inj messadi mouna

8/12/2019 Inj Messadi Mouna

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MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DELA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE HADJ LAKHDAR - BATNAFACULTE DE TECNOLOGIE

DEPARTEMENT DELECTROTECHNIQUE

PRSENT POUR LOBTENTION DU DIPLME DE MAGISTER

EN ELECTROTECHNIQUEOPTION : commande des systmes lectromagntiques

Prsent Par :

MESSAADI MOUNA

(Ingnieur en lectrotechnique)

Commande backstepping applique la machinesynchrone a aimants permanents

Soutenue le : 16/01/2012

Devant le jury compos de :

Prnom & Nom Grade Qualit Universit

Mr Saidi Lamir. Maitre de confrence Prsident Universit de BatnaM. Mohamed KADJOUDJ Professeur Rapporteur Universit de BatnaMr.Rachid ABDESSEMED Professeur Co-rapporteur Universit de BatnaMr. Ammar GOLEA. Professeur Examinateur Universit de BiskraM

rM

ed.Lokman BENDAAS

MrBachir ABDELHADI

Maitre de confrence Examinateur Universit de BatnaUniversit de BatnaUniversit de Batna

Anne universitaire : 2005/2006

Maitre de confrence Examinateur

Mr Samir BENDIB Maitre de confrence Examinateur


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Ddicaces

ii

sDdicace

A mes parents, mon mari, mes enfants,

mes surs et mes frres.


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Remerciements

Merci dieu le plus puissant pour son ferme aide, sinon avec les conditions trs durs que jai vcu, je

narriverai plus jamais finir ce mmoire.

Je ddie ce travail avec mes remerciements intenses celui qui ma aid, soutenu avec une foie que

je nepeux la dcrire maintenant mon encadreur KADJOUDJ MOHAMEDProfesseur

lUniversit de Batna que Dieu laccueillera dans son vaste paradis, Amin.

Je tiens galement exprimer toute ma gratitude, ma reconnaissance avec tout mon respect que je lui

dois Monsieur RACHID ABDESSEMEDProfesseur lUniversit de Batna, Directeur de

Laboratoire de Recherche dElectrotechnique pour le fait davoir accept lencadrement de ce

mmoire avec un soutien indterminable.

Tous mes enseignants du Dpartement dElectrotechnique mritent mes remerciements pour la

bonne formation, le cadre agrable de travail et les prcieux conseils, je remercie plus

particulirement Messieurs RACHID ABDESSEMEDet AZZEDINE BENOUDJIT.

Mes remerciements et mon respect vont Monsieur MOKHTARI MESSAOUDMatre de

confrences lUniversit de Batna Dpartement de lElectronique pour son aide prcieuse et sa

disponibilit pour vraiment accomplir ce travail.

Je remercie tous les membres de jury pour toute lattention quils ont port la lecture de mmoire.

Je tiens remercier trs vivement Monsieur SAIDI LAMIRMatre de confrences lUniversit de

Batna, pou mavoir fait lhonneur de prsider le jury.

Je remercie Monsieur M.L.BENDAAS, Matre de confrences lUniversit de Batna, davoir

accept dexaminer ce mmoire et den tre un des membres de jury, quil trouve ici le tmoignage

de gratitude.

Jadresse galement mes remerciements Monsieur A.GOLEA, Professeur lUniversit de Biskra,

de mavoir fait lhonneur de participer au jury.

Je suis galement trs reconnaissante Monsieur ABDELHADI BACHIR, Matre de confrences

lUniversit de Batna, pour lintrt quil a bien voulu porter ce travail, en acceptant de le juger et

pour ses prcieuses remarques.

Je tiens exprimer ma profonde gratitude Monsieur BENDIB SAMIRMatre de confrences

lUniversit de Batna, pour mavoir fait lhonneur dexaminer ce mmoire et dtre membre de jury.


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Remerciements

Je suis immensment reconnaissante mes trs chers parents qui mont soutenu tout au long de ma

vie je leur dois beaucoup, quils trouvent dans ce manuscrit toute ma reconnaissance et le signe que

je suis enfin arrive.

Merci mon mari Ahmed davoir support mon indispensabilit et mon ingratitude sans le moindre

reproche.

Jinclus une liste damis qui ont beaucoup compt pour moi et qui mont soutenu un moment ou un

autre, durant ces dernires annes, B.Nejoua, B.Khadidja, B.Nessima et H.Bensaadi.

Je remercie, Hamza et Moustapha qui mont apport un moment ou un autre leurs comptences et

ont partag la progression de mon travail.

Enfin, un grand merci pour ceux que je ne peux designer et qui mont aid de prs ou de loin

parcourir ce chemin.


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Table des principaux symboles

a, b, c Axes a, b et c du repre triphas

, Axes et du repre diphas li au statorF Coefficient de frottement.

i, i Composantes de courant dans le rfrentiel de Concordia

q Constante de temps lectrique

Coefficient damortissement.

Constante de temps lectrique

Ce Couple lectromagntique.

Cr Couple rsistant.

scsbsa I,I,I Courants qui traversent les trois phases statoriques.

x Equation algbrique.

zi Erreure.

Yr Entre de rfrence.

mc Flux de fuite du l'aimant permanent.

d Flux direct suivant laxe d

q Flux suivant laxe q

scsbsa ,, Flux totaux travers ces enroulements.

ma Flux de fuite du l'aimant permanent.

mcmbma , Flux de fuite du l'aimant permanent.

Flux de fuite du l'aimant permanent.

d

mb


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1xV Fonction de Lyapunov.

(x) Fonction stabilisante.

(i, i) Fonctions non linaire connues.

f.e.m Force lectromotrice

FMM Force magntomotrice

p Frquence de la porteuse.

Ld,Lq Inductances suivant les axes d,q successivement.

ccbbaa L,L,L

Inductances propres des phases statorique.

acbaab L,L,L Inductances mutuelles entre phases statorique.

soL Inductance de fuite de l'enroulement du stator du au flux de fuite de l'armature.

cbbcca L,L,L Inductances mutuelles entre phases statorique.

soL : Inductance de fuite de l'enroulement du stator du au flux de fuite de l'armature.

s1L : Inductance moyenne du en raison du flux fondamentale d'aire gap de l'espace.

xL : Inductance de fluctuation,variable avec la position du rotor.

s1L Inductance moyenne du en raison du flux fondamentale d'aire gap del'espace.

xL Inductance de fluctuation,variable avec la position du rotor.

u Loi de commande.

C Matrice de connexion de londuleur.

(MSAP) Machine synchrone aimants permanents

ss

L Matrice d'inductance du stator variable avec la position du rotor.

ss

L

Matrice des inductances.

[P()] Matrice de Park.


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(,) Modle de Concordia

J Moment dinertiedes masses en rotor.

P Nombre de paires de ples.

m Position du rotor

Tp Priode de la porteuse.

Puissance instantane d'entre.

Rs Rsistance statorique

s Vitesse statorique.

r Vitesse rotorique.

Vitesse de rotation mcanique du rotor.

scsbsa V,V,V Tensions appliques aux trois phases statoriques.

T32 Transformation restreinte de Concordia.

tj Rapport cyclique

Vjr Tension de rfrence.

Vj Tension de charge dechantillonage.

PI Rgulateur proportionnel integral.

Cd(s) Rgulateur de courant direct.

Cq(s) Rgulateur de courant en quadrature.

C(s) Rgulateur de vitesse angulaire mcanique.

RBF Rseaux des fonctions de base radiales.

ANNs Artificial Neural Network.

NPSF Nonlinear parametric strict feedback.

* Vitesse de r ference.

tP


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Vecteur de paramtres constants.

(x1) Vecteur de fonctions non linaires lisses.

^ Vecteur estim.


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Sommaire

Introduction Gnrale 1

CHAPITRE UN

Modlisation de la Machine Synchrone Aimants Permanents

I.1.Introduction...... 5

I.2.Prsentation de la machine synchrone aimants permanents (MSAP)... 6

I.3.Domaines dapplication des moteurs synchrones 7

I.4.Diffrents types dalimentation 9

I.4.1.Alimentation par un commutateur de courant. 10

I.4.2.Alimentation par un onduleur de tension 10

I.5.Modlisation de la machine synchrone aimants permanents 10

I.5.1.Equations lectriques.. 12

I.5.2.Equations magntiques 12

I.5.3.Equations mcaniques. 15

I.6.Modle de Park 15

I.6.1.Application de la transformation de Park de la MSAP.. 17

I.6.2.Equation dun enroulement triphas dans le systme daxes d-q.. 17

I.6.3.Equation du flux.. 19

I.6.4. Circuit quivalent du MSAP dans le systme daxes d-q.. 19

I.6.5.Equation de la puissance instantane.. 20

I.6.6.Equation du couple lectromagntique 20

I.7.Modlisation sous la forme dtat de la MSAP.. 21

I.7.1.Reprsentation dtat. 21

I.7.2.Reprsentation dtat du modle de la MSAP dans le repre d-q. 21

I.8.Bloc de simulation de la MSAP.. 24

I.8.1.Rsultats de simulation 25


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Sommaire

CHAPITRE DEUX

Commande Vectorielle de la Machine Synchrone Aimants

Permanents

II.1.Introduction 26

II.2.Les quations du MSAP en rgime quelconque... 26

II.3.Principe de la commande vectorielle 28

II.4.Structure de la commande en tension... 30

II.5.Fonction de transfert dune MSAP... 33

II.6.Onduleur de tension . 35

II.7.Modlisation des onduleurs de tension. 36

II.8.Simulation numrique de lensemble commande -onduleur-machine. 40

a. Sans onduleur 40

a-1.En mode normal.. 40

a-2 Avec onduleur. 45

a-3mode normal 45

II.9.Interprtation .. 46

II.10.Conclusion. 46

CHAPITRE TROIS

Dveloppement Thorique de la Mthode Backstepping

III.1.Introduction48

III.2.Systmes non linaires49

III.3.Stabilit des systmes linaires et non linaires..50


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Sommaire

III.3.1.Equilibre et stabilit des systmes...50

III.3.2.Choix de la fonction de Lyapunov...53

III.3.3.Conception de commande base sur Lyapunov...55

III.4.Commande Backstepping des systmes non linaires...56

III.4.1.Approche Backstepping non adaptative ...........................................................59

