominio o rango rebasan cualquier cotafinita. Por ejemplo, la función f(x) = l/x está definida para toda x =F O(figura 2.49). Cuandox es positiva y se vuelve arbitrariamente grande, l/x se vuelve muy pequeño. Cuando x es ne-gativa y su magnitud cada vez es más grande, l/x de nuevo se vuelve muy pequeño (en magni-tud). Resumimos tales observaciones diciendo que f(x) = l/x tiene límite Ocuando x ~ 00 ox ~ -00, o que Oes un límite de f(x) = l/x en infinito o en menos infinito. A continuacióndamos definiciones más precisas.

DEFINICIONES1. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende a infinito y escribimos

lím ¡(x) = Lx->OO

si, para todo número E > O,existe un número M correspondiente tal que para toda x

x>M I¡(x) - L I < E.

2. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende a menos infinito y escribimos

lím ¡(x) = Lx~-oo

si, para todo número E > O,existe un número correspondiente N tal que para toda x

x<N I ¡(x) - L I < E.

FIGURA 2.49 La gráfica de y = l/x tiendea cero cuando x -'> 00 o x -'> - oo,


64. Estiramiento de una liga de hule ¿Es cierto que si estira una liga, moviendo un extremo hacia la derecha y otro hacia la izquierda, algún punto de la liga quedará en su posición original? Justifique su respuesta.

para probar que f(x) = sen x y g(x) = cos x son continuas en todo punto e.

65. Un teorema de punto fijo Suponga que una función f es continua en el intervalo cerrado [O, 1] , Y que O ~ f(x) ~ 1 para toda x en [O, 1]. Demuestre que debe existir un número e en [O, 1] tal que f(e) = e (a e se le denomina punto fijo de f).

ResoLución gráfica de ecuaciones D En los ejercicios 69 a 76 utilice el teorema del valor intermedio para pro

bar que cada ecuación tiene una solución. Luego utilice una computadora o una calculadora graficadora para resolver las ecuaciones.

66. La propiedad de conservar el signo de las funciones continuas Sea f definida en un intervalo (a, b) y suponga que f(e) i= O en algún e, dondefes continua. Demuestre que existe un intervalo (e - 8, e + 8) alrededor de e donde f tiene el mismo signo que f( e).

69. x3 - 3x - 1 = O

70. 2x3 - 2x2 - 2x + 1 = O

71 . x(x - 1)2 = 1 (una raíz)

67. Pruebe que f es continua si y sólo si 72. x' = 2

lím ¡(e + h) = ¡(e). h--->O

73. Vx+~ = 4

68. Utilice el ejercicio 67 junto con las identidades

sen(h + e) = senhcose + coshsene,

cos (h + e) = cos h cos e - sen h sen e

74. x3 - 15x + 1 = O (tres raíces)

75. cos x = x (una raíz). Asegúrese de utilizar el modo radianes.

76. 2 senx = x (tres raíces). Asegúrese de utilizar el modo radianes.

2.6 Limites que incluyen aL infinito; asíntotas de gráficas

4

3

2

y

1 y=:x

FIGURA 2.49 La gráfica de y = l/x tiende a cero cuando x ---> 00 o x ---> - oo.

En esta sección estudiamos el comportamiento de una función cuando la magnitud de la variable independiente x se hace cada vez más grande, o x - ±oo. Además, ampliamos el concepto de límite al de límites infinitos, que no son límites como los que hemos estudiado hasta ahora, sino que implican un nuevo uso del término de límite. Los límites infinitos ofrecen símbolos y lenguaje útiles para describir el comportamiento de funciones cuyos valores se hacen arbitrariamente grandes en magnitud. Utilizamos tales ideas de límites para analizar las gráficas de funciones que tienen asíntotas horizontales o asíntotas verticales.

Límites finitos cuando x ~ ± 00

El símbolo de infinito (00) no representa un número real. Utilizamos 00 para describir el comportamiento de una función cuando los valores de su dominio o rango rebasan cualquier cota finita. Por ejemplo, la función f(x) = l/x está definida para toda x =F O (figura 2.49). Cuando x es positiva y se vuelve arbitrariamente grande, l/x se vuelve muy pequeño. Cuando x es negativa y su magnitud cada vez es más grande, l/x de nuevo se vuelve muy pequeño (en magnitud). Resumimos tales observaciones diciendo que f(x) = l/x tiene límite O cuando x ---'> 00 o x ---'> -00, o que O es un límite de f(x) = l/x en infinito o en menos infinito. A continuación damos definiciones más precisas.

DEFINICIONES 1. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende a infinito y escribimos

lím ¡(x) = L x->OO

si, para todo número E > O, existe un número M correspondiente tal que para toda x

x>M I ¡(x) - L I < E .

2. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende a menos infinito y escribimos

lím ¡(x) = L x~-oo

si, para todo número E > O, existe un número correspondiente N tal que para toda x

x<N I ¡(x) - L I < E.


1Y=x

No importa quéy número positivo sea E,

la gráfica se encuentraen esta banda en x = ~y ahí permanece.

1y = EE I "" ¡

lím k = kx~±oo

y lím 1-x->±oo x-O. (1)

2.6 Límites que incluyen infinito; asíntotas de gráficas 85

Intuitivamente, límx->oo f(x) = L si, cuando x se aleja del origen en la dirección positiva, f(x)se hace muy cercana a L. De forma análoga, límx-+-OOf(x) = L si, cuando x se aleja del origenen la dirección negativa, f(x) se hace cada vez más cercana a L.

La estrategia para calcular límites de funciones cuando x -? ± 00 es semejante a la de loslímites finitos de la sección 2.2. Allí, primero encontramos los límites de las funciones cons-tante e identidad, y = k y Y = x. Luego ampliamos dichos resultados para otras funciones alaplicar el teorema 1 de límites de combinaciones algebraicas. Aquí hacemos lo mismo, salvoque las funciones iniciales son y = k y Y = l/x, en vez de y = k y Y = x.

Los hechos básicos que se verifican mediante la aplicación de la definición formal son

Probamos el segundo resultado, pero dejamos el primero para los ejercicios 87 y 88.

, 't' I e _1 IM=l ¡ ,¡X

E


(a) lím i= Ox->oo

(b) lím 1-x->-oo x-O.

,... 1: "\. I-E SoludónSin importar quénúmero positivosea E, la gráficase encuentra en resta banda en x = -~.,y ahí permanece.

(a) Sea E > O. Debemos determinar un número M tal que para toda x

x>M ==* li-Ol = lil <E.

FIGURA 2.50 La geometría dentro delargumento del ejemplo l.

La implicación se cumplirá si M = l/E o cualquier número positivo mayor (figura 2.50).Lo anterior demuestra que límx-+oo (l/x) = O.Sea E > O. Debemos determinar un número N tal que para toda x(b)

x<N ==* li - 01 = lil < E.

La implicación se cumplirá si N = -l/E o cualquier número menor que -l/E (figura2.50). Esto prueba quelímx-+-oo (l/x) = O. •

Los límites en infinito tienen propiedades similares a las de los límites finitos.

TEOREMA 12 Todas las leyes de límites en el teorema 1 se cumplen cuandoremplazamos límx-+c por límx-> 00 o bien, límx-+-oo. Esto es, la variable x puedetender a un número finito e o a ±CXl.

EJEMPLO 2 Las propiedades en el teorema 12 se utilizan para calcular límites de la mismaforma que cuando x se aproxima a un número finito c.

(a) lím (5 + i) = lím 5 + lím i Regla de la sumaX~OO X~OO X~OO

(b)

=5+0=5

1 11TV3 = lím 1TV3'x'xlím --2 x->-oox---+-OQ X

Límites conocidos

lím 1TV3' lím l. lím 1x~-oo x---+-OQ x x---+-oo X

Regla del producto

= 1TV3'0'0 = O Límites conocidos •

y=1

se encuentra en

No importa qué y número positivo sea E,

la gráfica se encuentra en esta banda en x = ~ y ahí permanece.

1 y = E

esta banda en x = _ 1 . Y ahí permanece.


Intuitivamente, límx->oo ¡(x) = L si, cuando x se aleja del origen en la dirección positiva, f(x) se hace muy cercana a L. De forma análoga, límx->-oo ¡(x) = L si, cuando x se aleja del origen en la dirección negativa, f(x) se hace cada vez más cercana a L.

La estrategia para calcular límites de funciones cuando x ---? ± 00 es semejante a la de los límites finitos de la sección 2.2. Allí, primero encontramos los límites de las funciones constante e identidad, y = k y Y = x. Luego ampliamos dichos resultados para otras funciones al aplicar el teorema 1 de límites de combinaciones algebraicas. Aquí hacemos lo mismo, salvo que las funciones iniciales son y = k y Y = l / x, en vez de y = k y Y = x.

Los hechos básicos que se verifican mediante la aplicación de la definición formal son

lím k = k x~±oo

1 lím x = O.

x---+±OO (1) y

Probamos el segundo resultado, pero dejamos el primero para los ejercicios 87 y 88.


(a) lím i = O x->oo

(b) 1

lím x = O. x~-oo

Soludón

(a) Sea E > O. Debemos determinar un número M tal que para toda x

x>M

FIGURA 2.50 La geometría dentro del La implicación se cumplirá si M = l / E o cualquier número positivo mayor (figura 2.S0).

argumento del ejemplo l. Lo anterior demuestra que límx->oo (l / x) = O.

(b) Sea E > O. Debemos determinar un número N tal que para toda x

x<N

La implicación se cumplirá si N = - l / E o cualquier número menor que -l / E (figura 2.S0). Esto prueba quelímx->-oo (l / x) = o. •

Los límites en infinito tienen propiedades similares a las de los límites finitos.

TEOREMA 12 Todas las leyes de límites en el teorema 1 se cumplen cuando remplazamos límx->c por límx-> 00 o bien, límx->-oo . Esto es, la variable x puede tender a un número finito e o a ±CXl.

EJEMPLO 2 Las propiedades en el teorema 12 se utilizan para calcular límites de la misma forma que cuando x se aproxima a un número finito c.

(a) lím (s + i) = lím S + lím i Regla de la suma x---+OO x ---+ OO x ---+OO

=S+O = S

(b) lím 1TV3 = lím 1TV3 .1.1 x -> -oo x2 x->- oo X X

lím 1TV3' lím x x---+-oo x---+-oo

1, l 1m -

x---+-oo X

Límites conocidos

Regla del producto

Límites conocidos •



y 5~ + 8x - 3Y=3_~ + 2

2

Recta Y = ~

-2 NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 2.51 La gráfica de la función en

el ejemplo 3a. La gráfica tiende a la recta

y = 5/3 cuando Ixl crece.

y

8 IIx + 2Y=2J-l

6

4

-4 -2 O 2

-2

-4

-6

-8FIGURA 2.52 La gráfica de la función en

el ejemplo 3b. La gráfica tiende al eje xcuando [x I aumenta.

Limites al infinito de funciones racionalesPara determinar el límite de funciones racionales cuando x ~ ±00 , prímero dividimos el nu-merador y el denominador entre la potencia más alta de x en el denominador. De esta forma, elresultado depende de los grados de los polinomios que aparecen.

EJEMPLO 3 Estos ejemplos ilustran lo que sucede cuando el grado del numerador es menoro igual que el grado del denominador.

(a) lím 5x2 + 8x - 3 = lím 5 + (8/x) - O/X2)x-HX) 3x2 + 2 x->oo 3 + (2/x2)

Dividir el numerador y eldenominador entre x2

5 + O - O3 + O

53

Véase la figura 2.51.

(b) lím llx + 2x->-oo 2x3 - 1

Dividir el numerador y eldenominador entre x3.

=0+0=02 - O

Véase la figura 2.52. •Un caso para el cual el grado del numerador es mayor que el grado del denominador se

ilustra en el ejemplo 8.

Asintotas horizontalesSi la distancia entre la gráfica de una función y alguna recta fija tiende a cero, cuando un puntoen la gráfica se mueve cada vez más lejos del origen, decimos que la gráfica se aproxima asin-tóticamente a la recta y que la recta es una asíntota de la gráfica.

Al examinar la gráfica de f(x) = l/x (figura 2.49), observamos que el ejex es una asíntotade la curva por la derecha, ya que

lím i- = Ox->oo

y también por la izquierda, porque

lím i- = o.x~-oo

Decimos que el eje x es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) = l/x.

