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GEOMETRIA PLANA
INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA
QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidade de Programa Objetivos
I. Geometria Angular Trabalhar com as principais relações angulares com triângulos, polígonos e com arcos de uma circunferência.
II. Semelhança Reconhecer as condições que garantem a semelhança entre duas figuras.
III. Triângulo Retângulo Deduzir e saber aplicar as relações métricas no triângulo retângulo e deduzir a lei dos cossenos como uma relação que inclui o teorema de Pitágoras.
IV. Área Calcular as áreas das principais figuras, dos polígonos regulares e a do círculo como limite da área do polígono inscrito.
CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA:
Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo
resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, buscamos abordar
os conceitos básicos de modo que você possa dar continuidade e se aprofundar os
estudos das Geometrias Plana e Espacial. Não pretendemos aqui, esgotar essa lista de conceitos e nem seus estudos
devam limitar-se aos conceitos que listamos.
Lance mão de diferentes fontes como livros, provas de concursos, apostilas
de cursos e da Internet para complementar seu estudo.
A Geometria Plana aqui está dividida em dois momentos: a Geometria
Angular, com os estudos dos ângulos de triângulo e polígonos; e a Geometria
Métrica com semelhança, triângulo retângulo e o cálculo de área.
Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos
e no seu aprendizado.
Prof. José Carlos Morais de Araújo
2
GLOSSÁRIO:
UNIDADE I .................................................................................................................. 3 I – Ângulos ........................................................................................................... 3 II – Classificação .................................................................................................. 3 III – Considerações Importantes .......................................................................... 3 IV – Teorema Angular de Tales ........................................................................... 5 V – Ângulo externo de um Triângulo .................................................................... 5 VI – Classificação dos Triângulos ........................................................................ 6 EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 8 VII – Polígono ..................................................................................................... 11 VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono .......................................................... 11 IX – Diagonal ...................................................................................................... 12 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 13 X – Relação entre Arcos e Ângulos ................................................................... 15 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 16
UNIDADE II ............................................................................................................... 18
SEMELHANÇA ......................................................................................................... 18 I – Proporção ...................................................................................................... 18 II – Definição de semelhança ............................................................................. 19 II – Semelhança de Triângulos ........................................................................... 19 EXERCÍCIO ....................................................................................................... 21
UNIDADE III .............................................................................................................. 23
TRIÂNGULO RETÂNGULO ..................................................................................... 23 I – Introdução ..................................................................................................... 23 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 25 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 26 II – Lei dos Cossenos ......................................................................................... 28
EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 29
UNIDADE IV .............................................................................................................. 31 I. ÁREA .............................................................................................................. 31 II – Principais áreas: ........................................................................................... 31 III – Polígono Regular......................................................................................... 32 IV - Círculo ......................................................................................................... 33 EXERCÍCIOS: .................................................................................................... 34
3
UNIDADE I
ÂNGULOS
I – Ângulos Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem.
OA→
e OB→
são semi-retas
O ponto O, origem comum às semi-retas, é o vértice do ângulo.
Notação: Usamos AÔB = BÔA, o vértice Ô ou simplesmente ∝.
II – Classificação
1) Seja ∝ um ângulo qualquer. O ângulo ∝ pode ser classificado como:
2) Sejam ∝ e β dois ângulos quaisquer. Dizemos que ∝ e β são: Obs: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, o complemento e o suplemento do ângulo x.
III – Considerações Importantes
1) Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (isto é, de medidas iguais)
∝ = 90º
Reto
Complementares: ∝ + β = 90º
∝
β
O A
B
∝
Agudo
∝ < 90º ∝ > 90º
Obtuso
β∝
Suplementares: ∝ + β = 180º
4
2) Retas Perpendiculares são retas concorrentes (que possuem um ponto em comun) que formam ângulos retos.
Denotamos por: r ⊥s: r perpendicular a s
3) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos que guardam algumas propriedades.
r ⁄⁄ s: r é paralela a s Observe que ∝ + β = 180º
Esses ângulos são classificados, aos pares, de acordo com a posição que ocupam em relação às paralelas e à transversal. Destacamos: Alternos internos Colaterais externos Correspondentes Observe que, independente dos nomes que tenham esses ângulos, é possível identificar medidas de ângulos dessa figura se soubermos a medida de pelo menos um deles. Exemplos. Nas figuras acima temos: α = 50º , β = 40º e 5x + 4x = 180º, portanto, x = 20º.
s
r
∝
∝
∝
∝ β
β
β
β
r
s
50º
α 140o
β 4x
5x
5
As relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem
referências aos ângulos do triângulo.
