Unitat 7: Introducció a les funcions

1. Introducció

2. Eixos de coordenades

3. Expressió de funcions

4. Funcions abstractes: x i y

5. Funcions lineals (de proporcionalitat directa) y=k·x

6. Funcions afins y=k·x+a

7. Funcions de proporcionalitat inversa y=k/x

1. Introducció

-Magnituds: Aspectes o fenòmens de la realitat que són mesurables:

distància, preu, superfície, temperatura, volum, temps, velocitat, pressió,

etc.

Sabem que n'hi ha que es relacionen entre si:

-Magnituds directament proporcionals

-Magnituds inversament proporcionals

Aquesta relació s'expressa mitjançant

-Les funcions: Són relacions de dependència entre dues variables tals que

cada valor de la variable independent li correspon un únic valor de la

variable dependent.

2. Eixos de coordenades (el terreny de joc)

Serveixen per representar punts concrets en el pla.

-Eix x: eix abscisses.

-Eix y: eix d'ordenades.

-Quatre quadrants.

-Origen de coordenades.

Les coordenades del

punt P són P(3,5).

3 és l'abscissa (x) i 5 és

la ordenada (y).

Exercicis 8 i 9 pàg.157

3. Expressió de funcions-Exemple1: kg de taronges que compro i el seu preu (m.directament prop.)

kg que compro preu que pago

1 1,25 euros

2 2,50 euros

3 3,75 euros

4 5 euros

a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)

Si P és "preu que pago" i n és

"kg que compro":

P = 1,25 · n

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

n: número de kg que compro

P: p

reu

qu

e p

ag

o

c) Gràfica en eixos de coordenades: Variabledependent Variable

independent

1,25 = 1,25 · 1

2,50 = 1,25 · 2

3,75 = 1,25 · 3

5,00 = 1,25 · 4

0 1 2 3 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

c: costat del quadrat

A: à

rea

de

l qu

ad

rat

-Exemple 2: àrea d'un quadrat i longitud del seu costat

costat Àrea

1m 1 m2

2m 4 m2

3m 9 m2

4m 16 m2

a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)

Si A és "àrea" i c és "costat":

A = c2

c) Gràfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

1 = 12

4 = 22

9 = 32

16 = 42

Exercici: Taula, expressió i gràficade "litres de gasolina consumits"i "km recorreguts" d'un cotxeque gasta 7l/100km

-Exemple 3: Un cotxe va a 15m/s i frena uniformement, fins a aturar-se,

disminuint 3m/s cada segon. Magnituds: temps i velocitat

temps (s) velocitat (m/s)

0 15

1 12

2 9

3 6

4 3

5 0

a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)

Si v és "velocitat" i t és "temps":

v = 15 - 3 · t

c) Gràfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

t: temps

v: v

elo

cita

t

-Exemple 4: Un venedor de cotxes té un sou fix de 900 euros i cobra a

més 50 euros per cada cotxe venut. Magnituds: sou i cotxes venuts.

cotxes venuts (n) Sou (euros)

0 900

5 1150

10 1400

15 1650

20 1900

25 2150

a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)

Si S és "sou" i n és "cotxes venuts":

S = 900 + 50 · n

c) Gràfica en eixos de coordenades:

Variabledependent

Variableindependent

0 5 10 15 20 250

500

1000

1500

2000

2500

n: cotxes venuts

S: s

ala

ri

Exercici: Taula, expressió i gràficade "preu que pago" i "nombre deretoladors que compro" en unabotiga on els retoladors valen 2 euros.

4. Funcions abstractes: x i y

Aquestes funcions ens expressaven problemes reals.

-En una funció abstracta:

la variable dependent serà y

la variable independent serà x

P = 1,25 · n A = c2 v = 15 - 3 · t S = 900 + 50 · n

EXEMPLE:

y = 3x + 1

Variabledependent

Variableindependent

-Per representar-la gràficament haurem de fer una taula de valors

4. Funcions abstractes: x i y

y = 3x + 1

x y=3x+1

-2 y=3·(-2)+1=-5

-1 y=3·(-1)+1=-2

0 y=3·0+1=1

1 y=3·1+1=4

2 y=3·2+1=7

Variabledependent

Variableindependent

Exercici: dibuixar funcions en eixos

Representen parells de magnituds directament proporcionals.

5. Funcions lineals: y=kx

y = k · x

kg que compro preu que pago

1 1,25 euros

2 2,50 euros

3 3,75 euros

4 5 euros

Exemple de les taronges:

1,25 : 1 = 1,25

2,50 : 2 = 1,25

3,75 : 3 = 1,25

5,00 : 4 = 1,25

1,25 és la constant de proporcionalitat "k". P = 1,25 · n

V. dependent

V.independent

nombre

-La v.ind. té per coeficient la constant de proporcionalitat (k).

-Sempre passa per l'origen de coordenades (0,0).

-Com més gran és k, més gran és el pendent de la funció.

-Si k és positiva, la funció lineal és creixent.

-Si k és negativa, la funció lineal és decreixent.

6. Funcions afins: y=kx+a

y = k · x + a

V. dependent

V.independent

nombre

-La v.ind. té per coeficient la constant de proporcionalitat (k).

-Com més gran és k, més gran és el pendent de la funció.

-Si k és positiva, la funció lineal és creixent.

-Si k és negativa, la funció lineal és decreixent.

-El nombre "a" indica el valor per al qual la funció tallarà l'eix

d'ordenades (y)

nombre

Representen parells de magnituds directament proporcionals.

7. Funcions de proporcionalitat inversa: y=k/x

-Exemple 5: En un dòmino de 28 fitxes, quantes fitxes toquen per jugador?

jugadors (x)

fitxes c/jug. (y)

1 28

2 14

4 7

7 4

14 2

28 1

a) Taula de valors: b) Expressió algebraica (funció)

Si x és "jugadors" i y és "fitxes/jug":

y = k / x

Variabledependent

Variableindependent

Nombre de jugadors (x) i nombre de fitxes per jugador són mgn.inv.prop.

1 · 28 = 28

2 · 14 = 28

4 · 7 = 28

7 · 4 = 28

14 · 2 = 28

28 · 1 = 28

28 és la constant de proporcionalitat "k"

x · y = k ; y = k/x

c) Gràfica en eixos de coordenades:

La funció forma un corba anomenada "hipèrbola"

7. Funcions de proporcionalitat inversa: y=k/x

y = k / x

V. dependent

V.independent

nombre

-Les funcions de proporcionalitat inversa dibuixen una corba

anomenada hipèrbola.

-La v.ind. està al denominador.

-Si k és positiva, la funció és decreixent.

-Si k és negativa, la funció lineal és creixent.

EN RESUM:

-Funcions lineals:

-Funcions afins:

-Funcions quadràtiques:

-Funcions de

proporcionalitat inversa:

y = k · x

y = k · x + a

y = k · x2 + a

y = k / x

Recta

Recta

Paràbola

Hipèrbola