III.4.1.1.Principe.............................................................................................................59

III.4.1.2.Systme de premier ordre..60

III.4.1.3.Rsultats de simulation..61

III.4.1.4.Systme de deuxime ordre. .62

III.4.1.5.Rsultats de simulation..64

III.4.2.Approche Backstepping adaptative.66

III.4.2.1.Principe... 66

III.4.2.2.Conditions dimplantation...67

III.4.2.3.Etude dun systme de premier ordre..68

III.4.2.4.Rsultats de simulation69

III.4.2.5.Etude dun systme de deuxime ordre...74

III.4.2.6.Rsultats de simulation77

III.4.3.Conclusion.80

III.5.Commande adaptative des systmes non linaires par lapproche....80

Backstepping- neuronale

III.5.1.Problmatique80

III.5.2.Introduction...81

III.5.3.Backstepping adaptatif..82

III.5.4.Rseaux de fonctions de base radiales RBF..83

III.5.5.Commande adaptative des systmes non linaires par rseau...85

neurologiques artificiels (ANNAC)


12/143

Sommaire

III.5.6.Dveloppement thorique de la commande adaptative des systmes.87

nonlinaires par lapproche Backstepping neuronale

III.5.6.1.Dveloppement thorique87

III.5.6.2.Exemple de simulation avec entre de rfrence nulle ..91

III.5.6.3.Exemple de simulation avec entre de rfrence constante ou variable 97

III.6.Conclusion.103

CHAPITRE QUATRE

Application de la commande backstepping pour le moteur aimants

permanents

IV.1.Introduction.104

IV.2.Commande backstepping du moteur synchrone(MSAP).105

IV.2.1.Equation de la machine dans le rfrentiel rotorique...105

IV2.2.Modle utilis106

IV.2.3.Procdure de la commande adaptative backstepping .106

IV.3.Simulation et rsultats..111

IV.3.1.Commande non adaptative...111

IV.3.2.Commande adaptative..112

IV.4.Commande de la machine synchrone aimants permanents par lapproche...115

backstepping neuronale

IV.4.1.Modle utilis...115

IV.4.2.Procdure backstepping.118

IV.4.3.Rsultats de simulation..121

IV.5.Conclusion..122


13/143

Sommaire

Conclusion Gnrale

124

Annexe

Bibliographie 126


14/143

Introduction Gnrale

1

Pendant les deux dernires dcennies, il y a eu un dveloppement dans des mthodes

de conception pour commande des systmes dynamique non-linaires .Plusieurs mthodes

ont t inventes. Les mthodes classiques de variation de vitesse (mcaniques et

lectromcaniques) ont t peu peu substitues par des ensembles associant des

convertisseurs statiques des moteurs lectriques. Historiquement le moteur courant

continu a parfaitement assur le fonctionnement de la plupart dquipements industriels.

Cependant, son principal dfaut reste le collecteur mcanique que lon tolre mal

dans certains environnements et qui fait augmenter les cots dentretien. Ces contraintes ont

dirigs les tudes vers les entranements quips de machines courant alternatif. De nos

jours, de nombreux actionneurs associant des machines courant alternatif et des

convertisseurs statiques manifestent de nouvelles perspectives dans le domaine de

lentranement vitesse variable. On assiste une priode dabondance tant thori que que

pratique au niveau des tudes sur les entranements courant alternatif qui concurrencent

avec succs ceux courant continu. Dans le pass, cette solution ntait pas possible cause

principalement des structures de commande complexes de ce type de machines. Leurs

modles multivariables et non-linaires, les tats non mesurables et les paramtres qui

peuvent varier durant le fonctionnement ont limits les performances. Cependant, lvolution

rapide des processeurs numriques et llectronique de puissance a permis dimplanter destechniques de commande sophistiques pour ainsi atteindre des performances leves sur le

plan de rapidit et de prcision.

La rgulation de la vitesse est assure par les rgulateurs de types soit, P, PI ou PID.

Cependant, les rgulateurs sont conus laide des techniques de commande destines aux

modles parfaitement linaires.

Historique :

Le problme de la commande adaptative des systmes linaires paramtres inconnus

a t rsolu dans les annes 1970 et 1980 avec plusieurs techniques clbres. Ensuite, la fin

des annes 1980, la commande adaptative des systmes non linaires a connu un grand essor

avec la premire version de la linarisation entre-sortie adaptative. Plus tard, Peter

Kokotovi, Ioannis Kanellakopoulos, et Miroslav Krsti ont propos une nouvelle

conception systmatique des contrleurs adaptatifs dans lesquels est introduite la technique


15/143

Introduction Gnrale

2

du backstepping , qui est applicable, sur une classe des systmes triangulaires non

linaires paramtrs.[32]

En 1999 de nouveaux algorithmes prometteurs ont t obtenus grce une

combinaison : observateurs et commandes en mode glissants.

Introduction et Problmatique :

Les synthses modernes des lois de commande performantes, demandent une

connaissance trs fine des systmes commander, cependant, dans certains cas pratiques, la

commande du systme, lui-mme,peut savrer difficile, et parfois impossible de la mise en

uvre; comme par exemple dans les structures nuclaires et spatiales Alors, dans ces c as,

il est trs recommand de concevoir ce quon appelle : Lemodle du systme, en dautre

terme : le modle de connaissance ; qui est obtenu partir des connaissances priori, ou

partir des expriences, et qui permet de simuler les performances recherches pour le

systme.[1]

Pour cette raison, lautomaticien doit estimer, laide de ses propres moyens, les

paramtres inconnus pendant le fonctionnement du procd ; si bien que son objectif

principal est llaboration dune loi de commande qui confre un systme des proprits

dsires, donc, ce qui nous intressera dans ce projet est de rechercher des lois de commande

bases sur des techniques de synthse spcifiques quon va dvelopper, thoriquement, afinde raliser dun certain niveau de performances quand les paramtres sont inconnus ou

varient avec le temps.

Par ailleurs, la fiabilit donne par le modle de connaissance est en gnral

accompagne par linconvnient dune trop grande complexit qui se rvle dans les

diffrentes formes du non linarit.

Anciennement, il est pris, comme une solution, lapproximation linaire autour dun

point de fonctionnement ou dune trajectoire, en dautre terme, on prcde la rduction de

cette complexit en linarisation, le maximum possible, un systme dfinit comme tant un

systme non linaire.

Mais, aprs la linarisation du systme, le problme apparent est que les paramtres

physiques peuvent perdre leur interprtation et donc leur mesurabilit autour des points de

fonctionnement intressants, ce qui explique une linarisation inoprante, en outre, mme si


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Introduction Gnrale

3

le systme linaris peut avoir des paramtres mesurables et/ou commandables, on doit

allonger le domaine de validit de lapproximation linaire.

Enfin, certains problmes de commande, comme la planification des trajectoires, ne

sont pas de nature locale, et ne peuvent tre examins laide dun modle approch linaire,

cest le fait que nous nous intresserons dans notre travail ltude des systmes non

linaires ;

Ceci nous introduit la notion de la commande adaptative ; une commande est dite

adaptative si elle comporte des paramtres non fixs, lavance, mais modifis en ligne.

Noublions pas que linstabilit est le problme le plus gnant pour cette classe des

systmes, durant les transitions des paramtres estims, ltat peut diverger infiniment

pendant une dure finie. Donc, ce genre de problme va tre rsolu par la commandeadaptative, adopte dans ce travail, qui concerne une certaine classe des systmes non

linaires ; cest la forme triangulaire non linaire que lon va reprsenter ultrieurement.

Puisque les systmes non linaires font, gnralement, intervenir une instabilit

explosive qui affecte les performances requises des systmes de commande, il est

indispensable dintroduire la notion de la commande adaptative.

Sur le plan de la commande adaptative par le backstepping, la nouveaut majeure de

cette technique, adapte aux systmes triangulaires infrieurs, est une mthodologie de la

conception rcursive, et avec cette mthodologie la conception de la loi de commande et la

fonction de Lyapunov associe est systmatique.

Pendant que les mthodes classiques de linarisation des systmes exigent des modles

prcis et souvent annulent quelques non linarits utiles, le backstepping fait loffre dun

outil de conception en vitant des annulations au niveau du systme non linaire.

Notre proposition dans ce qui suit est dintroduire lalgorithme du backstepping, la

premire procdure est de choisir les conditions qui permettent dimplanter cette technique,


17/143

Introduction Gnrale

4

ensuite on va prendre des fonctions non linaires qui peuvent bnficier de cette technique de

commande. Enfin, des exemples pratiques feront lobjet de validation de notre travail.

Plan du document

Ce mmoire est subdivis en quatre chapitres.Modlisation du MSAP

Faisant lobjet du premier chapitre, cette partie consistera dcrire la machine

mathmatiquement avec son modle non linaire en mettant quelques hypothses de travail

en vidence, qui ont permis ltude de comportement de cette dernire. Le modle adopt est

bas sur la transformation de PARK.

