Introducción a la GEOMETRÍA PLANA

GEOMETRÍA PLANA

INTRODUCCIÓN

La geometría plana trata de aquellos elementos que solo tienen dos dimensiones y, que por lo tanto, se encuentran y operan en un plano.

Los elementos básicos con los que se suele trabajar en geometría plana son el punto, la recta, la circunferencia y otras curvas.

La geometría plana se divide en varios temas que nos ayudan a estudiarla.

GEOMETRÍA MÉTRICA

Estudia los problemas en los que intervienen medidas y a su vez se divide en :

Trazados básicos - Las operaciones geométricas más elementales y que tienen una utilidad universal, como por ejemplo el trazado de mediatrices, bisectrices, etc.

Polígonos - Líneas cerradas formadas por varios segmentos. La construcción de polígonos con unas determinadas características o datos es el objetivo de este apartado.

Proporcionalidad - Es la forma en la que a partir de unas determinadas longitudes conseguimos otras según una determinada relación. Entre las más habituales están la cuarta proporciona, la tercera proporcional, la media proporcional, etc.

Circunferencia - La línea curva cuyos puntos al centro están a una misma distancia. Esta es una de las curvas más importantes y por ello se trata aparte de las demás.

Potencia - Establece una relación entre un punto exterior a una circunferencia y dicha circunferencia. Es un procedimiento muy empleado para la búsqueda de circunferencias tangentes a otros elementos.

Enlaces y tangencias - Muchos objetos no están formados por una única curva, sino por la unión de varias, siendo este apartado de encargado de determinar sus elementos (centros, puntos de tangencia, etc.).

Óvalos y ovoides - Estas son dos de las curvas técnicas más usadas. El óvalo es un buen sustituto de la elipse. El ovoide se utiliza en mecánica como leva.

Curvas cónicas - Son tres la elipse, la hipérbola y la parábola, cuyo estudio es fundamental por ser, tras la circunferencia, las curvas que más aparecen.

Otros temas - Cuestiones no tratadas en los puntos anteriores.

Equivalencia - Es determinar una figura que tenga la misma área que otra.

GEOMETRÍA PROYECTIVA

Estudia las proyecciones en un plano y sus invariantes, se divide en :

Homología - La proyección de dos figuras planas que se encuentran en planos distintos, desde un punto de proyección exterior a los dos planos. Muy utilizada para hallar secciones de cuerpos como pirámides y conos.

Afinidad - La proyección de dos figuras planas que se encuentran planos distintos, desde un punto de proyección que esta en el infinito. Muy utilizada para hallar secciones de cuerpos como prismas y cilindros.

Homotecia - La proyección de dos figuras planas que se encuentran planos distintos y paralelos, desde un punto de proyección exterior a los dos planos. Muy utilizada para construir figuras de forma conocida con una determinada característica.

Semejanza - Es una homotecia a la que también se le ha podido aplicar un giro o una simetría. Muy utilizada para construir figuras de forma conocida con una determinada característica.

Simetría - Es el giro de una figura plana alrededor de un eje (simetría axial) o de un punto (simetría central). Una forma de simplificar los trazados al solo necesitar una parte.

Giro - Es mover una figura alrededor de un punto un determinado ángulo. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.

Traslación - Es mover una figura de tal forma que los nuevos lados son paralelos a los iniciales. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.

Inversión - Relaciona los puntos del plano según el producto de sus distancias a uno fijo, el centro de inversión. Muy utilizada para la determinación de las circunferencias tangentes a otros elementos.

TEMAS DE TRIGONOMETRÍA

Ángulos1.1 Clases de Ángulos1.2 Medición de Ángulos2. Razones trigonométricas2.1 Solucíón de triángulos rectángulos2.2 Problemas de aplicacón 3. Funciones Trigonométricas3.1 Características3.2 Gráficas de las funciones trigonométricas4. Líneas trigonométricas4.1 Gráficas5. Solución de triángulos no rectàngulos5.1 Teorema del seno5.2 Teorema del coseno6. Análisis matemático6.1 Identidades Trigonométricas6.2 Ecuaciones trigonométrico7. Geometría Analítica7.1 Recta7.2 Circunferencia7.3 Parábola7.4 Elipse7.5 Hiperbole

Geometría y Trigonometría

Capitulo 1

Generalidades

Método deductivo:

Es el usado en la ciencia y, principalmente, en la geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos, de tal manera que se obtienen nuevos conocimientos. Es decir, resultan nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores.

No todas las proposiciones son consecuencia de otras. Hay algunas que se aceptan como ciertas por si mismas., como los axiomas y postulados.

Axioma:

Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración.

Postulado:

Es una proporción no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración.

Teorema:

Es una proposición que puede ser demostrada. La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

En el enunciado de todo teorema se distinguen dos partes: la hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis, que es lo que se quiere demostrar.

Corolario:

Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.

Teoría recíproco:

Todo teorema tiene su recíproco. La hipótesis y la tesis del recíproco son, respectiva, la tesis y la hipótesis del otro teorema que, en este caso, se llama teorema directo.

Lema:

Es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. Es como un teorema preliminar a otro que se considera más importante.

Nota o escolio *:Es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.

Problema:

Es una proposición en la que se pide construir una figura que reúne ciertas condiciones (los problemas gráficos), o bien, calcular el valor de alguna magnitud geométrica (los problemas numéricos).

Punto:

Ya hemos dicho que el puto no se define. La idea de punto esta sugerida por la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado.

Un punto geométrico es imaginario tan pequeño que carece de dimensión.

Línea:

Son tipos especiales de conjunto de puntos.

Cuerpos físicos y cuerpos geométricos:

Son cuerpos físicos todas las cosas que nos rodean: libros, mesas, etc. Tienen forma y color; están hechos de una sustancia determinada y ocupan un lugar en el espacio.

Superficies:

Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea.

Semirrecta:

Si sobre una recta señalamos un punto A, se llama semirrecta al conjunto de puntos formado par el A y todos los que le siguen o todos los que le preceden.

