ingegneria docente: leonardo bertini · cdl magistrale in ingegneria meccanica corso di...

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Mec

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Corso di Progettazione Assistita da Computer– Parte I

© Università di Pisa 2014

DOCENTE: Leonardo BERTINI

Dip. di Ingegneria Civile e Industriale, 1° piano

Tel. : 050-2218021

E.mail : [email protected]

CORSO DIPROGETTAZIONE ASSISTITA DA COMPUTER

CLM ING. MECCANICA

PARTE IREV.: 05 del 14 ottobre 2014

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CONTENUTI DEL CORSO

LEZIONI• Basi teoriche del MEF• Applicazione del MEF a problemi strutturali in campo elastico lineare• Analisi critica dei risultati di un modello ad EF• Criteri di modellazione di strutture con il MEF

ESERCITAZIONI• Uso del programma ANSYS• Esempi significativi di applicazione del MEF a problemi strutturali

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Sistemi di equazioni differenziali alle derivate parziali

Elasticità Elettromagnetismo

TermodinamicaFluidodinamica

Etc…

021

1

021

1

021

1

2

2

2

GZ

zw

yv

xu

zw

GY

zw

yv

xu

yv

GX

zw

yv

xu

xu

E.qni di Navier

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Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)

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Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)

Sviluppo di tecniche di soluzione approssimate

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Metodi di soluzione approssimata:• Differenze finite• Elementi Finiti• Elementi di contorno• Metodi “mesh free”• …

Il Metodo degli Elementi Finiti (MEF) è oggi di gran lunga il più diffuso, soprattutto a causa della sua estrema versatilità

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Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):

Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w

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021

1

021

1

021

1

2

2

2

GZ

zw

yv

xu

zw

GY

zw

yv

xu

yv

GX

zw

yv

xu

xu

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021

1

021

1

021

1

2

2

2

GZ

zw

yv

xu

zw

GY

zw

yv

xu

yv

GX

zw

yv

xu

xu

Problema sostitutivo: determinare delle funzioni sostitutive che approssimino u, v e w con un errore accettabile ai fini pratici e siano

relativamente facili da calcolare

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x

u(x)

Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)

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x

u(x)


F.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri

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x

u(x)

u’(x)



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x

u(x)

u’(x)



Oss.ni: •necessario assicurare la convergenza• soluzione affetta da errori

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(a)

Discretizzazione

Struttura

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(a)

Discretizzazione

Struttura

(b)

Modello (“mesh”)

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(a)elemento

nodo

Discretizzazione

Struttura

(b)

Modello (“mesh”)

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elemento

nodo

Esempi di elementi piani con diverse disposizioni dei nodi

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1 2 3 54 6

7 8 9 1110 12

13 14 15 1716 18

i = n° di elemento

1 2 3 54 6 7

8 9 10 1211 13 14

15 16 17 1918 20 21

22 23 24 2625 27 28

i = n° di nodo

Nodi ed elementi identificati da un numero univoco

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x

y

7

Gradi di libertà (g.d.l.)

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x

y

7

7’


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x

y

7

7’

(g.d.l.)


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x

y

7

7’

(g.d.l.)

N° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:• tipo di elemento• natura problema


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x

y

7

7’

(g.d.l.)

N° totale g.d.l. = N° g.d.l./nodo * N° nodi

N° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:• tipo di elemento• natura problema


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e

x

y

Studio del comportamento meccanico del singolo elemento

Elemento piano per problemi 2D

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i

j

k

e

x

y

vxj

vyj



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i

j

k

e

x

y

vxj

vyj



yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

(6 x 1)

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i

j

k

e

x

y

vxj

vyj



yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

qyi

qxi

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

e

e

e

e

e

e

qqqqqq

pppppp

P

6

5

4

3

2

1

{Ue} {Pe}?

