Interacción  está-ca  suelo-­‐estructura  en  cimentaciones  

someras  

     Agus5n  Deméneghi  Colina        Profesor        Facultad  de  Ingeniería        UNAM  

La interacción suelo-estructura es aquella parte de la ingeniería que estudia las deformaciones del terreno de cimentación cuando éstas se ven afectadas por la presencia y rigidez de la propia estructura. La influencia de la estructura puede ser en condiciones estáticas, lo cual es tratado por la interacción estática suelo-estructura, o puede ser en condiciones dinámicas, lo cual cae en el campo de la interacción dinámica suelo-estructura.

Se conocen como métodos de interacción estática suelo-estructura aquellos procedi-mientos que para el cálculo de las deforma-ciones del terreno de cimentación toman en cuenta la rigidez de la estructura. Todos estos métodos están basados en el principio de que en el contacto cimiento-terreno los desplaza-mientos tanto de la subestructura como los del terreno son iguales, es decir, existe compati-bilidad de deformaciones entre estructura y suelo.

En términos generales, el procedimiento de cálculo para la interacción suelo-estructura consiste en tres pasos: (a) se calculan los desplazamientos de la subestructura, (b) se calculan los desplazamientos del terreno de cimentación, y (c) se establece la compatibi-lidad de deformaciones entre estructura y suelo.

Podemos distinguir dos clases de situaciones en relación con la interacción: (i) cuando los cimientos están suficientemente separados, de tal forma que la carga sobre un apoyo no ejerce influencia sobre los desplazamientos de los apoyos vecinos (este fenómeno se presenta usualmente en zapatas aisladas), y (ii) cuando se trata de un cimiento continuo donde el desplazamiento de un punto de dicho cimiento está afectado por la carga repartida en toda la subestructura (es el caso de zapatas corridas o losas de cimentación).

Definamos el módulo de reacción o rigidez lineal vertical de un cimiento de la siguiente forma Kv = Qv/δv (1) donde Qv es la fuerza vertical aplicada al cimiento y δv es el asentamiento vertical ocasionado por Qv. Se define la rigidez lineal horizontal de un cimiento Kh = Qh/δh (2) donde Qh es la fuerza horizontal aplicada al cimiento y δh es el desplazamiento horizontal producido por Qh.

Se define la rigidez a la rotación de un cimiento Kr = M/θ (3) donde M es el momento aplicado al cimiento y θ el ángulo –en radianes- producido por dicho momento.  

Utilizaremos el método de rigideces para el análisis de la estructura (véase el anexo 1), en el que se debe cumplir K δ + Pe + Pc = 0 (4) donde K = matriz de rigidez de la estructura δ = vector de desplazamientos Pe = vector de cargas de empotramiento Pc = vector de cargas concentradas

La rigidez del terreno de cimentación se puede incluir en el vector de cargas concentradas Pc, de la siguiente forma: las fuerzas Qv, Qh y M se pueden obtener con las ecs 1 a 3 Qv = Kv δv (5) Qh = Kh δh (6) M = Kr θ (7)

Determinación de los módulos de reacción del suelo La determinación de las rigideces Kv, Kh y Kr se lleva a cabo usando su definición dada por las ecs 1 a 3. Por ejemplo, el módulo Kv se obtiene aplicando a la zapata una carga vertical Qv y calculando el asentamiento que produce dicha carga. Dado el carácter no lineal de los suelos, es necesario que tanto la carga sobre el cimiento, como sus dimensiones, sean lo más cercano posible a sus magnitudes definitivas en la estructura, pues de otro modo la determinación de las rigideces será sólo aproximada.

