REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓ UNIVERSITARIA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL “JOSÉ FÉLIX RIBAS”

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN CONSTRUCCIÓN CIVIL

BARINAS ESTADO. BARINAS

PROFESORA: BACHILLERES:

ROSA UZCATEGUI PADRÓN CRISTINA

TRAYECTO: III TRAMO: III FERNANDEZ JEAN CARLOS

SECCIÓN: A

BARINAS, MARZO DE 2015

Contenido DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE ....................................................................................................... 3

Ejemplo: ........................................................................................................................................ 3

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES ....................................................................................... 4

Calculo de integrales Dobles ........................................................................................................... 5

Métodos de integración .............................................................................................................. 5

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES ..................................................................................... 10

Ejemplo # 1 (Centro de Masa) ............................................................................................... 10

DEFINICION DE INTEGRAL TRIPLE...................................................................................................... 11

CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE ..................................................................................................... 11

Ejemplo #1 .................................................................................................................................. 12

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES ............................................................................. 13

Teorema del cambio de variable para integrales triples ............................................................... 14

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES ................................................................................. 14

TEOREMA DE STEINER. .................................................................................................................. 15

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE

Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b], por tanto:

La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d] como:

Es decir, realizar una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, una en primer lugar en función de x, considerando que la y es una constante; y en segundo lugar en función de y (en este caso ya no habrá ningún termino con x).

Ejemplo: Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2]. En primer lugar escribimos la integral que nos piden, colocando en su lugar los límites respecto a los cuales tenemos que integrar:

Resolvemos la integral que está en el paréntesis, es decir, la integral respecto de x donde y es una constante

: Por último, el resultado anterior lo integramos respecto de y.

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES

1. Se cumple la propiedad de linealidad:

– Si hay un escalar multiplicando dentro de la integral se puede sacar factor común:

– La integral de la suma de dos funciones dobles f(x,y) + g(x,y) es igual a la suma de la integral doble de cada una de ellas:

2. Cumplen la propiedad de la monotonía:

Si f(x,y)≤g(x,y) para todos los valores de (x,y) pertenecientes a R, entonces ∫∫f(x,y)dxdy ≤ ∫∫g(x,y)dxdy.

3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal que R1 U R2 = R y cuya intersección sea vacía o lo que es lo mismo que R1∩R2 no tenga área, entonces:

4. El área del recinto R= [a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:

5. Podemos intercambiar los límites de integración siempre y cuando cambiamos también el orden de las variables respecto a las que estamos integrando:

6. La función del valor absoluto, |f(x,y)| también es integrable y verifica que:

Recordemos que también podemos realizar integrales dobles sobre recintos que no sean rectángulos, estas integrales se estudian más a fondo en carreras de ciencias como las ingenierías, por tanto, por ahora, este ha sido un buen comienzo.

Calculo de integrales Dobles

Métodos de integración

Funciones constante

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R2 esto da el área de la región, mientras que si es una región de R3 da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

y Integrando f sobre D:

Uso de simetrías

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada y que es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen. Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente a la tercera.

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar

que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se

considera (el radio medio), el área de la región polar es

efectivamente .

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si la función es aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con

respecto a y a .

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a .

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

Coordenadas Esféricas

Gráfica de las coordenadas esféricas.

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R3, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.

Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

Coordenadas Cilíndricas

Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestra el ángulo θ como φ).

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES

El área de una región plana R en el plano viene dada por una integral doble.

El volumen encerrado entre una superficie y una región en el plano es:

Masa: Sea la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano Entonces la masa total de un trozo plano es:

El centro de gravedad de la masa del trozo plano anterior tiene coordenadas

donde:

Los momentos de inercia e de la masa de con respecto a los ejes e respectivamente son:

Ejemplo # 1 (Centro de Masa)

DEFINICION DE INTEGRAL TRIPLE Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla.

Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de

Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.

CALCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE

En coordenadas rectangulares

, etc. tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.

en coordenadas cilíndricas

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.

En coordenadas esféricas

Tomando los límites de integración de forma que cubran la región R.

Ejemplo #1

Evaluar , donde es el tetraedro sólido limitado por los cuatro

planos , y .

La frontera inferior del tetraedro es el plano y la frontera superior es el plano

. Los planos y se cortan en la recta en el plano . Por tanto, la proyección de es la región triangular.

Entonces tenemos

Esta descripción de como una región tipo 1, nos permite evaluar la integral así:

=

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

Es parecido al cambio de variables en integrales dobles.

A dxdydz se le llama elemento de volumen. Representa el volumen de un paralelepípedo infinitesimal dxdydz = dV.

Sabemos que el volumen de un paralelepípedo en cuyos vectores

Son

En valor absoluto

Por consideraciones análogas a las que hicimos para integrales dobles, el elemento de

Volumen dV = dxdydz, resultado de transformar mediante T el elemento de volumen dudvdw es:

Podemos, pues, enunciar el siguiente resultado

Teorema del cambio de variable para integrales triples

PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES

TEOREMA DE STEINER.

Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser engorrosos, incluso para sólidos con alta simetría.

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Procedemos ahora la demostración del Teorema:

Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. Por tanto: