intro mate

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Quinto Ao

lgebra 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Quinto Ao

INDICE

Valor Absoluto .. 03

Inecuaciones con Valor Absoluto... 11

Logaritmos . 17

Funcin Exponencial ........ 17

Funcin Logartmica .. 29

Propiedades Generales:

Cologaritmo y Antilogaritmo . 42

Relaciones y Funciones.. 51

Lmites. 57

Derivadas 63

Integrales. 69

Frmulas . 75

Miscelnea .. 80


lgebra 2

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO V.L.E.P.

TELF.:222656 /#951875356

DPTO. DE PUBLICACIONES BELLA.


lgebra 3

TEMA: VALOR ABSOLUTO

Definicin:

El valor absoluto de un nmero real a se denota por |a| y se define:

0aSia

0aSiaa

Ejm: |2| = 2 : 5)5(|5|

Si

31xsi,x31

31xSi,1x3

01x3si),1x3(

01x3si,1x3|1x3|

Interpretacin geomtrica:

- Geomtricamente el valor absoluto de la diferencia de dos nmeros a y b denotado |a b| es la distancia que hay ente ellos en la recta numrica:

|a b|

| |

a b

Teorema:

- valor de a: |a| 0 Se cumple:

Si a = 0 entonces |a| = |0| = 0 |a| = |-a| a |a| -a |a|

Supngase: que a 0 b 0 entonces:

2baba


lgebra 4

|a| |b| = |ab|

0b,|b|

|a|

b

a

|an| = |a|n , n entero

Desigualdad Triangular:

Dada por: |a + b| |a| + |b|

Demostracin:

i) a |a| y b |b| |a| + |b| a + b

ii) -a |a| y b |b| -(a + b) |a| + |b|

|a| + |b| -(a + b)

De donde: |a + b| |a| + |b|

Ecuaciones con Valor Absoluto:

El siguiente teorema es utilizado en la solucin de ecuaciones con valor absoluto:

Teorema:

Este teorema establece que el universo U (es decir el campo de valores admisibles) de la ecuacin |a| = b esta determinado por la condicin b 0; la cual debe ser resuelta previamente una vez hallado este universo U se pasa a resolver las dos ecuaciones a = b y a = -b1 finalmente se comprueba si estas soluciones se hallan dentro del universo U.

Ejm: |x| = 4

Como: b = 4 0 entonces el universo U es todo R; dentro del cual se resuelve la ecuacin:

|x| = 4 x = 4 x = -4


lgebra 5

As:

El C.S. = Un {4 , -4}

= R n {4 , -4}

= {4 , -4}

Teorema: Dados a, b R

Si |a| = |b| a = b a = -b

Ejm:

Resolver la ecuacin:

|x2 4x| = |2x 8|

a = b x2 4x = 2x 8

x2 6x + 8 = 0

(x 4) (x 2) = 0 2x

4x

a = -b x2 4x = -(2x 8)

x2 2x -8 = 0

(x 4) (x + 2) = 0 2x

4x

C.S. = {4 , 2 , -2}


lgebra 6

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Resolver: |x 1| = -3x

Rpta.:

2. Resolver la ecuacin: |x + 1| + |x 1| = 6.

Rpta.:

3. Resolver:

(x 3)2 8 |x 3| + 15 = 0

Rpta.:

4. Dados los conjuntos de nmeros reales:

S = {P R / 2P + 6 P }

T = {q R / |aq + b| |a + b aq|,

-2b a 0}

Entonces: S T es:

Rpta.:

5. Si:

A = {x R / |3x 1| = 2x + 5}

B = {x R / |x + 2| + 6 = 3x}

Hallar la suma de los elementos de

A B:

Rpta.:

6. Resolver la siguiente ecuacin:

|5x 3| = 4x + 1

Rpta.:

7. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x

|x 3| + |y 4| = 7

|x 3| - y = 1

Rpta.:


lgebra 7

8. Resolver:

|x|2 - |x| - 42 = 0

Rpta.:

9. Resolver la ecuacin siguiente:

|x2 + x 12| = 3 x

Rpta.:

10. Las soluciones de la ecuacin:

|x| + x3 = 0

Rpta.:

11. El conjunto solucin de:

|2x 5| = 4

Rpta.:

12. Cuntos elementos tiene el conjunto solucin de la ecuacin

|x2 2| = 2 3x?

Rpta.:

13. Indicar las soluciones (la cantidad) de la ecuacin.

x2 - |x| + 0,125 = 0

Rpta.:

14. Resolver:

||x2 1| - x | = x

Rpta.:

15. Resolver:

||x| - 1| = 2- x

Rpta.:


lgebra 8

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Indicar la mayor solucin al resolver:

12xx

6xx2

2

a) -2 b) 2

c) 0 d) 3

e) -3

2. Resolver:

3x25x

a) -2 b) 8/3

c) 3/8 d) -1/2

e) a y b

3. Cuntos elementos tiene el C.S. de:

|x2 2| = 2 3x?

a) 4 b) 3

c) 3 d) 1

e) 0

4. Proporcionar el cardinal del conjunto solucin de la ecuacin:

|x + 3| - |x 1| = x + 1

a) 5 b) 4

c) 3 d) 1

e) 2

5. Calcular:

x

|20x3||20x5|E

si: x -3 , -2

a) -2 b) 1

c) 3 d) 2

e) 5

6. Indicar la suma de las soluciones:

41x

1x3

a) 41 / 7 b) 38 / 7

c) 13 / 7 d) 19 / 5

e) 32 / 5


lgebra 9

7. Si: x1 y x2 son las soluciones de:

||15 2x| - 4| = 8

Calcular |x1 x2|

a) 8 b) 10

c) 11 d) 14

e) 12

8. Indicar el producto de las soluciones:

|x2 6| = |x|

a) 18 b) -18

c) 36 d) -24

e) -20

9. Indicar la suma de las soluciones de:

3 |x + 1| + |x 8| = 19

a) 4/3 b) 9/4

c) 5/7 d) 1/2

e) 11/6

10. Resolver:

|x 2| + |x 3| = |2x - 5|

a) x - , 2 3 , +

b) x - , -1 3 , +

c) x R

d) x

e) x - , 4

11. Cuntos valores de x verifican la ecuacin:

|x + 3| = |2x 4| + 5?

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) Ninguna

12. Resolver:

||x| - 1| 2 x

a) {3/2} b) {-3/2}

c) {1/2} d) {3/2 ; 1/2}

e) {3/2 ; 1/4}

13. Resolver:

||x + 4| +4| -2 = 0

Indicar la suma de todos los valores que asume x

a) -8 b) -6

c) 3 d) 0

e) No existe tal suma

14. Indicar una raz al resolver:

06|1x2|2

7

2

1x2

2


lgebra 10

a) 1 b) -2

c) 3/2 d) -5/2

e) Ms de una es correcta

15. Las soluciones de la ecuacin.

|18 3x x2| = 3 x son

a) -5 y 3 b) -7 y -5

c) -6 y 2 d) -5; -7 y 3

e) -5 ; -6 y 3

16. La suma de las valores de y es:

y 2 |x| = -3

|y| + x = 3

a) -2 b) 6

c) 7 d) 10

e) 13

17. Las soluciones de la ecuacin:

x2 . 3

x + 3.+3

|x5|+ 6 = x

2 . 3

|x5|+ 8+ 3

x+1

a) x = {-1/3 , 1/3}

b) - x 5

c) 5 x

d) x = {-1/3 , 1/3} - x 5

e) x1 =-1/30 ; x2 =1/3 ; 5 x

18. Despus de resolver la ecuacin:

||x 5 | + 3| = 2, se puede decir que:

a) x = 5 b) x = 8

c) x = 0 d) es una indet..

e) es imposible

19. Resolver: (x1 + x2)

|x + 9| = 16

a) -12 b) -16

c) -4 d) 9

e) 15

20. Resolver:

|x2 4| = 5

a) {3 , -3} b) {-3}

c) {1 , -1} d) {3}

e) R


lgebra 11

TEMA: INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Sabemos: 0a,a

0a,a|a|

La solucin de inecuaciones con Valor absoluta se basa en los siguientes teoremas: Sean x a R entonces:

o Si |x| a a 0 -a x a o Si |x| a a 0 -a x a o Si |x| a a 0 x -a o Si |x| a a 0 x -a

Teorema:

Dados a,b R:

1. |a| |b| (a + b) (a - b) 0 2. |a| |b| (a + b) (a b) 0 3. |a| |b| (a + b) (a b) 0

Ejm:

Resolver: |2x 3| 1

|2x 3| 1 1 0 -1 2x 3 2

1 0 1 x 2

1 x 2

C.S. -1 , 2

Si |x| a , donde a 0

De donde viene:

a) Si x 0 entonces |x| = x x a

b) Si x 0 entonces |x| = -x -x a -a x

|x| a se cumple que: -a x a

se cumple lo mismo para |x| a , donde a 0


lgebra 12


1. Resolver la siguiente inecuacin:

|3x 5| 7

Rpta.:

2. Resolver:

|4x 3| 5

Rpta.:

3. Resolver la siguiente inecuacin:

|x2 6x + 8| 4 x

Rpta.:

4. Resolver:

|x2 2x 5| |x

2 + 4x 7|

Rpta.:

5. Resolver:

|9 x2| 7

Rpta.:

6. Resolver;

|x + 1| - |3x + 7| 0

Rpta.:

7. Determinar la solucin de:

0|8x7||1x2|

|8x||3x2|

Rpta.:

8. Resolver:

|3x 1| |x|

Rpta.:

9. Si:

A = {x R / 2- |2x + 3| 3}

B = {x R / 2- |x + 2| 0}

Hallar: (B A)

Rpta.:


lgebra 13

10. Hallar el conjunto solucin:

|x + 6| |x + 9| + |x 2|

Rpta.:

11. Hallar el C.S. de:

||x 3| + 3| -2

Rpta.:

12. Si:

|2x|

1

1x12

5/RxA

Hallar: AC

Rpta.:

13. Hallar el menor de los nmeros M tales que.

5,2xsi,M6x

9x

Rpta.:

14. Hallar el C.S.:

3x2 x

Rpta.:

15. Hallar el nmero de elementos del siguiente conjunto:

{x Z / |2x 3| |x + 6|}

Rpta.:


lgebra 14


1. Si: 6;5

1

x

2; determinar el

menor valor entero de M para que se cumpla:

