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Primitivas Integral Definida

Integrais

(21-04-2009 e 12/19-05-2009)

Integrais Matematica II 2008/2009


Ja estudamos a determinacao da derivada de uma funcao.

Revertamos agora o processo de derivacao, isto e, suponhamos quenos e dada uma funcao F e que pretendemos determinar a funcaof cuja derivada e F . O processo que consiste em determinar afuncao f , dada F , designa-se por primitivacao.



Vejamos o seguinte exemplo.

Seja F (x) = 2x. Pretendemos determinar f(x) tal que f ′(x) = 2x.

Uma funcao f que satisfaz esta condicao e f(x) = x2, pois(x2)′ = 2x.

Mas a funcao f(x) = x2 + 2 tambem satisfaz esta condicao, pois(x2 + 2)′ = 2x.

Somente as funcoes f(x) = x2 + C, com C uma constante,satisfazem a condicao F (x) = 2x.

Assim, dizemos que a primitiva geral de F (x) = 2x ef(x) = x2 + C, onde C e uma constante arbitraria.



O processo de determinar uma primitiva de uma funcao e tambemdenominado integracao. A funcao resultante da integracao edesignada por integral indefinida ou simplesmente integral.

Denotamos a primitiva geral (ou a integral indefinida) de umafuncao f(x) por ∫

f(x) dx

Escreve-se ∫2x dx

para indicar a primitiva geral da funcao f(x) = 2x e le-se”a integral de 2x em relacao a x”.

2x — integrando∫— sinal de integral (indica o processo de integracao)

dx — indica que a integral e tomada em relacao a x.



Potencias de x∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C ( para n 6= −1)

De facto,

(xn+1

n + 1+ C)′ = (

xn+1

n + 1)′ + (C)′ =

1

n + 1(n + 1)x(n+1)−1 + 0 = xn

Exemplos∫x4 dx =

x4+1

4 + 1+ C =

x5

5+ C

∫x− 1

3 dx =x− 1

3+1

−13 + 1

+ C =x

23

23

+ C =3x

23

2+ C

∫ √x dx =

∫x

12 dx =

x12+1

12 + 1

+ C =x

32

32

+ C =2x

23

3+ C



Constante a ∫a dx = ax + C

De facto, (ax + C)′ = (ax)′ + (C)′ = a + 0 = a

Exemplos∫1 dx = 1x + C = x + C∫2 dx = 2x + C∫−2

3dx = −2

3x + C



Constante a vezes uma funcao f∫af(x) dx = a

∫f(x) dx

De facto, (a∫

f(x) dx)′ = a(∫

f(x) dx)′ = af(x)

Exemplos∫3x4 dx = 3

∫x4 dx = 3[

x4+1

4 + 1+ C] = 3.

x5

5+ 3C = 3.

x5

5+ C1

∫−1

2x2 dx = −1

2

∫x2 dx = −1

2.[

x2+1

2 + 1+ C] = −1

2.x3

3− C

2

= −1

2.x3

3+ C1 = −x3

6+ C1



Soma de funcoes f e g∫(f(x) + g(x)) dx =

∫f(x) dx +

∫g(x) dx

De facto, (∫

f(x) dx +∫

g(x) dx)′ =(∫

f(x) dx)′ + (∫

g(x) dx)′ = f(x) + g(x)

Exemplos∫(x3+4) dx =

∫x3 dx+

∫4 dx = x3+1

3+1 +C1+4x+C2 = x4

4 +4x+C3

∫(2x

14 + 5x − 1) dx =

∫2x

14 dx +

∫5x dx +

∫−1 dx =

2∫

x14 dx+5

∫x dx−x+C1 = 2[x

14 +1

14+1

+C2]+5[x1+1

1+1 +C3]−x+C1 =

2.x54

54

+ 2C2 + 5.x2

2 + 5C3 − x + C1 = 2.4x54

5 + 5x2

2 − x + C4 =

8x54

5 + 5x2

2 − x + C4



Potencias de uma funcao f(x)

∫f ′(x).[f(x)]n dx =

[f(x)]n+1

n + 1+ C ( para n 6= −1)

