inovacije u nastavi - univerzitet u beogradu · 26, ~asopis za savremenu nastavu inovacije u...

136
2 6 , ~asopis za savremenu nastavu INOVACIJE u nastavi YU ISSN 0352-2334 UDC 370.8 Vol. 19

Upload: others

Post on 05-Sep-2019

15 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

2 6,

~asopis za savremenu nastavu

INOVACIJE u nastavi

YU ISSN 0352-2334 UDC 370.8 Vol. 19

2 6,

~asopis za savremenu nastavu

INOVACIJE u nastavi

Adresa redakcije:

U~iteqski fakultet,

Beograd, Kraqice Natalije 43

Telefon: 011/3615-225 lok. 122

Faks: 011/2641-060

Pretplate slati na teku}i ra~un

br. 840-1906666-26 poziv na broj

97 74105, sa naznakom

"za ~asopis Inovacije u nastavi"

Izlazi ~etiri puta godi{we

Ministarstvo za informacije

Republike Srbije

svojim re{ewem broj 85136/83

registrovalo je ~asopis pod rednim

brojem 638 od 11. 1983.

www.uf.bg.ac.yu

E-mail:

III

[email protected]

YU ISSN 0352-2334 UDC 370.8 Vol. 19

Izdava~:

Redakcija:

Sekretar redakcije:

Tehni~ki urednik:

Lektor i korektor:

Prevodilac:

Dizajn naslovne strane:

Tehni~ka obrada:

[tampa:

U~iteqski fakultet, Beograd

dr Ivica Radovanovi}, glavni urednikdr Biqana Trebje{anin, odgovorni urednikdr Nedeqko Trnavacdr Radmila Nikoli}mr Miroslava Risti}mr Zorana Opa~i}

dr Mirko Deji}

mr Sawa Blagdani}

Zorica Kova~evi}

mr Sla|ana Ja}imovi}

Marina Cvetkovi}

Dragana Lacmanovi}

Zoran To{i}

AKADEMIJA, Beograd

Vera Radovi}

Urednik tematskog bloka:

U^

IT

EQ

SKI FAKUL

TET

BEOGRAD

U F»ITEySKI AKULTET

UNIVERZITET U BEOGRADU

CIP -

-

-

-

-

ISSN

COBISS.SR-ID

Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

37

INOVACIJE u nastavi: ~asopis za

Savremenu nastavu / glavni urednik Ivica

Radovanovi}; odgovorni urednik Biqana

Trebje{anin. God. 1, br. 1 (11 mart

1983) - . Beograd (Kraqice Natalije

43): U~iteqski fakultet, 1983 (Beograd

: [tamparija Akademija). 24 cm

Tromese~no.

0352-2334 = Inovacije u nastavi

4289026

Inovacije u nastavi nalaze se na

listi nau~nih publikacija

Ministarstva nauke i za{tite

`ivotne sredine Republike Srbije

TEMA BROJA: METODI^KI ASPEKTI NASTAVE MATEMATIKE

Dr Savo ]ebi} Geometrija u {kolskoj nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Mr Olivera \oki} Uloga intuicije u nastavi geomterije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Dr Jasmina Milinkovi}Reprezentacije u nastavi verovatno}e i statistike uosnovnoj {koli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Mr Valerija Kreki} Pinter

Savremene metodi~ke transformacije kombinatorike u po~etnoj nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Mr Marijana Zeqi} Metodi~ki okviri za razradu matemati~kih pojmova . . . . . . . . . . . . . 49

Dr Miodrag Ra{kovi},Dr Neboj{a Ikodinovi}

Nastava matematike - izme|u ideje i rutine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Dr Milana Egeri} U~ewe matematike u malim grupama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Aleksandra Mihajlovi} Razvijawe kreativnosti u po~etnoj nastavi matematike. . . . . . . . . . . 76

Dr Mirko Deji} Po~eci zapisivawa broja pomo}u kanapa i {tapa . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Dr Radovan Antonijevi} Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Dr Ana Vujovi}Srpski ekvivalenti jezi~kih sredstava za izra‘avawerestrikcije u francuskom jeziku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Jelena Filipovi}, JulijanaVu~o, Qiqana \uri}

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji: od pilot modela donastave stranih jezika za sve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Dr Rajna Dragi}evi}O engleskim frazelnim glagolima iz srbisti~kog ugla(prikaz kwige) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

Mr Vesna Trifunovi}Pedago{ko-andrago{ki aspekt vrednosnih orijentacijamladih i odraslih (prikaz kwige) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Mr Miroslava Risti} Upravqawe u obrazovawu - korisne WEB lokacije. . . . . . . . . . . . . . . . 131

SADR@AJ

THE TOPIC OF THE ISSUE: METHODLOLOGICAL ASPECTS OF TEACHING MATHEMATICS

Savo ]ebi}, PhD Geometry in teaching mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Olivera Djoki}, MA Intuition role in teaching geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Jasmina Milinkovi}, PhdRepresentations in teaching probability and statistics in primaryschool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Valerija Kreki} Pinter, MAContemporary methodological transformations of combination inbasic mathematics teaching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Marijana Zelji}, MA Methodological frames for processing mathematical terms. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Miodrag Ra{kovi},PhD,Neboj{a Ikodinovi}, PhD Teaching Mathematics - Inbetween an idea and routine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Milana Egeri}, PhD Teaching mathematics in small groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Aleksandra Mihajlovi} Developing creativity in basic mathematics teaching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Mirko Deji}, PhD Beginnings of noting down numbers in the makeshift manner . . . . . . . . . . . . . . 82

Radovan Antonijevi}, PhD The term "knowledge" and forms of knowledge in teaching. . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Ana Vujovi}, PhDSerbian equivavelents of language means for expressing restrictionin French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o,Ljiljana Djuri}

Early foreign language learning in Serbia: from pilot model toteaching everybody foreign languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Rajna Dragi}evi}, PhDOn English phrasal verbs from Serbian point of view (Review ofthe book) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Vesna Trifunovi}, MAPedagogical-andragogical aspects of value orientations of the youngand adults (Review of the book) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Miroslava Risti}, MA Management in eduacation - Useful WEB sites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

CONTENTS

O predmetu geometrije

Geometrija je matemati~ka disciplinakoja strogo prou~ava prostor i oblike (fi-gure i tela) koji se mogu zamisliti. U eti-molo{kom smislu, re~ geometrija zna~i"merewe Zemqe" (gr~ki: γεω - zemqa, µετρεω- merim; doslovno: (γεωµετρια - zemqomer-stvo), ali je veoma rano primila mnogo {irezna~ewe, pa je kod starih gr~kih klasi~arapredstavqala skoro celinu teorijskematematike. Mnogo kasnije Paskal (BlaisePascal, 1623-1662, francuski matemati~ar,fizi~ar i filozof) rekao je da je "predmet~iste geometrije prostor", podrazumevaju}i

pod tim, kao i ostali matemati~ari XIXveka, intuitivan i fizi~ki prostor, gde semogu smestiti sve vidqive pojave. Danas sevi{e ne govori o prostoru ve} o prostorima,te bi pribli‘na definicija geometrijebila: "Geometrija se bavi prou~avawemskupa nazvanog prostor ~iji su elementi naz-vani ta~ke; ovo prou~avawe je naro~itoposve}eno endomorfizmima ovog skupa."([10], 54).

Kao deo matematike, geometrijaobuhvata razne i obimne matemati~ke teo-rije. Svugde je re~ o prostornim odnosima.Svugde se polazi od prostornih predstava,

Dr Savo ]ebi}U~iteqski fakultet, BeogradNastavno odeqewe u Vr{cu

Izvorninau~ni ~lanak

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 5-20 UDC 514.01: 510.64

Rezime: Nastava geometrije ima dugu tradiciju. Od Platona pa do danas geometrijaje sastavni deo nastavnog gradiva u {kolama op{teobrazovnog karaktera. Op{te jepoznata ~iwenica da ve}ina u~enika nema interes za geometriju, a znawe ove matemati~kediscipline se nalazi na nedopustivo niskom nivou. O tome govore i u~iteqi, i nas-tavnici, i profesori fakulteta, i roditeqi, i sami u~enici. Jedan od ciqeva ovoga radaje da uka‘e na uzroke koji su doveli do zanemarivawa geometrijskih sadr‘aja u nastavimatematike. Posebno su razmatrani zadaci i ciqevi nastave geometrije. Istaknuti surazlozi zbog kojih bi trebalo povesti o{tru i efikasnu borbu protiv zapostavqawageometrije u {kolskoj nastavi matematike.

Kqu~ne re~i: matematika, geometrija, nastava, metodika.

5

pa i onda kada se te predstave napu{taju. Ugeometriji se prou~avaju osobine tela,povr{i, linija, kakvih bilo geometrijskihlikova, a koje se odnose na polo‘aj, oblik,veli~inu. Pri tome se u geometriji ne pos-matra kretawe u toku vremena, pa ni ostaleosobine tela, kao {to su, na primer,toplina, elasti~nost itd. Istina, ponekadse u geometriji govori o kretawu, ali to jesamo radi pogodnijeg opisivawa ~istogeometrijskih odnosa, kao {to je podudar-nost. Apstrahuje se, dakle, od vremena i odraznih drugih osobina, kojima se, naprotiv,bavi fizika i druge prirodne nauke i wi-hove matemati~ke teorije.

Kad ka‘emo, na primer, da je u pra-vouglom trouglu kvadratna povr{ nad hipo-tenuzom jednaka zbiru kvadratnih povr{inad obema katetama, apstrahujemo od okol-nosti da su trouglovi, koje nalazimo, crtamoili gradimo u svetu, od raznog materijala iu raznim bojama, da su, na primer, nacrtanikredom na {kolskoj tabli, i da je ta~nostkojom su ostvareni uvek ograni~ena, itd.^iwenice iskustva ulaze u geometrijumisaono prera|ene. Svaka nacrtana ta~kaima svoju veli~inu i nije "geometrijskata~ka", o kojoj pretpostavqamo da uop{tenema veli~ine. Ravan nekog stola jeograni~ena rubom stola i ravna je samo dokse ovla{no posmatra, a "geometrijsku ravan"zami{qamo neograni~enom i savr{enoravnom.

Dodajmo da se u geometriji, {tavi{e,~esto apstrahuje i od samih geometrijskihsvojstava prirodnog prostora, razra|uju}irazne vrste geometrija, koje vi{e neodgovaraju na{im prostornim predstavama.

Induktivni i deduktivni put izgradwe geometrije

U procesu mi{qewa kojim pojedinac, au krajwoj liniji i ~ove~anstvo, dolazi dootkri}a nau~nih istina isti~u se dva puta,odnosno dve metode. Jedna je induktivna, adruga deduktivna.

Kako ~iwenice iskustva ulaze ugeometriju misaono prera|ene i razra|ene,bio je u pro{losti dug put do geometrije kaologi~ke, matemati~ke nauke. Akopotra‘imo kako se tokom istorije ~ove~an-stva razvijala geometrija, na}i }emo da jedugo crpela svoja saznawa neposredno iziskustva. Takva je bila geometrija starihkultura Mesopotamije i Egipta, pre Grka,dakle od po~etka istorije do otprilike sed-mog stole}a pre na{e ere. Nije se mo‘da nimislilo na to da se udeo posmatrawa razlu~iod udela razmi{qawa i vo|stvo preda samomrazmi{qawu. Tada je geometrija bila prven-stveno iskustvena, empirijska nauka (gr~ki:εµπερια - iskustvo). Ona je uvodila u svojasaznawa (koja su sva mawe-vi{e op{tegkaraktera) polaze}i od pojedinih ~iwenicaposmatrawa (koje su uvek posebnog karak-tera). Dakle, bila je ujedno induktivnanauka (latinski: inducere - uvoditi).

Posmatrajmo, na primer, stav premakome se tri simetrale stranica jednogtrougla seku u jednoj ta~ki. U ta~nost ovogstava mo‘emo se uveriti samom konstrukci-jom. Nacrtajmo bilo kakav trougao. Zatimodredimo sredi{ta wegovih stranica. Akoje crte‘ dovoqno ta~an, vide}emo nepos-redno to {to stav tvrdi. Ovo je put nepos-rednog opa‘awa, iskustva. Moglo bi se re}ida smo crtawem izvr{ili jedan geometri-jski ogled. Put je induktivan, jer iz jednogkonkretnog slu~aja (iz slike) zakqu~ujemoda stav va‘i u svim slu~ajevima. Stro‘ije

Savo ]ebi}

6

uzeto, induktivna metoda bi zahtevala daistu konstrukciju ponovimo vi{e puta, bi-raju}i trouglove raznih oblika i veli~inai da tek na osnovi svih tih "ogleda"zakqu~imo da je op{ti stav ta~an.

Strogo uzev{i, induktivna metoda nedaje dovoqan dokaz onoga {to se tvrdi. Samoiskustvo ne kazuje za{to je onako kao {to setvrdi, ni za{to ne mo‘e biti druk~ije.Ta~nost svakog crte‘a je uostalomograni~ena i de{ava se, recimo, da se uslici tri prave ne seku u jednoj ta~ki ma dase u istini seku. Logi~ki dokaz jedini jepouzdan i, {tavi{e, dovoqan. U pouzda-nosti i, takore}i, potpunom razja{wewu,koju pru‘aju logi~ki dokazi mo‘emo videtijedan od motiva koji su jo{ u davna vremenagonili qude da geometriju izgrade u logi~kunauku.

Jo{ i danas, posebno u {kolskoj nas-tavi, geometriji se pristupa kao zbircimawe-vi{e o~iglednih ~iwenica, u~e}iprvo kako da se iz pojedinih opa‘awaobrazuju induktivnim putem op{tigeometrijski zakqu~ci. To je u nastaviopravdano. Pa i kasnije, svaku geometrijskusliku koju smo nacrtali da bismo se lak{esna{li u re{avawu nekog geometrijskogzadatka, mo‘emo smatrati ostatkom induk-tivne, empirijske metode. Svaka geometri-jska slika je geometrijski ogled. Kao {to se,na primer, u eksperimentalnoj fiziciutvr|uje Arhimedov zakon - da telo ute~nosti gubi od svoje te‘ine onolikokoliko je te{ka istisnuta te~nost - time{to se izvede doti~ni ogled, a ne nizomlogi~kih zakqu~aka ({to je tako|e mogu}e,ali je to predmet teorijske, matemati~kefizike), tako se u geometriji mo‘e nacrtatislika ili (u stereometriji) sagraditimodel, da bi se lak{e uvidela nekageometrijska istina. Slika i modeli su

posebni, konkretni predmeti, ali na{erasu|ivawe ima op{te zna~ewe. Svakigeometrijski stav iskazuje jednu op{tu~iwenicu, koja se oko nas ostvaruje bezbrojputa, ili bi se mogla ostvariti, na raznena~ine, sa mawom ili ve}om ta~no{}u.

Verovatno se vrlo davno po~elonaslu}ivati da geometrijske istine stoje unaro~itoj uzajamnoj zavisnosti, koja seotkriva pa‘qivim rasu|ivawem. Pogleda-jmo, na primer, takozvani "drugi" stav opodudarnosti trouglova: "Dva trougla supodudarna ako imaju podudarne po jednu stra-nicu i oba ugla, nalegla na tu stranicu".Mo‘emo se uveriti u ta~nost tog stava ineposredno, ako konstrui{emo, recimo odkartona, dva trougla na kojima su ostvareniuslovi stava, pa ih prenesemo jedan na drugitako da se poklope elementi koji su po pret-postavci podudarni. Tada se neposrednovidi da se oba trougla potpuno podudaraju.Izvr{en je, u stvari, ogled i stav je wimepotpuno potvr|en. Postupak je empirijskiinduktivan. No, umesto toga mo‘emo seuveriti u ta~nost ovog stava i putem koji nasosloba|a potrebe da na~inimo dva trouglana opisani na~in pa da ih prenosimo jedan nadrugi, ali pod uslovom da smo ve} utvrdilitakozvani "prvi" stav o podudarnostitrouglova. Na osnovu tog "prvog" stavamo‘emo, naime, na poznati na~in dokazatisamim logi~kim rasu|ivawem "drugi" stav opodudarnosti trouglova. (Stro‘ije posma-trano, treba pretpostaviti jo{ izvesne sta-vove, ali mo‘emo imati u vidu upro{}endokaz kakav se u~i u {kolskoj nastavimatematike). Dakle, "drugi" stav o podudar-nosti trouglova sledi logi~ki iz "prvog"stava o podudarnosti trouglova. Isto takomogao bi se samim rasu|ivawem dokazati i"prvi" stav o podudarnosti trouglova kad bise po{lo od "drugog" stava. Izme|u oba stava

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

7

postoji uzajamna logi~ka zavisnost. Takvelogi~ke veze postoje me|u svim stavovimageometrije, prostije ili slo‘enije.

U iznala‘ewu te logi~ke povezanostisastoji se takozvana metoda logi~ke reduk-cije u geometriji, tj. svo|ewa jednog stava nadruge, dokazivawem na temequ tih drugihstavova (latinski: reducere - svoditi). No,logi~ka redukcija karakteri{e geometrijutek ako se izvodi sistematski, tako da se sta-vovi geometrije postave u izvestan niz i utom nizu svaki stav doka‘e na temequ rani-jih stavova toga niza. Kad se tako geometri-jski stavovi izvode logi~kim rasu|ivawemjedni iz drugih, kasniji iz ranijih, idu}i iz-vesnim redom, geometrija postaje deduk-tivna nauka (latinski: deducere - izvoditi).

Tek u staroj gr~koj kulturi, usrazmerno kratkom vremenu, uglavnom od 6.do 4. stole}a pre na{e ere, geometrija sejavno razvila u deduktivnu nauku, koja se sasvojih temeqa podi‘e samom logi~komnu‘no{}u. Deduktivna metoda je ono {tovi{e od svega drugoga karakteri{e ne samogeometriju, nego matematiku uop{te.

Da bi se geometrija izgradiladosledno svojoj metodi, kao strogo deduk-tivna nauka, weno izlagawe treba da budenezavisno od na{ih geometrijskih pred-stava. Wen sadr‘aj treba da ostane na snazii ako se odreknemo potpuno prostornihpredstava i zadr‘imo jedino "prazne"logi~ke odnose, sadr‘ane u wenim sudovimai zakqu~cima. To je vi{i stepen apstrakcijeod onoga na kome se, dodu{e, odri~emo konk-retnosti predmeta u prostoru, ali jo{ sedr‘imo geometrijskih predstava. Wime seodlikuje aksiomatsko izlagawe geometrije.

Iako se, u {koli, ne mo‘e govoriti ostrogom deduktivnom izlagawu geometrije,jasno nam je da, bez obzira na stepen stro-

gosti, cela geometrijska materija mora bitiizgra|ena na odre|enom sistemu aksioma, pase ili taj sistem navodi u celini na samompo~etku izlagawa ({to je, za {kolsku nas-tavu, lo{ija varijanta) ili se tokom izla-gawa mestimi~no infiltriraju pojedine ak-siome kao i grupe aksioma.

Kada govorimo o izboru sistema ak-sioma za {kolski kurs, moramo odmah re}ida za to, prakti~no, nema {irih mogu}nosti,ali se uvek mogu vr{iti izvesne modifi-kacije poznatih aksiomatskih sistema ikombinacije koje se obrazla‘u spe-cifi~no{}u izlagawa u~enicima odre|enoguzrasta.

Ciqevi nastave geometrije

"Geometrija je najmo}nije sredstvoza izo{travawe na{ih umnihsposobnosti i daje nam mogu}nostda pravilno mislimo i rasu|ujemo"

Galileo Galilej (1564-1642)

Sadr‘aj i karakter matemati~kogobrazovawa ne ostaje nepromewiv i u znatnojmeri je odre|en stawem matemati~ke nauke,ali u prvom redu onim ciqevima koje obra-zovawu postavqa dru{tvo. Nastava treba dasadr‘i ono {to }e kasnije biti potrebno u‘ivotu, {to }e razviti {irinu i samostal-nost mi{qewa u~enika, ali i ono {to }estvoriti naviku da se ste~eno znawe iskori-sti u raznim situacijama u praksi. Veoma jeva‘no odgajivati u svesti u~enika onu os-novnu ideju da je ciq nau~nog razvitkasaznavawe sveta koji nas okru‘uje i daqeiskori{}avawe upoznatih zakonitosti uprakti~noj delatnosti. A kad je re~ o nas-tavi geometrije, tada je od izvanrednogzna~aja ne samo da se poka‘e logi~kazavr{enost wene strukture nego i wene mno-

Savo ]ebi}

8

gobrojne veze sa praksom i neizbe‘nostwenog kori{}ewa kao najdragocenijeg sred-stva saznawa.

Op{te je poznata ~iwenica da ve}inau~enika nema interes za geometriju, a znaweove matemati~ke discipline se nalazi na ne-dopustivo niskom nivou. O tome govore inastavnici, i profesori fakulteta, i ro-diteqi, i sami u~enici. Istra‘ivawa kojasu 2001. i 2002. godine obavqena u osnovnim{kolama gradskih op{tina grada Beograda iosnovnim {kolama sa teritorije ju‘nog Ba-nata pokazala su da u~enici od svih sadr‘ajanastave matematike najmawe interesovawepokazuju za geometriju. Jedan rezultat ovihistr‘ivawa posebno isti~emo: intere-sovawe za geometrijske sadr‘aje obrnuto jeproporcionalno uzrastu u~enika. Autorovoga ~lanka je u prethodne tri decenije, izgodine u godinu, bio ~lan raznih komisija i‘irija za pregled i ocenu u~eni~kih radovaiz matematike, kako na prijemnim ili klasi-fikacionim ispitima, tako i na matema-ti~kim takmi~ewima. Prate}i posebnorezultate u~enika u re{avawu zadataka izgeometrije do{ao je do slede}eg podatka:zadatke iz geometrije poku{ava da re{i oko40% u~enika. Od wih uspe{no zadatke re{isvega jedna tre}ina. Posebno su karakteri-sti~ni rezultati klasifikacionih ispitaza upis u sredwu {kolu. Delovi testova izmatematike koji se odnose na geometrijskesadr‘aje (po pravilu su to posledwi zadaciu testu) uglavnom su nedirnuti.

Naravno, mo‘emo navesti mnogouzroka koji dovode do ovako jadnih rezul-tata. Najva‘niji od wih je deformacijavode}ih ciqeva nastave geometrije u{koli. Kakvi god da se ciqevi deklari{u uprogramu i mnogobrojnim metodi~kim upu-tstvima, {kolski uxbenik i tradicija u nas-tavi koju je uglavnom formirala metodolo-

gija i metodika stalnog uxbenika dovode jedo predstave da je osnovni ciq nastavegeometrije razvijawe logi~kog mi{qewakod u~enika. [tavi{e, taj ciq hiper-trofi{e i pretvara se u zadatak nedosti‘anna ranom stepenu obu~avawa, zadatak da sekod u~enika formira aksiomatski na~inrazmi{qawa. Zbog toga, razvoj logi~kogmi{qewa postaje fakti~ki ne samo os-novni, nego u su{tini jedini ciq nastave,oduzimaju}i time i u~enicima i u~iteqimasnagu i vreme.

Nesumwivo je da postoje su{tinskerazlike izme|u zahteva koje o znawu i ume}uu~enika predvi|aju obrazovni standardi, ionog nivoa geometrijskog razvoja kojidru{tvo o~ekuje od savremenog kulturnog~oveka, koji ‘eli da postane in‘ewer, te-hni~ar ili kvalifikovani radnik. Na ovajdru{tveno potrebni nivo znawa, dodatne za-hteve nala‘e koncepcija neprekidnog obra-zovawa. Nije tajna da se geometrijski razvojmo‘e smatrati najva‘nijim faktorom kojiomogu}uje spremnost ~oveka za permanentnoobrazovawe i samoobrazovawe u najrazli-~itijim oblastima qudske delatnosti.

Ako se zamislimo nad su{tinomgeometrijskog obrazovawa, postaje jasno dasu wegovi ciqevi raznolikiji i sadr‘ajnijinego {to je puko savladavawe odre|enogkonkretnog obima znawa, ume}a i navika,koje se odigrava na podlozi deklarisanog"nad" zadatka kursa - razvoja logi~kogmi{qewa. U vezi sa tim ‘elimo dapodvu~emo da geometrija nema i ne mo‘eimati monopol u razvoju logi~kograzmi{qawa, ona nema monopol nad ap-strakcijom. Pojmovi masa, sila, brzina,napon, i drugi, predstavqaju idealizacijufizi~ke realnosti pribli‘no istog nivoaapstrakcije kao i geometrijski pojmovi

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

9

ta~ka, prava, prostor ili pojmovi iz anali-ze broj, relacija, funkcija.

Geometrija je zastupqena u svim nas-tavnim programima za matematiku od prvograzreda osnovne {kole, pa do, u nekim {ko-lama, ~etvrtog (zavr{nog razreda) razredasredwe {kole. To ve} dovoqno govori omestu i zna~aju geometrije kako u nastavimatematike u osnovnoj i sredwoj {koli takoi u celokupnom programu obrazovzwa ivaspitawa. U~e{}e geometrije u nastavnimplanovima i programima potvr|uje poznatu~iwenicu o organskoj povezanosti geome-trije sa mnogim osnovnim na{im saznawimao svetu u kojem ‘ivimo, pa otuda i sa nizomoblasti nauke i prakse koje su kao posebnipredmeti u{le u {kolske programe.

Dru{tveno potrebne ciqeve nastavegeometrije mo‘emo shvatiti kao organskusintezu op{tekulturnih, nau~nih (karak-teristi~nih geometrijskih) i primewenihciqeva. I ako su nau~ni i primeweniciqevi nastave geometrije mawe-vi{e jasni,op{tekulturni su svedeni samo na razvojlogi~kog mi{qewa. Svakako, op{tekul-turni ciqevi nastave geometrije u prvomredu podrazumevaju svestrani razvojmi{qewa u~enika. Ne samo verbalno-logi~kog mi{qewa, ve} u ne mawoj a mo‘dai ve}oj meri o~igledno-delatnog (pra-kti~nog) i o~igledno-odraznog. U aktivnomrazvoju ove posledwe dve vrste mi{qewamora se pojaviti specifi~nost predmeta,koji izu~ava osobine trodimenzionalnogeuklidskog prostora koji se u malom naZemqi ne razlikuje mnogo od geometrije rea-lnog fizi~kog prostora i sasvim obezbe|ujena{u zemaqsku egzistenciju i in‘iwersko-tehni~ku aktivnost. Izvesno je jedno - da jeWutn svoju racionalnu mehaniku zasnovao naosnovnim pojmovima: na ta~ki, pravoj, ravni(zna~i, geometriji), na masi, sili (zna~i, di-

namici); izvesno je da se osnovni pojmovi nemogu definisati (mogu se samo opisivati) ida su nadgra|eni nad iskustvom. Izvesno jeda je Wutn svoju mehaniku zasnovao nageometrijskim merewima i merewima vre-mena. Geometrija merewa koju on koristiEuklidova je (u to vreme druge geometrijenisu bile poznate, a, uostalom, i da jesu - onesamo iste ~iwenice izra‘avaju na drugina~in). Poenkare (Henri Poincaré, 1854-1912,francuski matemati~ar) [11] je sasvim is-pravno zakqu~io da je "Euklidovageometrija najpogodnija i da }e takva iostati" i da se, uop{te uzev, dobro sla‘e saprirodom ~vrstog tela, "Pa, dakle, kad ne bibilo ~vrstih tela u prirodi ne bi bilo nigeometrije". Danas, na temequ astronomskihopa‘awa, znamo da je Euklidova geometrijadobra aproksimacija geometrije svemira (urasponu od 1028 (cm) - 10-13 (cm) ). Iz ovogasledi da u nastavi geometrije moramo kodu~enika uporno da te‘imo razvoju in-tuicije, prostornog i logi~kog mi{qewa,kao i formirawu wihovih konstruktivno-geometrijskih ume}a i navika.

Dakle, dru{tveno potrebni rezultatinastave geometrije mogu biti dostignutisamo ako ne zatvorimo kurs u okvirenau~nih, ~isto geometrijskih ciqeva, ve} gaizvedemo na takav na~in da u organskoj veziefektivno razvija kod u~enika osobine in-telekta kao {to su:

- geometrijska intuicija (o odrazu,konstruisawu, osobinama, metodama kon-strukcije i dokazivawa);

- prostorno mi{qewe (jedno-, dvo- itrodimenzionalne euklidske predstave iprostorne apstrakcije, wihova op{tost,pokretnost, stabilnost, analiza i sintezageometrijskih odraza, prostorna imagi-nacija);

Savo ]ebi}

10

- logi~ko mi{qewe (geometrijski poj-movi i op{te pojmovne veze, vladawepravilima logi~kog izvo|ewa, razumevawe ipam}ewe konkretnih dokaza, vladawe raznimmetodama geometrije);

- sposobnost za konstruktivno-geome-trijske aktivnosti (shvatawe su{tine ska-larnih veli~ina, poznavawe na~ina uvo|ewarastojawa u trodimenzioni euklidski pros-tor, ume}e odre|ivawa, merewa i izra~u-navawa du‘ina, povr{ina i zapreminageometrijskih figura i wihovih drugih ele-menata, ume}e crtawa geometrijskih figurai izvo|ewa geometrijskih konstrukcija,modelirawa i konstruisawa geometrijskihobjekata);

- vladawe makar u minimalnom obimusimboli~kim jezikom geometrije (razume-vawe geometrijskih simbola, ume}e simbo-li~kog zapisivawa re{ewa i dokaza).

O zadacima u po~etnoj nastavi geometrije

Uvo|ewe u geometriju je processistematskog upoznavawa s geometrijskimfigurama i wihovim svojstvima i odnosima,proces sistematskog razvijawa smisla zageometrijsku apstrakciju i postupnog razvi-jawa sposobnosti deduktivnog zakqu~ivawai funkcionalnog rasu|ivawa vezanog zageometrijsku materiju. Taj proces nijekratkotrajan, i mi nismo i ne mo‘emo bitiu stawu da utvrdimo wegov po~etni trenu-tak, isto kao {to nemamo mogu}nosti daocenimo posle kojeg se vremena on uspe{nozavr{ava, jer on zapo~iwe u de~joj svestisvoj stihijni razvoj jo{ pre polaska deteta u{kolu, a ponekad ne uspeva da dostignepotreban nivo ni u posledwem razredu os-novne {kole, {to zavisi i od programa, i odu~enika, i od nastavnika. Sadr‘aj i metode

ostvarivawa nastave geometrije u {koli supermanentno predmet studioznih is-tra‘ivawa.

Uvo|ewe u geometriju je proces ~ijetrajawe mnogi autoritativni stru~wacirazli~ito shvataju: dok su jedni mi{qewa daje za to uvo|ewe dovoqno prvih {est godinau~ewa, drugi smatraju da je za to potrebnoosam godina, a ima ih koji ocewuju da za tonije mnogo ni deset godina u~ewa. Sve teocene zasnovane su na ~iwenici da seuvo|ewe u geometriju zavr{ava na mestu gdepo~iwe strogo izu~avawe geometrije(utvr|ivawe tog mesta zavisi od niza para-metara, a nije li{eno ni subjektivnihocena); otuda i takva razlika u shvatawukoliko treba da traje uvo|ewe u geometriju.

Na svetskom kongresu matemati~ara1958. godine u Edinburgu Internacionalnakomisija za nastavu matematike je svojveliki simpozijum posvetila temi"Uvo|ewe u geometriju za u~enike od 7. do 15.godine", za koji su punu godinu pre toga svezemqe ~lanice - me|u wima i na{a zemqa -pripremale svoje nacionalne referate, ageneralni referat "Uvo|ewe u geometriju"u sekciji za nastavu matematike podneo jeistaknuti holandski topolog Hans Frojden-tal (Hans Freudenthal). Taj referat je izra|enna osnovu referata nacionalnihpodkomisija Internacionalne komisije zamatemati~ku nastavu. To je bilo u vreme kadaje, u predmetu matematika, geometrija ucelini izu~avana kao posebna disciplina(~esto i sa posebnim uxbenikom i zbirkomzadataka) i kada je, kao zajedni~ko svimzemqama, bilo utvr|eno da strogo izu~avawegeometrije u {koli sigurno ne po~iwe i netreba da po~iwe pre 16. godine starosti niu jednoj zemqi. Od tog kongresa deli nasskoro pola veka. Za to vreme su do{le doizraza, a u nekim zemqama i do ostvarewa u

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

11

{kolskoj nastavi, mnoge nove ideje ogeometriji uop{te i geometriji u {koliposebno. Ali, i pored svega toga, bez obzirana to kako se tretira geometrijska kompo-nenta u nastavi matematike, ostaje uvo|eweu geometriju kao jedna neophodna, nezaobi-lazna priprema, ali zna~ajna i sadr‘ajnaetapa u op{tem matemati~kom obrazovawukoje u~enici sti~u u {koli.

Bitno pitawe geometrije i kao nauke ikao nastavne discipline jeste odnos realno-st - geometrijska apstrakcija - realnost.Na relaciji realnost - geometrijska apstra-kcija, prva osnovna postavka od koje se uosnovnoj {koli mora po}i pri uvo|ewu geo-metrijskih pojmova i koja ima svoj dubokifilozofski smisao jeste realno poreklo poj-mova, wihov izvor u realnosti.

[ta za nas, u po~etnoj nastavigeometrije, zna~i ta realna podloga na kojojse izgra|uju geometrijske apstrakcije? Akobismo donosili sud na osnovu programa i naosnovu uxbenika, tu podlogu ~ine raznovr-sni modeli (naj~e{}e predmeti iz na{e ok-oline), a ako bismo ga donosili na osnovu{kolske prakse, to je pozivawe na iskustvoo prostoru koje se sti~e u svakodnevnom‘ivotu; prva polazna ta~ka i jeste toiskustvo, na koje se ra~una i onda kad se tone pomiwe izri~ito.

U vezi sa navedenom postavkom, prvizadatak u po~etnoj nastavi geometrije trebada bude sistematizovawe i oboga}ivawetog iskustva o prostoru i istovremenouo~avawe izvesnih geometrijskih ele-menata. Razume se, taj zadatak se realizujepostupno, ~ak i s povremenim vra}awem naizvesna pitawa radi wihove potpunijeobrade, {to je sve u zavisnosti kako od pro-grama tako i od uzrasta u~enika.

Navedimo, odmah, i drugi zadatak upo~etnoj nastavi geometrije: postupno,ali ne i boja‘qivo, osloba|awe ioboga}ivawe geometrijske imaginacijeu~enika, kao prvi uslov za razvijawe daqihgeometrijskih apstrakcija i prostorne in-tuicije u svesti u~enika.

Ostavqaju}i zasad po strani relacijugeometrijska apstrakcija-realnost, o kojoj}emo govoriti ne{to kasnije, ista}i }emodrugu osnovnu postavku koja treba da u|e utemeq na{e po~etne nastave geometrije: svo-jim sadr‘ajem i svojim u gradaciji dostignu-tim nivoom po~etna nastava geometrijetreba da poslu‘i kao dovoqna osnova za nas-tavu geometrije u sredwoj {koli.

Iz ovoga proizilazi tre}i zadatak upo~etnoj nastavi geometrije: treba nasto-jati da se, u granicama koje diktira uzrastu~enika, uvo|ewe, definisawe i obradageometrijskih pojmova izvedu {to je mogu|ekorektnije i uz upotrebu precizne termi-nologije.

Za drugu postavku vezan je i ~etvrtizadatak u po~etnoj nastavi geometrije: pos-tupno razvijawe sposobnosti za funkcio-nalno rasu|ivawe i logi~ko zakqu~ivawe.

Relacija geometrijska apstrakcija-re-alnost prve osnovne postavke, neposrednonam postavqa peti zadatak u po~etnoj nas-tavi geometrije: razvijawe sposobnostiuo~avawa geometrijskih svojstava igeometrijskih odnosa na konkretnim objek-tima i razvijawe sposobnosti primewi-vawa ste~enog geometrijskog znawa.

Posle ovog sa‘etog pregleda mo‘emopre}i na potpunije razmatrawe navedenihpitawa.

Pomiwu}i prvo pitawe (sistemati-zovawe i oboga}ivawe iskustva o prostoru ukojem ‘ivimo i istovremeno uo~avawe iz-

Savo ]ebi}

12

vesnih geometrijskih elemenata), moramoodmah naglasiti da je to nesumwivo najboqii najsadr‘ajniji put od konkretne realnostika geometrijskoj apstrakciji. Tako|emoramo ista}i da, kako to na{i uxbenicipokazuju, dosad taj put kod nas nije isko-ri{}en kako treba.

Kako nam na{a {kolska praksapokazuje, kad se imaju u vidu prve ~etirigodine geometrijske nastave, ona je pokazalaodre|ene rezultate kada su u pitawu pros-torne figure, a skoro potpuno suzapostavqeni prostorni odnosi - koji pred-stavqaju i najzna~ajnije bogatstvogeometrijske nastave.

Ovakvo stawe stvari mora nas u naj-ve}oj meri zabriwavati jer predstavqa naj-ozbiqniju smetwu za uspe{an po~etak nas-tave geometrije u petom razredu osnovne{kole; taj po~etak mora se zasnivati na iz-vesnom prethodno ste~enom geometrijskomiskustvu u~enika. Ne zaboravimo da sadr‘ajgeometrijske kulture u~enika na po~etnomstupwu ~ini ne samo geometrijsko znawenego i geometrijsko iskustvo, i to ovo ~ak uve}oj meri, jer na tom stupwu moramo da seodreknemo mnogih nastojawa za strogo{}uizlagawa i pozivamo se na oblik, veli~inui odnose konkretnih prostornih objekata.

Realna osnova s koje se polaziprilikom uvo|ewa geometrijskih pojmova nemora biti uvek iskqu~ivo prikazanau~enicima pomo}u modela; naprotiv, konk-retna situacija iz koje izvodimo geometri-jske zakqu~ke ili koja nam slu‘i zageometrijska razmatrawa mo‘e se predsta-viti i crte‘om kao posebnom vrstom modelakod kojeg ve} postoji geometrijska stili-zacija, isto kao {to se u se}awu u~enikamo‘e izazvati odgovaraju}a slika a u~eniko-va ma{ta podsta}i da odgovaraju}u situacijuzamisli, i u tome se ve} ogleda jedan stepen

razvijenosti geometrijske imaginacije.Prirodno je ra~unati s tim da se, uporedo sve}im uzrastom u~enika, pozivawe nageometrijsku imaginaciju svesno i sve vi{ekoristi, ~ime nije iskqu~eno i kori{}ewemodela; razvijena geometrijska imaginacijapredstavqa zna~ajan kvalitet u op{tojgeometrijskoj kulturi u~enika, pa je zatotreba sistematski negovati, usmeravati i,naro~ito, osloba|ati uske vezanosti zaravne geometrijske figure.

Ne mo‘emo zaobi}i ni pitawe izborakonkretne situacije za polaznu osnovuprilikom uvo|ewa odre|enog geometrijskogpojma. O~igledno, taj izbor nije i ne mo‘ebiti proizvoqan niti do kraja ostavqenukusu nastavnika i pisca uxbenika, ve} je us-lovqen slede}im momentima:

a) konkretna situacija treba da budecelishodna;

b) ona treba najkra}im putem i {to jemogu}e neposrednije da omogu}iuo~avawe odre|enog geometrijskogsvojstva nekog skupa ta~aka;

v) treba da bude u {to je mogu}e mawojmeri optere}ena sporednim elemen-tima;

g) treba da se zasniva na u~enikovomgeometrijskom iskustvu i znawu iliwegovom iskustvu o prostoru.

Drugi zadatak: postupno osloba|awe ioboga}ivawe geometrijske imaginacijeu~enika kao prvi uslov za razvijawe pros-torne intuicije i daqih geometriskih ap-strakcija u wihovoj svesti, zahteva mnogopa‘we od strane nastavnika ne samoprilikom uvo|ewa novih pojmova i pri wi-hovoj obradi nego i pri izboru zadataka kojeon zadaje za doma}i rad. Takvi zadaci, sa~isto geometrijskim sadr‘ajem, treba u naj-ve}oj meri da ispune program rada u {koli

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

13

i kod ku}e; bez toga se geometrijska in-tuicija te{ko razvija.

Pre|imo sada na tre}i zadatak u po~et-noj nastavi geometrije: uvo|ewe, defini-sawe i obradu geometrijskih pojmova izvestitako da se kasnije ne moraju korigovati ili~ak i odbaciti kao neta~ni i zameniti pre-ciznim pojmovima.

I to je jedno veoma osetqivo pitawekoje se mo‘e prou~iti nezavisno od sadr‘ajaprograma, jer, ma kakav bio taj sadr‘aj, nekigeometrijski pojmovi moraju se uvoditi, de-finisati i obraditi. Razume se, ta nezavis-nost nije potpuna ako se u programu zahtevaodre|en na~in uvo|ewa izvesnih pojmova.

Moramo odmah naglasiti da se, napo~etnom stupwu, uvo|ewe nekih pojmovarazlikuje od uvo|ewa tih istih pojmova u do-voqno strogom izlagawu. Na po~etnomstupwu se, u stvari, za neke pojmove uvodisamo odgovaraju}a predstava, ali ni tada nesme do}i do bilo kakvog iskrivqavawa od-nosnog pojma. [to se ti~e definisawa poj-mova - mislimo na one koji se na 1. stupwumogu i koje treba definisati - ne treba ni-kad izbegavati strogu definiciju i trebanastojati da je u~enici shvate i da je znaju iupamte bez ikakvih dodataka i "ukrasa".

Precizna i jasna definicija koju, kadje to mogu}no, posle izvr{ene potrebnepripreme nastavnik iskazuje u najsa‘etijemobliku (mo‘e se izgraditi ~itava metodikasazrevawa saznawa o takvoj definiciji zasvaki pojam pojedina~no), takva definicijasamo poma‘e i nastavniku i u~eniku kaosiguran oslonac i, elimini{u}i sve desk-ripcije, u koje se neminovno upli}u izvesneproizvoqnosti, predstavqa sna‘an elementpozitivnog geometrijskog vaspitawa.

U definisawu geometrijskih pojmovane mo‘e biti proizvoqnosti. Pogledamo li

na to pitawe odozgo, s nau~nog stanovi{ta,bi}e nam jasno da definicije sa~iwavajujedan od bitnih elemenata aksiomatskestrukture i da, kao takve, podle‘u strogimzakonima koji za takvu strukturu va‘e.

Isto tako, nemamo prava da za {kolskuupotrebu uvodimo neke posebne definicijeili ~ak i da zna~ewe jednog op{te usvojenogtermina neosnovano su‘avamo ili pro{iru-jemo, kao {to nemamo pravo ni da (za {kol-sku upotrebu, isti~emo) uvodimo neke novetermine.

Pomenimo uzgred i na{u geometrijskufrazeologiju. Ona je dosta nesre|ena iponekad arhai~na; wen jedini zadatak je dapovezuje i tuma~i geometrijske terminelogi~no i, s jezi~ke strane, korektno.Potreba za pre~i{}avawem i oboga}ivawemte frazeologije podsti~e na tra‘ewe boqihre{ewa, te stoga nije ~udno {to se u tomtra‘ewu ponekad predla‘u i re{ewa kojanisu najsre}nije na|ena. Stoga istaknimopre svega i iznad svega onaj osnovni princippo{tovawa nau~ne korektnosti: da nestvaramo za {kolu pode{ene termine i neizmi{qamo za {kolu pojmove kojih u naucinema niti su u nauci potrebni.

Kratko re~eno, treba da se odnosimoprema nau~nim pojmovima onako kako tosamo znalac mo‘e ~initi, a sve svoje krea-tivne napore da usmerimo na iznala‘eweputeva kojima se svakom pojedinom pojmu unastavi namewenoj deci odre|enog uzrastanajprirodnije i najlak{e prilazi, i naiznala‘ewe metoda kojima se svaki pojedinipojam najpotpunije obra}uje.

^etvrti zadatak u nastavigeometrije je: postupno razvijawe sposob-nosti za funkcionalno rasu|ivawe ilogi~ko zakqu~ivawe. Niko od nas i nesumwa u to da tako osetqiv proces kao {to

Savo ]ebi}

14

je razvijawe navedenih formi mi{qewaneophodno zahteva obazrivost i postupnost,a istovremeno u {to je mogu}no ve}oj merisistematsko uklapawe u geometrijsku ma-teriju. Kad govorimo o logi~komzakqu~ivawu, mislimo pri tom na dedukciju,na kratke nizove deduktivnih zakqu~ivawa,za koje ve} u osnovnoj {koli postoje izvesnemogu}nosti.

Peti zadatak u po~etnoj nastavigeometrije je, kao {to smo ranije istakli,razvijawe sposobnosti uo~avawa geometri-jskih svojstava na konkretnim objektima iprimewivawe ste~enog geometrijskog znawa.Ovaj zadatak se prvenstveno i sistematskirealizuje re{avawem odabranih geometrij-skih zadataka u {koli i kod ku}e, i tocelishodno izabranih zanimqivih zadatakakoji }e privu}i ineresovawe u~enika i ve}samim tim dati podsticaj wihovoj geometrij-skoj ma{ti.

Za realizovawe navedenih zadatakaprvi uslov je podjednaka stru~na i metodskaosposobqenost nastavnika. Ali iako jo{uvek postoje izvesne praznine, "nedovoqnastru~nost" ba{ nije ono {to ote‘avaizvo|ewe nastave geometrije, jer nastavnikzna programski materijal. Te{ko}e poti~u(pored tradicionalnih metodskih slabosti)uglavnom otuda {to nastavnik, naj~e{}e,nema jedan {iri, odnosno su{tinski pogledna geometriju kao nauku, pa sledstveno ni nawu kao nastavni predmet. On zna ~iwenice,ali ne i wihovu povezanost. On zna kon-strukcije, ali ne i wihovu su{tinu; zna for-mule i wihovo izvo|ewe, ali ne i wihovoporeklo. On zna sadr‘aj, ali ne i metode.Otuda - da se figurativno izrazimo - nastavageometrije predstavqa, vrlo ~esto, ne zi-dawe jedne solidne zgrade, nego podizawe po-jedina~nih kolibica, koje i najslabijivetrovi ru{e lako i brzo. I od silnog truda,

i nastavnikovog i u~enikovog, ostanu,naj~e{}e, samo tragovi.

O problemu geometrije u na{im {kolama

U na{im osnovnim i sredwim {kolamau nastavi matematike postavqa se te‘i{tena algebru, aritmetiku i matemati~kuanalizu, dok se geometrija u dobroj merizapostavqa. Iako ima profesora i nas-tavnika matematike, koji shvataju {tetnosttakve prakse i bore se protiv we, ipak jezapostavqawe geometrije kod nas op{ta po-java, koja zabriwava, jer su posledice dale-kose‘ne i ne daju se lako otkloniti.

Dva su glavna uzroka ovoj pojavi una{oj {kolskoj nastavi matematike. Gene-ralno posmatraju}i, u {kolama je lak{e pre-davati sve druge matemati~ke disciplinenego geometriju. U algebri, matemati~kojanalizi itd. za deo nastavnika jedina su nas-tavna sredstva kreda i sun|er. U nastavigeometrije i najgori nastavnik je prisiqenda posegne i za drugim nastavnim sredstvima:priborom za crtawe, modelima itd. Ugeometriji daleko vi{e do izra‘aja dolazii prakti~ni rad u~enika: razna merewa,izrada nastavnih sredstava, crte‘a isli~no. U drugim matemati~kim discipli-nama, lak{e nego u geometriji, mogu seposti}i ~esto prividno i blistavi (iako usvojoj su{tini formalisti~ni) rezultati:ve{to ra~unawe, re{avawe komplikovanihjedna~ina i tome sli~no. Sve to deluje takoda deo nastavnika te‘i{te rada stavqa nasve drugo sem na geometriju koju obra|uje tektoliko, da u minimalnoj meri i formalnozadovoqi nastavne programe. To se vidi i potome, {to je u onim delovima geometrije,koji se prete‘no slu‘e analiti~kom meto-dom (trigonometrija i analiti~ka geo-metrija), situacija mnogo boqa, te problem

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

15

zapostavqawa postoji stvarno samo uPLANIMETRIJI i, naro~ito, u STEREO-METRIJI. Zbog toga }e se ova razmatrawanadaqe uglavnom odnostiti na ove dvegeometrijske discipline.

Veliki je broj nastavnika kojizapostavqaju geometriju iz nerazumevawa.Oni, kao i u~enici i ve}ina {kolovanihqudi uop{te, misle da su druge matemati~kediscipline va‘nije i vrednije, jer se,tobo‘e, vi{e primewuju u prakti~nom‘ivotu. Primene geometrije nisu tako ne-posredne i vidqive velikom broju qudi kaoprimene ra~una, matemati~ke analize,grafikona itd. Zbog toga se misli da jeop{teobrazovna vrednost geometrije mawa.

Ne treba zanemariti i ~iwenicu kojase veoma lako da proveriti:: me|u nas-tavnicima matematike zaprepa{}uju}e jeveliki broj onih koji "ne vole" geometriju.Jedni se pravdaju da ne vole da predajuu~enicima geometrijske sadr‘aje jer neposti‘u nikakve rezultate, dok drugi svojunezainteresovanost za geometriju pravdajuvlastitim obrazovawem. Me|utim, ovde sekrije jedno te isto: ovakvi nastavnicimatematike uop{te ne razumeju geometriju,kao ni wenu ulogu u obrazovawu ili,druga~ije re~eno, onako kako bi to obi~norekli u~enici: oni ne znaju geometriju.

Osim ovih, subjektivnih, postoje i ob-jektivni uzroci zapostavqawa geometrije.Izvo|ewe geometrijskih crte‘a i konstruk-cija na {kolskoj tabli (posebno ako je pri-bor star i pokvaren, a tabla lo{a) odnosimnogo vremena. Zadaci iz geometrije svodese obi~no na izvo|ewe lak{ih i specijalnihteorema, obrata i posledica tih geometri-jskih konstrukcija. Takvi zadaci suu~enicima po svojoj prirodi te{ki i,tako|e, tra‘e mnogo vremena. Ovome trebadodati i jednu u~eni~ku kalkulaciju: budu}i

da su sadr‘aji iz geometrije u mawini u od-nosu na ostale, takav je i broj ocena, te }eeventualne negativne ocene iz geometrijebiti anulirane pozitivnim ocenama izostalih sadr‘aja. To je posledica toga {tose, ve} poodavno, u na{im {kolamageometrija ne predaje kao poseban nastavnipredmet. No, ovo je problem ~iji uzrok trebatra‘iti negde drugde.

Razmotrimo: kakve posledice mogu nas-tati iz ovakvog odnosa nastavnika i u~enikaprema geometriji.

Kao {to je poznato, geometrija je nas-tala i razvila se iz svakodnevnihprakti~nih potreba qudi. Ona je klasi~anprimer kako se i najapstraktnija znawa inauke ra|aju iz ‘ivotnih potreba qudi. Stu-dirawe te ~iwenice vrlo povoqno uti~e naformirawe nau~nog pogleda na svet.

Geometrijske tvorevine i odnosesusre}emo na svakom koraku: u prirodi, unauci i umetnosti, u tehnici i zanatstvu, usaobra}aju. Zbog toga poznavawe osobina iodnosa geometrijskih objekata ima velikuprakti~nu vrednost. Bez solidnog pozna-vawa geometrije nema ozbiqnog studirawamatemati~ke analize, mehanike, fizike,geografije, mineralogije, astronomije,rentgenske analize strukture materije,elektrotehnike, arhitekture, gra|evinar-stva i drugih nauka i wihovih tehni~kih iostalih prakti~nih primena.

Geometrija je izrazito deduktivnanauka. Ona sva svoja tvr|ewa izvodi idokazuje strogo logi~kim postupcima. Ugeometriji zahtevamo od u~enika jasne pred-stave, ta~ne definicije, finu analizu oso-bina i odnosa geometrijskih objekata, is-tra‘ivawa raznih veza me|u wima i pre-ciznu formulaciju misli. Time izo{tra-vamo i razvijamo kod u~enika formalno-

Savo ]ebi}

16

logi~ki, funkcionalan na~in mi{qewa izakqu~ivawa i adekvatan na~in jezi~kogizra‘avawa misli.

