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APLICACIONES DEL TEOREMA DE STOKES.PROBLEMAS RESUELTOS

E. Bendito, A. Carmona y A. M. Encinas

5 de diciembre de 2007

Capítulo 1

Problemas de Integración

45.- Sean γ : [a, b] −→ IR3 una curva regular y f : IR3 −→ IR diferenciable. Demostrar que∫γ

df = f(γ(b))− f(γ(a)).

Concluir que∫

γdf es nula sobre cualquier curva cerrada.

Solución:En primer lugar observemos que

∫γ

df =∫

γ

( ∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 +

∂f

∂x3dx3

).

Por otro lado, de la relación entre el elemento de longitud y los elementos de volumencoordenados tenemos,

dxi = x′idt =x′i||γ′||

||γ′||dt = Tidl,

donde dl es el elemento de longitud y Ti son las componentes del vector tangente a la curva.Por tanto, substituyendo en la integral, obtenemos∫

γ

df =∫

γ

( ∂f

∂x1T1dl +

∂f

∂x2T2dl +

∂f

∂x3T3dl

)=∫

γ

〈∇f, T 〉dl =

=∫ b

a

〈∇f(γ(t)),γ′(t)||γ′(t)||

〉||γ′(t)||dt =∫ b

a

(f γ)′(t)dt = f(γ(t))b

a

= f(γ(b))− f(γ(a)).

46.- Sea X el campo definido en IR3 − (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 = 0 por

X =−y

x2 + y2

∂

∂x+

x

x2 + y2

∂

∂y.

1

2 Problemas Resueltos

Demostrar que

(i) rot(X) = 0.(ii) C(X, γ) 6= 0, donde γ es una circunferencia paralela al plano xy y con centro en el eje z.(iii) No puede existir una función f tal que X = ∇f .

Solución:

(i) Calculamos el rotacional,

rot(X) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z−y

x2 + y2

x

x2 + y20

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(

0, 0,x2 + y2 − 2x2

(x2 + y2)2+

x2 + y2 − 2y2

(x2 + y2)2

)= (0, 0, 0).

(ii) Una parametrización de γ en coordenadas cilíndricas es,

γ(θ) = (R cos θ, R sen θ, z0), donde θ ∈ [0, 2π].

Luego, γ′(θ) = (−R sen θ, R cos θ, 0) y el producto escalar restringido a la curva es〈X, γ′(θ)〉 = 1.

Por tanto, C(X, γ) =∫ π

0

〈X, γ′(θ)〉 dθ =∫ 2π

0

dθ = 2π 6= 0.

(iii) Supongamos que existe una función f tal que X = ∇f . Entonces la circulación a travésde cualquier curva cerrada será nula. En particular, C(X, γ) = 0, donde γ es la curvaque hemos considerado en el apartado anterior, lo que es una contradicción ya que hemosdemostrado que la circulación es no nula. Por tanto, el campo X no puede ser un campogradiente. Lo que ocurre en este caso es que el campo X es un campo diferenciable enIR3 − (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 = 0 que no es un abierto con forma de estrella.

47.- Consideramos el campo de IR2

X = (x2 + 7y)∂

∂x+ (−x + y sen y2)

∂

∂y.

Calcular la circulación de X sobre la frontera del triángulo de vértices (0, 2), (0, 0) y (1, 0).

Solución:Primer método. La circulación a lo largo de la frontera del triángulo es la suma de las circula-ciones en cada uno de los lados,

C(X, ∂T ) =∫

α1

〈X, T1〉dl +∫

α2

〈X, T2〉dl +∫

α3

〈X, T3〉dl.

Teoremas integrales 3

Figura 1.1: Representación de T

Parametrizamos cada uno de los lados del triángulo y calculamos el vector tangente.

y = 0; α1(t) = (t, 0), t ∈ [0, 1]; α′1(t) = (1, 0),

y = 2(1− x); α2(t) = (−t, 2(1 + t)), t ∈ [−1, 0]; α′2(t) = (−1, 2),

x = 0; α3(t) = (0,−t), t ∈ [−2, 0]; α′1(t) = (0,−1).

C(X, ∂T ) =∫ 1

0

〈X, α′1〉dt +∫ 0

−1

〈X, α′2〉dt +∫ 0

−2

〈X, α′3〉dt =

∫ 1

0

t2dt +∫ 0

−1

−t2 − 14(1 + t) + 2t + 4(1 + t) sen(2(1 + t))2dt +∫ 0

−2

t sen t2dt =

t3

3

1

0

+(−t3

3− 14t− 7t2 + t2 − cos(2(1 + t))2

2

)0

−1

− cos t2

2

0

−2

= −8.

Segundo método.

Calculamos la circulación aplicando el Teorema de Green.

C(X, ∂T ) =∫

∂T

(x2 + 7y) dx + (−x + y sen y2) dy =∫

T

−8 dxdy = −8.


48.- Sea X el campo de fuerzas definido en IR2 por

X = (2x + y cos(xy))∂

∂x+ x cos(xy)

∂

∂y.

Calcular el trabajo realizado por X sobre cualquier curva cerrada contenida en IR2.

Solución:

Si el campo se puede expresar como un campo gradiente, el trabajo realizado por el camposobre cualquier curva cerrada será nulo. Por tanto, supongamos que existe f : IR2 −→ IRdiferenciable tal que X = ∇f . Entonces, se debe satisfacer

∂f

∂x= 2x + y cos(xy)

∂f

∂y= x cos(xy)

(1.1)

Integrando la primera ecuación respecto de x obtenemos,

f(x, y) = x2 + sen(xy) + ϕ(y).

Si derivamos f respecto de y y comparamos con la segunda ecuación de (1.1) obtenemos queϕ′(y) = 0 y por tanto ϕ(y) = A = cte.

Finalmente, la función f(x, y) = x2 + sen(xy) + A verifica que X = ∇f .

49.- Calcular la circulación del campo X = y2 ∂

∂x+x

∂

∂ydefinido en IR2 a lo largo del cuadrado

de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2).

Solución: Este ejercicio se puede resolver parametrizando las cuatro rectas que forman elcuadrado o aplicando el Teorema de Green, lo que en este caso resulta más sencillo. El recintode integración se muestra en la Figura 1.2

C(X, ∂C) =∫

∂C

y2 dx + x dy =∫

C

(1− 2y) dx dy = −4.

50.- (a) Si f : [a, b] −→ IR es diferenciable no negativa y la gráfica de f en el plano xy se hacegirar alrededor del eje x en IR3, engendra una superficie M . Probar que el área de M es∫ b

a

2πf(t)√

1 + (f ′)2(t) dt.

Solución:

Una parametrización de la curva en el plano xy es,

α(t) = (t, f(t), 0), t ∈ [a, b].


Figura 1.2: Representación de C

Por tanto, la parametrización de la superficie y la base del tangente son

xxxxxxxxxxxxxx(t, θ) = (t, f(t) cos θ, f(t) sen θ), t ∈ [a, b], θ ∈ [0, 2π],

xxxxxxxxxxxxxxt = (1, f ′(t) cos θ, f ′(t) sen θ), xxxxxxxxxxxxxxθ = (0,−f(t) sen θ, f(t) cos θ).

Los coeficientes de la métrica son E = 1 + f ′(t)2, G = f(t)2 y F = 0.

Por último el área es

A =∫

M

√EG− F 2 dt dθ =

∫ b

a

∫ 2π

0

f(t)√

1 + (f ′)2(t) dt dθ =∫ b

a

2πf(t)√

1 + (f ′)2(t)dt.

51.- Sean, U ⊂ IR2 abierto, f : U −→ IR de clase C1 y S = (x, y, z) ∈ IR3 : z = f(x, y).Hallar el elemento de volumen de S y demostrar la siguiente expresión para el área de S∫

U

dx dy

cos θ=∫

U

√1 + f2

x + f2y dx dy,

siendo θ el ángulo que la normal exterior a S forma con el eje z.

Solución:

En primer lugar, hallamos una parametrización de la superficie.

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ U.


La base del tangente es,

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, fx) y xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, fy).

Por tanto los coeficientes de la métrica son,

E = 〈xxxxxxxxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxxxx〉 = 1 + f2x , F = 〈xxxxxxxxxxxxxxx, xxxxxxxxxxxxxxy〉 = fxfy, G = 〈xxxxxxxxxxxxxxy, xxxxxxxxxxxxxxy〉 = 1 + f2

y .

Luego el elemento de volumen y el área son√

EG− F 2 =√

(1 + f2x)(1 + f2

y )− (fxfy)2 =√

1 + f2x + f2

y ,

A =∫

U

√EG− F 2 dx dy =

∫U

√1 + f2

x + f2y dx dy.

Por último, falta comprobar que

1cos θ

=√

1 + f2x + f2

y .

Calculamos el vector normal

N =xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy

||xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy||=

1√1 + f2

x + f2y

(−fx,−fy, 1).

Buscamos el ángulo que forma la normal con el eje z,

cos θ = 〈N, e3〉 =1√

1 + f2x + f2

y

〈(0, 0, 1), (−fx,−fy, 1)〉 =1√

1 + f2x + f2

y

.

Por tanto, ∫U

dx dy

cos θ=∫

U

√1 + f2

x + f2y dx dy.

52.- Consideremos el campo X definido en IR3 por

X = (x + yz)∂

∂x+ (y + z − xz)

∂

∂y+ (3− y)

∂

∂z.

(i) Calcular el flujo de X sobre el hemisferio z > 0 de la superficie x2 + y2 + z2 = 1.(ii) Calcular la circulación de X sobre la curva x2 + y2 = 1, z = 0.

Solución:

(i) Parametrizamos la superficie y calculamos los campos involucrados en la evaluación delflujo,

xxxxxxxxxxxxxx(θ, ϕ) = (senϕ cos θ, senϕ sen θ, cos ϕ), θ ∈ [0, 2π], ϕ ∈ [0, π2 ],


xxxxxxxxxxxxxxθ = (− senϕ sen θ, senϕ cos θ, 0),

xxxxxxxxxxxxxxϕ = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sen θ,− senϕ),

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ = (− sen2 ϕ cos θ,− sen2 ϕ sen θ,− senϕ cos ϕ).

Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es

〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ〉 = (1 + 3 cos ϕ− cos2 ϕ) sen ϕ.

Entonces el flujo es,

Φ(X, S) =∫ π

2

0

∫ 2π

0

(1 + 3 cos ϕ− cos2 ϕ) sen ϕ dϕ dθ

= 2π

(− cos ϕ− 3 cos2 ϕ

2+

cos3 ϕ

3

)π2

0

=13π

3.

(ii) La parametrización de la curva es,

α(θ) = (cos θ, sen θ, 0), θ ∈ [0, 2π].

Por tanto, el vector tangente y la restricción del producto escalar a la curva son

α′(θ) = (− sen θ, cos θ, 0),

〈X, α′〉=〈(cos θ, sen θ, 3− sen θ), (− sen θ, cos θ, 0)〉=0.

Luego la circulación es,

C(X, γ) =∫

γ

〈X, T 〉dl = 0.

53.- Dado el campo X = x∂

∂x+ y

∂

∂y+ 2z

∂

∂zdefinido en IR3, calcular el flujo de X a través

de la superficie esférica x2 + y2 + z2 = a, a > 0.

Solución:

Para hallar el flujo a través de la superficie, que denotaremos por S, hallamos una parame-trización de ésta y los campos involucrados en el cálculo del flujo.

xxxxxxxxxxxxxx(θ, ϕ) = (senϕ cos θ, senϕ sen θ, cos ϕ), θ ∈ [0, 2π], ϕ ∈ [0, π2 ],

xxxxxxxxxxxxxxθ = (− senϕ sen θ, senϕ cos θ, 0),

xxxxxxxxxxxxxxϕ = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sen θ,− senϕ),

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ = (− sen2 ϕ cos θ,− sen2 ϕ sen θ,− senϕ cos ϕ).

Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es

〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ〉 = (− sen2 ϕ− 2 cos2 ϕ) sen ϕ.

Luego el flujo es,

Φ(X, S) =∫ π

−π

∫ 2π

0

(− sen2 ϕ− 2 cos2 ϕ) sen ϕ dϕ dθ =


2π

(13

cos ϕ sen2 ϕ +23

cos ϕ +23

cos3 ϕ

)π

−π

= 0.

54.- Dado el campo X =1r

∂

∂r, en coordenadas cilíndricas, calcular el flujo de X a través de

la superficie, S, dada por x2 + y2 = a2, 0 < z < a, a ∈ IR+.

Solución:

Debido a que el campo está dado en coordendas cilíndricas, expresamos el cilindro en estascoordenadas,

x = r cos θy = r sen θz = z

=⇒ r2 = a2 =⇒ r = a con (θ, z) ∈ [0, 2π]× ∈ (0, a).

La superficie está dada como la superficie de nivel f(r, θ, z) = r − a = 0, por tanto la normal

será N =∇f

||∇f ||, donde ∇f deberá ser calculado en coordenadas cilíndricas.

∇f(p) =

g11 g12 g13

g12 g22 g23

g13 g23 g33

−1

∂f∂r

∂f∂θ

∂f∂z

=

1 0 0

01r2

0

0 0 1

1

0

0

=

1

0

0

=∂

∂r.

Por tanto, la normal es N =∇f

||∇f ||=

∂

∂r.

El producto escalar restringido al cilindro es 〈X, N〉 =1a.

Por último, el elemento de volumen de las coordenadas cilíndricas es √g = r y su restricciónal cilindro es √g = a.

Por tanto, el flujo es,∫S

〈X, N〉dA =∫ 2π

0

∫ a

0

1a

adzdθ = 2πa.

55.- Calcular el flujo del campo X dado en coordenadas cilíndricas por X = r∂

∂r+ z

∂

∂z, a

través de cada una de las siguientes superficies:

(i) x2 + y2 = z2, 0 < z < 4.(ii) x2 + y2 + (z − 4)2 = 16, 4 < z < 4 + 2

√3.

(iii) x2 + y2 < 4, z = 4 + 2√

3.

Solución:


Representamos las tres superficies en la Figura 1.3.

(i) Sea S el cono x2 + y2 = z2, 0 < z < 4. En primer lugar buscaremos como se expresa lasuperficie en coordenada cilíndricas, ya que el campo está dado en estas coordenadas.

x = r cos θy = r sen θz = z

=⇒ r2 = z2 =⇒ r = z con (θ, z) ∈ [0, 2π]× (0, 4).

La superficie está dada como la superficie de nivel f(r, θ, z) = r − z = 0, por tanto la

normal será N =∇f

||∇f ||.

∇f(p) =

g11 g12 g13

g12 g22 g23

g13 g23 g33

−1

∂f∂r

∂f∂θ

∂f∂z

=

1 0 0

01r2

0

0 0 1

1

0

−1

=

1

0

−1

=∂

∂r− ∂

∂z,

de donde la normal es N =1√2

(∂

∂r− ∂

∂z

).

El producto escalar restringido al cilindro es 〈X, N〉 =1√2(r − z) = 0.

Luego, φ(X, S) = 0.

(ii) Sea S2 el trozo de esfera centrada en (0, 0, 4) y de radio r = 4 con 4 < z < 4 + 2√

3, verFigura 1.3.Para hallar el flujo seguimos los mismos pasos que en el apartado anterior. La superficieexpresada en cilíndricas viene dada por,

r2 + (z − 4)2 = 16 =⇒ h(r, θ, z) = r2 + z2 − 8z = 0.

En este caso tenemos que

∇h =

1 0 0

01r

0

0 0 1

2r

0

2z − 8

=

2r

0

2z − 8

= 2r∂

∂r+ (2z − 8)

∂

∂z.

Por tanto,

N =∇h

||∇h||=

12√

r2 + (z − 4)2

(2r

∂

∂r+ 2(z − 4)

∂

∂z

)y su restricción a S2 es

N =14

(r

∂

∂r+ (z − 4)

∂

∂z

).