De facto, ([f(x)]n+1

n + 1+ C)′ = (

[f(x)]n+1

n + 1)′ + (C)′ =

1

n + 1(n + 1)f ′(x)[f(x)](n+1)−1 + 0 = f ′(x).[f(x)]n

Exemplos∫3x2(x3 − 1)2 dx =

(x3 − 1)2+1

2 + 1+ C =

(x3 − 1)3

3+ C∫

x3(x4 + 2)5 dx =1

4

∫4x3(x4 + 2)5 dx =

1

4[(x4 + 2)5+1

5 + 1+ C] =

1

4.(x4 + 2)6

6+

C

4=

(x4 + 2)6

24+ C1



Exponencial de uma funcao f(x)∫f ′(x).ef(x) dx = ef(x) + C

De facto,(ef(x) + C)′ = (ef(x))′ + (C)′ = f ′(x).ef(x) + 0 = f ′(x).ef(x)

Exemplos∫2xex2

dx = ex2+ C∫

cos xesin x dx = esin x + C

∫x2ex3

dx =1

3

∫3x2ex3

dx =1

3[ex3

+ C] =ex3

3+

C

3=

ex3

3+ c1



Exponencial de base a de uma funcao f(x)∫

f ′(x).af(x) dx =af(x)

ln a+ C

De facto,(af(x)

ln a+C)′ = (af(x)

ln a)′+(C)′ = 1

ln af ′(x).af(x) ln a+0 = f ′(x).af(x)

Exemplos∫3x22x3

dx =2x3

ln 2+ C

∫sinx3cos x dx = −

∫− sinx3cos x dx = −3cos x

ln 3− C

= −3cos x

ln 3+ C1



Quociente da derivada da funcao pela funcao∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)| + C

De facto, (ln |f(x)| + C)′ = (ln |f(x)|)′ + (C)′ = f ′(x)f(x) + 0 = f ′(x)

f(x)

Exemplos∫1

xdx = ln |x| + C

∫cos(x)

sin(x)dx = ln | sin(x)| + C



Funcao seno ∫f ′(x) sin[f(x)] dx = − cos[f(x)] + C

De facto, (− cos[f(x)] + C)′ = (− cos[f(x)])′ + (C)′ =−[−f ′(x) sin[f(x)]] + 0 = f ′(x) sin[f(x)]

Exemplos∫2e2x sin(e2x) dx = − cos(e2x) + C

∫x sin(x2) dx =

1

2

∫2x sin(x2) dx =

1

2(− cos(x2) + C)

= −12 cos(x2) + C1



Funcao cosseno∫f ′(x) cos[f(x)] dx = sin[f(x)] + C

De facto, (sin[f(x)] + C)′ = (sin[f(x)])′ + (C)′ =f ′(x) cos[f(x)] + 0 = f ′(x) cos[f(x)]

Exemplos∫3x2 cos(x3) dx = sin(x3) + C

∫cos(x + 1) dx = sin(x + 1) + C



Primitivacao por partes∫f(x).g(x) dx = F (x).g(x) −

∫F (x).g′(x) dx

sendo F uma primitiva de f .

De facto,[F (x).g(x) −

∫F (x).g′(x) dx]′=[F (x).g(x)]′ − [

∫F (x).g′(x) dx]′

=F ′(x)g(x) +F (x)g′(x) −F (x).g′(x)=F ′(x)g(x)=f(x)g(x)



Exemplo

Calculemos

∫x lnx dx

Fazendo f(x) = x e g(x) = lnx e atendendo a que F (x) = x2

2temos ∫

x lnx dx =x2

2lnx −

∫x2

2.(lnx)′ dx

=x2

2lnx −

∫x2

2.1

xdx

=x2

2lnx −

∫x

2dx

=x2

2lnx − 1

2

∫x dx

=x2

2lnx − 1

2(x2

2+ c)

=x2

2lnx − x2

4+ c1



Aplicacao (Exercıcio)

Suponha que a receita marginal para um produto e dada por

RM(x) = 300 − 0, 2x

Determine a funcao de receita total R(x).

Uma vez que a receita marginal para um produto e a derivada dafuncao receita entaoR(x) =

∫(300 − 0, 2x) dx =

∫300 dx +

∫−0, 2x dx =

300x + c1 − 0, 2∫

x dx = 300x + c1 − 0, 2(x2

2 + c2) =300x − 0, 1x2 + c3.Sabemos que R(0) = 0, logo c3 = 0, e portanto,

R(x) = 300x − 0, 1x2



Uma das motivacoes para o estudo dos integrais tem a ver com oproblema do calculo da area de uma regiao plana.