Geometrijski crte‘i i konstrukcijetra‘e ve{to rukovawe priborom za crtawei o{tro oko. Za geometriju se generalnomo‘e re}i da u~i ta~nosti. Ona stvara i raz-vija naviku preciznosti misli, oka i ruke. Utome je wena velika i nezamenqiva vaspitnavrednost.

Geometrija razvija ose}awe prostora isposobnost plasti~nog gledawa slika.Ravanski i prostorni modeli, naro~ito di-nami~ki, razvijaju uz ose|aj (vidqivost)prostora i o{trinu vida i ve{tinu ruku.

Ovim nismo iscrpeli sve koristipravilno izvo|ene nastave geometrije, alije i ovo dosta da se doka‘e ogromna vaspitnai prakti~na vrednost geometrije, kao inemogu}nost da se {tete od wenog zaposta-vqawa kompenzuju favorizovawem nekedruge matemati~ke discipline ili bilo ko-jeg drugog {kolaskog predmeta.

Zapostavqawe geometrije dovodi,dakle, nu‘no do jednostranosti u obra-zovawu mladih qudi i do formalizma u nas-tavi matematike. Ono predstavqa nedosta-tak u formirawu celovite li~nosti, ne-dostatak u op{tem obrazovawu, znatnosmawuje primewivost znawa ste~enog u sred-woj {koli i su‘ava osnovu za ozbiqne stu-dije na fakultetima i drugim visokim {ko-lama.

Po na{em mi{qewu trebalo bipovesti o{tru i efikasnu borbu protivzapostavqawa geometrije u {kolskoj nas-tavi matematike. Uloga nastavnika matema-tike u ovome je na prvom mestu. Kada bi svinastavnici matematike poznavali ciqevenastave geometrije, kada bi bili svesniva‘nosti ostvarewa tih ciqeva i kada bi

znali kako }e ih ostvariti u procesu nas-tave, onda problem geometrije u {kolskojnastavi ne bi postojao. Eventualnozapostavqawe geometrije od strane nekihnastavnika, tada bismo mogli s pravomokarakterisati kao nesavesnost u radu.

Zakqu~ak

Osnovna intencija programa u oblastigeometrije u ni‘im razredima osnovne{kole mora da se sastoji u tome da se insis-tira i na geometriji oblika, kao i nageometriji merewa (merewa du‘i, povr{i,tela). Izu~avawe geometrijskog gradivapovezuje se s drugim sadr‘ajima po~etne nas-tave matematike. Koriste se geometrijskefigure u procesu formirawa pojma broja ioperacija s brojevima; i obratno. Koriste sebrojevi za izu~avawe svojstava geometri-jskih figura. Na primer: pojam razlomkadaje se pomo}u deqewa du‘i i kru‘nepovr{i na jednake delove; distributivnosvojstvo mno‘ewa ilustruje seizra~unavawem obima pravougaonika (ilipovr{ine pravougaonika podeqenog na dvamawa pravougaonika); komutativno svojstvomno‘ewa prikazuje se na pravougaoniku kojije rastavqen na jednake kvadrate, zadaci okretawu ilustruju se na du‘ima itd.U~enici najpre propedevti~ki upoznajuoblike geometrijskih tela, {to im je pris-tupa~nije od osnovnih geometrijskih poj-mova. Zatim upoznaju razli~ite najprostijegeometrijske figure: linije, ta~ku i du‘, atek onda dobijaju prve predstave o pravou-gaoniku i kvadratu, uglu, trouglu, krugu, pra-voj i ravni, kvadru, kocki i nekim wihovimsvojstvima.

Po~etna nastava geometrije mora bitieksperimentalna, tj. najprostije geometri-jske figure i neka wihova svojstva upoznaju

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

17

se prakti~nim radom, preko raznovrsnihmodela figura u toku posmatrawa, crtawa,rezawa, presavijawa, merewa, procewivawa,upore|ivawa, poklapawa itd. Pri tomeu~enici uo~avaju najbitnija i najop{tijasvojstva odre|enih figura koja ne zavise odvremena, materijala, boje, te‘ine i dr. Takou~enici sti~u elementarne geometrijskepredstave, apstrahuju}i nebitna konkretnasvojstva materijalnih stvari.

Iako osnovu nastave geometrije umla|im razredima ~ine organizovano posma-trawe i eksperiment, ipak je neophodno dase u~enici navikavaju, u skladu sa uzrastom,ne samo da posmatraju i eksperimenti{u ve}da i sve vi{e rasu|ivawem otkrivajugeometrijske ~iwenice.

Sistemski rad na razvijawu elemen-tarnih prostornih predstava kod u~enika urazrednoj nastavi treba da stvori dobru os-novu za {ire i dubqe izu~avawe geometri-jskih figura i wihovih svojstava u starijimrazredima osnovne {kole.

Geometrija je jedna - geometrijski poj-movi su ili geoemtrijski ili to nisu, iakose na svim uzrastima ne mogu davati sa istomstrogo{}u.

Ne postoje nikakvi "krwi" pojmovi,polumatemati~ki - poluprakti~ki.

Ovo ne zna~i da se svi geometrijski poj-movi mogu uvek najneposrednije primewi-vati u svom najapstraktnijem vidu. Nekiekvivalenti boqe "nale‘u" u striktnoj pri-meni nego neki drugi, neki dobijaju drugenazive u kontekstu primena ili druge oznakekoje su u primenama asocijativnije. Nekadase zadovoqavamo grubqom aproksimacijom,pa se slu‘imo mawe ta~nom formulom, alitime formula nije prestala to da bude - onase ne mo‘e progla{avati za ne{to drugo.Nije uvek jednostavan put modifikacije,

"prepravqawa" jedne matemati~ke teorijedo oblika boqe primerenog primenama.^esto su ovakve modifikacije izvor novihmatemati~kih rezultata. Dobijena modifi-kacija mo‘e matemati~aru biti mawe estet-ska, mo‘e mu izgledati razlivenija, ne-potrebno ra{~lawena, ali nikako, ni u jed-noj prelaznoj fazi, ne sme prestati bitimatemati~ka.

Pri uvo|ewu novih geometrijskih poj-mova izvesni heruisti~ki, istorijski po-daci mogu, i u ranijim uzrastima vrlokorisno i podsticajno da o‘ive radnu atmos-feru u odeqewu. Ovakvi, spretno i sre}noizabrani elementi nikako ne predstavqajuistoricizam. Wih ne treba da bude mnogo,kako ne bi optere}ivali de~ju memoriju -treba da budu situirani tako da se lakopamte - naro~ito su korisni oni iz kojih sevidi kako pojedina~an napor i pregala{tvodovode do krupnih rezultata, kao i oni gde jeneki zanimqiv, makar marginalan problemiz prakse doveo do dubokog matemati~kogproblema, a ponekad i do ra|awa novematemati~ke teorije. Borba protiv isto-ricizma nije u zabrani istorijskih po-dataka, nego gomilawa tih podataka bez pra-vog reda i svrhe, sem da ~ine pritisak napam}ewe - prostog re|awa imena i hronolo-gije. Istoricizam je i izlagawe istorijskiprevazi|enog gradiva, prevazi|enim jezi-kom.

Geometrija predstavqa idealno sred-stvo za prvo ozbiqno upoznavawe sa jednomaksiomatskom teorijom. Me|utim, pri re-alizaciji programa nastavnik se suo~ava sabrojnim problemima. Do kog stepena stro-gosti i}i u aksiomatskom pristupu? Da li sedr‘ati Hilbertovog sistema aksioma ili gamodifikovati, uvode}i u spisak aksioma nizteorema? Kako predavati pojedine teme(vektori, konstrukcije, stereometrija),

Savo ]ebi}

18

koliko i}i u detaqe i gde staviti naglasak?Koliki zna~aj pridavati slici? To su nekaod pitawa koja iziskuju odgovor. Uglednimatemati~ari-metodi~ari nemaju istovetneodgovore na ova pitawa!

Naravno, aksiomatsko izlagawe u stro-gom smislu tog pojma nije mogu}e. Ipak, odsamog po~etka zbog toga je potrebno izla-gati sistematski i po oblastima, ne gube}ise u apstrakcijama koje su iznad mo}i shva-tawa u~enika. Ta~nost, postojanost i jasno}ane iskqu~uju grafi~ko obja{wewe; siste-matsko formalno uve‘bavawe potrebno je ine sme se degenerisati u formalnu pedan-teriju. Zbog toga je li~ni zadatak nas-tavnika da o‘ivi nastavu, izazove interes ipribli‘i se |acima. Svrha neodre|enoguvoda, me|utim u dobroj nameri, postignutaje ve}im delom direktnom povezano{}u sasistematskom nastavom, i to na takav na~inda je izlagawe u uxbeniku, mawe-vi{e nu‘nosistematsko, usmenom nastavom neprestanoisprekidano, ilustrovano i argumentovanodigresijama koje otkrivaju poente su{tin-skih momenata u samom kursu i wihove od-nose sa ostalim takvim momentima.

U savremenoj nastavi, kada je {kolskiprogram matematike prenatrpan detaqimaiz raznovrsnih oblasti matematike, postojiopasnost da se u~ewe matematike svede napam}ewe fakata i mehani~ko usvajawe algo-

ritama. Nasuprot ovoj pojavi, treba nasto-jati da u~enici shvate postoje}e veze me|ufenomenima koje susre}u na pojedinim po-dru~jima matemati~ke nastave. U okviruovakvih nastojawa, geometrija mo‘e da igraizvrsnu ulogu, jer matemati~ke disciplinekoje se predaju u {koli obiluju detaqima zakoje postoje geometrijske ilustracije dos-tupne uzrastu u~enika.

Va‘nost euklidske geometrije u nas-tavi potkrepquje ~iwenica da se s geometri-jskim oblicima iz ove geometrije susre}emou sredini u kojoj ‘ivimo. Naro~itoizu~avawe stereometrije potpoma‘eizu~avawe prostora; na‘alost, nastavastereometrije se ~esto - i po nastavnomplanu - zanemaruje. U vezi s geometrijskimosobinama prostora postoji jo{ jedna va‘na~iwenica na koju se ~esto zaboravqa.Ve}ina dece od najranijih godina posedujeniz osnovnih znawa o telima, kao {to su, naprimer, kocka i lopta. Ta se po~etna znawaizvanredno dobro mogu koristiti pri u~ewupojmova kao {to su: definisani i nedefini-sani elementi, aksiome i teoreme, potrebnii dovoqni uslovi i sli~no. Svi ti pojmovisu va‘ni za sve oblasti matematike - a fa-milijarnost s prostorom mo‘e poslu‘iti zato da |aci, polaze}i od konkretnih primera,shvate wihovu su{tinu.

Geometrija u {kolskoj nastavi matematike

19

Literatura

• Artemov, A. K., Istomina N. B. (1996): Teoreti~eskie osnovi metodiki obu~enija matema-tiki v na~alnih klassah, Moskva, Vorone‘.

• Batler, ^., Vren, L. (1967): Nastava matematike u sredwoj {koli, programi i metodi,Beograd, Vuk Karaxi}.

• Deji}, M., Egeri}, M. (2005): Metodika nastave matematike, Jagodina, U~iteqski fakultetu Jagodini.

• Zech, F. (1998): Grundkurs Mathematikdidaktik - Theoretische und praktische Anleitungen für das Lehrenund Lernen von Mathematik, Weinheim und Basel, Beltz Verlag.

• Kolmogorov, A. N. (1960): O profesii matematika, Moskva, Fiz-matgiz.

• Marjanovi}, M. (1996): Metodika matematike 1 i 2, Beograd, U~iteqski fakultet.

• Fridman, L. M. (1983): Psihologo-pedagogi~eskie osnovi obu~enija matematiki v {kole,Moskva.

• Pogorelov, A. B. (1977): Elementarna geometrija, Moskva, Nauka.

• Prvanovi}, S. (1975): Metodika nastave matematike, Beograd, Nau~na kwiga.

• Stipani}, E. (1988): Putevima razvitka matematike, Beograd, Vuk Karaxi}.

• Poincaré, H. (1927): La Science et l’Hypothése, Paris, E. Flammarion.

SummaryThere is very long tradition in teaching geometry. Geometry has been an integral part of teaching

in general education schools, since Plato’s time. The general truth is that most students are not interestedin geometry, and their knowledge of this mathematical discipline is not very good. This is the subjectdiscussed by primary school teachers, secondary school teachers, professors, parents and students. Themost prominent mathematicians have discussed geometry methodological issues. This paper is aboutgeneral issues of teaching geometry.

Key words: mathematics, geometry, teaching, methodology

Savo ]ebi}

20

Zna~aj intuicije u nastavi geometrije

Na 10. internacionalnom kongresu zanastavu matematike, odr‘anom u Kopen-hagenu 2004. godine, posebno je istaknutzna~aj intuicije i wene uloge u nastavigeometrije. T. Fuxita, K. Xons i S.Jamamoto, savremeni istra‘iva~i u nastavimatematike, nagla{avaju da intuicija ima

va‘nu ulogu u nastavi geometrije (Fujita, etal., 2004). Sve ve}i broj istra‘ivawa us-meren je na pra}ewe razvoja intuitivnesposobnosti, kao vrste sposobnosti, kojaomogu}ava detetu da zamisli, predstavi sebiu svesti, sliku geometrijskog objekta, i damanipuli{e modelima geometrijskihfigura u re{avawu zadatog problema.

Mr Olivera \oki}U~iteqski fakultet, Beograd

Kratkinau~ni prilog

Uloga intuicije u nastavi geometrije

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 21-26 UDC 514.1:: 159.9

Rezime: U radu razmatramo zna~aj intuicije i wene uloge u savremenoj nastavigeometrije istaknut na 10. internacionalnom kongresu za nastavu matematike odr‘anomu Kopenhagenu 2004. godine. Sve ve}i broj istra‘ivawa usmeren je na pra}ewe razvoja in-tuitivne sposobnosti u~enika kao vrste sposobnosti koja mu omogu}ava da manipuli{u}imodelima geometrijskih figura re{i zadate geometrijske probleme ili da zamisli, pred-stavi sebi u svesti, sliku geometrijskog objekta. Otvorena su mnoga pitawa: pitawazanemarivawa ili prihvatawa i podsticawa razvoja intuicije u nastavi geometrije.Problem se posebno rasvetqava iz ugla vi|ewa A. Poenkarea, P. van Hilea, E. Fi{bejna idr. Opisani su i zna~ajni eksperimenti u nastavi geometrije koji daju odgovore na, i daqe,otvoreno pitawe: intuicija - zna~ajno polazi{te za nastavu geometrije. Izneto je iAtijahovo vi|ewe zna~aja prostorne intuicije i prostorne percepcije, koje su va‘ne zarazvoj geometrijskih pojmova i koje predstavqaju va‘ne upori{ne ta~ke za nastavugeometrije. Mo‘e se zakqu~iti da je pojmu intuicije u nastavi geometrije neophodnoposvetiti ve}u pa‘wu u istra‘ivawima.

Kqu~ne re~i: intuicija, po~etna nastava geometrije, prostorna intuicija, pros-torna percepcija, geometrijski pojmovi.

21

A. Poenkare i D. Hilbert izja{wa-vali su se o ulozi intuicije u procesu u~ewaveoma pozitivno. Kada matematika postajestroga, uvo|ewem dokaza, mesto zaboravapronalazi weno istorijsko poreklo ikoreni nastanka: matematika tada pokazujekako problemi mogu da se re{e, ali ne kakoi za{to su oni nastali. Poenkare nam naKongresu u Parizu 1900. godine saop{tava dalogika u matemati~koj nauci nije dovoqna:intuicija je wen komplementarni deo. "Lo-gikom dokazujemo, intuicijom otkrivamo"isti~e Poenkare i dodaje da "logika, stoga,ostaje suvoparna sve dok ne bude oplo|enaintuicijom" (Freudenthal, 1973, 147).

O intuicija u nastavi geometrije

Postoje u~iteqi koji zanemaruju in-tuiciju u procesu u~ewa i nastave. Prema@. Trebje{aninu re~ intuicija (lat. intuere= gledam, posmatram) ozna~ava sposobnostneposrednog saznawa ili sagledavawasu{tine i smisla nekog objekta ili pojave(Trebje{anin, 2004, 202). R. Arnhajm, ge{ta-ltni psiholog, isti~e da je intuicija jednaod dveju fundamentalnih i neophodnih kom-ponenti saznawa. Intuicija i intelekt sudva saznajna postupka (Arnhajm, 2003).Ozbiqna je stvar kada se pro~ita trideset ijedna definicija intuicije koje navodi K. V.Vajld (Wild, 1938). Jo{ je Dekart u XVII vekuuo~io da do razumevawa stvari sti‘emopomo}u dve vrste operacija koje on nazivaintuicijom i dedukcijom. Dekart pod in-tuicijom podrazumeva pojam koji nam nezama-gqen i pa‘qiv um daje toliko jasno da smopotpuno oslobo|eni sumwe u ono {torazumemo. Dekart o intuiciji ne misli kaoo mawe pouzdanoj, nego, naprotiv, kao opouzdanijoj sposobnosti uma. On za in-tuiciju ka‘e da je jednostavnija od deduk-

cije, pa stoga i sigurnija. I za Platona in-tuicija je bila najvi{i domet qudskemudrosti. Ona je pru‘ala neposredan uvid usu{tine kojima svi objekti na{eg iskustvaduguju svoje postojawe. Svoje zanimawe za in-tuiciju ispoqili su u radovima Lajbnic iKant. U razvoju svakog pojedinca poznavaweokoline i orijentacija u okolini po~iweintuitivnim istra‘ivawem onoga {to jeopa‘ajno saznato. Ovo va‘i za ono {to sede{ava na po~etku ‘ivota, a ponavqa se usvakom ~inu saznavawa koji poti~e od poi-mawa ~iwenica isporu~enih od strane ~ula.Za Arnhajma intuitivno shvatawecelokupne situacije, koja se sagledava,su{tinska je osnova za ~itav saznajniproces. Qudski um sastoji se od dva saznajnapostupka: intuitivnog opa‘awa i intelek-tuale analize. Intuicija opa‘a op{tustrukturu konfiguracija, a intelektualnaanaliza slu‘i da izdvoji karakter razmatra-nog entiteta. Intuicija i intelekt ne de-jstvuju razdvojeno, ve} zahtevaju uzajamnusaradwu. Ako se zanemaruje jedno ili drugou procesu obrazovawa, obogaquju se umovikoje u~iteqi poku{avaju da vaspitaju.

Pojmom intuicije u nastavi matema-tike posebno se bavio E. Fi{bejn (Fischbein,1973). Fi{bejn razlikuje dve vrste in-tuicije: intuiciju adhezije i intuiciju an-ticipacije. Intuicija adhezije sama po sebidaje dokaz o odre|enoj ~iwenici: iz bilokoje ta~ke koja ne pripada pravoj mogu}e jepovu}i samo jednu normalu na tu pravu, uvekpostoji prirodan broj ve}i od datog prirod-nog broja itd. Za ovu vrstu intuicijeFi{bejn ka‘e da ne ose}a potrebu zamatemati~kim dokazom. Podsetimo se da jeA. Poenkare govorio da logikom dokazujemo,a intuicijom otkrivamo odre|enematemati~ke istine (Freudenthal, 1973, 147).Intuicija anticipacije predstavqa glo-

Olivera \oki}

22

balno re{ewe problema (~esto ka‘emo inaslu}ivawe re{ewa problema). Ona jestrogo i eksplicitno re{ewe problema.Ove dve intuicije su nezavisne jedna od drugei igraju razli~ite uloge u razumevawu pojma.Osnovna ~iwenica, kada se posmatra nas-tavni proces, jeste da intuicija ne mo‘e dabude stvorena, eliminisana ili modifiko-vana obja{wewima ili kratkim ve‘bama unastavi.

Postoje najmawe tri situacije poFi{bejnu koje moraju biti uzete u razma-trawe (Fischbein, 1973, 223): prvo, u procesuu~ewa informacija data u~enicima oodre|enom pojmu mo‘e da bude sli~na sa we-govim intuitivnim znawem o tom pojmu i ovomo‘e da bude izuzetno korisno u nastavi (naprimer, najkra}e rastojawe izme|u dve dateta~ke je du‘); drugo, u procesu u~ewa infor-macija data u~enicima o odre|enom pojmumo‘e da bude razli~ita u odnosu na wegovointuitivno znawe o tom pojmu i stoga }e pos-tojati kontradikcija izme|u intuicije i ob-jektivne istine ili "istine" koja direktnoproisti~e iz dokaza (na primer, skup pri-rodnih brojeva ima isti kardinalni broj kaoi skup racionalnih brojeva); tre}e, u nekimsituacijama ne}e se formirati intuitivanstav (na primer, visine trougla seku se u jed-noj ta~ki koja je ortocentar trougla).

Fi{bejn iznosi stav da bi u~enicitrebalo da u~e svesno kako bi uporedili in-tuitivnu interpretaciju pojmova i proce-dura sa onim koje su kori{}ene u strogojmatemati~koj interpretaciji. U~enik bitrebalo da nau~i da ponovo razmi{qa o ele-mentima koje upoznaje u svakodnevnom isku-stvu, na takav na~in da su oni u skladu sawegovim novim pojmovnim okvirom. Intui-tivna osnova bi trebalo da bude sastavni deonastavnih aktivnosti, koliko god je to

mogu}e, i pripremqena uz pomo} dobro or-ganizovanih ve‘bi.

A {ta o intuiciji misli P. van Hileu svojoj teoriji matemati~kog obrazovawa?Intuicija ~esto ima nepovoqnu reputaciju(Van Hile, 1986). Ako ~ovek mo‘e da sagledai re{i neki problem onako kako to svakimo‘e, wegova akcija nije rezultat wegoveintuicije; ako ~ovek mo‘e da saznajesagledavaju}i strukturu na kojoj bazira svojatvr|ewa, on se ne slu‘i intuicijom. Ali,ako on direktno uvi|a re{ewe problema, bezsposobnosti da iska‘e kako je strukturaure|ena, onda mo‘emo govoriti o intuiciji,a ako je ta struktura slaba, onda pojedinacnije sposoban da prepozna wena svojstva itada sa sigurno{}u govorimo o intuiciji.

Van Hile govori o intuiciji ugeometriji, a re~ intuitivno (lat. intuéri =razmi{qawe, razmatrawe) se jednostavnokoristi povezano sa opa‘awem. Govore}i ointuitivnom u geometriji, van Hile navodieksperiment koji je izveden u saradwi saGeldofom. U pomenutom eksperimentu vo|aeksperimenta ‘eleo je da sazna {ta u~eniciznaju o pojmu kongruentnost (Van Hiele, 1986,123). Niko od u~enika nije ~uo za pomenuture~, {to je vo|a eksperimenta i o~ekivao.Poku{avaju}i da im intuitivno rasvetlizna~ewe pomenute re~i, vo|a se koristiopri~om o stolicama na kojima u~enici sedeu u~ionici i postavqawem odre|enihpitawa. U~enici jo{ uvek nisu davali odgo-vore ili su odgovori bili pogre{ni. Razgo-vor je ciqano nastavqen, pomiwawem kon-gruentnih predmeta koji se nalaze na stolu uporodi~nim domovima u~enika. U~enici suse polako pribli‘avali onoj intuitivnojpredstavi pojma kongruentnost, a vo|a ek-sperimenta ih je ponovo vratio na iskustvoiz u~ionice (stolice na kojima sede).U~enici su do{li do usagla{enih stavova da

Uloga intuicije u nastavi geometrije

23

su me|usobno kongruentni oni objekti kojise ne razlikuju jedni od drugih.

Intuitivno, kongruentnim ilipodudarnim u geometriji smatramo dva ob-jekta ako ih preme{tawem u prostorumo‘emo dovesti do poklapawa (Marjanovi},1996). Realno, mo‘emo poklapati samopqosnata tela (~iju tre}u dimenziju zane-marujemo), kao {to su ‘etoni, modeli odpapira i sl. Tada smatramo da su sva wihovageometrijska svojstva ista, ukqu~uju}i imetri~ka. Ono {to tada zanemarujemo jestewihov polo‘aj.

Zakon o neprobojnosti ka‘e da dvafizi~ka tela ne mo‘emo dovesti do pokla-pawa. Ali, u mislima, dve stolice uu~ionici mo‘emo pomerawem dovesti dopotpunog poklapawa.

Materijalna supstanca predmeta ispu-wava deo prostora i taj deo shvatamo kaoodre|eni skup ta~aka u prostoru, a podudar-nost ili oblik zavise od takvih skupova, ane svojstava materijala od kojih su fizi~katela napravqena. Kada zanemarujemo fizi-~ka svojstva predmeta, dolazimo do pred-stave o wima kao geometrijskim telima.Podudarnost geometrijskih objekata, umestopomerawa, mo‘emo definisati prekopreslikavawa koja ~uvaju rastojawa.

Neka su A i A’ skupovi (u ravni iliprostoru). Tada su A i A’ podudarni ili kon-gruentni ako postoji preslikavawe:

f : A → A’takvo da je "1-1" i "na" i jo{ da za svake dveta~ke a1 i a2 ∈ A va‘i:

d (a1, a2) = d (f (a1), f (a2)).Preslikavawe f ~uva rastojawe, tj.

originali a1, a2 su na istom odstojawu kao islike f (a1), f (a2). Takvo preslikavawe jeizometrija.

Kongruentnost se u pomenutom ek-sperimentu intuitivno upoznaje. Sama re~ jeozna~avala imenovawe ne~ega {to je pri-hva}eno mnogo ranije i {to su deca do‘ivelau sopstvenom iskustvu. Koliko je te{koopisati takav pojam o~igledno je. Na krajueksperimenta ceo razred je, kroz pa‘qivoproveravawe vo|ene diskusije {ta taj pojamjeste, a {ta on nije, do{ao do tvr|ewa: "Kon-gruentni predmeti (objekti) su oni koji seme|usobno ne razlikuju". U nastavi je, ~ak,mogu}e raditi godinama upotrebqavaju}ipojmove bez wihovih definicija: intui-tivno znawe ~esto biva dovoqno za potrebenastave po~etnog nivoa. Na sli~an na~inmogu}e je uraditi i, na primer, pojamsli~nosti (Jones, et al., 2003).

Film Pri~a o igra~kama (Toy Story)prikazan 1995. godine, kao prvi du-gometra‘ni potpuno kompjuterski animi-rani film, predstavqa dobar primer zailustraciju intuitivnog puta izgra-|ivawa geometrijskih pojmova. U filmu jepredstavqen ‘ivot kolekcije de~jih igra-~aka koje su potpuno ukqu~ene u relan‘ivot. Igra~ke su o‘ivqeni objekti jedno-stavnih geometrijskih oblika (sferi~ni,cilindri~ni itd), geometrijski transfor-misani, koji se kre}u, misle, govore iose}aju. Ovim pitawima posebnu pa‘wu usvom radu posve}uje M. Atijah, zna~ajnisavremeni britanski matemati~ar iz drugepolovine 20. veka, i K. Xons i K. Munej. Ati-jah isti~e prostornu intuiciju ili pros-tornu percepciju kao snagu kako za geo-metriju, tako i za razvoj geometrijskih poj-mova, koja je mo}no sredstvo za ‘ivotuop{te. Razvoj prostornog razumevawa, raz-voj i primena prostornih pojmova, kroz kojedeca shvataju svet koji ih okru‘uje,upori{ne su ta~ke u po~etnoj nastavigeometrije (Jones, et al., 2003).

Olivera \oki}

24

Umesto zakqu~ka

"Geometrija je razumevawe prostora, ...takvog prostora u kome dete ‘ivi, di{e ikre}e se, prostora u kome dete mora da nau~ikako bi znalo da istra‘uje, da osvaja usmislu da u wemu {to boqe ‘ivi, di{e ikre}e se" nagla{ava Frojdental (Freudenthal,1973, 403). Neki eksperimenti pokazuju da bigeometrija osnovno{kolskog uzrasta tre-balo da ukqu~uje prou~avawe objekata, wi-hovih transformacija - translacije, ro-tacije i simetrije - kao i me|usobnih odnosau prostornom okru‘ewu. Ovo bi zna~ilo dau~enici prva iskustva u geometriji sti~uputem fizi~kih objekata i upoznavawem wi-hovih osobina, a za primarni ciq ima razvoj

u~eni~ke intuicije i znawa o wihovom pros-tornom okru‘ewu. Iskustvo bi trebalo daukqu~i analizu i apstrakciju geometrijskihpojmova i wihovih odnosa u narastaju}emformalnom okviru nastave (Jones, et al.,2003). Prema H. Frojdentalu koren nastavegeometrije trebalo bi da bude u prakti~nompodsticaju i prostornom iskustvu u~enika.

Po~etna nastava geometrije trebalobi vi{e da bude gra|ena na de~jim pros-tornim iskustvima, sistemati~no razvijanau oba pravca, prakti~nom i teorijskom.Mo‘e se zakqu~iti da je pojmu intuicije unastavi geometrije neophodno posvetitive}u pa‘wu u istra‘ivawima.

Literatura

• Arnhajm, R. (2003): Novi eseji o psihologiji umetnosti, Studentski kulturni centar Beogradi Univerzitet umetnosti u Beogradu, Beograd, (prevod originala - Rudolf Arnheim: New Essayson the Psychology of Art, University of California Press, Berkeley, Los Angeles, London, 1986).

• Van Hiele, P. (1986): Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education, Academic Press, Orlando(translated from the Dutch).

• \oki}, O. (2005): Pojam linije u po~etnoj nastavi geometrije i wegovo izgra|ivawe, neob-javqeni magistarski rad, Beograd, U~iteqski fakultet.

• Jones, K. and Mooney, C. (2003): Making space for geometry in primary mathematics, In: Thompson I.(Ed), Enhancing Primary Mathematics Teaching, London, Open University Press.

• Marjanovi}, M. M. (1996): Metodika matematike, úú deo, U~iteqski fakultet, Beograd.

• Milanovi}-Nahod, S. (1994): Mewawe pojmova: od intuitivnih do nau~nih obja{wewa, u:Zbornik 26, Institut za pedago{ka istra‘ivawa, Beograd.

• Poincaré, H. (1952): Science and Hypothesis, Dover Publications, Inc. New York.

• Skemp, R. (1993): The Psychology of Learning Mathematics, Penguin Books, London.

• Swoboda, E. (2004): From intuition to formal conceptions, 10th International Congress on MathematicalEducation, Research and development in the teaching and learning of geometry, under the auspices of ICMI- International Commission on Mathematics Instruction, Copenhagen, Denmark.

• Trebje{anin @. (2004): Re~nik psihologije, Stubovi kulture, Beograd.

• Fischbein, E. (1973): Intuition, structure and heuristic methods in the teaching of mathematics, in Develop-ments in Mathematics Education, (Ed.) A. G. Howson, Cambridge University Press.

• Freudenthal, H. (1973): Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht.

Uloga intuicije u nastavi geometrije

25

• Fujita T, Jones K. & Yamamoto S. (2004): Geometrical intuition and the learning and teaching of geometry,10th International Congress on Mathematical Education, Research and development in the teaching andlearning of geometry, under the auspices of ICMI - International Commission on Mathematics Instruction,Copenhagen, Denmark.

• Wild, K.W. (1938): Intuition, Cambridge, Cambridge University Press.

SummaryThe importance of intuition and its role in contemporary geometry teaching are discussed in this

paper and this issue is particularly pointed at the 10th International Conference of Teaching Mathematicsin Copenhagen in 2004. There is more research focused on monitoring development of intuitive develop-ment of students as a kind of ability enabling the student to manipulate by the models of geometry figuresand to solve given geometrical problems, or to think or imagine an image of a geometry object. Manyissues are opened, such as: the issue of neglecting or accepting and encouraging development of intuitionin teaching geometry. This problem is particularly enlightened by the views of A. Poankare, P. Van Hill,E. Fishbein and others. There are some significant experiments in teaching geometry described which giveanswers to still an open question: Intuition - an important starting point for teaching geometry. Atiach’sview has also been pointed at, concerning space intuition and space perception which are important fordevelopment of geometry terms and which represent important focal points for teaching geometry. It canbe concluded that the term intuition in teaching geometry is necessary to be better researched.

Key words: intuition, basic geometry teaching, space intuition, space perception, geometry terms

Olivera \oki}

26

Na po~etku, istaknimo da je ovaj ~la-nak, kao i istra‘ivawe, izvedeno imaju}i uvidu uo~enu tendeciju uvo|ewa sadr‘aja izTeorije verovatno}e i statistike u nastavneprograme u osnovnoj {koli u svetu (J. Mili-nkovi}). U ~lanku smo pa‘wu posvetiliproblemu izbora reprezentacije u nastavielementarnih pojmova iz Teorije verova-tno}e i statistike. Ovaj problem se mo‘elocirati u {irem okviru tra‘ewa optimal-nog metodi~kog pristupa u nastavi matema-tike. Posebno je zna~ajno sagledavawe as-pekata progresivne {ematizacije i for-malizacije kao i kontekstualizacije u nas-tavi matematike. Eksperimentalnim delom

rada ukazuje se na efekte uvo|ewa izabranereprezentacije na razli~itim uzrastimau~enika.

Teorija reprezentacije

Kada se bavimo razli~itim mentalnimi eksternim (spoqa{wim) reprezentacijamai sagledavawem efekata spoqa{wih repre-zentacija u nastavi matematike nalazimo seu podru~ju teorije reprezentacija, zani-mqivom i sa psiholo{ke i sa matemati~kestrane gledawa na saznawe

Jedna od su{tinskih psiholo{kih pre-tpostavki savremenih teoreti~ara matema-

Dr Jasmina Milinkovi}U~iteqski fakultet, Beograd

Izvorninau~ni ~lanak

Reprezentacije u nastaviverovatno}e i statistike u osnovnoj {koli

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 27-36 UDC 519.23

Rezime: ^lanak je posve}en pitawima vezanim za izbor reprezentacije pri po~etnombavqewu pojmovima iz verovatno}e i statistike u osnovnoj {koli. U wemu se ukazuje narazli~ite vidove reprezentacija u nastavi matematike i na gledi{ta istaknutihteoreti~ara nastave matematike o zna~aju reprezentacija u saznawu. U radu sesagledavaju rezultati istra‘ivawa sprovedenog na uzorku u~enika osnovnih {kola Beo-grada. Ukazujemo na razli~ite efekte nastavnog pristupa s obzirom na: izbor reprezen-tacije i konteksta.

Kqu~ne re~i: reprezentacija, verovatno}a i statistika, kontekst.

27

ti~kog obrazovawa je da "znawe" predstavqastrukturno ure|ene interne reprezentacijespoqa{wosti (Hiebert & Carpenter, 1986). Podreprezentacijama se u psihologiji matema-tike i {ire u saznajnoj psihologiji po-drazumevaju dva tipa reprezentacija,spoqa{we i unutra{we. Spoqa{wereprezentacije su na~ini na koje pred-stavqamo pojave ili probleme iz okru‘ewa.Pod "razumevawem," u terminima reprezen-tacija podrazumevamo sme{tawe novog pojmaili postupka, odnosno unutra{we predstaveo tom pojmu ili postupku u internu mre‘u.

Pretpostavka je da postoje relacijeizme|u spoqa{wih i unutra{wih reprezen-tacija. Iz toga proizilazi o~ekivawe da seizgradwom i uo~avawem veza izme|urazli~itih spoqa{wih reprezentacija,uo~avawem sli~nosti i razli~itosti mo‘estimulisati i uspostavqawe relacija i vezaizme|u korespondiraju}ih unutra{wih re-lacija. Stoga se smatra da veze izme|u i unu-tar razli~itih reprezentacija imajuzna~ajnu ulogu u "u~ewu matematike sarazumevawem" (Hiebert & Carpenter, 66).

Reprezentacije u matematici

Kada matemati~ari govore o razli~i-tim reprezentacijama uobi~ajeno je da mislena razli~ite na~ine predstavqawe istogproblema. Termin blizak ovom po smislu ukome se koristi je "{ematizovawe" Ono sene odnosi samo na predstavqawe konkretnogproblema na razli~ite na~ine ve} irazmi{qawe u razli~itim paradigmama.Frojdental obja{wava da je svaka istorijskafaza u razvoju matematike zna~ila da je:znawe ste~eno otkri}em transformisano{ematizovawem, odnosno kodirawem u novuve{tinu i razumevawe na vi{em nivou(Freudental, 1974). Na primer, veliki iskorak

za razvoj matematike predstavqao je pre-lazak sa ikoni~ke predstave broja tri na nu-meri~ku. On pri tom nagla{ava da se {ema-tizovawe ne mo‘e posmatrati kao istori-jski ve} pre svega kao psiholo{ki napredaku sagledavawu stvarnosti. Dakle, {emati-zacija se smatra progresivnom formali-zacijom.

Metodi~ari matematike se ve} godi-nama zala‘u za kori{}ewe razli~itihformi za predstavqawe matemati~kih ideja.Koji su razlozi za ovakav stav? Pre svega,razli~ite reprezentacije su su{tinskiva‘an deo matemati~ke nauke. Na primer,operaciju sabirawa predstavqamo bro-jevnim slikama, na brojevnoj pravoj, u oblikumatemati~kog izraza, itd. Reprezentacijepredstavqaju razli~ite konkretizacijematemati~kog pojma ili strukture. U po~et-noj nastavi matematike naro~ito se smatraneophodnim oslawawe na konkretne i sliko-vne predstave kojima se olak{ava uvo|ewepojmova i postupaka ra~unawa. Na kraju, sma-tra se da razli~ite reprezentacije dopri-nose zanimqivosti matematike.

U praksi, me|utim, neka istra‘ivawaukazuju da u~enici vrlo ~esto "vi{estrukereprezentacije" posmatraju kao odvojenepredstave u relaciji sa pojmom koji seizu~ava. Prime}eno je da se u slu~ajuu~enika osnovne {kole deca "bespomo}nogube" u susretu sa promenom diskursa kojimase prou~ava isti pojam. Ova ~iwenicadovela je Dufour-Janvier-a i Bednarz i Belager-a,(1987, 113) do kriti~kog posmatrawa efektavi{estrukih reprezentacija na razumevawepojmova. Oni su uo~ili da deca vi{estrukereprezentacije do‘ivqavaju ve}inom kaovrstu igre ili dodatnog zadatka koji se mo‘eizraziti kao zahtev: "Uo~iti vezu izme|ureprezentacija", a ne kao sredstvo zarazumevawe pojma ili postupka. Na primer,

Jasmina Milinkovi}

28

suo~eni sa postupkom tzv. pismenog sabi-rawa brojeva predstavqenim prvo kaonala‘ewe zbira mesnih vrednosti cifara, azatim skra}eno, sa potpisivawem (pri ~emuse ne vidi razlog ispravnosti postupka) pre-ovla|uju}i broj dece ne vidi potrebu zaupoznavawem teoretske zasnovanosti skra-}enog postupka. I {ire, pokazuje se da u~e-nici ~esto dolaze u situaciju da vi{e nevide {ta je va‘no u onome {to se predsta-vqa, dolaze}i do zakqu~ka da "ni{ta nijerelevantno" ili do suprotnog ekstrema "daje svaki detaq date reprezentacije odsu{tinskog zna~aja."

Sa druge strane, istra‘ivawa pokazujuda je bogatstvo uo~enih veza, sli~nosti irazlika izme|u i unutar reprezentacijarazli~ito na razli~itom nivou ekspertize.Dakle, razumevawe i kori{}ewe razli~itihreprezentacija jeste korisno i ukazuje nastepen ekspertize u domenu. Na primer, dokje nekim u~enicima o~igledno, nekimu~enicima je te{ko da uo~e vezu izme|u al-trenativnih postupaka mno‘ewa vi{eci-frenih brojeva. Sli~no, na nivou sredwe{kole ili fakulteta, nije svima o~iglednaveza izme|u kosog hica ili Wutnovog zakonao ubrzawu kao direktnih transformacijaideja prvog i drugog izvoda.

Za nas je va‘no da primetimo i neke"logi~ne" ~iwenice u nastavi matematike, au vezi sa odre|enim reprezentacijama.O~iglednom se smatra ~iwenica da sekori{}ewem konkretnih materijala pojed-nostavquje proces razumevawa pojma.Me|utim, rezultati istra‘ivawa ne govoreuvek u prilog ovakvoj tezi. Na primer, bezobzira na intuitivnu prihvatqivost oveideje, Fenema ukazuje da istra‘ivawaefekta kori{}ewa konkretnih materijalane potvr|uju bezrezervno pozitivni efekatwihove upotrebe.

I Klod @anvier (1987) na konferen-ciji posve}enoj reprezentacijama izra‘avaskepsu u pogledu kori{}ewa vi{estrukihreprezentacija. On isti~e da su vrlo ~estoreprezentacije "ve{ta~ke" i su{tinski"besmislene" iako su "naizgled" konkreti-zacije apstraktnog pojma. [tavi{e, onnapomiwe da neke reprezentacije su{tinskideluju kontradiktorno jer dok matemati~arrazmatra razli~ite reprezentacije sa ak-siomatskom osnovom koja donose jedinstvozna~ewa, situacione reprezentacije donosene‘eqene slike i interpretacije. Kona~no,@anvier nagla{ava da je mnogo vi{e odvi{estruke predstave za u~enike zna~ajnasu{tinska upoznatost sa odre|enomreprezentacijom.

Brunerova teorija reprezentacija

U radovima Xeromi Brunera ispreple-tani su uticaji psihologije saznawa iprakti~ara nastave matematike. Kao struk-turno orjentisan psiholog, ali i didakti-~ar, on je tra‘io na~in kojim bi se u skladusa saznajnim mogu}nostima dece matema-ti~ki pojmovi u~ili na neprimitizovan,potpuno pojednostavqen na~in. On je vero-vao da se i komplikovani pojmovi mogu pred-staviti svakom detetu, na nivou koji bi bioadekvatan detetovim kapacitetima iiskustvu. Rezultat Brunerovog rami{qawao dualnoj teoriji saznawa "kroz akciju ikroz apstrakciju" je teorija reprezentacijakojom izdvaja i tre}i na~in predstavqawaspoqa{wih informacija "kroz slike".Svaka od tri tipa reprezentacija bazi~nouti~e na stvarawe i produbqivawe znawa. Usvom radu Bruner se delimi~no oslawao naPija‘eovu teoriju razvoja.

Na koji na~in ~ovek stvara predstaveo svetu? ̂ ovek iz sredine u kojoj ‘ivi dobija

Reprezentacije u nastavi verovatno}e i statistike ...

29

informacije, a da bi mogao da ih koristi, onih mora na neki na~in predstaviti. Pred-stave koje ~ovek stvara nisu jednostavnekopije originala iz spoqa{wosti. Da bibile od koristi za jedinku, informacije primemorisawu moraju biti na neki na~insre|ene i kodirane, a tako sre|ene informa-cije nazivamo reprezentacijama. Bruner(1964) zavr{ni proizvod obrade i kodirawainformacija naziva reprezentacijom. Za nasje zanimqiva relevantnost razli~itihreprezentacija za izbor na~ina na koji }emopredstavqati matemati~ke pojmove deci.

Prema Bruneru, postoje tri na~ina nakoji qudi predstavqaju svet: (1) akciono (de-lovawem), (2) ikoni~ki (slikovno) i (3) sim-boli~ki. Napomenimo da iako se mo‘euo~iti da tokom razvoja jedinke, spontanoili ne, te‘e da sa prvog pre|u na drugi azatim i prevashodno tre}i na~in, Bruner jeu kasnijim radovima, suprotno po~etnoizra‘enom stavu o prednosti ikoni~kereprezentacije u odnosu na akcionu i supe-riornosti simboli~ke reprezentacije u od-nosu na prethodne dve, smatrao da se, u stva-ri, ne radi o razvojnom progresu u izborureprezentacije, ve} pre svega kulturolo{kiuslovqenom pona{awu.

Razmotrimo svaki od na~ina reprezen-tacije. Akciono delovawe podrazumeva in-strumentalnu strukturu sa ciqem i sred-stvima. Dakle, ne radi se o slu~ajnim rad-wama koje dovode do saznawa ve} o planskomsaznawu. Osnova saznawa je procedura koja sesprovodi u ciqu dola‘ewa do zakqu~ka. Upitawu je fizi~ka akcija sa ciqemre{avawa problema. Ispuwavawe sudskognaloga u odre|enoj formi, brojawe "naprste" ili crtawe plana sobe da bi seodredila povr{ina poda bili bi primeritakve akcije. Dakle, akciona reprezentacijapodrazumeva predstavqawe pro{lih

doga|aja preko usvojenih motornih odgovora.Po~ev{i od vezivawa pertle do vo‘we kola,od najranijeg uzrasta do zrelosti, ~oveksti~e i koristi akcione reprezentacije.

Druga vrsta reprezentacija, tzv. iko-ni~ka ili slikovna, mo‘e se shvatiti kaovrsta prelaza od akcione do simboli~kereprezentacije. Ikoni~kom reprezentaci-jom doga|aj se iskazuje "selektivnonom or-ganizacijom percepcije i predstava, pros-tornim, vremenskim i kvalitativnim struk-turacijama perceptivnog poqa i wihovimtransformisanim slikama" (Bruner, 1964,str. 76). Dakle, slike zamewuju objekt koji sepredstavqa relativno vernom iako selek-tivnom predstavom. Bruner ukazuje na zna~ajovakve reprezentacije jer slike "ne samo{to uspevaju da uhvate posebnost doga|aja ipredmeta, nego su i izvor prototipova zakategorije doga|aja, a potom i merilo zapore|ewe potencijalnih primera koji bimogli biti ukqu~eni u te kategorije"(Bruner, 1996, str. 164). Sposobnostuo~avawa sli~nosti me|u predmetima i po-javama i stvarawe "tipi~nih" slika poma‘edetetu da funkcioni{e u svetu nezavisno odtoga da li je dostigao operativni nivomi{qewa isti~e Bruner upore|uju}i ovusposobnost sa Pija‘eovom karakterizaci-jom deteta u preoperativnoj fazi razvoja.

Najzad, tre}i na~in reprezentacije jesimboli~ka predstava o svetu. Ona po-drazumeva apstraktne forme kori{}ewaznakova i simbola koji sami po sebi ne od-slikavaju vi{e "direktno" objekat ili po-javu koju predstavqaju. On podrazumevaudaqavawe od konkretnog i arbitrarnost.Re~ ne ukazuje direktno na ozna~eno nitivizuelno podse}a na ono {to ozna~ava. Naprimer, simbol 8 ne izgleda kao niz od osamobjekata kao {to ni re~ osam ne ukazuje na{ta se termin odnosi. Simbole stvaraju

Jasmina Milinkovi}

30

qudi, a wihovo zna~ewe je rezultat dogo-vora. Kori{}ewe matemati~kih simbola zabrojeve i ra~unske operacije je po~etakupoznavawa dece sa matemati~kim jezikom.

Mo‘e se uo~iti da su prva dva vidareprezentacije primarne saznajne funkcijekoje su se razvile direktno kao reakcija naevolucijske zahteve, dakle u najve}oj meri suuniverzalne. S druge strane, simboli~kepredstave u velikoj meri su posledica "kul-turne kompetencije" i zahtevaju svestannapor za savla|ivawem. Ovaj vid kompeten-cije se sti~e u najve}oj meri kroz{kolovawe i druge vidove usvajawa kulture.Giri (D.C. Geary) na ovoj osnovi upore|ujestvarawe predstava o svetu i isti~e kakosvaka kultura svesno donosi odluke koje "bi-olo{ki sekundarne" dispozicije ‘elinametnuti kao potrebne sposobnosti ilikvalifikacije.

Istaknimo da Bruner smatra da pojedi-na~ne reprezentacije nisu uslovqene uzras-tom jedinke, kao ni stepenom wenog intelek-tualnog razvoja. Ovo stanovi{te donekle jeu kontradikciji sa ranije izra‘enimmi{qewem da se pomenuti na~ini pred-stavqawa javqaju redom kojim su i navedenikao i stavom da "razvoj svakog na~ina zavisiod prethodnog" (Bruner, 1964, str. 74). On jeuo~io da se naj~e{}e one javqaju odre|enimredom (akciona, ikoni~ka, pa simboli~ka).Bruner je smatrao da svaka narednareprezentacija zavisi od poznavawa pre-thodne, a da se sam na~in predstavqawa nerazvija tj. svaki od tri tipa reprezentovawapodataka ostaje kvalitativno nepromenqiv(sem u slu~aju fiziolo{kih o{te}ewa kao{to je slepilo, gluvo}a ili kortikalnepovrede.) S obzirom na takvo mi{qewe, onse zalagao da se novi pojmovi uvode istimredosledom (akciono, ikoni~ki, pa sim-boli~ki). Dakle, spoqa{wa reprezentacija

bila bi uporedna unutra{woj, mentalnojreprezentaciji akcija, objekata i ideja.Me|utim, u kasnijim izlagawima Bruner jepromenio mi{qewe o prioritetnosti poje-dinih vrsta reprezentacije i neophodnostipo{tovawa redosleda uvo|ewa reprezen-tacija.

Metodi~ki pristup koji bi uva‘avaoBrunerove ideje bi, na primer, pri uvo|ewupojma broja podrazumevao kombinovawe trivrste reprezentacija: 1) manipulacije objek-tima kao {to su {tapi}i, ‘etoni i sli~no,2) slikovne reprezentacije (npr. ta~kastapredstava objekata) i 3) uvo|ewe simbolabroja i re~i kojom broju dajemo ime.

Brunerova teorija ostavila nam je nizpitawa na koja treba potra‘iti odgovor.Jedno od pitawa je da li je neophodno pove-zivati obrazovne ciqeve sa simboli~nimreprezentacijama pojmova? Postavqa sepitawe i da li se nedvosmisleno mo‘eutvrditi koji vid reprezentacije je najpo-godniji u datom uzrastu?

Mason na osnovu Brunerovih reprezen-tacija opisuje aktivno-ikoni~ko-sim-boli~ku spiralu znawa kojom se iskazujeunutra{we kretawe u postizawu sigurnostiod "sigurne manipulacije objektima/sim-bolima, preko wihovog kori{}ewa u ciqudobijawa ’ose}aja’ o pojmu (ideji)obuhvataju}i pun obim slika na nepotpunodefinisanom nivou, kroz simboli~ki zapistog ose}aja, do sigurnog manipulisawanovim simbolima, itd. u neprekidnoj spi-rali" (citirano u Janvier, 1987, str. 13).

Odjek Brunerovih ideja pronalazimo uradovima savremenih didakti~ara. Pome-nimo razmi{qawe Ri~arda Li{a (RichardLesh, u Janvier, 1987) koji uo~ava da se glavnete{ko}e u re{avawu klasi~nog. "picaproblema" nalaze u prela‘ewu sa jednog na

Reprezentacije u nastavi verovatno}e i statistike ...

31

drugi tip reprezentacije slike-simbola-re~i. On isti~e da deca spontano koristesliku kao najpogodniju reprezentacijucelokupnog problema, ali im ona neolak{ava manipulaciju u ciqu izra‘avawadinamike situacije zbog ~ega prelaze na sim-boli~ku reprezentaciju.

Marjanovi} (2003) isti~e da seBrunerove ideje moraju sagledavati sa ra-cionalnim ograni~ewem. On prihvata pozi-tivan efekat davawa realnog konteksta usagledavawu skrivene matemati~ke struk-ture i ukazuje da je u na{em kurikulumuprisutna praksa "o‘ivqavawa" saznawa ipostizawa kognitivnog konflikta krozkori{}ewe odabranih slikovnih predstava.

Mo‘e se re}i da Brunerova teorijapru‘a shematski prikaz progresivne {ema-tizacije i formalizacije do koje dolazi unastavnom procesu. Za nas je od interesabilo utvr|ivawe pogodne reprezentacije,odnosno stepena apstrakcije s kojim pristu-pamo bavqewu pojmovima iz verovatno}e istatistike. Da li je pogodnost nivoa {ema-tizacije uslovqen uzrastom u~enika?

U uskoj vezi sa problemom nivoa ap-strakcije je problem kontekstualizacije,izbora adekvatnih konkretnih problemskihsituacija za u~ewe apstraktnih pojmova, kao{to je {ansa ili zakqu~ivawe na osnovuuzorka.

Analiza teorija reprezentacija iposebno Brunerove teorije reprezentacija,ukazuje na zna~aj transverzale objekat-slika-koncept. Istra‘iva~ki deo na{egrada baziran je na navedenim teorijskim os-novama.

Jedan od ciqeva istra‘ivawa kojeopisujemo u ovom ~lanku bio je da se utvrdioptimalni metodi~ki pristup formirawuelementarnih znawa iz verovatno}e i sta-

tistike, a posebno efekti razli~itihreprezentacija.

U istra‘ivawe je bilo ukqu~eno 16odeqewa, ukupno 392 u~enika uzrasta od 9 do13 godina (IV - VII razreda) iz tri beogradske{kole, iz u‘eg gradskog jezgra. Izborom{kola iz uskog gradskog podru~ja te‘ilo seda se obezbedi uniformnost uzorka, izbe-gavaju}i me{awe o~ekivanog efekta soci-jalnog miqea iz koga poti~u deca. (Urbanesredine, posebno u zapadnoevropskoj kul-turi, predstavqaju okru‘ewe u kome su decaranije podstaknuta da razviju intuiciju opojavama kojima se bavi statistika iverovatno}a.) Eksperimentalna nastava jeodr‘ana u okviru redovnih ~asova u {kolisa nastavnicima koji i ina~e predaju pred-met Matematika.

U eksperimentalnoj nastavi kori-{}ena su tri nastavna postupka. Na nivousvakog razreda, testirano je i kontrolnoodeqewe, u kome nije organizovana nastava.U sva tri eksperimentalna uslova nastava jetrajala dva redovna {kolska ~asa, odnosnodevedeset minuta. Nakon toga je sledila pro-vera znawa na testu. Test je bio sastavqen iizbalasniran tako da pokrije samo onapitawa na koja bismo mogli da o~ekujemo daih znaju u~enici sva tri eksperimentalna us-lova. Zavr{ni test je imao sedamnaestzadataka i ra|en je u toku jednog nastavnog~asa od 45 minuta.

Eksperimentalni dizajn - Istra‘i-vawe je prema opisanom struktuirano kao4h4 faktorski dizajn - sa ~etiri nastavnapristupa (metode) i ~etiri uzrasne grupe, ameren je uspeh u~enika na zavr{nom testu.

Ovde }emo opisati dve karakteri-sti~ne nastavne aktivnosti. Ukaza}emo krozove primere na koji na~in se razlikujureprezentacije problema u tri nastavna

Jasmina Milinkovi}

32

pristupa. Prva od izabranih problemskihsituacija varijacija je Pija‘e-Inheldero-vog eksperimenta (1951) izvla~ewa ‘etonaiz kutije. Scenario je slede}i:

Posmatraju se tri kutije. U prvoj ku-tiji nalaze se 1 bela i 1 crvena kockica (kojesu iste po svim karakteristikama osim poboji). U drugoj kutiji nalazi se 9 belih i 1crvena kockica. U tre}oj kutiji nalaze se 2bele i 2 crvene kockice. Zadaci su bili dase 1) utvrdi {ansa da se iz kutije, bezgledawa, izvu~e crvena kockica i 2) uporede{anse za izvla~ewe crvene kockice iz prve,druge, odnosno tre}e kutije.

ú kutija úú kutija úúú kutija

U pristupu koji smo nazvali akcionim(A), u~enici su eksperimentalno poku{alida utvrde verovatno}u da se iz kutije u kojojse nalaze kockice u dve boje (crvena i bela),izvu~e kockica crvene boje. Postojala su trislu~aja, odnosno tri kutije sa razli~itimbrojem belih i crvenih kockica. U prvoj ku-tiji nalazila se jedna bela i jedna crvenakockica. U drugoj kutiji nalazilo se devetbelih i jedna crvena kockica, a u tre}oj ku-tiji dve bele i dve crvene kockice. Sviu~enici su izvla~ili kockice, zapisivalirezultat pojedina~no i zbirno za jedan redklupa na na~in dogovoren sa nastavnikom,sumirali rezultate za ceo razred i pred-stavqali ih na tabli, a zatim su razmatraliverovatno}u za izvla~ewe crvene kockice,intuitivno primewuju}i statisti~ku de-finiciju verovatno}e. Isti postupak seponavqao za sve tri kutije. Na kraju supore|eni rezultati izvla~ewa celogodeqewa za svaku od kutija. U ovom slu~ajuradi se o aposteriori verovatno}i, odnosnoo statisti~koj verovatno}i.

U drugom pristupu, koji smo nazvaliikoni~kim (I), u~enicima je opisan rezul-tat igre koju su odigrala tri imaginarna de-teta. Svako od troje dece imalo je po jednukutiju sa razli~itim brojem kockica pri~emu je odnos belih i crvenih kockicaodgovarao odnosu broja kockica razli~iteboje u A pristupu. Odeqewe je u etapamaupoznato sa rezultatima trideset izvla~ewaiz jedne kutije (kao analog izvla~ewu u Apristupu). U~enici su prvo izra‘avali svo-je o~ekivawe, a zatim su analizirali ostva-rene rezultate. Razmatrali su kolika je{ansa deteta da izvu~e crvenu kockicu izodre|ene kutije dolaze}i, intuitivno, dostatisti~ke definicije verovatno}e, a nakraju su razmi{qali i ko je od dece imalove}u {ansu da izvu~e crvenu kockicu. I uovom slu~aju radi se o statisti~kojverovatno}i, ali je "presko~en" akcioni deoi analizira se samo slika koja se mo‘e do-biti nakon eksperimentalnog izvla~ewa.

U tre}em pristupu, koji smo nazvalisimboli~kim (S), u~enici razmatrajuslede}u igru. U kutiji se nalazi odre|en,poznat broj kockica (isti kao u A i I pris-tupu). U~enici razmatraju {ansu da seizvu~e crvena kockica bez dodatnih infor-macija, dakle ne na osnovu neke imaginarnoodigrane partije, ve} na osnovu odnosa brojakockica crvene i bele boje u kutiji. Razgo-vor sa nastavnikom ih navodi na zakqu~ak daje bitan odnos broja crvenih kockica i ukup-nog broja kockica. Ovde se radi o apriornojproceni {anse, to jest o intuitivnoj pri-meni klasi~ne definicije verovatno}e.U~enici su navedeni da razmi{qaju u ter-minima davawa broja kojim bi izrazilio~ekivani odnos broja izvu~enih crvenihkockica i ukupnog broja kockica za svaku odkutija .

Reprezentacije u nastavi verovatno}e i statistike ...

33

Opi{imo i drugu nastavnu aktivnostizbora "Omiqenog junaka stripa."

Na ~asu sa akcionim (A) pristupomu~enici u odeqewu prave anketu koji je wi-hov najomiqeniji junak stripa. Od ponu|ena~etiri junaka, biraju najomiqenijeg, a zatimbele‘e rezultate glasawa i prikazuju ih ta-belarno, ta~kasto i histogramom. Razgova-raju {ta mogu zakqu~iti na osnovu ovih pri-kaza. Diskutuje se o razli~itim na~inimapredstavqawa podataka i koji je od pred-stavqenih na~ina najpodesniji (odnosno naj-re~itiji). Zatim diskutuju o rezultatimaglasawa i na koju populaciju se oni moguuop{titi, kao i kako se ovi rezultati mogukoristiti.

Na ~asu sa ikoni~kim (I) pristupom,u~enici analiziraju rezultate ankete oomiqenom junaku stripa imaginarnogodeqewa vo|ene od strane {kolskog~asopisa. Plan razgovora je identi~an pris-tupu A.

Na ~asu sa simboli~kim (S) pristu-pom, u~enici analiziraju rezultate ankete uimaginarnom odeqewu iskazanu ne slikom,ve} informacijom o odnosu broja glasovakoje su dobili izabrani junaci stripa.Nakon analize, upoznaju i grafi~ki na~inprestavqawa podataka ta~kastim dijagra-mom i histogramom.

Na ovom mestu mo‘e se govoriti o po-godnosti izabranog konteksta i reprezen-tacije kao motivacije za bavqewe pojmovimakao {to su: {ansa, populacija, uzorak,reprezentativnost uzorka. U~enici IV i V suizuzetno zainteresovani za forme rada zas-tupqene akcionim pristupom. Sa ‘arom iuzbu|ewem u~estvuju u aktivnostima.Nasuprot wima, u~enici VI i VII razredanisu najzainteresovaniji za aktivnosti kojezahtevaju iskqu~ivo misaonu komntepmpla-

ciju i "igru" simbolima i brojevima. Moglose uo~iti da je ikoni~ki pristup pri-hvatqiv (zanimqiv) za sve razrede.

Postoji vi{e razlika koje se javqajukao rezultat izbora odre|ene reprezen-tacije koje nije mogu}e sagledati prekoanalize rezultata testa. Karakteristi~nesu razlike u vremenskoj artikulaciji ~asovakoja je neminovna posledica izbora nas-tavnog postupka. Karakteristi~no je da ak-cioni pristup uslovqava potrebu zaobezbe|ivawem dodatnog vremena (u odnosuna druga dva pristupa) za realizaciju ek-sperimenta (ankete) {to je prvi korak uprou~avawu pojava. Ovaj pristup sa drugestrane omogu}ava ostvarivawe drugihzadataka nastave kao {to je kooperativnost.

Najzad, re}i }emo ne{to i o dobijenimnumeri~kim rezultatima uspeha u~enika natestu. U Tabeli 1. prikazane su sredwe vred-nosti rezultata u~enika po odeqewima.

Tabela 1. Tabela sredwih vrednosti na testu.

Razred/tretman K A I SIV 11.52 16.03 18.09 17V 11.6 18.04 17.8 18.39VI 13.52 17.87 18.6 19.88VII 14.68 19.74 19.35 20.11

K- kontrolna grupa; A- akciona grupa;

I - ikoni~ka grupa; S- simboli~ka grupa.

Na osnovu Tabele 2. kao i Slike 1.mo‘emo zapaziti razli~iti efekat nas-tavnih pristupa. Iako su sva tri pristupaimala pozitivan efekat na znawe u~enikamogu se uo~iti i neke razlike. Na osnovudosada{we analize, simboli~ki pristuppo~ev{i od petog razreda ima najja~i pozi-tivan efekat u smislu obuhvatawacelokupne populacije u~enika, dok se koddruga dva pristupa mo‘e videti ve}i raspon,

Jasmina Milinkovi}

34

odnosno neujedna~enost efekta nastave narazli~ite u~enike.

Rezultati istra‘ivawa ukazuju da se udatoj populaciji, po~ev{i od VI razredamo‘e o~ekivati uspeh u formirawu osnoveza upoznavawe pojava sa neizvesnim ishodom.Zakqu~ujemo na osnovu pore|ewa statistikai grafi~kog prikaza da postoji razlikaizme|u uspeha eksperimentalnih grupa sa

razli~itim nastavnim pristupom na testu ito da su najboqe rezultate postigli u~enicisimboli~kog pristupa, zatim ikoni~kog i nakraju eksperimenatalnog. Ovakve rezultateobja{wavamo generalnom orjentacijom pro-grama nastave matematike u starijimrazredima osnnovne {kole ka simboli~kompristupu.

Tabela 2. Statistike grupa sa razli~itim nastavnim pristupom

GrupaKontro-

lnaAkciona

Ikoni-~ka

Simbo-li~ka

N 98 111 93 90R 16 19 17 19

Min 5 8 10 7Max 21 27 27 26M 12.8 17.96 18.42 18.91me 13 18 19 19mo 13 20 20 18S2 11.59 15.36 12.46 11.66

0

5

10

15

2 0

2 5

3 0

IV V VI VII

K

A

?

?

Literatura

• Bruner, X. (1964): Tok kognitivnog razvoja (adaptirano), Psihologija, V, br.1-2, 1972. U J.Miri} (priredio) Zbornik radova iz razvojne psihologije, Savez dru{tava psihologa SRSrbije, Beograd, 1988.

• Bruner, X.(1996): Kultura obrazovawa, Zagreb, Eduka.

• Bruner, J. S. & Bornstein, M. H. (1989): On Interaction. U M. H. Bornstein & J.S.

• Bruner (Eds.) Interaction in Human Development. Hillsdale, W: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

• Freudenthal, H. (1973): Mathematics as an Educational (2003): Task, Dordrecht, Reidel Publishing Com-pany.

• Freudenthal, H. (1983a): Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel.

• Geary, D. C. (1995): Reflections of Evolution and Culture in Children’s Cognition: Implications forMathematical Development and Instruction. In American Psychologists, 50(1).

Slika 1

Reprezentacije u nastavi verovatno}e i statistike ...

35

• Hiebert, J & Carpenter, T. P. (1992): Learning and Teaching with Understanding. In D. A.Grows, Handbookof research on mathematics teaching and learning, MacMillan Company: NCTM.

• Marjanovi}, M. (2003): Didactical analysis - a plan for consideration, The Teaching of Mathematics,97-104, vol. VI, 2. The Mathematical Society of Serbia.

• Milinkovi}, J. (2005): Elementi verovatno}e i statistike u nastavnim programima, Ino-vacije u nastavi, 3, Beograd, U~iteqski fakultet.

• Piaget J. and Inhalder, B. (1951): The Origin of the Idea of Chance. London, UK: Routledge & Kegan Paul.

SummaryThe paper is about issues on the choice of representations in teaching basic probability and statistics

terms in primary school. There are different forms of representations in teaching mathematics from thepoint of views of different theoreticians of teaching mathematics about the importance of representation incognition. There are results shown done on the specimen of primary school students in Belgrade. We showdifferent effects of the teaching approach concerning the choice of presentations and context.

Key words: representation, probability and statistics, context

Jasmina Milinkovi}

36

Uvod

Pojave u ‘ivotu i radu su sveslo‘enije i wihovo razumevawe zahteva svesuptilnije pristupe i metode. Polaze}i od

uloge koju obrazovawe ima u dru{tvenomrazvoju, postoji potreba stalnog osavreme-wavawa i pove}awa kvaliteta obrazovawa usvim segmentima. To je mogu}e ostvariti, presvega u odgovaraju}em sistemu obrazovawa,

Mr Valerija Kreki} PinterU~iteqski fakultet, Sombor

Izvorninau~ni ~lanak

Savremene metodi~ketransformacije kombinatorike u po~etnoj nastavi matematike

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 37-48 UDC 511.178: 519

Rezime: Osavremewavawe po~etne nastave matematike podrazumeva, kako sadr‘ajne,tako i metodi~ke inovacije u nastavi. Analiziraju}i programe po~etne nastave matema-tike nekih razvijenijih zemaqa, kao i metodi~ki pristup odabranim sadr‘ajima, sti~e seutisak da adekvatnim korekcijama nastavnog plana i programa matematike u nas, ciq izadaci nastave matematike bi bili uspe{nije realizovani, a ishodi te nastave zna~ajnooboga}eni.

Ciq ovog rada je da pored osnovnih teorijskih postavki i kroz odabrane primereilustruje potrebe i mogu}nosti uvo|ewa kombinatornih problema u po~etnu nastavumatematike, da bi time dali doprinos realizaciji osnovnih ciqeva i zadataka nastavimatematike, shvatawu zakonitosti kombinatorne prirode i izgra|ivawu mentalnihslika, pa i pojmova u oblasti kombinatorike.

U prvom delu ovog rada dotaknute su teorijske, kako matemati~ke, tako i di-dakti~ko-metodi~ke osnove obrade kombinatornih sadr‘aja u po~etnoj nastavi matema-tike. U drugom delu rada dati su modeli obrade kombinatorike u po~etnoj nastavimatematike. Prikazane su metoda eksperimenta-igre, manipulacije stvarima i mental-nim slikama, ilustrovana je kombinatorna geometrija. Prikazani su i neki odabraniprimeri u vezi sa brojevima i slovima, kao i odgovaraju}i slo‘eniji kombinatorniproblemi.

Kqu~ne re~i: po~etna nastava matematike, kombinatorika, propedevtika, me-todi~ka transformacija, logi~ko-kombinatorno mi{qewe.

37

koji je me|u ostalima uslovqen savremenimplanovima i programima nastave, dobroosposobqenim nastavnicima, efikasnomobrazovnom tehnologijom, adekvatnim uxbe-nicima itd., dakle, kvalitetom obrazovawau celini. U sklopu ovih indikatora, posta-vqa se i pitawe: da li na{ program nastavematematike u op{tem obrazovawu sadr‘isve relevantne elemente koji su potrebni zashvatawe raznih pojava i zavisnosti u‘ivotu i radu i u dru{tvu u celini?

Bez logi~ko-kombinatornog mi{qewani svakodnevni ‘ivot, niti nastava i u~ewe,a posebno, nastava matematike su nezamis-livi. Me|utim, logika i kombinatorikaeksplicitno ne figuri{u u na{im pro-gramima po~etne nastave matematike. Otudani modelovawe slu~ajnih pojava, kao ni sta-tisti~ke pojave nisu predmet izu~avawa nas-tave matematike u nas, sve do sredweg obra-zovawa. Zar ne bi bilo prirodnije dalogi~ko-kombinatorno mi{qewe negujemo,primewujemo i izu~avamo od po~etkavaspitawa i obrazovawa?

U novije vreme, me|u op{timciqevima i ‘eqenim ishodima obaveznogosnovnog obrazovawa zna~ajno mesto zauzi-maju:

• re{avawe jednostavnih logi~ko-kom-binatornih problema koji se odnose naprebrojavawe objekata, otkrivawepravilnosti u nizovima brojeva iliobjekata,

• ideje i modeli kombinatorike uraznim primenama matematike itd.

Uzimawem u obzir raznih mogu}nostirasporeda, grupisawa ili izbora predmeta,kasnije i apstraktnih elemenata, analizatih mogu}nosti, odre|ivawe ukupnog brojamogu}nosti, eventualno odre|ivawe opti-malne varijante ili verovatno}e pojavqi-

vawa javqaju se kao nove ideje u okviru pro-grama po~etne nastave matematike. Re{a-vawe ovakvih problema implicira kreati-van pristup i primenu novih metoda itehnika, kao {to su metoda otkrivawa,problemska metoda, metoda pretpostavke,kiberneti~ke metode, grafovi, razni dija-grami, tablice, skupovi i sl. Da li su na{inastavnici, pa i na{a metodika nastavematematike, spremni da prihvataju ove noveideje, sadr‘aje i metode u po~etnoj nastavimatematike?

U programima po~etne nastave matema-tike nekih razvijenijih zemaqa ve} od prvograzreda osnovne {kole javqaju se "te{ke"teme, kao {to su logika, skupovi, kombina-torika, verovatno}a i statistika, ali na"lak na~in". S obzirom na uzrast dece naovom nivou obrazovawa, procesi i dometisaznawa su ograni~eni prevashodno na ono{to je konkretno, materijalno, o~igledno.Na putu ka izgra|ivawu apstraktnih poj-mova zna~ajnu ulogu igraju razni primeri(kroz igru, ispitivawe slu~ajeva, simu-lacije) i odgovaraju}a mentalna slika, kojase formira na osnovu li~ne i individualneprojekcije na objektivni, spoqni svet.Igra, simulacije i istra‘ivawa slu~ajeva sejavqaju i odvojeno i istovremeno, i to uraznim kombinacijama. Su{tina je u tome dase formirawu matemati~kih pojmova pris-tupa spiralno, polaze}i od manipulacijastvarima, didakti~kim materijalom, prekoistra‘ivawa slu~ajeva i simboli~ne simu-lacije.

Dakle, mogli bi pretpostaviti da ve}na po~etku matemati~kog obrazovawa ivaspitawa postoje odre|ene psiholo{ko-pedago{ke i didakti~ko-metodi~ke potrebei mogu}nosti za propedevtiku onihdru{veno korisnih oblasti, kao {to je, naprimer, logika i kombinatorika, koji su

Valerija Kreki} Pinter

38

dugo smatrani suvi{e slo‘enim i suptilnimza izu~avawe u op{tem obrazovawu.

Problem savremene metodi~ke trans-formacije elemenata logike, kombinato-rike, verovatno}e ili statistike u po~etnojnastavi matematike je evidentan, zna~ajan ivrlo aktuelan, ali ova problematika una{oj stru~noj literaturi se skoro i nejavqa. Najnovija bibliografija po~etne nas-tave matematike u nas ([pijunovi}, K.,2003), taj nedostatak izvanredno ilustruje.Nasuprot ovome, sadr‘aji logike i kombina-torike, iako implicitno, u sve ve}oj meri sejavqaju u sadr‘ajima po~etne nastavematematike i u nas.

Rano uvo|ewe kombinatorike se sma-tra za jedno od najboqih sredstava za razvi-jawe kreativnosti kod u~enika i za odli~nuosnovu za formirawe mentalnih slika imatemati~kih pojmova iz te oblasti.

To su dominantni argumenti, zbog ~egase sa metodi~kom transformacijom kombi-natorike u po~etnoj nastavi matematikevredi temeqnije baviti. Slo‘ene problem-ske situacije i wihovo razre{avawepo‘eqno bi bilo pribli‘iti svakom de-tetu. Neko od wih mo‘da nikad ne}e ovapo~etna matemati~ka znawa izdi}i na teo-rijski nivo, ali }e u ‘ivotu biti spremnijei snala‘qivije upoznaju}i razne problemekombinatorne prirode i intuitivni na~inwihovog re{avawa.

Matemati~ke osnove zanimawa u oblasti kombinatorike

Matemati~ke osnove zanimawa uoblasti kombinatorike u po~etnoj nastavimatematike ~ine: kombinatorni principsume, kombinatorni princip proizvoda, per-mutacije, kombinacije i varijacije.

Ne ulaze}i u detaqe, izne}e se samoosnovne matemati~ke definicije ovih poj-mova i nave{}e se wihovi matemati~kimodeli.

Kombinatorni princip sume

Neka su A i V disjunktni skupovi ineka je card (A) = m i card (B) = n. Broj na~inada se izabere jedan elemenat iz skupa A iliskupa V je m + n.

Ponekad se ova definicija koristi uslede}em obliku: Ako se od dve operacije,koje se iskqu~uju, jedna mo‘e izvr{iti na mna~ina, a druga na n na~ina, onda se prva ilidruga operacija (jedna, bilo koja od wih)mo‘e izvr{iti na m + n na~ina.

Kombinatorni princip proizvoda

Neka su A i V neprazni kona~ni sku-povi i neka je card (A) = m i card (B) = n. Brojna~ina da se izabere jedan elemenat iz skupaA i jedan elemenat iz skupa V je: m × n.

Odnosno: Ako se jedna operacija mo‘eizvr{iti na m na~ina, a posle toga drugaoperacija na n na~ina, onda se obe operacijejedna za drugom mogu izvr{iti na m × nna~ina.

Permutacije bez ponavqawa

Permutacija bez ponavqawa skupa od nelemenata je svaka ure|ena n-torkaralli~itih elemenata tog skupa.

Ako broj permutacija bez ponavqawaozna~imo sa P(n), onda je:

P(n) = n!

Savremene metodi~ke transformacije kombinatorike ...

39

Permutacije sa ponavqawem

Permutacije sa ponavqawem skupa A={a1, a2, …, ar} je svaka ure|ena n-torka ele-menata iz A u kojoj se svaki elemenat ai po-javquje ki puta, i = 1, 2,…, r, i gde je n = k1,k2,…, kr.

Ako je P(n, k1, k2,…, kr) broj permutacijasa ponavqawem skupa od r elemenata u ko-jima se i-ti elemenat pojavquje ki puta, pri~emu i = ( 1, 2,…, r) i k1+k2+…+kr = n, onda je :

P(n, k1, k2,…, kr) = n! / k1! k2! … kr!

Kombinacije bez ponavqawa

Kombinacija k-te klase bez ponavqawaskupa od n elemenata, k ≤ n, je svaki wegovpodskup koji sadr‘i k - elemenata.

Ako je C(n,k) broj kombinacija k-teklase bez ponavqawa skupa od n elemenata,onda je:

C(n,k) = ( n ) k

Kombinacije sa ponavqawem

Kombinacije k-te klase sa ponavqawemskupa od n elemenata je svaka neure|ena k-torka (ne obavezno razli~itih) elemenatatog skupa.

Ako je C(n,k) broj kombinacija k-teklase sa ponavqawea skupa od n elemenata,onda je:

C(n,k) = ( n + k + 1 ) k

Varijacije k - te klase bez ponavqawa

Varijacije k-te klase bez ponavqawaskupa od n elemenata je svaka ure|ena k-

torka (k ≤ n) razli~itih elemenata togskupa.

Ako je V(n,k) broj varijacija k-te klasebez ponavqawa skupa od n elemenata, onda je:

V(n,k) = n (n-1) (n-2)...(n-k+1)

Varijacije k-te klase sa ponavqawem

Varijacije k-te klase sa ponavqawemskupa od n elemenata je svaka ure|ena k-torka (ne obavezno razli~itih) elemenatatog skupa.

Ako je V (n,k) broj varijacija k-te klasesa ponavqawem skupa od n elemenata, onda je:

V (n,k) = nk.

O mogu}nostima obrade kombinatorike u po~etnoj nastavi matematike

U osnovnoj {koli se ne mo‘e govoritio teoriji kombinatorike, nego samo opropedevtici odgovaraju}ih pojmova, da krozrazne do‘ivqaje u~enici sti~u odgovaraju}aiskustva i znawa o tim doga|ajima, da bitime dali doprinos razvijawu mi{qewa isposobnosti u~enika, kao i formirawu wi-hovih stavova u vezi sa tim problemima.

Po~etna nastava matematike, popravilu, zasniva se na konkretnim ak-tivnostima u~enika, na igri, na intuiciji,na do‘ivqavawu konkretnih operacija. Ovaiskustva predstavqaju osnovu za sazrevawe,razumevawe, shvatawe i primenu ap-straktnih matemati~kih pojmova i modela.

Savremena metodika po~etne nastavematematike, uva‘avaju}i psiholo{ko-pedago{ke i metodolo{ko-metodi~ke os-nove te nastave poznaje i priznaje mnogepristupe po~etnoj nastavi matematike kao{to su:

Valerija Kreki} Pinter

40

• pristup matematici kroz igru sapredmetima i didakti~kim materi-jalom, kroz koju deca otkrivaju ap-straktne strukture kvantita-tivnih odnosa u objektivnoj stvar-nosti;

• prirodwa~ki pristup nastavi mate-matike, koji se bazira na relacijamasa prirodom, na eksperimentima;

• kiberneti~ko-modelski pristup na-stavi, koji se zasniva na idejama itehnikama matemati~ko-kiberne-ti~kog modelovawa, itd.

Hipozeza je: sadr‘ajima kombimato-rike u po~etnoj nastavi matematike naj-vi{e bi odgovarao jedan kombinovani pris-tup, koji u prvi plan stavqa igru, aliuva‘ava i eksperiment i kiberneti~ko-modelski pristup, naravno, uva‘avaju}ipostupnost uvo|ewa matemati~kih poj-mova i modela.

Modeli obrade kombinatorike u po~etnoj nastavi matematike

Na po~etku obrade kombinatorike,kroz igru, izu~avaju se rasporedi predmeta,osoba ili nekog didakti~kog materijala,dakle, vr{e se permutacije konkretnih ele-

menata. Zatim od tri, ~etiri ili vi{e ele-menata formiraju se podskupovi od mawegbroja elemenata, stvaraju}i time kombi-nacije, kasnije i ure|eni podskupovi vari-jacije, kao i ure|eni parovi iz elemenata dvaskupa (lutke i haqine, devoj~ice i de~aci isl.).

Na po~etku nije potrebno utvr|ivawebroja svih mogu}ih permutacija, kombi-nacija ili varijacija. Kasnije u jednostavni-jim slu~ajevima taj zahtev se mo‘e posta-viti, a u ~etvrom razredu se ve} insistira naiznala‘ewu svih mogu}nosti u kombina-tornim zadacima (naravno, bez kori{}ewaformula). Kombinatorni zadaci u po~etkuse "re{avaju" kroz eksperimente-igre, ma-nipulacijom stvarima, zatim kod slo‘enijihproblema, crta se drvo doga|aja, koristi setablicama i nizovima itd.

Ciq ovog rada je da pored osnovnihteorijskih postavki kroz odabrane primereilustruje potrebe i mogu}nosti uvo|ewakombinatornih problema u po~etnu nas-tavu matematike, da bi time dali dopri-nos realizaciji osnovnih ciqeva i zadatakanastave matematike, shvatawu zakonito-sti kombinatorne prirode i izgra|ivawumentalnih slika, pa i pojmova u oblastikombinatorike.

PRIMER 1.

Eksperiment - igra: Pore|ati tri kruga (predmeti: crvene, ‘ute i plaveboje) na razli~ite na~ine.

Svaki u~enik ima svoje kru‘i}e. Igraju}i se, vr{e eksperiment i dolaze dorazli~itih re{ewa. Neki }e do}i do jednog ili dva re{ewa, dok }e drugiprona}i vi{e mogu}nosti (najvi{e 6 mogu}nosti).

Zadatak omogu}ava u~eniku slede}e:

- aktivnosti u manipulacijama stvarima,

Savremene metodi~ke transformacije kombinatorike ...

41

- svaki novi raspored predmeta predstavqa do‘ivqaj otkrivawa,

- ne mo‘e se pogre{iti, eventualno mo‘e da se ponovi ve} vi|eno re{ewe,ili re{ewe ostalih u~enika,

- podsticawe na pronala‘ewe novih re{ewa,

- mo‘e da se pojavi i neko nekorektno re{ewe (npr. krugove slo‘i jedan nadrugi, itd).

PRIMER 2.

Zadatak: Na koliko na~ina mo‘emo obojiti zastave, ako koristimo triboje (crvenu, plavu i zelenu)? Svaka zastava treba da bude trobojna!

Analiziramo zadatak:

- moramo koristiti tri boje,

- svaka zastava treba da je razli~ita,

- jednu boju samo jednom mo‘emo koristiti na istoj zastavi.

Modelovawe zadatka:

Re{ewe zadatka:

Odgovor: Na {est na~ina mo‘emo obojiti zastave.

Nakon re{ewa zadatka mo‘emo ga pro{iriti:

- Obojimo kru‘i}e sa ~etiri boje (crvenom, ‘utom, plavom, zelenom), takoda je svaki red kru‘i}a obojen na razli~iti na~in (kru‘i}i u istom redumogu, ali i ne moraju biti razli~itih boja).

- Odredi {to ve}i broj mogu}nosti!

Valerija Kreki} Pinter

42

itd.

PRIMER 3.

Kombinatorna geometrija: Dato je {est ta~aka u ravni. Koliko pravih,odnosno du‘i mogu odrediti ove ta~ke?

Neka u~enici po~iwu sami da re{avaju ovaj zadatak.

Verovatno }e biti puno ideja i jo{ vi{e razli~itih rezultata.

Diskusiju treba usmeriti u slede}im pravcima:

- Da li postoji sistem u prebrojavawu pravih ili du‘i?

- Kako uti~e raspored ta~aka na dobijene rezultate?

- Da li je broj pravih i du‘i istovetan u svakom slu~aju?

- Kako mo‘emo uop{titi ovaj problem (na ve}i broj ta~aka)?

- Kako se problem re{ava "teoretski?

PRIMER 4.

Brojevi i slova: Dati su brojevi: 0, 1, 2, 3.

Koliko ~etvorocifrenih brojeva se mo‘e napisati sa ovim ciframa?

Koliko trocifrenih i dvocifrenih brojeva se mo‘e napisati pomo}u tihcifara?

Dobijene brojeve napi{i po veli~ini!

Posebnu pa‘wu vaqa posvetiti mogu}nosti ponavqawa cifara u istom brojui ulozi cifre 0.

- [ta bi se desilo da smo umesto ~etiri cifre uzeli ~etiri slova (npr. a, b,i, k)?

Savremene metodi~ke transformacije kombinatorike ...

43

- [ta bi u ovom slu~aju zna~io redosled "po veli~ini"?

- Napi{i taj redosled!

Tako|e je zanimqivo uo~iti re~i koji imaju zna~ewe i "re~i" koji to nemaju,kao i "leksikografski" raspored re~i.

PRIMER 5.

Zadatak: [kolski drugovi, Branko, Petar, Mirko i Stojan trebalo bi dapodele izme|u sebe dva poklona, jednu kwigu i jedno nalivpero. Napisali su napapiri} svoja imena i stavili su ih u kapu. Potom su izvla~ili, prvo imedobitnika kwige, a zatim ime dobitnika nalivpera.

Na koliko na~ina su mogli dobiti rezultat, ako posle prvog izvla~ewa nisuvratili ime dobitnika?

Analiza zadatka:

- izme|u ~etiri u~enika treba podeliti dva poklona,

- jedan u~enik ne mo‘e da dobije oba poklona.

Modelovawe zadatka:

- nabrajawem:

(Pi{emo inicijale imena!)

kwiga B B B P P P M M M S S Spero P M S B M S B P S B P M

- metodom tablica

kwiga

pero B P M S

B - BP BM BS

P PB - PM PS

M MB MP - MS

S SB SP SM -

Valerija Kreki} Pinter

44

- metodom "drveta"

kwiga pero

Re{ewe zadatka u svakom slu~aju je: 12

Odgovor: Na 12 na~ina su mogli dobiti rezultat.

Modifikacija zadatka: Na koliko na~ina su mogli dobiti rezultat, akosu posle prvog izvla~ewa vratili ime dobitnika?

Analiza novog zadatka:

- izme|u ~etiri u~enika treba podeliti dva poklona,

- jedan u~enik mo‘e da dobije oba poklona.

Б

П М С

П

Б М С

М

Б П С

С

Б П М

Savremene metodi~ke transformacije kombinatorike ...

45

U~enici kroz re{avawe ovakvihproblema mogu do}i do slede}eg:

• kroz razne do‘ivqaje sti~u utisak iiskustva o kombinatornim pravilimai principima, koja mogu upotrebiti iu drugim oblastima,

• kroz igru kombinuju}i istra‘uju, pro-cewuju i proveravaju rezultate,

• vr{i se propedevtika osnovnih poj-mova kombinatorike (naravno, bez na-ziva, simbola, odnosno formula),

• uo~avaju da po nekom pravilu trebapore|ati elemente nekog skupa (ilinekoliko skupova) ili prema nekomsvojstvu treba izabrati podskupove iznekog skupa objekata,

• kasnije, odre|uju ukupan broj svih mo-gu}ih rasporeda predmeta (elemenata),tj. broj svih na~ina na koje se moguobaviti neke operacije,

• utvr|uju da li postoji neki dati ras-pored elemenata nekog skupa, odnosnopronalaze postupak za odre|ivawetra‘enog rasporeda elemenata (ob-jekata) i sl.,

• postoji mogu}nost povezivawa ovihsadr‘aja sa ranijim znawima,

• razvijawe kompletnog misaonog apa-rata, posebno logi~ko-kombina-tori~kog mi{qewa,

• razvijawe kreativnosti, voqe, upor-nosti i koncentracije,

Modelovawe zadatka:

- nabrajawem:

kwiga B B B B P P P P M M M M S S S Spero B P M S P B M S M B P S S B P M

- metodom tablica

kwiga

pero B P M S

B BB BP BM BS

P PB PP PM PS

M MB MP MM MS

S SB SP SM SS

Odgovor: Na 16 na~ina su mogli dobiti rezultat.

Valerija Kreki} Pinter

46

• omogu}ava se ve‘bawe mo}i zapa‘awa,povezivawa, kombinovawa, sistemati-zovawa podataka, ~itawa crte‘a, ra-cionalisawa ra~unawa itd.

Dakle, kombinatorika kroz niz spe-cifi~nih zahteva u mi{qewu deteta, pozi-tivno uti~e na razvoj kreativne li~nosti,koja }e biti u mogu}nosti da stvara, otkriva,da pronalazi nova re{ewa. Pru‘amogu}nost diferencijalnog i individuali-zovanog rada, ispoqavawa bogatstva ideja,originalnosti, fleksibilnosti i sl.Osetqivost za problem, samostalnistvarala~ki rad, sloboda mi{qewa i ma{te,svi su takvi indikatori nastave koji pod-sti~u u~enike na usmerenu, sre|enu i urednudeletnost, na rad, na ja~awe voqe, na umninapor, na logi~ko-kombinatorno mi{qewe.

Zakqu~ak

Na osnovu iznetog mo‘e se procenitizna~aj obrazovnih i prakti~nih, a posebnovaspitnih efekata po~etne nastave kombi-natorike. Posebno je vredno ista}i sticaweiskustava, ve{tine, navike, pa i odre|enogpo~etnog znawa u ovoj oblasti, koja su potre-bna za shvatawe mnogih pojava i zavisnostiu ‘ivotu i dru{tvu, {to je od izuzetneva‘nosti sa aspekta ostvarivawa osnovnogciqa i zadataka nastave matematike u os-novnoj {koli.

Sumiraju}i ovaj prikaz u celini, mo-gli bismo zakqu~iti slede}e:

• Zanemarivawe ideja i odgovaraju}ihsadr‘aja iz kombinatorike i iz nekihdrugih oblasti (verovatno}e, sta-tistike, itd.) znatno osiroma{ujena{u po~etnu nastavu matematike;

• Sadr‘aji iz kombinatorike su bliskii interesantni u~enicima. Ovisadr‘aji, primenom adekvatnih me-todi~kih re{ewa, mogu biti uspe{norealizovani (naravno, bez formali-zacije).

Metodi~ka artikulacija kombinato-rike u po~etnoj nastavi matematike jeslo‘eno pitawe, pre svega psiholo{ko-me-todi~ko i prakti~no, ali je re{ivo, nekesredine ve} imaju odre|ena iskustva u ovojoblasti (SAD, Ma|arska itd). Ideje i nekiprvi koraci ve} su i kod nas u nedavnojpro{losti dati od na{ih metodi~ara iprakti~ara, ali su potrebne i eventualnekorekcije u na{im nastavnim programimakoje bi uva‘ile ove koncepcije, kao i pre-thodna temeqna teorijska i konkretna em-pirijska istra‘ivawa u na{im uslovima.Imaju}i u vidu da su promene u {kolstvuzapo~ete i kod nas, treba o~ekivati brzo iadekvatno evaulirawe takvih predloga, a za-tim i primenu pozitivno vrednovanih rezul-tata i u nas.

Savremene metodi~ke transformacije kombinatorike ...

47

Literatura

• Deji}, M., Egeri}, M. (2003): Metodika nastave matematike, Jagodina, U~iteqski fakultet.

• Herceg, D., Petrovi}, N., Herceg, \. (2000): Matemati~ke tablice, Novi Sad, Todor.

• Czeglédy, I., Orosz, Gy., Simkovics, A., Szalontay T., (1984): Matematika tantárgypedagógia I.-III., Buda-pest, Calibra Kiadó.

• Pinter, J. (1997): Matemati~ko modelovawe u po~etnoj nastavi matematike, Sombor,U~iteqski fakultet.

• Pinter, J., Kreki}, V., ]etkovi}, A. (2002): Metodi~ki priru~nik iz matematike, Beograd,Zavod za uxbenike i nastavna sredstva.

• Radni materijal 4. Republi~kog specijalizovanog seminara o nastavi matematike u ni‘imrazredima osnovne {kole odr‘an 13.02.2005.god. u Beogradu u organizaciji KMM"Arhimedes" Beograd.

SummaryUpdating basic mathematics teaching implies both contents and methodological innovations in this

kind of teaching. Analysing programmes of basic mathematics teaching of some developed countries, aswell as methodological approach of selected contents, we can say that adequate corrections of thecurriculum of mathematics in our country, aims and tasks of teaching mathematics could be more success-fully realised and the outcome would be significantly enriched.

The aim of this paper is, apart from basic theoretical assumptions, to illustrate through chosenexamples, needs and possibilities of introducing combination issues into basic mathematics teaching. Thiscould contribute to realisation basic aims and tasks of teaching mathematics, understanding lawfulness ofcombination nature in building mental images and terms concerning the area of combination.

The first part of this paper is about theoretical, mathematics and didactic-methodological bases ofprocessing combination contents in the basic teaching mathematics.

In the second part, there are models of processing combination in the basic mathematics teaching.There is the method of the experiment-play, manipulating things and mental images, combination geometrywas illustrated, and some chosen examples were shown concerning numbers and letters, as well as somecomplex combination issues.

Key words: basic mathematics teaching, combination, methodological transformation, logical-com-bination thinking.

Valerija Kreki} Pinter

48

Apstrakcija - most izme|u opa‘awa i mi{qewa

Matemati~ki pojmovi rezultat suvelikog broja apstrakcija koje proizilazeiz apstrakcija, koje opet proizilaze iznekih apstrakcija, itd. ^ak i teme kao {tosu brojawe ili mno‘ewe kao primere kori-ste pojmove koji su apstraktni. U~ewematemati~kih pojmova prolazi put od in-

tuicije do apstrakcije. Zna~ewe pojmova seu po~etnoj nastavi matematike moraoslawati na ~ulne predstave.

Prisutno je mi{qewe da opa‘awepredstavqa samo ono {to ~ula primaju kadasu podstaknuta spoqa{wom okolinom. Da liopa‘awem mo‘emo nazvati prostu projek-ciju predmeta na mre‘wa~i dok gledamo tajpredmet? Ako posmatramo automobil udaqini, wegova projekcija na mre‘wa~imawa je od projekcije po{tanskog sandu~etakoje je blizu nas, ali mi veli~inu automo-bila do‘ivqavamo kao normalnu. Na{eopa‘awe nije li{eno mi{qewa, tj. misliuti~u na opa‘awe.

Mr Marijana Zeqi}U~iteqski fakultet, Beograd

Kratki nau~niprilog

Metodi~ki okviri za razradumatemati~kih pojmova1

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 49-56 UDC 159.95: 51

Rezime: Matemati~ki pojmovi daleko su apstraktniji od pojmova iz svakodnevnog‘ivota. Specifi~nost u~ewa matemati~kih pojmova le‘i u apstraktnosti iuop{tenosti. Oni se ne mogu formirati spontano (u susretu s realno{}u), ve} samoindirektno, uz pomo} onih koji wima ve} vladaju, tj. nastavnika. Formalno gledano,matemati~ki pojmovi uvek su isti, pa wihovo usvajawe zavisi od dobro prostudiranogpristupa i ume{nosti wihove obrade. Dobro prostudiran pristup nastavi podrazumevakvalitetno osmi{qavawe i povezivawe sadr‘aja, procesa i aktivnosti usmerenih naostvarivawe ciqeva.

Kqu~ne re~i: apstrakcija, relaciono razumevawe, instrumentalno razumevawe, kon-ceptualne analize.

1 Rad je napisan u okviru nau~noistra‘iva~kogprojekta Promene u osnovno{kolskom obra-zovawu - problemi, ciqevi, strategije (br.149055), U~iteqski fakultet, Univerzitet uBeogradu.

49

Osnovna crta vi|ewa jeste aktivna se-lektivnost. Osetqivost mre‘wa~e ograni-~ena je i oko mora da izdvoji neku ta~ku kojapostaje izolovana. O{trina oka tako opadada je pri pomerawu od 10o od osnovne fik-sacije ona svedena na petinu. ^ovek mora dakontroli{e izbor dra‘i. Ograni~eweo{trog vida zahteva intelektualno usred-sre|ivawe na neki predmet i zanemarivaweonoga {to nije predmet pa‘we. To pred-stavqa vid saznajnog pona{awa, odnosnore{avawa problema. Prona}i odgovaraju}iopseg problema, gotovo da je isto {to iprona}i wegovo re{ewe. Na~in posmatrawazavisi od saznajnog zadatka, tj. koliko je kon-tekst bitan za razumevawe stvari, koliko subitne strukturalne odlike predmeta koje suskrivene mno{tvom pojedinosti.Razmi{qawe o nekom predmetu zavisi odna~ina wegovog opa‘awa i zato nepodobanopa‘aj mo‘e da poremeti misli.

U opa‘awu le‘e po~eci obrazovawapojmova. Priroda opa‘aja sastoji se od ak-tivnog primawa strukturisanih oblika.Videti predmet zna~i videti ga u odnosima.Kako vidimo predmete koji stoje u nekom od-nosu, tj. kada se nekoliko elemenatasagledavaju kao jedinstveni sklop? Najjed-nostavnije pravilo koje upravqa tim od-nosima jeste pravilo o sli~nosti. Sli~noststvara opa‘ajne grupacije. Ako, na primer,na sto nasumice stavimo crne i bele ‘etone,vide}emo da se crni isti~u u odnosu na bele‘etone, a povr{ina stola deluje "pegavo".Ali ako bele ‘etone pore|amo tako da ~inepravu liniju ili krug, oni }e se isticati uodnosu na crne ‘etone. Zna~i sli~nostdeluje ujediwuju}e samo ako strukturasklopa upu}uje na neki odnos. Opa‘awevizuelnih sklopova zahteva opa‘ajnu in-

teligenciju, a ne svodi se na vezu posli~nosti.

Vizuelno opa‘awe nije pasivnobele‘ewe materijala dra‘i, ve} aktivna de-latnost uma. Opa‘awe se sastoji u poimawusu{tinskih odlika predmeta. Misaoni ele-menti u opa‘awu i opa‘ajni elementi umi{qewu uzajamno se dopuwuju i ~ine jedin-stven proces koji vodi od primawa elemen-tarnih ~ulnih informacija do najop{tijihteorijskih ideja. Odlika ovog saznajnogprocesa jeste to {to on na svakom nivouukqu~uje apstrakciju.

U bukvalnom smislu, apstrakcija zna~ine{to negativno. Glagol abstrahere zna~i"izvu}i ne{to iz ne~ega". Postoje mi{qewada je pojam apstraktan ako je li{en svihopa‘ajnih premisa, a da se apstraktnomi{qewe ne oslawa na ~ulno iskustvo.Opa‘aju se pojedinosti, dok se mi{qewebavi op{tostima, te da bi razmi{qao, ~ovekmora da o~isti um od svega {to je opa‘ajno.Razdvajawe opa‘awa i mi{qewa ogleda se uuobi~ajenom razdvajawu "konkretnih" i"apstraktnih" stvari. Tako je "sto" konkre-tan, a "sloboda" apstraktna. Berkli(Berkeley) je prvi shvatio da "jedna ideja pos-matrana za sebe jeste posebna, postaje op{tatime {to joj se omogu}uje da predstavqa ilizastupa sve druge posebne ideje iste vrste"(prema: Arnhajm, 1985, str. 131).

Drugim re~ima, opa‘aj svakog konk-retnog predmeta koji stoji pred posma-tra~em konkretan je mentalni sadr‘aj. Alisvaki predmet postaje ne{to op{te kadastoji umesto niza pojedina~nih slu~ajeva.Jedna stvar je apstrakcija ako se posmatrakao destilat neke slo‘enije stvari ilimno{tva stvari. Nisu samo fizi~ke stvari

Marijana Zeqi}

50

konkretne, ve} "apstraktni predmeti mislikao {to su brojevi, zakoni, ili savr{enoprave linije jesu stvarni delovi prirode(iako ne postoje kao posebne stvari, ve} kaoodnosi ili transformacije posebnosti)."(Arnhajm, 1985, str. 131)

Apstrakcija se tradicionalno de-fini{e kao zbir svojstava koja su za-jedni~ka izvesnom broju posebnih slu~ajeva.Prema tradicionalnom na~inu razmi{qa-wa, svaka apstrakcija se zasniva na uop{ta-vawu. Problem u prihvatawu ovakvog shvata-wa apstrakcije jeste u ~iwenici daverovatno ne postoje dve stvari koje nemajuni{ta zajedni~ko. Ako bi nas svako za-jedni{tvo odlika navodilo da odgovaraju}estvari grupi{emo pod jedan pojam, rezultatbi bio bezbroj grupisawa. Mi ne mo‘emo daodredimo koja su svojstva zajedni~ka jednojgrupi predmeta tako {to }emo da prou~imosve pojedina~ne ~lanove te grupe, zato {tonismo sigurni da dobro apstrahujemo dok neispitamo sve ~lanove grupe. Sa druge strane,mo‘emo da izdvojimo posebnosti a da neutvrdimo zajedni~ka svojstva pomo}u kojihodabiramo te posebnosti. To zna~i da obimpojma pretpostavqa wegov sadr‘aj i obr-nuto. Jo{ 1896. god. Anri Bergson je jasnodijagnostifikovao taj "za~arani krug": "Dabi se uop{tavalo, mora najpre da se apstra-huje; ali da bi se apstrahovalo mora ve} dase zna kako se uop{tava."

Grupisawu posebnih slu~ajeva, {to jepriprema za apstrakciju, mora da prethodisama apstrakcija. Odakle bi, ako nije tako,dolazila merila za odabir?

Prirodu apstrakcije bilo bi jed-nostavno razumeti kada bi ona obuhvatalasamo izdvajawe jednog ili vi{e elemenata iz

neke celine. Ovakav pristup, po Arhajmu(isto), nailazi na tri te{ko}e:

- jedan te isti element ne mo‘e da sena|e u vi{e od jednog primera;

- proizvoqan odabir elemenata ne do-vodi do apstrakcije koja ima nekozna~ewe;

- prosto sabirawe zajedni~kih ele-menata ne stvara integrisan pojam.

O su{tini jedne stvari mo‘e se go-voriti samo kada se radi o organizovanojcelini u kojoj neke osobine imaju kqu~namesta, dok su ostale periferne. Kadaka‘emo apstrahovati, ne mislimo na iz-vla~ewe posebnih osobina, ve} na opisivawestrukturalnih svojstava.

Frojdental (Freudenthal, 1973) razli-kuje dve vrste apstrahovawa:

- komprehenzija - iz puno primera kojisadr‘e {um izvla~imo karakteri-sti~na svojstva;

- aprehenzija - "hvatamo"svojstvo izprimera koji najneposrednijeiskazuju karakteristi~na svojstva.

Kada su osnovni matemati~ki pojmoviu pitawu, lak{e je govoriti o svojstvimakoja nisu bitna ({um), a ono {to preostajepredstavqa ~ist pojam koji sebe odre|ujesvojim postojawem.

Kako biramo primere

Ve}ina autora koji se bave pitawimanastave i u~ewa nagla{ava da se pojmovi nemogu uvesti putem definicija ma kako onejezgrovite i jasne bile. Definisati pojam

Metodi~ki okviri za razradu matemati~kih pojmova

51

mogu}e je samo onda kada onaj koji treba daga defini{e ve} do odre|enog nivoa zna ono{to treba da defini{e. Tako Skemp (Skemp,1987) isti~e da se novi pojam mo‘e uvestisamo putem pravilno odabrane kolekcijeprimera, a kako su u matematici primeri popravilu opet pojmovi, nu‘no je da oni buduve} formirani u umu osobe (u~enika) kojau~i. Pojam ni‘eg reda prvo mora da se pred-stavi, {to omogu}ava slede}i korak apstrak-cije. To zna~i da pre nego {to predstavimonovi pojam, moramo da otkrijemo pojmovekoji vode do wega i za svaki da otkrijemopojmove koji su do wih doveli i tako dok neprona|emo primarni pojam ili iskustvo nakoje mo‘emo da se oslonimo. Ako se nerazume odre|eni nivo pri izgradwi struk-ture sukcesivnih apstrakcija, nemogu}e jenastaviti daqe. Za svaki nivo apstrakcijepotrebni su dodatni pojmovi. Kada je toura|eno mo‘e da se napravi odre|eni plan,koji se u~enicima predstavqa u vidu saznaj-nog zadatka.

Izabrati odgovaraju}u kolekcijuprimera te‘e je nego {to se ~ini na prvipogled. Primeri moraju imati zajedni~keosobine koje formiraju pojam. Oni morajutoliko da li~e da bi se apstrahovali, a sadruge strane da se razlikuju dovoqno da bimogli da odbace osobine koje ne odgovarajutom pojmu. Sastavqawe odgovaraju}e kolek-cije primera zahteva inventivnost i vrlojasnu svesnost o pojmu koji treba usvojiti.Zna~i, nastavnik tra‘i primere, ne bira ihproizvoqno. On mora odbaciti nejasneslu~ajeve i zanemariti nepotrebnaponavqawa. Nastavnik mora znati da svesnorazdvoji bitne korake koji vode od ~ulnihformi ka apstrakciji. Ti koraci ima}etra‘eni efekat otkrivawa op{teg u pojed-

ina~nom samo na osnovi koju ~ini detaqnaanaliza matemati~ke strukture pojmova.