IV – Teorema Angular de Tales
Num triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º.
A + B + C = 180º
Traçando uma reta paralela ao lado AB passando pelo ponto C
podemos visualizar essa propriedade.
V – Ângulo externo de um Triângulo Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo
tem 3 ângulos externos.
Observe que:
α + C = 180º e A + B + C = 180º
Então: α + C = A + B+ C ⇒ α = A + B
Conclusão:
O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo
prolongamento de outro.
A B
C
A B
C
C A
B
α
Ângulo externo
a + b b a
a + c
a c b
b +c
c
6
VI – Classificação dos Triângulos Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados. 1) Quanto aos Ângulos
Acutângulo Retângulo Obtusângulo
Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo obtuso
2) Quanto aos Lados
Escaleno Isósceles Eqüilátero
Vale Destacar: 1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais.
AB = AC ⇔ B = C
São iguais os ângulos opostos aos lados
iguais.
Essa é a condição mínima para um triângulo ser
classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que
apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa
um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos:
A = B = C = 60º
2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares
α + β = 90º
C B
A
B C
A
α β
7
3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se:
Se r // s então, θ = α + β Nesse quadrilátero côncavo α = a + b +c Justificativas:
θ é ângulo externo ao triângulo α é ângulo externo
Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que
envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir:
Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que o ângulo mede 25º.
DC
B
A
α
Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. A partir daí, o
ângulo CBD = 25º, dado o triângulo CBD ser
isósceles. O ângulo BCA é externo a esse
triângulo então, BCA = 50º. Como o triângulo
ABC também é isósceles (BA = BC) temos o
ângulo BAC = 50º. Observe agora o
triângulo ABD: o ângulo α é externo a ele,
portanto α = A + D, ou seja, α = 50º + 25º . Logo α = 75º.
α
b a
c
b + c
β
α θ
r
s α
α
b a
c
β
α θ
r
s
25º D
C
B
A
α
8
EXERCÍCIOS 01. Determine α nas seguintes figuras:
02. Nas figuras, AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo α sabendo-se que OX é bissetriz de AÔB.
03. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. Calcule a sua medida. 04. Dois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10o e x + 50o. Calcule o valor de cada um deles. 05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura? 06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6o o quádruplo do seu complemento. 07. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. Determine-os. 08. Quatro semi-retas OA
→, OB
→, OC
→ e OD
→ formam, em torno de um ponto, quatro
ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Determine os ângulos.
9
09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72o, calcule o ângulo α.
10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 11. O triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Determine α e β.
C
A α
B B
C
A
β 70o70o
12. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que D = 30º.
D
C
B
A
α
13. Calcule α em cada figura, sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero.
B
D C
E A α
B
D C
E A
α
14. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este ângulo, sabendo que um ângulo agudo é o dobro do outro.
10
15. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 42o a medida do ângulo BAD e 20o a medida do ângulos ABC, calcule a medida do ângulo ACD. 16. Na figura, AB = AC, CD = CE e AFD = 60o. Calcule a medida do ângulo A.
17. Na figura, sabe-se que oA 90=∧
, MC = MB, BS é bissetriz de ∧B e que oBSA 126=
∧.
Pede-se o ângulo ∧C.
Dica: “Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa.” 18. Na figura, sendo AB congruente a AC , AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo EDC
), dado DAB
)= 48o.
19. Na figura abaixo, AB = AC e E32C ˆˆ = . Calcule a medida do ângulo
∧A .
B
A
C M
S
A
B C
E
B
A
E
C D
F
B
D
CE
A
B A
C
D
11
VII – Polígono
Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal
fechada. A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos de reta consecutivos.
Ex.: Pentágono Convexo Côncavo
VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono 1) Ângulos internos
Todo polígono pode ser dividido em Triângulos. Si = 180º Si = 180º . 2 Si = 180º. 3 Si = 180º.4 Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2) 2) Externos
Como cada ângulo interno é suplemento do interno adjacente temos:
Si + Se = 180º . n Então:
Se = 180º. n – Si Se = 180º. n – 180º ( n – 2 ) Se = 180º. n – 180º n +360º
Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é constante.
