Instationärer Stofftransport zwischen einer Einzelkugel und einer ruhenden Umgebung

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<ul><li><p>ubergang. Die in Abb. 13 eingezeichneten Kurven geben Gl. (36) wieder. Es zeigt sich, daB die fur den Stoffiiber- gang mitgeteilten Versuchswerte, die fur Sc = 2,54 und Sc = 1250 gelten, durch die neue Stoffubergangsgleichung gut wiedergegeben werden. Die Versuchswerte fur den Warmeubergang stimmen nicht so gut mit der neuen Glei- chung iiberein. Da die MeSwerte verhiiltnismaBig stark streuen und groBtenteils oberhalb der theoretischen Kur- ven liegen, besteht der Verdacht, daS die Abweichungen von den theoretischen Kurven durch den EinfluS einer uberlagerten freien Konvektion bedingt sind. Die bei den Warmeiibergangsversuchen gemessenen Temperaturdiffe- renzen erreichten Werte bis zu 173C. Man darf daher daraus schlieaen, da13 die neue Gleichung zuverlassige </p><p>[7] AT. Frossling, Beitr. Geophysik 52, 170/216 [1938]. [8] H . Kramers, Physica 12, 61/80 [1946]. [9] H. W . Powell, Trans. Instn. Chcm. Engr. 18, 36/55 [1940]. </p><p>[10] W . E. Ranz u. W . R. Marshall, Chcm. Engng. Progr. 48, </p><p>[ll] N . T . H s u u . B. H . Sage,A. 1. Ch. E. Journa13,405/10[1957]. [12] F . G. Garner u. R. D. Suckling, A . I. Ch. E. Journal 4 , 114/24 </p><p>[13] R. L. Steinberger u. R. E. Treybal, A. I . Ch. E. Journal 6, </p><p>[14] P. N . Rowe, K . T . Claxton u. J . B . Lewis, Trans. Instn. </p><p>[15] A. C. Lochiel u. P. H . Calderbank, Chem. Engng. Sci. 19, </p><p>[16] T . R. Galloway u. B. H . Sage, Int. J. Heat Mass Transfer 10, </p><p>[17] F. Ihme, Diplom-Arbeit am Institut fur Verfahrenstechnik </p><p>141/46 u. 173/80 [1952]. </p><p>[1958]. </p><p>227/32 [1960]. </p><p>Chem. Engr. 43, S. T 14/T 31 [1965]. </p><p>471/84 [1964]. </p><p>1 195/ 12 10 [ 19671. </p><p>Werte fur den Stoff- und Warmeaustausch liefert. wenn der Techn. Universitat Berlin, 1970. der erzwungenen keine freie Konvektion uberlagert ist. Ferner wird man auf Grund der Untersuchungen von Galloway und Sage [I61 annehmen mussen, daB der Turbu- lenzgrad der AuBenstromung nicht groSer als etwa 5 bis 6% sein darf. Eingegangen am 7. Oktober 1971 [B 32791 </p><p>Literatur </p><p>[l] H . Schlichting, Grenzschicht-Theorie ; G. Braun, 5. Aufl., Karlsruhe 1965. </p><p>[2] H . Brauer, Grundlagen der Einphasen- und Mehrphasen- stromungen; Sauerlander, Aarau u. Frankfurt/M. 1971. </p><p>[3] V . G. Jenson, Proc. Roy. Soc. [London] A 249, 346j66 [1959]. [4] A. E. Hamielec, T. W. Hoflmann u. L. L. Ross (Part I), A. E. </p><p>Hamielec, A. I. Johnson u. W . T. Houghton (Part 11), A. I. Ch. E. Journal 13, 212/24 [1967]. </p><p>[5] H . W . Morse, Proc. Amer. Acad. Arts Sci. 45, 363 [1910]. [6] J . Langmuir, Physic. Rev. 12, 368/70 [1918]. </p><p>[18] H . Schmidt-Traub, Dissertation, T. U. Berlin 1970. [19] G. G. Stokes, Trans. Cambr. Phil. SOC. 9, Part 11, 8/106 [1851]. [20] S. Taneda, Report of Research Institute for Applied Me- </p><p>[21] M . Linton u. K . L. Sutherland, Chem. Engng. Sci. 12, 214/29 </p><p>[22] C. Wieselsberger, Physik. Z . 23, 219/24 [1922]. [23] 0. Flachsbart, Physik. Z . 