Segmento:

Si sobre una recta señalamos dos puntos A y B, entonces, se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre A y B más estos dos puntos denominados extremos de segmento.

Plano:

Una superficie como una pared, el piso, etc., nos sugiere la idea de lo que en geometría se llanma plano.

Un plano en matemáticas, se imagina de extensión ilimitada.

Semiplano:

Toda recta de un plano se divide en dos regiones llamadas semiplano.

Intersección de planos:

Se admite el siguiente postulado:

Dos planos tienen un punto y una recta común.

En este caso se dice que los dos planos se cortan y la recta de común se le llama recta de intersección.

Poligonales cóncavas y convexas :

A las líneas quebradas se les llama también poligonales y, este caso, segmentos que reciben el nombre de lodos y a los puntos de los lados se les nombra vértices.

Se llama poligonal cóncava si la al prolongar en los dos sentidos algunos de sus parte de la poligonal en un y parte en el otro.

Medida de segmentos:

Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad. Para este fin se usan las unidades de longitud del Sistema Métrico Decimal, del Sistema Ingles o de cualquier otro sistema.

Error:

Las medidas, en la práctica, por lo general son aproximadas. A la diferencia entre la verdadera longitud del segmento y el valor obtenido se le llama error de la medida.

Igualdad y desigualdad de segmentos:

Si al suponer dos segmentos AB y CD se puede hacer coincidir los dos extremos del primer segmentos, dicho segmento son iguales (=).

Geometría:

Es elemental es la rama de la matemática que estudia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las que no se alteran con el movimiento de la misma.

Capitulo 2

Ángulos

Ángulo:

Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados. El ángulo se designa por una letra mayúscula situada en el vértice.

Medida de ángulos:

Medir un ángulo es compararlo con otro que se considera una unidad.

Ángulos adyacentes:

Son los que están formados de manera que un lado es común y los dos lados pertenecen a la misma recta.

Ángulo recto:

Es el que mide 90 grados

Ángulo llano:

Es aquel que en el cual un lado es la prolongación del otro.

Ángulo complementario:

Son los ángulos que sumados valen un ángulo recto, es decir, 90 grados.

Complemento de un ángulo:

Se llama complemento de un ángulo a lo que le falta a este para igualar un ángulo recto.

Ángulo suplementario:

Son los ángulos que sumados valen dos ángulos rectos, es decir, 180 grados.

Suplemento de un ángulo:

Es lo que le falta al ángulo para valer dos ángulos rectos.

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos tales que lodos de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

Ángulos consecutivos.

Dos ángulos son consecutivos si solo tienen un lado común. Varios ángulos son consecutivos si el primero es consecutivo del segundo y así sucesivamente.

Capítulo 3

Perpendicularidad y paralelismo

Definiciones:

Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

Características de reciproco de la perpendicularidad:

Si una recta es perpendicular a otra, esta es perpendicular a la primera.

Distancia de un punto a una recta:

Es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta.

Paralelismo:

Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienen ningún punto común.

Características del paralelismo:1. Idéntico: Toda recta es paralela a si misma.

2. Reciproco: Si una recta es paralela a otra, esta es paralela a la primera.

3. Transitivo: Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre si.

Método de demostración por reducción al absurdo:

En los teoremas sobre paralelismo, se ha empleado el método llamado por reducción al absurdo.

Una cuerda fina clavada muy tensa en la pared o un rayo de luz representa lo que es una recta. Es una línea continua en una dirección que se mantiene fija, sin saltos o interrupciones, que no tiene principio ni tiene fin, ya que está formada por infinitos puntos.

PUNTOS Y RECTAS

Para nombrar las rectas se suelen usar las letras r, s, t, u..., siempre minúsculas.

Si marcamos un punto P sobre una recta r, esta queda dividida en dos partes o semirrectas, que llamamos, por ejemplo, s y t. Una semirrecta sí tiene principio, pero no tiene fin. Al punto P se le llama origen de ambas semirrectas. Si marcamos dos puntos, P y Q, sobre una recta, esta queda dividida en tres partes: las semirrectas s y t, y el segmento PQ. Un segmento es un trozo de recta que queda limitado por dos puntos, en este caso P y Q. Por tanto, un segmento sí tiene principio y fin. A los puntos P y Q se les llama extremos del segmento. Cuando pintamos un punto y nos ponemos a dibujar rectas que pasen por él, vemos que podemos dibujar cuantas queramos: por un punto pasan infinitas rectas.

Cuando pintamos dos puntos y tratamos de dibujar rectas que pasen por ellos, vemos que solo una pasa por los dos: por dos puntos solo pasa una línea recta.

Si pintamos tres puntos no alineados y tratamos de dibujar una recta que pase por los tres, vemos que no es posible. En cambio, si los tres están alineados, solo pasa una recta por ellos.

POSICIONES DE DOS RECTAS SOBRE UNA SUPERFICIE PLANA

Si en un papel dibujamos dos rectas, estas pueden ser:

Paralelas, si no se cortan nunca, por mucho que las prolonguemos; no tienen

ningún punto en común. Dos rectas paralelas tienen la misma dirección. Secantes, si se cortan en un punto. Dos rectas secantes tienen diferentes direcciones. Perpendiculares, si además de ser secantes, se cortan formando cuatro ángulos rectos (de 90°). Dos rectas perpendiculares tienen diferentes direcciones.

Coincidentes, si además de ser paralelas tienen todos sus puntos en común; se trata de la misma recta.

Como ejemplo de rectas paralelas piensa en las dos vías de un tren, en las huellas que dejan los neumáticos de un coche sobre una carretera mojada o en dos atletas corriendo una prueba de 100 metros por calles contiguas.

Como ejemplo de rectas secantes, que pueden ser perpendiculares, piensa en un cruce de carreteras o en un cruce de dos calles.