Figura 1.3: Representación de S, S2 y D

Entonces, 〈X, N〉 =14(r2 + z2 − 4z) = z.

Por último, falta hallar el elemento de volumen. Por lo que debemos calcular una para-metrización de S2 y los coeficientes de la métrica.

xxxxxxxxxxxxxx(z, θ) = (√

8z − z2 cos θ,√

8z − z2 sen θ, z)

xxxxxxxxxxxxxxz = (8− 2z

2√

8z − z2cos θ,

8− 2z

2√

8z − z2sen θ, 1)

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−√

8z − z2 sen θ,√

8z − z2 cos θ, 0)

E =(4− z)2

8z − z2+ 1 =

168z − z2

, F = 0, G = 8z − z2,√

g = 4.

Finalmente,

φ(X, S) =∫ 4+2

√3

4

∫ 2π

0

4z dz dθ = 8πz2

2

4+2√

3

4

= 4π(12 + 16√

3).

(iii) En este caso la superficie es un disco, D, cuya expresión en coordenadas cilíndricas es,

z = 4 + 2√

3, r ∈ (0, 2), θ ∈ (0, 2π).

La normal a la superficie es N =∂

∂zy la restricción del producto escalar a D es

〈X, N〉 = z = 4 + 2√

3.


Luego el flujo es,

φ(X, D) =∫

D

4 + 2√

3 dA = (4 + 2√

3)4π.

56.- Dado el campo en IR3, X = x3 ∂

∂x+ yz

∂

∂z. Calcular el flujo de X a través de la superficie

S dada porx2 + z2 = 4, 0 < y < 10, z > 0.

Solución:

La superficie S está representada en la Figura 1.4.

Figura 1.4: Representacción de S

En primer lugar parametrizamos la superficie y hallamos los campos involucrados en elcálculo del flujo.

xxxxxxxxxxxxxx(θ, y) = (2 cos θ, y, 2 sen θ), θ ∈ (0, π), y ∈ (0, 10),

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−2 sen θ, 0, 2 cos θ),

xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0),

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxy = (−2 cos θ, 0,−2 sen θ).

El producto escalar restringido al cilindro es,


〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = −16 cos4 θ − 4y sen2 θ.

Luego el flujo es,

Φ(X, S) =∫ π

0

∫ 10

0

(− 16 cos4 θ − 4y sen2 θ

)dθ dy =

−40∫ π

0

(1 + cos(2θ)

)2

+52

(1− cos(2θ)

)dθ = −40

∫ π

0

4− 12

cos(2θ) +12

cos(4θ) dθ =

−40(

4θ − 14

sen(2θ) +18

sen(4θ))π

0

= −160π.

57.- Sean r =√

x2 + y2 + z2, E = IR3 − 0 y f : E −→ IR dada por

f(x, y, z) =1r.

(i) Demostrar que f es armónica en E.

(ii) Calcular∫

SR

∂f

∂N, donde SR es la esfera de radio R centrada en el origen.

(iii) Demostrar que no puede existir un campo Y tal que ∇f = rot(Y ).(iv) Calcular la circulación de ∇f a lo largo de las curvas:

(a)

x2 + y2 + z2 = R2

z = a, 0 < a < R

(b)

x2 + y2 + z2 = R2

y =√

3x

Solución:

(i) Calculamos en primer lugar las derivadas parciales de f ,

∂f

∂x= − x

r3,

∂f

∂y= − y

r3,

∂f

∂z= − z

r3.

Por tanto,

∆f(x, y, z) =∂2f

∂2x+

∂2f

∂2y+

∂2f

∂2z=

3x2r − r3

r6+

3y2r − r3

r6+

3z2r − r3

r6= 0.

(ii) Observemos que ∫SR

∂f

∂N=∫

SR

〈∇f,N〉dA.

La normal a la esfera unidad es N =1R

(x, y, z) y el producto escalar restringido a laesfera es,

〈∇f,N〉 = −x2 + y2 + z2

R4= − 1

R2.


Luego, ∫SR

〈∇f,N〉 dA = − 1R2

∫SR

dA = −4π 6= 0.

(iii) Supongamos que existe Y tal que ∇f = rot(Y ). Entonces, aplicando el Teorema de deStokes-Ampère en el apartado anterior obtendríamos∫

SR

〈∇f,N〉 dA =∫

SR

〈rot(Y ), N〉 dA =∫

∂SR

〈Y, T 〉dl = 0,

ya que ∂SR = ∅. Por tanto, no existe ningún campo Y tal que ∇f = rot(Y ).

(iv) (a) La curva

x2 + y2 + z2 = R2

z = a, 0 < a < Res una circunferencia centrada en (0, 0, a) de radio

√R2 − a2. Teniendo en cuenta que la circulación de un campo gradiente a lo largo de una

curva cerrada es nula obtenemos que∫

γ

〈∇f, T 〉dl = 0.

(b) La curva

x2 + y2 + z2 = R2

y =√

3xes una curva cerrrada. Por tanto,

∫γ

〈∇f, T 〉dl = 0.

58.- Sea Γ =4⋃

i=1

Γi, donde

Γ1 = (x, y, z) ∈ IR3 : z =(2 + cos(π(y + 1))

)cos x,−π/2 ≤ x ≤ π/2,−1/2 ≤ y ≤ 1/2,

Γ2 = (x, y, z) ∈ IR3 : y = 1/2,−π/2 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 2 cos x,Γ3 = (x, y, z) ∈ IR3 : y = −1/2,−π/2 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ z ≤ 2 cos x,Γ4 = (x, y, z) ∈ IR3 : z = 0,−π/2 ≤ x ≤ π/2,−1/2 ≤ y ≤ 1/2.

Sea X el campo vectorial definido por X = x∂

∂x+ z

∂

∂x.

(i) Representar Γ y calcular el volumen encerrado por Γ.(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1.(iii) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ1 ∩ Γ2.(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ2 ∩ Γ4.(v) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ1 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : y = 0, 0 ≤ x ≤ π/2.

Solución:

Las curvas intersección de las diferentes superficies son,

Γ1 ∩ Γ2 = y = 1/2, z = 2 cos x,−π/2 ≤ x ≤ π/2Γ1 ∩ Γ3 = y = −1/2, z = 2 cos x,−π/2 ≤ x ≤ π/2Γ1 ∩ Γ4 = z = 0, x = π/2,−1/2 ≤ y ≤ 1/2 ∪ z = 0, x = −π/2,−1/2 ≤ y ≤ 1/2Γ2 ∩ Γ4 = z = 0, y = 1/2,−π/2 ≤ x ≤ π/2Γ3 ∩ Γ4 = z = 0, y = −1/2,−π/2 ≤ x ≤ π/2


Figura 1.5: Representación de Γ

La superficie Γ está representada en la Figura 1.5.

Por otro lado, div(X) = 2, rot(X) = (0, 0, 0) y X = ∇f , donde f(x, y, z) =x2

2+

z2

2.

(i) Sea Ω el volumen encerrado por Γ. Entonces,

vol(Ω) =∫ π/2

−π/2

∫ 1/2

−1/2

∫ cos x(2+cos(π(y+1)))

0

dx dy dz =∫ π/2

−π/2

∫ 1/2

−1/2

cos x(2 + cos(π(y + 1))) dx dy =∫ π/2

−π/2

cos xdx

∫ 1/2

−1/2

2 + cos(π(y + 1))dy =

senx

π/2

−π/2

(2y +

1π

sen(π(y + 1)))1/2

−1/2

= 2(

1− 1π

+ 1− 1π

)=

4π

(π − 1).

(ii) Primer método.

La representación de Γ1 se halla en la Figura 1.6 Para hallar el flujo aprovecharemos loscalculos hechos en el apartado (i), de forma que

φ(X, Γ1) = φ(X, Γ)− φ(X, Γ2)− φ(X, Γ3)− φ(X, Γ4).

Calculamos cada uno de estos flujos,

• φ(X, Γ) =∫

Ω

div(X)dV = 2vol(Ω) =8π

(π − 1).

• φ(X, Γ2) = 0, ya que N2 = − ∂

∂yy el campo no tiene componente

∂

∂y.


Figura 1.6: Representación de Γ1

• φ(X, Γ3) = 0, ya que N3 =∂

∂yy el campo no tiene componente

∂

∂y.

• φ(X, Γ4) = 0, ya que N4 = − ∂

∂zy < X,N4 >= −z|Γ4 = 0.

Por tanto, φ(X, Γ1) =8π

(π − 1).

Segundo método.

Hallamos una parametrización de Γ1 y los campos involucrados en el cálculo del flujo.xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =

(x, y, cos x

(2 + cos(π(y + 1))

)), x ∈ [−π/2, π/2], y ∈ [−1/2, 1/2],

xxxxxxxxxxxxxxx =(1, 0,− senx(2 + cos(π(y + 1)))

),

xxxxxxxxxxxxxxy =(0, 1,−π cos x sen(π(y + 1))

),

xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy =(

senx(2 + cos(π(y + 1))), π cos x sen(π(y + 1)), 1).

Entonces, la restricción del producto escalar a la superficie es,

〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 =(2 + cos(π(y + 1))

)(x senx + cos x

).

Finalmente,

φ(X, Γ1) =∫ π/2

−π/2

∫ 1/2

−1/2

(2 + cos(π(y + 1)))(x senx + cos x) dx dy =


∫ 1/2

−1/2

2 + cos(π(y + 1))dy

∫ π/2

−π/2

x senx + cos xdx =[

u = x du = dxv = − cos x

]=

(2− 2

π

)(−x cos x

π/2

−π/2

+ 2∫ π/2

−π/2

cos xdx

)=(

2− 2π

)2 senx

π/2

−π/2

=8π

(π − 1).

(iii) Como X = ∇f , con f(x, y, z) =x2

2+

z2

2, cada una de las circulaciones se calcula como

C(X, α) = f(α(b))− f(α(a)),

donde α(b) y α(a) representan los extremos de definición de la curva correspondiente.

Sea α12 = Γ1 ∩ Γ2. Entonces, α12 = (x, 1/2, 2 cos x), x ∈ [−π/2, π/2] y

C(X, α12) = f(α12(π/2))− f(α12(−π/2)) =(π/2)2

8− (π/2)2

8= 0.

(iv) Sea α24 = Γ2 ∩ Γ4. Entonces, α24 = (x, 1/2, 0), x ∈ [−π/2, π/2] y

C(X, α24) = f(α24(π/2))− f(α24(−π/2)) =(π/2)2

8− (π/2)2

8= 0.

(v) Sea α1 = Γ1 ∩ y = 0, 0 ≤ x ≤ π/2. Entonces, α1 = (x, 0, cos x), x ∈ [0, π/2] y

C(X, α1) = f(α1(π/2))− f(α1(0)) =(π/2)2

8− 1

2.

59.- Sean, c ∈ IR+,

Tc = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ c2

49 , 0 ≤ z ≤ 5c ∪

(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + (y + c)2 ≤ 3c2, (x−√

32 c)2 + (y − c

2 )2 ≤ 3c2,

(x +√

32 c)2 + (y − c

2 )2 ≤ 3c2, 5c ≤ z ≤ 9c ∪

(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ c2

49 , 9c ≤ z ≤ 13c

y consideremos el campo vectorial

X = az2 ∂

∂x− b

∂

∂z; a, b ∈ IR+.

(i) Calcular el flujo de X a través de ∂Tc.

(ii) Calcular el flujo de X a través de

A = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 =c2

49, 9c ≤ z ≤ 13c.


(iii) Calcular el flujo de X a través de

B = (x, y, z) ∈ IR3 : (x−√

32 c)

2+ (y − c

2 )2 = 3c2, −√

32 c ≤ x ≤ 0,

−c ≤ y ≤ c2 , 5c ≤ z ≤ 9c.

(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂B.(v) Calcular la circulación de X a lo largo de

γ = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 =c2

49, z = 9c.

Solución:

(i) La superficie (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ c2

49 , 0 ≤ z ≤ 5c es un cilindro de eje z y radioc

7con 0 ≤ z ≤ 5c.La superficie (x, y, z) ∈ IR3 : x2+(y + c)2 ≤ 3c2, (x−

√3

2 c)2+(y− c2 )2 ≤ 3c2, (x+

√3

2 c)2+(y − c

2 )2 ≤ 3c2, 5c ≤ z ≤ 9c es la intersección de tres cilindros de eje z. Representamosen la Figura 1.7 dicha intersección en el plano xy.

Figura 1.7: Representación de la intersección

La superficie (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ c2

49 , 9c ≤ z ≤ 13c es un cilindro de eje z y radioc

7con 9c ≤ z ≤ 13c.

La Representación de Tc se encuentra en la Figura 1.8.


Figura 1.8: Representación de Tc

Para calcular el flujo a través de la frontera aplicamos el Teorema de la Divergencia.

φ(X, ∂Tc) =∫Tc

〈X, N〉 =∫Tc

div(X)dV = 0.

(ii) Para calcular el flujo a través de A, ver Figura 1.9, podemos cerrarla empleando dos discoscon lo que podremos aplicar el Teorema de la Divergencia.

Sean D1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ c2

49 , z = 13c, D2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤c2

49 , z = 9c y A el volumen encerrado por A ∪D1 ∪D2.

Entonces, N1 =∂

∂z, N2 = − ∂

∂zy∫

A

〈X, N〉dA =∫A

div(X)dV −∫

D1

〈X, N〉dA−∫

D1

〈X, N〉dA = b

∫D1

dA− b

∫D2

dA = 0.

(iii) La representación de B se halla en la Figura 1.10.En este caso para calcular el flujo parametrizamos la superficie,

xxxxxxxxxxxxxx(y, z) =

(√3

2c−

√3c2 −

(y − c

2

)2

, y, z

), y ∈

[−c,

c

2

], z ∈ [5c, 9c].


Figura 1.9: Representación de A

xxxxxxxxxxxxxxy =

y − c

2√3c2 −

(y − c

2

)2 , 1, 0

, xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1).

Los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxy ∧ xxxxxxxxxxxxxxz =

1,−y − c

2√3c2 −

(y − c

2

)2 , 0

y 〈X,xxxxxxxxxxxxxxy ∧ xxxxxxxxxxxxxxz〉 = az2

Por último, el flujo de X a través de B es,

φ(X, B) =∫

B

〈X, N〉dA =∫ c

2

−c

∫ 9c

5c

az2 dz dy =32cz3

3

9c

5c

= 302c4a.

(iv) La circulación a lo largo de la frontera de B la podemos hallar aplicando el teorema deStokes-Ampere.

C(X, ∂B) =∫

∂B

〈X, T 〉dl =∫

B

〈rot(X), N〉dA.


Figura 1.10: Representación de B

En este caso el rotacional es rot(X) = (0, 2az, 0), y la restricción del producto escalar ala superficie es,

〈rot(X), xxxxxxxxxxxxxxy ∧ xxxxxxxxxxxxxxz〉 = −2az(y − c

2 )√3c2 −

(y − c

2

)2 .

Luego, la circulación es,

C(X, ∂B) =∫ c

2

−c

∫ 9c

5c

−2az(y − c

2 )√3c2 −

(y − c

2

)2 dy dz = az2

9c

5c

√3c2 −

(y − c

2

)2∣∣∣∣∣

c2

−c

= 28√

3ac2.

(v) Para hallar la circulación a lo largo de γ procedemos del mismo modo que en el apartado

anterior. En este caso la normal es, N =∂

∂z.

Por tanto, la circulación es,

C(X, γ) =∫

γ

〈rot(X), N〉dA = 0.


60.- Sea Γ1 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva x2+z2 =R2, y = 0, z ≥ 0 y en la recta y = 2R, z = 0, que son paralelas al plano yz, con−R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ 2R.

Sea Γ3 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la curva x2 +(z + R)2 = R2, y = 2R, z ≤ −R y en la recta y = 0, z = −R, que son paralelas al planoyz, con −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ 2R.

(i) Calcular la ecuación paramétrica de Γ1 y de Γ3.

