instrumentación y control

Introducción al control de sistemas. Modelización de procesos químicos- 1

TEMA 1. INTRODUCCION AL CONTROL DE SISTEMAS. MODELIZACIÓN DE

PROCESOS QUIMICOS

1.1. Introducción.

El objetivo general de cualquier proceso químico consiste en transformar unas materias primas en

productos de una forma segura, económica y respetuosa con el medioambiente. Para conseguirlo, todos

los equipos que integran la planta química deben operar de forma correcta y en las condiciones idóneas

para obtener el máximo rendimiento posible. Sin embargo en el transcurso del tiempo la planta está

sometida a perturbaciones o influencias externas tales como cambios en la composición de materias

primas, cambios en la calidad del vapor, temperatura de corrientes de entrada y salida, etc. Dichas

perturbaciones obligan a una vigilancia constante de la planta y a la oportuna corrección de las

desviaciones que se detecten. La automatización de una planta química consiste en efectuar ambas

acciones de vigilancia y actuación correctora de forma automática mediante la instalación de un conjunto

de instrumentos de medida y manipulación que se conoce como sistema de control.

A continuación se muestra una animación apple como ejemplo de algoritmo de control:

(http://www.chbe.gatech.edu/lee/che4400/javamodule.html).

Cuestión. Comprobar las ventajas del control automático sobre el manual mediante el apple anterior. Res. Utilizar valores de

defecto PV=70.5, SP=53 y MV=48. Bajar MV a 32 (se obtiene error nulo). Perturbar la temperatura de entrada a 18.5. En

manual rectificar a MV=28.8. Poner control automático en condiciones de steady state a 18ºC. Perturbar a 18.5 desactivando el

reinicio del PID.

A partir del ejemplo anterior, se pueden adoptar varias estrategias de control. Se verán dichas

estrategias aplicadas al tanque con intercambio de energía.


1.2 Estrategias de control.

Las estrategias de control son numerosas y dependen de múltiples factores (variables de

perturbación, controladas, manipuladas, etc.), para los casos más simples en los que se pretenda controlar

un solo parámetro de salida mediante una sola actuación (variable manipulada) pueden mencionarse el

control por realimentación y el control anticipativo. Estrategias de control más avanzadas serán abordadas

en capítulos posteriores.

Continuando con el caso anterior

Figura esquematizada de un calentador de agua con serpentín.

Supóngase un calentador continuo de agua formado por un tanque agitado y un serpentín con

vapor a condensación. El objetivo final es conseguir una demanda variable de agua a una temperatura

especificada (T). El agua fría se regula a través de una válvula de regulación automática, es decir que

modifica el grado de apertura dependiendo de la señal de control que le llega. En la línea de descarga hay

una bomba centrífuga y una válvula de apertura manual. En la tubería de vapor existe otra válvula de

regulación automática cuya apertura la establece otra señal de control. En la descarga del serpentín un

purgador impide que salga vapor sin condensar. En este caso, los dos objetivos primordiales o variables a

controlar que se deben conseguir son el mantener la temperatura del agua caliente en el punto de consigna

deseado (set point) y mantener el nivel de agua a una altura tal que no haya peligro de que el tanque

rebose o que los tubos del serpentín queden al descubierto. En el calentador continuo de agua hay muchas

perturbaciones que afectan a las variables a controlar, sin embargo son el caudal de agua caliente

demandado y la temperatura del agua fría alimentada al tanque las más significativas.


1.2.1. Control por realimentación (feedback).

Cuestión. Comprobar las ventajas y desventajas del control automático mediante el apple anterior. Res. Las ventajas se vieron

anteriormente. Las principales desventajas son no eliminar el error en estado estacionario y la estabilidad del sistema. Utilizar

valores de defecto PV=70.5, SP=53 y MV=48. Bajar MV a 32 (se obtiene error nulo). Perturbar la temperatura de entrada a

18.5. Eliminar la acción integral e ir subiendo la ganancia del controlador gradualmente.

La actuación sobre el proceso para compensar el efecto de las variables de perturbación puede

basarse en el error, es decir la diferencia entre el valor medido de la variable a controlar y el punto de

consigna. En la figura inferior se muestran los componentes esenciales del sistema de control automático

por realimentación para el calentador de agua. Como la acción correctora se establece en función del

error, es preciso medir las variables con los elementos primarios de medida o sensores. Los sensores se

conectan a los transmisores que convierten las señales físicas en señales estándar hasta el controlador:

Control por realimentación de un

calentador de agua

LC = Controlador de nivel;

TC = Controlador de temperatura;

LT = Sensor-transmisor de nivel; TT

= Sensor-transmisor de temperatura;

F = Caudal; T = Temperatura; e =

entrada; r = referencia

T

L

L

F,

Fe,T

hr

TTr


1.2.2. Control anticipativo.

Otra forma básica de control consiste en actuar sobre el proceso en función de las perturbaciones

observadas. Es el llamado control anticipativo (feedforward). No hay que esperar a que se produzca el

error para empezar a compensar el cambio experimentado en la variable de perturbación.

Controlador anticipativo.

La figura muestra el esquema de control anticipativo. Este tipo de control es teóricamente capaz

de un control perfecto del proceso, en contraposición con el control por realimentación que requiere la

presencia de un error para empezar a actuar. En la práctica el control perfecto no es técnicamente posible

ya que existen innumerables perturbaciones algunas de las cuales no son medibles.

F

T

F,T

Fe,Te

hr

Controlador

Tr


Además, todos los instrumentos presentan errores de medida y el algoritmo de control tampoco es

perfecto ya que se ajusta a un modelo empírico y no representa la realidad del proceso. En general el

control anticipativo se usa conjuntamente con el control por realimentación. (figura inferior).

Controlador por realimentación-anticipativo

1.3. Conceptos básicos en el control de procesos.

Variable de proceso a controlar. Es la variable que se quiere mantener en un valor deseado de

consigna. Este tipo de variables se designa con ym.

Punto de consigna o referencia. Es el valor deseado para la variable a controlar. Se designa como

yr o ysp.

Variable manipulada o de control. Es la variable de proceso que se emplea para corregir el efecto

de las perturbaciones. La variable manipulada se denota con la letra m y coincide con la señal de salida

del controlador.

Variable de perturbación. Son variables externas al sistema de control que afectan a las variables

controladas. En los tratamientos genéricos se utilizará la letra d para designar a una variable de

perturbación.

Control regulador y servocontrol. Control regulador se utiliza para referirse a los sistemas

diseñados para compensar las perturbaciones. El término servocontrol se refiere a los sistemas de control

diseñados para abordar cambios en el punto de consigna.

Sistema de control en abierto o manual. El controlador no está conectado al proceso, por tanto la

acción correctora no se traduce en un cambio en la variable manipulada. El operador puede actuar

manualmente.

Sistema de control en cerrado o automático. La salida del controlador se calcula en función de la

información recibida del proceso y de la ley de control aplicada.

Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la

respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en

F

T

F,

Fe,Te

hr

Controlador

Tr

T

L


los parámetros del sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos para

obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer eso es imposible en el caso de

un sistema en lazo abierto.

Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de

desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad

es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir en

exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante.

Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los

cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los sistemas de control

en lazo cerrado tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones

impredecibles en los componentes del sistema. La cantidad de componentes usados en un sistema de

control en lazo cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo

abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos mayores.

1.4. Elementos de un sistema de control de procesos. (Ejemplos: Bolton. pag. 5)

Existen cuatro elementos básicos en cualquier sistema de control automático:

Sensor. Son los instrumentos que miden las variables a

controlar, de perturbación y las variables secundarias que

ayudan a la estimación de otras no medibles directamente. Ej.

Termopares, termorresistencias, cromatógrafos, etc. Los

sensores se basan en la medición de un fenómeno físico, tales

como el efecto termoeléctrico, diferencia de presiones, etc.

Transmisor o transductor. Son los instrumentos

encargados de convertir la magnitud física medida por el

sensor en una señal eléctrica, neumática o digital que pueda

ser transmitida a distancia y entendida por un controlador,

registrador o cualquier otro sistema de monitorización. Las

líneas de transmisión se encargan de llevar la señal la distancia que sea necesaria.

Controlador. Es el encargado de calcular la acción de control de acuerdo al algoritmo

programando en él. El controlador envía una señal estándar de salida al elemento final de control. Hoy en

día, la mayoría de controladores poseen convertidores AD y DA para poder procesar señales analógicas y

digitales.


Actuador o elemento final de control. Es el elemento

que manipula la variable del proceso de acuerdo a la señal

calculada por el controlador. Las válvulas de control son los

elementos finales encontrados con mayor frecuencia. Otros

elementos finales son relés on-off, bombas de velocidad

variable, compresores de velocidad variable, etc.

Bibliografía.

W. Bolton. “Ingeniería de Control”. Ed. Boixareu. Grupo Editor Alfaomega. Edición España:

Marcombo, Barcelona, 2001.

G. Stephanopoulos. “Chemical Process Control. An introduction to theory and practice”. Prentice

Hall. Englewood Cliffs, New Jersey, 1984. (version inglés).

R. Dorf y R. Bishop. “Modern control systems”. Prentice Hall. Englewood Cliffs, New Jersey, 9th

Edition. (version inglés). 2001.

W. Luyben. “Process modelling, simulation and control for chemical engineers”. McGraw-Hill.

New York, 1990. 2nd edition. . (versión inglés).

T. Marlin “ Process control. Designing processes and control systems for dynamic performance”

McGraw Hill. New York. 2000. 2nd edition. (versión inglés).

Analisis de la Dinamica de Procesos en el Dominio del Tiempo.- 8

TEMA 2. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

Para poder controlar un proceso químico es necesario disponer previamente de un modelo del

mismo. En este sentido es posible mejorar la precisión de un modelo matemático si se aumenta su

complejidad. En algunos casos, se utilizan cientos de ecuaciones para describir un sistema completo. Sin

embargo, en la obtención de un modelo matemático, debemos establecer un equilibrio entre la

simplicidad del mismo y la precisión de los resultados del análisis.

En general, cuando se soluciona un problema nuevo, es conveniente desarrollar primero un

modelo simplificado para obtener una idea general de la solución, después se desarrolla un modelo

matemático más completo y se usa para un análisis con más pormenores.

La mayoría de procesos responden a un modelo no lineal y las consiguientes dificultades en su

resolución analítica. El análisis dinámico de procesos no lineales se suele abordar de las siguientes

formas:

-Desarrollar un modelo lineal que se aproxime al comportamiento dinámico del sistema no lineal

en torno a las condiciones habituales de operación (régimen nominal).

-Simulación del proceso no lineal en un ordenador por integración numérica.

-Transformación del sistema no lineal a lineal por transformación de las variables.

2.1. Sistemas lineales.

Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece

que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos

respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando

una entrada a la vez y sumando los resultados. De forma sencilla se dice que una ecuación diferencial es

lineal si sus coeficientes son constantes o función de la variable independiente (normalmente el tiempo).

Una ecuación diferencial es lineal invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes. Los

sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del

tiempo, se denominan sistemas lineales variantes con el tiempo.

Ej: 1 o 1 odxa a x f (t) a ,a ctedt

+ = =

2.2. Sistemas no lineales.

Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no

lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados.

Ej: 21 o 1 o

dxa a x f (t) a ,a ctedt

+ = = ; 11 o 1(t) 2(t) 1 o

dxa a x x f (t) a ,a ctedt

+ = =


2.3. Linealización de modelos dinámicos de procesos químicos.

Es el proceso por el cual un sistema no lineal se aproxima a uno lineal. Su uso se debe a:

-Pueden encontrarse soluciones analíticas de sistemas lineales con mayor facilidad.

-El desarrollo de controladores se ha basado en el estudio de sistemas lineales.

2.3.1. Linealización de términos no lineales. (Ejemplos en Corripio)

Considérese una función no lineal del tipo f(x1, x2). Para linealizar f en torno a los valores de

consigna se utiliza el desarrollo en serie de Taylor despreciándose los términos de orden igual o superior a

dos.

( ) ( )1 2 1 2

1 21 21 21 2

1 1 2, ,

( , ) ( , )! !

n nn ni n

n ni x x x x

x x x xf ff x x f x xn nx x

=

=

⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Ejemplos de linealización pueden encontrarse para el caso del producto k V cA que aparece en el

modelo de un reactor tipo tanque agitado isotermo o bien para la expresión del caudal de descarga de un

tanque por gravedad F = K h1/2.

2.3.2. Linealización de modelos dinámicos de procesos. (Ejemplos en Marlin).

Como ejemplo se va a considerar el caso de un calentador en régimen continuo tipo tanque agitado

con descarga por gravedad. En este caso la ecuación de conservación de masa total responde a:

e edhA =F -F=F -K hdt

[2.1]

Para la ecuación de conservación de energía se tiene:

p e p edTA c h =F c (T -T)+Qdt

ρ ρ [2.2]

En la ecuación [2.2] las variables de salida o estado son la temperatura T y la altura o nivel de

agua. Obviamente las variables de entrada en régimen nominal satisfacen las ecuaciones del modelo

estático:

[2.3]

e ep0=F c (T -T)+Qρ [2.4]

En el modelo dinámico aparece el término no lineal h dT/dt que puede ser desarrollado en series

de Taylor en torno al régimen permanente.


dT dT dT dT dTh =h (h h) h( )dt dt dt dt dt

+ − + −

Obviamente en régimen permanente el término dtTd es nulo y en consecuencia.

dT dTh =hdt dt

Procediendo de igual forma con el resto de términos no lineales se llega a:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−= hh

h2

KFFdtdhA ee [2.5]

y ( )e ep p e e pdTAh c F c (T T) F c (T T) Q Qdt

ρ = ρ − + ρ − + + [2.6]

Demostración:

A) ( ) ( )e1 K 1 KK h K h h h F h h2 2h h

= + − = + −

B) ( ) ( )

( ) ( )e e e e e ee p e e p e e p p p e p e

e e ep p p e

F c (T T) F c T F c T F c T F c T T T c F F

F c T F c T T T c F F

ρ − = ρ − ρ = ρ + ρ − + ρ − −

− ρ − ρ − − ρ −

e e e e e e e ep p e p p e p

e e e ep p p p e p

e ep e e p

F c T F c T F c T T c F T c F

F c T F c T F c T T c F T c F

Q F c (T T) F c (T T)

ρ + ρ − ρ + ρ − ρ −

− ρ − ρ + ρ − ρ + ρ =

+ ρ − + ρ −

Ejemplo 2.1. Reactor isotermo con reacción de segundo orden que se encuentra en Marlin pag.

72. (El problema se puede resolver de forma numérica para ver las diferencias).

2.4. Variables de desviación.

Las variables de desviación x´(t) se definen como la diferencia entre el valor medido de una

variable cualquiera y su valor medido en régimen permanente. El objetivo del control de procesos será

por tanto minimizar el valor de las variables de desviación de salida. Al escribir el modelo linealizado de

un proceso en función de variables de desviación se obtienen dos importantes ventajas:

1-desaparecen los términos constantes de las ecuaciones diferenciales


2-las condiciones iniciales correspondientes a esas ecuaciones son nulas.

Para ver un ejemplo, la ecuación [2.5] de conservación de masa:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−= hh

h2

KFFdtdhA ee

puede escribirse en términos de variables de desviación como sigue:

edh´ KA =F -́ h´dt 2 h

[2.7]

De igual forma en el caso de conservación de la energía se llega a:

e ep p e e pdT´Ah c F c (T ´ T´) F ´ c (T T) Q´dt

ρ = ρ − + ρ − + [2.8]

Ejemplo 2.2: Reactor no isotermo. Stephanopoulos pag. 125.

2.5. Sistemas lineales de primer orden.

Un sistema lineal de primer orden invariante en el tiempo es aquel cuyo modelo dinámico puede

ser descrito por una ecuación diferencial del tipo:

1 1 2 2 m mdya +y=b u +b u +....+b udt

[2.9]

donde y representa la variable de salida y ui son variables de entrada con evolución conocida. El

calentador de agua (ecuaciones [2.7] y [2.8]) corresponde a este tipo de sistema.

Para estudiar la respuesta de un sistema en el dominio del tiempo se suele utilizar la entrada en

escalón, consistente en un cambio brusco y de magnitud constante en la variable de entrada respecto de la

cual se quiere conocer la reacción del proceso. Matemáticamente un escalón de magnitud Δu a tiempo

cero se define como:

u t<0u(t)=

u+Δu t 0

⎧⎪⎨

≥⎪⎩ [2.10]

La función escalón unitario denotado por U(t) se define como:

0 t<0U(t)=

1 t 0⎧⎨ ≥⎩

2.5.1. Análisis cualitativo de la respuesta de un sistema lineal de primer orden.

Consideraremos el calentador de agua estudiado hasta ahora. Se estudiará la respuesta del nivel h

ante un cambio en escalón del caudal de entrada. (ver figura):


Comportamiento

Dinámico de tanque

Asumiendo para simplificar que el caudal de descarga es proporcional al nivel F = Kh no es

necesario linealizar y (la linearización conllevaría un resultado similar) la ecuación final de balance de

masa queda como sigue:

e edhA =F -F=F -Khdt

[2.11]

reordenando:

eFA dh +h=K dt K

[2.12]

La ecuación [2.12] corresponde a un sistema de primer orden con a = A/K y b = 1/K. En el

régimen permanente inicial los caudales de entrada y salida son iguales y por tanto el nivel en el tanque

será: eF Fh= =K K

Si en t = 0 se produce un cambio en escalón el caudal de entrada será: ee eF =F + FΔ

La diferencia de caudales a tiempo cero es precisamente ΔFe. De acuerdo con la ecuación de

conservación de masa, esta diferencia determinará la velocidad inicial de cambio de nivel.

ee e eF -F=F +ΔF -F=ΔF

A partir de ese momento la velocidad de cambio de nivel será cada vez menor ya que irá

disminuyendo la diferencia de caudales de carga y descarga. La velocidad inicial de cambio de nivel es

dh/dt = ΔFe /A En el nuevo estado permanente alcanzado, el nuevo caudal de descarga habrá

experimentado un cambio ΔFe. El cambio experimentado por el nivel habrá sido Δh = ΔFe /K. (ver figura,

de forma matemática se tiene e e e e1 2 2 1

F F F Fh ;h ;h hK K K

+ Δ Δ= = − = .

El parámetro que caracteriza la velocidad de respuesta de un proceso de primer orden es la

constante de tiempo τ, que se define como el tiempo necesario para alcanzar el nuevo estado de régimen

h(t)

τ

Δh=ΔFe/K

Tiempo

F(t)

τ

ΔFe

Fe


permanente si la velocidad de acercamiento al mismo fuese en todo momento igual a la inicial. Así para

el ejemplo anterior (punto de cruce de las dos rectas) se tiene que

( )e

e0

ΔF /KΔh A= = =dh/dt ΔF /A K

t

τ=

Obsérvese que la constante de tiempo no depende de la magnitud del escalón ni de las condiciones

nominales de operación. Se trata de un parámetro característico que indica la velocidad de respuesta del

proceso. La ganancia estática o sensibilidad del nivel h con respecto de la variable de entrada Fe, es el

cociente entre el cambio experimentado por el nivel una vez alcanzado el régimen permanente y el

cambio efectuado en la variable de entrada:

e

eh,F

e e

ΔF /KΔh 1K = = =ΔF ΔF K

La ecuación [2.12] se puede ahora escribir de la forma: eh,F e

dh +h=K Fdt

τ [2.13]

y para cualquier sistema de primer orden con constante de tiempo, τ, y ganancia estática, K, se

tiene: dy +y=Kudt

τ [2.14]

Cuestión. Hallar la constante de tiempo y ganancia estática respecto de la velocidad de aporte de calor y temperatura de

entrada en un calentador de agua tipo tanque con rebosadero. (Variable controlada: temperatura de salida). Resp.

El balance de energía en un volumen de control fijo es: ( )

e ed V u

F h F h Q Wdtρ

= ρ − ρ + −

Por las características del sistema; energía interna = entalpía y la densidad es invariable. Aplicando las siguientes

relaciones: e p refF F; h c (T T );= = − . Sustituyendo se obtiene: p e p edTV c F c (T T) Qdt

ρ = ρ − + .

Operando matemáticamente:

ee e p

V dT Q(T T)F dt F c

= − +ρ

ee e p

V dT 1T T QF dt F c

+ = +ρ

;

un sistema de 1er orden es dy +y=Kudt

τ

identificando términos: eT,T T,Q

e e p

V 1; K 1; KF F c

τ = = =ρ

Cuestión. Repetir el problema anterior para un tanque con descarga por gravedad. Resp.

Partiendo de la ecuación linealizada: e ep p e e pdT´Ah c F c (T ´ T´) F ´ c (T T) Q´dt

ρ = ρ − + ρ − +

e ' 'e e

e ee p

V dT ' T T 1T ' F T Q'dtF F F c

−+ = + +

ρ


2.5.2. Análisis general de la dinámica de un sistema lineal de primer orden. Entrada escalón.

Si se considera el sistema general de primer orden

dy +y=Kudt

τ

Asumiendo que en el estado inicial de régimen permanente:

y(0)=u(0)=0

La respuesta de y a un cambio en escalón de magnitud Δu es la solución a la ecuación diferencial

con u = Δu que se obtiene mediante el factor de integración:

FACTOR DE INTEGRACION. (Luyben, 177)

Ecuación diferencial: dy P y Qdt

+ =

dy exp Pdt P y exp Pdt Q exp Pdtdt

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )d yexp PdtQ exp Pdt

dt

⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

∫

( ) ( )y exp Pdt Q exp Pdt dt Cons tan te⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

La expresión final obtenida es: ( ) K u(1-exp(-t/ ))y t τ= Δ

(Ver Ejemplo 2.3)

Se comprueba fácilmente que para t=0 la velocidad de cambio de y, o velocidad de respuesta es

KΔu/τ. Para t tendiendo a infinito, la variable y tenderá a KΔu que será, a su vez el incremento que habrá

experimentado la variable de salida en el nuevo estado de régimen permanente. Para un tiempo igual a τ,

el incremento de la variable de salida será un 63% del incremento total. Lo cual es útil a la hora de hallar

la constante de tiempo a partir de la respuesta de y a una perturbación en escalón. (ver figura).

Detalles de respuesta en escalón.

y(t)

τ

Δy=KΔu

pendiente=KΔu/τ

0.63Δ y


El análisis precedente suponiendo condiciones de régimen permanente inicial nulas no está

restringido. Así, al escribir el modelo en términos de variables de desviación, se obtiene siempre una

ecuación diferencial con condiciones iniciales nulas. En este caso,

y(0)=y

u(0)=u

Se puede escribir: y=Ku , y restando [2.14] y [2.17]: dy´ +y=Ku´dt

τ

donde: y´=y-y

u´=u-u u= Δ

La solución del sistema de primer orden con condición no nula será pues,

y(t)=y+y´=y+KΔu(1-exp(-t/τ)) [2.18]

2.5.3. Respuestas de sistemas lineales de primer orden a otras entradas.

A) Respuesta a una entrada en rampa. (u = kt). La respuesta del sistema será la solución de la

ecuación diferencial: dy +y=Kktdt

τ

Integrando con la condición nula característica de los modelos linealizados en términos de

variables de desviación, se tiene:

ty(t)=Kkτ -1+exp(-t/τ)τ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[2.19]

Ejemplo 2.4. Obtener la respuesta de un CSRT a entrada en rampa. (Luyben pág. 180).

B) Respuesta a un impulso (u = A δ(t)). En este caso la respuesta será la solución de la ecuación

diferencial:

dyτ +y=KAδ(t)dt

Donde δ(t) es la función delta de Dirac. Integrando con condición inicial nula se obtiene:

KA ty(t)= exp(- )[Escalon unitario]τ τ

[2.20]

C) Respuesta a un pulso rectangular 0; t 0

u(t) A; 0 t b0; t 0

<⎧⎪= < <⎨⎪ >⎩

, integrando se obtiene:


tAK 1 exp( ) t by(t)

t t bAK 1 exp( ) 1 exp( ) t b

⎧ ⎡ ⎤− − <⎪ ⎢ ⎥τ⎣ ⎦⎪= ⎨−⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ − − − − − >⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ τ τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎩

[2.21]

Ejemplo 2.5. Ogunnaike pág. 148

2.6. Sistemas de segundo orden.

2.6.1 Sistemas de segundo orden sobreamortiguados.

Cuando entre la variable de salida y la de entrada haya dos capacidades en serie surge un sistema

de segundo orden. Por su parte cada capacidad es a su vez un sistema de primer orden con su ganancia y

constante de tiempo. Existe otra categoría de sistemas de segundo orden denominada “sistema

intrínsecamente de segundo orden”. En ambos casos la ecuación diferencial que describe ambos procesos

es la siguiente: 2

2 1 1 1 2 2 m m2

d y dya +a +y=b u +b u +....+b udt dt

[2.22]

Supónganse los dos tanques mostrados en la figura 2.2. El primero descarga por gravedad sobre el

segundo. Cada tanque es un sistema de primer orden. Entre h2 y Fe hay dos capacidades para almacenar

masa o volumen. Si los caudales de descarga son proporcionales a los niveles de líquido, se tiene:

11 e 1 1

22 1 1 2 2

dhA =F -K hdtdhA =K h -K hdt

Este sistema se puede escribir de la siguiente forma:

e11 1

1

e22 1

2

Fdh +h =dt K

Fdh +h =dt K

τ

τ

y eliminando h1 del sistema anterior (para ello se diferencia la segunda expresión, se sustituye

dh1/dt en la primera y se sustituye de nuevo en la segunda) se obtiene:

( )2

e2 21 2 1 2 22

2

Fd h dh+ +h =dt dt K

τ τ τ τ+ [2.23]


que responde a la ecuación general de un sistema lineal de segundo orden: ( )2 1 2

1 1 2

12

a =τ τa = τ +τ

1b =K

Sistema de dos capacidades no interactivas.

En el régimen nominal se cumple que el caudal de entrada al primer tanque es igual a los caudales

de salida de ambos tanques. A tiempo cero si se produce un cambio en escalón, el primer tanque se

comportará como un sistema de primer orden con velocidad inicial de cambio ΔFe/A1 y constante de

tiempo A1/K1. Sin embargo, el caudal de entrada al segundo tanque no ha variado. Se concluye pues que

la respuesta de un sistema de segundo orden arranca con velocidad nula, es decir, la pendiente en el

origen de reacción de la curva es cero. El nivel en el segundo tanque no sobrepasa en ningún momento su

valor final, es lo que se conoce como respuesta sobreamortiguada. La ganancia del sistema de segundo

orden se obtiene resolviendo el modelo estático. Así en el nuevo régimen nominal

e2

2

Fh =KΔ

Δ

Y la ganancia estática de la variable de salida h2 respecto de la variable de entrada Fe será,

2 e

2h ,F

e 2

Δh 1K = =ΔF K

La evolución en el tiempo de h2 hasta alcanzar el nuevo régimen permanente dependerá de las dos

constantes de tiempo de ambos tanques. Si τ2 es muy bajo, el sistema responderá de forma instantánea a

Fe. Si τ1 es muy bajo, por el contrario, será τ2 la constante de tiempo dominante.

Se considera ahora el caso de capacidades en serie que interaccionan tal como se observa en la

figura.

h1

h2

Fe

F1

F2

h1

h2


Sistema de capacidades interactivas

El caudal de descarga del primer tanque depende del nivel en el segundo: F1=K1(h1-h2)

El modelo matemático del proceso será:

11 e 1 1 2

22 1 1 2 2 2

dhA =F -K (h -h )dtdhA =K (h -h )-K hdt

Eliminando h1 se llega: 2

e2 1 21 2 1 2 22

2 2

Fd h A dh+ +h =dt K dt K

τ τ τ τ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

[2.24]

El término A1/K2 es el denominado factor de interacción que hace que la respuesta sea más lenta.

En régimen permanente se puede escribir:

e2

2

Fh =K

Y por tanto la ganancia estática del nivel h2 respecto del caudal de entrada será:

2 e

2h ,F

e 2

Δh 1K = =ΔF K

Es decir, la misma que en el proceso no interactivo.

2.6.2. Sistemas de segundo orden subamortiguados.

A diferencia de los sistemas con dos capacidades en serie, este tipo de procesos pueden presentar

sobreoscilación ante un cambio en escalón, es decir son o pueden ser procesos subamortiguados.

Considérese una válvula neumática de regulación de caudal tal como la representada en la figura.

La posición del vástago en régimen nominal es el resultado de las fuerzas que actúan sobre él.

Dichas fuerzas son:

-La fuerza ejercida por el aire comprimido cuyo valor es pA, siendo p la presión del aire y A el

área de la superficie del diafragma.

F1=K1(h1-h2) h1 h2

F2


-La fuerza del muelle de recuperación cuyo valor es Kx, siendo K la constante del muelle y x el

desplazamiento del vástago (cambio de longitud del muelle). Válvula neumática de regulación de caudal

-La fuerza de rozamiento que experimenta el vástago al

desplazarse verticalmente como resultado de su contacto con la

empaquetadura de la válvula; esta fuerza es proporcional a la

velocidad de desplazamiento y su valor es f dx/dt siendo f el

factor de fricción.

Planteando la ecuación de conservación de cantidad de

movimiento resulta: 2

2

d x dxM =pA-Kx-fdt dt

Donde M es la masa del vástago. Reordenando se tiene

una ecuación diferencial de segundo orden con una variable

dependiente de salida x y una variable de entrada p. 2

2

M d x f dx A+ +x= pK dt K dt K

[2.25]

En régimen permanente se satisface la ecuación: Ax= pK

siendo la ganancia estática A/K.

Ante un cambio en escalón de la presión p, la respuesta x presentará o no sobreoscilación

dependiendo de los valores de M, K y f. Más adelante se demostrará que habrá oscilación si se cumple:

f <12 MK

Cuestión. Observar la influencia de las constantes de tiempo en las características de respuesta de un sistema de segundo orden

tomando como base la hoja Excel “Apart 2.6.” (Elevar las constantes de tiempo para hacer el proceso subamortiguado). Ver si

existen valores de dichas constantes que hacen el sistema inestable.

Diafragma

Vástago

Muelle

Empaquetadura

Análisis de la Dinámica de Procesos en el Dominio de Laplace. Funciones de Transferencia.- 20

TEMA 3. ANALISIS DE LA DINAMICA DE PROCESOS EN EL DOMINIO DE

LAPLACE: FUNCIONES DE TRANSFERENCIA.

La transformada de Laplace permite la solución rápida y elegante de ecuaciones diferenciales

lineales que describen el comportamiento dinámico de procesos. La transformada de Laplace, así mismo,

permite el desarrollo simple de modelos de entrada – salida que conduce al importante concepto de la

función de transferencia y da una idea sobre el comportamiento de un sistema ante diferentes influencias

externas.

3.1. La transformada de Laplace.

La definición de la transformada de Laplace es:

[ ] -st

0

f(s)=L f(t) = f(t)e dt∞

∫ [3.1]

La transformada de Laplace convierte una función de dominio en el tiempo al dominio de Laplace.

3.1.1. Propiedades.

1-La transformada de Laplace es un operador lineal

L[f1(t)+f2(t)] = L[f1(t)] + L[f2(t)] = f1(s)+f2(s) [3.2]

2-La transformada del producto de una constante por una función temporal es la constante por la

transformada de la función.

[ ] [ ]L Kf(t) =KL f(t) =Kf(s) [3.3]

3-La transformada de Laplace de la derivada enésima de una función en el dominio del tiempo es: n

n n-1 n-2 n-3 n-1n

d f(t)L =s f(s)-s f(0)-s f (́0)-s f´ (́0)-...-f (0)dt

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

[3.4]

Cuestión. Deducir la trasformada de Laplace de la derivada primera de una función. Resp.

0

df (t) df (t)L exp( st)dtdt dt

∞⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ; integrando por partes:


u exp( st)du s exp( st)

udv uv vdudf (t)dv dtdt

v f (t)

= − ⎫⎪= − − ⎪⎪ ∫ = − ∫⎬

= ⎪⎪

= ⎪⎭

00 0

df (t) exp( st)dt exp( st)f (t) s f (t) exp( st)dtdt

∞ ∞∞− = − + − =∫ ∫

s f (s) f (0)= − ; para derivadas superiores:

n nn n 1 n 2 n 2 n 1

n n0

d f (t) df (t)L exp( st)dt s f (s) s f (0) s f '(0) ...s f (0) f (0)dt dt

∞− − − −⎡ ⎤

= − = − − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

4-La transformada de Laplace de la integral de f(t) es: t

0

f(s)L f(t)dt =s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫ [3.5]

Cuestión. Deducir la trasformada de Laplace de la integral de una función. Resp.

t t

0 0 0L f (t)dt f (t)dt exp( st)dt

∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ; integrando por partes y dividiendo por s:

t

o

dv exp( st)1v exp( st)s

udv uv vduu f (t)dt

du f (t)dt

= − ⎫⎪⎪= − −⎪⎪ ∫ = − ∫⎬⎪=⎪⎪

= ⎪⎭

∫

t

o 00

1 1 1f (t)dt exp( st) f (t) exp( st)dt f (s)s s s

∞ ∞⎛ ⎞⎜ ⎟− − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

3.1.2. Teoremas de la transformada de Laplace. (Ejemplos en Corripio página 36).

Teorema del retardo puro (teorema de la traslación real). La transformada de una función

retardada tm unidades es:

[ ] m-stmL f(t-t ) =e f(s) [3.6]


Cuestión. Demostrar el teorema del retardo puro. Resp.

[ ] [ ]m m m m m m0 0

L f (t t ) f (t t )exp( st)dt exp( st ) f (t t )exp( s t t )d(t t )∞ ∞

− = − − = − − − − −∫ ∫

haciendo τ=t-tm; [ ]mexp( st ) L f (s)−

Teorema del valor final. Si existe límite temporal y la transformada de Laplace de f(t) es f(s) se

cumple:

0lim f(t) limsf(s)t s→∞ →

= [3.7]

La principal aplicación de este teorema es que permite hallar el valor final de la respuesta del

proceso (valor en régimen permanente) a partir del modelo dinámico.

Cuestión. Demostrar el teorema del valor final. Resp.

Partiendo de la transformada de la derivada y tomando límites en ambos miembros:

[ ]

[ ]

s 0 s 00

s 0 s 00

df (t)lim exp( st)dt lim s f (s) f (0)dt


∞

→ →

∞

→ →

⎡ ⎤⎢ ⎥− = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

− = − =

∫

∫

t s 00

df (t) dt lim f (t) f (0) lim s f (s) f (0)dt

∞

→∞ →= − = −∫

Teorema del valor inicial.

sf (0) lim s f (s)

→∞=

Cuestión. Demostrar el teorema del valor inicial. Resp.

[ ]

[ ]

s s0

s s0


df (t)lim exp( st)dt lim s f (s) f (0) 0dt

∞

→∞ →∞

∞

→∞ →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥− = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

− = − =

∫

∫


Teorema de diferenciación compleja.

nn n

nd f (s)L t f (t) ( 1)

ds⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

Cuestión. Demostrar el teorema de la diferenciación compleja. Resp.

