integrasi numeris - istiarto.staff.ugm.ac.id integrasi numeris.pdf · fungsi 7 ! fungsi-fungsi yang...

Numerical Differentiation and Integration

INTEGRASI NUMERIS

http://istiarto.staff.ugm.a.cid

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Integrasi Numeris 2

q  Acuan q  Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd

Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n  Chapter 15 dan 16, hlm. 459-523.


Diferensial, Derivatif 3

xi xi +Δx

yi

yi +Δy

Δx

Δy

xi xi +Δx

yi

yi +Δy

xi

yi

(a) (b) (c)

( ) ( )x

xfxxfxy ii

Δ

−Δ+=

Δ

Δ ( ) ( )x

xfxxfxy ii

x Δ

−Δ+=

→Δ 0lim

dd

difference approximation

f(xi+Δx)

f(xi)


Diferensial, Derivatif 4

( ) ( )x

xfxxfxy ii

Δ

−Δ+=

Δ

Δ ( ) ( )x

xfxxfxy ii

x Δ

−Δ+=

→Δ 0lim

dd

pendekatan beda (hingga) difference approximation derivatif

( )xfyxy

ʹ′=ʹ′=dd

derivatif = laju perubahan y terhadap x


Diferensial

0

40

80

120

160

0 2 4 6 8 10

y

x

slope = dy/dx

0

6

12

18

24

0 2 4 6 8 10

dy/d

x

x

5

5.15xy =

5.05.7dd xxy=


Integral

0

40

80

120

160

0 2 4 6 8 10

∫y d

x

x

6

5.05.7 xy =5.15d xxy =∫

∫=x

xy0dluas

§  “kebalikan” dari proses men-diferensial-kan adalah meng-integral-kan §  integrasi ›‹ diferensiasi

0

6

12

18

24

0 2 4 6 8 10

y

x


Fungsi 7

q  Fungsi-fungsi yang di-diferensial-kan atau di-integral-kan dapat berupa: q  fungsi kontinu sederhana: polinomial, eksponensial, trigonometri

q  fungsi kontinu kompleks yang tidak memungkinkan didiferensialkan atau dintegralkan secara langsung

q  fungsi yang nilai-nilainya disajikan dalam bentuk tabel [tabulasi data x vs f(x)]


Cara mencari nilai integral 8

( )∫ +

++2

0

5.023

dsin5.01

1cos2 xex

x x

x f(x)

0.25 2.599

0.75 2.414

1.25 1.945

1.75 1.993 0

1

2

3

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

A1 A2 A3 A4

∫f(x) dx = luas = ∑Ai


Derivatif 9

xuun

xy n

dd

dd 1−=

( ) ( )xfvxfu == dan

nuy =

vuy =

vuy =

xvu

xuv

xy

dd

dd

dd

+=

2dd

dd

dd

vxvu

xuv

xy −=

xx eex

xx

x

xxx

xxx

xxx

=

=

=

−=

=

dd

1lndd

sectandd

sincosdd

cossindd

2

aaax

axx

x

xxxx

xxxx

xxx

xx

a

lndd

ln1log

dd

cotcsccscdd

tansecsecdd

csccotdd 2

=

=

−=

=

−=


Integral 10

( ) ( ) Cbaxa

xbax

Cxxx

aaCab

axa

nCnuvu

uvuvvu

bxbx

nn

++−=+

+=

≠>+=

−≠++

=

−=

∫

∫

∫

∫

∫∫+

cos1dsin

lnd

1,0ln

d

11

d

dd1

( ) ( )

( )

Cxaab

abbxax

Caxaexex

Caexe

Cxxxxx

Cbaxa

xbax

axax

axax

+=+

+−=

+=

+−=

++=+

−∫

∫

∫

∫

∫

12

2

tan1d

1d

d

lndln

sin1dcos

Metode Trapesium Metode Simpson Metode Kuadratur Gauss

Metode Integrasi Newton-Cotes 11



Persamaan Newton-Cotes 12

q  Strategi q  mengganti fungsi kompleks dan rumit atau tabulasi data dengan

yang mudah untuk diintegralkan

( ) ( )∫∫ ==b

a n

b

axxfxxfI dd

( ) nn

nnn xaxaxaxaaxf +++++= −−

11

2210 ...

polinomial tingkat n



( )xf

x a b

( )xf

x a b

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

Kurva parabola (polinomial tingkat 2) sbg fungsi pendekatan.