Para dibujar rectas paralelas y perpendiculares sobre un papel utilizamos dos instrumentos de dibujo: la escuadra y el cartabón. La escuadra tiene forma de triángulo isósceles, pues dos de sus lados, los que forman un ángulo recto, y se llaman catetos, son iguales. El cartabón es un triángulo escaleno, sus tres lados tienen longitudes diferentes, y dos de ellos (los catetos) forman también un ángulo recto. Ambos están hechos, generalmente, de un material plástico

Transparente.

Para dibujar una paralela a una recta se siguen estos pasos:

1. Se alinea la hipotenusa de la escuadra con la recta.

2. Se apoya el cateto de la escuadra sobre el cartabón, que se mantiene así fijo.

3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta que llegue a la posición en la que deseamos dibujar la recta paralela.

Para dibujar ahora perpendiculares a las rectas anteriores se siguen estos pasos:

1. Sin mover el cartabón de su posición, se levanta la escuadra.

2. Se gira la escuadra de forma que sea su otro cateto el que se apoye sobre el cartabón.

3. Se desliza la escuadra sobre el cartabón hasta que su hipotenusa llegue a la

posición en la que deseamos dibujar la recta perpendicular.

El aro de una canasta de baloncesto y un anillo son circunferencias. La circunferencia es una figura curva, cerrada (no tiene un punto de principio ni de final) y plana (la dibujamos sobre una superficie plana), cuyos puntos están todos a la misma distancia de su centro. Si colocamos el anillo, por ejemplo, sobre una lámina de papel y coloreamos la zona que queda dentro de la circunferencia, esta superficie plana coloreada es un círculo.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

Algunos elementos de la circunferencia son: radio, cuerda, diámetro y arco.

El radio es el segmento que une cualquier punto de la circunferencia con su centro.

Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. A la cuerda que pasa por el centro se le llama diámetro.

El diámetro mide el doble que el radio, y divide a la circunferencia en dos semicircunferencias.

Un arco es la parte de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

La longitud de una circunferencia es igual a su diámetro multiplicado por el número (que vale 3,14 y se lee “pi”): Longitud de la circunferencia = diámetro ×

Si quisiéramos, por ejemplo, saber lo que avanza la rueda de una bicicleta de 40 cm de diámetro cada vez que da una vuelta, hallaríamos la longitud de su circunferencia: Longitud = 40 × 3,14 = 125,6 cm

Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.

Si en cada viaje, un tiovivo da 30 vueltas, ¿qué distancia recorrerás si te montas en un caballito que está a 2 metros de su eje o centro?

Cada vuelta recorrerás una circunferencia de 2 m de radio; por tanto, su diámetro será: diámetro = 2 × radio = 4 m

Y la longitud de la circunferencia: longitud = diámetro × 3,14 longitud = 4 × 3,14 = 12,56 m

Si en cada viaje se dan 30 vueltas, la distancia recorrida será: 30 × 12,56 = 376,8 m

POSICIONES DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Sobre una superficie plana, una recta y una circunferencia pueden estar en una

de estas tres posiciones:1. La recta exterior a la circunferencia: no tienen ningún punto en común.

2. La recta tangente a la circunferencia: tienen un punto en común.

3. La recta secante a la circunferencia: tienen dos puntos en común.

POSICIONES DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos circunferencias sobre una superficie plana, pueden ocupar distintas posiciones una respecto a la otra, pudiendo ser: exteriores, interiores, concéntricas, tangentes exteriores, tangentes interiores o secantes.

1. Exteriores: no tienen ningún punto en común.

2. Interiores: no tienen ningún punto en común. 3. Concéntricas: tienen el mismo centro, pero diferentes radios.

4. Tangentes exteriores: tienen un punto en común.

5. Tangentes interiores: tienen un punto en común.

6. Secantes: tienen dos puntos en común.

EL CÍRCULO

El círculo es la figura que forman una circunferencia y su interior. No debes confundir la circunferencia, que es una línea curva, con el círculo, que es la superficie que encierra esa línea.

Un sector circular es la parte de círculo comprendida entre dos radios y el arco que abarcan. Un semicírculo es la superficie limitada por un diámetro y la semicircunferencia: es la mitad del círculo.

Un segmento circular es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco.

ÁREA DEL CÍRCULO

El área de un círculo de radio R es igual a por su radio al cuadrado: Área del círculo = × R2

Vamos a calcular el área del círculo en los dos ejemplos siguientes.

1. Halla el área de una pizza que mide 15 cm de radio.

La pizza tiene forma circular, así que: Área de la pizza = × R2

Como R2 = 152 = 225: Área = 3,14 × 225 = 706,5 cm2

2. Una diana de dardos tiene 40 cm de diámetro. Calcula el área que ocupa.

Como el diámetro es el doble del radio: Radio = diámetro : 2 Radio = 40 : 2 = 20 cm

Y como R2 = 202 = 400: Área = 3,14 × 400 = 1.256 cm2

LA CORONA CIRCULAR

Una corona circular es la zona que queda comprendida entre dos circunferencias de diferentes radios.

Para hallar el área de una corona circular, restamos del área del círculo grande el área del círculo pequeño. Siendo R el radio del círculo grande y r el del

pequeño,

El área será: Área = × R2 – × r2

Si quieres, puedes practicar con el siguiente ejemplo:

Una tarta redonda se ha adornado, en su parte central, de 9 cm de radio, con mermelada de fresa, y en la corona circular que queda hasta el borde, de radio 13 cm, con nata. Halla la superficie de tarta adornada con nata.

Hallamos el área de toda la tarta (del círculo grande); como R2 = 132 = 169: Área = × R2 = 3,14 × 169 = 530,66 cm2

Y ahora hallamos el área de la parte central(del círculo más pequeño); como r2 = 92 = 81: área = × r2 = 3,14 × 81 = 254,34 cm2

El área de la zona adornada con nata será: Área de la corona = 530,66 – 254,34 = 276,32 cm2

Si tienes un compás abierto sobre la mesa, ¿qué ángulo forman sus dos brazos? ¿Sabes lo que es un ángulo? Llamamos ángulo a la región comprendida entre dos semirrectas que tienen el punto de origen en común. A ese punto se le llama vértice y a cada semirrecta se le llama lado.

¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS?

Podemos nombrar un ángulo de dos maneras:

a) con la letra mayúscula que representa su vértice y el símbolo encima, o

b) con tres letras mayúsculas y el símbolo encima: las dos letras de los extremos representan a los lados y la de en medio al vértice.

Se representa como o .

¿CÓMO SE MIDEN LOS ÁNGULOS?

Para expresar lo que mide un ángulo, es decir, su amplitud, usamos las unidades: grado (°), minuto ( ) y segundo ( ), cuyas equivalencias son 1° = 60 =′ ′′ ′ 60 × 60 = 3.600′′ ′′

Para medir físicamente o dibujar un ángulo usamos el transportador, que es una plantilla semicircular graduada de 0° a 180°, generalmente de material plástico.

Para medir un ángulo con el transportador, se siguen los pasos siguientes:

1. Se coloca el transportador de forma que coincida el punto de su base, su centro, con el vértice del ángulo, y que uno de los lados del ángulo pase por 0°, es decir, por la base del transportador.

2. Se lee sobre la semicircunferencia del transportador la medida por la que pasa el otro lado del ángulo.

Si en vez de medir queremos dibujar un ángulo, se procede al revés. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 70º se siguen estos pasos:

1. Con una regla se traza un lado del ángulo.

2. Se coloca la base del transportador sobre ese lado, y con su centro sobre el

que será el vértice del ángulo. 3. Se marca con ayuda de la escala graduada el punto correspondiente a los grados del ángulo que queremos representar, en nuestro caso 70°.

4. Con ayuda de la regla, se une el vértice con dicho punto.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Según su amplitud, un ángulo puede ser:

Agudo: si es menor de 90°.

Recto: si es igual a 90°. Obtuso: si es mayor de 90°.

Vamos a definir ahora ángulo nulo, ángulo recto, ángulo llano y ángulo completo, y para representarlos nos valemos de un paipay o abanico chino, que se puede abrir por completo, y formar todos los ángulos posibles entre 0° y 360°.Un ángulo nulo (amplitud 0°) es aquel en el que sus dos lados coinciden.

Un ángulo recto (90° de amplitud) tiene sus dos lados perpendiculares/

Un ángulo llano (180° de amplitud) es el que tiene sus lados opuestos.

Un ángulo completo (amplitud 360°) tiene sus lados coincidentes; es, por tanto, equivalente al nulo.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOSSegún las posiciones que presenten dos ángulos entre sí, estos pueden ser: Ángulos externos: si no tienen nada en común.

y son ángulos externos.2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado y el vértice.

y son ángulos consecutivos.3. Ángulos adyacentes: si además de ser consecutivos, tienen el lado no común sobre la misma recta.

y son ángulos adyacentes.4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el vértice común, y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud, son iguales.

y son ángulos opuestos por el vértice.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°:

y son complementarios: + =

90°.Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°:

y son suplementarios: + = 180°

Podemos sumar y restar ángulos gráficamente, dibujando los ángulos, y también numéricamente, operando con sus medidas. Si queremos ser precisos al representar los ángulos, hemos de dibujarlos con ayuda de un transportador, ya sabes… una plantilla semicircular graduada de 0° a 180°.

SUMA DE ÁNGULOS

Para sumar dos ángulos cualesquiera, y , dibujamos el segundo a continuación del primero, de forma que compartan el vértice, O, y uno de los lados, el OB y el OC en este caso. El ángulo suma será el resultante

Si queremos sumar las medidas de sus amplitudes, hemos de seguir los siguientes pasos:

1. Escribimos un ángulo debajo del otro, de forma que queden alineadas las unidades del mismo orden (grados con grados, minutos con minutos, segundos con segundos).

2. Sumamos las unidades por separado, es decir, sumamos cada una de las tres columnas.

3. Revisamos si la suma de los segundos es o no mayor que 60. En caso de que sea menor, queda tal cual, y proseguimos con el paso 4. En el caso de que la suma sea mayor que 60, hemos de pasar de segundos a minutos, para lo cual:

dividimos dicha suma entre 60, dejamos en segundos el resto de la división, y le sumamos el cociente a los minutos.

4. Revisamos si la suma de los minutos es mayor o no que 60. En caso de que no lo sea, queda tal cual, y hemos terminado la operación. En el caso de que sea mayor que 60, hemos de pasar de minutos a grados, para lo cual:

dividimos la suma de minutos entre 60, dejamos en minutos el resto de la división, y le sumamos el cociente a los grados.

Por ejemplo, vamos a efectuar la suma: 33° 45’ 51’’ + 15° 22’ 24’’. Para ello,

seguimos los pasos indicados.1. Los colocamos alineados en columna:

2. Sumamos por separado cada una de las tres columnas:

3. Nos fijamos en los segundos, y como 75 > 60, convertimos a minutos: El resto son 15’’, y el cociente se lo sumamos a los minutos: 67’ + 1’ = 68’.4. Ahora nos fijamos en los minutos, y como 68 > 60, convertimos a grados:

El resto son 8’, y el cociente se lo sumamos a los grados: 48° + 1° = 49°.

Así pues, 33° 45’ 51’’ + 15º 22’ 24’’ = 49° 8’ 15’’

RESTA DE ÁNGULOS

Para restar dos ángulos cualesquiera, y , dibujamos el segundo superpuesto al primero, de forma que compartan el vértice, O, y uno de sus lados, el OA y el OC

en este caso. El ángulo resta será el resultante :

Si queremos restar las medidas de sus amplitudes, seguimos los siguientes pasos:

1. Escribimos el segundo ángulo (sustraendo) debajo del primero (minuendo), de forma que queden alineadas las unidades del mismo orden.