É mais fácil, portanto, determinar – caso os
ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais – a medida do ângulo
externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno.
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Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em Equilátero (lados iguais), Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular.
Um polígono é regular quando possui lados e ângulos respectivamente iguais.
Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão:
n360º Ae A e =−=
nn
i)2(º180
* Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3, 4, 5, 6, ... lados e quais são as medidas de seus ângulos.
IX – Diagonal
Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como
extremos dois vértices não consecutivos do polígono.
No polígono ABCD..., AC, BE e BD são exemplos de diagonais nesse hexágono. Observe que, de cada vértice de um polígono de gênero n partem (n – 3) diagonais.
Num total de: d = 2
)3n(n −
Exemplo: O decágono regular possui d = 2
)310.(10 − , ou seja, 35 diagonais. Seu
ângulo externo será Ae = 10
360o= 36º e seu ângulo interno será Ai = 180º - 36º.
O ângulo interno do decágono regular mede 144º.
D E
C F
A B
Eqüiláteros Eqüiângulos
Regular
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EXERCÍCIOS 01. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE, sabendo-se que:
C = 2A, E = 2B, D = 2
EC + e que E = 3A.
02. Considere um eneágono regular e calcule:
a) A soma dos ângulos internos. b) A soma dos ângulos externos. c) Seu ângulo externo. d) Seu ângulo interno.
03. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos vale 2160º? 04. Determine o polígono regular que tem o ângulo interno igual ao triplo do ângulo externo. 05. ABCDE é um polígono regular e DEFG é um quadrado. Determine a medida do ângulo α. 06. Na figura tem-se um octógono regular. Determine a medida do ângulo α: (a) 22o 30’ (b) 30o (c) 45o (d) 60o (e) 90o 07. Num polígono regular ABCD... as retas que contém os lados AB e CD formam um ângulo de 60º. Determine que polígono é esse.
B
F
E D
C A
α
G
B
F
E D
C A
α
G
α
14
A
08. A figura seguinte, ABCDE e DEF são polígonos regulares. Calcule o ângulo α formado pelos prolongamentos de BC e DF. 09. Seja ABCD... um polígono regular. Determine o seu gênero sabendo-se que as diagonais AC e AG formam um ângulo de 80º. 10. Calcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440o. 11. A figura seguinte é um polígono côncavo (ou não convexo) de gênero sete. Trata-se de um Heptágono. a) Quantas e quais diagonais podem ser traçadas do vértice A? b) Quantas diagonais este polígono possui? 12. Num polígono regular ABCD ... a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 20o. Calcule o gênero e o número de diagonais desse polígono. 13. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. Calcule o número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro. 14. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação a2 - 4a, onde a é o número de lados do polígono. Qual é o nome desse polígono?
B
F
E D
C A
α
G
15
X – Relação entre Arcos e Ângulos O ângulo formado por dois raios de um círculo é chamado de
Ângulo central. Intuitivamente, observamos que o arco AB
representa da circunferência, tanto quanto o ângulo AÔB
representa de uma volta completa em torno do centro do
círculo.
A medida do ângulo AÔB é igual a medida angular do arco AB.
Usando o ângulo central podemos mostrar outras relações. 1) Ângulo inscrito: Ângulo formado por duas cordas consecutivas.
2) Ângulo Interno: Ângulo formado por duas retas que se cortam no interior do círculo.
2CDABBPA +=
)
3) Ângulo Externo: Ângulo formado por duas secantes que cortam-se fora do círculo.
A
B
α O
α =
A
B
P a a
b
2a + 2b b
2a + 2b = a + b = /2 A
P
B
α
α = /2
A
D
B
α
C
P
α é ângulo externo ao triângulo PDA portanto,
α = 22
CDAB +
α = 2
CDAB +
A
D
B
α
C
P
A
D
B
α
C
P
O ângulo ACB é externo ao triângulo PCA portanto,
α + 2
CB = 2
AB
então: α = 2
CDAB −
2CDABBPA −=
)
A
D
B
α
C
P
2AB
2CD
2CD
2AB
16
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, isto é, podemos admitir uma
circunferência tanto contendo seus vértices quanto tangenciando seus lados.