Da bi prevazi{li "apstraktnost" nas-tavnici ~esto matematiku povezuju sa"‘ivotnim situacijama". To mo‘e da dovededo toga da u~enik u zadatku ne prepoznabitne odnose, jer se usredsre|uje na opis‘ivotne situacije. U prvim razredima os-novne {kole za predstavqawe informacijaobi~no koristimo ilustracije kao deosimulirane stvarnosti, a zatim te informa-cije predstavqamo paradigmatskim slikama.Slika se o‘ivqava pri~om s namerom da seistaknu bitna svojstva. Taj zahtev ponekad sepogre{no tuma~i, pa u savremenim {kol-skim uxbenicima nailazimo na komadi}earitmetike skoro utopqene u vizuelno lepeilustracije koje ne izra‘avaju pravozna~ewe. Ali kada su funkcionalne, ilus-tracije predstavqaju pravi na~in za pred-stavqawe matemati~ke strukture. Ikoni~kopredstavqawe ~uva zna~ewe i predstavqaprvi korak u u~ewu jer, kako je Kant rekao,"konceptualizacija bez percepcije bila biprazna". Dobro osmi{qena ilustracijamora jasno odra‘avati matemati~ku struk-turu pojma. Na primer, dva puta koja seukr{taju matemati~ki sagledavamo kao dvelinije koje se seku. Metoda prelaza preko 10ne}e deci biti jasna tako {to }emo "sabi-rati" jabuke i kru{ke. A posebno je besmis-len poku{aj da se "o‘ive" prvi i drugi sabi-rak. Objektima manipuli{emo, a wima neoperi{emo. Aktivnost grupisawa objekatapredigra je za operaciju sabirawa, ali sabi-rati mo‘emo samo brojeve, a ne objekte.Va‘an zahtev, koji moramo imati u vidu priizboru didakti~kog materijala, jeste da onmora da bude pravilno strukturisan. Di-dakti~ki materijal mora podupirati

Marijana Zeqi}

52

dekadnu osnovu brojnog sistema. To zna~i daelemente sla‘emo u standardne gomilice odpo deset elemenata. Koriste}i takav ma-terijal omogu}i}emo deci da spontano usva-jaju sabirawe i oduzimawe preko desetice iostale aritmeti~ke sadr‘aje. Rad sanestrukturisanim materijalom blokiraobi u~ewe ve}ih zbirova u okviru bloka bro-jeva do 100. U prilog navedenoj tvrdwi go-vori i Frojdentalov zahtev da materijalkoji koristimo pri obradi ra~unskih opera-cija treba da bude homogen i strukturisan.U~enici treba da nau~e da rade i sa nestruk-turisanim materijalom, a pre svega da nau~eda ga strukturi{u. Frojdental ka‘e da je radsa nestrukturisanim materijalom "teori-jska zabava" koja ima malo veze sa u~ewemaritmetike. Brojevni sistem je logi~ki kon-vencionalno strukturisan kroz mesnu vred-nost cifre.

Tako Skemp govori o "situacijamau~ewa" koje rezultiraju formirawemmatemati~kih pojmova i gra|ewemmatemati~kih {ema (sistema pojmova), a kojetreba da zadovoqe slede}e zahteve (Skemp,1993, str. 5):

- primeri treba da budu takvi da sa-dr‘e najmawu mogu}u koli~inu ire-levantnih informacija koje trebaignorisati pri formirawu pojma (tj.malo {uma);

- treba da postoji odre|eni brojprimera bliskih u vremenu;

- u jednoj vremenskoj jedinici trebauvoditi samo jedan novi pojam;

- u~enici treba da imaju ve} razvijeneprimarne sheme, tako da mogu daprikqu~e nov pojam odgovaraju}oj

shemi i na taj na~in u~e sarazumevawem.

Nastava treba da bude vo|ena odzna~ewa prema jezi~kom i simboli~komizra‘avawu tog zna~ewa. Kroz niz ak-tivnosti sa materijalom iz prirodnog i sli-kanog okru‘ewa formiraju se unutra{wepredstave. Ove predstave vezuju se za re~i izprirodnog i stru~nog jezika, kao i za sim-boli~ke matemati~ke kodove. Tek kasnijemo‘emo o~ekivati automatizovanu manipu-laciju simbolima bez vezivawa za zna~ewe.

Proceduralnim aktivnostima (primerpo primer) sintetizuje se pojam iz nizaadekvatnih primera, a ovaj pojam daqe aso-cira nove primere putem deklarativnih ak-tivnosti.

[ta podrazumevamo pod u~ewem sa razumevawem?

Mo‘da }e neko pomisliti da jesuvi{no postaviti ovakvo pitawe. Ali da lisvi nastavnici (matematike) jednakoshvataju i primewuju ovaj zahtev?

Skemp razmatra dva tipa razumevawa:instrumentalno i relaciono. On ~ak govorio tome da nastavnici pod istim nazivommatematika predaju dva razli~ita pred-meta (instrumentalnu i relacionu matema-tiku). Instrumentalno razumevawe ozna~avada je pojedinac u mogu}nosti da uspe{no ma-nipuli{e simbolima, ali su oni odvojeni odpojmova koje reprezentuju. Pod instrumen-talnim razumevawem podrazumeva se znawepravila i ~iwenica i wihova prosta pri-mena. Drugim re~ima, zadatak se re{avakori{}ewem pravila koja su naj~e{}enau~ena napamet. Ako u~iteq "objasni" da sepovr{ina pravougaonika izra~unava pri-

Metodi~ki okviri za razradu matemati~kih pojmova

53

menom formule P = a × b, a u slu~aju nera-zumevawa pojasni "da se povr{ina pravou-gaonika izra~unava tako {to se pomno‘imerni broj du‘ine sa mernim brojem {irinepravougaonika", u~enici }e verovatno uspe-{no re{avati jednostavne primere. Bez obz-ira na efikasno dola‘ewe do ta~nog re{e-wa, takvo re{avawe zadataka ne zna~i stva-rno razumevawe pojma povr{ine. Ili mi mo-‘emo u~enike u~iti pojedinostima iz ari-tmetike a da im ne ka‘emo {ta to zna~i.Nastavnik opi{e aktivnost u vidu jasnih al-goritama koji postaju vodiqe bez ikakvepredstave o smislu aktivnosti. Imitiraju}inastavnika, u~enici uspevaju da ovladajuoperacijama sa tog nivoa, ali te strukturenisu rezultat stvarnog razumevawa. U~eni-ci moraju nau~iti da ra~unaju razumeju}iop{tu strukturu akcije, {to predstavqa re-laciono razumevawe. Relaciono razumevawenastaje kada u~enik ume ve{to da barata poj-movima koriste}i wihova svojstva ime|usobne relacije i sastoji se u gra|ewupojmovne strukture ({eme).

Razliku izme|u dva tipa razumevawamo‘emo objasniti i na nematemati~komprimeru.

Ako je neka osoba prvi put u nekomgradu, ona mo‘e brzo nau~iti nekoliko po-jedina~nih pravaca ( od mesta A do mesta V,od mesta A do mesta S). Osoba sa setom fik-siranih planova mo‘e na}i svoj put ododre|ene grupe startnih ta~aka do odre|enegrupe ciqnih ta~aka. Karakteristika jednogplana jeste da ka‘e osobi {ta da radi usvakoj odre|enoj ta~ki (skreni levo kodcrkve, pa desno kod po{te itd.). Ako u bilokojoj etapi napravi gre{ku, osoba }e bitiizgubqena ukoliko nije u stawu da rekon-

strui{e svoje kretawe i vrati se na pravustazu. Nasuprot tome, osoba koja je u svestistvorila mentalnu mapu grada, mo‘enapraviti mnogo planova uz pomo} kojih }eusmeravati svoje kretawe od bilo koje ta~kedo bilo koje ta~ke. Ako i napravi pogre{ankorak, ona }e znati gde je, pa }e biti u stawuda ispravi svoju gre{ku ne gube}i se, ~ak }ei nau~iti ne{to iz toga.

Postoji analogija izme|u ovogprimera i u~ewa matematike. U~ewe kojevodi ka instrumentalnom razumevawu sas-toji se od u~ewa ve}eg broja pravila uzpomo} kojih u~enik re{ava konkretnizadatak. Za svaki novi problem potrebno jenau~iti novo pravilo. Ali ne zaboravimo dau~ewe ne treba samo nekud da nas odvede ve}treba da nam omogu}i da odemo jo{ daqe.

[to se ti~e odnosa instrumentalnog irelacionog razumevawa, postoji paradoks.Relaciono u~ewe je te‘e, ali se lak{epamti. U~enik }e br‘e nau~iti da jepovr{ina trougla P = a×b

2 nego za{to je totako. Ali ne zaboravimo, u~enici }e kasnijeu~iti i povr{inu trapeza, paralelogramaitd. Relaciono u~ewe podrazumevasagledavawe povr{ine trapeza i paralelo-grama u zavisnosti od povr{ine trougla. Idaqe je potrebno znati odvojena pravila, aliznawe o tome kako su ona povezana omogu}ujeda se pamte kao delovi povezani u celinu,{to je lak{e.

Matemati~ki pojmovi tradicionalnose posmatraju kao "gotov proizvod" (terminpreuzet od Frojdentala). To zna~i da sematemati~ka dostignu}a, jednom stvorena,uobli~avaju kao gotov proizvod i u~ewe sesvodi na usvajawe pojmova u tom obliku.Mnogi autori uxbenika, a vo|eni uxbe-

Marijana Zeqi}

54

nicima i nastavnici, matematiku tretirajukao skup definicija i algoritama, a ak-tivnost u~enika svode na recitovawe de-finicija i mehani~ku primenu postupakara~unawa. Takva nastava nudi samo krajwiproizvod matemati~kih otkri}a, a ne otkri-va u~enicima procese kojima se do{lo dore{ewa. Na taj na~in se u~enici u~e mate-mati~koj misli, a ne matemati~kom razmi-{qawu. Radi stvarawa razumne apstrakcije,pojam treba da bude generativan. On treba danam pru‘i potpuniju sliku od one kojustvara sam pojam. Mnogi autori uxbenika, ai nastavici vo|eni tim uxbenicima, inter-pretiraju matematiku kao "gotov proizvod".Oni kre}u od definicije pojma u gotovomobliku, a zatim tra‘e od u~enika da tu de-finiciju mehani~ki ponavqaju iako neshvataju weno zna~ewe. Zatim slede zadaci ukojima se o~ekuje od u~enika da se to "znawe"primeni. Ali takvo "znawe" nije trajno nioperativno. Ovakav pristup mo‘e bloki-rati daqe u~ewe. Usvajawe matemati~kihpojmova oblikovanih kao "gotov proizvod"ne}e dovesti do razumevawa tih pojmova.

Takav pristup slu‘io bi razvoju deklara-tivnog znawa koje nije proceduralno ute-meqeno. Primena matematike ne podrazu-meva zamenu numeri~kih vrednosti u formu-lama. Matematika se primewuje stvarawemne~eg novog iznova, svaki put. U nastavi jebitno pratiti generi~ke procese da bi sevidelo kako nastaju pojedini matemati~kipojmovi. Va‘no je da u~enik sam prolazikroz aktivnosti kroz koje pojmovi sti~uzna~ewe. U~enik, vo|en od strane nastavni-ka, kroz aktivnosti posmatrawa, klasifiko-vawa, izdvajawa, imenovawa i simboli~kogzapisivawa prolazi kroz procese koji vodestvarawu pojmova. Ovi procesi i aktivnostirazlikuju nastavu matematike od wenog for-malnog sadr‘aja u kome se pojmovi vide kao"gotovi proizvodi". Jo{ je Sokrat govorioda nasuprot "gotovoj" matematici stojimatematika "in statu nascedi" (u stawu ra|a-wa). I danas va‘i stav da metod "ponovnogotkri}a matematike" treba da bude osnovniprincip matemati~kog obrazovawa.

Literatura:

• Arnhajm, Rudolf (1985): Vizuelno mi{qewe (jedinstvo slike i pojma), Beograd, Univerzitetumetnosti.

• Deji}, Mirko, Egeri}, Milana (2003): Metodika nastave matematike, Jagodina, U~iteqskifakultet.

• Marjanovi}, Milosav (1999): "A broader way through themas of elementary school mathematics", I,The Teaching of Matnematics,Vol. II, 1, p.p. 41-58, Belgrade.

• Marjanovi}, Milosav (1999): "A broader way through themas of elementary school mathematics", II,The Teaching of Matnematics,Vol. II, 1, p.p. 81-103, Belgrade.

• Skemp, Richard, R. (1976): "Relational Understanding and Instrumental Understanding", MathematicsTeahhing, 77, 20-26.

• Skemp, Richard, R. (1987): The Psyhology of Learning Mathematics (expand American edition), Hillsdate,New Jersey, Lawrance Erlbaum.

Metodi~ki okviri za razradu matemati~kih pojmova

55

• Skemp, Richard, R. (1993): Theoretical Foundations of Problem Solving, A Position Paper.

• Freudenthal, Hans (1973): Mathematics as an Educational Task, D. Reidel Publishing Company / Dordecht- Holland.

SummaryMathematical terms are far more abstract than terms from everyday life. Particularities of learning

mathematical terms lie in abstract and general being. They cannot be formed spontaneously (facing reality),but only indirectly, with the help of those who have already mastered them, i.e. teachers. Formally seen,mathematical terms are always the same, so their adoption depends on well-studied approach and skilful-ness of their processing. Well-studied approach to teaching means quality making and connection ofcontents, processes and activities focused to aims realisation.

Key words: abstraction, relation understanding, instrumental understanding, and conceptual analy-sis

Marijana Zeqi}

56

Uvod

Matematika je predmet sa kojim se, po-red materweg jezika, sre}emo na samom po~e-tku {kolovawa. Razloga za to ima dosta; na-vedimo, primera radi, jedan od zakqu~akakonferencije UNESKO-a o obrazovawu:"Matematika i wen stil razmi{qawa mo-raju postati sastavni deo op{te kulturesavremenog ~oveka, ~oveka koji se obrazuje udana{wim {kolama, bez obzira da li }e onvr{iti posao koji koristi matematikuili ne." (Prema S. Pre{i} i dr., 1999).

Zato je veoma odgovoran i, u isto vre-me, nimalo lak posao odrediti {ta treba danau~i mladi nara{taj i na koji na~in. Una-pre|ivawe nastave, nastavnih programa imetoda rada trebalo bi da bude jedan od gla-vnih zadataka svih koji su ukqu~eni u podu-~avawe mladih. Veliki zna~aj posve}uje se i

problemu na koji na~in nastava matematike,na raznim nivoima {kolovawa, treba da pra-ti dostignu}a matematike kao nauke. Pro-blem nije nimalo jednostavan budu}i damatematiku svi u~e tokom desetak najburni-jih godina sazrevawa (od 7 godina do punole-tstva). Tako, najpre se upoznajemo sa intui-tivnom matematikom ili, boqe re~eno,stvaramo intuitivne predstave o raznim ap-straktnim matemati~kim pojmovima kao{to su: broj, brojawe, ta~ka, prava, para-lelne prave, ta~no, neta~no, skup i takodaqe. ^esto je ta intuicija protivre~na, pastoga i nepouzdana, {to je i veliki motiv zastrogo logi~ko zasnivawe koje nedostajeovoj vrsti matematike. Naredna tri primerasu dobra ilustracija tla na koje nailazimoslede}i samo intuiciju. Kako intuitivnamatematika ostavqa veoma jak pe~at na obra-zovawe, wen zna~aj je veoma veliki.

Dr Miodrag Ra{kovi}, Dr Neboj{a Ikodinovi}U~iteqski fakultet, BeogradPrirodno-matemati~ki fakultet, Kragujevac

Izvorninau~ni ~lanak

Nastava matematike- izme|u ideje i rutine -

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 57-66 UDC 511.12: 371.3

Rezime: U ~lanku }e biti izlo‘ena neka iskustva ste~ena u vi{egodi{wem radu samladim matemati~arima razli~itog uzrasta. Ciq je, pre svega, da se uka‘e na na~ineu~ewa i razumevawa matemati~kih sadr‘aja, a naro~ito na puteve koji povezuju razneprobleme sa wihovim re{ewima i preko kojih upoznajemo najve}i deo matematike.

Kqu~ne re~i: nastava matematike, re{avawe problema, ideja, rutina.

57

PRIMER: Znawa o skupovima sti~emoneformalno i intuitivno, kroz u~ewe iuve‘bavawe matematike. Prvo se upoznajemosa skupovnim relacijama ∈, ⊂, =, zatim saskupovnim operacijama ∪, ∩, \ i, najzad, sakori{}ewem operatora okupqawa {x|S(x)} ~ije je zna~ewe: skup svih objekatax koji imaju osobinu S. Iako nam se isprva~ini da se zadavawem bilo kog svojstva mo‘eformirati skup objekata koji imaju to svo-jstvo, ipak ovakvo okupqawe nije uvek iz-vodivo. Posmatrajmo svojstvo S: ne biti samsebi element, tj. neka je {x|x∉x}. Dakle, X jeskup svih objekata x koji nisu sami sebi ele-menti. Prema tzv. zakonu iskqu~ewa tre}egznamo da je svaki objekat ili element samogsebe ili to nije. Dakle, ili X∈X ili X∉X .Me|utim, ako X∈X, onda X ima svojstvo kojeimaju svi wegovi elementi, pa X∉X {to jenemogu}e. U slu~aju da X∉X, onda on imazadato svojstvo, pa mora pripadati samomsebi, tj. X∈X {to je nemogu}e. Prema tome,obe pretpostavke, a jedna mora biti ta~na,vode u protivre~nost! Ovaj paradoksalnirezultat se zove Raselov paradoks u ~astengleskog filozofa i matemati~ara Ber-trana Rasela koji ga je po~etkom HH vekaizveo iz radova osniva~a teorije skupovaGeorga Kantora, ta~nije Fregea.

Ulaze}i sve dubqe u zakonisti me|upomenutim pojmovima polako po~iwemo dau~imo tzv. elementarnu matematiku, dabismo na kraju sredweg obrazovawa stiglido tzv. vi{e matematike koju, grubo re~eno,uglavnom ~ini samo klasi~an integralno-diferencijalni ra~un. Nakon toga, mnogi nastudijama nastavqaju dru‘ewe sa vi{ommatematikom da bi {to uspe{nije obavqaliposao za koji su se opredelili. Drugima samamatematika, tj. istra‘ivawa bilo u teorij-skoj, bilo u primewenoj matematici,postaje zanimawe. Ostali se na razne na~ine

(preciznim ili grubim izra~unavawem,konzistentim zakqu~ivawem i tako daqe)bave svakodnevnom matematikom, u‘ivaju-}i ponekad i u rekreativnoj matematici.Granice kojima bismo odvojili pomenutematematike te{ko je postaviti; naj~e{}enismo ni svesni prelaska iz jedne u drugu.[ta je prava (~ista) matematika, kao i{ta je uop{te matematika, jeste tema koja jeuvek veoma inspirativna za ‘ivu diskusiju,ali }emo je ostaviti za neku drugu priliku.U ovom ~lanku bavi}emo se {kolskommatematikom, tj. onim delovima matema-tike uz koje se raste i sazreva.

Re{avawe matemati~kih problema

Kako {kolska matematika sadr‘irazli~ite matematike koje se prirodnonadovezuju jedna na drugu, a opet je celina zasebe, veoma je te{ko odgovoriti na pitawekakva ona treba da bude i {ta treba dasadr‘i i mi se na wemu ne}emo zadr‘avati.Najve}i deo matematike upoznajemo naputevima koji povezuju razne probleme sawihovim re{ewima. Razlikujemo dva os-novna puta prikazana slede}im trouglovima.

Slika 1. Dva trougla nastave matematike

Re{avaju}i bilo koji matemati~kiproblem, bez obzira na kom nivou, "putu-jemo" stranicama jednog od prikazana dva

PraviloPostupak

Re{eweRe{eweIdeja

ProblemProblem

Miodrag Ra{kovi}, Neboj{a Ikodinovi}

58

trougla u smeru suprotnom kretawu kazaqkena satu. Uspe{no izvo|ewe nastave zahtevastalno kombinovawe ovih pristupa re{a-vawu problema. Koji }e pristup biti vi{ezastupqen zavisi od mnogo faktora, kao {tosu talentovanost ili motivisanost u~enika,ozbiqnost sadr‘aja koji se izla‘e i sli~no,ali su oba ova pristupa neophodna. Na‘a-lost, ~esto je u {kolama u~ewe matematikezasnovano samo na drugom trouglu. Iako je ion neophodan budu}i da je ciq ideje pretvo-riti u pravila i postupke, pokaza}emo krozneke primere iz prakse kako insistirawesamo na drugom trouglu mo‘e biti ne samobeskorisno, ve} i {tetno u matemati~komobrazovawu. Dobro je poznato da se najdu‘eu se}awu zadr‘avaju pravila i postupci kojisu nam jasni do kraja, tj. kada su nam poznatii putevi kojima se do wih dolazi. Da nepri~amo o tome da li je korisnije danau~nik, fizi~ar ili in‘ewer dr‘i u glavirazne metode za izra~unavawe integrala ilimu je dovoqno da vidi integrale u procesimakoje poku{ava matemati~ki da modelira (i,naravno, da ima neki od softverskih paketaza izra~unavawe integrala)?

U nastavku }e biti izlo‘ena neka odiskustava ste~enih u vi{egodi{wem radu samladim matemati~arima razli~itog uzrasta(10-18 godina) u okviru Matemati~ke ra-dionice mladih koju su osnovali Prirodno-matemati~ki fakultet u Kragujevcu i Prvakragujeva~ka gimnazija. Naro~ita pa‘wa }ebiti posve}ena iskustvima u radu sa mla|imu~enicima.

Neophodan uslov za bavqewe bilo ko-jom vrstom intelektualnog posla jerazumevawe i pravilno sagledavawe pro-blema koji su pred nama postavqeni. To bitrebalo da bude jedan od va‘nijih ciqeva{kolske matematike sa po~etka na{eg {ko-lovawa. Ostvarivawe ovog ciqa je najuspe-

{nije zadavawem jednostavnih problema ~ijaje formulacija prili~no komplikovana.

PRIMER: U koloni se nalaze u~eniciA, B, V, G i D jedan za drugim. Izme|uu~enika A i B, a tako|e izme|u u~enika G iD, nalazi se ta~no jedan de~ak i ta~no jednadevoj~ica. Na prvom i posledwem mestu nemadevoj~ica, ni u~enika A i D. Iza u~enika Gima samo jedna devoj~ica. Kako su ras-pore|eni u~enici A, B, V, G i D? Kojimslovima su ozna~eni de~aci, a kojim de-voj~ice?

Ve}ina u~enika, pre ili kasnije zavi-sno od toga i koliko im u tome pomognemo,savlada ve{tinu razumevawa postavqenogproblema. Nakon toga predstoji mnogo te‘ideo posla: treba ih nau~iti kako seproblemi re{avaju.

Primeri koji slede, iako na prvi po-gled dosta razli~iti, prili~no su jed-nostavno formulisani. Me|utim, prvi sus-ret sa ovim i wima sli~nim problemima za-hteva ve}i intelektualni napor, tj. zahtevaono {to je jedan od najva‘nijih ciqeva{kolske matematike - osposobiti mladinara{taj da misli. Po svojoj prirodi (neba{ i po sadr‘aju) oni su matemati~ki, {to}e re}i da ih svaki ~ovek ve} na prvi pogledsvrstava u ovu vrstu problema. Iskustvo jepokazalo da prema ovim matemati~kimproblemima skoro niko ne ostajeravnodu{an i da svi rado poku{avaju da ihre{e. Ono {to je jo{ interesantnije, is-postavilo se da su oni podjednako te{kisvim uzrastima (i deci i odraslima);de{avalo se ~ak da desetogodi{wak br‘ere{i neki od wih nego sredwo{kolac.

Nastava matematike - izme|u ideje i rutine -

59

PRIMER: Jedna ista kocka za igru nacr-tana je u dva razli~ita polo‘aja.

Slika 2. Kocka u dva polo‘aja

Na osnovu datih slika odreditipolo‘aj crnih ta~kica na stranama te kocke,a zatim popuniti prazne kvadrate u mre‘ite iste kocke.

Slika 3. Mre‘a kocke

Re{ewe:

Slika 4. Popuwena mre‘a kocke

Ovaj primer je veoma dobar kao uvod umisaono snala‘ewe u prostoru, {to zna dabude veliki problem mnogima bez obzira nauzrast. Re{ava~i ovog problema, i osnovcii sredwo{kolci, mogu se podeliti u trigrupe: oni koji nemo gledaju u datu sliku, onikoji (tajno ili javno) istrgnu iz sveske listpapira od koga naprave model kocke, na pros-tornom modelu nacrtaju ta~kice, a zatim garazviju u mre‘u i daju re{ewe, i oni koji zaveoma kratko vreme jednostavno ucrtajuta~kice koje nedostaju.

PRIMER: Mo‘e li kow, pomeraju}i sena propisan na~in, napraviti put od levogdoweg ugla {ahovske tabele do desnog gor-weg ugla, a da pri tome do|e na svako poqe{ahovske table ta~no jedanput?

Re{ewe: Dowe levo i gorwe desno poqe{ahovske table su crne boje. Posle svakogpoteza kowem mewa se boja poqa na kojemstoji kow. Prema tome, posle prvog poteza (iuop{te posle svakog neparnog poteza) kowse nalazi na poqu bele boje. Zato, polaze}isa crnog poqa kow ne mo‘e u 63 poteza statina svako poqe od ostalih 63 poqa i zausta-viti se na crnom poqu.

Primetimo da prethodni problemspada u grupu tzv. nefer problema. Kao {tose iz re{ewa mo‘e videti, informacija opo~etnom polo‘aju kowa i zahtev o posled-wem polo‘aju nisu od presudnog zna~aja.Iskustvo pokazuje da je op{tija formu-lacija istog problema mnogo jednostavnijaza re{avawe: "Mo‘e li kow, pomeraju}i sena propisan na~in, polaze}i od crnog poqada obi|e {ahovsku tablu tako da na svakopoqe do|e ta~no jedanput i da se zaustavina crnom poqu?". Sli~nih problema imadosta. Na primer, dosta je te‘i za re{avawezadatak: "Dokazati da postoji prirodanbroj n takav da broj 2000n u dekadnom zapisupo~iwe nizom cifara 200120012001", negoop{tije tvr|ewe: "Neka je c1, c2, ... ck niz odk cifara (k≥2, c1≠0). Dokazati da ako priro-dan broj a, a≥10, nije stepen broja 10, tadapostoji prirodan broj n takav da dekadnizapis broja an po~iwe sa c1, c2, ... ck".

Izlo‘eni primer sa {ahovskomtablom ima za ciq da implicitno da, uput-stvo za re{avawe narednog problema, malibroj u~enika to vidi, a jo{ mawi i isko-risti.

Miodrag Ra{kovi}, Neboj{a Ikodinovi}

60

PRIMER: Da li je mogu}e formiratipravougaonik od slede}ih delova?

Slika 5. Figure

Re{ewe: Nije te{ko videti da je nemo-gu}e od datih delova formirati pravo-ugaonik 1h20, niti 2h10 . Da od zadatih de-lova ne mo‘emo formirati ni pravougaoniktipa 4h5 , zakqu~ujemo na osnovu bojewa pri-kazanog na slici 6.

Slika 6. Obojena tabla

^etiri figure prikazane na slici 5,ma kako bile postavqene na obojenu tablu saslike 6, prekrivaju 2 bela i 2 siva poqa, dokjedna (druga po redu) uvek prekriva 3 bela ijedno sivo ili 3 siva i jedno belo. Po{toimamo 10 sivih i 10 belih poqa nemogu}e jezadatim figurama prekriti pravougaonik4h5.

Prethodna dva primera odli~no osli-kavaju snagu misli pred "katastrofom" kojuizaziva broj mogu}ih slu~ajeva.

PRIMER: Povezane su ti o~i, a ispredtebe na stolu nalazi se gomila od h nov~i}a.Saop{teno ti je da se me|u wima nalazita~no u nov~i}a koji su okrenuti pismomgore. Da li mo‘e{, povezanih o~iju, pode-liti nov~i}e na dve gomile tako da u svakoj

bude isti broj nov~i}a okrenutih pismomgore?

Re{ewe: Tra‘eni zadatak se mo‘eizvr{iti na slede}i na~in. Iz gomile odh nov~i}a odvojimo u nov~i}a. Sada imamodve gomile od u nov~i}a i od h-u nov~i}a.Ako u prvoj imamo k nov~i}a koji su okre-nuti pismom gore, u drugoj }emo imati u-knov~i}a koji su okrenuti pismom gore. Ok-renimo, sada, sve nov~i}e iz prve gomile. Nataj na~in u woj }e biti u-k koji su okrenutipismom gore, a toliko ih ima i u drugojgomili.

PRIMER: Dato je devet ta~aka raspo-re|enih kao na slici.

Slika 7. Devet ta~aka

Kako precrtati svih 9 ta~aka sa~etiri prave linije ne podi‘u}i pritomolovku sa papira?

Re{ewe:

Slika 8. Re{ewe

Istaknimo da je re{avawe sli~nihproblema, ~esto svrstanih u rekreativnumatematiku, pored zna~aja koji imaju za raz-voj (matemati~kog) mi{qewa, dovodilo do

Nastava matematike - izme|u ideje i rutine -

61

nastanka sasvim novih matemati~kih disci-plina i zna~ajno uticalo na napredakcelokupne matematike. Na primer, problem~etiri boje, problem kenigsber{kihmostova, Ojlerov problem oficira i takodaqe. Nedostatak ovakvih problema u nas-tavi mo‘e ne samo da uspori ve} i da ote‘aostvarivawe pomenutog najva‘nijeg ciqa{kolske matematike. Naravno, ne mislimosamo na probleme sli~ne izlo‘enim koji,kao {to smo ve} pomenuli, nisumatemati~ki po sadr‘aju. Svakimatemati~ki sadr‘aj obiluje zadacima ovevrste, ali koji, na‘alost, ~esto izostaju sa~asova redovne nastave. ^asovi uve‘bavawanaj~e{}e se svode na re{avawe tipi~nih,tzv. {kolskih primera. Ovakvi zadaci jesupotrebni, ali nisu i dovoqni. Insistiraweiskqu~ivo na ovakvim zadacima dovodi do, unajmawu ruku, paradoksalne situacije. Naprimer, u~enici pre obrade algoritma zaoduzimawe razlomaka br‘e izra~unaju da je

12

-14

=14

, imaju}i u vidu da je 14

polovina od 12

,

nego kasnije kada, po pravilu, prestanu da

"razmi{qaju" i postupno oduzimaju:

12

-14

=2×12×2

-14

=24

-14

=14

.

Budu}i da danas pismenost podrazumevapoznavawe postupaka za izvo|ewe osnovnihra~unskih operacija, na ~asovima matema-tike se insistira na wihovom potpunomsavladavawu, te se zanemaruju ostali vidovira~unawa. Uvre‘eno je mi{qewe da seve{tine ra~unawa razvijaju iskqu~ivove‘bawem i u~ewem raznih algoritama, teda su li{ene svake kreativnosti. Razlog zato je nedostatak problema vezanih za raznevrste procena i pribli‘na izra~unavawa.Ovi zapostavqeni problemi su, ako ne vi{e,a ono bar podjednako va‘ni kao i oni u ko-

jima se zahteva precizan rezultat. Svakod-nevna izra~unavawa, u prodavnici, banci isl. koja svako od nas izvodi, nisu precizna.Na primer, ako kupujemo robu na sni‘ewu od30%, nije potrebno izra~unati u parukoliko }emo platiti cipele ~ija je staracena 5256,42 din. Me|utim, u nastavi matema-tike su veoma malo zastupqeni sadr‘aji kojinas u~e ve{tini procewivawa. Takviproblemi su naj~e{}e ostavqeni talen-tovanim u~enicima.

PRIMER: Da li je povoqnije oro~iti

1000$ na 10 godina, sa godi{wom kamatom od

5% ili mese~nom kamatom od 512

% (≈0,42%)?

Re{ewe: Nije te{ko videti da sezadatak svodi na upore|ivawe brojeva

1+5

100 i (1+ 5

12×100)12

Posle mno‘ewa svaki sa svakim

(1+ 512×100

)×(1+ 512×100

)×...×(1+ 512×100

)

dobijamo sabirak 1 (kao proizvod svih jedi-

nica) i dvanaest puta sabirak 5

12×100 (kada

je jedan od ~inilaca 5

12×100 a ostali 1), pa je

(1+5

12×100)12 > 1+12×

512×100

=1+5

100.

PRIMER: [ta je ve}e 3111 ili 1714?

Re{ewe.

3111<3211=(25)11=255 i

1714>1614=(24)14=256.

Do odgovora na pitawe postavqeno uprethodnom primeru do{li smo kori{}e-wem elementarnih nejednakosti, ali uzneelementarno procewivawe koje nejednako-sti izabrati, a {to ina~e predstavqa onaj

Miodrag Ra{kovi}, Neboj{a Ikodinovi}

62

deo matemati~kog mi{qewa koji se ne svodina formalnu manipulaciju simbolima uzzadate algoritme. Ima dosta sli~nih (i jed-nostavnijih) zadataka koji bi trebalo svevi{e da budu zastupqeni u redovnoj nastavi.Uostalom, danas svako precizno izra~u-navawe vr{i ra~unar (kalkulator). Ono{to je neophodno znati jeste koji metod (al-goritam) zadati ra~unaru; rezultat }emo do-biti gratis.

Insistirawe samo na postupcima napo~etku upoznavawa sa matematikom ima zaposledicu te{ko}e sa prihvatawem, anaro~ito sa primenom raznih matemati~kihpravila i principa. Te{ko}e se naj~e{}eprevazilaze tako {to se sakupe tipi~ne si-tuacije u kojima se primewuje nau~eno, a za-tim se to uve‘bava.

^iwenica je da posle ~asova obrade no-vog gradiva svakog nastavnika ~eka mnogoobimniji i te‘i posao. Ostaje neobra|enonaj deo matematike koji se i ne mo‘e ispre-davati, a to je prepoznavawe nau~enog uraznim problemima. ^asovi uve‘bavawatrebalo bi da budu oni na kojima se u~iveoma zna~ajan deo matematike, a nikako netreba da predstavqaju samo zbirku postu-paka. Svaki postavqeni problem treba daprati jedno malo predavawe; zadatak kojiu~enici urade i posle koga nastavnik odmahprelazi na slede}i uzalud je postavqen.Uspe{na obrada neke matemati~ke teme jehod:

Ideje → Rutina → Vi{e ideje → Nova ru-tina → Jo{ vi{e ideje → ...

Matematika je puna tema ~ija je obradanajlak{i deo. Na primer, Dirihleov prin-cip je jedno toliko intuitivno jasno io~igledno tvr|ewe, da ga svi prihvataju netra‘e}i pritom nikakav dokaz. Naj~e{}e se

izra‘ava u raznim popularnim, ~esto{aqivim formama: "princip ze~eva ikaveza", "princip kutija", i tako daqe: Akon+1 kuglicu smestimo u n kutija, u bar jed-noj }e biti vi{e od jedne kuglice.

Slika 9. Dirihleov princip

Ve}ina u~enika V razreda pomalo jeuvre|ena jednostavno{}u ovog principa, alipromeni mi{qewe posle prvih problemakoji zahtevaju primenu ovog principa, anaro~ito onih problema koji nisu dati ukontekstu Dirihleovog principa. Naprimer, nema mnogo u~enika, pomenutoguzrasta, koji odmah re{avaju prvi i najjed-nostavniji problem vezan za obojenu ravan:Bela ravan je na proizvoqan na~inpoprskana plavom bojom. Dokazati da uplavo-beloj ravni postoje dve ta~ke isteboje (plave ili bele) ~ije je rastojawe 2006cm, tj. malo je onih koji odmah uo~e da suplavi i beli delovi ravni dve kutije, a da sutemena jednakostrani~nog trougla stranice2006 cm tri kuglice. Nastava matematike jepuna sli~nih primera. Tako, ve}ina odmahzapamti formulu za razliku kvadrata x2-y2=(x-y)×(x+y), ali tek posle dosta ve‘beoseti potrebu za wenom primenom u drugimproblemima, kao {to su, na primer, sre|i-vawe izraza, re{avawe raznih jedna~ina inejedna~ina i tako daqe. Me|utim, ispo-stavqa se da nave‘bani ose}aj za pomenutevrste problema nije dovoqan za primenu

Nastava matematike - izme|u ideje i rutine -

63

razlike kvadrata u nekim drugim zadacima.Veoma mali broj u~enika }e iskoristiti ovuformulu za brzo mno‘ewe 40×52=502-22=2500-4=1496, naravno pod uslovom da neve‘ba sli~ne zadatke.

Veoma je interesantan i slede}i feno-men. Talentovani u~enici V razreda, po{tosu se upoznali sa razlomcima i operacijamasa wima, sa lako}om su re{ili zadatak:

U~enik je pro~itao kwigu za tri dana.

Prvog dana je pro~itao 15

cele kwige i jo{

16 stranica, drugog dana 310

ostatka i jo{

20 stranica, tre}eg dana je pro~itao 34

no-

vog ostatka i preostalih - posledwih - 30

stranica. Koliko je stranica imala ta

kwiga?

Me|utim, nekoliko meseci kasnije, posleteme Procenti, problem: U~enik jepro~itao kwigu za tri dana. Prvog dana jepro~itao 20% cele kwige i jo{ 16 stra-nica, drugog dana 30% ostatka i jo{ 20stranica, tre}eg dana je pro~itao 75% no-vog ostatka i preostalih - posledwih - 30stranica. Koliko je stranica imala takwiga? ih je dosta namu~io. Po svoj prilicinisu shvatili procente kako treba. Zato jepreporu~qivo da ~asove nameweneuve‘bavawu proncenata zapo~nemo istovre-menim zadavawem dva sli~na (ali lak{a)zadatka, naravno uz odgovaraju}u pri~u.Ponekad dobro osmi{qena pri~a u vezi sanekim primerom mo‘e ispuniti ciq kojiima ~itava nastavna tema. Veoma dobarprimer za ovo je nastavna tema Matemati~kalogika na samom po~etku u~ewasredwo{kolske matematike. [ta vrediu~enicima poznavawe istinitosnih tablicalogi~kih operacija, dokazivawe raznihtautologija i sli~no, kada nakon toga nikada

vi{e na ~asovima matematike ne spomenu, naprimer, modus ponens, i kada se, u zavr{nojgodini sredwe {kole, po re~ima kolege kojipredaje filozofiju (logiku), naj~e{}eiznenade vezom tautologije (p∧(p⇒q))⇒q inekog obi~nog, svakodnevnog, zakqu~ivawapo ovom pravilu? Ne zavaravamo li se da suu~enici zaista stekli ikakvu predstavu omatemati~koj strogosti u~ewem logike iuvo|ewem raznih formalnih sistema? U tra-gawu za odgovorima testirali smo u~enike úrazreda sredwe {kole slede}im pitawem:"Koje od zakqu~ivawa

Ribe ‘ive u vodi,

Slonovi su ribe

Slonovi ne ‘ive u vodi ili

Ribe ‘ive u vodi,

Slonovi su ribe,

Slonovi ‘ive u vodi

je vaqano?". Velika ve}ina u~enika se opre-delila za prvo zakqu~ivawe. Ina~e, ovajprimer mo‘e biti osnova za dosta lepupri~u o matemati~koj strogosti i matema-ti~koj logici uop{te, pomo}u koje biu~enici mnogo boqe osetili {ta je dokazi-vawe, nego posle niza ~asova slepe manipu-lacije logi~kim simbolima (mislimo, presvega, na formirawe istinitosnih tablicasve komlikovanijih iskaznih formula).Budu}i da je logika nerazdvojivi deo matema-tike treba je veoma pa‘qivo i postepenouvoditi od prvih ~asova matematike, pri~emu nikako ne treba insistirati na poj-movima kao {to su definicija, dokaz,teorema. Ove pojmove u~enici po~iwu darazumeju tek na kraju osnovne {kole. Iakose misli da samo dokazi moraju ~ekati sazre-vawe u~enika, potpuno isto stvari stoje i sadefinicajama.

Miodrag Ra{kovi}, Neboj{a Ikodinovi}

64

Evo jednog interesantnog razgovora sa~asova dodatne nastave sa u~enicima V ra-zreda. Na pitawa "[ta je figura u ravni?"i "Koje figure nazivamo konveksnim?" dalisu iznena|uju}e precizne odgovore "Figuraje skup ta~aka u ravni" i "Figura je konvek-sna ako svaka ta~ka du‘i koja spaja bilo kojedve ta~ke figure tako|e pripada toj fi-guri". Odmah nakon crtawa na tabli svake odfigura nepogre{ivo su odre|ivali koja je

Slika 10. Ravne figure

konveksna, a koja nije. Me|utim, nakonpitawa "Da li je figura koja se sastoji odtri ta~ke A, V, S: konveksna?"nastupi

ti{ina, sve dok jedan u~enik nije rekao: "Pato nije nikakva figura!". Pitamo se kakav jesmisao poznavawa definicije figure. Imali uop{te smisla upotrebqavati re~i de-finicija, dokaz, teorema na ovom nivou?Praksa pokazuje da u~enici ovog uzrastaprihvataju apstraktne pojmove, ali da svojuintuitivnu predstavu o wima ne mogu re~imada izraze.

Sli~no, na jednom testirawu kaore{ewe zadatka Dokazati da je zbir triuzastopna broja deqiv sa 3, ~esto smo

nailazili na ~itave listove na kojima subile ispisane jednakosti:

1+2+3=6, 2+3+4=9, 3+4+5=12, 4+5+6=15 ...

i sa zakqu~cima tipa:

• ne mo‘e se na}i primer da tvr|ewe neva‘i;

• i ako daqe nastavimo sa sabirawemtri uzastopna broja dobi}emo brojdeqiv sa 3;

• ja mislim da je zbir svaka tri uzas-topna broja deqiva sa 3, a ako vi mis-lite da nije na|ite mi primer;

i sli~no. Zanimqivo je da su ovi u~enici Vrazreda bezuslovno prihvatili slede}igrafi~ki dokaz jednakosti 1+3+...+(2n-1)2=n2

dok su ti isti u~enici u VII razredu,prilikom podse}awa na formulu i wenografi~ko dokazivawe, tra‘ili nekiozbiqniji dokaz!

Sli~no, sredwo{kolci tvrde da im jePrincip matemati~ke indukcije jasan tekposle dokaza

i pored svih (matemati~ki strogih i pre-ciznih) teorijskih rasprava na ovu temu. In-dukcija zapravo i jeste posledica nizazakqu~ivawa:

A

B

C

Slika 11. Ravna figura?

Slika 12. Grafi~ki dokaz

( )( ) ( ) ( )( ) ).1()()1(

)4()3()3()2()2()1()1()4()3()2()1()(

+⇒∈∀∧⇔∧⇒∧⇒∧⇒∧⇔

∧∧∧∧⇔∈∀

nInINnIIIIIIII

IIIInINn

Nastava matematike - izme|u ideje i rutine -

65

Zakqu~ak

Svi navedeni primeri i razgovorisamo nas podse}aju na svu slo‘enost nasta-vnog procesa i ukazuju na nemogu}nost wego-vog potpunog planirawa. Ono {to je stalnizadatak svih koji su ukqu~eni u nastavu jetragawe za novim na~inima, sa ciqem da sematematika {to boqe pribli‘i u~enicima.Ovom ciqu }emo se br‘e pribli‘avatisamo ukoliko neprestano i sa velikompa‘wom pratimo i slu{amo u~enike i wi-hove reakcije.

Problemi koje smo u ~lanku navelispadaju u grupu tzv. logi~ko-kombinatornihzadataka. Re~ je o jednostavno formulisanimproblemima bez nekog op{teg metoda zare{avawe. Razlog za ovaj izbor je upravo wi-

hov zna~aj za razvoj matemati~kog mi{qewakod dece i wihov nedostatak u "klasi~noj"nastavi. Naravo, ne treba preterivati ni sawima.

Najve}i deo matematike predstavqanagomilano iskustvo mnogih generacijanajkreativnijih matemati~ara koje jesadr‘ano u matemati~kim aksiomama iteoremama, organizovanim u (~esto samoverujemo) neprotivre~ne skupine koje nazi-vamo teorijama. U~ewe i razumevawe tihslo‘enih sadr‘aja podrazumeva, pre svega,napor u shvatawu apstraktnih matemati~kihpojmova i procesa, gde re{avawe odre|enihzadataka treba da poslu‘i u tom pravcu.

Naravno, pitawa kao {to su, na pri-mer, postojawe me|usobno protivure~nih (aekvikonzistentnih) teorija i odnosa neketeorije prema realnosti bi}e predmet in-teresa samo malog broja budu}ih matema-ti~ara. Ipak, i takva pitawa moraju bitidostupna najtalentovanijim u~enicimastarijih razreda sredwih {kola, prekopopularnih ~lanaka i predavawa.

)3()3()2(

)2()2()1(

)1(

III

III

I

Literatura

• Gnedenko, B. V. (1991): Vvedenie v special†nost† matematika, Moskva, Nauka.

• Stani}, M., Ikodinovi}, N. (2004): Teorija brojeva - zbirka zadataka, Beograd, Zavod zauxbenike i nastavna sredstva.

• Pre{i}, S., Mili}, S., Ogwanovi}, S., Vuji} S. (1999): Produbnice, Beograd, Arhimedes.

• Tangenta, ~asopis za matematiku i ra~unarstvo, Dru{tvo matemati~ara Srbije (Zadaci iz~asopisa).

SummaryThis paper is about the experience gained through work with young mathematicians of different

age. The aim is, first of all, to show ways of learning and understanding mathematics contents, andparticularly ways which connect different problems and their solutions and through which we get ac-quainted with the great part of mathematics.

Key words: teaching mathematics, solving problems, idea, and routine

Miodrag Ra{kovi}, Neboj{a Ikodinovi}

66

Jedan od oblika rada u nastavi matema-tike je rad u malim grupama. Pona{awa svihu~enika u maloj grupi su integrisana uproces re{avawa postavqenih zadatakagrupi, bilo da grupa ima problem koji za-jedni~ki re{avaju, bilo da svaki pojedinacima posebne zadatke, pa je ciq svih dapostignu {to boqi plasman svoje grupe. Usvakom slu~aju, rad u maloj grupi poboq{avainteresovawe i aktivnost u~enika, a samimtim poboq{ava matemati~ko razmi{qawe,istra‘ivawe i zakqu~ivawe. Prednost imo} situacije u kojoj u~enici u~e krozme|usobnu matemati~ku diskusiju dokumen-tovali su mnogi inostrani istra‘iva~i.

Artzt i Armour Thomas zabele‘ili su~iwenicu da kognitivno pona{awe u~enika,koji re{avaju neki problem u maloj grupi,odra‘ava onaj nivo koji pokazuju eksperti zare{avawe matemati~kih problema.

Koristi}emo istra‘ivawa A. Artzt iSh. Femia o pona{awu u~enika u maloj grupipri re{avawu matemati~kih problema iizneti wihove rezultate istra‘ivawa. Pro-blem je postavqen u~enicima petog razredau jednoj dr‘avnoj osnovnoj {koli u Wujorku.

Problem: Skakavac je na brojevnoj pra-voj u ta~ki 1. On ‘eli da stigne do ta~ke O,ali svaki put presko~i samo polovinu preo-stale daqine.

Dr Milana Egeri}U~iteqski fakultet, Jagodina

Stru~ni ~lanak

U~ewe matematike u malim grupama

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 67-75 UDC 51: 371.314

Rezime: Male grupe predstavqaju prirodno okru‘ewe koje ohrabruje i podsti~e u~e-nike na ve}u aktivnost, razmi{qawe, zakqu~ivawe i istra‘ivawe u nastavi matema-tike.

U radu su izneti rezultati istra‘ivawa A. Artzt i Sh. Femia o pona{awu,razmi{qawu i matemati~kom zakqu~ivawu male grupe u~enika od koje se tra‘ilo da re{ijedan ozbiqan matemati~ki problem.

Navedeni su i primeri iz svakodnevne nastavne prakse koji pokazuju da rad u malimgrupama mo‘e da bude zanimqiv i podsticajan za prakti~ne i umne aktivnosti dece upo~etnoj nastavi matematike.

Kqu~ne re~i: nastava matematike, rad u malim grupama, matemati~kozakqu~ivawe, samostalni rad, diferencirana nastava.

67

a) Gde je skakavac na brojevnoj pravojpri prvom skoku?

b) Gde je skakavac na brojevnoj pravojpri drugom skoku?

v) Gde je skakavac na brojevnoj pravojpri desetom skoku?

g) Gde je skakavac na brojevnoj pravojpri stotom skoku?

d) Gde je skakavac na brojevnoj pravojpri n-tom skoku?

e) Da li skakavac ikada stigne do ta~keobele‘ene O? Objasniti za{to "da"ili za{to "ne".

Da bismo razumeli tok re{avawaproblema i na koji na~in su pona{awa izakqu~ivawa u~enika u grupi uticala nare{avawe zajedni~kog problema, dajemokratak uvid u etape kroz koje je grupa pro-lazila u okviru 30 minuta.

Razumevawe problema. U~enici su po-ku{avali da na|u smisao ovog problemapoku{avaju}i da opravdaju za{to skakavacmo‘e da presko~i samo polovinu prethodnopre|ene daqine. Poverovali su da se sam ska-kavac smawuje zbog gubitka energije priskoku. Zakqu~ili su da }e skakavac zavr{i-ti na nekoj ta~ki veoma blizu ta~ke O.

Planirawe. ^lanovi male grupepokazali su fleksibilnost u razmi{qawu.Jedni su predlo‘ili da na brojevnoj pravojobele‘avaju nove polo‘aje skakavca i da nataj na~in do|u do obrasca za deseti skok,drugi su predlagali da sukcesivno presavi-jaju papirnu traku, tre}i su odmah ukqu~ilirazlomke i po~eli operacije sa wima.

Dokazivawe. Tokom ~itavog procesau~enici su tra‘ili na~in da potvrde svojesopstveno mi{qewe i mi{qewe svojih dru-gova. U~enici koji su koristili fizi~ki

model odustali su od svog plana, po{to suuspeli da presaviju papir samo nekolikoputa. Morali su da se suo~e sa apstraktnomprirodom problema i da zamisle beskona~anbroj ta~aka izme|u bilo koje dve ta~ke napravoj. Naravno da je ovaj zakqu~ak izuzetanuspeh za u~enike na ovom uzrastu.

Navedeni problem sa skakavcem je zas-novan na jednom klasi~nom problemu umatemati~koj analizi, ali je postavqen nana~in koji je deci provokativan zarazmi{qawe i zakqu~ivawe.

Problem je zahtevao od u~enika dauop{te re{ewe, odnosno, da zakqu~e da bi

skakavac pri n-tom skoku bio na 12n -toj ta-

~ki brojevne prave, {to nisu uspeli.U~enici su se vi{e posvetili prvom deluproblema i odre|ivali ta~ku doskoka pritre}em, ~etvrtom, petom, ... skoku, ali nisuuspeli da generali{u.

Istra‘iva~i zakqu~uju: sama ~iwe-nica da su u~enici razumeli proces indukti-vnog zakqu~ivawa pokazuje svim nastavni-cima da je nivo matemati~kog zakqu~ivawasasvim u okviru mogu}nosti jednogprose~nog u~enika petog razreda i da imsamo treba stvoriti situaciju da se upuste utakvo zakqu~ivawe.

Male grupe predstavqaju plodnu sre-dinu unutar koje se ra|aju ideje za re{avawematemati~kih problema. U~enici seme|usobno dogovaraju, tra‘e razra|ivaweproblema i obja{wewa, ‘ele svoje mi{qe-we da odbrane, a da opovrgnu mi{qewedruga. Takav rad ohrabruje i podsti~e spo-ntano verbalno izra‘avawe i matemati~korazmi{qawe i istra‘ivawe. ^iwenica je dasvi u~enici u grupi ne doprinose u istojmeri re{avawu problema, ali je dovoqno dasvi u~enici grupe razumeju problem, da

Milana Egeri}

68

potvr|uju i podr‘avaju tok re{avawaproblema i da svi znaju da objasne re{eweproblema i prate}e matemati~kozakqu~ivawe.

Rad u malim grupama mo‘e da ima pred-nost ukoliko je dobro osmi{qen i organi-zovan, u protivnom mo‘e da se pretvori uhaoti~nu igru. Ovaj oblik rada mo‘e da seorganizuje u svim razredima i na svimtipovima ~asova u po~etnoj nastavi matema-tike. Rad u malim grupama razvija kod decetakmi~arski duh, a samim tim podsti~e itakmi~ewe deteta sa samim sobom.Upore|uju}i svoje rezultate sa rezultatimadrugova iz grupe, kao i rezultate svoje grupesa rezultatima drugih grupa, u~enicipostavqaju sebi nove i ve}e zahteve.

Navodimo primer rada u malim gru-pama gde su u~enici u poziciji da sami iz-vedu obrazac za izra~unavawe povr{ine pra-vougaonika i kvadrata kroz igru Preciznikerami~ari.

U~iteq formira nekoliko grupaujedna~enih po znawu. Svaka grupa imazadatak da poplo~a terasu odgovaraju}ih di-menzija (dobija crte‘ terase i jednu plo~icu- kvadrat od samolepqivog kola‘-papira di-menzije 1cm). Najva‘nije je da grupe uradedobru procenu broja plo~ica, jer, navodno,gazda im ne}e platiti ulo‘eni rad ako ne"zavr{e" posao, a zakinu}e im od zarade uko-liko "kupe" vi{e materijala nego {to jepotrebno. Samo jednom mogu preuzetiplo~ice i zato je ciq igre dobra procenapotrebnog broja plo~ica.

Dimenzije terase mogu, recimo, da buduza prvu grupu 8cm i 3cm; za drugu grupu 6cm i4cm; za tre}u grupu 12cm i 2cm; za ~etvrtugrupu kvadrat stranice 5cm.

Ovakvom igrom deca treba da otkriju:

- da je povr{ina pravougaonika brojjedini~nih kvadrati}a koji pokri-vaju wegovu unutra{wost;

- da se taj broj kvadrati}a mo‘eodrediti pravqewem mre‘e kvad-rati}a i brojawem istih;

- da se broj kvadrati}a najlak{eodre|uje mno‘ewem broja redova ibroja kolona jedini~nih kvadrati}a;

- da dva i vi{e razli~itih pravou-gaonika mogu imati isti broj kvad-rati}a, tj. jednake povr{ine;

- da je broj redova i broj kolona jednakmernim brojevima du‘ine i {irinepravougaonika.

Dakle, povr{ina pravougaonika jed-naka je proizvodu mernih brojeva dimenzijapravougaonika.

Rad u malim grupama mo‘e da se or-ganizuje i kod sistematizacije gradiva. Na-vodimo primer organizacije ~asa utvr|i-vawa operacija sabirawa i oduzimawa uprvoj desetici. ^as se realizuje metodomprakti~nih i pisanih radova sa diferenci-ranim zahtevima u malim grupama. Grupe suheterogene u odnosu na znawe i mogu}nostiu~enika, ali su me|usobno ujedna~ene, {tozna~i da svaki u~enik jedne grupe ima svog

U~ewe matematike u malim grupama

69

"parwaka" u drugoj grupi. Zahtevi zau~enike u istoj grupi su diferencirani, asve grupe imaju iste zadatke. Grupu ~ine~etiri u~enika.

Zadaci se nalaze u kovertama koje mogubiti razli~itih boja zavisno od nivoate‘ine zadataka. Svaki u~enik dobijaodgovaraju}u kovertu, wen sadr‘aj izru~ujena radni sto, sastavqa izrezane delove i do-bija jedan geometrijski oblik (pravou-

gaonik, krug, kvadrat ili trougao). Posleuspe{nog uklapawa delova, dete lepiizrezane delove u svesci, formira sliku iispod we zapisuje naziv geometrijskogoblika. Zadaci ú nivoa te‘ine su u unu-tra{woj oblasti pravougaonika, zadaci úúnivoa te‘ine su unutar kruga, úúú nivoa unu-tar kvadrata i IV nivoa unutar trougla. Is-prekidane linije pokazuju delove slike presklapawa.

Са леве стране се налазе поени које можеш освојити за сваки задатак, а са десне празни квадратићи у које ће бити уписани поени које си остварио за сваки задатак. Срећно!

1. Пребројавањем куглица на рачунаљци одреди збир бројева:

3 + 2 = _____ 4 + 5 = _____ 7 + 0 = _____

2. Израчунај разлику користећи слику рачунаљке:

7 – 4 = _____ 5 – 0 = _____ 3 – 3 = _____

3. Допиши или доцртај оно што недостаје:

3 + _____ + 1 = _____ _____ - 5 = _____

Nastavnilisti} ú nivoa te‘ine

Milana Egeri}

70

Nastavni listi} úú nivoa te‘ine

Са леве стране се налазе поени које можеш освојити за сваки задатак, а са десне празни квадратићи у које ће бити уписани поени које си остварио за сваки задатак. Срећно!

1. Израчунај:

2 + 6 = ___ 3 + 6 – 2 = ___ 8 – 5 = ___ 10 – 9 + 3 = ___

2. Упиши бројеве који недостају:

3 + ___ = 9; 2 = 6 – ___

3. Упореди леву и десну страну уписујући у квадратић знаке <, > или =. 9 3 + 5 5 + 4 7 – 2 5 + 2 10 – 3 6 + 3 9 - 0

U~ewe matematike u malim grupama

71

Nastavni listi} úúú nivoa te‘ine

Са леве стране се налазе поени које можеш освојити за сваки задатак, а са десне празни квадратићи у које ће бити уписани поени које си остварио за сваки задатак. Срећно!

1. Напиши број: 1) за 2 већи од 3 ____________________________

2) за 3 већи од 7 ____________________________ 3) за 4 мањи од 8 ____________________________ 4) за 6 мањи од 10 ___________________________

2. Израчунај:

1) збир бројева 4 и 3 _______________________ 2) разлику ако је умањеник 9, а умањилац 6 _________________

3. Весна има 10 динара. Потрошила је три динара. Колико јој је динара остало?

Решење __________________________________________ Одговор _______________________________________________

Milana Egeri}

72

Nastavni listi} IV nivoa te‘ine

U~ewe matematike u malim grupama

73

Za sastavqawe geometrijske slikepredvi|eno je 10 minuta. U~iteq pokazujepolo‘aj kazaqki na zidnom ~asovniku kadatreba da zavr{e prakti~nu aktivnost. Svakiu~enik obavqa samostalno svoj deo posla,ali mo‘e da potra‘i pomo} od druga izgrupe. Grupa koja na vreme zavr{i svojzadatak dobija 2 boda i to samo ako su svi~lanovi grupe zavr{ili svoj posao. Akogrupa zadatak obavi sa zaka{wewem dobija 1bod.

Nakon predvi|enog vremena zaprakti~an rad, u~iteq obilazi sve grupe,saop{tava rezultate i upisuje odgovaraju}ibroj bodova svakoj grupi u tabeli na tabli.

I II III IV V VI VII VIII

ZBIR

U~enici koji nisu slo‘ili delove zapredvi|eno vreme nastavqaju sa radom dok nezavr{e. (Ova mogu}nost prakti~no jeiskqu~ena, jer se svi u~enici trude dazavr{e svoj rad i po potrebi pomognu spori-jim drugovima u svojoj grupi.)

Posle slagawa delova i formirawageometrijske slike, u~enici pristupajuizradi zadataka koji su unutar geometrijskeslike. Za izradu zadataka predvi|eno jevreme od 20 minuta. U~iteq opet pokazujepolo‘aj kazaqki kada treba da prekinu saradom i sugeri{e u~enicima da pa‘qivopro~itaju zadatak, urade ga i nakon toga pro-

vere ispravnost re{ewa, jer samo ta~anzadatak donosi bodove.

Nakon 20 minuta u~enici razmewujusveske po grupama (prva sa drugom, tre}a sa~etvrtom, itd), ali tako da svaki u~enik do-bije "sliku" sa zadacima koje je i sam radio.Povratnu informaciju dobijaju na grafofo-liji tako da svaki u~enik upore|uje re{ewai upisuje bodove svom drugu. Ukoliko se po-jave nedoumice, u~iteq poma‘e da seotklone. Posle kontrole svih zadataka,svako uzima svoju svesku i kontroli{e radsvog "ocewiva~a", a onda se pristupa upisi-vawu bodova u tabeli. Ukupan broj osvojenihbodova najpre saop{tavaju u~enici koji suradili zadatke na pravougaoniku, pa nakrugu, zatim na kvadratu i na kraju natrouglu. Iz tabele se vidi najboqi u~enikna svakom nivou znawa. Saberu se osvojenibodovi za svaku grupu i progla{ava pobed-nik na ovom matemati~kom takmi~ewu. Pozavr{etku ~asa deca upisuju znak + u delukruga koji najboqe oslikava wihovoraspolo‘ewe na ovom ~asu.

Bodovna tabela i "krug utisaka"pomo}i }e u~itequ da izvr{i evaluaciju~asa u kvantitativnom i kvalitativnom po-gledu. U svakom slu~aju, raspolo‘ewe dece jebitan faktor za odnos prema radu, pa je do-bro raspolo‘ewe preduslov za dobrozavr{en posao.

Milana Egeri}

74

Zakqu~ak

Osnovni zadatak nastavnika je daosmi{qava i organizuje nastavu kojom }eposti}i najboqe obrazovne efekte. Imaju}iu vidu zna~aj misaonog anga‘ovawa u~enika,kako na kvalitet usvojenih znawa tako i narazvoj misaonih sposobnosti, ovim radomsmo poku{ali da istaknemo prednost izna~aj rada u malim grupama, kao i daprika‘emo primere modela rada u malim

grupama u nastavi matematike gde je svakiu~enik aktivan i kreativan. Oslawaju}i sena ciqeve i zadatke nastave matematike,nastavnik bira metode, oblike, sredstva,strategije izvo|ewa nastave i uvek saodre|enim ciqem, a on je da matematikupribli‘i u~enicima, u~ini je interesant-nom, zanimqivom, prakti~nom i primen-qivom.

Literatura

• Artzt, A. F. Yaloz-Femia, S. (1999): Mathematical Reasoning during Small-Group Problem Solving, De-veloping Mathematical Reasoning in Grades K-12, National Council of Teachers of Mathematics.

• Artzt, A. Armour-Thomas, E. (1992): Development of a Cognitive-Metacognitive Framework for ProtocolAnalysis of Mathematical Problem Solving in Small Groups, Cognition and Instruction 9.

• Deji}, M. Egeri}, M. (2005): Metodika nastave matematike, Jagodina, U~iteqski fakultet.

• Egeri}, M. (2004): Sadr‘ajna diferencijacija u nastavi matematike, Beograd, Zavod zauxbenike i nastavna sredstva.

SummarySmall groups represent natural surroundings, which encourages students to be more active, to

contemplate, conclude and research in learning mathematics.Results of the research have been shown by A.Artz and S. Femia on behaviour, contemplation and

mathematical conclusion of small group of students who were asked to solve a serious mathematicalproblem.

Results of the analysis of everyday teaching have been shown, which prove that work in small groupscan be interesting and encouraging for practical and mind activates of children in the basic mathematicsteaching.

Key words: teaching mathematics, work in small groups, mathematical conclusion, individual work,differentiated teaching.

U~ewe matematike u malim grupama

75

Matematika se kao intelektualna ob-last nalazi na vrhu hijerarhijske listenauka kada je u pitawu prisutnost krea-tivnosti u wenim aktivnostima ili u wenimrezultatima. Me|utim, ~iwenica je da je zave}inu u~enika {irom sveta matematikajedan od {kolskih predmeta koji je najmawepovezan sa kreativno{}u. [kolovaweobezbe|uje vrlo malo prilika ve}iniu~enika da iskuse ovaj aspekt oblastimatematike.

Kreativnost je tema koja se ~esto zane-maruje u nastavi matematike. Obi~no nas-tavnici smatraju da prvo mesto u matematicipripada logici, a da kreativnost nijetoliko va‘na u u~ewu matematike. S drugestrane, ako uzmemo u obzir matemati~ara

koji dolazi do novih rezultata umatematici, ne mo‘emo zanemariti wegovokori{}ewe kreativnog potencijala. Kakavje zna~aj kreativnosti u okviru {kolskematematike? Koje metode se mogu koristitiza razvijawe matemati~ke kreativnosti u{kolskim situacijama?

Kada je re~ o kreativnosti, nastavnicio woj mnogo govore, ali je mali broj onihkoji je odobravaju kod svojih u~enika, a jo{je mawi broj onih koji kod svojih u~enikavaspitavaju i podsti~u ovu osobinu. Napo~etku {kolovawa dete se odlikuje ‘eqomda stvarala~ki misli. Radoznalo je, upotrazi za novim i nepoznatim. [kola je takoja sputava ogromnu de~ju radoznalost i‘equ za saznavawem sveta i pojava.

Stru~ni ~lanak

Rezime: Matematika se nalazi na vrhu hijerarhijske liste nauka kada je u pitawuprisutnost kreativnosti u wenim aktivnostima i rezultatima. Me|utim, kao {kolskipredmet matematika je jo{ uvek veoma malo povezana sa kreativno{}u. Kakav je zna~ajkreativnosti za {kolsku matematiku? Kako razvijati matemati~ku kreativnost? Ovosu neka od pitawa na koja }emo poku{ati da odgovorimo u ovom radu.

Kqu~ne re~i: kreativnost, razvijawe kreativnosti, re{avawe problema,postavqawe problema, nastava matematike.

Aleksandra Mihajlovi}U~iteqski fakultet, Jagodina

Razvijawe kreativnosti upo~etnoj nastavi matematike

UDC 159.955: 51(076) Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 76-81

76

^esto se ispostavqa da su kreativniu~enici oni za koje nastavnici smatraju dasu "~udnovati", da ne razumeju o~igledneistine, da ne mogu da usvoje ono {to drugi salako}om usvajaju. Opisuju ih kao u~enike ko-jima na pamet padaju "~udne ideje", o svemuimaju svoje mi{qewe, svoj stav koji senaj~e{}e veoma razlikuje od uobi~ajenog.Wihovi postupci i aktivnosti suneshvatqivi ve}ini u~enika, nastavnika iroditeqa. Veliki je broj istaknutihstvaraoca koji su u toku {kolovawa bilineprime}eni od strane svojih nastavnika.

Me|utim, kreativnost ne treba shvati-ti kao ne{to {to je svojstveno samo izuzet-nim pojedincima, ve} kao orijentaciju i ten-denciju prema matemati~koj sposobnosti~iji se razvoj mo‘e podsta}i u {iroj {kol-skoj populaciji. Jo{ od najranijih dana koddece treba razvijati osobine koje su svoj-stvene stvaraocima u oblasti matematike.Na razvijawe komponenti kreativnogmi{qewa najboqe se mo‘e uticati izradomadekvatnih matemati~kih zadataka.

Mo‘emo izdvojiti dva pristupa, od-nosno dva modela kojima se mo‘e stimuli-sati razvoj kreativnog mi{qewa u svakod-nevnoj nastavi matematike:

- re{avawe problema i

- postavqawe (formulisawe) proble-ma.

U mnogim zemqama {irom sveta,re{avawe problema je ciq koji jeeksplicitno sadr‘an u matemati~komkurikulumu. Na pitawe za{to se re{avawuproblema daje centralna pozicija, ne mogu selako dati zadovoqavaju}i odgovori. Neki odrazloga na koje nailazimo u matemati~kojliteraturi su: re{avawe problema razvijaop{te kognitivne ve{tine; re{avaweproblema podsti~e razvoj kreativnosti;

re{avawe problema motivi{e u~enike dau~e matematiku.

Na razvoj komponenti kreativnogmi{qewa mo‘e se uticati i re{avawem tzv.nestruktuiranih, otvorenih problema.Problemi ovog tipa nude mogu}nostpostavqawa ve}eg broja ciqeva i davawavi{estrukih ta~nih odgovora. ^ak i jed-nostavniji primeri problema otvorenogtipa mogu deci ponuditi zna~ajne prilike dase bave problemima sa vi{estrukim inter-pretacijama i mogu}im re{ewima. Naprimer, zadatak: "Polupre~nik krugaupisanog u kvadrat iznosi 6, izra~unajpovr{inu kvadrata." jednostavnom prefor-mulacijom mo‘emo transformisati u prob-lem otvorenog tipa: "Polupre~nik krugaupisanog u kvadrat iznosi 6. Na|i svemogu}e podatke o kvadratu i krugu."

Osim re{avawa problema, velikizna~aj se daje i postavqawu, formulisawuproblema. Postavqawe problema pred-stavqa po mnogima karakteristiku krea-tivne aktivnosti i izuzetnog talenta.Hadamard (Edward A. Silver, 1997, str. 76) sma-tra da je sposobnost identifikovawakqu~nih pitawa istra‘ivawa indikatorizuzetne darovitosti u oblasti matematike.Dakle, mo‘emo re}i da postavqaweproblema, zajedno sa wihovim re{avawem,ima centralnu ulogu za oblast matematike imatemati~ko mi{qewe uop{te.

Nave{}emo nekoliko primerarazli~itih aktivnosti i zadataka pomo}ukojih se mo‘e razvijati i podsticati krea-tivnost u po~etnoj nastavi matematike.

"Napravi kwigu"

Zadatak: U~enici dobijaju zadatak dasami osmisle i ilustruju jednu stranicu saodre|enim matemati~kim sadr‘ajem (npr.

Razvijawe kreativnosti upo~etnoj nastavi matematike

77

aritmeti~ki zadaci). Ovaj materijal mo‘ebiti namewen drugim u~enicima u odeqewuili narednoj generaciji u~enika. Ovakva,promewena, uloga (u~enik postaje nas-tavnik) pru‘a mogu}nost u~enicima da samo-stalno generi{u probleme i samim tim budukreativni, ali isto tako i razvija i pod-sti~e wihovo interesovawe za matematiku.

Re{avawe problema otvorenog tipa

Obrnuti brojevi (drugi razred)

Zadatak: Zamisli neki dvocifrenibroj. Zameni mesta cifara tog broja, a zatimsaberi dobijeni broj sa brojem koji si zamis-lio.

Na|i {to vi{e brojeva koji }e kada sesaberu sa "obrnutim" brojem kao zbir datidvocifreni broj.

[ta svi ti brojevi imaju zajedni~ko?

Re{ewe problema: Pri re{avawu ovogproblema u~enici mogu prona}i vi{epravilnosti. Uzmimo nekoliko primera, dabismo videli {ta }emo dobiti:

13 + 31 = 44

26 + 62 = 88

47 + 74 = 121

54 + 45 = 99

68 + 86 = 154

Posmatraju}i navedene primeremo‘emo uo~iti da ako je zbir cifara dvoci-frenog broja mawi od 10 onda je zbir obrnu-tih brojeva mawi od 100.

Isto tako, mo‘emo primetiti da zbircifara dvocifrenog broja odre|uje zbirobrnutih brojeva, i to na slede}i na~in:

- ako je zbir cifara dvocifrenogbroja npr. 6, zbir obrnutih brojevabi}e 66 (42 +24 = 66, 51 +15 = 66 itd.)

- ako je zbir cifara dvocifrenogbroja 8, zbir obrnutih brojeva bi}e88 itd.

U~enici mogu uo~iti i da je zbir obr-nutih brojeva u svim slu~ajevima proizvodbroja 11.

Pro{irewe problema: Da li postojeneke pravilnosti u slu~aju kada je rezultatsabirawa obrnutih brojeva trocifrenibroj?

Napomene: Pri re{avawu ovogproblema u~enici uve‘bavaju sabirawe dvo-cifrenih brojeva. Pri tome, treba ohrabri-vati u~enike da drugim u~enicimasaop{tavaju svoje na~ine ra~unawa. Nekadeca }e usmeno vr{iti sabirawe, dok }edruga mo‘da koristiti metoduzaokru‘ivawa. Veoma je va‘no dozvolitiu~enicima da razmi{qaju na sopstvenina~in.

Na primer, zamislimo broj 91.Zamenom mesta cifara dobi}emo broj 19.Zbir brojeva 91 i 19 ra~una}emo:

91 + 19 = 91 + 10 + 9 = 101 + 9 = 110 ili

91 + 19 = 91 + 20 - 1 = 111 - 1 = 110.

Osim uve‘bavawa sabirawa, ovajzadatak daje mogu}nost deci da se "igraju" sabrojevima. Deca se ohrabruju da uo~avaju za-konitosti u svojim odgovorima. Osim toga{to se produbquje shvatawe i razumevawebrojeva i wihovih odnosa, ovakvim zadatkomse podsti~e razvijawe ve{tine re{avawaproblema i kreativnosti.

U~enicima treba omogu}iti da na ovomproblemu rade najpre individualno, a zatimih podeliti u mawe grupe. Na taj na~in svadeca }e imati mogu}nost da se pozabave

Aleksandra Mihajlovi}

78

problemom pre nego {to svoja "otkri}a"podele sa ostalim u~enicima. Krozdiskusiju u~enici upoznaju druge metodedola‘ewa do re{ewa, ~ime pove}avaju svojufleksibilnost u na~inu prilaska problemu.

Xeparac (tre}i, ~etvrti razred)

Zadatak: Nikola i Ana su se dogo-vorili da zarade xeparac poma‘u}i ujaku uradwi preko raspusta. Ujak im je rekao da }eih pla}ati na slede}i na~in: Ana }e za prvidan na poslu dobiti 10 dinara, a za svakinaredni dan na poslu bi}e pla}ena 2 dinaravi{e nego prvog dana. Nikola }e za prvi dandobiti 1 dinar, ali }e svakog narednog danawegova plata biti udvostru~ena u odnosu naprethodni dan. Na ~ijem mestu bi radije bioi za{to?

Re{ewe problema: Ovaj problem nemata~no odre|eno re{ewe. Naime, nigde uzadatku nije navedeno koliko dana }e decaraditi. Ako rade 6 dana i mawe onda }e Anazaraditi vi{e novca. Ako rade vi{e od 6dana Nikola }e zaraditi vi{e.

Ciq re{avawa problema ovog tipa jeda deca uporede brzinu kojom se uve}avaukupna suma kada dodajemo fiksirane bro-jeve u odnosu na brzinu uve}avawa sume kadadodajemo udvostru~ene brojeve.

Pro{irewe problema: Posle kolikodana }e Anin i Nikolin ujak ostati beznovca?

I na ovo pitawe ne postoji precizanodgovor. Deca treba da uo~e da }e se sabi-rawem udvostru~enih brojeva suma br‘euve}avati. Posle 20 dana ukupna suma }epre}i milion dinara, a Anin i Nikolin ujakto najverovatnije ne}e mo}i da isplati.

"Izbaci uqeza" (prvi razred)

Zadatak: Deci pokazujemo slikeslede}ih matemati~kih objekata ipostavqamo pitawe: "Kom objektu ovde nijemesto?"

Ciq re{avawa ovog problema je da seispitaju osnovna svojstva nekih objekata(poput simetrije, boje itd.). Bitno je dau~enici steknu dobar "ose}aj" za objektekako bi kasnije mogli da produbquju i is-tra‘uju daqa svojstva tih objekata.

Re{ewe problema: Ne postoji jedan,ta~an odgovor na pitawe. Deca mogu prona}irazli~ita re{ewa. Treba tra‘iti od wih daobrazlo‘e svoje odgovore.

Nave{}emo neke mogu}e odgovore:

"Vi{ak je kvadrat, jer je jedini crveneboje."

"Vi{ak je krug, jer samo on mo‘e da sekotrqa, dok drugi objekti to ne mogu."

"Treba izbaciti kutiju ..." itd.

Postavqawe problema

Palidrvca

Zadatak: Pomo}u palidrvaca napra-vqeni su kvadrati kao na slici:

Ako bi broj napravqenih kvadrata bio5, koliko palidrvaca bi trebalo upotre-biti?

Razvijawe kreativnosti upo~etnoj nastavi matematike

79

Napravite sami sli~ne probleme me-waju}i neke delove datog problema.

Ciq ovog zadatka je da se u~enicimapru‘i prilika da sami formuli{u noveprobleme koriste}i generalizaciju, analo-giju, reverzibilno mi{qewe, a zatim da te,"nove", probleme re{avaju. U~enici mogunapraviti nove probleme mewaju}i, na pri-mer, broj kvadrata ili oblik date figure.Na osnovu datog problema mo‘e se formuli-sati nov problem varirawem nekih od datihuslova. Na primer, "Koliko kvadratamo‘emo napraviti od 23 palidrvca?" ili"Ako promenimo na~in re|awa palidrvaca,koliko nam najmawe palidrvaca treba danapravimo 9 kvadrata?" i sl. U prvomslu~aju deca moraju promeniti direkcijumi{qewa, a u drugom slu~aju podsti~emo ihda kreativno koriste svoju ma{tu.

"Smisli zadatak"

Zadatak: U~enicima dajemo zadatak, azatim od wih tra‘imo da sami smisle druge,nove, zadatke koje mogu re{iti bez ra~una-wa, oslawaju}i se na dati zadatak i kori-ste}i ga. Na primer, izra~unaj koliko je45 × 24, a zatim na osnovu toga napravi samnove zadatke koje }e{ re{iti koriste}i ono{to si ve} izra~unao.

Kreativnost se, u ovom slu~aju, ogledau broju razli~itih ideja koje daju u~enici.Ovaj zadatak nema jedno, jedinstveno re{ewei kao takav omogu}ava u~enicima da razvi-

jaju fluentnost, fleksibilnost i original-nost mi{qewa. Nave{}emo samo neke odmogu}ih odgovora:

45 × 24 = 1080 (20 + 4) × 45 = 1080

24 × 45 = 1080 (48 : 2) × 45 = 1080

1080 : 45 = 24 12 × 45 = 540 itd.

240 × 45 = 10800

Iako kreativnost igra va‘nu ulogu unastavi matematike, nastavnici smatraju daje nastavu putem postavqawa i re{avawaproblema te{ko primeniti u u~ionici.Ote‘avaju}a okolnost jeste i ~iwenica da jematerijal namewen ovakvoj vrsti nastavemalobrojan u odnosu na materijal kojipodr‘ava proceduralni i mehani~ki pris-tup {kolskoj matematici. Jo{ jedan probl-em sa kojim se sre}emo u na{im osnovnim{kolama je i to da ve}ina nastavnika iu~iteqa smatra da postoji samo jedan ta~anodgovor u matematici i samo jedan "pravi"na~in da se neki matemati~ki problemre{i. Dobar nastavnik je onaj koji zna dapostoji veliki broj mogu}nosti da se pri-stupi re{avawu nekog problema. Stav nas-tavnika u velikoj meri uti~e na razvijawekreativnosti u~enika u nastavi matematike.Nastavnik mora da prihvati, priznau~enikov prilaz problemu bez obzira {to setaj prilaz razlikuje od drugih, uobi~ajenih.U~enicima uvek treba omogu}avati, kadanam to nastavni sadr‘aji dozvoqavaju, dasami izvode pravila, algoritme, formuli{unove probleme.

Aleksandra Mihajlovi}

80

Literatura

• Edward A. Silver, Pittsburgh (USA), Fostering Creativity through Instruction Rich in Mathematical Problem Solvingand Problem Posing, ZDM, volume 29, June 1997, http://www.fiz-karlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm973i.html

• Derek Haylock, Norwich (England), Recognising Mathematical Creativity in Schoolchildren, ZDM, volume 29, June1997, http://www.fizarlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm973i.html

• Yoshihiko Hashimoto, Yokohama National University, The Methods of Fostering Creativity through MathematicalProblem Solving, ZDM, volume 29, June 1997,http://www.fiz-karlsruhe.de/fiz/publications/zdm/zdm973i.html

• New Zealand Maths Problem Solving, http://www.nzmaths.co.nz/PS/

SummaryMathematics is on the top of the hierarchy list of sciences concerning presence of creativity in its

activities and results. But, as a school subject, mathematics is not sufficiently connected with creativity.What is the importance of creativity for school mathematics? How is it possible to develop mathematicscreativity? These are some of the issues of this paper.

Key words: creativity, development of creativity, solving problems, posing problems, and teachingmathematics.

Razvijawe kreativnosti upo~etnoj nastavi matematike

81

Ra|awe pojma broja

Pojam broja je jedan od osnovnih poj-mova sa kojim se ~ovek slu‘io tokom ~itaveistorije svoga postojawa. Svakodnevne po-trebe ‘ivota nagonile su ga da jo{ u prasta-ra vremena zapa‘a kvantitativne odnoseme|u predmetima iz svoje okoline. Nau~io jeda prebrojava i upore|uje. Sa pojavomzemqoradwe, zanatstva, razmene dobara irazvojem manufakturne proizvodwe, u ~ove-kovoj svesti su se razvijale i afirmisalepredstave o razli~itim kvantitativnim od-

nosima predmeta i o pojavama spoqa{wegsveta.

Proces formirawa pojma prirodnogbroja ima dugotrajan i slo‘en istorijskiput. Tom procesu prethodi uo~avawe jedna-kobrojnosti me|u razli~itim skupovima. Upo~etku to svojstvo nije odvajano od konk-retne prirode skupova. Na primer, qudi suprvobitno znali da dva ribolovca imaju jed-nako ulovqenih riba, ali to nisu izra-‘avali nikakvom posebnom re~ju {to biupu}ivalo na naziv nekog broja.

Pregledni nau~ni ~lanak

Rezime: Jedan od osnovnih pojmova koji pro‘ima ~itavu matematiku, a i sve oblastiqudske delatnosti, jeste broj. U po~etku, broj je bio neodvojiv od skupova koji su seupore|ivali po istobrojnosti. Shvatalo se samo da ne~ega ima vi{e, mawe ili jednako sane~im. Kasnije se istobrojnost odvaja kao apstraktan pojam, nezavisno od prirode konk-retnih skupova. Posledwa faza u formirawu pojma broja jeste wegovo shvatawe kao svo-jstva jednakobrojnih skupova, nezavisno od rasporeda elemenata i wihove vrste. Sve ovefaze pratili su poku{aji da se broj zabele‘i na neki na~in i da mu se izgovori ime. U ovomradu posmatra se primitivan na~in zapisivawa broja, koji nazivamo naivni simbolizam.Najve}a pa‘wa posve}ena je zapisivawu preko ~vorova na kanapu (kipuima) i zarezima nadrvetu (rabo{ima). Prikazivawe istorijskog puta u razvoju pojma broja ima za ciq dauka‘e na metodi~ki put wegovog formirawa.

Kqu~ne re~i: broj, naivni simbolizam, kipu, rabo{, ~vor, zarez u drvetu.

Dr Mirko Deji}U~iteqski fakultet, Beograd

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

UDC 511.1(091) Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 82-93

82

Daqe, vi{i razvoj qudskog dru{tva do-vodi do neophodnosti da se brojnost jednihskupova izrazi preko brojnosti drugih sku-pova, tj. zajedni~ko svojstvo - jednakobro-jnost sada se usvaja kao ne{to {to nijevezano za konkretnu prirodu samog skupa(wegovih elemenata). U ovoj fazi razvojajedan skup se uzima kao uzor (karakteri-sti~an skup) sa kojim se porede svi ostaliskupovi, kod kojih se zanemaruje svojstvoelemenata i koji su jednakobrojni sa tim sku-pom. Da bi ~ovek, na primer, saop{tio da jevideo pet ptica, on je govorio da ptica imakoliko i prstiju na jednoj ruci. U toj fazibrojevi dobijaju nazive, naj~e{}e jednakenazivima karakteristi~nog skupa.

Na kraju, zanemaruju}i svojstvo ele-menata i wihov raspored kod kona~nih jed-nakobrojnih skupova i apstrahuju}i wihovozajedni~ko svojstvo - brojnost, dolazi se dobroja u ~istom vidu, tj. do apstraktnog pojmabroja. Taj broj je u po~etku bio neodvojiv odskupa. Govorilo se dve jabuke, dva drvetaitd. Mnogo hiqada godina trebalo je dapro|e, pa da ~ovek shvati samo re~ dva (bezimenovawa konkretnog skupa) kao za-jedni~ko svojstvo svih skupova sa po dva ele-menta.

Zapisivawe brojeva(naivni simbolizam)

Skup imena i znakova pomo}u kojihmo‘emo da zapi{emo proizvoqan broj idamo mu ime, naziva se sistem brojeva ilinumeracija. Ciq svake numeracije jeste da senapi{e proizvoqan broj pomo}u grupe indi-vidualnih znakova (cifara). Taj ciq mogaobi da se ostvari i samo sa upotrebom jednecifre (1), a svaki broj da se zapisuje sa ono-liko jedinica koliko ih sadr‘i. Ali ovakvopisawe bi bilo veoma glomazno. Na{i bro-

jevi zapisuju se pomo}u deset cifara. Lako}azapisivawa i baratawa brojevima rezultatje duge evolucije broja. Wegovo zapisivawepo~iwe wegovim predstavqawem prekorazli~itih predmeta.

Nauka nije u stawu da odgovori kada ikako su po~ele da se pi{u prve cifre.Verovatno mnogo kasnije nego {to su se tibrojevi izgovarali. Smatra se da najstarijizapisi brojeva poti~u od starih Sumeraca.

Zapisivawe brojeva pomo}u~vorova na kanapima (kipui)

Me|u prvim na~inima zapisivawa bro-jeva spada i predstavqawe brojeva pomo}u~vorova na konopcima tzv. kipuima. Pismopomo}u ~vorova predstavqa po nekima naj-stariji na~in zapisivawa qudskih misli ponekom sistemu. Umesto papira i olovkestari narodi su uzimali kanape i na wimavezivali ~vorove. ^vorovi su se vezivali narazne na~ine i u raznim bojama. Kod Pe-ruanaca su postojali dr‘avni ~inovnicipoznati pod imenom kipukamajokuni (qipu-camazocuni) koji su na u‘adima, pomo}u~vorova, vodili dr‘avnu statistiku i fi-nansije. Svako selo imalo je po jednogstru~waka za pisawe kipu-kwiga.

Slede}i crte‘i iz kwige crte‘a Le-topis Indijanaca od Don Felipa HuamanaPoma de Ajala, nastale izme|u 1586. i 1631.godine, prikazuju svakodnevni ‘ivot Inkaindijanaca. Na slikama se vide ra~unovo|e(kipukamajokuni) kako dr‘e kipue u rukama.Na drugoj slici, u levom uglu se vidi itablica sa koje ra~unovo|a prenosi ra~un nakipu. Na tre}oj slici, pored kipua,ra~unovo|a u ruci dr‘i i kwigu.

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

83

Mirko Deji}

84

Herodot (1980, gl. 98) nas u svojoj Is-toriji upoznaje da je kori{}ewe ~vorova zabele‘ewe brojeva postojalo i u Evropi. Tusaznajemo da je Persijski kraq Darije daoJowanima kanap sa 60 zavezanih ~vorova inaredio da svaki dan odvezuju po jedan ~vor.Ukoliko se on ne vrati pre nego {to odve‘usve ~vorove, oni mogu da se vrate svojimku}ama. ^vorove, kao broja~e molitvi, upo-trebqavaju i danas monasi u manastirima. Upravoslavnoj crkvi zovu se brojanice, u ka-toli~koj krunice, a kod muslimana tespisi.Kineski kraqevi upotrebqavali su bro-janice od 104 nanizana bisera da bi izmo-lili 104 molitve.

Sa~uvanih kipua je veoma malo {toonemogu}ava uo~avawe nekog sistemapisawa. Ima istra‘iva~a koji smatraju da su~vorovima zapisivani samo numeri~ki po-daci, mada je verovatnija verzija da se radi opismu uop{te. Neki smatraju da je zapispomo}u binarnog sistema, ba{ onakav kako

rade dana{wi kompjuteri. Tako, harvardskiantropolog Gary Urton smatra da kipui pred-stavqaju sedmobitne binarne kodove kojiomogu}avaju da se zapi{e vi{e od 1500 odvo-jenih informacija.

Razli~ito obojeni kanapi pred-stavqali su razli~ite objekte realnosti.Na primer, ‘uto obojen kanap predstavqaoje zlato, crveni - vojsku, beli - mir itd. Kakobojama, zbog wihovog ograni~enog broja,nisu mogli biti predstavqeni svi pojmovi,wihovo zna~ewe odre|ivano je prema mestu~vorova na kanapu. Na primer, ako se znak zaoru‘je nalazio na najvi{em polo‘aju to jezna~ilo kopqe, zatim, slede}i znak zaoru‘je tuma~i se kao strela, pa daqe sekiraitd.

Brojevi od 1 do 9 mogli su biti"zapisivani" na veoma jednostavan na~in.Tako, broj ~vorova jednak je broju jedinicaiz kojih se sastoji broj.

Najstariji razvijenina~in zapisivawa

qudskih mislipomo}u ~vorova

(kipui). Naj~e{}e jeglavno u‘e duga~ko

oko tridesetak cen-timetara, a u‘ad

vezana za wega ne pre-laze 60 centimetara.

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

85

Zatezawem kanapa dobija se 1 ~vor kojipredstavqa broj 1

Broj 3. Na sli~an na~in dobijaju se brojevi 2-9

Zapis vi{ecifrenog broja mo‘e biti dekadni, pozicioni i to na veoma jednostavan na~in.Ceo broj pisao bi se na jednom kanapu, a jedinice, desetice, stotine itd. bile bi

predstavqane od kraja prema glavnom u‘etu za koje je vezan taj kanap. Na gorwim slikamaprikazano je takvo zapisivawe brojeva. Na slici levo zapisan je broj 3643.

Mirko Deji}

86

Ozna~avawe brojeva pomo}u ~vorovana|eno u Nema~koj

Upotreba ~vorova za ozna~avawe bro-jeva prona|ena je u Nema~koj u vezi sakoli~inom bra{na u vre}i. ^vorovi kojipredstavqaju brojeve od 1 do 7 upotre-bqavani su za koli~inu ‘ita. Mera zabra{no bila je Sester, koji se sastojao od 10Masela. Tako je ~vorovima predstavqano: 1(1 Masel), 2 (2 Masela), 3 (5 Masela = polaSestera), 4 (10 Masela = 1 Sester), 5 (Alter-nativa za 4), 6 (2 Sestera), 7 (6 Sestera).

^vorovima 8-12 predstavqan je tipbra{na: 8-sto~no bra{no; 9-ra‘; 10-je~am;11-‘itno bra{no, prva klasa; 12-‘itnobra{no, druga klasa.

Zapisivawe brojeva pomo}u ureza na{tapu, kostima, kamenu itd. (rabo{i)

Osim ~vorova, stari narodi su za"zapisivawe" koristili kamen~i}e, zrncaplodova, {koqke itd.

Tako, Herodot (1980, gl. 176) u svojojIstoriji govori o ‘enama libijskog ple-mena Gin|anim: "Svaka ‘ena oko gle‘wa

nosi mnogo ko‘nih kolutova, i to kao {to sepripoveda, zbog ovog uzroka. Kada god snovim mu{karcem legne, stavi kolut okogle‘wa, pa koja ih ima najvi{e za onu sedr‘i da je najboqa, jer ju je najvi{emu{karaca obqubilo."

Da bi imao "zapisan" broj svojih ovaca,primitivni ~oban je za svaku ovcu uzimao pojedan kamen~i} i stavqao ga u svoju torbu.Kada je uve~e ‘eleo da vidi (prebroji) da lisu sve ovce na broju, opet je vadio po jedankamen~i} i dodeqivao je po jednoj ovci. Akomu je neki kamen~i} ostao vi{e, to jezna~ilo da mu fali neka ovca. Osnovniprincip je, kao {to vidimo, 1-1 dodeqivawei uo~avawe jednakobrojnosti izme|u dvarazli~ita skupa. Mo‘emo zamisliti ~obanesa velikim brojem ovaca: morali su da nosepune torbe kamen~i}a. Iz tog razloga izmi-slili su sli~no bele‘ewe brojeva pomo}uniza crtica na nekom materijalu (drvo,koske itd.). Sva ta zapisivawa nose obele‘jepod imenom naivni simbolizam.

U ^ehoslova~koj je 1937. godineprona|ena ‘bica mladog vuka iz kamenogdoba, duga 18 cm. Na woj je predstavqeno 55paralelno zarezanih crta. Prvih 25 jegrupisano po 5. Tih 25 je podvu~eno jednomcrtom dva puta du‘om od ostalih. Zatim do-laze ostali zarezi iste du‘ine. U planinamaJu‘ne Afrike na|ena je kost babuna na kojojje urezano 29 zareza. Starost ove kosti je oko37 000 godina.

U Abidosu, gradu u gorwem Egiptu, uhramu faraona Seta ú na|en je bareqef(1350. g.p.n.e.), tzv. Plo~a iz Abidosa na kojojsu urezana dva niza imena faraona. Bog Totim pomo}u zareza na palminoj grani bele‘idu‘inu vladawa.

Kinezi su veoma rano brojeve zapisi-vali crtama. Tako su prona|eni simboli u

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

87

obliku crta iz tre}eg milenijuma p.n.e., kojinose naziv ‘e-Kim. Tvorac tih simbola jekineski zakonodavac Fu-si. Simboli su sas-tavqeni od 64 figure. Svaka figura sas-tavqena je od po 6 redova u kojima su ispre-kidane ili kontinuirane du‘i. U slede}ojtabeli date su prve tri, kao i posledwa 64.figura:

__ __ __ __ __ __ ____

__ __ __ __ __ __ ____

__ __ __ __ __ __ ____

__ __ __ __ __ __ ............ ____

__ __ __ __ __ __ ____

__ __ __ __ __ __ ____

Dugo je zna~ewe ovih crta biloneobja{weno. Tek u 18. veku Lajbnic je pro-tuma~io zna~ewe ovih simbola. Naime, radise o prvih 64 brojeva predstavqenih u binar-nom brojevnom sistemu. Ako isprekidanecrte "__ __" predstavimo kao nula, a cele"____" kao jedinicu, onda figure imaju re-dom zna~ewe: 000000, 000001, 000010, ...,111111. Prevedeno u dekadni brojevni sistemdobijamo redom brojeve: 0,1,2,3, ..., 63.Napomenimo da su se Kinezi slu‘ili crtamakada su iskazivali i druge pojmove iz‘ivota.

Me|u najva‘nija, stara mnemotehni~kasredstva za zapisivawe, koja se smatraju pre-thodnicama pisma, spadaju rabo{i iliravo{i. Predstavqaju palice od drveta ilinekog drugog materijala na kojima se nalazeurezani zapisi (recke i {are).

Rabo{i pripadaju vi{em stupwu civi-lizacije. Na wima nije slikovno pismo, ve}pismo ve}e apstrakcije sa konvencionalnimznacima za sporazumevawe. Poruke narabo{ima ~itane su bez te{ko}a od stranerazli~itih plemena, iako se ta plemena jezi-

Veoma primitivni rabo{i od kostijuvuka na|eni su u Africi. Poti~u iz

perioda 6500 g.p.n.e. ^uvaju se u Britanskom muzeju.

Rabo{ izra|en od kamena, otkriven uJu‘noj Africi po~etkom 2002. g.

Poti~e iz 70000 g.p.n.e. Zbog boje je nazvan"oker kamen".

Mirko Deji}

88

kom te{ko sporazumevaju. Zapisivawepomo}u rabo{a veoma je staro i sre}e se kodstarih Germana, Skita, Skandinavaca, Mon-gola, Slovena, Kineza, Egip}ana i drugihstarih naroda. Rabo{e upotrebqava i civi-lizovan svet. Koriste ga negde u Srbiji zaprebrojavawe ovaca, odmeravawe nivoamleka u sudu, vina u buradima, brojawe punihmeseci do nekog doga|aja, brojawe koliko jeseqak izvezao |ubriva na wivu itd. Ranije suga koristili pekari. Pekar, da bi znaokoliko je hlebova izdao na veresiju, {tapdu‘ine 10 cm (do jednog metra) zacepquje,kao {to se vidi na slede}oj slici, a zatimodseca jedan deo. Du‘i deo (kvo~ka) ostajewemu, a kra}i (pile) daje se mu{teriji. Kadapotro{a~ do|e po hleb donosi svoj deo(pile), koji pekar prislawa na svoj (du‘ideo, kvo~ku). Zatim zaseca oba dela sa ono-

liko crta koliko je potro{a~ uzeo hlebova.Kada do|e vreme pla}awa opet se poklapajudelovi, a sa wima i recke i dug izmiruje.Posle toga delovi se zajedni~ki uni{tavaju.Kao {to vidimo, prevara je, sa bilo kojestrane, na ovaj na~in iskqu~ena.

Na sli~an na~in, kao {to su pekaridavali hleb na veresiju i to bele‘ili,radili su i bankari u Engleskoj. Kada je nekopozajmqivao novac od banke, bankari su sumubele‘ili na rabo{u, zatim je rabo{ ras-tavqan na dva dela: jedan je zadr‘avalabanka, a drugi onaj koji je pozajmqivao no-vac. Kada bi novac bio vra}an, delovi su spa-jani i ako zajedno ~ine po~etnu celinu, dugje izmiren. Banka je svoj deo davala onom koje dug izmirio i to mu je slu‘ilo kaopriznanica o pla}enom dugu.

Primeri rabo{a (slika preuzeta iz Z. Kulunxi}, 1957)

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

89

Kori{}ewe rabo{a u bankama Engleske.Na celom rabo{u bele‘en je dug, a

zatim je rabo{ razdvajan, jedan deo je uzimao bankar, a drugi onaj koji je od

banke zajmio novac.

U starom Rimu rabo{e su nazivali tal-lia ili taleae, a upotrebqavani su kao potvrdeo pla}awu poreza. Napomenimo da se na tajna~in i u Evropi napla}ivao porez u sred-wem veku. O tome svedo~e i slede}e re~i kojese danas upotrebqavaju za porez: taille-fran-cuski jezik, taglia-italijanski, talha-por-tugalski. Poreklo na{e re~i porez mo‘damo‘emo tako|e tra‘iti u rabo{ima, jer senapla}ivao po rezu. Stari Germani surabo{e pravili od bukovog drveta i nazi-vali su ih Buchstabe. U savremenom nema~komjeziku re~ Buchstabe zna~i pojedina~no, odvo-jeno slovo. O~igledno je da savremena re~ zaslovo asocira na wegovo prvobitno zapisi-vawe na rabo{ima. U Engleskoj jo{ u 19.veku rabo{i su slu‘ili kao dokazno sred-stvo na sudovima i nazivani su tally-sticke.

David Diringer, biv{i profesor na Uni-verzitetu u Kembrixu, na jednom skupu uLondonu, odr‘anom 1953. godine, u svomsaop{tewu Katalog Staplesove izlo‘bealfabeta ka‘e: "Rova{i su se slu‘beno

upotrebqavali do godine 1832. kao namire zanovac, koji je upla}ivan u riznicu; detaqiobavqenog posla bili su uneseni na wih pis-mom, dok su urezi ozna~avali iznose. Urez zastotinu bio je {irok kao palac, za funtu kaozrno je~ma, a mala ogrebotina ozna~avala jepenny." (prema Z. Kolunxi}u, 1957, str. 80). Uto vreme [vajcarci koriste rabo{e kaosredstvo za isporuku mleka mlekarnicama.

U najstarijoj filolo{koj raspravi onau~noj vrednosti slovenske azbuke i naj-starijem spomeniku pisanom }irilicom,Slovo o pismenima (863. g.), koji je napisaonepoznati monah, crnorizac, nazvan zbogsvoje odva‘nosti Crnorizac Hrabar, stoji:"Pre|e Sloveni ne ima|ahu kwiga, nego pocrtama i rezama ~itahu i gatahu". U Srbiji,

Na slici levo prikazana je "poreskakwiga" na|ena u Rusiji. Svaki od nani-

zanih rabo{a predstavqao je jednodoma}instvo. Da bi se doma}instva

razlikovala, svakom je urezivan posebanznak. Na odgovaraju}em rabo{u urezan je

jo{ broj ~lanova familije i dug za porez.

Mirko Deji}

90

rabo{i su se sve do kraja 19. veka upotre-bqavali kao dokazno sredstvo na sudovima.Tako, prema paragrafu 25. Gra|ansko-sud-skog postupka od 1887. godine stoji: "Peka-ri, mesari, mlekari, vodono{e, sve}ari iovima podobni, mogu dokazivati rabo{em (ikvo~kom), na kome se potpisao ili svoj pe~atstavio onaj, koji je stvari primio." Srpskikwi‘evnik Milan \. Mili}evi} (1831-1908) opisuje ovako svoj boravak u beograd-skoj Bogosloviji: "Jedan od profesora vodioje ra~une o toj ekonomiji, a po jedan |ak izsvakog razreda, redom, primao je od pekara narabo{ hlebove i razdavao ih |acima."(Izsvojih uspomena, úú, Beograd, 1895, str. 28/29).O kori{}ewu rabo{a u na{im krajevimapisao je i etnograf Borivoje Drobwakovi}(1890-1961) 1933. godine. Prema wemu,"rabo{i su se i do danas odr‘ali, naro~itotamo gde se udru‘uju sa stokom. Takav je, naprimer, slu~aj u selima u okolini \ev|elijei u Malegevu u Makedoniji, zatim uTimo~kom Zaglavku, u okolini Pirota itd.U okolini \ev|elije se doma}ini udru‘uju(kardare) i zajedni~ki dr‘e ovce poba~ijama. Po opisu S. Tanovi}a, svakidoma}in vodi ra~una o svome malu, a istotako i ov~ar. Ov~ar ima drveni rabo{, nakome je onoliko strana, koliko imaudru‘enih doma}ina. Svaka strana rabo{a jenamewena jednom doma}inu. Rabo{ je privrhu probu{en, da bi se uzicom mogao vezatiza pojas, da se ne izgubi. U glavi rabo{a,odmah ispod te rupe, reckama je zabele‘enbroj ovaca svakoga kardara, a te su recke od-vojene malim zarezom sa strane rabo{a.Daqe, u produ‘etku rabo{a, bele‘i sekoli~ina mleka i drugo. Znaci za obele-‘avawe cifara su, na primer: za jedinicuobi~an ubod britvom (sajkom); za pet kosizarez britvom s jedne strane; za deset jednakosa recka; za dvadeset dve ukr{tene recke,

tako da li~e na latini~no slovo H. Ako se,na primer, na rabo{u ho}e da zabele‘i 93,ure‘u se ~etiri oznake, koje li~e na lati-ni~no H, zatim jedna kosa recka kojaozna~ava deset, i najzad se vrhovima britvenaprave tri uboda, {to ozna~ava tri. I uMale{evu doma}ini udru‘uju stada za za-jedni~ku mu‘u. Po J. Pavlovi}u, ovoudru‘ivawe po~iwe na nekoliko nedeqa pre\urdevdana, a traje do sv. Ilije. Na ba~ijamase u rabo{e, koji su duga~ki do 1.5 m.,reckama ozna~ava koliko ko od udru‘enihdoma}ina ima mleka. Na rabo{u se zna mestoza svakog doma}ina i naro~itim reckama jeza svakog ozna~eno koliko ima kopanica(drvenih ~a{a), bakra~a i vedara mleka.

Isti je slu~aj i u timo~komselu Radi}evcu, a i u nekimna{im krajevima. Nekolikolepih primeraka ovih rabo{aima i na{ Einografski muzeju Beogradu." (Citirano premaZ. Kolunxi}u, 1957, str. 80,82).

Jo{ po~etkom 20. veka uBosni i Hercegovini, u kafa-nama, po zidu ili kakvoj speci-jalnoj dasci, upisivano jezarezima kada bi neko popiokafu ili ne{to drugo zadu-‘io, a kada bi izmirio dugovezarezi su brisani.

Kalendar iz kamenog doba:Jedna strana izrezbarenogkomada orlovske kosti iz

kamenog doba, na|ena u Fran-cuskoj. Urezane crtice pred-

stavqaju detaqno obele‘enemese~eve mene.

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

91

Skulptura bogiwe plodnosti isklesanaod komada kre~waka izme|u 27000. i 20000.

godine p.n.e., na|ena u Francuskoj. Rog koji dr‘i bogiwa izrezbaren je

crtama kojih ima onoliko koliko ima lu-narnih meseci u godini.

Savremeni narodi su u odre|enomsmislu sa~uvali naivni simbolizam uozna~avawu brojeva pri igri karata, domina,kocki, ozna~avawu tabli za merewe vo-dostaja itd. ^asovnici otkucavaju onolikootkucaja koliko je sati. Na cifarnicima~asovnika minuti su ~esto ozna~avanicrtama itd.