( )xf

x a b

Garis lurus (polinomial tingkat 1) sbg fungsi pendekatan.

1 2

3

Fungsi yang diintegralkan didekati dengan 3 buah garis lurus (polinomial tingkat 1). Dapat pula dipakai beberapa kurva polinomial tingkat yang lebih tinggi.


Metode Trapesium 15

q  Fungsi pendekatan untuk menghitung integral adalah polinomial tingkat 1

q  Sebuah garis lurus dapat dinyatakan dengan persamaan

( ) ( )∫∫ ==b

a

b

axxfxxfI dd 1

( ) ( ) ( ) ( )( )axabafbfafxf −

−

−+=1


Metode Trapesium 16

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2

d

bfafab

xaxabafbfafI

b

a

+−≅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−

−+≅ ∫

Metode Trapesium

( )xf

x a b

error


Metode Trapesium 17

( )

640533.16400180

4675

32005.122.0

d400900675200252.08.0

0

65432

8.0

0

5432

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−+=

+−+−+= ∫

xxxxxx

xxxxxxI

( )( ) ( ) 232.08.0 dan 2.00

400900675200252.0 5432

==

+−+−+=

ffxxxxxxf

Penyelesaian eksak

Metode Trapesium

( ) 1728.02232.02.008.0 =

+−=I [error] ( )%89467733.11728.0640533.1 ≈=−=tE


0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

Metode Trapesium

q  Error atau kesalahan q  bentuk trapesium untuk

menghitung nilai integral mengabaikan sejumlah besar porsi daerah di bawah kurva

q  Kuantifikasi error pada Metode Trapesium

18

error

( )( )3121 abfEt −ξʹ′ʹ′−=

ξ adalah titik di antara a dan b


Metode Trapesium

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

19

error ( )( ) 56.208.060.0

121 3 =−−−=aE

( ) 323 8000108004050400 xxxxf +−+−=ʹ′ʹ′

nilai rata-rata derivatif kedua:

( )( )

6008.0

d80001080040504008.0

0

323

−=−

+−+−=ʹ′ʹ′ ∫ xxxx

xf

error:

order of magnitude nilai error ini sama dengan order of magnitude nilai error terhadap nilai penyelesaian eksak dan keduanya sama tanda (sama-sama positif)


Trapesium multi pias 20

q  Peningkatan akurasi q  selang ab dibagi menjadi sejumlah n pias dengan lebar seragam h

nabh −

=


0

1

2

3

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

x

f(x)

h = 0.1

Trapesium multi pias

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

h = 0.2

21

nabh −

=



nabh −

=nxbxa == dan Jika 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

...22

d...dd

12110

1

2

1

1

0

nn

x

x

x

x

x

x

xfxfhxfxfhxfxfhI

xxfxxfxxfI n

n

+++

++

+≈

+++=

−

∫∫∫−

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+≈ ∑−

=n

n

ii xfxfxfhI

1

10 2

2( )

( ) ( ) ( )

!!!! "!!!! #$"#$rata-‐rata tinggi

1

10

lebar2

2

n

xfxfxfabI

n

n

ii +⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−≈

∑−

=



( ) ( )∑=

ξʹ′ʹ′−

−=n

iit f

nabE

13

3

12

Error = jumlah error pada setiap pias

( ) ffn

n

ii ʹ′ʹ′=ξʹ′ʹ′∑

=1

1 ( ) fnabEE at ʹ′ʹ′−

−=≈ 2

3

12

setiap kelipatan jumlah pias, error mengecil dengan faktor kuadrat peningkatan jumlah pias



( ) 5432 400900675200252.0 xxxxxxf +−+−+=

n h I Et %Et Ea

1 0.8 0.1728 1.4677 89% 2.56

2 0.4 1.0688 0.5717 35% 0.64

4 0.2 1.4848 0.1557 9% 0.16

8 0.1 1.6008 0.0397 2% 0.04

( ) 640533.1d8.0

0== ∫ xxfI

( )∫≈8.0

0 1 dxxfI (the trapezoidal rule)

