Sistema Internacional de unidades. S. I.

La observación de un fenómeno es en general, incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información, se requiere la medición de una propiedad física. Así, la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental.

La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad.

Supongamos una habitación cuyo suelo está cubierto de baldosas, tal como se ve en la figura, tomando una baldosa como unidad, y contando el número de baldosas medimos la superficie de la habitación,  30 baldosas.  En la figura inferior, la medida de la misma superficie da una cantidad diferente 15 baldosas.

La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida.

Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas.

El REAL DECRETO 2032/2009, de 30 de diciembre por el que se establecen las Unidades Legales de Medida, publicado el jueves 21 de enero de 2010, reproduce lo dispuesto en la Ley 3/1985 de 18 de marzo, sobre la utilización obligatoria del Sistema Internacional de Unidades (SI) adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Unión Europea.

Este real decreto transpone la Directiva 2009/3/CE del Parlamento Europeo y del Consejo de 11 de marzo de 2009, por la que se modifica la Directiva 80/181/CEE del Consejo relativa a la aproximación de las legislaciones de los Estados miembros sobre unidades de medida.

El proyecto de este real decreto ha sido favorablemente informado por el Consejo Superior de Metrología.

En la tabla siguiente, se recogen las distintas normativas publicadas en el Boletín Oficial del Estado (BOE)

BOE nº 269 de 10 de noviembre de 1967

Ley 88/1967, de 8 de noviembre, declarando de uso legal en España el denominado Sistema Internacional de Unidades (SI)

BOE nº 110 se 8 de mayo de 1974

Decreto 1257/1974 de 25 de abril, sobre modificaciones del Sistema Internacional de Unidades, denominado SI, vigente en España por Ley 88/1967, de 8 de noviembre.

BOE nº 67 de 19 de marzo de 1985

Ley 3/1985 de 18 de marzo de Metrología, por el que es de uso obligatorio en todo el territorio del Estado Español, el Sistema Legal de Unidades de Medida

BOE nº 264 de 3 de noviembre de 1989

Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida

BOE nº 21 de 24 de Corrección de errores del Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el

enero de 1990 que se establecen las Unidades Legales de Medida

BOE nº 289 de 3 de diciembre de 1997

Real Decreto 1737/1997, de 20 de noviembre, por el que se modifica Real Decreto 1317/1989, de 27 de octubre, por el que se establecen las Unidades Legales de Medida

BOE nº 18 de 21 de enero de 2010

Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre reproduce lo dispuesto en la Ley 3/1985 de 18 de marzo, sobre la utilización obligatoria del Sistema Internacional de Unidades (SI) adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas y vigente en la Unión Europea.

Antecedentes. El Sistema Métrico Decimal

Este sistema de medidas se estableció en Francia con el fin de solventar los dos grandes inconvenientes que presentaban las antiguas medidas:

1. Unidades con el mismo nombre variaban de una provincia a otra

2. Las subdivisiones de las diferentes medidas no eran decimales, lo cual representaba grandes complicaciones para el cálculo.

Se trataba de crear un sistema simple y único de medidas que pudiese reproducirse con exactitud en cualquier momento y en cualquier lugar, con medios disponibles para cualquier persona.

En 1795 se instituyó en Francia el Sistema Métrico Decimal. En España fue declarado obligatorio en 1849.

El Sistema Métrico se basa en la unidad "el metro" con múltiplos y submúltiplos decimales. Del metro se deriva el metro cuadrado, el metro cúbico, y el kilogramo que era la masa de un decímetro cúbico de agua.

En aquella época la astronomía y la geodesia eran ciencias que habían adquirido un notable desarrollo. Se habían realizado mediciones de la longitud del arco del meridiano terrestre en varios lugares de la Tierra. Finalmente, la definición de metro fue elegida como la diezmillonésima parte de la longitud de un cuarto del meridiano terrestre. Sabiendo que el radio de la Tierra es 6.37·106 m

2π⋅6.37⋅10640⋅106=1.0006m

Como la longitud del meridiano no era práctica para el uso diario. Se fabricó una barra de platino, que representaba la nueva unidad de medida, y se puso bajo la custodia de los Archives de France, junto a la unidad representativa del kilogramo, también fabricado en platino. Copias de del metro y del kilogramo se distribuyeron por muchos países que adoptaron el Sistema Métrico.

La definición de metro en términos de una pieza única de metal no era satisfactoria, ya que su estabilidad no podía garantizase a lo largo de los años, por mucho cuidado que se tuviese en su conservación.

A finales del siglo XIX se produjo un notable avance en la identificación de las líneas espectrales de los átomos. A. A. Michelson utilizó su famoso interferómetro para comparar la longitud de onda de la línea roja del cadmio con el metro. Esta línea se usó para definir la unidad denominada angstrom.

En 1960, la XI Conférence Générale des Poids et Mesures abolió la antigua definición de metro y la reemplazó por la siguiente:

El metro es la longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 2d5 del átomo de kriptón 86.

Este largo número se eligió de modo que el nuevo metro tuviese la misma longitud que el antiguo.

La velocidad de la luz en el vacío c es una constante muy importante en física, y que se ha medido desde hace mucho tiempo de forma directa, por distintos procedimientos. Midiendo la frecuencia f y la longitud de onda λ de alguna radiación de alta frecuencia y utilizando la relación c=λ·f   se determina la velocidad de la luz c de forma indirecta con mucha exactitud.