2. Comprobamos que el número de grados del minuendo es mayor que el del sustraendo. Si no fuera así, la resta no se podría hacer.

3. Nos fijamos en la cantidad de segundos del minuendo y del sustraendo:

si el minuendo es mayor que el sustraendo, efectuamos la resta; si el minuendo es menor que el sustraendo, convertimos uno de los

minutos a segundos, con lo que ya sí se podría realizar la resta (pudiera ocurrir que tuviéramos que convertir más de 1 minuto a segundos).

4. Observamos la cantidad de minutos del minuendo y del sustraendo, y procedemos de forma similar que en el caso de los segundos.

5. Una vez efectuadas las restas de las tres columnas, revisamos si el número de segundos o el de minutos es mayor que 60, en cuyo caso tendríamos que dividir entre 60 para convertir en la unidad superior.

Por ejemplo, vamos a efectuar la resta: 21° 7’ 8’’ - 14° 30’ 26’’. Para ello, seguimos los pasos indicados.

1. Los colocamos alineados en columna:

2. Comprobamos que el número de grados del minuendo es mayor que el del sustraendo: 21 > 14, y por tanto la resta sí se puede realizar.

3. Observamos que no podemos restar los segundos, pues 8 < 26. Hemos de convertir uno de los siete minutos en segundos: 7’ = 6’ 60’’; por tanto,

21° 7’ 8’’ → 21° 6’ 68’’

Y ahora restamos los segundos:

4. Ahora nos fijamos en los minutos y vemos que no podemos restar, pues 6 < 30. Hemos de convertir uno de los veintiún grados en minutos: 21º = 20º 60’; por tanto,

21° 6’ 68’’ → 20° 66’ 68’’

Y restamos los minutos y los grados:

Así pues, 21° 7’ 8’’ - 14º 30’ 26’’ = 6° 36’ 42’’

Si te fijas en la cara o superficie que ves de muchos de los objetos que hay a tu alrededor, observarás que sus líneas de contorno son rectas, y que son figuras cerradas. Otros objetos tienen caras con lados circulares o curvos, pero ahora nos vamos a fijar en las caras con lados rectos, llamadas caras poligonales o, sencillamente, polígonos.

¿QUÉ ES UN POLÍGONO?

Los polígonos son figuras planas cerradas, limitadas por segmentos rectilíneos. Los elementos de un polígono son los lados, los vértices, los ángulos y las diagonales.

Los lados son los segmentos rectilíneos que delimitan al polígono.

Los vértices son los puntos donde se cortan los lados dos a dos.

Los ángulos son las regiones comprendidas entre cada par de lados.

Las diagonales son los segmentos que unen cada pareja de vértices no consecutivos.

CLASES DE POLÍGONOS

Según su número de lados, los polígonos se llaman:

Según la amplitud de sus ángulos, un polígono puede ser:

Convexo, si todos sus ángulos son menores que 180°.

Cóncavo, si alguno de sus ángulos es mayor que 180°.

Según la longitud de sus lados, los polígonos pueden ser:

Regulares, si tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

Irregulares, si tienen lados desiguales.

PERÍMETRO DE UN POLÍGONO

El perímetro de cualquier polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados.

Por ejemplo, vamos a calcular el perímetro, P, de cada uno de los polígonos de

las dos figuras siguientes.

Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 3 cm: P = 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4 = 12 cm

Para el polígono de cinco lados iguales cuyo lado mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 5 = 10 cm

Para el polígono cuyos lados, iguales dos a dos, miden 2 y 4 cm: P = 2 + 4 + 2 + 4 = 2 × 2 + 4 × 2 = 12 cm

Para el polígono de cuatro lados iguales cuyo lado mide 2 cm: P = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4 = 8 cm

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

En cualquier polígono regular podemos dibujar tantos triángulos en su interior como lados tenga el polígono. Todos los triángulos dibujados tienen un vértice común que es el centro del polígono.

El área de cada uno de esos triángulos será:

Siendo la base el lado (l) y la altura la apotema (a) del polígono:

Así pues:

El área del polígono será la suma de las áreas de los n triángulos, seis en el caso del hexágono anterior: Y sustituyendo los valores del lado y de la apotema en nuestro caso, tendremos

En general, para un polígono regular de n lados, su área se calcula así:

Los triángulos son polígonos de tres lados; una señal de tráfico de ceda el paso, una vela de windsurf o de un velero, y algunos sandwiches tienen forma de triángulos. Pero no todos son iguales, hay distintas clases de triángulos.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Según sea la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:

Equiláteros: tienen los tres lados iguales. Isósceles: tienen dos lados iguales. Escalenos: tienen los tres lados desiguales.

El que ves a continuación de color rojo es un triángulo equilátero, el de color azul es isósceles y el de color verde, escaleno:

También se pueden clasificar los triángulos según sean sus ángulos:

Acutángulos: si sus tres ángulos son agudos (< 90°). Rectángulos: si uno de sus ángulos es recto (= 90°). Obtusángulos: si uno de sus ángulos es obtuso (> 90°).

El de color rojo es un triángulo acutángulo, el de color azul es rectángulo y el de color verde, obtusángulo:

SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO

Los ángulos de cualquier triángulo suman entre los tres 180º. Si conocemos dos de ellos podemos calcular cuánto medirá el tercero. Por ejemplo:

En el primer triángulo: 60° + 70° + = 180° 130° + = 180° = 180° – 130° = 50°

En el segundo triángulo: 90° + + 50° = 180° + 140° = 180° = 180° - 140° = 40°

En el tercer triángulo: + 80° + 30° = 180° + 110° = 180° = 180° - 110° = 70°

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

En un triángulo, la base es uno cualquiera de sus lados y la altura es el segmento perpendicular a la base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto al

lado de la base. Para calcular la fórmula del área de un triángulo cualquiera, nos fijamos en la siguiente figura:

Vamos a calcular el área del triángulo rojo. Si trazamos desde el vértice C un segmento paralelo al lado AB, y de su misma longitud, y desde el vértice B otro segmento paralelo al lado AC, y de su misma longitud, obtenemos un romboide, que tiene la misma base y la misma altura que el triángulo. Como el área del romboide es: Área del romboide = base × altura

Y el triángulo ocupa la mitad de la superficie del romboide, resulta que:

El área de un triángulo es igual a su base por su altura partido por dos.Si quieres, puedes practicar hallando el área de estos triángulos:

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS

Si queremos dibujar un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y 4 cm, hemos de seguir estos pasos:

1. Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y trazamos con la regla un segmento de esa longitud. En sus extremos rotulamos los puntos A y B: 2. Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 5 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo izquierdo del segmento y trazamos un arco de circunferencia: 3. Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 4 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro extremo, el derecho del segmento, y trazamos otro arco de circunferencia que cortará al anterior en un punto, que rotulamos como C:

4. Unimos los dos extremos del segmento con el punto de corte, C, y el triángulo queda dibujado:

Si intentas construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 2 cm comprobarás que los arcos trazados desde los dos extremos del segmento no se cortan: es imposible situar el punto C y por tanto no se puede dibujar el triángulo.En cualquier triángulo debe cumplirse que cualquiera de sus lados ha de ser menor que la suma de los otros dos. En este último caso, 6 cm no es menor que 3 + 2 = 5 cm y, por tanto, el triángulo no se puede construir.

Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados. Si te fijas, cerca de ti hay muchos objetos cuya línea de contorno tiene forma de cuadrilátero: una ventana, la pantalla de un ordenador o de un televisor plano, un póster, una puerta o el trapecio que forma en el suelo la luz del Sol que entra por la ventana.

Los cuadriláteros son los polígonos que más abundan a nuestro alrededor, más que los triángulos y, por supuesto, que los pentágonos, hexágonos…

CLASES DE CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos y no paralelogramos.

Los paralelogramos son los cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos.

Son cuatro:

El cuadrado tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos (90°). El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos

(90°). El rombo tiene los cuatro lados iguales, pero sus ángulos no miden 90°. El romboide tiene los lados iguales dos a dos, pero sus ángulos no miden

90°.

Los cuadriláteros que no son paralelogramos son el trapecio y el trapezoide:

El trapecio tiene dos de sus lados opuestos paralelos. A esos lados se les llama bases.

El trapezoide no tiene ningún lado paralelo a su lado opuesto.

ÁREA DEL CUADRADO Y DEL RECTÁNGULO

Para calcular el área de estos dos paralelogramos, les dibujamos una cuadrícula, en la que el lado de cada cuadrado mida 1 unidad, por ejemplo, 1 centímetro:

Para el cuadrado, el primer paralelogramo: 3 × 3 = 9 cuadrados Área = 9 cm2

Para el segundo paralelogramo, el rectángulo: 6 × 3 = 18 cuadrados Área = 18 cm2

Así pues, las áreas del cuadrado y del rectángulo son: Área del cuadrado = lado × lado Área del rectángulo = base × altura

Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.

Queremos enlosar el suelo de una habitación que mide 6 m de larga por 3 m de ancha con baldosines cuadrados que miden 0,6 m de lado. ¿Qué superficie ocupa cada baldosín? ¿Qué superficie tiene el suelo de la habitación? ¿Cuántos baldosines serán necesarios?

El área de cada baldosín será: 0,6 × 0,6 = 0,36 m2

El área del suelo de la habitación será: 6 × 3 = 18 m2

Así que, para enlosar la habitación se necesitarán: 18 : 0,36 = 50 baldosines

ÁREA DEL ROMBOIDE

Para calcular el área del romboide, nos fijamos en que si lo cortamos por la línea de puntos y esa parte triangular la unimos al otro lado, la figura que resulta es un rectángulo cuya base y cuya altura miden lo mismo que las del romboide:

Como las dos figuras ocupan la misma superficie: Área del romboide = Área del rectángulo

Con lo que: Área del romboide = base × altura

ÁREA DEL ROMBO

Para obtener el área del rombo, nos fijamos en la figura que resulta si trazamos

paralelas a sus diagonales por los cuatro vértices:

Resulta un rectángulo cuya base mide lo mismo que la diagonal mayor, y cuya altura mide igual que la diagonal menor del rombo. Así

pues:Área del rectángulo = diagonal mayor del rombo × diagonal menor del rombo

Como los ocho triángulos rectángulos que se forman dentro del rectángulo son iguales, y dentro del rombo hay cuatro, la mitad de ellos será el área del rombo.

Es decir, el área del rombo será la mitad del área del rectángulo. Si quieres, puedes practicar con los ejemplos siguientes.

1. Halla el área de una cometa que tiene forma de rombo, cuyas diagonales miden 60 cm la mayor y 40 cm la menor.Aplicando la fórmula que acabamos de

ver, tendremos: 2. Queremos cubrir de césped artificial una terraza con forma de romboide, cuyas medidas son las de la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de césped nos

hacen falta?

Como Área romboide = base × altura

entonces: Área de la terraza = 4 × 2 = 8 m2

Es decir, nos hacen falta 8 m2 de césped artificial para cubrir toda la terraza.

Una caja de zapatos, un dado y muchos otros objetos con superficies planas que ves a tu alrededor, tienen forma poliédrica. Se llaman poliedros a los cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Los poliedros se clasifican en prismas y en pirámides.

LOS PRISMAS

Los prismas tienen dos caras (sus bases) que son iguales y paralelas entre sí. Sus caras laterales son paralelogramos.

Los elementos de un prisma son los siguientes:

Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta.

Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma.

Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Las diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos

del prisma. Se pueden trazar las diagonales de una cara o entre dos caras.

Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…

Si cortamos un prisma por una de sus aristas laterales y por las de sus bases, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo. Si lo hacemos al revés, primero dibujamos su desarrollo y luego lo recortamos del papel, lo podremos construir uniéndolo por sus aristas.

