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  • Introduccion a la

    TEORIA DEL RIESGO

    [ Notas preliminares ]

    Luis Rincon

    Departamento de Matematicas

    Facultad de Ciencias UNAM

    Circuito Exterior de CU

    04510 Mexico DF

    [email protected]

    Febrero 2006

    El presente texto corresponde a la version de febrero de 2006.Este material se encuentra en permanente actualizacion y correccion.

    La ultima version disponible puede obtenerse en

    http://www.matematicas.unam.mx/lars

  • Prefacio

    Este texto contiene los notas de clase del curso semestral de Teora del Riesgoimpartido por el autor a estudiantes de ultimo semestre de la carrera deactuara en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Contiene el material basicopara un curso introductorio de ciertos temas de la teora matematica delriesgo, as como una coleccion de ejercicios.

    Considero necesario hacer enfasis en que este trabajo tiene el caracter depreliminar y que el material completo fue compilado de las fuentes que apa-recen al final del texto. Debido a la falta de bibliografa en el tema en idiomaespanol y a la urgencia de contar con este material de apoyo, me atrevo apresentar estas notas preliminares con la esperanza de mejorarlas paulatina-mente a lo largo de los proximos meses. Cualquier comentario, correccion osugerencia es ampliamente agradecida.

    El AutorCiudad Universitaria UNAM

    1

  • Contenido

    1. Modelo individual vs modelo colectivo 41.1. Modelo individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Modelo colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2. Formula de Panjer y algunos metodos de aproximacion 232.1. Formula de recursion de Panjer . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Aproximacion normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Aproximacion gama trasladada . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Aproximacion de Edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    3. Principios para el calculo de primas 333.1. Principios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4. Reaseguro 384.1. Reaseguro aplicado a cada reclamacion . . . . . . . . . . . . . 394.2. Reaseguro aplicado al total del riesgo . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    5. Teora de la credibilidad 455.1. Credibilidad completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2. Credibilidad parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3. Credibilidad Bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    6. Procesos estocasticos 526.1. Filtraciones y tiempos de paro . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2

  • 6.3. Martingalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    7. Teora de la ruina 577.1. Modelo clasico de Cramer-Lundberg . . . . . . . . . . . . . . 577.2. Probabilidad de ruina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3. El coeficiente de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    A. Distribuciones de probabilidad 68

    B. Esperanza condicional 74

    3

  • Captulo 1

    Modelo individual vs modelocolectivo

    En este captulo se presenta la perspectiva individual y la colectiva paramodelar un riesgo. Se estudian algunas propiedades y relaciones entre estasdos perspectivas. En el resto del curso se adopta el modelo colectivo comomodelo fundamental.

    1.1. Modelo individual

    Suponga que se tiene un portafolio de n polizas individuales de segurosvalidas por un ano.

    Poliza 1

    .......

    .......

    .......

    .......

    Poliza 2

    .......

    .......

    .......

    .......

    Poliza n

    .......

    .......

    .......

    .......

    Sea pj la probabilidad de que el j-esimo asegurado no efectue ninguna re-clamacion durante el tiempo de vigencia del seguro y sea qj la probabilidadde que se observe exactamente una reclamacion por parte del asegurado j.Suponga la igualdad pj + qj = 1, ello inhibe el hecho de que haya mas de

    4

  • una reclamacion por cada asegurado. Defina la variable aleatoria

    Dj =

    {

    1 si hay reclamacion en la poliza j,

    0 si no hay reclamacion en la poliza j.

    Claramente Dj tiene una distribucion Bernoulli con parametro qj. Supongaahora artificialmente que cada poliza efectua una reclamacion y sea la va-riable aleatoria Cj > 0 el monto de la reclamacion efectuada por la poliza j.La verdadera reclamacion de la poliza j esta dada por el producto

    DjCj =

    {

    Cj si Dj = 1,

    0 si Dj = 0.

    De esta forma se considera como datos en este modelo los vectores aleatorios

    (D1, C1), (D2, C2), . . . , (Dn, Cn),

    que se asumen independientes entre s y consideraremos tambien que lasvariables Dj y Cj son independientes. El monto de reclamaciones agregadaso agregado de reclamaciones es la variable

    S =

    n

    j=1

    DjCj , (1.1)

    Esta variable representa entonces el monto que afronta la compana segu-radora por concepto de reclamaciones durante el periodo completo del se-guro. La ecuacion (1.1) representa el modelo individual para un seguro delas caractersticas senaladas pues este lleva registro de las probabilidades dereclamacion y posible monto de reclamacion de cada poliza de manera indi-vidual. Desde el punto de vista matematico, nuestro objetivo es conocer lascaractersticas probabilsticas de S, a quien llamaremos riesgo.