[ ] [ ]0 0

d exp( st)L t f (t) t f (t)exp( st)dt f (t) dt

ds

∞ ∞ −= − = −∫ ∫

0

d f (t)exp( st)dtds

∞− −∫

Para comprobaciones sucesivas:

[ ] [ ]2

2 22

d f (s)L t f (t) L t t f (t) L t g(t) ( 1)ds

⎡ ⎤ = = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Teorema de la traslación compleja.

Es la transformada de funciones del tipo: g(t)= exp( at) f (t)−

[ ] [ ]0

L exp( at) f (t) f (t)exp (s a)t dt∞

− = − +∫ haciendo p = s+a, nos encontramos ante la

transformada de Laplace de f(t) en la variable p; [ ]L exp( at) f (t) f (p) f (s a)− = = +

Es decir: “la transformada de g(t)= exp( at) f (t)− se obtiene hallando f(s) y después sustituyendo s

por s+a.

3.1.3. Otras propiedades de la transformada de Laplace.

• Transformada de g(t)= f (t)t

[ ] [ ] [ ]s 0 s 0

f (t) exp st f (t)f (t) exp st dt ds f (s) ds dt Lt t

∞ ∞ ∞ ∞⎡ ⎤ − ⎡ ⎤⎢ ⎥− = = = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplos:

Ejemplo 3.1-Obténgase la transformada de Laplace de: 2

2n n2

t 0

d x(t) dx(t) dx(t)2 x(t) Kr(t); x(0) 0dt dtdt =

+ ξω + ω = = =


Ejemplo 3.2-Obténgase la transformada de Laplace de: y(t) = t exp(-at)

3.1.4. Transformada de Laplace de funciones comunes en control de procesos. (Stephanopoulos)

A) Función escalón.

Considérese la función f(t) = KU(t) donde U(t) es la función escalón unitario:

[ ] -st -st

0 0

KL KU(t) = KU(t)e dt=K e dt=s

∞ ∞

∫ ∫ [3.8]

B) Función rampa.

Si f(t) = kt entonces fácilmente se obtiene que:

[ ] -st -st2

0 0

KL Kt = Kte dt=K te dt=s

∞ ∞

∫ ∫ [3.9]

Demostración:

u Ktdu Kdt

udv uv vdudv exp( st)dt1v exp( st)s

= ⎫⎪= ⎪⎪ ∫ = − ∫= − ⎬⎪⎪= − −⎪⎭

0 0 0

K K Kt exp( st) exp( st)dt exp( st)dts s s

∞ ∞∞− − − − − = −∫ ∫

20

K 1 Kexp( st)s s s

∞⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

C) Función senoidal.

Sea f(t) = sen (ωt) donde ω es la frecuencia de la onda sinusoidal, la transformada resulta:

[ ] 2 2L sen( t) =s +ωωω

[3.10]

Demostración.

Recordando las relaciones de Euler:

La expansión en series de potencias del seno y coseno son: 2 4 6

3 5 7

cos 1 .......2! 4! 6!

sen .......3! 5! 7!

θ θ θθ = − + − +

θ θ θθ = θ − + − +

, por tanto, ( ) ( ) ( )2 3 4j j jcos j sen 1 j .......

2! 3! 4!θ θ θ

θ + θ = + θ − + − +

La expansión en series de la exponencial es: 2 3 4x x xexp(x) 1 x

2! 3! 4!= + + + + , se cumple que:


cos j sen exp( j ) y cos j sen exp( j )θ+ θ = θ θ− θ = − θ “teorema de Euler”

según el teorema de Euler se obtiene exp( j t) exp( j t)sen t2 j

ω − − ωω = , por tanto la transformada

de Laplace de la función senoidal será:

[ ]0

exp( j t) exp( j t)L sen t exp( st)dt2 j

∞ ω − − ωω = −∫ e integrando ambos términos por separado:

0 0

1 1 1 1exp( j s)t exp( j s)t2 j j s 2 j j s

∞ ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤−

ω − − −ω −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω − ω +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ con lo que finalmente se obtiene:

2 21 1 12 j j s j s s⎡ ⎤− ω

− + =⎢ ⎥−ω + ω + ω +⎣ ⎦

D) Función exponencial.

Si f(t) = e-at resulta la siguiente transformada:

-at -at -st

0

1L e = e e dt=s+a

∞

⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ [3.11]

E) Función Delta de Dirac.

La función delta de Dirac es igual a la derivada del escalón unitario. d( )= U(t)dt

tδ

Por su parte el escalón unitario se puede escribir como: ( ) lim(1 )tU t e α

α

−

→∞= −

Por lo tanto se llega a:

[ ]( ) lim(1 ) lim lim 1t tdL t L e L edt s

α α

α α α

αδ αα

− −

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = = =⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [3.12]

F) Función pulso unidad

0 t 0Pulso 1/ A 0 t A

0 t A

<⎧⎪= < <⎨⎪ >⎩

esta función se puede poner como diferencia de dos funciones:

1 20 t 0 0 t A

f f1/ A t 0 1/ A t A

< <⎧ ⎧= =⎨ ⎨> >⎩ ⎩

Pulso = f1 – f2


f1 es la función escalón cuya transformada es 1/As. f2 es similar a f1 pero retrasada A unidades de

tiempo es decir, f2 = f1(t-A). Aplicando el teorema del retardo puro la transformada es 1 exp( As)As

− .

Restando ambas transformadas [ ]1 1 exp( As)As

= − −

G) Función coseno.

[ ] 2 2sL cos t

sω =

ω +

Se demuestra de forma similar al seno teniendo en cuenta que: exp( j t) exp( j t)cos t2

ω + − ωω =

3.2. Transformada inversa o antitransformada. [ ]1 ( ) ( )L f s f t− =

Es el paso del dominio de Laplace al dominio del tiempo empleándose la notación L-1[f(s)] = f(t).

Si la función es simple, la inversa puede encontrarse en tablas. Para funciones complejas el método más

utilizado es la descomposición en fracciones parciales. La función que se quiere invertir descompone en

serie de funciones simples cuya antitransformada es conocida:

[ ] 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )Nf s f t f t f t f t= + + + +

Mediante la propiedad de operador lineal se puede escribir:

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 11 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )Nf t L f t L f t L f t L f t− − − −= + + + +

En el análisis de procesos dinámicos f(s), aparece normalmente como un cociente de polinomios

en s:

ii

0

ii

0

b s( )( )( ) a s

m

in

i

n sf sd s

=

=

= =∑

∑ [3.13]

la ecuación del polinomio denominador: ii

0a s 0

n

i==∑ tendrá n raíces (reales o complejas), alguna de

las cuales podrá incluso ser repetida. La forma de proceder es descomponiendo en fracciones simples (al

igual que se hace en integración de fracciones polinómicas) y a continuación se hace la transformada de

dichas fracciones simples.

De las relaciones algebraicas se deducen las siguientes reglas generales:

1-Si un factor lineal (as +b) esta incluido en el denominador, existe una fracción parcial

correspondiente a este factor: A/(as+b).


2-Si un factor lineal (as+b) aparece n veces en el denominador, existen n fracciones parciales para

este factor del tipo:

( ) ( )n

n2

21bas

A.....bas

Abas

A+

+++

++

3-Si un factor cuadrático (as2+bs+c) aparece en el denominador, existe una fracción parcial que

corresponde a este factor de la forma cbsas

BAs2 ++

+

4-Si un factor cuadrático (as2+bs+c) aparece en el denominador n veces, existen n fracciones

parciales que corresponde a este factor de la forma ( ) ( )n2

nn22

222

11

cbsas

BsA...cbsas

BsAcbsas

BsA

++

+++

++

++

++

+

Para realizar la inversión de la transformada se requiere encontrar las raíces del polinomio

denominador. Para ello se usan métodos numéricos de ensayo y error. Tres de los métodos más eficaces

son el método de Newton para raíces reales, el de Newton-Bairstow para raíces reales y complejas

conjugadas y el método de Müller para raíces complejas y reales. Hoy en día estos métodos están

incluidos en paquetes de software por lo que gran parte de estos cálculos re realiza por ordenador.

3.2.1. Método de expansión de Heaviside.

Es un método sistemático para determinar los coeficientes de la expansión en fracciones parciales

que no requiere la solución simultánea de ecuaciones algebraicas. El grado del polinomio del

denominador debe ser mayor que el numerador. Si se tiene la función de transferencia F(s) = P(s)/Q(s) y

Q(s) posee n raíces, es posible escribir:

∑=

+=n

1iii )as/(C

)s(Q)s(P

A la hora de evaluar el coeficiente Cj, se multiplican ambos miembros de la ecuación anterior por

(s+aj) tal como se muestra,

)as(/)as(Ci)s(Q

)as)(s(Pij

j ++=+

∑

para s = -aj todos los términos del sumatorio se hacen cero excepto para i = j. En este caso, se

comprueba que: Cj = P(aj)/Q´(aj) donde Q´(aj) = Q(s)/(s+aj).

Ejemplo 3.3. Hallar la anti-transformada de la expresión: 3 2s 1F(s)

s 6s 11s 6−

=+ + +


El procedimiento anterior no es válido cuando existen raíces repetidas en el polinomio Q(s), en

este caso, la fracción polinómica se escribe: rr

221

r )as(A...

)as(A

)as(A)s(h

)as()s(

)s(Q)s(P

+++

++

++=

+

Φ=

Donde h(s) es la suma de fracciones parciales que no contienen el término s+a en el denominador.

Multiplicando la ecuación anterior por (s+a)r se obtiene:

φ (s) = h(s) (s+a)r +A1(s+a)r-1 +A2(s+a)r-2 +Ar-1(s+a) +Ar

La función φ (s) puede desarrollarse mediante serie de Taylor alrededor del punto –a:

++−−Φ

+++−Φ

++−Φ+−Φ=Φ−− 1r

)as(!1r

)a(...)as(!2

)a´´()as)(a´()a()s(1r

2

(TOM = Términos de Orden Mayor). Identificando términos se observa que:

y que también:

Ejemplo 3.4. 4 3 2s 3F(s)

s 5s 9s 7s 2+

=+ + + +

Problema resuelto con Mathematica

Para el caso aún más complicado de la existencia de ecuaciones con términos cuadráticos

repetidos, el procedimiento a seguir es:

1- Encontrar los coeficientes de todos los factores no repetidos, o repetidos de primer orden

usando el método de Heaviside.

2- Encontrar el coeficiente para el factor cuadrático repetido a la mayor potencia usando la

técnica estándar.

3- Sustituir los coeficientes anteriores en F(s) y resolver para el resto de coeficientes de similar

potencia en s.

Ejemplo 3.5.

( )( )32

s 1

s 2 s 2s 2

+

+ + +

TOM)as(!1r

)a()as(!r

)a( 1rr 1rr++

+−Φ

++−Φ

+++

!nr)a(A

nrn −

−Φ=

− ( )∑∞

=

+Φ=+

rj

jjr

!j)as()as)(s(h


3.3. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

El uso de la transformada de Laplace elimina la necesidad de evaluar las constantes de integración

ya que estas quedan integradas en la transformada de la ecuación diferencial. Si todas las condiciones

iniciales son cero la transformada de Laplace se obtienen simplemente sustituyendo d/dt por s, d2/dt2 por

s2, etc. El método es el siguiente:

-Se convierte la ecuación diferencial mediante Laplace en una ecuación algebraica en s.

-Se reordena para obtener la expresión de la transformada de la variable dependiente.

-La solución temporal se halla mediante la inversa. Ejemplos: Luyben 318, CES 24 y siguientes, Stephanopoulos, 156, Corripio 41,54-55-56.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/fourier/laplace.pdf

Ejemplo 3.6. Resolver el sistema de ecuaciones dado sabiendo que las derivadas tiempo cero son

nulas.

11 2

t21 2

dx =2x +3x +1dt

dx =2x +x +edt

3.4. Respuesta a un escalón de algunos sistemas simples.

A) Sistema de primer orden. La ecuación diferencial de un sistema lineal de primer orden de

ganancia K y constante de tiempo τ es:

dy(t)τ +y(t)=Ku(t)dt

[3.18]

Asumiendo condiciones iniciales nulas, es decir variables de desviación y aplicando la

transformada de Laplace:

τ s y(s) + y(s) = Ku(s) [3.19]

La transformada de Laplace de un escalón de magnitud Δu es u(s) = Δu/s, ahora sustituyendo y

despejando resulta: K u 1 K uy(s)=(τs+1) τ (s+1/τ)s sΔ Δ

=

Descomponiendo en fracciones parciales se obtiene:

K u K uy(s)=s+1/τs

Δ Δ−

Y utilizando la inversa se llega a la respuesta temporal del sistema de primer orden: -t/y(t)=K u 1-e τ⎡ ⎤Δ ⎣ ⎦ [3.20]


B) Sistema de segundo orden.La ecuación diferencial de un sistema de este tipo se escribe de la

forma: 2

2n n2

d y(t) dy(t)τ +2 +y(t)=Ku(t)dt dt

δτ [3.21]

donde τn es el periodo natural de oscilación y δ el coeficiente de amortiguamiento. Aplicando

Laplace se obtiene:

( )2 2n nτ s +2 s+1 y(s)=Ku(s)δτ [3.22]

Como u(s) = Δu/s despejando y(s) resulta:

( )2 2n n

K uy(s)=τ s +2 s+1s δτ

Δ

Las raíces del polinomio que aparece en el denominador son:

2

1,2n

- 1p = δ δτ

± −

Y por tanto dependiendo del valor de δ pueden plantearse tres casos:

1-Sistema de segundo orden subamortiguado. (0 < δ < 1). Las dos raíces del polinomio que

aparece en el denominador son complejas con parte real negativa. La transformada inversa resultante es la

siguiente:

21n

d2exp( t) 1y(t) K u 1 sen( t tg )

1−

⎡ ⎤⎡ ⎤−δω − δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ − ω +δ⎢ ⎥⎢ ⎥− δ ⎣ ⎦⎣ ⎦

3.25]

donde: 2d n 1ω = ω −δ

Cuanto menor es δ más rápida es la respuesta pero también más oscilatoria. Este tipo de respuesta

aparece en el control de procesos químicos cerrados, es decir cuando interaccionan el controlador y el

proceso.

Cuestión. Deducir la ecuación [3.25]. Resp. Teniendo en cuenta que ωn=1/τn (frecuencia natural no amortiguada), para una

entrada en escalón, la ecuación [3.22] puede ponerse de la forma:

2n

2 22 2n nn n

A Bs Cy(s) K us s 2 ss 2 s s

ω += Δ = +

⎡ ⎤ + δω + ω+ δω + ω⎣ ⎦

, los coeficientes A, B y C se hallan por el método

de expansión de Heaviside:


2n

2 2n n

s 0

A K u K us 2 s

=

ω= Δ = Δ

⎡ ⎤+ δω + ω⎣ ⎦

, por otro lado,

2 2 2 2n n n

nn

K u s 2 s Bs Cs K u

K u B 0B K u C K u2

K u2 C 0

⎡ ⎤Δ + δω +ω + + = Δ ω⎣ ⎦Δ + = ⎫⎪ = − Δ = − Δ δω⎬Δ δω + = ⎪⎭

n n n2 2 2 2 2 2

n n n n n n

1 s 2 1 sy(s) K u K us ss 2 s s 2 s s 2 s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ δω + δω δω= Δ − = Δ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ δω + ω + δω + ω + δω + ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )n n

2 22 2 2 2n n n n

1 sy(s) K us s 1 s 1

⎡ ⎤⎢ ⎥+ δω δω

= Δ − −⎢ ⎥⎢ ⎥+ δω + ω − δ + δω + ω − δ⎣ ⎦

( ) ( )n n d

2 22 2 dn d n d

1 sy(s) K us s s

⎡ ⎤⎢ ⎥+ δω δω ω

= Δ − −⎢ ⎥ω⎢ ⎥+ δω + ω + δω + ω⎣ ⎦

nn d n d

dy(t) K u 1 exp( t)cos( t) exp( t)sen( t)

⎡ ⎤δω= Δ − −δω ω − −δω ω⎢ ⎥

ω⎢ ⎥⎣ ⎦

n d d2y(t) K u 1 exp( t) cos( t) sen( t)

1

⎡ ⎤⎡ ⎤δ⎢ ⎥= Δ − −δω ω + ω⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− δ⎣ ⎦⎣ ⎦

teniendo en cuenta que a cos(x) + b sen(x) = (a2+b2)1/2sen(x + tg-1(a/b)), finalmente se obtiene:

21n


1−

⎡ ⎤⎡ ⎤−δω − δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ − ω +δ⎢ ⎥⎢ ⎥− δ ⎣ ⎦⎣ ⎦

2-Sistema de segundo orden sobreamortiguado (δ > 1). Las dos raíces son reales y negativas. La

función temporal tras aplicar Laplace y la antitransformada es (ver fig. 3.1):

2 2n n n2

y(t) K u 1 exp( t) cosh 1 t senh 1 t1

⎡ ⎤⎡ ⎤δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= Δ − −δω ω δ − + ω δ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥− δ⎣ ⎦⎣ ⎦

[3.23]

Cuestión. Deducir la ecuación [3.23]. Resp. ¿?


3-Sistema de segundo orden críticamente amortiguado (δ = 1). Las dos raíces son reales iguales y

negativas. Descomponiendo en fracciones parciales y aplicando la antitransformada se llega ahora a la

siguiente forma:

t ty(t) K u 1 1 exp( )⎡ ⎤⎛ ⎞= Δ − + −⎜ ⎟⎢ ⎥τ τ⎝ ⎠⎣ ⎦ [3.24]

Esta es la respuesta más rápida posible sin sobreoscilación.

Cuestión. Deducir la ecuación [3.24]. Resp. ¿?

Respuesta de un sistema de segundo orden a un escalón.

3.5. Funciones de transferencia y modelos entrada-salida (input-output).

Considérese un sistema simple con una sola entrada u(t) y una sola salida y(t) y el comportamiento

dinámico del proceso está controlado por la ecuación diferencial lineal de orden n, 1 2 1 2

1 2 1 0 1 2 1 01 2 1 2.... ....n n n m m m

n n n m m mn n n m m m

d y d y d y dy d u d u d u dua a a a a y b b b b b udt dt dt dt dt dt dt dt

− − − −

− − − −− − − −+ + + + = + + + + [3.26]

con condiciones iniciales nulas y n>m. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros

y teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son nulas se llega a la siguiente expresión: 1 2

1 2 1 01 2

1 2 1 0

....( )( ) ....

m m mm m m

n n nn n n

b s b s b s b s by su s a s a s a s a s a

− −− −

− −− −

+ + + +=

+ + + + [3.27]

que es la función de transferencia del sistema. La función de transferencia es el cociente entre la

transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada

ambas escritas en términos de variable de desviación.


Función de transferencia.

La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos

mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. El enfoque de la función de

transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. A continuación se presentan

algunos comentarios importantes relacionados con la función de transferencia.

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método

operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de

entrada.

2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y

naturaleza de la entrada o función de excitación.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la

salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones

de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para

varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse

experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez

establecida una función de transferencia, proporciona una descripcion completa de las características

dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física. (Ejemplo en Ogata 587, para entrada sinoidal).

3.5.1. Conceptos generales en el uso de las funciones de transferencia.

• Orden. El orden del sistema o de la función de transferencia es el mayor orden de la derivada

de la variable de salida, es decir la mayor potencia de s en el denominador de la función de

transferencia.

• Polos. Los polos de la función de transferencia son las raíces de la ecuación característica, que

es la ecuación resultante de igualar a cero el polinomio denominador de la función de

transferencia

SISTEMAU(s) Y(s)


• Ceros. Los ceros de la función de transferencia son las raíces del polinomio numerador

igualando a cero.

• Realizabilidad física. La función de transferencia de un sistema físico real presenta una

limitación en relación con las órdenes de los polinomios numerador y denominador: el orden n

del denominador debe ser superior al orden del numerador m. La función de transferencia

tampoco puede tener términos predictivos que representen una translación en el futuro.

• Ganancia estática. La ganancia estática de un sistema estable se obtiene haciendo s = 0 en la

función de transferencia. Si se somete un sistema a una entrada en escalón unitario, la

ganancia estática será el valor de y (variable de desviación) al alcanzar el nuevo estado

permanente. Aplicando el teorema del valor final resulta:

0 0

1lim ( ) lim ( ) lim ( ) (0)t s s

K y t sG s G s Gs→∞ → →

= = = =

• Producto de funciones de transferencia. Considérense dos sistemas dinámicos en serie cuyas

funciones de transferencia son G1(s) y G2(s). Obviamente la señal de entrada al segundo es la

señal de salida del primero. Por tanto se puede escribir:

1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( )y s G s u s y s G s y s= =

Así pues, se llega a la conclusión de que la función de transferencia del conjunto formado por

varios sistemas en serie es el producto de las funciones de transferencia de los sistemas individuales.

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y s G s G s u s G s u s= =

3.5.2. Funciones de transferencia de sistemas simples.

A) Integrador puro. La ecuación diferencial correspondiente al integrador puro es:

dy(t) =Ku(t)dt

[3.28]

aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros resulta (condición inicial nula): sy(s)=Ku(s), y

de aquí: y(s) K=u(s) s

[3.29]

B) Sistema o retardo de primer orden. Reordenando la ecuación correspondiente a un sistema

lineal de primer orden en el dominio de Laplace se obtiene la función de transferencia

y(s) K=u(s) 1+ sτ

[3.30]


C) Retardo puro o tiempo muerto. En un retardo puro la variable de salida es igual a la de

entrada retrasada tm unidades de tiempo. Utilizando el teorema del retardo puro resulta:

y(s) = exp(-tms)u(s) [3.31]

Reordenando

m-t sy(s) =eu(s)

[3.32]

D)Sistema de segundo orden. Reordenando la ecuación [3.22] correspondiente a un sistema

lineal de segundo orden en el dominio de Laplace se obtiene:

2 2n n

y(s) K=u(s) s +2 s+1τ δτ

[3.33]

y al hacer s = 0 se llega a G(0) = K, que es la ganancia estática del sistema.

Ejemplo 3.7. Obtener la función de transferencia de un calentador de agua en mezcla

perfecta. (Stephanopoulos 162, 164)

Ejemplo 3.8. Obtener la función de transferencia de un sistema multivariable como el descrito en

el enunciado. (Stephanopoulos 162, 164)

3.5.3. Funciones de transferencia de sistemas de parámetros distribuidos.

En este tipo de sistemas la variable independiente es función de la posición y el tiempo. La

transformada se usa para pasar del dominio del tiempo al dominio de s y después para pasar de la variable

de posición a la variable compleja p.

Ejemplo 3.9. Obtener la función de transferencia de un reactor tubular con reacción de primer

orden.

3.6. Análisis cualitativo del comportamiento dinámico de un sistema. Estabilidad a partir de

la función de transferencia.

La respuesta de un sistema en el dominio de Laplace es y(s) = G(s) u(s). En general, tanto G(s)

como u(s) son cocientes de polinomios en s, por tanto se puede escribir:

N(s)n(s)y(s)=D(s)d(s)

Al descomponer y(s) en fracciones parciales y obtener la transformada inversa es claro que

aparecerá un sumando función del tiempo por cada raíz real de D(s) y d(s) y otro por cada par de raíces

complejas conjugadas. Analizando los ejemplos vistos hasta ahora se comprueba que:


1-Los polos simples y reales dan lugar a términos exponenciales como c11e p1 t crecientes si p1>0 y

decrecientes si ocurre lo contrario. Si p1 es cero se obtiene un término constante.

2-Los polos reales múltiples dan lugar a términos como:

2 222232221 ...

1n p tccc

c t t t e⎡ ⎤

+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

2n -1

إ2 إ2 (n إ(1-

aunque el término entre corchetes tiende a infinito cuando t tiende a infinito, debido al factor exponencial,

el producto tenderá a infinito si p2 > 0 y decaerá a cero si p2 < 0.

3-Los polos complejos conjugados dan lugar a términos como eαt sen(ωt+φ). Si α < 0 las

oscilaciones se amortiguarán. Si α = 0 el término oscilará con amplitud constante. (ver figura).

Un sistema de función de transferencia G(s) se dice que es estable cuando ante una entrada

limitada (no creciente continuamente) produce una respuesta limitada. Es decir, un sistema será estable

cuando todos los polos de la función de transferencia tengan parte real negativa.

Respuesta en función de polos de función de transferencia.

3.7. Diagramas de bloques.

En muchos casos el proceso cuyo comportamiento dinámico se desea estudiar está constituido por

varios sistemas interconectados entre sí y representados cada uno de ellos por una función de

transferencia. El diagrama de bloques es una herramienta utilizada para combinar funciones de

transferencia de sistemas individuales en una única función de transferencia para el conjunto.

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva a

cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada

diagrama de bloques. Esta sección explica qué es un diagrama de bloques, presenta un método para

obtener los diagramas de bloques de sistemas físicos y, por último, analiza técnicas para simplificar tales

diagramas.

c11exp(p1t)p1<1

c11exp(p1t)p1>1

exp(p1t)sen(ωτ+φ)p1<1

exp(p1t)sen(ωτ+φ)p1=0

exp(p1t)sen(ωτ+φ)p1>1


Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las

funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relaciones

existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemática puramente

abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales

del sistema real.

En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante

bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la

operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones

de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se

conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Obsérvese que la señal sólo

puede pasar en la dirección de las flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de un sistema de control

muestra explícitamente una propiedad unilateral.

Las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones de la señal de entrada

multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en el bloque.

Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema estriban en que es

fácil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los

componentes de acuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada

componente al desempeño general del sistema.

La operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de

bloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información

relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del

sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el

mismo diagrama de bloques.

Debe señalarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energía no se muestra

explícitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar

varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.

3.7.1. Procedimientos para dibujar un diagrama de bloques.

Para dibujar el diagrama de bloques de un sistema, primero se escriben las ecuaciones que definen

el comportamiento dinámico de cada componente. A continuación se toman las transformadas de Laplace

de estas ecuaciones en términos de variables de desviación (las condiciones iniciales son cero), y se

representan individualmente en forma de bloques cada ecuación transformada por el método de Laplace.

Por último, se integran los elementos en un diagrama de bloques completo.


Como ejemplo, considérese el circuito RC de la figura. Las ecuaciones para el circuito son

La ecuación I(s) representa una operación de suma y el diagrama correspondiente aparece en la

figura (b). La ecuación Eo(s) representa el bloque de la figura (c). Si se integran estos dos elementos se

obtiene el diagrama de bloques general para el sistema, tal como aparece en la figura (d).

3.7.2. Reducción de un diagrama de bloques. Álgebra de bloques.

Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie, sólo si la entrada de un bloque

no se ve afectada por el bloque siguiente. Si hay efectos de carga entre los componentes, es necesario

combinarlos en un bloque único.

Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes sin carga puede sustituirse

con un solo bloque, cuya función de transferencia sea simplemente el producto de las funciones de

transferencia individuales.

G A AG + -

B

AG-B A + -

B/G

A-B/G G

1/G B

AG-B=

G A AG A G

G

AG=

AG

A AG

G A AG

A G A

AG

AG 1/G A=

G A A+ +-

B

(A+B) A +-

B

G

G B

=

=

(A+B)

G1 A +-

Y

G2

A + -

YG2 G1 1/G2

=

G1 A +-

Y

G2

A YG1/(1+G1G2)


Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica

mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

Algunas de estas reglas importantes aparecen en la tabla y se obtienen escribiendo la misma ecuación en

formas distintas. La simplificación de un diagrarna de bloques mediante reordenamientos y sustituciones

reduce de manera considerable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo,

debe señalarse que, conforme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los

bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.

Al simplificar un diagrama de bloques:

1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de la trayectoria directa debe ser el

mismo.

2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Cuestión. Considere el sistema que aparece en la figura. Simplifique este diagrama.

Resp. 1º se mueve el punto suma del lazo de realimentación negativa que contiene H2 hacia afuera del lazo de realimentación

positiva que contiene H1. 2º eliminamos el lazo de realimentación positiva. 3º eliminación del lazo que contiene H21G. Por

último, la eliminación del lazo de realimentación conduce a la simplificación total.

Obsérvese que el numerador de la función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) es el producto de las funciones

de transferencia de la trayectoria directa. El denominador de C(s)/R(s) es igual a:

Denominador = 1-Σ(producto de funciones de transferencia en cada lazo)

Ejemplo 3.10. Obtener el diagrama de bloques de un calentador de agua con salida por gravedad.

Ejemplo 3.11. Obtener el diagrama de bloques de un calentador de agua con camisa calefactora.

Ejemplo 3.12. Encontrar el diagrama simplificado de Y(s)/X(s).

Ejemplo 3.13. Simplificar el conjunto motor accionador.

Ejemplo 3.14. Simplificar los siguientes diagramas de bloque (formato pdf).

Ejemplo 3.15. Función de transferencia a través de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 3.16. Depósito de agua.

C + -

+ +

+G1 G2 G3 R

H1

H2

-


3.7.3. Reducción de diagramas de bloques. Regla de Mason.

La regla de Mason permite determinar la función de transferencia de un bloque de diagramas

complejo con diversos lazos de realimentación y lazos de adelanto.

Los siguientes conceptos deben ser tenidos en cuenta.

Un diagrama de bloques consta de vías directas (caminos que van desde la señal de entrada a la

salida sin pasar dos veces por el mismo sitio) y lazos. Un lazo es cualquier camino que empieza y termina

en un mismo sitio sin pasar dos veces por el mismo lugar. Dos lazos se dicen disjuntos si no poseen

elementos en común (no se tocan).

El determinante de un diagrama de bloques se define como:

Δ(s)=1 - (suma de lazos) + (suma del producto de lazos disjuntos tomados de dos en dos) - (suma

del producto de lazos disjuntos tomados de tres en tres) + …

El cofactor asociado a una trayectoria directa i es:

Δi(s)=1 - (suma de lazos disjuntos de la trayectoria i) + (suma del producto de lazos disjuntos de la

trayectoria i tomados de dos en dos) - (suma del producto de lazos disjuntos de la trayectoria i tomados de

tres en tres) + …

El cofactor asociado a una trayectoria directa i es igual al determinante eliminando aquellos

términos que tocan a la trayectoria i.

Llamando gi a las trayectorias directas, la regla de Mason es:

1( ) ( ) ( )( ) i i

iH s g s s

s= ΔΔ ∑

Ejemplo 3.17. Obtener la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema:

Ejemplo 3.18. Obtener la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema:


Ejemplo 3.19. Obtener la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema

Modelos Dinámicos Empíricos.-

42

TEMA 4. MODELOS DINAMICOS EMPIRICOS

Los modelos dinámicos basados en principios fisico-químicos pueden llegar a ser extremadamente

complejos. En ocasiones el esfuerzo que hay que realizar para plantear un modelo riguroso de un sistema

no está plenamente justificado. Existen alternativas, basadas en el conocimiento empírico, mucho más

sencillas y fáciles de manejar. La caracterización empírica de un proceso parte de la formulación de un

modelo lineal simple con el que se puedan aplicar técnicas bien establecidas de sistemas de control. Los

datos experimentales se obtienen mediante pequeños cambios en la variable de entrada en torno a las

condiciones nominales de operación. El modelo resultante será válido en una región estrecha alrededor

de las condiciones de régimen permanente.

4.1. Metodología general.

El procedimiento sistemático consta de los siguientes pasos:

1- Diseño de las experiencias a realizar.

2- Ejecución de experiencias programadas

3- Determinación del modelo adecuado.

4- Estimación de parámetros

5- Evaluación del modelo

6- Verificación del modelo.

El diseño de las experiencias a realizar requiere las siguientes consideraciones:

-Establecimiento de las condiciones nominales de operación.

-Especificación de variables de entrada que se van a perturbar y la magnitud de los cambios

efectuados.

-Selección de variables de salida que se registrarán así como el intervalo de muestreo.

-Especificación de la duración de experiencias.

Siempre habrá que tener en cuenta que durante la experimentación se producirán perturbaciones

no controladas. Lo usual es adoptar un modelo estándar simple de primer o segundo orden con tiempo

muerto. Para estimar los parámetros del modelo existen de manera general dos métodos, uno gráfico

basado en la curva de reacción y otro estadístico. En el caso de un modelo de primer orden con tiempo

muerto los parámetros a calcular son tres, la ganancia estática, la constante de tiempo y el tiempo muerto

o retardo puro.


43

4.2. Método de la curva de reacción.

4.2.1. Sistemas de primer orden.

*Entrada en escalón. Δu/s

La solución analítica es de la forma: y(t) K u(1 exp( t / ))= Δ − − τ , de lo anterior se deduce:

Para t = ∞ se cumple que y(t) K u= Δ ; para t=0 la velocidad inicial t 0

dy(t) K udt =

Δ=

τ, la constante

de tiempo se halla despejando de la anterior expresión:

t 0

K udy(t)

dt =

Δτ = o bien de forma gráfica por la curva

de reacción. Así, para t = τ y(t) 0.63K u= Δ ; t = τ/3 y(t) 0.28K u= Δ .

*Entrada en rampa. Δu/s2

ty(t) K u(t exp( t / )) K u( 1 exp( t / ))= Δ − τ + τ − τ = τ Δ − + − ττ

para t = ∞ el término exponencial tiende a cero, con lo cual para tiempos altos la expresión es una

recta: y(t) K u(t exp( t / )) tiempo K u t K u= Δ − τ + τ − τ ⇑⇑⇑⇑= Δ − Δ τ de pendiente: KΔu. Además la

recta corta al eje abcisas (y(τ)= 0) para t=τ.

*Entrada impulso A.

KAy(t) exp( t / )= − ττ

; KAy(0) =τ

; 2t 0

dy(t) KAdt =

= −τ

4.2.2. Sistemas de primer orden con tiempo muerto

Es aplicable a procesos cuya respuesta a cambios en escalón en las variables de entrada sea de tipo

sigmoidal (en S tendida). Este tipo de respuesta es típica de la mayoría de procesos químicos. Se utiliza

un modelo de primer orden con tiempo muerto:

sKe

)s(u)s(y stm

τ+=

−

1 [4.1]

En la Fig. se muestra la respuesta de este modelo a un cambio en escalón en la variable de entrada

u(t). El método consiste en determinar los parámetros del modelo que mejor ajustan la respuesta del

mismo a la respuesta real. Las acciones a realizar son las siguientes:

-Llevar el proceso a las condiciones nominales de operación.

-Con el controlador en abierto, ejecutar un cambio en escalón.


44

-Registrar la evolución de la salida.

-Realizar los cálculos apropiados.