El valor obtenido en 1972, midiendo la frecuencia y la longitud de onda de una radiación infrarroja, fue c=299 792 458 m/s con un error de ±1.2 m/s, es decir, cuatro partes en 109.

La XVII Conférence Générale des Poids et Mesures del 20 de Octubre de 1983, abolió la antigua definición de metro y promulgó la nueva:

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

La nueva definición de metro en vez de estar basada en un único objeto (la barra de platino) o en una única fuente de luz, está abierta a cualquier otra radiación cuya frecuencia sea conocida con suficiente exactitud.

La velocidad de la luz queda convencionalmente fijada y exactamente igual a 299 792 458 m/s debida a la definición convencional del término m (el metro) en su expresión.

Otra cuestión que suscita la nueva definición de metro, es la siguiente: ¿no sería más lógico definir 1/299 792 458 veces la velocidad de la luz como unidad básica de la velocidad y considerar el metro como unidad derivada?.

Sin embargo, la elección de las magnitudes básicas es una cuestión de conveniencia y de simplicidad en la definición de las magnitudes derivadas.

Unidades básicas.

Magnitud Nombre Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo kg

Tiempo Segundo s

Intensidad de corriente eléctrica Amperio A

Temperatura termodinámica Kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa Candela cd

Tabla 1. Unidades SI básicas

Unidad de longitud: metro (m)El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masaEl kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo, adoptado por la tercera Conferencia General de Pesas y Medidas en 1901.

Unidad de tiempoEl segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. Esta definición se refiere al átomo de cesio en reposo, a una tempartaura de 0 K.

Unidad de intensidad de corriente eléctricaEl amperio (A) es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría entre estos conductores una fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. 

De aquí resulta que la permeabilidad del vacío es μ0=4π·10-7H/m (henrio por metro)

Unidad de temperatura termodinámicaEl kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Esta definición se refiere a un agua de una composición isotópica definida por las siguientes relaciones de cantidad de sustancia: 0,000 155 76 moles de 2H por mol de 1H, 0,000 379 9 moles de 17O por mol de 16O y 0,0002 005 2 moles de de 18O por mol de 16O. De aquí resulta que la temperatura termodinámica del punto triple del agua es igual a 273,16 kelvin exactamente Ttpw=273,16 K.

Unidad de cantidad de sustanciaEl mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Esta definición se refiere a átomos de carbono 12 no ligados, en reposo y en su estado fundamental.Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.De aquí resulta que la masa molar del carbono 12 es igual a 12 g por mol, exactamente M(12C)=12 g/mol

Unidad de intensidad luminosaLa candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540·1012 hercios y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.De aquí resulta que la eficacia luminosa espectral de la radiación monocromática de frecuencia igual a 540·1012hercios es igual a 683 lúmenes por vatio, exactamente K=683 lm/W=683 cd sr/W.

Unidades SI derivadas

1. Las unidades derivadas se forman a partir de productos de potencias de unidades básicas. Las unidades derivadas coherentes son productos de potencias de unidades básicas en las que no interviene ningún factor numérico más que el 1. Las unidades básicas y las unidades derivadas coherentes del SI forman un conjunto

coherente, denominado conjunto de unidades SI coherentes.

2. El número de magnitudes utilizadas en el campo científico no tiene límite; por tanto no es posible establecer una lista completa de magnitudes y unidades derivadas. Sin embargo, la tabla 2 presenta algunos ejemplos de magnitudes derivadas y las unidades derivadas coherentes correspondientes, expresadas directamente en función de las unidades básicas.

Ejemplos de unidades SI derivadas coherentes expresadas a partir de las unidades básicas

Magnitud Nombre Símbolo

Area, superficie Metro cuadrado m2

Volumen Metro cúbico m3

Velocidad Metro por segundo m/s

AceleraciónMetro por segundo cuadrado

m/s2

Número de ondasMetro a la potencia menos uno

m-1

Densidad, masa en volumen

Kilogramo por metro cúbico

kg/m3

Densidad superficialKilogramo por metro cuadrado

kg/m2

Volumen específicoMetro cúbico por kilogramo

m3/kg

Densidad de corrienteAmperio por metro cuadrado

A/m2

Concentración de cantidad de sustancia, concentración

Mol por metro cúbico. mol/m3

Concentración másicaKilogramo por metro cúbico

kg/m3

LuminanciaCandela por metro cuadrado.

cd/m2

Indice de refracción Uno 1

Permeabilidad relativa Uno 1

Tabla 2. Ejemplos de unidades SI derivadas coherentes expresadas a partir de las unidades básicas

3. Por conveniencia, ciertas unidades derivadas coherentes han recibido nombres y símbolos especiales. Se recogen en la tabla 3. Estos nombres y símbolos especiales pueden utilizarse con los nombres y los símbolos de las unidades básicas o derivadas para expresar las unidades de otras magnitudes derivadas. Algunos ejemplos de ello figuran en la tabla 4. Los nombres y símbolos especiales son una forma compacta de expresar combinaciones de unidades básicas de uso frecuente, pero en muchos casos sirven también para recordar la magnitud en cuestión. Los prefijos SI pueden emplearse con cualquiera de los nombres y símbolos especiales, pero al hacer esto la unidad resultante no será una unidad coherente. En la última columna de las tablas 3 y 4 se muestra cómo pueden expresarse las unidades SI mencionadas en función de las unidades SI básicas. En esta columna, los factores de la forma m0, kg0, etc., que son iguales a 1, no se muestran explícitamente.

Unidades SI derivadas coherentes con nombres y símbolos especiales.