LAS PIRÁMIDES

Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono cualquiera, y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:

La base: es la cara en la que se apoya la pirámide. Las caras laterales: son las caras que comparten uno de sus lados con la

base. La suma de sus áreas es la superficie lateral de la pirámide. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Las apotemas: son las alturas de las caras laterales de la pirámide.

Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal...

Al cortar una pirámide por una de sus aristas laterales y por las de su base, y extenderla sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo. El desarrollo de una pirámide recta está formado por la base y por tantos triángulos como lados tenga el polígono de la base.

LOS POLIEDROS REGULARES

Decimos que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares iguales.

En los poliedros regulares se cumple una curiosa relación:

Número de caras + número de vértices = número de aristas + 2

Si quieres comprobarla, fíjate en el número de caras, de vértices y de aristas de

cada uno de los siguientes poliedros regulares:

Solo hay cinco poliedros regulares, que son: el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

El tetraedro tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.

El cubo tiene 6 caras, que son cuadrados.

El octaedro tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.

El dodecaedro tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

El icosaedro tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

Una lata de refresco, la punta de un lapicero y un balón son cuerpos geométricos que tienen parte de su superficie, o toda ella, curva. La lata es un cilindro, la punta del lápiz es un cono y el balón una esfera. A estos tres cuerpos, cilindro, cono y esfera, se les llama cuerpos redondos.

EL CILINDRO

Las columnas de un templo clásico, un rodillo de amasar o el rulo de una apisonadora son también ejemplos de cilindros. El cilindro se forma al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, que se mantiene fijo, como en una puerta giratoria. Los elementos del cilindro son:

Las bases: son dos círculos iguales. El radio del cilindro: es el radio de las bases.

El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el lado alrededor del cual el rectángulo gira para formar el cilindro.

La generatriz: es el lado del rectángulo opuesto al eje de giro. La altura del cilindro: es la longitud de la generatriz. La superficie lateral: es la cara curva del cilindro.

Si cortamos el cilindro por su superficie lateral, en vertical, y por los bordes de sus bases, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su desarrollo:

EL CONO

El cucurucho de un helado y el tejado de una choza son ejemplos de conos. El cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Los elementos del cono son:

La base: es el círculo sobre el que se apoya. El radio del cono: es el radio de la base. El vértice: es la cúspide o pico del cono. La generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma el cono

al girar o, lo que es lo mismo, cualquier segmento trazado entre el vértice del cono y un punto del contorno o circunferencia de su base.

El eje: es la recta imaginaria sobre la que se encuentra el cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo para formar el cono.

La altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo rectángulo.

La superficie lateral: es la cara curva del cono.

Si cortamos el cono por su superficie lateral, siguiendo la generatriz, y por el borde de su base, y lo extendemos sobre una superficie plana, obtenemos su

desarrollo:

LA ESFERA

Una pelota de playa, una naranja o una canica son ejemplos de esferas. La esfera se forma por el giro de un semicírculo alrededor de su diámetro. Los principales elementos de una esfera son su centro y su radio.

La esfera no tiene desarrollo como los demás cuerpos geométricos.

Al cortar una esfera de distintas maneras, con superficies planas, obtenemos distintas figuras: hemisferio, casquete esférico o zona esférica.

El hemisferio, si la cortamos por la mitad. El casquete esférico, si cortamos la esfera con una sola superficie plana y no por el centro. En la Tierra, que es prácticamente una esfera, llamamos casquetes

polares a los situados junto al polo norte y al polo sur.

La zona esférica, si la cortamos con dos superficies planas y paralelas.

LA ESFERA TERRESTRE

Como la Tierra tiene forma casi esférica (está un poco achatada por los polos), la llamamos la esfera terrestre.

Sobre ella trazamos unas líneas imaginarias, que nos permitirán precisar la posición de cualquier punto sobre ella, por ejemplo, la situación de tu pueblo o ciudad. Esas líneas son: el eje terrestre, el ecuador, los paralelos y los

meridianos.

El eje de rotación o eje terrestre, en cuyos extremos se sitúan el polo norte y el polo sur.

El ecuador, que es la circunferencia máxima perpendicular al eje terrestre.

Los paralelos, circunferencias paralelas al ecuador, menores que él.

Los meridianos, semicircunferencias que unen los polos. Se llama meridiano cero al que pasa por Greenwich, que es una ciudad inglesa muy cerca de Londres.

¿Has oído hablar alguna vez de “un sistema de coordenadas”? Vamos a aprender aquí a interpretar y representar puntos en un sistema de coordenadas, pero antes hemos de saber representar un punto sobre un eje…

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS SOBRE UN EJE

Un eje es una línea recta, horizontal o vertical, sobre la que señalamos un punto de referencia, llamado origen, y sobre el que representamos los números enteros:

Si el eje es horizontal, hacia la derecha se representan los enteros positivos, y hacia la izquierda los enteros negativos.

Si el eje es vertical, hacia arriba se representan los enteros positivos, y hacia abajo los enteros negativos.

Por ejemplo, si representamos los puntos A(3), B(-2), C(5), D(-3), E(-1) y F(1), tendremos que contar desde el origen, el cero, tantas unidades hacia la derecha (si el número es positivo) o hacia la izquierda (si el número es negativo) como indique el valor sin signo (a ese valor se le llama valor absoluto) del número que queremos representar:

SISTEMA DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas está formado por dos ejes perpendiculares, que se cortan en un punto O, que se llama origen de coordenadas. Sobre cada eje se señalan unas marcas o que se corresponden con los números enteros, positivos y negativos, tal y como acabamos de ver, al representar puntos sobre un eje.

Al eje horizontal se le llama eje de abscisas, y se le representa por la letra X.

Al eje vertical se le llama eje de ordenadas, y se le representa por la letra Y.

Si prolongamos los dos ejes, vemos que el plano queda dividido en cuatro

regiones, llamadas cuadrantes, que se numeran así:

Un punto P del plano quedará determinado por un par de números (x, y), que son las coordenadas cartesianas del punto P.

