industrial organization and behaviour hinnerk gnutzmann · 2019-03-11 · hinnerk gnutzmann thesis...

Industrial Organization and Behaviour

Hinnerk Gnutzmann

Thesis submitted for assessment with a view to obtaining the degree of Doctor of Economics of the European University Institute

Florence, 10 September 2013

Gnutzmann, Hinnerk (2013), Industrial organization and behaviour European University Institute

DOI: 10.2870/93798

European University Institute Department of Economics

Industrial Organization and Behaviour

Hinnerk Gnutzmann

Thesis submitted for assessment with a view to obtaining the degree of Doctor of Economics of the European University Institute

Examining Board

Prof. Thomas Gehrig, University of Vienna Prof. Piero Gottardi, Supervisor, European University Institute Prof. Andrea Mattozzi, European University Institute Prof. Domenico Menicucci, University of Florence

© Hinnerk Gnutzmann, 2013 No part of this thesis may be copied, reproduced or transmitted without prior permission of the author


DOI: 10.2870/93798


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(❝❛♥' ❛''❡♥'✐♦♥ '♦ '❤❡ ♣#♦❝❡(( '❤#♦✉❣❤ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥(✉♠❡#( (✇✐'❝❤✳ ❨❡' '❤✐( ♣#♦❝❡(( ♠❛② ♠❛''❡#✱

❜❡❝❛✉(❡ ✜#♠( ♠❛② ❛❝?✉✐#❡ ✐♥❢♦#♠❛'✐♦♥ ♦♥ '❤❡✐# ❝♦♥(✉♠❡#( ✐♥ '❤❡ ♣#♦❝❡((✳

❖❢❝♦♠ ✭✷✵✶✵✮ ♣#♦✈✐❞❡( ❛ ✉(❡❢✉❧ '❛①♦♥♦♠② ♦❢ (✇✐'❝❤✐♥❣ ♣#♦❝❡((❡(✳ ❋✐#('✱ ❡(♣❡❝✐❛❧❧② ✐♥

✉♥#❡❣✉❧❛'❡❞ ✐♥❞✉('#✐❡(✱ '❤❡#❡ ♠❛② ❜❡ ❛ (✐♠♣❧❡ ✏❝❡❛(❡ ❛♥❞ #❡✕♣#♦✈✐❞❡✑ ✭❈✫❘✮ #❡❣✐♠❡ ✐♥ ♣❧❛❝❡✳

❈♦♥(✉♠❡#( ❞❡'❡#♠✐♥❡ '❤❡ ♦#❞❡# ✐♥ ✇❤✐❝❤ '❤❡② ❝❛♥❝❡❧ ❛♥ ❡①✐('✐♥❣ ❝♦♥'#❛❝' ❛♥❞ (✐❣♥ ❛ ♥❡✇ ♦♥❡✳

■❢ ❛ ♥❡✇ ❝♦♥'#❛❝' ✐( ❛❧#❡❛❞② (✐❣♥❡❞✱ #❡'❡♥'✐♦♥ ✐( ❣❡♥❡#❛❧❧② ❝♦♥(✐❞❡#❡❞ ✐♥❢❡❛(✐❜❧❡ ❛( ♠✐♥✐♠✉♠

❝♦♥'#❛❝' ♣❡#✐♦❞( ❡'❝✳ ❛❧#❡❛❞② ❛♣♣❧② ✇✐'❤ '❤❡ ♥❡✇ ♣#♦✈✐❞❡#❀ ❤♦✇❡✈❡#✱ ✇❤❡♥ '❤❡ ❝♦♥(✉♠❡#

(❡♥❞( ❛ ❝❛♥❝❡❧❧❛'✐♦♥ ♥♦'✐❝❡ '♦ '❤❡ ❡①✐('✐♥❣ ✜#♠ ❛❤❡❛❞ ♦❢ ❛ ♥❡✇ ❝♦♥'#❛❝' ❜❡✐♥❣ (✐❣♥❡❞ ✕ ❡✳❣✳

❞✉❡ '♦ ♥♦'✐❝❡ ♣❡#✐♦❞( ✕ #❡'❡♥'✐♦♥ ♦✛❡#( ❛#❡ ♣♦((✐❜❧❡ ✐♥ (✉❝❤ ❛ ❢#❛♠❡✇♦#❦✳

■♥ #❡❣✉❧❛'❡❞ ✐♥❞✉('#✐❡(✱ '❤❡ ❞❡(✐❣♥ ♦❢ '❤❡ (✇✐'❝❤✐♥❣ ♣#♦❝❡(( ❞❡'❡#♠✐♥❡( ✇❤❡'❤❡# #❡'❡♥'✐♦♥

✐( ❢❡❛(✐❜❧❡✳ ❯♥❞❡# ▲♦"✐♥❣✕'(♦✈✐❞❡( ▲❡❞ ✭▲D▲✮ ♣#♦❝❡((❡(✱ ❝♦♥(✉♠❡#( ❝♦♥'❛❝' '❤❡✐# ❡①✐('✐♥❣

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❝♦❞❡✑ ❡'❝✳✮ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧♦✇( '❤❡ ♥❡✇ ♣#♦✈✐❞❡# '♦ ✐♥✐'✐❛'❡ ♥✉♠❜❡# ♣♦#'❛❜✐❧✐'②✳ ❍♦✇❡✈❡#✱ ❛' '❤❡

'✐♠❡ ♦❢ '❤❡ ❝♦❞❡ #❡?✉❡('✱ ♥♦ ♥❡✇ ❝♦♥'#❛❝' ✐( ②❡' (✐❣♥❡❞✱ ❛♥❞ '❤❡ ♣#♦✈✐❞❡# ❛' #✐(❦ ♦❢ ❧♦(✐♥❣ '❤❡

❝♦♥(✉♠❡# ♠❛② ♠❛❦❡ ❛ #❡'❡♥'✐♦♥ ♦✛❡#✳ ■♥ ♣#❛❝'✐❝❡✱ #❡'❡♥'✐♦♥ ♦✛❡#( ♠❛② ❜❡ (❡♥' ❛✉'♦♠❛'✐❝❛❧❧②

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❞✐(❝♦✉♥'( ❝❛♥ ❜❡ (✉❜('❛♥'✐❛❧✳

❲✐'❤ ❛ ●❛✐♥✐♥❣✕'(♦✈✐❞❡( ▲❡❞ ✭●D▲✮ (✇✐'❝❤✐♥❣ #❡❣✐♠❡✱ '❤❡ ❝♦♥(✉♠❡# ✜♥❛❧✐(❡( ❛ ❝♦♥'#❛❝'

✇✐'❤ '❤❡ ♥❡✇ ♣#♦✈✐❞❡# ❜❡❢♦#❡ '❤❡ ❧♦(✐♥❣ ♣#♦✈✐❞❡# ✐( ❛❞✈✐(❡❞ '❤❛' ❛ (✇✐'❝❤ ✐( ✐♥ ♣#♦❝❡((❀ ❛'

'❤❡ '✐♠❡ '❤❡ ❡✳❣✳ ♥✉♠❜❡# ♣♦#'❛❜✐❧✐'② ✐( ✐♥✐'✐❛'❡❞✱ '❤❡#❡ ✐( ♥♦ ♠♦#❡ (❝♦♣❡ ❢♦# ❛ #❡'❡♥'✐♦♥ ♦✛❡#


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✶

✭❡①❛♠♣❧❡( ✐♥❝❧✉❞❡ .❤❡ ✏♥♦.✐❝❡ ♦❢ .❡3♠✐♥❛.✐♦♥✑ ♣3♦❝❡((✮✳

✶✳✸ ▼♦❞❡❧

❙❡"✕❯♣✿ ❚❤❡3❡ ❛3❡ N ✜3♠(✱ ♣3♦❞✉❝✐♥❣ ❛ (✐♥❣❧❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉( ❝♦❞❡ ❣♦♦❞✳ ▼❛3❣✐♥❛❧ ❝♦(. ✐(

❝♦♥(.❛♥. ❛♥❞ ♥♦3♠❛❧✐(❡❞ .♦ ③❡3♦✳ ❚❤❡② (✐♠✉❧.❛♥❡♦✉(❧② ❝♦♠♣❡.❡ ✐♥ ♣3✐❝❡( .♦ (❡❧❧ .❤❡ ♣3♦❞✉❝.

.♦ ❛ ✉♥✐. ♠❛(( ♦❢ ❝♦♥(✉♠❡3(✱ ❛♥❞ ♠❛3❦❡.( ♦♣❡♥ ❢♦3 .✇♦ ♣❡3✐♦❞(✿ ✐♥ .❤❡ ✜3(. ♣❡3✐♦❞✱ ✜3♠(

❝❤❛3❣❡ ❛♥ ✐♥")♦❞✉❝"♦)② ♣)✐❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥(✉♠❡3(✱ ♥♦. ②❡. ✏❧♦❝❦❡❞ ✐♥✑ .♦ ❛♥② ✜3♠✱ ❝❤♦♦(❡ ❛ ✜3♠✳

❚❤❡♥✱ ❛. .❤❡ ♦♥(❡. ♦❢ .❤❡ (❡❝♦♥❞ ♣❡3✐♦❞✱ ❝♦♥(✉♠❡3( ❛3❡ ♣3✐✈❛.❡❧② ✐♥❢♦3♠❡❞ ♦❢ .❤❡✐3 (✇✐.❝❤✐♥❣

❝♦(.✳ ❋✐3♠( (✐♠✉❧.❛♥❡♦✉(❧② (❡. ♠❛.✉3❡ ♠❛3❦❡. ♣3✐❝❡( ✕ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ 3❡.❡♥.✐♦♥ ♦✛❡3(✱ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡

.♦ ❝♦♥(✉♠❡3( ✇❤♦ ♣✉3❝❤❛(❡❞ ❢3♦♠ .❤❡♠ ✐♥ .❤❡ ✜3(. ♣❡3✐♦❞✱ ❛♥❞ ❛ (✇✐.❝❤✐♥❣ ♣3✐❝❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡

.♦ .❤♦(❡ ✇❤♦ ❞✐❞ ♥♦.✳ ❈♦♥(✉♠❡3( .❤❡♥ ❝❤♦♦(❡ ✇❤✐❝❤ ♦✛❡3 .♦ .❛❦❡✱ ❛♥❞ ♣❛②♦✛( ❛3❡ 3❡❛❧✐(❡❞✳

❚❤❡ .✐♠✐♥❣ ♦❢ .❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐( (✉♠♠❛3✐(❡❞ ✐♥ ✜❣✉3❡ ✷✳✶

❈♦♥0✉♠❡)0✿ ❈♦♥(✉♠❡3( ✈❛3② ✐♥ .❤❡✐3 (✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦(.✱ (♦ ❧❡. .❤❡ ❝♦♥(✉♠❡3✬( .②♣❡ θ ❞❡♥♦.❡ ❤❡3

(✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦(.✳ ■♥ .❤❡ ♣♦♣✉❧❛.✐♦♥✱ .❤❡ ❞✐(.3✐❜✉.✐♦♥ ♦❢ .②♣❡(✱ ❞❡♥♦.❡❞ F (θ)✱ ❤❛( (✉♣♣♦3. ♦♥

.❤❡ ✉♥✐. ✐♥.❡3✈❛❧ [0, 1] ❛♥❞ (❛.✐(✜❡( ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈✐.②✳ ❚❤✐( ❛((✉♠♣.✐♦♥ ❡((❡♥.✐❛❧❧② ❛((✉3❡( .❤❛.