Ante un cambio en escalón de magnitud A, la respuesta es del tipo (para tiempos mayores que el

tiempo muerto): my(t) KA(1 exp( (t t ) / ))= − − − τ [4.2]

donde y(t) representa la desviación respecto del valor inicial de régimen permanente. El cambio

por tanto de la variable y(t) al alcanzar el nuevo régimen estacionario será:

ty(t) lim y(t) KA

→∞Δ = = [4.3]

Por otro lado la máxima pendiente de la curva se da para t = tm:

mt t

dy(t) KAdt =

=τ

[4.4]

De acuerdo a [4.3], la ganancia K se determina dividiendo Δy por A:

y(t) KA

Δ=

El método de la máxima pendiente propuesto por Ziegler y Nichols consiste en obtener la

constante de tiempo a partir de la tangente a la curva de reacción en el punto de inflexión (ver fig). Así se

llega a: m

y(t)SΔ

= τ

Respuesta de un sistema de primer orden con tiempo muerto a una entrada en escalón.

Donde Sm es la máxima pendiente medida sobre la curva de reacción. Finalmente, el tiempo

muerto se evalúa a partir de la intersección de la tangente de pendiente Sm con el valor inicial de la

variable de salida.

Sm

tm t28 t63

28%

100%

63%


45

Una variante de este método se basa en que la respuesta a un escalón de un sistema de primer

orden sin tiempo muerto se alcanza el 63.2% de su valor final en un tiempo τ. Y trasladando esta

consideración al sistema de primer orden con tiempo muerto se obtiene:

t63 - tm = τ [4.5]

siendo t63 el tiempo necesario para que la respuesta del modelo de primer orden con tiempo

muerto alcance el 63.2% de su valor final. Midiendo este tiempo sobre la curva y calculando tm se obtiene

fácilmente τ. El principal inconveniente de estas variantes del método de máxima pendiente estriba en

trazar de forma precisa la tangente de máxima pendiente. Para solventar esta dificultad se ha propuesto

calcular tm y τ a partir de los tiempos necesarios para alcanzar un 28.3 y 63.2% del valor final de

respuesta. El sistema de primer orden sin tiempo muerto tarda un tiempo t = τ/3 en alcanzar el 28.3% de

la respuesta final:

1/30.283 1y eKA

−Δ= = −

Por tanto, se puede escribir que:

T28 - tm = τ/3 [4.6]

y combinando [4.5] y [4.6] se obtiene: τ = 3/2 (t63-t28) y tm = t63-τ

El método es fácilmente aplicable para cambios en escalón de una variable manipulada pero no

para variables de perturbación.

Otro aspecto a destacar es la magnitud del escalón de entrada que no debe ser muy pequeño o muy

grande.

La duración de cada experiencia se recomienda sea de tm+4τ. Normalmente los procesos químicos

suelen ser largos y puede que se produzcan otras perturbaciones a lo largo de los experimentos.

4.2.3. Sistemas de segundo orden subamortiguados.

La expresión matemática para este tipo de sistemas es:

21n


1−

⎡ ⎤⎡ ⎤−δω − δ⎢ ⎥⎢ ⎥= Δ − ω +δ⎢ ⎥⎢ ⎥− δ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Según la curva de respuesta anterior se definen los siguientes parámetros (Kuo 394):

-Tiempo de retardo: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance por vez primera el 50 %

de la respuesta final. Su valor se obtiene mediante ajuste a partir de la resolución de la ecuación


46

correspondiente: n d d2

y(t) 1 exp( t) cos( t) sen( t)1

⎡ ⎤δ= − −δω ω + ω⎢ ⎥

⎢ ⎥− δ⎣ ⎦

. La expresión polinómica de orden dos es:

ωntr = 0.2763 δ2 +0.3497 δ + 1.05. La ecuación dada por Kuo es: ωntr = 0.469 δ2 +0.125 δ + 1.1

-Tiempo de levantamiento: Tiempo necesario para llegar por primera vez al 100% de la respuesta

final. En algunos libros se define como el tiempo necesario para pasar del 10 al 90% de la respuesta final.

De forma similar al tiempo de retardo, mediante ajuste se obtiene: ωntl = 4.2073 δ2 -0.5056 δ +

1.664 (paso de 0a 90%) o bien: ωntl = 2.917 δ2 -0.4167 δ + 1 (paso de 10 a 90%).

-Tiempo de asentamiento: Tiempo para que la respuesta final se estabilice en un rango del 5% (en

ocasiones el 2%) de la respuesta final. Las expresiones correspondientes son ts = 3.2/δωn para valores de

0<δ<0.69 y ts = 4.5δ/ωn para 0.69<δ

-Tiempo pico: Tiempo correspondiente al primer pico o sobrepaso máximo. p 2d n

t1

π π= =ω ω − δ

Cuestión. Obtener el tiempo pico de un sistema de segundo orden. Resp. Supongamos un sistema con ganancia unidad que se

somete a un escalón unitario:

n d d2y(t) 1 exp( t) cos( t) sen( t)

1

⎡ ⎤δ= − −δω ω + ω⎢ ⎥

⎢ ⎥− δ⎣ ⎦

derivando con respecto al tiempo:

dn n d d n d d d2 2

dy(t) exp( t) cos( t) sen( t) exp( t) sen( t) cos( t)dt 1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤δωδ= δω −δω ω + ω − −δω −ω ω + ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥− δ − δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

desarrollando:

2n n

n n d d2

n dn d d d2

exp( t)dy(t) exp( t)cos( t) sen( t)dt 1

exp( t)exp( t) sen( t) cos( t)1

δ ω −δω= δω −δω ω + ω +

−δ−δω δω

+ −δω ω ω − ω−δ

Los términos en coseno se anulan.

2n n

d n d d2exp( t)dy(t) sen( t) exp( t) sen( t)

dt 1

δ ω −δω= ω + −δω ω ω

−δ sacando factor común:

2n

n d d 2dy(t) exp( t)sen( t)

dt 1

⎡ ⎤δ ω= −δω ω ω +⎢ ⎥

⎢ ⎥− δ⎣ ⎦

( )2 2n n

n d 2

1dy(t) exp( t)sen( t)dt 1

⎡ ⎤ω − δ + δ ω⎢ ⎥= −δω ω⎢ ⎥− δ⎢ ⎥⎣ ⎦


47

nn p d p2

dy(t) exp( t )sen( t ) 0dt 1

ω= −δω ω =

− δ el único término que puede ser cero es el término sinoidal:

d p d psen( t ) 0; t n ;ω = ω = π el primer sobrepico es para n = 1, p 2d n

t1

π π= =ω ω − δ

-Sobrepaso máximo (%) : pP

y(t ) y( )M x100

y( )− ∞

=∞

.

El sobrepaso máximo para escalón unitario:

pn n2d d d

y(t ) y( )exp( ) cos( ) sen( ) exp( ) exp( )

y( ) 1

⎡ ⎤− ∞ π δ π π= − −δω π − π = −δω = −σ⎢ ⎥

∞ ω ω ω⎢ ⎥− δ⎣ ⎦

Ejemplo 4.1 Obtener las funciones de transferencia correspondientes a las respuestas observadas

ante escalón unitario.

1.5

1

0.5

2

1

0.5 K

1.813

0.581

0.5

0.0

Análisis Dinámico en el Dominio de la Frecuencia.- 48

TEMA 5. ANALISIS DINAMICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Hasta ahora se ha estudiado el análisis de sistemas en el dominio de Laplace, si bien, este análisis

se complica sobremanera a medida que aumenta la complejidad de los sistemas. En este capítulo se

aborda una tercera alternativa que es el análisis en el dominio de la frecuencia. Al igual que ocurriera en

anteriores capítulos, este análisis debe aplicarse a sistemas lineales o linealizados.

El análisis en el dominio de la frecuencia consiste básicamente en utilizar la respuesta en

frecuencia del proceso y del lazo de control abierto para extraer conclusiones sobre el proceso en lazo

cerrado.

5.1. Respuesta en frecuencia.

Respuesta a una señal sinusoidal.

5.1.1. Ejemplo de respuesta frecuencial para un sistema de primer orden.

Considérese un sistema de primer orden que se somete a una entrada sinoidal de amplitud A y

frecuencia ω. Hallaremos la respuesta en el dominio del tiempo. p2 2p

K Ay(s)s 1 s

ω=τ + + ω

.

Expandiendo en fracciones parciales. p 1 2 3

pp

K A C C Cy(s) 1 s j s js

⎡ ⎤⎢ ⎥ω⎢ ⎥= + +

τ + ω − ω⎢ ⎥+⎢ ⎥τ⎣ ⎦

2p

1 2 2p

C1

τ=

+ τ ω p

2 2p

1C2 j

τ= −

τ ω + ω p

3 2p

1C2 j

τ=

−τ ω + ω

2 2( ) Au ss

ωω

=+

( ) ( )u t Asen tω= ( ) ( ) ( )y t A G j sen tω ω φ= +

G(s)


el primer término lleva a: 2p p p p2 2 2 2p pp p

p

K A K A1 texp( )11 1s

τ ω ωτ===> −

τ τ+ τ ω + τ ω+τ

el segundo: ( )p pp p

2 2p p p

K A jK A j1 1 1 exp( j t)2 j j s j 2 1

τ ω−⎡ ⎤τ ω−− =====> − − ω⎢ ⎥

τ ω+ τ ω− + ω τ ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

y el tercero: ( )p pp p2 2

p p p

K A jK A j1 1 1 exp( j t)2 j j s j 2 1

−τ ω−⎡ ⎤−τ ω−=====> ω⎢ ⎥

−τ ω+ −τ ω− − ω τ ω +⎢ ⎥⎣ ⎦

desarrollando: ( ) ( )p p p p p2 2 2 2 2 2pp p p

K A K A K Atexp( ) cos t sen t1 1 1

ωτ ωτ− − ω + ωτ+ τ ω + τ ω + τ ω

para tiempos muy elevados, el término exponencial tiende a cero y los otros dos términos pueden

simplificarse mediante: 1 2 3

2 2 1 13 1 2

2

a cos(b) a sen(b) a sen(b );aa a a ; tga

−

+ = + θ

= + θ = con lo que finalmente se obtiene para el

estado estacionario: ( )p 1p2 2

p

K Asen t tg ( )

1−⎡ ⎤ω + −τ ω⎣ ⎦+ τ ω

, tal como se observa, la relación de amplitud es

igual al módulo del número complejo p

p

KG( j) ;

j 1ω =

τ ω +mientras que el ángulo de desfase es el

argumento del mismo número complejo.

5.1.2. Generalización de respuesta frecuencial para cualquier sistema.

Considerando el sistema lineal cuya función de transferencia es: G(s)=N(s)/D(s)

Donde N(s) y D(s) son polinomios de grado m y n respectivamente. La transformada de Laplace

de este sistema a una entrada sinusoidal del tipo u(t) = A sen (ω t) sería:

Asumiendo que todos los polos de G(s) son reales y simples:

111 21

1 2

( ) ... n

n

cc c a by ss p s p s p s j s jω ω⎡ ⎤

= + + + + +⎢ ⎥− − − + −⎣ ⎦

2 2( ) Au ss

ωω

=+


Todos los sumandos entre corchetes dan lugar a términos exponenciales del tipo epit. Si todos los

polos son negativos, todos los sumandos son decrecientes y tienden a cero para t tendiendo a infinito. Por

tanto, la respuesta última será: -jωt jωtultimay (t)=ae +be

Donde las constantes a y b son las siguientes: AG(-jω) AG(jω)a= ; b=-2j 2j

Operando con números complejos:

-jωt jωtAG(-jω) AG(jω)y(t)= e + e-2j 2j

( ) ( )AG(-jω) AG(jω)y(t)= cos(-ωt)+jsen(-ωt) + cos(ωt)+jsen(ωt)-2j 2j

AG(-jω) AG(jω) AG(jω) AG(-jω)y(t)= + cos(ωt)+ jsen(ωt)-2j 2j 2j -2j

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2AG(-jω) AG(jω) AG(jω) AG(-jω)y(t)= + - sen(ωt+φ)

-2j 2j 2j -2j⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

AG(-jω) AG(jω)y(t)= 4 sen(ωt+φ)=A G(jω) sen(ωt+φ)-2j 2j

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

-1 -1 -1

AG(-jω) AG(jω)-2j 2j G(jω)-G(-jω) Img G(jω)φ=tg tg tg

G(jω)+G(-jω) Real G(jω)AG(jω) AG(-jω)2j -2j

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

se obtiene por tanto

)tsen()j(GA)t(yu φ+ωω= [5.1]

en la que ⏐G(jω)⏐ es el módulo del número complejo resultante de sustituir s por jω en la función

de transferencia y φ es el argumento de ese número complejo. La respuesta última es por tanto una señal

sinusoidal de la misma frecuencia pero con una amplitud diferente y desfasada un ángulo φ.

0 100 200 300 400 500-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo

y(t)

desfase=T P=periodo=2π/ω

ángulo de fase=360T/P

Respuesta última de un sistema lineal.


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

La relación de amplitudes RA es el cociente entre la amplitud de onda de salida y la amplitud de

onda de entrada.

( )( ) ( )

A G jRA G j

Aω

ω ω= = [5.2]

El ángulo de fase φ suele ser negativo, es decir, la onda de salida está retrasada respecto de la de

entrada. Por ello, generalmente se habla de retardo de fase.

( ) ( )G jφ ω ω= ∠ [5.3]

En algunos sistemas φ es positivo en cuyo caso se habla de avance de fase.

Cuestión. Obtener el desfase, período de oscilación, frecuencia de oscilación y relación de amplitudes a partir de las curvas

entrada salida del sistema de la figura. Resp. La relación de amplitudes es 2, la frecuencia 1, el período 2π y el desfase 180º.

Ejemplo 5.1. Obtener la respuesta frecuencial de

a- Un capacitor puro.

b- Una serie de procesos de primer orden no interactivos.

c- Un sistema de segundo orden.

d- Un tiempo muerto.

e- Un controlador PI y otro PD.

5.2. Representación gráfica de la respuesta en frecuencia.

5.2.1. Diagrama de Nyquist (gráfica polar o representación en el plano G).

Es una representación del número complejo G(ωj) en un diagrama bidimensional en función de la

frecuencia. En el eje de ordenadas se representa la parte imaginaria mientras que en el eje de abcisas se

representa la parte real. Se verán algunos ejemplos que se pueden realizar en EXCEL.


Ejemplo 5.2.

*Sistema de primer orden p

p

KG(s)

s 1=τ +

.

El módulo y argumento de un sistema de primer orden vienen dados por:

p 1p2 2

p

KG( j) ; G( j) tg ( )

1−ω = ∠ ω = − τ ω

+ τ ω

Para frecuencia cero, el módulo es Kp y el argumento cero. Para frecuencia igual a la inversa de la

constante de tiempo el módulo es pKG( j)

2ω = y el argumento -45º. Cuando la frecuencia tiende a

infinito, el módulo se hace cero y el desfase de 90º. Al construir el diagrame de Nyquist se observa que

este es un semicírculo de diámetro Kp.

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden

* Adelanto de primer orden. pG(s) s 1= τ +

En este caso se tiene: 2 2 1p pG( j) 1 ; G( j) tg ( )−ω = + τ ω ∠ ω = τ ω

El argumento de este sistema comienza en 1 para frecuencia cero y tiende a infinito a medida que

lo hace la frecuencia. Por su parte el argumento se desplaza de cero a 90º, dando lugar a un gráfico que

corresponde a una línea recta vertical con origen en la unidad de abcisas.

* Tiempo muerto. mt sG(s) e−=

mG( j) 1; G( j) tω = ∠ ω = − ω


El gráfico de Nyquist cambia en ángulo de fase a medida que lo hace la frecuencia pero no afecta

al módulo con lo que la representación da lugar a una circunferencia de radio la unidad y centrada en el

origen:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Diagrama de Nyquist de un tiempo muerto

* Sistema de primer orden con tiempo muerto. mt s

p

p

K eG(s)

s 1

−

=τ +

p 1p m2 2

p

KG( j) ; G( j) tg ( ) t

1−ω = ∠ ω = − τ ω − ω

+ τ ω

Haciendo uso de la propiedad del producto de números complejos: El módulo del producto de

complejos es el producto de módulos individuales mientras que el argumento global es la suma de

argumentos individuales, se obtiene la expresión anterior. El gráfico de Nyquist es una espiral:

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden con tiempo muerto


* Integrador puro. 1G(s)s

=

1G( j) ; G( j) 90ºω = ∠ ω = −ω

La representación de Nyquist es una línea vertical que coincide con el eje negativo imaginario.

* Integrador y sistema de primer orden. ( )

p

p

KG(s)

s s 1=

τ +

p 1p2 2

p

KG( j) ; G( j) tg ( ) 90º

1−ω = ∠ ω = − τ ω −

ω + τ ω

Para frecuencia cero el módulo tiende a infinito y el argumento a -90º, cuando la frecuencia va a

infinito el módulo se hace cero.

Diagrama de Nyquist de un sistema de primer orden con integrador

*Sistema de orden dos. p2 2p p

KG(s)

s 2 s 1=τ + δτ +

( ) ( )p

2 22 2p p

KG( j)

1 2ω =

− τ ω + δτ ω

, el argumento es: p12 2p

2G( j) tg

1− − δτ ω

∠ ω =− τ ω

El diagrama comienza en Kp y finaliza en el origen. Para frecuencia inversa del período de

oscilación no amortiguado la curva corta al eje imaginario (argumento = -90º) siendo el módulo:

pKG( j)

2ω =

δ. De forma general se puede afirmar que añadir retrasos a un sistema (añadir polos) mueve

el diagrama de Nyquist en sentido de las agujas del reloj alrededor del origen. La adición de ceros

provoca el efecto contrario.


-4.5-4

-3.5-3

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Diagrama de Nyquist de un sistema de segundo orden subamortiguado

5.2.2. Diagrama de Bode.

El diagrama de Bode está constituido por dos curvas, una para representar la relación de

amplitudes en función de la frecuencia y otra para el retardo de fase. La relación de amplitudes se

representa en papel doblemente logarítmico salvo que se exprese en decibelios, en cuyo caso se denota

por L y se representa en coordenadas semilogarítmicas:

L = 20 log RA [5.4]

El ángulo de fase expresado en grados se representa frente a ω en escala semi-logarítmica. Se

verán algunos ejemplos.

A) Ganancia estática. Un sistema con una función de transferencia G(s) = K responde de forma

instantánea a cualquier señal de entrada amplificándola K veces. En este caso es claro que RA = ⏐K⏐ = K

y que φ = ∠K = 0. Por tanto RA(ω) y φ(ω) son dos rectas horizontales en el diagrama de Bode.

B) Integrador puro. Sustituyendo s por jω en la función de transferencia de un integrador puro se

tiene: G(jω) = 1 / jω

1G( j)ω =ω

[5.5]

G( j) 90º∠ ω = − [5.6]

En escala logarítmica RA(ω) es una recta de pendiente –1 que pasa por ω = 1, RA = 1. Si se

expresa la relación de amplitudes en decibelios: L=-20log ω.

Es decir, una recta de pendiente –20dB/década que pasa por el punto ω = 1, L = 0.


Diagrama de Bode de un integrador puro

C) Sistema retardo de primer orden. Sustituyendo s por jω se obtiene:

( )p

1G( j)j 1

ω =τ ω +

Siendo la relación de amplitudes: RA=2 2p

1G( j)1

ω =+ τ ω

[5.7]

y el ángulo de fase: 1pG( j) tg ( )−∠ ω = − τ ω [5.8]

La representación de RA(ω) se aproxima a dos asíntotas que se cortan en ω = 1/τ (frecuencia de

corte), la horizontal por RA = 1 y la de pendiente –1. En la frecuencia de corte se tiene que:

1G( j)2

ω =

RA(dB) 20log 2 3dB= − = −

1G( j) tg (1) 45º−∠ ω = − = −

La relación de amplitudes

cae rápidamente para frecuencias

superiores a la de corte. Por ello el

sistema actúa como un filtro “ paso

bajo” es decir un elemento que deja

pasar las señales de baja frecuencia

pero que atenúa o elimina las de alta

frecuencia.

Diagrama de Bode de un sistema de primer

orden (RA).

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100


-95

-85

-75

-65

-55

-45

-35

-25

-15

-5

5

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100

Diagrama de Bode de un sistema de primer orden (fase).

D) Adelanto de primer orden. La función de transferencia es: pG(s) s 1= τ +

En este caso se tiene: 2 2pG( j) 1ω = + τ ω [5.9]

1pG( j) tg ( )−∠ ω = τ ω [5.10]

La curva RA (ω) se aproxima mediante una asíntota horizontal en RA = 1 y otra inclinada de

pendiente 1. Que se cortan en ω = 1/τ . A esa frecuencia RA = 21/2 y φ = 45º. Este elemento dinámico, no

realizable físicamente, aporta un avance de fase de 0º a ω = 0 y de 90º a ω tendiendo a infinito. El

diagrama de Bode es la imagen especular del que resulta de un retardo de primer orden.

E) Tiempo muerto o retardo puro.

La función de transferencia es ahora: mt sG(s) e−=

G( j) 1ω = [5.11]

mG( j) t∠ ω = − ω [5.12]

De acuerdo con estas relaciones es obvio que

RA(ω) será una recta horizontal en RA = 1 o L = 0 y

que el ángulo de fase es una curva monótonamente

decreciente.

Diagrama de Bode de un tiempo muerto (fase).

-250

-200

-150

-100

-50

00.01 0.1 1 10 100


F) Factores cuadráticos. 2 2p p

1G(s)s 2 s 1

=τ + δτ +

( ) ( )p

2 22 2p p

KG( j)

1 2ω =

− τ ω + δτ ω

, el argumento es: p12 2p

2G( j) tg

1− − δτ ω

∠ ω =− τ ω

Si ξ > 1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con

polos reales. Si 0 < ξ < 1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados.

La curva asintótica de respuesta en frecuencia se obtiene del modo siguiente:

( ) ( )2 22 2p pRA(dB) 20log 1 2= − − τ ω + δτ ω

para frecuencias bajas tales que ω << ωn, la magnitud logarítmica se convierte en 0 dB.

Por tanto, la asíntota de frecuencia baja es una recta horizontal en 0 dB. Para frecuencias altas la

magnitud logarítmica se vuelve: ( )22 2 2 2p p pRA(dB) 20log 1 20log 40log= − − τ ω = − τ ω = − τ ω

Las dos asíntotas así obtenidas son independientes del factor

de amortiguamiento, en las proximidades de la frecuencia de cruce

pp

1ω= ωτ

= aparece un pico de resonancia cuya magnitud viene

determinada por δ. A medida que disminuye δ el pico de resonancia

aumenta

En lo referente al ángulo de fase, este comienza en cero, pasa

por -90º en la frecuencia de esquina y termina en -180º para

frecuencias tendiendo a infinito.

Volviendo al pico de resonancia, la frecuencia de resonancia a la cual RA es máxima se obtiene

por simple derivación de la expresión correspondiente.

( ) ( )p

2 22 2p p

KG( j)

1 2ω =

− τ ω + δτ ω

, así, derivando el denominador e igualando a cero:


( ) ( )2 22 2p p 2

2r n

p

d 1 21 20; 1 2

d

⎡ ⎤− τ ω + δτ ω⎢ ⎥ − δ⎣ ⎦ = ω = = ω − δ

ω τ

La frecuencia de resonancia es aplicable para valores de δ comprendidos entre 0 y 0.707. La

magnitud del pico de resonancia se calcula sustituyendo el valor de frecuencia de resonancia en la

expresión de magnitud: presonancia máxima 2

KM G( j)

2 1= ω =

δ −δ. Conforme δ tiende a cero el pico de

resonancia tiende a infinito. Esto implica que si el sistema se excita en su frecuencia de resonancia la

magnitud se vuelve infinita.

El ángulo de fase en la frecuencia de resonancia es:

21 1

21 2G( j) tg 90º sen

1− −− δ δ

∠ ω = = − +δ −δ

5.2.3. Diagrama de Black.

Es una representación de la relación de amplitudes (dB) frente al ángulo de fase.

(Ejemplos en Barrientos 228 y siguientes, Stephanopoulos 331 y Ogata 473 y 484)

5.3. Respuesta en frecuencia de sistemas constituidos por varias funciones de transferencia

en serie.

Anteriormente se ha podido comprobar como los procesos simples pueden ser modelados

mediante varias funciones de transferencia en serie. La dinámica de la mayoría de procesos químicos se

puede modelar mediante un sistema de primer orden con tiempo muerto constituido por tres elementos

básicos combinados en serie: ganancia estática, sistema de primer orden y tiempo muerto. En el dominio


de la frecuencia resulta muy sencillo combinar funciones de transferencia de elementos dinámicos en

serie. Sea por ejemplo un proceso constituido por dos funciones de transferencia en serie:

G(s) = G1(s) G2(s)

En el dominio de frecuencia se tiene:

G(jω) = G1(jω) G2(jω)

Escribiendo en forma polar resulta:

1 2( ) ( )( )1 2( ) ( ) ( )j G j j G jj G jG j e G j e G j eω ωωω ω ω∠ ∠∠ = [5.13]

Reordenando términos se puede escribir:

1 2( ) ( )( )1 2( ) ( ) ( ) j G j j G jj G jG j e G j G j e ω ωωω ω ω ∠ + ∠∠ = [5.14]

En consecuencia se deduce que la relación de amplitudes de G(s) es el producto de las relaciones

de amplitudes de ambas funciones de transferencia y que el desfase de G(s) es la suma de desfases de las

funciones de transferencia en serie. Matemáticamente se tiene que

1 2( ) ( ) ( )RA j RA j RA jω ω ω= [5.15]

1 2( ) ( ) ( )G j G j G jω ω ω∠ = ∠ +∠ [5.16]

tomando logaritmos en [5.15]

L = L1 +L2 [5.17]

Ejemplo 5.3 Dibujar las trazas de Bode para la función 210(s+3)

s(s+2)(s +s+2)

Ejemplo 5.4 Dibujar las trazas de Bode para la función -0.1s

210(0.5s+3)e(s+1) (0.1s+1)

Ejemplo 5.5 Dibujar las trazas de Bode para la función:

-0.2s1 1 1 e400 1+0.25s 0.1s+1 (2s+1)(s+1) 0.5s+1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


5.4. Sistemas de fase no mínima.

La función de transferencia de un sistema físicamente realizable es:

( )( )

1 21 2 1 0

1 21 2 1 0

....( )( ) ....

m m mm m m

k n n nn n n

K b s b s b s b s by su s s a s a s a s a s a

− −− −

− −− −

+ + + +=

+ + + +, cumpliendose: (n+k) > m

La mayor parte de los sistemas reales presentan una respuesta frecuencial tal como se explica a

continuación. A bajas frecuencias, la relación de amplitudes se aproxima por la asíntota de pendiente –1 k

y el ángulo de fase tiende a –90º k. La respuesta a altas frecuencias se evalúa también sin más que dividir

numerador y denominador de la función de transferencia por sn+k, sustituir s por jω y tomar límite cuando

ω tiende a infinito. El resultado es que la relación de amplitudes se aproxima por una asíntota de

pendiente (-1)(n+k-m) y que el ángulo de fase tiende a (-90º)(n+k-m). Los sistemas que presentan este

comportamiento se denominan de fase mínima. Los sistemas de fase no mínima, presentan polos y/o

ceros en el semiplano derecho del plano s, son lentos en su respuesta debido a su comportamiento

defectuoso al inicio de la respuesta. Así, al diseñar un sistema, si una velocidad de respuesta rápida es de

vital importancia, no deben usarse componentes de fase no mínima. Existe otra clase de sistemas de fase

no mínima que se caracterizan por un ángulo de desfase más negativo del que predicen las relaciones

anteriores. Los tres tipos de sistemas de fase no mínima son:

1-Sistemas con tiempo muerto.

2-Sistemas con respuesta inversa (presentan un cero con parte real positiva)

3-Sistemas inestables (presentan un polo con parte real positiva).

Control Por Realimentación. Controladores PID.- 62

TEMA 6. CONTROL POR REALIMENTACION. CONTROLADORES PID

A pesar de su antiguedad, el control mediante reguladores PID sigue siendo el más empleado. Un

lazo simple de realimentación (ver figura) se compone del proceso a controlar, y por el sistema de control,

el cual está constiuido por cuatro elementos: sensor, transmisor, controlador y elemento final de control.

Además de estos cuatro elementos básicos, el lazo de control puede incorporar algún elemento adicional.

Los sensores, transmisores y válvulas de control se encuentran físicamente en planta, mientras que el

controlador se suele ubicar en una sala de control. Se requieren por tanto líneas de transmisión. En los

lazos de control se emplean señales estandar con rangos definidos (neumáticas 3-15 psi, eléctricas 4-20

mA, 1-5 V, 0-10 V).

Esquema de sistema de control

6.1. El error en estado estacionario en lazos de realimentación. (Dorf 187 y 240).

El control por realimentación provee al ingeniero con la posibilidad de ajustar la respuesta

transitoria de tal manera que los efectos de las perturbaciones pueden ser reducidas de manera

significativa. No obstante lo anterior, conviene examinar el error que se comete en el nuevo estado

estacionario y compararlo con el que se produce en lazo abierto.

6.1.1. Error de posición en régimen estacionario.

El error de estado estacionario es aquel que se produce una vez la respuesta transitoria del sistema

ha finalizado. Dentro de este error se distinguen los de posición, velocidad y aceleración como los más

importantes.


El primero de ellos (posición) se define para entradas en escalón.

Véase en primer lugar el error cometido en lazo abierto: Error = R(s)-Y(s)=(1-G(s))R(s). Cerrando

el lazo y suponiendo el caso más sencillo de H(s) = 1, el error es: 1Error= R(s)1+G(s)

.

Para una entrada en escalón unitario, utilizando el teorema del valor final se obtienen los errores

de estado estacionario de posición para ambos sistemas (abierto y cerrado):

Error (∞)= 0

1lims(1-G(s)) 1-G(0)ss→=

Error (∞)=0

EP

1 1 1 1lims( )1+G(s) s 1+G(0) 1+Ks→

= = , donde KEP = constante de error de posición.

El valor de G(0) es normalmente mayor de la unidad y el error de lazo abierto suele ser negativo,

mayor cuanto mayor es G(0), justo lo contrario que ocurre en el caso de lazo cerrado.

No obstante al examinar el error de lazo abierto este puede eliminarse haciendo G(0) = 1. Esto

último sin embargo es complicado de conseguir en la realidad (no existen modelos perfectos) y además

G(0) puede cambiar con el tiempo con lo que en un principio lo que daría error nulo con el transcurso del

funcionamiento normal de planta se transformaría en un error cada vez mayor. Contrariamente, el lazo

cerrado es capaz de amortiguar en mayor medida los cambios que ocurren en planta así como los errores

de modelado.

Cuestión. Considérese un sistema de primer orden. Comprobar los errores asociados a un cambio del 10% en la

ganancia del sistema en lazo abierto y cerrado.

Resp. En lazo abierto el error es Error = 1 – K, en lazo cerrado es Error = 1/(1+K). Si se sintoniza K=1 para lazo

abierto y K = 100 para lazo cerrado, los errores son 0 y 1/101 respectivamente. Si por cualquier circunstancia los valores

asignados cambian en un 10%, los nuevos errores serían: Error = 1 – 0.9 = 0.1 y Error = 1/(1+90), los porcentajes de

incremento de error del sistema serán con respecto a la entrada: Lazo abierto = 10% y Lazo cerrado = 0.11%

R(s) +-

G(s)

H(s)

Y(s)

R(s) G(s) Y(s)


6.1.2. Error de velocidad en régimen estacionario.

El término error de velocidad se usa para expresar el error en estado estacionario ante entrada en

rampa. Se define como: 20

1lim1 ( )ss s

seG s s→

=+

. Al término sG(s) se le define como constante de error de

velocidad, Kv.

6.1.3. Error de aceleración en régimen estacionario.

El término error de aceleración se usa para expresar el error en estado estacionario ante entrada en

parábola. Se define como: 30

1lim1 ( )ss s

seG s s→

=+

. Al término s2G(s) se le define como constante de error de

aceleración, Ka.

6.2. Controladores analógicos PID.

El algoritmo de un controlador por realimentación se construye siguiendo tres tipos de acciones

básicas de control: acción proporcional, integral y derivativa. Así se obtienen los siguientes controladores:

proporcional, proporcional integral y proporcional integral derivativo (en ocasiones también se utiliza el

PD). El control más sencillo que se puede encontrar es el control on-off que no es mas que un tipo de

control proporcional con ganancia muy alta.

6.2.1. Controladores proporcionales.

El controlador proporcional produce un output proporcional al error.

La expresión en el dominio del tiempo es:

Cm(t)=m+K e(t) [6.5]

donde m es la señal de biass o señal a error cero (para diferenciar de la señal nula por avería), KC

es la ganancia del controlador, m(t) la señal de salida del controlador y e(t) el error definido según:

e(t) = yr(t)-ym(t)

donde ym(t) es el valor medido de la variable de proceso e yr(t) es el valor deseado o punto de

consigna. La ganancia es adimensional y las señales o variables m(t), e(t) y m(t) se expresan en mA, psi o

también en forma adimensional.

La señal de biass es la señal del controlador a error nulo. El valor de esta señal se establece en el

proceso de inicialización del lazo de realimentación. C t=0m(t)-K e(t) =m

Escribiendo el algoritmo correspondiente a la acción proporcional en términos de variables de

desviación se tiene: Cm´(t)=K e (́t) [6.6]

El único parámetro de ajuste de la acción proporcional KC es la ganancia proporcional que suele

expresarse en términos de banda proporcional. BP = 100/Kc [6.7]


La banda proporcional es el cambio que debe experimentar el error para producir un cambio del

100% en la señal de salida. Una banda proporcional baja (ganancia alta) indica que un error pequeño

provocará una acción proporcional de control grande. El valor de BP oscila entre 1 y 500. Transformando

por Laplace [6.6] se obtiene la función de transferencia de un controlador con solo acción proporcional

Cc k)S(e)s(m)s(G == [6.8]

que como puede observarse es una ganancia estática. En este tipo de controladores se da un error

permanente cuando este se define como la diferencia entre el set point y el valor medido. Cuanto mayor

es KC menores son las desviaciones finales aunque también mayores son las oscilaciones. (ver figura).

Para la mayoría de los casos existe una doble limitación en el valor máximo que puede alcanzar KC. El

límite se denomina ganancia última Ku, por encima de la cual el sistema se hace inestable.

*Un controlador con solo acción proporcional es incapaz de evitar el error en régimen permanente

a menos que existan términos integradores en el sistema

*Cuanto mayor es KC, menor es ese error y mayor es la velocidad de respuesta, pero a costa de

mayores oscilaciones.

Si el error se considera como la diferencia entre el punto de consigna y el valor real de la variable

controlada para procesos no unitarios (ganancia no unidad del elemento sensor transmisor) se puede

conseguir error nulo.

Cuestión. Comprobar mediante Control IP, que el error es no nulo cuando se utiliza un control proporcional. Resp. Con la

máxima frecuencia de muestreo introducir los siguientes elementos. Modificar Kc y Km.

