VIBRACION DE

UN EDIFICIO

METODOS NUMERICOS PARA INGENIERIA BAIN053-07

Integrantes:

Marc Codjambassis Grupo 3

Emilio Celedon Grupo 2

Mario Santander Grupo 2

Carlos Yunge Grupo 2

INDICE Pgina

1. Introduccion 3

2. Parametros y Variables 4

3. Diagrama de cuerpo libre 5

4. Ecuaciones de de vibracion de un edificio 6

5. Ecuaciones de primer orden 7

6. Metodos de resolucion 8

6.1 Metodo de Euler 8

6.2 Metodo Euler Mejorado 10

6.3 Metodos Runge-Kutta 13

7. Conclusion 18

8. Bibliografia 31

1. INTRODUCCION

Al realizar una edificacin, hay factores que determinan su estructura, donde

se requiere una gran precisin en el momento de ser construido, existen

diversos casos en que la estructura de un edificio puede ser afectado ya sea

por un movimiento telrico, una fuerza externa ejercida sobre el o una

vibracin natural de este, casos como estos son estudiados realizando un

anlisis fsico y modelados a travs de ecuaciones diferenciales. Se han

establecido mtodos numricos para la solucin de estas ecuaciones, a base

de estos mtodos se han creado softwares para el desarrollo ptimo y el

estudio eficaz del desarrollo de un edificio. En el siguiente informe

analizaremos un edificio de 4 pisos donde una fuerza externa es aplicada

sobre los pisos del edificio generando un desplazamiento, al tener esta

informacin modelaremos en una ecuacin diferencial y lo analizaremos con

los metodos estudiados en clase.

2. METODOLOGIA

Un edificio simple puede ser definido como un edificio en el cual no se producen

rotaciones en lo miembros horizontales a la altura de los pisos. A este respecto, el

edificio simple, sometido a excitaciones que producen desplazamientos

horizontales, tiene muchas de las caractersticas de una viga en voladizo

deformada solamente por el esfuerzo de corte. Para esta deformacin en un

edificio debemos suponer las siguientes condiciones: (1) que toda la masa de la

estructura est concentrada al nivel de los pisos, (2) que las vigas en los pisos son

infinitamente rgidas, con relacin a la rigidez de las columnas y (3) que la

deformacin de la estructura es independiente de las fuerzas axiales presentes en

las columnas. La primera condicin transforma el problema, de un sistema con un

nmero finito de grados de libertad (debido a la masa uniformemente distribuida),

a un sistema que tiene solamente tanto grados de libertad como numero de masas

concentradas a nivel de los pisos. Un edificio de cuatro pisos, modelado como un

edificio simple, tiene tres grados de libertad, esto es los desplazamientos

horizontales al nivel de los cuatro pisos. La segunda condicin introduce el

requisito de las uniones entre las vigas y las columnas estn fijas sin rotacin. La

tercera condicin establece que las vigas rgidas en los pisos permanezcan

horizontales durante el movimiento de a estructura.

Debe notarse que el edificio puede tener cualquier nmero de vanos y es solo por

conveniencia que representamos un edificio simple con solamente un vano como

se muestra en la figura 1.1. En realidad podemos idealizar al edificio simple como

una sola columna (figura 1.2), con masas concentradas a la altura de los pisos, en

el bien entendido de que solo son posibles desplazamientos horizontales de estas

masas. Otra alternativa para representar un edificio simple es adoptar un modelo

de resorte y masa como se muestra en l (figura 1.3). En cualquiera de las tres

representaciones mostradas en la figura 1.1, 1.2 y 1.3, el coeficiente de rigidez o

contante de resorte k, entre dos masa consecutivas, es la fuerza requerida ora

reproducir un desplazamiento relativo de magnitud untara entre dos pisos

adyacentes.

Para una columna uniforme, con sus dos extremos fijos sin posible rotacin, la

constante del resorte esta dad por k=(12*E*I)/L^3.

Para una columna con un extremo fijo y otro articulado por k=(3*E*I)/L^3.

E= mdulo de elasticidad del material

I= momento de inercia del rea de la seccin

L= distancia entre pisos

Debe aclararse que las tres representaciones que aparecen en la figura 1.1 a 1.3

para un edificio simple son equivalentes. En consecuencia las ecuaciones de

movimiento en un edificio simple de cuatro pisos se pueden obtener de cualquiera

de los diagrama de cuerpo libre mostrado en esas figuras, esto es, igualando a

cero las sumas de las fuerzas que actan en cada una de las masas. As

obtenemos

Este sistema de ecuaciones constituye la formulacin de rigidez de las ecuaciones

del movimiento para este edificio simple de cuatro pisos. Las ecuaciones (1.2)

pueden escribirse convenientemente usando matrices como

3. VARIABLES Y PARAMETROS Nuestros parmetros y variables son las siguientes: Parmetros: K: constante de rigidez C: constante de amortiguacin M: masa del piso

: constante del material Variables: X(t): posicin del edificio respecto al tiempo t : tiempo

4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

5. ECUACIONES DE LA VIBRACION DE UN EDIFICIO

Para lograr llegar a estas ecuaciones se decidi sustituir la constante de amortiguacin (c) por la siguiente constante:

= [] + []

Analizando esta ecuacin verificamos que la constante tiende a cero, por lo tanto nuestra sustitucin queda de la siguiente forma:

= []

Por lo tanto, nuestras ecuaciones de vibracin de un edificio son las siguientes: Primer piso:

+

+ ( + ) = ()

Segundo piso:

+

+ ( + ) = ()

Tercer piso:

+

+ ( + ) = ()

Cuarto piso:

+

+ = ()

Se define que 1(), 2(), 3(), 4() = () = 0()() donde 0 es la fuerza

mxima del viento, y E es la elasticidad del material.

6. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Haciendo un cambio de variables obtenemos:

=

=

=

=

=

+

+

+()

= +

+

+

+()

= +

+

+

+()

= +

+()

7. METODOS DE RESOLUCION

Mtodo de Euler

El mtodo de Euler o mtodo de las tangentes es una de las tcnicas ms

simples. Consiste en considerar la aproximacin

( + ) () + () = () + (, )

(en donde el miembro derecho se obtiene a partir de la ecuacin diferencial dada) y

el siguiente proceso de iteracin. En el primer paso se calcula

1 = 0 + (0, 0)

Que se aproxima a (1) = (0 + ). En el segundo paso se calcula

2 = 1 + (1, 1)

Que se aproxima a (2) = (0 + 2). Asi sucesivamente, se calcula

= 1 + (1, 1)

que se aproxima a () y, de esta forma, obtenemos una tabla de valores

aproximados de la solucin.

A continuacin veremos el mtodo de Euler aplicado al problema inicial.

(, , , , , , , , ) =

(, , , , , , , , ) =

(, , , , , , , , ) =

(, , , , , , , , ) =

(, , , , , , , , ) = +

+

+()

(, , , , , , , , ) = +

+

+

+

()

(, , , , , , , , ) = +

+

+

+()

(, , , , , , , , ) = +

+()

+ = + ()

+ = + ()

+ = + ()

+ = + ()

+ = + [ +

+

+()

]

+ = + [ +

+

+

+()

]

+ = + [ +

+

+

+()

]

+ = + [ +

+()

]

Metodo de Euler Mejorado

La primera opcin que podemos aplicar es integrar mediante el metodo de

los trapecios, es decir tomando:

(, ())+1

1

2((, ) + (+1, +1))

con

+1 = + (, )

y llegaremos a la expresin del mtodo:

+1 = +

2((, ) + (+1, +1))

Lo normal es presentar el mtodo con las expresiones siguientes:

1 = (, ) ;

2 = (+1, +1 + 1)

+1 = +1

2(1 + 2)

Comparando este metodo con el metodo de Taylor de segundo orden, es

posible demostrar que el error local es tambien proporcional a h 3 y, por tanto, el

global lo es a h 2 .

Este mtodo adecundose a nuestro problema planteado al inicio es de la

siguiente forma:

+ = +

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

+ = +

[ + ]

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden

Los Metodos de Runge-Kutta de cuarto orden se deducen de una manera

similar a la expuesta en la seccion anterior para el caso de tercer orden. Ahora se

introduce un nuevo paso intermedio en la evaluacion de la derivada. Una vez mas

se presentan varias opciones en la evaluacion y es posible ajustar de tal manera

que se garantice el error local de manera proporcional a h 5 (es decir garantizando

exactitud en el cuarto orden en el polinomio de Taylor), lo cual lleva a un error global

proporcional a h 4. El Mtodo de cuarto orden mas habitual es el determinado por

las formulas siguientes

= (, )

= ( +

, +

)

= ( +

, +

)

= ( + , + )

+ = +

( + + + )

que al igual que el metodo de tercer orden esta basado en el mtodo de iteracin

de Simpson. Los errores local y global son en este caso proporcionales a y

respectivamente.

Este mtodo adecundose a nuestro problema planteado al inicio es de la

siguiente forma:

=

=

=

=

= +

+

+()

= +

+

+

+

()

= +

+

+

+()

= +

+()

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

(+) = +

( + + + )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= (, , , , , , , , )

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( +

, +

, +

, +

, +

, +

,

+

, +

, +

)

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= ( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

= 8( + , + , + , + , + , + , + , + , + )

8. GRAFICOS DE LOS METODOS

Metodo de euler

Euler mejorado

RK 4

9. CONCLUSION

Con respecto al trabajo grupal externo concluimos que al haber factores

constantes, como lo son la masa y coeficientes de amortiguacin, y factores

variables como el tiempo, la posicin y desplazamiento del edificio que incluidos

en los mtodos deducidos anteriormente tratados, estos dan solucin

aproximada al problema del movimiento de un edificio de 4 pisos en los casos de

someterlo a una fuerza externa lateral.

Las soluciones y resultados obtenidos anteriormente tienen sin duda un modelo

general para los 3 tipos de mtodos utilizados, es decir, adaptan una forma

parecida en todos los casos. Esto se debe a que son mtodos que logran resolver

una aproximacin del problema planteado, pero que sin duda tienen diferencias en

los resultados obtenidos debido a las caractersticas o condiciones que poseen

cada uno para ser planteados.

Segn la literatura el movimiento tendra que ser oscilante con disminucin de

intensidad y la comparacin de las grficas de los 3 mtodos antes mencionados,

el que ms se acerca a esto y por ende podemos concluir que es ms exacto es el

mtodo de runge-kutta de orden 4.

10. BIBLIOGRAFIA

[1] Wei-Chau Xie, 2010. Diferential equations for engineers, Cambridge

University Press.

[2] Chopra, A. K., 1995. Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, Prentice-Hall, Berkeley, California.

[3] Clough, R., Penzien, J., 1993. Dynamics of Structures, McGraw-Hill, New

York.

[4] Ing. Nicolas Tarque Ruiz, Ing. Cesar Loaiza Fuentes. Dymanics of

structures theory and applications, Quito, Ecuador.

[5] Dinamica estructural, Teoria y calculo. Mario paz, Profesor de Ingenieria

Civil, Universidad de Louisville