DEFINICIÓN Una recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de unafuncióny = f(x) si

lím f(x) = bx---+oo

o lím f(x) = b.x---+-oo

La gráfica de la función

f(x) = 5~ + 8x - 33x2 + 2

que se bosquejó en el figura 2.51 (ejemplo 3a) tiene la recta y = 5/3 como una asíntota hori-zontal, tanto por la derecha como por la izquierda, puesto que

lím f(x) = -35x->oo

y lím f(x)x-~-oo

53'


y y= 5~ + 8x - 3

3_~ + 2

Recta y = 2 3

NO ESTÁ A ESCALA

FIGURA 2.51 La gráfica de la función en el ejemplo 3a. La gráfica tiende a la recta

y = 5/3 cuando Ixl crece.

y

8

6

4

-4 - 2 O

-2

-4

-6

- 8

llx + 2 Y=2.Xl -l

2

FIGURA 2.52 La gráfica de la función en el ejemplo 3 b. La gráfica tiende al eje x cuando Ix I aumenta.

Limites aL infinito de funciones racionaLes

Para determinar el límite de funciones racionales cuando x ~ ± 00 , primero dividimos el numerador y el denominador entre la potencia más alta de x en el denominador. De esta forma, el resultado depende de los grados de los polinomios que aparecen.

EJEMPLO 3 Estos ejemplos ilustran lo que sucede cuando el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.

(a) lím 5X2 + 8x - 3 = lím 5 + (8/ x) - (3 / X2)

x - H X) 3x2 + 2 x -->oo 3 + (2/ x2)

(b) lím llx + 2 x--> - oo 2x3 - 1

5 + O - O 3 + O

= 0+0=0 2 - O

5 3

Dividir el numerador y el denominador entre x 2

Véase la figura 2.51 .

Dividir el numerador y el denominador entre x3

Véase la figura 2 .52. • Un caso para el cual el grado del numerador es mayor que el grado del denominador se

ilustra en el ejemplo 8.

Asíntotas horizontaLes

Si la distancia entre la gráfica de una función y alguna recta fija tiende a cero, cuando un punto en la gráfica se mueve cada vez más lejos del origen, decimos que la gráfica se aproxima asintóticamente a la recta y que la recta es una asíntota de la gráfica.

Al examinar la gráfica de f(x) = l / x (figura 2.49), observamos que el eje x es una asíntota de la curva por la derecha, ya que

lím } = O x-->oo

y también por la izquierda, porque

lím }=O. x~-oo

Decimos que el eje x es una asíntota horizontal de la gráfica de f(x) = l/x.

DEFINICIÓN Una recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de una funcióny = f(x) si

La gráfica de la función

lím f( x) = b o lím f(x) = b. x---+ oo x~-oo

f(x) = 5x2 + 8x - 3 3x2 + 2

que se bosquejó en el figura 2.51 (ejemplo 3a) tiene la recta y = 5/ 3 como una asíntota horizontal, tanto por la derecha como por la izquierda, puesto que

lím f(x) = -35

X--> DO y lím f(x)

x-~-oo

5 3'



y EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales de la gráfica de

x3 - 2f(x) = Ixl3 + l.

2

y=l-:, Solución Calculamos los límites cuando x ---7 ± oo.

Para x 2': o: lím ---'x:..-3_---.::2x--->OO Ixl3 + Í

x3 - 2 I - (2/~)lím -- = lím = l.

x--->OO x3 + l x--->OO 1 + (l/x3)

l - (2/x3)lím =-l.

x--->-OO -1 + (l/x3)

-2FIGURA 2.53 La gráfica de la función delejemplo 4 tiene dos asíntotas horizontales.

lím ~ - 2x--->-OO Ixl3 + 1

1, x3 - 2un

x--->-OO (-x)3 + 1Parax < O:

Las asintotas horizontales son y = -1 YY = l. La gráfica se muestra en la figura 2.53. Ob-serve que la gráfica cruza la asíntota horizontal y = -1 para un valor positivo de x. _

EJEMPLO 5 Determine (a) lím sen (l/x)x--->OO

y (b) lím x sen (l/x).x---+±OO

y

Solución

(a) Introducimos la nueva variable t = l/x. A partir del ejemplo 1, sabemos que (---70+cuando x ---7 00 (figura 2.49). Por lo tanto,

lím sen ± = lím sen t = O.X-HX) t---+O+

I '. J\I~I~!\ ! 1, X

Asimismo, podemos investigar el comportamiento de y = J(I/x) cuando x ---7 O si anali-zamos el valor de y = J(t) cuando t ---7 ± 00, donde t = l/x.

(b) Calculamos los límites cuando x ---700 Y x ---7-00:

1, 1 u sen t lim X sen X = irn -t- =x-H)Q t---+O+

1, l u sen ( 1lill X sen X = im -t - = .

x---+-oo 1---+0-y

FIGURA 2.54 La recta y = 1 es una asíntotahorizontal de la función que se grafica aquí(ejemplo 5b).

La gráfica se presenta en la figura 2.54. Vemos también que la recta y = 1 es una asíntotahorizontal. _

El teorema del sándwich también se cumple cuando x ---7 ± oo , Aunque usted debe ase-gurarse que la función, cuyo límite trata de determinar, permanezca entre las funciones quela acotan para valores de x muy grandes en magnitud, es decir, cuando x ---700 o X ---7- 00 .

EJEMPLO 6la curva

Mediante el uso del teorema del sándwich, determine la asíntota horizontal de

y = 2 + senxx .

Solución Nos interesa el comportamiento cuando x ---7 ±oo. Como

y O :S I se~ x I :S I± I

y la recta y = 2 es una asíntota horizontal de la curva, tanto por la izquierda como por laderecha (figura 2.55).

Este ejemplo ilustra que una curva puede cruzar una de sus asíntotas horizontales muchasveces. _

y=2+senxx y límx->±OO I l/xl = O, por el teorema del sándwich, tenemos límx->±OO (sen xj/» = O. De

aqui que

lím (2 + sen x) = 2 + O = 2,x--->±OO x

I I I I I I I )x

-37T -27T -7T O 7T 27T 37T

FIGURA 2.55 Una curva puede cruzar unade sus asíntotas un número infinito de veces(ejemplo 6).


y EJEMPLO 4 Determine las asíntotas horizontales de la gráfica de

2 X3 - 2 ___ ----1,---_ _ y_=-=l f( x) = Ix 13 + 1.

- 2

FIGURA 2.53 La gráfica de la función del

ejemplo 4 tiene dos asíntotas horizontales.

y

FIGURA 2.54 La recta y = I es una asíntota

horizontal de la función que se grafica aquí

(ejemplo 5b).

y= 2 +se~x

__ ~ __ -L __ -L __ +-__ L-__ L-~ __ ~x

-37T -27T - 7T O 7T 27T 37T

FIGURA 2.55 Una curva puede cruzar una

de sus asíntotas un número infinito de veces

(ejemplo 6).

Solución Calculamos los límites cuando x ---'> ± oo .

Para x ;::o: O: x3 - 2 l - (2/~)

lím - - - = lím = 1 x-HX) x3 + 1 x->oo 1 + (l /~) .

Para x < O: 1, ~ - 2 nn

x--. -oo Ix 13 + 1

Las asíntotas horizontales son y = -1 Y Y = 1. La gráfica se muestra en la figura 2.53. Observe que la gráfica cruza la asíntota horizontal y = - 1 para un valor positivo de x . _

EJEMPLO 5 Determine (a) lím sen (l / x) x->oo

y (b) lím x sen (l / x). x~±oo

Solución

(a) Introducimos la nueva variable t = l /x. A partir del ejemplo 1, sabemos que t---'> 0+ cuando x ---'> 00 (figura 2.49). Por lo tanto,

lím sen ± = lím sen t = O. x-HXJ 1----+ 0+

Asimismo, podemos investigar el comportamiento de y = J (l / x) cuando x ---'> O si analizamos el valor de y = J(t) cuando t ---'> ±OO, donde t = l / x.

(b) Calculamos los límites cuando x ---'> 00 y x ---'> -00:

1, 1 l ' sen t 1 1m xsen :x = 1m -t- =

x-HX) 1---+0+ y

l , sen t lím x sen :x = hm_ -t- = 1.

x ---+ - (X) t~O

La gráfica se presenta en la f igura 2.54. Vemos también que la recta y = 1 es una asíntota horizontal. _

El teorema del sándwich también se cwnple cuando x ---'> ± 00 . Aunque usted debe asegurarse que la función, cuyo límite trata de determinar, permanezca entre las funciones que la acotan para valores de x muy grandes en magnitud, es decir, cuando x ---'> 00 o x ---'> - 00 .

EJEMPLO 6 la curva

Mediante el uso del teorema del sándwich, determine la asíntota horizontal de

= 2 + senx y x .

Solución Nos interesa el comportamiento cuando x ---'> ±OO. Como

Y límx->±OO I l / xl = O, por el teorema del sándwich, tenemos límx->±OO (sen x)/ x = O. De aquÍ que

Iím (2 + sen x) = 2 + O = 2 , x->±oo x

y la recta y = 2 es una asíntota horizontal de la curva, tanto por la izquierda como por la derecha (figura 2.55).

Este ejemplo ilustra que una curva puede cruzar una de sus asíntotas horizontales muchas veces. _


•


EJEMPLO 7 Determine lím (x - Yx2 + 16).x-->OO

SoLución Ambos términos, x y Y~ + 16 tienden al infinito cuando x ~ 00, por lo queno es claro lo que le sucede a la diferencia (no es posible restar 00 de 00, puesto que el símbolo norepresenta un número real). En esta situación podemos multiplicar el numerador y el denomi-nador por la expresión radical conjugada para obtener una expresión algebraica equivalente:

lím (x - Yx2 + 16) = lím (x - Yx2 + 16) x + Yx2+ 16

x-->OO x-->OO X + Yx2 + 16

= lím ~ - (~ + 16) = lím - 16x-->OO X + Yx2 + 16 x-->OO X + Yx2 + 16'

Cuando x ~ 00, el denominador en la última expresión se hace arbitrariamente grande, con'lo que vemos que el límite es O. También podemos obtener este resultado mediante un cálculodirecto usando las leyes de los límites:

límx-->OO X +

-16lím

x----+oo

16x o = O

I+Yl+O .y~ + 16

Asintotas oblicuas

Si el grado del numerador de una función racional difiere del grado del denominador en 1, lagráfica tiene una asíntota oblicua o inclinada. Al dividir el numerador entre el denominadordeterminamos una ecuación para expresar/como una función lineal, más un residuo que tiendea cero cuando x ~ ± 00 .

EJEMPLO 8 Determine la asíntota oblicua de la gráfica de

f(x)

de la figura 2.56.

Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x ~ ± oo. Dividimos (x2 - 3)entre (2x - 4):

yLa distancia verticalentre la curva y la rectatiende a cero cuando x- 00

~ + 12

2x - 4Jx2 - 3

~-2x2x - 3

2x - 4

1

Esto nos dice que~~~~-;±--73--L4---Lx-------+x

f(x) ~ - 32x - 4-2

-3'--v--'

lineal g(x)'---y----'

residuo

FIGURA 2.56 La gráfica de la función enel ejemplo 8 tiene una asíntota oblicua.

Cuando x ~ ± 00, el residuo, cuya magnitud da la distancia vertical entre las gráficas de / y g,tiende a cero, hace de la recta inclinada

xg(x) = "2 + 1


y La distancia vertical

oblicua

- 2

- 3

FIGURA 2.56 La gráfica de la función en

el ejemplo 8 tiene una asíntota oblicua.

EJEMPLO 7 Determine lím (x - Yx2 + 16). x -->CXl

Solución Ambos términos, x y Y x2 + 16 tienden al infinito cuando x ~ 00, por lo que no es claro lo que le sucede a la diferencia (no es posible restar 00 de 00, puesto que el símbolo no representa un número real). En esta situación podemos multiplicar el numerador y el denominador por la expresión radical conjugada para obtener una expresión algebraica equivalente:

lím (x - Y x2 + 16) = lím (x - Y x2 + 16) x + Y x2 + 16 x -->CXl X -->CXl x + Y x2 + 16

= lím ~ - (~ + 16) = lím - 16

x -->oo x + Yx2 + 16 X --> CXl x + yx2 + 16'

Cuando x ~ 00, el denominador en la última expresión se hace arbitrariamente grande, con ' lo que vemos que el límite es O. También podemos obtener este resultado mediante un cálculo directo usando las leyes de los límites:

lím - ---r:1:o=6== x--> CXl x + y~ + 16

Asíntotas oblicuas

o = O 1 + -ví""+o .