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166616 xxx

UKP eee

Studio condotto in campo lineare:

Matrice di rigidezza dell’elemento

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Significato fisico dei termini della matrice di rigidezza, kij

i

j

ke

xy

“Cedimento” vincolare:

000100

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

pppppp

e

e

e

e

e

e

23262322212 0...100 kkkkkpe

....; 434333 kpkp ee

1

U e

000100

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i

j

ke

xy

Il termine km,n di [Ke] è pari alla reazione vincolare presente secondo ilgrado di libertà “m” (m=1,..6), se si applica un sistema di spostamentinodali in cui tutte le componenti sono nulle tranne la “n-esima” cheassume valore pari ad 1

k25k63

n

en

enm

em ukp ,

“peso” di un nel contribuire a pm

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x

FF=k x

i

j

ke

xy

vxj

qyi

qxi

vyj UKP eee

Elemento = molla “multidimensionale

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Teorema di reciprocità

pm

i

j

k

e

ul= 1j

k

e

pl

ium=1

A

B

A

B

pme = pl

e

kml = klm

[Ke] simmetrica

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Valutazione di [Ke]

In generale, questa procedura non è praticabile per un elemento di forma generica

i

j

ke

x

y

1si ottengono immediatamente le

kem,n

In casi semplici è possibile calcolarele reazioni vincolari in presenza di“cedimenti vincolari” dei nodi (Es.elementi trave)

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i

j

ke

x

y vx

vy

P(x,y)

Spostamenti nei punti interni all’elemento

16621212

),(),(),(

),(

xxxx

UyxNyxvyxv

yxv ee

y

x

F.ni di forma (“shape functions”)

Pb: - che forma matematica dare alle Ne(x,y) ?- come determinare le Ne(x,y) ?

6

1,

ll

erlr uyxNv

Ogni f.ne di forma rappresenta il “peso” (dipendente dalla posizione di P) che ciascuna componente di spostamento nodale ha nel determinare lo spostamento di P

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i

j

k

e

x

y

i

j

ke

vx

vy

P(x,y)

vxj

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

P(x,y)

3130

),(1 lselse

yxN jjel

3212111

6

111

....),(),(

),(),(),(

uuyxNuyxN

uyxNyxvyxv

jje

jje

lljj

eljjxjj

Cd

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i

j

ke

....),(),(),(),( 212111

6

111

uyxNuyxNuyxNyxv jje

jje

lljj

eljj

yk

xk

yj

xj

yi

xi

e

vvvvvv

uuuuuu

U

6

5

4

3

2

1

0,0,0,0,0,1,

1613

1512

1411

iie

iie

iie

iie

iie

iie

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

vx

vy P(x,y)

0,1,0,0,0,0,

1613

1512

1411

jje

jje

jje

jje

jje

jje

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

0,0,1,0,0,0,

1613

1512

1411

kke

kke

kke

kke

kke

kke

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

vx

vy

P(x,y)

vx

vy

P(x,y)

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

0),(1),(0),(

13

13

13

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

1),(0),(0),(

15

15

15

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

0),(0),(0),(

12

12

12

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

0),(0),(0),(

14

14

14

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

0),(0),(0),(

16

16

16

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

Cd

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n In

gegn

eria

Mec

can

ica



yCxBAyxN lmlmlmelm ),(

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

i

j

k

x

y

N11

1

001

111111

111111

111111

kk

jj

ii

yCxBAyCxBAyCxBA

2

2

2

11

11

11

jk

kj

jkkj

xxC

yyB

yxyxA

kk

jj

ii

yxyxyx

111

det2

Cd

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n In

gegn

eria

Mec

can

ica



i

j

k

x

y

N11

1

i

j

k

x

y

N13

1

i

j

k

x

y

N15

1

Cd

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gegn

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Mec

can

ica



i

k

j

N11

N13

N15

P

Interpretazione geometrica

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gegn

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Mec

can

ica




0),(0),(0),(

12

12

12

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

i

j

k

x

y

N12 0

000

121212

121212

121212

kk

jj

ii

yCxBAyCxBAyCxBA

000

12

12

12

CBA

Cd

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Mec

can

ica



16621212

),(),(),(

),(

xxxx

UyxNyxvyxv

yxv ee

y

x

152613241122

151311

0000,0,0,

NNNNNNyxNyxNyxN

Matrice delle funzioni di forma

Cd

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e i

n In

gegn

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Mec

can

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Calcolo delle deformazioni

Spostamenti Deformazionicongruenza

xv

yvyvxv

yxxy

yy

xx

yxvL

yxvyxv

xy

y

x

y

x

xy

y

x

,,,

0

0

Cd

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e i

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Mec

can

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2x13x23x1

),(),( yxvLyx 166212

),(),(xxx

eUyxNyxv

6x13x63x1

ee UBUNL

Cd

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gegn

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can

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Contenuto matrice [B]

262422

151311

000000

0

0

NNNNNN

xy

y

xNLB

xN

yN

xN

yN

xN

yN

yN

yN

yN

xN

xN

xN

B

261524132211

262422

151311

000

000

Cd

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tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



yCxBAN 11111111

2

2

1111

1111

jk

kj

xxC

yN

yyB

xN

261524132211

262422

151311

000000

BCBCBCCCC

BBBB

Cd

LM

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e i

n In

gegn

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Mec

can

ica



Relazioni costitutive

E

EE

EE

xyxy

xyy

yxx

12

Esempio 1: stato piano di tensione, materiale isotropo

D

xy

y

x

xy

y

x E

2/1000101

1 2

Cd

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gegn

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Mec

can

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Relazioni costitutive

2/21000101

211

ED

0

12

EEE

E

EEE

EEE

yxzz

xyxy

zxyy

zyxx

Esempio 2: stato piano di deformazione, materiale isotropo

Cd

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e i

n In

gegn

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Mec

can

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Valutazione di [Ke]

i

j

ke

xy

{Ue}

Principio dei Lavori Virtuali

Lest = Lint

eTeest PUL

Spost. virtuali Carichi effettivi

Carichi nodali veri * spost.nodali virtuali

Tensioni vere * deformazioni virtuali

Cd

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n In

gegn

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can

ica



dVLV

T int TTeT

e

BU

UB

dVBULV

TTe int

dVUBDBULV

eTTe int

dVDBULV

TTe int

D

eUB

dVBUV

TTe

e

V

TTe UdVBDBU

Cd

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e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



e

V

TTe UdVBDBUL int eTeest PUL

e

V

TTeeTe UdVBDBUPU

e

V

Te UdVBDBP

eee UKP

Cd

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n In

gegn

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Mec

can

ica



Applicazionee dVBDBK

V

Te

261524132211

262422

151311

000000

BCBCBCCCC

BBBB

2/100

0101

1 2

ED

VBDBdVBDBK T

V

Te

Cd

LM

agis

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e i

n In

gegn

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Mec

can

ica



VBDBK Te

Osservazione: unità di misura

N m-2m-1 m-1

m3

N m-1

mNm

mmN

m3

2

11

Cd

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n In

gegn

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Mec

can

ica



dVBDBKV

Te Calcolo della matrice [Ke]

Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)

Metodi classici di integrazione:

x0 x1

f(x)

1) Si scelgono “a priori” n punti, xi

2) Si calcolano i valori di f(xi)

3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti

4) Si integra il polinomio in forma chiusa

Cd

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n In

gegn

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Mec

can

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dVBDBKV




x0 x1

f(x)





n = 2

Cd

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n In

gegn

eria

Mec

can

ica



dVBDBKV




x0 x1

f(x)





n = 3

Cd

LM

agis

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e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



dVBDBKV




x0 x1

f(x)





n = 4

Cd

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gegn

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Mec

can

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F

I

x

x

n

iii xfWdxxf

1

Integrazione secondo Gauss: esempio 1D

Integrale da calcolare

Peso

Valore della f.ne nel punto xi

1) Si fissa n

2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato

n=1

x0 x1

f(x)