Ejemplo Determinar la rigidez lineal vertical Kv de la zapata de la fig E-1, utilizando para ello la fórmula de Burland y Burbridge. El subsuelo está formado por una arena normalmente cargada, N = 15 golpes. Solución El asentamiento en milímetros de la zapata está dado por (Burland y Burbridge, 1985): δ = qn B0.7 Ic Ic = 1.17/N1.4 qn = incremento neto de presión, en kPa B = ancho de la cimentación, en metros Sustituyendo valores qn = 26/1.7(2) = 7.647 t/m2 = 74.995 kPa Ic = 0.0264 B = 1.7 m δ = 2.870 mm = 0.00287 m El módulo Kv vale (ec 1) Kv = 26/0.00287 = 9059.2 t/m

La teoría de la elasticidad proporciona los siguientes valores de los módulos de reacción, para un cimiento somero de planta circular Kv = 2ER/(1-ν2) (12) Kh = 32(1-ν)GR/(7-8ν) (13) Kr = 8GR3/3(1-ν) (14) Estas fórmulas se pueden usar en zapatas rectangulares cuando B < L < 2.5B, mediante el siguiente artificio: Sea A = BL el área del cimiento rectangular, R = √ A/π (15) Para calcular Kv y Kh usamos las ecs 12 y 13 con R obtenida de la ec 15.

Sea I = momento de inercia del cimiento alrededor del eje que se desea calcular Kr R = 4√ 4I/π (16) Kr se computa con la ec 14, con R obtenida de la ec 16. Por lo ya señalado antes, los cálculos de los módulos de reacción con las ecs 12 a 14 son sólo aproximados, pues el comportamiento real de los suelos es no lineal.

Otra forma aproximada de obtener los módulos de reacción es mediante la realización de pruebas de placa (Zeevaert, 1973). Sea kv el módulo de rigidez unitario, definido como kv = Qv/δvA (17) Siendo A = área del cimiento. Si ks1 es el módulo de rigidez vertical determinado con una prueba de placa de un pie de lado, se puede emplear la siguiente fórmula (Terzaghi, 1955) kv = ks1 [(B+0.3)/2B]2 (18) donde B es el ancho de la zapata en metros. En el caso de arcillas kv = ks1 [(n+0.5)/1.5n)] (19) donde n = L/B, siendo L la longitud del cimiento.

Sea un cimiento totalmente flexible con carga uniforme apoyado en un suelo cohesivo totalmente saturado. El asentamiento a largo plazo toma la forma indicada en la fig 7a (Sowers, 1962); el diagrama de reacción del terreno en este caso es igual al de la carga, es decir, la reacción es uniforme. Si dicho cimiento se apoya sobre un suelo friccionante, el asentamiento se distribuye como se indica en la fig 7b (Sowers, 1962); por ser el cimiento totalmente flexible, la reacción del suelo es también uniforme.

Sea ahora una placa de una rigidez infinita apoyada en una arcilla totalmente saturada (fig 8a). El hundimiento es uniforme, pero el diagrama de reacción a largo plazo toma la forma indicada en la fig 8a (Sowers, 1962). Si la placa se apoya sobre un suelo friccionante, el diagrama de reacción toma la forma de la fig 8b (Sowers, 1962).

Vemos entonces que los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno dependen de la clase de suelo y de la rigidez de la estructura. Un cimiento real puede quedar entre los dos casos extremos señalados, pues su rigidez no necesariamente es nula o infinita.

Interacción suelo-zapata corrida

Consideremos un marco estructural con una cimentación a base de una zapata corrida (fig 9a), en el cual se trata de obtener los diagramas de asentamientos y de reacciones del terreno de cimentación (fig 9, b y c).

Comencemos con el diagrama de reacciones. En el caso general, la forma del diagrama es diferente de una reacción uniforme (fig 9b). Sustituyamos la curva de reacción del terreno por una serie de reacciones uniformes r1, r2, ... , rn (fig 10a); el análisis estructural lo llevamos a cabo utilizando el método de rigideces, considerando las reacciones ri como incógnitas. A continuación, aplicando la tercera ley de Newton, aplicamos las cargas ri sobre el terreno (fig 10b), y obtenemos los hundimientos de éste en función de las ri, empleando el método de Chamecki (1956). El problema de la interacción se resuelve estableciendo la compatibilidad de deformaciones entre estructura y suelo, es decir, si el suelo está en contacto con la estructura de cimentación, las deformaciones de ambos medios deben ser iguales.