* * *

Istorijski put broja od konkretnog kaapstraktnom predstavqa i metodi~ki putformirawa pojma prirodnog broja kod dece.U po~etku deca pridru‘uju elemente jednogskupa elementima drugog skupa (bez prebro-javawa elemenata) i uo~avaju koji skup imavi{e, koji mawe elemenata i da li su jedna-kobrojni. Malo dete jo{ dok ne nau~i dabroji, poklapaju}i {ake zna da prstiju imajednako na obe ruke. Pri upore|ivawu ele-menata dva skupa koristimo 1-1pridru‘ivawe. U slede}oj fazi izdvaja sejedan karakteristi~an skup sa kojim seupore|uju ostali skupovi. Tako deca moguuo~iti 5 prstiju, a zatim upore|ivati ostaleskupove sa po 5 elemenata i govoriti daimaju elemenata koliko i skup uo~enihprstiju. Naravno, proces usvajawa pojma pri-rodnog broja kod dece u {kolama, metodi~kije tako oblikovan da je samo nalik na onajistorijski, ali mnogo br‘i. Uo~avaju}i jed-nakobrojnost skupova pridru‘enih uo~enom- karakteristi~nom, izgovara se i nazivbroja, a zatim zapisuje simbol. Kori{}ewesimbola, bez vezivawa za zna~ewe, pred-stavqa apstraktno poimawe broja.

Obra|ene su dve "ma{ine" za zapisi-vawe brojeva. Iako proste, one su odigraleistorijsku ulogu u shvatawu broja kao za-jedni~kog svojstva jednakobrojnih skupova,zanemaruju}i redosled elemenata i wihovuprirodu. Kipue i rabo{e mo‘emo posma-trati kao karakteristi~ne, uzor skupove, sakojima se u 1-1 korespodenciji upore|ujuostali skupovi. Mo‘emo ih uzimati kaopredstavnike klase jednakobrojnih skupova.

Mirko Deji}

92

Literatura

• Bolgarskiy, B.V. (1979): O~erki po istorii matematiki, Minsk, Vì{a® {kola.

• Borodin, A.I. (1986): Iz istorii arifmetiki, Kiev, Vì{a® {kola.

• Guter, R.S., Polunov, Á. L. Polunov (1981): Ot abaka do komp†¥tera, Moskva, Znanie.

• Depman, I, Â. (1965): Istori® arifmetiki, Moskva, ProsveÈenie.

• Áu{kevi~, A.P. (1976): Hrestomati® po istorii matematiki, Moskva, ProsveÈenie.

• Kulunxi}, Z. (1957): Historija pisma, Zagreb, NIP.

• Menninger, K. (1992): Number Words and Symbols, New York: Dover Publications.

• Herodot (1980, prevod Arseni}, M.): Istorija ú, Novi Sad, Matica srpska.

• Wilford, J.N.(2003): String and Knot, Theorz of Inca Writing, New York Times, August, 12.

• http://home.c2i.net/greaker/comenius/9899/indiannumerals/india.html: Numers: Their History andMeaning (2006).

• http://www.maths.adelaide.edu.au/people/pscott/history/katherine/page2.htm: Methods of Countingand Their Uses (2006).

• http://www.agutie.homestead.com/files/Quipu_B.htm: The Quipu Incan Data Structure (2006).

• http://www.math.tamu.edu/~dallen/hollywood/counting/counting.htm: A little counting (2006).

SummaryOne of the basic terms, which is essential for whole mathematics, and all human activities is a

number. At the very beginning a number was inseparable from groups, which were compared accordingto the same. It was understood that there was more of a kind, less or equal. Later on, same numbers weredetached as an abstract term, apart from nature of definite groups. The last phase in forming the term ofa number is its understanding as means of equally counted groups, apart from the places of elements andtheir kind. All these phases were followed by attempts to mark the number and utter its name. We observea primitive way of noting down numbers, which is called naive symbolism. The greatest attention is givento noting down with knots on a string and marks on a tree. Showing historical way in the term of numberdevelopment has the aim of showing methodological way of its forming.

Key words: number, naive symbolism, "kipu", "rabos", knot, tree mark

Po~eci zapisivawa brojapomo}u kanapa i {tapa

93

U postoje}im uslovima burnog razvojanovih tehnologija sve vi{e na zna~aju dobijasadr‘aj obrazovawa svakog pojedinca, pose-bno onaj aspekt sadr‘aja obrazovawa koji seodvija u organizovanoj nastavi, u okviru in-stitucionalizovanih oblika obrazovawa ivaspitawa. Sadr‘aj obrazovawa posebno do-bija na zna~aju zbog ~iwenice da primenanovih nau~nih dostignu}a kroz novetehnologije ne zahteva samo uve}awe broja

eksperata najvi{eg ranga u odre|enojoblasti rada, nego i zbog toga {to savremeni~ovek mora ste}i odre|ena osnovna znawa irazviti odgovaraju}e sposobnosti koje }e muomogu}iti da se prilagodi okolnostima ikqu~nim zahtevima primene novih nau~nihznawa i novih tehnologija. I ovde dolazimodo pokazateqa izuzetnog zna~aja koji u obra-zovawu svakog pojedinca mora da ima razvojintelektualnih sposobnosti, pogotovu u

Izvorninau~ni ~lanak

Rezime: U radu su predstavqena razli~ita odre|ewa znawa, kao i didakti~ke de-finicije znawa u nastavi i razmatrawa o prirodi i osnovnim svojstvima pojedinih oblikaznawa u nastavi, koji predstavqaju sastavni deo sadr‘aja nastavnog programa, uxbenikai nastavnog procesa. Da bi se boqe upoznala priroda procesa saznavawa u nastavi, zadidaktiku kao nauku i za metodike posebnih nastavnih predmeta, zna~ajno je i neophodnodubqe upoznavawe same prirode i osnovnih svojstava znawa u nastavi. Analizom di-dakti~ke i metodi~ke literature posve}ene prou~avawu prirode znawa i procesasaznavawa ustanovqeno je da se, sli~no kao i u okviru logike i gnoseologije, znawe odre|ujena razli~ite na~ine, u skladu sa nagla{avawem nekog posebnog aspekta ili svojstva znawa,koji se odnosi na wegovu unutra{wu strukturu, na~in nastajawa znawa u procesusaznavawa i u~ewa u nastavi, primenqivost znawa i sli~no. Pregledom razli~itih klasi-fikacija oblika znawa ustanovqeno je da postoje razli~iti na~ini razvrstavawa znawau nastavi, odnosno razli~iti kriterijumi razvrstavawa znawa po obliku, slo‘enosti,nivou usvojenosti i shva}enosti i sli~no.

Kqu~ne re~i: znawe, znawe u nastavi, znawe ~iwenica, pojmovno znawe.

Dr Radovan Antonijevi}Institut za pedago{ka istra‘ivawa, Beograd

Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi

UDC 37.013 Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 94-104

94

onoj oblasti koja se neposredno odnosi narazvoj teorijskog mi{qewa, kao i razvojsistema znawa i sistema nau~no-teori-jskih pojmova, koji su neposredno povezani sarazvojem teorijskog mi{qewa. Davidov(1972: 5) posebno nagla{ava da se u tokuizgradwe nastavnog programa, formirawastrukture i sadr‘aja nastavnog programa,mora projektovati sadr‘aj nastave, na os-novu neophodnosti da jedan od kqu~nihciqeva savremene nastave bude formirawezna~ajno vi{eg nivoa sposobnosti mi{qewau~enika, nego {to je to bilo predvi|eno nas-tavnim programima u okviru tradicionalnenastave, odnosno da to mora biti nivo savre-menog nau~no-teorijskog mi{qewa, ~ije sezakonomernosti otkrivaju u okviru materi-jalisti~ke dijalektike, kao logike i teorijesaznawa. Ovaj ciq je u okviru tradicionalneorganizacije nastave i nastavnog programasamo deklarativno postavqan, bez neo-phodne konkretizacije sadr‘aja wegove re-alizacije koja bi bila usmerena na reali-zaciju ovog izuzetno zna~ajnog ciqa nastave.Savremeni razvoj nauke i tehnike i wihovoneposredno ispoqavawe u svim oblastimarada i ‘ivota, kao i potrebe i zahtevi kojeovaj razvoj sobom nosi, upravo name}unu‘nost da se u okviru savremenog insti-tucionalizovanog obrazovawa posvetiodgovaraju}a pa‘wa realizaciji ovog ciqanastave.

U skladu sa polaznim nau~no-teori-jskim stanovi{tem, odnosno prihva}enomteorijskom koncepcijom nastave i procesasaznavawa, u sadr‘aje nastave mo‘e se "ugra-diti" i odre|eni model povezanosti znawa,koji na odgovaraju}i na~in, u mawoj ilive}oj meri, odra‘ava osnovna svojstva razvi-jenog sistema znawa u okviru jedne ili vi{enau~nih disciplina. Znawa koja sa~iwavajusastavni deo sadr‘aja nastave nalaze se u

slo‘enim odnosima me|usobnog pro‘imawai uslovqenosti. To se posebno odnosi naznawa u okviru sadr‘aja pojedinih nas-tavnih predmeta, ali isto tako i name|usobnu povezanost znawa iz razli~itihnastavnih predmeta, izme|u nastavnih pred-meta kod kojih postoji povezanost znawa ipojmova. U sli~nom odnosu vi{estrukepovezanosti i uslovqenosti nalaze se iznawa koja su u~enici usvojili u nastavi.Oblici i kvalitet, nivo i dubina veza i od-nosa koje se uspostavqaju izme|u znawa kojau~enici poseduju, neposredno odre|uju ipredstavqaju nivo i prirodu wihovepovezanosti u celovit i logi~ki dosledansistem znawa, ukoliko ovakav sistem znawapostoji kod u~enika, odnosno ukoliko jeomogu}eno sadr‘ajima nastave da se izgradiu nastavnom procesu sistem znawa koji sekao zna~ajan imperativ name}e u savremenimuslovima, kao va‘an ciq savremenog insti-tucionalizovanog obrazovawa.

Povezanost znawa u okviru sadr‘ajanastave ima veoma slo‘enu i {iroku zasno-vanost. Su{tinsku osnovu povezanostiznawa u nastavi, koja se izra‘ava u vidu pos-tojawa sistema znawa i pojmova, pronalazi-mo u strukturi same nauke, u sistemu znawa,fondu znawa koje odre|ene nau~ne disci-pline poseduju upravo u okviru odre|enogmodela povezanosti znawa koji je karakteri-sti~an za nauku uop{te i za posebne nau~nediscipline. S druge strane, sama nauka zasistem znawa koji poseduje svoje ishodi{tepronalazi u slo‘enoj, vi{estrukojpovezanosti i uslovqenosti predmeta, po-java i procesa u objektivnoj stvarnosti, usvetu koji nas okru‘uje. Ne postoji ni jedanjedini segment objektivne stvarnosti u ko-jem se ne mo‘e uo~iti postojawe slo‘enogspleta me|usobnih veza i odnosa, koji po svo-joj prirodi mogu biti odnosi zavisnosti, us-

Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi

95

lovqenosti, uzajamnosti, uzro~no-posledi~ni odnosi i sli~no. Takvu zas-tupqenost kompleksnih veza uo~avamo ve}kod strukture atoma, kao elementarnih ~es-tica materije, strukture koja, tako|e, imaizuzetno slo‘en sadr‘aj. Mnogostruka islojevita slo‘enost sveta koji nas okru‘ujeposebno se uo~ava u delu objektivne stvar-nosti koji ozna~avamo kao ‘ivu prirodu. Uoblasti ‘ive prirode nalazimo izuzetnoslo‘ene odnose povezanosti i uslovqenosti~ak i najelementarnijih struktura, kao {toje }elija, i na~ina me|usobnog funkcioni-sawa unutra{wih delova te strukture, kao ifunkcionalnih odnosa u odnosu na drugestrukture kojima |elija pripada. Tako|e, i uoblasti dru{tvenih odnosa, a pogotovu uoblasti interpersonalnih odnosa,povezanost i uslovqenost poprima naj-slo‘enije mogu}e forme. U svetu koji nasokru‘uje svi predmeti, pojave i procesipodle‘u slo‘enim i vi{estruko ispreple-tanim mehanizmima uzro~no-posledi~nihodnosa. Bilo koji doga}aj ili proces nezapo~iwe spontano, sam od sebe, niti ijedansegment wegovog odvijawa ima elementeslu~ajnosti, bez obzira na to {to se ~estoslu~ajnost name}e kao jedno od svojstava od-vijawa. Sve je deo jednog {ireg i komleksni-jeg sistema veza i odnosa koji postoji u svetukoji nas okru‘uje i podle‘e razli~itim za-konitostima wegovog funkcionisawa, na os-novu kojih veze i odnosi i postoje.

Kao {to su predmeti, pojave i procesiu svetu koji nas okru‘uje vi{estruko ivi{eslojno povezani i uslovqeni, tako iznawa u okviru nastavnog programa, usadr‘aju nastave, treba da budu izabrana nataj na~in da se u~enicima omogu}i otkri-vawe su{tine pojava koje predstavqajupredmet saznavawa, otkrivawe wihovihslo‘enih unutra{wih veza i odnosa i da se

na osnovu toga omogu}i formirawe sistemaznawa kod u~enika. To je model nastave u~ijim sadr‘ajima je omogu}eno otkrivawe iusvajawe nau~no-teorijskih znawa i pojmovai razvoj operacija nau~no-teorijskogmi{qewa koji su neposredno povezani i us-lovqeni i ~ije usvajawe i razvoj predstavqadeo jedinstvenog procesa saznavawa.Povezanost znawa u takvim sadr‘ajima nas-tave predstavqa wihovo unutra{we,su{tinsko svojstvo.

Na po~etku razmatrawa o osnovnimsvojstvima znawa koje svaka indiviua usavremenim uslovima treba da usvoji, kao io prirodi povezanosti takvih znawa, neo-phodno je izna}i adekvatne odgovore na nizpitawa, kao {to su: {ta je znawe? kojioblici znawa postoje? koja su osnovna svo-jstva odre|enih oblika znawa? i sli~napitawa. Da bi se potpunije shvatila dubinaproblema povezanosti znawa, prirode, nivoai osnovnih svojstava te povezanosti, nu‘noje prethodno po}i od razre{avawaodre|enih nedoumica u vezi s tim, odnosnoizna}i adekvatne odgovore na prethodnapitawa. Jedan od prvih koraka koji je neo-phodno u~initi u odre|ivawu osnovnihkarakteristika znawa kao filozofske,logi~ke, epistemolo{ke, gnoseolo{ke, psi-holo{ke i didakti~ko-metodi~ke kate-gorije, jeste davawe adekvatnih odgovora napitawe {ta je znawe, odnosno poku{ajodre|ivawa definicije pojma "znawe".Odgovori na ovo pitawe postoje u okvirufilozofije, ali i u okviru drugih relevant-nih nau~nih disciplina. Problemom de-finisawa i odre|ivawa osnovnih bitnihkarakteristika znawa bavi se gnoseologija,kao op{ta teorija saznawa, dok se samimnau~nim znawem bavi epistemologija, kaoteorija nau~nog saznawa. Definicije znawapostoje i u okviru psihologije i didaktike i

Radovan Antonijevi}

96

te definicije se odnose na oblike znawakoji predstavqaju posed individue, dakleznawa koje je usvojeno od strane individue.Jasno pojmovno odre|ewe "znawa" pred-stavqa osnovu za odgovaraju}e formulisawei odre|ivawe dubqih, sadr‘inskihproblema u vezi sa qudskim saznawem, kao{to su problem prirode, porekla, oblika,granica saznavawa, strukture i povezanostiznawa kod individue. Svemu tome prethodiproblem odre|ivawa pojma "znawe" i ovajkorak je neophodan da bi se moglo temeqnoraspravqati o su{tinskim svojstvima znawau nastavi.

Odgovore na pitawe o tome {ta jeznawe uop{te, daju filozofi i logi~arikoji nastoje da utvrde osnovne elemente neo-phodne da bi se ne{to moglo smatratiznawem. Razmatraju}i osnovne elemente de-finicije znawa i saznajnog opravdawa, La-zovi} se u odre|ivawu osnovnih nedoumica,kada je u pitawu prihvatawe odgovaraju}e de-finicije znawa, oslawa na tradicionalnudefiniciju znawa, koja glasi: znawe jeistinito opravdano verovawe (1995: 56).Me|utim, tradicionalna definicija znawaje ve} uveliko prevazi|ena u savremenojlogici i gnoseologiji, s obzirom na~iwenicu postojawa brojnih sna‘no argu-mentovanih logi~kih prigovora pojmovnomodre|ewu znawa na ovaj na~in. Getije (E.L.Gettier) nagla{ava da su kqu~ni napori u vezisa problemom odre|ivawa definicije znawa~iweni u pravcu poku{aja neposrednogodre|ivawa nu‘nih i dovoqnih uslova, naosnovu kojih bi se ne~iji iskaz o onome {topredstavqa predmetnu osnovu znawa mogaosmatrati znawem o tom predmetu (Pavkovi},1980: 138). Sadr‘aj definicije znawa mewaose neposredno u pravcu odre|ivawa neophod-nih i nu‘nih uslova, ~ije je prisustvo potre-bno da bi se ne{to moglo smatrati znawem.

Kod ruskog filozofa Tugarinovasaznawe se razmatra kao deo psihe, iz kojeproizilaze ne samo saznajni, ve} i pred-saznajni i bezsaznajni procesi. Sâmo "sazna-jno" Tugarinov odre|uje na slede}i na~in:"Saznajnim se nazivaju takve psihi~ke po-jave i operacije ~oveka koje se sprovode krozwegov razum i voqu, koje su wima isposre-dovane, i koje, shodno tome, kao svoju posle-dicu imaju znawe o ne~emu {to on radi,misli ili ose}a" (1971: 38). U ovom filo-zofskom odre|ewu znawa naglasak se stavqana komponente razuma i voqe koje, premami{qewu autora, predstavqaju osnovuznawa koje ~ovek poseduje. Uz ove dve kompo-nente psihe, tako|e, provla~i se i kompo-nenta delatnosti, kao nezaobilazan ~inilacnastajawa znawa.

U logici, psihologiji i didaktici pos-tojala je potreba da se odrede osnovne karak-teristike odnosa izme|u znawa i pojmova.Odre|ivawe adekvatnih definicija pojmova"znawe" i "pojam" i odre|ivawe prirode wi-hovog me|usobnog odnosa neophodno je da bise izbeglo ~esto pojednostavqivawe ovog od-nosa, kao i poistove}ivawe sadr‘aja znawai sadr‘aja pojma, s obzirom na ~iwenicu dase ~esto "znawe" i "pojam" koriste kao si-nonimi. U logici pojam se odre|uje kaomisao o su{tini onoga {to predstavqapredmet poimawa. Ta misao se izra‘avalogi~kim sudovima kojima se iskazujusu{tinska svojstva predmeta poimawa. Upsiholo{kom smislu sadr‘aj pojma ~ineznawa o odre|enim svojstvima predmeta poi-mawa, odnosno predmeta saznavawa, znawakoja neka individua mo‘e da poseduje. I ovdedolazimo do kqu~nog elementa odnosaizme|u znawa i pojma. Ako sadr‘aj pojma~ine znawa o su{tinskim svojstvima,iskazana u obliku logi~kih sudova, onda semo‘e smatrati da "znawe o ne~emu" pred-

Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi

97

stavqa sastavni element "pojma o ne~emu", stim {to pojam predstavqa {iri, objedi-wuju}i, povezuju}i misaoni model u odnosuna posebna i pojedina~na znawa koja ~inesastavni deo sadr‘aja pojma. Me|utim, nijepogre{no izjedna~iti "pojam" i "op{teznawe", ako se prihvati op{te znawe kaoznawe o odre|enom op{tem odnosu, unu-tra{woj su{tinskoj povezanosti, u okvirunekog predmeta saznavawa. Tako|e, pojam"znawe" koristi se i za ozna~avawe nekesume, skupa znawa, kao zbirna imenica kojomse ozna~ava neka odre|ena grupa znawa.

Kao {to postoji potreba da se u okvirufilozofije postavqaju odre|ena pitawakoja se odnose na prirodu znawa, tako se i uokviru didaktike javqa sli~na potreba.[aranovi}-Bo‘anovi} nagla{ava da se preddidaktikom i teorijom nastave postavqajupitawa: {ta je znawe uop{te? {ta je to {tou~enik treba da zna? i {ta zna~i da nekone{to zna? (1995: 96). Sa ovim kqu~nimpitawima u vezi sa znawem i odre|ivawemsadr‘aja pojma "znawe", povezan je nizdrugih pitawa koja se odnose, izme|u osta-log, na odre|ivawe kriterijuma saznatostine~ega {to predstavqa predmet saznavawa,problem svrhe saznavawa, motivacione os-nove procesa saznavawa i sli~no. Pri kon-cipirawu i realizaciji didakti~kog is-tra‘ivawa odre|enih oblika i svojstavaznawa, na~ina wihovog usvajawa u nastavnomprocesu, kao i osnovnih svojstava znawa kojau~enici poseduju, va‘no je uzeti u obzir os-novne teorijske i empirijske postavkedrugih nauka po ovom pitawu. Na osnovunavedenih razloga, jasno je da se urazli~itim istra‘ivawima u vezi saprou~avawem prirode znawa u nastavi moraostvariti multidisciplinarni pristup i dase samo na taj na~in problemima is-

tra‘ivawa u ovoj oblasti mo‘e pristupititemeqno i sveobuhvatno.

U okviru didaktike kao nauke oslonacza preciznije odre|ivawe pojma "znawe"uglavnom se tra‘i u definicijama ovog poj-ma koje dolaze iz okvira logike, gnoseolo-gije i psihologije. [aranovi}-Bo‘anovi}(1995) nagla{ava da se u okviru didaktikezaostaje u poku{ajima da se preciznije poj-movno odredi "znawe" i "proces saznavawa",nagla{avaju}i da je upravo proces usvajawaznawa jedan od kqu~nih didakti~kih is-tra‘iva~kih problema. Da bi se is-tra‘ivawe procesa usvajawa znawa u nastavirealizovalo kao teorijsko i empirijsko di-dakti~ko istra‘ivawe, nije dovoqno samooslawati se na pojmovna odre|ewa znawa uokviru filozofije, psihologije i drugihnauka, ve} je neophodno da se ovimproblemom pozabavi i sama didaktika. Ovimstavom se nagla{ava potreba da se u okvirudidaktike posveti neophodna pa‘waprou~avawu su{tine znawa, mogu}nostisaznavawa u nastavi, elemenata koji dopri-nose kvalitetu i trajnosti znawa u~enika isli~no, upravo zbog ~iwenice da znawe i samproces wegovog otkrivawa i usvajawa u nas-tavi, odnosno proces saznavawa u celini,predstavqaju kqu~ni ~inilac nastave.

Postoje definicije znawa u kojima senavodi "sistemska" povezanost znawa, kaowegovo osnovno svojstvo. U jednoj od takvihdefinicija podrazumeva se da znawe pred-stavqa upravo povezanost u sistem~iwenica i generalizacija i u ovom slu~ajuse pojam "znawe" koristi u jednom {iremsmislu, odnosno znawe se smatra skupom po-jedina~nih, me|usobno povezanih elemen-tarnih znawa. Na primer, Poqak (1985: 13),navode}i znawe i sposobnosti kao dimenzijeobrazovanosti kod qudi, pod znawem po-drazumeva slede}e: "Znawe je sistem ili

Radovan Antonijevi}

98

logi~ki pregled ~iwenica i generalizacijao objektivnoj stvarnosti koje je ~ovek usvo-jio i trajno zadr‘ao" (podvukao R.A.). Naistom mestu, pod ~iwenicama se po-drazumevaju konkretnosti, odnosno pojedi-nosti o objektivnoj stvarnosti, koje ~ovekupoznaje perceptivnim putem i nagla{eno jeda su ~iwenice, zbog wihovog neposrednogsaznavawa putem ~ula, ~oveku o~igledne, ne-sumwive i evidentne. Pod generalizacijama,odnosno apstrakcijama, ovde se po-drazumevaju razli~iti oblici znawa.

Kod Danilova i Jesipova (1961: 99)znawe se odre|uje na slede}i na~in: "Uznawu su odra‘ene pojave realnog sveta, wi-hova svojstva, veze i me|usobni odnosi, zak-onitosti wihovog razvitka. (...) U svakomnastavnom predmetu znawa su izra‘ena fak-tima, pojmovima, zakonima i nau~nim teori-jama koje su izlo‘ene u odre|enom sistemu,a odra‘avaju realne predmete, procese i po-jave materijalnog sveta" (podvukao R.A.). Uovom odre|ewu znawa autori podrazumevajuda su znawa u okviru nastavnog predmetaizlo‘ena "sistematizovano", u vidu"sistema znawa" u odre|enoj oblasti.Tako|e, nagla{avaju da sam proces usvajawaznawa od strane u~enika predstavqa procespreobra}awa osnova nauka, to jest sistema-tiziranog iskustva ~ove~anstva, u li~nu svo-jinu u~enika, u oru|e wihovog mi{qewa iprakti~ne delatnosti. U ovom slu~aju, kadaje u pitawu odre|ivawe pojma znawa u nas-tavnom programu, pojavquje se odre|ena ne-doumica kod stava o tome da su znawa uokviru nastavnog predmeta "izlo‘ena uodre|enom sistemu". Ta nedoumica se ispo-qava kroz pitawa koja se sama po sebiname}u, a to je da li svako znawe mo‘e bitiu nastavi izlo‘eno u sistemu i {ta seuop{te mo‘e smatrati sistemom znawa u

nastavi. Kod ovih autora ovaj stav nije konk-retnije razmotren.

Kada se razmatraju problemi u vezi sadefinisawem i odre|ivawem osnovnihkarakteristika i oblika znawa, neposrednose name}e i potreba za adekvatnimrazre{avawem problema me|usobnog poj-movnog odnosa izme|u znawa i razumevawa.Problem ovog odnosa ispostavqa niz pitawana koje je neophodno tra‘iti odgovore.[aranovi}-Bo‘anovi} (1995: 101) navodi dase u istra‘ivawima koja se bave gnoseo-lo{kom prirodom fenomena razumevawamogu uo~iti razli~ite tendencije odre-|ivawa su{tine razumevawa, od kojih pose-bno isti~u slede}e dve tendencije: (1)razumevawe se pojavquje kao dubqi oblikznawa i dosti‘e se samo tamo gde se znaweprevodi u odre|eni sistem; (2) razumevawenije samo znawe, ve} proces dubqeg proni-cawa u su{tinu onoga {to se prou~ava.Uo~qivo je da se u okviru ove dve tendencijerazmatra odnos izme|u znawa i razumevawa.Prvi na~in definisawa i tuma~ewarazumevawa odnosi se na obja{wavawerazumevawa posredstvom razli~itih oblikaznawa i predstavqa u odre|enom smislupoistove}ivawe znawa i razumevawa, to jestrazumevawe se u tom slu~aju tuma~i kao"dubqi oblik znawa". Za ovu tendencijutuma~ewa fenomena razumevawa posebno jezna~ajno stanovi{te da razumevawe dolazido izra‘aja kod znawa koja su po svom nivoudeo sistema znawa. U okviru drugog na~inadefinisawa razumevawa prihvata se pristupkoji podrazumeva obja{wavawe su{tinefenomena razumevawa kao oblika saznavawavi{eg nivoa, odnosno nivoa koji omogu}avadubqe i {ire saznavawe onoga {to pred-stavqa predmet saznavawa.

Svako znawe je pra}eno i odgovara-ju}im nivoom razumevawa, tako da se ne mo‘e

Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi

99

ni zamisliti postojawe znawa bezrazumevawa, koje se odnosi na sam predmetsaznavawa, kao i na me|usobnu povezanosttog predmeta saznavawa sa drugim pred-metima saznavawa. Kqu~no pitawe odnosi sena procenu zna~aja razumevawa za nivo, du-binu saznatosti ne~ega, odnosno ovo pitawese mo‘e formulisati upravo na slede}ina~in: u kojoj meri proces usvajawa znawazavisi od razumevawa koja prate processaznavawa? Tako|e, sli~no pitawe mo‘e sepostaviti u odnosu na znawe koje se javqakao ishod procesa saznavawa i na problemwegovog odnosa prema razumevawu. Posebanproblem predstavqa utvr|ivawe odnosaznawa i razumevawa u okviru sadr‘aja nas-tave, kao i u samom procesu usvajawa znawa.Razumevawe predstavqa osnovu znawa, s ob-zirom da razumevawe kao proces predstavqaotkrivawe veza i odnosa u okviru predmetasaznavawa, a sâmo znawe se mo‘e smatratiishodom procesa otkrivawa veza i odnosa.Ukoliko je u~enik u procesu saznavawa uprilici da otkrije unutra{wa, su{tinskasvojstva predmeta saznavawa, ukoliko mu jeomogu}eno da razume odnos tog su{tinskogsvojstva prema drugim svojstvima, utoliko semo‘e re}i da je formirao znawe o su{tin-skom svojstvu (odnosu) kod odre|enog pred-meta saznavawa. Tako|e, razumevawe pred-stavqa i otkrivawe odnosa i veza koje po-stoje izme|u razli~itih predmeta saznava-wa, a to mogu biti konkretni predmeti, po-jave ili procesi u svetu koji nas okru‘uje,odnosa i veza koji po svojoj prirodi mogubiti veoma razli~iti, ali svi u odre|enomsmislu mogu biti predmet razumevawa. Naosnovu navedenog, mo‘e se zakqu~iti da"znati ne{to", posedovati "znawe o ne~emu"ima smisla pre svega ako se mo‘e podrazu-mevati da postoji "razumevawe tog ne~eg"{to predstavqa predmet saznavawa. Iz tih

razloga, razumevawe je posebno zna~ajno i zaformirawe sistema me|usobno povezanih iuslovqenih znawa i pojmova i u zna~ajnojmeri doprinosi formirawu tog sistema.

Kada se poku{ava izna}i adekvatanodgovor na pitawe "{ta je znawe?", istovre-meno se name}e i problem mogu}e klasifi-kacije oblika znawa, uo~avawa razlika irazvrstavawa oblika znawa, s obzirom na~iwenicu da ako se uzme u obzir i samo kri-terijum slo‘enosti za razvrstavawe znawa,lako se mo‘e uo~iti da bi se znawame|usobno bitno razlikovala i po ovomkriterijumu. Nesumwivo je da se znawame|usobno razlikuju prema mnogim svojimsvojstvima. Ako se prihvati da se znawaizra‘avaju logi~kim sudovima, postavqa sepitawe da li je izvor podele oblika znawamogu}e tra‘iti u oblicima logi~kihsudova, odnosno da li je mogu}e prihvatitistanovi{te da se znawa mogu razlikovatime|u sobom na isti ili sli~an na~in kako semogu razlikovati me|usobno logi~ki sudovii to prema u okviru logike prihva}enojpodeli na iskaz, stav, sud i propozicionalnufunkciju. Me|utim, na osnovu utvr|enihlogi~kih svojstava ovih oblika sudova mo‘ese zakqu~iti da su, pre svega, sud i propozi-cionalna funkcija na~ini, logi~ka sredstvaizra‘avawa znawa. Iskaz i stav pred-stavqaju u odre|enom smislu za~etke znawa,odnosno izra‘avawe ne~ega {to tek treba dabude potvr|eno kao znawe o odre|enom pred-metu saznavawa.

Najop{tije razvrstavawe znawa mo‘ese, izme|u ostalog, izvr{iti na dve osnovnegrupe znawa (Pedago{ka enciklopedija 2,1989, 528-529). U prvu grupu znawa spadaju~iwenice i one se karakteri{u na slede}ina~in: "^iwenice su, dakle, pojedinosti,konkretnosti, posebnosti, istiniti podaciili materijalne istine o objektivnoj stvar-

Radovan Antonijevi}

100

nosti; ~iwenice su ~oveku evidentne,prezentne, opa‘qive, neposredne, o~ite, ne-sumwive i saznaju se perceptivnim putem".Me|utim, nagla{eno je da se ~iwenice moguste}i i verbalnim putem, ~itawem islu{awem. U drugu grupu znawa spadaju ap-strakcije, koje se defini{u na razli~itena~ine. Na primer, u formalnoj logici onese odre|uju kao uop{tavawa onoga {to je za-jedni~ko za jednu grupu posmatranih izdvo-jenih fizi~kih predmeta. Uop{te, u okviruprethodno navedenog izvora, pod apstrakci-jama se smatraju slede}i oblici znawa: po-jmovi, pravila, principi, metode, zakoni,definicije, zakqu~ci, dokazi, kategorije,aksiomi, postulati, izvodi, norme, postavke,hipoteze, anticipacije, teorije, misli,ideje, sistemi, simboli, algoritmi, for-mule, jedna~ine, vrednosti i tako daqe. Ikod Poqaka (1985: 14) navedena je identi~napodela oblika znawa koja se smatraju ap-strakcijama. Pri ovom razvrstavawu oblikaznawa uo~qivo je da kriterijum zarazvrstavawe predstavqa, pre svega, nivoslo‘enosti znawa, tako da ~iwenice pred-stavqaju relativno jednostavna znawa, dokrazli~iti oblici apstrakcija predstavqajuu mawoj ili ve}oj meri slo‘ena znawa.Me|utim, uo~qivo je da se u ovom slu~aju nedefini{e sam pojam "apstrakcija", wegovaunutra{wa priroda, kao i sam proces nasta-jawa razli~itih oblika apstrakcije, kojakao pojam predstavqa temeq podele znawa naodre|ene oblike. U ovom slu~aju neobja{wava se veza izme|u ~iwenica i ap-strakcija, odnosno da li se do navedenih ap-strakcija dolazi putem "apstrahovawa"odre|enih svojstva iz grupe ~iwenica ilipostoji i neki drugi put formirawa ap-strakcija. Iz tih razloga, navedeno naj-op{tije razvrstavawe znawa je povr{no inepotpuno, upravo zbog ~iwenice da

slo‘enost znawa mo‘e biti samo spoqa{wikriterijum razvrstavawa znawa, bezmogu}nosti razvrstavawa oblika znawa naosnovu wihove unutra{we prirode.

Pri razmatrawu znawa kao psi-holo{ke i didakti~ke kategorije neophodnoje osvrnuti se na to koji oblici ~ine struk-turu znawa kod individue. U didakti~koj imetodi~koj literaturi upotrebqava se po-jam "elementi znawa". U jednom pedago{komre~niku navedeno je da se pod elementimaznawa podrazumevaju podaci usvojeni izraznih izvora znawa koji se relativno traj-no zadr‘avaju i povezuju u jedinstvenucelinu, u sistem znawa. Navedeno je da ele-mente znawa ~ine raznovrsni sadr‘aji, kao{to su: iskustvo ste~eno u prakti~noj qud-skoj delatnosti, u neposrednom kontaktu sasredinom i aktivnim odnosom prema woj(navike, umewa i ve{tine); perceptivni po-daci (oseti i percepcije) kao neposredniodraz objektivne stvarnosti; razni drugi po-daci ste~eni u~ewem i pam}ewem; misaonoobra|eni, apstrahovani i uop{teni podacipodignuti na stupaw apstraktnog logi~kogznawa (pojmovi, zakqu~ci, pravila, zakoni,generalizacije); svi simboli fiksirani uiskustvu (Pedago{ki re~nik 1, 1967: 291).Uo~qivo je da se u ovom pedago{kom re~nikupod elementima znawa podrazumevaju obliciznawa koji su veoma razli~iti po nivou svojeop{tosti, po na~inu nastanka i ulozi kojuimaju u strukturi znawa individue. Nesum-wivo je i da je povezanost ovih znawarazli~ita po svojoj prirodi, {to nepos-redno zavisi od oblika i sadr‘aja znawa kojaindividua poseduje. I u ovom slu~aju nijeposebno razmatrana i obja{wavana prirodaodnosa izme|u elemenata znawa koji pri-padaju razli~itim kategorijama u okvirunavedene podele elemenata znawa, kao ni toda li su ove razli~ite grupe povezane i u

Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi

101

razvojnom smislu, odnosno da neki od ovihelemenata znawa razvojno prethode jednidrugima ili da su sadr‘ani jedni u drugima.

Prema kriterijumu kvaliteta znawa,odnosno nivoa usvojenosti ~iwenica i ap-strakcija, Poqak (1985: 14) razlikuje petnivoa znawa u nastavi, i to znawe prise}awa,znawe prepoznavawa, znawe reprodukcije,operativno znawe i kreativno (stvarala-~ko) znawe. Pa‘qivom analizom opisa os-novnih karakteristika znawa na ovih petnivoa, uo~ava se mogu}nost uslovnograzvrstavawa znawa na tri op{tija nivoa, ito: nivo reproduktivnih znawa, nivo opera-tivnih znawa i nivo produktivnih (krea-tivnih) znawa.

Prema navedenoj podeli, znawe prise-}awa predstavqa najni‘i kvalitet znawa iwegova osnovna karakteristika ogleda se utome da se ~ovek "prise}a" ne~ega {to je uvezi sa objektivnom stvarno{}u. Kadaobra|uju neki novi sadr‘aj u~enici se samomogu prisetiti da su u~ili ne{to {to jepovezano sa tim sadr‘ajem, ali ne znajuni{ta vi{e o tome. Poqak navodi, naprimer, da se u~enici u nastavi matematikemogu prise}ati pri obradi nekog sadr‘aja izgeometrije da su u~ili o translaciji, aliako ne znaju {ta je translacija i na {ta seodnosi onda se wihovo znawe o tome nalazina nivou prise}awa. Za znawe prepoznavawakarakteristi~no je da u~enici mogu ta~noprepoznati neke sadr‘aje, identifikovatiwihovu pripadnost i znati na {ta se tisadr‘aji odnose, {ta oni izra‘avaju, ali ihne mogu u potpunosti objasniti. Navodi seprimer da prilikom analize nekog teksta iz~itanke u~enici mogu prepoznati vrste re~ikoje tekst sadr‘i, ali ne mogu o wima ni{tavi{e re}i, u smislu wihovog obja{wewa.Znawe reprodukcije karakteri{e se po tome{to su u~enici u mogu}nosti poznavawa

nekih sadr‘aja na tom nivou da ih mogu re-produkovati, sa mawe ili vi{e sigurnosti ipreciznosti. Na primer, ako u~enik ume dareprodukuje matemati~ku jedna~inu zaizra~unavawe kru‘nog prstena, ali nije umogu}nosti da je primeni prilikomre{avawa nekog konkretnog zadatka, mo‘ese re}i da je wegovo znawe na nivou repro-dukcije.

Za znawe operativnosti, to jest opera-tivno znawe (aktivno, primenqivo, funk-cionalno znawe), karakteristi~no je dau~enici koji poseduju znawe ovog nivoa pot-puno sigurno vladaju wime, u mogu}nosti suda obrazlo‘e ono {to predstavqa pred-metni sadr‘aj odre|enog znawa, a naj-zna~ajnije je upravo to {to ta znawa umejuprimewivati u nastavi i izvan we, kao i pozavr{etku odre|enog stupwa obrazovawa.Mo‘e se re}i da u~enici u tom slu~aju mogusa ste~enim znawem operisati, ne samo uokviru sadr‘aja u kojima je to znaweste~eno, ve} i na drugim sadr‘ajima. Poqakkao primer navodi Pitagorinu teoremu izgeometrije, kada u~enik upozna osnovneodredbe ove teoreme u nizu konstruktivnihzadataka, a onda je u stawu da ste~eno znaweprimewuje na primerima razli~itih oblikapravouglog trougla.

Kreativno, odnosno, stvarala~koznawe predstavqa najvi{i nivo znawa posvom kvalitetu, to jest prema nivou usvo-jenosti i dubini razumevawa znawa kojeu~enik poseduje. Za kreativno znawe Poqaknavodi slede}e: "Kreativno ili stvarala~koznawe najvi{i je stupaw u kvalitetu znawa,karakteristi~an po tome da ~ovek na temequste~enog znawa napreduje daqe u stvarawunovih dobara, materijalnih i duhovnih. Tajje stupaw znawa qudski ideal" (1985: 14).Ovaj nivo znawa nalazi se u osnovi svakekreativne delatnosti i u~enika i odraslih,

Radovan Antonijevi}

102

delatnosti koja omogu}ava stvarawe novihmaterijalnih i duhovnih vrednosti. Naprimer, u nastavi tehni~kog obrazovawau~enik mora posedovati znawe na ovom nivouda bi osmislio i izgradio model elektromo-tornog ~amca sa daqinskim upravqawem.Ili, u nastavi materweg jezika, neophodan jenivo kreativnog znawa da bi se pisao rad nabilo koju temu ili kao slobodni sastav, napismenom zadatku. Me|utim, Poqak isti~eda je nivo kreativnog znawa su{tinskipovezan i sa odre|enim crtama li~nostiu~enika. Kreativnost kao jedna od zna~ajnihcrta li~nosti utvr|ena je u psiholo{kimistra‘ivawima koja su se bavilaproblemima odnosa li~nosti i procesastvarala{tva. Tako|e, kreativnost je nepos-redno povezana i sa odre|enim dimenzijamaintelektualnih sposobnosti, koje se uokviru psihologije ozna~avaju kao diver-gentno mi{qewe.

U savremenoj didaktici razmatra sepodela oblika znawa prema kriterijumuna~ina nastajawa znawa, wihove unutra{weprirode i onoga {ta odre|ena znawaizra‘avaju. U tom smislu, znawa se dele naempiristi~ka i nau~no-teorijska znawa(Davidov, 1972, 1986. i 1996; Cvetkovi},1982). Empiristi~ki shva}ena znawa pred-stavqaju po svojoj logi~koj i psiholo{kojformi znawa koja nastaju na osnovu ak-tivnosti posmatrawa spoqa{wih ~ulno-o~iglednih svojstava predmeta, procesa ipojava objektivne stvarnosti ili nastavnihsredstava koja ih izra‘avaju. Uz aktivnostiposmatrawa, u procesu usvajawa ovakvihznawa javqaju se i aktivnosti predstavqawai apstrahovawa, u smislu izdvajawa svojstavana posmatranim objektima koja su zajedni~ka

za posmatranu grupu objekata i odbacivawasvojstava koja nisu zajedni~ka. S drugestrane, znawa koja se imenuju kao nau~no-teorijska znawa odra‘avaju unutra{wasu{tinska svojstva predmeta saznavawa,predstavqaju neki unutra{wi op{ti isu{tinski odnos koji odre|uje sve drugeposebne i pojedina~ne odnose u okviru pred-metnog sistema.

Znawa se mogu bitno razlikovati posvojoj formi i slo‘enosti i na osnovu togaznawa se na odgovaraju}e na~ine svrstavaju uodre|ene oblike. Pregledom klasifikacijaoblika znawa mo‘e se zapaziti da postojerazli~iti na~ini razvrstavawa znawa, tojest razli~iti kriterijumi razvrstavawaznawa po obliku, slo‘enosti, nivou usvo-jenosti i shva}enosti, dubini razumevawapredmetnog sadr‘aja na koji se odnose isli~no. Postojawe razli~itih oblika znawaimplicira i ~iwenicu da postoje i razlikeu vezama i odnosima, razlike u povezanostiizme|u znawa u razli~itim kategorijamaoblika znawa, kao i izme|u razli~itihoblika znawa. U saznawu individue, s obzi-rom na to da su prisutna znawa razli~ita poobliku, op{tosti, dubini saznatosti pred-meta saznavawa i sli~no, postoji slo‘enastruktura povezanosti znawa, {to trebauzeti u obzir prilikom istra‘ivawa pri-rode i nivoa povezanosti znawa.

NAPOMENA: ^lanak predstavqa rezultat

rada na projektu Obrazovawe za dru{tvo znawa, broj

149001 (2006-2010), ~iju realizaciju finansira Minis-

tarstvo nauke i za{tite ‘ivotne sredine Republike

Srbije.

Pojam "znawe" i oblici znawa u nastavi

103

Literatura

• Antonijevi}, R. (2000): "Nau~no-teorijski pojmovi kao osnova sadr‘aja nastave", Pedagogija, br. 3-4,455-460.

• Cvetkovi}, @. (1982): Usvajawe pojmova u nastavi. Beograd, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva.

• Cvetkovi}, @. (1995): "Uloga op{tih znawa u saznavawu posebnog i pojedina~nog", Saznavawe i nas-tava (171-194), Beograd, Institut za pedago{ka istra‘ivawa.

• Davìdov, V.V. (1972): Vidì obobÈeni® v obu~enii: Logiko-psihologi~eskie problemì postroeni®u~ebnìh predmetov, Moskva, Pedagogika.

• Davìdov, V.V. (1986): Problemì razviva¥Èego obu~eni®: opìt teoreti~eskogo i Ìksperimen-tal†nogo psihologi~eskogo issledovani®, Moskva, Pedagogika.

• Davìdov, V.V. (1996): Teori® razviva¥Èego obu~eni®, Moskva, Rossiyska® Akademi® obrazovani®.

• Danilov, M.A. i B.P. Jesipov (1961): Didaktika, Sarajevo, Veselin Masle{a.

• Il†enkov, Õ. V. (1984): Dialekti~eska® logika, Moskva, Izdatel†stvo politi~eskoy literaturì.

• Lazovi}, @. (1995): "Znawe i saznajno opravdawe", Saznavawe i nastava (55-74), Beograd, Institut zapedago{ka istra‘ivawa.

• Pavkovi}, A. (red.) (1980): Svest i saznawe, Beograd, Nolit.

• Pedago{ka enciklopedija 1-2 (1989): Beograd, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva.

• Pedago{ki re~nik 1-2 (1967): Beograd, Zavod za izdavawe uxbenika Socijalisti~ke repu-blike Srbije.

• Poqak, V. (1985): Didaktika, Zagreb, [kolska kwiga.

• [aranovi}-Bo‘anovi}, N. (1989): Teorijske osnove saznavawa u nastavi, Beograd, Institut zapedago{ka istra‘ivawa i Prosveta.

• [aranovi}-Bo‘anovi}, N. (1995): "Znawe i razumevawe u nastavi", Saznavawe i nastava (95-114),Beograd, Institut za pedago{ka istra‘ivawa.

• [e{i}, B. (1974): Logika, Beograd, Nau~na kwiga.

• Tugarinov, V.P. (1971): Filosofi® soznani®, Moskva, Mìsl†.

SummaryDifferent determination of knowledge is presented in this paper, as well as didactic definitions of

knowledge in teaching and disusing nature and basic characteristics of some forms of knowledge whichrepresent the basic part of the contents of the curriculum, course book and teahing process. In order toknow better the process of cognition in teaching, didactics as science and methodologies of particularteaching subjects, it is important and essential to know deeper the very nature basic forms of knowledgein teaching. Analysing didactic and methodological reference books, devoted to studying nature of knowl-edge and process of cognition, it has been determined that similarly to logic and gnoselology, knowledgeis determined in different ways, in accordance with stressing a special aspect or characteristic of knowl-edge, which refers to its inner structure, ways of forming knowledge in the process of cognition and learningin teaching, application of knowledge etc. Review o different classifications of the forms of knowledge, ithas been seen that there are different ways of differentiation of knowledge in teaching, i.e. different criteriaof differentiating knowledge according to form, complexity, level of adoption, understanding etc.

Key words: knowledge, knowledge in teaching, knowledge of facts, term knowledge

Radovan Antonijevi}

104

Ciq ovog rada je da prika‘e pregledsrpskih ekvivalenata jezi~kih sredstava zaizra‘avawe restrikcije u francuskom jezi-ku i da na taj na~in pomogne pri prevo|ewusa francuskog jezika na srpski (i obrnuto).Tako }emo videti da li takvi ekvivalentipostoje, da li su brojniji ili nisu u odnosuna francuski jezik i da li bismo i u srpskomjeziku mogli da izvr{imo neke klasifi-kacije sli~ne onima u francuskom.

U ovom radu bavi}emo se restrikcijomu {irem smislu koja podrazumeva:

• ograni~avawe sadr‘ine neke re~eniceili nekog re~eni~nog konstituenta na

zna~ewskom planu, kao su‘avawedoma{aja sadr‘ine nekog konsti-tuenta ili neke re~enice (ovo jezna~ewe pojma restrikcije u u‘emsmislu);

• izdvajawe, morfolo{kim ili sin-taksi~kim sredstvima, zna~ewa jednogre~eni~nog konstituenta iz zna~ewaceline koju predstavqa cela re~enicaili izdvajawe zna~ewa cele jednere~enice iz zna~ewa neke ve}e celine(ovo je zna~ewe pojma izuzimawa).

Pre svega treba ukazati na to da pos-toji zna~ajna razlika izme|u lingvisti~ke

Dr Ana Vujovi}U~iteqski fakultet, Beograd

Izvorninau~ni ~lanak

Srpski ekvivalenti jezi~kihsredstava za izra‘avawerestrikcije u francuskom jeziku

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 105-112 UDC 81’242/245’

Rezime: S obzirom na to da u literaturi o francuskom i srpskom jeziku nijeposve}eno dovoqno pa‘we problemu restrikcije, ovim radom ‘eleli smo da, pre svega,odredimo {ta pod tim pojmom podrazumevamo (imaju}i u vidu terminolo{ke razlikeizme|u gramatika dva jezika), a zatim i da izdvojimo jezi~ka sredstva za izra‘avawerestrikcije i uporedimo ih u oba jezika. Tako|e smo uz brojne primere poku{ali da objas-nimo upotrebu ovih jezi~kih sredstava, a ciq nam je bio da olak{amo razumevawe ovihizraza i prevo|ewe sa jednog jezika na drugi. Zakqu~ili smo da su ova sredstva u srpskomjeziku mawe brojna nego u francuskom, ali da ipak uspevaju da izraze sva brojna i razli~itazna~ewa kao i ona u francuskom. U oba jezika mo‘e se izvr{iti gotovo identi~na klasi-fikacija ovih sredstava.

Kqu~ne re~i: izra‘avawe restrikcije, srpski jezik, francuski jezik, prevo|ewe

105

terminologije u francuskom i slovenskimjezicima. Naime, po nekim autorima, uslovenskim jezicima pod restrikcijom po-drazumeva se ne{to sasvim druga~ije nego ufrancuskom: tako u imeni~koj sintagmimlada devojka pridev mlada ograni~ava deno-taciju pojma devojka, pa se naziva restrik-tivnim modifikatorom ili ~e{}e restrik-tivnim atributom. U takvoj lingvisti~koj igramati~koj terminologiji restrikcija sestavqa nasuprot apozicije, a i jedna i drugasu dve vrste atributa imeni~ke sintagme.1

U lingvisti~koj literaturi o srpskomjeziku izuzetno se mo‘e na}i termin "re-strikcija" u zna~ewu u kojem on ima u fran-cuskom jeziku, uglavnom kod onih autora kojisu romanisti i bave se kontrastirawemsrpskog sa nekim romanskim jezikom.2 M.Stevanovi} i Q. Popovi} nigde i ne pomiwupojam restrikcije, ve} samo iskqu~nenaporedno-slo‘ene re~enice.3 P. Piper idrugi restriktivnost pomiwu u vezi sa rela-tivnim restriktivnim klauzama, ali isti~ui restriktivne predloge osim i sem i kon-strukcije restriktivnog zna~ewa saprilo{kim izrazom sa izuzetkom i glagol-skim prilogom u funkciji predloga izuzev:

U kosmosu nema nikog osim nas. (Piperi dr. 2005:709)

Do{li su svi izuzev / sa izuzetkomIvana. (Piper i dr. 2005:979)

Postoje i glagolske grupe sa restrik-tivnim kvantifikatorima (sa implicitnomnegacijom):

Bez poziva su ulazili samo hitnislu~ajevi. = Bez poziva nije ulazio niko

osim hitnih slu~ajeva. (Piper i dr.2005:823)4

U francuskom jeziku naj~e{}a sred-stva za izra‘avawe restrikcije su priloziseulement i uniquement kojima odgovaraju samoi jedino u srpskom, kao i sintaksi~ki obrtne...que koji se tako|e prevodi sa samo. Iakou srpskom postoje ekvivalenti jezi~kihsredstava za izra‘avawe restrikcije ufrancuskom, o wima se u gramatikama ipriru~nicima srpskog jezika malo govori.Naj~e{}e ili jedino pomiwu se ona sredstvakoja uvode iskqu~ne re~enice u sistemukoordinacije. Iskqu~ni ili eksceptivniodnos javqa se u naporednoj konstrukciji ukojoj se sadr‘aj druge re~enice iskqu~uje izonoga {to zna~i prva re~enica. Kaoobele‘je iskqu~nog odnosa upotrebqavajuse veznici, odnosno vezni~ki spojevi: samo({to), jedino ({to), tek ({to), ve}({to).5

Ni{ta mu ne re~e, samo blagim o~imapokaza put vrata. (Stevanovi}, 1979:813)

Trpio sam svakojake muke, tek {to memlin nije mlio. (Stevanovi}, 1979:813)

Celo sam dru{tvo zabavqao svojimpri~ama, jedino wega ni{ta od toga nijezanimalo. (Stevanovi}, 1979:813)

Nikuda i ne izlazi, ve} {to malopro{eta po parku. (Stevanovi}, 1979:813)

U prvoj od dve naporedne re~enice~esto se nalazi i neka re~ op{teg iliodri~nog zna~ewa (svi, ceo, potpun, niko,ni{ta) ~ime se ukazuje na celovitostzna~ewa te re~enice da bi se jasnije ukazalona su‘avawe te celovitosti koje izra‘avadruga, iskqu~na re~enica:1) Videti: Z. Topoliwska 1981:1-11 U sli~nom

zna~ewu termin "restriktivan" koristi i D.Kristal 1985: 226.

