intervalske ocene merenja jednake preciznosti · dvostrani interval poverenja srednje vrednosti...

INTERVALSKE OCENE

MERENJA JEDNAKE

PRECIZNOSTI

Teorija grešaka geodetskih merenja

Profesor dr Branko Božić, dipl.geod.inž.

Građevinski fakultet – Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Verzija 01.02.2019

SADRŽAJ

• POJAM I KARAKTERISTIKE INTERVALSKIH OCENA

• INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI

• VELIČINA UZORKA

• INTERVAL POVERENJA VARIJANSE POPULACIJE

• INTERVAL POVERENJA KOLIČNIKA DVE VARIJANSE

POJAM I OSNOVNE KARAKTERISTIKE

INTERVALSKIH OCENA

Intervalske ocene definišu granice prostiranja slučajne promenljive

Odnos pouzdanosti

ocena I broja

elemenata skupa.

Razlicite ocene za razlicite

uzorke istih dimenzija i iz iste

populacije

Parametri populacije: = 19.9 i 2 =8.5

Ocene parametara iz

uzorka različitih

dimenzija

• Nepoznata varijansa

• Poznata varijansa

INTERVAL POVERENJA SREDNJE VREDNOSTI

POPULACIJE – nepoznata varijansa



)n()x(z Standardizovana slučajna promenljiva koja se ponaša po

zakonu normalnog rasporeda

ns

xt

1,2/ fttP

α1tns

μxP fα/2,

1

22

n

stx

n

stxP

f,/f,/

n

stxμ

n

stx

f,2

αf,

2

α

Kvantil studentovog rasporeda za verovatnocu

/2 i f stepeni slobode

Kako definisati interval poverenja srednje vrednosti ?

Standardizovana slučajna promenljiva koja se ponaša po zakonu

t rasporeda



n

stxμ

n

stx

f,2

αf,

2

α

1

n

stxP

f,

Jednostrani interval

Dvostrani interval

tα/2- t α/2

tα

1-α

Za 1-=95% i f=n -1=10

/2=0.025

t/2,10=2.228


i f stepeni slobode

Dvostrani interval


/2 i f stepeni slobode


POPULACIJE – poznata varijansa

nzx

nzx 22

1

nzxP

95.0n

96.1xn

96.1xP

Dvostrani interval poverenja srednje vrednosti populacija pri

poznatoj varijansi

Kvantil normalnog rasporeda za dati nivo značajnosti α

Dvostrani interval poverenja srednje vrednosti populacija pri poznatoj

varijansi i za dato α =0.05

Jednostrani interval poverenja srednje vrednosti populacija pri

poznatoj varijansi

Kvantil normalnog rasporeda za dati nivo značajnosti α/2

PRIMER 4.2.2: Skripta

INTERVAL POVERENJA SREDNJE

VREDNOSTI POPULACIJE

EXCEL funkcija

VELIČINA UZORKA

n

stx 2/ Raspon prostiranja srednje vrednosti populacije

n

stI 2/ Polovina intervala

2

2/

I

stn

Broj merenja

2

2

I

zn /

nepoznato s

22 //zt

s

Veličina intervala

Kvantil normalnog rasporeda za α /2

Poznata varijansa merenja

Broj merenja = Veličina uzorkaDrugi način određivanja veličine uzorka:

U primenama, pouzdanost standardnog odstupanja jednog merenja može se oceniti veličinom

)n(

s

12

Standardno odstupanje vrednosti standardnog odstupanja

jednog merenja (= pouzdanost ocene s)

sk

1uslov

u %

2

2

11 kn Za svako n može se odrediti

k i odnos

Za 1/k=25%

9n

)n(

sX

12

Standardno odstupanje

vrednosti standardnog

odstupanja srednje

vrednosti

4

VELIČINA UZORKA

Izraz (4.3-5) se može primeniti i na primeru 4.3-1. Naime, željena vrednost standardnog odstupanja

merenja u više girusa prema uslovima zadatka je manja za oko 23% u odnosu standardno

odstupanje merenja ugla u jednom girusu ((2.6-2)/2.6)*100%), što znači da je k=4.3, pa kada se

primeni izraz (4.3-5) sledi da broj merenja treba da bude najmanje 10 ( =10), (ili 5

girusa). Broj girusa je nešto veći, ali je i procenat dozvoljene razlike dva standardna odstupanja

nešto manji (23% umesto 25%).

234

2

11 .n

INTERVAL POVERENJA

VARIJANSE POPULACIJE

22P

Povrsina ispod krive Hi-kvadrat rasporeda od gornje granice do beskonacnosti za

odredjeni stepen slobode

Hi-kvadrat kriva gustina nije simetrična.

Pitanje: Kako odrediti donju granicu?

Mora se odrediti2

1

1P2

1

2

1P2

2/

22

2/1


Dvostrani interval

2

2

2/

22

2

2/12

2/2

22

2/1sf

1

sfP

sfP

1sfsf

P2

2/1

22

2

2/

2

2

2/1

22

2

2/

2sfsf

Dvostrani interval poverenja varijanse

populacije

Broj stepeni slobode uzorka - f

Varijansa uzorka – s2

Kvantil Hi-kvadrat rasporeda

/2

Obostrani

interval

1-α /2

2

21 /

2

2/


1-

2

1

INTERVAL POVERENJA


INTERVAL POVERENJA KOLIČNIKA DVE


2

2

2

1

2

1

f

fF

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

22

1

2

1

2

11

s

s

/s

/s

)f//(sf

)f//(sfF

Interval poverenja = odrediti donju i gornju granicu intervala

12

21

f,f,

f,f,1dF

1FF

1)FFF(P2121 f,f,2/f,f,2/1

12

21

f,f,2/2

2

2

1

2

2

2

1

f,f,2/

2

2

2

1 Fs

s

F

1

s

s

(1- α) interval poverenja količnika dve varijanse

/2/2

1-

Količnik varijansi dva uzorka – F raspored

Raspodela nesimetrična Tablice ne sadrže donju granicu

Donja granica intervala

Verovatnoća intervala poverenja količnika dve varijanse iste populacije

...

Donja granica Gornja granica

Kvantili Fišerovog rasporeda –

Napomena: f1 i f2 zamejuju mesta

u donjoj i gornjoj granici intervalaF1- α /2,f1,f2

α /2,f1,f2

INTERVAL POVERENJA KOLIČNIKA DVE


Tablice rasporeda verovatnoća standardizovane slučajne promenljive normalnog rasporeda

Tablice kvantila studentovog rasporedaDvostrani test

Jednostrani test

Verovatnoće

studentovog

rasporeda za zadatu

vrednost kvantila i

broj stepeni slobode

intervalske ocene merenja jednake preciznosti · dvostrani interval poverenja srednje vrednosti...

Documents