Commande Vectorielle du MSAP

Dans le deuxime chapitre, nous irons concevoir la commande vectorielle applique

la machine pour une rgulation de la vitesse en mode normal et en mode dflux, cette

rgulation base sur les rgulateurs classiques PI.

Dveloppement Thorique de la Commande Backstepping

Dans cette partie, on a dcrirera toute une thorie des systmes non linaires, les

dfinitions de stabilit selon Lyapunov.Notre proposition dans ce qui suit sera lintroduction

de lalgorithme du backstepping, la premire procdure est de choisir les conditions qui

permettent dimplanter cette technique, ensuite on va prendre des fonctions non linaires qui

peuvent bnficier de cette technique de commande. Enfin, on amliorera la performance de

cette mthode par l'introduction des rseaux de neurones des exemples pratiques feront

lobjet de validation de notre travail,

Application de la Commande Backstepping sur la Machine Synchrone Aimants

Permanents

Dans cette quatrime et dernire partie, on appliquera la commande backstepping sur

la machine synchrone aimants permanents cas non adaptatif et adaptatif, ensuite on a

introduira les rseaux de neurones pour rduire le temps de rponse en annulant

asymptotiquement l'erreur.


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Chapitre I Modlisation de la MSAP

5

Chapitre

I.1.Introduction

L'tude du comportement d'un moteur lectrique est une tache difficile et qui ncessite,

avant tout, une bonne connaissance de son modle dynamique afin de bien prdire, par voie de

simulation, son comportement dans les diffrents modes de fonctionnement envisags.

Historiquement, les servomoteurs utilisant des moteurs courant continu ont assur le

fonctionnement de la plupart d'quipements industriels (robots et machines outils). Cependant,

leur principal dfaut reste le collecteur mcanique que l'on tolre mal dans certaines applications.

C'est pour cette raison qu'on a eu intrt utiliser des moteurs lectriques courant alternatif afin

d'carter cet inconvnient et profiter de leurs avantages tels que, la flexibilit de variation de

vitesse et la stabilit de fonctionnement. Parmi les moteurs lectriques courant alternatif

utiliss dans les entranements, le moteur synchrone aimants permanents (MSAP) reste un bon

candidat cause d'un certain nombre d'avantages qu'il prsente, savoir pas de pertes au rotor,

une grande capacit de surcharge, une vitesse stable et constante une frquence donne et

surtout cause de son couple massique lev comparativement celui du moteur asynchrone et

du moteur synchrone classique.

Ce dernier avantage lui donne la supriorit aux autres types de moteurs. Il est souvent

appel moteur courant continu sans balais car lorsqu'il est auto pilot, ses caractristiques

concident avec celles d'un moteur courant continu excitation shunt, En effet, les travaux qui

Modlisation delaMachineSynchrone imantsPermanents


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Chapi tr e I Modlisation de la MSAP

6

ont t consacrs au fonctionnement du MSAP auto pilot ont conclu qu'il y a une similitude

entre ses caractristiques et celles du moteur courant continu et que le transfert des lois de

commande se fait aisment Cependant, l'auto pilotage ncessite l'utilisation d'un onduleur et un

capteur de position ce qui affecte sensiblement le cot du systme,[1].

I .2.Prsentation de la machine synchrone aimants permanents (MSAP)

Il est aussi appel moteur " brushless " (sans balais) ou moteur courant continu sans

collecteur. Il est constitu:

- dun stator fait dun empilement de tles dans lequel est dispos un bobinage gnralement

triphas connect en toile,

- dun rotor form dun assemblage de tles et daimants crant le flux inducteur.

Labsence de contacts glissants amliore la fiabilit.

Les aimants utiliss sont:

- Les ferrites, peu coteuses,

- Le samarium cobalt (SmCo5, Sm2Co17), dont les performances du point de vue de lnergie

spcifique sont exceptionnelles. Lnergie spcifique est le produit BH exprim en J/m3. Le

rotor du moteur peut tre " aimants dposs " ou " concentration de flux ". Cette dernire

ralisation utilise un plus faible volume daimants (Figure.I.1),[2].

Le moteur synchrone aimants permanents comporte, tout comme la machine

asynchrone, un stator bobin dont lalimentation donne naissance une force magntomotrice de

composante fondamentale Fatournant la vitesse angulaire s. Le rotor ou la roue polaire dont

Axe indirect

Logique de

commutation Axe indirect

Axe directAxe direct

Axe indirect

Machine aimants

colls Ld=Lq

Machine aimants

enterres LdLq

Fig. I.1.Diffrents types de la MSAP


20/143


7

le nombre de ples est gal celui du stator, est excit par un bobinage parcouru par un courant

continu ou par des aimants pour produire une force magntomotrice dite dexcitation Fo. Dans le

cas du moteur synchrone aimants permanents (MSAP), linducteur est remplac par des

aimants, ceci prsente lavantage dliminer les balais et les pertes rotoriques, ainsi que la

ncessit dune source pour fournir le courant dexcitation [3].

Cependant, on ne peut pas contrler le flux rotorique. Dautre part, la surface interne du

stator est cylindrique, et les enroulements sont placs dans des encoches tailles suivant les

gnratrices de ce cylindre. Chaque enroulement est ralis de manire crer une force

magntomotrice sinusodale dans lentrefer. Les forces magntomotrices cres par chacun des

trois enroulements sont dphases spcialement dun angle lectrique. En alimentant cet

enroulement triphas par des courants triphass, on cre un champ tournant circulaire.

Dans les machines aimants colls, cause de lisotropie existant dans la machine, linductance

de laxe direct est gale linductance de laxe en quadrature, par contre, dans les machines

aimants enterrs ou concentration de flux, cause de lpaisseur des aimants lentrefer sur laxe

direct est plus grand que celle sur laxe indirect, par consquent Ldest infrieure Lq.

Les dveloppements des matriaux magntiques permettant aux machines aimants

permanents dtre de plus en plus utilises dans diffrents domaines de lindustrie. La densit de

puissance massique leve, le rendement lev, laugmentation de la constante thermique et la

fiabilit plus grande, due labsence de contacts glissants bague-balais de ces machines, leurspermettent de concurrencer les machines asynchrone,[4].

I.3 .Domaines dapplication des moteurs synchrones

Le moteur synchrone est utilis dans une large gamme de puissance, allant du Watt au

Mgawatt, dans des applications aussi diverses que le positionnement, la synchronisation,

lentranement vitesse constante, la traction.

A ces nombreux domaines demploi, correspondent autant de technologies diffrentes,

dont les plus rpandues peuvent tre scindes en deux grandes familles : Les moteurs synchrones inducteur bobin, ples saillants ou ples lisses, Les moteurs synchrones aimants permanents, avec ou sans pices polaires.

Les machines aimants se dveloppent de manire importante lheure actuelle, grce

la mise au point daimants permanents de grande qualit, permettant loption de couples

massiques levs. Lorsque le nombre de ples est lev, les puissances peuvent atteindre


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8

quelques centaines de Kilowatts. Toutefois, leur domaine demploi privilgi pour les puissances

infrieures quelques dizaines de Kilowatt, o laimant permanent permet dobtenir, une

induction dans lentrefer plus leve que les machines rotor bobin. Par ailleurs, lemploi

daimants permanents la place de lenroulement inducteur annule les pertes par effet Joule au

rotor et augmente le rendement, [5].

Dans le tableau 1.1, les caractristiques de diffrentes machines sont compares celles de la

MSAP, [6].

MACHINES CARACTERISTIQUES

-Machine courant continu -Alimentation continue supplmentaire

-Prsence des contacts tournants

-Maintenance rgulire des balais

-Manque robustesse

-Grandes pertes dans linducteur

-Limitation en vitesse

Machine synchrone conventionnelle -Exige une alimentation auxiliaire courant

continue pour alimenter le circuit dexcitation

Machine asynchrone -Commande trs complexe

- faible couple volumique

- mauvais rendement global

- mauvais facteur de puissance

- pertes Joules au rotor difficiles vacuer .

- robuste

- faible cot de ralisation- faible d'ondulation de couple

MSAP -Excitation assure par les aimants

-Pertes associes la composante magntisante

ngligeable


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9

Fig. 1.2. Le moteur industriel aimants permanents de quelques kW

I.4. Diffrents types dalimentation

La machine synchrone peut-tre alimente en tension ou en courant. La source doit-tre

rversible pour un fonctionnement dans les quatres quadrants (moteur /gnrateur dans les deux

sens de rotation).

Les convertisseurs alternatif/continu de llectronique de puissance sont utiliss dans les

domaines dapplications varis, dont le plus connu est sans doute celui de la variation de vitesse

des machines courants alternatifs. La forte volution de cette fonction sest appuye sur le

dveloppement des composants semi-conducteur entirement commandables, puissantes,

robustes et rapides [7], [8], [9], [10], [11].

-Possibilit de fonctionnements des facteurs de

puissance levs.

-dgradation des performances avec

l'augmentation de la temprature

- possibilit dmagntisation des aimants

(temprature, pic de courant, dfluxage...)

- assemblage aimants

- cot

Tableau I.1.Comparaison des caractristiques de diffrentes machineslectriques.


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10

I .4.1. Alimentation par un commutateur de courant

Dans le cas dune alimentation en courant, la commutation peut -tre naturelle (le courant

doit alors tre en avance sur la tension. Pour faciliter ce mode de fonctionnement, la machine

doit-tre surexcite).Les f..ms. ne sont pas suffisantes pour permettre lexcitation des thyristors.

Lalimentation de la machine doit-tre adapte aux caractristiques de celle-ci. ainsi, il sera

prfr une alimentation en crneaux de courant dans le cas dune machine qui, lorsque deux de

ses phases sont alimentes en srie par un courant constant possde une courbe de couple

lectromagntique Ce(m) de forme trapzodale (moteur synchrone aimants sans pices

Polaires).

Cette alimentation minimise les ondulations de couple (la superposition des courbes de

Ce (m) lors des diffrentes squences de fonctionnement donne une courbe de couple

pratiquement constante),[6].

I .4.2. Alimentation par un onduleur de tension

La commande dun moteur synchrone peut se faire aussi partir dun convertisseur

statique aliment par une source de tension continue constante. Les onduleurs de tension

permettent dimposer aux enroulements statoriques de la machine des tensions damplitude et de

frquence rglables et agissant sur la commande des interrupteurs du convertisseur statique

(GTO, Transistors bipolaire, MOSFET,IGBT,etc),

I .5. Modlisation de la machine synchrone aimants permanents

Le moteur synchrone aimants permanents (MSAP) comporte au stator un enroulement

triphas reprsent par les trois axes (a,b,c) dphass, l'un par rapport l'autre, de 120olectrique

(figure I.2) et au rotor des aimants permanents assurant son excitation. En fonction de la manire

dont les aimants sont placs, on peut distinguer deux types de rotors.

Dans le premier type, les aimants sont monts sur la surface du rotor offrant un entrefer

homogne, le moteur est appel rotor lisse et les inductances ne dpendent pas de la position du

rotor. Dans le deuxime, par contre, les aimantssont monts l'intrieur de la masse rotorique et

l'entrefer sera variable cause de l'effet de la saillance. Dans ce cas, les inductances dpendent

fortement de la position du rotor. De plus, le diamtre du rotor du premier type est moins

important que celui du deuxime ce qui rduit considrablement son inertie en lui offrant la

priorit dans lentranement descharges rapides, [6].


24/143


11

Afin de modliser le MSAP, on adopte les hypothses simplificatrices usuelles donnes

dans la majorit des rfrences: Le moteur possde une armature symtrique non sature ce qui

permet d'exprimer lesflux comme fonctions linaires des courants et une distribution sinusodale

de la FMM cre parenroulements au stator [1].

Fig.1.3. Reprsentation schmatique de la machine synchrone

aimants permanents dans l'espace lectrique

Pour le systme d'axe de rfrence au stator abc: la phase (a) est choisi de sorte que la force

magntomotrice est maximale avec l'application d'un courant positif maximal cette phase. Les

axes de rfrences de la phase (b) et (c) sont fixs 120 et 240 en avance de l'axe (a).

Le systme d'axe de rfrence au rotor d-q est choisi de sorte que le flux de magntisation est

en phase avec l'axe d. L'axe q est fix 90 en avance de cet axe. L'angle sparant l'axe d au

rotor et I'axe a au stator reprsente la position lectrique du rotor de la machine =p.r,


25/143


12

Le systme d'axe de rfrence li au rotor d-q tourne la vitesse =p.(d r/dt)tandis que le

systme d'axe de rfrence au stator abc reste fixe, o est la frquence lectrique du systme.

La relation qui relie la frquence lectrique et la vitesse de rotation mcanique du rotor

prsente par l'expression suivante = p., o p est le nombre de paire de ples de la machine.

Dans le cadre des hypothses simplificatrices et pour une machine quilibre les quations de

la machine scrivent comme suit :

I.5.1. quations lectriques

Les quations dynamiques par phase de la machine s'crivent comme suit:

En dsignant par :

scsbsa V,V,V : Les tensions appliques aux trois phases statoriques.

scsbsa I,I,I : Les courants qui traversent celles-ci.

scsbsa ,, : Les flux totaux travers ces enroulements.

sR : Leurs rsistances.

Les quations (1.1) peuvent scrire sous forme matricielle:

I.5.2. quations magntique

Les relations entre flux et courants scrivent comme suit :

(I.1)

(I.2)


26/143


13

Sous forme matricielle on a :

Avec :

En dsignant par :

ssL : La matrice d'inductance du stator variable avec la position du rotor.

abcm, : La matrice du flux de fuite du l'aimant permanent.

ccbbaa L,L,L :Les inductances propres des phases statorique.

cbbccaacbaab L,L,L,L,L,L . Les inductances mutuelles entre phases statorique.

Dans les quations (1.3) (1.5), on suppose que les inductances mutuelles sont symtriques de

sorte que: cbbccaacbaab LL;LL;LL . La valeur de chaque inductance varie en fonction

de la position lectrique du rotor. Les inductances par phases ccbbaa L,L,L sont maximums

lorsque l'axe q est en ligne avec chaque phase. Les inductances mutuelles bcacab L,L,L sont

valeur maximale lorsque l'axe q est mi- chemin entre les phases.

(I.3)

(I.4)

(I.5)


27/143


14

3

22cosLLLL

3

22cosLLLL

2cosLLLL

xs1socc

xs1sobb

xs1soaa

3

22cosLL

2

1LL

2cosLL2

1LL

3

22cosLL

2

1LL

xsocaac

xsocbbc

xsobaab

La matrice des inductances ssL est sous la forme :

I.9

3

22cosLLL2cosL

2

L

3

22Lcos

2

L

2Lcos2

L

3

2s2coLLL

3

22cosL

2

L

3

22Lcos

2

L

3

22cosL

22cosLLL

L

xs1soxsoso

soxs1sox

s1

soxxs1so

ss

soL

Les flux de fuite du l'aimant permanent:

32

cos

3

2cos

cos

mmc

mmb

mma

(I.10)

Sous forme matricielle on a :

T

m

T

abcm,3

2cos.

3

2cos.cos.

(I.11)

Telle que :

(I.6)

(I.7)


28/143


15

soL : L'inductance de fuite de l'enroulement du stator du au flux de fuite de l'armature.

s1L : L'inductance moyenne du en raison du flux fondamentale d'aire gap de l'espace.

xL : L'inductance de fluctuation,variable avec la position du rotor.

mcmbma ,, :sont les flux de fuite du l'aimant permanent.

I.5.3 quation mcanique

Pour simuler la machine, en plus des quations lectriques il faut ajouter l'quation du

mouvement du systme. Le couple lectromagntique est donn par la drive partielle de la

conergie par rapport l'angle mcanique entre le rotor et le stator.

re CCFdt

dJ (I.12)

La puissance instantane d'entre peut tre crite comme suit:

scscsbsbsasa IVIVIVtP (I.13)

On note que cette approche implique l'obtention d'un ensemble d'quations diffrentielles

non linaires cfficientsvariants dans le temps. La solution explicite d'un tel systme est trs

complexe et rarement utilise.

On fait donc appel aux modles orthogonaux de la machine. Dans le cadre de ces techniques,

la machine est remplace par une machine fictive ayant des enroulements mutuellement coupls

et placs sur deux axes orthogonaux. Deux diffrents modles sont dduits : le modle (d, q), dit

de Park et le modle (, ) de Concordai. Ces deux modles reprsentent bien le comportement et

les proprits de la machine relle. Ils permettent d'tudier le comportement transitoire des

machines ainsi que leurs performances en rgime dsquilibr.

I.6. Modle de Park

La transformation de Park, repose sur lutilisation de deux phases au lieu des trois phases

daxes fixes du stator (a, b, c). En effet, on considre lenroulement quivalent form de deux

bobinages daxes perpendiculaires (d, q) tournant la vitesse s par rapport au stator et la

vitesse r par rapport au rotor (Fig.1.3).


29/143


16

La transformation de Park consiste transformer la reprsentation du moteur triphase

quilibre une reprsentation biphase quivalente caractrise par deux axes d-q, condition

que le champ o les forces magntomotrices et la puissance instantane soient conserves.

La matrice de Park [P()] est donne sous la forme suivante:

2

1

2

1

2

1

3

2sin

3

2sinsin

3

2cos

3

2coscos

.3

2P (I.14)

Son inverse [P()]-1

est donne par :

2

1

3

2sin

3

2cos

2

1

3

2sin

3

2cos

2

1sincos

.3

2P 1 (I.15)

O langle lectrique dsignant la position du rotor par rapport au stator.


30/143


17

I.6.1. Application de la transformation de Park la MSAP

Fig.1.4. Reprsentation de la MSAP dans le systeme d'axe biphas dq

I.6.2. quations lectriques dun enroulement triphas dans lesystme daxes d-q

Dans ce paraghraphe nous allons donner les quations lctriques de la MSAP dans les

ysteme biphas en appliquant la transformation de Park l quation (1.2) on obtient :

En appliquant la transformation inverse de Park au courants et flux on obtient:

Telle que:

dq0V :sont les composantes direct, en quadrature et homopolaire de la tension.

dq0I :sont les composantes direct, en quadrature et homopolaire du courant.

(I.16)

(I.17)


31/143


18

dq0 : sont les composantes direct, en quadrature et homopolaire du flux.

On peut crire l'quation de la tension (1.16) sous la forme:

=

On a :

Aprs simplification de l'quation (1.16) on a:

En prenant le driv de l'quation (1.15), nous obtenons :

En multipliant les quations [1.14] et [1.21] nous obtenons:

(I.18)

(I.19)

(I.20)

(I.21)

(I.22)

(I.23)

(I.24)


32/143


19

On remplace (1.19) et (1.24) dans l'quation (1.18)

0

q

d

0

q

d

r

0

q

d

s

s

s

o

q

d

dt

d

.

000

001

010

I

I

I

.