Problemas que envolvam polígonos regulares podem ser também resolvidos,
e as vezes com mais facilidade, quando desenhamos o polígono inscrito em um
círculo.
Observe o problema 06 que fora proposto na lista anterior. A proposta era
determinar a medida do ângulo α na figura sabendo que o octógono é regular.
EXERCÍCIOS 01. Os polígonos a seguir são regulares. Calcule a medida do ângulo α. a) b) c) d)
02. Calcule o ângulo formado pelas diagonais AC e CE de um pentágono regular.
TRIÂNGULO INSCRITO
QUADRILÁTEROCIRCUNSCRITO
O octógono regular divide a circunferência em 8 arcos iguais, portanto cada arco tem 45º. Como o ângulo α é um ângulo externo, em relação ao círculo:
α = 2
4590 oo − ⇒ α = 22º 45’
α45º
90º
α α
α
α
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03. Num polígono regular ABCD... a diagonal BD forma com o lado AB um ângulo de 120o. Calcule o gênero desse polígono. 04. Num polígono regular ABCD... os prolongamentos dos lados AB e DE são perpendiculares. Determine que polígono é esse. 05. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. Calcule a soma dos ângulos mostrados na figura. 06. Num polígono regular ABCD... os prolongamentos dos lados AB e DE formam um ângulo de 60o. Determine que polígono é esse. 07. Num polígono regular ABCD ... a diagonal BE forma com o lado AB um ângulo de 100o. Calcule o número de diagonais desse polígono.
A
B
C D
120o
B
A
C D
α β
60o
B
A
C D
E
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UNIDADE II SEMELHANÇA
I – Proporção
Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo
proporcionalidade. Diz-se que duas medidas X e Y são proporcionais aos números a
e b quando, x, y, a e b formam uma proporção, nesta ordem.
ba
YX = ou ainda X : Y :: a : b
Observe que: Se x e y são proporcionais a 2 e 3 isto significa que 32
YX = .
No entanto, x = 4 e y = 6 ; x = 6 e y = 9; x = 8 e y = 12; x = 10 e y = 15; e
tantas outras opções são possíveis soluções, para x e y, pois:
32
1510
128
96
64 ===== L
Portanto, somente a informação de que x e y são proporcionais a 2 e 3 não
define, efetivamente, quais são os valores de x e y.
No entanto, podemos chamar x e y, respectivamente, de 2a e 3a. Assim
temos 32
a3a2
yx == .
Exemplo: Suponhamos que um segmento AB = 20cm seja dividido pelo ponto P de
tal forma que PA e PB sejam, respectivamente, proporcionais a 2 e 3. Entre outras
resoluções vejamos duas maneiras diferentes da fazer:
1ª Resolução:
x + y = 20 e 32
yx =
Essas 2 equações e as 2 variáveis levam
você à resolução de um sistema.
y = 20 – x
Então: 32
x20x =−
⇒ 3x = 40 – 2x
⇒ 5x = 40 ⇒ x = 8
Logo: PA = 8cm e PB = 12cm
2ª Resolução: Chamemos PA = 2a e PB = 3a
Então 2a + 3a = 20 ⇒ 5a = 20
⇒ a = 4
Logo: PA = 8cm e PB = 12cm
20 cm
A P B x y
20 cm
A P B 2a 3a
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II – Definição de semelhança
Dados dois polígonos ABCD... e A’B’C’D’... de mesmo gênero, diz-se que
esses polígonos são semelhantes se são satisfeitas as duas condições:
i) seus ângulos são respectivamente iguais: A = A’; B = B’; C = C’; ...
ii) Seus lados são respectivamente, proporcionais: L==='D'C
CD'C'B
BC'B'A
AB
*Duas figuras semelhantes têm
exatamente o mesmo formato.
A razão k = L=='D'C
CD'B'A
AB é chamada RAZÃO DE SEMELHANÇA. Essa razão
representa quanto um polígono vale do outro.
II – Semelhança de Triângulos
São duas as condições que garantem a semelhança entre dois polígonos, no
entanto, no caso de triângulos, uma condição é necessária e suficiente para que a
outro se verifique, isto é, os ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais
se, e somente se, seus lados são respectivamente, proporcionais.