Suponhamos que pretendemos calcular a area da regiao limitadapelo grafico de f(x) = x2, o eixo dos xx e as rectas verticaisx = 0 e x = 2.



A area desta regiao R, sera um numero. Para definir este numero,vamos considerar rectangulos (cuja area sabemos determinar)inscritos na regiao e rectangulos circunscritos na mesma regiao.Vamos comecar por dividir o intervalo [0, 2] em dois sub-intervalos[0, 1] e [1, 2].

Como f e crescente em [0, 2], temos que, em cada sub-intervalo, omaximo M e atingido no extremo superior do intervalo, e omınimo m e atingido no extremo inferior do sub-intervalo.



A soma das areas dos rectangulos contidos na regiao R e

1 × 0 + 1 × 1 = 1

A soma das areas dos rectangulos que contem R e

1 × 1 + 1 × 4 = 5

Nestas condicoes, observamos que a area da regiao R e um valorcompreendido entre 1 e 5.



Se em vez de dividirmos o intervalo [0, 2] em dois sub-intervalos[0, 1] e [1, 2], dividirmos em mais, por exemplo quatrosub-intervalos [0, 1

2 ], [12 , 1], [1, 32 ] e [32 , 2] obtemos o seguinte:



A soma das areas dos rectangulos contidos na regiao R e

1

2× 0 +

1

2× 1

4+

1

2× 1 +

1

2× 9

4=

14

8

A soma das areas dos rectangulos que contem R e

1

2× 1

4+

1

2× 1 +

1

2× 9

4+

1

2× 4 =

30

8

Nestas condicoes temos que a area da regiao R e um valorcompreendido entre 14

8 e 308 .

Observamos que, se aumentarmos o numero de sub-intervalos emque dividimos o intervalo [0, 2], este processo leva-nos para umvalor mais aproximado do valor correcto da area da regiao R.



Suponhamos agora um caso mais geral: pretendemos determinar aarea da regiao limitada pelo grafico de f(x), o eixo dos xx e asrectas verticais x = a e x = b.



Podemos dividir o intervalo [a, b] em n sub-intervalos (naonecessariamente iguais), com as extremidades desses intervalos emx0 = a, x1, x2, ..., xn = b.

Agora escolhemos um ponto (qualquer) em cada sub-intervalo edenotamos os pontos por x∗

1, x∗2, ..., x

∗i , ..., x

∗n.



Entao o i-esimo rectangulo (para qualquer i) tem altura f(x∗i ) e

largura xi − xi−1, de forma que a sua area e

f(x∗i )(xi − xi−1)

Assim, a soma das areas dos n rectangulos e

S = f(x∗1)(x1 − x0) + f(x∗

2)(x2 − x1) + ... + f(x∗n)(xn − xn−1)

=∑n

i=1 f(x∗i )(xi − xi−1)

=∑n

i=1 f(x∗i )∆xi, onde ∆xi = (xi − xi−1)



Como os pontos nos sub-intervalos podem ser escolhidos emqualquer ponto do sub-intervalo, nao sabemos se os rectangulosirao superestimar ou subestimar a area sob a curva f(x). Contudo,se aumentarmos o numero de sub-intervalos (aumentando o valorde n) e garantirmos que cada sub-intervalo se torne menor, iremosmelhorar a aproximacao do valor da area.

Assim, para qualquer subdivisao de [a, b] e qualquer x∗i , a area e

dada por

A = limn→∞

max∆xi→0

n∑i=1

f(x∗i )∆xi

desde que esse limite exista.



O estudo precedente ocorreu no contexto do calculo de uma areasob uma curva. Nao obstante, se f for uma funcao qualquer, naonecessariamente positiva, definida em [a, b], entao para cadasubdivisao de [a, b] e cada escolha de x∗

i , definimos a soma

S =

n∑i=1

f(x∗i )∆xi

como a soma de Riemann de f para a subdivisao de [a, b].

O limite da soma de Riemann (quando ∆xi → 0) designa-se porIntegral definida de f(x) sobre o intervalo [a, b] e denota-se por

∫ b

a

f(x) dx



Integral definida

Se f for uma funcao no intervalo [a, b], entao a integral definida def de a ate b e

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

max∆xi→0

n∑i=1

f(x∗i )∆xi

Se f for contınua, x∗i for um ponto no i-esimo intervalo e ∆xi → 0

quando n → ∞, entao o limite existe e dizemos que f e integravelno intervalo [a, b].