❡①.3❡♠❡( ♦❢ .❤❡ .②♣❡ (♣❛❝❡ ❞♦ ♥♦. ♦❝❝✉3 .♦♦ ❢3❡J✉❡♥.❧② ❛♥❞ ❣✉❛3❛♥.❡❡( ✉♥✐J✉❡(( ♦❢ ❡J✉✐❧✐❜3✐❛

✶

✳

❋♦3♠❛❧❧②✱

❆!!✉♠♣%✐♦♥ ✶✳ ❚❤❡ 0✇✐"❝❤✐♥❣ ❝♦0" ❤❛0 ❧❡❢" ❛♥❞ )✐❣❤" ✐♥❝)❡❛0✐♥❣ ❤❛③❛)❞ )❛"❡0

✶✳ F (θ) ✐0 ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡

✷✳ 1− F (θ) ✐0 ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡

❚❤❡ ❝♦♥(✉♠❡3 ✐( ♣3❡(❡♥.❡❞ ✇✐.❤ ♦✛❡)0 ❛. ❡❛❝❤ (.❛❣❡ ✐♥ .❤❡ ❣❛♠❡✳ ❆♥ ♦✛❡3 ✐( ❛ ❝♦♠❜✐♥❛.✐♦♥

♦❢ ♣3✐❝❡ ❛♥❞ (✇✐.❝❤✐♥❣ ❡✛♦3. 3❡J✉✐3❡❞ .♦ (❡❝✉3❡ ✐.✳ ■♥ .❤❡ ✐♥.3♦❞✉❝.♦3② (.❛❣❡✱ ❝♦♥(✉♠❡3( ❛3❡

✶

❙❡❡ ❇❡#❣%&#♦♠ ❛♥❞ ❇❛❣♥♦❧✐ ✭✷✵✵✺✮ ❢♦# ❛ #❡✈✐❡✇ ♦♥ ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡ ♣#♦❜❛❜❧✐&② ❛♥❞ ✐&% ❡❝♦♥♦♠✐❝ ❛♣♣❧✐❝❛&✐♦♥%✳

▲♦❣✕❝♦♥❝❛✈✐&② ❞♦❡% ♥♦& ♣#♦✈✐❞❡ ✉% ✇✐&❤ %✉✣❝✐❡♥& %&#✉❝&✉#❡ &♦ &✐❡ ❞♦✇♥ ✇❡❧❢❛#❡ #❡%✉❧&%✱ %♦ %♦♠❡ ❧❛&❡# #❡%✉❧&%

❛#❡ ♣#❡%❡♥&❡❞ ✐♥ &❤❡ ❝♦♥&❡①& ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦#♠ ❞✐%&#✐❜✉&✐♦♥

❋✐❣✉3❡ ✶✳✶✿ ❚✐♠❡❧✐♥❡


DOI: 10.2870/93798

✶✷ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

✉♥❛%%❛❝❤❡❞ %♦ ✜,♠.✱ .♦ ♥♦ ❡✛♦,% ✐. ,❡2✉✐,❡❞ %♦ ♣✉,❝❤❛.❡ ❛♥ ✐♥%,♦❞✉❝%♦,② ♦✛❡,✿ (pIi , 0) ✐.

♦✛❡,❡❞ ❜② ❛❧❧ ✜,♠.✳ ■♥ %❤❡ ♠❛%✉,❡ ♠❛,❦❡%✱ ❝♦♥.✉♠❡,. ♦❢ ✜,♠ i ♠❛② ❝❤♦♦.❡ %❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,✱

(pLi , 0)✱ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❛. ✏❞❡❢❛✉❧%✑ ✇✐%❤ ♥♦ ❡✛♦,% ,❡2✉✐,❡❞❀ ♦, %❤❡② ♠❛② ❝♦♥%❡♠♣❧❛%❡ ❛ .✇✐%❝❤✐♥❣

♦✛❡, ❢,♦♠ ❛♥② ♦%❤❡, ✜,♠✱ ❡❛❝❤ ♦❢ ✇❤✐❝❤ ,❡2✉✐,❡. ✉♥✐% ❡✛♦,% %♦ ♦❜%❛✐♥✿ (pSj , 1)✱ j ∈ N − i✳

❋✐♥❛❧❧②✱ ❛ ,❡%❡♥%✐♦♥ ♦✛❡, ♠❛② ❜❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✱ ❢,♦♠ ✜,♠ i ♦♥❧②✱ ✇❤✐❝❤ ,❡2✉✐,❡. ❡✛♦,% ❧❡✈❡❧ α %♦

♦❜%❛✐♥✳ ❚❤❡ θ ❝♦♥.✉♠❡,✬. ♣❡,✐♦❞ ♣❛②♦✛ ❢♦, ❛ ❣✐✈❡♥ ♦✛❡, ✐. ❣✐✈❡♥ ❜②

uθ(p, e) = β − p− θe ✭✶✳✸✳✶✮

✇❤❡,❡ β > 1 ✐. %❤❡ ✈❛❧✉❛%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❣♦♦❞✱ .✉✣❝✐❡♥%❧② ❤✐❣❤ %♦ ❡♥.✉,❡ ❢✉❧❧ ♠❛,❦❡% ❝♦✈❡,❛❣❡✳

❋✐"♠$✿ ❚❤❡,❡ ❛,❡ N ≥ 2 ✜,♠.✳ ❉✉❡ %♦ ③❡,♦ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦.%.✱ ♣,♦✜% ♠❛①✐♠✐.❛%✐♦♥ ✐. ,❡✈❡♥✉❡

♠❛①✐♠✐.❛%✐♦♥✳ ❚♦ .✐♠♣❧✐❢② %❤❡ ♥♦%❛%✐♦♥✱ ❞❡♥♦%❡ %❤❡ ✜,♠✬. .%,❛%❡❣② ❛. ~pi = (pIi , pSi , p

Ri , p

Li ) ∈

R4✳ ❚❤❡ ♠❛.. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡,. ❝❤♦♦.✐♥❣ ✜,♠ i ✐♥ %❤❡ ✜,.% ♣❡,✐♦❞ ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② ❢✉♥❝%✐♦♥ γi(p

Ii , p

I)✱

✇❤❡,❡ pI = min{pIi } ♦✈❡, i ∈ N ✐. %❤❡ .❡% ♦❢ ❝❤❡❛♣❡.% ✐♥%,♦❞✉❝%♦,② ♣,✐❝❡.✳ ■♥ %❤❡ .❡❝♦♥❞

♣❡,✐♦❞✱ %❤❡ ❜❡.% .✇✐%❝❤✐♥❣ ♦✛❡, ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ %♦ ✜,♠ i ❝♦♥.✉♠❡,. ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② pSi= min{pSj }✱ ❢♦,

j ∈ N − i❀ %❤❡ .❤❛,❡ ♦❢ ✜,♠ i ❝♦♥.✉♠❡,. ❝❤♦♦.✐♥❣ %❤❡ ,❡%❡♥%✐♦♥ ♦✛❡, ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② ρi(pSi, pRi )

❛♥❞ .❤❛,❡ λi(pRi , p

Li ) ❝❤♦♦.❡. %❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,✳ ❚❤❡ ♠❛.. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡,. .✇✐%❝❤✐♥❣ ❢,♦♠ ✜,♠ j %♦

i ✐. ❣✐✈❡♥ ❜② %❤❡ ❢✉♥❝%✐♦♥ σij(pSi , p

Sj, pRj )✳ ❖❢ ❝♦✉,.❡✱ ❞✉❡ %♦ %❤❡ ❡①%❡♥.✐✈❡ ❢♦,♠ ♥❛%✉,❡ ♦❢ %❤❡

❣❛♠❡✱ %❤❡ .%,❛%❡❣② .♣❛❝❡ ✐. ,✐❝❤❡, %❤❛♥ %❤✐.✳ ❇✉% ✇✐❧❧ .❤♦✇ %❤❛% %❤❡ ,❡.%,✐❝%✐♦♥. ♠❛❞❡ ❤❡,❡

❛,❡ ❡2✉✐❧✐❜,✐✉♠ ♦✉%❝♦♠❡. ❛♥❞ ❞♦ ♥♦% ❛✛❡❝% %❤❡ ,❡.✉❧%.✳

❚❤❡ ♣,♦✜% ♦❢ ✜,♠ i ✐. %❤✉. ❣✐✈❡♥ ❜②

πi(~pi, ~p−i) = γi(pIi , p

I)pIi + γi

(

ρi(pS

i, pRi )p

Ri + λi(p

Ri , p

Li )p

Li

)

✭✶✳✸✳✷✮

+∑

j∈N−i

γjσij(pSi , p

S

j, pRj )p

Si

✇❤❡,❡ %❤❡ ✜,.% %❡,♠ ❞❡♥♦%❡. ♣,♦✜%. ✐♥ %❤❡ ✐♥%,♦❞✉❝%♦,② ♣❡,✐♦❞✳ ❚❤❡ ,❡♠❛✐♥✐♥❣ %❡,♠.

