introducción al uso de calculadoras en circuitos
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Introducción al uso de Calculadoras en Circuitos
Plan
• Introducción
• Circuitos Resistivos Elementales
• Repaso Breve de Matrices
• Repaso Breve de Ecuaciones
• Repaso de Método Nodal
• Aplicaciones a funciones de red
• Equivalente de Thevenin
Circuitos Resistivos Elementales
Req y Geq Serie y Paralelo
RnR1 R2
Req R1 R2..Rn
1112
11
21
1
..
..
1
n
neqeq
GGG
RRRRG
RnR1 R2
ReqGeq 1 1
R1 1 R
2 1..R
n1
R1 1 R
21..R
n 1
1
GeqReq 1G1G2..Gn
R1 1 R
2 1..R
n 1
Divisores
RnR1 Rj
+ Vj -
+ VT -
V j
RjR1 R2...RN
VT RjReq
VT
V j G
1 1G
2 1..G
n 1
1
GjVT
GeqG j
VT
RnR1 Rj----
IjIT
I j R
1 1 R
2 1..R
n 1
1
RjIT
ReqRj
IT
I j
G jG1G2...GN
IT GjGeq
IT
A tomar en cuenta
• Use la memoria de su calculadora cuando sea posible
• Establezca una estrategia para alcanzar mejores resultados
• Interprete
Ejemplo 1
600 1.5 k
I2
350
Vb
Va
+20V
250
120
360
I1
Encontrar Va , I1, I2 y Vb en el circuito mostrado
Ejemplo 1 ( cont) –Razonamiento-
1., Como Vb = 1500*I2, I2 =Vb/500 se obtiene una vez resuelto para Vb.
2.Vb puede derivarse de Va por divisor de voltaje: Vb = Va* 120-1/(120-1+1500-1 +350-1 + 600-1)
3.Va = 20 - 250 I1, se obtiene una vez encontrada I1:
I1 =20/RT=20*(1/RT), donde RT es la resistencia equivalente entre tierra y los 20 V.
Ejemplo 1 (cont. Algoritmo)
Paso 1. Se encuentra RT
Paso 2. El inverso de RT se multiplica por 20 para hallar I1.
Paso 3.Esta corriente se multiplica por -250 y se suma a 20 para hallar Va
Paso 4. Este resultado se multiplica por el factor120-1/(120-1+1500-1 +350-1 + 600-1) para generar Vb,
Paso 5. Vb se divide entre 500 para encontrar I2
Ejemplo 1: Acción
• Para formar la resistencia total RT, tomamos las tres resistencias de 600, 1500 y 350 en paralelo que están en serie con la de 120 ohmios
• para usarla en paralelo con 360 ohmios, y la combinación en serie con 250 ohmios, generando RT = 417.33 , (Use ANS)
• (1500-1 +350-1 + 600-1)-1+120= 312.66
•
• (312.66-1 + 360-1)-1 + 250= 417.33
Ejemplo 1 (cont)
• lo que nos permite obtener, tras multiplicar por 20, I1=47.92 mA
• para obtener Va = 8.02 V
• a partir de lo cual se obtiene Vb = 4.94 V
• para llegar finalmente a I2 = 9.88 mA
• 417.33-1 (20) = 47.92E-3
• 47.92E-3 *(-250) + 20 = 8.02
• 8.02* 120-1/(120-1+1500-1 +350-1 + 600-1) = 4.94
• 4.94/500 = 9.88E-3
Matrices
Notas Utiles
Operaciones en los elementos
Para elementos de la matriz definidos mediante operaciones, no haga las operaciones fuera de la matriz
E 3 5 1
5 2 * 3
1 714
911
7.8 6
1.5 20
Como se introduce
Resultado en pantalla (y memoria)
Partición en filas y Columnas
b1
3
6
4.8
8
, b2
4
0
0
9.3
, b3
5.1
1.5
1
9
.
,5.106
,1.543
2
etc
a
a1
4
3
2
1
321
a
a
a
a
bbb
93.98
108.4
5.106
1.543
B
Inversa
A5 1
6 2
A 10.5 0.25
1.5 1.25
En TI: A 1x En HP: 1/A
Transformación rref
3 2 4 9
1 3 5 4
2 1 7 2
1 1 8 3
25
25
20
29
43
67
76
96
rref
1 0 0 0 1 3
0 1 0 0 0 5
0 0 1 0 2 11
0 0 0 1 4 0
Multiplicación de Matrices y Combinación Lineal
Definción: Combinación lineal
a1 a2 ... an
x1
x2
...
xn
a1x1 a2 x2 .. .anxn
Multiplicación de Matrices y Combinación Lineal (cont)
a11 a12 .. a1n
a21 a22 .. . a2n
.. . . .. . ..
am1 am2 .. . amn
x1
x2
..
xn
a11 x1 a12x2..a1nxn
a21x1 a22x2..a2n xn
.
am1x1 am2 x2..amn xn
4 9 32 5 8
x1x2
x3
4x1 9x2 3x3
2x1 5x2 8x3
Ejemplo:
Sistemas de Ecs. Lineales
Elementos Básicos (1)
Sistemas y Soluciones: (a) Utilidad..1
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b1
a21x1 a22x2 . . . a2nxn b2
. . .
an1x1 an2x2 . . . annxn bn
Forma Expandida: variables en el mismo orden; coeficientes 0 se incluyen.