Para facilitar la lectura de las coordenadas de cualquier punto marcado en el plano, o para representar un punto del que conocemos sus coordenadas, a veces el sistema de coordenadas aparece cuadriculado.

Veamos ahora, con algunos ejemplos, las coordenadas de puntos en cada uno de los cuadrantes, y sobre los ejes de coordenadas.

Primer cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas positivas (+, +). Por

ejemplo, los puntos A(3, 1), B(2, 2) y C (4, 3) pertenecen al I cuadrante:

Segundo cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son negativa la x y positiva la y (-, +). Por ejemplo, los puntos D (-3, 1), E (-2, 2) y F (-4, 3) pertenecen al II

cuadrante:

Tercer cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son ambas negativas (-, -). Por ejemplo, los puntos G (-3, -1), H (-2, -2) e I (-4, -3) pertenecen al III cuadrante:

Cuarto cuadrante.

Las coordenadas de los puntos de este cuadrante son positiva la x y negativa la y (+, -). Por ejemplo, los puntos J (3, -1), K (2, -2) y L (4, -3) pertenecen al IV

cuadrante:

Sobre los ejes de coordenadas.

En este caso, de coordenadas de puntos que están sobre los ejes de coordenadas, pueden darse dos situaciones: que el punto esté sobre el eje X o que esté sobre el eje Y.

Si está sobre el eje X, las coordenadas del punto serán (x, 0), siendo x positiva o negativa, según si está a la derecha o a la izquierda del origen. Por ejemplo, los puntos M(1, 0), N (-1, 0) y P (4, 0) están sobre el eje X: Si el punto está sobre el eje Y, las coordenadas del punto serán (0, y), siendo y positiva o negativa, según si está por encima o por debajo del origen. Por

ejemplo, los puntos Q (0, -3), R (0, 1) y S (0, -1) están sobre el eje Y:

Si quieres practicar, puedes representar los puntos siguientes (además, uniéndolos obtendrás un dibujo…): A (0, 9), B(5, 2), C(0, 2), D(-8, 2), E(0, 8), F (0, 0), G(8, 0), H(6, -3), I(-6, -3), J(-8, 0), K(0,0)

Al estudiar las figuras geométricas es frecuente encontrarnos con que “una figura es simétrica de otra” o que “una figura se ha obtenido por traslación de otra”.

Vamos a estudiar en qué consisten las simetrías y las traslaciones, apoyándonos en una cuadrícula, que nos va a facilitar su comprensión.

Una cuadrícula también nos va a permitir hallar el área de figuras dibujadas sobre ella, siempre que su trazo englobe cuadros enteros o partes de cuadros con las que sumemos cuadros completos.

SIMETRÍAS

Una figura es simétrica de otra con respecto a una línea, que llamamos eje de simetría, si cumple que:

1. las dos figuras son idénticas, pero una mira hacia un lado y la otra hacia el lado contrario (tienen diferente orientación);

2. el segmento que une cada punto de la figura con su punto simétrico es perpendicular al eje de simetría;

3. la distancia de cualquier punto al eje de simetría es igual que la de su simétrico a dicho eje.

Observa que los dos muñecos tienen la misma forma y tamaño, pero uno mira hacia la derecha y el otro hacia la izquierda:

Además, la línea que une los dos ojos es perpendicular al eje, y la distancia que hay entre cada uno de ellos y el eje es la misma.Aunque habitualmente cuando dibujamos una figura simétrica a otra elegimos un eje vertical, podemos obtener figuras simétricas respecto a un eje en cualquier otra dirección.

¿No te recuerda el eje de simetría a la superficie de un espejo en el que ves reflejada tu propia imagen?

TRASLACIONES

Trasladar una figura es desplazar todos sus puntos una misma distancia, de manera que la figura resultante tiene la misma forma y orientación que la figura original, lo único que cambia es su posición. Veámoslo con el siguiente ejemplo:

El pez rojo lo hemos obtenido trasladando el azul 5 cuadros hacia abajo.

El pez verde lo hemos obtenido trasladando el azul 10 cuadros hacia la derecha.

El pez naranja lo hemos obtenido trasladando el azul 12 cuadros hacia la derecha y 6 cuadros hacia abajo.

Todos tienen la misma forma, tamaño y orientación (los cuatro miran hacia la derecha).

ÁREAS DE FIGURAS SOBRE CUADRÍCULA

Para medir la superficie de una figura plana, dibujamos una cuadrícula que la contenga. Si cada cuadrado de la cuadrícula equivale a una unidad de superficie, calculando el número de cuadrados que quedan comprendidos dentro de la figura, tendremos una medida de su área.

El área de una figura es la medida de su superficie.

La superficie de la cruz de color rojo ocupa 4 cuadrados (o lo que es lo mismo, la cruz tiene un área de 4 cuadrados). Para medir los del dibujo del barco azul, ten

en cuenta que tiene medios cuadrados coloreados; si los sumamos obtenemos un área de 3 cuadrados.

La flecha verde ocupa 6 cuadrados en total. Fíjate que, en este caso, el lado izquierdo de la punta de flecha junto con el lado derecho suman 2 cuadrados (pues la línea de uno cualquiera de los lados es la diagonal del rectángulo formado por dos cuadrados, y lo divide en dos partes iguales).

En figuras con líneas curvas, tenemos que fijarnos en si algunas de las superficies limitadas por esas líneas y los cuadrados se complementan entre sí. Por ejemplo, en la figura de la izquierda cada trozo coloreado de rojo unido a un trozo de color verde suma un cuadrado. Su área es, por tanto, de 6 cuadrados:

En la figura central, cada trozo verde sumado a cada trozo rojo son 4 cuadrados. Por tanto, esta figura tiene un área de 12 cuadrados. En la de la derecha, cada trozo rojo sumado a un trozo verde da 2 cuadrados; su área es, por tlanto, de 8 cuadrados.