(ii) Sea Γ =6⋃

i=1

Γi, donde

Γ2 = (x, y, z) ∈ IR3 : y = 0, −R ≤ x ≤ R, −R ≤ z ≤√

R2 − x2,Γ4 = (x, y, z) ∈ IR3 : y = 2R, −R ≤ x ≤ R, −R−

√R2 − x2 ≤ z ≤ 0,

Γ5 = (x, y, z) ∈ IR3 : x = −R, 0 ≤ y ≤ 2R, −R ≤ z ≤ 0,Γ6 = (x, y, z) ∈ IR3 : x = R, 0 ≤ y ≤ 2R, −R ≤ z ≤ 0.

Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3

X =−2z

y − 3R

∂

∂x− x(y − 2R)

2R2

∂

∂z.

(a) Calcular el flujo de X a través de Γ.(b) Calcular el flujo de X a través de Γ1.(c) Calcular la circulación de X sobre ∂Γ2.

Solución:

(i) Una parametrización de la curva x2 + z2 = R2, y = 0, z ≥ 0 es,α(u) = (R cos u, 0, R senu), u ∈ [0, π].Como las rectas deben ser paralelas al plano yz, debemos parametrizar la rectay = 2R, z = 0 como β(u) = (R cos u, 2R, 0). En este caso,w(u) = α(u)− β(u) = (0,−2R,R senu).

Por tanto, la parametrización de Γ1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = β(u) + vw(u) = (R cos u, 2R− v2R, vR senu).

De forma análoga una parmetrización de Γ3 es,

yyyyyyyyyyyyyy(u, v) = (R cos u, v2R,−vR senu−R).

(ii)

(a) La representación de Γ se halla en la Figura 1.11.Para calcular el flujo a través de Γ podemos aplicar el Teorema de la Divergencia.

φ(X, Γ) =∫

Γ

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X)dV = 0.



(b) En este caso para poder aplicar el Teorema de la Divergencia en el cálculo del flujo, uti-lizaremos dos superficies auxiliares, para obtener una superficie que encierre un volumen,ver Figura 1.12.

Sean

D1 = (x, y, z) ∈ IR3 : y = 0, −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ z ≤√

R2 − x2,T1 = (x, y, z) ∈ IR3 : z = 0, −R ≤ x ≤ R, 0 ≤ y ≤ 2R.

Entonces, N1 = − ∂

∂yy N2 = − ∂

∂z. Por tanto, el flujo es,

φ(X, Γ1) =∫

Ω1

div(X)dV −∫

D1

〈X, N〉dA−∫

T1

〈X, N〉dA =

−∫

T1

x(y − 2r)2R2

dy dx =∫ R

−R

∫ 2R

0

x(y − 2r)2R2

dx dy = 0.

(c) La circulación sobre la frontera de Γ2 la podemos hallar aplicando el teorema de Stokes-Ampere, ver Figura 1.13.

C(X, ∂Γ2) =∫

∂Γ2

〈X, T 〉dl =∫

Γ2

〈rot(X), N〉dA,

donde la normal y el rotacional son,

N = − ∂

∂y, rot(X) =

(− x

2R2,− 2

y − 3R+

y − 2R

2R2,

1(y − 3R)2

).

Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es 〈rot(X), N〉 =1

3R. Luego,



C(X, ∂Γ2) =1

3R

∫Γ2

dA =1

3R

(π

2R2 + 2R2

)=

R

6(π + 4).

61.- Sea Γ1 la superficie reglada en IR3 formada por rectas que se apoyan en la hélice α(θ) =(cos θ, sen θ, a θ) y en el eje z, que son paralelas al plano xy, con 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1.

(i) Calcular la ecuación paramétrica de Γ1 y su expresión en coordenadas cilíndricas.

(ii) Sea Γ =5⋃

i=1

Γi, donde

Γ2 = 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, z = a(θ + 2π)Γ3 = ρ = 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, a θ ≤ z ≤ a(θ + 2π)Γ4 = 0 ≤ ρ ≤ 1, θ = 0, 0 ≤ z ≤ 2aπΓ5 = 0 ≤ ρ ≤ 1, θ = 0, 2aπ ≤ z ≤ 4aπ

y ρ, θ, z son las coordenadas cilíndricas.

Sea X el campo vectorial diferenciable de IR3

X = y√

x2 + y2∂

∂x− x√

x2 + y2∂

∂y.

(a) Calcular el flujo de X a través de Γ.

(b) Calcular el flujo de X a través de Γ1.

(c) Calcular el flujo de X a través de Γ2.


Figura 1.13: Representación de ∂Γ2

(d) Calcular el flujo de X a través de Γ4 ∪ Γ5.

(e) Calcular la circulación de X sobre α(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.

(f) Calcular la circulación de X sobre ∂(Γ4 ∪ Γ5

).

Solución:

(i) Las generatrices de Γ1 tendrán como vector director,

w(θ) = α(θ)− (0, 0, aθ) = (cos θ, sen θ, 0),

ya que deben ser rectas paralelas al plano xy. Por tanto, una parametrización de Γ1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ, aθ), θ ∈ [0, 2π], ρ ∈ [0, 1], ya que 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1.

Por otro lado su expresión en coordenadas cilíndricas es z = aθ.

(ii)

(a) La representación de Γ se encuentra en la Figura 1.14. Para calcular el flujo a través de Γpodemos aplicar el Teorema de la Divergencia, ya que la superficie encierra un volumen.Como la divergencia del campo es nula, div(X) = 0, tenemos que

φ(X, Γ) =∫

V

div(X)dV = 0.



(b) Para calcular el flujo a través de Γ1 parametrizamos la superficie,

xxxxxxxxxxxxxx1(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ, aθ), ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π].

Los campos involucrados en el cálculo del flujo son

xxxxxxxxxxxxxxρ = (cos θ, sen θ, 0), xxxxxxxxxxxxxxθ = (−ρ sen θ, ρ cos θ, a),

xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ = (a sen θ,−a cos θ, ρ)

Por tanto, la restricción del producto escalar a la superficie es,

〈X,xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉 = aρ2 sen2 θ + aρ2 cos2 θ = aρ2.

Luego, el flujo es

Φ(X, Γ1) =∫ 1

0

∫ 2π

0

aρ2 dρ dθ = 2πaρ3

3

1

0

=2πa

3.

(c) Para calcular el flujo sobre Γ2 procedemos del mismo modo que en el caso anterior. Unaparametrización de Γ2 es,

xxxxxxxxxxxxxx2(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ, aθ + a2π).


xxxxxxxxxxxxxxρ = (cos θ, sen θ, 0), xxxxxxxxxxxxxxθ = (−ρ sen θ, ρ cos θ, a),

xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ = (a sen θ,−a cos θ, ρ)

Luego, la restricción del producto escalar a la superficie es,

〈X,xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉 = aρ2 sen2 θ + aρ2 cos2 θ = aρ2.

Por tanto,Φ(X, Γ2) = Φ(X, Γ1)

(d) La superficie Γ4 ∪ Γ5 es un plano, podemos calcular la normal y el producto escalar delcampo restringido a la superficie.

N = (0, 1, 0).

〈X, N〉 = −x√

x2 + y2 = −x2.

Por tanto, el flujo es,

Φ(X, Γ4 ∪ Γ5) =∫

Γ4∪Γ5

〈X, N〉dA =∫ 1

0

∫ 4πa

0

−x2 dx dz = −4πax3

3

1

0

= −4πa

3.

(e) Para calcular la circulación parametrizamos la curva,

α(θ) = (cos θ, sin θ, a θ),

α′(θ) = (− sen θ, cos θ, a),

〈X, T 〉 = − sen2 θ − cos2 θ = −1.


C(X, α) =∫

α

〈X, T 〉dl = −∫ 2π

0

dθ = −2π.

(f) La circulación sobre la frontera de Γ4 ∪ Γ5 la podemos hallar aplicando el Teorema deStokes-Ampére.

C(X, ∂(Γ4 ∪ Γ5)) =∫

∂(Γ4∪Γ5)

〈X, T 〉dl =∫

Γ4∪Γ5

〈rot(x), N〉dA,

donde la normal y el rotacional son,

N =∂

∂y, rot(X) =

(0, 0,−

√x2 + y2 − x

x√x2 + y2

−√

x2 + y2 − yy√

x2 + y2

).

Por tanto, la circulación es,C(X, ∂(Γ4 ∪ Γ5)) = 0.

62.- Consideramos el campo vectorial diferenciable de IR2

X = x∂

∂x+ x2 ∂

∂y.


(i) Calcular la circulación de X sobre la frontera, Γ, de Ω = Ω1 − Ω2, donde

Ω1 = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 ≤ R2, − R2 ≤ x, − R

2 ≤ y yΩ2 = (x, y) ∈ IR2 : x2 + y2 ≤ (R

2 )2, R

4 ≤ x, 0 ≤ y.

Consideramos X = x∂

∂x+ x2 ∂

∂yen IR3 y se hace girar ∂Ω2 alrededor del eje OY.

(ii) Calcular el flujo de X a través de la superficie de revolución obtenida.

Solución:

(i) La representación de Γ se encuentra en la Figura 1.15.


La circulación de X a lo largo de la frontera de Γ es,

C(X, ∂Γ) =∫

∂Ω

〈X, T 〉dl =∫

∂Ω

x dx + x2 dy.

Aplicando el Teorema de Green,

C(X, ∂Γ) =∫

Ω

2x dx dy =∫

Ω1

2x dx dy −∫

Ω2

2x dx dy =∫ √

32 R

−R2

∫ √R2−x2

−R2

2x dx dy

+∫ R

√3

2 R

∫ √R2−x2

−√

R2−x22x dx dy −

∫ R2

R4

∫ √R24 −x2

0

2x dx dy =∫ √

32 R

−R2

2x

(√R2 − x2 +

R

2

)dx+


∫ R

√3

2 R

2x(2√

R2 − x2)−∫ R

2

R4

2x

√R2

4− x2 dx = −2

3(R2 − x2)

32 + R

x2

2

√

32 R

−R2

−43(R2 − x2)

32

R

√3

2 R

+23

(R2

4− x2

) 32R

2

R4

= R3

(13

+7√

332

).

(ii) La frontera de Ω2 es la curva representada en la Figura 1.16. La superficie de revoluciónobtenida que denotaremos por Γ2 está representada en la Figura 1.17.

Figura 1.16: Representación de ∂Ω2

Como Γ2 es la frontera de un volumen V y div(X) = 1, aplicando el Teorema de laDivergencia obtenemos,

φ(X, Γ2) =∫

Γ2

〈X, N〉dA =∫

V

div(X)dV =∫

V

dV.

Para hallar el volumen V aplicamos la fórmula del volumen de revolución, π

∫f2(y)dy y

tendremos en cuenta que se debe restar el volumen del cilindro que se genera al hacer larevolución.

∫V

dV = π

∫ √3

4 R

0

(R2

4− y2

)dy−π

R2

16

√3

4R = π

(R2

4y − y3

3

)√

34 R

0

−π√

3R3

43=

π

32

√3R3.

Por tanto,φ(X, Γ2) =

π

32

√3R3.



63.- Sean Ω =8⋃

i=1

Ωi y a, b ∈ (0,+∞), donde

Ω1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x ≥ a

2,(x− a

2

)2

+(

y +5a

2

)2

≤ a2

4, 0 ≤ z ≤ 2a,

Ω2 = (x, y, z) ∈ IR3 : −a

2≤ x ≤ a

2,−3a ≤ y ≤ −2a, 0 ≤ z ≤ 2a,

Ω3 = (x, y, z) ∈ IR3 : x ≤ −a

2,(x +

a

2

)2

+(

y +5a

2

)2

≤ a2

4, 0 ≤ z ≤ 2a,

Ω4 = (x, y, z) ∈ IR3 : −a

2≤ x ≤ a

2,−2a ≤ y ≤ 0, y2 ≥ 2a(2a− z), 2az − y ≤ 2a(2a + 1),

Ω5 = (x, y, z) ∈ IR3 : −a

2≤ x ≤ a

2, 0 ≤ y ≤ 2a, y2 ≥ 2a(2a− z), 2az + y ≤ 2a(2a + 1),

Ω6 = (x, y, z) ∈ IR3 : x ≥ a

2,(x− a

2

)2

+(

y − 5a

2

)2

≤ a2

4, 0 ≤ z ≤ 2a,

Ω7 = (x, y, z) ∈ IR3 : −a

2≤ x ≤ a

2, 2a ≤ y ≤ 3a, 0 ≤ z ≤ 2a,

Ω8 = (x, y, z) ∈ IR3 : x ≤ −a

2,(x +

a

2

)2

+(

y − 5a

2

)2

≤ a2

4, 0 ≤ z ≤ 2a.

Sean Γi = ∂Ωi ∩ ∂Ω, 1 ≤ i ≤ 8 y X el campo vectorial definido por

X =1

z + b

∂

∂x+ (z − 2a− 1)

∂

∂z.


(i) Calcular el flujo de X a través de ∂Ω.(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ6.(iii) Calcular el flujo de X a través de Γp, siendo

Γp = (Γ4 ∪ Γ5) ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : y2 = 2a(2a− z).

(iv) Calcular el flujo de X a través de Γt, siendo

Γt = Γ5 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : 2az + y = 2a(2a + 1).

(v) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γp.(vi) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂

(Γ7 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : y = 3a

).

Solución:

(i) La representación de Ω se halla en la Figura 1.18.

Como div(X) = 1, φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X)dV =∫

Ω

dV .

Para calcular el volumen tendremos en cuenta que Ω es unión de trozos de cilindros yprismas más un cuerpo central que debemos integrar.∫

Ω

dV = 2π

(a2

2

)2a + 4a3 +

∫ a2

− a2

∫ 2a

0

(2a + 1− y

2a− 2a +

y2

2a

)dx dy

= πa3 + 4a3 + 2a2 +83a3.

Figura 1.18: Representación de Ω


(ii) Para calcular el flujo a través de Γ6 empleamos un rectángulo T para obtener una superficieque encierre un volumen, Ω, y así poder aplicar el Teorema de la divergencia. Ver Figura1.19.


T = (x, y, z) ∈ IR3 : x =a

2, 2a ≤ y ≤ 3a, 0 ≤ z ≤ 2a.

Por tanto, la normal y el producto escalar con el campo son, N = − ∂

∂xy 〈X, N〉 = − 1

z + b

y el flujo es,

φ(X, Γ6) =∫

Ω

div(X)dV −∫

T

〈X, N〉dA =12π(a

2

)2

2a +∫ 3a

2a

∫ 2a

0

1z + b

dx dy =

=πa3

4+ a ln

(2a + b

b

).

(iii) Buscamos el flujo a través de la superficie Γp, ver Figura 1.20. Para hallar el flujo en estecaso resulta más sencillo parametrizar la superficie. La parametrización de la superficie ylos campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =(

x, y, 2a− y2

2a

), x ∈

[−a

2,a

2

], y ∈ [−2a, 2a];

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy =(0, 1,−y

a

), xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy =

(0,

y

2a, 1)

.

Por tanto, el producto escalar restringido a la superficie es 〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = −(

y2

2a+ 1)

.

Luego,


Figura 1.20: Representación de Γp y ∂Γp

φ(X, Γp) =∫

Γp

〈X, N〉dA =∫ a

2

− a2

∫ 2a

−2a

−(

y2

2a+ 1)

dx dy =

−a(

y3

6a + y)2a

−2a

= −4a2

(23a + 1

).

(iv) La representación de Γt se halla en la Figura 1.21. En este caso la parametrización de lasuperficie y los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) =(x, y, 2a + 1− y

2a

), x ∈

[−a

2 , a2

], y ∈ [−2a, 2a];

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy =(0, 1,− 1

2a

).

xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy =(

0,12a

, 1)

Luego, el producto escalar restringido a la superficie es,

〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = − y

2a.

