UNIVERSIDADE DE LISBOA Faculdade de CinciasDEPARTAMENTO DE MATEMTICA

I

INTRODUO LGICA MATEMTICA

Armando Machado

Verso mais completa destinada aos professores

2002

REANIMATProjecto Gulbenkian de Reanimao Cientfica da Matemtica no Ensino Secundrio

1. IntroduoA actividade Matemtica, tanto ao nvel relativamente elementar do Ensino Bsico e Secundrio como a nveis mais profissionais, tem um carcter multifacetado, que inclui, por exemplo: a) A utilizao e construo de algoritmos para resolver, de modo sistemtico, questes com que nos deparamos com frequncia; b) A formao das imagens mentais fecundas em que se apoia a intuio, que possibilita o ataque a problemas novos; c) A capacidade de reconhecer semelhanas em situaes aparentemente diferentes, que permitam trat-las de modo unificado; d) A realizao de experincias que permitam formular conjecturas a serem verificadas posteriormente. Muitos dos aspectos atrs referidos so compartilhados com outras actividades do esprito humano, em particular com as cincias com carcter mais experimental. H, no entanto, um aspecto que, coexistindo com os restantes e no substituindo-os, especialmente distintivo da actividade Matemtica, a capacidade de clarificar conceitos e a de argumentar, isto , a de adquirir (e transmitir) certezas a propsito da validade de certas afirmaes, a partir do reconhecimento da validade de outras, normalmente mais simples. Essa capacidade de clarificar conceitos (apresentar definies) e de argumentar (exibir demonstraes), capacidade a que, de forma simplificada, daremos o nome de raciocnio lgico, ou raciocnio matemtico, parece ter surgido historicamente, de forma sistemtica, h mais de dois mil anos com a Escola dos gemetras gregos e desenvolve-se gradualmente ao longo da vida de muitos de ns. No entanto, num nmero infelizmente grande de casos, constata-se o aparecimento de bloqueamentos que impedem o estudante de raciocinar correctamente em termos lgicos, mesmo em situaes por muitos consideradas como extremamente simples. Se mesmo para um estudante que foi adquirindo de forma satisfatria a capacidade de raciocinar em termos matemticos pode ser culturalmente interessante uma reflexo sobre o modo como o raciocnio se desenvolve, pensamos que uma tal reflexo, se feita de um modo equilibrado, pode contribuir para ajudar o estudante com dificuldades em pensar matematicamente. uma tentativa para estimular uma reflexo sobre as bases do Raciocnio Matemtico aquilo que vamos desenvolver em seguida. Trata-se de um texto com carcter introdutrio, sem preocupaes de carcter formal, que se justificariam, por exemplo, num curso de nvel universitrio. Trata-se tambm de um texto que contm aqui e ali algumas afirmaes que, de um ponto de vista estrito, podem ser consideradas como no totalmente correctas. Pareceu-nos no entanto o compromisso possvel para evitar entrar em detalhes que so delicados e incompatveis com a maturidade matemtica do estudante nesta fase. Mais do 1

que uma exposio completa dos assuntos, o que pretendemos dar um empurro no bom sentido.

2. As expresses da linguagem matemtica Os conectivos lgicosAs expresses que a linguagem matemtica utiliza no so essencialmente muito diferentes daquelas que utilizamos no dia a dia, quando falamos dos mais variados assuntos. Desse ponto de vista poderamos ser levados a pensar que o estudo dessas expresses se reduziria quilo a que damos usualmente o nome de Gramtica. De facto no isso exactamente o que se passa: Por um lado, e como ser exemplificado adiante, existem por vezes pequenas diferenas entre o modo como uma frase interpretada num contexto matemtico e o significado que daramos a uma frase anloga num contexto corrente; por outro lado o tipo de anlise que interessa fazer para perceber o significado das expresses utilizadas em Matemtica no aquele que feito usualmente no estudo da Gramtica. Vamos iniciar em seguida uma anlise das expresses da linguagem matemtica que se revela especialmente adaptada compreenso desta. H essencialmente dois tipos de expresses com significado matemtico, cada um dos quais, como estudaremos mais tarde, admite uma variante. Chama-se termo, ou designao, a uma expresso cujo papel nomear, ou designar alguma coisa. Apresentamos a seguir algumas expresses que podem aparecer em contextos matemticos e que so termos. % o mais pequeno nmero primo maior que "!!! a soma de 4 parcelas iguais a ( # ( & o nmero real positivo cujo quadrado dois a recta que passa pelo ponto T e paralela recta < (no ltimo exemplo supomos naturalmente que, no contexto em questo, sabemos o que so o ponto T e a recta