KC1

KC2

KC3

KC1

KC2

KC3

KC3 > KC2 >KC1

Respuesta al escalón en consigna Respuesta al escalón en perturbación


Cuestión. Comprobar mediante Control IP, que un valor excesivo de la ganancia del controlador puede conllevar

inestabilidad. Resp. Con frecuencia de muestreo 4 introducir los siguientes elementos. Modificar Kc.

Aumentar Kc de 0.5 en 0.5 unidades.

6.2.2. Acción integral y controladores PI.

La descripción matemática de la acción integral en el domino del tiempo es

∫τ+= dt)t(e1m)t(ml

[6.10]

donde τl es el tiempo integral que se expresa en minutos, normalmente entre 0.1 y 50 minutos.

Derivando con respecto al tiempo:

)t(e1dt

)t(dm

lτ=

que demuestra claramente que la acción integral hará cambiar la salida del controlador en la dirección

correcta en tanto en cuanto exista error. Así pues, un lazo con acción integral en el controlador no

presentará error en el régimen permanente. Cuanto menor sea τl más intensa será la acción integral y el

error tenderá a corregirse más rápidamente pero también a costa de mayores oscilaciones.

La acción integral no suele utilizarse sola puesto que la respuesta sería muy lenta. Si se utiliza a

menudo junto con un controlador proporcional para formar un controlador PI cuyo algoritmo es:

1( ) ( ) ( )Cl

m t m K e t e t dtτ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ [6.11]

Cuestión. Comprobar como la acción proporcional aumenta la velocidad de respuesta de la acción integral. Resp. Utilizar un

controlador PID en Control IP con acción derivativa cero.


En algunos controladores el parámetro de ajuste de la acción integral se expresa como la inversa

de τl y se denomina repeticiones por minuto (reset time), es decir, el número de veces que la acción

integral repite el efecto de la acción proporcional en un minuto. El término reset time se debe a que si se

considera un escalón de magnitud ε en el error, para un tiempo τl se cumple: I

CC

I 0

K (t)dt K (t)τ

ε = ετ ∫ .

Escribiendo el algoritmo PI en términos de variables de desviación:

1(́ ) ´( ) (́ )Cl

m t K e t e t dtτ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Y transformando por Laplace:

1( )( )( )

lC C

l

sm sG s Ke s s

ττ+

= = [6.12]

El término integral de un controlador PI hace que el output continúe cambiando siempre y cuando

exista señal de error, si este no es eliminado de forma rápida, la integral del error toma valores demasiado

altos (integración en el tiempo) que saturan la señal del controlador y a su vez afectan al elemento final de

control (i.e. válvula completamente abierta). Esta condición se denomina integral windup. Existen

estrategias de control para compensar este efecto.

6.2.3. Acción derivativa y controladores PID.

En el domnio del tiempo la acción derivativa se expresa como:

dt)t(dem)t(m Dτ+= [6.13]

donde el tiempo derivativo τD se expresa en minutos. Es capaz de aportar una fuerte acción

correctora con errores pequeños, es decir, actúa antes de que se produzcan grandes errores. Por otro lado,

si el error es constante la acción derivativa no aporta acción correctora y no tienen efecto sobre el error en

régimen permanente. El efecto estabilizador de la acción derivativa hace que se amortigüen las

τI1

τI2 τI3

Respuesta al escalón en consigna Respuesta al escalón en perturbación

τI1 > τI2 >τI3


oscilaciones en las respuestas o bien que se pueda elevar la ganancia proporcional del controlador y con

ello la velocidad de respuesta sin incrementar las oscilaciones.

Como se demostrará en capítulos posteriores, cuando el proceso tiene un gran tiempo muerto no

merece la pena utilizar la acción derivativa, en estos casos es recomendable utilizar un predictor de Smith.

Por otro lado, cuando el lazo tiene ruido la acción derivativa no debe emplearse ya que lo amplifica de

manera inaceptable. Transformando por Laplace [6.13] una vez escrita en forma de variables de

operación se tiene: (́ )(́ ) D

m t se s

τ= [6.14]

La acción derivativa nunca se emplea sola en un controlador ya que es incapaz de llevar el proceso

al régimen permanente deseado. Normalmente se usan controladores PID cuyo algoritmo es:

1 (́ )(́ ) (́ ) (́ )C Dl

de tm t K e t e t dtdt

ττ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ [6.15]

En forma de variables de operación y tranformando por Laplace:

(́ ) 11´( ) C D

l

m t K se t s

ττ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ [6.16]

Este controlador se dice que es “no interactivo” puesto que las acciones integral y derivativa

operan paralelamente de forma independiente. En los controladores PID comerciales las acciones integral

y derivativa se realizan físicamente en serie dando lugar al algoritmo PID interactivo:

( )int intint

(́ ) 11 1´( ) C D

l

m t K se t s

ττ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ [6.17]

Comparando las funciones del PID no interactivo e interactivo se observa que son idénticas

cuando:

int intint

int

int int

int int

int int

l DC C

l

l l D

l DD

l D

K K τ ττ

τ τ ττ τττ τ

+=

= +

=+

[6.18]

Normalmente el controlador se sintoniza con τDint << τIint por lo que la función de transferencia del

controlador real será prácticamente igual del ideal. Para evitar una respuesta demasiado brusca, los

controladores PID comerciales emplean la acción derivativa modificada que incorpora un retardo de

primer orden con constante de tiempo ατ´D con 0.04 <α<0.2. La función de transferencia es pues:

intint

int int

11( ) 11

DC C

l D

sG s Ks s

ττ ατ

⎛ ⎞⎛ ⎞+= +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠

[6.19]


Los controladores PID incorporan algunas utilidades estandar. Los controladores PID, al igual que

los PI pueden sufrir la saturación de la acción integral (reset windup).

Este problema se puede evitar poniendo el controlador en manual tan pronto como la señal del

controlador se sature tanto por su límite superior como inferior, en ese momento se detiene la integración

del error. Esto no es práctico ya que requiere la presencia de un operario. En los controladores actuales se

incorpora una protección contra la saturación (antireset windup) que detiene automáticamente la

integración del error.

Asimismo, la mayoría de los controladores modernos incorpora unos dispositivos para que el

cambio manual-automático se produzca sin saltos bruscos en la señal de control. Algunos controladores

poseen además un sistema de inicialización del punto de consigna que iguala el punto de consigna a la

variable de proceso en el momento del cambio.

6.3. Comportamiento dinámico de procesos controlados por realimentación.

En este apartado se estudiará la dinámica de diversos sistemas usuales en control de procesos ante

diferentes acciones de control en un lazo de realimentación. Para ello se desarrollará en primer lugar un

ejemplo con procesos reales para a continuación realizar el estudio de manera más general.

6.3.1. Efecto de la acción proporcional.

Partiendo de la ecuación general en lazo cerrado para cualquier proceso y asumiendo que se trata

de un proceso unitario:

Gm(s) = 1; Gf(s) = 1; Gc(s) = Kc;

Así pues para el servo-problema y el problema del regulador se tendrá en lazo cerrado:

p c dsp

p c p c

G (s)K G (s)y(s)= y (s)+ d(s)1+G (s)K 1+G (s)K

* Sistema de primer orden:

p p ddyτ +y=K m+K ddt

P D

P P

K Ky(s)= m(s)+ d(s)s+1 s+1τ τ

Identificando términos: P DP D

P P

K KG (s)= y G (s)=s+1 s+1τ τ

Sustituyendo en la expresión de lazo cerrado:


P Dc

P Psp

P Pc c

P P

K KKs+1 s+1y(s)= y (s)+ d(s)K K1+ K 1+ K

s+1 s+1

τ τ

τ τ

Operando: P c Dsp

P P c P P c

K K Ky(s)= y (s)+ d(s)s+1+K K s+1+K Kτ τ

, y agrupando términos:

´ ´P D

sp´ ´K Ky(s)= y (s)+ d(s)s+1 s+1P Pτ τ

De las ecuaciones anteriores se deduce lo siguiente:

*Los sistemas de primer orden permanecen como tal a cambios en consigna y perturbación.

*La constante de tiempo del sistema es reducida, ´ P

P c=

1+K KPττ por lo tanto el sistema se vuelve

más rápido en su respuesta.

*La ganancia estática decrece: ´ ´P c DP D

P c P c

K K KK = ; K =1+K K 1+K K

Ante entrada en escalón en la consigna, el valor final de la variable de salida es: ´

´PP´0

K 1y( )= lim Kss+1s P

sτ→

∞ =

por tanto el error de posición en estado estacionario es: ´P

11 K1 P C

offsetK K

= − =+

En el caso del problema del regulador, ante cambios en escalón de la perturbación el offset es:

´D0 K

1D

P C

KoffsetK K

= − = −+

1-Si bien el offset tiende a cero a medida que KC aumenta, no se usan valores desmesurados de

ganancia en el controlador por razones de estabilidad.

2-Los procesos que contienen un término integrador en la función de transferencia (1/s) presentan

offset nulo ante cambios en consigna. Esto no sucede para cambios en la perturbación.

Véase un ejemplo con un tanque con salida constante:

h Cte=Fo

Fi Fd


En variables de desviación se tiene: i ddhA =F +Fdt

Transformando por Laplace: i d P i D d1 1h(s)= F (s)+ F ( ) G (s)F(s) +G (s)F ( )

As Ass s=

Suponiendo que el sistema sensor y final de control son unitarios:

En lazo cerrado se obtiene: Csp d

C C

1K1h(s)= h (s)+ F (s)A As+1 s+1

K K

Para un escalón en la consigna:

C

1 1h(s)= A ss+1K

, y aplicando el teorema del valor final:

0

C

1 1h( )= lim 1A ss+1K

ss

→∞ = , por tanto el offset es cero. En cambio para cambios en la perturbación:

C

C

1K 1h(s)= A ss+1

K

, el teorema del valor final conduce a: C0 C

C

1K 1 1h( )= lim A s Ks+1

Ks

s→

∞ =

y el offset = C

1K

−

* Sistema de segundo orden:

La función de transferencia es: 2 2n n

KG(s)=τ s +2 s+1

P

δτ, cerrando el lazo con control proporcional se

obtiene: ( )

´P

2´ 2 ´n

Ky(s)=τ s +2 ´ s+1

sp

n

yδ τ

h Cte=Fo

Fi Fd

L

hr

Lhr

+

h1/As KC +-

+

1/As

Fd

Fi


donde: ´ ´P CP

P C P C P C

K KK = ; ; ´1+K K 1+K K 1+K K

nn

τ δτ δ⎧⎪ = =⎨⎪⎩

De las anteriores operaciones se deduce que el proceso permanece como segundo orden y que

tanto la ganancia como el periodo natural y el factor de amortiguamiento decrecen. Esto implica que un

proceso sobreamortiguado puede convertirse en subamortiguado dependiendo del valor de ganancia del

controlador proporcional que a su vez determina el valor del factor de amortiguamiento.

Para cambios en consigna: ( )

´P

2´ 2 ´n

K 1y(s)=τ s +2 ´ s+1n

sδ τ

El valor último de y(s) es: P C

P C

K K1+K K

y por tanto el offset será: P C

11+K K

A partir de las ecuaciones deducidas en el tema 4 se observa que el sobrepaso máximo aumenta al

cerrar el lazo así como la relación de caída. La mayor velocidad de respuesta viene a expensas de una

mayor oscilación y acercamiento a la inestabilidad del sistema.

6.3.2. Efecto de la acción integral.

Se particulariza este efecto para un sistema de primer orden dando por sentado que los resultados

obtenidos son extrapolables a sistemas de orden superior.

En este caso el controlador tiene la forma: GC = C

I

Ksτ

, cerrando el lazo se llega a:

P D

P Psp

P P

P P

K Ks+1 s+1y(s)= y (s)+ d(s)K K1+ 1+

s+1 s+1

C

I

C C

I I

Ks

K Ks s

τ τ τ

τ τ τ τ

, centrándose en cambios en el set-point y agrupando

términos: sp2 2n n

1y(s)= y (s)τ s +2 s+1δτ

, donde: P

P C P P C

1= ; =K K 2 K K

I Iτ τ ττ δτ

⎧⎪⎨⎪⎩

La acción integral incrementa el orden del sistema en comparación al lazo abierto. En el ejemplo

se evoluciona de primer a segundo orden con los cambios drásticos en la dinámica del proceso que ello

conlleva. Un incremento en el orden implica a su vez una respuesta más lenta.

Para cambios en escalón unitario en consigna se obtiene: 2 2n n

1 1y(s)=τ s +2 s+1 sδτ


El offset es por tanto: 2 20n n

1 11 lim 0τ s +2 s+1s sδτ→

− = , es decir, la acción proporcional elimina el error

de posición en régimen estacionario.

Dependiendo de los valores de ganancia y tiempo integral se obtendrá un sistema sobre-, sub- o

críticamente amortiguado. Un aumento de la ganancia del controlador conlleva una disminución del

factor de amortiguamiento (respuesta más rápida pero mayores oscilaciones). El mismo efecto se

comprueba al disminuir el tiempo integral.

6.3.3. Efecto de la acción derivativa.

El controlador tiene la forma: GC = C DK sτ , cerrando el lazo para un sistema de primer orden se

llega a:

P D

P Psp

P P

P P

K Ks+1 s+1y(s)= y (s)+ d(s)K K1+ 1+

s+1 s+1

C D

C D C D

K s

K s K s

ττ τ

τ ττ τ

, centrándose en cambios en el set-point y

agrupando términos: ( )

P Csp

P C

K Ky(s)= y (s)+K K 1

D

P D

ss

ττ τ +

. El orden del sistema permanece en uno. La

constante de tiempo es mayor (sistema más lento). El sistema se hace más robusto en términos de

estabilidad.

Si se procede de igual forma para un sistema de segundo orden:

( )2 2

P Cn nsp sp2 2

n n P C2 2n n

KK Kτ s +2 s+1y(s)= y (s)= y (s)K τ s + 2 K K s+11+

τ s +2 s+1

PC D

D

P DC D

K ss

K s

ττδτ

δτ ττδτ

+

Concluyendo que el periodo de oscilación natural permanece inalterado mientras que el

coeficiente de amortiguamiento en lazo cerrado es menor que en lazo abierto, es decir el sistema se

amortigua. La estabilidad añadida por la acción derivativa se incrementa al aumentar la ganacia o el

tiempo derivativo.

6.3.4. Efecto de las acciones PID conjuntamente.

La combinación de las acciones PID es una mezcla de efectos individuales:

-Aumenta el orden del sistema al cerrar el lazo.

-Se elimina el offset.

-Al aumentar la ganancia el sistema responde más rápidamente a costa de una mayor oscilación


-El efecto anterior también se hace patente al disminuir el tiempo integral.

-La acción derivativa estabiliza los efectos de incrementar ganancia y/o disminuir el tiempo

integral.

6.4. Selección de las acciones de control. (Más información Luyben 213)

Teóricamente el controlador PID con las tres acciones básicas de control es el que ofrece mayor

flexibilidad para alcanzar la mejor calidad de respuesta en un lazo de realimentación, ya que dispone para

ello de tres parámetros de ajuste. Sin embargo, no siempre es posible utilizar la acción derivativa debido

al ruido existente en el lazo y, por otro lado, es claro que siempre exigirá un mayor esfuerzo ajustar tres

parámetros que dos o uno. También puede ocurrir que la exigencia de calidad de respuesta no sea muy

elevada y que ésta pueda conseguirse con sólo una o dos acciones de control. Al objeto de servir de guía,

se exponen a continuación las siguientes reglas generales:

-Utilizar un controlador proporcional cuando sea tolerable el error en régimen permanente o

cuando se trate de un proceso no autorregulado que exhiba un término l/s (integrador) en su función de

transferencia, (ej. control de nivel en tanques de líquido, control de presión en tanques de gas).

- Si no es aceptable un controlador con sólo acción proporcional, emplear un controlador PI. El

controlador PI debe utilizarse en aquellos casos en los que el error en régimen permanente es inaceptable

y, al mismo tiempo, el proceso es suficientemente rápido como para que el efecto dinámico de la acción

integral no sea significativo. En los lazos de control de caudal por ejemplo, se emplea siempre un

controlador PI, ya que no suele admitirse error en régimen permanente y tienen una dinámica muy rápida.

La acción derivativa, además de no aportar ventaja apreciable alguna, está prácticamente descartada, ya

que los lazos de caudal suelen presentar un ruido importante que se genera en el sensor de caudal.

- Utilizar un controlador PID si no hay ruido y se desea incrementar la velocidad de respuesta. En

procesos lentos con múltiples capacidades (retardos de primer orden) en serie, la utilización de la acción

integral produce una respuesta aún más lenta con amplias oscilaciones. En este tipo de procesos el efecto

estabilizador de la acción derivativa permite elevar la ganancia proporcional del controlador,

incrementando la velocidad de respuesta sin provocar excesivas oscilaciones. Los lazos de control de

temperatura y de presión de vapor (en equilibrio térmico con un líquido) suelen pertenecer a esta

categoría, ya que los procesos que controlan tienen varias capacidades para almacenar energía. Los lazos

de composición presentan también características similares y, por ello, incorporan controladores PID. Por

último, connviene recordar también que en procesos que presenten un tiempo muerto elevado en

comparación con la constante de tiempo dominante, la acción derivativa no suele aportar un efecto

positivo significativo y se deben emplear otros algoritmos de control más elaborados como el predictor de

Smith.

Análisis Dinámico y Diseño de Lazos De Realimentacion. Criterios de Estabilidad.- 75

~

TEMA 7. ANALISIS DINAMICO Y DISEÑO DE LAZOS DE REALIMENTACION. CRITERIOS

DE ESTABILIDAD.

La estabilidad de un sistema se define como el comportamiento de dicho sistema ante entradas

limitadas, así, una respuesta limitada es característica de sistemas estables mientras que una respuesta que

tiende a infinito es propia de sistemas inestables. La aplicación de lazos de realimentación en control de

procesos puede afectar de manera significativa la estabilidad de un sistema en comparación a su

comportamiento en lazo abierto. Así, un sistema inestable como el dado por la función de transferencia:

GP = 10/(s-1) puede ser estabilizado mediante un controlador al cerrar el lazo (la antitransformada

ante escalón unitario sería y = 10[-1+exp(t)]). La función de transferencia de lazo cerrado en este caso

sería: G = 10(1 10 )

Ks K− −

. Para valores de K superiores a 0.1 el sistema se estabiliza.

Fig 7.1. Diagrama de bloques de lazo cerrado. Fig 7.2. Respuestas de lazo abierto y lazo cerrado con K > 0.1

Por el contrario, un sistema estable en lazo abierto puede ser inestabilizado al aplicar un lazo de

realimentación con una mala sintonización del controlador. El proceso con función de transferencia:

GP = 212 2s s+ +

es estable con respuesta oscilatoria. Al aplicar un controlador PI y cerrar el lazo

la función de transferencia queda:

2

3 22

1 112 2( ) 111 2 (2 )

2 2

I IC C

I I

I CC C

I I

s sK Kss sG s s KK s s K s

ss s

τ ττ τττ τ

+ ++ += =

++ + + + +

+ +

La estabilidad ahora depende de los valores de ganancia proporcional y tiempo integral.

Cuestión. Modelar los problemas anteriores mediante Control IP. Resp. (Kc = 1000 y τI = 5000 inestable)

ysp + y(s)10/(s-1) KC +

- +

5/(s-1)

dd

Fi

Lazo abierto

Lazo cerrado


7.1. Criterios de estabilidad en lazo cerrado.

En el caso de lazos cerrados de control, el comportamiento dinámico de un sistema puede ser

oscilatorio e incluso llegar a ser inestable. Existen tres tipos de respuesta que pueden encontrarse ante

cambios en escalón del punto de consigna y variable de perturbación dependiendo de los polos de la

ecuación de transferencia. Los polos son las raíces de la ecuación: 1+Gp(s)GC(s) = 0.

http://www.jhu.edu/~signals/explore/index.html.

Por tanto se tendrá que:

*respuesta estable no oscilatoria cuando los polos sean reales y negativos.

*respuesta oscilatoria estable para polos complejos con parte real negativa

*respuesta inestable para polos con parte real positiva.

Así pues la estabilidad dependerá de la función de transferencia en lazo abierto (GOL) y más en

concreto de la ecuación característica 1+ GOL = 0. Un proceso será inestable si las raíces de la ecuación

característica tienen parte real positiva mientras que será estable si todos los polos de la función de

transferencia presentan parte real negativa.

Existen varios criterios para saber si un lazo es estable sin necesidad de obtener las raíces.

Mediante estos criterios, además de comprobar la estabilidad se puede obtener información adicional

sobre el comportamiento dinámico del sistema, expresiones de sintonización de controladores, etc.

7.2. Criterio de estabilidad de Routh Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz requiere expresar la ecuación característica de forma

expandida en potencias de s: 1+GPGfGCGm= aosn + a1sn-1 +…+ an-1s + an = 0

Haciendo ao positivo el primer test indicativo de la estabilidad del sistema consiste en comprobar

el signo de los restantes coeficientes a1, a2, etc. Para que el sistema no sea inestable todos deben ser

positivos.

Caso de pasar el primer test de estabilidad se hace necesario construir el ordenamiento de Routh-

Hurwitz como sigue:

2 4 6

1 3 5 7

1 2 3

1 2 3

1

...

...... ...

oa a a aa a a aA A AB B BC

donde

1 2 3 1 4 5 1 6 71 2 3

1 1 1

1 3 1 2 1 5 1 31 1

1 1

1 3 1 31 2 1 21 2

1 1

; ; ;...

; ;...

; ;...

o o oa a a a a a a a a a a aA A Aa a a

A a a A A a a AB BA A

B A A BB A A BC CB B

− − −= = =

− −= =

−−= =

Para que el sistema sea estable, todos los elementos de la primera columna deben ser positivos.

Retomando el ejemplo de principio del capítulo, la ecuación característica era:


3 22 (2 ) CC

I

Ks s K sτ

+ + + + =0

Y construyendo el ordenamiento de Routh Hurwitz:

1 22 /

2(2 ) / 02/

C

C I

C C I

C I

KK

K K

K

ττ

τ

+

+ −

Se comprueba que para que el sistema sea estable se debe cumplir: 2(2 ) /C C IK K τ+ >

(Más ejemplos en Goodwing 131 y siguientes, CES 170 y siguientes).

7.3.1. Casos especiales del criterio de Routh Hurwitz

Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero, pero los términos restantes no

son cero, o no hay términos restantes, el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño y

se evalúa el resto del arreglo. Por ejemplo, se considera la ecuación: 3 22 2 0s s s+ + + =

1 12 2

02ε≈

Si el signo del coeficiente que está encima del cero (ε) es igual al signo que está abajo de él, quiere

decir que hay un par de raíces imaginarias. En realidad, la ecuación tiene dos raíces en s = ± j.

Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero (ε) es opuesto al del que está

abajo, quiere decir que hay un cambio de signo y el sistema es inestable.

Más ejemplos en Goodwing.

7.4. Análisis del lugar de las raíces. Procesos sin tiempo muerto.

Consiste en una simple representación en el sistema de números complejos de las raíces de la

ecuación característica en función de la ganancia Kc. Véase un sencillo ejemplo en el que se tiene un lazo

cerrado con control proporcional y un proceso de tercer orden con ganancia 6 y polos en -1, -2 y -3. La

ecuación característica del sistema será: 61 1 0( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

cK Ks s s s s s

+ = + =+ + + + + +

Y por tanto las raíces de la misma dependerán del valor de K (que a su vez depende de Kc).

Construyendo una tabla de valores de las raíces para diferentes valores de K se obtiene el lugar de las

raíces.


Fig 7.3. Lugar de las raíces para el sistema con ecuación

característica: ( 1)( 2)( 3) 0s s s K+ + + + =

Véase un segundo ejemplo para un sistema al que se la añadido un controlador PI. La ecuación

característica viene determinada por la expresión: ( 4)1( 1)( 2)( 3)

K ss s s s

++

+ + +, mediante EXCEL se obtiene el

RL. El gráfico es el siguiente:

Fig 7.4. Lugar de las raíces para el sistema con ecuación característica: ( 4)1( 1)( 2)( 3)

K ss s s s

++

+ + +

7.4.1. Construcción del lugar de las raíces.

Regla general. Para construir el lugar de las raíces de cualquier sistema, la ecuación característica

debe mostrarse de la forma general: 1 2 3

1 2 3

( )( )( )...( )1( )( )( )...( )

m

n

K s z s z s z s zs p s p s p s p

+ + + ++

+ + + +


Regla 1. El número de ramas coincide con el número de polos.

Regla 2. Las ramas SIEMPRE comienzan en los polos de lazo abierto y terminan en los ceros de

lazo abierto (m ramas) o en el infinito (n-m) ramas.

Regla 3. El LR existe en un punto del eje real cuando el numero de polos y ceros en lazo abierto

situados a su derecha es impar (solo se consideran polos y ceros sobre el eje real).

Regla 4. Las (n-m) ramas que terminan en el infinito lo hacen siguiendo unas asíntotas cuyo

centro de gravedad (donde se cortan todas ellas) se sitúa en el punto del eje real dado por:

CG = 1 1

n m

j ij i

p z

n m= =

−

−

∑ ∑ formando ángulos de: 2 1k

n mπ +⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

Regla 5. Las ramas que salen o entran al eje real lo hacen siempre con un ángulo de ± 90º. Los

puntos de ruptura (dos ramas que emergen de polos adyacentes en el eje real se bifurcan) o encuentro (dos

ramas que concurren en el eje real se bifurcan) se determinan resolviendo la igualdad:

1 1

1 1m n

i ji js z s p= =

=− −∑ ∑

Otra forma es computar la expresión dK/ds = 0.

Regla 6. El ángulo de salida de las ramas que parten de polos complejos se determina mediante la

condición de ángulo: ( )( ) ( )1; ( ) 180ºi

i jj

s zs z s p

s p−

= − ∠ − − ∠ − =−

∏ ∑ ∑∏

donde q es el orden del polo complejo pa y

los sumatorios representan los ángulos del polo pa

con el resto de polos y ceros.

Por otro lado, el ángulo de entrada de las ramas que terminan en ceros complejos se determina

mediante la ecuación:

donde v es el orden del polo complejo zb y

los sumatorios representan los ángulos del polo zb

con el resto de polos y ceros.

Regla 7. Los puntos de cruce de las ramas con el eje imaginario se obtienen mediante el criterio

de estabilidad de Routh – Hurwitz o a través del procedimiento de sustitución directa de s por ωj en la

ecuación característica.

En el siguiente ejemplo se ha implementado un controlador PID = Kc(1+2/3s+1/3s) en un proceso

de segundo orden 1/[(20s+1)(10s+1)] con elemento sensor transmisor de primer orden 1/(0.5s+1):

( )1 (2 1) ( )

0,1,2,3,..... 1

a i a jk p z p pq

k q

θ π⎡ ⎤= + + ∠ − − ∠ −⎣ ⎦

= −

∑ ∑

( )1 (2 1) ( )

0,1,2,3,..... 1

b i b jk z z z pv

k v

θ π⎡ ⎤= + − ∠ − + ∠ −⎣ ⎦

= −

∑ ∑


En primer lugar se debe expresar la ecuación característica de forma correcta (regla general). Esta

tras operar matemáticamente resulta en:

/150 ( 0.5)( 1) ( 0.5)( 1)1 1( 0.05)( 0.1)( 2) ( 0.05)( 0.1)( 2)

cK s s s sKs s s s s s s s

+ + + ++ = +

+ + + + + +

Regla 1-2. Existen 4 ramas de las cuales dos terminan en los dos ceros y dos en el infinito.

Regla 3. El LR existe en el eje real entre 0 y -0.05, entre -0.1 y -0.5 y entre -1 y -2.

Regla 4. Existen dos asíntotas. El centro de gravedad está en:

CG = (0 0.05 0.1 2) ( 0.5 1.0) 0.3254 2

− − − − − −= −

−

Los ángulos de las asíntotas son + 90º.

Regla 5. Los puntos de ruptura se determinan mediante: dK/ds=0. Las raíces obtenidas son

s→-1.29182-0.757684 , s→-1.29182+0.757684 , s→-0.63982, s→-0.0796733, s→-0.0218656.

de ellas solo la última es un punto de ruptura.

Regla 7. Los puntos de corte con el eje imaginario se obtienen por sustitución directa:

( 0.5)( 1)1 0( 0.05)( 0.1)( 2)

j jKj j j j

ω ωω ω ω ω

+ ++ =

+ + +, de aquí se obtienen la parte real e imaginaria del

número complejo en el término izquierdo:

Imaginario: 2.15ω3+0.01ω+1.5Kω = 0

Real: ω4-(0.305+K)ω2+0.5K = 0

Las raíces son:

{{K→0.,ω→0.},{K→0.00485017,ω→-

0.0896382},{K→0.00485017,ω→0.0896382},{K→1.36553,ω→-0.978442},{K→1.36553,ω→0.978442}}

Implica que las ramas cortan dos veces el eje imaginario.

Fig 7.5. Lugar de las raíces para el sistema con ecuación característica: ( 0.5)( 1)0 1( 0.05)( 0.1)( 2)

s sKs s s s

+ += +

+ + +


En el ejemplo a continuación aparecen polos complejos. La ecuación característica viene dada por:

21( 6 25)

Ks s s

++ +

Se observa que existen 3 polos en 0 y -3 + 4j. Las tres ramas van hacia el infinito puesto que no

hay ceros. Las asíntotas forman ángulos de +60º y 180º con el eje real. El CG de las asíntotas se encuentra

en el punto -2. Despejando K =-s(s2+6s+25) y derivando con respecto a s se obtienen los puntos de

ruptura. Las raíces son s = -2+2.0817j que no pertenecen al lugar de las raíces (si se sustituyen en la

ecuación característica se obtiene un valor complejo de K), por tanto no hay puntos de ruptura/encuentro.

El ángulo de salida del polo complejo superior será: θ = 180º-90º-126.87º (el último valor es

arctg[4/-3]).

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-8 -6 -4 -2 0 2

Figura 7.6.

En el siguiente diagrama de bloques el controlador es un PID con tiempo integral = 1 y derivativo

igual a 0.1.

La ecuación característica 2 2(1 1/ 0.1 ) ( 8.87)( 1.13)1 1

( 1) ( 1)c cK s s K s s

s s s+ + + +

+ = +− −

Se tienen 3 polos y dos ceros. El LR existe entre 0 y -1.13 y desde -8.87 a – infinito.

Los cortes con el eje imaginario por sustitución directa dan como resultado +5.538.

1 ----------- (s-1) 2

GC


Figura 7.7

Un último ejemplo lo constituye el sistema con función de transferencia en lazo abierto dada por:

GOL = 22 ( 4)

( 2 2)( 3)( 2)K s

s s s s+

+ + + +. Existen 4 polos y un cero situados en -2, -3, -1+j y -4,

respectivamente. El lugar existe entre -2 y -3 y entre –infinito y -4.

El centro de gravedad de las tres asíntotas está en -1.

El ángulo de salida de la rama del polo -1+j se calcula mediante:

θ = 180 – 90 – arctg(1/1) – arctg (1/2) + arctg (1/3) = 36.87 º

Los puntos de ruptura y encuentro: 2

4 3 2( 2 2)( 3)( 2) ´´ ; 0 3 30 102 144 76( 4)

s s s s dKK s s s ss ds

+ + + += − = = + + + +

+

s = -4.68 (punto de encuentro) y s = -2.68 (punto de ruptura)

Los puntos de corte con el eje imaginario: 2 4 3 2

4 2

3

( 2 2)( 3)( 2) (́ 4) 0 7 18 22 12 ´ ´4

Re 18 12 ´4 0

7 (22 ´) 0´ 13.34

2.25

s s s s K s s s s s K s K

Parte al K

Parte Imaginaria KK

ω ω

ω ω

ω

+ + + + + + = = + + + + + +

= − + + =

= − + === ±

Figura 7.8.

Ejemplos en Ogata, Corripio y exámenes.


7.5. Criterio de estabilidad de Bode.

Es el más utilizado en el caso de control de procesos químicos caracterizados por un sistema de

orden n con tiempo muerto. Véase su uso con un proceso que en lazo abierto tiene como función de

transferencia: 0.2

2 1

s

C PKeG G

s

−

=+

[7.10]

Obsérvese que en el diagrama de Bode para una frecuencia ω = 8.1617 rad/min el retardo de fase

es 180º. Esta frecuencia se llama crítica ωc y se obtiene analíticamente: 180180º (2 ) 0.2arctg ω ωπ

− = − −

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100

-240

-210

-180

-150

-120

-90

-60

-30

00.01 0.1 1 10 100

Figura 7.9

A la frecuencia crítica la relación de amplitudes es:

33.16

K

14

K

1

KRA2c

22=

+ω=

+τω=

Que tendrá un valor unidad para K = 16.33. Considérese ahora el lazo de realimentación mostrado

en la figura inferior, con ese valor de K; RA = 1. Si se abre el lazo tal como muestra en la figura y se


introduce una señal de punto de consigna sinusoidal de frecuencia ω = 7.15 y amplitud unidad, yr(t) = sen

(ωt), la respuesta última del lazo será:

( ) (8.1617 ) (8.1617 )my t sen t sen tπ= − = −

Así pues, la respuesta es una señal de la misma amplitud que la entrada pero desfasada 180º. Si en

un momento dado se hace yr = 0 y se cierra el lazo, el sistema seguirá comportandose de similar manera

ya que el comparador cambia el signo de ym y la señal que llega a GpGc será la misma que antes. Por tanto

mientras no cambie ni el punto de consigna ni la perturbación, la respuesta continuará oscilando con

amplitud constante RA = 1.

Considérese ahora que K > 16.33 y que consecuentemente RA > 1 cuando el retardo de fase es

180º. Ahora la respuesta exhibirá una amplitud creciente, es decir el sistema es inestable. Por el contrario

si K < 16.33 la relación de amplitudes es menor que uno a la frecuencia crítica con lo cual se obtendrá

una respuesta de amplitud decreciente

Por tanto el criterio de estabilidad de Bode dice que un sistema es estable si la relación de

amplitudes es menor que uno a la frecuencia crítica.

Cuestión. Realizar el ejemplo anterior utilizando RyC de EDIBON.

Figura 7.10

Kexp(-02s)/(1+2s) K=16.3 -

+ sen(8.16t)

-sen(8.16t)


La función de transferencia que caracteriza el comportamiento dinámico de la mayoría de

procesos exhibe una respuesta que implica que RA disminuye al aumentar la frecuencia y un retardo de

fase que aumenta también a frecuencias crecientes. Sin embargo hay algunos sistemas que presentan una

respuesta en frecuencia diferente (fase no mínima). En estos casos el criterio de Bode puede no dar

resultado y es necesario aplicar un criterio más general como el de Nyquist.

Véanse la aplicación del criterio de estabilidad de Bode en algunos sistemas típicos en control de

procesos. Téngase en cuenta que el criterio de estabilidad de bode solo se aplica para sistemas en los

cuales tanto la RA como el ángulo de fase decrecen a medida que la frecuencia aumenta. Caso contrario

hay que acudir a un criterio más general como el de Nyquist.