Magnitud Nombre SímboloExpresión en otras unidades SI

Ángulo plano Radián rad 1

Ángulo sólido Estereorradián sr 1

Frecuencia Hercio Hz  

Fuerza Newton N  

Presión, tensión Pascal Pa N·/m2

Energía, trabajo,cantidad de calor

Julio J N·m

Potencia, flujo energético

Vatio W J·/s

Carga eléctrica, cantidad de electricidad

Culombio C -

Diferencia de potencial eléctrico, fuerza electromotriz

Voltio V W/A

Resistencia eléctrica Ohmio W V/A

Conductancia eléctrica

Siemens S A/V

Capacidad eléctrica Faradio F C/V

Flujo magnético Weber Wb V·s

Densidad de flujo magnético

Tesla T Wb/m2

Inductancia Henrio H Wb/A

Temperatura celsius Grado celsius ºC -

Flujo luminoso Lumen lm cd·sr

Iluminancia Lux lx lm/m2

Actividad de un radionucleido

Becquerel Bq -

Dosis absorbida, energía másica (comunicada), kerma

Gray Gy J/kg

Dosis equivalente, dosis equivalente ambiental, dosis equivalente direccional, dosis equivalente individual

Sievert Sy J/kg

Actividad catalítica Katal kat -

Tabla 4. Unidades SI derivadas coherentes con nombres y símbolos especiales.

Ejemplos de unidades SI derivadas coherentes cuyos nombres y símbolos contienen unidades SI derivadas coherentes con nombres y símbolos especiales.

ç

Magnitud Nombre SímboloExpresión en unidades SI básicas

Viscosidad dinámica Pascal segundo Pa·s m-1

Momento de una fuerza Newton metro N·m m2

Tensión superficial. Newton por metro. N/m kg·s

Velocidad angular. Radián por segundo rad/s s-1

Aceleración angularRadián por segundo cuadrado.

rad/s2 s-2

Densidad superficial de flujo térmico, irradiancia

Vatio por metro cuadrado

W/m2 kg·s

Capacidad térmica, entropía

Julio por kelvin J/K m2

Capacidad térmica másica, entropía másica

Julio por kilogramo y kelvin

J/(kg·K) m2

Energía másica Julio por kilogramo J/kg m2

Conductividad térmicaVatio por metro y kelvin

W/(m·K) m·kg·s

Densidad de energía Julio por metro cúbico J/m3 m-1

Campo eléctrico Voltio por metro V/m m·kg·s

Densidad de carga eléctrica

Culombio por metro cúbico

C/m3 m-3

Densidad superficial de carga eléctrica

Culombio por metro cuadrado

C/m2 m-2

Densidad de flujo eléctrico, desplazamiento eléctrico.

Culombio por metro cuadrado

C/m2 m-2

Permitividad. Faradio por metro F/m m-3

Permeabilidad. Henrio por metro H/m m·kg·s

Energía molar. Julio por mol J/mol m2

Entropía molar, capacidad calorífica molar

Julio por mol y kelvin J/(mol·K) m2

Exposición (rayos x y γ)Culombio por kilogramo

C/kg kg·

Tasa de dosis absorbida Gray por segundo Gy/s m2

Intensidad radianteVatio por estereorradián

W/sr m2

Radiancia.Vatio por metro cuadrado y estereorradián

W/(m2·sr) kg·s

Concentración de actividad catalítica

Katal por metro cúbico.

kat/m3 m-3

Tabla 4. Ejemplos de unidades SI derivadas coherentes cuyos nombres y símbolos contienen unidades SI derivadas coherentes con nombres y símbolos especiales.

4. Los valores de varias magnitudes diferentes pueden expresarse mediante el mismo nombre y símbolo de unidad SI. De esta forma el julio por kelvin es el nombre de la unidad SI para la

magnitud capacidad térmica así como para la magnitud entropía. Igualmente, el amperio es el nombre de la unidad SI tanto para la magnitud básica intensidad de corriente eléctrica como para la magnitud derivada fuerza magnetomotriz. Por lo tanto no basta con utilizar el nombre de la unidad para especificar la magnitud. Esta regla es aplicable no sólo a los textos científicos y técnicos sino también, por ejemplo, a los instrumentos de medida (es decir, deben indicar tanto la unidad como la magnitud medida).

5. Una unidad derivada puede expresarse de varias formas diferentes utilizando unidades básicas y unidades derivadas con nombres especiales: el julio, por ejemplo, puede escribirse newton metro o bien kilogramo metro cuadrado por segundo cuadrado. Esta libertad algebraica queda en todo caso limitada por consideraciones físicas de sentido común y, según las circunstancias, ciertas formas pueden resultar más útiles que otras. En la práctica, para facilitar la distinción entre magnitudes diferentes que tienen la misma dimensión, se prefiere el uso de ciertos nombres especiales de unidades o combinaciones de nombres. Usando esta libertad, se pueden elegir expresiones que recuerden cómo está definida la magnitud. Por ejemplo, la magnitud momento de una fuerza puede considerarse como el resultado del producto vectorial de una fuerza por una distancia, lo que sugiere emplear la unidad newton metro, la energía por unidad de ángulo aconseja emplear la unidad julio por radián, etc. La unidad SI de frecuencia es el hercio, que implica ciclos por segundo, la unidad SI de velocidad angular es el radián por segundo y la unidad SI de actividad es el becquerel, que implica cuentas por segundo. Aunque sería formalmente correcto escribir

estas tres unidades como segundo a la potencia menos uno, el empleo de nombres diferentes sirve para subrayar la diferente naturaleza de las magnitudes consideradas. El hecho de utilizar la unidad radián por segundo para expresar la velocidad angular y el hercio para la frecuencia, indica también que debe multiplicarse por 2π el valor numérico de la frecuencia en hercio para obtener el valor numérico de la velocidad angular correspondiente en radianes por segundo. 

6. Ciertas magnitudes se definen por cociente de dos magnitudes de la misma naturaleza; son por tanto adimensionales, o bien su dimensión puede expresarse mediante el número uno. La unidad SI coherente de todas las magnitudes adimensionales o magnitudes de dimensión uno, es el número uno, dado que esta unidad es el cociente de dos unidades SI idénticas. El valor de estas magnitudes se expresa por números y la unidad «uno» no se menciona explícitamente. Como ejemplo de tales magnitudes, se pueden citar, el índice de refracción, la permeabilidad relativa o el coeficiente de rozamiento. Hay otras magnitudes definidas como un producto complejo y adimensional de magnitudes más simples. Por ejemplo, entre los «números característicos» cabe citar el número de Reynolds Re = ρvl/η, en donde ρ es la densidad, η la viscosidad dinámica, v la velocidad y l la longitud. En todos estos casos, la unidad puede considerarse como el número uno, unidad derivada adimensional. Otra clase de magnitudes adimensionales son los números que representan una cuenta, como el número de moléculas, la degeneración (número de niveles de energía) o la función de partición en termodinámica estadística (número de estados accesibles térmicamente). Todas estas magnitudes de recuento se consideran

adimensionales o de dimensión uno y tienen por unidad la unidad SI uno, incluso si la unidad de las magnitudes que se cuentan no puede describirse como una unidad derivada expresable en unidades básicas del SI. Para estas magnitudes, la unidad uno podría considerarse como otra unidad básica. En algunos casos, sin embargo, a esta unidad se le asigna un nombre especial, a fin de facilitar la identificación de la magnitud en cuestión. Este es el caso del radián y del estereorradián. El radián y el estereorradián han recibido de la CGPM un nombre especial para la unidad derivada coherente uno, a fin de expresar los valores del ángulo plano y del ángulo sólido, respectivamente, y en consecuencia figuran en la tabla 3.

Unidades no pertenecientes al SI cuyo uso es aceptado por el Sistema y están autorizadas.

La tabla 5 incluye las unidades no pertenecientes al SI cuyo uso con el Sistema Internacional está aceptado, dado que son ampliamente utilizadas en la vida cotidiana y cada una de ellas tiene una definición exacta en unidades SI. Incluye las unidades tradicionales de tiempo y de ángulo. Contiene también la hectárea, el litro y la tonelada, que son todas de uso corriente a nivel mundial, y que difieren de las unidades SI coherentes correspondientes en un factor igual a una potencia entera de diez. Los prefijos SI se emplean con varias de estas unidades, pero no con las unidades de tiempo.

Magnitud Nombre Símbolo Relación

Ángulo plano Grado º (π/180) rad

  Minuto ' (π/10800) rad

  Segundo " (π/648000) rad

Tiempo minuto min 60 s

  hora h 3600 s

  día d 86400 s

Volumen litro l o L 1 dm3=10-3 m

Masa Tonelada t 103 kg

Area Hectárea ha 104 m2

Tabla 5. Unidades no pertenecientes al SI cuyo uso es aceptado por el Sistema y están autorizadas

Reglas de escritura de los símbolos y nombres de las unidades, de expresión de los valores de las magnitudes y para la formación de los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI

1. Reglas de escritura de los símbolos y nombres de las unidades.

1. Los símbolos de las unidades se imprimen en caracteres romanos (rectos), independientemente del tipo de letra empleada en el texto adyacente. Se escriben en minúsculas excepto si derivan de un nombre propio, en cuyo caso la primera letra es mayúscula. Como excepción se permite el uso de la letra L en mayúscula o l en minúscula como símbolos del litro, a fin de evitar la confusión entre la cifra 1 (uno) y la letra l (ele).

2. Un prefijo de múltiplo o submúltiplo, si se usa, forma parte de la unidad y precede al símbolo de la unidad, sin espacio entre el símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad. Un prefijo nunca se usa solo y nunca se usan prefijos compuestos.

3. Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas y no abreviaturas. Por tanto, no van seguidos de un punto, salvo al final de una frase, ni se usa el plural, ni se pueden mezclar símbolos de unidades con nombres de unidades en una misma expresión, pues los nombres no son entidades matemáticas.

4. Para formar los productos y cocientes de los símbolos de las unidades, se aplican las reglas habituales de multiplicación o de división algebraicas. La multiplicación debe indicarse mediante un espacio o un punto centrado a media altura (·), para evitar que ciertos prefijos se interpreten erróneamente como un símbolo de unidad. La división se indica mediante una línea horizontal, una barra oblicua (/), o mediante exponentes negativos. Cuando se combinan varios símbolos de unidades, hay que tener cuidado para evitar toda ambigüedad, por ejemplo utilizando corchetes o paréntesis, o exponentes negativos. En una expresión dada sin paréntesis, no debe utilizarse más de una barra oblicua, para evitar ambigüedades.

5. No se permite emplear abreviaturas para los símbolos y nombres de las unidades, como seg (por s o segundo), mm cuad. (por mm2 o milímetro cuadrado), cc (por cm3 o centímetro cúbico) o mps (por m/s o metro por segundo). De esta forma se evitan ambigüedades y malentendidos respecto a los valores de las magnitudes.

6. Los nombres de las unidades se imprimen en caracteres romanos (rectos) y se consideran como nombres (sustantivos) comunes, empiezan por minúscula (incluso cuando su nombre es el de un científico eminente y el símbolo de la unidad comienza por mayúscula), salvo que se encuentren situados al comienzo de una frase o en un texto en mayúsculas, como un

título. Para cumplir esta regla, la escritura correcta del nombre de la unidad cuyo símbolo es ºC es «grado Celsius» (la unidad grado comienza por la letra g en minúscula y el atributo Celsius comienza por la letra C en mayúscula, por que es un nombre propio). Los nombres de las unidades pueden escribirse en plural.

7. Aunque los valores de las magnitudes se expresan generalmente mediante los nombres y símbolos de las unidades, si por cualquier razón resulta más apropiado el nombre de la unidad que su símbolo, debe escribirse el nombre de la unidad completo.

8. Cuando el nombre de la unidad está combinado con el prefijo de un múltiplo o submúltiplo, no se deja espacio ni se coloca guión entre el nombre del prefijo y el de la unidad. El conjunto formado por el nombre del prefijo y el de la unidad constituye una sola palabra.

9. Cuando el nombre de una unidad derivada se forma por multiplicación de nombres de unidades individuales, conviene dejar un espacio, un punto centrado a media altura (·), o un guión para separar el nombre de cada unidad.

2. Reglas de escritura para expresar los valores de las magnitudes.

1. El valor de una magnitud se expresa como el producto de un número por una unidad: el número que multiplica a la unidad es el valor numérico de la magnitud expresada en esa unidad. El valor numérico de una magnitud depende de la unidad elegida. Así, el valor de una magnitud particular es independiente de la elección de unidad, pero su valor numérico es diferente para unidades diferentes.

2. Los símbolos de las magnitudes están formados generalmente por una sola letra en cursiva, pero puede especificarse información adicional mediante subíndices, superíndices o entre paréntesis. Así C es el símbolo recomendado para la capacidad calorífica, Cm para la capacidad calorífica molar, Cm,p para la capacidad calorífica molar a presión constante y Cm,V para la capacidad calorífica molar a volumen constante.

3. Los símbolos de las magnitudes sólo son recomendaciones, mientras que es obligatorio emplear los símbolos correctos de las unidades. Cuando, en circunstancias particulares, se prefiera usar un símbolo no recomendado para una magnitud dada, por ejemplo para evitar una confusión resultante del uso del mismo símbolo para dos magnitudes distintas hay que precisar claramente qué significa el símbolo.

4. Los símbolos de las unidades se tratan como entidades matemáticas. Cuando se expresa el valor de una magnitud como producto de un valor numérico por una unidad, el valor numérico y la unidad pueden tratarse de acuerdo con las reglas ordinarias del álgebra. Este procedimiento constituye el cálculo de magnitudes, o álgebra de magnitudes. Por ejemplo, la ecuación T = 293 K puede escribirse también como T/K = 293.

5. Al igual que el símbolo de una magnitud no implica la elección de una unidad particular, el símbolo de la unidad no debe utilizarse para proporcionar información específica sobre la magnitud y no debe nunca ser la única fuente de información respecto de la magnitud. Las unidades no deben ser modificadas con información adicional sobre la naturaleza de la magnitud; este tipo de información debe acompañar al símbolo de la magnitud y no al de la unidad.

6. El valor numérico precede siempre a la unidad y siempre se deja un espacio entre el número y la unidad. Así, el valor de una magnitud es el producto de un número por una unidad, considerándose el espacio como signo de multiplicación (igual que el espacio entre unidades). Las únicas excepciones a esta regla son los símbolos de unidad del grado, el minuto y el segundo de ángulo plano, º, ’ y ”, respectivamente, para los cuales no se deja espacio entre el valor numérico y el símbolo de unidad. Esta regla implica que el símbolo ºC para el grado Celsius debe ir precedido de un espacio para expresar el valor de la temperatura Celsius t.

7. En cualquier expresión, sólo se emplea una unidad. Una excepción a esta regla es la expresión de los valores de tiempo y ángulo plano expresados mediante unidades fuera del SI. Sin embargo, para ángulos planos, es preferible generalmente dividir el grado de forma decimal. Así, se escribirá 22,20º mejor que 22º 12', salvo en campos como la navegación, la cartografía, la astronomía, y para la medida de ángulos muy pequeños.

8. El símbolo utilizado para separar la parte entera de su parte decimal se denomina «separador decimal». El símbolo del separador decimal es la coma, en la propia línea de escritura. Si el número está comprendido entre +1 y -1, el separador decimal va siempre precedido de un cero.

9. Los números con muchas cifras pueden repartirse en grupos de tres cifras separadas por un espacio, a fin de facilitar la lectura. Estos grupos no se separan nunca por puntos ni por comas. En los números de una tabla, el formato no debe variar en una misma columna.