❝♦♥❝❡,♥ %❤❡ ♠❛%✉,❡ ♠❛,❦❡%✿ %❤❡ .❡❝♦♥❞ ❝♦♥%❛✐♥. ♣,♦✜%. ❢,♦♠ %❤❡ ❡①✐.%✐♥❣ ❝♦♥.✉♠❡, ❜❛.❡✱

❛♥❞ %❤❡ %❤✐,❞ ♣,♦✜%. ❢,♦♠ ✏♣♦❛❝❤✐♥❣✑ ❝♦♥.✉♠❡,. ❢,♦♠ ❝♦♠♣❡%✐%♦,✳ ▲❡% σi ❞❡✜♥❡ %❤❡ %✐❡✕

❜,❡❛❦✐♥❣ ,✉❧❡✿

σij(pSi , p

S

j, pRj ) =

1(piS = mj∈N

in(pjS))

|min(pjS)|✭✶✳✸✳✸✮

❚❤❡,❡ ✐. ♥♦ ❞✐.❝♦✉♥%✐♥❣✱ ❜✉% ✐% ❝❛♥ ❜❡ .❤♦✇♥ %❤❛% ❡2✉❛❧ ❞✐.❝♦✉♥% ,❛%❡. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡,. ❛♥❞

✜,♠. ❞♦ ♥♦% ❛✛❡❝% %❤❡ ,❡.✉❧%.✳

❋✐♥❛❧❧②✱ %♦ ,❡.♦❧✈❡ ♣❛②♦✛ %✐❡.✱ ✇❡ ,❡❧② ♦♥ ✉♥✐❢♦,♠ %✐❡ ❜,❡❛❦✐♥❣✿


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✸

❆!!✉♠♣%✐♦♥ ✷ ✭❯♥✐❢♦(♠ ❚✐❡ ❇(❡❛❦✐♥❣✮✳ ■♥ ❝❛$❡ ❝♦♥$✉♠❡)$ ❛)❡ ✐♥❞✐✛❡)❡♥- ❜❡-✇❡❡♥ $❡✈❡)❛❧

✜)♠$✱ ❡❛❝❤ ✜)♠ )❡❝❡✐✈❡$ ❛♥ ❡5✉❛❧ ♠❛$$ ♦❢ ❝♦♥$✉♠❡)$

❚❤❡ ❛22✉♠♣5✐♦♥ ✐2 ♦♥❧② ❢♦( ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡❀ ✇✐5❤♦✉5 5✐❡ ❜(❡❛❦✐♥❣✱ 5❤❡(❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♠✉❧5✐♣❧❡

❡?✉✐❧✐❜(✐❛✱ ❜✉5 ❡❛❝❤ ❛❣❡♥5 (❡❝❡✐✈❡2 5❤❡ 2❛♠❡ ♣❛②♦✛ ❛2 ✐♥ 5❤❡ ✉♥✐?✉❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠ ❞❡(✐✈❡❞ ✉♥❞❡(

5❤❡ ❯❚❇ ❛22✉♠♣5✐♦♥✳

✶✳✹ ❊$✉✐❧✐❜)✐✉♠ ❆♥❛❧②/✐/

❚❤❡ 25(✉❝5✉(❡ ♦❢ 5❤❡ ❣❛♠❡ ✐♠♣❧✐❡2 5❤❛5 ✇❡ ❤❛✈❡ ❢♦✉( ❝❧❛22❡2 ♦❢ ✐♥❢♦(♠❛5✐♦♥ 2❡52✳ ❋✐(25✱

5❤❡(❡ ✐2 ❛ 2✐♥❣❧❡5♦♥ ✐♥5(♦❞✉❝5♦(② ♣(✐❝✐♥❣ 25❛❣❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❡❛❝❤ ✜(♠2 2❡52 ♦♥❧② ❛ 2✐♥❣❧❡ ♣(✐❝❡✳

❚❤❡♥✱ ❝♦♥2✉♠❡(2 ♠❛❦❡ 5❤❡✐( ✜(25 ♣✉(❝❤❛2❡ ❞❡❝✐2✐♦♥2✱ ❤❛✈✐♥❣ ♦❜2❡(✈❡❞ 5❤❡ ✐♥5(♦❞✉❝5♦(② ♣(✐❝❡2

♦✛❡(❡❞ ❜② ❛❧❧ ✜(♠2✳ ◆♦✇✱ 5❤❡ 2❡❝♦♥❞ ♣❡(✐♦❞ 25❛(52✳ ❊❛❝❤ ♣♦22✐❜❧❡ ✜(25✕♣❡(✐♦❞ ❤✐25♦(② ♠❛♣2

5♦ ❛ 2✐♥❣❧❡5♦♥ ♠❛5✉(❡ ♠❛(❦❡5 ♣(✐❝✐♥❣ ✐♥❢♦(♠❛5✐♦♥ 2❡5✱ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ ✜(♠2 2✐♠✉❧5❛♥❡♦✉2❧② 2❡5

5❤❡✐( ❧♦②❛❧✱ (❡5❡♥5✐♦♥ ❛♥❞ 2✇✐5❝❤✐♥❣ ♣(✐❝❡2❀ ❤♦✇❡✈❡(✱ ✇❡ ✇✐❧❧ 2❤♦✇ 5❤❛5 ✐5 ✐2 ❛♥ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠

♦✉5❝♦♠❡ 5❤❛5 5❤❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐❛ ✐♥ 5❤✐2 ❣❛♠❡ ❞♦ ♥♦5 ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ 5❤❡ ❤✐25♦(②✳ ❍❡♥❝❡✱ 5♦ ✉♥❝❧✉55❡(

5❤❡ ♥♦5❛5✐♦♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ 2✐♠♣❧② ✇(✐5❡ 5❤❡ ♣(✐❝❡2 ❛2 ❛ ✹✲✈❡❝5♦(✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❝♦♥2✉♠❡(2 ♦❢ ❡❛❝❤ ✜(♠

❝❤♦♦2❡ 5❤❡✐( ♠❛5✉(❡ ♠❛(❦❡5 ♦✛❡(❀ ❛❣❛✐♥✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❞❡♠♦♥25(❛5❡ 5❤❛5 5❤❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠ ❛❝5✐♦♥2

❞❡♣❡♥❞ ♦♥❧② ♦♥ 5❤❡ ✜(♠ ♣✉(❝❤❛2❡❞ ❢(♦♠ ✐♥ 5❤❡ ✜(25 ♣❡(✐♦❞ ❛♥❞ ♠❛5✉(❡ ♠❛(❦❡5 ♣(✐❝❡2 ❛✈❛✐❧❛❜❧❡

5♦ 5❤❡ ❝♦♥2✉♠❡( ❛♥❞ ❞❡♥♦5❡ 5❤❡ ❝❤♦✐❝❡ (✉❧❡ ❛❝❝♦(❞✐♥❣❧②✳

❖✉( 2♦❧✉5✐♦♥ ❝♦♥❝❡♣5 ✐2 2✉❜❣❛♠❡ ♣❡(❢❡❝5 ◆❛2❤ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠✳ ❚❤✐2 ❧❡❛❞2 5♦ 5❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❞❡✜♥✐5✐♦♥ ♦❢ 5❤❡ ❡?✉✐❧✐❜(✐✉♠✿

❉❡✜♥✐%✐♦♥ ✶ ✭❊?✉✐❧✐❜(✐✉♠✮✳ ❆ $❡- ♦❢ ♣)✐❝❡$ (p∗Ii , p∗Si , p∗Ri , p∗Li ) ❢♦) ❛❧❧ ✜)♠$ i ∈ N ❛♥❞

❝♦♥$✉♠❡) ❝❤♦✐❝❡ )✉❧❡$ C∗1 ✱ C∗2 $✉❝❤ -❤❛-

✶✳ ❈♦♥$✉♠❡)$ ❝❤♦♦$❡ ♦♣-✐♠❛❧❧② ✐♥ -❤❡ ♠❛-✉)❡ ♠❛)❦❡-

C∗2(θ, j, pLi , p

Ri , p

S−i) = ❛)❣♠❛①

(pLi ,0),(pRi ,α),(pS

−i,1)

(β − p2 − θe2)

∀θ ∈ Θ, j ∈ N, (pLj , pRj , p

S−j) ∈ R3

✷✳ ❋✐)♠$ ♠❛①✐♠✐$❡ ♠❛-✉)❡ ♠❛)❦❡- ♣)♦✜-$✿

(p∗Li , p∗Ri , S∗j) =❛)❣♠❛① π(pIi , pLi , p

Ri , p

Si ; p

I−i, p

∗L−i , p

∗R−i , p

∗S−i;C1, C

∗2)

∀j ∈ N, (pIi , pI−i) ∈ RNC1 ∈ C1


DOI: 10.2870/93798

✶✹ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

✸✳ ❈♦♥%✉♠❡)% ❝❤♦♦%❡ ♦♣-✐♠❛❧❧② ✐♥ -❤❡ ✜)%- ♣❡)✐♦❞✿

C∗1(θ, pI1 . . . , p

IN) = ❛)❣♠❛①

j∈N(β − pIj ) + u∗2(θ, C

∗1 , p

Ij , ~p

∗2)

∀(pI1 . . . , pIN) ∈ RN

✹✳ 8)♦✜- ▼❛①✐♠✐%❛-✐♦♥ ✐♥ -❤❡ ✜)%- ♣❡)✐♦❞✿

pIi = ❛)❣♠❛① π(pIi , p∗I−i; ~p

∗2)∀j ∈ J

✶✳✹✳✶ ▼❛%✉'❡ ▼❛'❦❡%

❈♦♥%✉♠❡) ❇❡❤❛✈✐♦✉) ✿ ●✐✈❡♥ (❤❡ ♦✛❡,- ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ (♦ ❛ ❝♦♥-✉♠❡,✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞- ♦♥ (❤❡ ✜,♠