Logo, para garantirmos a semelhança de dois triângulos, basta que uma
dessas condições esteja satisfeita.
• A = A’ , B = B’ e C = C’ ⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’
• 'D'C
CD'C'B
BC'B'A
AB == ⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, basta que
dois ângulos sejam, respectivamente iguais, para afirmarmos a semelhança entre
dois triângulos.
A B
D
C
A’ B’
D’
C’
C
A B
C’
A’ B’
20
Conseqüência disso é que “toda reta traçada paralela a um dos lados de um
triângulo, determina um outro triângulo semelhante ao primeiro”.
Exemplos:
1) Nas figuras seguintes, a semelhança produzida pela reta paralela a um dos lados
do triângulo permite que calculemos os valores de x, y e z.
62
12x = ⇒ 6x = 24
Então x = 4
86
4yy =+
⇒ 8y = 6y + 24
Então 2y = 24 ⇒ y = 12
83
5z = ⇒ 8z = 15
Então z = 8
15
2) Na figura seguinte os triângulos ABC e AED são
semelhantes, pois são triângulos retângulos e possuem o
ângulo A, como um ângulo comum.
5x6
14x
+= ⇒ x2 + 5x = 84 ⇒ x2 + 5x – 84 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau temos: x = 7
Se r // BC, então: Δ ABC ~ Δ A’B’C’
A
C B
B’ C’ r
A
C B
B’ C’ r
4
6y8
2
x 4
12
3
5
z
8
5
x
6
8
A
D
C B
E
21
EXERCÍCIOS 01. Na figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG. Calcule as razões:
a) BGAB b)
CGCA c)
DGAG
02. Na figura, 37
PBPA = . Determine a razão entre os segmentos
___AB e
___BP .
03. Observe a figura.
Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e BC = 7. Sendo
P o ponto de interseção das retas AB e DC, calcule a medida do segmento BP.
04. Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, sabendo-se que o triângulo AEF tem lados AE = 24 cm, AF = 18 cm, EF = 32 cm e EC = 8 cm 05. Na figura, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão
BCDE
A
D
B
E
C
r
A
B
D
E
C
F
A B C D E F G
22
06. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e AMD, um triângulo equilátero. Calcule a medida de IM sabendo-se que BC = 30 cm? 07. Nas figuras seguintes calcule as medidas dos segmentos x, y e w, assinalados: 08. Um trapézio de bases 6m e 8cm tem 12 cm de altura. Calcule, a que distância da base maior: (a) Cortam-se suas diagonais? (b) Cortam-se os prolongamentos dos lados oblíquos? 09. Determine o comprimento do segmento MN paralelo às bases do trapézio seguinte: 10. Os catetos do triângulo seguinte medem 4 e 12 centímetros. Calcule a medida do lado do quadrado.
7
16
M N
2a
a
5
y
6
8x
8
10
6
6
A
B C
D
M
I
w
6
10
6
Dica: Por esse ponto trace uma reta paralela ao outro lado oblíquo do trapézio.
23
UNIDADE III
TRIÂNGULO RETÂNGULO
I – Introdução
Seja ABC um triângulo retângulo em A. Isso implica que A = 90º, que AB e AC
são os catetos e que AC é a hipotenusa.
Traçando a altura do vértice A em relação à hipotenusa, dividiremos o
triângulo em dois outros semelhantes.
ΔHAC ~ ΔABC ~ ΔHBA
Chamemos:
1) a altura relativa à hipotenusa AH, de h;
2) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa HC e BH, de m e n.
Usando a semelhança dos três triângulos temos: 1) O quadrado de um cateto é sempre o produto da hipotenusa por sua projeção.
ab
bm = ⇒ b² = a.m
ca
nc = ⇒ c² = a. n
A
C B
c b
a
A
B C
b c
a
h
H n m
c
n
h
m
h b c b
a
c b
a
24
2) O quadrado da altura (relativa à hipotenusa) é igual ao produto das projeções dos catetos.
hm
nh = ⇒ h² = m.n
3) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos.
ab
ch = ⇒ ah = bc
4) Principal relação: Teorema de Pitágoras
Mostramos que b² = am e que c² = na, então b² + c² = am + an = a(m + n)
Como (m + n) = a ⇒ b² + c² = a . a ⇒ a² = b² + c² Ou seja: “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.” Exemplo:
⇒ 25 = 9 + 16
A diagonal do quadrado e altura do triângulo eqüilátero são duas importantes
aplicações desse teorema.