Finalmente, el flujo es,

φ(X, Γt) =∫

Γt

〈X, N〉dA =∫ a

2

− a2

∫ 2a

0

− y

2adx dy = −a2.

(v) La circulación a lo largo de la frontera de Γp la podemos hallar aplicando el Teorema deStokes-Ampere.


Figura 1.21: Representación de Γt

C(X, ∂Γ2) =∫

∂Γp

〈X, T 〉dl =∫

Γp

〈rot(X), N〉dA.

El rotacional es,

rot(x) =(

0,− 1(z + b)2

, 0)

=

0,− y

a(2a− y2

2a + b)2 , 0

.

La restricción del producto escalar a la superficie es,

〈rot(X), xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = − y

a

(2a− y2

2a+ b

)2 .

Luego, la circulación es,

C(X, ∂Γp) =∫ a

2

− a2

∫ 2a

−2a

− y

a(2a− y2

2a + b)2 dx dy = 0,

ya que es la integral de una función impar integrada en un itervalo simétrico.

(vi) Este apartado se resuelve de forma análoga al anterior. La normal a la superficie Γ7 ∩(x, y, z) ∈ IR3 : y = 3a y el rotacional del campo son,

N =∂

∂yy rot(x) =

(0,− 1

(z + b)2, 0)

.



C(X, ∂

(Γ7 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : y = 3a

))=∫

R

〈rot(x), N〉dA =∫ a2

− a2

∫ 2a

0

− 1(z + b)2

dx dy = a

(1

2a + b− 1

b

).

64.- SeanΩ1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 ≤ R2,Ω2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + z2 ≥ r2,Ω3 = (x, y, z) ∈ IR3 : y2 + z2 ≥ r2,

Ω =3⋂

i=1

Ωi, R > r√

2, Γi = ∂Ωi ∩ ∂Ω, i = 1, 2, 3 y X el campo vectorial definido por

X = x∂

∂x+ y

∂

∂y+ z

∂

∂z.

(i) Calcular el flujo de X a través de ∂Ω.(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1.(iii) Calcular el flujo de X a través de Γ2.(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γ2 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ y <

√R2 − r2.

(v) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ2 ∩ Γ3 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Solución:

La representación de Ω en el primer octante se halla en la Figura 1.22. En primer lugarcalculamos las intersecciones de las diferentes geometrías.

Γ1 ∩ Γ2 ≡

x2 + y2 + z2 = R2

x2 + z2 = r2=⇒ y2 = R2 − r2 =⇒

y =

√R2 − r2

(∗),

y = −√

R2 − r2,

de donde la curva intersección para (∗) es la circunferencia

x2 + z2 = r2,

y =√

R2 − r2.

Denotaremos por h =√

R2 − r2.

Análogamente para y = −h, tendremos

x2 + z2 = r2,

y = −h.

Γ1 ∩ Γ3 ≡

x2 + y2 + z2 = R2

y2 + z2 = r2=⇒ x2 = R2 − r2 =⇒

x = h(∗),

x = −h,

de donde la curva intersección para (∗) es la circunferencia

y2 + z2 = r2,

x = h.



Análogamente para x = −h, tendremos

y2 + z2 = r2,

x = −h.

Γ2 ∩ Γ3 ≡

x2 + z2 = r2

y2 + z2 = r2=⇒ x2 − y2 = 0 =⇒

y = x(∗),

y = −x,

de donde la curva intersección para (∗) esx2 + z2 = r2

y = x

≡ (x, x, z) : x2 + z2 = r2.

Análogamente para y = −x, tendremosx2 + z2 = r2

y = −x

≡ (x,−x, z) : x2 + z2 = r2.

Por las simetrías de Ω y del campo podemos resolver en el primer octante y multiplicar losresultados por 8.

(i) Como div(X) = 3, y queremos calcular un flujo en ∂Ω podemos aplicar el Teorema de laDivergencia.

φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X)dV = 3∫

Ω

dV .

El volumen del primer octante de Ω es: el volumen de 1/8 de esfera de radio R menos doscuartos de un casquete esférico de radio R y altura R−h, menos el volumen de A, donde


A está representada en la Figura 1.23. El volumen de A a su vez, se puede hallar comodos del volumen de un cilindro de radio r y altura h− r más dos vces el volumen de β′ (ver Figura 1.24 ).


• V E(R) = 43πR3.

• V C(R,R− h) = ∗ (Utilizamos la fórmula del volumen de revolución).

∗ =∫ R

h

π(R2 − x2)dx = π

(R2x− x3

3

)R

h

= π

(R3 − R3

3−R2h +

h3

3

)=

π

(23R3 −R2h +

h3

3

)= π

(23R3 −R2h +

13(R2 − r2)h

)= π

(23R3 − 2

3R2h− 1

3r2h

)=

π

3(2R3 − 2R2h− r2h).

• V (A) = 24V Ci(r, h− r) + V (β), donde V (β) = 2V (β′)

V (β′) =∫ r

0

dx

∫ x

0

dy

∫ √r2−y2

0

dz =∫ r

0

dx

∫ x

0

√r2 − y2 dy =

y = r sen θ

dy = r cos θdθ

y = x → θ = arcsin xr

y = 0 → θ = 0

=

∫ r

0

dx

∫ arcsin xr

0

r2 cos2 θ dθ =r2

2

∫ r

0

θ +sen 2θ

2

arcsin xr

0

dx =

r2

2

∫ r

0

(arcsin

x

r+

x

r

√1− x2

r2

)dx =

u = arcsin x

r

du =1√

r2 − x2

v = x

=


Figura 1.24: Representación de β

r2

2

(x arcsin

x

r

r

0

−∫ r

0

x√r2 − x2

dx− 23

(1− x2

r2

)3/2r

2

r

0

)=

r2

2

(π

2r +

√r2 − x2

r

0

+r

3

)=

r2

2

(π

2r − r +

r

3

)=

r3

12(3π − 4).

Por tanto,

V (Ω) = 8(

18

43πR3 − 2π

12(2R3 − 2R2h− r2h)− 1

2πr2(h− r)− r3

6(3π − 4)

)=

43πR3 − 4

3π(2R3 − 2R2h− r2h)− 4πr2h + 4πr3 − 4πr3 +

163

r3 =

4π

(R3

3− 2

3R3 +

23R2h +

13r2h− r2h

)+

163

r3 = 4π(−R3

3+

23h3

)+

163

r3.

Luego,

φ(X, ∂Ω) = 4π(2h3 −R3) + 16r3.

(ii) Γ1 es la esfera menos cuatro casquetes de radio R y altura R− h. Podemos tapar Γ1 concuatro discos y obtener así una superficie que encierra un volumen, ver Figura 1.25

φ(X, Γ1) =∫

Ω

div(X)dV −4∑

i=1

∫Di

〈X, Ni〉dA.

Para calcular los flujos sobre los discos calculamos:

〈X, N1〉 = x|D1= h, 〈X, N2〉 = −x|D2

= h, 〈X, N3〉 = y|D3= h, 〈X, N4〉 = −y|D3

= h.



Por tanto, φ(X, Di) =∫

Di

〈X, Ni〉dA = h

∫Di

dA = hπr2, i = 1, . . . , 4.

De donde,

φ(X, Γ1) = 3(

43πR3 − 4

3π(2R3 − 2R2h− r2h)

)− 4hπr2 = 4πR2(2h−R).

(iii) Observemos que φ(X, Γ2) = 8φ(X, Γ2), ver Figura 1.26. Una parametrización de Γ2 es

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (x, y,√

r2 − x2), 0 ≤ x ≤ r, x ≤ y ≤√

R2 − r2 = h.


xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0,−x√

r2 − x2), xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0) y xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy =

(x√

r2 − x2, 0, 1

).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 =(

x2

√r2 − x2

+ z

)=

r2

√r2 − x2

.



De donde,

φ(X, Γ2) =∫ r

0

∫ h

x

r2

√r2 − x2

dxdy =∫ r

0

r2(h− x)√r2 − x2

dx =

r2

(h arcsin x

r

r

0

+√

r2 − x2

r

0

)= r2

(π2 h− r

).

Finalmente, φ(X, Γ2) = 4r2(πh− 2r).

(iv) Sea γ = ∂Γ2∩(x, y, z) ∈ IR3 : 0 ≤ y <√

R2 − r2, ver Figura 1.27. Como γ es una curva

cerrada y X = ∇f donde f(x, y, z) =x2

2+

y2

2+

z2

2, tenemos que C(X, γ) = 0.

(v) Sea β = Γ2 ∩ Γ3 ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, ver Figura 1.28.

Como el campo es gradiente se verifica,

C(X, β) = f(r, r, 0)− f(0, 0, r) =r2

2.


Figura 1.27: Representación de γ

Figura 1.28: Representación de β

65.- Sean Ω =6⋂

i=1

Ωi y a > 0, donde

Ω1 = (x, y, z) ∈ IR3 : (xa )2 + (y

a )2 + ( z4a )2 ≥ 1,

Ω2 = (x, y, z) ∈ IR3 : ( xa+1 )2 + ( y

a+1 )2 + ( z10a )2 ≤ 1,

Ω3 = (x, y, z) ∈ IR3 : z ≤ 0,Ω4 = (x, y, z) ∈ IR3 : z ≥ −3a,Ω5 = (x, y, z) ∈ IR3 : y −

√3x ≤ 0,

Ω6 = (x, y, z) ∈ IR3 : y +√

3x ≥ 0.


Sean Γi = ∂Ωi ∩ ∂Ω, 1 ≤ i ≤ 6 y X el campo vectorial definido por

X = z∂

∂x.

(i) Calcular el flujo de X a través de ∂Ω.(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ2.(iii) Calcular el flujo de X a través de Γ4 ∪ Γ5 ∪ Γ6.(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ2 ∩ Γ4.(v) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ2 ∩ Γ5.

Solución:

(i) La representación de Ω se halla en la Figura 1.29.


Como div(X) = 0, φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X)dV = 0.

(ii) La representación de Γ2 se halla en la Figura 1.30.Γ2 = (x, y, z) ∈ IR3 : ( x

a+1 )2 + ( ya+1 )2 + ( z

10a )2 = 1,−3a ≤ z ≤ 0,−√

3x ≤ y ≤√

3x, esun trozo de elipsoide.Una parametrización de éste en coordenadas esferoidales es,

xxxxxxxxxxxxxx(θ, ϕ) = ((a+1) senϕ cos θ, (a+1) senϕ sen θ, 10a cos ϕ), θ ∈ [−π

3,π

3], ϕ ∈ [

π

2, arc cos− 3

10],

ya que −3a ≤ 10a cos ϕ ≤ 0, lo que implica π2 ≤ ϕ ≤ arc cos− 3

10 y −√

3(a+1) senϕ cos θ ≤(a + 1) sen ϕ sen θ ≤

√3(a + 1) senϕ cos θ, lo que implica −π

3 ≤ θ ≤ π3 .



Por tanto, los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−(a + 1) sen ϕ sen θ, (a + 1) senϕ cos θ, 0),xxxxxxxxxxxxxxϕ = ((a + 1) cos ϕ cos θ, (a + 1) cos ϕ sen θ,−10a senϕ).

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ = (−10a(a + 1) sen2 ϕ cos θ,−10a(a + 1) sen2 ϕ sen θ,−(a + 1)2 senϕ cos ϕ).

La restricción del producto escalar a la superficie es,

〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ〉 = −100a2(a + 1) sen2 ϕ cos ϕ cos θ.

Finalmente,

φ(X, Γ2) =∫ π

3

−π3

∫ arc cos(−3/10)

π2

−100a2(a + 1) sen2 ϕ cos ϕ cos θ dθ dϕ =

−100a2(a + 1)sen3 ϕ

3

arc cos−3/10

π/2

sen θ

π/3

−π/3

=

−100a2(a + 1)[13

(√1− cos2 arc cos(−3/10)

)3

− 13

](sen(π/3)− sen(−π/3)

)=

−100a2(a + 1)13

[(1− 9

100

)3/2

− 1

](√3

2+√

32

)= 100a2(a + 1)

√3

3

(103 − 91

√91

103

).

(iii) La representación de Γ4 ∪ Γ5 ∪ Γ6 se halla en la Figura 1.31.

Utilizando el Teorema de la Divergencia tenemos,

φ(X, Γ4 ∪ Γ5 ∪ Γ6) = φ(X, ∂Ω)− φ(X, Γ1)− φ(X, Γ2)− φ(X, Γ3).

Calculamos cada uno de estos flujos,


Figura 1.31: Representación de Γ4 ∪ Γ5 ∪ Γ6

• φ(X, ∂Ω) = 0 por (i).

• φ(X, Γ2) está calculado en (ii), pero al considerar Γ2 como frontera de Ω debemosconsiderar la normal exterior a Ω en Γ2, por tanto,

φ(X, Γ2) = −100a2(a + 1)√

33

(103 − 91

√91

103

).

• φ(X, Γ1) se calcula de forma análoga al de Γ2, teniendo en cuenta los cambios en losparámetros que definen los elipsoides. Una parametrización del elipsoide en coordenadasesferoidales es,

xxxxxxxxxxxxxx = (a senϕ cos θ, a senϕ sen θ, 4a cos ϕ), θ ∈[−π

3,π

3

], ϕ ∈

[π

2, arc cos−3

4

]

Por tanto, φ(X, Γ1) = −a3

√3

3

(7√

7− 644

).

• φ(X, Γ3) = 0, ya que N3 = ∂∂z y 〈X, N〉 = 0.

Por tanto,

φ(X, Γ4 ∪ Γ5 ∪ Γ6) = a2(a + 1)√

33

(103 − 91

√91

10

)+ a3

√3

3

(7√

7− 644

).


(iv) Sea α = Γ2 ∩ Γ4. La curva está dada como intersección de superficies,(

x

a + 1

)2

+(

y

a + 1

)2

+( z

10a

)2

= 1

z = −3a

, −√

3x ≤ y ≤√

3x.

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera tenemos,(x

a + 1

)2

+(

y

a + 1

)2

+9

102= 1 =⇒

(x

a + 1

)2

+(

y

a + 1

)2

=91102

=⇒

x2 + y2 = (a + 1)291102

.

Por tanto, una parametrización de α es,

α(θ) =

(√91

10(a + 1) cos θ,

√91

10(a + 1) sen θ,−3a

),−π/3 ≤ θ ≤ π/3.

y el campo involucrado en la evaluación de la circulación es

α′(θ) =

(−√

9110

(a + 1) sen θ,

√91

10(a + 1) cos θ, 0

),

de donde 〈X, α′(θ)〉 = 3√

9110

a(a + 1) sen θ.

Luego

C(X, α) =∫ π/3

−π/3

310

√91a(a + 1) sen θ dθ = 0.

(v) Sea β = Γ2 ∩ Γ5. La curva está dada como intersección de superficies,(

x

a + 1

)2

+(

y

a + 1

)2

+( z

10a

)2

= 1

y =√

3x , −3a ≤ z ≤ 0.

El plano en coordenadas esferoidales es θ = π/3, por tanto una parametrización de β es,

β(ϕ) =

(12(a + 1) sen ϕ,

√3

2(a + 1) senϕ, 10a cos ϕ

), π/2 ≤ ϕ ≤ arc cos(−3/10)

y el vector tangente es

β′(ϕ) =

(12(a + 1) cos ϕ,

√3

2(a + 1) cos ϕ,−10a senϕ

),

de donde 〈X, β′(ϕ)〉 = 5a(a + 1) cos2 ϕ. Luego,

C(X, β) =∫ arc cos(−3/10)

π/2

5a(a + 1) cos2 ϕ dϕ =52a(a + 1)

(ϕ +

sen 2ϕ

2

)arc cos(−3/10)

π/2

=

52a(a + 1)

[arc cos(−3/10)− 3

102

√91− π

2

].


66.- Sean Ω =6⋂

i=1

Ωi y a > 0, donde

Ω1 = (x, y, z) ∈ IR3 : 148a (x2 + y2 − a2) ≥ z,

Ω2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≥ 49a2,Ω3 = (x, y, z) ∈ IR3 :

√x2 + y2 ≤ 23a− z,

Ω4 = (x, y, z) ∈ IR3 : x ≤ 0,Ω5 = (x, y, z) ∈ IR3 : z ≥ 0,Ω6 = (x, y, z) ∈ IR3 : y −

√3x ≥ 0.

Sean Γi = ∂Ωi ∩ ∂Ω, 1 ≤ i ≤ 6 y X el campo vectorial definido por X = z∂

∂x.

(i) Calcular el flujo de X a través de ∂Ω.(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1.(iii) Calcular el flujo de X a través de Γ3.(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ1 ∩ Γ3.(v) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γ4.

Solución:

(i) Para representar Ω calculamos las intersecciones de las diferentes superficies,• ∂Ω1 ∩ ∂Ω2. Sustituyendo la ecuación de ∂Ω2 en la de ∂Ω1 obtenemos,

148a

(49a2 − a2

)= z =⇒ z = a,

por tanto ∂Ω1 ∩ ∂Ω2 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = 49a2 en el plano z = a.• ∂Ω1 ∩ ∂Ω3. Sustituyendo la ecuación de ∂Ω3 en la de ∂Ω1 obtenemos,

148a

((23a− z)2 − a2

)= z =⇒ 529a2 + z2 − 46az − a2 = 48az

=⇒ z2 − 94az + 528a2 = 0 =⇒ z =94a±

√8836a2 − 2112a2

2=

94± 822

a = 6a,

ya que z ≤ 23a. Por tanto ∂Ω1 ∩ ∂Ω3 es un arco de la circunferencia x2 + y2 = (17a)2, enel plano z = 6a.• ∂Ω3 ∩ ∂Ω5. Si z = 0, entonces x2 + y2 = (23a)2 que es una arco de circunferencia en elplano z = 0. La representación de Ω se halla en la Figura 1.32.

Como div(X) = 0, φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X)dV = 0.

(ii) Γ1 = (x, y, z) ∈ IR3 : 148a (x2 + y2 − a2) = z, x ≤ 0, a ≤ z ≤ 6a, 7a ≤ x2 + y2 ≤ 17a.Por

tanto, Γ1 es la superficie de revolución formada al girar respecto del eje z la parábola1

48a (x2 − a2) = z, π2 ≤ θ ≤ 4π

3 , ver Figura 1.33. Luego una parametrización de Γ1 es,

xxxxxxxxxxxxxx(θ, x) =(x cos θ, x sen θ,

148a

(x2 − a2)), θ ∈

[π

2,4π

3

], x ∈ [7a, 17a],



ya que√

3x ≤ y, x ≤ 0 lo que implica π2 ≤ θ ≤ 4π

3 .

Hallamos los campos involucrados en el cálculo del flujo,

xxxxxxxxxxxxxxx =(

cos θ, sen θ,1

24ax

),

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−x sen θ, x cos θ, 0),

xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy =(− x2

24acos θ,− x2

24asen θ, x

).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = − x2

24acos θ

148a

(x2 − a2) = −x2(x2 − a2)3227a2

cos θ.

Finalmente,

φ(X, Γ1) =∫ 17a

7a

∫ 4π3

π2

−x2(x2 − a2)3227a2

cos θ dθ dx = − 13227a2

x5

5− a2 x3

3

17

7a

sen θ

4π/3

π/2

=

− 13227a2

(175a5

5− 173a5

3− 75a5

5+

73a5

3

)(sen

4π

3− 1)

=

− a3

3227

(1753− 1735− 753 + 735

15

)(−√

32− 1

)=

a3

53328

(1753− 1735− 753 + 735

) (√3 + 2

).



(iii) La representación de Γ3 se halla en la Figura 1.34.

Γ3 = (x, y, z) ∈ IR3 :√

x2 + y2 = (23a− z), 0 ≤ z ≤ 6a, 0 ≤ x ≤ y√3. Una parametriza-

ción de Γ3 en coordenadas cilíndricas es:

xxxxxxxxxxxxxx(θ, z) =((23a− z) cos θ, (23a− z) sen θ, z

), (θ, z) ∈

[π

2,4π

3

]× [0, 6a].

Hallamos los campos involucrados en el cálculo del flujo,

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−(23a− z) sen θ, (23a− z) cos θ, 0),xxxxxxxxxxxxxxz = (− cos θ,− sen θ, 1).

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxz =((23a− z) cos θ, (23a− z) sen θ, (23a− z)

).

Entonces, el producto escalar restringido a la superficie es,

〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxz〉 = (23a− z)z cos θ.

Finalmente,

φ(X, Γ3) =∫ 6a

0

∫ 4π3

π2

(23a− z)z cos θ dz dθ =(

23az2

2− z3

3

)6a

0

sen θ

4π/3

π/2

=

−171(√

32 + 2)

a3.



(iv) Sea α = Γ3 ∩Γ1. Según hemos visto la curva es un arco de circunferencia de radio 17a enel plano z = 6a. Por tanto una parametrización de α es,

α(θ) = (17a cos θ, 17a sen θ, 6a) , π/2 ≤ θ ≤ 4π/3.

Por otro lado,α′(θ) = (−17a sen θ, 17a cos θ, 0) ,

y el productoescalar restringido a la curva es,

〈X, α′(θ)〉 = −102a2 sen θ.

Luego,

C(X, α) =∫ 4π/3

π/2

−102a2 sen θ dθ = 102a2 cos θ

4π/3

π/2

= −51a2.

(v) El rotacional del campo es rot(X) = (0, 1, 0). Además, la normal a Γ4 es N = (1, 0, 0).Por tanto, aplicando el Teorema del Rotacional tenemos,

C(X, ∂Γ4) =∫

∂Γ4

〈X, T 〉dl =∫

Γ4

〈rot(X), N〉dA = 0.

67.- Sea a > 0.


(i) Hallar una parametrización de la superficie reglada, Γ1, generada por rectas paralelasal plano yz que se apoyan en las curvas α1(u) = (a cos u, a senu + a, 0) y α2(u) =(a cos u, a senu, a) con u ∈ [0, π], v ∈ [0, 1].

(ii) Hallar una parametrización de la superficie reglada, Γ2, generada por rectas paralelasal plano yz que se apoyan en las curvas α2 y α3(u) = (a cos u,−(a senu + a), 0) conu ∈ [0, π], v ∈ [0, 1].

(iii) Sea Γ =5⋃

i=1

Γi, donde

Γ3 = (x, y, z) ∈ IR3 : −a ≤ x ≤ a,−a−√

a2 − x2 ≤ y ≤ a +√

a2 − x2, z = 0,Γ4 = (x, y, z) ∈ IR3 : x = −a, 0 ≤ z ≤ a, z − a ≤ y ≤ a− z,Γ5 = (x, y, z) ∈ IR3 : x = a, 0 ≤ z ≤ a, z − a ≤ y ≤ a− z.

Sea X el campo vectorial de IR3

X = −y∂

∂x+ x

∂

∂z.

(a) Calcular el flujo de X a través de Γ.(b) Calcular el flujo de X a través de Γ1.(c) Calcular el flujo de X a través de Γ5.(d) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ1 ∩ Γ2.

Solución:

(i) A partir de las curvas dadas debemos hallar el vector director de las rectas que generanla superficie reglada,

w1(u) = α2(u)− α1(u) = (0,−a, a).

Observemos que como en w1 la componente x es nula, estos vectores son paralelos al planoyz. Por tanto, una parametrización de la superficie reglada será:

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = α2(u) + vw1(u) =(a cos u, a(senu− v), a(1 + v)

).

(ii) Procedemos como en el apartado anterior.

w2(u) = α2(u)− α3(u) = (0, a(2 sen u + 1), a).

Por tanto,

yyyyyyyyyyyyyy(u, v) = α2(u) + vw2(u) =(a cos u, a senu + av(2 sen u + 1), a(1 + v)

).

(iii)

(a) Como div(X) = 0 y Γ encierra un volumen Ω, ver Figura 1.35, podemos aplicar el Teoremade la Divergencia,

φ(X, Γ) =∫

Γ

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X) = 0.



(b) Γ1 es la superficie reglada calculada en (i),ver Figura 1.36, por tanto una parametrizaciónde esta superficie y los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(u, v) = (a cos u, a(senu− v), a(1 + v)), (u, v) ∈ [0, π]× [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxxu = (−a senu, a cos u, 0) y xxxxxxxxxxxxxxv = (0,−a, a).

xxxxxxxxxxxxxxu ∧ xxxxxxxxxxxxxxv = a2(cos u, senu, senu).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxu ∧ xxxxxxxxxxxxxxv〉 = a3v cos u.

Finalmente,

φ(X, Γ1) =∫

Γ1

〈X, N〉dA =∫ π

0

∫ 1

0

a3v cos u du dv = a3 v2

2

1

0

senu

π

0

= 0.

(c) La representación de Γ5 se halla en la Figura 1.37.

Parametrizamos la superficie en coordenadas cartesianas:

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (a, y, z), (y, z) ∈ [z − a, a− z]× [0, a].

En este caso la base del tangente y la normal son,

xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0), xxxxxxxxxxxxxxz = (0, 0, 1) y N = (1, 0, 0)


〈X, N〉 = −y.



De donde,

φ(X, Γ5) =∫

Γ5

〈X, N〉dA = −∫ a

0

∫ a−z

z−a

y dy dz = 0, ya que es la integral de una función

impar en un intervalo simétrico.

(d) Debemos observar que Γ1 ∩Γ2 es la curva α2(u) = (a cos u, a senu, a). Por tanto, α′2(u) =(−a senu, a cos u, 0) y 〈X, α′2〉 = a2 sen2 u. De donde,

C(X, α2) =∫

α2

〈X, T 〉dl = a2

∫ π

0

sen2 u du = a2

(u

2− sen 2u

4

)π

0

= a2 π

2.

68.- Sean las curvas planas x = f1(z) =√

1 + z2, z ∈ [0, 1] y x = f2(z) =√

3− z2, z ∈ [1,√

3].

(i) Obtener las parametrizaciones de las superficies de revolución S1 y S2 que se obtienen algirar respecto del eje OZ las curvas x = f1(z) y x = f2(z) respectivamente.

(ii) Considérese el campo vectorial de IR3

X = −x∂

∂x− y

∂

∂y+ (2z − 1)

∂

∂z.

(a) Calcular el flujo de X a través de S = S1 ∪ S2.

(b) Calcular el flujo de X a través de S2.

(c) Calcular la circulación de X a lo largo de S ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : z = 1.(d) Calcular la circulación de X a lo largo de S ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x = 0.



Solución:

(i) Como se trata de superficies de revolución las podemos parametrizar de la siguiente ma-nera,

S1 : xxxxxxxxxxxxxx(θ, z) = (√

1 + z2 cos θ,√

1 + z2 sen θ, z), (θ, z) ∈ [0, 2π]× [0, 1].

S2 : xxxxxxxxxxxxxx(θ, z) = (√

3− z2 cos θ,√

3− z2 sen θ, z), (θ, z) ∈ [0, 2π]× [1,√

3].

(ii)

(a) La superficie S no es frontera de nigún abierto de IR3 por lo que para aplicar el Teoremade la Divergencia, será necesario utilizar un disco para formar una superficie que encierreun volumen. Ver Figura 1.38.

Entonces,

φ(X, S) =∫

V

div(X)dV −∫

D

〈X, N〉dA,

donde, D = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 1, z = 0 y la normal N = − ∂

∂z.

Luego,

〈X, N〉 = −2z + 1 = 1.

Por tanto y dado que divX = 0 el flujo es,

φ(X, S) = −∫

D

dA = −π.


Figura 1.38: Representación de S

(b) En este caso también es necesario emplear una superficie auxiliar para calcular el flujo através de S2 . Ver figura 1.39.

φ(X, S2) =∫

V

div(X)dV −∫

D2

〈X, N〉dA,

donde, D2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ 2, z = 1 y la normal N = − ∂

∂z.

Luego,〈X, N〉 = −2z + 1 = −1.

Finalmente,

φ(X, S2) = −∫

D2

dA = −2π.

(c) Para calcular la circulación sobre la circumferencia podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, ∂B) =∫

∂B

〈X, T 〉dl =∫

B

〈rot(x), N〉dA.

El rotacional es, rot(x) = (0, 0, 0).

Por tanto,

C(X, ∂B) =∫

B

〈rot(x), N〉dA = 0.


Figura 1.39: Representación de S2

(d) La representación de γ se halla en la Figura 1.40.

Como rot(x) = (0, 0, 0) y IR3 es un abierto en forma de estrella, el campo es gradienteX = ∇f , donde f = −x2

2 − y2

2 + z2 − z. Por tanto,

C(X, γ) =∫

γ

〈∇f, T 〉dl = f(γ(b))− f(γ(a)) = f(0, 1, 0)− f(0,−1, 0) = −12

+12

= 0.

69.- Sean, R ∈ IR+,

Γ1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = R2, z ≥√

22

R

Γ2 = (x, y, z) ∈ IR3 :R2

6≤ x2 + y2 ≤ R2

2, z =

√2

2R

Γ3 = (x, y, z) ∈ IR3 :z2

3= x2 + y2,

√2

4R ≤ z ≤

√2

2R,

Γ = ∪3i=1Γi y X el campo vectorial de IR3

X = −y∂

∂x+ x

∂

∂y+

∂

∂z.

(i) Calcular el flujo de X a través de Γ.(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1.(iii) Calcular el flujo de X a través de Γ3.(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂(Γ2).



Solución:

(i) La superficie Γ no encierra ningún volumen, pero como div(X) = 0, para hallar el flujoa través de toda la superficie puede ser conveniente cerrar la superficie y luego aplicar elTeorema de la Divergencia. Ver Figura 1.41.

φ(X, Γ) =∫

Γ

〈X, N〉dA =∫

Ω

div(X)dV −∫

T1

〈X, N〉dA = −∫

T1

dA,

donde T1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 ≤ R2

24, z =

√2

4R y Ω es tal que ∂Ω = Γ ∪ T1.

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T1 debe ser la exterioral conjunto Ω, por tanto N1 = (0, 0,−1), ya que en esta superficie z es constante.

Luego 〈X, N1〉 = −1, de donde

φ(X, Γ) = −∫

T1

〈X, N〉dA =∫

T1

dA = πR2

24.

(ii) Primer método

La superficie Γ1 es un trozo de esfera por lo que consideramos una parametrización de Γ1

en coordenadas esféricas,

xxxxxxxxxxxxxx1(θ, ϕ) = (R senϕ cos θ, R senϕ sen θ, R cos ϕ), (θ, ϕ) ∈ [0, 2π]× [0, π/4].



El límite superior de ϕ lo obtenemos al imponer z =√

22

R en la parametrización,

R cos ϕ =√

22

R =⇒ cos ϕ =√

22

=⇒ ϕ = π/4

En este caso los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−R senϕ sen θ, R senϕ cos θ, 0),

xxxxxxxxxxxxxxϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ,−R senϕ),

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ = (−R2 sen2 ϕ cos θ,−R2 sen2 ϕ sen θ,−R2 senϕ cos ϕ).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ〉 = −R2 senϕ cos ϕ.

Finalmente,

φ(X, Γ1) =∫

Γ1

〈X, N〉dA =∫ 2π

0

∫ π/4

0

−R2 senϕ cos ϕ dθ dϕ = 2πR2 cos2 ϕ

2

π/4

0

= −πR2

2.

Segundo método

Podemos proceder como en el primer apartado y añadir a la superficie Γ1 otra superficiepara encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T2 = (x, y, z) ∈ IR2 : x2 +

y2 ≤ R2

2, z =

√2

2R y Ω1 tal que ∂Ω1 = Γ1 ∪ T2. Entonces,

φ(X, Γ1) =∫

Ω1

div(X)dV −∫

T2

〈X, N〉dA = −∫

T2

〈X, N〉dA.


Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia la normal a T2 debe ser la exterioral conjunto Ω, por tanto N1 = (0, 0,−1), ya que en esta superficie z es constante. Luego〈X, N1〉 = −1, de donde

φ(X, Γ1) = −∫

T2

〈X, N〉dA =∫

T2

dA = πR2

2.

Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al flujo es debido alcambio de orientación en la normal.

(iii) Primer método

La superficie Γ3 es un trozo de cono de ángulo arctan(

1√3

)= π/6 por lo que consi-

deramos una parametrización de Γ3 en coordenadas esféricas tomando ϕ = π/6,

xxxxxxxxxxxxxx3(ρ, θ) =

(ρ

2cos θ,

ρ

2sen θ,

√3ρ

2

), (ρ, θ) ∈

[√6

6,

√23

]× [0, 2π].

Los límites de ρ los obtenemos al imponer los valores límites de z para la superficie,

x2 + y2 =14ρ2 =

R2

24=⇒ ρ =

√6

6R,

x2 + y2 =14ρ2 =

R2

6=⇒ ρ =

√23R.

En este caso los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxρ = (12

cos θ,12

sen θ,

√3

2),

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−ρ

2sen θ,

ρ

2cos θ, 0),

xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ =

(−√

3ρ

4cos θ,−

√3ρ

4sen θ,

ρ

4

).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉 =ρ

4.

Finalmente,

φ(X, Γ3) =∫

Γ3

〈X, N〉dA =∫ √ 2

3 R

√6

6 R

∫ 2π

0

ρ

4dρ dθ =

π

4ρ2

√

23 R

√6

6 R

=πR2

8.

Segundo método

Podemos proceder como en los apartados anteriores y añadir a la superficie Γ3 otra su-perficie o superficies para encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T3 =

(x, y, z) ∈ IR2 : x2+y2 ≤ R2

24, z =

√2R

4, T4 = (x, y, z) ∈ IR2 : x2+y2 ≤ R2

6, z =

√2R

2

y Ω3 tal que ∂Ω3 = Γ3 ∪ T3 ∪ T4. Entonces,


φ(X, Γ3) =∫

Ω3

div(X)dV−∫

T3

〈X, N〉dA−∫

T4

〈X, N〉dA = −∫

T3

〈X, N〉dA−∫

T4

〈X, N〉dA.

Como estamos aplicando el Teorema de la Divergencia las normales a T3 y T4 deben serlas exteriores al conjunto Ω3, por tanto N3 = (0, 0,−1) y N4 = (0, 0, 1), ya que en estassuperficies z es constante. Luego 〈X, N3〉 = −1 y 〈X, N4〉 = 1, de donde

φ(X, Γ3) = −∫

T3

〈X, N〉dA−∫

T4

〈X, N〉dA =∫

T3

dA−∫

T4

dA = π

(R2

24− R2

6

)= −π

R2

8

Observar que el cambio de signo en los resultados correspondientes al flujo es debido alcambio de orientación en la normal.

(iv) La frontera de Γ2 es la unión de dos curvas, concretamente las circunferencias,

α1(θ) =

(√2

2R cos θ,

√2

2R sen θ,

√2R

2

), θ ∈ [0, 2π]

y

α2(θ) =

(√6

6R cos θ,

√6

6R sen θ,

√2R

2

), θ ∈ [0, 2π].

Podemos hallar las tangentes a las curvas y calcular las circulaciones directamente o bienpodemos intentar aplicar el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, ∂Γ2) =∫

∂Γ2

〈X, T 〉dl =∫

Γ2

〈rot(X), N〉dA,

donde N = (0, 0, 1) y rot(X) = (0, 0, 2). Por tanto, 〈rot(X), N〉 = 2 y

C(X, ∂Γ2) =∫

Γ2

2dA = 2π

(12R2 − 1

6R2

)=

23πR2.

70.- Sean los subconjuntos de IR3 dados por

Ω1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 +y2 + z2

4< 1, y > 0, z < 0,

Ω2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 +z2

4< 1, y ∈ (−8, 0), z < 0,

Ω3 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 +z2

4+

(y + 8)2

16< 1, z < 0, y ∈ (−10,−8),

Ωp =3⋃

i=1

Ωi, Γi = ∂Ωp ∩ ∂Ωi, i = 1, 2, 3 y Xc el campo vectorial de IR3

Xc = −(3x + y)∂

∂x+ (x + 2y)

∂

∂y+ (z + 2)

∂

∂z.


(i) Calcular el flujo de Xc a través de Γp =3⋃

i=1

Γi.

(ii) Calcular el flujo de Xc a través de Γc = Γp ∩ (x, y, z) ∈ IR3, z = 0.(iii) Calcular el flujo de Xc a través de Γa = Γ2 ∩ (x, y, z) ∈ IR3, z < 0.(iv) Calcular la circulación de Xc a lo largo de ∂Γp.(v) Calcular la circulación de Xc a lo largo de ∂Γ2 ∩ (x, y, z) ∈ IR3, y = −5, x > 0, z < 0.

Solución:

La representación de Ωp se encuentra en la Figura 1.42. En primer lugar calculamos ladivergencia y el rotacional,

div(Xc) = 0 y rot(Xc) = (0, 0, 2).

Figura 1.42: Representación de Ωp.

(i) Como el flujo que debemos calcular es a través de una superficie que es frontera del abiertoΩp ⊂ IR3, podemos aplicar el Teorema de la Divergencia

φ(Xc,Γp) =∫

Γp

< Xc, N > dA =∫

Ωp

div(Xc)dV = 0.

(ii) Hemos representado la superficie Γc en la Figura 1.43. La normal a esta superficie esNc = (0, 0, 1), por tanto

φ(Xc,Γc) =∫

Γc

< Xc, Nc > dA = 2∫

Γc

dA.


Figura 1.43: Representación de Γc

Luego debemos calcular el área de la superficie. Para ello la dividimos es tres partes,

• Sea A1 el área de la superficie encerrada por la elipse x2 +(y + 8)2

16= 1, z = 0 con

y ∈ [−10,−8]. Entonces,

A1 =∫ −8

−10

dy

∫ √1−( y+84 )2

−√

1−( y+84 )2

dx =∫ −8

−10

2

√1−

(y + 8

4

)2

dy =

y+84 = sen t t = arcsen

(y+84

)dy = 4 cos t dty = −10 t = −π

6y = −8 t = 0

=∫ 0

−π/6

8 cos2 t dt =

4∫ 0

−π/6

(1 + cos(2t)) dt = 4(

t +sen(2t)

2

)∣∣∣∣0−π/6

=2π

3+√

3.

• Sea A2 el área de un rectángulo de lados 8 y 2. Entonces, A2 = 16.

• Sea A3 el área de la superficie encerrada por la elipse x2 +(y)2

4= 1, z = 0 con y ∈ [0, 2].

Entonces,

A3 =∫ 1

−1

dx

∫ 2√

1−x2

0

dy = 2∫ 1

−1

√1− x2dx =

x = sen t t = arcsen xdx = cos t dtx = −1 t = −π

2x = 1 t = π

2

=


∫ π/2

−π/2

2 cos2 t dt =∫ π/2

−π/2

(1 + cos(2t)) dt =(

t +sen(2t)

2

)∣∣∣∣π/2

−π/2

= π.

Finalmente,

φ(Xc,Γc) =10π

3+ 32 + 2

√3.

(iii) Γa es una porción de cilindro elíptico, concretamente, x2 +z2

4= 1, z < 0, y ∈ [−8, 0], ver

Figura 1.44. Por tanto una parametrización de Γa en coordenadas cilíndricas es,

Figura 1.44: Representación de Γa.

xxxxxxxxxxxxxx(θ, y) = (cos θ, y, 2 sen θ), y ∈ [−8, 0], θ ∈ [−π, 0].

En este caso los productos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxxθ = (− sen θ, 0, 2 cos θ),

xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 0).

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxy = (−2 cos θ, 0,− sen θ)


〈Xc, xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = 6 cos2 θ − 2 sen2 θ + 2y cos θ − 2 sen θ.

Finalmente,

φ(X, Γa) =∫

Γa

〈X, Na〉dS =∫ 0

−π

∫ 0

−8

(6 cos2 θ − 2 sen2 θ + 2y cos θ − 2 sen θ) dy dθ =∫ 0

−π

(6y cos2 θ − 2y sen2 θ + y2 cos θ − 2y sen θ)∣∣0−8

dθ =


∫ 0

−π

(48 cos2 θ − 16 sen2 θ − 64 cos θ − 16 sen θ) dθ =(24(θ +

sen(2θ)2

)− 8(θ − sen(2θ)

2

)− 64 sen θ + 16 cos θ

)∣∣∣∣0−π

= 16π + 32.

(iv) ∂Γp es la curva representada en la Figura 1.45.

Figura 1.45: Representación de ∂Γp

Podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere para calcular la circulación,

C(∂Γp, Xc) =∫

∂Γp

〈Xc, T 〉dl =∫

Γc

〈rot(Xc), Nc〉dS +∫

T

〈rot(Xc), Nt〉dS,

donde T es la superficie x2 +z2

4≤ 3

4, y = −10, z ≤ 0. Por tanto, Nt = (0,−1, 0). Como

rot(Xc) = (0, 0, 2) tenemos que,

〈rot(Xc), Nc〉 = 2 y 〈rot(Xc), Nt〉 = 0.

Luego,

C(∂Γp, Xc) = 2∫

Γc

dA =10π

3+ 32 + 2

√3.

(v) Sea α = ∂Γ2 ∩ (x, y, z) ∈ IR3, y = −5, x > 0, z < 0, ver Figura 1.46.

Una parametrización de α es,

α(θ) = (cos θ,−5, 2 sen θ), θ ∈ (−π

2, 0).

El vector tangente a α es,

α′(θ) = (− sen θ, 0, 2 cos θ) y 〈Xc, α′〉 = 7 cos θ sen θ + 4 cos θ − 5 sen θ.


α

Figura 1.46: Representación de α

Por tanto,

C(α, Xc) =∫

α

〈Xc, T 〉dl =∫ 0

−π/2

(7 cos θ sen θ + 4 cos θ − 5 sen θ) dθ =(72

sen2 θ + 4 sen θ + 5 cos θ)∣∣∣∣0−π/2

=112

.

71.- Consideremos las curvas parametrizadas en IR3 dadas por

α1(t) = (1, t− 1, 0), w1(t) = (−t, 2− t, 10),

α2(t) = (1− t, 1, 0), w2(t) = (t− 2,−t, 10),

α3(t) = (−1, 1− t, 0), w3(t) = (t, t− 2, 10),

α4(t) = (t− 1,−1, 0), w4(t) = (2− t, t, 10),

donde t ∈ [0, 2]. Para cada i = 1, · · · , 4, sea Γi la superficie reglada con directriz αi generadapor rectas con vector director wi y parámetro v ∈ [0, 1]. Consideremos X el campo vectorial deIR3

X = −y∂

∂x+ x

∂

∂y+ z

∂

∂z.

(i) Calcular el flujo de X a través de Γ1.

(ii) Calcular el flujo de X a través de4⋃

i=1

Γi.

(iii) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γ1.


(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ1 ∩ Γ2.

(v) Calcular la circulación de X a lo largo de(

4⋃i=1

Γi

)∩ z = 10.

Solución:

(i) La superficie Γ1 es la superficie reglada formada por las rectas que se apoyan en la rectaα1 generada por rectas con vector director w1. Por tanto una parametrización será,

xxxxxxxxxxxxxx1(t, v) = (1− vt, t− 1 + v(2− t), 10v), t ∈ [0, 2], v ∈ [0, 1].

La representación de Γ1 se encuentra en la Figura 1.47.



xxxxxxxxxxxxxx1t = (−v, 1− v, 0),

xxxxxxxxxxxxxx1v = (−t, 2− t, 10),

xxxxxxxxxxxxxx1t ∧ xxxxxxxxxxxxxx1

v = (10(1− v), 10v,−2v + t).



〈X,xxxxxxxxxxxxxx1t ∧ xxxxxxxxxxxxxx1

v〉 = −10(1− v)(t− 1 + v(2− t)) + 10v(1− vt) + 10v(t− 2v) =

10v(t− 1 + 2v − vt + 1− vt + t− 2v) + 10(1− t− 2v + vt) = 10(1− t− 2v + 3vt− 2v2t).

Finalmente,

φ(X, Γ1) = 10∫ 1

0

∫ 2

0

(1− t− 2v + 3vt− 2v2t) dt dv =

10∫ 1

0

(t− t2

2− 2vt +

32vt2 − v2t2

)2

0

dv = 10∫ 1

0

(2v − 4v2

)dv =

10(

v2 − 43v3

)1

0

= −103

.

(ii) Primer método

Podemos calcular el flujo a través de4⋃

i=1

Γi como suma de los flujos de cada una de las

superficies, ya que en el apartado anterior hemos calculado el flujo a través de Γ1. Paraello parametrizamos las tres restantes y efectuamos los calculos necesarios.

•xxxxxxxxxxxxxx2(t, v) = (1− t + v(t− 2), 1− vt, 10v), t ∈ [0, 2], v ∈ [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxx2t = (−1 + v,−v, 0),

xxxxxxxxxxxxxx2v = (t− 2,−t, 10),


v = (−10v,−10(v − 1),−2v + t).


v〉 = 10v(1− vt)− 10(v − 1)(1− t + vt− 2v) + 10v(t− 2v) =

10v(1− vt− 1 + t− vt + 2v + t− 2v) + 10(1− t− 2v + vt) = 10(1− t− 2v + 3vt− 2v2t).

Luego, φ(X, Γ2) = φ(X, Γ1).

•xxxxxxxxxxxxxx3(t, v) = (−1 + tv, 1− t + v(t− 2), 10v), t ∈ [0, 2], v ∈ [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxx3t = (v,−1 + v, 0),

xxxxxxxxxxxxxx3v = (t, t− 2, 10),

xxxxxxxxxxxxxx3t ∧xxxxxxxxxxxxxx3

v = (10(v− 1),−10v,−2v + t). 〈X,xxxxxxxxxxxxxx3t ∧xxxxxxxxxxxxxx3

v〉 = −10(v− 1)(1− t+ vt− 2v)− 10v(vt−1) + 10v(t− 2v) =

10(1− t− 2v + 3vt− 2v2t).


•xxxxxxxxxxxxxx4(t, v) = (t− 1 + v(2− t),−1 + vt, 10v), t ∈ [0, 2], v ∈ [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxx4t = (1− v, v, 0),

xxxxxxxxxxxxxx4v = (2− t, t, 10),


v = (10v,−10(1− v),−2v + t).


v〉 = 10v(1− vt)− 10(1− v)(−1 + t− vt + 2v) + 10v(t− 2v) =

10(1− t− 2v + 3vt− 2v2t).



Finalmente,

φ(X,4⋃

i=1

Γi) = 4φ(X, Γ1) = −403

.

Segundo método

Dado que div(X) = 1, podemos añadir a la superficie4⋃

i=1

Γi otras dos superficies para

encerrar un volumen, por ejemplo podemos considerar T1 = (x, y, z) ∈ IR3 : −1 ≤ x ≤1,−1 ≤ y ≤ 1, z = 0, T2 = (x, y, z) ∈ IR3 : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1, z = 10 y Ω tal

que, ∂Ω =4⋃

i=1

Γi ∪ T1 ∪ T2. La representación de4⋃

i=1

Γi se halla en la Figura 1.48.


Entonces,

φ(X,4⋃

i=1

Γi) =∫

Ω

div(X)dV −∫

T1

〈X, N1〉dA−∫

T2

〈X, N2〉dA.

Calculemos el volumen de Ω. Podemos proceder al cálculo mediante la fórmula del volumen


por secciones,

vol(Ω) =∫ 10

0

A(z)dz,

donde A(z) es el área de la sección z = cte en Ω. Comprobemos que las secciones z = z0

o equivalentemente v = v0 son cuadrados de lado,

`(z) = 2

√z2

100+( z

10− 1)2

.

Las curvas intersección de4⋃

i=1

Γi con v = v0 son segmentos de rectas parametrizadas por

βi(t) = xxxxxxxxxxxxxxi(t, v0), t ∈ [0, 2]. Además,

β1(t) = (1− v0t, t− 1 + v0(2− t), 10v0), β′1(t) = (−v0, 1− v0, 0).

β2(t) = (1− t + v0(t− 2), 1− v0t, 10v0), β′2(t) = (v0 − 1,−v0, 0).

β3(t) = (−1 + v0t, 1− t + v0(t− 2), 10v0), β′3(t) = (v0,−1 + v0, 0).

β4(t) = (t− 1 + v0(2− t), v0t− 1, 10v0), β′4(t) = (1− v0, v0, 0).

Observemos que β′1 es paralelo a β′3, β′2 es paralelo a β′4 y que β′1 es ortogonal a β′2.Para concluir, basta comprobar que las longitudes de los lados del paralelepípedo soniguales. Sus vértices son p1 = β1(0) = β4(2), p2 = β2(0) = β1(2), p3 = β3(0) = β2(2) yp4 = β4(0) = β3(2) y por tanto,

`1 = d(β1(0), β1(2)) =√

4v20 + 4(v0 − 1)2 = `2 = d(β2(0), β2(2)).

Luego, A(z) = 8(

z2

100− z

10+

12

)y por tanto,∫

Ω

div(X)dV = 8∫ 10

0

(z2

100− z

10+

12

)dz = 8

(z3

300− z2

20+

z

2

)10

0

=803

.

Finalmente, las normales a T1 y a T2 deben ser las exteriores al conjunto Ω, por tantoN1 = (0, 0,−1) y N2 = (0, 0, 1), ya que en estas superficies z es constante. Luego 〈X, N1〉 =−z = 0 y 〈X, N2〉 = z = 10. Teniendo en cuenta que T2 es un cuadrado de área 4 resultaque,

φ(X,4⋃

i=1

Γi) =803− 40 = −40

3.

(iii) Para calcular la circulación a lo largo de ∂Γ1 aplicamos el Teorema de Stokes-Ampère oTeorema del rotacional, ya que tenemos casi todos los calculos hechos.

rot(X) = (0, 0, 2), 〈rot(X), xxxxxxxxxxxxxx1t ∧ xxxxxxxxxxxxxx1v〉 = 2(−2v + t).

Por tanto,

C(X, ∂Γ1) = 2∫ 1

0

∫ 2

0

2(−2v + t)dv du = 2∫ 1

0

(t2

2− 2vt

)2

0

dv = 4∫ 1

0

(1 − 2v)dv =

4(v − v2

)1

0

= 0.


(iv) La curva γ = Γ1 ∩ Γ2 no es frontera de ninguna superficie, por tanto para calcular lacirculación parametrizamos la curva. Para ello debemos recordar las parametrizaciones delas dos superficies y tener en cuenta que el parámetro t es distinto en cada una de ellas:

xxxxxxxxxxxxxx1(t1, v) = (1− vt1, t1 − 1 + v(2− t1 − 1), 10v), t1 ∈ [0, 2], v ∈ [0, 1].

xxxxxxxxxxxxxx2(t2, v) = (1− t2 + v(t2 − 2), 1− vt2, 10v), t2 ∈ [0, 2], v ∈ [0, 1].

Luego la curva intersección que se obtiene es,

1− vt1 = 1− t2 + v(t2 − 2)

t1 − 1 + v(2− t1) = 1− vt2

=⇒

v(t2 − 2 + t1) = t2

v(2− t1 + t2) = 2− t1

=⇒ v =t2

t2 + t1 − 2=

2− t12− t1 + t2

=⇒ t22 + (t1 − 2)2 = 0 =⇒ t2 = 0, t1 = 2.

Por tanto,γ(v) = xxxxxxxxxxxxxx1(2, v) = xxxxxxxxxxxxxx2(0, v) = (1− 2v, 1, 10v).

El vector tangente es,

γ′(v) = (−2, 0, 10) y 〈X, γ′(v)〉 = 2 + 100v.

Luego,

C(X, γ) =∫

γ

〈X, T 〉 dl = 2∫ 1

0

(1 + 50v)dv = 2(v + 25v2

)1

0

= 52.

(v) Sea γ2 =(

4⋃i=1

Γi

)∩ z = 10 = ∂T2, donde T2 es la superficie definida en (ii). Entonces,

γ2 es la frontera de un cuadrado de lado 2 en el plano z = 10, por lo que podemos aplicarel Teorema de Stokes-Ampère. En este caso la normal al cuadrado es N = (0, 0, 1) y〈rot(X), N〉 = 2. Luego,

C(X, γ2) =∫

γ2

〈X, T 〉dl =∫

T2

〈rot(X), N〉dS = 8.

72.- Sean a > r > 0,

Γ1 = (x, y, z) ∈ IR3 : x = (a + r cos u) cos v, y = (a + r cos u) sen v, z = r senu,

u ∈ [0, π], v ∈ [0, 2π]Γ2 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = (a + r)2, z ≤ 0

Γ3 = (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + z2 = (a− r)2, z ≤ 0

y Γ =3⋃

i=1

Γi. Consideremos X el campo vectorial de IR3

X = x∂

∂x+ z

∂

∂y− y

∂

∂z.


(i) Calcular el flujo de X a través de Γ.

(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ2.

(iii) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x = 0.

(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γ ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : z = 0.

Solución:En primer lugar hallamos las superficies involucradas y el conjunto Γ. La superficie Γ1 es

la mitad superior de un toro ya que u ∈ [0, π] y por tanto z = r senu ≥ 0. Por otro lado lassuperficies Γ2 y Γ3 son dos medias esferas con z ≤ 0 de radios a + r y a− r. Ver Figura 1.49.


(i) Como la superficie Γ encierra un volumen y div(X) = 1, podemos aplicar el Teorema dela divergencia para calcular el flujo pedido,

φ(X, Γ) =∫

Ω

div(X)dV = vol(Ω),

donde Ω es el abierto de IR3 tal que ∂Ω = Γ. El volumen de Ω es el volumen de mediotoro más el volumen de media esfera de radio a + r menos el volumen de media esfera deradio a − r. Por tanto, lo único que debemos calcular es el volumen del toro. Para elloconsideramos las coordenadas dadas en el enunciado pero haciendo variar r para obtener


un volumen y calculamos el jacobiano del cambio.

xxxxxxxxxxxxxx(ρ, u, v) = ((a + ρ cos u) cos v, (a + ρ cos u) sen v, ρ senu) , ρ ∈ [0, r], u ∈ [0, π], v ∈ [0, 2π],

xxxxxxxxxxxxxxρ = (cos u cos v, cos u sen v, senu) ,

xxxxxxxxxxxxxxu = (−ρ senu cos v,−ρ senu sen v, ρ cos u) ,

xxxxxxxxxxxxxxv = (−(a + ρ cos u) sen v, (a + ρ cos u) cos v, 0) ,

g11 = 1, g22 = ρ2, g33 = (a + ρ cos u)2, g12 = g13 = g23 = 0,√

g = ρ (a + ρ cos u).

Por tanto,

vol(T/2) =∫ r

0

∫ π

0

∫ 2π

0

ρ (a + ρ cos u) dρ du dv = 2π

∫ π

0

(ρ2

2a +

ρ3

3cos u

)r

0

du =

2π

∫ π

0

(r2

2a +

r3

3cos u

)du = 2π

(r2

2au +

r3

3senu

)π

0

= π2r2a.

Finalmente,

φ(X, Γ) = π2r2a +23π((a + r)3 − (a− r)3

).

(ii) Primera forma

Podemos calcular el flujo a través de Γ2 parametrizando la superficie. Como es una esferatrabajamos en esféricas. Sea R = a + r,

xxxxxxxxxxxxxx(θ, ϕ) = (R senϕ cos θ, R senϕ sen θ, R cos ϕ), θ ∈ [0, 2π], ϕ ∈ [π/2, π].


xxxxxxxxxxxxxxθ = (−R senϕ sen θ, R senϕ cos θ, 0),

xxxxxxxxxxxxxxϕ = (R cos ϕ cos θ, R cos ϕ sen θ,−R senϕ),

xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ = (R2 sen2 ϕ cos θ, R2 sen2 ϕ sen θ, R2 senϕ cos ϕ).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxθ ∧ xxxxxxxxxxxxxxϕ〉 = R3 sen3 ϕ cos2 θ + R3 sen2 ϕ cos ϕ sen 2θ −R3 sen2 ϕ cos ϕ sen θ =

R3 sen3 ϕ cos2 θ.

Finalmente,

φ(X, Γ2) = R3

∫ π

π/2

∫ 2π

0

sen3 ϕ cos2 θ dθ dϕ = R3

∫ π

π/2

senϕ(1− cos2 ϕ)dϕ

∫ 2π

0

1− cos(2θ)2

dθ =R3

2

(− cos ϕ +

13

cos3 ϕ

)π

π/2

(θ − sen(2θ)

2

)2π

0

=23π(a + r)3.

Segunda forma

Dado que div(X) = 1, podemos añadir a la superficie Γ2 otra superficie para encerrar unvolumen, por ejemplo podemos considerar T1 = (x, y, z) ∈ IR3 : z = 0, x2+y2 ≤ (a+r)2y Ω1 tal que ∂Ω1 = Γ2. Ver Figura 1.50.


Figura 1.50: Representación de Γ2 ∪ T1

Entonces,

φ(X, Γ2) =∫

Ω1

div(X)dV −∫

T1

〈X, N1〉dS.

Por un lado vol(Ω1) =23π(a + r)3 y por otro, T1 es un disco que podemos parametrizar

en coordenadas polares. Además, N1 = (0, 0,−1), 〈X, N1〉 = −y y √g = ρ. Por tanto,

φ(X, Γ2) =∫

Ω1

div(X)−∫

T1

〈X, N1〉 =

23π(a+r)3+

∫ 2π

0

∫ a+r

0

−ρ2 sen θ dθ dρ =23π(a+r)3+

∫ a+r

0

(ρ2 cos θ

)dρ

2π

0

=23π(a+r)3.

(iii) La representación de la curva α = Γ ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x = 0 se halla en la Figura 1.51.

Podemos ver a la curva como la frontera de una superficie, Γ4, formada por dos medioscírculos y medio anillo circular cuya normal es N4 = (1, 0, 0). Por tanto, para calcular lacirculación a lo largo de α podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampère o del rotacional.En este caso,

rot(X) = (−2, 0, 0), 〈rot(X), N4〉 = −2.

Por tanto,

C(X, α) =∫

α

〈X, T 〉dl =∫

Γ4

〈rot(X), N4〉dS = −2 area(Γ4) =

−2π

(r2 +

(a + r)2 − (a− r)2

2

)= −2rπ(r + 2a).

(iv) La curva γ = Γ ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : z = 0 es la unión de dos circunferencias concéntricasde radios a + r y a − r, por tanto podemos verla como la frontera de un anillo circular,


Figura 1.51: Representación de α

Γ5, y aplicar el Teorema de Stokes-Ampère. En este caso,

rot(X) = (−2, 0, 0), N5 = (0, 0, 1), 〈rot(X), N5〉 = 0.

Por tanto,

C(X, γ) =∫

γ

〈X, T 〉dl =∫

Γ5

〈rot(X), N5〉dS = 0.

73.- Sean los subconjuntos de IR3 dados por

Ω1 = (x, y, z) ∈ IR3 : −3 ≤ x ≤ 3, 25 ≤ y ≤ 37, y − 25 ≤ z ≤ 12

Ω2 = (x, y, z) ∈ IR3 : −3 ≤ x ≤ 3,−25 ≤ y ≤ 25,−25 +√

(25√

2)2 − y2 ≤ z ≤ 12

Ω3 = (x, y, z) ∈ IR3 : −3 ≤ x ≤ 3,−37 ≤ y ≤ −25,−y − 25 ≤ z ≤ 12,

Ω =3⋃

i=1

Ωi y X el campo vectorial de IR3

X = y∂

∂y+ z

∂

∂z.

(i) Calcular el flujo de X a través de ∂Ω.

(ii) Calcular el flujo de X a través de Γc = ∂Ω ∩ (x, y, z) ∈ IR3(z + 25)2 + y2 = (25√

2)2.

(iii) Calcular el flujo de X a través de Γp = ∂Ω ∩ (x, y, z) ∈ IR3z = y − 25.

(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γc ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x = 3.



(v) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γc.

Solución: La representación de Ω se halla en la Figura 1.52.

(i) Como div(X) = 2, φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dS =∫

Ω

div(X) = 2∫

Ω

dV .

El volumen de Ω es dos veces el volumen de un prisma triangular de lados 12, 12 y 6 quedenotaremos por VP, más el volumen de A, donde A está repersentado en la Figura 1.53.

• V P =1212 · 12 · 6 = 432.

• V (A) =∫ 3

−3

dx

∫ 25

0

dy

∫ 12

−25+√

(25√

2)2−y2dz = 6

∫ 25

0

37−√

(25√

2)2 − y2 dy =y = 25

√2 sen θ

dy = 25√

2 cos θdθ

y = 25 → θ = arcsin 1√2

= π/4

y = 0 → θ = 0

= 6 · 37 · 25− 6∫ π/4

0

(25√

2)2 cos2 θ dθ =

6 · 37 · 25− 6 · 252 · 2∫ π/4

0

1 + cos 2θ

2dθ = 6 · 37 · 25− 6 · 252

(θ +

sen 2θ

2

π/4

0

)dx =

6 · 37 · 25− 6 · 252

(π

4+

12

)= 75(49− 25π/2)

Por tanto,V (Ω) = 2 · 432 + 2 · 75(49− 25π/2) = 8214− 1875π,



luego

φ(X, ∂Ω) = 2V (Ω) = 16428− 3750π.

(ii) Γc es la parte cilíndrica de ∂Ω, ver Figura 1.54.

Primera forma

Parametrizamos Γc mediante coordenadas cilíndricas descentradas ya que la circunferenciaque define el cilindro tiene centro en (0, 0,−25).

xxxxxxxxxxxxxx(x, θ) = (x, 25√

2 cos θ,−25 + 25√

2 sen θ), (x, θ) ∈ [−3, 3]× [π/4, 3π/4].

El intervalo de variación de θ se halla mediante el intervalo de variación de la variable y:

y = −25 =⇒ 25√

2 cos θ = −25 =⇒ θ = arcos(−√

2/2) = 3π/4.

De forma análoga y = 25 =⇒ θ = π/4.


xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxθ = (0,−25√

2 sen θ, 25√

2 cos θ),

xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ = (0,−25√

2 cos θ,−25√

2 sen θ).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉 = −(25√

2)2 + 252√

2 sen θ.

Finalmnte,

φ(X, Γc) =∫ 3

−3

∫ 3π/4

π/4

−(25√

2)2 + 252√

2 sen θ dx dθ =

6 · 252

(−2θ −

√2 cos θ

3π/4

π/4

)= −6 · 252(π − 2) = 3750(2− π).


Figura 1.54: Representación de Γc y ∂Γc

Segunda forma

Parametrizamos Γc mediante coordenadas cartesianas.

zzzzzzzzzzzzzz(x, y) = (x, y,−25 +√

(25√

2)2 − y2), (x, y) ∈ [−3, 3]× [−25, 25].


zzzzzzzzzzzzzzx = (1, 0, 0), zzzzzzzzzzzzzzy =

0, 1,−y√

(25√

2)2 − y2

,

zzzzzzzzzzzzzzx ∧ zzzzzzzzzzzzzzy =

0,y√

(25√

2)2 − y2

, 1

.


〈X,zzzzzzzzzzzzzzx ∧ zzzzzzzzzzzzzzy〉 =(25

√2)2√

(25√

2)2 − y2

− 25.

