integral dan aplikasinya dalam...
TRANSCRIPT
![Page 1: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/1.jpg)
Achmad Fahrurozi
Universitas Gunadarma
Integral dan Aplikasinyadalam Ekonomi
1Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 2: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/2.jpg)
Anti Turunan/Integral Tak Tentu
• Diketahui fungsi F (x) dan turunannya sebagai berikut:
• Secara umum jika F (x) = x2 + C , dengan C ∈ R, berlaku F’(x) = 2x
2Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 3: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/3.jpg)
Pada bagian ini akan dipelajari proses kebalikan dari turunan. Diberikan F’(x) = 2x, tentukan aturan F (x).
• Dugaan kita: F (x) = x2 + C dengan C sebarang bilangan real.
• Apakah ada jawaban lain ?
• Gunakan sifat berikut ini untuk menjawabnya:
Misalkan F dan G dua buah fungsi dengan sifat F’(x) = G’(x). Maka terdapat konstanta C sehingga F(x) = G(x)+ C.
Jadi, Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f, dinotasikan A(f ) atau ∫ f (x) dx jika F’(x) = f(x).
3Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 4: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/4.jpg)
Sifat-sifat ant turunan:
1. Misal r ∈ Q, r ≠ -1. Maka
2. Misal r ∈ Q, r ≠ -1. Maka
3. dan
4.
4Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
Cxr
dxx rr
1
1
1
Cur
dxxuu rr
1
1
1)('.
Cxxdx cossin Cxxdx sincos
dxxfkdxxkf )()(
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
![Page 5: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/5.jpg)
• Latihan Soal:
Tentukan anti turunan berikut:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
5Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
dx
xx 45
34
dx
x
xx5
56 834
dxxx 273 15.85
dttt3 2 128
xdxx cos.sin10
dxx
![Page 6: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/6.jpg)
Aplikasi Integral Tak Tentu DalamBidang Ekonomi• Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari
fungsi-fungsi ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsiasal) dari fungsi marginalnya, diantaranya mencari:
1. Fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal,
2. Fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal,
3. Fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,
4. Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta
5. Fungsi kapital dari fungsi investasi.
• Fungsi marginal merupakan turunan dari fungsi total, makaproses sebaliknya merupakan proses integrasi (integral).
6Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 7: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/7.jpg)
Fungsi Biaya Total (TC)
• Fungsi Biaya Total TC = f(Q)
• Telah dipelajari sebelumnya bahwa Biaya Marginal (MC) adalah turunan pertama dari TC, ditulis:
• Dengan demikian, Biaya total merupakan integral dari biayamarginalnya, disimbolkan:
)(' QTCdQ
dTCMC
dQMCTC
7Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 8: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/8.jpg)
• CONTOH:
Biaya Marginal suatu perusahaan adalah:
Hitung persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya ?
• Jawab:
• Biaya total
• Biaya Rata-rata
dimana k = besarnya biaya tetap ( fix cost )
463 2 QQMC
MCdQTC)(
kQQQdQQQTC 43)463( 232
Q
kQQQ
Q
TCAC
43)(
23
Q
kQQAC 432
8Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 9: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/9.jpg)
Fungsi Penerimaan Total (TR)
• Fungsi Penerimaan total TR = f(Q)
• Telah dipelajari sebelumnya bahwa Fungsi PenerimaanMarginal (MR) adalah turunan pertama dari TC, ditulis:
• Dengan demikian, Biaya total merupakan integral dari biayamarginalnya, disimbolkan:
)(' QTRdQ
dTRMR
dQMRTR
9Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 10: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/10.jpg)
• CONTOH:
Carilah penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatuperusahaan jika penerimaan marginalnya
• Jawab:
• Penerimaan total
• Biaya Rata-rata
Dalam persamaan penerimaan, sebab penerimaan tidak adajika tidak ada barang yang dihasilkan / dijual.
QMC 416
MRdQTR
2216)416( QQdQQTR
Q
Q
TRAR
2216
QAR 216
10Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 11: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/11.jpg)
Fungsi Konsumsi (C)
• Fungsi Konsumsi C = f(y)
• Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsimarginalnya (MPC), dan sebaliknya konsumsi merupakanturunan pertama dari fungsi konsumsi. Secara matematisditulis:
dan
)(' yCdy
dCMPC
dyMPCC
11Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 12: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi Tabungan (S)
• Fungsi Tabungan S = f(y)
• Fungsi tabungan merupakan integral dari tabunganmarginalnya (MPS), dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan. Secaramatematis ditulis:
dan
)(' ySdy
dSMPS
dyMPSS
12Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 13: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi Modal/Kapital (K)
• Fungsi Modal K = f(t)
• Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dansebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama darifungsi kapital. Secara matematis ditulis:
dan
)(' tKdt
dKI
dttIK )(
13Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 14: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/14.jpg)
Achmad Fahrurozi
Universitas Gunadarma
Integral Tentu
14Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 15: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/15.jpg)
Luas Daerah di Bidang
• Archimedes (sekitar 2000 tahun lalu)
• A(Pn) ≤ L (Luas Lingkaran)
• Sehingga LPA nn
)(lim
15Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 16: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/16.jpg)
Luas Daerah di Bidang
• L ≤ A(Tn)
• Sehingga
• Diperoleh kesimpulan: (luas lingkarandengan jari-jari 1 adalah )
)(lim nn
TAL
L
16Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 17: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/17.jpg)
Luas Daerah di Bidang• Perhatikan sebuah keping tipis di bidang.
Bagaimana cara menentukan luas keping tersebut?
• Pola yang dilakukan Archimedes ditiru dengan caramenghampiri keping tersebut dengan persegipanjang-persegi panjang.
17Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 18: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/18.jpg)
Luas Daerah di Bidang
18Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 19: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/19.jpg)
Luas Menurut Poligon-Poligon Luar
Perhatikan daerah yang dibatasi oleh f (x) = x2, sumbu-x, garis x = 1 dan garis x = 3. Misalkan luasdaerah ini adalah K. Luas ini akan dihampiri denganpoligon-poligon luar seperti pada gambar di bawah.
19Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 20: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/20.jpg)
• Partisikan interval [1, 3] atas n bagian, sama lebar.
• Lebar tiap subinterval: ∆x =
• P : 1 = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = 3
dengan xi = 1 + i.∆x =
• Perhatikan interval ke-i, yaitu [xi-1, xi].
• Bentuk persegi panjang dengan lebar ∆x dan tinggif(xi)
• Luas persegi panjang ini: L(∆Rn) = f (xi).∆x.
• Lakukan proses ini untuk i = 1, 2, ··· , n.
• Luas seluruh persegi panjang adalah:
L(Rn) = f (x1) ∆x + f (x2) ∆x + f (x3) ∆x + ··· + f (xn) ∆x
nn
213
n
i21
20Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 21: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/21.jpg)
21Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 22: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/22.jpg)
• Jelas , sehingga:
3
26
n
nRLLim
3
26
n
nRLLimK nRLK
22Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 23: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/23.jpg)
Luas Menurut Poligon-Poligon Dalam
Perhatikan daerah yang dibatasi oleh f (x) = x2, sumbu-x, garis x = 1 dan garis x = 3. Misalkan luasdaerah ini adalah K. Luas ini akan dihampiri denganpoligon-poligon dalam seperti pada gambar dibawah.
23Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 24: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/24.jpg)
• Partisikan interval [1, 3] atas n bagian, sama lebar.
• Lebar tiap subinterval: ∆x =
• P : 1 = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = 3
dengan xi = 1 + i.∆x =
• Perhatikan interval ke-i, yaitu [xi-1, xi].
• Bentuk persegi panjang dengan lebar ∆x dan tinggif(xi)
• Luas persegi panjang ini: L(∆Tn) = f (xi-1).∆x.
• Lakukan proses ini untuk i = 1, 2, ··· , n.
• Luas seluruh persegi panjang adalah:
L(Tn) = f (x0) ∆x + f (x1) ∆x + f (x2) ∆x + ··· + f (xn-1) ∆x
nn
213
n
i21
24Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 25: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/25.jpg)
• Jelas , sehingga:
3
26
n
nTLLim
KRLLim nn
3
26 KTL n
25Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 26: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/26.jpg)
Dari hasil terakhir ini, diperoleh:
Jadi K =
Fenomena ini menunjukan bahwa perhitungan luastidak bergantung pada jenis poligon yang dipakai. Untuk n → ∞ keduanya memberikan hasil yang sama.