Qual a relacao entre integral indefinida e integral definida?

Vejamos o seguinte exemplo: Consideremos a funcao receitamarginal de um produto

RM(x) = R′(x) = 300 − 0, 2x

Ja vimos, num exercıcio anterior, que a funcao receita e

R(x) =

∫(300 − 0, 2x) dx = 300x − 0, 1x2

que e uma integral indefinida da funcao receita marginal.



A receita da venda de 1.000 unidades do produto eR(1.000) = 200.000 euros.

A receita da venda de 500 unidades do produto eR(500) = 125.000 euros.

Assim, a receita adicional recebida pela venda de 500 unidadesadicionais e

200.000 − 125.000 = 75.000



Se utilizarmos a definicao de integral definida para encontrar aarea sob o grafico da funcao receita marginal de x = 500 atex = 1.000, encontraremos que a area e 75.000. De facto, a area ea soma das areas a amarelo e a azul da figura seguinte.

Area do rectangulo amarelo = 500 × 100 = 50.000Area do triangulo azul = 500×100

2 = 25.000Assim, a area total e 75.000.



Podemos, entao, determinar a receita adicional quando as vendasaumentam de 500 para 1.000, calculando a integral definida

∫ 1.000

500(300 − 0, 2x) dx

Em geral, a integral definida

∫ b

a

f(x) dx

pode ser utilizada para determinar a variacao na funcao F (x)quando x muda de a para b, onde f(x) e a derivada de F (x). Esteresultado e o Teorema Fundamental do Calculo.



Teorema Fundamental do Calculo

Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b]. Entao aintegral definida de f existe nesse intervalo, e

∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a)

onde F e qualquer primitiva de f , isto e, qualquer funcao tal queF ′(x) = f(x), para todo os x em [a, b].



Exemplos∫ 2

0(x + 1) dx = [

x2

2+ x]20 = (

22

2+ 2) − (

02

2+ 0) = 4 − 0 = 4

∫ π2

0cos x dx = [sinx]

π20 = sin

π

2− sin 0 = 1 − 0 = 1



Propriedades∫ b

a

[f(x) ± g(x)] dx =

∫ b

a

f(x) dx ±∫ b

a

g(x) dx

∫ b

a

kf(x) dx = k

∫ b

a

f(x) dx onde k e uma constante∫ a

a

f(x) dx = 0∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx



Area sob uma curva

Se f for uma funcao contınua em [a, b] e f(x) ≥ 0 em [a, b] entaoa area entre f(x) e o eixo dos xx de x = a ate x = b e dada por

∫ b

a

f(x) dx



Suponhamos que os graficos de y = f(x) e y = g(x) estao ambosacima do eixo dos xx e que o grafico de y = f(x) esta acima dografico de y = g(x) em todo o intervalo [a, b], isto e, f(x) ≥ g(x)para todo o x em [a, b].



A integral

∫ b

a

f(x) dx fornece a area entre o grafico de y = f(x) e

o eixo dos xx



A integral

∫ b

a

g(x) dx fornece a area entre o grafico de y = g(x) e

o eixo dos xx



A area da regiao entre o grafico de y = f(x) e o grafico dey = g(x)

e dada pela diferenca entre as duas areas anteriores, isto e,

Area entre f(x) e g(x) e

∫ b

a

f(x) dx −∫ b

a

g(x) dx



Este resultado e valido mesmo que os graficos das funcoes f(x) eg(x) nao estejam acima do eixo dos xx.

Temos o seguinte resultado.

Area entre duas curvas

Se f e g forem funcoes contınuas em [a, b] e se f(x) ≥ g(x) em[a, b], entao a area da regiao limitada por y = f(x), y = g(x),x = a e x = b e

A =

∫ b

a

[f(x) − g(x)] dx



Exemplo

Determinemos a area da regiao limitada por x = 0, x = 1,y = x2 + 1 e y = −x + 1.

