Bespreken: §6.2: 11 en 51, lesuur 1, les 7

Welkom terug!!!Bespreken huiswerkopgaven

Gegeven zijn de formules y = x2 en x = y2. Bereken de inhoud van het figuur wanneer we het door de formules ingesloten gebied wentelen om de lijn y = 1. Maak eerst een schets.

Wanneer we y = x2 en x = y2 1 laten ’zakken’ kunnen we het gebied wentelen om de x-as.

We krijgen dan: y = x2 -1 en x = (y+1)2.

Deze functies kunnen we nu gaan wentelen om de x-as.

§6.2: 11 (blz. 438)

§6.1: 23 (blz. 427)

π (x2 −1)2 −π ( x −1)2 dx0

1

∫ =

π x4 − 2x2 +1− x + 2 x −1dx0

1

∫ =

π x4 − 2x2 − x + 2 x dx0

1

∫ =

π 15 x

5 − 23 x

3 − 12 x

2 + 43 x x⎡⎣ ⎤⎦0

1=

π 15 − 2

3 − 12 + 4

3 − 0( ) = π 630 − 20

30 − 1530 + 40

30( ) = 1130π

Bereken de inhoud van een piramide met een hoogte van h en een rechthoekig grondvlak van b bij 2b door gebruik te maken van integreren.

stap 1: Probeer de inhoud te berekenen, zodat je het antwoord al hebt.

§6.2: 51 (blz. 440)

I piramide = 13 ⋅G ⋅h = 1

3 ⋅b ⋅2b ⋅h = 23 b

2h

stap 2: Teken een dwarsdoorsnede van het figuur.

Stap 3: Bereken de oppervlakte op een willekeurige hoogte.

Vanwege gelijkvormigheid geldt:

dus

De oppervlakte op punt x is:

§6.2: 51 (blz. 440)

x-as

y-as

s

h

0x

2b

s2b

= xh

A(x) = 12 s ⋅ s = 1

2 s2

s = 2bxh

= 122bxh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 2b2x2

h2

§6.2: 51 (blz. 440)

A(x) = 2b2x2

h2

I piramide = A(x)dxa

b

∫

I piramide =2b2x2

h2dx

0

h

∫ = 2b2

h2x2 dx

0

h

∫ = 2b2

h213 x

3⎡⎣ ⎤⎦0h

= 2b2

h2⋅ 13 h

3 = 2b2h3

3h2= 2

3 b2h

stap 4: Bereken de integraal

lesuur 2, les 6

§6.2 nog eenkeer!!!Extra oefening

Gegeven is een piramide met een hoogte van h en een driehoekig grondvlak dat gelijkbenig en rechthoekig is en waarbij de rechthoekszijden lengte b hebben.

Bereken m.b.v integreren de inhoud van de piramide.

stap 1: Probeer de inhoud te berekenen, zodat je het antwoord al hebt.

Voorbeeld 1 (15 minuten)

I piramide = 13 ⋅G ⋅h = 1

3 ⋅ 12 ⋅b ⋅b ⋅h = 16 b

2h

stap 2: Teken een dwarsdoorsnede van het figuur.

Stap 3: Bereken de oppervlakte op een willekeurige hoogte.

Vanwege gelijkvormigheid geldt:

dus

De oppervlakte op punt x is:

Voorbeeld 1

x-as

y-as

s

h

0x

bsb= xh

A(x) = 12 s ⋅ s = 1

2 s2

s = bxh

= 12bxh

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= b2x2

2h2

Voorbeeld 1

A(x) = b2x2

2h2

I piramide = A(x)dxa

b

∫

I piramide =b2x2

2h2dx

0

h

∫ = b2

2h2x2 dx

0

h

∫ = b2

2h213 x

3⎡⎣ ⎤⎦0h

= b2

2h2⋅ 13 h

3 = b2h3

6h2= 1

6 b2h

stap 4: Bereken de integraal

lesuur 2, 3, les 7

§6.5 Average value of a functionChapter 6 Applications of Integration

Het KNMI houdt het weer voor Nederland in de gaten.

Maar hoe berekent het KNMI het maandgemiddelde?