R00

0R0

00R

V

V

V

(I.25)

Puisque le systme est quilibr 0Vo , on obtient finalement le modle lectrique dynamique

pour lenroulement statorique biphas quivalent:

drdssq

qrddsd

dt

dIRV

dt

dIRV

(I.26)

I.6.3. quations des flux

qqqxs1soq

mddmdxs1sod

ILILL2

3L

ILILL2

3L

(I.27)

I.6.4. Le circuit quivalant du MSAP dans le systme d'axe d-q

En reprenant les quations (1.26) (1.27) prcdente on peut crire

mrddrqqqsq

qqrdddsd

ILIdt

dLIRV

ILI

dt

dLIRV

(I.28)

Ces quations permettent de dessiner le circuit quivalant du MSAP dans le systme d'axe

d-q prsent ci-dessous [8] :

Fig.1.5. Le circuit quivalant du MSAP dans le systme d'axe d-q


33/143


20

I.6.5. quation de la puissance instantane

Le calcule de couple mcanique de la machine asynchrone se base sur la connaissance de la

puissance instantane P(t), soit :

qddqscscsbsbsasa IVIV23

IVIVIVP(t) (I.29)

En remplaant (1.25) dans (1.26)

qd

q

qsdqd

ds Idt

dIRI

dt

dIR

2

3P(t)

dqqdqq

dd2

q

2

ds II2

3I

dt

dI

dt

d

2

3IIR

2

3

(I.30)

2

q

2

ds IIR2

3

: reprsente les pertes par effet Joules dans les enroulements statoriques

q

q

d

d Idt

dI

dt

d

2

3: reprsente les variations de lnergie magntique emmagasin dans

les enroulements du stator.

dqqd II

2

3 : reprsente la puissance lectrique transforme en puissance mcanique

lintrieur de la machine ou puissance lectromagntique.

Donc l'expression de la puissance lectromagntique est donn par l'quation suivante:

p.

IIp..2

3II

2

3P dqqddqqde

(I.31)

I.6.6. quation du couple lectromagntique

Le rle du couple lectromagntique est justement dquilibrer tout instant laction

rsultante exerce sur larbre du rotor par:

Le couple rsistant (ou statique) impos par la charge mcanique: Cr. Le couple des frottements visqueux : .Fr . Le couple dinertie des massesen rotation rapport au diamtre du rotor :

dt

dJ .


34/143


21

dqqdee IIp2

3

PC (I.32)

On remplace (1.27) dans (1.32) on a :

qmqdqde IIILLp.2

3C (I.33)

Le couple lectromagntique se dcompose en deux termes:

qmep .Ip2

3C : Prsente le couple principal.

qdqder IILLp2

3C : Prsente le couple de reluctance variable.

Lquation du mouvement de la machine est :

remr CCFdt

dJ (I.34)

On constate que le couple lectromagntique rsulte de linteraction dun terme de flux et dun terme

de courant.

I.7. Modlisation sous la forme dtats de la MSAP

I.7.1. Reprsentation d'tat

On cherche obtenir un systme dquations crit sous forme dquations dtats.Sera du type :

C(t)Y

BUAX(t)dt

dX

(I.35)

X :vecteur dtat.

U: vecteur de commande.

A : matrice fondamentale qui caractrise le systme.

B: matrice dapplication de la commande.

C : matrice de sortie (matrice dobservation).

I.7.2. Reprsentation dtat du modle de la MSAP dans le repre d-q

Plusieurs faons sont possibles pour le choix du vecteur dtat. Cela dpendra de lobjectif

trac. Pour la MSAP alimente en tension on choisit le vecteur d'tat comme la suite:

Variables de commande :les tentions statoriques vd, vqet le flux permanent m.


35/143


22

Variables dtat:les courantsqd I,I .

Variables de sortie : Les courantsqd I,I .

En utilisant les quations (1.28), aprs arrangement le systme prend la forme suivante :

q

qq

md

q

dq

q

sq

d

d

q

d

q

d

d

sd

VL

1p

L

Ip

L

LI

L

R

dt

dI

VL

1Ip

L

LI

L

R

dt

dI

(I.36)

q

d

I

IX

m

q

d

V

V

U

q

d

I

IY (I.37)

q

s

q

d

d

q

d

s

L

Rp

L

L

pL

L

L

R

A

pL

1

L

10

00L

1

B

qq

d

10

01C (I.38)

Lquation mcanique est donn par :

p

IIILLp2

3C

CCFdt

dJ

r

qmqdqdem

rem

(I.39)

A partir des quations (1.36) (1.39) , on peut reprsenter le MSAP par un bloc diagramme illustr

par la figure (1.6).


36/143


23

Fig.1.6.Bloc diagramme de la MSAP dans le rfrentiel d-q

On remarque que le bloc diagramme est compos de plusieurs blocs linaires illustrant la

relation qui existe entre les entres (commandes), les tats et les sorties. Les trois types de non

linarits dI qI , et qdII sont reprsentes par les trois blocs de multiplication. De plus, les

dynamiques du systme sont reprsentes par trois fonctions de transfert. Deux fonctions de

transfert donnent la dynamique rapides (courants) et une fonction qui dfinit la dynamique lente

(vitesse).


37/143


24

I .8.Bloc de simulation du MSAP

Fig. I.7.Schma de simulation de la MSAP alimente en tension


38/143


25

I .8.1.Rsultats de simul ati on

0 0.2 0.4 0.60

50

100

150

temps(sec)

vitesse(rad/sec)

0 0.2 0.4 0.6 00

5

10

15

20

25

30

temps(sec)

coupleelectromagnetique(N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-1

0

1

2

3

tem s sec

courantisd(A)

0 0.2 0.4 0.6 00

20

40

60

80

tem s sec

courantisq(A)

I.9.Conclusion

Dans ce chapitre on a prsent une tude complte de la machine synchrone

aimants permanents, une mise en quations, les diffrents types des rotors, les

diffrents types dalimentation, son schma quivalent et enfin une modlisation de

cette dernire avec des rsultats de simulation.

La figure I.8 prsente la simulation de la machine synchrone aimants permanents

vide o la vitesse est fixe 100 (rad/sec) et les courants idet iq sont reprsents

respectivement.

Fig. I.8.Rsultats de simulation de la MSAP vide en mode normal


39/143

Chapitre II La Commande Vectorielle de la MSAP

26

Chapitre

Commande vectorielle de la MS PI I .1. I ntroduction

La commande vectorielle est apparue avec les travaux de BLASCHKE [12].Elle na

cependant pas eu tout de suite un grand essor car les rgulations, lpoque, reposaient sur

des composants analogiques nouveaux, limplantation de la commande tait alors difficile.

Avec lavnement des microcontrleurs, les composants dlectronique de puissance et des

dispositifs permettant le traitement du signal [13], [14].Il est devenu possible de raliser une

telle commande un cot raisonnable. Cela a conduit une explosion des recherches et des

applications relatives la commande vectorielle de la MSAP.

Si beaucoup de problmes sont rsolus, certains autres font encore lobjet de recherche.

Quand on ne cherche pas obtenir des performances leves, mme si lidentification nest

pas bien faite et que les rgulateurs du schma de contrle vectoriel ne sont pas rgls loptimum, le comportement global du systme commande machine parat satisfaisant.

Cependant, les problmes ne surgissent que lorsque la machine est pousse dans ses

retranchements.

La commande vectorielle des MSAP ncessite une connaissance prcise de la position du

rotor [15] qui assure l'autopilotage de la machine. Cette connaissance peut tre obtenue

directement par un capteur de position ou indirectement par un capteur de vitesse. Quel que

soit le but de la commande (rgulation de couple, de vitesse ou de position), le contrle du

couple de moteur est ncessaire. Celui-ci, dpendant des deux variables id et iq nous laisse un

degr de libert.

I I .2. Les quations du MSAP en rgime quelconque

Pour cette mise en quation, nous supposons les mmes hypothses simplificatrices

prises dans le prcdent chapitre. La mise en quation de la MSAP avec les hypothses que

nous avons retenues tant classique, nous ne mentionnerons que les points qui nous semblent

essentiels et les choix qui nous sont propres par rapport ce qui ce fait habituellement .Les

quations lectriques dans un repre fixe li au stator sont dcrites par :


40/143


27

b

b

a

c

b

a

s

c

b

a

dt

d

i

i

i

R

V

V

V

La somme instantane des courants statoriques est nulle, de sorte qu'il n'y a pas de

courant homopolaire. Par consquent, s'il existe une composante homopolaire de tension ou

de flux, elle n'intervient pas dans le couple [16].Le comportement de la machine est donc

reprsent par deux variables indpendantes. En appliquant la transformation restreinte de

Concordia T32, on obtient :

dtd

iiR

VV s

O :

2

3

2

1

2

3

2

1

01

3

2; 3232 Tavec

x

x

x

Tx

x

c

b

a

t

xpeut tre V, i, ou . En appliquant la transformation de Park au systme d'quations (II.1),

on peut exprimer tous les vecteurs dans un repre li au rotor. Si est l'angle lectrique

dsignant la position du rotor par rapport au stator, nous avons :

cossin

sincos;

:

2

.

pavecx

xp

x

x

o

pdt

d

i

iRV

V

q

d

q

d

q

d

q

d

s

q

d

(II.1)

(II.3)

(II.2)

(II.4)

(II.5)


41/143


28

Vd, Vq, idet iqsont les composantes direct et en quadrature de tension et de courant. det q

sont les composantes directe et en quadrature du flux.