Sistemas y Soluciones: (a) Utilidad..2
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES USANDO LA UTILIDAD
Paso 1:Abrir la utilidad para resolver simultáneas
Paso 2:Introducir el número de ecuaciones
Paso 3:Introducir los coeficientes y las conocidas según instrucciones
Paso 4:Resolver
Paso 5:Salvar datos o soluciones si es necesario y la opción está disponible.
Sistemas y Soluciones: (b) Matrices..1
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b1
a21x1 a22x2 . . . a2nxn b2
. . .
an1x1 an2x2 . . . annxn bn
Ax=b
A
a11 a12 .. . a1n
a21 a22 .. a2n. .. .. . .. . . ..
an1 an2 .. . ann
nb
b
b
...2
1
b
nx
x
x
...2
1
x
Sistemas y Soluciones: (b) Matrices..2
PARA RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES USANDO FORMA MATRICIALPaso 1: Crear la matriz A y el vector de conocidas b por separado. Paso 2: Realizar la operación A-1
Paso 3: (opcional) Salvar la solución.
x A 1b
Sistemas y Soluciones: (c) Matriz aumentada .. 1
...
...
............
..
...
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaaRepresentación:
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b1
a21x1 a22x2 . . . a2nxn b2
. . .
an1x1 an2x2 . . . annxn bn
Sistema
Sistemas y Soluciones: (c) Matriz aumentada .. 2
a11 a12 ... a1na21 a22 .. a2n... ... ... ...
an1 an2 ... ann
b1b2...
bn
rref
1 0 ... 0
0 1 .. 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
x1x2...
xn
Solución
Mismos coeficientes con diferentes conocidas
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b11
a21x1 a22x2 . . . a2nxn b21
. . .
an1x1 an2x2 . . . annxn bn1
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b12
a21x1 a22x2 . . . a2nxn b22
. . .
an1x1 an2x2 . . . annxn bn2
a11x1 a12x2 . . . a1nxn b13
a21x1 a22x2 . . . a2nxn b23
. . .
an1x1 an2x2 . . . annxn bn3
Mismos coeficientes con diferentes conocidas…. solución
Crear las matrices A de coeficientes, y B con las conocidas:
B
b11 b12 b13
b21 b22 b23.. . ... .. .
bn1 bn2 bnn
A
a11 a12 .. . a1n
a21 a22 .. a2n. .. .. . .. . . ..
an1 an2 .. . ann
x = A-1B= [ A-1b1 A-1b2 A-1b3]
Las diferentes columnas corresponden a las diferentes soluciones
Ejemplo 2…
1)
3x 2y 4w9z26
x3y 5w 4z 3
2x y 7w2z21
x y8w 3z 0
2)
3x 2y 4w9z 25
x3y5w 4z25
2x y 7w 2z20
x y8w 3z 29
3)
3x 2y 4w9z43
x3y5w 4z67
2x y 7w2z 76
x y8w 3z 96
4)
3x 2y 4w9z29
x 3y5w 4z22
2x y 7w2z 54
x y 8w 3z 42
Ejemplo 2 (cont)
A
3 2 4 9
1 3 5 42 1 7 2
1 1 8 3
B
26
3
21
0
25
25
20
29
43
67
76
96
29
22
54
42
3 2 4 9
1 3 5 4
2 1 7 2
1 1 8 3
1
26
3
21
0
25
25
20
29
43
67
76
96
29
22
54
42
8 1 3 66 0 5 5
1 2 11 7
2 4 0 1
Conocidas como combinación
a11 x1 a12 x2 . . . a1n xn b11 b12z1 b13z2
a21x1 a22x2 . . . a2n xn b21 b22z1 b23z2
. . . .....
an1x1 an2x2 . . . annxn bn1 bn2 z1 bn3z2
B
b11 b12 b13
b21 b22 b23.. . ... .. .
bn1 bn2 bnn
A
a11 a12 .. . a1n
a21 a22 .. a2n. .. .. . .. . . ..