M6x

3x

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 1

2. Resolver:

|x3 1| x

2 + x + 1 es:

a) 1 x 2

b) 0 x 1

c) 0 x 2

d) -1 x 0

e) 0 x 2

3. La solucin d la inecuacin:

a) 2 4 2 x -2

b) 2 4 2 x -2

c) 2 4 2 x 2

d) 2 4 2 x -2 ; -2 x 2 e) - x 2

4. Hallar los valores de x

X2 + 4 |x + 2| 20, es:

a) - x 4

b) 4 x

c) -3 x 4 d) Ninguna valor e) Todo valor de x

5. La solucin de la inecuacin:

|x + 2 x2| |x

2 3x + 4| es:

a) 1 x 3

b) - x 1

c) - x 1 ; 1 x 3

d) - x 3

e) 3 x

6. La solucin de:

|x3 7x + 6| 19x x

3 18 es:

a) x - , -3 -3 , 1

b) x -3 , 1 3 ,

c) x - , 1 3 x

d) - x 1 ; 1 x

e) x - , 0 3 ,


lgebra 15

7. El intervalo que satisface al siguiente sistema de inecuacin:

|x2 4| 5 (1)

|x2 5x + 6| (2)

a) 1 x 3

b) 1 x 3

c) 1 x 3

d) -3 x 3

e) -3 x 4

8. Resolver:

|2x2 + x 5| x

2 + 2x 3

a) x - , 1

b) x 1 , 2

c) x - ; -3 + 10

d) x - , 6

1053

e) x - ,6

1053 2,

9. Resolver:

|x 4| - |x 2| |x 1|

Indique la suma de los valores naturales menores que 15

a) 102 b) 103

c) 104 d) 105

e) N.A.

10. La desigualdad:

-x2 + 3 |x| + 28 0

Es equivalente a:

a) x 7

b) -3 x 3

c) x 3 x -3

d) x -7 x 7

e) x -3 x 7

11. Para cuantos valores enteros se verifica:

|5x 10| + |14 7x| |2x x 0 y b 1) es el exponente x a que debe elevarse la base b (bx) para obtener N.

Notacin: Nmero

Log Nb

=x

Base

Se lee Logaritmo del nmero N en base b es igual a x

Por definicin: Si NbxNogl x

b

Esta relacin puede ser en funcin exponencial o funcin logartmica:

1. .aLogaritmicFuncionyxlogxNlogbb

2. ontencialexpFuncionybNb xx Ejemplos:

5x by5xybSi

ylog5xyxlogSibb

FUNCIN EXPONENCIAL: Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teora de exponentes, restringir nmeros reales positivos y los exponentes a nmeros racionales.

1) yxyx aaa 7) xyyx a)a(

2) yx

y

x

aa

a 8) nnn baab

3) xxx b.a)ab( 9) 0b,

b

a

b

a

n

nn


lgebra 18

4) 0b,b

a

b

a

x

xx

10) n/mn m aa

5) 0a1a0 11) mnm n aa

6) 0a,a

1a

x

x 12)

mn nm n baba

Definicin: La funcin exponencial de base a, se define de la siguiente manera:

RD;1Ra,a)x(f fx

Observacin: Por qu se excluye a, a = 1? Tambin debemos excluir las bases negativas, ya que de lo contrario tendramos que excluir muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2)1/2, (-1) 3/8, etc., no estn definidas en el sistema de nmeros reales. Grfica de Funciones Exponenciales. a) Cuando la base a < 0,1>:

En el grfico se observa:

2x1x aa

)x(f)x(f)xx(f 2121

,0RRD ff

b) Cuando la base a < 1, >:

En el grfico se observa:

2x1x aa

)x(f)x(f)xx(f 2121

,0RRD ff

)x( 1f

)x( 2f

1x 2x

x)x( af

(0 , 1)

y

x

x)x( af

1x 2x

)x( 2f

)x( 1f

(0 , 1)

y

x


lgebra 19

c) Si a > 1: Se observa:

xx aa;0,x

xx aa;,0x

En x = 0 ; ax = a-x = 1

Grafica de la funcin exponencial natural, f(x) = ex:

Sus propiedades son las mismas que las de la funcin f(x) = ax

Problemitas:

Graficar:

xx

3

1)x(f)4()x(f

Caso I: f(x)=4x a>1 Localizamos los puntos:

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.

x)x( 4f

64

16

4

1

-3 -2 -1 1 2 3

y

x643

162

41

10

4/11

16/12

64/13

)x(fx

1)x(f0x:Para

1)x(f00x:Para

x3

x2

x)x( ef

x = 0

x

y

xa xa

(X = 0)

y

x


lgebra 20

x

)x( 31f

-3 -2 -1 1 2 3

1

27

9

3

y

x

Caso II: Localizamos puntos:

27/13

9/12

3/11

10

31

92

273

)x(fx

1)x(f00x:Para

1)x(f0x:Para

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x. Hallar el valor de x que satisface al siguiente sistema:

)2(...........yx

)1(...........yx

ba

xy

Sin utilizar logaritmos:

Como:

)dividiendo(yx

yx

ba

xy

Quedara: x y a = y x b

)I...(..........b

axy

y

x

a

b

axyb

axyxybxybx

x

ay

y

Sacando x:

)2(endoreemplazan;)I...(..........b

axy

ba

b

axx


lgebra 21

babb

ba

bb

a

b

ax

b

ax

)exponentesrestarpasando(xb

ax

Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , x > 0

II) Si 1 < a < b entonces ax < bx , x < 0

III) Si 0 < a < 1 entonces Rx,a

1a

xx

Sol:

1) Mediante la exponencial decreciente:

Como: 0 < a < b < 1

0x< ax < bx bx La proposicin es verdadera

xa

xa

xb

xb

y

x

xa

xa

xb

xb x)x( mf

x

y


lgebra 22

3) Graficando :1a0,a

1;axx

FalsaesnproposiciLa

0x

Rx;a

1a

xx

Como resolver una ecuacin exponencial con logaritmos:

Ejemplo: Hallar unos de los valores de x que satisfagan el sistema:

)2(.......1264

)1(.......406464

yx

y2x2

En (1):

complicadomuy)I.........(Log)6464(Log

logaritmo)(sacando40646440y2x2

y2x2

En (2): 64x+y = 12 (sacando logaritmo) log 64(x+y) = log 12

(x + y) log 64 = log 12

(x + y) = 64log

12log ( )

Saber: Log12 = 2 Log2 + Log3 ; Log6 = Log2 + Log3 Log64= 6 Log 2 Sabemos:

)II(..........86464

)12(240)6464(?

)64(2

)64)(64(2)6464(642642

yx

2yx

12

)yx(

yx

?

2yx

40

yx

xa

x)a

1(

x

y


lgebra 23

Igualmente:

)III.......(4y64x642440)6464(

)64(26464)6464(

2yx12

)yx(

40

y2x22yx

2Log6

3Log2Logx

LogLog2log6x

6Log64Logx

)aritmoslogsacando(664

12)64(2

)sumando()III........(46464

)II.........(86464:)III(y)I(En

32

x

x

yx

yx

Otro caso:

Una de las races de la ecuacin: 683 2xx

x

Sacando Logaritmos:

3log2log6log2log38log:Pero;6Log8Log2x

x3xLog

6Log8Log3Log

6Log8)3(Log

2x

x

x

2x

x

x

3Log2Log2Log2x

x33xLog


lgebra 24

1xparacumpleSi1x2xx31

12x

x31x

3Log12x

x33xLog6Log

2x

x33xLog

2Log

6Log

2x

x3

2Log

3xLog

6Log2Log2x

x33xLog

2222

6log2X

6log212log2x

2log22x

3log

22x

2x

23Log

2x

)1x(2

2x

x313Log)1x(

3

33

3

22

2


lgebra 25


01) Resolver: ax = b

Rpta:

02) Resolver: xba = c

Rpta:

03) Resolver:

25xlog)15x52x(xlog 35

Rpta:

04) Resolver el siguiente sistema:

)II....(..........0)ylog3(3x

)I(..............y3

32

x

Rpta:

05) Resolver la siguiente ecuacin:

3

x+2 = 135.

Sabiendo que: log2 = 0.30103 log3 = 0.47712

Rpta: 06) Resolver la desigualdad: 2x 5

2x 5

x+1 + 2 < 0

Rpta:

07) Si se cumple que:

x35xx5x3 baba la

equivalencia de: x logb

a es:

Rpta:

08) El valor de la expresin:

3 10625.0log3

1

10E Rpta:


27log

147log57log2

5

52E

Rpta:


)1x(log.......5log4log3log x654x es: Rpta:

11) Sabiendo que el logaritmo de ,

5 93 en base15 27 , es igual a:

4 5 3 x291447 , el valor

de: 18xlog3 es:

Rpta:


lgebra 26

12) Si x = a3log2 el valor de:

3alogxalog x73E es:

Rpta: 13) El valor de x que satisface la

siguiente ecuacin:

125x35x25logxlog aa es:

Rpta:

14) Las races de la ecuacin:

1xxlog2)25x102x(xlog 117

son: Rpta:

15) Al resolver la ecuacin: 5(4

x) +

4(10x) = 25

x, el valor obtenido para

x es: Rpta:

16) Al resolver la ecuacin:

0274 x12log9

3log27

8

Rpta:

17) El nmero de soluciones reales

que presenta la ecuacin:

6)5x(x252)5x(

log2)x2(2log

2x22log

es: Rpta:

18) Al resolver la ecuacin:

64x2

x )7x(log , se puede afirmar

que: Rpta:

19) El mayor valor de x que satisface

la siguiente ecuacin:

64

xx

4xlogxlog 222

2

Rpta:

20) El producto de las races de la

ecuacin: , es:

,x27813xlog es:

Rpta:


lgebra 27


01) La ecuacin : xx xx , tiene por

solucin a:

a) 1 b) 2 c) 4 d) 1 y 2 e) 1 y 4

02) El valor de x que satisface al sistema:

)2(.......bx

)1.......(ba

yy

yx

a) 1blog

blog

a a

a

blog

b) 1alog

alog

b b

b

alog

c) 1blog

blog

a a

a

blog

d) 1alog

alog

b b

b

blog

e) blog

1blog

a a

a

blog

03) Uno de los valores de x que

satisfacen al sistema:

)2(........2x

)1(.........1xlogy105.0log2y

a) -1 b) 2 c) 10 d) 100 e) 1000

04) El valor de y que satisface al siguiente

sistema:

II........0)ylog3(3x

I.........y2

22

x

a) 2 b) 3 c) 8 d) 64 e) 256

05) La suma; ( x + y) se obtiene al resolver

el sistema:

),2(.........2xyLog)1(.........172823

3

yx

es:

a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 10

06) Despus de resolver el sistema de

ecuaciones:

)2(........ab

)1(........byax

ylogxlog

blogalog

Se observa que el valor de x es:

a) a b) 1/a c) b d) 1/b e) a2

07) El mayor valor de y que satisface el

sistema:

)2(........2y2y

)1(........ylog1x1x2x2

42

a) 1 b) 2 c) 4

d) 22 e) 24

08) Al resolver el sistema:

)2(.........8yx

)1(.........ylog511log

11log

2

xxy

x

el valor (x + y) que se obtiene es:


lgebra 28

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

09) Si: 4x- 4x 1 = 24, el valor de (2x)x es:

a) 5 b) 55 c) 25

d) 125 e) 525 10) Los valores que satisfacen a la

ecuacin: 8042 x1x , son:

a) 2log

1y3 b) slo 3

c) 2log

1slo d) 2log1y3

e) slo -3 11) Hallar x, si: 10x + 10 x = 3

a) 2/53log

b) 10

c) )2/5log(

d) 10log2/)53(log

e) 2)53log(

12) Si x es un nmero entero positivo que

verifica la relacin:

8 5/)2x(4 4/)3x( )64,0()8,0(

respecto a la desigualdad podemos afirmar que:

a) Hay infinitas soluciones b) El mayor valor de x es 11 c) Solamente la satisfacen los enteros

impares menores que 25.

d) La suma de todas sus soluciones es 21.

e) El menor valor de x es 15

13) Los valores de x que satisfacen la

ecuacin: x

1x2 xx tienen como producto:

a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 e) 12

14) Se tiene la funcin: 1a

1a)x(f

x

x

; a > 1,

x [1, >. Hallar el rango de f.

a) ,1a

1a b)

1a

1a,0

c) 1a

1a,

1a

)1a( d) ,0

e) ,1a

1a

15) Hallar la suma de los cuadrados de

todos los elementos que cumplen con

7237723/y,xE 22y

2x

2yx

a) 25 b) 18 c) 36 d) 32 e) 16


lgebra 29

TEMA: FUNCIN LOGARTMICA

Definicin: Puesto que la funcin exponencial f(x) = ax, tal que f: R R+ es una funcin inyectiva.

Y su funcin inversa es: (Funcin Logaritmo)

Sea: a > 0, a 1, siendo a la base, denotada por:

0x,xlog)x(fY a

ay = x

Don f = R+ = < 0, > Ran f = R = Ahora veremos las siguientes grficas:

Caso I: Si 01

Observamos:

x < 0,1> ; logax < log1/ax

x < 1, > ; logax < log1/ax

Existe simetra respecto al eje x.

y

x

xlogy axlogy b

(1, 0)

xlogy b

xlogy a

y

x(1, 0)

xlogya

1

x

y xlogy a


lgebra 30

Propiedades Generales de los logaritmos

Sea b: base de f(x) = logbx; b>0 b 1.

- Si b > 1 logb =+ logb0 = -

- Si 0 < b < 1 logb = - logb0 = +

bb1blog 1b BlogAlogBAlog bbb

1b01log 0b BlogAlog)B/A(log bbb

NbNlogb Alog

n

1Alog b

nb

aln

blnblogNlnNlog ae

Nota: Sea : log251 = 2 39967 Donde: caracterstica = 2 y la Mantisa = 0.39967 (parte decimal) Ejemplos:

1) Encontrar el valor de x a partir de:

10aa

2a

2xx alog)xloga(log)xloga(log

Considere: a > 0 a 1 Solucin:

Sabemos: logbb = 1 logbbn = n logbb = n (1) = n

Segn el enunciado:

10)xlog2()2a(log ax

Adems: 1alogblog ba

Llamaremos: m

1alogmxlog xa

Poniendo en (I): 10)m2(m

12

Resolviendo: 2m2/1m

m10)m2()1m2(


lgebra 31

Como m = logax 2

a

2/1a

ax2xlog2m

aax2/1xlog2/1m

2axax

2) Reducir: ?5log1

5log1

7log1

7log1

7

7

5

5

Sabemos: 1alogblog ba por lo tanto segn el problema.

5log

17log15log7log

7575

, reemplazando en el enunciado.

05log1

5log1

5log1

15log

?5log1

5log1

15log

15log

5log1

5log1

5log

11

5log

11

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

3) Resolver: log 14x + log 7x - log 1,2 = 1

Sabemos:

b/alogblogalogbalogblogalog , adems

En el problema: 7x14xlog7xlog14xlog

Como: 10log1

)I(......2,1log17xlog14xlog

En (I) tenemos:

12log)7x()14xlog(

)2,1()10log()7x()14xlog(

cumplaquepara014x07x12)7x()14x(


lgebra 32

Resolviendo:

46x21x14498x21x 22

)cumplesi(2x

)cumpleno(23x

2x

23x

046x21x2

Rpta: x = 2

4) Resolver la ecuacin:

10xlogxlogxloglog 933/13

Sabemos: NlogNlog bn

bn

Primeramente, hacer que todos tengan una misma base.

)I(...x/1logxlogxlogxlog 31

31

1)3/1(3/1

)II(...xlogxlogxlogxlog 232

32

33 2

)III(......xlogxlogxlogxlog 3399

(de I, II, III); reemplazando en el problema:

5) Calcular: 6log2log2log3logE 2332

Sabemos: 1a0aclogblogcblog

cblogclogblog

aaa

aaa

813x

3x3logxlog

3loglog

3log1010xlogxlogx/1logxlog

4

102/5103

2/53

103

xx)x/1()x(3

1033

2333

2


lgebra 33

En el problema:

)I(

3232 6log6log2log3logE

I = ojo3x26;)6(log)6(log6log6log 3232

.igualmente;3log2log)3x2(log6log 2222

1blog:sabemosadems;3log2log)3x2(log6log b3333

Reemplazamos:

Por lo tanto: 2E

2)11(E

6) Si: 12

a27log. Calcular: log616

Recordar: blognblog an

a

)I(.......3log33log27log 123

1212

Por lo tanto: .16log:pidennos;3log3a 612

Luego: 2log416logpidennos4log24log16log 6662

66

Pero como: 2log4x16logllamaremos;3log3a 6612

3log4log12log12log2

3

12log

3a

12log

13log 333

33312

1alogblog

)2log3log1(E2log3log3log2log12log3logE

)2log1()3log1(2log3logE

ba

:Sabemos

32

322332

3232.


lgebra 34

)I(.........1x

43log

x

313log

13log

3x

13log

4xadems;

3log2

3log3

13log

2

3a

:doreemplazan.;3log

12log:adems;

12log2

3a

3log2log6log13log

4

6log

4x

6log

12log

222

22

2

2

23

3

222222

6

Reemplazando en

)xsacando(x4

x312a

x

x4

x

x312

1x

4

3x

12

1x

42

1x

43

a

:tantoloPor

gradoprimer

deecuacinlautil izando

a3

a412x

a412x)3a(

x312axa4

Por lo tanto: 27logasiendo;a3

a41216log 126

PASO DE UN SISTEMA DE LOGARITMO A OTRO

El problema consiste en calcular el logaritmo de un nmero N en una base b (b > 1 b

1), si se conoce el logaritmo de N en base a; (a>1 a 0). Dato: Nloga ; se pide:

Nlogb .


lgebra 35

Tomando logaritmo en base a ambos miembros de la igualdad:

NbNlogb (sabemos).

Se obtiene: Nlogblog a

Nloga

b

Nlogblog

1

blog

NlogNlog

:totanloPorNlogblogNlog

aaa

ab

aab

El factor: blog

1

a

se llama Mdulo de paso de un sistema de logaritmos de base a a otro

de base b. Ejemplo: Del ejercicio (6) del anterior:

a27log12 ; nos piden .basedecambiando16log6

ma2

a3ama23a

1m2

3m2logSea

)2logtienenambos(?2log1

2log4

6log

16log16log

)I(.......a12log2

3

12log

27log27log

3

33

3

3

36

33

312

Reemplazando: a3

a412

a3

)a3(4

a2

a31

a2

a34

16log6

(Esta forma ser ms simple que al utilizar el mtodo anterior)

Indicar la relacin de a y b. Si: 4blog21

alog21

b

a

ab


lgebra 36

4

blog1

blog21

blog1

121

4blog21

alog21

;blog1

blog2blog2

a

a

a

b

a

ab

a

a

b

a

Solucin:

Cambiando de base:

Para:

)simplems(blog1

12alog2

blogalog

1

ablog

alog2)alog2(

aab

aaa

aab

Para el otro caso:

blogalog

blog2

b

alog

blog2blog2

aa

a

a

a

b

a

reemplazamos en el problema.

Sea: )fcilms(xbloga

331

31

a31

3/13a

2

2

babablogxSi

baba3blog3xSi

3/1x3x1x3x3

21x

1x2

1x

1x

4)1x(

1x4

x1

1x

1x

1x

4

x1

x21

x1

21

Cumple dos relaciones entre a/b, segn el problema.


lgebra 37


01) Calcular el logaritmo de

3 20032003 en base:

3 20032003 es:

Rpta:

02) Luego de resolver el sistema:

)2(......2LogyLogx

)1(.....425yx 22

Calcular: xlogy2

; considere x >y

Rpta:

03) Resolver:

)x(coslog1)senx(log)x2cos(log 222 Hallar: Tan (2x). Rpta:

04) Calcular: 3 252log2 bllaM

Si 2)4ba(2log 24)ba( 2

Rpta:

05) Resolver:

5,7xlogxlogxlogxlog 224162

Rpta: 06) Indicar el valor de:

56log32log23log 94 es:

Rpta:

07) Resolver

2003)1xlog()1x2log(2003log102003

Rpta:

08) Si consideramos a>1; el valor de x

que verifica el siguiente sistema:

)2(.......x)32(alog

)1(.......)32(alog

5a

215

22

a

Rpta: 09) Reducir:

7log2log214log

7log2log

5525

2

3

2

3

Rpta: 10) Mostrar el equivalente de:

n

nnn

nnn

Nln......3ln2ln

Nlog.......3log2log

Rpta: 11) El valor de x que verifica la

ecuacin: Si:

Ennnlogx

nlog4

n

sabiendo que:

3nn

n

4

logE


lgebra 38

1b0bbn

2log

2bloglog

2

12) Sabiendo que:

)2(........10ab

)1(.......2log3log ba

Calcular b Rpta:

13) Cuntas cifras tiene el resultado de

efectuar: ?25 8040 Rpta:

14) Cuntas soluciones presenta el

sistema?