-❤❡ ❜♦✉❣❤( ❢,♦♠ ✐♥ (❤❡ ✜,-( ♣❡,✐♦❞✱ ❞✐✛❡,❡♥( (②♣❡- ♠❛② ✐♥ ♣,✐♥❝✐♣❧❡ ❝❤♦♦-❡ ❞✐✛❡,❡♥( ❛❝(✐♦♥-✳

❆ -♠❛❧❧ ❡①(,❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛(✐♦♥ ❛,✐-❡- ❤❡,❡ (❤❛( ❝♦♥-✉♠❡,- ❝❛♥ ❝❤♦♦-❡ ❜❡(✇❡❡♥ (❤,❡❡ ♦✛❡,-✱ ❛♥❞

(❤✉- ✐( ♠❛② ❜❡ (❤❛( ♦♥❡ ♦❢ (❤❡ ♦✛❡,- ✐- -(,✐❝(❧② ✇♦,-❡ (❤❛♥ (❤❡ ♦(❤❡,- ❢♦, ❛❧❧ (②♣❡-✳ ■♥ -✉❝❤ ❛

❝❛-❡✱ (❤❡ ✏♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥-✉♠❡,✑ ❛♣♣,♦❛❝❤ ✇♦✉❧❞ ♥♦( ❜❡ ✇❡❧❧✕❞❡✜♥❡❞✳ ❚♦ -♦❧✈❡ (❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ✜,-(

♦❜-❡,✈❡ (❤❛( ❝♦♥-✉♠❡, ❝❤♦✐❝❡- ✐♥ (❤❡ ♠❛(✉,❡ ♠❛,❦❡( ❛,❡ (❤,❡-❤♦❧❞ -(,❛(❡❣✐❡-✱ ❛- ,❡E✉✐,❡❞ ❢♦,

(❤❡ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥-✉♠❡, ❛♣♣,♦❛❝❤✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✶ ✭❚❤,❡-❤♦❧❞ ❙(,❛(❡❣✐❡-✮✳ ❯♥❞❡) -❤❡ ♠❛-✉)❡ ♠❛)❦❡- ❝❤♦✐❝❡ )✉❧❡ c2✱ -❤❡ ♦♣-✐♠❛❧

❝❤♦✐❝❡ ♠✉%- ❤❛✈❡ ❝♦♥%✉♠❡)% ♣❧❛②✐♥❣ ❛ -❤)❡%❤♦❧❞ %-)❛-❡❣②✳

8)♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦-❡ ✜,♠ i ❝♦♥-✉♠❡,- θ1 ❛♥❞ θ2✱ ♦♣(✐♠❛❧❧② ❝❤♦♦-❡✱ ✇✐(❤♦✉( ❧♦-- ♦❢ ❣❡♥❡,❛❧✐(②✱ (❤❡

❧♦②❛❧ ♦✛❡,❀ ❤❡♥❝❡ (❤❡② ♠✉-( ✇❡❛❦❧② ♣,❡❢❡, ❧♦②❛❧ ♦✈❡, ,❡(❡♥(✐♦♥ ❛♥❞ (❤❡ ❜❡-( -✇✐(❝❤✐♥❣ ♦✛❡,

❛✈❛✐❧❛❜❧❡✳ ❚❤✐- ✐♠♣❧✐❡- β − piL ≥ β − piR− αθ ❛♥❞ β − piL ≥ β − piS− θ ❢♦, θ = {θ1, θ2}✳ ◆♦✇

❝♦♥-✐❞❡, ❛♥② ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛(✐♦♥ ♦❢ (❤❡ (②♣❡-✱ θ = λθ1 + (1− λ)θ2✳ ❙✐♥❝❡ (❤❡ ♣❛②♦✛ (♦ ❡❛❝❤

❛❝(✐♦♥ ✐- ❧✐♥❡❛, ✐♥ θ✱ ✐( ✐- ✐♠♠❡❞✐❛(❡ (♦ ✈❡,✐❢② (❤❛( θ ✇✐❧❧ ❛❧-♦ ✇❡❛❦❧② ♣,❡❢❡, (❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡,✳

❚❤❡ ❛,❣✉♠❡♥( ❢♦, ♦(❤❡, ✜,♠- ❛♥❞ ♦✛❡,- ✐- ❡①❛❝(❧② ❛♥❛❧♦❣♦✉-❀ ❤❡♥❝❡✱ (❤❡,❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥✈❡①

-❡(- ♦❢ ❝♦♥-✉♠❡, (②♣❡- ❝❤♦♦-✐♥❣ (❤❡ -❛♠❡ ♦✛❡,✳

■( (✉,♥- ♦✉( (❤❛( (❤❡,❡ ❛,❡ (✇♦ ❝❛-❡-✿ ❢♦, -✉✣❝✐❡♥(❧② ❤✐❣❤ ,❡(❡♥(✐♦♥ ♣,✐❝❡-✱ -♦♠❡ ❝♦♥-✉♠❡,-

-(,✐❝(❧② ♣,❡❢❡, -✇✐(❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ♦(❤❡,- -(,✐❝(❧② ♣,❡❢❡, (❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡, ♦✈❡, ,❡(❡♥(✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡,✱ ❛-

(❤❡ ,❡(❡♥(✐♦♥ ♣,✐❝❡ ❢❛❧❧-✱ ❡✈❡♥(✉❛❧❧② ❛ ♣♦-✐(✐✈❡ ♠❛-- ♦❢ ❝♦♥-✉♠❡,- ❛❧-♦ ❝❤♦♦-❡- (❤❡ ,❡(❡♥(✐♦♥

♦✛❡,✳ ❚❤✉-✱ ✇❡ ❤❛✈❡ (♦ ❝♦♥-✐❞❡, (✇♦ ❝❛-❡- ✐♥ ♦✉, ❛♥❛❧②-✐-✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✷✳ ■❢ piR > piR = (1− α)piL + αpiS✱ ♥♦ ❝♦♥%✉♠❡) ♦❢ ✜)♠ i ❝❤♦♦%❡% )❡-❡♥-✐♦♥


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✺

!♦♦❢✳ ❋♦$ ❛ ❝♦♥(✉♠❡$ θ ,♦ ❝❤♦♦(❡ $❡,❡♥,✐♦♥✱ ✐, ♠✉(, ❜❡ ✇❡❛❦❧② ♣$❡❢❡$$❡❞ ,♦ (✇✐,❝❤✐♥❣✱

$❡9✉✐$✐♥❣ θ ≥ piR−piS

1−α✱ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✱ ✐✳❡✳ θ ≤ piL−p

iR

α✳ ❲❤❡♥ piR > piR = (1 − α)piL + αpi

S✱ ,❤❡

,✇♦ ❝♦♥❞✐,✐♦♥( ②✐❡❧❞ ❛ ❝♦♥,$❛❞✐❝,✐♦♥❀ ❤❡♥❝❡ ❡❛❝❤ ❝♦♥(✉♠❡$ ❡✐,❤❡$ ✇❡❛❦❧② ♣$❡❢❡$( (✇✐,❝❤✐♥❣ ♦$

❧♦②❛❧ ♦✈❡$ $❡,❡♥,✐♦♥✳

❚❤❡ ❝$✐,✐❝❛❧ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ piR✱ ✐( (✐♠♣❧② ❛ ❝♦♥✈❡① ❝♦♠❜✐♥❛,✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ (✇✐,❝❤✐♥❣

♣$✐❝❡(❀ ,♦ (❡❡ ✇❤② ❛ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ (❧✐❣❤,❧② ❜❡❧♦✇ ,❤❡ ❧♦②❛❧ ♣$✐❝❡ ♠❛② ♥♦, ❛,,$❛❝, ❝♦♥(✉♠❡$(✱

♥♦,❡ ,❤❛, ✐♥ ❣❡♥❡$❛❧ ,❤❡ ❡✛♦$, ❝♦(, (❡❝✉$✐♥❣ $❡,❡♥,✐♦♥ ✐( (,$✐❝,❧② ♣♦(✐,✐✈❡✳ ❚❤✉(✱ ,❤❡ $❡,❡♥,✐♦♥

♣$✐❝❡ ❤❛( ,♦ ❜❡ (✉✣❝✐❡♥,❧② ❜❡❧♦✇ ,❤❡ ❧♦②❛❧ ♣$✐❝❡ ,♦ ❛,,$❛❝, ❛♥② ❝♦♥(✉♠❡$(✳

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ,❤❡(❡ ,✇♦ ❧❡♠♠❛(✱ ✇❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❞❡$✐✈❡ ,❤❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❝♦♥(✉♠❡$( ✐♥ ,❤❡ ♥♦✕

$❡,❡♥,✐♦♥ ❛♥❞ $❡,❡♥,✐♦♥ ❝❛(❡( $❡(♣❡❝,✐✈❡❧②✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✸✳ ❖♣'✐♠❛❧ ❝♦♥.✉♠❡! ❝❤♦✐❝❡ c∗2 ✐. ❣✐✈❡♥ ❜②

✶✳ ■❢ piR > piR✱ '❤❡!❡ ✐. ❛ ♠❛!❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡! θSL = L− S✱ .✉❝❤ '❤❛' ❛❧❧ ❝♦♥.✉♠❡!. ❜❡❧♦✇

θSL .✇✐'❝❤ ❛♥❞ ♦'❤❡!. .'❛② ❧♦②❛❧✳

✷✳ ■❢ piR ≤ piR✱ '❤❡!❡ ❛!❡ '✇♦ ♠❛!❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡!.✳ ❈♦♥.✉♠❡!. ❜❡❧♦✇ θS =piR−p

iS

1−α.✇✐'❝❤❀

❛♥❞ ❝♦♥.✉♠❡!. ❛❜♦✈❡ θR =piL−p

iR

α❝❤♦♦.❡ '❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡!❀ ❛❧❧ ♦'❤❡!. ❝❤♦♦.❡ !❡'❡♥'✐♦♥✳

!♦♦❢✳ ✶✳ ❚❤❡ ♣$❡✈✐♦✉( ❧❡♠♠❛ ❡(,❛❜❧✐(❤❡( ,❤❛, ♥♦ ❝♦♥(✉♠❡$ ❝❤♦♦(❡( $❡,❡♥,✐♦♥ ❢♦$ ,❤❡(❡