2) Kao P. Tekav~i} 1984: 4-20.

3) M. Stevanovi} 1979: 813; @. Stanoj~i}, Q. Popo-vi} 2005: 356-357.

4) P. Piper 2005: 136, 196, 211,281, 709, 823 i 979.

5) Uporediti: M. Stevanovi} 1979: 813; M. Minovi},M. Ajanovi} 1986:237; R. Kati~i} 1986:170; @.Stanoj~i}, Q. Popovi} 2005:356-7.

Ana Vujovi}

106

Svi su se vratili ku}i, samo je Zorannastavio put. (Stanoj~i}, Popovi}, 2005:356)

Celo leto je bilo suvo, samo {to jepo~etkom avgusta padala ki{a. (Stanoj~i},Popovi}, 2005: 356)

Pored ovog ~isto restriktivnog zna~e-wa, prilog samo mo‘e na po~etku re~eniceda izra‘ava i opoziciju, kao {to to ~ini iwegov ekvivalent seulement u francuskomjeziku:

Ja ti mogu ba{ i prodati, samo bojimse da ne bude za te skupo. (Re~nik Maticesrpske i Matice hrvatske, 1973. V: 621)

Nije vredelo ni pomiwati, samo odtada nije vi{e nosio uz sebe oru‘je. (Vel-mar-Jankovi}, 1986: 103)

Samo mo‘e da ima i afektivnazna~ewa nedoumice, razmi{qawa ili pod-sticawa sagovornika da ne{to u~ini time{to mu se kazuje da se ne obazire ni na {tadrugo. Sva ova zna~ewa razvila su se ipak izosnovnog zna~ewa restrikcije:

Gdje je samo prona{la kavu, kad je nigdjenema. (Tekav~i}, 1984:8)

Izvrsno, mladi}u, samo nastavitetako... (Tekav~i}, 1984:8)

Prilog jedino komutabilan je sa samou svim slu~ajevima ~isto restriktivnogzna~ewa, ali ne i u onima u kojima samopored restriktivnog ima i razna afektivnazna~ewa (kao {to su posledwa dva primera).Isto va‘i i za wegov francuski ekvivalentuniquement.

Isto zna~ewe ~iste restrikcije bezafektivnih zna~ewa ima i tek ({to), kao iwemu sli~no, ali veoma retko istom:

No Mu‘evi}u se ve} ‘urilo poradiposjeta. Sad je istom na po uha slu{ao.(Tekav~i}, 1984: 11)

Obe ove re~i mogu imati i vremenskozna~ewe "ranije/kasnije nego {to", ali ~aki onda izra‘avaju restrikciju, odnosno"ni‘i stepen nego {to se o~ekivalo".6 Ufrancuskom jeziku bi ekvivalenti izrazatek ({to), istom, ve} ({to) mogli bitiseulement i uniquement.

Zna~ewe izuzimawa imaju jo{ i pred-lozi osim i sem naj~e{}e upotrebqeni is-pred re~i u genitivu, tako da izuzimaju sveostalo van onoga {to zna~i pojam u genitivu.Francuski ekvivalenti su excepté i sauf.

Ja ni{ta drugo ne vidim osim zemqe.(Stevanovi}, 1979:287)

U zna~ewu izuzimawa osim se mo‘eupotrebiti i uz ostale pade‘ne oblike ufunkciji eksceptiva:

To ne ~ini ni jedna druga ‘ivotiwaosim ~ovek. (Stevanovi}, 1979: 288)

Dru‘io se sa svima osim/sem sa tim~ovekom. (Piper i dr. 2005:173)

Ali nije primetio da se Knegiwa bilosa kim, osim sa wim, susre}e. (Velmar-Janko-vi}, 1986: 147)

Ova dva predloga mogu se upotrebiti iu sastavu izraza osim/sem {to (u fran-cuskom excepté que, sauf que) kada uvode pose-bnu vrstu zavisnih re~enica, eksceptivnere~enice ili zavisne re~enice za izuzi-mawe:7

U sobi je vladala ti{ina, osim {to se~ulo kucawe zidnog sata. (Popovi},2005:356)

Osim {to je selo doveo u red, uredio jei svoju ku}u. (Stevanovi}, 1979:288)

6) Videti: P. Tekav~i} 1984: 11

7) Ovu posebnu vrstu re~enica (pored onih kojeizra‘avaju mesto, na~in, vreme, uzrok i sl.)razlikuje Q. Popovi}. Uporediti: @. Stanoj~i},Q. Popovi} 2005:357.

Srpski ekvivalenti jezi~kih sredstava za izra‘avawe...

107

Osim {to su joj tabani bili izgre-bani o{trim kamewem preko koga je be‘ala,sve ostalo na woj je bilo ~itavo. (Nenadi~,1987: 33)

Sa istim zna~ewem, ali daleko re|i uupotrebi su i prilozi izuzev i iskqu~ivo odkojih je ovaj drugi pre re~ administrativnogi nau~nog jezika koja se re|e sre}e u govoru.

Mora da je bogat jer pu{i iskqu~ivostrane cigarete. (Tekav~i}, 1984:13)

Lica, izuzev glavnu junakiwu, i danasjo{ ‘ive. (Re~nik Matice srpske i Maticehrvatske, 1967, úú: 439)

Ipak je ~e{}a i uobi~ajenija upotrebare~i izuzev kao predloga ispred genitivakoji ima isto eksceptivno zna~ewe kao pred-lozi osim i sem:

Dono{ewe odluke o postavqewudnevni~ara, izuzev lekara, hemi~ara i apo-tekara... prenosim na {efove ustanova.(Re~nik SANU, 1971, VII: 652)

Sastanku su prisustvovali svi~lanovi sekcije izuzev gospodina Jovano-vi}a. (Piper i dr. 2005:173)

Uz genitiv sa zna~ewem izuzimawajedne pojave (osobe, predmeta, apstraktnogpojma) iz mno{tva ostalih prisutnih ili od-sutnih istovrsnih pojava mo‘e se koristitii predlo{ka instrumentalna konstrukcija sizuzetkom:

Svi poslanici su glasali za vladinpredlog s izuzetkom poslanika Demokrat-ske stranke. (Piper i dr. 2005:173)

Restriktivnost mo‘e biti iskazana ipomo}u oblika izuzimaju}i ili izuzev{i:

Izuzimaju}i Petra, svi weni pri-jateqi do{li su na tu sve~anost. (Piper idr. 2005:877)

Francuski ekvivalenti ovih priloga,predloga i predlo{ke konstrukcije su: ex-

cepté, sauf, à l’exception de, à l’exclusion de, à laréserve de, excepté/hors le cas où.

Upotreba priloga bar i barem u re-striktivnom zna~ewu (francuski ekviva-lenti su au/du moins, tout au moins/plus, pour lemoins, à tout le moins) ne pomiwe se u gramati-kama i priru~nicima srpskog jezika koje smomi koristili, dok se u re~nicima ka‘e daoni izra‘avaju izvesno ograni~ewe ure~enici:

Ne pro|e ni jedan dan, a da se ne desi barnekoliko ubistava. (Re~nik SANU, 1959, I:297)

Nadala se da isku{ewa, bar onih naj-te‘ih, vi{e ne}e biti. (Velmar-Jankovi},1986: 161)

Ama, pusti me, da se barem razgova-ramo. (Re~nik Matice srpske i Maticehrvatske, 1967, I: 140)

Primetili smo da se u oba jezika re-strikcija u {irem smislu naj~e{}eizra‘ava zajedno sa hipoteti~kim, kompara-tivnim, uslovnim i optativnim zna~ewem.

Kada se restriktivno zna~ewe izra-‘ava zajedno sa hipoteti~kim, koriste sesredstva za izra‘avawe restrikcije (ovdeshva}ena u u‘em smislu) zajedno sa hipo-teti~kim veznikom ako (u francuskom si):samo ako, jedino ako, samo/jedino u slu~aju da,samo/jedino pod uslovom da... (seulement si,uniquement si, ne…que si, seulement / uniquementdans le cas où, seulement / uniquement à conditionque... ). Ovde bismo mogli navesti i izraze ire~enice sa ustaqenim oblikom kojeizra‘avaju restrikciju i hipotezu, a imajuoblik zavisnih hipoteti~kih re~enica. Onehipotezu izra‘avaju kao uslov, pret-postavqawe, oklevawe, nesigurnost govor-nog lica u odnosu na ono {to je izre~eno ure~enici (ako se izuzme, ako se ne varam, akoje istina.. - si l’on excepte, si l’on ne tient pas

Ana Vujovi}

108

compte de ce que, si je ne me trompe, si je nem’abuse, si je ne fais erreur, s’il est vrai que, si tantest que).

Mogu}e je i zajedni~ko izra‘avaweizuzimawa i hipoteze koje kazuje da se ono{to je izre~eno u glavnoj re~enici ostvaruje(ili, pak, ne ostvaruje, zavisno od toga da lije glagol u potvrdnom ili odri~nom obliku)u svim slu~ajevima sem u onom koji je izre~enu zavisnoj re~enici. Kao i u malopre pomi-wanom izra‘avawu restrikcije i hipoteze,i ovde se to ~ini u slo‘enoj kondicionalnojre~enici i koriste se neka od sredstava kojasu slu‘ila za izra‘avawe samog izuzimawa(osim, sem), ali obavezno sa veznikom ako (ufrancuskom excepté i sauf sa veznikom si, kaoi vezni~ki izraz à moins que koga ispred in-finitivne re~enice ili imeni~ke grupezamewuje predlo{ki izraz à moins de, a u ne-govanom kwi‘evnom jeziku ponekad i obrtque…ne). Blisko je i zna~ewe izraza osimako ne, ni{ta (drugo)... osim da, u suprot-nom (u francuskom: si ce n’est (que) i sinon(que), rien d’autre… sinon que) koji, za razlikuod prethodnih, imaju u svom sastavu inegaciju, pa uvode negativan uslov. Blisko isrodno ovom zna~ewu je i ono koje imajuizrazi da nije, da ne be{e, kad ne bi bilo (nafrancuskom n’était que, n’eût été que, za kojeneki autori misle da su skra}eni obliciizraza si ce n’ était pas i si ce n’eût pas).8 Uslo‘enim hipoteti~kim re~enicama u fran-cuskom jeziku mo‘e se sa restriktivnimzna~ewem upotrebqavati i vezni~ki izrazpourvu que ~iji su ekvivalenti u srpskomsamo ako i samo da. Pourvu que ne mora uvekda izra‘ava ‘equ govornog lica, iako je to~esto slu~aj kako u re~enicama koje su posvojoj formi slo‘ene kondicionalnere~enice, tako i u eksklamativnim re~eni-

cama (koje su po svojoj formi zapravo zavi-sne kondicionalne re~enice). U ovakvojupotrebi ekvivalenti u srpskom su samo da isamo kad bi.

Postoje u francuskom jeziku i nekere~i i izrazi koji su po svojoj formi kompa-rativni ili relativni elementi i ~ije jeosnovno ili ranije zna~ewe komparativnoili relativno, a koji mogu da slu‘e i zaizra‘avawe restrikcije. Oni ujednoizra‘avaju pretpostavqawe i nesigurnost,rezervu koju govorno lice ispoqava u odnosuna ono {to je izre~eno u glavnoj re~enici.Takva jezi~ka sredstva su pre svih autant quei pour autant que, zatim re|i, ali wima sli~anpour peu que, izraz que je sache koji se uvekupotrebqava kao umetnuta re~enica i rela-tivni obrt à ce que (je sais i sl.) sa istimzna~ewem. Tu mo‘emo ubrojati jo{ i razneizraze sa re~ju mesure od kojih je naj~e{}idans la mesure où i koji izra‘avaju i idejuproporcionalnosti, restrikcije uodre|enoj meri. Ovim izrazima u srpskomodgovaraju: (onoliko) koliko, u meri u kojoj,koliko je (meni) poznato, koliko ja znam.

Dobra~a je poku{ao da postane ine~ujan i nevidqiv, koliko se to moglo.(Velmar-Jankovi}, 1986: 108)

Izraz pour peu que se na neki na~in od-vaja od ostalih u ovoj grupi jer ima i hipo-teti~ko zna~ewe sli~no onom koje imapourvu que, ali ne mo‘e kao ono da izra‘ava‘equ govornog lica. U srpskom jeziku bi muodgovaralo samo ako malo.

Iako osnovno sredstvo za uvo|ewekomparacije u srpskom jeziku, kao ne morauvek da ima poredbeno zna~ewe: tako i fran-cuski comme i en tant que, koji su po svojojformi komparativni predlog i predlo{kiizraz, mogu imati ~isto restriktivnozna~ewe.

8) Up. G. Keru i dr. (G. Cayrou et al. 1949:247).

Srpski ekvivalenti jezi~kih sredstava za izra‘avawe...

109

U izra‘avawu restrikcije u fran-cuskom i srpskom jeziku postoji i jednazna~ajna razlika. Dok u francuskom obaprideva seul i unique imaju restriktivnozna~ewe, s tim {to seul ima dva zna~ewa("jedini" i "sam"), u srpskom pridev sam,koji odgovara francuskom seul, ima samozna~ewe "sam" pa nema nikakvo restrik-tivno zna~ewe. Zna~ewe restrikcije imasamo pridev jedini koji odgovara fran-cuskom unique.

Jedini koji je s wim govorio na ravnojnozi bio je Pahomije. (Nenadi~, 1987:10)

...i ovo je bila jedina prilika da se se-barski svet razgali. (Nenadi~, 1987:12)

...neprekidno trepere slojevi svet-losne pra{ine koja jedina pamti sve {to sezbivalo i {to se zbiva. (Velmar-Jankovi},1986: 13)

Ovakav pregled leksi~kih sredstava zaizra‘avawe restrikcije u srpskom jezikupokazuje nam da ona mogu slu‘iti zaograni~avawe zna~ewa pojedinihre~eni~nih konstituenata:

Sem ~udom, ni~im se drugim to nijedalo objasniti. (Nenadi~, 1987:12)

Ko otpusti svoju ‘enu, osim zbogbludni{tva, te se o‘eni drugom, ~ini pre-qubu. (Nenadi~, 1987:35)

Ona se vi{e ni sa ~im ne mo‘e spojitisem sa samom sobom. (Nenadi~, 1987:37)

Kombinovawe jezi~kih sredstava zaizra‘avawe restrikcije sa veznicima ({to,ako, da) omogu}ava stvarawe izraza sa re-striktivnim zna~ewem koji slu‘e zauvo|ewe restriktivnih re~enica:

...ti novi stihovi nisu bili ni{taboqi nego stari, samo {to to sada nijeimalo zna~aja... (Velmar-Jankovi}, 1986:140)

Osim {to je vrlo stara, ova je drugaku}a i vrlo uska i vrlo izbledela. (Velmar-Jankovi}, 1986: 77)

U takovom konaku mo‘e ~ovjek biti,ako ho}e mjesec dana... bez dinara, osim ako{to pokloni slugama, kad po|e. (Rje~nikJAZU, 1924-27, IX: 196)

Obe}a joj da }e je vjen~ati, samo ako sepo zakonu Hristovu vjen~a. (Rje~nik JAZU,1955, XIV: 565)

[ta da u~ini samo da se to ne dogodi?(Velmar-Jankovi}, 1986: 158)

Sintaksi~ki obrt koji izra‘ava nega-ciju restrikcije u francuskom jeziku, a nemasvoj ekvivalent u srpskom i stoga veoma ~e-sto predstavqa posebnu te{ko}u pri u~ewufrancuskog jezika ili prevo|ewu, jeste obrtne ... pas que koji je naj~e{}e sredstvo za negi-rawe restrikcije u modernom francuskomjeziku i pitawe iz oblasti prou~avawa re-strikcije u jeziku koje je iza-zvalo najvi{epolemika, neslagawa i ~ak dijametralno su-protnih stavova. Iako ga izvestan broj gra-mati~ara i pisaca odbacuje i smatra pogre-{nim ili odlikom govora prostog naroda,9 aizvestan broj ga stidqivo ko-risti samo is-pred prideva ili participa u funkcijiatributa,10 ovaj obrt je na{ao svoje mesto uupotrebi velike ve}ine autora. Wegovo pos-tojawe i ~esta upotreba opravdani su potre-bom za jednim jasnim sredstvom za negirawerestrikcije, pa ga tako mnogi gramati~arismatraju ispravnim.11 Po{to obrt ne...queima isto zna~ewe kao prilog seulement, uba-civawem jednog pas izme|u ne i que daje seodri~an smisao celom obrtu koji se onda nasrpski prevodi kao ne samo. Obe klauze uve-dene sa ne samo...nego... su negativne, a vez-

9) Takvo stanovi{te zastupaju: E. De{anel, E. Li-tre, A. Erman i Francuska akademija, o ~emusvedo~i @. Muawe (G. Moignet 1959: 200).

10) Kao @. Ans (J. Hanse 1949:463)

Ana Vujovi}

110

ni~ko-negacijska sprega dopuwena je re~comsamo.12

Wegova je igra bila ne samo smela negoi smelo odigrana. (Velmar-Jankovi}, 1986:22)

Na Kneza su sada motrili ne samosrpski ‘andarmi i ruski {pijuni nego i we-gov brat Jevrem i wegova ‘ena Qubica.(Velmar-Jankovi}, 1986: 22)

To ne samo {to mu je bio prvi poraznego i poraz {to opomiwe a mora se ot-platiti. (Velmar-Jankovi}, 1986: 89)

Naj~e{}e sredstvo za izra‘avawe re-strikcije u srpskom jeziku je re~ samo,sli~no kao i wen francuski ekvivalentseulement. Za razliku od francuskog u kojemje naj~e{}e kori{}en sintaksi~ki obrtne...que, u srpskom je broj sintaksi~kih sred-stava za izra‘avawe restrikcije veoma malii ona su znatno re|e u upotrebi odleksi~kih. Prakti~no jedini obrt koji sekoristi u srpskom je ne...nego, a svi drugi susamo wegove varijante: ni{ta (drugo)do/nego, nemati...do/nego, ne biti...do/nego,ni{ta (drugo) osim da.

...‘bice koje isijavaju sa o{trih bri-dova nisu ni{ta drugo nego okamewene suzenevinih devica... (Nenadi~, 1987:6)

Fra Jozu nije preostajalo ni{tadrugo nego da se okrene i da ode. (Nenadi~,1987:19)

Podele jezi~kih sredstava zaizra‘avawe restrikcije koje smo sa~inili ufrancuskom jeziku poku{ali smo da pri-menimo i na srpski jezik. Po na{emmi{qewu, ova sredstva u francuskom jezikumogu se klasifikovati na tri na~ina:

• prema jezi~kom nivou kome pripadaju(leksi~ka i sintaksi~ka);

• prema vrsti jezi~kih jedinica kojimapripadaju (predlozi, predlo{kiizrazi, veznici, vezni~ki izrazi,prilozi, predlo{ke grupe uprilo{koj funkciji, pridevi, izrazii re~enice sa ustaqenim oblikom, sin-taksi~ki obrti)

• prema tome na koju vrstu jezi~kih jedi-nica se odnose i ograni~avaju imzna~ewe (jezi~ka sredstva kojaograni~avaju zna~ewe re~enice i onakoja ograni~avaju zna~ewe samo nekihre~eni~nih konstituenata).

U srpskom jeziku, podela ovih sred-stava prema tome kom jezi~kom nivou pri-padaju pokazuje da su gotovo sva ova sredstvaleksi~ka, pa nam se mo‘e ~initi da su takva~ak i ona kao {to su razni sintaksi~kiobrti, varijante obrta ne...nego, jer bi se iza wih moglo re}i da jasno, samim svojimzna~ewem, izra‘avaju restrikciju kao i svaostala jezi~ka sredstva za izra‘avawe re-strikcije. Ostale dve podele jezi~kih sred-stava za izra‘avawe restrikcije u srpskomne razlikuju se znatno od istih takvihpodela u francuskom jeziku.

Na osnovu ovog pregleda jezi~kih sred-stava za izra‘avawe restrikcije u srpskomjeziku i pore|ewa sa onima koja postoje ufrancuskom, do{li smo do zakqu~ka da suova sredstva u srpskom mawe brojna nego ufrancuskom jeziku. Tako bi se, na primer,kao srpski ekvivalenti vi{e francuskihizraza (sauf / excepté si, à moins que, que…ne,pourvu que) mogla navesti samo dva izraza:osim ako i sem ako. Me|utim, iako mawe bro-jna, jezi~ka sredstva za izra‘avawe restrik-cije u srpskom jeziku mogu da izraze sva bro-jna i razna zna~ewa kao i ona u francuskomjeziku.

11) Kao @. i R. Le Bidua (G. i R. Le Bidois 1968, I:330 ,M. Koen (M. Cohen 1963:82-82), A. Doza (A. Dauzat1958:330).

12) Videti: R. Simi}, J. Jovanovi} 2002:1232.

Srpski ekvivalenti jezi~kih sredstava za izra‘avawe...

111

Korpus

• Velmar-Jankovi}, Svetlana (1986): Dor}ol, Beograd, BIGZ.• Nenadi~, Danilo (1987): Divqe zvezde, Beograd, Narodna kwiga.

Literatura• Cayrou G ., Laurent P., Lods J. (1949): Le français d’aujourd’hui. Paris, Librairie A. Colin.

• Cohen M. (1963): Nouveaux regards sur la langue française, Paris, Editions sociales.

• Dauzat A. (1958): Grammaire raisonnée de la langue française, Lyon, IAC.

• Hanse J. (1949): Dictionnaire des difficultés grammaticales et lexicologiques, Amiens, Bruxelles, Les Editions scientifiqueset littéraires.

• Kati~i} R. (1986): Sintaksa hrvatskoga kwi‘evnog jezika: Nacrt za gramatiku, Zagreb, JAZU i Globus.• Kristal D. (1985): Enciklopedijski re~nik moderne lingvistike, Beograd, Nolit.• Le Bidois G. et R. (1968): Syntaxe du français moderne, Paris, Editions A. Picard.

• Minovi} M., Ajanovi} M.(1986): Srpskohrvatski hrvatsko-srpski jezik, Sarajevo, Svjetlost, OOUR Zavodza uxbenike i nastavna sredstva.

• Moignet G. (1959): Les Signes de l’exception dans l’histoire du français, Alger, Imprimerie Imbert.

• Piper P. i dr. (2005): Sintaksa savremenoga srpskog jezika. Prosta re~enica, Beograd, Institut za srpskijezik SANU, Beogradska kwiga, Matica srpska.

• Re~nik srpskohrvatskoga kwi‘evnog jezika (1967-76), Novi Sad, Zagreb, Matica srpska, Matica hrvatska.• Rje~nik hrvatskoga ili srpskoga jezika (1880-1975), Zagreb, JAZU.• Simi} R., Jovanovi} J. (2002): Srpska sintaksa III-IV, Beograd, Nik{i}, Podgorica, Filolo{ki fakultet,

Nau~no dru{tvo za negovawe i prou~avawe srpskog jezika, Filozofski fakultet, Crnogorski univerzitet.• Stanoj~i} @., Popovi} Q. (2005): Gramatika srpskoga jezika, H izdawe, Beograd, Zavod za uxbenike i

nastavna sredstva.• Stevanovi} M. (1979): Savremeni srpskohrvatski jezik: gramati~ki sistemi i kwi‘evnojezi~ka norma:

Sintaksa, Beograd, Nau~na kwiga.• Tekav~i} P. (1984): Kontrastivne biqe{ke o semanti~kim, pragmati~kim i sintaksi~kim aspektima izraza

za restrikciju u hrvatskom ili srpskom i talijanskom, Strani jezici, XIII, 1-2, 4-20.• Topoliwska Z. (1981): Restrikcija nasuprot apozicije: dve vrste atributa imeni~ke sintagme, Ju‘nosloven-

ski filolog, XXXVII, 1-11.

SummaryThe issue of restriction is a bit neglected in references on Serbian and French language. This is

why we have tried in this paper to determine the meaning of it (taking into account terminology differencesin grammar of the two languages) and to point at language means for expressing restriction and use themin both languages. We also tried to explain the use of these language means, and our aim was to makethese expressions simpler and translating from and to either of the languages. We came to conclusion thatthese means in Serbian are less in number than in French but that they can express many and variousmeanings as those in French. In both languages we can have almost identical classification of these means.

Key words: restriction expressing, Serbian language, French language, translation

Ana Vujovi}

112

Uvod

Teorijska istra‘ivawa i empirijskaiskustva velikog broja obrazovnih insti-tucija {irom sveta jasno ukazuju da je u~ewestranih jezika u ranom uzrastu vi{estrukokorisno. Ono unapre|uje op{te kognitivne

sposobnosti u~enika, kao i wihova akadem-ska postignu}a, te stvara pojedince koji suotvoreni i tolerantni prema novim idruga~ijim kulturama i tradicijama i kojisu kasnije, tokom ~itavog ‘ivota, spremni iradi da otvoreno i slobodno stupaju u kon-takt sa govornicima drugih jezika.

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}Filolo{ki fakultet, Beograd

Pregledninau~ni ~lanak

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji:od pilot modela do nastavestranih jezika za sve

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 113-124 UDC 37.014.5

Rezime: U radu je predstavqen pregled razvoja u~ewa stranih jezika na ranom uzrastuu okviru formalnog sistema obrazovawa Srbije u drugoj polovini HH i po~etkom HHú veka,sa ciqem da se uka‘e na mawe ili vi{e direktnu vezu izme|u dru{tveno-politi~kogkonteksta i stavova dr‘ave prema nastavi stranih jezika. U~enike iz Srbije su tokomsedamdesetih i osamdesetih godina HH veka mnogi smatrali avangardom Evrope kada je re~o ranom u~ewu stranih jezika (v. npr. dokumenta Odeqewa za jezi~ku politiku SavetaEvrope), a ~ak ni politi~ka izolacija tokom devedesetih godina pro{log veka nijeozbiqno naru{ila op{tu koncepciju nastave i u~ewa stranih jezika u formalnom os-novnom i sredwo{kolskom obrazovawu. Kurikularna reforma, zapo~eta posle politi~kihpromena 2000. godine, u velikoj meri trebalo je da doprinese daqem poboq{awu i modern-izaciji nastave uop{te, pa time i nastave stranih jezika, ali je wen prekid, uslovqenpromenom politi~kih okolnosti krajem 2003. i tokom 2004. godine, prvo doveo donazadovawa u ovoj oblasti, a potom do ponovnog vra}awa teme ranog u~ewa stranih jezikau ‘i‘u profesionalne i {ire javnosti. Rezultat profesionalnih i javnih debata iuticaja stru~nih udru‘ewa uslovio je poboq{awe stawa u u~ewu i nastavi stranih jezikau ni‘im razredima osnovne {kole, {to nam daje nadu da }e se ovaj pozitivan trend nasta-viti. U~enicima iz Srbije u narednim decenijama bi to omogu}ilo da se sa lako}om inte-gri{u u evropski obrazovni i profesionalni kontekst.

Kqu~ne re~i: politika i politika nastave i u~ewa stranih jezika, rano u~ewestranih jezika, obavezno obrazovawe, izrada nastavnih programa i planova.

113

U nastavku ovog rada predstavqen jepregled razvoja u~ewa stranih jezika na ra-nom uzrastu u okviru formalnog sistemaobrazovawa Srbije u drugoj polovini HH ipo~etkom HHú veka. Osnovni ciq ovogpregleda je ukazivawe na ~iwenicu da je nas-tava jezika uvek sastavni deo jezi~ke poli-tike jedne dr‘ave, te da u svakom trenutkupostoji jasna veza izme|u socio-politi~kogkonteksta i stava odre|ene dr‘ave premanastavi stranih jezika. Drugim re~ima,posledice odre|enih politi~kih odluka, makako irelevantne izgledale na prvi pogled,u istoriji modernog formalnog sistemaobrazovawa u Srbiji jasno su se ogledale ustvarawu generacija u~enika sa razvijenomzna~ajnom sposobno{}u za neprekidnousavr{avawe i u~ewe tokom ~itavog ‘ivota,ali i generacija u~enika ~iji }e se ne-dostaci u poznavawu stranih jezika i kul-tura ose}ati u godinama pred nama.

Pilot modeli ranog u~ewa stranih jezikau Srbiji: na putu ka plurilingvalnojEvropi1

Institucionalizovana nastava stra-nih jezika u Srbiji po~iwe tokom ~etvrte.dekade HúH veka (kada se osnivaju i prvejavne {kole u na{oj zemqi). Tokom decenijakoje su usledile izbor jezika zavisio je odmnogo faktora, od kojih su najuticajnijibili u vezi sa politi~kim i kulturnim uti-cajem zemqe ~iji jezik bi bio izabran iponu|en u nastavi. Kao rezultat tog stawa, urazli~itim oblastima Srbije razli~iti jez-ici bili su mawe ili vi{e popularni, uskladu sa odre|enim istorijskim kontek-stom. Ipak, mogu}e je identifikovati

op{te trendove: po~etkom HH veka, fran-cuski je bio obavezan u ve}ini {kola nauzrastu od 11-12 godina; izme|u dva svetskarata, francuski je tako|e najprisutniji usrpskim {kolama, na uzrastu od 10 do 18godina, dok je nema~ki bio drugi po zas-tupqenosti, i predavao se kao drugi stranijezik na uzrastu od 14 do 18 godina(Polovina, 1994). Krajem 50-ih godina HHveka, socio-politi~ki kontekst u kojem sena{la tada{wa SFRJ diktirao je promenusmera u odabiru stranih jezika u nastavi uosnovnim i sredwim {kolama u RepubliciSrbiji: u tom trenutku engleski i ruski sunajzastupqeniji jezici, dok francuski inema~ki (uprkos dugoj tradiciji u~ewa inastave u srpskim {kolama) zna~ajno gube napopularnosti.

Po~etkom 60-ih godina, reaguju}i naovakvo stawe stvari, Dru{tvo za kulturnusaradwu Jugoslavija-Francuska (l’Associationde coopération culturelle Yougoslavie-France), napredlog kwi‘evnice Mire Ale~kovi}, os-niva komisiju za uvo|ewe intenzivne nas-tave francuskog jezika u O[ "SlobodanPrincip Seqo" (kasnije OO[ "VladislavRibnikar") i u O[ "Isidora Sekuli}", obeu centru Beograda. Komisija je predlo‘ilanastavu francuskog jezika od prvog razredaosnovne {kole i deset {kolskih ~asova nas-tave nedeqno. Francuska vlada je odmah po-zitivno reagovala i poslala profesorafrancuskog, izvornog govornika, da preuzmesprovo|ewe nastave u obe {kole. Ovaj ogledimao je ve}u podr{ku u O[ "SlobodanPrincip Seqo", dok u O[ "IsidoraSekuli}" francuski veoma brzo prelazi ustatus izbornog nastavnog predmeta odtre}eg razreda. O[ "Slobodan PrincipSeqo" trpi kritike da postaje elitisti~ka{kola, {to je u to vreme smatrano veoma ne-gativnim. Zbog navodnog elitizma obus-

1) Autori se zahvaquju prof. dr Du{anki To~anacna pomo}i koju im je pru‘ila pri prikupqawupodataka za ovaj deo rada.

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}

114

tavqa se i rad na osnivawu Filolo{ke gim-nazije u kojoj bi se u~io francuski jezik,iako su razgovori ve} bili uveliko po~elii nastavni planovi ve} bili ura|eni.

Krajem 60-ih godina, savetnik u Pros-vetno-pedago{kom zavodu grada Beograda,Radmila ^ulajevi}, predlo‘ila je pro{i-rewe ogleda na druge jezike i na ve}i brojbeogradskih osnovnih {kola, me|u kojima ineke prigradske (a kasnije je predlo‘eno dase ogled pro{iri i na druga mesta u Srbiji).Direktor Zavoda, Rade Radovanovi}, prihva-tio je predlog tako da je 10. februara 1968.godine nastava sva ~etiri strana jezika kojasu se u~ila u na{em sistemu obrazovawa:engleskog, nema~kog, ruskog i francuskog,po~ela sa u~enicima prvog razreda (koji suse tokom prvog polugo|a ve} privikli na{kolu). Nastava francuskog jezika, naprimer, uvedena je u jednu osnovnu {kolu uSur~inu, u O[ "Jovan Cviji}" naKaraburmi i u O[ "Prva proleterska bri-gada" na Dor}olu. Nedeqni fond bio je {est~asova, po jedan ~as svakog dana. ̂ asovi stra-nog jezika dr‘ali su se kao prvi ili drugi~as u dnevnom rasporedu.

Nastavnici, koji su dr‘ali nastavu podirektnoj metodi (u~enici nisu znali da oniznaju srpski jezik), a ~ija je norma bila 12~asova nedeqno, vodili su dnevnike rada iimali su redovne nedeqne sastanke na ko-jima su izra|ivani nastavni materijali i nakojima se razgovaralo o rezultatima rada uprotekloj sedmici. Francuski stru~waci supo~etkom 70-ih veoma pozitivno ocenilisadr‘aj programa, nastavne planove ikvalitet nastave, koja je predstavqala pot-puno originalnu ideju, i autenti~no delobeogradskih savetnika i nastavnika, nazvalisu méthode d’imprégnation.

Vremenom je bilo sve vi{e {kola kojesu uvodile ogled; po~etkom 80-ih godina,

svim osnovnim {kolama data je mogu}nost dauvedu strani jezik od prvog razreda, pod us-lovom da to bude na teret lokalne zajednice.Vodilo se ra~una da anga‘ovani kadar budeveoma kvalitetan, tako da su svi nastavniciukqu~eni u ogled morali upisati post-diplomske studije. Upravo zbog toga je naposlediplomskim studijama na Filolo{komfakultetu Univerziteta u Beogradu i osno-van smer Metodika nastave, a profesorifrancuskog iz ovog programa bili su i prvipostdiplomci. Gradski zavod za unapre|ewevaspitawa i obrazovawa finansirao je bo-ravak nastavnika u inostranstvu radiusavr{avawa.

Zbog nedostatka kadra i finansijskihneprilika, 1982. godine ogled prerasta u nas-tavu stranog jezika od tre}eg razreda os-novne {kole, sa po dva ~asa nedeqno; upo~etku se to odnosilo samo na beogradske{kole, a kasnije je pro{ireno na neke{kole u Srbiji.

Me|utim, specifi~an oblik ranogu~ewa stranih jezika nastavqen je uizmewenom obliku u OO[ Vladislav Ribni-kar gde se i danas nastava francuskog jezikasprovodi od prvog razreda osnovne {kole sa6 ~asova nedeqno.

Po uzoru na intenzivnu nastavu fran-cuskog jezika u Oglednoj osnovnoj {koli"Vladislav Ribnikar" (od {kolske2005/2006. godine samo O[ "Vladislav Rib-nikar") u Beogradu, u kojoj se francuskijezik u~i od prvog razreda sa po {est {kol-skih ~asova nedeqno, {kolske 1997/8. godineuvedena je u sva odeqewa prvog razreda nas-tava nema~kog jezika u O[ " DrinkaPavlovi}" u Beogradu i u O[ "Petefi [an-dor" (po jedno srpsko i ma|arsko odeqeweprvog razreda) u Novom Sadu. Od tada, u ovim{kolama nema~ki jezik u~i se od prvograzreda sa po ~etiri {kolska ~asa nedeqno

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji ...

115

u mla|im razredima (od prvog do ~etvrtog) isa po tri {kolska ~asa nedeqno u starijimrazredima (od petog do osmog). Ovaj vid nas-tave pomogle su ambasade Nema~ke, Austrijei [vajcarske (donacija uxbenika, stru~nousavr{avawe nastavnika, opremawe pros-tora i sl). Koriste se adaptirani bugarskiuxbenici za oralni period (prvi razred iprvo polugo|e drugog razreda), zatim se pre-lazi na nema~ke uxbenike. Nastavaengleskog izvodila se od prvog razreda os-novne {kole tokom devedesetih godina unekim osnovnim {kolama Srbije u vidu slo-bodnih aktivnosti, ali bez posebnoizra|enih programa.

Pomenuti ogledi i inovacije u nastavistranih jezika nisu, na ‘alost, u dovoqnojmeri pra}eni. Iako su same {kole to,donekle, ~inile, do danas nije ra|enasveobuhvatna eksterna evaluacija tih pro-jekata. Zakon o osnovama sistema obra-zovawa i vaspitawa poku{ao je da re{ipitawe provere vaqanosti ogleda uop{te,ali je uspeo samo, ~ini se, da proceduruuvo|ewa ogleda u~ini toliko slo‘enom daobeshrabri inovatore entuzijaste.

Treba napomenuti da ogledi ovakvogtipa nisu imali podr{ku ni u akademskojsredini. Za realizaciju ovako zahtevnih nas-tavnih poduhvata potrebno je i adekvatnoobrazovawe nastavnika. Me|utim, ni tada, ani sada ne mo‘emo biti zadovoqni obra-zovawem nastavnika stranih jezika u na{ojzemqi, budu}i da je u wihovim studijskimprogramima nastava pedago{kih, psi-holo{kih i metodi~kih predmeta nedovo-qno zastupqena.

Veoma ‘iva saradwa sa Savetom Evro-pe nastavqena je sve do 1992. godine kada sustale sve aktivnosti2. Politi~ke okolnostikoje su uslovile izolaciju Srbije tokom de-vedesetih, nisu u zna~ajnijem smislu uticale

na promenu zvani~nog stava prema nastavistranih jezika na ranom uzrastu. Tokom togperioda, preko 50% srpskih {kola nudi dvastrana jezika svojim u~enicima. Engleski jenajzastupqeniji, potom ruski, francuski inema~ki. U isto vreme, dva strana jezika suobavezna u svim gimnazijama (kao i u nekimsredwim stru~nim {kolama). Italijanski i{panski u~e se samo u Filolo{koj gimna-ziji u Beogradu, ali se preduzimaju inicija-tive da se ova dva jezika uvedu u op{ti obra-zovni sistem. Ipak, zalagawem stru~wakaMinistarstva prosvete i Filolo{kogfakulteta Univerziteta u Beogradu, od2001/02. u~enici u Srbiji mogu da u~e iitalijanski i {panski jezik.

Kada je re~ o jezicima pripadnika na-cionalnih mawina, wihovim nastavnimplanovima i programima, kao i oblicimanastave, mo‘e se zakqu~iti da su u pot-

2) Godine 1988. Sekretarijat za obrazovawe AP Vo-jvodine uputio je Filozofskom fakultetu u No-vom Sadu poziv da po{aqe svog predstavnika kojibi saop{tio rezultate projekta Saveta Evrope@ivi jezici u Strazburu. U radu skupa, kao direk-tor Instituta za strane jezike i kwi‘evnosti,tada u okviru Filozofskog fakulteta u NovomSadu, u~estvovala je prof. dr Du{anka To~anac ipostala predstavnik SFRJ u Direkciji za jezikeSaveta Evrope. Ogled koji se sprovodio u na{ojzemqi ostavio je jak utisak, te je Novi Sad jepredlo‘en da 1989. godine bude doma}in velikekonferencije. Konferencija je odr‘ana i ob-javqen je Zbornik radova. U slede}em novom pro-jektu Saveta Evrope Citoyenneté européenne na{azemqa dobila je, zajedno sa Velsom, podprojekat oranom u~ewu jezika u {kolama. Bila su plani-rana dva sastanka, od kojih je prvi odr‘an u Kar-martenu u Velsu, gde su postavqene teme podpro-jekta. Drugi sastanak, na kojem je trebalo da seanaliziraju rezultati podprojekta, trebalo je dase odr‘i u Novom Sadu. Me|utim, zbog politi~kesituacije, podprojekat je prenet na Sloveniju isastanak je odr‘an u Qubqani. Kontakti su ob-novqeni tek posle politi~kih promena krajem2000. godine.

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}

116

punosti bili odvojeni od ostalih stranihjezika. Potrebno je naglasiti da zakoni kojireguli{u osnovno i sredwe obrazovawe odkraja Drugog svetskog rata naovamopredvi|aju mogu}nost nastave na mawinskomjeziku (kao i bilingvalnu nastavu).Me|utim, prema na{im saznawima, ova nas-tava se realizuje samo kada je bugarska ma-winska zajednica u pitawu, u slu~ajevimakada ima vi{e od 15 zainteresovanihu~enika. Uz odobrewe ministra prosvete Re-publike Srbije bilo je mogu}e formirati iodeqewa na mawinskim jezicima i za maweod 15 u~enika.

Porede}i ovu problematiku s isku-stvima drugih zemaqa, mo‘e se re}i da je uSrbiji uvek poklawana velika pa‘wa u~ewujezika, kako onih koji su nazvani strani,tako i jezika mawinskih zajednica, to jestregionalnih jezika. Koncepciju nastave jez-ika, me|utim, treba posmatrati u okvirukoncepcije celog sistema obrazovawa. Ne-dostaci sistema, kao {to je, na primer, ne-fleksibilan nastavni plan i program (istiza sve u~enike u Srbiji), ili nepostojaweeksterne evaluacije (zbog ~ega ne postoje po-daci o stvarnim postignu}ima u~enika ubilo kojoj oblasti, pa tako ni u poznavawujezika), doveli su do toga da relativno dobarpolo‘aj jezika u nastavnom planu i programunije davao o~ekivane rezultate.

Kurikulum3 za strane jezike za HHú vek:slede}i preporuke Saveta Evrope

Godine 2000. zapo~et je veliki pro-jekat kurikularne reforme Ministarstvaprosvete i sporta Republike Srbije, koji supodr‘ale i velike me|unarodne institucije

(Svetska banka, Savet Evrope i druge). Ciqprojekta bila je modernizacija celokupnogsistema obrazovawa Srbije. Nastavni pro-grami za strane jezike, bili su, naravno, sas-tavni deo ove reforme.

Novi kurikulum za strane jezike kaoreferentnu ta~ku preuzeo je Zajedni~kievropski okvir za u~ewe, nastavu ievaluaciju jezika (u daqem tekstu Zajedni~kievropski okvir), posledwi u nizu priru-~nika koje od 1971. godine objavquje SavetEvrope, uz aktivno u~e{}e velikog brojapredstavnika profesija u vezi sa nastavomjezika u Evropi i izvan we. Ovaj dokumentnamewen je profesionalcima u oblastievaluacije i nastave jezika i onima koji u~ejezike.

Sa stanovi{ta onih koji u~e jezike,Savet Evrope ohrabruje sve koji se bave nas-tavom jezika da uzmu u obzir i faktore kojise odnose na potrebe, motivaciju, li~nekarakteristike i resurse svojih u~enika: sakojim potrebama u~e jezik, {ta treba danau~e da bi bili u stawu da jezik koriste zazadovoqewe sopstvenih potreba, kako u~e,koji su wihovi socio-psiholo{ki profili,da li imaju pristupa razli~itim vrstamajezi~kih materijala u procesu u~ewa, kolikomogu novca da potro{e na proces u~ewa je-zika itd.

Zajedni~ki evropski okvir te‘i dazadovoqi i odre|ene organizacione krite-rijume, tj. da bude sveobuhvatan, transpar-entan i koherentan. Pod pojmom sveobu-hvatan podrazumeva se da ovaj dokument nudiniz informacija o odre|ivawu ciqeva nas-tave, odabiru metoda, i jezi~kih materijalau nastavi jezika. Uz to, Zajedni~ki evropskiokvir nudi {emu parametara, kategorija iprimera na osnovu kojih se defini{u kompe-tencije (znawa, ve{tine i stavovi) kojekorisnici jezika moraju da usvoje, razviju,

3) Termini kurikulum i nastavni program se ovdekoriste kao sinonimi.

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji ...

117

unapre|uju, tokom procesa u~ewa i upotrebejezika i koje im poma‘u da jezik uspe{nokoriste u kulturnim kontekstima koji serazlikuju od onog/onih u kojima su odrasli.Tako|e nudi definiciju i opis {est nivoakompetencije4 koji se mogu koristiti kaomarkeri progresa u procesu u~ewa jezika;nivoi su predstavqeni kroz {emu koja nudiniz parametara (deskriptora) na osnovu ko-jih se odre|uju kompetencije koje treba dapredstavqaju ciqeve u~ewa i nastave uokviru odre|enog nivoa. Ovaj dokument jetransparentan jer sadr‘i informacijekoje su jasno formulisane, dostupne irazumqive svim zainteresovanim stranama.I kona~no, pod pojmom koherentan, po-drazumeva se da su podaci sadr‘ani u Za-jedni~kom evropskom okviru me|usobnousagla{eni, odnosno da su razli~iti as-pekti obrazovnih sistema koji se odnose naoblast nastave i u~ewa jezika (identifi-kacija potreba, odre|ivawe ciqeva,odre|ivawe sadr‘aja, izbor i priprema ma-terijala, utvr|ivawe nastavnih programa,odabir i primena pristupa, metoda itehnika u nastavi, kao i proces provereznawa) u harmoni~noj vezi. Drugim re~ima,namera Zajedni~kog evropskog okvira jesteda bude primenqiv u razli~itim kontek-stima u~ewa i nastave jezika, {to zna~i daje tako|e fleksibilan (otvoren za dopune idorade), dinami~an (u stalnom procesuevolucije koja obezbe|uje neophodna un-apre|ewa sadr‘aja i kriterijuma),pregledan i lak za kori{}ewe i nedog-mati~an (jer ne zastupa iskqu~ivo nijednulingvisti~ku niti psiho -pedago{ku teorijuili nastavnu praksu).

[est nivoa kompetencije definisanisu na osnovu prakti~nog iskustva u nastavivelikog broja organizacija koje se bave

evaluacijom jezi~kih kompetencija, a desk-riptori su predstavqeni formulacijamakoje je ve}ina ukqu~enih profesionalacaprepoznala kao "transparentne, korisne irelevantne svim profesorima jezika (kakoonima koji su izvorni govornici jezika kojipredaju, tako i onima koji to nisu) izrazli~itih obrazovnih sektora irazli~itih profila sa stanovi{ta znawa izoblasti teorije i prakse u nastavi jezika, iiskustva u nastavi" (Zajedni~ki evropskiokvir, str. XIII5).

Imaju}i sve to u vidu, autori sukurikulume za strane jezike u osnovnom iop{teobrazovnom sredwem obrazovawu unaj{irim crtama direktno korelirali sanivoima Zajedni~kog evropskog okvira.Tako, na primer, od u~enika koji u~i jedanstrani jezik od 1. razreda osnovne {kole svedo 3. razreda sredwe {kole6 o~ekuje se dadostigne nivo kompetencije u jezikuodgovaraju}i evropskom nivou B1.

Novi kurikulum za strane jezike pre-dvi|ao je postavqawe u~enika u sredi{tenastavnog procesa, interdisiplinarnost imodularnost u nastavi. Tako|e, nudio je nizrazli~itih mogu}nosti za nastavu i u~ewejezika: najmawe dva strana jezika tokom 12godina osnovnog i sredwo{kolskog obra-zovawa, tri ili vi{e jezika kao izbornepredmete, mogu}nost da u~enici zapo~nu izavr{e u~ewe odre|enog jezika naodre|enom nivou kompetencije (u skladu sa{est nivoa koje predvi|a Zajedni~ki evrop-ski okvir Saveta Evrope), dvojezi~nu nas-tavu u osnovnom i sredwo{kolskom obra-zovawu, kao i prostor za razvijawe Jezi~kog

4) Za opis nivoa, vidi Dodatak br. 1 na kraju rada

5) Svi citati preuzeti su iz engleske verzijedokumenta.

6) Predlog novog kurikuluma predvi|ao je deveto-godi{wu osnovnu {kolu i trogodi{wu sredwu{kolu.

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}

118

portfolija, koji bi u~enicima omogu}io daevidentira sva svoja znawa i iskustva u svimjezicima koje su u~ili, u formalnom, u ne-formalnom obrazovawu ili na drugi na~in,bez obzira na nivo savladanosti jezika.

Srpski jezi~ki portfolio trebalo bida sledi principe Evropskog jezi~kog port-folija (ELP). ELP nudi rangirawe op{tihkompetencija na ve}em broju jezika i klasi-fikaciju jezi~kih funkcija koja nudi vernusliku ciqeva i ishoda koji su u skladu sarazli~itim potrebama, karakteristikama imogu}nostima u~enika. ELP se izra|uje nanacionalnom nivou (postoje {vajcarski,francuski, britanski, ruski, slovena~ki,~e{ki, nema~ki, itd. portfolio), i to naj-~e{}e za razli~ite uzraste (za najmla|e, zamla|e adolescente i za starije adolescentei odrasle). Portfolio ima dve osnovnefunkcije: informativnu i pedago{ku, amo‘e im se dodati i vaspitna funkcija. In-formativna funkcija evidentira znawaste~ena u okviru {kolskog sistema, nefor-malnog obrazovawa i li~nog iskustva; Peda-go{ka jer ispuwavawe portfolija omogu}ujeu~eniku da aktivno i svesno u~estvuje uprocesu nastave, prati svoje napredovawe,~ime se osamostaquje; vaspitna, jer valo-rizuje vi{ejezi~nost i zainteresovanost zadruge kulture (regionalne jezike, i jeziksvojih predaka).

U svakom trenutku izrade programaautori kurikuluma imali su u vidu posto-jawe razli~itih potreba u~esnika u obra-zovnom procesu i nastojali su da na najboqina~in iskoriste sve resurse koji su im naraspolagawu. Ciq nastojawa autora bio je dau~enicima olak{aju proces u~ewa i un-aprede wihovu motivaciju za daqe u~ewestranih jezika, prate}i osnovnu ideju o obra-zovawu novih generacija u~enika koje semogu lako integrisati u {ire, evropske za-

jednice u~enika, studenata, profesionalacaitd. U tom smislu, nastava stranih jezikaprema novom kurikulumu trebalo je dasvakom pojedincu u najve}oj mogu}oj meriolak{a pristup informacijama i interkul-turalne kontakte sa govornicima drugih jez-ika.

Sa didakti~kog stanovi{ta, va‘no jeista}i da je jedna od osnovnih odlika novihnastavnih programa, naro~ito u nastavistranih jezika na ranom uzrastu, bilausagla{enost nastavnih sadr‘aja i metodasa najnovijim saznawima i preporukama raz-vojne psihologije, teorije usvajawa L2, nas-tavne prakse i op{te pedagogije. Pri wiho-voj izradi, po{lo se od pretpostavke da nas-tavu stranih jezika treba usmeravati ka un-apre|ewu i razvoju jezi~kih i op{tih kogni-tivnih sposobnosti u~enika. Tako|e, kon-cepti i principi komunikativne nastavestranih jezika (koja stavqa akcenat na us-menu prezentaciju jezi~kog sadr‘aja,upotrebu ciqnog jezika u kontekstuali-zovanoj i smislenoj interakciji u u~ionicii izvan we, kroz kreativne, privla~ne istimulativne aktivnosti i igre usagla{enesa op{tim nivoima de~ijih znawa, kompe-tencija i interesovawa) na{li su kqu~nomesto u organizaciji nastavnih programa zastrane jezike na svim nivoima u okviru os-novno{kolskog i sredwo{kolskog obra-zovawa. Pored toga, programi su obezbe-|ivali prostor za dodatne aktivnosti ijezi~ke i kulturne sadr‘aje koji bi zadovo-qavali potrebe i interesovawa svakogu~enika ponaosob.

Prva faza primene novog kurikulumapredvi|ala je ponudu samo "svetskih" jezikau~enicima osnovnih i sredwih {kola uSrbiji: engleskog, francuskog, nema~kog,ruskog, italijanskog i {panskog, uz pre-poruku obrazovnim vlastima da u zakono-

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji ...