)2........(42

)1......(8)y/x(log)xy(log

ylogxlog

22

Rpta: 15) Calcular el rea de la regin que

describen en el plano Gausseano los nmeros complejos Z. que verifican la desigualdad.

2/z/2

1/z//z/log

2

3

Rpta:

16) Hallar x de:

axlogxlogx2loglog aaaaaa

considere: a> 0 a 1 Rpta:

17) Hallar el valor de n:

2

20n2log

n

11log...

3

11loglog

2

22)

211(

2

Rpta: 18) Simplifique:

)yx(Ln)xz(Ln)yz(Ln

zyx

eee

)zyx()eee(

sabiendo que:

15ln5lny;3lnx

Rpta:

19) Resolver: 2)5x2(Log )3,0(

Rpta:

20) Cuntos nmeros enteros no

positivos verifican la inecuacin:

Lne14

xx224log

2

16

2x25

Rpta:


lgebra 39

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Calcular el valor de:

3

8log

2

9logN 273

a) 2/5 b) 3/4 c) 4/3 d) 5/3 e) 2/3

02) Evaluar: clogclog

1calogbclogR

ba

ba

para:

2c12b

12a

a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 2

03) Calcular:

495log97log83log

7

27log57log2

2log5

52

a) 512 b) 1024 c) 2048 d) 4096 e) 2

04) Reducir:

k5

K25log...85log45log5

2log

2logE

a) 1k b) k c) 1k

d) 2

k e)

2

1k

05) Si: 4ylog21

ylog21

y

x

xy halle:

)xy(logy

xlog

y

xxy

a) 5/2 b) -5/2 c) -2/5 d) 2/5 e) Ms de una es correcta.

06) Hallar x 2x2xxx

x )x()x(log

a) 5 b) 6 c) 3 d) 1 e) -1/2

07) Sabiendo que el logaritmo de

5 93 en base de 15

27 es:

4 5 3

x291447

Hallar x:

a) 729 b) 8 c) 27 d) 1 e) 64

08) Resolver:

01256log1)xlog 3x2

a) x = 1/3 b) x = 1/8 c) x {1/3, 1/8} d) x = 1/9 e) 1/2

09) A partir del grafico de las curvas

logartmicas:


lgebra 40

)6xlog(x( 1

(a ; b)(p ; q)

(t ; u)

(r ; s)

y

x

(x; log(x + 2))

Calcular; a + b + p + q + r + s + t + u a) 4+ log20 b) 3 + log12 c) 6 + log24 d) 8 +l og30 e) 6 + log 24

10) Resolver el sistema:

2log3yx

)yx(log

13log1)yxlog( 22

a) {(9,7)} b) {(9,2)} c) d) {(3,4)} e) {(7,9)}

11) Resolver en Z:

10log2

16

x25)e(ln

14

xx224log 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 8 e) 5/2

12) Resolver: 11x

3xlog

2

a) 223,1

b) 245,1

c) 22,1

d) 232,1

e) 223,1 13) Hallar el rango de la funcin:

6,4x),x64xlog()x(f

a) 2log;2

1log b) 2log;

4

1log

c) 2log;2log d) 2log;2log8

1

e) 2;2log5

1

14) Graficar:

1,0Rx

|1x|

)1x(

|x|

n2e)x(f |x|x

4

1

2

a)

1

2

4

1

b)

4

2

1

c)

4

2

-1

d)

4

2

-1

e)

15) Sealar verdadero (V) o falso (F)

segn corresponda:


lgebra 41

I) 25

1log5log

16

14

II) 3log7log 85 III) 1x00)1a(logsi},0{Ra 2x IV) 1x0xlogxlogSi 3/12/1

a) VFVV b) VFFF c) VFVF d) FVFV e) FVVF

16) Resolver:

10log

1

10log

1

10log

1

)4x()2x()12x(

a) 10 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24

17) Sabiendo que los logaritmos: logyx;

logzy; logxz; logxz, en ese orden, forman una progresin geomtrica y adems cumple las siguientes igualdades: 2x4= y4 + z4; xyz = 125. El valor de ( x + y + z), es igual a:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

18) El valor de x que satisface a la

siguiente igualdad.

balogbalog3

1)ba(log

2

1xlog 82

2242

a) ba

baba 322

b) 4 2

33 22

)ba(

baba

c) 9

3 24 22

ba

)ba(ba

d) 3 2

94 22

)ba(

baba

e) 2

322

)ba(

baba

19) El valor de x que satisface al siguiente sistema:

)3(........5ylogxlogzlog)2(........5xlogzlogylog)1(........5zlogylogxlog

64644

27273

882

a) 2 b) 3

c) 3

22 d)

9

38

e) 3

34

20) La solucin de la ecuacin:

04

xlog

6x7x2 2 es:

a) 1


lgebra 42

TEMA: PROPIEDADES GENERALES COLOGARITMO: Se llama cologaritmo de un nmero de una base dada al logaritmo de la inversa del nmero en la misma base. Es equivalente al logaritmo del nmero en la misma base precedido del signo menos y tambin al logaritmo del nmero en una base igual a la inversa de la base del cologaritmo. Por definicin:

)1(....N

1logNlogco bb

de (1) desarrollando el logaritmo de un cociente, se obtiene:

)2(.......Nlog0Nlogco

Nlog1logNlogco

bb

bbb

En (1), elevando a la base y al nmero al exponente -1, se obtiene:

)3..(..........NlogNlogCo

N

1logNlogco

b

1b

1

1bb

de (1), (2) y (3) tenemos:

NlogNlogN

1logNlogco b

b

1bb

Ejem:

15log15log15

1log15logco 3

3

133

)5x3(log)5x3(log5x3

1log)5x3(logco x

x

1xx

ANTILOGARITMO Definicin: Se llama antilogaritmo en una base dada de logaritmo de un nmero en la misma base al nmero el cual pertenece dicho logaritmo. Sea el nmero 0: N = bx


lgebra 43

Por definicin de logaritmos, resulta: )1(......xNlogb

Por definicin de antilogaritmos, se tiene:

NNlogloganti bb

La igualdad anterior nos indica que: cuando a un nmero se aplican dos funciones contrarias (una directa y otra inversa) logaritmo y antilogaritmo de igual intensidad (la misma base), sus efectos se neutralizan. De otro lado, tomando antilogaritmo en base b ambos miembros de (1), se obtiene:

xlogantib

bNpero,xlogantiN

xlogantiNlogloganti

bx

xb

bbb

o tambin : xb bxloganti

De la ltima igualdad resulta que el antilogaritmo en una base dada aplicando al resultado de haber tomado la funcin logaritmo es igual a la base del antilogaritmo elevado a este resultado. Ejemplos:

1. 55logloganti 33

2. 3logloganti 24 , la base del antilogaritmo y del logaritmo deben ser la mismas para

que sus efectos se neutralicen, elevando al cuadrado la base y el nmero de

logaritmo, se obtiene: 99logloganti3logloganti 442

224

3. 2552logloganti 225 5. 9

13)2(antilog 23

4. 8

133loganti

2

12/1 6. 8

12)3(loganti 33

Propiedades que Relacionan los logaritmos y antilogaritmos con el cologaritmo:

1) Rx,1a,0a;xxantiloglog aa

2) 0x,1a,0a;xxlogloganti aa

3) Rx,1a,0a;xxlogantilogco aa

4) 0x,1a,0a;x

1xcologantilog aa


lgebra 44

Problemas Resueltos: 1) Hallar el valor de x si: antilogx 4

2antilog antilog23 = 81

Solucin:

818logcontiloganti

x4loganti

28loganti

812logantiloganti:obtieneSe

bxloganti:iguladadlaAplicando

)igualmente(

42

x

4x

84

423

42

x

xb

)positivarealsolucinlaes,dondede(3x81x

)frmulasegunigualmente(814loganti81)2(loganti

4x

84x

2) Resolver: antilogx antilogxx = 16

Solucin: Por definicin de antilogaritmo resulta:

16x

16xloganti

xx

xx

Dada la formula adecuada al segundo miembro, obtenemos: 22xx4xx 2x2x

De donde se observa: x = 2

3) Hallar el valor de: 112

1)13(loglogantiloglogantilogcox 42395

Solucin: Reduciendo los valores de la parte interna hacia fuera, resulta:

36log36log3log12log3log2

112log

2

112log

112

112loglogantilogcox

112

112loglogantiloglogantilogcox

12log12log12log43log4log3log13log

9333333

395

22395

2444444

Por lo Tanto:

1136loglogantilogcox

36

995


lgebra 45

ylogylogCo:Sabemos35logco1136logcox

xx

55

2x25log2x5log25logx

5

255

4) Resolver: log3(5x-1) + Colog(3x-5) = 2

Solucin:

Aplicando la igualdad: )5x3(log)5x3(logco 33

2)5x3(log)1x5(log 33

3

Aplicando la propiedad del logaritmo de un cociente, se tiene:

25x3

1x5log3

Por definicin de lo logaritmo, resulta:

2xx2244

)5x3(91x5

35x3

1x5 2

5) Resolver la siguiente ecuacin: 03logcoX 2x4log

)x4(log4log

Por la frmula del cambio de base, se tiene:

xloglogxlog

xloglog4x

4

44

Luego: )logaritmoslosdelfundamenta(identidad4)x4(logxlog xlogXA

Nota: Otra forma de simplificar A es haciendo: 4

4 4xyxlog

b) Reemplazando en la ecuacin:

03logxlog03logcoxlog 2424

9x

9log3logxlog 424


lgebra 46


01) Resolver:

x32logco2loganti 23

Rpta:

02) Si: 10 3x

Calcular

x6

logx2log

x3

log

x 643logcoM

Rpta:

03) Simplifique:

blogalogblogcoclogalog)c(log

)clogb(logblogcoclogalog)alogco(

.

b>0 b 1; c>0 c 1 Rpta:

04) Evaluar:

)c(log)c(log

1)calogco)(bclogco(R

ba

ba

Para:

2c;12b;12a

Rpta:

05) Resolver:

xlog2)4x3(log 5x

5log

x

Indicar: )x(logloganti 5x

Rpta:

06) Resolver el sistema:

3logantilog

yx

)yx(log

13logco1)yxlog(co

2

22

Rpta:

07) Hallar el producto de las races de la

siguiente ecuacin:

125)2x(logloganti 5x es:

Rpta:

08) Los valores de x que satisfacen a la ecuacin:

:son,x353logAnti 2)x5(

Rpta:

09) Si cumple que:

x35xx5x3 baba la

equivalencia de: alogcoblogx ,

es: Rpta:

10) De las relaciones:

Antilogax = x

y (1)

logby

x = y .. (2) Donde: a> b>1 Determine:

3 ab

3 ba ylogxlogK

Rpta:


lgebra 47

11) Hallar la suma de valores de y, luego resolver:

)2(.......ylogco42logAnti5

)1(......y2

4x

x

Rpta:


2logloganti

14logantilo)5log2(logantiE

75

7572

es: Rpta:


)1x(xlog....56log45log34logxloganti

es: Rpta:

14) Si x = 2 log3a el valor de :

3logloganti7xloglogantiE axa3

es: Rpta:

15) La raz de la ecuacin:

2)Aloganti(logAlog xAA

x es:

Rpta:

16) El producto de las races de la

ecuacin: x273loglogAnti x81 es:

Rpta:

17) El valor de x que satisface el sistema: antilogxy = y

x (1)

ax = antilogby (2)

Rpta:

18) Despus de simplificar:

57log

47log

4ylog

3ylog

x

2

53log

xloglogAnti

resulta:

Rpta:

19) El valor de x que satisface la siguiente igualdad:

2Ylogcoxlog 3y es

Rpta:

20) El producto de lar races de la siguiente ecuacin:

esn,Antiloglogmantiloglog x55x

Rpta:


lgebra 48

PROBLEMAS PARA LA CASA 01) Calcular:

355 2loganti04,0logcoS

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 1

02) Si:

3loglogiAnt4loglogiAntR 2893

Hallar: )24R(logco 5

a) 0 b) 2 c) -2 d) -1 e) 1

03) Calcular:

))05,0logco(loganti(logcologanti 24864

a) 8 b) 1/8 c) 16 d) 1/16 e) 4

04) Calcular: A. B es:

2loganti2loganti2logantiB

2logco2logco2logcoA

1684

1684

a) -12 b) -364 c) 322 d) 18 e) 24

05) Si:

b

alog (ab) = 2 calcular:

)))b()a((logloganti(logcoE 3abb.a

a) -1/2 b) -1/324 c) -11 d) -1/112 e) -1/24

06) Sabiendo que: 1CalogCblog

Adems: ab = c Calcular:

3353535

clogcoblogcoalogco

clogblogalogB

a) 1 b) 0 c) -1 d) -2 e) 2

07) Sabiendo que:

1b;0b,6

1xloglogcologanti bbb

Calcular:

)bxlogantiblogco(blogM

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

08) Hallar: 10 3J Siendo:

xlog

x3logx

5log

x

2.05.02

95log

625loglogantilog)x(J


lgebra 49

a) 1/2 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/5 e) 2

09) El valor simplificado de:

3logantilog

logantiloglogantilogco

25.0

442

381

es: R.

Nos piden: Hallar los valores de x, si la ecuacin:

R69Rx2logAnti x

a) {3, 9} b) {3, -9} c) {3, -6} d) {6, 9} e) {3,6}

10) Sea:

.veces"n"

4 4 4 432 3.......loglogcoE es

y

.veces"n2"

3 3 323 2........logcologR

Hallar: )RE(loganti 16

a) 1 b) 4 c) 2 d) 16 e) 0

11) Las races de la ecuacin:

:son)1xlog2(loganti

)25x10x(logloganti

x11

2x7

a) 2 y 3 b) 4 y 6 c) 3 y 4 d) 6 y 8 e) 4 y 5

12) Despus de simplificar:

6/taglog3logco 932/1log

1

2

resulta:

a) 2 b) 3 c) 8 d) 6 e) 8

13) Calcular: el lnxx-2 Sabiendo que:

x

e)x(loglogco(loganti eee

a) e - 1 b) e - 2 c) e d) e + 1 e) e + 2

14) Sean A y B; nmeros enteros.

108logco3log12loglogLogB

64loglogAntilogA

66663

100Ln16e

Hallar: B2AR 3

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 6

15) Al resolver:

027xlog)xloglogantilog( x el

valor que se obtiene para x es:

a) -3 b) 1, 000 c) 0,01 d) 0,1 e) 0,001


lgebra 50

PROBLEMAS

01) El producto de las races de la siguiente

ecuacin: xlogn5logm 5x

a) 0 b) 1 c) nm

d) m

n e) m n5

02) Hallar la menor raz:

23

2x

x3log

3

1X9

a) 9-1 b) 3-1

c) 27/3 d) 3/3

e) 5

3

03) Dada la ecuacin: 045112x

acerca de su conjunto solucin, podemos afirmar:

a) Es vaco b) Es unitario c) Es binario d) Es ternario e) Es cuaternario

04) Calcular:

49log9loglog

2log

2log5log2 57

8

7

77

3

5

52

a) 512 b) 1024 c) 2048 d) 4096 e) 32

05) Resolver:

01256log1)x(log3

x2

a) x = 1/3 b) x = 1/8 c) x {1/3, 1/8} d) x = 1/9 e) 1/2

06) Tres nmeros enteros positivos a, b y c con a < b < c; estn en progresin

geomtrica. clogyblog;alog 222 ;

estn en progresin aritmtica, as:

)cba(6)c)(logb(log)a(log7 222

hallar el valor de a

a) 0,5 b) 16 c) 8 d) 2 e) 4

07) Si: zloganti,yloganti,xloganti 2793

estn en progresin geomtrica, calcular: x z. Si y z = 2

a) 2 b) 4 c) 8 d) 3 e) 9

08) Resuelva el sistema:

xlogzlog

6xlogxlog

8zlogxlogxlog

24

42

442

a) x = 8, y = 16, z = 64 b) x = 2, y = 4, z = 4 c) x = -8, y = 16, z = -64 d) x = 2, y = 8, z = 4 e) N. A.

09) La solucin de la ecuacin:

1)x3(log

)x4(log2

)x3(log

1

2

4/1

6

, es:

a) x = -2 b) x = 3 c) x = 2 d) x = 3 x = -2 e) x = 3

x =+2 10) La solucin de la desigualdad:

6xlog

xlog27log27log

33

63

9

x

3

x es:

a) 1< x < 3 b) 0 < x < 3 c) 3< x < 9 d) 1


lgebra 51

TEMA: RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES EN R: Relacin Binaria: Dados dos conjuntos no vacos A y B, se denomina Relacin R de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano de A por B ( R A x B), es decir: R = {(a;b)/a A b B a R b} Observaciones:

Si R es una relacin de A en B entonces al conjunto A se le llama conjunto de partida, y el conjunto B se le llama conjunto de llegada.

El Dom(R), est dado por el conjunto cuyos elementos son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relacin.

El Ran(R), est dado por las segundas componentes. Clases de Relaciones: 1. Relacin Reflexiva: Sea R una relacin en A, diremos que R es una relacin

reflexiva, si a A el par ordenado (a:a) R. 2. Relacin Simtrica: Sea R una relacin en A, diremos que R es una relacin

simtrica, si (a;b) R implica (b;a) R. 3. Relacin Transitiva: Sea R una relacin en A, diremos que, R es una

Relacin Transitiva, si tenemos: (a;b) R, (b;c) R implica (a:c) R. 4. Relacin de Equivalencia: Sea R una relacin en A, diremos que R es una

relacin de equivalencia, si es reflexiva, simtrica y transitiva a la vez. Funciones: Dados los conjuntos no vacos A y B y una relacin F A x B se define: F es una funcin de A en B si y slo si para cada X A, existe a lo ms un elemento y B tal que el par (x ; y) F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

Si: F es una funcin tal que (x;y) F (x;z) F y = z . Dominio y Rango: Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define as:

Dominio: Denominado PRE-IMAGEN, conjuntos de los primeros elementos de un par ordenado.

Rango: Llamado tambin IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B.

En conclusin: Dom(f) A Ran(f) B .


lgebra 52

CLASES DE FUNCIONES: F. Inyectiva o Univalente: Cuando cada elemento del Rango le corresponde un nico elemento del dominio. F. Sobreyectiva: Cuando el rango o imagen de F coincide con el conjunto de llegada B, es decir:

Ran(f) = F(A) = B . Funcin Biyectiva: Cuando es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Funcin Par: F(-x) = F(x); x -x Dom(f) Funcin Impar: F(-x) = -F(x); x - x Dom(f)

Funcin Peridica: T 0 (T = periodo). Tal que: I. x Dom(f) (x + T) Domf.

II. F(x+T) = F(x) ; x Domf. FUNCIONES MONOTONAS : F. Creciente : X1 < X2 F(x1) < F(x2) F. Decreciente : X1 < X2 F(x1) > F(x2) FUNCIONES ESPECIALES: F. Identidad : F(x) = x F. Constante : F(x) = K; K R F. Lineal : F(x) = y = mx + b

F. Valor Absoluto: F(x) = y = | x |

0x:x0x:00x:x

F. Signo : F(x) = y = Sgn (x)

0x:10x:00x:1

F. Mximo Entero: F(x) = y = [ x ] * y < x < y + 1: y Z. LGEBRA DE FUNCIONES - Suma : Dom (f + G) = Dom(F) g Dom(g)

- Resta : Dom (f - G) = Dom(f) g Dom(G)

- Producto : Dom (f.G) = Dom(f) g Dom(g)

- Divisin : Dom (f/G) = Dom(F) g Dom(g), G(x) 0


lgebra 53

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01. Hallar verdadero (V) o falso (F)

segn convenga: - Toda funcin es una relacin. - Toda relacin es una funcin. - Toda recta es una funcin. - Toda parbola es una funcin.