10.La unidad SI coherente de las magnitudes sin dimensión o magnitudes de dimensión uno, es el número uno, símbolo 1. Los valores de estas magnitudes se expresan simplemente mediante números. El símbolo de unidad 1 o el nombre de unidad «uno» no se menciona explícitamente y no existe símbolo particular ni nombre especial para la unidad uno, salvo algunas excepciones que se indican en las tablas. Como los símbolos de los prefijos SI no pueden unirse al símbolo 1 ni al nombre de unidad «uno», para expresar los valores de magnitudes adimensionales particularmente grandes o particularmente pequeñas se emplean las potencias de 10. En las expresiones matemáticas, el símbolo % (por ciento), reconocido internacionalmente, puede utilizarse con el SI para representar al número 0,01. Por lo tanto, puede usarse para expresar los valores de magnitudes sin dimensión. Cuando se emplea, conviene dejar un espacio entre el número y el símbolo %. Cuando se expresan de esta forma los valores de magnitudes adimensionales, es preferible utilizar el símbolo % mejor que la expresión «por ciento». Cuando se expresan valores de fracciones adimensionales (por ejemplo fracción másica, fracción en volumen, incertidumbre relativa, etc.), a veces resulta útil emplear el cociente entre dos unidades del mismo tipo. El término «ppm» que significa 106 en valor relativo o 1 × 10-6 o «partes por millón» o millonésimas, se usa también. Cuando se emplea alguno de los términos %, ppm, etc., es importante declarar cuál es la magnitud sin dimensión cuyo valor se está especificando.

3. Reglas para la formación de los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI.

1. Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades SI se forman por medio de prefijos que designan los factores numéricos decimales por los que se multiplica la unidad y que figuran en la columna «factor» de la tabla 5.

2. Los símbolos de los prefijos se escriben en caracteres romanos (rectos), como los símbolos de las unidades, independientemente del tipo de letra del texto adyacente, y se unen a los símbolos de las unidades, sin dejar espacio entre el símbolo del prefijo y el de la unidad. Con excepción de da (deca), h (hecto) y k (kilo), todos los símbolos de prefijos de múltiplos se escriben con mayúsculas y todos los símbolos de prefijos de submúltiplos se escriben con minúsculas. Todos los nombres de los prefijos se escriben con minúsculas, salvo al comienzo de una frase.

3. El grupo formado por un símbolo de prefijo y un símbolo de unidad constituye un nuevo símbolo de unidad inseparable (formando un múltiplo o un submúltiplo de la unidad en cuestión) que puede ser

elevado a una potencia positiva o negativa y que puede combinarse con otros símbolos de unidades compuestas.Ejemplos:2,3 cm3= 2,3 (cm)3= 2,3 (10-2m)3= 2,3 × 10-6m3.1 cm-1= 1 (cm)-1= 1 (10-2 m)-1= 102m-1= 100 m-1.1 V/cm = (1 V)/(10-2m) = 102V/m = 100 V/m.5000 μs-1= 5000 (μs)-1= 5000 (10-6s)-1= 5 × 109s-1 .

4. Los nombres de los prefijos son inseparables de los nombres de las unidades a las que se unen. Así, por ejemplo, milímetro, micropascal y meganewton se escriben en una sola palabra. Los símbolos de prefijos compuestos; es decir, los símbolos de prefijos formados por yuxtaposición de dos o más símbolos de prefijos, no están permitidos, por ejemplo debe escribirse nm (nanómetro) y no mμm. Esta regla se aplica también a los nombres de los prefijos compuestos. Los símbolos de los prefijos no pueden utilizarse solos o unidos al número 1, símbolo de la unidad uno. Igualmente, los nombres de los prefijos no pueden unirse al nombre de la unidad uno, es decir a la palabra «uno».

5. Los nombres y símbolos de prefijos se emplean con algunas unidades fuera del SI, pero nunca se utilizan con unidades de tiempo: minuto, min; hora, h; día, d. Los astrónomos usan el milisegundo de arco (o de grado), símbolo «mas», y el microsegundo de arco, símbolo «μas», como unidades de medida de ángulos muy pequeños.

6. Entre las unidades básicas del Sistema Internacional, la unidad de masa es la única cuyo nombre, por razones históricas, contiene un prefijo. Los nombres y los símbolos de los múltiplos y submúltiplos decimales de la unidad de masa se forman añadiendo los nombres de los prefijos a la palabra «gramo» y los símbolos de estos prefijos al símbolo de la unidad «g».

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1024 Yotta Y 10-1 Deci d

1021 Zetta Z 10-2 Centi c

1018 Exa E 10-3 Mili m

1015 Peta P 10-6 Micro μ

1012 Tera T 10-9 Nano n

109 Giga G 10-12 Pico p

106 Mega M 10-15 Femto f

103 Kilo k 10-18 Atto a

102 Hecto h 10-21 Zepto z

101 Deca da 10-24 Yocto y

Tabla 5. Prefijos SI

Referencias

Reproducción parcial del Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, por el que se establecen las unidades legales de medida. Publicado el jueves 21 de enero de 2010.No se han incluído las tablas 7 y 8 relativas a Unidades no pertenecientes a SI: cuyos valores SI se obtienen experimentalmente y las de aplicación en sectores específicos.

El PDF completo se descarga desde el BOE, en la dirección, Real Decreto 2032/2009, de 30 de diciembre, por el que se establecen las unidades legales de medida.

Errores en las medidas

Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.

Reglas para expresar una medida y su error

Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos medir

Además, todas las medidas está afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la información.

Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido

 297±2 mm.

De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295 mm y 299 mm. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

Una medida de una velocidad expresada de la forma

6051.78±30 m/s

es completamente ridícula, ya que la cifra de las centenas puede ser tan pequeña como 2 o tan grande como 8. Las cifras que vienen  a continuación 1, 7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresión correcta es

6050±30 m/s

Una medida de 92.81 con un error de 0.3, se expresa

92.8±0.3

Con un error de 3, se expresa

93±3

Con un error de 30 se expresa

90±30

Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).