♣$✐❝❡(✳ ■, $❡♠❛✐♥( ,♦ ✜♥❞ ,❤❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❝♦♥(✉♠❡$ ❜❡,✇❡❡♥ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ (✇✐,❝❤✐♥❣✳ ❋♦$ ,❤❡

♠❛$❣✐♥❛❧ ❝♦♥(✉♠❡$ β − piL = β − piS− θ ❤♦❧❞(✱ ❣✐✈✐♥❣ ,❤❡ $❡9✉✐$❡❞ ❝♦♥❞✐,✐♦♥✳

✷✳ ❋$♦♠ ,❤❡ ♣$❡✈✐♦✉( ❧❡♠♠❛✱ ,❤❡$❡ ❛$❡ ❝♦♥(✉♠❡$ ,②♣❡( ❝❤♦♦(✐♥❣ $❡,❡♥,✐♦♥✳ ❈♦♥(✉♠❡$(

✇✐,❤ β − piS− θ = β − piR − αθ ❛$❡ ♠❛$❣✐♥❛❧ ❜❡,✇❡❡♥ (✇✐,❝❤✐♥❣ ❛♥❞ $❡,❡♥,✐♦♥❀ ❛♥❞

❝♦♥(✉♠❡$ β − piR − αθ = β − piL ✐( ♠❛$❣✐♥❛❧ ❜❡,✇❡❡♥ $❡,❡♥,✐♦♥ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✱ ②✐❡❧❞✐♥❣ ,❤❡

❞❡(✐$❡❞ ❝♦♥❞✐,✐♦♥(✳

▼❛'✉!❡ ▼❛!❦❡' !✐❝✐♥❣ ✿ ✐♥ ✈✐❡✇ ♦❢ ,❤❡ ❢❛❝, ,❤❛, ,❤❡$❡ ❛$❡ ❜♦,❤ $❡,❡♥,✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦✕$❡,❡♥,✐♦♥

❝❛(❡(✱ ✐, ✐( ❝❧❡❛$ ,❤❛, ✐♥ ♣$✐♥❝✐♣❧❡ (❡♣❛$❛,❡ ❛♥❛❧②(✐( ♦❢ ❜♦,❤ $❡❣✐♦♥( ✐( $❡9✉✐$❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡$✱ ✐,

✐( ❛ (✐♠♣❧❡ ♦❜(❡$✈❛,✐♦♥ ,❤❛, ♦♥❝❡ ❛ ✜$♠ ❝❤❛$❣❡( ❛ (✉✣❝✐❡♥,❧② ❤✐❣❤ $❡,❡♥,✐♦♥ ♣$✐❝❡ ,❤❛, ♥♦

❝♦♥(✉♠❡$ ✇♦✉❧❞ ❛❝❝❡♣, ✐,✱ ❢♦$ ❛❧❧ ♣❧❛②❡$( ✐, ❜❡❝♦♠❡( ♣❛②♦✛✕✐$$❡❧❡✈❛♥, ❥✉(, ❤♦✇ ❢❛$ ❛❜♦✈❡

,❤❡ ♥♦✕$❡,❡♥,✐♦♥ ❝♦♥(,$❛✐♥, ,❤✐( ♣$✐❝❡ $❡❛❧❧② ✐(✳ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ ✇❡ ♠✉(, ❤❛✈❡ ❛❧❧ ♠❛,✉$❡ ♠❛$❦❡,

♣$✐❝❡( ❛, ❧❡❛(, ❡9✉❛❧ ,♦ ③❡$♦✱ ❢♦$ ♦,❤❡$✇✐(❡ ❛, ❧❡❛(, ♦♥❡ ✜$♠ ✇♦✉❧❞ ✐♥❝✉$ ✭❛✈♦✐❞❛❜❧❡✮ ❧♦((❡(✳

❚❤✐$❞❧②✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥② ♦❢ ,❤❡ (✉$✈✐✈✐♥❣ (✇✐,❝❤✐♥❣ ♣$✐❝❡(✱ ✐( ♥♦, ✐♥ ❛ ✜$♠✬( ✐♥,❡$❡(, ,♦ ✉♥❞❡$❝✉,

,❤❡ $✐✈❛❧✬( (✇✐,❝❤✐♥❣ ♣$✐❝❡ ✇✐,❤ ❛ ❧♦✇❡$ $❡,❡♥,✐♦♥ ♦$ ❧♦②❛❧ ♣$✐❝❡✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ (❡,,✐♥❣ ❧♦②❛❧ ❛♥❞


DOI: 10.2870/93798

✶✻ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

❋✐❣✉&❡ ✶✳✷✿ ❆ ❝✉- ♦❢ -❤❡ 1-&❛-❡❣② 1♣❛❝❡

&❡-❡♥-✐♦♥ ♣&✐❝❡1 1✉✣❝✐❡♥-❧② ❤✐❣❤ -❤❛- ❛❧❧ ❝♦♥1✉♠❡&1 1✇✐-❝❤ -♦ -❤❡ ❝♦♠♣❡-✐-✐♦♥ ✐1 ❛❧1♦ ♥♦- ❛♥

♦♣-✐♠❛❧ 1-&❛-❡❣②✳

❚❤&♦✉❣❤ -❤✐1 &❡❛1♦♥✐♥❣✱ ✐❧❧✉1-&❛-❡❞ ✐♥ ✜❣✉&❡ ❄❄✱ ✇❡ ♥❛&&♦✇ ❞♦✇♥ -❤❡ 1❡❛&❝❤ ♦❢ ❡>✉✐❧✐❜&✐❛

❝♦♥1✐❞❡&❛❜❧②✳ ❋✐&1-✱ ❞❡✜♥❡ -❤❡ 1✉❜1❡- D ✭❣&❡❡♥ ✐♥ -❤❡ ✜❣✉&❡✮ ♦❢ -❤❡ 1-&❛-❡❣② 1♣❛❝❡✿

D = {piS, piR, p

iL) 1✉❝❤ -❤❛-piR ≤ piR, p

iR, p

iL ≤ pi

S+ 1, 0 ≤ pS

i; }

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✹✳ ■❢ "❤❡%❡ ❡①✐("( ❛ ♠❛"✉%❡ ♠❛%❦❡" ❡-✉✐❧✐❜%✐✉♠ ♦✉"(✐❞❡ D✱ "❤❡%❡ ❡①✐("( ❛ ♣❛②♦✛✕

❡-✉✐✈❛❧❡♥" ❡-✉✐❧✐❜%✐✉♠ ✐♥(✐❞❡ D✳

:%♦♦❢✳ ❋✐&1-✱ 1✉♣♣♦1❡ -❤❛- min{pSi, pRi , p

Li } < 0✳ ❚❤❡♥✱ -❤❡&❡ ♠✉1- ❜❡ ❛ ✜&♠ ♠❛❦✐♥❣ ♣♦1✐-✐✈❡

1❛❧❡1 ❛- ❛ ♥❡❣❛-✐✈❡ ♣&✐❝❡❀ ❛ ❞❡✈✐❛-✐♦♥ -♦ &❛✐1✐♥❣ ♣&✐❝❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ♣&♦✜-❛❜❧❡ ❞❡✈✐❛-✐♦♥✳ ❙♦ ✇❡

♠✉1- ❤❛✈❡ ❡❛❝❤ ♦❢ -❤❡ -❤&❡❡ ♣&✐❝❡1 ❛- ❧❡❛1- ③❡&♦✳

◆♦✇✱ ❝♦♥1✐❞❡& ♣&✐❝❡1 1✉❝❤ -❤❛- pRi < pSi❛♥❞ pLi < pS

i✱ -❤❡ ❜♦--♦♠ ❧❡❢- 1>✉❛&❡ ✐♥ -❤❡ ✜❣✉&❡✳

■♥ -❤✐1 ❝❛1❡✱ ❛ ❞❡✈✐❛-✐♦♥ -♦ 1❡--✐♥❣ pRi = pLi = pSi✇✐❧❧ ♥♦- &❡❞✉❝❡ -❤❡ ♠❛11 ♦❢ ❝♦♥1✉♠❡&1

✭❛❧❧ ❝♦♥1✉♠❡&1 ❜✉② ❢&♦♠ ✜&♠ i✮✱ ❜✉- ✐♥❝&❡❛1❡1 &❡✈❡♥✉❡ ♣❡& ❝♦♥1✉♠❡&✳ ❍❡♥❝❡ -❤✐1 ❝❛1❡ ❛❧1♦

❝❛♥♥♦- ❜❡ ❛♥ ❡>✉✐❧✐❜&✐✉♠✳ ■❢ pLi ≥ pSi❜✉- pRi < pS

i✱ 1✐♠✐❧❛&❧② ❛ ❞❡✈✐❛-✐♦♥ -♦ 1❡--✐♥❣ pRi = pS

i

✐♥❝&❡❛1❡1 &❡✈❡♥✉❡ ♣❡& ❝♦♥1✉♠❡& ❜✉- ❞♦❡1 ♥♦- &❡❞✉❝❡ ♠❛&❦❡- 1❤❛&❡✳

◆♦✇ ❝♦♥1✐❞❡& ♣&✐❝❡1 pLi > pSi+1✳ ❋&♦♠ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✸✱ -❤❡ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥1✉♠❡& ✇✐❧❧ -❤❡♥ ❜❡

♦✉-1✐❞❡ -❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ F ✱ 1♦ ♥♦ ❝♦♥1✉♠❡& ❝❤♦♦1❡1 -❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡&✳ ❍❡♥❝❡ ❛ &❡❞✉❝-✐♦♥ ✐♥ -❤❡

❧♦②❛❧ ♣&✐❝❡ -♦ pLi = pSi+ 1 ✇✐❧❧ ♥♦- ❛✛❡❝- -❤❡ ♣❛②♦✛ ♦❢ ❛♥② ✜&♠✳ ❙✐♠✐❧❛&❧②✱ ✐❢ -❤❡ &❡-❡♥-✐♦♥

♣&✐❝❡ ✐1 ❛❜♦✈❡ -❤❡ -❤&❡1❤♦❧❞✱ pRi > pRi ✱ ✐♥❞✐❝❛-❡❞ ❜② -❤❡ ✏♥♦✕&❡-❡♥-✐♦♥ ❧✐♥❡✑ ✐♥ -❤❡ ✜❣✉&❡✱ ♥♦