I punti xi sono detti “punti di Gauss”

Cd

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e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



F

I

x

x

n

iii xfWdxxf

1

Integrazione secondo Gauss: esempio 1D

Integrale da calcolare

Peso

Valore della f.ne nel punto xi

1) Si fissa n

2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato

x0 x1

f(x)

I punti xi sono detti “punti di Gauss”

n=2

31

31

Cd

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tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Vantaggi dell’integrazione secondo Gauss:

• fissato n, consente il calcolo esatto dell’integrale di una f.ne di grado 2n-1 anziché n-1

• dato il grado n della f.ne che si vuole poter integrare esattamente, richiede il calcolo della f.ne stessa in (n+1)/2 punti, anziché in n+1 punti

Le posizioni dei punti di Gauss per integrali in 1, 2 e 3 dimensioni sono note per molti domini di integrazione.

Cd

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agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



ANALISI INTERA STRUTTURA

Congruenza [B]

Costitutive [D]

Equilibrio Garantito per il singolo elemento (non ancora per la struttura)

Cd

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e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



x

y

GDLN nyn

x

y

x

u

uuu

v

vvv

U3

2

1

2

1

1

GDLN nyn

x

y

x

f

fff

f

fff

F3

2

1

2

1

1

VETTORI DEGLI SPOSTAMENTIE DEI CARICHI ESTERNI PER L’INTERA STRUTTURA

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



27 (i)

18 (j)

31 (k)

33 (l)

vy27

fx18

GDLn

y

u

vu

uu

U 2754

2

1

GDLn

x

f

ff

ff

F 1835

2

1

VETTORI DEGLI SPOSTAMENTIE DEI CARICHI APPLICATI PER L’INTERA STRUTTURA

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



18881818

...

...

...

...

...

..................

..................

..................

......

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2

4,33,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

3

xxxx

ukkk

kkkkkkkkkkkk

pqUKP

e

eee

eeeeee

eeeeee

exjeee

e3,2k

27 (i)

18 (j)

31 (k)

33 (l)

vyi

qxj

11..................

)(.........

..............................

..............................

..............................

..............................

...............000......

...............0)(0......

...............00......

..............................

..............................

..............................

...

...

...

...0

)(0.........

)064()08(

254

3*

35**

xnxnnxn

uupp

UKP

gdlgdlgdlgdl

e

eeee

cuidicuidi

e3,2

*e35,54 k

0k

MATRICE DI RIGIDEZZA “ESPANSA”PER IL SINGOLO ELEMENTO

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



pje4*

pje1*

pje3*

pje2*

e1

e4e3

e2

x

y

En

e

ejj pf

1

*

01

*

En

e

ejj pf

Carico esterno

Carico applicato nel nodo all’elemento “e”fj

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



En

e

ejj pf

1

*

UKP ee **

E gdln

e

n

ii

eji uk

1 1

*

i

n

i

n

e

eji uk

gdl E

1 1

*

......... **2*1i

njijiji ukkk E

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



i

n

i

n

e

ejij ukf

gdl E

1 1

*

UKF

Matrice di rigidezza della struttura

nGDLx 1nGDLx nGDL

nGDLx 1

ji

n

e

eji kk

E

1

*

i

n

iijuk

gdl

1

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



UKF

SOLUZIONE

FKU 1

c.n.s. : 0det K

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



0det K Struttura non labile

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



VINCOLIVincolare = assegnare “a priori” il valore di una delle componenti di spostamento (g.d.l.)

GDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDL

GDL

GDL n

m

nnmnnn

mnmmmm

nm

nm

n

m

u

u

uu

kkkk

kkkk

kkkkkkkk

f

f

ff

2

1

21

,21

222221

111211

2

1

nGDL •1 nGDL •nGDL nGDL •1

um=u*m

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



nGDL •1 nGDL •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDL

GDL

GDLGDL n

m

m

nnmnmnnn

mnmmmmmm

nmm

nmm

mn

mm

m

m

m

n

m

u

uu

uu

kkkkk

kkkkk

kkkkkkkkkk

k

k

kk

u

f

f

ff

1

1

2

1

1121

1,1,21

212122221

111111211

,

2

1

*

2

1

um=u*m

fm non assegnabile

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



(nGDL-1) •1 (nGDL-1) •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDL

GDL

GDL

GDL

GDLGDL n

m

m

nnmnmnnn

nmmmmmmm

nmmmmmmm

nmm

nmm

mn

mm

mm

m

m

m

n

m

m

u

uu

uu

kkkkk

kkkkkkkkkk

kkkkkkkkkk

k

kk

kk

u

f

ff

ff

1

1

2

1

1121

,11,11,12,11,1

,11,11,11,11,1

212122221

111111211

,1

.1

2

1

1

1

2

1

Introduzione vincolo = riduzione di 1 del numero di incognite ed equazioni

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



XXXXXXXXXXMMIS

XXXXXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXXXXXX

K

.0000000000000000000000000000000000000000

La matrice [K]:• è simmetrica• ha una struttura “a banda” attorno alla diagonale principale

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Esistono molti metodi di soluzione del sistema. Uno dei più comuni ed efficienti è il metodo di eliminazione diretta di Gauss.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000


XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

PASSO 1


XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

PASSO 2


XXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

PASSO 3


XXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

PASSO 4

XXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXXXXX

000000000000000000000

00000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

FINALE

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica




XXXXXXXXXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Larghezza di banda (“bandwidth”)

GDLn 2banda)largh.(operazioniN

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Esistono due modi principali di costruire la matrice [K]:• seguendo l’ordine progressivo dei nodi;• seguendo l’ordine progressivo degli elementi

Larghezza di banda Modo di costruire [K]dipende dal

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



1 432

5 876

9 121110

XXX

XXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXXX

000

000

0000000000000000000000000000000121110987654321

Largh. banda =(nnE+1)nGDL,n

Max. diff. n° d’ordine per nodi attaccati allo stesso elemento

N° g.d.l. per nodo

Largh. Banda = 12

1 1074

2 1185

3 1296

Largh. Banda = 10

ORDINE NODI

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



1 432

5 876

9 121110

XXX

XXXX

XXXXX

XXXXXXXXXX

XXXXXXXXX

XXXXXXXXX

000

000000

00000000000000000000000000000121110984736521

Max. diff. n° d’ordine per elementi attaccati allo stesso nodo

N° nodi per elemento/2

Largh. Banda = 16

ORDINE ELEMENTI

4 5 6

2 31

Largh. banda ~(nEn)nnod,enGDL,n

1 1074

2 1185

3 1296

Largh. Banda = 12

2 4 6

3 51

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Condizioni di convergenza sulle funz.ni di forma

Condizione 1: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione nulla in tutti i punti dell’elemento quando il campodi spostamenti nodali corrisponde ad un moto rigido.

i

j

ke

xy

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



261524132211

262422

151311

000000

BCBCBCCCC

BBBB

eUB

xxxx uBuBuB 151311

y

x

y

x

y

x

e

uuuuuu

U

2

2

2

15

13

11

ji

ik

kj

yyB

yyB

yyB

0222

xji

xik

xkj

x uyy

uyyuyy

Verifica per elemento triangolare

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Condizione 2: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione costante in tutti i punti dell’elemento quando ilcampo di spostamenti nodali è compatibile con tale condizione.

i

j

ke

xy

jx

ij

ikkx u

xxxxu

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



x xvx

x

x

vx

dx

vx

Condizione 3: la f.ne di spostamento deve dare luogo adeformazioni limitate all’interfaccia tra elementi diversi.