Zapatacorrida

MARCO ESTRUCTURAL (a)

DIAGRAMA DE ASENTAMIENTOS (b)

DIAGRAMA DE REACCIONES (c)

(Acisef3)MARCO ESTRUCTURAL CON CIMENTACIÓN A BASE DE ZAPATA CORRIDA

FIGURA 9

Zapatacorrida

r4r3 r5

r2 r6r1 r7

(a) REACCIONES DEL TERRENO

r1 r7r2 r6

r3 r5r4

r7

(b) CARGAS SOBRE EL TERRENO

CARGAS SOBRE LA ESTRUCTURA Y EL SUELOFIGURA 10

El incremento de esfuerzo vertical vale

σzijk = Izijk rkdk/ak (21)

donde Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert, 1973).

Los esfuerzos normales vertical y horizontales se obtienen aplicando la ec 21 para todas las cargas rk, es decir nr

σzij = Σ Izijk rkdk/ak (24)

k=1

nr

σxij = Σ Ixijk rkdk/ak (25) k=1

nr

σyij = Σ Iyijk rkdk/ak (26) k=1

Comportamiento lineal

En forma aproximada, se puede resolver la interacción considerando que la deformación bajo el punto i de un estrato de suelo de espesor Hj está dada por

δij = (Hj/Eij) [σzij - ν(σxij +σyij)] (47)

donde Eij es el módulo de deformación del suelo y ν su relación de Poisson.

Sustituyendo las ecs 24 a 26 en la ec 47 nr

δij = (Hj/Eij) Σ [ Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) ] rkdk/ak k=1

Sea Iijk = Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) (48) nr

δij = (Hj/Eij) Σ Iijk rkdk/ak k=1

Tomando en cuenta todos los estratos de subsuelo, y una posible deformación previa δoi, la deformación del punto i es ne nr

δi = δoi + Σ (Hj/Eij) Σ Iijk rkdk/ak (49) j=1 k=1

En el suelo, desarrollamos la ec 49 para i = 1:

δ1 = (H1/E11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + I113r3d3/a3)

+ (H12/E12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + I123r3d3/a3)

En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este problema.

3.2 m 3.2 m

2 m

PLANTA

En la estructura:35 t 50 t 35 t E = 1,130,000 t/m2

I = 0.05163 m4

3.7 t/m 0.5 m

Estrato 1 0.8 m

Estrato 2 1.6 m

RocaELEVACIÓN

CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA YTERRENO DE CIMENTACIÓN (EJEMPLO 3)

FIGURA 13

3.2 m 3.2 m

Área 1 Área 2 Área 31 2 3 2 m

1.6 m 3.2 m 1.6 m

PLANTA

0.5 m

Estrato 1 (1,1) (2,1) (3,1) 0.8 m

Estrato 2 (1,2) (2,2) (3,2) 1.6 m

RocaELEVACIÓN

CÁLCULO DE LOS VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 3)FIGURA 16

Comportamiento lineal

En forma aproximada, se puede resolver la interacción considerando que la deformación bajo el punto i de un estrato de suelo de espesor Hj está dada por

δij = (Hj/Eij) [σzij - ν(σxij +σyij)] (47)

donde Eij es el módulo de deformación del suelo y ν su relación de Poisson.

Sustituyendo las ecs 24 a 26 en la ec 47 nr

δij = (Hj/Eij) Σ [ Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) ] rkdk/ak k=1

Sea Iijk = Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) (48) nr

δij = (Hj/Eij) Σ Iijk rkdk/ak k=1

Tomando en cuenta todos los estratos de subsuelo, y una posible deformación previa δoi, la deformación del punto i es ne nr

δi = δoi + Σ (Hj/Eij) Σ Iijk rkdk/ak (49) j=1 k=1

3.2 m 3.2 m

2 m

(a) PLANTA

En la estructura:35 t 50 t 35 t E = 1,130,000 t/m2

I = 0.05163 m4

3.7 t/m 0.5 mNAF

Estrato 1 Eu = 500 t/m2 Arcilla totalmente saturado 0.8 m

Estrato 2 Eu = 560 t/m2 Arcilla totalmente saturado 1.6 m

Roca(b) ELEVACIÓN

CARACTERÍSTICAS DE ESTRUCTURA YTERRENO DE CIMENTACIÓN (EJEMPLO 4)

FIGURA 17

En el suelo, desarrollamos la ec 49 para i = 1:

δ1 = (H1/E11) (I111r1d1/a1 + I112r2d2/a2 + I113r3d3/a3)

+ (H12/E12) (I121r1d1/a1 + I122r2d2/a2 + I123r3d3/a3)

En la tabla 11 se muestran los valores de influencia para este problema.