28, 462/69 [1927]. [24] H . D. Arnold, Phil. Mag. 6 Ser. 22, 755/75 [1911]. [25] H . Liebster, Ann. Physik 4. F. 82, 541j62 [1927]. [26] H . S. Allen, Phil. Mag. Ser. 5, 50, 323/38 u. 519134 [1900]. [27] C. W . Oseen, Arkiv. Math. Astr. Fysik. 6 (1910) Nr. 29. [28] S. Goldstein, Proc. Roy. SOC. [London] A 123, 225/35 [1929]. [29] P. L. T . Brian u. H . B. Hales, A. I. Ch. E. Journal 15, </p><p>419/25 [1969]. [30] H . Brauer u. D. Mewes, Stoffaustausch mit und ohne che- </p><p>mische Reaktionen; Sauerliinder, Aarau-Frankfurt/M. 1971. [31] S. Ewnochides u. G. Thodos, A. I. Ch. E. Journal 7 , 78/80 </p><p>[1961]. [32] K . Friedlander, A. I. Ch. E. Journal 7 , 347/48 [1961]. [33] L. R. Steele u. C. J . Geankoplis, A. I. Ch. E. Journal 5, 178/81 </p><p>chanics, 4, H. 16, 99/105 [1956]. </p><p>[1960]. </p><p>[1959]. </p><p>Instationarer Stofftransport zwischen einer Einzelkugel und einer ruhenden Umgebung * Ulf 1. Plocker und Henner Schmidt-Traub * * </p><p>Hewn Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. E . h. W . Ludewig xum 65. Geburtstag </p><p>Der instationare Stofftransport zwischen einer Kugel mit konstantem Durchmesser und ihrer Umgebung wird fur den Fall betrachtet, daB zwischen beiden Phasen zur Zeit t = 0 eine Konzentrationsdifferenz besteht, die sich mit der Zeit ausgleicht. Die theoretischen Rechnungen, die den Transport innerhalb und auoerhalb der Kugel beriicksichtigen, behandeln den Stoffaustausch im ruhenden System. Der EinfluB der verschiedenen Parameter auf die zeitliche dnderung der mittleren Kon- zentration und der mittleren Sherwood-Zahl wird dargestellt. Fur die Sherwood- Zahlen werden auBerdem Grenzkurven fiir kurze und lange Zeiten angegeben. Aus den numerischen Ergebnissen lassen sich fur das ruhende System die Bedingungen angeben, unter denen der Widerstand gegen den Stofftransport iiberwiegend in der Kugel oder in der Umgebung liegt. Es zeigt sich auBerdem, da13 die Stoffdurchgangs- zahlen nur in sehr begrenzten Fallen unabhangig von der Zeit sind. Die ermittelten Ergebnisse gelten in analoger Weise fiir den Wiirmeiibergang. </p><p>Fur Stoffaustauschvorgiinge werden hiiufig Anordnungen mit einem kontinuierlichen Fluid und einer darin dispers verteilten Phase angewendet, da hiermit groBe Ober- flachen pro Volumen und somit auch groBe Stoffstrome zu erreichen sind. Eine allgemeine Erfassung der dabei auftretenden Transportvorgange wird erschwert durch die vielfaltigen Moglichkeiten einer Zustandsanderung. </p><p>Dies gilt auch dann noch, wenn sich die Betrachtungen auf kugelformige Teilchen beschranken. </p><p>* Vorgetragen von B. Schmidt-Traub auf dem Jahrestreffen der Verfahrens-Ingenieure, 21. bis 23. September 1971 in Niirnberg. </p><p>** Cand.-Ing. U. Pldcker, Dr.-Ing. H . Schmidt-Traub, Institut fur Verfahrenstechnik der Techn. Universitiit Berlin. </p><p>Chemie-Ing.-Techn. 44. Jahrg. 1972 Nr . 