1) Diagonal do Quadrado: Seja d a diagonal de um quadrado de lado l. d² =l ² + l² d² = 2l² d²= ²2l então d = l 2
c
n
h
c b
a m
h b
m
h b
169
25
3 4
5
Isso equivale dizer: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
l
l
l
l
d
25
2) Altura do Triângulo Eqüilátero: Seja h a altura de um triângulo equilátero de lado l
23 h
4²3h
4²3²h
4²²²h
²2
²h2
ll
l
ll
ll
=⇒=
=
−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
Exemplos/aplicações: 1. Em um trapézio retângulo de bases 5 e 3, a altura é igual a 2. Quanto mede o lado oblíquo às bases ? 2. A figura a baixo é formada pelo quadrado ABCD e pelo triângulo equilátero ACE cujo lado é a diagonal do quadrado. Se o lado do quadrado é 6cm, quanto mede o segmento BE?
3. Calcule a altura de um triângulo isósceles de base igual a 8cm e cujos lados congruentes medem 6cm.
A
C
B
E
D
O
l
l h l
l/2
3
2 2
5
2
x
3
Ao traçarmos a altura construímos um triângulo retângulo. Então: x2 = 22 + 22 ⇒ x2 = 8
Então x = 8 . Logo x = 2 2
Observemos que os pontos D, B e E são colineares, ou seja, estão sobre uma reta. Como as diagonais do quadrado cortam-se ao meio, parte da altura do triângulo equilátero é a metade da diagonal do quadrado. Portanto, BE + OB = OE ⇒ BE = OE – OB
Então: BE = 2
262
3.26 − ⇒ BE = 363 −
Caso seja necessário diremos BE ≅ 5,61
10
6 6 h
4 4
No triângulo isósceles, a altura traçada do vértice formado pelos lados iguais, coincide com a mediana e bissetriz, portanto, cada triângulo retângulo obtido tem h e 4 como catetos e hipotenusa igual a 6. Então: h2 + 42 = 62 ⇒ h2 = 36 – 16
h2 = 20 ⇒ h = 20 ⇒ h = 2 5
26
EXERCÍCIOS 01. Nas figuras seguintes, calcule os valores assinalados:
a) b) c)
02. Calcule o valor de x em cada uma das figuras abaixo: 03. Calcule o lado do quadrado inscrito no semicírculo de raio 8 centímetros. 04. Na figura, ABCD é um quadrado, DE = 3 cm e EP = 1 cm. Calcule a medida do lado desse quadrado. 05. A área do triângulo retângulo ABC da figura é: a) 18 b) 20 c) 22 d) 30 e) 24
8
x
x 12
18
D
A B
C
E
P
A
B
C
4 6
x
x – 1
7
27
06. Calcule o raio do círculo circunscrito do triângulo isósceles de base 6cm e altura 8cm. 07. Na figura, ABCD é um quadrado, calcule seu lado sabendo que M é ponto médio de AB e que PD mede 8cm. Calcule a medida do lado desse quadrado. 08. No quadrado ABCD de lados iguais a 8 cm, calcule o raio do círculo que passa pelos vértices A e B e tangencia o lado CD. 09. Num círculo de raio 10 cm traça-se uma corda de 16 cm. Calcule a distância da corda ao centro. (A distância de um ponto até uma reta é sempre um segmento perpendicular a reta) 10. A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32 cm2. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo? 11. Na figura seguinte os segmentos AB, BC, CD, DE, e EF todos têm medidas iguais a 1 cm e cada um deles é perpendicular a seu antecedente. Então, o segmento AF mede: (a) 5 (b) 3 (c) 2 (d) 6 (e) 7
A B
CD
•
Observe que os triângulos ADM, BMN e CNP são semelhantes.