an1 an2 .. . ann
x = A-1B= [ A-1b1 A-1b2 A-1b3]
SOLUCION
Ejemplo 3
3x 2y 4w9z26 25p43q29r
x3y 5w 4z 325p67q22r
2x y 7w2z21 20p 76q 54r
x y8w 3z 029p96q 42r
A
3 2 4 9
1 3 5 42 1 7 2
1 1 8 3
B
26
3
21
0
25
25
20
29
43
67
76
96
29
22
54
42
Ejemplo 3 Cont
3 2 4 9
1 3 5 4
2 1 7 2
1 1 8 3
1
26
3
21
0
25
25
20
29
43
67
76
96
29
22
54
42
8 1 3 66 0 5 5
1 2 11 7
2 4 0 1
x
y
w
z
8 1 3 6
6 0 5 5
1 2 11 7
2 4 0 1
rpz
rqpw
rqy
rqpx
42
;71121
;556
;638
Resultado Interpretación
Ecuaciones Nodales
Reglas y soluciones
Reglas
ijnnnn Y YIVY ;Ecuaciones:
onescontribuciOtrasasresistencióncontribuci
ikikik gyY
jksijk
jksik
ykj
y nodos a conectadas
(1/Ri) iasconductanc
nodo al conectadas
(1/Ri) iasconductanc
Reglas (cont)
knodoaentrandoconocidasCorrientesI
I
k
knI
Ejemplo 4
5 k 2 k
1 k
3.6 k
2.1 k
1.7 k
5.8 k2 mA
1 mA6.92 k
2.4 k1.2 k
300
3.2 k
1.7 k4.16 k
1
2
3 4
5
6
Encuentre la potencia generada por la fuente de 1 mA y el potencial del nodo 6
Ejemplo 4 (cont.)
1
2. 4
1
1. 2
1
6. 92 5
1
0. 3
V1
1
6. 92 5V2
1
0.3V3 0V4 0V5 0V6 0 p0
1
6. 92 5V1
1
2
1
1
1
6. 92 5
V2
1
1V3
1
2V4 0V5 0V6 0 p1
12007.1
1
16.4
1
6.3
1
1.2
1
1
1
3.0
1
7.1
1
16.4
1
6.3
1
1.2
1
1
1
3.0
1654321
pVVVVVV
0V1
1
2V2
1
2.1
1
3. 6
V3
1
2.1
1
3.6
1
1. 7
1
2
V4 0V5
1
1. 7V6 0 p0
0V1 0V2
1
4.16
1
1. 7
V3
1
4.16
1
1.7
1
5. 8
1
3.2
V5 0V4
1
5.8V6 0 p 2
0V1 0V2 0V3
1
1.7V4
1
5.8V5
1
1. 7
1
5.8
V6 0 p0
Nodo 1:
Nodo 2:
Nodo 3:
Nodo 4:
Nodo 5:
Nodo 6:
Ejemplo 4 (cont)
0V1 0.001V2 0. 001V3 0V4 0V5 0V6 p 0
Ecuación agregada:
Solución:
V1 V2 V3 V4 V5 V6 p 312.800E 3 1.061E0 411.3E 3 485.6E 3 1.251E0 920.0E 3 649.61E 6
Ejemplo 5 con Fuentes dependientes
2 k
5.6 k 2 k 8.3 k
1 32
1 mA
2.4 k
0.01Vx
+ŹVx -
Ejemplo 5 (cont)V1 V2 V3 Inode
N. 1
N. 2
N. 3
1
2103 1
2. 4103 1
2. 4103 1
2103110 3
1
2.4103 0. 01
1
2103 1
2. 4103 1
5. 81030. 01 1
5.81030
1
2103 0. 01 1
5. 8103 0.01
1
2103 1
8. 3103 1
5.81030
Solución
V1
V2
V 3
1 0 0 2. 07938
0 1 0 1. 95612
0 0 1 0.18209
Ejemplo 6: Fuentes no numéricas
2 sin 4t mA 1 k
2.2 k
5.6 k
6.5 k
2.1 k
3 k
4e-t mA
1 2 3
i1
z= sin 4t y = e-t
Encontrar i1
Ejemplo 6: cont
1
1 1
3 1
2.2
V1
1
3V2
1
2.2V3 2 z
1
3V1
1
2.1 1
3 1
5.6 1
6.5
V2
1
5. 6 1
6. 5
V3 0
1
2. 2V1
1
5.6 1
6.5
V2
1
5. 6 1
6. 5 1
2. 2
V3 4y
1
3V1
1
3V2 i1 0
11 1
3 1
2.2 1
3 1
2.20
13
12.1 1
3 1
5.6 1
6.5 1
5.6 1
6.5
0
1
2.2 1
5.6 1
6.5
15.6
16.5
12.2
0
13
13
0 1
1
2 0
0 0
0 4
0 0
1.6 2.558
0.839 3.03
1.279 7.840
0.254 0.157
i1(t) 0. 254z 0.157y mA 254sin4t 157e-t A
Solución en cuarta fila:
Usando los métodos
Funciones de Red
Red N
Sin FuentesIndependientes
+Vin-
Vout
Iin Iout
+
-
in
out
in
out
in
out
in
out
in
in
in
in
I
I
I
V
V