❝♦♥1✉♠❡& ❝❤♦♦1❡1 &❡-❡♥-✐♦♥✳ ❆❣❛✐♥✱ ❛ &❡❞✉❝-✐♦♥ ♦❢ -❤❡ &❡-❡♥-✐♦♥ ♣&✐❝❡ -♦ pRi = pRi ❧❡❛✈❡1 -❤❡


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✼

♣❛②♦✛' ♦❢ ❛❧❧ ✜+♠' ✉♥❝❤❛♥❣❡❞✳ ❍❡♥❝❡✱ ✐❢ 8❤❡+❡ ❛+❡ ❡9✉✐❧✐❜+✐❛ ♦✉8'✐❞❡ D✱ 8❤❡② ♠✉'8 ❜❡ ♣❛②♦✛

❡9✉✐✈❛❧❡♥8 8♦ ❛♥ ❡9✉✐❧✐❜+✐✉♠ ♦♥ 8❤❡ ❜♦✉♥❞❛+② ♦❢ D✳

❍❡♥❝❡✱ ✇❡ ❝❛♥ +❡✇+✐8❡ 8❤❡ ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝8✐♦♥ ♦❢ ❛ ✜+♠ i ✐♥ 8❤❡ ♠❛+❣✐♥❛❧ ❝♦♥'✉♠❡+ ❢♦+♠✿

Π2i (p

iR, p

iL; p

iS) = γi{[1− F (θR(p

iR, p

iL)]p

iL + [F (θR(p

iR, p

iL)− F (θS(p

iS, piR)]p

iR}

︸︷︷︸

Π2,RLi

+∑

j∈N−i

γjσij(pSi , p

Sj, pRj )F (θS(p

iS ; p

−iR )piS

︸︷︷︸

Π2,Si

❚❤❡ ♣+♦✜8 ❢✉♥❝8✐♦♥ ❝♦♥'✐'8' ♦❢ 8✇♦ ♣❛+8'✳ ❚❤❡ ✜+'8 ❜+❛❝❦❡8✱ ✇❡✐❣❤❡❞ ❜② 8❤❡ ♠❛+❦❡8

'❤❛+❡ ✐♥❤❡+✐8❡❞ ❢+♦♠ 8❤❡ ✜+'8 ♣❡+✐♦❞✱ ❞❡♥♦8❡❞ γi✱ ✐' 8❤❡ ♣+♦✜8 ♠❛❞❡ ♦♥ 8❤❡ ♦✇♥ 8❤❡ ❡①✐'8✐♥❣

❝♦♥'✉♠❡+ ❜❛'❡✳ ❙✐♥❝❡ ♠❛+❣✐♥❛❧ ❝♦'8 ✐' ③❡+♦✱ 8❤✐' '✐♠♣❧② 8❤❡ '✉♠ ♦❢ +❡✈❡♥✉❡ ✐♥ 8❤❡ ❧♦②❛❧ ♠❛+❦❡8

'❡❣♠❡♥8✱ ✇❤❡+❡ ❝♦♥'✉♠❡+' ✇✐8❤ θ ≥ θR ♣❛② piL✱ ❛♥❞ +❡✈❡♥✉❡ ❢+♦♠ +❡8❛✐♥❡❞ ❝♦♥'✉♠❡+'✳ ❚❤❡'❡

❛+❡ 8❤❡ ❝♦♥'✉♠❡+' ✇✐8❤ ❧♦✇❡+ '✇✐8❝❤✐♥❣ ❝♦'8 8❤❛♥ 8❤❡ ❧♦②❛❧ ❝♦♥'✉♠❡+'✱ θ ≤ θR✱ ❜✉8 ❢♦+ ✇❤♦♠

❛ ❢✉❧❧✕'❝❛❧❡ '✇✐8❝❤ ✐' '8✐❧❧ 8♦♦ ❝♦'8❧② ✭θ ≥ θS✮✳

❚❤❡ '❡❝♦♥❞ ♣❛+8 ✐' ♣+♦✜8 ❢+♦♠ '✇✐8❝❤✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡+'✳ ❉✉❡ 8♦ 8❤❡ ✉♥✐❢♦+♠ 8✐❡✕❜+❡❛❦✐♥❣ +✉❧❡✱

✐❢ '❡✈❡+❛❧ ✜+♠' ❝❤❛+❣❡ 8❤❡ ❧♦✇❡'8 '✇✐8❝❤✐♥❣ ♣+✐❝❡✱ ❜✉'✐♥❡'' ❢+♦♠ ❛♥② '✇✐8❝❤✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡+' ✐'

❡✈❡♥❧② ❞✐✈✐❞❡❞ ❜❡8✇❡❡♥ 8❤♦'❡ ✜+♠'✳ ❚❤❡ ✐♥❞✉'8+② +❡✈❡♥✉❡ ❢+♦♠ '✇✐8❝❤✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡+' ❞❡♣❡♥❞'

♦♥ 8❤❡ 8❤❡ ❧♦✇❡'8 '✇✐8❝❤✐♥❣ ♣+✐❝❡ ✐♥ 8❤❡ ♠❛+❦❡8 ❛♥❞ 8❤❡ +❡8❡♥8✐♦♥ ♣+✐❝❡' ♦❢ ❡❛❝❤ ✜+♠✱ ❛' '❤♦✇♥

✐♥'✐❞❡ 8❤❡ ✜♥❛❧ ❜+❛❝❦❡8✳

❖❜'❡+✈❡ 8❤❛8 8❤❡ 8✇♦ ♣❛+8' ♦❢ 8❤❡ ♣+♦✜8 ❢✉♥❝8✐♦♥ ❛+❡ ❛❞❞✐8✐✈❡❧② '❡♣❛+❛❜❧❡ ✐♥ 8❤❡ '✇✐8❝❤✐♥❣

❛♥❞ ❧♦②❛❧✴+❡8❡♥8✐♦♥ ♣+✐❝❡ +❡'♣❡❝8✐✈❡❧②✳ ❚❤✐' ❢❡❛8✉+❡ ✐' '❤❛+❡❞ ✇✐8❤ 8❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ♦❢

❈❤❡♥ ✭✶✾✾✼✮✿ ❜❡❝❛✉'❡ ✐8 ✐' ❡✛❡❝8✐✈❡❧② ♦❜'❡+✈❛❜❧❡ ✇❤♦ ❜♦✉❣❤8 ❢+♦♠ ✇❤✐❝❤ ✜+♠ ✐♥ 8❤❡ ✜+'8

♣❡+✐♦❞✱ 8❤❡ ✜+♠✬' '✇✐8❝❤✐♥❣ ♣+✐❝❡ ❞♦❡' ♥♦8 ❝♦♠♣❡8❡ ✇✐8❤ 8❤❡ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ +❡8❡♥8✐♦♥ ♦✛❡+' ❢♦+ 8❤❡

'❛♠❡ ❝♦♥'✉♠❡+✳ ❍❡♥❝❡✱ ♠❛①✐♠✐'✐♥❣ ♣+♦✜8 ❢+♦♠ 8❤❡ ❡①✐'8✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡+ ❜❛'❡ ❛♥❞ ❛88+❛❝8✐♥❣

'✇✐8❝❤✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡+' ❛+❡ '❡♣❛+❛8❡ ❝♦♥❝❡+♥'✳ ❲❡ ✜+'8 ❝♦♥'✐❞❡+ 8❤❡ ♣+♦❜❧❡♠ ♦❢ ♣+✐❝✐♥❣ 8❤❡

❢♦+♠❡+ ❣+♦✉♣✿

❇❡"# ❘❡"♣♦♥"❡ ❆♥❛❧②"✐"✿ ❖✇♥ ❝♦♥"✉♠❡3 ❜❛"❡✳ ❚♦ ❡♠♣❤❛'✐'❡ 8❤❡ +❡❧❛8✐♦♥'❤✐♣ ✇✐8❤ '❡❝♦♥❞✕

❞❡❣+❡❡ ♣+✐❝❡ ❞✐'❝+✐♠✐♥❛8✐♦♥ ♠♦❞❡❧'✱ ♥♦8❡ 8❤❛8 ✕ ♦♥ 8❤❡ ❞♦♠❛✐♥ D ✕ 8❤❡ ♣+♦❜❧❡♠ ♦❢ ♠❛①✐♠✐'✐♥❣

♣+♦✜8 Π2,RLi ❝❛♥ ❜❡ ❡9✉✐✈❛❧❡♥8❧② ✇+✐88❡♥ ❛'

♠❛①

pRi ,pLi

γi{[1− F (θR)]piL + [F (θR)− F (θS)]p

iR}

'✳8✳ β − pLi ≥ β − pRi − αθ ❢♦+ θ ∈ [θR, 1] ✭■❈✮

β − pRi − αθ ≥ β − pSi− θ ❢♦+ θ ∈ [θS, θR] ✭N❈✮


DOI: 10.2870/93798

✶✽ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

■♥ $❤❡ '$❛♥❞❛*❞ ❇❇,❉ ♠♦❞❡❧✱ ♣*✐❝❡' ❛*❡ '❡$ ❝♦♥❞✐$✐♦♥❛❧ ♦♥ ♦❜'❡*✈❛❜❧❡'❀ $❤✉' ♦♥❧② ❛

♣❛*$✐❝✐♣❛$✐♦♥ ❝♦♥'$*❛✐♥$ ❛♣♣❧✐❡'✳ ❘❡$❡♥$✐♦♥✱ ♦♥ $❤❡ ♦$❤❡* ❤❛♥❞✱ ✐' ✐♥❝❡♥$✐✈❡✕❝♦♠♣❛$✐❜❧❡ ♣*✐❝❡

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♦❢ $❤✐*❞✕❞❡❣*❡❡ ❛♥❞ '❡❝♦♥❞✕❞❡❣*❡❡ ♣*✐❝❡ ❞✐'❝*✐♠✐♥❛$✐♦♥✳ ◆♦$❡ $❤❛$ ♠❛*❦❡$ '❤❛*❡ '✐♠♣❧② '❝❛❧❡'