Het weer

Het weer

Ze pakken niet het gemiddelde van de maximum en minimum temperatuur van een dag.

Meten ze 1 keer per dag, 1 keer per uur, 1 keer per seconde of zelfs continu (kan dat?)?

Ik weet het niet!!!

Het weer

We kunnen het gemiddelde van een continue functie berekenen.

Gedurende het koken van mijn soep gaat het water van 20 ◦C naar 100 ◦C. Daarna koelde de soep in 4 uur weer af naar een kamertemperatuur van 20 ◦C.

Wanneer we dit in een functie- voorschrift konden vatten, dan zou deze functie continu zijn:

Gemiddelde berekenen

t-as

T-as

0

Als we nu de tijd in gelijke stukjes verdelen en in ieder stukje 1 meetmoment nemen en vervolgens delen door het aantal meetmomenten, dan hebben we een schatting van het gemiddelde.

Ofwel: gegeven het interval [a, b] met n stukjes waarbij de breedte van het stukje gelijk is aan en in ieder interval een waarde kiezen.

Dan is het gemiddelde bij benadering:

Gemiddelde berekenen

Δt = b − an

T (ti )

T (t1)+ ...+T (tn−1)+T (tn )n

Dus het gemiddelde bij benadering is:

Maar en dus . Als we dit combineren.

Dan krijgen we:

En als we n nu naar oneindig laten gaan:

Gemiddelde berekenen

Δt = b − an

T (t1)+ ...+T (tn−1)+T (tn )n

n = b − aΔt

T (t1)+ ...+T (tn−1)+T (tn )b − aΔt

=

1b − a

T (t1)+ ...+T (tn−1)+T (tn )( )Δt = 1b − a

T (ti )i=1

n

∑ ⋅Δt

1b − a

T (ti )i=1

n=∞

∑ ⋅Δt = 1b − a

T (t)dta

b

∫ = fave

Ofwel algemeen: Om het gemiddelde van een functie f te bereken op [a, b] berekenen we:

Gemiddelde berekenen

fave =1

b − af (x)dx

a

b

∫

Bereken het gemiddelde van op .

Voorbeeld 2 (10 minuten)

f (x) = 2sin(x)− sin(2x) [0,π ]

fave =1

b − af (x)dx

a

b

∫ = 1π − 0

2sin(x)− sin(2x)dx0

π

∫ =

1π

−2cos(x)+ 12 cos(2x)[ ]0

π =

1π(2 + 1

2 )− (−2 + 12 )( ) =

1π2 12 +1 12( ) = 4

π

Bereken het gemiddelde van op .

Voorbeeld 3 (10 minuten)

f (x) = 2x1+ x2

[0,2]

fave =1

b − af (x)dx

a

b

∫ = 12 − 0

2x1+ x2

dx0

2

∫ =

121udu

1

5

∫ =

u = 1+ x2

dudx

= 2x

dx = du2x1

2ln(u)[ ]1

5 =

12ln(5)− ln(1)( ) = 1

2 ln(5)

Het gemiddelde ligt ergens midden in. Dat betekent dus ook dat er een waarde c moet zijn waarvoor geldt dat:

en dus dat

Gemiddelde waarde

f (c) = 1b − a

f (x)dxa

b

∫ f (c) ⋅(b − a) = f (x)dxa

b

∫

Bereken c, zodat f(c) = fave voor op .

Dus:

Voorbeeld 4 (10 minuten)

f (x) = 1x

[1,3]

fave =1

b − af (x)dx

a

b

∫ = 13−1

1xdx

1

3

∫ = 12ln(x)[ ]1

3 = 12 ln(3)

f (c) = 12 ln(3)

1c= 1

2 ln(3)

c = 112 ln(3)

= 2ln(3)

Einde les 7

Huiswerk: §6.5 en review H6§6.5: 1, 5, 9, 15 & review H6: 1, 3, 5,7, 9, 11, 13 en 30

Van het tentamen calculus 3 8 april 2013 zijn de volgende opgaven op de huidige stof van toepassing:

2, 3, 4 en 5

Van het tentamen calculus 3 2 juli 2013 zijn de volgende opgaven op de huidige stof van toepassing:

1, 2, 3 en 4

Oefententamens