Dans les machines synchrones rpartition sinusodale des conducteurs, d et q sont

fonctions linaires des courants idet iq:

qqq

eddd

iL

iL

LdetLqsont les inductances directe et en quadrature et elles sont supposes indpendantes de

. e reprsente le flux des aimants travers le circuit quivalent direct. En reportant les

expressions des flux dans l'quation (II.4) on aboutit :

q

d

q

d

q

d

q

d

q

d

q

d

s

q

d

e

e

i

i

L

Lwp

i

i

dt

d

L

L

i

iR

V

V

0

0

20

0

o =p,p tant le nombre de paires de ples et la vitesse angulaire du rotor. ed et eq

sont les composantes directe et en quadrature de f.e.m..

Dans le cas des machines synchrones aimants permanents et rotor lisse, les inductances

directe et en quadrature sont identiques (Ld=Lq=L). Le systme d'quations (II.7) se simplifie

alors :

q

d

q

d

q

d

q

d

s

q

d

e

e

i

iPL

i

i

dt

dL

i

iR

V

V

2

I I . 3. Principe de la commande vectoriel le

L'objectif principal de la commande vectorielle des MSAP est donc de contrler le

couple de manire optimale selon un critre choisi. Pour simplifier la commande, on fixe

souvent courant idde manire que le couple soit proportionnel iqdans une plage de vitesse

donne. Dans les machines rotor lisse, o le couple ne dpend que de la composante en

quadrature du courant, la valeur optimale du courant direct est videmment nulle :

id ref = 0

(II.6)

(II.7)

(II.8)

(II.9)


42/143


29

Mais dans les machines ples saillants, elle peut tre fixe une valeur qui

correspond au couple maximal courant maximal [17].

Le couple est contrl par la composante en quadrature, iq ref est donc proportionnel au couple

demand. La commande vectorielle revient alors contrler les deux composantes id et iq du

courant statorique en imposant les tensions Vdet Vqqui conviennent. A l'aide des rgulateurs,

on obtient les tensions de rfrence permettant de maintenir les courants direct et en

quadrature au voisinage de leurs valeurs de rfrence id ref et iq ref. Le schma bloc du principe

de la commande vectorielle des MSAP est reprsent sur la figure II.1.

Sur ce schma, la matrice T22est dfinie par :

21

03

2

122T

En ralit nous navons accs quaux tensions et courants des trois phases de la machine. Le

passage aux grandeurs intermdiaires (tensions et courants de Park) se fait laide des

transformations de Park et de Concordia (directe et inverse). Sous les hypothses suivantes :

La priode de la porteuse Tp est suffisamment petite par rapport aux constantes detemps lectrique de la machine, et la frquence de la porteuse pp T/2 estnettement suprieure la pulsation lectrique maximale de la machine

Fig.II.1.Schma principal de la commande vectorielle des MSAP

Vdr

V r

Var

Vbr

Vcr

idref

iqref

idiq

Va

Vb

Vc

=0 Rgulateurs

des

courants

pT32

22Tp

Onduleur

MLI MSAP

ia

ib

ic

Cr

(II.10)


43/143


30

La compensation du temps mort est parfaite La prcision de la mesure de position est suffisante.

Si le courant id refest forc zro qss ii , do la reprsentation suivante:

Et la forme du couple lectromagntique sera de la forme suivante :

Comme le flux est constant, le couple est directement proportionnel qss ii , do la

reprsentation suivante :

Avec :

Il est parfaitement remarquable que cette expression (II.5) soit similaire celle dune

machine

courant continu excitation spare, et quun contrle indpendant du couple et du flux est

tabli (dcouplage).

I I .4. Structure de la commande en tension

Dans cette technique de commande on se limite la mthode indirecte, pour le

contrle du flux, en utilisant un bloc de dfluxage. Donc le flux ne peut tre rgul, il est

dduit de la vitesse partir du bloc de dfluxage (Fig. II.2)[18].

Le bloc de dfluxage permet lexploitation optimale des capacits magntiques de la

machine, permettant un fonctionnement couple constant si la vitesse est infrieure la

vitesse nominale,dune part, dautre part ce bloc permet, daffaiblir le flux inversement

proportionnel la vitesse, pour les fonctionnements puissance constante lorsque la vitesseexcde la vitesse nominale. Il est dfini par la relation non linaire suivante :

r

nom nom

rnom

r

Fig.II.2. Bloc de dfluxage.

(II.12)

(II.13)

(II.14)

(II.11)


44/143


31

Avec :: La vitesse de rotation nominale

Aprs lapplication de principe de la commande vectorielle ces quations, et aprs

arrangement ncessaire on aura le systme dquations suivant :

qsqsds ILV

eqsqsqs

qs

qsqss ILVdt

IdLIR

Le schma de commande ncessite deux boucles de rgulations pour les courants (Ids,

Iqs) et une autre pour la rgulation de la vitesse. La structure de commande en tension est

donner par la figure (II.3).

On tient signaler ici que le schma-bloc de la structure de commande en tension

contient un bloc de compensation dont les quations sont donnes comme suit :

Posons :

dsq1sq

qsd1sd

eVV

eVV

Tel que (ed, eq) reprsentent les perturbations quil faut compenser.

eq

ed

(II.16)

(II.17)

(II.15)


45/143


32

Sachant que :

q1sdsd

d1sqsq

qsqsq

fdsdsd

eVV

eVV

ILe

)IL(e

Alors on peut donner le schma bloc de la compensation par la figure (2.4).

Fig. II.4.Schma de compensation

Fig. II.3.Structure de la commande vectorielle en tension

(II.18)


46/143


33

La figure II.5. reprsente le schma bloc de la commande vectorielle en tension du MSAP.

I I . 5. Fonction de transfert d'une MSAP

Dans la plupart des cas, la dynamique mcanique de la machine est nettement plus

lente que celle lectrique et nous pouvons donc faire l'hypothse que la vitesse angulaire

=p est considre constante dans les quations lectriques de la machine. Nous avons

alors le modle linaire suivant :

La matrice de transfert du systme Y(s) est dfinie par :

Avec :

Fig. II.5. Schma bloc de la commande vectorielle du MSAP

(II.19)

(II.20)


47/143


34

qdqd sssP 211

Os

q

q

s

d

dR

LetR

L sont les constantes de temps lectriques.

La transmittance du rgulateur PI utilis dans notre tude peut tre exprime de la

manire suivante :

)p1(p

K

p

KK iip

Avec :

i

p

K

K

La fonction de transfert du systme (machine + rgulateur PI) en BF est donne par :

1ssK

J

s1

)s(

)s(

2

i

reff

En comparant lquation caractristique de la fonction de transfert (II.20) avec la

forme standard du second ordre, on trouve que :

2o

i

J

K

o

2

Avec : coefficient damortissement

A partir des quations (II.21), (II.22) et pour 1 , on aura :

2i

J4

K

Pour calculer iK , la constante de temps associe au rgulateur est choisie en fonction de la

constante de temps statorique dans laxe q parS

qs

R

L qui caractrise la dynamique du

couple. Par consquence :

.KK ip

(II.21)

(II.22)

(II.23)

(II.24)

(II.25)

(II.26)

(II.27)


48/143


35

La boucle de rgulation de la vitesse est donne par la figure (II.6), mais on a ajout cette

boucle un filtre pour liminer le dpassement d lexistence dun (Zro) dans la FTBF du

Systme (machine + rgulateurPI)

I I .6.Onduleur de tension

Les onduleurs de tension alimentent les machines courant alternatif partir

dune source de tension continue. Ils permettent dimposer aux bornes de la machine des

tensions damplitude et de frquence rglables par la commande. Une machine triphase sans

liaison de neutre alimente par un onduleur de tension trois bras comprenant chacun deux

cellules de commutation. Chaque cellule est compose dun interrupteur, command

lamorage et au blocage et dune diode antiparallle. Dans notre travail londuleur est

command par la technique de Modulation de Largeur dImpulsions (MLI) chantillonne

symtrique. Elle consiste imposer aux bornes de la machine des tensions, haches

frquence fixe, voluant en fonction des rfrences de tension obtenues partir des

rgulateurs des courants. A laide dun signal triangulaire appel porteuse , ces tensions

sont modules en largeur dimpulsions (MLI) afin de dterminer les instants de commutation

et la dure de conduction de chaque interrupteur de londuleur. A chaque instant, lun des

deux interrupteurs de chaque bras est en conduction et lautre est bloqu. En MLI

chantillonne symtrique, le signal de rfrence est constant pendant au moins une priode

de la porteuse. Ce qui permet de calculer facilement les instants dintersectiondu signal de

rfrence avec la porteuse au dbut de chaque priode de celle-ci.

Fig. II.6.:Rgulation de la vitesse

s1

1

s

KK ip sJ

1reff

eC

rC


49/143


36

I I .7.Modlisation des onduleurs de tension

Dans ltude de lensemble commande-onduleur-machine-charge, nous nous

intressons uniquement au comportement dynamique des variables lectriques et mcaniques

de la machine. Du fait que les constantes de temps des machines et des rgulateurs sont trsgrandes devant le temps de transition dun tat lautre des composants semi-conducteurs, on

peut faciliter la modlisation et rduire le temps de simulation en modlisant londuleur par

un ensemble dinterrupteurs idaux: cest--dire rsistance nulle ltat passant, rsistance

infinie ltat bloqu, raction instantane aux signaux de commande. Cette mthode est la

plus couramment utilise dans ltude de lensemble onduleur-machine. La figure (II.7)

prsente le schma de cet onduleur et son modle. Les six interrupteurs de londuleur relient

les deux bornes de la source de tension aux trois phases de la machine. Ltat de conduction

des composants de londuleur peut-tre reprsent par une matrice de connexion [15] de

dimension (2,3) dont chaque lment reprsente ltat de conduction dun interrupteur:

ncpc

napb

napa

cc

cc

cc

C

Les indices netp spcifient la liaison des lments aux bornes ngative ou positive de

la source et les indices a, bet cindiquent les trois phases de sortie de londuleur:1- 1ijc lorsque linterrupteur reliant la borne i de la source de tension la phasej de

la machine est passant.