•

Si el grado del numerador de una función racional difiere del grado del denominador en 1, la gráfica tiene una asíntota oblicua o inclinada. Al dividir el numerador entre el denominador determinamos una ecuación para expresarfcomo una función lineal, más un residuo que tiende a cero cuando x ~ ± 00 .

EJEMPLO 8 Determine la asíntota oblicua de la gráfica de

f (x )

de la figura 2.56.

Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x ~ ± oo . Dividimos (x2 - 3) entre (2x - 4):

Esto nos dice que

f(x)

~+1 2

2x - 4Jx2 - 3

~ - 2x

~ - 3 2x - 4

2x - 3

2x - 4

1

'---y---'

lineal g(x) ~

residuo

Cuando x ~ ± 00, el residuo, cuya magnitud da la distancia vertical entre las gráficas de f y g , tiende a cero, hace de la recta inclinada

x g(x) = "2 + 1


una asíntota de la gráfica de f (figura 2.56). La recta y = g(x) es una asíntota tanto por laPuede llegar tan alto derecha como por la izquierda. El siguiente apartado confirmará que la función f(x) se hace ar-como quiera tomando bitrariamente grande en valor absoluto cuando x - 2 (donde el denominador se hace cero)a x suficientemente como se muestra en la gráfica. _cercana a O. Sin importar

B + qu~ .tan alta ~sté B: la En el ejemplo 8, observe que si el grado del numerador en una función racional es mayor quegráfica va mas arnba. el grado del denominador, entonces el límite cuando Ixl se hace grande es +00 o -00, depen-

diendo del signo que toman el numerador y el denominador.

y

x

xSin importar quetan baj a sea -B, lagráfica va más abajo.

, I • lX

~O

Puede llegar tan bajO~como quiera tomando '-Ba x suficientementecercana a O.

FIGURA 2.57

1, lim -x = 00

x~o+

Límites laterales infinitos:

y lím 1. = -00x~o- X

y

2

FIGURA 2.58 Cerca de x = 1, la función

y = I/(x - 1) se comporta igual que la

función y = I/x cerca de x = O. Su gráfica

es la gráfica de y = l/x desplazada I unidad

hacia la derecha (ejemplo 9).

y

)

B -\- ~:t: i~:;~t~: ~~:f:~~

\ es aun mas alta.y~~~-------- __-+--__------~==~~x

x O x

(a)

FIGURA 2.59 La gráfica de f(x) en elejemplo 10 tiende a infinito cuando x -+ O.


Limites infinitosVeamos de nuevo la función f(x) = l/x. Cuando x - 0+, los valores de f crecen sin cota y enalgún momento sobrepasan a cualquier número real positivo dado. Esto es, dado cualquiernúmero real positivo B, no importa lo grande que sea, los valores de f se hacen aún mayo-res que éste (figura 2.57). Así,fno tiene límite cuando x - 0+. Sin embargo, es convenientedescribir el comportamiento de f diciendo que f(x) tiende a 00 cuando x - 0+. Escribimos

lím f(x) = lím i- = oo .x~O+ x~O+

Al dar esta ecuación, no estamos diciendo que el límite existe. Ni afirmamos que existe unnúmero real 00, porque no hay tal número. Mejor dicho, aseguramos que límx-4 (l/x) noexiste, porque l/x se hace arbitrariamente grande y positivo cuando x - 0+.

Cuando x - 0-, los valores de f(x) = l/x se vuelven negativos y de magnitud arbitraria-mente grande. Dado cualquier número real negativo - B, los valores de f tarde o temprano es-tarán abajo de -B. (Véase la figura 2.57). Escribimos

lím f(x) = lím i- = -00x->O- x->o-

Nuevamente, no decimos que el límite exista y sea igual al número -oo. No hay número real-oo. Describimos el comportamiento de una función cuyo límite cuando x: 0- no existeporque sus valores se hacen negativos y arbitrariamente grandes en magnitud.

EJEMPLO 9 Determine lím 1x---»¡+ X -

y límx->]- x - 1 .

Solución geométrica La gráfica de y = 1/ (x - 1) es la gráfica de' y = l/x recorridal unidad hacia la derecha (figura 2.58). Por lo tanto, y = I/(x - 1) se comporta cerca de 1exactamente como se comporta y = l/x cerca de O:

1, 11m --- = 00

x->]+x-llím

x-r-e l" x - 1-00y

Solución analíticaque (x - 1) - 0+I/(x - 1) - -00

Considere el número x - 1 y su recíproco. Cuando x - 1+, tenemosy 1/(x - 1) - oo . Cuando x - 1-, tenemos que (x - 1) - 0- y-

EJEMPLO 10 Analice el comportamiento de

f(x) cuando x-O.x2

Solución Cuando x se aproxima a cero por cualquier lado, los valores de 1/x2 son positivosy se hacen arbitrariamente grandes (figura 2.59). Esto significa que

lím f(x) = lím ~ = oo .x->O x->O x2 -


y una asíntota de la gráfica de f (figura 2.56). La recta y = g(x) es una asíntota tanto por la Puede llegar tan alto derecha como por la izquierda. El siguiente apartado confirmará que la función f(x) se hace ar-como quiera tomando bitrariamente grande en valor absoluto cuando x ~ 2 (donde el denominador se hace cero) a x suficientemente como se muestra en la gráfica. _ cercana a O. Sin importar

B qu~ tan alta ~sté B: la En el ejemplo 8, observe que si el grado del numerador en una función racional es mayor que grafica va mas arrIba. el grado del denominador, entonces el límite cuando Jx J se hace grande es + 00 o - 00, depen

x ------------~~~----------+ x

~O x Sin importar que

Puede llegar tan bajO~ como quiera tomando -B a x suficientemente

tan baja sea -B, la gráfica va más abajo.

cercana a O.

FIGURA 2.57

r l x~rIJ+ x = 00

y

Límites laterales infinitos:

y lím.!. = -oo. x~o- X

----~--~---+--~2--~3------~x

FIGURA2.58 Cercadex= 1, la función y = I/ (x - 1) se comporta igual que la función y = I /x cerca de x = O. Su gráfica es la gráfica de y = I /x desplazada 1 unidad hacia la derecha (ejemplo 9).

y

(a)

FIGURA 2.59 La gráfica de f(x) en el ejemplo 10 tiende a infinito cuando x --'> O.

diendo del signo que toman el numerador y el denominador.

Limites infinitos

Veamos de nuevo la función f(x) = l/x. Cuando x ~ 0+, los valores de f crecen sin cota y en algún momento sobrepasan a cualquier número real positivo dado. Esto es, dado cualquier número real positivo B, no importa lo grande que sea, los valores de f se hacen aún mayores que éste (figura 2.57). Así, f no tiene límite cuando x ~ 0+ . Sin embargo, es conveniente describir el comportamiento de f diciendo que f(x) tiende a 00 cuando x ~ 0+ . Escribimos

lím f(x) = lím i- = OO. x~o+ x~o+

Al dar esta ecuación, no estamos diciendo que el límite existe. Ni afirmamos que existe un número real 00, porque no hay tal número. Mejor dicho, aseguramos que límx~o+ (l /x ) no existe, porque l / x se hace arbitrariamente grande y positivo cuando x ~ 0+ .

Cuando x ~ 0-, los valores de f(x) = l / x se vuelven negativos y de magnitud arbitrariamente grande. Dado cualquier número real negativo - B, los valores de f tarde o temprano estarán abajo de - B. (Véase la figura 2.57). Escribimos

lím f(x) = lím i- = - 00 x~o- x~o-

Nuevamente, no decimos que el límite exista y sea igual al número - oo. No hay número real - oo. Describimos el comportamiento de una función cuyo límite cuando x : 0- no existe porque sus valores se hacen negativos y arbitrariamente grandes en magnitud.

EJEMPLO 9 Determine lím 1 x~ l + X -

y lím . x~ l- X - 1

Solución geométrica La gráfica de y 1/ (x - 1) es la gráfica de y = l / x recorrida 1 unidad hacia la derecha (figura 2.58). Por lo tanto, y = l / ex - 1) se comporta cerca de 1 exactamente como se comporta y = l/x cerca de O:

Hm _1_ = 00 x~ l + x - 1

y lím x~l - X - 1

-00

Solución analítica que (x - 1) ~ 0+ 1/ (x - 1) ~ -00

Considere el número x - 1 Y su recíproco. Cuando x ~ 1 + , tenemos y l / (x - 1) ~ OO. Cuando x ~ 1-, tenemos que (x - 1) ~ 0- Y

EJEMPLO 10 Analice el comportamiento de

1 f(x) = 2"

x cuando

-x ~O.

Solución Cuando x se aproxima a cero por cualquier lado, los valores de 1/ X2 son positivos y se hacen arbitrariamente grandes (figura 2.59). Esto significa que

lím f(x) = lím ~ = OO. x~O x~Ox -



La función y = l/x no muestra un comportamiento consistente cuando x ~ O. Tene-mos que Y]» ~ 00 si x ~ 0+, pero l/x ~ -00 si x ~ 0-. Todo lo que podemos decir acercade límx->o(l/x) es que no existe. La función y = l/x? es diferente. Sus valores tienden ainfinito cuando x, por cualquier lado, se aproxima a cero, entonces afirmamos quelímx->o(l/x?) = oo .

EJEMPLO 11 Los siguientes ejemplos ilustran que las funciones racionales pueden tenerdiferentes comportamientos cerca de los ceros del denominador.

(a) lím(x - 2)2

= lím(x - 2)2 x-2

= lím -- = Ox->2 x2 - 4 x->2 (x - 2)(x + 2) x->2 X + 2

(b) lí x - 2 lím x - 2 r 1 1Hfl ---= lm--x-t-e-Z x2 - 4 x->2 (x - 2)(x + 2) x-->2 X + 2 4

(c) lím ~= lím x - 3-00 Los valores son negativos para

yx-->2+ x2 - 4 x~2+ (x - 2)(x + 2) x > 2, con x cerca de 2.

(d) límx - 3 lím x - 3 Los valores son positivos para= 00

x->T x2 - 4 x->T (x - 2)(x + 2) x < 2, con x cerca de 2.

(e) li x - 3 lím x - 3 no existe. Véase los incisos (c) y (d).Hfl ---=x->2 x? - 4 x-->2 (x - 2)(x + 2)

B 2-x r -(x - 2) -1(f) lím = lím= lill -00

x-->2 (x - 2)3 x-->2 (x - 2)3 x-->2 (x - 2)2

____~-----L~--L-~~\-------+xXo + 8

FIGURA 2.60 Para Xo - o < x < Xo + o,la gráfica de j(x) está por arriba de la recta

y = B.

y

Xo - 8____~r---_.\~--XTO---r--~--~x

_B~----~----L--1~-----'

I

¿, = fix)

JFIGURA 2.61 Para Xo - o < x < Xo + o,la gráfica de f(x) está por abajo de la rectay = -B.

En los incisos (a) y (b) el efecto del cero en el denominador en x = 2 se cancela porqueel numerador también es cero allí. Así que existe un límite finito. Esto no se cumple en el in-ciso (f), donde la cancelación aún deja un factor cero en el denominador. _

Definición formal de limites infinitosEn vez de pedir que f(x) esté arbitrariamente cerca de un número finito L, para toda x suficien-temente cercana a xo, las definiciones de límites infinitos piden que f(x) esté arbitrariamentelejos del cero. Excepto por este cambio, el lenguaje es muy similar al que ya vimos. Las figuras2.60 y 2.61 ilustran tales definiciones.

DEFINICIONES1. Decimos que f(x) tiende a infinito cuando x se aproxima a xo, y escribimos

lím f(x) = 00,x~xo

si para todo número real positivo B existe un correspondiente o > O,tal que paratoda x

O < [x - xol < o f(x) > B.

2. Decimos que f(x) tiende a menos infinito cuando x se aproxima a xo, y es-cribimos

lím f(x) = - 00,x~xo

si para todo número real negativo - B existe un correspondiente o > O, tal quepara toda x

O < [x - xol < o f(x) < -B.

Las definiciones precisas de límites laterales infinitos en Xo son análogas y se establecen en losejercicios.


EJEMPLO 12 Demuestre que lím \x~O x-

00


Soludón Dada B > 0, queremos encontrar 8 > ° tal que si

° < [x - 01 < 8 entonces l->B:?- .

Ahora,

.L > Bx2

. '1 . 2 1SI Yso o SI X < B

o, de manera equivalente,

1Ixl< Ys'

Así, al seleccionar 8 = 1/Ys (o cualquier número positivo menor que éste), vemos que

[x] < 8 entonces -.l>-.l>Bx2 82 - .