119

davna akta ukqu~e mogu}nost ukqu~ewa dru-gih jezika u op{teobrazovni sistem (npr. re-gionalnih jezika, nekada poznatih kao jezikanacionalnih mawina, kao {to su ma|arski,rumunski, bugarski, gr~ki, albanski, make-donski, kao i drugih jezika za koje bi posto-jalo interesovawe na nivou odre|enelokalne ili regionalne zajednice).

Tokom prole}a i leta 2003. godinezavr{ena je faza izrade nacrta kurikulumaza osnovno i sredwo{kolsko obrazovawe uSrbiji i objavqen je prvi paket zakono-davnih dokumenata. Primena novog kuriku-luma zapo~eta je u jesen 2003. Po prvi put usrpskoj obrazovnoj istoriji bilo jepredvi|eno u~ewe stranih jezika od prvogdana obrazovnog procesa, u~ewe najmawe dvastrana jezika u razli~itim fazamaobaveznog dvanaestogodi{weg {kolovawa,kao i mogu}nost uvo|ewa tre}eg, ~etvrtog,petog itd. stranog jezika, u skladu sa potre-bama u~enika i interesima i mogu}nostimalokalnih zajednica.

Me|utim, rezultati prevremenihizbora u decembru 2003. godine i naimeno-vawe nove vlade po~etkom 2004. godine,uzrokovali su zna~ajnu promenu u poli-ti~koj sferi i rezultirali prekidom pri-mene novog kurikuluma. Nastava stranih je-zika od prvog razreda osnovne {kole je zaus-tavqena, strani jezici su dobili statusizbornog predmeta u drugom i tre}emrazredu, i bilo je nejasno {ta }e se desiti sanastavom stranih jezika od tre}eg razredaosnovne {kole do ~etvrtog razreda sredwe{kole. Novo Ministarstvo prosvete i spo-rta Republike Srbije nije objavilo nijedandokument kojim bi u profesionalnom ilizakonodavnom smislu podr‘alo ovakvu odlu-ku ili predstavilo bilo kakvu strategijuili koncepciju u~ewa stranih jezika u

Srbiji u va‘nom trenutku evropskih inte-gracija zemqe.

Promena ministra i wegovih na-jbli‘ih saradnika svakako je najva‘nijiuzrok odustajawa od celovite i temeqne re-forme osnovnog i sredweg obrazovawa. Kadasu jezici u pitawu, treba me|utim,napomenuti da su va‘nu ulogu u vra}awu nastara re{ewa odigrale i profesionalne ne-suglasice, kao i razne predrasude u vezi sau~ewem jezika. Nave{}emo samo nekeprimere na osnovu uvida u reakcije stru~nei lai~ke javnosti koje su prenosili mediji,na primer: strani jezici u~e se na {tetusrpskog (materweg) jezika; engleski jezik jesasvim dovoqan; regionalni jezici nisuvredni u~ewa; strani jezici se ionako nemogu nau~iti u {koli; u~ewem jezikapotiskujemo nastavu matematike i fizike itako rizikujemo da postanemo ekonomskakolonija i sli~no.

4. (Jo{ jedan) novi po~etak

Sa novom smenom ministra prosvete isporta Republike Srbije sredinom 2004.godine, situacija u vezi sa nastavom stranihjezika se poboq{ava, mada i daqe nemamojasnu obrazovnu strategiju i moderan na-cionalni sistem obrazovawa koji bi obezbe-dili ozbiqnu i uspe{nu korelaciju nastavestranih jezika sa nastavom ostalih obra-zovnih oblasti u obaveznom obrazovawu.

Nastava stranih jezika jo{ jednompostala je obavezna od prvog razreda osnovne{kole (za generaciju u~enika koji su u prvomrazred krenuli u {kolskoj 2005/06 godini), aplanira se uvo|ewe drugog obaveznog stra-nog jezika u petom razredu osnovne {kole.Nastavni programi ponovo su u direktnojkorelaciji sa {est nivoa kompetencija Za-jedni~kog evropskog okvira (sa ciqem da

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}

120

u~enici u prvom stranom jeziku koji u~e odprvog razreda osnovne {kole postignu nivoA1 na kraju ~etvrtog razreda, i nivo A2 nakraju osmog razreda; drugi strani jezik, kojise uvodi u petom razredu zastupqen je save}im brojem ~asova nedeqno, {to bi tre-balo da omogu}i da na kraju osmog razredaosnovne {kole u~enici imaju isti nivo kom-petencije u prvom i drugom stranom jezikukoji u~e). Isti~emo, me|utim, da ovajpoku{aj usagla{avawa sa evropskim obra-zovnim smernicama, na ‘alost, ostaje usferi individualnih uverewa i napora tvo-raca nastavnih programa, te da Ministar-stvo prosvete i sporta Republike Srbije nina koji na~in nije ozvani~ilo ovu vezuizme|u kurikuluma za strane jezike i Za-jedni~kog evropskog okvira. Nagla{avamoda sve dok ne bude postojalo eksterno vred-novawe postignu}a, na{i u~enici ne}e mo}ida porede svoje znawe sa znawem svojihvr{waka u Evropi, a prilikom prelaska navi{i nivo obrazovawa i daqe }e postojatiopasnost da se sa u~ewem kre}e od po~etnognivoa.

Oostaje jo{ niz nere{enih problema,me|u kojima je najzna~ajniji nedostatakkvalifikovanih i motivisanih nastavnikastranih jezika, naro~ito nastavnikaengleskog, jer je engleski, iz o~iglednihrazloga,7 najpopularniji strani jezik, uformalnom i u neformalnom obrazovawu. S

ostalim jezicima u ponudi (nema~ki, fran-cuski, ruski, italijanski i {panski) si-tuacija sa nastavnim osobqem je mnogo boqajer je potra‘wa u {kolama mawa, te ju jeuglavnom mogu}e zadovoqiti onim brojemdiplomiranih profesora datih jezika kojeizlaze iz na{ih akademskih institucija vi-sokog obrazovawa. Isto tako, isti~emo dakatedre za takozvane "nastavne" jezike nafilolo{kim fakultetima srpskih uni-verziteta u svoje nastavne planove ukqu~ujupredmete iz primewene lingvistike i meto-dike nastave stranih jezika i timeobezbe|uju da budu}e generacije nastavnikau u~ionice ulaze pripremqeni i obu~eni dasvoje profesionalno usavr{avawe nastave uskladu sa najnovijim dostignu}ima u ovojoblasti.

S pravom se nadamo da }e se budu}imgeneracijama u~enika iz Srbije (i to svim, ane samo pripadnicima ekonomske i kulturneelite), koji su u jednom trenutku sedamde-setih i osamdesetih godina pro{log vekakada je u pitawu u~ewe stranih jezika, biliavangarda me|u decom Evrope, ponovopru‘iti mogu}nost da se uspe{no integri{uu evropski obrazovni i profesionalni kon-tekst, zadovoqavaju}i pri tome svoja li~nai profesionalna interesovawa i dopri-nose}i dobrobiti svojih lokalnih i region-alnih zajednica, i/ili ~ak i prosperitetume|unarodne zajednice.

7) Engleski jezik, isti~emo, treba tretirati kao"jezik za komunikaciju" a ne kao "jezik za identi-fikaciju" (v. House, 2003) te ga nikako ne trebashvatati kao faktor koji ugro‘ava li~ni ili na-cionalni integritet na{ih u~enika.

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji ...

121

Dodatak br. 1. Globalna skala nivoa (Zajedni~ki evropski okvir, str. 24)

Samostalnikandidat

C2

Mo‘e da sa lako}om razume prakti~no sve {to ~uje ili pro~ita. Mo‘e darezimira informacije iz razli~itih usmenih ili pismenih izvora, darekonstrui{e argumentaciju i ponudi obja{wewa u okviru koherentneprezenacije sadr‘aja. Mo‘e da se izrazi spontano, veoma fluentno iprecizno, i da razlikuje fine nijanse zna~ewa ~ak i u veoma slo‘enimsituacijama.

C1

Mo‘e da razume razli~ite vrste zahtevnih i du‘ih tekstova, i da prepoznaimplicitna zna~ewa. Mo‘e da se izrazi spontano i fluentno bez previ{eo~iglednih tra‘ewa izraza. Mo‘e da koristi jezik fleksibilno iefektivno u razli~itim socijalnim, profesionalnim i akademskimkontekstima. Mo‘e da proizvede jasan, dobro organizovan i detaqan teksto kompleksnim temama, demonstriraju}i kontrolisanu upotrebuorganizacionih obrazaca, konektora i kohezionih elemenata u diskursu.

Naprednikandidat

B2

Mo‘e da razume osnovne ideje kompleksnog teksta koji se bavi kakokonkretnim, tako i apstraktnim temama, ukqu~uju}i i "tehni~ku" (u smisluupotrebe odre|ene terminologije i registra) diskusiju u svojojprofesionalnoj oblasti. Mo‘e da koristi jezik sa nivoom fluentnosti ispontanosti koji omogu}ava neometanu komunikaciju sa izvornimgovornicima (bez ve}eg truda sa jedne ili druge strane). Mo‘e da proizvedejasan, detaqan tekst o razli~itim temama i objasni svoje mi{qewe o ne~emupredstavqaju}i prednosti i nedostatke razli~itih mi{qewa.

B1

Mo‘e da razume kqu~na zna~ewa inputa predstavqenog u jasnoj istandardnoj formi, o temama koje poznaje i koje se odnose na razli~itepoznate aspekte ‘ivota i rada. Mo‘e da se sna|e u ve}ini situacija koje sumogu}e tokom putovawa kroz regione gde se ciqni jezik govori. Mo‘e daproizvede jednostavan tekst koji sledi principe logi~nog izlagawa napoznate teme ili teme od posebnog zna~aja za datog u~enika. Mo‘e da opi{edoga|aje, iskustva, snove, nade i ambicije i da kratka obrazlo‘ewa svojihmi{qewa i planova.

Kandidatpo~etnik

A2

Mo‘e da razume re~enice i frekventne fraze i izraze u vezi saneposrednim okru‘ewem i iskustvima (osnovne informacije o porodici,kupovini, lokalnoj geografiji, profesijama, itd.). Mo‘e da komunicira uokviru jednostavnih i rutinskih zadataka koji zahtevaju jednostavnu idirektnu razmenu informacija u vezi sa poznatim i rutinskim stvarima.Mo‘e da jednostavnim re~enicama izrazi informacije o sebi, neposrednomokru‘ewu, i o osnovnim potrebama.

A1

Mo‘e da razume i koristi svakodnevne poznate izraze i veoma jednostavnefraze u ciqu zadovoqewa neke konkretne potrebe. Mo‘e da se predstavi,da predstavi druge, da tra‘i i daje informacije o sebi i drugima, npr. gde‘ivi, koje qude poznaje, stvari koje poseduje. Mo‘e da komunicira najednostavan na~in ukoliko sagovornik govori polako i jasno i spreman jeda pru‘i pomo}.

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}

122

Literatura

• Council of Europe (2001): Common European Framework of Reference for Languages: Learning, teaching, access-ment. Cambridge: Cambridge Universitz Press.

• Council of Europe/Conceil de l’Europe (2003): Zajedni~ki evropski okvir za ‘ive jezike. U~ewe, nastavaocjewivawe, Podgorica, Republika Crna Gora, Vlada Republike Crne Gore, Ministarsvo prosvjete inauke.

• Dimitrijevi}, Naum (2004): Reforma obrazovawa u Srbiji, Slavko Zori} (ur.), O ranom u~ewu stranihjezika, Sindikat obrazovawa, nauke i kulture, Beograd, SONiK.

• Filipovi}, Jelena, Julijana Vu~o & Qiqana \uri} (2005): Language education policy in Serbia: utopia orreality? Rad saop{ten na 14. Svetskom kongresu Me|unarodnog udru‘ewa za primewenu lingvistiku,AILA, 24 - 29. jula 2005, Medison, Viskonsin, SAD.

• House, Juliane (2003): English as a lingua franca: A threat to mulilingualism, Journal of Sociolinguistics 7/4: 556-578.

• Kova~-Cerovi}, Tinde, Levkov, Qiqana (ur.) (2002): Kvalitetno obrazovawe za sve, Put ka razvi-jenom dru{tvu. Beograd: MPSRS, Sektor za razvoj obrazovawa i me|unarodnu prosvetnu saradwu;Odeqewe za strate{ki razvoj obrazovawa.

• Kova~-Cerovi}, Tinde, et al. (2004): Kvalitetno obrazovawe za sve, Izazovi reforme obrazovawa uSrbiji, Beograd, MPSRS, Sektor za razvoj obrazovawa i me|unarodnu prosvetnu saradwu; Odeqeweza strate{ki razvoj obrazovawa.

• Ministarstvo pravde Republike Srbije. Zakon o slu‘benoj upotrebi jezika i pisama. Beograd,Slu‘beni glasnik Republike Srbije 45, 27. VII 1991.

• Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije (2001): Deset godina reformi obrazovawa u evrop-skim zemqama, (naslov originala: Erudice: Zehn Jahre Bildungsreformen in Bereich der Schulpflicht in derEuropäischen Union (1984-1994); prevod sa nema~kog: Savica Toma), Beograd, MPSRS, Sektor za razvojobrazovawa i me|unarodnu prosvetnu saradwu.

• Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije (2004): Op{te osnove {kolskog programa osnovnogvaspitawa i obrazovawa, Beograd, Prosvetni pregled.

• Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije (2003): Posebne osnove {kolskog programa za prvirazred osnovnog vaspitawa i obrazovawa, Beograd, Prosvetni pregled.

• Polovina, Pera (1994): Metodika nastave francuskog jezika, Beograd, Nau~na kwiga.

• To~anac, Du{anka (1990): U~ewe jezika u SFR Jugoslaviji, Zbornik radova sa Prve konferencije @ivijezici: u~ewe/nastava - komunikativni pristup i obrazovawe nastavnika, Novi Sad, Univerzitet uNovom Sadu, Filozofski fakultet, str. 5-16.

• Vinaver, N. & Z. @ileti} (1996): O marginalizaciji evropskog iskustva u Jugoslaviji. Prevodilac1- 4, 5-14.

• Vu~o, Julijana (2004): Strani jezici u reformi obrazovawa u Srbiji, Vaspitawe i obrazovawe, 152-166.

• Vu~o, Julijana (2005): Istituzioni e insegnamento di lingue straniere. Verso una politica europea. In: Lingue,istituzioni, territori. Riflessioni teoriche, proposte metodologiche ed esperienze di politica linguistica. Atti del XXXVIIIcongresso internazionale di studi della societa di linguistica italiana (SLI), Modena, 23-25 settembre 2004, Roma,Bulzoni, str. 435-445.

Rano u~ewe stranih jezika u Srbiji ...

123

SummaryAn outline of the history of early foreign language education in formal settings in Serbia in the

second half of the 20th and at the beginning of the 21st century is presented in this paper, with the mainobjective to demonstrate a more or less direct link between a socio-political framework of a given stateand its attitudes towards foreign language education. During the 1970s and 1980s, Serbian children wereby considered by many (the Language Policy Division of the Council of Europe, among others) theavant-garde among the children of Europe when it comes to early foreign language instruction. Politicalcircumstances which caused the isolation of the country during the 1990s did not in a serious way changethe overall trajectory of early foreign language instruction. The curricular reform initialized in 2000 aimedat assuring every Serbian child a right to study at least two foreign languages from the day 1 of formalprimary education, but it was frustrated by a serious change in power in the Serbian parliament at the endof 2003. Another series of political changes during the year 2004 has placed foreign language instruction(particularly in primary education) in the center of public and political debates, which have been con-cluded, at least for the time being, with another shift toward strengthening the importance and presentationof early foreign language instruction in compulsory primary education.

Key words: politics and foreign language education policy, early foreign language education,compulsory primary education, curriculum design

Jelena Filipovi}, Julijana Vu~o, Qiqana \uri}

124

1. Srpsko-engleski re~nikengleskih frazalnih glagolapredstavqa drugi deo zna~ajnogleksikografskog poduhvata drDanke \oki}. Ona je 2002. godineobjavila Englesko-srpski re-~nik frazalnih glagola. UPredgovoru re~nika iz 2002.godine autorka obja{wava da"frazalni glagoli u engleskomjeziku predstavqaju gramati~ko-leksi~ku kategoriju koja je dugobila zanemarena u opisimaengleskog jezika. To se mo‘edonekle objasniti ~iwenicom daje broj frazalnih glagola od tre-nutka wihovog nastajawa bioveoma mali. Usled potrebe zanovim zna~ewima, tokom vre-mena se wihov broj uve}avao ijo{ uvek je u stalnom porastu. Tatvora~ka snaga se mo‘e objas-niti lingvisti~kim principomekonomije u jeziku, jer je lak{estvoriti novi glagol od pos-toje}ih jezi~kih elemenata, negoizmisliti novi." Tako, uengleskom jeziku iz dana u danni~u glagoli poput give in, turnout, set up itd.

Da bi istra‘iva~i frazalnihglagola dobili potpuniji uvid uwihovu strukturu i zna~ewe, drDanka \oki} se odlu~ila daizradi i jedinstveni Srpsko-engleski re~nik engleskihfrazalnih glagola. Po{to suodrednice u ovom re~nikusrpski glagoli, izazov za srbis-tiku predstavqa analiza tihglagola. Dakle, ako se uengleskom jeziku potreba zaimenovawem novih pojavare{ava, kako ka‘e Danka \oki},frazalnim glagolima, kako setaj problem prevazilazi usrpskom jeziku?

2. Leksi~ki sistem svakog je-zika, pa tako i srpskog iengleskog, poseduje jezgro iperiferiju. Jezgro leksi~kogsistema sastoji se iz primarne,osnovne leksike. Osnovna lek-sika je obi~no najfrekventnija,najstarija, doma}eg je porekla iwome su imenovane bazi~ne po-jave u na{em svakodnevnom‘ivqewu: delovi ku}e ipoku}stva, hrana koju jedemo,pi}a koja pijemo, delovi qudskog

tela, osnovne qudske ak-tivnosti, osobine i emocije.Drugim re~ima, wome je imeno-vano ono {to je bazi~no i {to seu ‘ivotu ~oveka ne mewa, bezobzira na prostor i vreme.

Ostale pojave, one koje su maweva‘ne, koje su uskla|ene s vre-menom u kojem ‘ivimo, one kojesu sasvim nove, samo su de-limi~no pokrivene nazivima.Naime, mnogo je vi{e pojava ustvarnosti nego imena za wih.Kada treba imenovati ne{to za{ta ne postoji ime, moramo sesnalaziti i te pojave sekundarnoimenovati. Tako nastala lek-sika spada u leksi~ku peri-feriju, ali je vrlo zna~ajna, jerodgovara i jezi~kim i ‘ivotnimpotrebama dana{weg ~oveka.

Odgovor na va‘no pitawesavremene leksikologije kakonastaje jezi~ka periferija, od-nosno kako imenujemo nove iliiz drugih razloga neimenovanepojave, pa‘qiv ~italac mo‘eizvu}i iz Srpsko-engleskogre~nika frazalnih glagolaDanke \oki}. I vi{e od toga. Iz

Prikaz

O ENGLESKIM FRAZALNIMGLAGOLIMA IZ

SRBISTI^KOG UGLA

Danka \oki}: Srpsko-engleski re~nikengleskih frazalnih glagola, Beograd, 2005:

izdava~ - autor

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 125-127

125

podataka datih u ovom re~nikusaznajemo kako se ovaj problemre{ava u srpskom, kako uengleskom i u ~emu su razlikeizme|u srpskog i engleskog jezi-ka u tom smislu.

3. Za engleski, kao analiti~kijezik, gra|ewe frazalnihglagola, koji istovremeno pred-stavqaju i leksi~ke i sin-taksi~ke konstrukcije, jesteo~ekivani model za imenovaweonoga {to je potrebno imeno-vati.

[ta nam pokazuje prevod ovihglagola na srpski jezik i srpsko-englesko ustrojstvo ovogre~nika?

3.1. Pre svega, zapa‘amo jednuupadqivu srodnost izme|u srp-skog i engleskog jezika. U naj-ve}em broju slu~ajeva, ono {to jesekundarno u engleskom, sekun-darno je i u srpskom jeziku.Drugim re~ima, one radwe,stawa i zbivawa za koje uengleskom jeziku ne postoji pro-sta, osnovna re~, ve} postojisekundarno imenovawe u vidufrazalnih glagola, ni u srpskomjeziku nisu imenovani osnovnomleksikom, ve} na neki drugina~in.

3.2. Nekim engleskim frazal-nim glagolima u srpskom jezikuodgovaraju strane re~i:anga‘ovati, apsorbovati,blokirati, debitovati, de-finisati itd. Dakle, kada zaneku pojavu ne postoji adekvatannaziv, u engleskom se taj prob-lem mo‘e re{iti sastavqawemfrazalnih glagola od postoje}egjezi~kog materijala, a u na{emjeziku taj se problem mo‘ere{iti pozajmqivawem re~i iz

stranih jezika. Ovo nijeneo~ekivano. Naprotiv. Govor-nici na{eg jezika imaju sna‘anose}aj da se nedostatak re~i una{em jeziku uvek re{ava pozaj-mqivawem re~i i da to ozbiqnougro‘ava na{ jezik. Re~nikDanke \oki} na mikroplanusrpskih ekvivalenata engleskihfrazalnih glagola pokazuje dato nije sasvim ta~no. Koristimose stranim re~ima, ali to nijedominatan na~in snala‘ewakada u na{em jeziku ne postojiadekvatna re~. To je potvrdio ileksikograf dr \or|e Ota{e-vi}, na {irem planu. On sakupqanove re~i u srpskom jeziku.Sakupio ih je nekoliko desetinahiqada i zapazio da me|u wimaima samo 3 ili 4 procenata an-glicizama, a ni internacionali-zama nema previ{e. Dakle, pozaj-mqivawe re~i je marginalnijina~in u srpskom jeziku za imeno-vawe novih pojava.

3.3. Drugi na~in je polisemija.Kada treba nazvati neku pojavu,govornici engleskog }e kon-struisati frazalni glagol, a go-vornici srpskog }e nekomglagolu koji pripada osnovnomleksi~kom fondu dati novo, spe-cifi~no zna~ewe. Tako, naprimer, u re~niku Danke \oki}pronalazimo glagol dati urazli~itim zna~ewima koja suilustrovana razli~itom dopu-nom glagola (dati novac, datianesteziju, dati rezultat,dati savet). Za svako od ovihzna~ewa glagola dati u engle-skom jeziku postoji posebanfrazalni glagol. Naro~it iza-zov za kontrastivna leksiko-lo{ka ispitivawa pru‘aju

razli~iti tipovi odnosa izme|uzna~ewa pojedinih glagola. Naprimer: da li su dati u datirezultat i dati u dati savetzaista dva zna~ewa ili samo dveupotrebe glagola dati u srp-skom jeziku. Ili - kakav je odnosizme|u engleskih frazalnihglagola to brim over, to slop over, tospill over. Ovi glagoli su ure~niku navedeni kao trimogu}nosti koje se na srpskijezik prevode istim glagolom -glagolom preliti se. Re{ava-wem ovih kontrastivnih se-manti~kih odnosa, mnogo bismosaznali o prirodi polisemije.

3.4. Najfrekventniji na~in zaspecifikovawe radwe, za iska-zivawe nekog wenog semanti~kogaspekta jeste tvorba re~i. Naj-ve}em broju engleskih frazal-nih glagola odgovara srpski pre-fiksirani glagol. Ovaj podatakiskazan u re~niku Danke \oki}na mikrosistemu prevodnihekvivalenata engleskih frazal-nih glagola potvr|uje se i na{irem korpusu svih vrsta re~i.Prema podacima \or|a Ota-{evi}a, najve}i broj novih re~iu na{em jeziku nastaje tvorbomre~i. Dakle, kada u na{em jezikune postoji re~ za neku pojavu,naj~e{}e se snalazimo tako {totvorimo nove re~i, koriste}i sepostoje}im jezi~kim materi-jalom srpskog jezika i pos-toje}im tvorbenim modelima.Ovaj podatak je vrlo zna~ajan,jer se suprotstavqa sumornimprognozama nekih na{ihlingvista u vezi sa budu}no{}usrpskog jezika. Po tim prog-nozama, srpski jezik nestaje prednavalom stranih re~i. Podaci

126

\or|a Ota{evi}a, pa i oviiskazani u re~niku Danke\oki}, pokazuju da to nije ta~no.Srpski jezik se bogati pre svegaiz sopstvenih resursa! Po{to sesvi podaci do kojih se mo‘e do}ianalizom mikrosistema prevod-nih ekvivalenata engleskihfrazalnih glagola poklapaju sapodacima iz {ireg korpusa,zakqu~ujemo da su u srpskom je-ziku, verovatno, najproduk-tivniji (ili su prili~no pro-duktivni) oni prefiksi koji sunajfrekventniji u Srpsko-engle-skom re~niku engleskih frazal-nih glagola. Reklo bi se (ne pre-vi{e precizno) da su najfrekve-ntniji prefiksi u ovom re~niku:iz-, po-/pod-, o-/od-, za- i u-.

3.5. Ono {to predstavqaiznena|ewe u ovom re~niku jestemno{tvo srpskih ekvivalenatakoje sa~iwava ekspresivna lek-sika (pre svega re~i iz omladin-skog ‘argona): cimati, cr}i,crn~iti, bubati, }ornuti,zezati itd. I ekspresivna lek-sika spada u leksi~ku perife-riju i parazitira, kao i svidrugi oblici sekundarne lek-sike na osnovnom leksi~komfondu. To zna~i da su i ove re~inastale ili dobile svoja ek-spresivna zna~ewa polisemijomi tvorbom re~i od primarne lek-sike, leksike iz osnovnogleksi~kog fonda.

3.6. Videli smo da najve}embroju engleskih frazalnihglagola odgovaraju srpskiglagoli nastali tvorbom re~iili oni ~ija su specifi~nazna~ewa nastala polisemijom.Ima, me|utim, i onih frazalnihglagola koji se u srpskom jezikune mogu prevesti jednom re~juve} nekom konstrukcijom. Tiprimeri su naro~ito zanimqiviza kontrastivna leksi~kaprou~avawa. Tako, na primer, uengleskom jeziku postojefrazalni glagoli koji se usrpskom ovako prevode: go-voriti bez prestanka (to talkaway), govoriti glasnije (tospeak up), govoriti i daqe (to runon), govoriti sa visine (to talkdown to). Ovakvih primera nemamnogo, ali, ~ini se da prevodneekvivalente uglavnom nemajuoni frazalni glagoli u kojima jesadr‘ana semanti~ka kompo-nenta na~ina vr{ewa radwe.Zanimqivo bi bilo detaqanoanalizirati ove glagole i vide-ti postoje li, ipak, bar za nekeod wih odgovaraju}i prevodniekvivalenti i kako su nastali tiglagoli u srpskom jeziku.

4. Ciq ovog prikaza jeste da senaglasi da frazalni glagoli uengleskom jeziku predstavqajuleksi~ki mikrosistem kojim sene imenuju osnovne radwe, stawai zbivawa (jer su za to zadu‘eniosnovni glagoli, koji su ~esto i

sadr‘ani u frazalnim), ve} onipredstavqaju periferijski deoleksike, nastao svojevrsnomengleskom leksi~ko-sintaksi-~kom tvorbom re~i. Srpsko-engleski re~nik engleskihfrazalnih glagola dr Danke\oki} pru‘a nam uvid u to kakose problem imenovawa neimeno-vanih pojava re{ava u srpskomjeziku. Poku{ali smo dapoka‘emo da sve ono {to va‘i zamikrosistem srpskih ekvivale-nata engleskih frazalnih gla-gola va‘i i za makrosistemcelokupne sekundarne leksikesrpskog jezika. Iz ovog re~nikasaznajemo mnogo i o strukturileksike na{eg jezika, a ne samoo engleskim frazalnim glago-lima i zato je leva strana ovogre~nika (tj. wegov srpski deo)dragocena gra|a za prou~avaweaktuelnih procesa u boga}ewuleksi~kog sistema srpskog jezi-ka.

Ne treba posebno nagla{avatikoliko }e ovaj re~nik biti ko-ristan u nastavi engleskog jezi-ka, jer u~enicima i studentimapru‘a uvid u frazalne glagole,ali i pogled na jedan od najpro-duktivnijih na~ina za nastajawenovih re~i u engleskom jeziku.

Dr Rajna Dragi}evi}

Filolo{ki fakultet,Beograd

127

Pred nama je monografija doc.dr Gordane Budimir-Ninkovi}Vrednosne orijentacije mladihi odraslih, ~ija osnova je is-toimena doktorska disertacija.Monografija predstavqa rezul-tat teorijsko-empirijskog is-tra‘ivawa su{tinskih pitawa iproblema savremenih vrednos-nih orijentacija mladih iodraslih u Srbiji, preciznije,vrednosnih orijentacija u~e-nika zavr{nih razreda sredwih{kola i wihovih roditeqa. Ovoistra‘ivawe ima izra‘enpedago{ko-andrago{ki karak-ter, obezbe|uju}i tako sebizna~ajno mesto u oblasti is-tra‘ivawa vrednosnih orijen-tacija mladih i odraslih, gde jeovaj aspekt zanemaren ili se od-nosi na neki u‘i problem.Pedago{ki zna~aj je sadr‘an usistematizovawu i uve}avawunau~nih znawa o vaspitnim po-tencijalima vrednosnih orijen-tacija mladih i odraslih, te umogu}nostima primewivawa tihsaznawa na unapre|ivawevaspitne prakse, prvenstveno u

porodi~nom, a zatim i u {kol-skom ‘ivotu. Kompleksnost is-tra‘ivawa je uslovqena kom-pleksno{}u tri onovna procesa,socijalizacije, individuali-zacije i personalizacije, kojiuobli~avaju vrednosne orijen-tacije mladih i odraslih uporodi~nom, a {to se ti~emladih i u {kolskom ‘ivotu.

U okviru teorijskih osnova is-tra‘ivawa autor osvetqavapedago{ko-andrago{ke potenci-jale vrednosnih orijentacijamladih i odraslih, tj. obja{wavana koji na~in i u kojoj meri sub-jekti i objekti vaspitno-obra-zovnog rada (vaspita~i i vaspi-tanici, nastavna sredstva,oblici, metode i nastavnisadr‘aji i wihovi me|usobniodnosi), uti~u na mlade iodrasle. Isti~u}i da jeopravdano o~ekivati da se vred-nosne orijentacije mladih for-miraju i na osnovu vrednosnihorijentacija odraslih (ro-diteqa i nastavnika), autor na-gla{ava zna~aj saglasnostipedago{ko-andrago{kih poten-

cijala u funkciji postizawaciqa vaspitawa i obrazovawa saaktivnostima subjekata (ro-diteqa, nastavnika, dece,u~enika, mladih). Vi{edi-menzionalni problem is-tra‘ivawa, u kome razlikujemonaju‘e jezgro, pedago{ke poten-cijale vrednosnih orijentacijamladih na relaciji vrednosneorijentacije u~enika-uspeh uu~ewu, zatim vrednosne orijen-tacije roditeqa tih u~enika({to ukqu~uje sadr‘ajeporodi~nog vaspitawa inaro~ito prati me|uqudske od-nose u porodici, postupke ro-diteqa prema deci i dece premaroditeqima), kao i uticajvr{waka na formirawe vred-nosnih orijentacija uporodi~nom i {kolskom ‘ivotuveoma je studiozno i sistema-ti~no obra|en.

Autor je nameru da utvrdi i ob-jasni pedago{ko-andrago{ke po-tencijale vrednosnih orijen-tacija mladih i odraslihostvario realizacijom slede}ihistra‘iva~kih zadataka: (a)

Prikaz

PEDAGO[KO-ANDRAGO[KIASPEKT VREDNOSNIH

ORIJENTACIJA MLADIH IODRASLIH

Gordana Budimir-Ninkovi}: Vrednosne orijentacije mladih i odraslih,

U~iteqski fakultet, Jagodina, 2004.

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 128-130

128

ispitivawem i utvr|ivawembitnih ~inilaca vrednosnihorijentacija mladih i odraslihi wihove me|uzavisnosti; (b) is-tra‘ivawem i utvr|ivawem uti-caja metoda vaspitawa, vaspit-nih sredstava i stavova ro-diteqa na vrednosne orijen-tacije dece; (v) utvr|ivawemme|uzavisnosti {kolskog uspehai vrednosnih orijentacijau~enika i wihovih roditeqa; (g)ispitivawem i utvr|ivawemme|uzavisnosti zadovoqstvaporodicom, dosada{wim ‘ivo-tom i stilovima ‘ivota mladihi odraslih. Op{tu hipotezu da"postoji zna~ajna me|uzavisnostpedago{ko-andrago{kih poten-cijala i vrednosnih orijen-tacija mladih i odraslih" iposebne hipoteze "da postojipozitivna korelacija izme|upotreba, vrednosti i vrednosnihorijentacija mladih i odra-slih", "da postoji zna~ajan uti-caj odre|enih metoda vaspitawa,vaspitnih sredstava i stavovaroditeqa na vrednosne orijen-tacije dece", "da postoji kore-lacija izme|u {kolskog uspehau~enika, nivoa obrazovawa,dru{tveno-ekonomskog statusa istarosti roditeqa sa stilovima‘ivota i ‘ivotnim potrebamamladih i oraslih", "da postojikorelacija izme|u zadovoqstvaporodicom i ‘ivotom i stilova‘ivota mladih i odraslih",autor proverava kroz opse‘noempirijsko istra‘ivawe.

Dobijeni rezultati istra‘i-vawa omogu}ili su izvo|eweslede}ih zakqu~aka: (1) li~nostsa razvijenim sposobnostima ipovoqnim uslovima ‘ivota ima

i ve}i broj potreba, kao i sred-stava i na~ina za wihovo zadovo-qewe; istovremeno, brojnidru{tveni uslovi mogu uticatina razvoj i mewawe vrednosnihorijentacija u oba navedenastarosna doba; (2) najzna~ajnijidru{tveni uslovi ‘ivota kojiuti~u na vrednosne orijentacijemladih i odraslih su ekonomski,politi~ki i kulturni, tj, to sudru{tveno-ekonomski sistem,politi~ki sistem i kulturniobrasci ‘ivota; (3) teorijskoistra‘ivawe pokazalo je da sunajzna~ajniji izvori pedago{kihpotencijala vrednosnih orijen-tacija mladih i odraslih, presvega, porodi~ni i {kolski‘ivot i uticaj vr{waka, kada suu pitawu mladi; (4) vrednosneorijentacije mladih i odraslihklasifikovane su u sedam vrstai to: ekonomsko-utilitarna, he-donisti~ka, prometejska, al-truisti~ka, stvarala~ka, poli-ti~ka i saznajna; (5) u okviruvaspitawa u celini, posebno uonom koje se odvija u porodici i{koli, postoje brojni peda-go{ko-andrago{ki potencijaliu vrednosnoj sferi ‘ivotau~enika i wihovih roditeqa; tipotencijali su primarno u hu-manim i demokratskim me|uqud-skim odnosima, u porodici i{koli, a zatim i {ire se nalazeu me|uzavisnosti; (6) postojipovezanost i me|uzavisnostvrednosnih orijentacija dece iwihovih roditeqa; klasifi-kacija stilova ‘ivota na sedamvrsta, u kojoj autor na prvommestu rangira stvarala~ki, a naposledwem hedonisti~ki, poka-zuje da veliki broj ispitanikaprednost daje upravo stvara-

la~koj vrednosnoj orijentaciji;(7) postoji zna~ajna me|uzavis-nost izme|u metoda vaspitawa,vaspitnih sredstava i stavovaroditeqa prema deci, kao i vred-nosnih orijentacija dece;pokazuje se da roditeqi najvi{ekoriste metodu podsticawa, anajmawe metodu spre~avawa, doksu naj~e{}a vaspitna sredstvapouke, saveti, upozorewa i odo-bravawa, kao i podsticawe re~i-ma; naj~e{}i stavovi roditeqasu preterano za{titni~ki ipreterano popustqiv; (8) pos-toji zna~ajna me|uzavisnostizme|u {kolskog uspeha i vred-nosnih orijentacija, ali i vred-nosne orijentacije roditeqauti~u na {kolski uspeh wihovedece; pozitivne vrednosne ori-jentacije u~enika (saznajna,stvarala~ka i altruisti~ka)pozitivno uti~u na {kolski us-peh, a sa druge strane, boqi{kolski uspeh pozitivno uti~ena formirawe i u~vr{}ivawepo‘eqnih vrednosnih orijen-tacija; (9) istra‘ivawe ome|uzavisnosti zadovoqstvaporodicom i dosada{wim na~i-nom ‘ivota, na jednoj strani, ivrednosnih orijentacija na dru-goj, pokazuju da svim grupamaispitanika najvi{e zadovoqstvapru‘aju iskrenost, veselost ime|usobno pomagawe; razgovor osadr‘ajima iz {kole mladimapru‘a najmawe zadovoqstva, asportske aktivnosti pred-stavqaju najmawe zadovoqstvo zawihove roditeqe; (10) na osnovudobijenih podataka, autor nakraju izvodi zakqu~ke o budu}emrazvoju vrednosnih orijentacijamladih i odraslih, kao i o wi-hovim pedago{ko-andrago{kim

129

potencijalima; po‘eqne vred-nosne orijentacije, prosoci-jalne i orijentacija samoreali-zacije qudi kao autenti~nih jed-inki (li~nosti) bi}e omogu}enirazvojem demokratije i ve}ihsloboda li~nosti; porodica i{kola }e u bli‘oj i daqojbudu}nosti biti zna~ajni ~i-nioci promovisawa vrednosti,vrednosnih sistema i formi-rawa po‘eqnih vrednosnih ori-jentacija, ali }e dru{tveni raz-voj usloviti prekomponovaweosnovnih funkcija porodice(neke wene funkcije }e oslabi-

ti) i {kole, koje }e potpunijeostvarivati ciqeve vaspitawa itako uobli~avati vrednosneorijentacije u~enika.

Monografija doc. dr GordaneBudimir-Ninkovi}, Vrednosneorijentacije mladih i odraslih,pru‘a bogatu teorijsku analizuveoma zna~ajnog pedago{ko-an-drago{kog problema, kao ibogatu empirijsku gra|u, koja naiscrpan na~in rasvetqava vred-nosne orijentacije mladih iodraslih u Srbiji u trenutkukada se stari vrednosni sistem

nije potpuno uru{io i kada sejo{ uvek ne zna koji }e ga vred-nosni sistem zameniti. Aktuel-nost istra‘ivanog problemamo‘e pomo}i u tragawu za odgo-vorima obrazovawa na nove iza-zove, koje pred wim postavqadru{tvo zahva}eno sna‘nimpromenama.

Zbog svega navedenog, ovakwiga je zna~ajno nau~no delo.

Mr Vesna Trifunovi}

U~iteqski fakultet,Jagodina

130

Centar za istra‘ivawe iinovacije u obrazovawuhttp://www.oecd.org/department/0,2688,en_2649_35845581|1|1_1,00.html

Od 1986. godine u okviru Or-ganizacije za ekonomsku saradwui razvoj najrazvijenijih evrop-skih zemaqa, Kanade i SAD(OECD), formiran je Centr zaistra‘ivawe i inovacije u obra-zovawu (CERI - Centre for Educa-tional Research and Innovation).

Program rada Centra je mul-tidisciplinaran. Jedan odglavnih zadataka Centra je:koordinacija, podsticawe i pre-duzimawe istra‘iva~kih ak-tivnosti u sferi obrazovawa(usmeravawe studijskog i ogled-nog rada ka uvo|ewu inovacija unastavu), na me|udr‘avnu sara-

dwu zemaqa ~lanica (na is-tra‘ivawu i primeni inovacijana svim stupwevima obra-zovawa).

Na Internet lokaciji CERI, uokviru razli~itih publikacija,mo‘emo prona}i informacije oobrazovnim sistemima i obra-zovnim institucijama kao ipromi{qawa o wihovoj budu-}nosti.

Upravqawe u obrazovawu iobrazovna politikahttp://eric.uoregon.edu/index.html

U~iteqski fakultet Uni-verziteta u Oregonu bavi seizdava{tvom razli~itih publi-kacija (monografija, kwiga,~asopisa) od interesa za nacio-nalno obrazovno tr‘i{te ({ko-

lsku upravu, istra‘iva~e, nas-tavnike i drugi personal).

Posebna pa‘wa poklawa seupravqawu ili menaxmentu uobrazovawu. Na lokacijimo‘emo prona}i razli~itelinkove kao {to su: aktuelneteme, tendencije, publikacije ikorisne adrese.

Mi~igenski institut zaupravqawe u obrazovawuhttp://www.gomiem.org/

Mi~igenski institut zaupravqawe u obrazovawu po~eoje sa radom 1981. godine. Insti-tut je osnovan od straneudru‘ewa direktora obrazovnihustanova i poslovne {kole. Saovom ustanovom mo‘emo seupoznati preko odeqaka: O nama,Konferencije i radionice, Kon-takt itd.

Stru~neinformacije

UPRAVQAWE U OBRAZOVAWU - KORISNE WEB LOKACIJE

Inovacije u nastavi, HúH, 2006/2, str. 131-133

131

Obrazovawe za sve do 2015.godinehttp://portal.unesco.org/education/en/ev.php-URL_ID=42332&URL_DO=DO_TOPIC&URL_SECTION=201.html

Na Internet lokacijiUNESCO-a za obrazovawe, mo‘e-mo se upoznati sa: stalnim te-mama (Osnovno obrazovawe,Sredwe obrazovawe, Pismenost,Inkluzivno obrazovawe, Obra-zovawe u~iteqa itd.); obra-zovnim ciqevima do 2015.godine; obrazovnim mre‘ama inovostima. Pod okriqem ove or-ganizacije rade eksperti izrazli~itih oblasti ~ije su ana-lize od velikog zna~aja zabudu}nost.

UNESCO-va katedra zaupravqawe u visokomobrazovawuhttp://www.unizg.hr/unesco/index.html

Multidisciplinarni pristupu upravqawu visokim obrazo-vawem poqe je aktivnosti Kate-dre za menaxment u visokomobrazovawu Univerziteta u Za-grebu. Ugra|ene hiperveze namati~noj strani nas vode dorazli~itih odeqaka (O pro-jektu, Doga|awa, Literatura,Linkovi) koji govore o ovomzna~ajnom projektu.

Velika lista linkova zaupravqawe nastavnim procesomhttp://drwilliampmartin.tripod.com/classm.html

Autori ovu Internet lokacijupreporu~uju kao jednu od naj-ve}ih. Na woj se nalazi 149 link-ova koji se bave temama vezanimza upravqawe i rukovo|ewe u os-novno{kolskom i sredwe{kol-skom obrazovnom sistemu.

Bezbednost u {kolihttp://www.keepschoolssafe.org/index.htm

Lokacija je namewena prven-stveno {kolskoj upravi, ali iu~enicima i wihovim ro-diteqima. Pod parolom da{kola treba da bude bezbedna zasve koji borave u woj, autorilokacije U~inimo {kolu bezbed-nom (eng. Keep Schools Safe) ula‘unapore kako bi spre~ili nasiqe,kriminal i upotrebu narkotikau {koli.

Kvalitet i upravqawe uobrazovawuhttp://www.oki.hu/oldal.php?tipus=kiadvany&kod=quality

Kvalitet i upravqawe u obra-zovawu (eng. Quality and Educa-tional Management) deo je In-ternet lokacije ma|arskog na-cionalnog instuta za obra-zovawe. Na lokaciji mo‘emoprona}i slede}e linkove: Onama, Publikacije, Aktivnostii Saradwa.

Evropska organizacija zakvalitet

http://www.eoq.org/

Evropska organizacija zakvalitet (EOQ- European Organi-zation for Quality) ima vode}uulogu pri koncipirawu i promo-ciji sistema osposobqavawa/obuke za odgovaraju}e funkcijei zadatke u oblasti sistemakvaliteta. Ve}ina zemaqa

132

Evrope vr{i osposobqavawestru~waka za sistem kvalitet.Onovna zanimawa su: menaxerkvaliteta EOQ, in‘ewerkvaliteta EOQ i ocewiva~sistema kvaliteta.

Na Internet lokaciji Evrop-ske organizacije za kvalitetmo‘emo prona}i sve potrebnepodatke na odeqcima: O EOQ,Baza znawa, Informacije,Doga|aji, U~e{}e i Kontakti.

Upravqawe projektom

Upravqawe projektom prime-wuje odre|ene postupke na po-kretawe, planirawe, upravqa-we, implementaciju i zavr{ava-we pojedinog projekta dizajnira-nog za postizawe odre|enihciqeva. Upravqawe projektomukqu~uje tri elementa. Ruko-vodilac projekta upravqazadacima, resursima i vremenom.U su{tini, {to vi{e znamo oprojektu, mo‘emo wime boqe

upravqati. Nave{}emo trizna~ajne Internet lokacije kojemogu pomo}i u razvijawuve{tine upravqawa projektom.

1. Centar za upravqaweprojektima KolumbijaUniverzitetahttp://www.columbia.edu/~jm2217/

Internet lokacija Centara zaupravqawe projektima Kolum-bija Univerziteta (Columbia Uni-versity Project Management ResourceCenter) je svojevrsna zbirkalinkova na {irok opus resursakoji se bave upravqawem projek-tima.

2. Max Widemanov web

http://www.maxwideman.com/issacons/index.htm

Na lokaciji mo‘emo prona}i:pregled upravqawa projektom,savete, sugestije, re~nik.

3.Upravqawe projektom -internacionalni ~asopishttp://www.sciencedirect.com/science/journal/02637863

Data lokacija sadr‘i elek-tronsku verziju internacional-nog ~asopisa Upravqawe projek-tom (eng. International Journal ofProject Management).

mr Miroslava Risti}

U~iteqski fakultet, Beograd

133

UPUTSTVO AUTORIMA

^asopis Inovacije u nastavi objavquje teorijske radove, pregledne radove i izvorne is-tra‘iva~ke radove iz nau~nih i umetni~kih oblasti relevantnih za obrazovni i vaspitni procesu {koli. Pored toga, Inovacije objavquju i aktuelne stru~ne radove, prevedene radove, tematskebibliografije, prikaze kwiga, izve{taje, stru~ne informacije i strukovne vesti. Za objavqivaweu ~asopisu prihvataju se iskqu~ivo originalni radovi koji nisu prethodno objavqivani i nisuistovremeno podneti za objavqivawe negde drugde, {to autor garantuje slawem rada. Svi radovise anonimno recenziraju od strane dva recenzenta posle ~ega redakcija donosi odluku o objavqi-vawu i o tome obave{tava autora u roku od najvi{e tri meseca. Rukopisi se {aqu elektronskompo{tom ili na disketi i ne vra}aju se.

Adresa redakcije je: U~iteqski fakultet, Beograd, Narodnog fronta 43

E-mail: [email protected] prilo‘en za objavqivawe treba da bude pripremqen prema standardima ~asopisa Ino-

vacije u nastavi da bi bio ukqu~en u proceduru recenzirawa. Neodgovaraju}e pripremqeni ruko-pisi bi}e vra}eni autoru na doradu.

Standardi za pripremu rada

Obim i font. Rad treba da bude napisan u tekst procesoru Microsoft Word, fontom TimesNew Roman veli~ine 12 ta~aka, }irilicom, sa razmakom od 1,5 reda. Obim teorijskih, preglednihi istra‘iva~kih radova je do jednog autorskog tabaka (oko 30 000 znakova), stru~nih i prevedenihradova do 6 strana (oko 11 000 znakova) i izve{taja, prikaza, tematskih bibliografija 2-3 strane(oko 3 800 - 5 600 znakova).

Naslov rada. Iznad naslova rada pi{e se ime (imena) autora i institucija (institucije) ukojoj radi (rade). Uz ime autora (prvog autora) treba staviti fusnotu koja sadr‘i elektronskuadresu autora. Ukoliko rad poti~e iz doktorske ili magistarske teze u fusnoti treba da stoji inaziv teze, mesto i fakultet na kojem je odbrawena. Za radove koji poti~u iz istra‘iva~kihprojekata treba navesti naziv i broj projekta, finansijera i instituciju u kojoj se realizuje.

Rezime. Rezime du‘ine 150-300 re~i nalazi se na po~etku rada i sadr‘i ciq rada, primewenemetode, glavne rezultate i zakqu~ke.

Kqu~ne re~i. Kqu~ne re~i se navode iza rezimea. Treba da ih bude do pet, pi{u se velikimslovima i odvojene su kosom crtom.

Osnovni tekst. Radove treba pisati jezgrovito, razumqivim stilom i logi~kim redom koji,po pravilu, ukqu~uje uvodni deo s odre|ewem ciqa ili problema rada, opis metodologije, prikazdobijenih rezultata, kao i diskusiju rezultata sa zakqu~cima i implikacijama.

Reference u tekstu. Imena stranih autora u tekstu navode se u originalu ili u srpskojtranskripciji, fonetskim pisawem prezimena, a zatim se u zagradi navodi izvorno, uz godinupublikovawa rada, npr. Pija‘e (Piaget, 1960). Kada su dva autora rada, navode se prezimena oba, dokse u slu~aju ve}eg broja autora navodi prezime prvog i skra}enica "i sar." ili "et al."

Citati. Svaki citat, bez obzira na du‘inu, treba da prati referenca sa brojem strane. Zasvaki citat du‘i od 350 znakova autor mora da ima i da prilo‘i pismeno odobrewe vlasnikaautorskih prava.

Spisak literature. Na kraju teksta treba prilo‘iti spisak literature koja je navo|ena utekstu. Bibliografska jedinica kwige treba da sadr‘i prezime i inicijale imena autora, godinuizdawa, naslov kwige (kurzivom), mesto izdawa i izdava~a npr. Rot, Nikola (1983): Osnovi soci-jalne psihologije, Beograd, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva.

Poglavqe u kwizi navodi se na slede}i na~in: Havelka, N. (2001): Uxbenik i razli~itekoncepcije obrazovawa i nastave. U B. Trebje{anin, D. Lazarevi} (ur.): Savremeni osnovno{kol-ski uxbenik, Beograd, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva.

^lanak u ~asopisu navodi se na slede}i na~in: autor, godina izdawa (u zagradi), naslov~lanka, puno ime ~asopisa (kurzivom), volumen (boldovan), broj i stranice npr. Radovanovi}, I.(1994): Stavovi u~enika prema osobinama nastavnika fizi~kog vaspitawa, Fizi~ka kultura,Beograd, 48, 3, 223-229.

Web dokument: ime autora, godina, naziv dokumenta (kurzivom), datum kada je sajt pose}en,internet adresa sajta, npr. Degelman, D. (2000). APA Style Essentialis. Retrieved May 18, 2000. fromhttp://www.vanguard.edu/psychology/apa.pdf

Kada se isti autor navodi vi{e puta po{tuje se redosled godina u kojima su radovi publiko-vani. Ukoliko se navodi ve}i broj radova istog autora publikovanih u istoj godini, radovi trebada budu ozna~eni slovima uz godinu izdawa npr. 1999a, 1999b...

Navo|ewe neobjavqenih radova nije po‘eqno, a ukoliko je neophodno treba navesti {topotpunije podatke o izvoru.

Slike i tabele. Slike (crte‘i, grafikoni, sheme) i tabele mogu se pripremiti kompjute-rskom ili klasi~nom tehnologijom (tu{em na paus papiru). Svaka ilustracija i tabela mora bitirazumqiva i bez ~itawa teksta, odnosno, mora imati redni broj, naslov i legendu (obja{wewaoznaka, {ifara i skra}enica). Prila‘u se na posebnim listovima papira, bez paginacije, klasi-fikovane po vrstama i numerisane unutar svoje kategorije (na primer, tabele 1, 2, 3... grafici 1,2,3... ). Redni broj slike ili tabele, kao i prezime autora, upisati na pole|ini grafitnom olovkom.Prikazivawe istih podataka tabelarno i grafi~ki nije dozvoqeno.

Statisti~ki podaci. Rezultati statisti~kih testova treba da budu dati na slede}i na~in:F = 25.35, df=1,9, p < .001 ili F(1,9)=25,35, p < .001 i sli~no za druge testove. Za uobi~ajenestatisti~ke pokazateqe ne treba navoditi formule i reference.

Fusnote i skra}enice. Fusnote treba izbegavati, a reference navesti azbu~nim redom nakraju rada. Skra}enice, tako|e, treba izbegavati, osim izuzetno poznatih.