-GOL =1

Ksτ +

; como el desfase para un sistema de primer orden es como máximo de 90º, no habrá

nunca problemas de estabilidad.

-GOL =2 1( 1)( 1)

Ks sτ τ+ +

; como el desfase para un sistema de segundo orden es como máximo de

180º a frecuencia infinito, no habrá nunca problemas de estabilidad.

-GOL =3 2 1( 1)( 1)( 1)

Ks s sτ τ τ+ + +

; como el desfase para un sistema de tercer orden es como máximo

de 270º a frecuencia infinito, existe una frecuencia crítica finita a la cual el desfase es de 180º. Puede

haber problemas de estabilidad.

-GOL =0.5

1

sKesτ

−

+; como el desfase para un sistema de primer orden con tiempo muerto es

( ) 0.5arctgφ τω ω= − − , el desfase va desde 0ºa -∞º, descendiendo más rápidamente cuanto mayor es el

tiempo muerto.

De los anteriores ejemplos se derivan dos puntos importantes:

*La existencia de tiempos muertos en los procesos es la principal causa de problemas de

estabilidad.

*En ausencia de tiempos muertos, los sistemas deben ser de orden tres o superior para presentar

problemas de estabilidad.

7.5.1. Márgenes de fase y ganancia.

Estos conceptos, derivados del diagrama de Bode nos dan una idea de lo robusto de un sistema. El

margen de ganancia se define como la inversa de la relación de amplitudes a la frecuencia crítica:

1

c

gMRA ω ω=

= [7.12]


Un sistema será más estable cuanto mayor sea el margen de ganancia. Normalmente los

controladores se sintonizan para tener un margen de ganancia mayor de 1.7.

El margen de fase se define como: Mf = 180º - φRA=1 [7.13]

Cuanto mayor sea el margen de fase más lejana está la condición de inestabilidad. Los lazos de

control suelen diseñarse con márgenes de fase superiores a 30º.

Un margen de fase negativo indica un sistema inestable.

Los márgenes de fase y de ganancia también pueden

obtenerse a partir de la representación de Nyquist:

Figura 7.11

Véase un ejemplo de la importancia del margen de ganancia y fase. Considérese el proceso con

función de transferencia en lazo abierto dada por 0.1

0.5 1

sKes

−

+, la frecuencia crítica se obtiene mediante Excel

dando 16.88 rad/s. La relación de amplitudes a esta frecuencia es : 2

0.1176(0.5*17) 1

KRA K= =+

. Si se

requiere un margen de ganancia de 1.7; 11.70.1176K

= la ganancia del proceso abierto debe ser como

máximo de 5.

Si ahora se asume que el modelo del proceso no era del todo correcto y que el tiempo muerto es

0.15 en vez de 0.1 s la nueva frecuencia crítica es 11.61 rad/s y la relación de amplitudes con la ganancia

calculada anteriormente 0.85, el margen de ganancia se mantiene ligeramente por encima de uno (1.178),

el sistema es estable todavía a pesar del error cometido.

Si el diseño del lazo se hace mediante el margen de fase, supóngase inicialmente un margen de

fase de: -130º = 180º - tg (-0.5 )-0.1ω ω

El resultado de la anterior ecuación es una frecuencia de 12.5 rad/s, por tanto la ganancia para que

la relación de amplitudes sea la unidad debe ser 6.33.

-

1

M

M

R

Fas


Supóngase que se ha cometido el mismo error de modelado que anteriormente, el desfase a la

frecuencia de 12.5 será: -1 -1 = tg (-0.5 )-0.15 tg (-0.5 12.5)-0.15 12.5 188ºx xφ ω ω = = −

El sistema pasa a ser inestable. Sería necesario un margen de fase mayor, como por ejemplo 45º.

Como ejercicio se propone estudiar la estabilidad del sistema diseñándolo con un margen de fase

de 45º y probando posteriormente el efecto de un error del 50% en la constante de tiempo (0.25 en vez de

0.5)

Como segundo ejercicio se propone establecer los márgenes de fase y ganancia del sistema de

tercer orden en lazo abierto con polos en -1, -5 y 0 para valores de ganancia de 10 y 100.

K=10 K=100

7.5.2. Ganancia y frecuencia últimas.

Estos conceptos se utilizan para sintonizar controladores. La frecuencia última ωu es la frecuencia

a la cual el retardo de fase correspondiente a la función de transferencia en lazo abierto excepto el

controlador es 180º. Si el controlador solo tiene acción proporcional (GC = KC) la frecuencia crítica y la

frecuencia última son iguales. La ganancia última Ku es la inversa de la relación de amplitudes a la

frecuencia última. Consecuentemente Ku es la ganancia máxima que puede tener el controlador

proporcional en el lazo de realimentación, y que para KC > Ku el lazo se hace inestable.

7.6. Criterio de Estabilidad de Nyquist.

La representación de Nyquist es un método alternativo y más general de mostrar la respuesta

frecuencial de un sistema. El eje imaginario corresponde a las ordenadas y el eje de abcisas es la parte

real. En este caso se representa la función de transferencia en lazo abierto sustituyendo s por ωj para

valores de frecuencia de +∞ a -∞.

Se pueden presentar tres casos:

-El punto -1+0j no está rodeado, el sistema es estable siempre y cuando GOL no presente polos en

el semiplano derecho de s.


- El punto -1+0j está rodeado un a o varias veces en sentido contrario al de las agujas del reloj, el

sistema es estable si el número de rodeos es igual al número de polos en el semiplano derecho de s de

GOL.

-El punto -1+0j está rodeado una o varias veces en sentido horario, el sistema es inestable.

Véase un ejemplo:

-GOL = )1()3(

−+

sssK , Se dibuja Nyquist y se prueban varias K (ver Excel).

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Sintonización de Controladores PID.- 89

TEMA 8. SINTONIZACION DE CONTROLADORES PID. DISEÑO DE

COMPENSADORES.

En los capítulos anteriores se ha visto como los controladores PID son apropiados para ser usados

en lazos de realimentación. Ahora bien, con objeto de conseguir una alta eficacia de control, se hará

necesario el sintonizar sus tres parámetros KC, τI y τD de forma adecuada.

Previamente se han dado una serie de consideraciones para sintonizar controladores PID basados

en valores de los márgenes de fase y ganancia. Sin embargo, también existen métodos para sintonizar

controladores basados en el comportamiento en el dominio del tiempo. En este capítulo se verán con más

detalle varios métodos de sintonización tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la

frecuencia.

Por otro lado, la sintonización en el dominio del tiempo requiere en algunos casos el uso de

compensadores de adelanto, atraso o atraso-adelanto los cuales pueden ser diseñados mediante la técnica

del lugar de las raíces o a través de los diagramas de respuesta en frecuencia.

8.1. Sintonización de controladores de realimentación.

El diseño de un controlador presenta dos cuestiones básicas:

-El tipo de controlador (P, PI, PID) apropiado.

-La sintonización del controlador.

La respuesta deseada en lazo cerrado se suele especificar con referencia a un criterio de calidad de

respuesta. A este planteamineto básico del problema de sintonización hay que incorporar cuatro factores a

tener en cuenta:

*Los algoritmos PID en los distintos controladores comerciales no son exactamente iguales. Así,

hay controladores digitales y analógicos y que la acción derivativa puede actuar sobre el error o sobre la

variable del proceso a controlar.

*El modelo dinámico del proceso representa solo una aproximación a su comportamiento real que

además, debido a la no linealidad del proceso real, puede variar de unas condiciones de operación a otras.

*La variable del proceso manipulada no debe experimentar cambios excesivamente bruscos que

afecten negativamente al equipo.

*La calidad de respuesta deseada puede referirse a cambios en el punto de consigna o a cambios

en las perturbaciones.


8.2. Criterios de calidad de respuesta.

Generalmente el criterio de calidad de respuesta se refiere a cambios en escalón. Por otro lado, un

mismo criterio de calidad determinará diferentes parámetros de ajuste del controlador dependiendo si el

escalón se da en el punto de consigna o en una variable de perturbación, sin embargo, la diferencia no

será demasidao apreciable puesto que el comportamiento en lazo cerrado depende fuertemente del

comportamiento en lazo abierto GCGP en la que no está involucrada GD. Solo en casos en los que los

cambios en perturbación sean más frecuentes que los cambios en el punto de consigna se justifica un

criterio de calidad basado en la perturbación. Los criterios de calidad de respuesta se dividen en:

-Criterios de estabilidad (margen de fase o ganancia).

-Criterios basados en la respuesta en estado estacionario (offset permitido).

-Criterios basados en la respuesta dinámica del sistema. Se distinguen en este apartado:

-Criterios basados en características puntuales de respuesta.

-Criterios basados en toda la respuesta.

De los criterios mencionados anteriormente, los dos primeros son fácilmente impuestos. La única

especificación razonable es que el sistema sea estable y que el error en régimen permanente sea mínimo.

En el tercer caso la especificación es subjetiva y depende del tipo de sistema, factores ingenieriles, etc.

8.2.1. Criterios basados en una característica puntual de respuesta.

.

Pueden citarse por ejemplo:

-Mínimo tiempo de levantamiento.

-Mínimo tiempo de asentamiento.

-Máximo sobrepaso permitido.

-Relación de amortiguamiento ¼.

Características puntuales en criterios de calidad de respuesta


Dentro de esta categoría uno de los criterios más utilizados es el denominado de relación de

amortiguamiento ¼. En este caso la respuesta óptima del proceso es una respuesta subamortiguada en la

que la segunda sobreoscilación S2 es un cuarto de la primera S1. Este criterio es un compromiso entre la

velocidad de respuesta (tiempo para alcanzar el valor deseado de respuesta) y el tiempo de asentamiento

(tiempo para que la respuesta presente oscilaciones inferiores a 5% del valor deseado).

Este criterio no suele ser aceptable para cambios en escalón del punto de consigna ya que produce

una sobreoscilación demasiado elevada (S1 ≈ 0.5Δyr), aunque sí es aceptable para cambios en la

perturbación. El conjunto de parámetros de ajuste no es único excepto en el caso del controlador

proporcional.

8.2.2. Criterios basados en toda la respuesta.

a-La integral del error.

Cambios en consigna y en perturbación

Respuesta según criterio.

Los criterios basados en la integración del error más utilizados son:

ym(t)

t

ym(t)

t

ym(t)

t

ITAEIAE

ISE


1. Integral del cuadrado del error: ISE = 2

0

( )e t dt∞

∫

2. Integral del valor absoluto del error: IAE = 0

( )e t dt∞

∫

3. Integral del valor absoluto del error por el tiempo: ITAE = 0

( )t e t dt∞

∫

La sintonización óptima es la que minimiza el criterio seleccionado (ISE, IAE, ITAE). Un

controlador P no puede sintonizarse con estos criterios ya que no elimina el error en régimen permanente

y por tanto las tres integrales darían un valor infinito.

De forma general, se considerarán lo siguientes aspectos:

*Para eliminar grandes errores ISE es mejor que IAE ya que los errores están elevados al cuadrado

contribuyendo de forma más importante al valor de la integral.

*Para suprimir pequeños errores IAE es mejor que ISE ya que al elevar al cuadrado pequeños

números (<1) estos se hacen incluso menores.

*Para suprimir errores que persisten en el tiempo el criterio ITAE es el óptimo ya que la presencia

del tiempo dentro de la integral amplifica el error aunque este sea pequeño.

b- Predeterminación de respuesta dinámica.

Mediante este criterio se especifica de antemano la forma de respuesta dinámica y se sintoniza el

controlador para que el lazo cerrado responda de la forma predeterminada, (se suelen especificar los polos

dominantes en lazo cerrado)

De todas formas, se obtendrán diseños de controlador diferentes en función de tres aspectos:

-Criterio elegido (ISE, IAE, ITAE).

-Tipo de respuesta en lazo cerrado.

-Tipo de entrada.

8.3. Métodos de sintonización de controladores PID.

El proceso de sintonización de controladores se puede llevar a cabo bien de manera rigurosa con

modelos detallados de proceso o bien con la utilización de modelos aproximados de proceso sin necesidad

de tener en cuenta de forma estricta los pormenores del sistema. Existen métodos de sintonización de

controladores sin modelo, entre los que destacan el modelo de sintonización en lazo cerrado de Ziegler

Nichols que se puede implementar de forma totalmente experimental. En nuestro caso, sin embargo, se


incluye dentro de los métodos que requieren un modelo riguroso puesto que también es posible utilizarlo

sin necesidad de experimentación. (Ogunnaike 555).

A continuación se verán algunos métodos de sintonización de controladores que utilizan bien

modelos aproximados del proceso a sistemas de primer orden con tiempo muerto, bien otro tipo de

modelos más ajustados a la realidad en el dominio de Laplace o de la frecuencia.

8.3.1. Métodos basados en modelos aproximados.

i-Método de ajuste de Cohen Coon. (Process reaction curve method).

Controlador Parámetros Cohen-Coon

P Kc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τθ

+θτ

31

K1

PI Kc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τθ

+θτ

129.0

K1

τI ( )[ ]( )τθ+

τθ+θ209

330

PID Kc ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

τ+τ

θτ

123016

K1

τI ( )[ ]

( )τθ+τθ+θ

813632

τD ( )τθ+θ

2114

Se basa en ajustar la curva de respuesta del proceso (elemento final, proceso en sí y elemento

sensor medidor) a un sistema de primer orden con tiempo muerto. Cohen Coon basándose en diferentes

criterios de optimización (1/4 decay ratio, mínimo offset, ISE) propuso las anteriores relaciones.

ii-Método de ajuste de Ziegler-Nichols de lazo abierto.

Controlador Kc τI τD

P 1 τK θ

-- --

PI 0.9 τK θ

θ33.3 --

PID 1.2 τK θ

θ2 θ5.0


Similar al anterior, y basándose en el decay ratio ¼, Ziegler y Nichols propusieron las anteriores

reglas de sintonización. Smith y Corripio recomiendan utilizar este método sólo cuando el cociente

tiempo muerto/constante de tiempo se sitúe en el rango 0.1-1.0.

iii-Método de Smith.

Smith y colaboradores han desarrollado varias correlaciones para la sintonización de controladores

PID basándose en la minimización de la integral del error. Al igual que en el caso anterior se recomienda

usarlas sólo cuando el cociente tiempo muerto/constante de tiempo se sitúe en el rango 0.1-1.0.

Las correlaciones se dan en las siguientes tablas para cambios en consigna o perturbación:

Cambios en el punto de consigna:

Integral del error

IAE IAET

a1 = 0.758 0.586

b1 = -0.861 -0.916

a2 = 1.02 1.03

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

ττm

I tba 22

b2 = -0.323 -0.165

a1 = 1.086 0.965

b1 = -0.869 -0.855

a2 = 0.740 0.796

b2 = -0.130 -0.147

a3= 0.348 0.308

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

ττm

I tba 22

3

3

bm

Dta ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τττ

b3= 0.914 0.9292


Cambios en perturbación

Integral del error

ICE IAE IAET

a = 1.411 0.902 0.490 bm

ct

Ka

K ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

b = -0.917 -0.985 -1.084

a1 = 1.305 0.984 0.859

b1 = -0.959 -0.986 -0.977

a2 = 0.492 0.608 0.674

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

2

2

bm

It

a⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

τττ

b2 = 0.739 0.707 0.680

a1 = 1.495 1.435 1.357

b1 = -0.945 -0.921 -0.947

a2 = 1.101 0.878 0.842

b2 = 0.771 0.749 0.738

a3= 0.560 0.482 0.381

1

1b

mc

tKaK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

ττm

I tba 22

3

3

bm

Dta ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

τττ

b3= 1.006 1.137 0.995

iv- Método de Ciancone

Ciancone, por su parte, obtuvo correlaciones diferentes para cambios en el punto de consigna y en

la perturbación. Asumiendo GP = GD las premisas en las que se basó fueron las siguientes:

-Errores de +25% en los parámetros del modelo

-Modelo simple de primer orden con tiempo muerto.

-Minimización del índice IAE en la respuesta a un escalón.

-Restricciones en la variación de la variable manipulada.

-Controlador PID no interactivo con la acción derivativa sobre la variable de proceso a controlar.

( )1( ) ( ) ( ) ( ) mC D

l

dy tm t m t K e t e t dtdt

ττ

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Para tener en cuenta la aproximación al comportamiento real, los parámetros de sintonización del

controlador son los que minimizan la suma de los tres IAE obtenidos con tres conjuntos de parámetros:

los nominales, y los incrementados y disminuidos un 25%. Las correlaciones de Ciancone para un PID se

muestran en las figuras. Estas correlaciones deben utilizarse en el rango 0.1<tm/(tm+τp)<1.0


v-Método de sintonización de síntesis directa.

Es posible desarrollar reglas de sintonización de controladores PID basados en una trayectoria

preconcebida de la respuesta en lazo cerrado. (Ogunnaike capítulo 19, ejemplo en pag. 526). En este caso

la sintonización del controlador viene determinada porque la salida será un sistema de primer orden con

tiempo muerto, siendo τr la constante de tiempo de la salida y el tiempo muerto igual al del modelo de

proceso. Las reglas de sintonización son:

Sintonización por síntesis directa.

Kc τI τD

PI ( )r mK t

ττ +

τ

PID ( )

22

m

r m

tK t

ττ+

+

2mtτ +

2m

m

tt

ττ +

Este método es un caso particular del método de sintonización directa basado en modelos

rigurosos.

vi- Sintonización mediante el método del modelo interno de control.

El fundamento es similar al método de sintonización de síntesis directa. En este caso es necesario

un parámetro de filtro lambda que considera la constante de tiempo en lazo cerrado del sistema. Las

reglas de sintonización son:

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

τm/(tm+τp)

KCK

P &

τI/(

t m+τ

p)

KCKP

τI/(tm+τp)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

τD /(tm +τp )

τD/(tm+τp)

Cambios Consigna

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.5

1

1.5

2

τm/(tm+τp)

KCK

P &

τI/(

t m+τ

p)

KCKP

τI/(tm+τp)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

τD /(tm + τp )

τD/(tm+τp)

Cambios Perturbación


Valor recomendado de λ (Siempre > 0.2τ)

Kc τI τD

PI 1.7mtλ

> Kτλ

τ

PI

mejorado 1.7

mtλ

> 22

mtK

τλ+

2mtτ +

PID 0.25mtλ

> ( )

22

m

m

tK t

τλ+

+

2mtτ + 2

m

m

tt

ττ +

Cuestión. Considerar un proceso de tres tanques en serie con función de transferencia del elemento final de control y elemento

sensor transmisor unidad. Diseñar controladores PI y PID según los diferentes métodos vistos. Resp.

Las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo que representan el sistema son las ya anteriormente vistas:

11 0 1 1

22 1 1 2 2

33 2 2 3 3

dhA F c hdtdhA c h c hdt

dhA c h c hdt

= −

= −

= −

. En el dominio de Laplace: 1 1 0 1 1

2 2 1 1 2 2

3 3 2 2 3 3

sA h F c hsA h c h c hsA h c h c h

= −

= −= −

y operando:

( )

( )

( )

11 0

1 1

1 22 1

2 2

2 33 2

3 3

1/ ch FA / c s 1

c / ch hA / c s 1

c / ch hA / c s 1

=+

=+

=+

Con lo cual:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 1 2 13 0 0

3 3 2 2 1 1 3 2 1

c / c c / c 1/ c Kh F FA / c s 1 A / c s 1 A / c s 1 s 1 s 1 s 1

= =+ + + τ + τ + τ +

Donde K = 6; τ1 = 2; τ2 = 4; τ3 = 6. De forma experimental se obtiene la siguiente respuesta ante escalón unitario de Fo.


0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

El ajuste a un sistema de primer orden con tiempo muerto da lugar a: ( )3 0

6 exp( 3s)h F15s 1

−=

+ es decir, la función de

transferencia es: G(s) = ( )

6 exp( 3s)15s 1

−+

. Si se hace de forma más cuidadosa se obtiene t63=13 y t28=7 con lo cual resulta en:

G(s) = ( )

6 exp( 4s)9s 1

−+

. Aplicando las reglas de sintonización finalmente:


8.3.2. Métodos basados en modelos detallados.

i-Métodos basados en una característica puntual de respuesta (1/4 decay).

Supóngase un sistema de primer orden controlado por un regulador PI, al cerrar el lazo la función

de transferencia que relaciona setpoint con salida viene determinada por:

2 2

1( )2 1

Isp

sy s ys s

ττ ξτ

+=

+ +, donde ; 0.5 (1 )I P I

P CP C P P C

K KK K K Kτ τ ττ ξ

τ= = +

En temas anteriores se comprobó como los máximos y mínimos de un sistema oscilante venían

impuestos por: 2

exp1nπξ

ξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, el primer sobrepaso se dará por tanto en 2

exp1πξ

ξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

mientras que el

segundo lo hará en 2

3exp1

πξξ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, si la relación entre ambos es de ¼ se tiene: 2

2 1exp41

πξξ

⎛ ⎞−⎜ ⎟ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

y

sustituyendo valores2

12 (1 )2 1exp

411 (1 )4

IP C

P P C

IP C

P P C

K KK K

K KK K

τπτ

ττ

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎜ ⎟ =⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

que tras la correspondiente manipulación

matemática resulta en: 2

12 (1 ) ln4 (1 ) 4

IP C

P P C I P C

K KK K K K

τπτ τ

− + =− +

, con esta ecuación se tienen dos

variables que son Kc y τI, por lo tanto existirán infinitas combinaciones que cumplan el requisito ¼.

En la figura se muestran las respuestas para pares de valores (1, 0.153), (10, 0.464), (30, 0.348). El

optar por una pareja de valores u otra depende de las características del proceso y especificaciones

concretas en el domino del tiempo (máximo sobrepaso, tiempo de asentamiento, etc.)

Respuesta de un sistema de primer orden con control PI con criterio de sintonización ¼.


ii-Métodos basados en la minimización de la integral del error.

Ya definido anteriormente, se basa en elegir una función de error y minimizarla.

Considérese el sistema mostrado en la figura, la función de transferencia para cambios en el set-

point y perturbaciones es: 2 2 2 2

201( )2 1 2 1

I

CIsp

sKsy s y d

s s s s

ττ

τ ξτ τ ξτ+

= ++ + + +

donde 1; (1 20 )20 2 20

I IC

C C

KK K

τ ττ ξ= = +

Los valores de ganancia y tiempo integral se computan eligiendo en primera instancia la expresión

de error (ISE, IAE, ITAE) y sobre que entrada se consideran los cambios (consigna o perturbación).

Supóngase un escalón unitario en la consigna: 2 2

1 1( )2 1

I sy ss s s

ττ ξτ

+=

+ +, hallando la

antitransformada de Laplace para sistemas subamortiguados:

22 2 1

2

1( ) 1 1 1 tan1

t

Ie t ty t sen senξ

τ ξτ ξ ξτ τ τ ξξ

−

−⎡ ⎤⎛ ⎞−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟= + − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

El problema se resume en minimizar: ISE = 2

0

( )spy y t dt∞

⎡ ⎤−⎣ ⎦∫

El proceso puede implementarse por ordenador con el consiguiente ahorro en esfuerzo

matemático. El optimizador de Excel Solver puede realizar la tarea.

20/(1+s)

- +

1/(1+s)

PI


iii- Sintonización por síntesis directa.

Considérese el sistema dado por la función de transferencia en lazo cerrado: ( ) ( )1

Cd

C

G Gy s y sG G

=+

,

supóngase ahora que se pre-especifica una respuesta en el dominio del tiempo dada por: y(s) = q(s)yd(s)

Donde q(s) es la trayectoria de referencia que deberá tener en cuenta si en el proceso existen de

antemano tiempos muertos o respuesta inversa (la trayectoria deseada no puede eliminar la existencia de

tiempos muertos o ceros en el semiplano derecho).

Una vez elegida q(s) la función de transferencia del controlador se puede obtener fácilmente

mediante: ( )1

C

C

G Gq sG G

=+

y despejando: 11C

qGG q

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

La trayectoria q(s) debe contemplar los siguientes puntos a la hora de ser elegida:

-Mínimo o nulo offset

-Respuesta rápida y estable con el mínimo sobrepaso.

-Posibilidad del proceso de seguir a q(s).

-Forma matemática lo más simple posible.

Las trayectorias más utilizadas corresponden a sistemas de primer orden con y sin tiempo muerto

y segundo orden con y sin ceros a la derecha del semiplano imaginario.

A continuación se aborda el caso más sencillo en el que q(s) sea una trayectoria de primer orden.

* q(s) = 11r sτ +

. La función de transferencia del controlador es: 1 1C

r

Gs Gτ

= , se aplicará esta

expresión a varios sistemas diferentes (distinta G):

-Ganancia pura G = K, 1 1C

r

Gs Kτ

= . Un controlador integral puro dará la respuesta

deseada con tiempo integral 1 1

I r Kτ τ= .

-Capacitor puro G = K/s, 1 1C

r

GKτ

= . Un controlador proporcional consigue el

efecto deseado.

-Proceso de primer orden G =1

Ksτ +

, 1 11Cr r

sGK s K sτ τ

τ τ τ+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ que es un

controlador PI.


Ejemplo: dado G = 0.666.7 1s +

, sintonizar un controlador PI que de cómo resultado una respuesta de

primer orden sin offset y constante de tiempo 5. (comparar los resultados con los obtenidos si τr = 1).

Mediante las expresiones obtenidas anteriormente: 12.03 16.7CG

s⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ver en Control IP)

Si τr = 1 entonces, 110.15 16.7CG

s⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Solo aumenta la ganancia, el tiempo integral permanece

invariable).

-Proceso de segundo orden G = 2 2

12 1s sτ ξτ+ +

; GC = 2 2 2 1

r

s sK s

τ ξττ

+ + , es decir un

controlador PID: GC = 2 112 2r

sK sξτ ττ ξτ ξ

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Ejemplo: dado G = 1(2 1)(5 1)s s+ +

, sintonizar un controlador PID que de cómo resultado una

respuesta de primer orden sin offset y constante de tiempo 5. (comparar los resultados con los obtenidos

si τr = 1).

Mediante las expresiones obtenidas anteriormente: 11.4 1 1.437CG s

s⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Ver en Control IP)

Si τr = 1 entonces, 17 1 1.437CG s

s⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

(Solo aumenta la ganancia, los tiempos integral y

derivativo permanecen invariables).

En el caso de requerir una trayectoria de segundo orden:

* q(s) = 2 2

12 1r r rs sτ ξ τ+ +

.

-Si se tiene un proceso de orden dos G = 2 21 22 1 ( 1)( 1)

K Ks s s sτ ξτ τ τ

=+ + + +

el controlador debe ser: GC = 1 2 1 2( 1)( 1) ( 1)( 1)( 2 ) ( 1)r r r

s s s sK s s s sτ τ τ ττ τ ξ β φ

+ + + +=

+ +, haciendo τ2 = φ

GC = 1 1

1

( 1) 1(1 )ss s

τ τβ β τ

+= = + .

-Si se tiene un proceso de orden tres: G = 1 2 3( 1)( 1)( 1)

Ks s sτ τ τ+ + +

el controlador debe ser: GC = 1 2 3 1 2 3( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)( 2 ) ( 1)r r r

s s s s s sK s s s s

τ τ τ τ τ ττ τ ξ β φ

+ + + + + +=

+ +, haciendo τ3 = φ


1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( 1)( 1) ( ) 11( )C

s sG ss s

τ τ τ τ τ τβ β τ τ τ τ

⎡ ⎤+ + += = + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

que es un controlador PID.

Ejemplo (examen junio 2004): Se pretende diseñar un regulador PID para controlar un sistema de

tercer orden tal como el descrito por la función de transferencia: ( ) ( ) ( )

62 1 4 1 6 1

G(s)s s s

=+ + +

ante cambios

en la referencia. Las funciones de transferencia del elemento final de control y sensor transmisor son la

unidad. Para ello se pretende utilizar el método de sintonización de síntesis directa. Se desea que la

respuesta en lazo cerrado del sistema siga una trayectoria correspondiente a un sistema de segundo orden

subamortiguado: 2 21

2 1r r rq(s)

s s=

τ + τ ξ +.

-Obtener y justificar los valores de τr y ξr que faciliten el diseño.

-Obtener y justificar los valores de los parámetros de sintonización del controlador PID.

-Calcular el tiempo pico.

-Calcular el sobrepaso máximo de la respuesta.

-Determinar el error en régimen permanente.

Cuando en G existen tiempos muertos o respuesta inversa, q(s) debe contemplar dichos eventos.

Véase el ejemplo de un sistema de primer orden con tiempo muerto, en este caso, la mejor opción es

considerar q con una trayectoria similar:

* q(s) = 1

r s

r

es

α

τ

−

+

-G = 1

sKes

α

τ

−

+, el controlador será: GC =

( )11

r

r

s

sr

s eK s e

α α

α

ττ

− −

−

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

, para el caso más

sencillo de αr = α, GC = 1 11 r s

r

sK s e α

ττ −

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

, tomando la expansión en series de Taylor de primer orden

para el término exponencial, exp(-αrs) = 1 - αrs, y sustituyendo: GC = 11( )rK s

ττ α τ

⎡ ⎤+⎢ ⎥+ ⎣ ⎦.

Sin embargo si se adopta la aproximación de primer orden de Padé para el término exponencial:

1 0.51 0.5

r s r

r

ses

α αα

− −=

+ se obtiene: : GC = 1 1 0.51

( ) 1 *r

sK s s

τ ατ α τ τ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ donde *

2( )r

r

αττα τ

=+

que

puede ser ordenado de manera: GC = 0.5 1 0.5 11( ) ( 0.5 ) 0.5 1 *r

sK s sτ α τ

τ α τ α τ α τ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

que corresponde a

un controlador PID en serie con un filtro de primer orden.


Ejemplo: G(s) = 2.60.66

6.7 1

ses

−

+, se requiere una trayectoria con el mismo tiempo muerto y constante

de tiempo de 5.

PI: GC = 11.34 16.7s

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦.

PID: GC = 1 11.59 1 1.098 1 0.86

ss s

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦

iv- Sintonización por control de modelo interno.

Similar al anterior método trata de llegar al control perfecto teniendo en cuenta tanto cambios en

el set-point como en las variables de perturbación. Supóngase el diagrama de bloques mostrado donde “d”

representa el colectivo de todas las perturbaciones no medidas.

d

ysp Gc Gp yu

Un control perfecto sería aquel que diese como salida el setpoint: y(s)=ysp(s)=Gp(s) u(s)+d. Por

tanto, la salida del controlador debe ser: u(s) = 1/Gp(s)[ysp(s)-d)]. Esto implica que tanto el modelo del

proceso como las perturbaciones son conocidos, lo cual es incierto. Por un lado “d” no es medido y en la

mayoría de casos se dispone de un modelo más o menos detallado pero que no es perfecto. Sea este

modelo g*, entonces la mejor predicción de las perturbaciones es: $d y g*(s)u(s)= − . Cambiando la

notación: 1c(s)g*(s)

= . Por tanto: $spu(s) c(s) y (s) d(s)⎡ ⎤= −⎣ ⎦ .

El diagrama de control que habría que implementar sería (según las ecuaciones anteriores):

c(s) g(s)

g*

yd u

d

y

$d

+ + +

+

-

-


La reducción del anterior diagrama de bloques conduce a:

El controlador que hay que implementar tiene como función de transferencia GC = ( )1 ( ) *( )

c sc s g s−

Las funciones de transferencia de la salida con la consigna y la perturbación serán:

[ ] [ ]( ) ( ) 1 *( ) ( )

1 ( ) ( ) *( ) 1 ( ) ( ) *( )spg s c s g s c sy y d

c s g s g s c s g s g s−

= ++ − + −

por tanto si el modelo es perfecto ( ) *( )g s g s= , el control resulta también perfecto y = yd.

No obstante lo anterior, al diseñar un controlador mediante IMC se deben tener en cuenta las

siguientes puntualizaciones:

-Normalmente ( ) *( )g s g s≠

-El hecho de que c(s) sea la inversa de *( )g s implica la aparición de dificultades como

exponenciales positivas o polos en el semiplano derecho.

-Incluso aunque *( )g s fuera invertible, los controladores obtenidos son físicamente difíciles de

conseguir.

Debido a todo lo anterior, el procedimiento IMC se modifica de la siguiente forma:

-El modelo de proceso se separa en dos partes: *( ) *( ) *( )g s g s g s+ −= donde *( )g s + contiene los

factores que no se pueden invertir (tiempos muertos, ceros en el semiplano derecho) y posee una ganancia

unidad, *( )g s − lo constituyen el resto de factores.

-El controlador se diseña según función de transferencia: 1( ) ( )*( )

c s f sg s −

= donde f(s) es un

filtro de función de transferencia: ( )n

1f (s)s 1

=λ +

. Lambda y n se eligen de tal manera que la función de

transferencia del controlador cumpla que el orden del denominador sea mayor que el orden del

numerador.

Ejemplo: Diseñar un controlador mediante IMC para el proceso *( )g s = 58 1s +

,

El modelo de proceso es convertible, por tanto 1/ *( )g s = (8s+1)/5 que requiere solamente un

filtro de primer orden para conseguir el mismo orden en s para numerador y denominador.

-+ g(s)

( )1 ( ) *( )

c sc s g s−

d

ysp


c(s) = 1 8 15 1

ssλ

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

, el lazo realimentado puede implementarse de forma convencional si se tiene en

cuenta que GC = ( )1 ( ) *( )

c sc s g s−

= 8 115 8sλ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo: Diseñar un controlador mediante IMC para el proceso *( )g s = 35

8 1

ses

−

+,

Se tiene una parte no invertible: 3se− y el resto invertible. El controlador obtenido es similar al

caso anterior con un filtro de primer orden c(s) = 1 8 15 1

ssλ

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

, no obstante GC es completamente diferente.

v- Emplazamiento de polos.

-Método del lugar de las raíces. http://www.ece.gatech.edu/research/ccss/education/Java/1998.Winter/Projects/garner-

meeks/ee3833/

La sintonización se hace en base a la localización de los polos en lazo cerrado a través del lugar de

las raíces. Veamos algún ejemplo para diferentes procesos.

Ejemplo. Diseñar un controlador que proporcione un sobrepaso máximo del 25% y un tiempo pico

de 1 segundo en un proceso de dos sistemas de primer orden en serie con ganancia global 5/3 y

constantes de tiempo 1 y 1/3. (Sep 2s).