Por lo tanto, por definición,

1, lim 2= oo .

x-->O x •Asintotas verticaLes

y

Observe que la distancia entre un punto de la gráfica de f(x) = l/x y el eje y tiende a cerocuando el punto se mueve verticalmente y se aleja del origen y a lo largo de la gráfica (figura2.62). La funciónf(x) = l/x no está acotada cuando x se aproxima a 0, ya que

Asíntota vertical1, 1im X = 00

x~O+y lím 1. -

x-->O- x - - 00

Asíntota

horizontal ~.::::-" J, .. u J Xr.. 1 Asíntota

horizontal,y=o

Decimos que la recta x = ° (el eje y) es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) = l/x. Ob-serve que el denominador es cero en x = °y que allí la función no está definida.

.•Asíntota vertical,x=o

FIGURA 2.62 Los ejes de coordenadas sonasíntotas de ambas ramas de la hipérbolay = l/x.

DEFINICIÓNY = f(x) si

Una recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función

lím f(x)x----+a+

±oo o lím_f(x) = ±oo.x-->a

EJEMPLO 13 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la curva

x + 3y=x+2

Soludón Nos interesa el comportamiento cuando x ~ ±oo y el comportamiento cuandox ~ -2, donde el denominador es cero.

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

y

Asíntota horizontal , y = o

, Asíntota vertical, x =o

FIGURA 2.62 Los ejes de coordenadas son

asíntotas de ambas ramas de la hipérbola

y = l /x.


EJEMPLO 12 Demuestre que lím ~ x---> O x

00

Soludón Dada B > O, queremos encontrar o > O tal que si

O < Ix - 01 < o entonces -.L > B ,¿ .

Ahora,

. '1 . 2 1 SI Y so o SI X < B

o, de manera equivalente,

Así, al seleccionar o = l/VE (o cualquier número positivo menor que éste), vemos que

Ixl < o entonces

Por lo tanto, por definición,

lím -.L = OO . x---> O x2

Asíntotas verticales

•

Observe que la distancia entre un punto de la gráfica de f(x) = l / x y el eje y tiende a cero cuando el punto se mueve verticalmente y se aleja del origen y a lo largo de la gráfica (figura 2.62). La funciónf(x) = l / x no está acotada cuando x se aproxima a O, ya que

1, 1 lm:x=oo

x~o+ y 1

, 1 1m - = -00

x --->O- X

Decimos que la recta x = O (el eje y) es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) = l /x. Observe que el denominador es cero en x = O Y que allí la función no está definida.

DEFINICIÓN Y = f(x) si

Una recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función

± OO o lím_ f(x) = ±oo. x --->a

EJEMPLO 13 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la curva

Soludón Nos interesa el comportamiento cuando x ~ ±oo y el comportamiento cuando x ~ - 2, donde el denominador es cero.


Las asíntotas se descubren rápidamente si escribimos la función racional como un poli-nomio con un residuo, al dividir (x + 3) entre (x + 2):

1x + 2Jx + 3

x + 21


-~~~~~~~~~~~~x-5 -4 -3\-2-1 O 2 3\ -1

-2-3-4

Asíntotavertical,x =-2

Asíntotahorizontal,y=l

y

x+3y=x+2

=1+_1_x+2

Este resultado nos permite rescribir y como:

y = 1+ _1_.x + 2

6

5

4

\l

Cuando x ~ ±00, la curva se aproxima a la asíntota horizontal y = 1; cuando x ~ - 2, lacurva tiende a la asintota vertical x = -2. Vemos que la curva en cuestión es la gráfica def(x) = l/x recorrida 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda (figura 2.63). Lasasíntotas, en vez de ser los ejes de coordenadas, ahora son las rectas y = 1 Y x = - 2. •

FIGURA 2.63 Las rectasy = 1 Y x = -2

son las asíntotasde la curvaen el ejemplo 13. EJEMPLO 14 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de