5 313 </p></li><li><p>Den instationaren Stoffaustausch aufgrund einer Zu- oder Abnahme des Kugeldurchmessers haben Brian und Hales [l] sowie Ruckenstein und Constantinescu [2] theore- tisch untersucht. Die mitgeteilten Ergebnisse sind aber aufgrund der getroffenen Voraussetzungen nur begrenzt gultig. Andere Arbeiten gehen davon aus, daB die Ge- schwindigkeitsverteilung um die Kugel zeitlich unver- iinderlich ist und sich das anfangs zwischen der Kugel und der Umgebung vorhandene Konzentrationsgefalle mit der Zeit ausgleicht. Rechnungen dieser Art haben Ruckenstein [3], Taunton und Lightfoot [4] sowie Chao 15, 61 durchgefuhrt. Fur die Geschwindigkeitsverteilung innerhalb und auBerhalb einer fluiden Kugel verwende- ten die genannten Autoren die GesetzmaBigkeiten der Potentialstromung und der schleichenden Umstromung fur Reynolds-Zahlen Re &lt; 1. Die erzielten Ergebnisse gelten aber nur fur kleine Zeiten, da vorausgesetzt wird, daI3 die Konzentrationsanderungen auf die Umgebung der Phasengrenzflache beschrankt bleiben. </p><p>Ebenfalls fur Reynolds-Zahlen Re &lt; 1 berechneten John und Beckmann [7] den instationiiren Stoffaustausch, wo- bei sie voraussetzen, daI3 der Stoffubergangswiderstand allein innerhalb der Kugel liegt. Ihre Ergebnisse be- schreiben die instationare dnderung der Konzentration innerhalb der Kugel bis zum Ausgleich mit der Umgebung fur kleine und mittlere Werte der Kennzahl Re . Sc. Analoge Berechnungsunterlagen werden von H . Grober, S. Erk und U . Grigull [S] fur die instationtire Warme- leitung in festen Kugeln angegeben. Dabei wird voraus- gesetzt, daI3 der Warmeubergangswiderstand in der Um- gebung der Kugel durch eine konstante ubergangszahl erfaBt werden kann. </p><p>Experimentielle Untersuchungen uber den instationaren Stoffaustausch an schwebenden Tropfen haben Mensing und Schiigerl 19, 101 vorgenommen. Die erzielten Ergeb- nisse konnten aber nicht in geschlossenen GesetzmaBig- keiten zusammengefaBt werden. </p><p>Die vorliegende Arbeit befaI3t sich mit dem instationaren Stofftransport innerhalb sowie auI3erhalb einer Kugel. Es wird davon ausgegangen, daI3 die einzelne Kugel von einem nahezu unendlich ausgedehnten Medium umgeben wird, und sich beide Phasen in Ruhe befinden. Fur den Stofftransport wird vorausgesetzt, daB binare Gemische vorliegen und die Konzentration der ubertragenen Kom- ponente A in groBer Entfernung von der Kugel konstant ist. Als Anfangsbedingung zur Zeit t = 0 wurde innerhalb und auI3erhalb der Kugel jeweils eine konstante Konzen- tration der Komponente A angenommen. Mit fortschrei- tender Zeit findet dann ein Konzentrationsausgleich beider Phasen statt. Der Konzentrationssprung in der Phasengrenzflache ergibt sich aus der Gleichgewichtsbe- dingung. </p><p>Stofftransportgleichungen </p><p>Die Differentialgleichung fur den Stofftransport inner- halb der Kugel lautet in dimensionsloser Schreibweisel) : </p><p>1 ) Erlfiuterung der Formelzeichen am SchluD der Arbeit. </p><p>Die Konzentrationsverteilung in der Umgebung einer Kugel wird durch folgende Gleichung beschrieben : </p><p>Um die Genauigkeit der numerischen Ergebnisse zu ver- bessern, wurde in der Gl. ( 2 ) die Koordinatentransforma- tion r* = ez durchgefuhrt. Mit der Transformation werden trotz groBer Ausdehnung des Feldes kleine Differenzen- schritte in der Nahe der Phasengrenzflache erzielt. </p><p>Zur dimensionslosen Darstellung der Stofftransport- gleichungen wurden folgende dimensionslose GroDen und