En primer lugar, se expresan las especificaciones pedidas para el régimen transitorio como la zona del

plano complejo donde podrían encontrarse los polos del sistema:

Se cumple por tanto:

teniendo en cuenta que para un sistema de orden dos se cumple que las raíces se sitúan en -σ ± ωdj

la localización de los polos en lazo cerrado queda como:

-+ C(s)

5( 1)( 3)s s+ +

ysp

66.2

3.14j

3.14

-


Se prueba en primer lugar con el controlador más sencillo que es el proporcional. El lugar de las

raíces para el sistema por tanto resulta ser:

El lugar de las raíces pasa por la zona válida, el controlador proporcional es suficiente para

cumplir con las especificaciones del transitorio. Para minimizar el offset se elige la mayor K que no haga

salir a los polos de la zona restringida. Estos polos son -2 ± 2*tg(66.2)j = -2 ± 4.53j. El valor de K que

proporciona dichos polos se halla por sustitución directa en la ecuación característica y comparación de

módulos: 2 2 2 25 4.53 1 4.53 1 ; 4.3i

i

s pK K

s z−

= = + + =−

∏∏

El error de estado estacionario se calcula a continuación mediante el teorema del valor final.

Dicho error es de un 12.2%, si no se permitiera tal error el controlador proporcional no sería válido y

habría que introducir un compensador.

Ejemplo. Diseñar un controlador para un proceso con polos en lazo abierto de 1, -4+0.5j y -4 -0.5j.

(Nov2000). G(s) = 2

1( 1)( 8 16.25)s s s− + +

El lugar de las raíces para este sistema es:

Se hará el diseño tal que los polos dominantes (más

cercanos al eje imaginario) provean al sistema de un factor

de amortiguamiento de 0.707, es decir se deben situar a

+45º en el semiplano izquierdo. El valor de la constante K

que proporciona dichos polos se halla a partir de la lectura

directa de polos de la gráfica o se calcula mediante

SOLVER. Los valores de los polos son -0.649 + 0.649j

para un valor de K=21.06 (el tercer polo se sitúa en -5.7).


Ejemplo. Diseñar un controlador para un proceso con polos en lazo abierto de 0, -4+3j y -4 -3j que

proporcione el menor tiempo de establecimiento con sobreimpulsos inferiores al 10%. (2001Feb1)

G(s) = 3 2

1( 8 25 )s s s+ +

El lugar de las raíces para el sistema anterior es el

que se muestra en la figura. La especificación limita el

sobreimpulso máximo a un 10% de la salida.

Si el sistema fuese de segundo orden, por la siguiente

fórmula, se ve que el ángulo de los polos dominantes

quedaría limitado a un máximo de 54º.

0.1; 54ºtgPM e

πϕ ϕ

−= < <

Al haber otro polo más de primer orden, este va a influir

disminuyendo el sobreimpluso, con lo que se estará

trabajando del lado de la seguridad si se impone que ningún

polo ha de formar un ángulo ϕ mayor a 54º

Una buena forma de conseguir un tiempo de establecimiento bueno, aunque no el óptimo, es exigir que

los polos del sistema estén lo más alejados posible del eje imaginario.

A continuación se observa cómo se mueven los polos del sistema en el l.d.r. Para Valores bajos de K, el

polo dominante es el polo real de la rama que sale de s=0. Para valores de K mayores de 142.86 el

sistema se vuelve inestable. Para valores altos de K, que no superen 142.86, los polos dominantes son los

dos polos complejos conjugados de las ramas que surgen de s=-4±3j. Se sabe que la suma de la parte real

de los tres polos tiene que ser igual al coeficiente de s2 de la ecuación característica del sistema, cambiado

de signo (esto es así siempre que el coeficiente de mayor exponente sea la unidad). La ecuación

característica del sistema en lazo cerrado es: s3+8s2+25s+K=0. Luego, la suma de las partes reales de los

polos del sistema ha de ser igual a -8. La forma de que el tiempo de establecimiento sea mínimo es que

los polos del sistema estén lo más alejados posibles del eje imaginario. Esto ocurrirá en el punto donde

coinciden las partes reales de los tres polos. Dicha concurrencia ocurre cuando la parte real es de -8/3. Se

calcula la ganancia que hace que exista un polo situado en s=-8/3 por sustitución directa o mediante

solver. Dicha ganancia es 28.74 y los tres polos buscados son -8/3, -8/3 + 1.915j. El ángulo de los polos

complejos es 35.7º < 54º (que proporciona un sobreimpulso de 10%).

-Emplazamiento directo de polos (Goodwing 179).

Consiste en predefinir los polos cerrados de antemano, o lo que es lo mismo la ecuación

característica del sistema. Supóngase un controlador con función de transferencia dada por el cociente de


polinomios en s C(s) = P(s)/L(s) y el proceso dado por G(s) = B(s)/A(s). Si se define una ecuación

característica de lazo cerrado dada por EC(s) = (polinomio en s), el procedimiento consiste en encontrar

P(s) y L(s) tal que EC(s) = A(s)L(s) + B(s)P(s).

Ejemplo. Sea la planta con función de transferencia 2

13 2s s+ +

, se pretende diseñar un

controlador del tipo 1 0

1 0

p s pl s l

++

tal que la ecuación característica sea s3+3s2+3s+1. La ecuación

característica será: ( )( ) ( )21 01 0 1 02

1 0

11 0; 3 2 03 2

p s p s s l s l p s pl s l s s

++ = + + + + + =

+ + +

Igualando términos y resolviendo: l1 =1, l0 = 0, p1 =1, p0 = 1. El controlador buscado es:

GC = 11s

+

De forma general para que este procedimiento sea aplicable con EC(s) de grado 2n-1 se necesitan

grados n-1 tanto para P(s) como para L(s). Si el grado de EC(s) es 2n-1+k (k es natural) el grado de L(s)

será también n-1+k. Si el grado de EC(s) es menor de 2n-1 no hay solución excepto para casos muy

concretos.

vi- Uso de márgenes de estabilidad Método de ajuste de Ziegler-Nichols de lazo cerrado.

En este caso la caracterización dinámica se basa en la ganacia última Ku y en el período último Pu.

es decir, en los parámetros característicos de respuesta en frecuencia en lazo cerrado. El período último

es:

Pu = 2π / ωu

Estos parámetros se pueden obtener de forma experimental mediante el siguiente método:

-Se lleva el proceso manualmente al punto nominal de operación.

-Se anulan las acciones I y D del controlador y se sintoniza la ganancia a un bajo valor.

-Se pone el controlador en automático y se

provoca un cambio en el punto de consigna o en

una perturbación, como la ganancia tiene un valor

bajo se obtendrá una respuesta lenta y

sobreamortiguada.

-Se incrementa la ganancia en sucesivos

pasos y se provoca el cambio en cada uno de ellos

hasta conseguir una respuesta con oscilación

mantenida (fig.). -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Periodo ultimo


-La ganancia última es la ganancia del controlador en esas condiciones, y el período último se

mide sobre la respuesta.

El criterio de sintonización de Z-N en lazo cerrado es la relación de amortiguamiento ¼. Se

asumió un PID analógico no interactivo con la acción derivativa actuando sobre el error.

CONTROLADOR KC τI τD

P 0.5 KU

PI 0.45 KU 0.83 PU

PID 0.6 KU 0.50 PU 0.125 PU

Parámetros de sintonización Z-N.

Se hace notar del cuadro anterior que es necesario reducir la ganancia del controlador cuando se

añade acción integral y cómo pueden incrementarse las acciones proporcional e integral (aumentar KC y

disminuir τI) cuando se implementa la acción derivativa.

Ejemplo.

Considerar el sistema de tres tanques en serie estudiado en la sección 8.3.1 (vii).

La ganancia última del sistema es 1.667 mientras que la frecuencia última es 0.5 rad/min, siendo

por lo tanto el período último 12.56. (Comprobar de forma analítica, por el grafico de Bode y mediante el

método experimental descrito anteriormente).

2 2 2

64 1 16 1 36 1

CKRAω ω ω

=+ + +

; -180º = -tg-1(2ωu) -tg-1(4ωu) -tg-1(6ωu)

Ejemplo. Stephanopoulos 353.

Considerar el proceso de segundo orden de función de transferencia: ( ) ( )p

1G5s 1 2s 1

=+ +

,

elemento de medida de primer orden ( )m

1G10s 1

=+

y elemento final de actuación unidad. Sintonizar un

controlador P, PI y PID por el método del modelo aproximado de Cohen Coon y Z-N de lazo cerrado.

El proceso responde en el dominio del tiempo según:

( )( )0.01 1y

s 0.2 s 0.5 (s 0.1) s= =

+ + +

y(t) =

1.s−

2.50.1+1.s

+1.666670.2+1.s

−0.1666670.5+1.s

1−−tê2

6+

5 −tê5

3−

5 −tê10

2


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Del gráfico anterior se deduce K = 1, τ= 12.75, tm = 5.25

Mediante Cohen Coon se obtiene:

Controlador Parámetros Cohen-Coon P Kc 2.76 PI Kc 2.26 τI 9.51

PID Kc 3.71 τI 7.08 τD 1.77

Aplicando Z-N de lazo cerrado:

La frecuencia última es 0.415 rad/s, la ganancia última 12.6 y el período último 15.14 s/ciclo. Los

parámetros de sintonización por tanto:

Controlador Parámetros Ziegler-Nichols P Kc 6.3 PI Kc 5.7 τI 12.62

PID Kc 7.4 τI 7.57 τD 1.89

Más Ejemplos en formato pdf en archivo temario.


8.4. Diseño de compensadores.

Los compensadores son dispositivos reguladores que se introducen en los lazos de control para

cumplir con unas especificaciones de respuesta transitoria predeterminada. Para su diseño se puede acudir

al lugar de las raíces o se puede utilizar la respuesta en frecuencia del proceso. La compensación puede

realizarse en serie o en paralelo, en este caso el estudio se centrará en el diseño en serie con respecto al

proceso. Los compensadores pueden ser de adelanto, retardo o adelanto – retardo.

8.4.1. Método del lugar de las raíces.

*Compensación de adelanto. Los compensadores de adelanto tienen como función de

transferencia GCAd =

1

; 11C

sTK

sT

α

α

+<

+. El procedimiento para elegir los parámetros de la red de

adelanto es:

1- A partir de las especificaciones de desempeño, determínese la ubicación deseada para los polos

dominantes en lazo cerrado.

2. Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruébese si el ajuste de la

ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes (caso ya visto en

ejemplos anteriores). Si no, calcúlese la deficiencia de ángulo φ. Este ángulo debe ser una contribución

del compensador de adelanto si el nuevo lugar geométrico de las raíces va a pasar por las ubicaciones

deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado.

3. Supóngase que el compensador de adelanto G,(s) es: GCAd =

1

; 11C

sTK

sT

α

α

+<

+.

en donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir del

requerimiento de la ganancia en lazo abierto.

4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo y del cero

del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo φ necesario. Si

no se imponen otros requerimientos sobre el sistema, intente aumentar lo más posible el valor de α. Un

valor más grande de α por lo general produce un valor más grande de la constante de error de velocidad,

lo cual es conveniente. Si se especifica una constante de error estático, por lo general es más sencillo usar

el enfoque de la respuesta en frecuencia que se verá posteriormente.

5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de

magnitud.


Una vez diseñado un compensador, verifique que se hayan cumplido todas las especificaciones de

desempeño. Si el sistema no cumple las especificaciones de desempeño, repita el procedimiento de diseño

ajustando el polo y el cero del compensador hasta cumplir con todas las especificaciones. Si se requiere

de una constante de error estático grande, enlace en cascada una red de atraso o convierta el compensador

de adelanto en un compensador de atraso-adelanto.

Ejemplo. Considérese el sistema en lazo cerrado dado por la figura cuya gráfica del lugar de las

raíces se muestra también. Los polos en

lazo cerrado son -1+ 3 j. El factor de

amortiguamiento es 0.5 siendo la

frecuencia natural no amortiguada de 2

rad/s. La constante de error de velocidad es

2. Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener ωn =

4 rad/s sin cambiar ξ.

Si ξ = 0.5, los polos de lazo cerrado deben estar en ángulos

de cos(θ) = 0.5, θ = 60º. Por otro lado, la distancia del origen a los

polos es ωn = 4, con estos datos los nuevos polos de lazo cerrado se

deben situar en ωd = 4sen(60) = 2 3 (parte imaginaria) y σ = -

4cos(60) = -2, es decir, polos = -2+2 3 j.

Se observa que la nueva ubicación de polos no se consigue

con un simple ajuste de ganancia, es necesario un compensador, en

este caso de adelanto (hay que desplazar el lugar de las raíces a la izquierda, lo que se consigue mediante

adición de ceros dominantes en el compensador).

En primer lugar se suman los ángulos de los nuevos polos (uno de ellos) con los polos y ceros

originales y se determina el ángulo necesario φ para que la suma total sea de +180(2k+1). El

compensador debe contribuir con ese ángulo. El nuevo lazo abierto será:

1

( )1OL C

sTG K G s

sTα

+=

+.

El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto. Existen

muchas posibilidades para elegir tales ubicaciones. A continuación se presenta un procedimiento con el

propósito de obtener el valor más grande posible para α. (Observe que un valor más grande de α

producirá un valor más grande de KV. Primero se dibuja una línea horizontal que pase por el punto P,

ubicación deseada para uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto corresponde a la línea PA de la

- +

4

( )( 2)s s +

ysp


figura. Se dibuja una línea que conecte el punto P con el origen. Se bisecta el ángulo que forman las

líneas PA y PO, como se aprecia en la figura. Se trazan dos líneas PC y PD que formen ángulos de +φ/2

con la bisectriz PB. Las intersecciones de PC y PD con el eje real negativo proporcionan la ubicación

necesaria para el polo y el cero de la red de adelanto. Por tanto, el compensador diseñado hará de P un

punto sobre el lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se

determina mediante el uso de la condición de magnitud.

En el sistema actual, el ángulo de G(s) del polo en lazo cerrado

se halla mediante: 2 2 3

4 210º( 2) s js s =− +

∠ = −+

El compensador debe contribuir con +30º (red de

adelanto)

Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito se

calcula el cero en -2.9 y el polo en -5.4, con lo cual T=0.345 y α=0.537. La nueva función de

transferencia en lazo abierto se convierte en: ( ) ( )( )

2.9 4 2.95.4 2 5.4 2OL C

s sG K Ks s s s s s

+ += =

+ + + +. El root loci

del sistema compensado se muestra en la gráfica derecha. La ganancia

que proporciona los polos en -2+2 3 j se halla por sustitución directa

(condición de magnitud). ( )( )

2 2 3

2.9 15.4 2

s j

sKs s s

=− +

+=

+ +

K = 18.7 y por tanto KC = 18.7/4=4.68

La KV será: 1

0lim (0) 5.02OLs

sG s−

→= .

Ejemplo. Dado el sistema de orden dos con ganancia 25 y polos en -2 y -0.5, se pide:

a-Dibujar el lugar de las raíces.

b-Si se requiere en lazo cerrado un sobrepaso máximo del 4.98% y un tiempo pico de 1.05, ¿es

posible utilizar un controlador proporcional que cumpla los requisitos?¿Por qué?

c-Diseñar un compensador de adelanto mediante el método del lugar de las raíces tal que se

cancele el polo en -2 de la planta.

Ejemplo Dado el sistema de orden dos:

a-Dibujar el lugar de las raíces.

b-Si se requiere en lazo cerrado un sobrepaso máximo del 19 % y un tiempo pico de 0.83, ¿es

posible utilizar un controlador proporcional que cumpla los requisitos?¿Por qué?

2( ) KG ss

=


c-Diseñar un compensador de adelanto mediante el método del lugar de las raíces tal que el cero

del mismo se sitúe en la vertical de los polos deseados en lazo cerrado.

*Compensación de retardo.

Considérese el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema que

exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria, pero características insatisfactorias en

estado estable. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo

cerrado sin modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que

no debe cambiarse de manera significativa el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos

dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida en que

se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de atraso en serie con la función de

transferencia de la trayectoria directa determinada. Para evitar un cambio notable en los lugares

geométricos de las raíces, la contribución de ángulo de la red de atraso debe limitarse a una cantidad

pequeña, por ejemplo 5º. Para asegurar esto, colocamos el polo y el cero de la red de atraso relativamente

cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este modo, los polos en lazo cerrado del sistema

compensado sólo se alejarán ligeramente de sus ubicaciones originales. Por tanto, la característica de la

respuesta transitoria cambiará muy poco. Considere un compensador de atraso GCAt(s):

GCAt(s) =

1

; 11C

sTK

sT

β

β

+>

+. Si se sitúan el polo y el cero del compensador muy cerca uno del

otro, en s = s1, (donde s1 es uno de los polos dominantes en lazo cerrado), las magnitudes de s1 +1/T y

s1+1/(βT) serán casi iguales: 1

1

1

( ) 1AtC C C

sTG s K K

sTβ

+= ≈

+.

Para que la contribución de ángulo del compensador sea pequeña se necesita que:

1

1

1

5º arg 0º1C

sTumento K

sTβ

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎜ ⎟− < <⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

. Esto implica que si la ganancia del compensador se hace

igual a la unidad la respuesta transitoria no se alterará. El incremento en la constante de error de velocidad

vendrá dado por la expresión: New OldV C VK K Kβ= .


La principal desventaja de la compensación de atraso es que el cero del regulador genera un polo

en lazo cerrado cerca del origen que será parcialmente compensado por un cero cerca del origen también

con lo que el tiempo de asentamiento aumentará.

El procedimiento de diseño es el que sigue:

1. Dibújese la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya

función de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta

transitoria, se ubican los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces.

2. Calcular la constante de error estático especificada en el problema.

3. Determinar el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las

especificaciones.

4. Determinar el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario

en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las

raíces originales. (Obsérvese que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y

la ganancia que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen

y la del polo al origen.)

5. Dibujar una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado.

Localícense los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. (Si la

contribución de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares

geométricos de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera

discrepancia entre ellos. A continuación se ubican, sobre el nuevo lugar geométrico de las raíces, los

polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta transitoria.)

6. Ajústese la ganancia del compensador (aproximadamente será la unidad) a partir de la

condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación

deseada.

Ejemplo. Considérese el sistema cuyo lugar

de las raíces es el representado en la figura. En lazo

cerrado los polos se

sitúan en -2.3386 y

-0.3307 + 0.5864j. Estos últimos son los polos dominantes. El factor de

amortiguamiento de los polos dominantes es 0.491 mientras que la

frecuencia natural no amortiguada es 0.673 rad/s. La constante de error

estático de velocidad del sistema es 0.53 s-1.

-+ C(s)

1.06( )( 1)( 2)s s s+ +

ysp


Se pretende incrementar KV hasta 5 s-1 sin modificar notablemente la localización de polos

dominantes (respuesta transitoria). Para incrementar la constante KV 10 veces se elige un valor de β = 10

y se sitúa el polo y el cero cerca del origen, por ejemplo el cero en -0.05 y el polo por lo tanto en -0.005.

El compensador tiene la forma: ( )0.050.005At

CC

K sG

s+

=+

. La contribución de ángulo de esta red de atraso

cerca de un polo dominante en lazo cerrado es aproximadamente:

0.3307 0.5864

0.05 3.47º0.005 s j

sArgs =− +

+⎛ ⎞ = −⎜ ⎟+⎝ ⎠. La función de

transferencia en lazo abierto nueva es:

( )0.05 1.060.005 ( 1)( 2)

COL

K sG

s s s s+

=+ + +

, el lugar de las

raíces se representa en la figura.

Como ξ no cambia se puede leer directamente de la

gráfica los nuevos polos de lazo cerrado en -0.31+ 0.55j.

Obsérvese cerca del origen cómo se ha creado una rama

circular que termina también cerca y que por tanto no afectan a la dinámica del sistema. La ganancia por

sustitución directa resulta ser 0.9656 y la nueva constante KV = lim[sGOL(0)] = 5.12 s-1. La frecuencia

natural no amortiguada del sistema compensado es 0.631 rad/s, un 6% menor que en el sistema sin

compensar, lo que hace al sistema compensado ligeramente más lento. En la figura se muestra la mejora

del sistema compensado ante entradas en rampa.

Ejemplo (Febrero 2008). Diseñar un controlador de atraso con error de posición inferior al 4% y

sobrepaso máximo menor de 5%. G(s) = 3(s+2.6)/[(s+1)(s+2.5)(s+7)]


*Compensación de retardo – adelanto.

La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del

sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la

velocidad de la respuesta.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe usarse

en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso. Sin embargo, en lugar de

introducir un compensador de adelanto y un compensador de atraso, ambos como elementos separados, es

más económico sólo usar un compensador de atraso-adelanto. La compensación de atraso-adelanto

combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atraso-

adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que

ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado. El compensador tiene la forma:

GC = 1 2

1 2

1 1

; 1; 11C

s sT TK

s sT T

χ βχβ

+ +> >

+ +, supóngase que la ganancia corresponde a la parte de

adelanto del compensador. Se consideran dos casos:

χ≠β. El procedimiento de diseño consiste en: a) determinar la localización de polos en lazo

cerrado, b) utilizar la función de lazo abierto sin compensar para determinar la deficiencia de ángulo. La

parte de adelanto de fase debe contribuir con esta deficiencia. χ y T1 se hallan a partir de la deficiencia de

ángulo, KC se halla mediante la condición de magnitud c) se selecciona T2 suficientemente grande para

que la magnitud de la parte de retardo se acerque a la unidad. Así si se predetermina una constante de

error de velocidad se escoge un valor de β adecuado. Esta constante KV

es: 1 2

0 0 0

1 2

1 1

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )1V C C Cs s s

s sT TK sG s G s sK G s sK G s

s sT T

βγ γ

β→ → →

+ += = =

+ +

El valor de T2 se selecciona para cumplir que el módulo de la parte de atraso del compensador sea

aproximadamente la unidad para los polos deseados en lazo cerrado y el argumento se sitúe en el rango 0-

5º.

Ejemplo. Se tiene el sistema dado por el diagrama de bloques inferior. Los polos de lazo cerrado

son -0.25 + 1.9843j. El factor de

amortiguamiento relativo es 0.125, ωn = 2 rad/s

y KV = 8 s-1.

Se desean los siguientes valores: ξ = 0.5,

- +

C(s)

4( )( 0.5)s s +

ysp


ωn = 5 rad/s y KV = 80 s-1.

Los nuevos polos de lazo cerrado se deben situar en -2.5 + 4.33j. El ángulo de fase en esos polos es:

2.5 4.33

4 235º( 0.5) s js s =− +

∠ = −+

. La parte de adelanto del compensador debe contribuir con 55º.

Una de las posibilidades es elegir el cero en -0.5 para cancelar el polo de G(s). El polo se debe

situar en -5.021. Este dato se calcula de forma similar a como se realizó en el diseño de la red de adelanto

sola. Así pues: T1 = 2 y χ = 10.04. El valor de ganancia se determina a partir de la condición de magnitud.

0.5 4 15.021 ( 0.5)C

sKs s s

+=

+ +; siendo KC = 6.25.

La parte de retardo de fase se diseña del modo siguiente. Primero se determina el valor de β que

satisface el requisito de KV. 0 0 0

480 lim ( ) ( ) lim ( ) lim (6.26)10.04 ( 0.5)V C Cs s s

K sG s G s sK G s ss s

β βχ→ → →

= = = =+

;

despejando β = 16.04. El valor de T2 se elige de manera que la contribución de ángulo sea muy pequeña y

el módulo de la red de atraso sea próximo a la unidad.

2 2

2 22.5 4.33

1 1

1; 5º 0º1 116.04 16.04

s j

s sT TArg

s sT T

=− +

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥≈ − < <⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

. Un valor de T2 = 2 (o mayor) cumple

con ambos criterios. Se elige T2 = 5, la función de transferencia del compensador queda finalmente: GC(s)

= 10(2 1)(5 1)(0.1992 1)(80.19 1)

s ss s

+ ++ +

.

Si χ=β

a) En primer lugar se determina la localización de los polos en lazo cerrado. El compensador tiene

como función de transferencia: 1 2

1 2

1 1

; 11C

s sT TK

s sT T

βββ

+ +>

+ + b) ahora la constante de error de velocidad

estática es KV = 0 0

lim ( ) ( ) lim ( )C Cs ssG s G s sK G s

→ →= , c) se calcula la contribución de fase d) T1 y β se

determinan a partir de la condición de magnitud y ángulo e) se selecciona T2 lo suficientemente grande

para que el módulo de la parte de atraso de fase sea próximo a la unidad para los polos en lazo cerrado

deseados. Así mismo su contribución de ángulo debe ser pequeña en el rango -5º - 0º.

Ejemplo. Se considera el mismo sistema que en el ejemplo anterior con las mismas

especificaciones.


Los nuevos polos de lazo cerrado se deben situar en -2.5 + 4.33j. El valor de KC que satisface el

requisito de KV. 0 0

480 lim ( ) ( ) lim0.5V C Cs s

K sG s G s K→ →

= = = ; KC =10. T1 y β se determinan a partir de la

condición de ángulo y magnitud. 1

2.5 4.33

1

140 1

( 0.5) s j

sT

s ssTβ

=− +

+=

++; 1

1 2.5 4.33

1

55º

s j

sTArg

sTβ

=− +

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

Los valores que se obtienen son T1 = 0.42 y β= 3.503. (resolución de triángulo escaleno, ver Ogata

página 448).

Para la parte de atraso de fase se selecciona T2 = 10 y el compensador se transforma en:

2.38 0.1108.34 0.0285

s ss s

+ ++ +

. En la figura se muestra la mejora de entrada en rampa y escalón

conseguida mediante el compensador.

8.4.2. Método basado en la respuesta frecuencial.

*Compensación de adelanto. El compensador de adelanto tiene un cero en s =-1/T y un polo en s =-1/αT.

El cero siempre se ubica a la derecha del polo en el plano complejo. Obsérvese que, para un valor

pequeño de α, el polo se localiza lejos hacia la izquierda. El valor mínimo de α está limitado por la

construcción física del compensador de adelanto. Por lo general, el valor mínimo de α se ubica cerca de

0.05. (Esto significa que el adelanto de fase máximo que produce

el compensador es de alrededor de 65º)


La figura muestra la traza polar del compensador 11C

j TKj T

ωαωα

++

con ganancia unidad. Para un valor determinado de α, el ángulo entre el eje real positivo y la línea

tangente al semicírculo dibujada desde el origen proporciona el ángulo de adelanto de fase máximo φm. Se

llamará ωm a la frecuencia en el punto tangente y φm se calculará mediante:

112( ) 1 1

2

mseno

ααφ α α

−−

= =+ +

. La

figura muestra el diagrama de Bode de un compensador de adelanto con ganancia unidad y α = 0.1. ωm

es la media geométrica de las dos frecuencias de esquina:

( ) 1 1 1 1log log log ;2m mT T T

ω ωα α

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Las técnicas de compensación en adelanto mediante el diagrama

de Bode se resumen a continuación.

Para el compensador con función de transferencia 11C

TsKTs

αα

++

se define la constante K = CK α .

Así pues la GOL = 11 1( ) ( )1 1

Ts TsK G s G sTs Tsα α

+ +=

+ +

a) Se halla K para cumplir con los requisitos de error pre-establecidos b) se determina el ángulo de fase

necesario para añadir al sistema con un incremento adicional de 5-12º ya que el compensador de adelanto

desplaza la frecuencia de cruce a la derecha disminuyendo el margen de fase c) se halla α a partir de la

ecuación de ángulo máximo. d) se determina la frecuencia a la cual el sistema no compensado G1(s) se

iguala a -20log 1α

. Esta frecuencia es la nueva frecuencia de cruce de ganancia y corresponde a ωm =

1T α

, es decir, 1

1 11

T

TsTs ω

αα α=

+=

+. El cero del compensador está en 1/T y el polo en 1/Tα. e) con el

valor de K y α se calcula KC. f) finalmente se verifica el margen de ganancia.

Ejemplo. Se tiene el sistema de segundo orden con ganancia 4 y polos en lazo abierto 0 y -2. Se

quiere diseñar un compensador tal que KV sea de 20 s-1, el margen de fase sea de 50º como mínimo y el

margen de ganancia de al menos 10 dB.

El sistema tiene la función de lazo abierto dada por GC(s)G(s).


Se define G1(s) = 4( 2)

Ks s +

donde K = KCα. El primer paso es el ajuste de K que proporciona la

constante de error de velocidad requerida:

10 0 0

1 420 lim ( ) ( ) lim ( ) lim 21 ( 2)Cs s s

Ts KsG s G s s G s s KTs s sα→ → →

+= = = =

+ +. Con K = 10 se representa el

diagrama de Bode de G1(s). Los márgenes de

fase y ganancia del sistema son 18º e infinito

respectivamente. El margen de fase es pequeño,

lo cual implica que el sistema es bastante

oscilatorio. El compensador debe contribuir con

50-18 = 32º para satisfacer los requisitos del

problema. Se añaden 6º más para tener en cuenta

el desplazamiento de la frecuencia de cruce de

ganancia, con lo que el compensador debe contribuir con 38º de adelanto de fase:

1(38º ) ; 0.241

seno α αα

−= =

+

Las frecuencias de esquina en 1/T y 1/αT se obtienen teniendo en cuenta que el ángulo máximo de

adelanto de fase ocurre en ωm = 1T α

. Debido al compensador, la curva de magnitud se modifica en esa

frecuencia:

1/

1 1 1 6.21 0.24T

j T dBj T ω α

ωωα α=

+= = =

+. Como 1( ) 6.2G j dBω = − corresponde a frecuencia 9

rad/s, se selecciona esta frecuencia como la nueva frecuencia

de cruce de ganancia. Igualando términos se obtiene

finalmente: 19T α

= , 1/T = 4.41 y 1/αT=18.4. El

compensador es: 0.227 1; 41.70.054 1AdC C C

s KG K Ks

αα

+= = =

+. En

la figura se muestra el diagrama de Bode de los sistemas

compensado y sin compensar:

Las líneas continuas de la figura representan la curva

de magnitud y la curva del ángulo de fase para el sistema

compensado. El compensador de adelanto provoca que la

frecuencia de cruce de ganancia se incremente de 6.3 a 9


rad/seg. El incremento de esta frecuencia significa un aumento en el ancho de banda. Esto implica, a su

vez, un incremento en la velocidad de respuesta.

Se observa que los márgenes de fase y de ganancia son de cerca de 50º y +∞ dB, respectivamente.

Por tanto, el sistema compensado de la figura cumple los requerimientos en estado estable y de

estabilidad relativa.

Para los sistemas de tipo 1, como el sistema recién considerado, el valor de la constante de error estático

de velocidad KV es simplemente el valor de la frecuencia en la intersección de la extensión de la línea de

pendiente inicial -20 dB/década con la línea 0 dB.

Ejemplo Diseñar un controlador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia que proporcione

un error ante entrada rampa del 5% como máximo y un margen de fase de 45 º. (Utilizar un colchón de 3º

para el margen de fase a la hora de realizar el diseño).

Ejemplo: Dado el sistema de orden dos:

a-Diseñar un controlador de adelanto mediante la respuesta en frecuencia que proporcione un error

ante entrada rampa del 1% como máximo y un margen de fase de 45 º. (Utilizar un colchón de 8º para el

margen de fase a la hora de realizar el diseño).

*Compensación de retardo. Los diagramas de respuesta en frecuencia para un compensador de

retardo con β = 10 y KC = 1 se muestran a continuación:

1( )( 2)

Gs s

=+

2500( )( )( 25)

G ss s

=+


El diseño de compensadores de retardo se ejecuta teniendo en cuenta su función de transferencia

como sigue 11AtC C

TsG KTs

ββ

+=

+. Se define K=KCβ. La función de transferencia del sistema compensado

en lazo abierto será: 11 1( ) ( )1 1OL

Ts TsG K G s G sTs Tsβ β

+ += =

+ +. a) se determina la ganancia K para que se

cumplan los requisitos de error estático de velocidad b) si una vez elegida K no se cumplen los márgenes

de fase y ganancia se busca la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo

abierto sea igual a – 180º más el margen de fase requerido. Éste es el margen de fase especificado entre 5

y 12º. (La adición de entre 5º y 12º compensa el atraso de fase del compensador de atraso.). Se selecciona

ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. c) para evitar los efectos nocivos del atraso de fase

producido por el compensador de atraso, el polo y el cero del compensador de atraso deben ubicarse

mucho más abajo que la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, se elige la frecuencia de

esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) entre una octava y una década por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. (Si las constantes de tiempo del compensador de

atraso no se vuelven demasiado grandes, se selecciona la frecuencia de esquina ω = 1/T una década por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.). d) se determina la atenuación necesaria para

disminuir la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Considerando que

esta atenuación es de -20 log β, determínese el valor de β. Luego se obtiene la otra frecuencia de esquina

(que corresponde al polo del compensador de atraso) a partir de ω = 1/βT. e) usando el valor de K

determinado en el paso primero y el de β obtenido en el paso último, se calcula la constante KC a partir de

K/β=KC.

Ejemplo. Sea el sistema de orden tres con polos

en 0, -1 y -2 (ganancia unidad). Se pretende compensar

el sistema para que KV = 5 s-1, el margen de fase sea de

40º y el de ganancia de 10 dB.

Siguiendo las pautas anteriores se tiene que

G1(s) = ( 1)(0.5 1)

Ks s s+ +

. Mediante la restricción de

error de velocidad:

1 10 0 0

15 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )1Cs s s

TssG s G s s G s sG s KTsβ→ → →

+= = = =

+El diagrama de Bode de G1(s) es el de la figura:

El margen de fase es -13º, es decir el sistema no

compensado y ajustado en ganancia es inestable.


Considerando que la adición de un compensador de atraso modifica la curva de fase de las trazas

de Bode, se debe permitir entre 5 y 12º a fin de que el margen de fase especificado compense la

modificación de la curva de fase. Dado que la frecuencia correspondiente a un margen de fase de 40º es

de 0.63 rad/seg, la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse

cercana a este valor.

Con el fin de evitar las constantes de tiempo muy grandes para el compensador de atraso, debemos

elegir la frecuencia de esquina ω = 1/T (que corresponde al cero del compensador de atraso) como 0.1

rad/seg (normalmente se pone a una década como mínimo de la nueva frecuencia de cruce). Dado que

esta frecuencia de esquina no está muy abajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia, la

modificación de la curva de fase tal vez no sea pequeña. Por tanto, agregamos cerca de 12º al margen de

fase proporcionado, como una tolerancia para considerar el ángulo de atraso introducido mediante el

compensador de atraso. El margen de fase requerido es ahora de 52º. El ángulo de fase de la función de

transferencia en lazo abierto no compensada es de – 128º en la cercanía de ω = 0.46 rad/seg. Por tanto, se

toma la nueva frecuencia de cruce de ganancia como de 0.46 rad/seg. Para bajar la curva de magnitud

hasta 0 dB en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador de atraso debe proporcionar la

atenuación necesaria que, en este caso, es de aproximadamente -20 dB (en la gráfica se ve que es algo

menos). Por tanto, se cumple que: 20log1/β=-20; β=10. La otra frecuencia de esquina se determina como

1/Tβ=0.01 rad/s. La función de transferencia del compensador es: 10 110 ; 0.5100 1AtC C C

s KG K Ks β+

= = =+

.

La GOL de lazo abierto tras compensar el sistema queda finalmente como:

5(10 1)(100 1)( 1)(0.5 1)OL

sGs s s s

+=

+ + +.