Asíntotavertical,x =-2

y

8y=--- .? - 4

Asíntotavertical,x = 2

Asíntotahorizontal,y = O

~~~~-+~~~/~~ __xl'-'O 'rFIGURA 2.64 Gráfica de la funciónenel ejemplo 14.Observeque la curva tiendeal ejex sólopor un lado.Las asíntotasnotienenque ser por amboslados.

8f(x) = ---o~ - 4

Solución Nos interesa el comportamiento cuando x ~ ± 00 y cuando x ~ ±2, donde el de-nominador es cero. Observe que f es una función par de x, así que su gráfica es simétrica conrespecto al eje y.(a) Comportamiento cuando x~ ±oo. Ya que límx-+oof(x) = O, la recta y = O la recta

y = O es una asíntota horizontal, por la derecha, de la gráfica. Por simetría, también esuna asíntota por la izquierda (figura 2.64). Observe que la curva tiende al eje x sólo porla parte negativa (o por abajo). Además, feO) = 2.

(b) Comportamiento cuando x ~ ±2. Como

lím f(x) = -00x~2+

lím f(x) = 00,x->T

y

la recta x = 2 es una asíntota vertical tanto por la derecha como por la izquierda. Porsimetría, la recta x = - 2 también es una asíntota vertical.

No hay otras asíntotas, ya que f tiene un límite finito en todos los demás puntos. •

EJEMPLO 15 Las curvas

1Y = secx = cosx y

senxy = tanx = cosx

tienen asíntotas verticales en múltiplos impares de 'TT /2, donde cos x = O(figura 2.65).

y y = secx y y = tanx

1\) ) ,) )x x

3n O 7T 3, 3 f-(7T _ (O (7T 3!!:nFIGURA 2.65 Las gráficas de secx y tan x tienenun númeroinfinito de asíntotasverticales(ejemplo15). •



Términos dominantesEn el ejemplo 8 vimos que mediante el proceso de división podríamos rescribir la función

~ - 3f(x) = 2x - 4

como una función lineal más un residuo:

f(x) = (~+1)+(2x~4).

De inmediato, esto nos dice que

yPara x numéricamente grande, 2x ~ 4 se acerca a O.f(x) ~ ~ +1

f(x) ~ __ 1__ Para x cerca de 2; este término es muy grande.2x - 4

Si queremos conocer el comportamiento de 1, ésta es la forma de hacerlo. Se comporta comoy = (x/2) + 1 cuando x es numéricamente grande y la contribución de 1/(2x - 4) al valortotal de I es insignificante. Se comporta como 1/(2x - 4) cuando x se acerca tanto a 2 que1/(2x - 4) hace la contribución dominante.

Decimos que (x/2) + 1 domina cuando x es numéricamente grande, y que 1/(2x - 4)domina cuando x se acerca a 2. Los términos dominantes como éstos nos ayudan a predecirel comportamiento de una función.

I 1'- I I )X

-2 -1 O 1 2-5

(a) EJEMPLO 16 Sean f(x) = 3x4 - 2x3 + 3~ - 5x + 6 Yg(x) = 3x4. Demuestre que aun-que I y g son muy diferentes para valores de x pequeños, son prácticamente iguales para Ixlmuy grande, en el sentido de que sus cocientes se aproximan a I cuando x -> 00 o x -> - oo.

y

Solución Las gráficas de I y g se comportan de forma muy diferente cerca del origen (fi-gura 2.66a), pero parecen casi idénticas a una escala muy grande (figura 2.66b).

Podemos probar que el término 3x4 en 1, representado gráficamente por g, domina alpolinomio I para valores grandes de x si examinamos la razón de las dos funciones cuandox -> ± 00 . Encontramos que

, f(x) ,3x4 - 2x3 + 3x2 - 5x + 611m -- = 11mx-+±OO g(x) x-->±OO 3x4

_~ .'~""'" ~I """ _~ )X

-100,000, ( 2 1 5 2)11m 1--+---+-

x-->±OO 3x x2 3x3 x4(b)

FIGURA 2.66 Las gráficas d~f y g son(a) distintas para Ixl pequeño, y (b) casiidénticas para Ixl grande (ejemplo 16).

1,

lo cual significa que I y g son casi idénticas para [x] grande. •

y

--_2~--~~--~--~L---~2~x

-5

(a)

y

- 100,000

(h)

FIGURA 2.66 Las gráficas d~ f y g son

(a) distintas para Ixl pequeño, y (b) casi

idénticas para Ixl grande (ejemplo 16).


Términos dominantes

En el ejemplo 8 vimos que mediante el proceso de división podríamos rescribir la función

~ - 3 f(x) = 2x - 4

como una función lineal más un residuo:

f(x) = ( .:!. + 1) + (_1 ). 2 2x - 4

De inmediato, esto nos dice que

Para x numéricamente grande, 2x ~ 4 se acerca a O. f(x) ~ ~ + 1

1 f(x) ~ 2x _ 4 Para x cerca de 2; este término es muy grande.

Si queremos conocer el comportamiento de 1, ésta es la forma de hacerlo. Se comporta como y = (x/2) + 1 cuando x es numéricamente grande y la contribución de 1/(2x - 4) al valor total de I es insignificante. Se comporta como 1/ (2x - 4) cuando x se acerca tanto a 2 que 1/ (2x - 4) hace la contribución dominante.

Decimos que (x/ 2) + l domina cuando x es numéricamente grande, y que 1/ (2x - 4) domina cuando x se acerca a 2. Los términos dominantes como éstos nos ayudan a predecir el comportamiento de una función.

EJEMPLO 16 Sean f(x) = 3x4 - 2x3 + 3~ - 5x + 6 Y g(x) = 3x4

. Demuestre que aunque I y g son muy diferentes para valores de x pequeños, son prácticamente iguales para Ixl muy grande, en el sentido de que sus cocientes se aproximan a l cuando x -> 00 o x -> - oo .

Soludón Las gráficas de I y g se comportan de forma muy diferente cerca del origen (fi-gura 2.66a), pero parecen casi idénticas a una escala muy grande (figura 2.66b).

Podemos probar que el término 3x4 en 1, representado gráficamente por g , domina al polinomio I para valores grandes de x si examinamos la razón de las dos funciones cuando x -> ± 00 . Encontramos que

lím f(x) = lím 3x4 - 2x3 + 3X2 - 5x + 6

x-+± OO g(x) x-->±OO 3x4

= 1,

lo cual significa que I y g son casi idénticas para Ixl grande. •


a. lím f(x)x~2

d. lím f(x)x~-3

g. lím f(x)x-+O

b. lím f(x)x-+-3 +

e. lím f(x)x-+O+

h. lím f(x)x-+oo

c. lím f(x)x--+-J -

f. lím f(x)x-+o-

i. lím f(x)x--->-QO

13. f(x) = ~~ : ;


Ejercicios 2..=...6=--.;-- _

Determinación de límites1. Para la función!, cuya gráfica se muestra a continuación, determine

los siguientes límites.

Límites de funciones racionalesEn los ejercicios 13 a 22, determine el límite de cada función racional(a) cuando x ~ 00 y (b) cuando x ~ -oo.

y

1 f(x) = ~5. Y- + 3

17. h(x) = 7x:x3 - 3x + 6x

16. f(x) = 3~ + 7x: - 2

118. g(x) = -3---=----X - 4x +~

j

i/ 1 f-V r V ..-- - ~ - -:J , 1/

./ '-

-J

19. g(x) = 10xs + ~4 + 31x

20. h(x) = 4 9x4

2+ x

2x + 5x - x + 6x

21. h(x) = -2x3- 2x + 3

3~ + 3x2 - 5x

a. lím f(x)x-+4

d. lím f(x)x-+2

g. lím f(x)x--+- 3

j. lím f(x)x-o

b. lím f(x)x--+2 +

e. lím f(x)x-+-3+

h. lím f(x)x-o+

k. lím f(x)x--+oo

c. lím f(x)x-+2-

f. lím f(x)x--+-3 -

i. lím_ f(x)x--->O

l. lím f(x)x--+-oo

Límites cuando x ~ 00 o cuando x ~ -00

El proceso mediante el cual determinamos límites de funciones racionalesse aplica de la misma forma a cocientes de potencias no enteras o negati-vas de x; divida el numerador y el denominador entre la mayor potenciade x en el denominador y proceda a partir de ahí. Determine los límites enlos ejercicios 23 a 36.

l' 2. Para la función 1, cuya gráfica se muestra, determine los siguienteslímites.

1\J \ f~

\ r-, :/ \I " <;

- - ~f/- - "\ /<, \: /'- ./ :.\

x

23. r~ 24. lím (y- + x - 1) 1/31m ---x--->OO 2x2 + X x--->-OO 8Y- - 3

( 3 Y u ~ x2- 5x25. li 1- x 26.1m ---

x--->-oo Y- + 7x x2.~ x3+x-2

27. lím2Vx + x-I

28. lím2 + Vx

x--->OO 3x - 7 x--->OO 2 - Vx

29. lí.m\Yx-Vx

30. límx-I + x-4

x--+-oo \Yx+Vx x-HX) x-2 - x-3

31. lím2xS/3 - XI/3 + 7

32. lím\Yx - 5x + 3

x--->oo x8/S + 3x + Vx x--->-oo 2x + x2/3 - 4

33. lím W+134. lím W+1

x--->OO x + 1 x--+-oo x + 1

35. lí x - 3 36. lím 4 - 3x3im

x--->oo V4x2 + 25 x--->-OO -w+9

y

24. f(x) = tt - :¿

16. g(x) = 8 _ (5/Y-)

3 - (2/x)8. h(x) = ---=--

4 + {"vi/x2)

39. lím _3_ 40. lím _1_x--->2- x - 2 x--->3+ x - 3

41. lím 2x 42. r 3x1m ---x--->-8+ X + 8 x--->-s- 2x + la

43. lím 4 44. lí -11mx--->7 (x - 7)2 x--->O y-(x + 1)

45. a. lím _2_ b. lím _2_x--->O+ 3xl/3 x-e-O" 3XI/3

En los ejercicios 3 a 8, determine los límites de cada una de las funciones(a) cuando x ~ 00 y (b) cuando x ~ -oo. (Podría ser útil visualizar surespuesta con ayuda de una calculadora graficadora o una computadora).

23. f(x) = x - 3

5. g(x) = ( / )2 + 1 x

()-5 + (7/x)

7 h x = ----'---. 3 - (l/X2)

Límites infinitosDetermine los límites en los ejercicios 37 a 48.

37. lím -.L 38. lím ~x--->O+ 3x x-e-O" 2x

Determine los límites en los ejercicios 9 a 12.

9. r sen Zx 10. lím cos O1m--30x-OO x 8--+-00

11. lím 2-t+sent 12. lím r + sen r(--+-00 t + cos t r--->OO 2r + 7 - 5 sen r



246.a. límo+----¡¡S

x-+ X

2b. límo-1i5

x-+ X

Graficación de funciones racionales sencillasEn los ejercicios 63 a 68, grafique las funciones racionales. Incluya lasgráficas y ecuaciones de las asíntotas y los términos dominantes.

1 163. Y = --1 64.Y = --1x- x+1 -3

65. Y = 2x + 4 66.Y = x - 3

x + 3 2x67. y = x + 2 68. Y = x + 1

447. lím 2/5

x-+O x-l

48. ;~ :2-13


49. lím tan x 50. lím secxx--->("'/2)- x--->(-r./2j+

51. lím (1 + ese e)0--->0-

52. lím (2 - cot e)0--->0


53. lím-2-1- cuando

x - 4

Creación de gráficas y funcionesEn los ejercicios 69 a 72 elabore un bosquejo de la gráfica de una funcióny = f(x) que satisfaga las condiciones indicadas. No se piden fórmulas,sólo rotule los ejes de coordenadas y realice un bosquejo adecuado de lagráfica. (Las respuestas no son únicas, así que sus gráficas podrían noser exactamente las que aparecen en la sección de respuestas).

69. feO) = O,f(l) = 2,f(-I) = -2, lím f(x) = -I,ylím f(x) = 1 x--->-oo

x--->oo

a. x~2+ b. x~TC. x~ -2+ d. x~-T

54. lím ~ cuandox - l

a. x~ 1+ b. x~ 1-C. x~ -1+ d. x~-I-

70. feO) = 0, lím f(x) = 0, lím+ f(x) = 2, Yx-+±OO x-+O

lím f(x) = -2x-+O-

71. feO) = 0, lím f(x) = 0, lím f(x) = lím f(x) = 00,x-+±oo x-r-el " x-+-}+

lím f(x) = -00 y lím f(x) = -00x-+ 1+ x-+-I-

55. (x2 1)lim "2 - x cuando

a. x~O+

c. x~ \V2 72. f(2) = l,f(-I) = 0, lím f(x) = 0, lím+f(x) = 00,x---+oo x-+O

lím f(x) = -00 y lim f(x) = lx-r-eÜ" x---+-oo

b. x~O-

d. x~-I

56. lím"r? - 12x + 4 cuando

a. x~ -2+

C. x~ 1+

b. x~-T

d. x~O-

En los ejercicios 73 a 76, determine una función que satisfaga las con-diciones indicadas y elabore un bosquejo de su gráfica. (Aquí, las respues-tas no son únicas. Cualquier función que cumpla con las condicioneses aceptable. Tenga la libertad de utilizar fórmulas definidas por partes,si esto le ayuda).

73. lím f(x) = 0, lím f(x) = 00 y lím f(x) = 00x---+±oo x---+2- x---+2+

57.2

lím x - 3x + 2x3 _ zr cuando

a. x~O+c. x~2-

b. x~2+

d. x~2

58.

e. ¿Qué puede decir acerca del límite cuando x ~ O?

. x2 - 3x + 2Iím 3 cuandox - 4x

a. x~2+

74. lím g(x) = 0, lím g(x) = -00 y lím g(x) = 00x---+±oo x---+3- x---+3+

C. x~ 0-b. x~ -2+

d. x~ 1+

75. lím h(x) = -1, lím h(x) = 1, lím h(x) = -1 yx---+-oo x---+oo x---+O-

lím h(x) = 1x---+O+

76. lím k(x) = 1, lím k(x) = 00 y lím k(x) = -00x-+±oo x-+ 1- x---+ 1+

77. Suponga que f(x) y g(x) son polinomios en x y quelímx--->oo(f(x)/g(x)) = 2. ¿Qué puede concluir sobrelímx--->_oo(f(x)/g(x))? Fundamente su respuesta.

78. Suponga que f(x) y g(x) son polinomios en x. Si g(x) nunca es cero,¿puede tener una asíntota la gráfica de f(x)/g(x)? Fundamente surespuesta.

79. La gráfica de una función racional, ¿cuántas asíntotas horizontalespuede tener? Justifique su respuesta.

e. ¿Qué puede decir acerca del límite cuando x ~ O?


59. lím (2 - ~) cuando(1/3

a. (~O+ b. (~O-

60. lím(-l- + 7) cuandopiSa. t~O+

lím(-I- +x2/3

a. x~O+

Determinación de Límites de diferencias cuando x ~ ±oo


80. lím (Vx+9 - Vx+'4)x--->(X)

81. lím (Y:2- + 25 - -Vx2=l)x--->oo

82. lím (w-+3 + x)x---+-oo r-;;-----

83. lím (2x + Y4:2- + 3x - 2)x---+-oo

84. lím (Y9:2- - x - 3x)x-+oo

61.b. (~O-

(x _21

?13 ) cuando

b. x~O-

62.

C. x~ 1+

lím(-I -xl/3

a. x~O+

c. x~ 1+

d. x~ 1-

(x _ 11

)4/3 ) cuando

b. x~O-

d. x~l-



85. x~~ ( Vx2 + 3x - Vx2- 2x)

86. x~~(VX2 + x -~)

Aplicación de las definiciones formalesUtilice las definiciones formales de los límites cuando x -'> ±oo para es-tablecer los límites de los ejercicios 87 y 88.

87. Si f tiene el valor constante f(x) = k, entonces lím ¡(x) = k.x~oo

88. Si f tiene el valor constante ¡(x) = k, entonces lím ¡(x) = k.x~-oo

Utilice las definiciones formales para probar las proposiciones acerca delímites en los ejercicios 89 a 92.

89. lím .:=..!. = -00