A
B C
D
P M
N
B
F
E D
C
A
28
II – Lei dos Cossenos
Seja ABC um triângulo qualquer. Tracemos a altura relativa ao lado AC e chamemos, de m, o segmento AH, projeção do lado AB sobre o lado AC. Então, HC = b – m. Como Δ HBC é retângulo. Temos:
a² = h² + (b – m) ²
a² = h² + b² + m² - 2bm
a² = b² + h² + m² - 2bm
Como: h² + m² = c² e ainda, cos A = cm (o cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto
adjacente a esse ângulo, e a hipotenusa) ⇒ m = c . cosA
Substituindo na relação anterior temos a² = b² + c² - 2bc cosA
Ou seja: “O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois
lados, diminuído do duplo produto desses dois lados, pelo cosseno do ângulo
formado por eles.”
Observe que caso A = 90º, isto implica que cos A = 0 e a relação fica
reduzida ao teorema de Pitágoras.
a² = b² + c² - 2 bc.0 ⇒ a² = b² + c²
Exemplo: Calcular o cosseno do ângulo α na figura seguinte. Como o triângulo não é retângulo, o cosseno não pode ser calculado por cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Então, apliquemos a lei dos cossenos.
( 2 )2 = 12 + 22 – 2.1.2.cos α ⇒ 2 = 1 + 4 – 4.cos α
4.cos α = 3 Então: cos α = 43
Não estamos admitindo o triângulo ABC como triângulo retângulo, portanto aqui NÃO vale a relação h2 = m.(b-m).
A
B
C
h
a c
m b – m
b
H
1 2
2
α
29
EXERCÍCIOS 01. Calcule as medidas assinaladas nas figuras abaixo: 02. Considere na figura abaixo dois triângulos equiláteros de lados 6cm e 8cm, respectivamente. Calcule o segmento AD. 03. Calcule o cosseno do ângulo  num triângulo ABC onde AB = 12, AC = 14 e BC = 8 centímetros. 04. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 centímetros mede 120o. Calcule a maior diagonal desse paralelogramo. 05. Na figura, o triângulo DCM é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 6cm. Calcule a medida do segmento AM. 06. Observe a figura.
Nessa figura, o trapézio ABCD tem altura 32 e
bases AB = 4 e DC = 1. Calcule a medida do lado BC.
Dica: Trace uma reta pelo ponto D paralela ao lado BC.
y
8
7
60o
A
B C
D
E
2a
30O
o
3 3
8
10
x
60o
A B
60o
D C
B M
D C
A
30
07. Seja M o ponto médio da altura AH de um triângulo equilátero ABC de 8 cm de lado. Calcule a medida do segmento BM. 08. No triângulo equilátero ABC tem-se BM = MC = 2 centímetros e NA = 1 cm. Calcule a medida do segmento MN. 09. No quadrilátero da figura, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°. A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Para calcular o lado AD, que está faltando, você talvez tenha que resolver uma equação do 2º grau. 10. No quadrado ABCD de lado 3cm, os pontos P e Q dividem a diagonal AC em três partes iguais. Calcule a distância do ponto P ao vértice B.
D
A
C
B
P
Q
A
B C
M
H
AB
C
M
N
A B
CD
31
A área da figura é “n” se:
nu
S(F) =
Seja “u” a unidade de área:
1
1
1 1 F
UNIDADE IV
I. ÁREA
Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que
representa a Medida de sua superfície.
Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é entender o que
represente a área de uma região plana.
Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade
quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua
superfície e a superfície desse quadrado.
Fácil compreender, portanto, ainda que indutivamente, que a área do
retângulo seja o produto de suas duas dimensões.
Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por
exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm.
S = b.h
II – Principais áreas: • Paralelogramo
h
b
S = b.h
S = 4.3 Então S = 12 cm21 cm2
3cm
4cm
b
h
32
• Triângulo • Losango
• Trapézio
III – Polígono Regular
O Polígono regular de gênero “n” pode ser dividido, a partir do centro, em “n” triângulos isósceles congruentes.
Então: S = 2
a)..n( l⇒ S =
2a.p2 ⇒ S = p.a
Embora a área do polígono regular possa ser encontrada pelo produto do semi-perímetro pelo apótema, acaba sendo mais prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa conclusão, ou seja, o polígono pode ser dividido em triângulos congruentes.
b
h
Observe que o paralelogramo tem área igual ao dobro desse triângulo.