TABLA 11VALORES DE INFLUENCIA (EJEMPLO 4)RELACIÓN DE POISSON = 0.5

Punto Izijk Ixijk Iyijk nu Iijk1,1,1 0.4868711 0.3181542 0.2659320 0.5 0.19482801,1,2 0.0017431 0.0526524 0.0031307 0.5 -0.02614841,1,3 0.0000189 0.0034808 0.0000384 0.5 -0.00174081,2,1 0.2791369 0.0579433 0.0297519 0.5 0.23528931,2,2 0.0402185 0.0912394 0.0048027 0.5 -0.00780261,2,3 0.0009920 0.0114948 0.0001265 0.5 -0.00481862,1,1 0.0016360 0.0431202 0.0029179 0.5 -0.02138302,1,2 0.9737421 0.6363085 0.5318640 0.5 0.38965592,1,3 0.0016360 0.0431202 0.0029179 0.5 -0.02138302,2,1 0.0355775 0.0649898 0.0042220 0.5 0.00097172,2,2 0.5582739 0.1158866 0.0595037 0.5 0.47057872,2,3 0.0355775 0.0649898 0.0042220 0.5 0.00097173,1,1 0.0000189 0.0034808 0.0000384 0.5 -0.00174083,1,2 0.0017431 0.0526524 0.0031307 0.5 -0.02614843,1,3 0.4868711 0.3181542 0.2659320 0.5 0.19482803,2,1 0.0009920 0.0114948 0.0001265 0.5 -0.00481863,2,2 0.0402185 0.0912394 0.0048027 0.5 -0.00780263,2,3 0.2791369 0.0579433 0.0297519 0.5 0.2352893

δ1 = (0.8/500)[(0.194828/2)r1-(0.02614844/2)r2

-(0.00174077/2)r3] + (1.6)/(560)[(0.23528931/2)r1

-(0.00780255/2)r2-(0.00481864/2)r3]

Tomando en cuenta que r1 = r3

δ1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (50)

En forma análoga se obtiene

δ2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (51)

Resolviendo el sistema de ecuaciones 27, 28, 29, 50 y 51:

δ1 = 0.014285 m, δ2 = 0.013224 m

θ4 = 0.00075212

r1 = 30.487 t/m, r2 = 14.413 t/m

Interacción  estructura-­‐suelo  plás-co  parcialmente  saturado  

(arcilla  expansiva)  

Interacción estructura-suelo plástico parcialmente saturado En un suelo plástico parcialmente saturado, además de los asentamientos producidos por las cargas de una estructura, se presentan deformaciones debidas a cambios de humedad en el suelo. Un ejemplo de esta clase de fenómeno lo constituyen las arcillas expansivas, que sufren fuertes cambios volumétricos al variar su humedad natural.

Habíamos obtenido: δ1 = 0.000817668 r1 + 0.0000349723 r2 (55) δ2 = 0.0000634471 r1 + 0.00163405 r2 (56) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52 a 56 obtenemos δ1 = 0.021759 m, δ2 = 0.020075 m θ4 = 0.0010381 r1 = 26.129 t/m, r2 = 11.271 t/m Supongamos que por un aumento de humedad en el suelo, en campo libre la arcilla sufre una expansión de 3 cm en los puntos 1 y 3, y de 5 cm en el punto 2 (fig 16). Aplicando la ec 49 en las ecs 55 y 56 obtenemos δ1=-0.03+0.000817668r1+0.0000349723r2 (57) δ2 =-0.05+0.0000634471r1+0.00163405r2 (58) Resolviendo el sistema de ecuaciones 52, 53, 54, 57 y 58 δ1 = -0.013950 m, δ2 = -0.018469 m θ4 = 0.0020384 r1 = 18.835 t/m, r2 = 18.565 t/m

Método  itera-vo  

La interacción suelo-estructura se puede resolver mediante un método iterativo. Esto tiene aplicación en la práctica cuando se dispone de un paquete o un programa de computadora que sustituye al terreno de cimentación por “resortes”, que representan el módulo de reacción de dicho terreno. Dado que no se conoce a priori la “constante del resorte”, pues depende del diagrama de reacción del suelo, que es lo que justamente se está buscando, se tiene que recurrir a un procedimiento iterativo (Chamecki, 1956), que consiste en suponer valores iniciales de las “constantes de los resortes”, y con ellas computar por una parte las deformaciones de la estructura, y por otra las deformaciones del suelo; la diferencia entre deformaciones de estructura y suelo permite ajustar la “constante del resorte”; el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y terreno.

El método se usa de la siguiente forma: a)  En el terreno se entra con las cargas ri y se determinan las deformaciones

δi con la matriz de flexibilidades del suelo (se puede iniciar con la reacción uniforme); los módulos de reacción (o “constantes de los resortes”) se obtienen

Kvi = ri di / δi (59) b) En la estructura se entra con las Kvi y se calculan las deformaciones ; las

reacciones ri por unidad de longitud (en t/m) se obtienen ri = Kvi δi / di (60)

donde di es la longitud en que actúa ri. Con estos valores de ri se entra nuevamente al suelo (inciso a), y el proceso se repite hasta que coinciden las deformaciones de estructura y suelo.

Ilustremos el proceso anterior con la zapata de la fig 19 (ejemplo 6). Los datos de estructura y suelo son los mismos del ejemplo 3 (fig 13). De acuerdo con la ec 4 K δ + Pe + Pc = 0 Las reacciones del terreno se pueden incorporar en el vector de cargas concentradas Pc (fig 19b). De esta forma, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones (δ1): (21365.442+Kv1)δ1–21365.442δ2-34184.707θ4 – 5.92 – 35 = 0 (61) (δ2): -42730.884δ1+(42730.884+Kv2)δ2+68369.414θ4 –11.84 – 50 = 0 (62) (θ4): -34184.707δ1 +34184.707δ2+72927.375θ4 + 3.15733 = 0 (63)

En el terreno de cimentación habíamos obtenido la siguiente matriz de flexibilidades (ecs 50 y 51) δ1 = 0.000483712 r1 – 0.00003206525 r2 (64) δ2 = -0.000031436 r1 + 0.00098398 r2 (65) Las iteraciones se realizan de la siguiente forma 1ra iteración Iniciamos el proceso considerando una reacción uniforme r1 = r2 = r3 = 22.45 t/m

Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59 δ1 δ2 Kv1 Kv2

m m t/m t/m 0.010139 0.021385 3542.592 3359.425 Estructura. Con los Kvi anteriores, y aplicando las ecs 61, 62, 63 y 60 δ1 δ2 r1 r2

m m t/m t/m 0.013295 0.014729 29.437 15.463

1ra iteración

2da iteración Terreno de cimentación. Con los ri anteriores y aplicando las ecs 64, 65 y 59 δ1 δ2 Kv1 Kv2

m m t/m t/m 0.013743 0.014290 3427.089 3462.699 Estructura. Con los Kvi anteriores, y aplicando las ecs 61, 62, 63 y 60 δ1 δ2 r1 r2

m m t/m t/m 0.013498 0.014775 28.912 15.988

4ta iteración Terreno de cimentación. Aplicando las ecs 64, 65 y 59 δ1 δ2 Kv1 Kv2

m m t/m t/m 0.013495 0.014779 3433.069 3452.402 Estructura. Con los Kvi anteriores, y aplicando las ecs 61, 62, 63 y 60 δ1 δ2 r1 r2

m M t/m t/m 0.013493 0.014782 28.952 15.948

Interacción  suelo-­‐losa  de  cimentación  

Una losa de cimentación se puede modelar como una retícula de barras ortogonales entre sí. La solución es más precisa a medida que se incrementa el número de éstas. Para una retícula de barras horizontales