3
26
3
26 K
3
26
26Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 27: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/27.jpg)
Latihan: Ikutilah prosedur seperti contoh sebelumnyauntuk menghitung luas daerah yang dibatasi olehgrafik-grafik berikut:
(a) y = x2 + 1; x = 0; x = 2.
(b) y = x3; x = 1; x = 4.
27Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 28: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/28.jpg)
Jumlah Riemann
• Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval tutup[a, b].
28Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 29: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/29.jpg)
• Partisikan interval [a, b] atas n bagian (tidak perlu samalebar)
P : a = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = b dan sebut ∆xi = xi−xi-1
• Pada setiap subinterval [xi-1, xi], pilih titik wakil , i =1, 2,··,n
Jumlahan disebut Jumlah Riemann dari f.
ix
i
n
i
iP xxfR
.1 29Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 30: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/30.jpg)
Perhatian !1. Nilai sebuah jumlah Riemann tidak tunggal, tergantungpada pemilihan: ’banyaknya interval’, ’lebar tiap interval’ dan ’titik wakil yang digunakan’.
2. Suku f (xi).∆Xi pada jumlah Riemann dapat bernilainegatif sehingga RP hasilnya juga dapat negatif.
Contoh:1. Tentukan suatu jumlah Riemann dari f(x)=x3 + 2x pada[1,5].2. Tentukan suatu jumlah Riemann dari f(x)=x2 + 1 pada[−1,2] memakai 6 subinterval sama lebar dan titikwakilnya adalah ujung kanan tiap subinterval.
30Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 31: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/31.jpg)
Integral Tentu
Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilaivariable bebasnya memiliki batas-batas tertentu.Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas area suatufungsi.
Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b] dengan P , ∆xi danmempunyai arti seperti pada pembahasan sebelumnya. Tetapkan|P |, dibaca P Norm, sebagai panjang dari subinterval yang paling lebar.Jika ada maka disebut integral tentu/
Riemann dari f pada [a, b], dinotasikan:
i
n
i
iP
xxfLim
.
10
i
n
i
iP
b
a
xxfLimdxxf
.)(
10
ix
31Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 32: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/32.jpg)
Diskusi:• Benarkah : jika n →∞ maka |P | → 0• Benarkah : jika |P | → 0 maka n →∞
Kesimpulan:
Jika .................... maka i
n
i
in
b
a
xxfLimdxxf
.)(
1
32Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 33: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/33.jpg)
Arti Geometris Integral Tentu
bawahatas
b
a
AAdxxf )(
33Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 34: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/34.jpg)
Sifat-Sifat Integral Tentu
1.
2. Sifat linier. Misalkan k sembarang konstanta, maka:
3. Sifat Penambahan Selang.Misalkan f terintegralkanpada interval yang memuat titik a, b dan c, maka:
a
b
b
a
a
a
dxxfdxxfdxxf )()(dan 0)(
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfkdxxgxkf )()()()(
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
34Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 35: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/35.jpg)
Sifat-Sifat Integral Tentu
4. Jika maka:
5. Misalkan N, M konstanta danmaka:
Ilustrasikan sifat ke 3 s/d 5 dengan grafik !
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
)()()( abMdxxfabN
b
a
],[ )()( baxxgxf
MxfN )(
35Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 36: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/36.jpg)
• Fungsi-fungsi berikut terintegralkan sepanjang [a, b]:1. Polinom2. fungsi rasional (syarat penyebut tidak nol sepanjang [a,
b])3. fungsi sinus dan cosinus.
Contoh Soal:1. Dengan konsep limit jumlah Riemann, hitunglah:
a. b.
2. Nyatakan limit berikut sebagai bentuk suatu integral tentu:
a. b.
2
1
2 82 dxx
2
1
dxx
n
in nn
iLim
1
44
n
in nn
iLim
1
331
36Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 37: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/37.jpg)
Teorema Dasar Kalkulus 2
Misalkan f kontinu di [a, b] dan F suatu anti turunandari f, maka:
• Contoh:
1.
2. (substitusikan: )
b
a
aFbFdxxf )()()(
2
1
2 )82( dxx
622 xxu
1
0
2 62
1dx
xx
x
37Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 38: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/38.jpg)
Perhitungan Luas Daerah/Keping
Perhatikan daerah/keping yang dibatasi oleh fungsi positiff(x), garis x = a, garis x = b dan sumbu-x. Akan dihitung luasdaerah/keping tersebut memakai konsep integral.
Ilustrasi:
38Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 39: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/39.jpg)
• Bentuk partisi P : a = x0 < x1 < ··· < xn-1 < xn = bPerhatikan elemen partisi ke i, yaitu [xi-1, xi]
• Pilih titik wakil ∈ [xi-1, xi]
• Bentuk persegipanjang dengan lebar ∆xi = xi − xi-1 danpanjang• Luas elemen ke i adalah
• Luas seluruh n persegipanjang adalah:
• Luas daerah seluruhnya adalah:
n
i
ii
n
i
i xxfL11
).(
b
a
n
i
iiP
dxxfxxfLimL )().(1
0
iii xxfL ).(
)( ixf
ix
39Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 40: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/40.jpg)
Perhatikan bahwa:
• Tanda berubah menjadi
• Nilai fungsi berubah menjadi f(x).
• Besaran ∆xi berubah menjadi dx.
• Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = x3+3x2, garis x = 1, garis x = 3 dan sumbu-x !
n
iPLim
10
b
a
)( ixf
40Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 41: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/41.jpg)
Luas Daerah/Keping di Bawah Sumbu-x
Bagaimana bila fungsi f memuat bagian negatif (lihatilustrasi). Prinsip menghitung luas daerahnya samasaja dengan ilustrasi sebelumnya, hanya nilai fungsi f harus dihitung positif.
Ilustrasi:
41Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 42: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/42.jpg)
• Jadi luasnya L =
• Untuk menghindari tanda mutlak biasanya dihitungdengan cara sebagai berikut:
b
a
dxxf )(
b
d
d
c
c
a
IIIIII
dxxfdxxfdxxf
LLLL
)()()(
42Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 43: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/43.jpg)
Luas Daerah/Keping Dibatasi Dua Kurva
Perhatikan bentuk keping yang lebih umum denganbatas-batas: fungsi f (x), fungsi g(x), garis x = a dan garis x = b. Prinsip dasar: gambarkan elemen luasnya lalutentukan panjang dan lebar dari elemen tersebut.Ilustrasi:
43Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 44: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/44.jpg)
Luas elemen integrasi:
Luas daerah seluruhnya:
iiii xxgxfL .)()(
dxxgxfL
b
a
)()(
44Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 45: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/45.jpg)
Luas Daerah/Keping Atas Sumbu-Y
Alternatif lain dari keping di bidang adalah seperti padagambar di bawah ini. Keping ini dibatasi oleh grafik x = f (y), garis y = c, garis y = d, dan sumbu-y. Pada kasus inipartisi dibuat pada sumbu-y sepanjang interval [c, d].
P : c = y0 < y1 < ··· < yn-1 < yn = d
Luas elemen integrasi:
Luas daerah seluruhnya:iii yyfL ).(
d
c
dyyfL )(45Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 46: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/46.jpg)
Contoh Soal:Pada gambar-gambar di halaman berikutnya, lakukanlahsebagai berikut:• Nyatakanlah batas-batas daerah yang dimaksud• Gambarkan elemen integrasi untuk menghitung luas
daerahnya.• Tuliskan rumus elemen luasnya.• Tuliskan rumus luasnya sebagai integral tentu.
46Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 47: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/47.jpg)
(a) (c)
(b) (d)
47Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 48: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/48.jpg)
Soal Latihan:1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik-grafik
y=x+6, y = x3, dan 2y + x = 0 !
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = √x, sumbu-y, garis y = 0 dan garis y = 1 !
3. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengankecepatan v(t) = 3t2 − 24t + 36. Tentukan perpindahandan jarak tempuh keseluruhan selama interval waktu−1 ≤ t ≤ 9.
48Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 49: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/49.jpg)
Soal Latihan:4. Misalkan ; untuk 1 ≤ x ≤ 6
a. Hitung luas daerah di bawah kurva tersebut.
b. Tentukan c sehingga garis x = c membagi daerahtersebut atas dua bagian dengan luas sama.
c. Tentukan d sehingga garis y = d membagi daerahtersebut atas dua bagian dengan luas sama
2
1)(
xxf
49Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 50: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/50.jpg)
Fungsi Transenden
Achmad Fahrurozi
Universitas Gunadarma
50Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 51: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/51.jpg)
• Fungsi real secara umum dibagi atas duakelas yaitu:
1. fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, harga mutlak).
2. fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsialjabar (contoh sin x).
• Pada bagian ini akan dipelajari berbagaimacam fungsi transenden disertai sifat-sifatnya.
Pendahuluan
51Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 52: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/52.jpg)
• Fungsi Logaritma Natural/ Asli
Perhatikan fungsi dengan x > 0, k ∈ Z, k = 1.
Fungsi tersebut merupakan fungsi aljabar:
Untuk k =1, fungsi di atas berbentuk . Fungsi ini
tidak dapat ditentukan secara eksplisit seperti di atas.
Logaritma Natural/ Asli
52Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
x
kdt
t1
1
1
1
1
111
1
k
x
k xkdt
t
x
dtt
1
1
![Page 53: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/53.jpg)
• Fungsi logaritma natural, ditulis ln didefinisikan sebagai
berikut:
• Secara geometri, fungsi ln x dapat diilustrasikan sebagai
berikut: Perhatikan daerah yang dibatasi ,
sumbu-x, t = 1, dan t = x
untuk x>1, untuk x<1,
53Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
x
dtt
x1
1ln
ttf
1)(
R 1
1
luasdtt
x
R 1
1
luasdtt
x
![Page 54: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/54.jpg)
• Berdasarkan teorema dasar Kalkulus 1, maka:
• Latihan:
1. Tentukan
2. Tunjukkan , jadi diperoleh:
3. Tentukan
Logaritma Natural
54Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
Cuduu
ln1
x
xDx
1ln
xDx ln
x
xDx
1ln
3
1
210dx
x
x
![Page 55: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/55.jpg)
• Misalkan a dan b bilangan-bilangan positif dan r∈Q, maka:
ln 1 = 0
ln(ab) = ln a + ln b
ln(a/b) = ln a − ln b
ln(ar ) = r.ln a
Sifat-Sifat ln
55Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 56: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/56.jpg)
Misalkan f (x) = ln x. Maka:
Domainnya adalah {x|x > 0}.
Grafik memotong sumbu-x pada x = 1
Kemonotonan grafik: f’(x) = 1/x, selalu positif untuk x∈Df . Sehingga
grafik selalu monoton naik.
Kecekungan grafik: f’’ (x) = −1/x2, selalu negatif untuk x∈Df . Sehingga
grafik selalu cekung ke bawah.
Grafik Fungsi ln
56Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
)(lim
)(lim0
xf
xf
x
x
![Page 57: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/57.jpg)
• Perhatikan kembali fungsi logaritma natural/asli f(x)=ln x, x > 0. Karna
f’ (x) = 1/x > 0, maka grafik fungsi f(x) monoton naik, sehingga
mempunyai invers.
• Fungsi inversnya disebut fungsi exponen natural/asli dan dinotasikan
sebagai berikut:
• Perhatikan bahwa dan .
• Sifat: dan .
Fungsi Exponen Natural/ Asli
57Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
xxfyyyfx ln)(exp)(1
RRD ff1
,01 ffDR
0,lnexp xxx Ryyy ,expln
![Page 58: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/58.jpg)
• Pada gambar di bawah disajikan grafik fungsi y=expx
yang diperoleh dari pencerminan grafik y=lnx terhadap
garis y= x.
58
Grafik Fungsi Exponen Natural/ Asli
Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 59: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/59.jpg)
• Untuk mengamati sifat-sifat lanjut dari fungsi exponen, kita
definisikan bilangan baru, yaitu e yang bersifat
(lihat ilustrasi).
e = 2.71828182845904…
• Misalkan , maka:
• Dari sifat fungsi invers: eln x = x, x > 0 dan ln(ey) = y, y ∈ R
• Sifat-Sifat:
1. ea.eb = ea+b dan ea/eb = ea-b
2. Dx[ex] = ex , sehingga
59Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
Cedue uu
Rx
xx eeexx lnexpln.expexp
1ln e
![Page 60: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/60.jpg)
• LATIHAN SOAL:
1. Tentukan dan
2. Tentukan dan
3. Tentukan luas daerah yang dibatasi fungsi
dan garis yang melalui dua titik: A=(0,1) dan B=(1,1/e) !
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi grafik fungsi y=ln (x-
1), garis x=3, dan garis y=1 !
60Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
x
x eD xxDx ln2
xey
dxe x4
dxex x32
![Page 61: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/61.jpg)
• Jawaban:
1. (a) Misalkan u = , maka berdasarkan aturan rantai:
2. (a) Misalkan u = -4x, maka dengan tehnik integral
substitusi, diperoleh:
61Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
x
e
xe
xDeDeD
xu
x
u
u
x
x
22
1.
.
Ce
Cedue
duedxe
x
uu
ux
4
4
4
1
4
1
4
1
4
x
4
4 Maka
4 Karna
dudx
dx
du
xu
![Page 62: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/62.jpg)
Aplikasi Integral Tentu Dalam BidangEkonomi
• Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari luasdaerah yang merupakan interpretasi untuk dua hal berikut, yaitu:
1. Surplus Konsumen
2. Surplus Produsen
62Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 63: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/63.jpg)
Surplus Konsumen
• Surplus konsumen adalah keuntungan lebih yang dinikmatioleh konsumen tertentu, pada tingkat harga pasar suatubarang.
0
Pe
P
Q
Qe
Surplus Konsumen (Cs)
),( ee PQE
)0,ˆ(Q
)ˆ,0( P
)( dQfP
63Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 64: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/64.jpg)
• Surplus konsumen
• Besarnya surplus konsumen
• Bentuk fungsi permintaan ; maka besarnyasurplus konsumen dinyatakan dengan:
EDPeCS ..)(
Qe
O
PeQedQQfCS .)(
dPPfQd )(
P
Pe
dPPfCS
)(
64Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 65: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/65.jpg)
• CONTOH:
Diketahui Fungsi permintaan dalam suatu pasar adalah
. Berapakah surplus konsumen jika hargapasar (ordinat dari titik Equilibrium) Pe = 30 !
• Jawab: Pertama, tentukan dahulu , dan E.
203,048 PQd
48)0(03,0480
03,048
2
2
QPjika
PQ
203,04800 PQjika
4803,0 2 P
40160003,0
482 PP
21)30(03,04830 2 QePeJika
QP ˆ ,ˆ
65Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 66: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/66.jpg)
• Kurva permintaan dan titik Equilibrium dinyatakan padagambar berikut:
E
Q0
P
40ˆ P
30eP
21eQ 48ˆ Q
66Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 67: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/67.jpg)
• Maka surplus konsumen:
• Sehingga diperoleh:
p
Pe
dPPfCs
)(
40
30
2 )03,048( dPP
40
30
301,048 PPCs
33 )30(01,0)30(48)40(01,0)40(48
110Cs
67Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 68: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/68.jpg)
Surplus Produsen
• Surplus Produsen adalah keuntungan lebih yang dinikmatiprodusen tertentu pada tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.
),( ee PQE
)0,ˆ(Q
)ˆ,0( P
)( sQfP
Pe
Surplus Produsen
0 Q
P
68Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 69: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/69.jpg)
• Surplus produsen
• Besarnya surplus produsen
• Bentuk fungsi penawaran ; maka besarnyasurplus produsen dinyatakan dengan:
dPPfQs )(
EDPePS ..
Qe
o
dQQfQePePS )(.
Pe
P
dPPfPS
)(
69Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 70: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/70.jpg)
• CONTOH:
Diketahui Fungsi penawaran dalam suatu pasar adalah
. Berapakah surplus produsen jika harga pasar(ordinat dari titik Equilibrium) Pe = 10 !
• Jawab: Pertama, tentukan dahulu , dan E.
635,00
35,0
QQPjika
QP
30 PQjika
QP ˆ ,ˆ
35,0 sQP
1410 Jika QePe
70Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 71: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/71.jpg)
• Kurva penawaran dan titik Equilibrium dinyatakan padagambar berikut:
3ˆ P
10eP
14eQ0
P
Q
Surplus
Podusen
)(35,0 QfQP
71Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma
![Page 72: Integral dan Aplikasinya dalam Ekonomiachmad_fahrurozi.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Integral Tentu Integral tertentu adalah integral suatu fungsi yang nilai-nilai variable](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022042423/5f3d9c128ffe012a144a6378/html5/thumbnails/72.jpg)
• Maka surplus produsen:
• Sehingga diperoleh:
Qe
O
dQQfPeQePs )(.
14
0
)35,0()10)(14( dQQ
14
0
2 325,0140 QQ
)0(3)0(25,0)14(3)14(25,0140 22
49Ps
72Achmad Fahrurozi Universitas Gunadarma