La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Expresiones incorrectas por la regla 2

 24567±2928 m

23.463±0.165 cm

345.20±3.10 mm

 Expresiones incorrectas por la regla 3.

24567±3000 cm

43±0.06 m

345.2±3 m

 Expresiones correctas

 24000±3000 m

23.5±0.2 cm

345±3 m

43.00±0.06 m

Medidas directas

Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador.

Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x1, x2, ... xn se adopta como mejor estimación del valor verdadero, el valor medio <x>, que viene dado por

[Math Processing Error]

El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar 4 ó 5.

Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por

[Math Processing Error]

 El resultado del experimento se expresa como

 <x>±Δx y la unidad de medida

La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias

entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

Ejemplos:

El siguiente applet se puede utilizar para calcular el valor medio de una serie de medidas y el error cuadrático. Se introduce cada una de las medidas en el control área de texto del applet, y se pulsa RETORNO, de este modo las medidas aparecen en una columna. A continuación, se pulsa el botón titulado Calcular. El botón titulado Borrarlimpia el área de texto y lo prepara para la introducción de otra serie de medidas.

Si al hacer una medida de la intensidad con un amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresará así

0.64±0.01 A

Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:

[Math Processing Error]

 El error cuadrático será

[Math Processing Error]

Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), Δt=0.05 s. Pero el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es

t=6.3±0.1 s

Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en esta caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la

medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como

 t=6.0±0.2 s

 

Error absoluto y error relativo

Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir

[Math Processing Error]

donde <x> se toma en valor absoluto, de forma que e es siempre positivo.

El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.

Medidas indirectas

En muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.

Funciones de una sola variable

Si se desea calcular el índice de refracción n de un vidrio midiendo el ángulo crítico θ, tenemos que n=1/senθ. Si medimos el ángulo θ es fácil calcular el índice de refracción n. Pero si conocemos el error de la medida del ángulo, necesitamos conocer el error del índice de refracción.

Sea una función y=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error Δx es pequeño. El error Δy se calcula del siguiente modo

Δy=tanθ·Δx

Pero tanθ es la pendiente de la recta tangente a al curva en el punto de abscisa x

Como la pendiente puede ser positiva, si la función es creciente o negativa si la función es decreciente, en general tendremos que

Δy=|f'(<x>)|Δx

Sea y=cos x

Sea x=20±3 º,

y=cos20=0.9397

El error Δx=0.05 rad

Δy=|sin20|·0.05=0.02

y=0.94±0.02

Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las medidas indirectas es el siguiente: Supongamos que queremos medir el periodo P de un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que aprecia las décimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resulta P=0.46 s, que es el periodo "medio".

P=t10   ΔP=Δt10

 Obtenemos para el error P=0.01 s. Por tanto, la medida la podemos expresar como

P=0.46±0.01 s

Es evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolución instrumental para medir P aumentando el número de periodos que incluimos en la medida directa de t. El límite está en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el número de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud indefinidamente, sino que se para al cabo de un cierto tiempo.

Función de varias variables

La magnitud y viene determinada por la medida de varias magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la función

 y=f(p, q, r ...).

El error de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión.

Δy=(<∂f∂p>Δp)2+(<∂f∂q>Δq)2+(<∂f∂r>Δr)2+...−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Casos más frecuentes

z=x+y   Δz=Δx2+Δy2−−−−−−−−−√z=x−y   Δz=Δx2+Δy2−−−−−−−−−√z=x⋅y   Δzz=(Δxx)2+(Δyy)2−−−−−−−−−−−−−√z=xy    Δzz=(Δxx)2+(Δyy)2−−−−−−−−−−−−−√

La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm, y 10.2±0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta.

El área es z=1.53×10.2=15.606 cm2

El error relativo del área z/z se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos magnitudes.

Δzz=(0.061.53)2+(0.110.2)2−−−−−−−−−−−−−√=0.0404422504Δz=(1.53⋅10.2)⋅0.0404422504=0.63083

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como

15.6±0.6 cm2

Funciones de dos variables

Queremos calcular la aceleración de la gravedad g, midiendo el periodo P de un péndulo de longitud l

El periodo de un péndulo

P=2πlg−−√ g=4π2lP2

La expresión del error Δg de la variable dependiente g

Δg=(4π21P2Δl)2+(4π2−2P3ΔP)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=4π2lP2(Δll)2+(2ΔPP)2−−−−−−−−−−−−−−√Δgg=(Δll)2+(2ΔPP)2−−−−−−−−−−−−−−√

Supongamos que medimos el periodo P y la longitud l del péndulo

P=1.396±0.004 sl=92.9±0.1 cm

Calculamos la aceleración de la gravedad y el error

g=979.035 cm/s2

Δg=4.28

Expresamos correctamente la medida y el error de g

979±4 cm/s2

Ley de Snell de la refracción

n=sinisinr

Cálculo del error en la medida del índice de refracción n.

Δnn=(1taniΔi)2+(1tanrΔr)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Sea  i=20±1 º y r=13±1 º

Se calcula el índice de refracción y el error

 n=1.52Δn=0.136

Expresamos correctamente la medida y el error de n

n=1.5±0.1

Referencias

Dpto. de Física de la Materia Condensada. Cálculo de errores en las medidas. Universidad del País Vasco. Leioa (Vizcaya)

Taylor J. R. An Introduction to Error Analysis. The Study of Uncertainties in Physical Measurements. University Science Books (1982)

Medidas de longitudEn esta página, estudiamos diversos instrumentos para medir una longitud con distnta precisión:

La cinta métrica

El calibre

El micrómetro

La cinta métrica

Expresar correctamente la medida y el error de acuerdo a las reglas para expresar una magnitud y su errorenunciadas en el capítulo Unidades y Medidas.