Ejemplo  de  diseño  de  una  zapata  corrida  

Hacer el diseño geotécnico y el diseño estructural de la zapata corrida de concreto reforzado de la figura A, de acuerdo con las Normas de Cimentaciones del RCDF-2004. Terreno de cimentación: zona II, FR ≤ 0.7 En la estructura: Concreto: fc’ = 25 MPa Acero: fy = 420 MPa Considerar una vida útil de 50 años Asentamiento permisible = 10 cm  

4 m 4 m

0.3 mB

PLANTA

320 kN 640 kN 320 kN

10 kN/m

NAF 0.8 m

Arcilla preconsolidada Eu = 2316 kPa, As' = 78, Aske = 0.3 γsat = 16 kN/m3Estrato 1 cu = 52 kPa cv = 0.00082 cm2/s, Φ' = 28°, OCR = 2 0.6 m

Arcilla preconsolidada Eu = 3724 kPa, As' = 86, Aske = 0.3 γsat = 18 kN/m3Estrato 2 cu = 64 kPa cv = 0.00076 cm2/s, Φ' = 30°, OCR = 2 1.4 m

RocaELEVACIÓN

SOLUCIÓN Estados límite de falla Se debe verificar qult ≤ qR qR = 5.14 cu fc FR + pv (33) fc = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B (34) para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichas relaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente. 0.35 ≤ FR ≤ 0.70 Para condiciones normales se recomienda 0.45 ≤ FR ≤ 0.55 qult = Σ Q Fc / A Suponemos ancho de la zapata B = 1.4 m, y un peralte de la losa de la zapata h = 25 cm

qult = 189.97 kPa < qR = 194.08 kPa ∴ Cumple

Estados límite de servicio Asentamiento inmediato Trabajamos bajo el centro de la zapata, y a la mitad de cada estrato. Usando la ley de Hooke:

)()(

ou

yxzu z

EΔ

+−=

σσνσδ

Estrato 1 ν = 0.5, q = 137.17 kPa, z = 0.3 m σz = 133.43 kPa σx = 100.13 kPa σy = 70.19 kPa

Eu = 2316 kPa

)6.0(2316

)19.7013.100(5.043.133 +−=uδ

δu = 0.0125 m Procediendo en forma análoga para el estrato 2, con Eu = 3724 kPa, obtenemos δu = 0.0217 m δuT = 0.0125 + 0.0217 = 0.0342 m

Asentamiento a largo plazo

o

A

veo

zveoPcon z

pp s

Δ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=Δ

−'

1

1 σδ

pveo = pcie + pvo’ pvo’ = 0.8(16)+(16-9.81)(0.3) = 14.657 kPa pveo = pvo’ = 14.657 kPa

( ) mPcon 01753.06.0657.14

43.133657.141781

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=Δ

−

δ

( )PconPcpo δµδ Δ=Δ (18)

Por lo tanto, ya se completó la consolidación primaria, y

( ) mañosPcpo 0131.010131.050, ==Δδ Procediendo en forma similar para el estrato 2: δ50 años = 0.0120 m δ50 años = 1.31 + 1.20 = 2.51 cm (Zapata corrida con Skempton.xls) Asentamiento total El asentamiento total es la suma del hundimiento inmediato más el diferido, es decir δT = 3.43 + 2.51 = 5.94 cm < 10 cm ∴ Cumple

Diseño estructural Interacción suelo-estructura Método directo (Deméneghi, 1996) El análisis estructural se lleva a cabo empleando el método de rigideces. El cálculo de deformaciones del suelo se realiza usando la siguiente fórmula ne nr δi = δoi + Σ (Δzj/Esij) Σ Iijk rkdk/ak (49) j=1 k=1 Donde Iijk = Izijk-ν(Ixijk+Iyijk) (48) Izijk es el valor de influencia vertical, el cual es igual al incremento de esfuerzo normal vertical en el punto ij, producido por una presión unitaria actuando en el área ak (Zeevaert, 1973). Las demás cantidades Ixijk e Iyijk se obtienen en forma similar, usando los incrementos de esfuerzo normal horizontal.