Então: 2S = b.h ⇒ S = 2h.b
d
D
Observe que o losango ocupa a metade do retângulo cujas medidas são suas diagonais.
Então: 2S = D.d ⇒ S = 2d.D
h
b
B
A área do trapézio pode ser obtida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais.
Então: S = 2h.b
2h.B + ⇒ S = 2
h ).bB( +
a
l
a
l
A área do polígono será “n” vezes a área deste triângulo.
Então: S = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2a..n l
⇒ S = 2
a)..n( l
Mas (n. l) é o perímetro do polígono que representamos por (2p) e a, que representa a distância do centro ao lado, é conhecido como apótema do polígono.
33
IV - Círculo
Consideremos os polígonos regulares inscritos no círculo, quanto maior é o
número de lados do polígono, mais a sua área se aproxima da área do círculo. Ou
seja, aumentando o número de lados do polígono inscrito num círculo, a área do
polígono tende ser a área do círculo.
Nesse processo, o perímetro do polígono tende a 2πr (comprimento da
circunferência) e, o apótema, tende a ser o raio r. A área do círculo então, pode ser
determinada como sendo a área do polígono cujo semi-perímetro é πr e apótema
igual a r.
Isto é: S = πr.r Logo S = πr2
Vale ainda ressaltar: 1) Seja ABC um triângulo do qual se conhecem dois lados o ângulo formado por eles.
Sabemos que S = 2h.a
Mas também sabemos que o sen α = bh
, então:
h = b.sen α, portanto, S = 2 sen .ab α
2) Radical de Heron. A área do triângulo pode ser obtida em função de seus lados.
S = )cp).(bp).(ap.(p −−− Onde p é o semi-perímetro do triângulo.
3) A área de um triângulo equilátero de lado l pode então ser determinada por:
S = l. 21.
23.l (multiplicar por
21 é o mesmo que dividir por 2) Então S =
432l
A B
C
a
c
b
b c
A
h
C B a
α
34
EXERCÍCIOS: 01. Calcule as áreas hachuradas, inscritas em quadrados de lados iguais a 6 cm. Admita que os vértices que estão sobre seus lados são pontos médios desses lados. a) b) c) d) e) f) 02. Na figura seguinte, ABC é um triângulo equilátero de 12 cm de lado e ABDE tem os ângulos retos. Calcule, em centímetros quadrados, as áreas dos triângulos CBD e ACD assinaladas nas figuras. (a) (b) 03. Na figura, o triângulo equilátero ABC tem lado 2cm e o vértice C está sobre o lado do retângulo ABDE. Determine a área assinalada. 04. O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdividido em 100 quadrados elementares iguais.
Determine a área sombreada correspondente às letras da sigla UFRJ se: a) a área da letra U é a unidade de área. b) a área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área. 05. Suponhamos que uma folha retangular, de 8cm por 5cm, seja dobrada segundo as ilustrações a seguir. Quantos cm2 quadrados terá a área hachurada do retângulo ABDQ ?
(a) 4 cm2 (b) 6 cm2 (c) 7 cm2 (d) 9 cm2
A B
C D E
P
A B
C D E
A B
C D E
B
C
A
D
35
06. Calcule a área do triângulo ADE na figura seguinte sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero de 6 centímetros de lado. 07. O decágono da figura ao lado foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado e mais 4 outros triângulos.
Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: (A) 14 T + 3 Q (B) 14 T + 2 Q (C) 18 T + 3 Q (D) 18 T + 2 Q
09. Considere o trapézio ABCD da figura e calcule a área do triângulo ADE. 10. Calcule as áreas hachuradas. Os arcos pertencem a circunferências com centros nos pontos médios dos lados do quadrado ou nos vértices dos mesmos. Os quadrados têm lados iguais a 6cm.
a) b) c) d) e) 11. O círculo seguinte tem 4cm de raio. Calcule a área hachurada sabendo-se que o ângulo ABC = 30o.
A B
CD
12 cm
4 cm
6 cm E
B
D C
E A
• O
A
B C
36
Bibliografia
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro:
SBM, 1993.
LIMA, Llon Lages. Áreas e volumes. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1973.
DOLCE, Osvaldo E IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática elementar. Vol. 9.
São Paulo: Atual, 1997.