x~o x290. lím -...L = 00

x~o Ixl92. lím I

x~-5 (x + 5)291. lím -2 =-00

x-->3 (x - 3? = 00

93. A continuación aparece la definición de límite lateral (por la derecha)infinito.

Decimos que f(x) tiende a infinito cuando x se aproxima a Xopor la derecha, y escribimos

lím ¡(x) = 00,x~xo+

si, para todo número real positivo B, existe un o > Ocorrespon-diente tal que para toda x

Xo < x < Xo + o ¡(x) > B.

Modifique la definición de manera que sea válida para los siguientes casos.

a. lím_ ¡(x) = 00X---+Xo

b. lím ¡(x) = -00x~xo+

c. lím_ ¡(x) = -00x~xo

__ c_a_p_¡t_u_Lo_~__ 1 Preguntas de repaso

1. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de la función g(t) sobre el inter-valo de t = a a t = b? ¿Cómo está relacionada con la recta secante?

2. ¿Qué límite debe calcularse para determinar la tasa de cambio de unafunción g(t) en t = to?

3. Dé una definición informal del límite

lím ¡(x) = L.X---+Xo

¿Por qué esta definición es "informal"? Dé ejemplos.

4. ¿La existencia y el valor del límite de una función f(x), cuando xtiende a xo, depende siempre de lo que pase en x = xo? Explique ydé ejemplos.

5. Para que el límite no exista, ¿qué comportamientos puede tener unafunción?

Utilice las definiciones formales del ejercicio 93 para probar los límitesque aparecen en los ejercicios 94 a 98.

94. lím 1= 95. lím I00 = -00

x---+O+ X x---+O- x

96. lím I 97. lím _1_ =--= -00 00x---+2- x - 2 x-->2+X - 2

98. lím I = 00.r-r-e l" I - x2

Asíntotas oblicuasGrafique las funciones racionales en los ejercicios 99 a 104. Incluya lasgráficas y ecuaciones de las asintotas.

x2 x2+199.y=~ 100. y=~

x2 - 4101. Y = --1x-

x2 - I103. Y = -x-

x2 - I102. Y = 2x + 4

104. Y = x3; l

Ejercicios adicionales de graficaciónD En los ejercicios 105 a 108, grafique las curvas. Explique las relaciones

entre la fórmula de la curva y lo que usted ve.

x -1106. Y = ---:=====~

108. Y = sen (~ : J105. Y = , ¡-;--;;

v4 - x2

107. Y = ~/3 + _1_xI/3

D En los ejercicios 109 y 110, grafique las funciones. Luego responda lassiguientes preguntas.

a. ¿Cómo se comporta la gráfica cuando x -'> O+?

b. ¿Cómo se comporta la gráfica cuando x -'> ±oo?

c. ¿Cómo se comporta la gráfica cerca de x = I y de x = -I?

Justifique sus respuestas.

3 ( 1)2/3109. Y ="2 x - x 3 ( X )2/3110. Y ="2 x - I

6. ¿Qué teoremas se tienen para el cálculo de los límites? Dé ejemplosde cómo se utilizan los teoremas.

7. ¿Cómo se relacionan los límites laterales con los límites? ¿Cómopuede utilizarse esta relación, en algunos casos, para calcular unlímite o probar que el límite no existe? Dé ejemplos.

8. ¿Cuál es el valor de líme-->o ((sen8)/8)? ¿Importa si 8 está medidoen grados o en radianes? Explique.

9. Exactamente, ¿qué significa límx-->xo¡(x) = L? Dé un ejemplo en elque, para la definición formal de límite, determine una o > Opara f,L, Xo Y E > Odados.

10. Dé las definiciones precisas de los siguientes enunciados.

a. límx-->2- ¡(x) = 5

c. límx-->2 ¡(x) = 00

b. límx-->2+ ¡(x) = 5

d. Iímx-->2 ¡(x) = -00


11. ¿Qué condiciones debe satisfacer una función si es continua enun punto interior de su dominio? ¿Cuáles si el punto es un puntoextremo?

12. ¿Cómo puede ayudarle observar la gráfica de una función para de-terminar en dónde ésta es continua?

13. ¿Qué significa que una función sea continua por la derecha en unpunto? ¿Qué significa que sea continua por la izquierda? ¿Cómo es-tán relacionadas las continuidades laterales con la continuidad?

14. ¿Qué significa que una función sea continua en un intervalo? Déejemplos para ilustrar el hecho de que una función, la cual no es con-tinua en todo su dominio, puede ser continua en intervalos selec-cionados de su dominio.

15. ¿Cuáles son los tipos básicos de discontinuidad? Dé un ejemplo decada uno. ¿Qué es una discontinuidad removible (o evitable)? Dé unejemplo.

Ejercicios de prácticaCapitulo

Límites y continuidad1. Grafique la función

¡ 1,

-xf(x) = 1:

-x,1,

x:5 -1

-1 < x < O

x=OO<x<x ~ 1.

Luego analice a detalle los límites, los límites laterales, la continui-dad y la continuidad lateral de f en x = - 1, O Y l. ¿Hay alguna dis-continuidad que sea removible? Explique.

2. Repita las instrucciones del ejercicio l para

{

O,

f(x) = l/x,O,1,

x:5 -1

0< [x] < 1x = Ix> 1.

3. Suponga que f(t) y g(t) están definidas para toda t y que líml~lof(t) = -7ylíml~log(t) = O. Determine el límite cuando t-'>todelas siguientes funciones.

a. 3f(t) b. (f(t»2

c. f(t)· g(t)f(l)

d. --gel) - 7

e. cos (g(l» f. If(I)1

g. fU) + gel) h. 1/f(t)

4. Suponga que las funciones f(x) y g(x) están definidas para toda x yque límx~o f(x) = 1/2 Y límx~o g(x) = Vi Determine los límitescuando x -,> O de las siguientes funciones.

a. -g(x) b. g(x)· f(x)

c. f(x) + g(x) d. 1/f(x)

e. x + f(x)f(x)· cosx

f.~

Capítulo 2 Ejercicios de práctica 97

16. ¿Qué significa que una función tenga la propiedad del valor interme-dio? ¿Cuáles condiciones garantizan que una función tenga esta pro-piedad en un intervalo? ¿Cuáles son las consecuencias para la grafi-cación y la resolución de la ecuaciónf(x) = O?

17. ¿En qué circunstancias puede extender una función f(x) para que seacontinua en un punto x = e? Dé un ejemplo.

18. Exactamente, ¿qué significan Iímx~oo f(x) = L Y límx~-oo f(x) = L?Dé ejemplos.

19. ¿Qué son límx~±oo k (k constante) y Iímx~±OO (l/x)? ¿Cómo puedeampliar estos resultados a otras funciones? Dé ejemplos.

20. ¿Cómo se determina el límite de una función racional cuandox -'> ±oo? Dé ejemplos.

21. ¿Qué son las asíntotas horizontales y las asíntotas verticales? Déejemplos.

En los ejercicios 5 y 6 determine el valor que debe tener el lím.\~o g(x) sise satisface el límite indicado.

(4-g(X») ()5. lím x = I 6. lím xlím g(x) = 2x~o x---+-4 x---+O

7. ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones?

a. f(x) = xl/3 b. g(x) = x3/4

c. h(x) = x-2/3 d. k(x) = x-1/6

8. ¿En qué intervalos son continuas las siguientes funciones?

a. f(x) = tan x b. g(x) = ese x

cosxc. h(x) = x - 7T

Determinación de límitesEn los ejercicios 9 a 24 determine el límite o explique por qué no existe.

d. k(x) = senxx

9 lí ~ - 4x + 4. im ~ + 5~ - 14x

a. cuando x -'> O

x2 + x10. lím 5 4 3

x+2x+xa. cuando x -'> O

11. lím l - Vxx-r-e I I - x

(x + h)2 - ~13. lím h

/¡---+O

l l----15. lím 2 + x 2

x---+O x

b. cuando x -'> 2

b. cuando x -'> - l

, ~ - a212. lím -4--4

X---+Q X - a

14. Iím(x + h)2 - x2

x--->O h

16. lím(2 + x)3 - 8

x---+Q x

18. Iímx2/3 - 16

x~64 Vx - 8

20. Iím cscxX--7T-

22. Iím cos'' (x - tan x)X-7T

, cos 2x -24. hm~x-o ~

, xl/3 - I17. hm----:-r-

x--->! vx - I

tan (2x)19. lím---

x-e-O tan (7TX)

21. lím sen (~2+ sen x)X---+7í

23. Iím ~x--->O 3 sen x - x



En los ejercicios 25 a 28, determine el límite de g(x) cuando x tiende alvalor indicado.

25. lím (4g(X))1/3 = 2x~o+

26. lím 1 = 2x--->Vs x + g(x)

28. lím 5 - x2

= Ox--->-2 -vg(..027 1

, 3x2 + 1 . ~• IIn---=~

x-I g(x)

Extensión continua29. ¿La función f(x) = x(x2 - 1)/lx2 - 11 puede extenderse para ser

continua en x = 1 Y x = -l? Justifique sus respuestas. (Grafiquela función; la encontrará muy interesante).

30. Explique por qué la función j'(x) = sen(l/x) no tiene extensión con-tinua en x = O.

o En los ejercicios 31 a 34, grafique la función para ver si parece que tengauna extensión continua en el punto a dado. Si es así, utilice las funcionesTrace y 200m para determinar un buen candidato para el valor en a de lafunción extendida. Si la función parece que no tiene extensión continua,¿puede tener una extensión continua por la derecha o una por la izquierda?Si es así, ¿cuál cree qúe debe ser el valor de la función extendida?

5 cos O32. g(O) = 40 - 2'TT '

34. k(x) = __x_I_

I,

1 - 2 x

x - 131. ¡(x) = x _ ~'

33. h(t) = (1 + I tl)l/l,

a = 1 a = 'TT/2

a = Oa=O

RaícesO 35. Sea ¡(x) = x3 - X - l.

a. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que ftiene un cero entre -1 y 2.

b. Resuelva gráficamente la ecuación f(x) = O con un error demagnitud a lo sumo de 10-8.

c. Puede demostrarse que el valor exacto de la solución en elinciso (b) es

(1 v69)1/3 (1_ v69)1/32 + 18 + 2 18

Evalúe esta respuesta exacta y compárela con el valor queencontró en el inciso (b).

036. Sea ¡(O) = 03 - 20 + 2.

a. Utilice el teorema del valor intermedio para mostrar que f tieneun cero entre -2 y O.

Ejercicios adicionaLes y avanzadosCapítulo

O 1. Asignación de un valor a 0° Las reglas de los exponentes nos di-cen que aO = 1 si a es cualquier número diferente de cero. Tambiénnos dicen que O" = O si n es cualquier número positivo.

Si tratamos de extender estas reglas para incluir el caso 0°, obten-dríamos resultados controversiales. La prímera regla dice que 0° = 1,mientras que la segunda indica que 0° = O.

Aquí no estamos tratando con preguntas de tipo verdadero ofalso. Ninguna de las reglas se aplica, así que no hay contradicción.De hecho, podríamos definir 0° como cualquier valor que queramos,siempre y cuando logremos convencer a los demás de aceptado.

¿Qué valor le gustaría que tuviera 0°? A continuación está unejemplo que podría ayudarle a decidir. (Véase el ejercicio 2, dondese da otro ejemplo).

a. Calcule XV para x = 0.1,0.01,0.001 Y así sucesivamente hastadonde su calculadora se lo permita. Registre los valores queobtenga. ¿Qué patrón observa?

b. Resuelva gráficamente la ecuaciónf(O) = O con un error demagnitud a lo sumo de 10-4

c. Puede demostrarse que el valor exacto de la solución en elinciso (b) es

( {19 )1/3 ({19 )1/3\/27 - 1 - \/27 + l .

Evalúe esta respuesta exacta y compárela con el valor queencontró en el inciso (b).

Límites en infinitoDetermine los límites en los ejercicios 37 a 46.

37. lím 2x + 3 38. lím 22 + 3x--->oo 5x + 7 x--->-oo 5x2 + 7

l· x2 - 4x + 8 40 l' l39. x-lIEoo 3x3 . x~~ x2 - 7x +

41 1, X2 - 7x• 1m ---

x--oo X + 1

(Si tiene una graficadora, intente graficar la función

para -5 ~ x ~ 5).

45.

(Si tiene una graficadora, intente graficar

. ¡(x) = x(cos O/x) - 1), cerca del origen

para "ver" el límite en infini to ).

+ + 2' r 7/3 + -1Ií x sen x V x 46. lím x- xx~~ x + sen x x--->OO ~/3 + cos? X

44 1, cosO-

. o~~ O

Asíntotas horizontales y verticales47. Utilice límites para determinar las ecuaciones de todas las asíntotas

verticales.

~ + 4a. y = x - 3

~ + x - 6c. y = ~ + 2x - 8

b. ¡(x) = x2- X - 2

~-2x+1

48. Utilice límites para determinar las ecuaciones de todas las asíntotashorizontales.

1 - x2

a. y = x2 + 1

c. g(x) = ~

b. ¡(x) = Vx + 4Vx+4

~2+9

d =. y 9x2 + 1

b. Grafique la función y = r para O < x ~ l. Aunque la función noestá definida para x ~ O, la gráfica se aproximará al eje y por laderecha. ¿Hacia qué valor de y parece dirigirse? Haga un acerca-miento para respaldar su idea.

O 2. Una razón por la que 0° podría ser algo distinto de O y de 1Cuando el número x aumenta en valores positivos, ambos númerosl/x y 1/(1n x) se aproximan a cero. ¿Qué sucede con el número

(1 )1/onX)

¡(x) = X

cuando x aumenta? A continuación se presentan dos maneras deaveriguado.

a. Evalúe f para x = 10, 100, 1000 Y así sucesivamente hasta dondelo permita su calculadora. ¿Qué patrón observa?


En los ejercicios 25 a 28, determine e l límite de g(x) cuando x tiende al valor indicado.

25. lím+ (4g(X»1 /3 = 2 26. lím = 2 x---> Vs x + g(x ) x-o

27 1, 3x2 + 1 ~ <Xl

• IIn () -x --->I g X

Extensión continua

28. lím 5 - x2 = O x--->-2 -v.gw

29. ¿La función f(x) = x(x2 - I )/lx2 - II puede extenderse para ser continua en x = 1 Y x = - I? Justifique sus respuestas. (Grafique la función; la encontrará muy interesante).

30. Explique por qué la funciónf(x) = sen(J / x) no tiene extensión continua en x = O.