8 m

1 2 3 4 5 7 7 8 91.4 m

PLANTA1

2 3 4 5 6 7 8 9

Distancias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 m

0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 m

Estrato 1 (1,1) (2,1) (5,1) (9,1)

Estrato 2 (1,2) (2,2) (5,2) (9,2) ELEVACIÓN

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADESFIGURA B

Método iterativo El análisis de interacción se puede llevar a cabo en forma iterativa (Ccmaflx02.for; Mafdatx0210). Aplicamos la ecuación 49, considerando, para iniciar los cálculos, una reacción uniforme, la cual vale r = ΣQ/longitud de la zapata r = 1536.32/8 = 192.04 kN/m Usando la matriz de flexibilidades del terreno de cimentación (ecuación 49), la cual se exhibe en el anexo 1, se calculan las deformaciones del suelo. En el anexo 3 se exhiben los resultados de este primer cálculo del análisis a corto plazo (primera iteración).

El módulo de reacción vertical o “constante del resorte” es Kvi = ri di / δi (I) Sustituyendo valores se obtienen los valores de Kv mostrados en el anexo 3. Con estos módulos de reacción iniciamos el análisis estructural de la zapata (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Con los desplazamientos de la estructura δEi se calculan las nuevas cargas rEi sobre el terreno

i

EiviEi d

Kr δ= (J)

A continuación se hace ri = rEi, y se vuelven a calcular las deformaciones del terreno con la ecuación 49. El proceso se repite hasta que las deformaciones del suelo igualan a las de la estructura. En el anexo 3 se presentan los resultados de la última iteración. Con los valores de Kv de esta última iteración se lleva a cabo el análisis estructural y se obtienen los elementos mecánicos sobre la zapata corrida (Ejemplo A E zapata corrida 0210.SDB; SAP 2000). Se encuentran los siguientes valores máximos

CORTO

PLAZO Momento negativo, kN.m

179.04

Momento positivo, kN.m

181.23

Cortante centro, kN

265.72

Cortante extremos, kN

168.91

Estas magnitudes son similares a las halladas con el método directo. Las diferencias se deben básicamente a que en el procedimiento directo se aplican reacciones repartidas sobre la estructura, mientras que con el método iterativo las reacciones sobre la estructuras son cargas puntuales (a través de los resortes).

162.91

(+)

(-) (-)

-177.5 -200.5 -200.5 -177.5

-207.6 -207.6

c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m

320 320

181.5(+) (+)

87.744.1

(-) -87.7 (-) -44.1

-181.5-320

-320

d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN

DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DEELEMENTOS MECÁNICOS

CORTO PLAZOFIGURA E

207.4

(+)

(-) (-)

-167.8-159.4 -167.8 -159.4

-179.4 -179.4

c) DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE, kN.m

320 320

187.5(+) (+)

67.855.43

(-) -67.8 (-) -55.43

-187.5-320

-320

d) DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE, kN

DIAGRAMAS DE ASENTAMIENTOS, DE REACCIONES Y DEELEMENTOS MECÁNICOS

LARGO PLAZOFIGURA F

Magnitudes aproximadas del módulo de reacción Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical

v

vvQKδ

=

v

v

v

vvv

qaQ

aKk

δδ===

Corto plazo Bajo el centro de la zapata corrida

3/82.40100342.017.137 mkNqk

v

vvc ===

δ

mkNakK vcvc /1.5615)4.1)(1(82.4010 ===

En las orillas de la zapata se puede usar

vcvo kk 1.2=

3/7.8422)82.4010(1.2 mkNkvo ==

mkNakK vovo /9.5895)4.1)(5.0(7.8422 ===

Largo plazo Se toma el asentamiento total de la zapata δ = δu + δ’ = 3.43 + 2.37 = 5.80 cm

3/23650580.017.137 mkNqk

v

vvc ===

δ

mkNakK vcvc /3311)4.1)(1(2365 ===

3/5.4966)2365(1.2 mkNkvo ==

mkNakK vovo /55.3476)4.1)(5.0(5.4966 ===

Ejemplo  de  cimentación  compensada  

Ee Eu Ep Ecs cv GdinNAF kPa kPa kPa kPa cm2/s ξ kPa

2 m Limo arcilloso sensitivoGamma = 17 kN/m3 4 m 4955 3980 6200 11295 2x10-3 5 3400