$❤❡ ♣*♦✜$ ❢✉♥❝$✐♦♥ ❜✉$ ❞♦❡' ♥♦$ ❛✛❡❝$ $❤❡ ✜*'$✕♦*❞❡* ❝♦♥❞✐$✐♦♥'❀ $❤✐' ✐' ❛❣❛✐♥ ❛ ❝♦♥'❡E✉❡♥❝❡

♦❢ $❤❡ ❢❛❝$ $❤❛$ ❡❛❝❤ ❝♦♥'✉♠❡*✬' ♣✉*❝❤❛'❡ '$❛$✉' ✐' ♦❜'❡*✈❛❜❧❡✳

❚❤❡ ✜*'$ ❞❡*✐✈❛$✐✈❡' ❛*❡ ❣✐✈❡♥ ❜②✿

dΠ2,RLi

dpiL=1− F (θR)−

f(θR)

α

(piL − piR

)✭✶✳✹✳✶✮

dΠ2,RLi

dpiR=F (θR)− F (θS) +

f(θR)

α

(piL − piR

)− f(θS)

1− αpiR ✭✶✳✹✳✷✮

❚❤❡ ✐♥$❡*♣*❡$❛$✐♦♥ ✐' '$❛♥❞❛*❞✿ ✇❤❡♥ *❛✐'✐♥❣ $❤❡ ❧♦②❛❧ ♣*✐❝❡✱ 1 − F (θR) ❝♦♥'✉♠❡*' ♣❛②

♠♦*❡✱ $❤❡ ✐♥❢*❛✕♠❛*❣✐♥❛❧ ❣❛✐♥❀ ❛$ $❤❡ ♠❛*❣✐♥✱ $❤❡*❡ ❛*❡ f(θR) ❝♦♥'✉♠❡*'✱ ✇✐$❤ ❡❧❛'$✐❝✐$②

1/α✱ $❤❛$ ✇✐❧❧ ♦♣♣♦*$✉♥✐'$✐❝❛❧❧② ❝❧❛✐♠ *❡$❡♥$✐♦♥✳ ■♥ *❡$❡♥$✐♦♥ ♣*✐❝✐♥❣✱ $❤❡*❡ ✐' ✜*'$ $❤❡ ✐♥❢*❛✕

♠❛*❣✐♥❛❧ ❣❛✐♥❀ '❡❝♦♥❞✱ ❛$ $❤❡ ✉♣♣❡* ♠❛*❣✐♥✱ ❝♦♥'✉♠❡*' ♠♦✈❡ ✐♥$♦ $❤❡ ❧♦②❛❧ '❡❣♠❡♥$✱ ❝*❡❛$✐♥❣

❛♥ ❡①$*❛✕♠❛*❣✐♥❛❧ ❣❛✐♥✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❛$ $❤❡ ❧♦✇❡* ♠❛*❣✐♥✱ ❝♦♥'✉♠❡*' '✇✐$❝❤ $♦ $❤❡ ❝♦♠♣❡$✐$♦*✱

❛♥ ❡①$*❛✕♠❛*❣✐♥❛❧ ❧♦''✳

❲❤❡♥ ✐' *❡$❡♥$✐♦♥ ♣*♦✜$❛❜❧❡❄ ■$ $✉*♥' ♦✉$ $❤❛$ *❡$❡♥$✐♦♥ ✐' ♣*♦✜$❛❜❧❡ ♣*❡❝✐'❡❧② ✇❤❡♥ $❤❡

'✇✐$❝❤✐♥❣ ♣*✐❝❡ ❡①❝❡❡❞' ♠❛*❣✐♥❛❧ ❝♦'$✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✺✳ ❖♥❧② ✐❢ $❤❡ 1✇✐$❝❤✐♥❣ ♣4✐❝❡ ❡①❝❡❡❞1 ♠❛4❣✐♥❛❧ ❝♦1$✱ $❤❡ ❜❡1$ 4❡1♣♦♥1❡ 4❡$❡♥$✐♦♥

♣4✐❝❡ ✐1 ❜❡❧♦✇ $❤❡ $❤4❡1❤♦❧❞ ✇❤❡4❡ ♥♦ ❝♦♥1✉♠❡4 ❛❝❝❡♣$1 4❡$❡♥$✐♦♥✱ ✐✳❡✳ ♦♥❧② ✐❢ piS> 0✱ $❤❡♥

p∗Ri < piR

:4♦♦❢✳ ❍♦❧❞✐♥❣ piS✜①❡❞✱ ❝♦♥'✐❞❡* ❛♥② ♣*✐❝❡' (piR, p

iL) ♦♥ $❤❡ ♥♦✕*❡$❡♥$✐♦♥ ❧✐♥❡✳ ❚❤❡♥✱ ✇❡

♠✉'$ ❤❛✈❡ θR = θS✳ ❊✈❛❧✉❛$✐♥❣

dΠ2,RLi

dpiR$❤❡♥ ②✐❡❧❞' f(θR)

piR−(1−α)piL

α(1−α= f(θR)

−piS

(1−α)✱ ✇❤❡*❡ $❤❡

'❡❝♦♥❞ ❡E✉❛❧✐$② ❢♦❧❧♦✇' ❢*♦♠ $❤❡ ❞❡✜♥✐$✐♦♥ ♦❢ piR✳

❍❡♥❝❡✱ ✇❤❡♥❡✈❡* piS> 0✱ ❛ ❞❡✈✐❛$✐♦♥ $♦ ❧♦✇❡*✐♥❣ *❡$❡♥$✐♦♥ ♣*✐❝❡ ❜❡❧♦✇ $❤❡ ♥♦✕*❡$❡♥$✐♦♥

❧✐♥❡ ✐♥❝*❡❛'❡' ♣*♦✜$'✳

❚♦ '❡❡ $❤❡ ✐♥$✉✐$✐♦♥ ♦❢ $❤❡ ❧❡♠♠❛✱ ❝♦♥'✐❞❡* $❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①❛♠♣❧❡ ❢♦* ❛ ❝♦♥'✉♠❡* ♦❢

✜*♠ i✳ ❙✉♣♣♦'❡ ❧♦②❛❧ ♣*✐❝❡ ✐' pLi = 12✱ α = 1

2✱ ❛♥❞ $❤❡ ❝❤❡❛♣❡'$ '✇✐$❝❤✐♥❣ ♣*✐❝❡ pS

i= 2ǫ✳

❚❤❡♥✱ ❜② ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✷✱ $❤❡ ❧♦✇❡'$ ♣*✐❝❡ ❛$ ✇❤✐❝❤ ♥♦ ❝♦♥'✉♠❡* ❝❤♦♦'❡' $❤❡ *❡$❡♥$✐♦♥ ♦✛❡*

✐' piR = 1212= 1

4+ ǫ✳ ◆♦✇ ❝♦♥'✐❞❡* ❛ '♠❛❧❧ *❡❞✉❝$✐♦♥ ✐♥ $❤❡ *❡$❡♥$✐♦♥ ♣*✐❝❡✳ ❚❤❡ ♠❛'' ♦❢

❝♦♥'✉♠❡*' ♠♦✈✐♥❣ ❢*♦♠ '✇✐$❝❤✐♥❣ $♦ *❡$❡♥$✐♦♥ ✐' 2f(θ)✱ ❡E✉❛❧ $♦ $❤❡ ♠❛'' ♠♦✈✐♥❣ ❢*♦♠ ❧♦②❛❧

$♦ *❡$❡♥$✐♦♥✳ ❖♥ $❤❡ ✜*'$ ❣*♦✉♣ ♦❢ ❝♦♥'✉♠❡*'✱ $❤❡ ✜*♠✬' ✐♥❝*❡♠❡♥$❛❧ ♣*♦✜$ ✐'

14+ ǫ✱ '✐♥❝❡


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✶✾

"❤❡② ✇❡'❡ ♣'❡✈✐♦✉-❧② -✇✐"❝❤❡'-✳ ❚❤❡ ♣'❡✈✐♦✉-❧② ❧♦②❛❧ ❝♦♥-✉♠❡'- ❤♦✇❡✈❡' ♣❛② ❧❡--✱ ❧❡❛❞✐♥❣

"♦ ❛ ❧♦-- ♦❢

14− ǫ ♣❡' ❝♦♥-✉♠❡'✳ ❚❤✉- ✇❤❡♥ ǫ > 0✱ "❤❡ ❣❛✐♥ ❡①❝❡❡❞- "❤❡ ❧♦--❀ ❜✉" ✇✐"❤ ③❡'♦

-✇✐"❝❤✐♥❣ ♣'✐❝❡✱ "❤❡ "✇♦ ❡✛❡❝"- ❡①❛❝"❧② ❜❛❧❛♥❝❡✳ ❋♦' α 6= 12✱ "❤❡ -❛♠❡ ✐♥"✉✐"✐♦♥ ❤♦❧❞- -✐♥❝❡

"❤❡ ❝'✐"✐❝❛❧ '❡"❡♥"✐♦♥ ♣'✐❝❡ pRi ❞❡♣❡♥❞- ♦♥ α ✐"-❡❧❢✳

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✻✳ ❇❡"# $❡"♣♦♥"❡ ♣$✐❝❡" ❢♦$ #❤❡ ❡①✐"#✐♥❣ ❝♦♥"✉♠❡$ ❜❛"❡ ❛$❡ ✐♠♣❧✐❝✐#❧② ❞❡✜♥❡❞ ❜②

0 = α1− F (θR)

f(θR)+ piR − piL

0 =

(1− α)1−F (θS)f(θS)

− piR ✐❢ piS≤ 1−α

f(0)

piS− piR ♦#❤❡$✇✐"❡

7$♦♦❢✳ ❆- ✇❡ ❛'❣✉❡❞ ❛❜♦✈❡✱ "❤❡ '❡❧❡✈❛♥" ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ "❤❡ ♣'♦❜❧❡♠ ✐- D✳ ❋✐'-"✱ ❧❡"✬- ❝♦♥-✐❞❡'

❝♦'♥❡'- ✇❤❡'❡ F (θR) = 1✱ ✐✳❡✳ ♥♦ ❝♦♥-✉♠❡' ♣✉'❝❤❛-❡- "❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡'✳ ❆" -✉❝❤ ♣♦✐♥"-✱ "❤❡