Comecemos por esbocar os graficos das funcoes

Como y = x2 + 1 esta acima de y = −x + 1 no intervalo [0, 1],

entao a area e A =

∫ 1

0[(x2 + 1) − (−x + 1)] dx =

∫ 10 (x2 + x) dx = [x3

3 + x2

2 ]10 = (13

3 + 12

2 ) − (03

3 + 02

2 ) = 13 + 1

2 =26 + 3

6 = 56



Outro exemplo

Determinemos a area da regiao limitada por x = −1, x = 0,y = x2 + 1 e y = −x + 1.Comecemos por esbocar os graficos das funcoes

Como y = −x + 1 esta acima de y = x2 + 1 no intervalo [−1, 0],

entao a area e A =

∫ 0

−1[(−x + 1) − (x2 + 1)] dx =

∫ 0−1(−x2 − x) dx =

∫ 0−1 −(x2 + x) dx = −

∫ 0−1(x

2 + x) dx =

−[x3

3 + x2

2 ]0−1 = −[(03

3 + 02

2 ) − ( (−1)3

3 + (−1)2

2 )] =−[0 − (−1

3 + 12 )] = −1

3 + 12

−26 + 3

6 = 16



Ja estudamos algumas tecnicas para integracao e usamos tabelaspara calcular algumas integrais. Contudo, algumas funcoes naopodem ser integradas usando formulas de primitivacao.

Vimos que, para qualquer funcao f(x) ≥ 0 no intervalo [a, b], aintegral definida pode ser entendida como uma area e que,geralmente, podemos aproximar a area e, portanto a integral. Umdesses metodos de aproximacao utiliza os rectangulos, como vimosanteriormente.

Agora, vamos considerar um metodo de integracao numerica paraaproximar a integral definida designado por Regra dos Trapezios.



Suponhamos que f(x) ≥ 0 em [a, b] e subdividamos o intervalo

[a, b] em n partes iguais, cada uma de comprimentob − a

n= h.

Podemos aproximar a area em cada subdivisao utilizando umtrapezio. A area do trapezio

e

A1 = [B + b

2].h



Podemos utilizar a formula para a area de um trapezio paraaproximar a area da primeira subdivisao e, continuar o processopara todas as outras subdivisoes.

A1 = [B + b

2]h = [

f(x0) + f(x1)

2]h

Assim,∫ b

a

f(x) dx ≃ A1 + A2 + ... + An−1 + An

= [f(x0) + f(x1)

2]h + [

f(x1) + f(x2)

2]h + ... + [

f(xn−1) + f(xn)

2]h

= h2 [f(x0) + f(x1) + f(x1) + f(x2) + f(x2) + ... + f(xn−1) +

f(xn−1) + f(xn)]



Regra dos Trapezios

Se f for contınua no intervalo [a, b], entao

∫ b

a

f(x) dx ≃ h

2[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn−1) + f(xn)]

onde h =b − a

ne n e o numero de subdivisoes do intervalo [a, b].



Exemplo

Usemos a Regra dos Trapezios para aproximar o valor de∫ 31

1x

dx

com n = 4. Comecemos por dividir o intervalo [1, 3] em quatropartes iguais de comprimento h = 3−1

4 = 12 , como a seguir:

Pela Regra dos Trapezios, temos∫ 3

1

1

xdx ≃ h

2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4)]

=12

2[f(1) + 2f(1, 5) + 2f(2) + 2f(2, 5) + f(3)]

=1

4[1 + 2(

1

1, 5) + 2(

1

2) + 2(

1

2, 5) +

1

3]

≃ 0, 25(1 + 1, 333 + 1 + 0, 8 + 0, 3333)≃ 1, 117



Observemos que:

O valor de

∫ 3

1

1

xdx = [lnx]31 = ln 3 − ln 1 = ln 3 ≃ 1, 099

enquanto que, utilizando a Regra dos trapezios com n = 4,

obtivemos

∫ 3

1

1

xdx ≃ 1, 117.



Uma vez que, o valor exacto de uma integral raramente se obtemquando se utiliza uma aproximacao, torna-se necessario ter algumaforma de julgar a precisao de resposta. Enunciaremos a seguir umaformula (sem a demonstrarmos) que pode ser usada para limitar oerro que resulta da utilizacao da Regra dos Trapezios.

Erro da Regra dos Trapezios

O erro E na utilizacao da Regra dos Trapezios para aproximar∫ b

af(x) dx satisfaz

|E| ≤ (b − a)3

12n2[maxa≤x≤b|f ′′(x)|]

onde n e o numero de subdivisoes do intervalo [a, b] e f ′′(x) e afuncao derivada da funcao f ′(x).


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