Arcilla limosa sensitivaGamma = 14 kN/m3 4 m 4905 4000 6795 12400 1.2x10-3 5 3300

Arcilla limosa sensitiva Lentes permeablesGamma = 12 kN/m3 5 m 5005 3890 7200 12805 1x10-3 5 3200

Arena muy compacta

ESTRATIGRAFÍA Y PROPIEDADES(Cc cimentación compensada ejemplo 130901) FIGURA A

109 110 111 112 113 114 115 116 117

100 101 102 103 104 105 106 107 108

91 92 93 94 95 96 97 98 99

82 83 84 85 86 87 88 89 90

73 74 75 76 77 78 79 80 81

64 65 66 67 68 69 70 71 72

30.6 m 55 56 57 58 59 60 61 62 63

46 47 48 49 50 51 52 53 54

37 38 39 40 41 42 43 44 45

28 29 30 31 32 33 34 35 36

19 20 21 22 23 24 25 26 27

10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9

20 m

NUMERACIÓN DE NUDOS DE LA CIMENTACIÓN(Cc cimentación compensada ejemplo 0210) FIGURA B

97 98 99 100 101 102 103 104

204 205 206 207 208 209 210 211 212

89 90 91 92 93 94 95 96

195 196 197 198 199 200 201 202 203

81 82 83 84 85 86 87 88

186 187 188 189 190 191 192 193 194

73 74 75 76 77 78 79 80

177 178 179 180 181 182 183 184 185

65 66 67 68 69 70 71 72

168 169 170 171 172 173 174 175 176

57 58 59 60 61 62 63 64

159 160 161 162 163 164 165 166 167

30.6 m 49 50 51 52 53 54 55 56

150 151 152 153 154 155 156 157 158

41 42 43 44 45 46 47 48

141 142 143 144 145 146 147 148 149

33 34 35 36 37 38 39 40

132 133 134 135 136 137 138 139 140

25 26 27 28 29 30 31 32

123 124 125 126 127 128 129 130 131

17 18 19 20 21 22 23 24

114 115 116 117 118 119 120 121 122

9 10 11 12 13 14 15 16

105 106 107 108 109 110 111 112 113

1 2 3 4 5 6 7 8

20 m

NUMERACIÓN DE BARRASFIGURA C

Magnitudes aproximadas de los módulos de reacción Para análisis preliminares de interacción suelo-estructura, se pueden usar los siguientes valores del módulo de reacción vertical

v

vvQKδ

=

v

v

v

vvv

qaQ

aKk

δδ===

Corto plazo Bajo el centro de la losa de cimentación

3/11140330.00415.0

83 mkNqkue

vc =+

=+

=δδ

mkNakK vcvc /7102)55.2)(5.2(1114 ===

En las orillas de la losa se puede usar

vcvo kk 8.23.2 −≅

3/2.3119)1114(8.2 mkNkvo =≅

mkNakK vovo /4.9942)55.2)(25.1(2.3119 === En las esquinas

vcve kk 76 −≅

3/7798)1114(7 mkNkve =≅

mkNakK veve /1.12428)275.1)(25.1(7798 ===

Largo plazo Se toma el asentamiento total de la zapata δ = 0.0415 + 0.0330 + 0.0594 = 0.1339 m

3/8.5221339.070 mkNqkvc ===

δ

mkNakK vcvc /8.3332)55.2)(5.2(8.522 ===

vcvo kk 8.23.2 −≅

3/8.1463)8.522(8.2 mkNkvo =≅

mkNakK vovo /4666)55.2)(25.1(8.1463 ===

vcve kk 76 −≅

3/6.3659)8.522(7 mkNkve =≅

mkNakK veve /5.5832)275.1)(25.1(6.3659 ===

Gracias  por  su  atención  

Agus5n  Deméneghi  Colina  agusdeco@gmail.com