Ejemplo: Diseñar un compensador de atraso a través de la respuesta frecuencial para el sistema

2

5( 1) ( 5)s s+ +

de tal manera que el margen de ganancia sea de 20dB y el error de posición inferior al

10%.

*Compensación de retardo-adelanto.

Este tipo de compensadores tiene como función de transferencia: GC = 1 2

1 2

1 1

1C

s sT TK

s sT Tχ

β

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

El diagrama de Nyquist de este tipo de compensadores es el que aparece en la figura


Al diseñar un regulador atraso-adelanto es común (aunque no

obligatorio) seleccionar χ=β. En este caso, si la ganancia es

unidad el diagrama de Bode se muestra a continuación con

χ=β= 10 y T2 = 10T1.

La frecuencia a la cual el ángulo de fase es cero se determina:

11 2

1TT

ω = .

El diseño de compensadores atraso-adelanto es una

mezcla de procedimientos de compensación individual.

Véase un ejemplo:

Ejemplo. Sea el sistema con función de transferencia:

G(s) = ( 1)( 2)

Ks s s+ +

. Se desea que KV tenga un valor

de 10s-1, el margen de fase de 50º y el margen de

ganancia de 10

dB. El requisito de KV impone la ganancia del proceso que es

ajustable (se toma por tanto KC=1). 0

lim ( ) ( ) 102Cs

KsG s G s→

= = . El

diagrama de Bode del sistema sin compensar pero ajustado en

ganancia es:

El margen de fase es de -28º (sistema inestable). Se selecciona la

nueva frecuencia de cruce de ganancia que se sitúa en 1.4 rad/s

para un desfase de 180º.

La frecuencia esquina del cero de la parte de retraso ω=1/T2 se

sitúa una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de

ganancia en ω=0.15 rad/s. El adelanto de fase se expresa como:

111( ) 1 11

mseno ββφβ

β

−−

= =++

. Si β = 10 el ángulo es 54.9º, con lo que una buena elección es β = 10. La otra

frecuencia esquina ω=1/βT2 correspondiente al polo de la parte de atraso será ω=0.015 rad/s.

La parte de adelanto de fase se determina computando el valor de módulo del sistema sin compensar y

ajustado en ganancia para la nueva frecuencia de cruce de ganancia. En este caso G(1.4j)= 10.5 dB. Los

cortes con las líneas de 0 dB y -20 dB de la recta de pendiente 20 dB/década que pasa por el punto 1.4,-


10.5 determinan las frecuencias esquina de la parte de adelanto. Estas frecuencias esquina son 0.45 y 4.5

rad/s.

El compensador final es: GC = ( 0.45)( 0.15)( 4.5)( 0.015)s ss s

+ ++ +

.

Ejemplo: Diseñar un compensador de atraso-adelanto para que el sistema G(s) tenga un error de posición

inferior al 5% y margen de fase superior a 60º. 2

2( )2 2

G ss s

=+ +

Control regulatorio avanzado de procesos con grandes tiempos muertos y/o respuesta inversa.- 128

TEMA 9. CONTROL REGULATORIO AVANZADO DE PROCESOS CON GRANDES

TIEMPOS MUERTOS Y/O RESPUESTA INVERSA.

Los procesos con tiempos muertos elevados en relación a la constante de tiempo son difíciles de

controlar ya que presentan un gran retardo de fase incluso a bajas frecuencias, lo que obliga a desajustar

los reguladores (ganacia baja y tiempo integral elevado) con el fin de preservar la estabilidad.

Los tiempos muertos suelen estar asociados a:

1. El proceso incluye transporte de fluidos sobre distancias largas o períodos de incubación

extensos.

2. Los sistemas sensores-transmisores requieren largos períodos de tiempo para realizar el análisis

correspondiente.

3. El elemento final de control responde de manera lenta a los estímulos.

En los casos anteriores un controlador convencional resultaría insatisfactorio por:

1. Las perturbaciones se detectan tras largos períodos de tiempo.

2. La acción de control se realiza sobre un effecto tm unidades de tiempo anteriores, en el

momento presente la situación puede ser bien distinta.

3. La acción de control tardará cierto tiempo en hacerse notar.

4. Todo lo anterior resulta en sistemas inestables.

Considérese el sistema:

1s5.0eK

Gst

cOL

d

+=

−

l. Si td = 0.01 min la frecuencia crítica es 158 rad/min y la ganancia última = 79.

2. Si td = 0.1 la frecuencia crítica es = 17 rad/min y la ganancia última = 8.56. El tiempo muerto

introduce un gran desfase que desemboca en una reducción de la frecuencia crítica y el margen de

ganancia.

3. Si se aumenta de nuevo el tiempo muerto, (i.e., td = 1.0) la frecuencia crítica es = 2.3 rad/min y

la ganancia última = 1.52.

Si el cociente entre el tiempo muerto y la constante de tiempo del sistema es superior a dos, se

recomienda el uso de algoritmos específicos de control. Estos algoritmos deben tener un carácter

anticipativo o predictivo para contrarrestar el retardo puro. Además, son muy sensibles a errores en el

modelado, especialmente a los errores en la estimación del tiempo muerto.


La función de transferencia de un proceso con tiempo muerto se puede escribir como:

( ) ( ) mt sPG s G s e−=

En esta expresión e-tms es la función de transferencia de un retardo puro tm y G(s) es un cociente de

polinomios en s que representa la función de transferencia del proceso excluido el tiempo muerto.

Considérese un lazo simple de realimentación y un controlador de función de transferencia Gc(s)

Un cambio en escalón en la referencia tiene un efecto inmediato sobre el error y a través del

controlador sobre la variable manipulada. Sin embargo, no habrá efecto alguno sobre la salida hasta

transcurrido un tiempo igual al tiempo muerto del sistema. Por tanto, lo que se pretende mejorar es la

respuesta a partir de t = tm. Esta segunda parte de la respuesta es muy lenta cuando se emplea un lazo

simple con un controlador PI o PID. Así, para un proceso con ganancia estática 10, constante de tiempo 1

y controlador proporcional de ganancia unidad, la figura muestra la respuesta en frecuencia de GCGP.

Cuando el tiempo muerto es cero, el margen

de ganancia es infinito y el de fase superior a

90º. Cuando el tiempo muerto aumenta el

margen de fase disminuye llegando a ser

negativo para valores altos de aquel. Por

tanto se deduce que para altos tm se deberá

sintonizar el controlador con una ganancia

baja y con tiempo integral elevado para el

caso de un controlador PI.

9.1. El predictor de Smith.

La idea fundamental de este predictor es sacar el tiempo muerto fuera del lazo utilizando la señal

y(t + tm) para la realimentación.

-

+ ( ) mt sG s e− CG

-

+ ( )G s CG mt se−


La función de transferencia entre la variable controlada y la referencia es la siguiente:

( ) ( )( )1 ( ) ( )

mt sCref

C

G s G sG s eG s G s

−=+

Desgraciadamente no siempre es posible sacar el tiempo muerto mediante una simple

relocalización del sensor de la variable controlada. A veces el tiempo muerto está asociado al propio

sensor de medida (cromatógrafos) o se debe a un proceso de parámetros distribuios (reactor tubular), en

este caso la señal y(t+tm) no se puede medir directamente del proceso y es necesario estimarla haciendo

una predicción del valor que tomará la variable de salida en tm unidades de tiempo. Para realizar esta

predicción se utiliza Gm(s) que es la función de transferencia del modelo sin tiempo muerto.

La idea es tener una señal en lazo abierto que no conllevara información retardada. Es decir que la

señal realimentada en lazo abierto fuera:

c SPy *(s) G (s)G(s)y (s)=

Esto es posible conseguirlo añadiendo en la respuesta en lazo abierto:

d c SPy´(s) (1 exp( t s))G (s)G(s)y (s)= − −

con lo cual: y´(s) y(s) y *(s)+ =

De forma gráfica:

1. En el diagrama de bloques anterior no es correcto pensar que se mide la señal inmediantamente

después de G(s), la figura es solo una represenaticón del efecto del predictor de Smith, no de lo que

sucede en realidad

2. Como es obvio, para aplicar el predictor se necesita un modelo de proceso

-

+ ( )G s CG mt se−

CG ( )G s mt se−

(1 ) ( )mt se G s−−

y(s) ysp(s)


3. Los modelos de proceso no son exactos y solo se tienen una idea aproximada de G(s) y el

tiempo muerto. Considerando G(s) y td, los valores verdaderos de proceso y G'(s) y t´d los valores de

modelo, el predictor de Smith tomaría la forma:

[ ]c d d c SPy´(s) y(s) y *(s) G (s)G(s)exp( t s) (1 exp( t´ s)G (s)G´(s)) y (s)+ = = − + − −

con lo cual: [ ]c d d SPy *(s) G (s) G´(s) G(s)exp( t s) G´(s)exp( t´ s)(s) y (s)= + − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

Así pues:

(a) Solo modelos perfectos darán lugar a compensación perfecta (i.e., G = G' y td = t´d.

(b) Cuanto mayor es el error de modelado menos efectiva es la compensación.

(c) El error al estimar el tiempo muerto es más perjudicial en la compensación que el error en el

resto de parámetros del modelo.

Ejemplo:Se supone el sistema con control proporcional y función de transferencia:

( )0.5 1

seG ss

−

=+

, la frecuencia crítica es 2.3 rad/min y la ganancia última 1.52. El mínimo offset en el

límite de la inestabilidad es 40%. Si se introduce compensación de tiempo muerto la función de

transferencia de lazo abierto es ( )0.5 1

COL

KG ss

=+

que no tiene frecuencia crítica.

No obstante lo anterior, es común no conocer de forma exacta el modelo de proceso.

Supóngase que el tiempo muerto del modelo asumido es 0.8 mientras que el “real” es de 1. Al aplicar la

compensación de tiempo muerto permanecen 0.2 unidades sin compensar que dan lugar a la existencia de

una frecuencia crítica de 9 rad/min y una ganancia última de 4.6.

9.2. Control de procesos con respuesta inversa.

Estos son procesos de fase no mínima con un cero real positivo. Considérese un proceso

compuesto por dos sistemas de primer orden en paralelo: G(s) = G1(s) + G2(s)

CG ( )G s mt se−

´

(1 ) ´( )mt se G s−−

y(s) ysp(s)


Con las funciones de transferencia: 1 21 2

1 2

( ) , ( )1 1

K KG s G ss sτ τ

−= =

+ +

La función de transferencia completa del sistema es:

( ) ( )( )( )

1 2 2 1 1 21 2

1 2 1 2

( )1 1 1 1

K K s K KK KG ss s s s

τ ττ τ τ τ

− + −= − =

+ + + +

El cero de esta función es: ( )1 2

1 2 2 1

K Kcero

K Kτ τ−

= −−

Para que el proceso sea de fase no mínima y exhiba respuesta inversa el cero debe ser positivo es

decir el numerador y denominador de c deben tener signo opuesto. En resumen, el efecto más intenso

(mayor ganancia estática) debe ser el más lento (mayor constante de tiempo). La figura muestra la

respuesta a un escalon de un proceso con respuesta inversa y función de transferencia:

El cero es 0.35. Escribiendo ahora la función de transferencia de la forma:

( )( )( )

( )( )( )

1 2 2 1 1 21 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( )1 1 1 1

K K K K sG s G s G s

s s s sτ τ

τ τ τ τ− −

= + = −+ + + +

El primer sumando es un sistema de segundo orden sobreamortiguado y el segundo otro sistema

del mismo orden pero con ganacia negativa y un derivador de primer orden. Este último es el que produce

el efecto de respuesta inversa que debido al derivador será tanto mayor cuanto mayores sean los

componentes de alta frecuencia de la señal de entrada.

La respuesta inversa es el resultado de dos efectos contrapuestos. Véanse algunos ejemplos:

-Integrador menos retraso de primer orden.

( )( )

( )2 1 1 22 1

1 1

22 1 1

2 1 1

( )1 1

;

K K s KK KG ss s s s

KK K ceroK K

ττ τ

ττ

− += − =

+ +

< = −−

G1(s)

G2(s)

G(s)

1 0.3G(s)10s 1 s 1

= −+ +


-Diferencia de retrasos de primer orden:

( ) ( )( )( )

( )

1 2 2 1 1 21 2

1 2 1 2

1 21 1

2 2 1 2 2 1

( )1 1 1 1

1

K K s K KK KG ss s s s

K KK ceroK K K

τ ττ τ τ τ

ττ τ τ

− + −⎧= − =⎪ + + + +⎪

⎨−⎪ > > = −⎪ −⎩

-Diferencia de retrasos de primer orden con tiempo muerto:

( ) ( )( )( )

1 21 2 2 1 1 21 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( )1 1 1 1

t s t s K K s K KK e K eG ss s s s

K K y t t

τ ττ τ τ τ

− − − + −⎧= − =⎪ + + + +⎨

⎪ > >⎩

-Diferencia de sistema de segundo y primer orden:1 2

2 22

1 2

( )2 1 1K KG s

s s sK K

τ δτ τ⎧ = −⎪ + + +⎨⎪ >⎩

- Diferencia de sistemas de segundo orden:

1 22 2 2 21 1 2 2

21 122 2

( )2 1 2 1

1

K KG ss s s s

KK

τ δτ τ δτ

ττ

⎧ = −⎪ + + + +⎪⎨⎪ > >⎪⎩

- Diferencia de sistemas de segundo orden con tiempo muerto:

1 21 2

2 2 2 21 1 2 2

1 2 1 2

( )2 1 2 1

0

t s t sK e K eG ss s s s

K K y t tτ δτ τ δτ

− −⎧= −⎪ + + + +⎨

⎪ > > ≥⎩

Se estudiará el control de procesos con respuesta inversa utilizando la compensación de respuesta

inversa. No obstante, hay que decir que los controladores PID sintonizados por Z-N dan buen resultado de

respuesta para este tipo de sistemas. El procedimiento es similar al predictor de Smith. Se trata de extraer

el cero del lazo de realimentación.


Para ello se realimenta la señal en lazo abierto que no contiene el cero positivo multiplicada por

un factor λs. El resultado de forma gráfica se muestra a continuación.

GCGo(1-ηs)

Goλs

De forma general, la función de transferencia de un sistema con respuesta inversa es:

g(s)=gº(s)(1-ηs). La compensación de respuesta inversa se trata en introducir un bucle interno con

función de transferencia g´(s)=gº(s)λs. El objetivo es elegir λ de tal manera que la señal llegue al

controlador sea “normal”, es decir sin comportamiento inverso, normalmente λ=2η.

GC Go(1-ηs)

Go(λs)

ysp


Véase un ejemplo de un proceso constituido por un sistema con polos en -0.5 y -0.2 y cero en 1/3.

En este caso 1 3 1 1 3 (1 3 )(2 1)(5 1) (2 1)(5 1) 1

os s G ss s s s

− −= = −

+ + + +

Si se hace λ=2η=6

KC Go(1-3s)

1(2 1)(5 1)s s+ +

(λs)

ysp

(1+λs-ηs)

ysp

(1-ηs) GC Go

(λs)

ysp

(1-ηs)

(1-ηs) GC Go

GC

Go(λs)

ysp

(1-ηs)

(1-ηs) Go


Al analizar la estabilidad del sistema sin compensar y compensado se obtiene:

Sin compensación la ecuación característica es 1 + (1 3 )(2 1)(5 1)

CK ss s

−+ +

=0; 10s2+(7-3KC)s+(1+KC) = 0

Que implica que KC < 7/3 para que el sistema sea estable. Sin embargo, el sistema compensado

ofrece la ecuación característica: 1+ (1 3 )(2 1)(5 1)

CK ss s

++ +

= 0; 10s2+(7+3KC)s+(1+KC)= 0 que hace que el

sistema sea estable para cualquier valor de ganancia del controlador.

(1+3s)

ysp

(1-3s) (2 1)(5 1)CK

s s+ +

KC Go(1-3s)

1(2 1)(5 1)s s+ +

(6s)

ysp

Control de procesos en tiempo discreto.- 137

TEMA 10. CONTROL DE PROCESOS EN TIEMPO DISCRETO

10.1. Elementos de un sistema digital de control.

La figura muestra todo el hardware necesario en un lazo con controlador analógico. Al reemplazar

el controlador analógico por uno digital, este último ejecutará las órdenes a través de un programa que

reside en la memoria del ordenador. El controlador digital requiere la toma de datos de la señal medida a

intervalos discretos de tiempo, así mismo emite órdenes de actuación a intervalos discretos de tiempo.

Este hecho es la principal diferencia y de donde surgen los problemas de incompatibilidad entre procesos

continuos y control digital. Se hace necesario el uso de interfaces discreto/continuo y viceversa.

10.1.1. Samplers.

Las medidas derivadas del proceso (flujos, presiones, temperaturas, etc.) son suministradas de

forma continua por los sensores y transductores. Sin embargo, dado que los ordenadores manejan datos en

tiempo discreto debido a: el ordenador necesita un tiempo para leer la información que le llega, calcular el

error y procesar una orden de control. Si durante este tiempo, la salida cambia, este cambio no es

reconocido por el ordenador. Por tanto, el controlador digital “lee” en intervalos discretos de tiempo

dados por el sampler. El sampler es un simple dispositivo que se abre y se cierra en el período de

muestreo. En otras palabras, el sampler convierte la señal continua que le llega en una serie de valores

discretos a tiempo T, 2T, 3T, etc.

10.1.2. Holder.

Los elementos finales de control (esencialmente válvulas) actúan con señales continuas, sin

embargo la señal que sale del controlador digital está discretizada. El dispositivo que convierte la señal

discreta en continua se llama holder.

Conversorelectroneumático

Elementofinal control

ProcesoControl

Transductor Sensor


10.1.3. Conversor A/D

La señal proveniente del sampler esta discretizada pero es una señal analógica (normalmente

eléctrica). Este tipo de señal no es reconocida por un ordenador el cual procesa señales digitales

codificadas en bits. Esta transformación es realizada por un conversor AD.

10.1.4. Conversor D/A.

De forma similar al caso anterior, los holders trabajan con señales analógicas que son producidas

por los conversores D/A a partir de la señal digitalizada enviada por el controlador.

La figura muestra los cambios necesarios para pasar de control analógico a digital.

10.2. Muestreo de señales continuas.

Tal como se indicaba anteriormente, el sampler procesa datos simplemente a intervalos discretos

de tiempo, así, en la figura se muestra el efecto producido por un sampler con T = 1, 3 y 5 al que entra

una señal contínua. Tal como se observa, la señal de salida solo presenta valores en los múltiplos

naturales del período de muestreo. Cuando T tiende a cero se obtiene una señal más parecida a la señal

continua, mientras que para valores altos de T el número de datos se hace más pequeño y por tanto la

reconstrucción de la señal original es más defectuosa.

El sampler (muestreador) es un dispositivo físico que permanece cerrado por un tiempo finito de

tiempo Δt alrededor del instante de muestreo. En este instante la salida del sampler coincide con la señal

ProcesoElementofinal control

Conversorelectroneumático

HolderD/A

A/D Transductor Sensor

Set point

Perturbación

sampler


continua que le llega tomando una forma

aproximada a una campana de gauss o de forma

más ideal al pulso de duración Δt.

Suponiendo la idealidad de Δt 0 se

puede desarrollar una descripción matemática

del sampler.

El impulso obtenido en los períodos de

muestreo vendrá dado por:

y*(nT) = y(nT)δ(t-nT) [10.1]

donde δ(t-nT) es la función delta de Dirac.

Desarrollando la ecuación anterior para cualquier tiempo se obtiene:

y*(t) = y*(0) + y*(T) + y*(2T) + y*(3T) +……= y(0) δ(t) + y(T) δ(t-T) + y(2T) δ(t-2T) + ……

o lo que es lo mismo: n=0

y*(t) = y(nT) (t-nT)δ∞

∑ [10.2]

Tomando la transformada de Laplace: [ ] [ ]-nTs

n=0 n=0y*(s) = y(nT)L (t-nT) y(nT)e L (t)δ δ

∞ ∞

=∑ ∑

Que finalmente resulta en: -nTs

n=0y*(s) = y(nT)e

∞

∑

10.3. Reconstrucción de señales continuas a partir de valores en tiempo discreto.

Tal como se apuntaba anteriormente, los elementos finales de control necesitan de señales

continuas para obtener un uso adecuado de los mismos. Dado que la señal de salida de un controlador

digital está discretizada, la misión de los holders es la reconstrucción de la señal de salida del ordenador

(una vez se ha transformado en analógica).

Considérese una señal procedente del controlador cada T segundos, de forma matemática:

m*(t) = m(0) δ(t), m*(T) = m(T)δ(t-T), m*(2T) = m(2T)δ(t-2T).....

La forma más sencilla de reconstruir la señal discretizada es mantener el valor de la señal en el

tiempo nT hasta recibir la nueva información en (n+1)T, en este momento la señal tomará el nuevo valor

y así sucesivamente. La señal continua resultante m(t) es:

m(t) = m(nT) for nT < t < (n + 1) T and n = 0, 1, 2,... [10.3]

particularizando: 0 ( ) (0)

2 ( ) ( )2 3 ( ) (2 ).....

t T m t mT t T m t m T

T t T m t m T

≤ ≤ =⎧⎪ ≤ ≤ =⎨⎪ ≤ ≤ =⎩

-1

-0. 5

0

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-1

-0. 5

0

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-1

-0. 5

0

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-1

-0. 5

0

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30 40 50

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30 40 50

-1

-0. 5

0

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

0 10 20 30 40 50


La figura escalonada se muestra en la figura. Este tipo de reconstrucción se conoce como zero-

order hold, aunque no es la única manera de reconstruir señales sí es la más utilizada.

Así, si se consideran dos valores discretos consecutivos tal

como m [(n - 1) T] y m (n T) se puede asumir para el siguiente

período entre valores discretizados nT < t < (n + 1) T, que la señal

continua se puede reconstruir por extrapolación lineal de los valores

previos:

m(t) = m(nT) + 1/T*[m(nT)-m[(n-1)T]]*{t-nT}

Esta ecuación corresponde al holder de primer orden, el cual

necesita al menos dos valores iniciales para realizar la

reconstrucción.

Es posible desarrollar holders de mayor orden con,

obviamente un mayor número de valores discretos iniciales. A

medida que el orden se incrementa la labor computacional se

dificulta con mejoras marginales únicamente. En la práctica es

mejor utilizar un holder de bajo orden (normalmente cero) y

disminuir en la medida de lo posible el período de muestreo.

La base matemática para la construcción del holder,

independientemente del orden es: Considérese la señal continua m(t)

construida a partir de valores discretos m(T), m(2 T), m(3 T), ... el desarrollo en series de Taylor de m(t)

alrededor de un valor muestreado m(nT) viene dado por: 2

22

1( ) ( ) ( ) ( ) ...2t nT t nT

dm d mm t m nT t nT t nTdt dt= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Manteniendo solo el primer término de la serie se obtiene el holder de orden cero:

( ) ( ) ( 1)m t m nT nT t n T= ≤ ≤ +

Manteniendo el primer y segundo término de la serie se obtiene el holder de orden uno:

( ) ( ) ( )t nT

dmm t m nT t nTdt =

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

La derivada (dm/dt)t=nT se aproxima a: ( ) (( 1) )

t nT

dm m nT m n Tdt T=

− −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Y sustituyendo: ( ) (( 1) )( ) ( ) ( )m nT m n Tm t m nT t nTT

− −= + − [10.4]

De forma similar se obtienen holders de orden superior teniendo en cuenta sucesivos términos y

aproximaciones de la derivada.

1er orden

Orden cero


La salida del holder de orden cero es como un pulso con altura m(nT) y duración T. La

transformada de Laplace viene dada por tanto por: 1( ) ( )sTem s m nT

s

−−=

la función de transferencia es: 1( )sT

oeH ss

−−= .

Para el caso de holder de primer orden: 2

11 1( )

sTsT eH sT s

−⎛ ⎞+ −= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

10.4. Conversión de modelos en continuo a tiempo discreto.

Al analizar un lazo de realimentación con control digital se pueden puntualizar las siguientes

observaciones:

1. El proceso presenta entradas y salidas continuas, por tanto puede ser descrito por modelos en

continuo (ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia dependiendo del dominio).

2. La salida discretizada del conjunto sampler-conversor A/D se modela en función de la señal

continua de entrada según: -nTs

n=0y*(s) = y(nT)e

∞

∑ .

3. El holder se representa por las ecuaciones anteriormente vistas.

4. El controlador digital posee entradas y salidas discretas. Consecuencia de ello es la

imposibilidad de utilizar modelos en continuo.

Supóngase la ecuación de un controlador PID analógico:

1 ( )( ) ( ) ( )S C Dl

de tc t c K e t e t dtdt

ττ

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

La tarea es convertir la ecuación diferencial anterior en una ecuación en diferencias capaz de

procesar errores en tiempo discreto y generar acciones de control también en tiempo discreto.

10.4.1. Modelo en tiempo discreto para un controlador PID

A partir de los términos individuales de un controlador PID analógico se derivará la

correspondiente expresión en diferencias:

1. Acción proporcional. El error discretizado en un tiempo nT viene definido por la diferencia

entre el setpoint y el valor discreto a ese mismo tiempo: ε(nT) = ysp(nT)-y(nT). La acción proporcional

simplemente incrementa el valor de esta diferencia: KCε(nT)


2. Acción integral. Este modo de acción integra el error a lo largo del tiempo. Dado que el error

está discretizado, la integral ∫ε(t) dt es aproximada de forma numérica mediante rectángulos para dar

lugar a la expresión: 00

( ) ( )t n

k

t dt T kTε ε=

≈ ∑∫ . Así pues la acción integral se presenta en diferencias como:

0

( )n

C

kI

K T kTετ =∑

3. Acción derivativa. Igual que en el caso anterior, la derivada es aproximada mediante un método

numérico. Una aproximación de primer orden da lugar a: ( ) (( 1) )

t nT

d nT n Tdt Tε ε ε

=

− −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

y por tanto la acción derivativa se convierte en: { }( ) (( 1) )C DK nT n TTτ ε ε− −

La suma de acciones lleva al controlador PID digital:

{ }0

( ) ( ) ( ) ( ) (( 1) )n

DS C

kI

Tc nT c K nT kT nT n TTτε ε ε ε

τ =

⎡ ⎤= + + + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

El procedimiento se puede generalizar para cualquier modelo en tiempo continuo.

1. Proponer la ecuación de modelo continuo.

2. Aproximar las derivadas mediante diferencias finitas.

3. Aproximar las integrales mediante un esquema de integración numérica.

10.4.2. Modelo en tiempo discreto de un sistema de primer orden: P Pdy y K mdt

τ + =

( ) (( 1) )

t nT

d nT n Tdt Tε ε ε

=

− −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

00

( ) ( )t n

kt dt T kTε ε

=

≈ ∑∫

error

error


Usando la aproximación de adelanto de la derivada 1n ny ydydt T

+ −= y sustituyendo:

11; 1n n P

P n P n n n nP P

y y K TTy K m y y mT

ττ τ

++

⎛ ⎞−+ = = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

10.4.3. Modelo en tiempo discreto de un sistema de segundo orden. 2

22 2 P

d y dy y K mdt dt

τ δτ+ + =

La aproximación de adelanto de la derivada segunda es: 2 12

2n n n

dydy y ydt

dt T+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟ − +⎝ ⎠ ≈

y sustituyendo: 2 2 1 12

2 2n n n n nn P n

y y y y y y K mT T

τ δτ+ + +− + −+ + = , finalmente se obtiene:

2 2

2 1 2 22 1 2 1n n n P nT T T Ty y y K mδ δτ τ τ τ+ +

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

10.4.4. Modelo en tiempo discreto de un sistema de primer orden con tiempo muerto:

( )P P ddy y K m t tdt

τ + = −

Suponiendo que el tiempo muerto es proporcional al periodo de muestreo td =kT, el modelo en

tiempo discreto resultante es: 1 1 Pn n n k

P P

K TTy y mτ τ+ −

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

10.5. Transformada Z.

El uso de la transformada Z ofrece un método simple y elegante para resolver ecuaciones lineales

en diferencias, resultado de la conversión de modelos en continuo a tiempo discreto. La transformada Z

permite:

1. El desarrollo de modelos entrada-salida en tiempo discreto que son la base del diseño de lazos

de control en sistemas digitales.

2. Análisis directo de forma cualitativa y cuantitativa de la influencia de cambios en las entradas al

sistema discreto.

En otras palabras, su papel es comparable a la transformada de Laplace en sistemas en continuo.

10.5.1. Definición

Considerése una función continua y(t) muestreada cada cierto periodo T. La secuencia de valores

muestreados es: y(0), y(T), y(2T), ...


La transformada Z se define como: { }0

y(0), y(T), y(2T), ... ( ) n

nZ y nT z

∞−

=

=∑

Aunque intrínsecamente la transformada se refiere a una serie de valores muestreados, es

costumbre referirse a la función continua de la que proceden dichos valores.

{ } { }0

y(0), y(T), y(2T), ... ( ) ( ) ( ) n

nZ Z y t y z y nT z

∞−

=

= = =∑

Notas:

1. La transformada Z convierte valores en el dominio del tiempo a la variable z en el dominio Z.

2. La transformada Z depende del período de muestreo (ver definición).

3. Dos señales en continuo distintas pueden dar lugar a la misma transformada Z si poseen el

mismo valor en los tiempos de muestreo. Un claro ejemplo lo constituye la función escalón unitario y la

función coseno muestreada en los máximos T= 62.8 s, ω = 0.1 rad/s (ver figura):

Se tiene: 1 21

1( ) (cos(0.1 )) 1 1 1 ...1

Z escalón unitario Z t z zz

− −−= = + + + =

−

4. La transformada Z existe si la suma de todos los términos que aparecen en su definición da

lugar a un valor finito.

5. Si y(t) es la señal continua que entra al sampler y y*(t) es la secuencia de valores producidos

por el sampler ideal, la transformada de Laplace de y*(t) es: 0

*( ) ( ) nTs

ny s y nT e

∞−

=

=∑ . Si Tsz e= , entonces:

0*( ) ( ) ( )n

ny s y nT z y z

∞−

=

= =∑

es decir, la transformada Z de una serie de valores muestreados es un caso especial de la

transformada de Laplace cuando se cumple que Tsz e= .

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 50 100 150 200 250 300


10.5.2. Transformada Z de funciones básicas.

i- Escalón unitario: 1 21

0

1( ) 1 1 1 ... 11 1

n

n

zZ escalón unitario z z zz z

∞− − −

−=

== + + + = = =− −∑

Demostración:

La transformada existe si /z-1/< 1, que hace la serie convergente a un valor finito. Teniendo en

cuenta la serie 0

1 ; 11

n

n

λ λλ

∞

=

= <−∑ , es sencillo llegar a la demostración.

El resultado anterior también se puede obtener por división de polinomios.

ii- Función exponencial

1

1( )1

atat at

zZ ee z z e

−− − −= =

− −

La demostración es directa: ( )at anT nZ e e z− − −=∑

Haciendo 1aTe zλ − −= se aplica la serie que se vio anteriormente para el caso del escalón.

iii- Función rampa

( ) ( )

1

2 21( )

11

aTz aTzZ atzz

−

−= =

−−

La expresión anterior se consigue:

( )( )

11 2 3 1 2 1

21( ) 0 2 3 ... 1 2 ...

1

aTzZ at aTz aTz aTz aT z z zz

−− − − − − −

−= + + + + = + + + =

−

La transformada existe para /z-1/ < 1.

iv- Funciones trigonométricas. 1

1 2

1

1 2

z sen T[sen t]1 2z cos T z

1 z cos T[cos t]1 2z cos T z

−

− −

−

− −

ωΖ ω =

− ω +

− ωΖ ω =

− ω +

Prueba:

( )j nT j nT

n n n j nT n j nTe e 1 1[sen t] sen nT z z z e z e2j 2 j 2 j

ω − ω− − − ω − − ω−⎡ ⎤Ζ ω = ω = = −⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑

( )( )

1 j T j Tj t j t

j T 1 j T 1 2 j T j T 1

z e e1 1 1 1 1 1 1Z e Z e2j 2j 2 j 2 j 2 j1 e z 1 e z 1 z e e z

− ω − ωω − ω

ω − − ω − − ω − ω −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − + − +


Aplicando las relaciones de Euler:

( ) ( )j T j T j T j T2j sen T e e y 2 cos T e eω − ω ω − ωω = − ω = +

1

1 2z sen T[sen t]

1 2z cos T z

−

− −ω

Ζ ω =− ω +


10.5.3. Propiedades de la transformada Z

i- Linealidad.

La transformada Z es un operador lineal, Z[a1f1(t) + a2f2(t)] = Z[a1f1(t)] + Z[a2f2(t)] = a1Z[f1(t)] +

a2Z[f2(t)].

ii- Teorema del valor final

Permite calcular el valor final de una función a partir de su transformada.

[ ] ( )1

1lim ( ) lim 1 ( )t z

y t z y z−

→∞ →⎡ ⎤= −⎣ ⎦

Demostración: ( ) ( )1 1 11 ( ) 1 ( ) ( ) ( )n n nz y z z y nT z y nT z y nT z− − − − − −− = − = − =∑ ∑ ∑

1 1 1 1 2(0) (0) ( ) ( ) (2 ) (2 ) ...y y z y T y T z z y T y T z z− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Cuando z tiende a 1, la serie anterior tiende a y(nT) con n ⇒ ∞.

iii- Teorema del valor inicial

Este teorema dice que [ ] [ ]0

lim ( ) lim ( )t z

y t y z→ →∞

=

Se demuestra tomando límites: [ ]lim ( ) lim ( ) n

z zy z y nT z−

→∞ →∞⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑

Cuando z ⇒ ∞, los términos z-n⇒ 0 para n = 1, 2, .... El único término distinto de cero

corresponde a n = 0 [i.e., y(0)].

iv- Teorema de traslación real (sistemas con tiempo muerto).

Z[f(t-kT)]=z-k F(z), la prueba:

n

n 0

i k k i

i k i 0

Z[f (t kT)] f (t kT)z ,sustituyendo

i n k

Z[f (t kT)] f (iT)z z f (iT)z

∞−

=

∞ ∞− − − −

=− =

− = −

= −

− = =

∑

∑ ∑

v- Teorema de traslación compleja.

Z[exp(-at)f(t)]= F(z1), donde z1 = z * exp(aT)

( ) nat anT n aT

n 0 n 0aT

1

Z[e f (t)] e f (nT)z f (nT) ze

z ze

∞ ∞ −− − −

= == =

=

∑ ∑

vi- Teorema de diferenciación parcial.

n n

n 0 n 0Z[ f (t,a)] f (nT,a)z f (nT,a)z F(z,a)

a a a a

∞ ∞− −

= =

∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑


vii- Transformada Z de integrales y derivadas.