(exact solution)

0

20

40

60

80

100

1 2 4 8 n

%Et vs n


Metode Simpson

q  Fungsi pendekatan: polinomial tingkat 1 q  Peningkatan ketelitian dpt

dilakukan dengan meningkatkan jumlah pias

q  Fungsi pendekatan: polinomial: q  tingkat 2: Simpson 1/3

q  tingkat 3: Simpson 3/8

25

The trapezoidal rule Simpson’s rules


Metode Simpson

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

f2(x)

0

1

2

3

4

0 0.2 0.4 0.6 0.8

x

f(x)

f3(x)

26

Simpson ⅓ Simpson ⅜


Metode Simpson 27

q  Polinomial tingkat 2 atau 3 q  dicari dengan Metode Newton atau Lagrange (lihat materi tentang

curve fitting)


Simpson ⅓ 28

( ) ( )∫∫ ≈=b

a

b

axxfxxfI dd 2

nxbxa == dan Jika 0

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−

+−−−−

+−−−−

≈b

axxf

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxI d2

1202

101

2101

200

2010

21

dan f2(x) diperoleh dengan Metode Lagrange

( ) ( ) ( )[ ]210 43

xfxfxfhI ++≈

2abh −

=

( ) ( ) ( ) ( )6

4 210 xfxfxfabI ++−≈atau

( ) ( )ξ−−= 4

4

5

180f

nabEt


Simpson ⅓ multi pias 29

( ) ( ) ( )∫∫∫−

+++≈n

n

x

x

x

x

x

xxxfxxfxxfI

2

4

2

2

0

d...dd

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

42...

64

26

42 12432210 nnn xfxfxf

hxfxfxf

hxfxfxf

hI++

++++

+++

≈ −−

( )( ) ( ) ( ) ( )

n

xfxfxfxfabI

n

n

ii

n

ii

3

242

6,4,2

1

5,3,10 +++

−≈∑∑−

=

−

=

( ) 44

5

180f

nabEa

−−= (estimasi error, 4f rata-rata derivatif ke-4)


Simpson ⅜ 30

( ) ( )∫∫ ≈=b

a

b

axxfxxfI dd 3

nxbxa == dan Jika 0

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )( )( )

( )∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−−−−−

+−−−−−−

+−−−−−−

+−−−−−−

≈b

axxf

xxxxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxxI d3

231303

2102

321202

3101

312101

3200

302010

321

dan f3(x) diperoleh dengan Metode Lagrange

( ) ( ) ( ) ( )[ ]3210 3383 xfxfxfxfhI +++≈

3abh −

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!!! "!!!!! #$"#$

ratarata tinggi

3210

lebar833

−

+++−≈

xfxfxfxfabIatau


Simpson ⅜ 31

( ) ( )ξ−−= 4

5

6480fabEt

Error

( )ξ−= 45

803 fhEt atau


Simpson ⅓ dan ⅜ 32

( ) 5432 400900675200252.0 xxxxxxf +−+−+=

( ) 640533.1d8.0

0== ∫ xxfI (exact solution)

Metode I Et

Simpson ⅓ (n = 2) 1.367467 0.273067 (17%)

Simpson ⅜ (n = 3) 1.51917 0.121363 (7%)

Simpson ⅓ (n = 4) 1.623467 0.017067 (1%)


Pias tak seragam: Metode Trapesium 33

( )543

2

400900675

200252.0

xxx

xxxf

+−

+−+=i xi f(xi) I

0 0 0.2

1 0.12 1.309729 0.090584

2 0.22 1.305241 0.130749

3 0.32 1.743393 0.152432 4 0.36 2.074903 0.076366 5 0.4 2.456 0.090618

6 0.44 2.842985 0.10598

7 0.54 3.507297 0.317514

8 0.64 3.181929 0.334461

9 0.7 2.363 0.166348

10 0.8 0.232 0.12975

1.594801

I dihitung dengan Metode Trapesium di setiap pias:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2

