integral dupla
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Cálculo Diferencial e Integral IV
ProfessoraProfessora: Maria Beatriz Menezes Castilhos
Integrais DuplasIntegrais Duplas
Integral Dupla de f sobre o Integral Dupla de f sobre o retângulo Rretângulo R
R
dA)y,x(f
m
1jijij
n
1in,mA)y,x(flim
R
dA)y,x(fV
Cálculo da Integral DuplaCálculo da Integral DuplaIntegrais IteradasIntegrais Iteradas
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(f
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas1) Regiões inscritas em faixas verticais
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
x
y
0 bay = g1(x)
y = g2(x)DD
Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas1) Regiões inscritas em
faixas horizontais
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
x
y
0
d
c
x = h1(y)
x = h2(y)DD
Propriedades das Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas
DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf
21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
DD
D
dA)y,x(gdA)y,x(f
dA)]y,x(g)y,x(f[
Massa e Centro de Massa de uma Massa e Centro de Massa de uma LâminaLâmina
(x,y) : densidade no ponto (x,y)D : local ocupado pela lâminam : massa da lâmina
D
dA)y,x(m