Dependen de las aproximaciones utilizadas en ambos casos. Considérese la integral:

0

( ) ( )t nT

y t f t dt=

= ∫ , aplicando la aproximación numérica de la regla del trapecio:

( )( )

( ) ( )1

( ) 1( ) 1 ( ) ( ) 1

2

nT

n T

f nT f n Ty nT y n T f t dt y nT y n T T

−

+ −⎡ ⎤⎣ ⎦= − + = = − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Tomando la transformada Z: 1

1 ( ) ( )( ) ( )2

f z f z zy z y z z T−

− += + , y despejando:

1

1

1( )2 1T zy z

z

−

−

+=

−f(z)

Si por el contrario se usa la regla de Simpson:

( )( )

( ) ( ) ( )2

( ) 4 1 2( ) 2 ( ) 2

3

nT

n T

f nT f n T f n Ty nT y n T f t dt y n T T

−

+ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − + = − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Aplicando la transformada Z: 1 2

2

1 4( )3 1T z zy z

z

− −

−

+ +=

− f(z)

Si ahora se tiene una derivada df(t)/dt una aproximación de primer orden da lugar a:

( ) 1( ) 1( ) 1( ) ; ( ) (1 ) ( )f nT f n Tdf ty t y z z f z

dt T T−− −⎡ ⎤⎣ ⎦= = = −

mientras que una aproximación de segundo orden:

( ) 2( ) 2( ) 1( ) ; ( ) (1 ) ( )2 2

f nT f n Tdf ty t y z z f zdt T T

−− −⎡ ⎤⎣ ⎦= = = −

(n-1)T nT

f[(n-1)T]

f[nT]

(n-2)T nT

f[(n-2)T]

f[nT]

(n-1)T

f[(n-1)T]

Trapecio

Simpson


10.5.4. Inversión de transformada Z

La antitransformada Z trata de obtener los valores muestreados de una función a partir de su

expresión en el dominio Z: Z-1[y(z)] = {y(0), y(T), y(2T)….}.

Notas:

1. La antitransformada Z proporciona los valores de una función en los tiempos de

muestreo únicamente. No dice nada sobre la función continua de la que proviene.

2. La antitransformada Z no permite obtener el periodo de muestreo.

3. La antitransformada Z puede dar varias funciones diferentes ya que funciones continuas

distintas pueden dar lugar a valores similares muestreados.

Existen dos métodos para llegar a la inversa de la transformada Z:

i- Expansión parcial en fracciones simples.

Este método es similar al ya visto para obtener la antitransformada de Laplace.

1. La transformada Z es normalmente un cociente de polinomios en z-1 (o z): y(z)=Q(z-1)/P(z-1)

con Q de orden m y P de orden n.

2. Se expande y(z) en fracciones simples: 31 21 1 1 1

1 2 3

( ) ...( ) ( ) ( ) ( )

n

n

C CC Cy zr z r z r z r z− − − −= + + + +

donde r1(z-1), r2(z-1), …, rn(z-1) son polinomios de orden bajo en z-1.

3. Se computan los valores de C1, C2, …, Cn.

4. Se encuentra la inversa de cada fracción simple. Debido a la linealidad del operador Z, la suma

de antitransformadas Z dará la antitransformada global.

[ ]1 1 1 1 131 21 1 1 1

1 2 3

( ) ...( ) ( ) ( ) ( )

n

n

C CC CZ y z Z Z Z Zr z r z r z r z

− − − − −− − − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Observaciones:

1. Los coeficientes C1, C2, - - -, Cn se obtienen de forma similar a como se vio en el caso de la

transformada de Laplace.

2. La inversa de cada fracción simple se computa directamente o a través de tablas, que

normalmente proporcionan una función continua en función de T.

Ejemplo 1: 1

2 2 1( )3 4 3 4 1

z zy zz z z z

−

− −= =− + − +

,


Las raíces del denominador son: z-1 = 1 y 1/3. Por tanto: 1 1( )1 1 3

A By zz z− −= +

− −

1 1

1 1

1 11 1/3

0.5 0.51 3 1z z

z zA Bz z− −

− −

− −= =

= = − = =− −

Sustituyendo: 1 1

0.5 0.5( )1 1 3

y zz z− −

−= +

− −

1

0.51 z−

−−

es la transformada z del escalón con magnitud -0.5.

1

0.51 3z−−

tiene la forma general de la entrada 8 de la tabla multiplicada por 0.5 1

11 aTK

e z− −

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Por tanto exp(-aT) = 3 o lo que es lo mismo –aT=ln 3= 1.1.

La antitransformada Z queda finalmente: y(nT) = -0.5 + 0.5 exp(1.1 n). Los valores tabulados para

los diferentes tiempos de muestreo son:

n 0 1 2 3 4 ∞

y(nT) 0 1 4 13 40 ∞

Ejemplo 2: 1 2 3

1 2 3 4

4 2.67 1.56 1.42( )1 0.36 0.19 1.03 0.2

z z zy zz z z z

− − −

− − − −

+ + −=

− + − +

La factorización del denominador es:

por lo que factorizando: 1

1 1 1 2( )1 1 0.2 1 0.84

A B Cz Dy zz z z z

−

− − − −

+= + +

− − + +. Tras obtener los

coeficientes: 1

1 1 1 2

3 1 0.91( )1 1 0.2 1 0.84

zy zz z z z

−

− − − −= + +− − + +

El primer término corresponde a un escalón de magnitud 3.

El segundo término es la exponencial ya vista con exp(-aT) = 0.2 o lo que es lo mismo –aT=ln 2=

1.61.

El tercer término se asemeja a la entrada 14 de la tabla, es decir una señal sinoidal con sen ωt =

0.91 y -2 cos ωt = 0.84. Esto es ωt = 2 rad = 114.8º.

La inversa final es: y(nT) = 3+ exp(-1.61n) + sen 2n. Los valores muestreados son:


n 0 1 2 3

y(nT) 4 4.11 2.28 2.74

ii- División larga de polinomios.

El procedimiento consiste en:

1-Colocar el denominador a la izquierda separado del numerador a la derecha ambos en orden

creciente de exponente en z-1.

2-Encontrar el factor que multiplicado por el primer término del denominador dé lugar al primer

término del numerador.

3-Multiplicar dicho factor por el denominador y restar el polinomio resultante del numerador.

4-Repetir los pasos 2 y 3 para ir obteniendo de forma sucesiva los diferentes factores cuyos

coeficientes representan los valores correspondientes a los períodos de muestreo. La correspondencia es

la siguiente: para T = 0 el valor ao corresponde al término ao(z-1)0; para T = 1 el valor a1 corresponde al

término a1(z-1)1; para T = 2 el valor a2 corresponde al término a2(z-1)2 y así sucesivamente.

Ejemplo:1

1 2( )1 4 3

zy zz z

−

− −=− +

1 2 3 4

1 2 1

1 2 3

2 3

2 3 4

3 4

3 4 5

4 5

1 4 13 40 ...1 4 3

4 30.0 4 3

4 16 120.0 13 12

13 52 39 ....0.0 40 39

z z z zz z z

z z zz zz z z

z zz z z

z z

− − − −

− − −

− − −

− −

− − −

− −

− − −

− −

+ + +− +

− ++ −

− ++ −

− ++ −

Ejemplo: 1 2 3

1 2 3 4 1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4 5

2

4 4.11 2.28 2.74 ...1 0.36 0.19 1.03 0.2 4 2.67 1.56 1.42

4 1.44 0.76 4.12 0.80.0 4.11 0.8 2.7 0.8

4.11 1.48 0.78 4.23 0.8220.0 2.28

z z zz z z z z z z

z z z zz z z zz z z z z

z

− − −

− − − − − − −

− − − −

− − − −

− − − − −

−

+ + +− + − + + + −

− + − ++ + − −

− + − ++ 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6

1.92 3.43 0.8222.28 0.82 0.43 2.35 4.56 ....

0.0 2.74 3.86 1.53 4.56

z z zz z z z z

z z z z

− − −

− − − − −

− − − −

+ − −− + − +

+ − + −

Ejemplo 28.6 en Excell.


10.6. Transformada z modificada.

Mediante el teorema de traslación real se ha comprobado como cuando una función discretizada

está retrasada un múltiplo entero (N) del período de muestreo (θ = NT), su transformada Z se computa

multiplicando por z-N la transformada de la función sin retraso. En esta sección se estudiará el caso en el

que θ ≠ NT, es decir θ = (N + Δ)T con 0 < Δ < 1. La transformada Z de un función con tiempo muerto θ

sería: [ ]0

( ) ( ) n

n

Z f t f nt NT T zθ∞

−

=

− = − −Δ∑ . Definiendo m = 1-Δ y k = n-N-1 se tiene:

[ ] 1

1( ) ( ) k N

k NZ f t f kT mT zθ

∞− − −

=− −

− = +∑ = 1

0( )N k

kz f kT mT z

∞− − −

=

+∑ . La transformada Z modificada

se define como: [ ] 1

0

( ) ( ) nm

n

Z f t z f nT mT z∞

− −

=

= +∑ , donde m es la variable de la transformada Z

modificada con el mismo significado descrito anteriormente. Al hacer N = 0, la transformada Z

modificada proporciona información sobre los valores de una función entre periodos de muestreo

consecutivos simplemente mediante variación del parámetro m.

Ejemplo: ( )/ 1 / / / 1 / 1 2 / 2

01 ...t nT mT n mT T T

mn

Z e z e e z e z e z e zτ τ τ τ τ τ∞

− − − − − − − − − − −

=

⎡ ⎤ = = + +⎣ ⎦ ∑

/ 1/

/ 11

mTt

m T

e zZ ee z

ττ

τ

− −−

− −⎡ ⎤ =⎣ ⎦ −

Ejemplo: [ ]1

1 11 2

0

cos ( ) cos ( (1 ))cos (cos ( ))1 2 cos ( )

nm

n

mT z T mZ t z nT mT z zz T z

ω ωω ω ωω

−∞− − −

− −=

− −= + =

− +∑

Las propiedades de la transformada Z se corresponden con los de la transformada modificada con

las excepciones:

*Traslación compleja: (1 )( ) ( , )aT aT m aTmZ e f t e F ze m− −⎡ ⎤ =⎣ ⎦

*Teorema del valor inicial: 0

0

lim ( ) lim ( , )t z

m

f t zF z m→ →∞

=

=

La inversa de la transformada Z modificada se calcula así mismo de forma similar a como se hacía

con la transformada Z.

Ejemplo: 1 1 0.51 1

1 2

2 1 0.6 (1 )( , )

1 0.8 0.2

mz z e zF z m

z z

− − − −

− −

⎡ ⎤− − −⎣ ⎦=− −

, aplicando por ejemplo la división larga de

polinomios, se pueden separar las partes que contienen y no contienen m: 1 2 1 2

0.511 2 1 2

2 1.2 2 2( , )1 0.8 0.2 1 0.8 0.2

mz z z zF z m ez z z z

− − − −−

− − − −

− −= −

− − − −


Tras hacer la división de polinomios de ambos cocientes en z-1, se combinan las dos series para

dar: 0.51 1 0.51 2 0.51 3 0.51 4( , ) (2 2 ) (0.4 0.4 ) (0.72 0.08 ) (0.656 0.016 ) ...m m m mF z m e z e z e z e z− − − − − − − −= − + + + − + +

Diferentes valores de m proporcionan el valor de la función en tiempos intermedios al periodo de

muestreo:

M T 2T 3T 4T

0.00 0 0.800 0.640 0.672

0.25 0.239 0.752 0.650 0.670

0.50 0.450 0.710 0.658 0.668

0.75 0.636 0.673 0.665 0.667

1.00 0.800 0.640 0.672 0.666

(Más ejemplos en Luyben 651).

Dinámica de Sistemas en Tiempo Discreto.- 154

TEMA 11. DINÁMICA DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO

En en un lazo de control digital directo existen dos componentes primarios cuya respuesta debe

analizarse:

1. El algoritmo de control digital (Figura A): Este es un elemento discreto con entradas y salidas

discretizadas. La cuestión es como responde el controlador digital ante cambios discretos en la entrada,

error= ε(nT).

2. Proceso + holder (Figura B): Estos elementos constituyen la parte continua del lazo. En este

caso el interrogante surge en como es la respuesta discretizada y(nT) ante entradas discretizadas al holder

c(nT).

Una vez que se examinan los componentes del lazo digital por separado, este se cierra y se analiza

la respuesta de lazo cerrado.

Figura A FIGURA B

11.1. Algoritmos de control digital.

Supóngase un controlador digital con entrada y salida discretizada:

Las señales de entrada-salida para dicho controlador están normalmente relacionadas mediante

una ecuación en diferencias de formato general como el que se muestra:

1 1 1 1 2 2... ...n o n n k n k n n m n mc a a a b c b c b cε ε ε− − − − −= + + + + + + +

Si c(z) es la transformada Z de la salida y ε(z) la correspondiente a la entrada, entonces se define

la función de transferencia del controlador en tiempo discreto (D(z)) de la forma: 1

11 2

1 2

...( )1 ...

ko k

mm

a a z a zD zb z b z b z

− −

− − −

+ + +=

− − − −

Algoritmo controlador digital

error(nT) c(nT)

Algoritmo controlador digital

error(nT) c(nT)

D(z) ε(z) c(z)

HOLDER PROCESO

m(t)c(nT) y(t) y(nT)


11.2. La función de transferencia pulso.

En esta sección se analizan los elementos continuos del lazo digital, sin embargo hay que considerar que

la entrada al holder es una señal discreta y que la salida del proceso es muestreada por el sampler

convirtiéndola así mismo en una señal discreta. El objetivo es pues relacionar y(nT) con c(nT) a través de

lo que se denomina función de transferencia pulso HGp(z)=y(z)/c(z).

HGp(z) se define como: { }-1pHG (z) = Z L ( ) ( )pH s G s⎡ ⎤⎣ ⎦ , que a menudo se denota de forma simplificada

como: { }pHG (z) = Z ( ) ( )pH s G s . La función de transferencia pulso se puede obtener de forma más directa

mediante el teorema de los residuos (holder de orden cero): -1p -1

polos

( ) 1HG (z) = (1-z )1 z

ppT

G pres

p e⎛ ⎞⎧ ⎫⎜ ⎟⎨ ⎬−⎩ ⎭⎝ ⎠

∑

Ejemplo: H(s) = 1Tse

s

−− , Gp(s) = PKs

p 2 2

1HG (z) = Z Z ZTsTs

P P PK K K ees s s s

−− ⎧ ⎫⎧ ⎫− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

, los términos con s2 en el denominador

corresponden a una rampa cuya transformada Z es = 1

1 2(1 )PK Tzz

−

−

⎧ ⎫⎨ ⎬−⎩ ⎭

, además en el caso particular del

segundo caso aparece una exponencial que denota un retraso de un período de muestreo que se sustituye

por z-1. Por tanto: 1 1

11 2 1( ) (1 )

(1 ) 1P P

pK Tz K TzHG z z

z z

− −−

− −

⎧ ⎫= − =⎨ ⎬− −⎩ ⎭

. Ante una entrada en escalón de la salida del

controlador 1

1( )1

c zz−

=−

la salida del proceso será: y(z) = ( )

1 1

21 1 1

11 1 1

P PK Tz K Tzz z z

− −

− − −=

− − − que es una rampa

de pendiente Kp.


s

−− , Gp(s) = 1

P

P

Ksτ +

( ) ( )p1HG (z) = Z Z Z

1 1 1

TsTsP P P

P P P

K K Ke es s s s s sτ τ τ

−−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )-1 -1

p1 1HG (z) =(1-z )Z (1-z ) Z

1 1/P

PP P

K Ks s s sτ τ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ +⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

( )/ -1-1

p / /-1 -1 -1

1 z1 1HG (z) (1-z )1 z 1 z 1 z

P

P P

T

P PT T

eK K

e e

τ

τ τ

−

− −

−⎡ ⎤= − =⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ . Ante una entrada en escalón de la

salida del controlador 1

1( )1

c zz−=

− la salida del proceso será: y(z) =

( )/ -1

/-1 -1

1 z 1y(z) 1 z 1 z

P

P

T

P T

eK

e

τ

τ

−

−

−=

− −


//-1 -1y(z) ; y(nT) 1

1 z 1 zP

P

nTP PPT

K K K ee

ττ

−−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦⎢ ⎥− −⎣ ⎦. Ejemplo en Excell

11.3. Análisis en tiempo discreto de sistemas en lazo cerrado.

Considérese el lazo cerrado de un sistema con control digital en el que se entremezclan elementos

y señales en continuo y en tiempo discreto.

La salida continua y(s) es muestreada a y(z). Las contribuciones a y(z) son:

y(z) = HGp(z)c(z) + Z[Gd(s)d(s)], obsérvese que no se define una función de transferencia pulso para las

perturbaciones puesto que d(s) no es una señal discreta. Dado que la señal de salida del controlador es la

siguiente: c(z)=D(z)[ysp(z)-y(z)], sustituyendo: y(z) = HGp(z) D(z)[ysp(z)-y(z)] + Z[Gd(s)d(s)] y

reordenando: p

p p

HG (z) D(z) Z[Gd(s)d(s)]( )1+HG (z) D(z) 1+HG (z) D(z)spy z y= + . En caso de que hubiesen existido las funciones

de transferencia correspondientes al elemento final de control y elemento sensor transmisor, el lazo

cerrado habría sido: f p

f p m f p m

HG G (z) D(z) Z[Gd(s)d(s)]( )1+HG G G (z) D(z) 1+HG G G (z) D(z)spy z y= +


s

−− , Gp(s) = 1

P

P

Ksτ +

, D(z) = KC

( )/ -1

p /-1

1 zHG (z)

1 z

P

P

T

P T

eK

e

τ

τ

−

−

−=

−, para cambios en consigna se tiene: y(z) =

( )

( )

/ -1

/-1

/ -1

/-1

1 z1 z

1 z1

1 z

P

P

P

P

T

C P T

T

C P T

eK K

ee

K Ke

τ

τ

τ

τ

−

−

−

−

−

−=−

+−

ysp

y(z) = ( )

( )

/ -1

/ -1

1 z

1 1 z

P

P

TC P

spTC P C P

K K ey

K K e K K

τ

τ

−

−

−=

⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦, si se realiza un cambio en escalón en consigna:

D(z)

ε(z) c(z)H(s) Gp(s)m(s)

y(s)

d(s)

Gd(s)

ysp(z)

y(z)


y(z) = ( )

( )

/ -1

-1/ -1

1 z 11 z1 1 z

P

P

TC P

TC P C P

K K e

K K e K K

τ

τ

−

−

−=

−⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦, hallando la transformada inversa:

y(nT) ( )´/11

pTC P

C P

K K eK K

τ−= −+

, donde ´

1P

pC PK K

ττ =+

. Ecuaciones análogas a las obtenidas en el

control de procesos continuos. Se puede comprobar como el offset para el controlador proporcional es

idéntico al caso de control continuo.

11.4. Análisis de estabilidad en sistemas discretos.

Considérese un sistema en tiempo discreto dado por el cociente de polinomios en z: 1 2

1 21 2

1 2

... ( )( )1 ... ( )

mo m

nn

a a z a z a z y zG zb z b z b z r z

− − −

− − −

+ + += =

+ + +, la salida y(z) tras expansión en fracciones simples es:

y(z) = 1 21 1 1

1 2

... ( )1 1 1

n

n

CC C r zp z p z p z− − −

⎧ ⎫+ + +⎨ ⎬− − −⎩ ⎭

, donde pi son los polos de la ecuación

característica. El término k-ésimo da lugar tras hallar la inversa a: CKexp(n ln pk). Se asume que pk es una

raíz compleja: pk = α + βj = ⏐ pk ⏐eωj. Se cumple que ln pk = ln⏐ pk ⏐ + ln eωj y por tanto:

exp(n ln pk) = exp [nln⏐ pk ⏐ + nωj] = exp [nln⏐ pk ⏐] exp[nωj]

como: exp[nωj] = cos nω + j sen nω, este término es siempre finito. El término restante:

⏐ pk ⏐<1 ln⏐ pk ⏐< 0 exp [nln⏐ pk ⏐] 0 cuando n ∞

⏐ pk ⏐=1 ln⏐ pk ⏐= 0 exp [nln⏐ pk ⏐] = 1 para cualquier n

⏐ pk ⏐>1 ln⏐ pk ⏐> 0 exp [nln⏐ pk ⏐] ∞ cuando n ∞

Así pues, un sistema digital es estable cuando los polos de la ecuación característica se sitúan

dentro del círculo unidad en el plano complejo, es decir, el módulo de los polos es menor a la unidad.



s

−− , Gp(s) = ( )( )

100.1 1 2 1s s+ +

, D(z) = 11 1

1C

I

K T zz τ

−−

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

( )( )1

p1 10 10 50 / 95 1000 / 95HG (z) (1 )

0.1 1 2 1 10 0.5

TseZ zs s s s s s

−−⎡ ⎤− ⎡ ⎤= = − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦⎣ ⎦

1p 1 1 10 1 0.5

10 50 / 95 1000 / 95HG (z) (1 )1 1 1T Tz

z z e z e−

− − − − −⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

, finalmente la ecuación característica es:

1 1p 1 1 10 1 0.5 1

10 50 / 95 1000 / 951+HG (z)D(z) 1 (1 ) 1 01 1 1 1

CT T

I

K Tz zz z e z e z τ

− −− − − − − −

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎡ ⎤= + − + + + − =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦

De la anterior ecuación se observa que las raíces dependen no solo de los parámetros

característicos del controlador sino también del período de muestreo. Fijando Kc = 0.1, τI = 1 y T = 1, la

ecuación característica es:

1-0.89z-1+0.316z-2-0.0321z-3 = 0 con raíces z = 0..162 y z = 0.356 + 0.26j, es decir el sistema es

estable.

Es interesante remarcar las similitudes en los criterios de estabilidad para procesos en continuo y

lazos en tiempo discreto. Recordando la relación z = exp(Ts), siendo s una variable compleja, s = α+βj,

sustituyendo: z = exp(αT) exp(βTj), es decir, el módulo de z es: ⏐z⏐= exp(αT), por tanto si α<0 (parte

real negativa, regla en continuo), ⏐z⏐< 1 (modulo menor que la unidad, regla en tiempo discreto).

Al igual que en sistemas continuos, existen de forma paralela al test de Routh Hurwith otros tests

para verificar la estabilidad de sistemas discretos sin necesidad de evaluar las raíces de la ecuación

característica (test de Jury, transformación bilinear o de Möbius)

Conviene resaltar el efecto que sobre la estabilidad ejerce el periodo de muestreo. Este último

tiene las siguientes repercusiones en el lazo digital de control:

1-Durante el intervalo de muestreo, el controlador maneja datos “obsoletos” en el tiempo y no

información actual.


2-El lazo de control está a efectos prácticos en abierto y se cierra solamente en los instantes de

muestreo, cuando se adquiere nueva información.

En la figura anterior, el holder produce un perfil de escalera con la misma frecuencia y amplitud

que la señal pero retrasada un tiempo T. En otras palabras, el muestreo introduce un tiempo muerto en la

señal realimentada, por ello es tan importante en términos de estabilidad.

No existen reglas de uso general para seleccionar T. Algunas practicas habituales señalan el elegir

T entre 0.1 y 0.2 veces la constante de tiempo dominante del sistema o tiempo muerto. En sistemas

oscilantes conviene que sea como poco menor que la mitad del periodo de oscilación. Valores normales

de muestreo en control de procesos aparecen en la siguiente tabla:

Variable controlada

(medida) Caudal Nivel y presión Temperatura

T (sec) 1 5 20

Diseño de controladores digitales.- 160

TEMA 12. DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES

12.1. Discretización de modelos continuos de control.

12.1.1. Aproximación digital de controladores clásicos.

-Algoritmo de control de posición.

A partir de la aproximación de la integral y la derivada que aparecen en el controlador PID en el

dominio en el tiempo se obtiene la ecuación en diferencias:

{ }0

( ) ( ) ( ) ( ) (( 1) )n

DS C

kI


τ =

⎡ ⎤= + + + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

En el muestreo n-ésimo, el sumatorio de los errores contempla el valor actual de error más la suma

de todos los anteriores. Defínase así pues: 0

( )n

nk

S kTε=

=∑ y 1

10

( )n

nk

S kTε−

−=

=∑ y por tanto: 1n n nS S ε−= +

1( ) ( ) ( )n n nS z z S z zε−= + y despejando: 1

1( ) ( )1n nS z z

zε−=

−

Sustituyendo estos conceptos anteriores y aplicando la transformada Z a toda la expresión (en

variables de desviación):

( )11

1( ) 1 1 ( )1

DC

I

Tc z K z zz T

τ ετ

−−

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎣ ⎦, siendo D(z) = ( )1

1

11 11

DC

I

TK zz T

ττ

−−

⎡ ⎤⎛ ⎞+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎣ ⎦

-Algoritmo de control de velocidad.

Una forma alternativa a la expresión anterior la constituye el controlador en su forma de

velocidad. No se computa el valor actual de salida del controlador sino su diferencia con el valor

precedente. Tomando los instantes n-ésimo y (n-1)-ésimo:

{ }0

( ) ( ) ( ) ( ) (( 1) )n

DS C

kI


τ =

⎡ ⎤= + + + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

{ }1

0(( 1) ) (( 1) ) ( ) (( 1) ) (( 2) )

nD

S CkI

Tc n T c K n T kT n T n TTτε ε ε ε

τ

−

=

⎡ ⎤− = + − + + − − −⎢ ⎥

⎣ ⎦∑ , restando ambas

expresiones: 2( ) 1 ( ) 1 (( 1) ) (( 2) )D D DC C C

I

Tc nT K nT K n T K n TT T Tτ τ τε ε ε

τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = + + − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦


y tomando la transformada Z:

PID algoritmo:

1 21

2 2( )( ) 1 1( ) 1

C D D D

I

Kc nT TD z z znT z T T T

τ τ τε τ

− −−

⎧ ⎫⎛ ⎞Δ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + − + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

PI algoritmo:

11( ) 1

1C D

I

K TD z zz T

ττ

−−

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= + + −⎨ ⎬⎜ ⎟− ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

Las ventajas del algoritmo de velocidad frente al de posición son:

1. No necesita inicialización (cs)

2. Está protegido contra "windup" integral

3. Protege al proceso de fallos de ordenador.

12.1.2. Aproximación digital de controladores no clásicos (Ogunnaike).

Se basa esta aproximación en la relación entre las variables z y s de los dominios Z y de Laplace,

respectivamente: z-1 = exp(-sT). El siguiente paso consiste en elegir una aproximación adecuada para el

término exponencial.

-Expansión de exp(-sT) ≈ 1 - sT

sustituyendo z-1 = 1 – sT, despejando s = 11 z

T

−−

-Expansión de 1sTe≈ 1

1 sT+

sustituyendo z-1 = 11 sT+

, despejando s = 1

1

1 zz T

−

−

−

-Aproximación de Padé de primer orden exp(-sT) ≈ 1 0.5 21 0.5 2

sT sTsT sT

− −=

+ +

sustituyendo z-1 = 22

sTsT

−+

, despejando s = 1

1

2 11

zT z

−

−

−+

Ejemplo: Supóngase un controlador PID clásico: 1( ) 1c C Dl

g s K ss

ττ

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tomando s = 11 z

T

−− ; 1

1

1 1( ) 11c C D

l

zg s Kz T

T

ττ

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟−

= + +⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

1

1

111C D

l

T zKTz

ττ

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟= + +⎜ ⎟−⎝ ⎠


12.2. Sintonización de controladores digitales

Existen dos maneras de enfocar la sintonización de controladores digitales:

-Realizar el diseño en dominio de tiempo continuo y discretizar el controlador resultante.

-Llevar a cabo el diseño directamente en el dominio z.

12.2.1. Diseño en continuo.

Los métodos de sintonización son los ya vistos en procesos en continuo, tanto los basados en

modelos aproximados como los basados en modelos detallados. Tras el análisis en continuo, se elige una

de las relaciones aproximadas entre las variables s y z y se aplica al controlador resultante en el paso

anterior.

Ejemplo: Diseñar un controlador digital mediante el método de síntesis directa para un proceso de

primer orden tal que la salida en lazo cerrado responda así mismo como un proceso de primer orden.

q(s) = 11r sτ +

.y G =1

Ksτ +

, por tanto: 1 1C

r

Gs Gτ

= teniendo en cuenta: s = 11 z

T

−−

( )( )

( )( )

11

1

1 1 1

1 1 11 1( )1( ) 1 1C

rrr

z zz Tu z T TTGzz KK z zK

T

ττ τ

ε τττ

−−

−

− − −

⎡ ⎤− − ++ ⎢ ⎥− + ⎣ ⎦= = = =− − −

, en el dominio del tiempo:

( ) ( )1 1( ) 1 1 ( ) ( )r r

T Tu z z z z zK T K

τ ε ετ τ

− −− = − + y ( ) ( 1) ( ) ( 1)r r

Tu n u n n nK Kτ τε ετ τ

⎛ ⎞+= − + − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

12.2.2. Diseño en tiempo discreto.

Se verán en esta sección tres métodos aunque existen otros que se pueden consultar en bibliografía

(Ogunnaike and Roy: Process dynamics, model and control, OXFORD University Press Inc. New York,

1994).

*Controlador Deadbeat. Este método requiere error cero para cualquier muestreo tras el primero.

En este supuesto si el setpoint sufre un escalón unitario 1

11 z−−

la respuesta debe seguir una trayectoria tal

como la expresada por: y(z) = 1

11z

z

−

−−.


Partiendo de la función de transferencia en lazo cerrado: p

p

HG (z) D(z) ( ) ( )

1+HG (z) D(z) spy z y z= , despejando

la función de transferencia del controlador: p

( ) / ( )1 D(z)HG (z) 1 ( ) / ( )

sp

sp

y z y zy z y z

=−

.*

Dado que ( ) / ( )spy z y z = z-1, 1

1p

1 D(z)HG (z) 1

zz

−

−=−

.

Notas:

El uso de este algoritmo de control puede dar lugar a respuestas altamente oscilatorias o con

grandes sobrepasos.

Hay que tener en cuenta que el algoritmo deadbeat es físicamente realizable siempre y cuando el

tiempo muerto de HGp(z) no sea mayor que un período de muestreo. Así si HGp(z) = z-k HGp´(z) 1

´ 1p

1 D(z)HG (z) 1

kzz

−

−=−

, no realizable si k > 1.

Si el tiempo muerto es superior a un periodo de muestreo, las especificaciones de error cero deben

desplazarse a dos, tres, etc. periodos de muestreo, es decir, ( ) / ( )spy z y z = z-2, ( ) / ( )spy z y z = z-3, etc.

Ejemplo: G = 100.5 1s +

, T = 1, ( )/ -1 -1

p /-1 -1

1 z 8.6zHG (z) 1 z 1 0.14z

P

P

T

P T

eK

e

τ

τ

−

−

−= =

− −

1 1

1 1

1-0.14 D(z)8.6 1

z zz z

− −

− −=−

Ejemplo: G =210

0.5 1

ses

−

+, T = 1,

( )/ -3 -3

p /-1 -1

1 z 8.6zHG (z) 1 z 1 0.14z

P

P

T

P T

eK

e

τ

τ

−

−

−= =

− −

1 2

1

1-0.14 D(z)8.6 1

z zz

−

−=−

, físicamente irrealizable. Debe tomarse y(z) = 3

11z

z

−

−− y ( ) / ( )spy z y z =z-3

1

3

1-0.14 1D(z)8.6 1

zz

−

−=−

*Método de Dahlin. Este método requiere que la respuesta de lazo cerrado siga una trayectoria de

primer orden con tiempo muerto: 1( )1

sey ss s

θ

μ

−

=+

. Si se asume θ = kT, en tiempo discreto se obtiene:

( )( )( )

/ -1-k

-1 -1 /

1 zy(z) z

1 z 1 z

T

T

e

e

μ

μ

−

−

−=

− −, como 1

11spy

z−=−

se tiene: ( )( )

/ -1-k

-1 /sp

1 zy(z) zy (z) 1 z

T

T

e

e

μ

μ

−

−

−=

−

* La expresión para D(z) puede dar lugar a controladores físicamente no realizables. Para que un controlador sea físicamente realizable el numerador no puede tener potencias positivas de z si el numerador se escribe como 1+ aoz-1+a1z-2+..anz-n


y el controlador tendrá la forma: ( )

( )/ -k-1

-1 / / -k-1

1 z1D(z) ( ) 1 z 1 z

T

T Tp

eHG z e e

μ

μ μ

−

− −

−=

− − −

Este controlador es físicamente realizable siempre y cuando el tiempo muerto de la función de

transferencia pulso no sea mayor que (k+1) veces el periodo de muestreo. Con el algoritmo de Dahlin se

evitan las oscilaciones excesivas producidas por el método deadbeat.

Ejemplo: G =210

0.2 1

ses

−

+, T = 1. Comparar los resultados obtenidos mediante deadbeat y Dahlin.

Deadbeat: 3

3p

1 D(z)HG (z) 1

zz

−

−=−

, -3

p -1

0.99zHG (z) 101 0.01z

=−

, 1

3

1 1-0.01 D(z)9.9 1

zz

−

−=−

Dahlin: Se elige θ = 2+1 = 3 y μ = 2, 1 4

3 1 4

1-0.01 0.39 D(z)9.9 1 0.61 0.39

z zz z z

− −

− − −=− −

Tanto en el algoritmo deadbeat como en el de Dahlin se deben tener en cuenta no solo cuestiones

de dinámica en lazo cerrado y realizabilidad física sino que también se debe prestar atención a la salida

del controlador que hace moverse al elemento final de control. Un movimiento excesivo de cualquier tipo

de válvula no es aceptable desde el punto de vista práctico. Este efecto se conoce como efecto “ringing”.

El efecto ringing se debe a la presencia de polos negativos en la función de transferencia del controlador.

Véase un ejemplo, 1

1D(z) ;1 pz−

=−

en el domino del tiempo el controlador se comporta de la

siguiente forma: 1n n nc pc ε−− = . Supóngase p = -0.9, entonces: 10.9n n nc c ε−+ = . Un error impulso unidad

entra al controlador a t = 0, la salida del mismo será la dada en la tabla. Así mismo se muestra la salida en

el caso en el que p = 0.9.


n error p = -0.9 p = 0.9

0 1 1 1

1 0 -0.9 0.9

2 0 0.81 0.81

3 0 -0.729 0.729

4 0 0.6561 0.6561

5 0 -0.59049 0.59049

El efecto ringing se evita eliminando los polos negativos del denominador y dividiendo por la

ganancia del polo eliminado, esta es la base del controlador de Vogel-Edgar.

*Controlador de Vogel – Edgar.

Estos autores proponen eliminar la dinámica del numerador en el controlador, fruto de la inversa

de la función de transferencia pulso. La expresión propuesta es:

( )( )

/ -k-1

-1 / / -k-1

1 z( )D(z) ( )( ) (1) 1 z 1 z(1)

T

T Tp

eN zN zHG z N e eN

μ

μ μ

−

− −

−=

− − −, donde N(z) es el numerador de HGp(z).

instrumentación y control

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