02. Sabiendo que: F(2x) + 2F(x) + 1 = 2(1+Cosx)

(Senx+Cosx). Donde F(x) es una funcin que

depende de x. Evaluar: F(2x)/F(x) para x = 30. Rpta.: 03. Calcular P si: P = F(2) + F(4) . F(-3) +(F-1). Si:

F(x) =

2x;3x23x2;1x

3x;1x32

Rpta.: 04. Hallar el mnimo:

F(x) = 1xx2 Rpta.: 05. Es funcin:

F = [(8;2),(2;a),(a2-1;b)(2;2a-3), (3:5)] Hallar; a + b

06. Si: F(x+1) = F(x) + x; y F(2) = 5.

Calcular: )0(F

)4(F

Rpta.: 07. Hallar el rango de: F(x) = 2+(-1)[x] Rpta.: 08. Dada la funcin:

F(x) = 1x

12

Entonces se puede afirmar que

es creciente en 1, ?.

Rpta.:

09. Si: F(x) = 6x5x

4x2

2

A = Dominio de F(x) B = Rango de F(x). Hallar A - B Rpta.: 10. Encontrar el valor mnimo de la funcin:

F(x) = ;0x;x1

x1 2

Rpta.:


lgebra 54

11. Hallar el dominio de:

F(x) = 2x1

1

Rpta.:

12. Cuntas proposiciones de las siguientes:

fx R; 0 < x [x] < 1 F = {x;y) R2/|y| = |x| -1} es una funcin.

F(x) = x9 ; x 9;0 es

una funcin inyectiva.

F(x) = x 4x2 . Es una funcin impar.

Son verdaderos: Rpta.: 13. Para la funcin:

F(x) = 2,1x;)1x(

1

1x

3x

2

Se puede afirmar: I) Es inyectiva. II) Es creciente III) Posee inversa. Rpta.: 14. Hallar el rango de:

F(x) = |x|

x

x

|x|

Rpta.: 15. La funcin f, con dominio: Domf =

{0,1,2,3,5} est definida mediante: f(a) = resto de dividir el polinomio [x3 + (a+1)x2+x] entre (x+a).

Calcular: f(1)+f(2) Rpta.: 16. Hallar la suma de los elementos

del rango de la siguiente funcin:

F(x) = Sgn (x2-1) + Sgn 1x Rpta.: 17. Determinar si la funcin: F(x) = |Senx| + |Cosx|. Es peridica; si

lo es hallar su periodo. Rpta.: 18. Graficar aproximadamente: F(x) = -

(3x2 - |x|) Rpta.: 19. La funcin polinomial: y = F(x) de

grado mnimo tiene una grfica aproximada.

x

y

-2

-1 3

-1

)x(fy

Si: (-4;b) F. Encuentre el valor

de b. Rpta.: 20. Si la funcin F es peridica de

periodo T, la funcin definida por: Y = F(ax+b): a b. Es tambin peridica con periodo:

Rpta.:


lgebra 55

PROBLEMAS PARA LA CASA 01. Si el rango de:

F(x) = 1x

x

2

2

, es b;a . Luego el

valor e a+b es: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 02. Calcular la suma de los elementos

en el rango de la siguiente funcin:

f(n) =

ceros1n

9n0...00,0

para: n = 1,2,3,4,5,6. a) 0,023456 b) 10,034567 c) 0,223456 d) 0,223467 e) 0,234567 03. La ecuacin: (x2/a2) (y2/b2) = 1 Donde a y b son constantes tales

que. a > 1; b > 1. Es y una funcin de x?

a) Si b) Solo si x > a x < -a c) Slo si x > a d) Slo si x < a e) No 04. Sea la funcin:

f(x) =

3,2x,3

2x,2

5,42,1x,1

1,0x,0

entonces f es:

a) No creciente en 2,0

b) No creciente en 5,2

c) No decreciente en 5,2

d) Constante en 3,1

e) No decreciente en 2/5;2/3

05. Si Dom f y Ran f representan el

dominio y el rango de la funcin real:

f(x) = 6xx2 , determinar

Dom f g Ranf.

a) ,0 b) ;3

c) ;1 d) ;0

e) ;0

06. Si [x] designa el mximo entero de

x; adems (x1, x2) es el conjunto solucin de: x2 2x 1

Calcular: [x1] + [x2] a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 07. Cul de los siguientes grficos

puede ser la grfica de una funcin polinomial:

P(x) = x3 + ax + 0, a 0

x

y

x

y

a) b)


lgebra 56

x

y

x

y

y

c) d)

e)

08. Resolver [x] + [2x] + [3x] = 14;

donde la notacin [ ] indica el mximo entero.

a) 3;2 b) 3

7;2

c) 3;3

8 d) 3;2

5

e) 3

8;2

5

09. Dado f: R R/f(x) = x3 29x + 1,

encontrar: f 32 . a) 48 b) 52 c) 43 d) 50 e) 49 10. Sea la funcin real definida por g(x) = x2

2x 1, si: x 5;2 . Hallar Rang.

a) 7;1 b) 14;2

c) 7;1 d) 14;7

e) 7;2

11. Si: f: R 49,0 , definida por f(x) = x2.

Hallar Dom f

a) 7,0 b) 7,7

c) 7,7 d) 7,7

e) 7;0

12. En la funcin real:

h(x) = - 4x2 , determinar su

dominio y rango, proporcionando luego Dom h Ran h.

a) ;2 b) 2;

c) 2;2 d) 2;2

e) 0;2

13. Cules de las siguientes funciones

son aplicaciones? I) R R/y = x/(x-1)

II) g: 1;0 R/y = 1/ x1x

III) h: R 6;2 / y = 2x+3

IV) e: R R/y = .x3 a) f y h b) g y e c) h y e d) f y e e) f, h y e. 14. Determinar el rea mxima de un

rectngulo que tiene un lado en el eje x y los dos vrtices del lado opuesto sobre la parbola: f(x) = 12 x2

a) 45 b) 54 c) 32 d) 48 e) 36 15. Determinar el rango de la funcin f

definida por:

f(x) = 1x,1x)x(xf

1x,)x(fx2

a) , b) ,1

c) ;2 d) ;1

e) ;0


lgebra 57

TEMA: LIMITES

Limite: significa valor ms prximo.

Notacin: )x(flimax

Limite de f(x) cuando; x tiende a a OBS: tiende < > se acerca. < > se aproxima.

Por la Izquierda Por la Derecha

a

)x(flim)x(flimaxax

Ejemplo: 2x

4xlim

2

2x

42x

4xlim

4limlim1,4)x(fl im1,2x

9.3)x(fl im9,1x

2

2x

2x2x1,2x

9,1x

Ejemplo: ?x

1lim

0x

x

1lim

x

1lim

?x

1lim

0x

0x

0x


lgebra 58

Operaciones:

1) Lim (K) = R; K R

2) Lim (F(x) G(x)) = lim (F(x)) lim G(f)

3) Lim K (F(x) = K lim f(x)

4) )x(G))(limx(F(lim)x(G)x(Flim

5) 0)x(Glim)x(Glim

)x(Flim

)x(G

)x(Flim

6) )x(Glim)x(G ))x(F(lim)x(Flim

7) ))x(G(limF))x(G(Flim Formas Determinadas:

1) )0K(x

Klim

0x

2) )0K(0x

Klim

x

3) )0K(1K,0

1K,Klim x

x

Formas Indeterminadas:

1) 0

0

2)

3) - ; 0 .

4) 1 , 1-

5) 00; 0 ; 0


lgebra 59

PROBLEMAS PARA LA CLASE 01) Calcular:

12x11x2

3x7x6lim

2

2

23x

Rpta:

02) Calcular:

1216x7x

4x3xlim

23

23

2x

Rpta:

03) Calcular: 7x41

6x3lim

2x

Rpta:

04) Calcular: x51

x53lim

4x

Rpta:

05) Si: 3x2)x(f 2 y

a1x)x(g . Hallar los valores

de a si: 5))x(g(flim0x

Rpta: 06) Indicar verdadero (v) o falso (F)

segn corresponda:

.existenox

xlim)(

0x

273x

3xlim)(

3

3x

2/13x4x

2x3xlim)(

2

2

1x

Rpta:

07) Calcular: )x(flim1x

Si:

1xsi;51x

1x:si,x2x3)x(f

2

Rpta:

08) Encontrar el valor de A:

2

33 2

)8x(

4x4x.

8x

limA

Rpta: 09) Hallar:

2x

5xx19limL

23 3

2x

Rpta:

10) Si: y82x2

)2x(flim

2x

3.4x

)2x(glim

22x Hallar:

)h(g

)h(flim

0h

Rpta:

11) Calcular: x2

1

x8

12lim

32x

Rpta:


lgebra 60

12) Calcular: bb

aa

px px

pxlim

Rpta:

13) Calcular: )x(Q

)x(Plim

3x; si

3x4x13x4)x(Q

3x2x5x2)x(P

23

23

Rpta:

14) Calcular: 22

22

ax aaxx2

axlim

Rpta:

15) Calcular: 1x

1xlim

4

3

1x

Rpta:

16) Calcular: 0a;ax

axlim

nn

ax

Rpta:

17) Si sabemos que:

2

3 23

1x

321x

x1

xx12xlimB

x1

3

1x

2limA

Determinar: BA

BA

Rpta:

18) Calcular: m/1

0y)m1(lim

siendo: m = Y/2

Rpta:

19) Si: 32x 3x292

3x21limM

3

222

x n

n....321limN

Me piden Calcular: M . N

Rpta:

20) Calcular:

a2x)2a(x

ax)1a(xlim

2

2

nx

.