...2

2112

2

011

−+++

+

++

=

nnn

xfxfhxfxfh

xfxfhI

( ) 594801.1d8.0

0=∫ xxf


Pias tak seragam: Metode Simpson 34

( )543

2

400900675

200252.0

xxx

xxxf

+−

+−+=i xi f(xi) I

0 0 0.2

1 0.12 1.309729

2 0.22 1.305241

3 0.32 1.743393 4 0.36 2.074903 5 0.4 2.456

6 0.44 2.842985

7 0.54 3.507297

8 0.64 3.181929

9 0.7 2.363

10 0.8 0.232

I dihitung dengan Metode Simpson ⅓ dan Simpson ⅜:

PR, dikumpulkan minggu depan


Metode Integrasi Numeris 35

Metode Jumlah pias Lebar pias

Trapesium 1

Trapesium multi pias n > 1 seragam atau tak-seragam

Simpson ⅓ 2 seragam

Simpson ⅓ mul( pias genap (2m, m = 2,3,…) seragam

Simpson ⅜ 3 seragam

Kuadratur Gauss 1


Kuadratur Gauss 36

( )xf

x

( )xf

x error terlalu besar upaya mengurangi error


Kuadratur Gauss 37

( )xf

x

( )0xf

( )1xf

0x 1x1− 1

Kuadratur Gauss 2 Titik: Gauss-Legendre

( ) ( ) ( )1100

1

1d xfcxfcxxfI +≈= ∫−

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0d

32d

0d

2d1

1

1

31100

1

1

21100

1

11100

1

11100

==+

==+

==+

==+

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxfcxfc!!c0 ,c1 , x0 , x1 : !!unknowns


0

0.5

1

1.5

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss 38

( )xf

x

( ) 1=xf

( ) xxf =

2d11

1=∫− x 0d

1

1=∫− xx

( )xf

x


0

1

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Kuadratur Gauss 39

( )xf

x

( ) 2xxf = ( ) 3xxf =

32d1

1

2 =∫− xx 0d1

1

3 =∫− xx

( )xf

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5


Kuadratur Gauss 40

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 0d

32d

2d

2d1

1

1

31100

1

1

21100

1

11100

1

11100

==+

==+

==+

==+

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxxfcxfc

xxfcxfc

( ) ( )1100 xfcxfcI +≈31

31

1

1

0

10

=

−=

==

x

x

cc

( ) ( )3131 ffI +−≈


Kuadratur Gauss 41

Untuk batas integrasi dari a ke b: §  diambil asumsi suatu variabel xd yang dapat dihubungkan dengan variabel asli

x dalam suatu relasi linear

dxaax 10 +=

§  jika batas bawah, x = a, berkaitan dengan xd = −1

§  jika batas atas, x = b, berkaitan dengan xd = 1

( )110 −+=⇒ aaa( )110 aab +=⇒

2 dan

2 10abaaba −

=+

=

( ) ( )

( )d

d

xabx

xababx

d2

d

2−

=

−++=

dxaax 10 +=


Kuadratur Gauss 42

( ) 5432 400900675200252.0 xxxxxxf +−+−+=

( ) 640533.1d8.0

0== ∫ xxfI (exact solution)

Penyelesaian dengan Metode Kuadratur Gauss:

( ) ( )

dd

dd

xxx

xxx

d4.0d2

08.0d

4.04.02

08.008.0

=−

=

+=−++

=


Kuadratur Gauss 43

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

−+++−++

=+−+−+

∫

∫

−

1

1 54

32

8.0

0

5432

d4.04.04.04004.04.0900

4.04.06754.04.02004.04.0252.0

d400900675200252.0

ddd

ddd xxx

xxx

xxxxxx

( )( ) 305837.131

516741.031

==

=−=

d

d

xf

xf( )

822578.1305837.1516741.0

d8.0

0

=

+=

≈ ∫ xxfI

44 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

integrasi numeris - istiarto.staff.ugm.ac.id integrasi numeris.pdf · fungsi 7 ! fungsi-fungsi yang...

Documents