o En los ejercicios 31 a 34, grafique la función para ver si parece que tenga una extensión continua en el punto a dado. Si es así, utilice las funciones Trace y Zoom para determinar un buen candidato para el valor en a de la función extendida. Si la función parece que no tiene extensión continua, ¿puede tener una extensión continua por la derecha o una por la izquierda? Si es así, ¿cuál cree qúe debe ser el valor de la función extendida?

x - 1 31. f(x) = ,4r'

x - vx a = 1

33. h(t) = ( 1 + I tl) l/l, a = O

Raíces 0 35. Sea f (x) = x3

- X - 1.

5 cos O 32. g(O) = 40 - 27T '

34. k(x) = _ _ x_I_

I,

I - 2 x

a = 7T/ 2

a = O

a. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que f tiene un cero entre -1 y 2.

b. Resuelva gráficamente la ecuación f(x) = O con un error de magnitud a lo sumo de 10- 8.

C. Puede demostrarse que el valor exacto de la solución en el inciso (b) es

(1 \1'69)1/3 (1 _ \1'69)1/3 2 + 18 + 2 18

Evalúe esta respuesta exacta y compárela con el valor que encontró en el inciso (b).

0 36. Seaf(O) = 03 - 20 + 2.

a. Uti lice el teorema del valor intermedio para mostrar que f tiene un cero entre - 2 y O.

b. Resuelva gráficamente la ecuación f(O) = O con un error de magnitud a lo sumo de 10- 4

C. Puede demostrarse que el valor exacto de la solución en el inciso (b) es

( {19 )1/3 ({19 )1/3 \t ri - 1 - \)27 + 1 .

Evalúe esta respuesta exacta y compárela con el valor que encontró en el inciso (b).

Límites en infinito Determine los límites en los ejercicios 37 a 46.

37. lím 2x + 3 38. lím 22 + 3 x --->OO 5x + 7 x---> -OO 5X2 + 7

39. lím x-- oo

41. lím x ---+ - oo

x2 - 4x + 8 40. lím

1

3x3

X2 - 7x X + 1

x ---> OO X2 - 7x +

42. lím x4 + x3

x---> OO 12x3 + 128

(Si tiene una graficadora, intente graficar la función

para - 5 :5 x :5 5).

(Si tiene una graficadora, intente graficar

. f(x) = x(cos (l / x) - 1), cerca del origen 44 1, cos O-

. e~~ O para "ver" el límite en infinito).

45. + + 2' r 7/ 3 + - 1 l ' x senx v x 46. lím x- x

x~~ X + sen x x--->OO ~/3 + cos2 X

Asíntotas horizontales y verticales 47. Utilice límites para determinar las ecuaciones de todas las asíntotas

verticales.

~ + 4 a. y = x - 3

~ + x - 6 c. y = ~ + 2x - 8

b. f(x) = x2 - X - 2 ~ - 2x+ l

48. Utilice límites para determinar las ecuaciones de todas las asíntotas horizontales.

1 - ~ a. y = x2 + 1

C. g(x) = ~

b. f(x) = Vx + 4 Vx+4 fx2¡9

d. Y = 'V 9x2+1

Capitulo Ejercicios adicionales y avanzados ---

O 1. Asignación de un valor a 0° Las reglas de los exponentes nos dicen que aO = 1 si a es cualquier número diferente de cero. También nos dicen que O" = O si n es cualquier número positivo.

Si tratamos de extender estas reglas para incluir el caso 0°, obtendríamos resultados controversiales. La prímera regla dice que 0° = 1, mientras que la segunda indica que 0° = O.

Aquí no estamos tratando con preguntas de tipo verdadero o falso. Ninguna de las reglas se aplica, así que no hay contradicción. De hecho, podríamos definir 0° como cualquier valor que queramos, siempre y cuando logremos convencer a los demás de aceptarlo.

¿Qué valor le gustaría que tuviera 0°? A continuación está un ejemplo que podría ayudarle a decidir. (Véase el ejercicio 2, donde se da otro ejemplo).

a. Calcule XV para x = 0.1 ,0.01 , 0.001 Y así sucesivamente hasta donde su calculadora se lo permita. Registre los valores que obtenga. ¿Qué patrón observa?

b. Grafique la función y = ;eX para O < x :5 l . Aunque la función no está definida para x :5 O, la gráfica se aproximará al eje y por la derecha. ¿Hacia qué valor de y parece dirigirse? Haga un acercamiento para respaldar su idea.

O 2. Una razón por la que 0° podría ser algo distinto de O y de 1 Cuando el número x aumenta en valores positivos, ambos números l / x y I / (ln x) se aproximan a cero. ¿Qué sucede con el número

(1 ) 1/(lnX)

f(x) = X

cuando x aumenta? A continuación se presentan dos maneras de averiguarlo.

a. Evalúe f para x = 10, 100, 1000 Y así sucesivamente hasta donde lo permita su calculadora . ¿Qué patrón observa?


b. Grafique 1en diversas ventanas de graficación, incluyendo ven-tanas que contengan al origen. ¿Qué observa? Trace los valoresde y en la gráfica. ¿Qué encontró?

3. Contracción de Lorentz En la teoría de la relatividad, la longitudde un objeto, digamos un cohete, parece variar a los ojos de un obser-vador dependiendo de la velocidad a la que viaja el objeto con res-pecto a ese observador. Si éste mide la longitud del cohete en reposoLo, entonces a una velocidad v la longitud parecerá ser

~L = LO\jl - ¿.

Esta ecuación es la fórmula de contracción de Lorentz. Aquí, e es larapidez de la luz en el vacío, alrededor de 3 - lOs m/seg. ¿Qué lesucede a L cuando v aumenta? Determine límv~c L. ¿Por qué esnecesario el límite por la izquierda?

4. Control del flujo en un depósito que se vacía La ley de Torricelliestablece que si usted vacía un depósito, como el que se ilustra en lafigura, la tasa y a la que el agua sale es una constante multiplicadapor la raíz cuadrada de la profundidad x del agua. La constante de-pende del tamaño y la forma de la válvula de salida.

fx

!Rapidez de salida y ft3/min

Suponga que, para cierto depósito, y = Vx/2, y usted trata demantener una salida relativamente constante, para lo cual añade,de vez en cuando, agua al depósito mediante una manguera. ¿Quéprofundidad debe tener el agua si quiere mantener una rapidez otasa de salida de

a. Yo = I ft3/min, con una diferencia a lo sumo de 0.2 ft3/min?

b. Yo = 1 ft3/min, con una diferencia a lo sumo de 0.1 ft3/min?

5. Dilatación térmica en equipos de precisión Como seguramentesabe, los metales se dilatan con el calor y se contraen con el frío. Lasdimensiones de una pieza de equipo de laboratorio en ocasiones sontan importantes que el taller donde se fabricó el equipo debe estar a lamisma temperatura que la del laboratorio donde se utilice el equipo.Una barra común de aluminio, de 10 cm de ancho a 70°F, tendrá

y = 10 + (1 - 70) X 10-4

centímetros de ancho a una temperatura cercana l. Suponga que uti-liza una barra como ésta en un detector de ondas de gravedad y su an-cho debe estar, cuando mucho, a 0.0005 cm de los 10 cm ideales.¿Qué tan cerca a lo = 70°F debe mantener la temperatura para ase-gurarse de no exceder esta tolerancia?

6. Marcas en una taza de medición El interior de una taza de me-dición de 1 litro por lo regular es un cilindro circular recto de radio de6 cm (véase la figura). Por lo tanto, el volumen de agua que se poneen la taza es una función del nivel h al cual se llena la taza, donde lafórmula es

v = 7T62h = 367Th.

Capítulo 2 Ejercicios adicionales y avanzados 99

¿Con cuánta precisión debemos medir h para medir 1 litro de agua(1000 cm") con un error de no más del 1% (10 cm")?

Marcas dealrededorde Immde ancho

(a)

r = 6cm

í~ Volumen del líquidoh _ - - - - - _ / V = 367ThI /- -,

±~(b)

Una taza de medición de I litro (a), modelada como un cilindro circu-lar recto (b) de radio r = 6 cm.

Definición formal de límiteEn los ejercicios 7 a 10 utilice la definición formal de límite para probarque la función es continua en Xo.

7. f(x) = x? - 7, Xo = 1

9. h(x) =~, Xo = 2

8. g(x) = 1/(2x), xo = 1/4

10. F(x) =~, xo = 5

11. Unicidad de límites Demuestre que una función no puede te-ner dos límites diferentes en el mismo punto. Esto es, silímx~xof(x) = LI ylímx~xof(x) = Lz,entoncesLI = Lz.

12. Pruebe la regla del límite del múltiplo constante:

lím kf(x) = k lím f(x) para cualquier constante k.X"""""C x--+c

13. Límites laterales Si límx~o+ f(x) = A Y límx~o- f(x) = B, de-termine

a. límx~o+ f(~ - x)c. Iímx~o+ f(x? - x4)

b. límx->o- f(x3 - x)d. 1í111x~0-f(xz - x4)

14. Límites y continuidad ¿Cuáles de los siguientes enunciados sonverdaderos y cuáles son falsos? Si es verdadero, explique por qué;si es falso, dé un contraejemplo (esto es, un ejemplo que confirme lafalsedad).

a. Si existe el lírn.c., f(x) pero no existe el lím.L, g(x) entonceslímT~a(f(x) + g(x» no existe.

b. Si no existe el lím.L; f(x) y tampoco existe el lim.L, g(x) en-tonces límx->a (f(x) + g(x» no existe.

c. Si 1es continua en x, entonces también lo es 1/1.d. Si 1I1 es continua en a, entonces también lo es f.

b. Grafique J en diversas ventanas de graficación, incluyendo ventanas que contengan al origen. ¿Qué observa? Trace los valores de yen la gráfica. ¿Qué encontró?

3. Contracción de Lorentz En la teoría de la relatividad, la longitud de un objeto, digamos un cohete, parece variar a los ojos de un observador dependiendo de la velocidad a la que viaja el objeto con respecto a ese observador. Si éste mide la longitud del cohete en reposo Lo, entonces a una velocidad v la longitud parecerá ser

~ L = Lo\) I - --¡j '

Esta ecuación es la fórmula de contracción de Lorentz. Aquí, e es la rapidez de la luz en el vacío, alrededor de 3 - 108 m/ seg. ¿Qué le sucede a L cuando v aumenta? Determine límv~c L. ¿Por qué es necesario el límite por la izquierda?

4. Control del flujo en un depósito que se vacía La ley de Torricelli establece que si usted vacía un depósito, como el que se ilustra en la f igura, la tasa y a la que el agua sale es una constante multiplicada por la raíz cuadrada de la profundidad x del agua. La constante depende del tamaño y la forma de la válvula de salida.

i x

Rapidez de salida y ft3/ min !

Suponga que, para cierto depósito, y = Vx/2, y usted trata de mantener una salida relativamente constante, para lo cual añade, de vez en cuando, agua al depósito mediante una manguera. ¿Qué profundidad debe tener el agua si quiere mantener una rapidez o tasa de salida de

a. Yo = 1 ft3 / min, con una diferencia a lo sumo de 0.2 ft3/min?

b. Yo = l ft3/min, con una diferencia a lo sumo de 0.1 ft3/min?

5. Dilatación térmica en equipos de precisión Como seguramente sabe, los metales se dilatan con el calor y se contraen con el frío. Las dimensiones de una pieza de equipo de laboratorio en ocasiones son tan importantes que el taller donde se fabricó el equipo debe estar a la misma temperatura que la del laboratorio donde se utilice el equipo. Una barra común de aluminio, de 10 cm de ancho a 70°F, tendrá

y = lO + (1 - 70) X 10- 4

centímetros de ancho a una temperatura cercana t. Suponga que utiliza una barra como ésta en un detector de ondas de gravedad y su ancho debe estar, cuando mucho, a 0.0005 cm de los 10 cm ideales. ¿Qué tan cerca a to = 70°F debe mantener la temperatura para asegurarse de no exceder esta tolerancia?

6. Marcas en una taza de medición El interíor de una taza de medición de I litro por lo regular es un cilindro circular recto de radio de 6 cm (véase la figura) . Por lo tanto, el volumen de agua que se pone en la taza es una función del nivel h al cual se llena la taza, donde la fórmula es

Capítulo 2 Ejercicios adiciona les y avanzados 99

¿Con cuánta precisión debemos medir h para medir 1 litro de agua (1000 cm3) con un error de no más del 1% ( 10 cm3)?

alrededor de 1 mm de ancho

(a)

(b)

r = 6cm

Una taza de medición de 1 litro (a), modelada como un cilindro circular recto (b) de radio r = 6 cm.

Definición formal de límite En los ejercicios 7 a lO uti lice la definición formal de límite para probar que la función es continua en xo.

7. f(x) = x? - 7, Xo = I 8. g(x) = 1/ (2x), Xo = 1/ 4

9. h(x) =~, Xo = 2 10. F(x) =~, Xo = 5

11. Unicidad de límites Demuestre que una función no puede tener dos límites diferentes en el mismo punto. Esto es, si límx~xo f(x) = LI y límx~xo f(x) = L 2 ,entoncesL I = L2 .

12. Pruebe la regla del límite del múltiplo constante:

lím kf(x) = k lím f(x) para cualquier constante k. x~c x ---+c

13. Límites laterales Si límx~o+ f(x) = A Y límx~o- f(x) = B , determine

14.

a. límx~o+ f(~ - x)

c. límx~o+ f(x? - x4)

b. límx~o- f(x3 - x)

d. Iímt~O- f(x2 - x4

)

Límites y continuidad ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos y cuáles son falsos? Si es verdadero, exp lique por qué; si es falso , dé un contraejemplo (esto es, un ejemplo que confirme la falsedad).