    Si Fj(x) denota la funcion de distribucion de DjCj entonces la funcion dedistribucion F (x) del riesgo S adquiere la siguiente expresion en terminosde convoluciones:

    F (x) = (F1 Fn)(x).Esta expresion general y compacta es, sin embargo, un tanto difcil de calcu-lar. Como primeros resultados generales se presentan a continuacion algunascaractersticas numericas de S. Denotaremos por Gj(x) la funcion de distri-bucion de Cj, y como es costumbre, MX(t) denota la funcion generadora demomentos de una variable X.

    5

  • Proposicion 1 Bajo la notacion e hipotesis del modelo individual se tienenlos siguientes resultados.

    1. Fj(x) = pj1[0,)(x) + qjGj(x).

    2. MDjCj(t) = 1 + qj(MCj (t) 1).

    3. MS(t) =

    n

    j=1

    [1 + qj(MCj (t) 1)].

    4. E(S) =n

    j=1

    qjE(Cj).

    5. Var(S) =

    n

    j=1

    [qjVar(Cj) + qjpjE2(Cj)].

    Demostracion.

    1. Para cualquier numero real x,

    Fj(x) = P (DjCj x)= P (DjCj x |Dj = 0)P (Dj = 0)

    +P (DjCj x |Dj = 1)P (Dj = 1)= P (0 x |Dj = 0)pj + P (Cj x |Dj = 1)qj= pj1[0,)(x) + qjGj(x).

    2. Tenemos que

    MDjCj (t) = E(etDjCj )

    = E(etDjCj |Dj = 0)P (Dj = 0)+E(etDjCj |Dj = 1)P (Dj = 1)

    = pj + qjMCj (t)

    = 1 + qj(MCj (t) 1).

    3. Esta igualdad se sigue directamente de la anterior usando la hipotesis deindependencia.

    6

  • 4. Nuevamente por independencia,

    E(S) =

    n

    j=1

    E(DjCj)

    =n

    j=1

    E(Dj)E(Cj)

    =

    n

    j=1

    qjE(Cj).

    5. Primeramente se tiene que

    E(DjCj) = qjE(Cj),

    E(D2j C2j ) = qjE(C

    2j ).

    Entonces

    Var(DjCj) = qjE(C2j ) q2j E2(Cj)

    = qj[Var(Cj) + E2(Cj)] q2j E2(Cj)

    = qjVar(Cj) + qjpjE2(Cj).

    Por lo tanto

    Var(S) =

    n

    j=1

    Var(DjCj)

    =n

    j=1

    [qjVar(Cj) + qjpjE2(Cj)].

    1.2. Modelo colectivo

    Considere un conjunto de contratos de seguros sobre un periodo de tiempo[0, T ], este periodo puede corresponer a un ano por ejemplo. Sea la variablealeatoria N el numero de reclamaciones ocurridas en este intervalo, y seanlas variables Y1, . . . , YN los montos de estas reclamaciones. Graficamente unaposible realizacion de tal esquema se muestra en la siguiente figura.

    7

  • 0 T

    b

    Y1

    b

    Y2

    b

    Y3

    b

    Y4

    b

    Y5

    Consideraremos que el numero de reclamaciones N y los montos de estas,Y1, . . . , YN , son variables aleatorias independientes. Mas aun supondremosque las reclamaciones mismas son independientes entre s y comparten lamisma distribucion de probabilidad. El monto agregado o acumulado de to-das las reclamaciones recibidas es la variable aleatoria S, llamada riesgo, ydefinida como sigue

    S =

    N

    j=1

    Yj . (1.2)

    Observe que cada sumando es una variable aleatoria y que el numero de su-mandos es tambien aleatorio. La ecuacion (1.2) representa el modelo colectivopara un contrato de seguros. Nuevamente nuestro objetivo es estudiar las ca-ractersticas de la variable S, cuyas posibles realizaciones como funcion deltiempo tienen la siguiente forma

    b bc

    b bc

    b bc

    bS(t)

    t

    Y1

    Y2

    Y3

    A la funcion de distribucion de cada reclamacion Y la denotaremos por laletra G. Se asume naturalmente que G(0) = 0, ello equivale a decir que la

    8

  • variable Y es no negativa. Adicionalmente usaremos la notacion n = E(Yn),

    en particular se escribe en lugar de 1 = E(Y ).

    Nuevamente el problema central es encontrar la distribucion de probabilidadde S, la cual naturalmente depende de la distribucion de Y y de N . Un primerresultado general al respecto es el siguiente.

    Proposicion 2 La funcion de distribucion del riesgo S en el modelo colec-tivo es

    FS(x) =

    n=0

    Gn(x)P (N = n).

    Demostra