Finalmente,

φ(X, Γc) =∫ 3

−3

∫ 25

−25

(25√

2)2√(25

√2)2 − y2

− 25dxdy =

6 · 252

(2arcsin

y

25√

2

25

−25

− 2

)= 6 · 252(π − 2) = −3750(2− π).


Observar que el cambio de signo viene dado por el cambio de orientación en las normales.

Tercera forma

Calculamos el flujo a través de Γc mediante la consideración de un volumen que contengaa Γc como parte de su frontera. Por ejemplo Vc puede ser el representado en la Figura1.55

Figura 1.55: Representación de Vc

Entonces,

φ(X, Γc) =∫

Vc

div(X)−5∑

i=1

∫Si

〈X, Ni〉.

Para calcular los flujos sobre el resto de superficies que forman parte de la frontera de Vc

calculamos:

〈X, N1〉 = 0, 〈X, N2〉 = y|S2= 25, 〈X, N3〉 = 0,

〈X, N4〉 = z|S4= 12, 〈X, N5〉 = −y|S5

= 25.

Por tanto,

φ(X, N1) = φ(X, N3) = 0,

φ(X, N2) = φ(X, N5) =∫

Si

< X,Ni >= 25∫

Si

dA = 25 · 12 · 6 = 1800,

φ(X, N4) =∫

S4

< X,N4 >= 12∫

S4

dA = 12 · 6 · 50 = 3600.


De donde,

φ(X, Γc) = 2(7350− 1875π)− 2 · 1800− 3600 = 3750(2− π).

(iii) La representación de Γp se halla en la Figura 1.56.

Figura 1.56: Representación de Γp

Una parametrización de la superficie y los campos involucardos en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, y) = (x, y, y − 25), (x, y) ∈ [−3, 3]× [25, 37].

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxy = (0, 1, 1),

xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy = (0,−1, 1).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxy〉 = −y + z = −25

De donde,

φ(X, Γp) =∫ 3

−3

∫ 37

25

−25 dx dy = −6 · 25 · 12 = −1800.

(iv) Sea γ = Γc ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : x = 3. Debemos observar que rotX = 0 y como el campoestá definido en un abierto con forma de estrella X = ∇f , basta observar X para deducirque f(x, y, z) = y2/2 + z2/2. Por tanto, para cualquier curva,

C(X, γ) = f(γ(b))− f(γ(a)).

En nuestro caso γ(3π/4) = (3,−25, 0) y γ(π/4) = (3, 25, 0), ver Figura 1.57.

De donde,

C(X, γ) = 0.

Podemos calcular la circulación parametrizando la curva,



γ(θ) = (3, 25√

2 cos θ,−25 + 25√

2 sen θ), θ ∈ [π/4, 3π/4].

Por tanto,

γ′(θ) = (0,−25√

2 sen θ, 25√

2 cos θ) y 〈γ′, X〉 = −252√

2 cos θ.

De donde,

C(X, γ) =∫ 3π/4

π/4−252

√2 cos θ dθ = −252

√2 cos θ.

(v) Como la curva α = ∂Γc es cerrada, ver Figura 1.54 y el campo es gradiente C(X, α) = 0.

Otra forma alternativa de calcular esta circulación es aplicando el Teorema de Stokes-Ampere.

C(X, α) =∫

∂Γc

〈X, T 〉dl =∫

Γc

〈rotX, N〉dS = 0.

74.- Sean, a, b ∈ IR+, a < b < 4a,

Ω = (x, y, z) ∈ IR3 : x = ρ cos θ, y = y, z = ρ sen θ, con

ρ ∈ (a, b), y ∈ (z − 4a, 4a− z), θ ∈ (−π/6, π + π/6)

y X el campo vectorial de IR3

X = (2a− z)∂

∂z.


(ii) Calcular el flujo de X a través de Γp = ∂Ω ∩ (ρ, y, θ) ∈ IR3 : y = −ρ sen θ + 4a.

(iii) Calcular el flujo de X a través de Γa = ∂Ω ∩ (ρ, y, θ) ∈ IR3 : ρ = a.


(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de Γa ∩ Γp.

Solución:La representación de Ω se halla en la Figura 1.58


(i) Como div(X) = −1, φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dS =∫

Ω

div(X) = −∫

Ω

dV .

El volumen de Ω se puede calcular dividiéndolo en tres partes, la parte central C en la quey ∈ (−3a, 3a), y dos veces el volumen de una de las partes externas: A, ver Figura 1.59

• V (C) =∫ b

a

∫ π+π/6

−π/6

∫ 3a

−3a

ρ dy dθ dρ = 6a(π +π

3)

ρ2

2

∣∣∣∣ba

= 4πa(b2 − a2)

• V (A) =∫ b

a

∫ π+π/6

−π/6

∫ 4a−ρ sen θ

3a

ρ dy dθ dρ =∫ b

a

∫ π+π/6

−π/6

ρ(a− ρ sen θ) dθ dρ =

∫ b

a

ρ (aθ + ρ cos θ)π+π/6

−π/6

dρ =∫ b

a

ρ

(a4π

3−√

3ρ

)dρ =

(a4π

3ρ2

2−√

3ρ3

3

)b

a

=2π

3a(b2 − a2)−

√3

3(b3 − a3)

Por tanto, ∫∂Ω

〈X, N〉dS =2√

33

(b3 − a3)− 16π

3a(b2 − a2)

(ii) Una parametrización de Γp es,

xxxxxxxxxxxxxx(ρ, θ) = (ρ cos θ,−ρ sen θ + 4a, ρ sen θ), ρ ∈ (a, b), θ ∈ (−π/6, π + π/6),



dado que Γp se obtiene al restringir la y en la superficie ∂Ω, concretamentey = −ρ sen θ + 4a.


xxxxxxxxxxxxxxρ = (cos θ,− sen θ, sen θ),

xxxxxxxxxxxxxxθ = (−ρ sen θ,−ρ cos θ, ρ cos θ),

xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ = (0,−ρ, ρ).


〈X,xxxxxxxxxxxxxxρ ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉 = ρ(2a− ρ sen θ).

Luego, el flujo es,

φ(X, Γp) =∫ b

a

∫ π+π/6

−π/6

ρ(2a− ρ sen θ) dθ dρ =∫ b

a

ρ (2aθ + ρ cos θ)π+π/6

−π/6

dρ =

∫ b

a

ρ

(8π

3a−

√3ρ

)dρ =

(4π

3aρ2 −

√3

3ρ3

)b

a

=4π

3a(b2 − a2)−

√3

3(b3 − a3).

(iii) Una parametrización de Γa es,

yyyyyyyyyyyyyy(y, θ) = (a cos θ, y, a sen θ), θ ∈ (−π/6, π + π/6), y ∈ (a sen θ − 4a, 4a− a sen θ).


yyyyyyyyyyyyyyy = (0, 1, 0), yyyyyyyyyyyyyyθ = (−a sen θ, 0, a cos θ),

yyyyyyyyyyyyyyy ∧ yyyyyyyyyyyyyyθ = (a cos θ, 0, a sen θ).



〈X,yyyyyyyyyyyyyyy ∧ yyyyyyyyyyyyyyθ〉 = a2(2 sen θ − sen2 θ).

Finalmente,

φ(X, Γa) =∫ π+π/6

−π/6

∫ 4a−a sen θ

a sen θ−4a

a2(2 sen θ − sen2 θ) dy dθ =

∫ π+π/6

−π/6

2(4a− a sen θ)a2(2 sen θ − sen2 θ)dθ =

∫ π+π/6

−π/6

2a2(8a sen θ − 6a sen2 θ + a sen3 θ)dθ =

2a2

(−8a cos θ − 3a

(θ − sen 2θ

2

)− a cos θ + a

cos3θ

3

)π+π/6

−π/6

=

2a2(8√

3a− 6a( 2π3 −

√3

4 ) +√

32 a−

√3

4 a)

= 2a3(

27√

34 − 4π

).

(iv) Sea γ = Γa ∩ Γp. Debemos observar que rot X = 0 y como el campo está definido en unabierto con forma de estrella X = ∇f , basta observar X para deducir que f(x, y, z) =2az − z2/2. Por tanto, para cualquier curva desde t0 hasta t1,

C(X, γ) = f(γ(t1))− f(γ(t0)).

En nuestro caso γ(θ) = (a cos θ,−a sen θ + 4a, a sen θ), θ ∈ (−π/6, π + π/6). Luego,

f(γ(−π/6)) = f

(a

√3

2,a

2+ 4a,−a

2

)= −a2 − a2

8= −a2

9y

f(γ(π + π/6)) = f

(−a

√3

2,a

2+ 4a,−a

2

)= −a2 − a2

8= −a2

9.

De donde,C(X, γ) = 0.

75.- Sean 0 < a < b,

Ω =

(x, y, z) ∈ IR3 : y2 + z2 ≥ a2, x2 + z2 ≥ a2, z ≥ 0, z ≤ 2b− x, z ≤ 2b + x,

z ≤ 2b− y, z ≤ 2b + y, si x ∈ [−b,−a], y ∈ [−b, b],

si x ∈ [−a, a], y ∈ [−b, a] ∪ [a, b] y si x ∈ [a, b], y ∈ [−b, b]

y X el campo vectorial de IR3

X = −y∂

∂x+ x

∂

∂y+ z

∂

∂z.


(ii) Calcular el flujo de X a través de Γ1 = ∂Ω ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : y2 + z2 = a2, x ≥ 0.item[(iii)] Calcular el flujo de X a través de Γ2 = ∂Ω ∩ (x, y, z) ∈ IR3 : z = 2b− x.


(iv) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γ1.

(v) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂Γ2.

(vi) Calcular la circulación de X a lo largo de ∂(∂Ω ∩ z = 0).

Solución:En primer lugar calculamos la divergencia y el rotacional de X.

div(X) = 1, rot(X) = (0, 0, 2).

Como el rotacional de X no es nulo el campo no será gradiente.

(i) La representación de ∂Ω se halla en la Figura 1.60.

Figura 1.60: Representación de ∂Ω

Como el flujo que debemos calcular es a través de una superficie que es frontera de unvolumen Ω, podemos aplicar el T. de la Divergencia,

φ(X, ∂Ω) =∫

∂Ω

〈X, N〉dS =∫

Ω

dV.

Luego el flujo a calcular es el volumen de Ω. Por las simetrías del recinto el volumen será8 veces el volumen de A+ B, ver Figura 1.61.


Figura 1.61: Representación de A+ B

V (A) =∫ a

0

dy

∫ b

a

dx

∫ 2b−x

√a2−y2

dz =∫ a

0

dy

∫ b

a

((2b− x)−

√a2 − y2

)dx =

∫ a

0

((2bx− x2

2

)b

a

−√

a2 − y2(b− a)

)dy =

∫ a

0

(32b2 − 2ba +

a2

2−√

a2 − y2(b− a))

dy =

=

y = a sen t t = arcsin

(ya

)dy = a cos tdty = a t = π

2y = 0 t = 0

= a(3

2b2 − 2ba +

a2

2

)− a2(b− a)

∫ π/2

0

cos2 tdt =

32b2a− 2ba2 +

a3

2− a2

2(b− a)

∫ π/2

0

(1 + cos(2t))dt =32b2a− 2ba2 +

a3

2

−a2

2(b− a)

(t +

sen 2t

2

)∣∣∣∣π/2

0

=32b2a− 2ba2 +

a3

2− a2

4(b− a)π.

V (B) =∫ b

a

dy

∫ b

y

dx

∫ 2b−x

0

dz =∫ b

a

dy

∫ b

y

(2b− x)dx =∫ b

a

(2bx− x2

2

)∣∣∣∣by

dy =

=∫ b

a

(32b2 − 2by +

y2

2

)dy =

(32b2y − by2 +

y3

6

)∣∣∣∣ba

=2b3

3− 3

2b2a + ba2 − a3

6.


Finalmente,

V (Ω) = 8(

32b2a− 2ba2 +

a3

2− a2

4(b− a)π

)+ 8

(2b3

3− 3

2b2a + ba2 − a3

6

)=

13(16b3 − 24ba2 + 8a3) + 2πa2(a− b).

(ii) Γ1 es una porción de cilindro, concretamente, y2 + z2 = a2, x ∈ [a, b], y ∈ [−a, a]. Portanto una parametrización de Γ1 en coordenadas cilíndricas y los campos involucrados enel cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx(x, θ) = (x, a cos θ, a sen θ), x ∈ [a, b], θ ∈ [0, π].

xxxxxxxxxxxxxxx = (1, 0, 0), xxxxxxxxxxxxxxθ = (0,−a sen θ, a cos θ),

xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ = (0,−a cos θ,−a sen θ).


y 〈X,xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉 = −ax cos θ − a2 sen2 θ.

Luego,

φ(X, Γ1) =∫ π

0

∫ b

a

−a(x cos θ + a sen2 θ) dx dθ =

−a

2

∫ π

0

((b2 − a2) cos θ + a(b− a)(1− cos(2θ))

)dθ =

−a

2

((b2 − a2) sen θ + a(b− a)

(θ − sen(2θ)

2

))π

0

= −π

2a2(b− a).

(iii) Γ2 es un trozo del plano z = 2b − x concretamente x ∈ [a, b], y ∈ [−x, x] ya que en ∂Ωlos planos z = 2b − x y z = 2b + y se cortan en la recta y = −x mientras que los planosz = 2b− x y z = 2b− y lo hacen en la recta y = x. Por tanto una parametrización de Γ2

y los campos involucrados en el cálculo del flujo son,

xxxxxxxxxxxxxx2(x, y) = (x, y, 2b− x), (x, y) ∈ [a, b]× [−x, x].

xxxxxxxxxxxxxx2x = (1, 0,−1) y xxxxxxxxxxxxxx2y = (0, 1, 0),

xxxxxxxxxxxxxx2x ∧ xxxxxxxxxxxxxx2y = (1, 0, 1).


〈X,xxxxxxxxxxxxxx2x ∧ xxxxxxxxxxxxxx2y〉 = −y + 2b− x.

De donde,

φ(X, Γ2) =∫ b

a

∫ x

−x

(2b− y − x) dx dy =∫ b

a

2(2b− x)x dx =

2(

bx2 − x3

3

)b

a

=23(b3 − 3ba2 + a3).

(iv) Para calcular la circulación a lo largo de la curva ∂Γ1 podemos aplicar el Teorema deStokes-Ampere , debemos tener en cuenta que ya hemos hecho la mayoría de los cálculosque intervendrán.


C(∂Γ1, X) =∫

∂Γ1

〈X, T1〉dl =∫

Γ1

〈rot(X), xxxxxxxxxxxxxxx ∧ xxxxxxxxxxxxxxθ〉dS =∫ π

0

∫ b

a

−2a sen θ dx dθ =∫ π

0

−2a(b− a) sen θdθ = 2a(b− a) cos θ

π

0

= −4a(b− a).

(v) Del mismo modo que en el apartado anterior podemos aplicar el Teorema de Stokes-Ampere para calcular la circulación a lo largo de la curva ∂Γ2.

C(∂Γ2, X) =∫

∂Γ2

〈X, T2〉dl =∫

Γ2

〈rot(X), xxxxxxxxxxxxxx2x ∧ xxxxxxxxxxxxxx2y〉dS =∫ b

a

∫ x

−x

2 dx dy = 2(b2 − a2).

(vi) Aplicamos de nuevo el Teorema de Stokes-Ampere, en este caso la normal a la supercicieΓ3 = ∂Ω ∩ z = 0 es N3 = (0, 0,−1). Por tanto, 〈rot(X), N3〉 = −2. Teniendo en cuentaque Γ3 es la unión de cuatro cuadrados de lado b− a obtenemos,

C(∂Γ3, X) =∫

∂Γ3

〈X, T3〉dl =∫

Γ3

〈rot(X), N3〉dS = −2∫

Γ3

dS = −8(b− a)2.

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