2- 0ijc lorsque linterrupteur correspondant est bloqu.

(II.28)

Fig. II.7Schma de londuleur et de son modle.

Tc Tb Ta

U0n

a

c

b Van

U0/2

0n

Tp

Tr

Ubc

Vcn

VbnUab

Uca

Trpa

U0/2

ab

c


50/143


37

Les tensions de sortie de londuleur par rapport au point milieu m de la source pris

comme la rfrence de potentiel sont donnes par :

1

1

2

0 CU

V

VV

cm

bm

am

Et pour liminer la composante homopolaire dans les expressions des tensions aux

bornes des enroulements statoriques, nous avons :

cm

bm

am

t

c

b

a

V

V

V

TT

V

V

V

211

121

112

3

13232

La figure (2.8) montre le principe de la commande dun bras de londuleur par la

technique MLI chantillonne symtrique. La tension de rfrence Vjrest constante sur une

priode de la porteuse Tpet les commandes cpjet cnjsont dtermines partir des intersections

de la porteuse et la rfrence.

(II.29)

(II.30)


51/143


52/143


39

21

20U

T

tV

p

j

j

Ce qui nous conduit au modle suivant, au sens des valeurs moyennes sur une priode

de hachage, de londuleur MLI:

jrondj VGV

Avec :p

ondV

UG

2

0

Dans ce paragraphe, nous citons quelques mthodes avances de conception des

rgulateurs. Il s'agit de trois familles des rgulateurs avancs : rgulateurs linaires robustes,

rgulateurs non linaires et rgulateurs intelligents. Nous ne ferons pas ici une prsentation

exhaustive des mthodes susmentionnes. La mthode la plus frquente est celle utilise dans

ce mmoire Cest le rgulateur PI.

Nous nous limiterons donc par la suite aux rgulateurs PI suivants :

ss

KsCs

s

KsCs

sKsC

jw

jw

iq

iq

qq

id

iddd

1

;

1

;1

O Cd(s) et Cq(s) sont les rgulateurs des courants direct et en quadrature (idet iq) et C(s) est

le rgulateur de vitesse angulaire mcanique .

(II.32)

(II.33)

(II.34)


53/143


40

I I .8. Simulation numrique de l'ensemble commande- onduleur - machine

a-sans onduleur

a-1- en mode normal

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

50

100

150

temps(sec)

vitesse(rad/sec)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

5

10

15

temps(sec)


)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

0

1

2

3

temps(sec)

courantisd(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

temps(sec)

courantisq(A)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10

-5

0

5

10

15

t(sec)

isc(A)

Fig. II.9.Rsultat de simulation de la MSAP videen mode normal.


54/143


41

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

250

temps(sec)

vites

se(rad/sec)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-30

-20

-10

0

10

20

temps(sec)


)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-30

-20

-10

0

10

20

temps(sec)

co

urantisd(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-80

-60

-40

-20

0

20

40

temps(sec)

co

urantisq(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100

-50

0

50

100

150

temps(sec)

vitesse(rad/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-30

-20

-10

0

10

20

temps(sec)

coupleelectromagnetiq

ue(N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-15

-10

-5

0

5

10

temps(sec)

courantisd(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-80

-60

-40

-20

0

20

40

temps(sec)

corantisq(A)

Fig. II.10.Rsultat de simulation de la MSAP- effet de reference de

vitesse wm=200 rad/sec et wm=0rad/sec en mode normal.

Fig. II.11.Inversion de la vitesse -en mode normal et deflux cr=0 Nm.


55/143


42

a-2-en mode d flux

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

temps(sec)

vitesse(rad/sec)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

temps(sec)


)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

temps(sec)

courantisd(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

10

20

30

40

temps(sec)

courantisq(A)

Fig. II.12.Rsultat de simulation de la rgulation analogique (mode

normal et dflux).


56/143


43

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

120

temps(sec)

vitesse(rad

/sec)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15

20

25

temps(sec)


)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

courantisd(A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

40

courantisq(A)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-50

0

50

100

temps(sec)

vitesse(rad/sec)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-30

-20

-10

0

10

20

temps(sec)

coupleelectromagntique(N.m

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-10

-5

0

5

temps(sec)

courantisd(A)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-60

-40

-20

0

20

40

temps(sec

courantisq(A)

Fig. II.13.Rsultats de simulation de la rgulation analogique (mode

normal).en charge Cr=5N.m t=0.3s

Fig. II.14.Rsultat de simulation de l'inversion de sens de la vitesse

(Mode normal). Cr=5N.m t=0.5s


57/143


44

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

200

250

temps(sec)

vitesse(rad/sec)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

40

temps(sec)

coupleelectromagnetique(N.

m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

-8

-6

-4

-2

0

temps(sec)

courantisd(A)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

40

50

temps(sec)

courantisq(A)

Fig. II.15.Rsultats de simulation de dfluxage en charge Cr=5N.m

(Mode dflux). t=0.5s


58/143


45

b-avec onduleur

a-mode normal

Fig. II.17.Rsultat de simulation de la rgulation de vitesse

(Mode normal)

Fig. II.16.Rsultats de simulation vide

(Mode normal)


59/143


46

I I .9.I nterprtati on des rsul tats

Les figures (II.9)-(II.17) prsentent les rsultats de simulation obtenus. Ces courbes ont t

traces l'aide du logiciel MATLAB 6.5.

La figure (II.9).reprsente les rsultats dun dmarrage vide o la vitesse est fixe la

rfrence de 100(rad/sec), la figure (II.9), reprsente aussi lallure du courant isd et isq.

La figure (II.9).Illustre les rsultats de simulation d'un dmarrage suivi par une inversion de

vitesse t=0.5s. La vitesse angulaire poursuit sa rfrence (+/-100rd/s) et le contrle du

couple (image de iq) est satisfaisant.

II.10.Conclusion

Ce chapitre est une prsentation de la commande vectorielle des machines synchrones

aimants permanents (MSAP). Nous avons d'abord prsent les rfrentiels et les

transformations utiliss dans les systmes de commande des machines, une modlisation de

l'onduleur t prsente, les rsultats de simulation (figure II.9) montrent les performances de

la rgulation tant donn que la vitesse est obtenue sans dpassement avec un temps de

rponse court car la machine est vide et que l'inertie est faible. Lors du dmarrage, le couple

Fig. II.18.Rsultat de simulation de l'inversion du sens de la vitesse (de

100 -100 rad/sec) (Mode normal)


60/143


47

lectromagntique atteint la valeur limite (30 N.m) et se stabilise une valeur pratiquement

nulle en rgime permanent.

La rponse des deux composantes du courant satatorique montre bien le dcouplage

introduit par la commande vectorielle de la machine ids avant qu'il prenne une valeur nulle il

est ngatif et aprs 0.02 sec il atteint sa valeur nulle.

Nous avons galement examin le fonctionnement en mode dflux (figure. II.12)

pour lequel nous constatons, une vitesse de rfrence (100 rad/sec), que le systme rpond

pratiquement sans dpassement avec un temps de rponse plus important que dans le cas du

mode normal.

Nous avons galement tudi la robustesse de la rgulation en simulant un dmarrage,

puis une inversion du sens de rotation. Pour les deux modes examins (figure II.13 et figure

II.14), nous constatons que la vitesse rpond sans dpassement en dmarrage et en inversion.

En charge sur les figures (II.13) et (II.14) on voit clairement que la machine l instant

t=0.5sec rpond et le couple atteint la valeur en charge de cr=5 N.m linstant t=0. 5 sec.

La machine synchrone aimants permanent est alimente maintenant par un onduleur

de tension MLI. Les rsultats de simulation du systme avec onduleur, sont donns sur la

figure (II.16) pour le fonctionnement normal. Pour le fonctionnement en mode normal, nous

constatons que le systme rpond toujours sans dpassement avec pratiquement le mme

temps de rponse que le systme sans onduleur.

Les rsultats de simulation sont obtenus l'aide d'un logiciel de simulation

MATLAB/SIMULINK.


61/143

CHAPI TRE I I I Dveloppement Thorique de la Mthode Backstepping

48

ChapitreDveloppement Thorique de la Mthode

du ackstepping III.1. Introduction

Depuis quelques annes,beaucoup de progrs ont t faits dans le domaine de la

commande des systmes non linaires. La technique du backstepping fait partie de ces

nouvelles perces dans ce domaine. Ellea t dveloppepar Kanellakopoulos et al, au dbut

des annes '90. Elle offreune mthode systmatique pour effectuer le design d'uncontrleur,

pour des systmes non linaires. L'avantage principal de cette mthode est de garantir la

stabilit ducouple contrleur-procd. La mthode du backstepping permet de dterminer une

loi de mise jours des paramtres, pour une loi de commande adaptative, qui garantie, elle

aussi, la stabilit du couple contrleur- procd, [19].

La plupart des systmes physiques qui nous entourent sont non linaires. Bien souvent,

ces non linarits sont faibles ou ne sont pas visibles sur la plage d'oprations de ces procds.

Le souci constant d'amliorer les performances des systmes commands conduit des

modlisations de plus en plus prcises qui permettent de rpondre sur une plus large plage

d'oprations. C'est ce moment que les non linarits se font sentir et rendent les outils

d'analyse et/ou de synthse des lois de commande, utiliss dans le domaine linaire, anciens et

absolument incapables de rendre compte de certains phnomnes. C'est pourquoi, depuisquelques annes, beaucoup de recherches ont t effectues dans le domaine de la commande

des systmes non linaires. Le backstepping fait partie de ces nouvelles mthodes de

commande.