Kennzahlen eingefuhrt : </p><p>r* = r/R radiale Koordinate (Phase l) , </p><p>z = In(r/R) radiale Koordinate (Phase 2 ) , </p><p>(3) </p><p>(4) </p><p>F O m l E tDilR2 Fourier-Zahl fur den Massentransport (Phase l), ( 5 ) </p><p>Fomz E tDZlR2 Fourier-Zahl fur den Massentransport (Phase 2 ) , (6) </p><p>DJD, Verhdtnis der Diffusionskoeffizienten, (7) </p><p>(8) &amp; =-- -~ </p><p>(9) ,tz E _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ </p><p>I n den Gleichungen bedeuten: r die radiale Koordinate, R den Kugelradius, t die Zeit, D den Diffusionskoeffizien- ten, @A die Partialdichte der iibergehenden Komponente A. Die Indices kennzeichnen folgende Zustiinde : p Phasen- grenzflache, 00 groI3e Entfernung von der Kugel, 0 zur Zeit t = 0, 1 innerhalb der Kugel (Phase l), 2 auI3erhalb der Kugel (Phase 2). Fur die Henry-Zahl gilt die Defini- tion : </p><p>@ A 1 - H* eAzm dimensionslose Konzentration @A10 - H * Q A Z ~ innerhalb der Kugel, </p><p>@ A Z - @AZm dimensionslose Konzentration in @AZPO - @A2m der Umgebung der Kugel. </p><p>H* @AiP/@AzP - (10) </p><p>Abb. 1. Konzentrationsverteilung wilhrend des instationiiren Stofftransportes ; </p><p>a) Stoffiibergangswiderstand in der Kugel groner als in der Um- gebung, b) Stoffubergangswiderstand in der Umgebung grorjer als in der Kugel. </p><p>314 Chemie-Ing.-Techn. 44. Jahrg. 1972 I Nr. 5 </p></li><li><p>Anfangs- und Randbedingungen durchtretende Stoffstromdichte laat sich durch das Ficksche Transportgesetz fur die Phase 1 bzw. fur die </p><p>Wie Abb. l a und b zeigt, wird zur Zeit t = 0 bzw. Phase 2 berechnen. Da die Stoffstromdichte in beiden Fo, = 0 eine konstante Konzentrationsverteilung in der Phasen gleich groG ist, spielt es keine Rolle, fur welche Kugel angenommen. Damit ergibt sich als Anfangsbe- Phase es angewendet wird. </p><p>Konzentration dingung fur Fom = 0 in der K'gel die Wahlt man Phase 1, dann lautet das Transportgesetz an </p><p>der Phasengrenzfliiche : llo = 1 fur 0 &lt; r* &lt; 1 und in der Umgebung der Kugel </p><p>teo = 0 fur 0 &lt; z &lt; zm Im Kugelmittelpunkt gilt wegen der Symmetrie die Randbedingung </p><p>(11) </p><p>(12) . </p><p>r * = O . </p><p>In der Phasengrenzfliiche wird fur alle Zeiten ein Kon- zentrationsgleichgewicht entsprechend dem Henryschen Gesetz G1. (10) angenommen. Eine Randbedingung fur die Phasengrenzflache lautet daher in dimensionsloser Form : </p><p>(14) &amp;p = 12p fur r* = 1 bzw. z = 0 . Die zweite Randbedingung , die ebenfalls den Stofftrans- port in beiden Phasen miteinander koppelt, besagt, daR die Stoffstromdichten zu beiden Seiten der Phasengrenz- flache ubereinstimmen. Unter Beachtung des Fickschen Gesetzes fur die iiquimolare Diffusion folgt hieraus </p><p>Di a h 852 .. H* fur r* = 1 bzw. z = 0 D~ ar* a z </p><p>Da in grol3er Entfernung von der Kugel die Konzentration konstant bleibt, lautet hier die dimensionslose Randbe- dingung : </p><p>= 0 f" ur z = xm . (16) Die numerische Losung der angegebenen DBusionsglei- chungen erfolgte mittels impliziter Differenzenverfahren. Sie wurde von Plocker [ l l ] vorgenommen2). </p><p>Sherwood-Zahlen </p><p>Definition der Sherwood-Zahlen </p><p>Die Berechnung