La longitud de la pieza es

a ±Δa .................... cm

El micrómetro

Lee directamente el número de milímetros sobre el cuerpo graduado que deja al descubierto la caberza giratoria y las centésimas en el nonio giratorio. Si el número de centésimas es superior a 50, habrá aparecido la raya correspondiente a los medios milímetos en el cuerpo graduado (tal como se aprecia en la segunda figura)

El espesor de la pieza es

a ±Δa .................... mm

 

El espesor de la pieza es

a ±Δa .................... mm

El calibre

El calibre es un aparato empleado para la medida de espesores y diámetros interiores y exteriores. Consta de una regla provista de un nonius.

El nonius es un aparato destinado a la medida precisa de longitudes o de ángulos. El empleado para la medida de longitudes consta de una regla dividida en partes iguales, sobre la que desliza una reglilla graduada (nonius) de tal forma que n-1 divisiones de la regla se dividen en n partes iguales del nonius.

Si D es la longitud de una de las divisiones de la regla, la longitud de una división de nonius es d=D(n-1)/n

Se llama precisión p a la diferencia entre las longitudes de una división de la regla y otra del nonius. Su valor es:

p=D−d=D−D(n−1)n=Dn−D(n−1)n=Dn

Así, si cada división de la regla tiene por longitud un milímetro, y se han dividido nueve divisiones de ella en diez del nonius, la precisión es de 1/10 de mm (nonius decimal).

En la figura, se muestra una imagen del calibre, y el nombre de sus componentes. En el programa interactivo se mostrará la parte marcada en rojo, para que el lector pueda practicar con este importante instrumento de medida del laboratorio de Física.

Medidas con el calibre

Expresar correctamente la medida y el error de acuerdo a las reglas para expresar una magnitud y su errorenunciadas en el capítulo Unidades y Medidas.

La longitud de la pieza es

a±Δa .................... mm

 

La longitud de la pieza es

a ±Δa .................... mm

Simulación del calibre

Ahora pongamos en práctica el calibre. Supongamos que deseamos efectuar medidas de las dimensiones de distintas piezas con dos calibre de distinta precisión.

Al pulsar el botón Nuevo, se efectúa una nueva medida, se introduce la medida en el control de edición, y se pulsa el botón Aceptar. Un mensaje nos indica si se ha introducido la medida correcta, si faltan decimales, etc.

Si no acertamos, podemos pulsar el botón titulado Ayuda, una flecha roja en la regla marca la parte entera, y una flecha azul sobre el nonius marca la parte decimal de la medida.

Se introducirá como separador entre la parte entera y la parte decimal el punto (.) en vez de la coma (,).

Medida del área de una figura rectangular

Supongamos una pieza rectangular cuyos lados vamos a medir con dos calibres de distinta precisión.

Antes de hacer esta "práctica" se deberá aprender a manejar el calibre.

Cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo, se simula la medida de un lado de la pieza rectangular. Las medidas no dan el mismo resultado ya están afectadas por cierto error.

Al lado de cada calibre, se proporciona un programa que calcula el valor medio y el error cuadrático. Para utilizarlo, se introduce cada una de las medidas en el área de texto del applet, y se pulsa RETORNO, de este  modo las medidas aparecen en una columna. A continuación, se pulsa el botón titulado Calcular. El botón titulado Borrar limpia el área de texto y lo prepara la introducción de otra serie de medidas.

Ejemplo 1º.

1. Se ha efectuado las siguientes medidas con el calibre de 20 divisiones3.20, 3.25, 2.90, 3.35 y 3.20

2. Introducimos estos datos en el applet que calcula el valor medio y el error cuadrático<x>=3.18Δx=0.0751 que es mayor que el error instrumental 0.05

3. Expresamos correctamente la medida y el error3.18± 0.08 mm

Ejemplo 2º.

1. Se ha efectuado las siguientes medidas con el calibre de 20 divisiones3.15, 3.20, 3.00, 3.25, 3.10

2. Introducimos estos datos en el applet que calcula el valor medio y el error cuadrático<x>=3.14Δx=0.043 que es menor que el error instrumental 0.05

3. Expresamos correctamente la medida y el error3.14± 0.05 mm

Medida del lado a

El lado a lo medimos con un calibre de de 20 divisiones.

1. Se realizan 5 medidas del lado a

2. Se calcula el valor medio <a>

3. Se calcula el error absoluto Δa

4. Se expresa correctamente la medida  a±Δa, de acuerdo con las reglas enunciadas en los apartados: reglas para expresar una medida y su error y medidas directas.

La medida es

a±Δa  

Medida del lado b

El lado b con un calibre de 10 divisiones

1. Se realizan 5 medidas del lado b

2. Se calcula el valor medio <b>

3. Se calcula el error absoluto Δb

4. Se expresa correctamente la medida  b±b, de acuerdo con las reglas enunciadas en los apartados: reglas para expresar una medida y su error y medidas directas.

La medida es

b±Δb  

Cálculo del área S

1. Se calcula el valor del área del rectángulo S.

2. Se calcula el error cometido en la medida del área del rectángulo ΔS, véase el apartado medidas indirectas

3. Se expresa correctamente la medida  del área y su error S±ΔS, de acuerdo con las reglas enunciadas en los apartados: reglas para expresar una medida y su error.

La medida es

S±ΔS