a. Si existe ellímx~a f( x) pero no existe ellímx~a g(x) entonces límT~a(f(X) + g(x)) no existe.

b. Si no existe ellímx~a f(x) y tampoco existe el límx~a g(x) entonces límx~a (f(x) + g(x)) no existe.

c. Si J es continua en x, entonces también lo es I JI · d. Si I JI es continua en a, entonces también lo es f.



En los ejercicios 15 y 16 utilice la definición formal de límite para probarque la función tiene una extensión continua para el valor dado de x.

x2 - 115. f(x) = --1' x = -1x+

x2-2x-316. g(x) = 2x _ 6 ' x = 3

17. Una función continua sólo en un punto Sea

f(x) = {x,O,

si x es racional

si x es irracional.

a. Demuestre que f es continua en x = O.

b. Con base en el hecho de que todo intervalo abierto de númerosreales contiene tanto números racionales como irracionales, de-muestre que f no es continua en cualquier valor de x distintode cero.

18. Función regla de Dirichlet Si x es un número racional, entoncesx puede escribirse de manera única como un cociente de enteros m/n,donde n > O, Y m Y n no tienen factores comunes mayores a l. (Deci-mos que tal fracción está en su mínima expresión. Por ejemplo, 6/4escrita en su mínima expresión es 3/2). Sea f(x) definida para todax en el intervalo [O, 1] mediante

¡(x) = {¡/n, si x = mines número racional en su mínima expresiónO, SI X es irracional,

1,.Por ejemplo, feO) = f(1) = 1, f(1/2) = 1/2, fO/3) = f(2/3) =

1/3, f(1/4) = f(3/4) = 1/4 Y así sucesivamente.

a. Demuestre quefes discontinua en todo número racional en [0,1].

b. Demuestre que f es continua en todo número irracional en [O, 1].(Sugerencia: Si E es un número positivo dado, demuestre que sóloexiste un número finito de racionales r en [O, 1] tales que f(r) - E).

c. Elabore un bosquejo de la gráfica de f. ¿Por qué cree que a f sele denomina "función regla"?

19. Puntos antípodas ¿Hay alguna razón para creer que siempre existenun par de puntos antípodas (diametralmente opuestos) en el Ecuadorde la Tierra, donde las temperaturas son iguales? Explique.

20. Si lím (f(x) + g(x» = 3 Y lím (f(x) - g(x» = -1, determinex~c x~c

lím f(x)g(x).x~c

21. Raíces de una ecuación cuadrática que es casi lineal La ecuaciónax' + 2x - J = O, donde a es una constante, tiene dos raíces sia > - 1 Y a 1= O, una positiva y una negativa:

. ( ) _ -1 + Vl+a1+ a - a '

-1 Vl+ar_(a) = ---=--a::'--"--=-

a. ¿Qué pasa con r+(a) cuando a --'> O? ¿Y cuando a --'> -1+?

b. ¿Qué pasa con r _(a) cuando a --'> O? ¿Y cuando a --'> -1+?

c. Justifique sus conclusiones graficando r+(a) y r_(a) comofunciones de a. Describa lo que observe.

d. Para que tenga un mayor respaldo, grafique ax? + 2x - lsimultáneamente para a = 1,0.5,0.2,0.1 Y 0.05.

22. Raíces de una ecuación Demuestre que la ecuación x + 2 cos x = Otiene al menos una solución.

23. Funciones acotadas Una función f, con valores reales, está aco-tada por arriba en un conjunto D si existe un número N tal quef(x) :s: N para toda x en D. Cuando existe, a N le llamamos una cotasuperior para f en D y decimos que f está acotada por arriba por N.De manera análoga, decimos que f está acotada por abajo en D siexiste un número M tal que f(x) - M para toda x en D. Cuando exis-

es

te, a M le llamamos una cota inferior para f en D y decimos que festá acotada por abajo por M. Decimos que f está acotada en Dsi está acotada tanto por arriba como por abajo.

a. Demuestre que f está acotada en D si y sólo si existe un número Btal que If(x) I :s: B para toda x en D.

b. Suponga que f está acotada por arriba por N. Demuestre que silímx: Xo f(x) = L, entonces L :s: N.

c. Suponga quefestá acotada por abajo por M. Demuestre que silím., Xo f(x) = L, entonces L 2'- M.

24. Máx {a, b} y mín {a, b}

a. Demuestre que la expresión

a+b la-blmáx {a, b} = -2- + --2-

es igual a a, si a - b, y es igual a b si b - a. En otras palabras,máx {a, b} da el mayor de los dos números a y b.

b. Encuentre una expresión similar para mín {a, b} , el menorde a y b.

L- . L' d . L sen Otmítes genera Iza os que me uyen a -O-

La fórmula lím, ...•o(sen e)/e = 1 puede generalizarse. Si lím, ...•e f(x) = OY f(x) nunca es cero en un intervalo abierto que contenga al punto x = c,excepto posiblemente c, entonces

sen f(x)lím--- = l.

x~c f(x)

A continuación, se presentan varios ejemplos

2a. lím senx =

X-----)oO x2

2 2 2b. lím sen x = lím sen x lím ~ = l· O = O

X~O X X-----)oO x2 X-----)oO X

sen (x2 - x - 2) sen (x2 - x - 2)c. lím = lím .

x~-¡ x + 1 x~-¡ (x2 - X - 2)

(x2 - x - 2) (x + l)(x - 2)lím =v Lv Tim =-3

x-->-¡ x + 1 x-->-[ x + 1

, sen (1 - Vx) , sen (1 - Vx) l - Vxd. hm = lím =

x--> [ X - 1 x~ ¡ 1 _ Vx x - 1

(1 - Vx) (1 + Vx) 1 - x1· lím --------- = lím ----"---'-'----

x-r-e l (x - 1)( 1 + Vx) x~l (x - 1)( 1 + Vx)

12


sen (1 - cos x)25. lím x

x-->o26. lím senx

x~o+ senVx

sen (senx)27. lím x

x-->o

sen (x2 + x)28. lím x

x-->o

sen (x2 - 4)29. lím ---,-----

x-->2 X - 2

sen (Vx - 3)30. lím 9

x---49 X -

Asíntotas obLicuasEn los ejercicios 31 a 34, determine todas las posibles asíntotas oblicuas.

2x3/2 + 2x - 331. Y = , /:

vx + 132. Y = x + x sen (l/x)

33. y= W+1 34. Y = vix2 + 2x


En los ejercicios 15 y 16 utilice la definición formal de límite para probar que la función tiene una extensión continua para el valor dado de x.

X2 - I 15. f(x) = --1' x = - 1

x+

x2 -2x-3 16. g(x) = 2x _ 6 ' x = 3

17. Una función continua sólo en un punto Sea

f(x) = {x, O,

si x es racional

si x es irracional.

a. Demuestre que f es continua en x = O.

b. Con base en el hecho de que todo intervalo abierto de números reales contiene tanto números racionales como irracionales, demuestre que f no es continua en cualquier valor de x distinto de cero.

18. Función regla de Dirichlet Si x es un número racional, entonces x puede escribirse de manera única como un cociente de enteros m/n,

donde n > O, Y m Y n no tienen factores comunes mayores a 1. (Decimos que tal fracción está en su mínima expresión. Por ejemplo, 6/4 escrita en su mínima expresión es 3/2). Sea f(x) definida para toda x en el intervalo [O, 1] mediante

(x) = {l/n, si x = m/n es número racional en su mínima expresión

f O . . . 1 , SI X es IrraClOna .

Por ejemplo, feO) = fO) = 1, f(1/2) = 1/2, f(1/3) = f(2/3) =

1/3 , f(1/4) = f(3/4) = 1/4 Y así sucesivamente.

a. Demuestre quefes discontinua en todo número racional en [0,1].

b. Demuestre que f es continua en todo número irracional en [O, 1]. (Sugerencia: Si E es un número positivo dado, demuestre que sólo existe un número finito de racionales r en [O, 1] tales que f(r) - E).

c. Elabore un bosquejo de la gráfica de f. ¿Por qué cree que a f se le denomina "función regla"?

19. Puntos antípodas ¿Hay alguna razón para creer que siempre existen un par de puntos antípodas (diametralmente opuestos) en el Ecuador de la Tierra, donde las temperaturas son iguales? Explique.

20. Si lím (f(x) + g(x» = 3 Y lím (f(x) - g(x» = - 1, determine x~c x~c

lím f(x)g(x). x~c

21. Raíces de una ecuación cuadrática que es casi lineal La ecuación ax2 + 2x - 1 = O, donde a es una constante, tiene dos raíces si a > - 1 Y a i= O, una positiva y una negativa:

_ () _ -1 +~ 1+ a - a '

a. ¿Qué pasa con r +(a) cuando a -> O? ¿Y cuando a -> -1 +?

b. ¿Qué pasa con r _(a) cuando a -> O? ¿Y cuando a -> -1 +?

c. Justifique sus conclusiones graficando r +(a) y r _(a) como funciones de a. Describa lo que observe.

d. Para que tenga un mayor respaldo, grafique ax2 + 2x - 1 simultáneamente para a = 1, 0.5, 0.2, 0.1 Y 0.05.

22. Raíces de una ecuación Demuestre que la ecuación x + 2 cos x = O tiene al menos una solución.

23. Funciones acotadas Una función 1, con valores reales, está acotada por arriba en un conjunto D si existe un número N tal que f(x) :s: N para toda x en D. Cuando existe, a N le llamamos una cota superior para f en D y decimos que f está acotada por arriba por N. De manera análoga, decimos que f está acotada por abajo en D si existe un número M tal que f(x) - M para toda x en D. Cuando exis-

te, a M le llamamos una cota inferior para f en D y decimos que f está acotada por abajo por M. Decimos que f está acotada en D si está acotada tanto por arriba como por abajo.

a. Demuestre que f está acotada en D si y sólo si existe un número B

tal que If(x) I :s: B para toda x en D.

b. Suponga que f está acotada por arriba por N. Demuestre que si límx : Xo f(x) = L, entonces L :s: N.

c. Suponga quefestá acotada por abajo por M. Demuestre que si límx : Xo f(x) = L, entonces L 2'" M.

24. Máx {a, b} y mín {a, b}

a. Demuestre que la expresión

a + b la - bl máx {a, b} = - 2- + --2-

es igual a a, si a - b, y es igual a b si b - a. En otras palabras, máx {a, b} da el mayor de los dos números a y b.

b. Encuentre una expresión similar para mín {a, b} , el menor de a y b.

L- ·t L· d . L sen O lml es genera Iza os que me uyen a - O-

La fórmula límo->o(sen elle = 1 puede generalizarse. Si líl11x->c f(x) = O Y f(x) nunca es cero en un intervalo abierto que contenga al punto x = c, excepto posiblemente c, entonces

sen f(x) lím - -- = l. x->c f(x)

A continuación, se presentan varios ejemplos

2 a. lím senx =

X-----)oO X2

2 2 2 b. lím sen x = lím sen x lím ~ = 1· O = O

X~O X X----i>O x2 X----i>O X

sen (x2 - x - 2) sen (x2 - x - 2) c. lím = lím .

x->-l X + 1 x->-l (x2 - X - 2)

(x2 - X - 2) (x + l)(x - 2) lím =l·lím =-3

x->- l x + 1 x->-l X + 1

, sen (1 - Vx) , sen (1 - Vx) 1 - Vx d. hm = hm =

x-> I X - 1 x-> I 1 _ Vx x - 1

(1 - Vx)( 1 + Vx) 1 - x 1 . lím --------- = lím ----=---'-'----

x->1 (x - 1)( 1 + Vx) x->1 (x - 1)( 1 + Vx)


sen (1 - cos x) 25. lím x

x->o

sen (senx) 27. lím x

x->o

sen (x2 - 4) 29. lím------:-

x->2 X - 2

Asíntotas obLicuas

sen (x2 + x) 28. lím x

x->o

sen (Vx - 3) 30. lím 9

x----i>9 X -

2

En los ejercicios 31 a 34, determine todas las posibles asíntotas oblicuas.

2x3/2 + 2x - 3 31. Y = , r

vx + 1 32. Y = x + x sen (l/x)

33. y= W+1 34. Y = vi x2 + 2x


Capítulo 2 Proyectos de aplicación tecnológica 101

CapituLo Proyectos de apLicación tecnoLógica

Módulos Mathematica/Maple

Llévela al límiteParte IParte II (Cero elevado a la cero: ¿Qué significa?)Parte III (Límites laterales)Visual ice e interprete el concepto de límite por medio de exploraciones gráficas y numéricas.Parte IV (¡Qué diferencia hace una potencia!)Observe cuán sensibles pueden ser los límites con diversas potencias de x.

Ir al infinitoParte I (Exploración del comportamiento de una función cuando x ~ 00 o x ~ - (0)

Este módulo ofrece cuatro ejemplos para explorar el comportamiento de una función cuando x ~ CXJ o x ~ - CXJ •

Parte IJ (Tasas de crecimiento)Observe las gráficas que parecen ser continuas; sin embargo, la función no es continua. Se exploran varios temas de continuidad para obtener resultadosque podrían sorprenderle.

CapituLo Proyectos de apLicación tecnoLógica

Módulos Mathematica/ Maple

Llévela al límite

Parte 1 Parte II (Cero elevado a la cero: ¿Qué significa?) Parte III (Límites laterales)

Capítulo 2 Proyectos de aplicación tecnológica 101

Visualice e interprete el concepto de límite por medio de exploraciones gráficas y numéricas. Parte IV (¡Qué diferencia hace una potencia!) Observe cuán sensibles pueden ser los límites con diversas potencias de x.

Ir al infinito

Parte 1 (Exploración del comportamiento de una función cuando x -"> 00 o x -"> - 00)

Este módulo ofrece cuatro ejemplos para explorar el comportamiento de una función cuando x -"> CXJ o x -"> - 00 .

Parte JI (Tasas de crecimiento) Observe las gráficas que parecen ser continuas; sin embargo, la función no es continua. Se exploran varios temas de continuidad para obtener resultados que podrían sorprenderle.


introducciÓn xvii - junioyjulio.files.wordpress.com · biografÍa histÓrica * galileo galilei...

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