der zum Zeitpunkt t durch die Phasen- grenzflache hindurchtretenden momentanen Stoffstrom- dichte h A t 1aSt sich unter Verwendung eines Stoffdurch- gangskoeffizienten mittels der folgenden Gleichung vor- nehmen : </p><p>h A t pi t (@Aio - H*@Azm) - (17) Die hierin auftretenden Partialdichten und die Henrysche Konstante H* durfen als bekannt angesehen werden. Denn ist die Partialdichte in der Kugel zur Zeit t = 0 und p~~~ die zeitunabhiingige Partialdichte in der Um- gebung bei sehr groBem Abstand von der Phasengrenz- flache. Ferner bedeutet Flt einen momentanen Stoffdurch- gangskoeffizienten. Die durch die Phasengrenzflache hin- </p><p>2) Das Reohenprogramm und eine Programmbeschreibung sind in der Bibliothek der Technischen Universitiit Berlin hinter- legt worden. Sie konnen auf Anforderung von dort bezogen werden. </p><p>Nach Gleichsetzen mit Gl. (17) und Einfuhren der dimen- sionslosen Schreibweise erhalt man eine Berechnungs- gleichung fur die momentane Sherwood-Zahl : </p><p>Fur die mittlere Sherwood-Zahl gilt : F O m 7 </p><p>0 </p><p>Mittels p1 1aRt sich die bis zum Zeitpunkt t insgesamt durch die Kugeloberflache hindurchgetretene Stoffstrom- dichte berechnen : </p><p>GZA pi (@A10 - H * @ A z m ) . (21) Die Stoffdurchgangskoeffizienten lassen sich ebenfalls mit Hilfe des auf Phase 2 angewandten Fickschen Transport- gesetzes berechnen. Da die Stoffdurchgangskoeffizienten p1 und pz immer gleich groR sind, ist auch das Verhaltnis der Sherwood-Zahlen stets umgekehrt gleich dem Ver- haltnis der Diffusionskoeffizienten. Zwischen der mittle- ren Konzentration innerhalb der Kugel und der mittleren Sherwood-Zahl Sh, gilt die Reziehung : - </p><p>t 1 = 1 - ~Sh,Fo,, . ( 2 2 ) Spexielle Losungen fu r kurze Zeiten </p><p>Fur sehr kurze Zeiten beschranken sich die Konzentra- tionsanderungen auf die unmittelbare Ndhe der Phasen- grenzflgche, so daB in grol3erer Entfernung die Konzen- trationen in beiden Phasen konstant bleiben. Da in diesem Fall groRe Konzentrationsgradienten vorliegen, kann in den Diffusionsgleichungen die Krummung der Grenz- fliiche vernachlassigt werden. Unter Beachtung dieser Vereinfachungen laBt sich das Konzentrationsfeld inner- halb der Kugel durch die Gleichung </p><p>und das Konzentrationsfeld in der Umgebung durch </p><p>beschreiben. Die radiale Koordinate r* ist dabei durch den dimensionslosen Abstand von der Phasengrenzflache y; = 1 - r* bzw. ya = r* - 1 ersetzt worden. Aus der Losung [ 121 der Differentialgleichungen ergeben sich fur die mittleren Sherwood-Zahlen die Beziehungen : </p><p>und </p><p>315 Chemie-Ing.-Techn. 44. Jahrg. 1972 I Nr. 5 </p></li><li><p>Aus den Gleichungen geht hervor, daB die Sherwood- Zahlen fur Fonlz --f 0 bzw. Foml -&gt; 0 umgekehrt propor- tional der Wurzel aus den Fourier-Zahlen sind. Die Stoff- durchgangskoeffizienten sind zu Beginn des Stofftrans- portes unendlich groS und werden mit zunehmender Zeit kleiner. Neben der Fourier-Zahl uben die Henry-Zahl H* und das Verhaltnis der Diffusionskoeffizienten einen maB- gebenden EinfluB auf die GroBe der Sherwood-Zahl aus. Er wird fur zwei So...</p></li></ul>

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