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica




x xvx

x

x

vx

finitovalore

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica




x xvx

x

In generale:Se le implicano la derivata n-sima della f.ne dispostamento, quest’ultima deve essere continuaall’interfaccia con Classe di continuità Cn-1

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Oss.ne: la funzione di spostamento scelta garantisce talecontinuità in quanto lo spostamento di un punto appartenente adun lato non dipende dagli spostamenti del nodo opposto

i

j

k

x

y

N11

1

i

j

k

x

y

N13

1

i

j

k

x

y

N15

1

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sul singolo elemento

i

j

k

x

y

vx

vix

vjx

vkx

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sull’intero modello

u

x

y

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



u

x

EsattoEF

Tensioni discontinue nei nodi

Andamento effettivo delle tensioni

Spostamenticontinui nei nodi Esatto

EF

x

Calcolo di valori mediati nei nodi (media aritmetica o altre tecniche)

Interpolazione dei valori mediati nodali nelle zone interne (Es. tramite le N)

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Dimensioni ottimali degli elementi

EsattoEF

EsattoEF

Dimensioni elementinon ottimali

Dimensioni elementiottimali

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica


© Università di Pisa 2014 Modello Tensioni y non mediate Tensioni y mediate

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



In casi in cui le tensioni sono intrinsecamente discontinue, l’operazione di media nei nodi può diminuire la precisione.Esempio 1 : Lastra in due materiali diversi, soggetta ad allungamento uniforme

E=105 MPa

E=2.1 105 MPa

xy

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



E=105 MPa

E=2.1 105 MPa

xy

Mediate

Non mediate

x

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Esempio 2: lastra incastrata agli estremi e caricata al centro

xy

Mediata

Non mediata

y

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Elementi di ordine superiore

N11

1i

j

k

x

y

N11

1

i

j

k

x

y l m

n


0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

xyFyExD

yCxBAyxN

lmlmlm

lmlmlmelm

22

),(

0),(0),(1),(

11

11

11

kk

jj

ii

yxNyxNyxN

0),(0),(0),(

11

11

11

nn

mm

ll

yxNyxNyxN

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



u

x

EsattoEF

Tensioni discontinue nei nodi

Elemento con F.ne Forma quadratica

Spostamenticontinui nei nodi Esatto

EF

x

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Carichi non concentratii

j

k

xy wx

wy

w

tForze di volume

Carichi distribuiti

tx

ty

tWeTe

est LLPUL

V

TTe

V

TTe

V

TW

TW

dVwNUdVwNUdVwvL

dVwvdL

Lavoro forze di volume

Lavoro carichi distribuiti

L

TTe

L

Tt dLtNUdLtvL

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



et

eW

eee PPUKP

V

TeW dVwNP

L

Tet dLtNP

Reazioni vincolari conseguenti all’applicazione all’elemento delle forze distribuite e di volume = - Carichi nodali staticamente equivalenti alle forze distribuite o di volume

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



Esempio: carico uniformemente distribuito sul lato di un elemento triangolare

i

j

k

xy

t

Carichi distribuiti

tx

ty

122616 xxx

dtNPL

Tet

151311

151311

000000

NNNNNN

N

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



dtt

NN

NN

NN

pppppp

Py

x

L

ekyt

ekxt

ejyt

ejxt

eiyt

eixt

et

15

15

13

13

11

11

,

,

,

,

,

,

00

00

00

00)(

2)(

2)(

15,

13,

11,

Lx

Lx

ekxt

x

Lx

Lx

ejxt

x

Lx

Lx

eixt

dLtdLtNp

LtdLL

tdLtNp

LtdL

LtdtNp

i

j

k

xy

i

j

kN11

1

i

j

k

N13

1i

j

k

N151

Cd

LM

agis

tral

e i

n In

gegn

eria

Mec

can

ica



i

j

k

xy

txL/2

txL/2

t yL/2

t yL/2

Carichi nodali equivalenti

ingegneria docente: leonardo bertini · cdl magistrale in ingegneria meccanica corso di...

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