Dans ce qui suit, nous irons clarifier dabord la notion dessystmes non linaires, puis

le concept et la mise au point de la technique backstepping, ensuite nous

tablironslalgorithme gnralis. Quelques modles exemplaires seront le sige de

lapplication de cette technique base sur la thorie de lyapunov qui va garantir la stabilit dusystme non linaire command.


62/143


49

Les centres dintrt du projet sarticulent autour des systmes non lina ires et les

deux types de commande suivants iront nous permettre datteindre nos objectifs:

Commande non Adaptative et Adaptative des Systmes Non linaires par latechnique backstepping ,

Commande Adaptative des Systmes Non-linaires par lApproche backstepping-Neuronale .

III.2. Systmes non linaires

Pendant trs longtemps, les systmes physiques modliss par des quations non

linaires ont t tudis en considrant que les non linarits taient ngligeables par rapport

aux termes linaires ce qui donne naissance des problmes gnraux dans ce sens au niveau

du comportement du processus.

Comme nous lavons vu, prcdemment, le modle dun tel systme linaire est

valable pour une zone de fonctionnement particulire, en dehors de cette zone, le systme

nest plus linaire ou les coefficients choisis ne sont plus valides.

Ces notions nous permettent daborder une autre catgorie des systmes, dont leur

tude constituera une importance majeure dans le domaine de la commande des processus

physiques, ce sont les systmes non linaires.

Quelques exemples de ces phnomnes sont donns. Un systme linaire possde un

seul point dquilibre. Un systme non linaire peut en avoir plusieurs. Le systme peut

converger, en rgime permanent, lun des points, suivant les conditions initiales (point

dopration).

Ltat dun systme linaire instable peut prendre des valeurs infinies quand le temps

devient infini. Un systme non linaire peut voir son tat prendre des valeurs infinies, pour

des valeurs finies du temps (finite escape time). Cette proprit peut-tre lorigine de srieux

problmes de stabilit, notamment en commande adaptative, [20].

Pour quun systme linaire prsente des oscillations entretenues, il faut quil ait une

paire de ples imaginaires. Il est presque impossible de maintenir de telles oscillations en

prsence de perturbations.

Dans la pratique, les oscillations stables (damplitudes et frquence fixes) doivent -tre

ralises par des systmes non linaires. Ce type doscillations est connu sous le nom de

cycles limits.


63/143


50

Un systme linaire, sous leffet dune entre priodique, produit un signal priodique

de mme priode sa sortie. Un systme non linaire peut osciller avec des frquences qui

sont des sous multiples et / ou de multiples de la frquence dentre.

Un systme non linaire peut avoir des rgimes permanents plus compliqus que ceux

cits prcdemment. Ces rgimes sont connus sous le nom de chaos. Ils prsentent un aspect

stochastique.

Contrairement au cas linaire, les systmes non linaires, tant dfinis par ngation, ne

reprsentent pas un ensemble homogne. Une mthode qui donne de bons rsultats sur une

classe de systmes, peut avoir des consquences catastrophiques sur une autre classe, trs peu

diffrente de la premire. Par consquent, dans le cadre de la commande des systmes non

linaires la question de lapplicabilit est primordiale, et une mthode gnrale nexiste pas.

Tous les efforts consentis ces dernires annes visent largir, le plus possible, lensemble

des systmes auxquels les mthodes sont applicables. Ces ensembles sont dfinis en termes de

contraintes imposes aux non-linarits du systme,[21].

III.3. Stabilit des systmes linaires et non linaires

I I I .3.1. Equil ibre et stabil itdes systmes

Quelques dfinitions relatives la stabilit des systmes non linaires seront donnes.

Les mthodes danalyses seront brivement prsentes. On parlera surtout des mthodes de

Lyapunov, et laccent sera, plus particulirement, mis sur la deuxime mthode de Lyapunov,

qui constitue llment central de la mthode design adopte, i.e. le backstepping.

On appelle systmes linaires les systmes physiques reprsents par des quations

diffrentielles linaires coefficients constants, lhypothse de linarit quivaut au principe

de superposition. Les systmes non linaires, par opposition aux systmes linaires, sont des

systmes physiques qui ne sont pas rgis par des quations linaires. Autrement dit, le

principe de superposition ne peut leur tre appliqu.Physiquement, un systme est en quilibre quand il conserve son tat en absence de

forces externes. Mathmatiquement, cela quivaut dire que la drive x de son tat est

nulle pour un systme.

)x(x (III.1)


64/143


51

Ltat (ou les tats) dquilibre xe est la solution (sont les solutions) de lquation

algbrique 0ex .

Dans le cas de systmes linaires, on a Axx , ce qui implique que x=0 est un point

dquilibre pour tout systme linaire. Si A est rgulire, lorigine est le seul point

dquilibre. Dans le cas o la matrice A est singulire, tout le sous espace dfini par Ax=0

constitue une rgion dquilibre. Pour les non linaires, la solution est moins vidente et

lorigine, nest pas forcment un point dquilibre. En plus, en prsence de plusieurs

quilibres, ces derniers peuvent se prsenter, comme dans le cas linaire, sous forme de

domaines continus, mais aussi de points isols, voir mme de combinaisons de deux.

Pour comprendre le comportement dun systme non linaire, on utilise souvent une

reprsentation de ses trajectoires dans lespace de phase (Fig. 3.1). Ces trajectoires sont unensemble de courbes qui reprsentent lvolution de ltat du systme dans le temp s.

Lobtention de ces trajectoires passe, toutefois, par la rsolution de lquation diffrentielle

(III.1), qui peut savrer une tche difficile. Cest pourquoi, les outils permettent lanalyse du

comportement du systme, sans avoir rsoudre les quations qui les dcrivent, ont connu un

grand succs. Les techniques bases sur la deuxime mthode de Lyapunov font partie de

cette classe.

Stabi l i t(dfini ti on intui ti ve)

On dit quun systme est stable sil dplace de sa position dquilibre et tend y

revenir ; instable, sil tend sen carter davantage :

Exemple 3.1

Soit stabiliser lorigine (x1=0) du systme scalaire :

uxxx 11T

111

.

(III.2)

t

X

X2

Fig. III.1 : Trajectoire dun systme dans le plan de phase


65/143


52

o 11 et sont des fonctions non linaires, et est un vecteur de paramtres

connus. Pour ce fait, la fonction de Lyapunov 1xV doit tre choisie et une commande u qui

annule sa drive le long de la trajectoire, doit tre calcule. La fonction suivante :

211 x21xV (III.3)

reprsente souvent un bon choix . Sa drive le long de la solution de lquation (III.2)

donne :

]u.x.x.[xx.xxV 11T

1111

.

11

.

(III.4)

Un choix judicieux de u rend 1xV ngative et assure la stabilit asymptotique de

lorigine du systme. Un exemple de commande est donn par le choix de u tel que :

0kx.ku.x.x 11111T

11 (III.5)

ce qui donne :

].xx.k.[)x(

1uT

111111

(III.6)

La drive scrit alors:

0xkxV 2111.

(III.7)

Do la stabilit asymptotique de lorigine. Le fait que, dans lquation (III.4).

V soit

semi dfinie ngative nimplique pas forcment une stabilit simple. Lensemble des points

o la drive sannule ne constitue pas une trajectoire possible du systme, puisquelle ne

sannule qu lorigine. On peut donc, selon le thorme de Barbasin- Krasovskij, affirmer la

stabilit asymptotique. [22].

Remarque 3.1. (Choix de la commande)

Le choix de u nest pas unique. Un bon choix permet de rendre ngative la drive,

sans supprimer les non-linarits utiles dans le systme, ni augmenter inutilement leffort

fourni par lactionneur.

I I I .3.2. Choix de la fonction de Lyapunov

La thorie de lyapunov a t pendant longtemps un outil important dans la commande

linaire aussi bien que la commande non-linaire cependant, son utilisation dans la commande

non-linaire a t entrave par les difficults pour trouver une fonction de lyapunov pour un


66/143


53

systme donn mais la tche de trouver une telle fonction a t souvent laisse l'imagination

et l'expertise du concepteur.

Mme pour des systmes simples et en labsence dincertitudes le choix de la fonction

de Lyapunov, et de la loi de commande nest pas toujours facile. Aucune rgle gnrale

nexiste ce jour quant au choix dune telle fonction. Et quand on sait linfluence de ce choix

sur le comportement gnral du systme, on comprend lintrt qua suscite ce problme ces

dernires annes.

La thor ie de Lyapunov

Une condition de base sur un systme command est qu'elle devrait atteindre

l'quilibre dsir sans prendre un dtour trop grand y arrivant. Formalisons cette condition en

termes de proprits de l'quilibre dsir, daprs Slotine et Li, [23].

Dfini ti on.3.1 (l a stabi l i tde lyapunov)

Considrons un systme de temps invariable :

xfx.

Commenons ltat initial x (0). Soit xe un point dquilibre du systme, alors

.0exf Nous savons que le point dquilibre eststable, si pour chaque 0 il existe 0 tel

que

00 ttoutpourxtxxx ee

instable, sil nest pas stable; asymptotiquement stable, sil est stable et une addition existe r>0 tel que

tsixtxrxx ee0

globalement asymptotiquement stable sil est asymptotiquement stable pour tousles tats initiales.

Dfini ti on 3. 2

La fonction scalaire xV est dite :

positive dfinie si :

et00V

0x,0xV


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inj messadi mouna

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