Rpta:


lgebra 61


01) Calcular:

ax

abxblim

22

ax

a)

ab2

1

2 b)

ab

1

2

c) ab2 2 d)

ab2

1

2

e)

ab2

1

2

02) Calcular:

22

2

1x xaax1

x1lim a > 0

y a 1.

a) 1a

12 b) 2a1

1

c) 2a1 d)

2a1

e) 2a1

03) Calcular: 33

77

ax ax

axlim

a) 4a

4

7 b)

4a5

7

c) 4a

7

3 d)

4a3

7

e) 3a

7

3

04) Calcular: 1x

1xlim

n

m

1x

a) 1n

nm b)

1n

nm

c) n

m d)

nm

mn

e) mn

nm

05) Calcular: 2x3x

1x33x5lim

3

1x

a) 15 b) 3/15 c) 2 d) 2/15 e) 1/2

06) Calcular:

3 333 23

nannannlim

a) 2a3 b) a

3

2

c) a2 d) a3

e) 2

a3

07) Hallar a y b, constantes para que:

0bax1x

1xlim

2

x dar

como respuesta: (ab + a+b)

a) 1 b) 2 c) -1 d) 3 e) 4


lgebra 62

08) Calcular: 8y

4yy2lim

33

x

a) 5/13 b) 13/8 c) 13/24 d) 5/48 e) 13/48

09) Calcular:

3x;3x

21x

3x;3x

6x5x2x

)x(f

si);x(fl im

23ax

a) 1/4 b) 1/3 c) 6 d) 5

e)

a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) 0

10) Se tiene:

23 3

2

0x

bx

x1x1

xlimB

y1x7

3x3limA

a) 1 b) 2 c) -7/2 d) 7/2 e) 0

11) Hallar: xx

xxlim

22

1x

a) 1 b) 2 c) -7/2 d) 7/2

e)

12) Calcular:

xx

1x1x

x ba

balim

a) b b) a c) d) - e) N.A

13) Calcular:

1x

x 1x

7xlim

a) e4 b) e5 c) e6 d) e3 e) e2

14) Calcular el limite:

3x2

1xx2)x(g

:si,)x(glim

2

x 23

a) 2 b) 1 c) -7/2 d) 7/2

e)

15) Calcular:

3x2x

10x3x

3x

2

2

2x

1x2lim

a) e2 b) e4 c) e6 d) e8 e) N.A


lgebra 63

TEMA: DERIVADAS

dx

)x(fd)x(f

* Se define: Sea: f (x) = y; como una regla de correspondencia.

f(x) Se llama derivada de esta funcin. Ejemplo: Sea: f(x) = 3x2 + 6x ; f(x)= 4x + 2

f(x) = 6x + 6. f(x) = 4 En General: Sea: f(x) = axm + bxn + cxp

Hallando su derivada:

1P1n1m xpcxnbxma)x(f

Se observa; que:

1mm mxx

Baja

Se restan

Su derivada

El exponente se resta 1. El otro baja como coeficiente multiplicando.

Casos: (de derivada) X2+ 4x 2x + 4 2 (2da Derivada) 4 0 xn nxn-1 x-3 -3 x-4 x-2 -2x-3

Forma trigonomtrica: Senx Cosx Cos(x) -Sen (x) Tan (x) Sec2 (x) Cot (x) -Csc2 (x)


lgebra 64

Sec (x) Tan xSecx Csc (x) -Cotx Cosx Sen (mx) mCos (mx) Cos (mx) -mSen (mx)

Aplicaciones de la derivada: (de una funcin) Sea una funcin con regla de correspondencia: Y = f(x), luego la ecuacin f(x) = 0. Tiene por Races: x1,x2,x3, ., xn: los cuales forman los puntos (x1, f(x1); (x2, f(x2)); (x3, f(x3)), (xn, f(xn)). Llamados extremos relativos: Ahora si:

:0)x(f

:0)x(f

2

1

2d a

derivada

Mximo Relativo

Mnimo Relativo

As mismo; la ecuacin: f (x) = 0 Tiene por races: ( 1; 2; 3; 4;..) Los cuales forman los puntos de inflexin o de cambio de con cavidad.

Ejemplo: 1xxx)x(f 23

1x2x3)x(f 2

La ecuacin: 1x

3/1x

0)1x)(1x3(

01x2x3 2

Los extremos relativos son: )0;1(;27

32;

31

Luego: f (x) = 6x 2 f (-1/3) = -4 (mximo Relativo) f(1) = 4 (mnimo Relativo) Se tiene: f (1/3) 0


lgebra 65


01) Si: x91)x(F

Calcular: F(7) Rpta:

02) Si 2xx

x

1)x(F

Calcular: F (-3) Rpta:

03) Si: ax

aax)x(F

Calcular: F(1) Rpta:

04) Dado la funcin:

x11511

1)x(F

Si: F (a) = 128

1. Calcular a.

Rpta:

05) Calcular n

Si 4/5)n(F

Siendo: 9x)x(F 2

Rpta:

06) Calcular: a2 +b2, si la funcin:

baxx2)x(F 23 presenta

un extremo relativo en (1; 2) Rpta:

07) Calcular ab si la funcin:

baxx4)x(F 2 presenta un

electo mnimo relativo en el punto (-1, 4)

Rpta:

08) Calcular F(-1) en la funcin F(x), que

verifica:

10)1(F;3x4)x(F

Rpta:

09) Dada la funcin F(x) que verifica:

4)o(F

.10)1(F;4x6)x(F

Calcular: F(-1)

Rpta:

10) Si la suma de dos nmeros es 18,

encontrara los nmeros tales que la suma de sus cuadrados sea mnimo. Indicar como respuesta la diferencia de dichos nmeros. Rpta:


lgebra 66

11) Si la suma de la base y la altura de un tringulo es igual a 38 m. Qu dimensin debe tener dicho tringulo para que su rea sea mxima?

Rpta:

12) Hallar el rea mxima de un

rectngulo que tiene su base inferior en el eje x y dos de sus vrtices en la curva: Y = 6 2x2 Rpta:

13) Un punto, mvil P describe la curva:

)0x(;x

4Y

Determinar la distancia mnima de P al origen. Rpta:

14) Encuentre el punto sobre la grafica

de: 1xy 2 mas cercano al

punto (3; 1) Rpta:

15) Un punto esta en movimiento segn

la ley: 3

TT2)T(x

3

Donde x se mide en metros y T en segundos. Hallar su velocidad despus de 6seg. Del comienzo del movimiento. Rpta:

16) Encontrar las dimensiones del cilindro recto circular de volumen mximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura H y radio R. Dar como respuesta su altura.

Rpta:

17) Hallar el rea del mayor rectngulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas, que pueden inscribirse en la regin limitada por las parbolas. 3y= 12 x2 ; 6y = x2 - 12 Rpta:

18) Encontrar las coordenadas del punto

o puntos de la curva; Y2 = 2x + 3; que estn mas cerca al origen. Rpta:

19) Si la funcin: f(x) = x3 + ax2 + bx +c,

tiene un mximo relativo en x = -1 y un mnimo relativo en x = 3. Calcular ab Rpta:

20) Un paralelogramo y un tringulo

tiene un vrtice comn y los otros vrtices del paralelogramo estn sobre los lados del tringulo dado. Calcular el rea mxima del paralelogramo que se puede inscribir de esta forma. Base del tringulo = 10; Altura del tringulo = 6. Rpta:


lgebra 67


01) Dada la funcin: 3x)x(f 2

Calcular: )6(f)3(f

a) 3 b) 33 c) 2

6

d) 33 e) 32

02) Sea la funcin: 1bxax)x(f 2 ;

si f(0) = 3 f(1) = 1

Adems: )2/1(f2/1f

Calcular el valor de: bc

caR

a) 0 b) 1/3 c) 4 d) e) 1/2

03) Se tiene la derivada de una funcin:

2x3)x(f 2 calcular: f(-1); si f(0)=1

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2

04) Si:

2x

2)x(Gx5x)x(f ;

calcular: )2(G

)1(f

a) -15 b) -2.5 c) 3 d) 25 e) -56

05) Dada la funcin: x4

bax)x(f , si su

derivada es: 2/3)x4(

x2)x(f

calcular: ab

a) 128 b) -64 c) 64 d) -128 e) 32

06) Calcular; a + b, si la funcin:

1bxaxx)x(F 23 Presenta punto de inflexin en el punto (-2, 11)

a) 8 b) 4 c) 5 d) 13 e) 9

07) Siendo: ax

x)x(f para que el valor de

a se cumple: ?0a;)a(f 2a1

a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

08) Cul es el producto mnimo de dos

nmeros cuya diferencia es 4?

a) 5 b) 12 c) 0 d) -3 e) -4

09) Sea las funciones: Tanx)x(g

Senx)x(f

Donde: x pertenece en primer cuadrante. Adems se tiene que:

2))x(g))(x(f( Hallar:

)x(g

1)x(f)x(Q:si;)x(Q 2

a) 1 b) 2x c) x +1 d) 0 e) 2


lgebra 68

10) Si se tiene el siguiente tringulo rectngulo:

5

4

3

Nos piden hallar:

SenCos

)Cos(SenF )(

con respecto al

a) 5 b) 7 c) 4 d) 3 e) 6

11) Indicar el rea mxima de un rectngulo de lados (3 2x) y (x + 1).

a) 2u4/25 b) 25/2 c) 25/8

d) 5/2 e) 35/4 12) Si el propietario de un teatro cobra S/. 10,

00 por cada boleta de admisin, la asistencia promedio ser de 100 personas. Si por S/. 1, 00 de incremento en el precio del boleto, la asistencia promedio desciende en dos personas A cunto debe vender cada entrada para obtener una ganancia mxima?

a) S/. 10 b) S/. 15 c) S/. 20 d) S/. 30 e) S/. 21

13) Una pieza larga y rectangular de lmina

de 30 cm. De ancho la convirtiese en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ngulos rectos con la base. Cul debe ser el ancho de las partes dobladas, si se desea que tenga la mayor capacidad posible?

a) 5cm. b) 10 cm. c) 8,25 cm. d) 6 cm. e) 7,5 cm.

14) Las graficas adjuntos corresponden a las

funciones:

3x3)x(G2

1x2x2)x(f 2

Determinar la mxima longitud vertical d. Si:

d

a) 25/8 b) 15/2 c) 21/8 d) 17/4 e) 1

15) Un torpedero esta anclado a 9Km del punto ms prximo a la orilla. Se necesita enviar un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre el campamento y el punto mas prximo referido es de 15 Km.: teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 Km. /h y en un bote remando 4 Km. /h. Indicar en que pinto de la orilla debe desembarcar para llegar al campamento lo mas pronto posible.

a) A 3 Km. Del campamento b) A 5 Km. Del campamento c) A 2 Km. Del campamento d) A 8 Km. Del campamento e) A 4 Km. Del campamento


lgebra 69

TEMA: INTEGRALES

Se define una integral como: C)x(gdx)x(f

Siendo:

.tetanConsC

)x(f)x(g

Ejemplo:

Cxx3

x

Cx2

x2

3

x

Cdxxdx2dx)xdx)1x2x(

23

23

22

Debemos tener en cuenta:

dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(

dx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(

))x(g)x(f()x(Q:exponenteelDonde

C)x(Qdx))x(g)x(f(

)a(g)b(gdx)x(fba

tetancosunaes

0imparesnSi

dxx2paresnSidxx 0n

n


lgebra 70

Recuerda:

Nunca Olvidarse de la

Consonante

Se tiene algunas integrantes:

Codx

CXdx1

C2

xxdx

2

)generalcaso(C1n

xdxx

1nn

C1n

xdxx

1nn

C)x(Lndxx 1

CKxKdx

CLn4

xCdxxdxxdx)xx(

41313

Aplicado a funciones trigonomtricas:

- CCosxSendx

- CSenxCosdx

- C)xln(cosTanxdx

- C)senx(LnCotxdx

- CrcSenxa

x1

dx

2

- C)1x(Ln1x

dx


lgebra 71


01) Se tiene la siguiente integral:

5x4x2dx)bax( 2

Hallar: a x b Rpta:

02) Si: )x(gdx)1x( adems

g(2) = 6 Hallar la constante de la integracin:

Rpta:

03) Hallar la suma de las integrales: Si:

3

0

2

0

2dxxdx)2x(

Rpta:

04) Si:

10x7x4x6dx)pnxmx( 232

Hallar: m- (n + p) Rpta:

05) Sea la funcin: 4x6)x(f Al

hallar su integral, sus coeficientes suman 14. Hallar la constante.