I
V
V
V
I
I
V
:voltajedeGanancia:enciatranresistdeGanancia
:ctanciatranscondudeGanancia:voltajedeGanancia
:eequivalentiaConductanc:eequivalentaResistenci
Algoritmo con Fuente de corriente
Red N
Sin FuentesIndependientes
+Vin-
Vout
Iout
+
-
1 A
Vin = valor de Req; 1/Vin = valor Geq;
Vout = valor de Ganancia transresistencia
I out = valor de Ganancia de Voltaje
Vout/Vin = ganancia voltaje;
Iout/Vin = Ganancia de transconductancia
Importante: valores en calculadora para usarlo en divisiones
Ejemplo 7:
2 k
1 k
4 k
5 k
2 k 3 k 7 k
+
-Vin
Iin
Va
Vb+ -
+
-
Ib
Ia
Calcular las funciones de red, A) Si las salidas son Ia y Va; B) Si las salidas son Ib y Vb
2 k
1 k
4 k
5 k 2 k
3 k 7 k
13
2
1A
Ib Vb+ -
Ejemplo 7 (cont)
11E3
12E3
11E3
12 E3
0 0
11E3
11E3
12E3
14 E3
15 E3
14E3
15E3 0 0
12 E3 1
4E3 1
5E3 17 E33E3
12E3
14 E3
15E3 0 0
0 1 1 1 0
0 15E3
15E3 0 1
V1Va
V3VbIb
1
0
0
0
0
T
Tbb IVVVaV
038.031.1929.18266.16344.2365
31
B
Ia V22E3
B(2)
2E30.817
Ejemplo 7 (Soluciones)
Req = V1 = 2.3654 k.
Geq = 1/Req =1/V1 = 1/B(1)= 422.76 S
VaIin1. 634 k,
VaVin
B(2)
B(1)
1634. 6
2365. 4 0. 691,
IaIin0.8173,
IaVin
IaB(1)
0.8173
2365. 4 S 0.3455 mS
Ejemplo 7 (fin)
Las ecuaciones Vb = V2 – V3 e Ib=(V2-V3)/5e3 se incluyeron:
Vb
Iin 192.31 ,
VbVin
B(4)
B(1) 192.31
2365.4 0.0813,
IbIin 0.0385,
IoutV in
B(5)
B(1) 0.038
2365. 4 S 16. 26 S
Equivalente de Thevenin
+
-
+-
Vth
Rth
A
BB
A
Equivalente de Thevenin (un procedimiento)
A
B
+
-
IVx
Agregar una fuente de corriente de 1 A, y escribir las ecuaciones con una columna separada para I.
El valor de Vx en la columna que no es de I corresponde a Vth
El valor de Vx en la columna de I, corresponde a Rth
Ejemplo 8 con equivalente de Thevenin
+-
5 V
2
5
4 3
R
10 2 1 3va
vaIx
Ix/3
+-
¿Qué valor de R permite la máxima potencia disponible en esa resistenica, y qué potencia es esta?
Ejemplo 8 (cont)
p
Vth2
4Rth
+-
5 V
2
5
4 3
10 2 1 3va
vaIx
Ix/3
+-Equivalent?
Ejemplo 8 cont.
+-
5 V
2
5
4 3
10 2 1
3va
vaIx
Ix/3
+-
1
2
3 45
+ Vx -
I
Ejemplo 8
V2 V3 V4 V5 I x V x
N .2
N 3
N 4
N 5
CCVS
V x
12 1
40 0 1
4 1 0
0 131 1
30 1 1
30
0 13
13
12 0 1
3 0
14
0 0 110 1
4 1
50 0
1 2 3 0 0 0
0 0 1 1 0 1
V2V3V4V5I xV x
12
(5)
0
012
(5)
0
0
0
0
1
10
0
Ejemplo 8 (Fin)
979.0
809.1
851.0
128.0
872.0
127.2
617.3
553.2
319.5
702.1
702.1
702.1
1
5
4
3
2
BAC
x
x
V
I
V
V
V
V
+-
0.979
R- 3.716 V
W
C
Cp 341.3
)2,6(*4
)1,6(
979.04
716.3 22
Conclusiones
• El uso efectivo de la calculadora depende de– Conocimiento teórico– Adaptación de estrategias a la calculadora
• La calculadora NO es un substituto del conocimiento
• La calculadora NO elimina la necesidad de destrezas manuales.