Rpta:

06) Hallar: G(2)

5)x(Gdx)2x3xx( 5

Rpta:

07) Sabemos que: C)x(Lnx

dx

entonces: C)x(G9x

dx3

Hallar: G(e 9) Rpta:

08) Hallar: 2

2

3dxx

Rpta:

09) Si: bax)x(F y su integral de

dicha funcin es. 4x2 + 3x +1.

Hallar: dx)abx( 2

Rpta:

10) Calcular: x

Rpta:

11) Resolver:

dx)x5x(dxx1

0

3

2

2

Rpta:


lgebra 72

12) Resolver: 2

0

21

1

5 dxx2dxx

Rpta:

13) Hallar: dx)4Senx(

Rpta:

14) Resolver:

1

0

3

2dx)1x(dx)2x3(

Rpta:

15) Sea las integrales:

dx)5x6(B

dx)9x7(A

Hallar BA Rpta:

16) Resolver:

4

6

2

4

xdxcosdx)senx(

Rpta:

17) Sea las siguientes integrales:

1

0 2

e

0

0

2

0

2

x1

dxD;

x

dxB

SenxdxB;dxxA4

Nos piden hallar: M SI:

D

)BC(AM

.

Rpta:

18) Resolver: ;dx)dcx( si se

sabe que:

4

0

2 )3x(c y

4

0xdxcosd

Rpta:

19) Se sabe que: C)xln(x

dx

entonces: C)x(GBx

Adx

siendo: 2

0xdxA y

3

0

2 dx1xB

Rpta:

20) Resolver:

2

0

1

1

52

1

0

3

2

dxxdxx2

dx)1x(dx)2x3(E

Rpta:


lgebra 73


01) Sea la siguiente integral:

10x9x4dx)nmx( 2

Hallar: nm

a) 2 b) 1 c) 3 d) e) 1/4

02) Hallar: 10

)3(G)2(G Si:

10)x(Gdx)5x3( 2

a) 5 b) 7 c) 6 d) 9 e) 2

03) Si la siguiente integral se encuentra en

10 y 15. Adems: C = 2

01xdx2

Sea la integral:

)x(gdx)1x(2

Hallar el valor entero de x

a) 1/2 b) -2 c) 1 d) 2 e) 3

04) Si: )x(gdx)x3x5( 24

Adems: G (2) = 48; nos pide Calcular la constante de integracin.

a) 8 b) 5 c) 9 d) 7 e) 6

05) Resolver: 3

6

1

0xdxCosxdx

a) 2

31 b) 1 c) 2

d) 23 e)

23

06) Sea la siguiente funcin:

nmx)x(F y su integral de dicha funcin es: 6x2 + 4x + 7

dx5xn

m 2

a) Cx5x3 b) Cx5x2 3

c) Cx63

x3 d) Cx5

3

x3

e) Cx54

x3


22

1

C)x(Hdx)x4x3(

C)x(gdx)1x2(

Hallar: )3(g)2(H Adems: C1 = C2

a) 3 b) 2 c) 4 d) 3/2 e) 3/4

08) Resolver: 7E

dx3

2x2

dx)2x5(2

3

0

2

0

a) 4 y -4 b) 2 c) 4/3 d) 3 y -3 e) 2 y -2

09) Calcular: dxxdxx3

a) 2/15/2 xx2

5 b)

2/1x

c) 5/2x3

2 d)

3/2

x3

5x

3

2 2/5

e) 2/32/5 x3

2x

5

2


lgebra 74


dx)8x12(B

dx)7x9(A

Hallar dx)AB(

Siendo las constantes de integracin: cero

a) Cx2x 23 b) C2

x

2

x 23

c) C2

xx

23 d) C

2

x

2

x 23

e) Cx2x 23 Cx2x 23

11) Resolver:

2

dxxdx)senx(4

4

32

4

a) 1/4 b) 2 c)

d) 1 e) 2/3 12) Hallar el valor de M.

2

0

1

1

23

3

5

xdx

dxxdxxM

a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 1/6 e) 1/3

13) Resolver: dx)dmx( , si se sabe

que:

1

1

2dxxm y 8

8

53 dx)xx(d

a) C3

x3 b) C

3

x2

c) C2

x3 d) C

2

x2

e) Cx43

x2

14) Sabemos que: C)x(Lnx

dx y

Cx3

2x 3

2dx

Nos piden hallar: M si:

5

dxxx

dx

M

10

e1

a) 1/3 b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) 1

15) Resolver:

1

0 2x1

dxM y

2

0xdxN

nos piden hallar: M x N

a) 2 b) 4 c) 2

d) e) 2/3


lgebra 75

FRMULAS

Logaritmos:

NbxNlog xb .

Funcin Exponencial:

RDonf:}1{Raa)x(f x

Si:

,0RanfRDomf)x(f)x(f)xx(f1,0aaa

2121

2x1x

Si:

,0RanfRDomf)x(f)x(f)xx(f

,1aaa

2121

2x1x

Si:

1aa;0xEn

aa;,0x

aa;0,x1a

xx

xx

xx

Adems: ...7.2e3e2

Hay que saber reglas de exponentes.

Funcin Logartmica:

0x,xlog)x(fY a


lgebra 76

Sea: a: base de 1b0b;xlog)x(f a

- Si 0loglog1b aa

- Si 0loglog1b aa

- 1blogb

- 01logb

- NNlogb b

- Lna

LnbblogLnNNlog ae

- BlogAlogBAlog bbb

- BlogAlog)B/A(log bbb

- Alogn

1Alog b

nb

Si: m.......bc,aNlog

mantisam...bc.0

ticacaractersa

PROPIEDADES GENERALES Cologaritmo y Antilogaritmo. Cologaritmo:

NlogNlogN

1logNlogCo

b

1bb

N

1logNlogco bb

Se; invierte


lgebra 77

Antilogaritmo:

Sea: Nlogx b

NNlogloganti bb

x

b bxloganti Propiedades:

1) xxlogantilog aa

2) xxlogloganti aa

3) xxloglogco aa

4) x/1xlogcologanti aa Relaciones Funciones: Relacin:

}aRbBbAa/)b;a{(R

Reflexiva: R)a;a(

Simtrica: R)a,b(R)b;a(

Transitiva: R)c;a(R)c;b(R)b;a( Funciones:

F es funcin tal que (x; y) F (x, z) F y = z

Dom (f) A Ran(f) B partida llegada lgebra de Funciones:

Suma: Dom gf DomDom)gf(

Resta: Dom gf DomDom)gf(

Producto: Dom gf DomDom)gf(

Division: Dom 0)x(G;Domdom)g/f( gf

Limites:

)x(flimax


lgebra 78

)x(flimE:)x(flim)x(flimaxaxax

Operaciones:

1) R"K";K)Klim(

2) )x(Glim)x(flim)x(G)x(Flim(

3) )x(flimK))x(Kf(lim

4) ))x(G(lim))x(f(lim)x(G)x(Flim

5) 0)x(Glim)x(Glim

)x(Flim

)x(G

)x(Flim

6) ))x(G(lim)x(G ))x(F(lim)x(Flim

7) ))x(G(limF))x(G(Flim

8) lmiteexistenox/1lim0x

Derivadas:

dx

)x(df)x(f

Y= f(x) f(x) = 0 f (x1) < 0 : Mximo Relativo f (x2) > 0 : Mnimo Relativo

Siendo: f ( ) la 2da Derivada

Cosxdx)Senx(d

Senxdx)Cosx(d

xdxsec)x(tand 2

xdxCsc)Cotx(d 2

xSecxdxtan)x(secd

CotxCscdx)x(cscd

dx)mxcos(m)Senmx(d

dx)mx(msen)Cosmx(d

dxnx)X(d 1nn

dxx2)x(d 32

dx)4x2()x4x(d 2


lgebra 79

Integrales:

C)x(gdx))x(f(

constante

)x(f)x(g

Cdx0 C)Senx(LnCotxdx

Cxdx1 CarcSenx

x1

dx

2

C2

xxdx

2

C)1x(Ln1x

dx

CCosxsenxdx CLnxdxx 1

CSenxCosxdx C1n

xdxx

1nn

C)Cosx(LnTanxdx


lgebra 80

MISCELNEAS

01) Efectuar: 27 6)27(

02) Efectuar:

6n4n2n

6n4n2n

222

222P

03) Reducir:

b3ab2a

baba

36

1824

04) Hallar x en:

6 6 6323x .....3232323x2

05) Resolver:

2x22x32 216

06) Resolver:

2x+2

x 1+2

x 2+2

x 3+2

x 4 =248

07) Calcular M, sabiendo que: a +

b + c = 2p

Si: bc2

acb1M2

222

08) Sabiendo que: 79

x

x

a 9

9,

hallar la expresin:

49

49 9

x

x

a

09) Si: x y = 8. Hallar:

(x 3y)2 4y(2y x) + 8

10) Si: yx

4

y

1

x

1, calcular:

y3x

y2

x2

y2x

xy

yxM

22

11) Determinar el valor de:

(2b)2x

(2b)2x

, si se sabe que:

(2b)8x

+ (2b)8x

= 7 y 0 < b < 2

1

12) Si:

196)2x)(1x)(6x)(5x(H

Hallar: 25,16HR

intro mate

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x rpta

x2 x

x x3

ecuacin x2

siguiente ecuacin

ecuacin siguiente

valor absoluto definicin

siguiente teorema