✜'-" ♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ✶✳✹✳✶✱ ✐- ♥❡❣❛"✐✈❡✱ ❤❡♥❝❡ ❝❛❧❧✐♥❣ ❢♦' ❛ ❧♦✇❡' ❧♦②❛❧ ♣'✐❝❡✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ❛" "❤❡

❝♦'♥❡' ✇❤❡'❡ F (θR) = 0✱ ❡D✉❛"✐♦♥ ✶✳✹✳✶ '❡❞✉❝❡- "♦ α(1/f(0)− 0) ≥ 0✱ ❛❢"❡' -✉❜-"✐"✉"✐♥❣ ♦✉"

"❤❡ ❞❡✜♥✐"✐♦♥ ♦❢ θR✳ ❚❤✉-✱ ❜② ❛♣♣❡❛❧ "♦ ❝♦♥"✐♥✉✐"②✱ "❤❡ ♦♣"✐♠❛❧ ❧♦②❛❧ ♣'✐❝❡ ✐- ❛❧✇❛②- ✐♥"❡'✐♦'

❛♥❞ ❤❡♥❝❡ "❤❡ ✜'-"✕♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ✐- -✉✣❝✐❡♥"✳

❘❡"❡♥"✐♦♥ ♣'✐❝✐♥❣✿ ❙✐♥❝❡ "❤❡ ✜'-"✕♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ❢♦' "❤❡ ❧♦②❛❧ ♣'✐❝❡ ✐- -✉✣❝✐❡♥"✱ ✇❡ ❝❛♥

-✉❜-"✐"✉"❡ ✐" ✐♥"♦ ✶✳✹✳✷✳ ❚❤✐- ②✐❡❧❞- "❤❡ -✐♠♣❧✐✜❡❞ ✜'-"✕♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ❢♦' piR✿

dΠ2,RLi

dpiR=1− F (θS)−

f(θS)

1− αpiR

❖❜-❡'✈❡ "❤❛"✱ -✉❜❥❡❝" "♦ "❤❡ ❧♦②❛❧ ♣'✐❝❡ ❜❡✐♥❣ ♦♣"✐♠❛❧❧② ❝❤♦-❡♥✱ "❤❡ '❡"❡♥"✐♦♥ ♣'✐❝❡ ❞❡♣❡♥❞-

♦♥❧② ♦♥ "❤❡ ❝♦♠♣❡"✐"♦'✬- ❜❡-" -✇✐"❝❤✐♥❣ ♣'✐❝❡✳

❚❤❡ ✜'-" ♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ❤❛- ❛ ❞✐-❝♦♥"✐♥✉✐"② ❛" F (θS) = 1❀ ❜✉" ❛- ✇❡ ❛❧'❡❛❞② -❤♦✇❡❞✱

F (θR) < 1 ✐♥ ❛♥② ❜❡-" '❡-♣♦♥-❡✱ ❛♥❞ ❢'♦♠ "❤❡ ❞❡✜♥✐"✐♦♥ ♦❢ D✱ ✇❡ ♠✉-" ❤❛✈❡ θS ≤ θR❀ "❤✉-

"❤❡ '✐❣❤"✕❤❛♥❞ ❞✐-❝♦♥"✐♥✉✐"② ✐- ♦✉"-✐❞❡ "❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ■" '❡♠❛✐♥- "♦ ❝❤❡❝❦ "❤❡ ❝❛-❡ F (θS) = 0✳

❚❤❡ ✜'-"✕♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ✐- ♣♦-✐"✐✈❡ ❛" "❤✐- ♣♦✐♥" ✐❢ 1 − 0 − f(0)piS

1−α≥ 0✱ ✐✳❡✳ pi

S≤ 1−α

f(0)✳ ■♥

"❤✐- ❝❛-❡✱ ❛❣❛✐♥ ❜② ❛♣♣❡❛❧ "♦ ❝♦♥"✐♥✉✐"②✱ "❤❡ ❜❡-" '❡-♣♦♥-❡ '❡"❡♥"✐♦♥ ♣'✐❝❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥"❡'✐♦' ❛♥❞

dΠ2,RLi

dpiR= 0 ♠✉-" ❤♦❧❞✳ ❖"❤❡'✇✐-❡✱ "❤❡ ❜❡-" '❡-♣♦♥-❡ ✐- ❛" "❤❡ ❝♦'♥❡'✿ piR = pi

S✳

❙✇✐#❝❤✐♥❣ ❈♦♥"✉♠❡$"✿ ❚❤❡ ♣'♦✜" ❢✉♥❝"✐♦♥ ♦♥ -✇✐"❝❤✐♥❣ ❝♦♥-✉♠❡'- ✐- ❣✐✈❡♥ ❜②

Π2,Si =

∑

j∈N−i

γjσij(pSi , p

S

j, pRj )F (θS(p

iS; p

−iR ))piS

❆♥❛❧②-✐♥❣ "❤❡ ❜❡-" '❡-♣♦♥-❡ ❢♦' ❛❧❧ ♣♦--✐❜❧❡ ❧♦②❛❧✴'❡"❡♥"✐♦♥ ♣'✐❝❡- ❜② ❛❧❧ ✜'♠- ✐- ✉♥'❡❛✲

-♦♥❛❜❧② ❝♦♠♣❧❡① ❛♥❞ ②✐❡❧❞- ♥♦ ❛❞❞✐"✐♦♥❛❧ ✐♥-✐❣❤"✳ ❙✐♥❝❡ ♦✉' ✐♥"❡'❡-" ✐- ✐♥ ❡D✉✐❧✐❜'✐❛ ♦❢ "❤❡


DOI: 10.2870/93798

✷✵ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

♣#✐❝✐♥❣ ❣❛♠❡✱ ✇❡ ✐♥-.❡❛❞ ❝❤❛#❛❝.❡#✐-❡ .❤❡ -✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡- .❤❛. ❝❛♥ ♦❝❝✉# ✐♥ ❡3✉✐❧✐❜#✐✉♠✱

.❤❛. ✐-✱ -✉❜❥❡❝. .♦ (piS, p−iR ) ❜❡✐♥❣ ✐♥ .❤❡ ❜❡-. #❡-♣♦♥-❡ ❜② ❛❧❧ ✜#♠-✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✼✳ ❙✇✐#❝❤✐♥❣ ♣)✐❝❡+

✶✳ ❲❤❡♥ #❤❡)❡ ❛)❡ ♠♦)❡ #❤❛♥ #✇♦ ✜)♠+ N > 2✱ #❤❡ ♠❛)❦❡# ♣)✐❝❡+ ❢♦) +✇✐#❝❤✐♥❣ ❝♦♥+✉♠❡)+

♠✉+# ❜❡ ③❡)♦✿ p∗iS= 0 ❢♦) ❛❧❧ i ∈ N ✳

✷✳ ❯♥❞❡) ❞✉♦♣♦❧②✱ #❤❡ ❡?✉✐❧✐❜)✐✉♠ +✇✐#❝❤✐♥❣ ♣)✐❝❡ +❛#✐+✜❡+

0 = (1− α)F (θ∗S)

f(θ∗S)− p∗iS

❢♦) ❜♦#❤ ✜)♠+

@)♦♦❢✳ ✶✳ ❋♦❧❧♦✇- ❢#♦♠ -.❛♥❞❛#❞ ❇❡#.#❛♥❞ ❛#❣✉♠❡♥.-✳ ❋✐① ✜#♠ i ❛♥❞ -✉♣♣♦-❡ .❤❡ ❧♦✇❡-.

-✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡ ♦✛❡#❡❞ i ❝♦♥-✉♠❡#- ✐- ♣♦-✐.✐✈❡✿ piS> 0✳ ■❢ |min(pjS)| > 1✱ ✐✳❡✳ -❡✈❡#❛❧

✜#♠- ❝❤❛#❣❡ .❤❡ ❧♦✇❡-. ♣#✐❝❡✱ ❛ ❞❡✈✐❛.✐♦♥ .♦ ❧♦✇❡#✐♥❣ pjS ❜② ♦♥❡ ♦❢ .❤❡♠ ❞✐-❝♦♥.✐♥✉♦✉-❧②

✐♠♣#♦✈❡- ♣#♦✜.✳ ❖♥ .❤❡ ♦.❤❡# ❤❛♥❞✱ ✐❢ |min(pjS)| = 1✱ .❤❡#❡ ♠✉-. ❜❡ ✜#♠- .❤❛. ♠❛❦❡

③❡#♦ ♣#♦✜. ❢#♦♠ -✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦♥-✉♠❡#-✳ F✐❝❦ ❛♥② ♦❢ .❤❡-❡ ✜#♠- ❛♥❞ ❝♦♥-✐❞❡# ❛ ❞❡✈✐❛.✐♦♥

.♦ pkS = piS− ǫ✳ ❚❤✐- ❡♥❛❜❧❡- ✜#♠ k .♦ ❝❛♣.✉#❡ .❤❡ ❡♥.✐#❡ ♠❛#❦❡. ❢♦# -✇✐.❝❤❡#- ❛♥❞

✐♠♣#♦✈❡- ♣#♦✜.✳ ❖♥ .❤❡ ♦.❤❡# ❤❛♥❞✱ ✇❤❡♥ piS= 0✱ ♥♦ -✉❝❤ ❞❡✈✐❛.✐♦♥- ❡①✐-.✳ ❚❤✉- ✐♥

❛♥② ❡3✉✐❧✐❜#✐✉♠ ✇✐.❤ ♠♦#❡ .❤❛♥ .✇♦ ✜#♠-✱ .❤❡ -✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡ ♠✉-. ❡3✉❛❧ ♠❛#❣✐♥❛❧

❝♦-.✳

✷✳ ■♥ .❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ❝❛-❡✱ .❤❡ ♣❛②♦✛ ❢#♦♠ -✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦♥-✉♠❡#- ❜❡❝♦♠❡- F (θS(piS; p

−iR ))piS✳

❚❤✐- ❤❛- .❤❡ ✜#-.✕♦#❞❡# ❝♦♥❞✐.✐♦♥

dΠ2,Si

dpiS= F (θS)− f(θS)

piS1− α

❲❡ ❦♥♦✇ ❢#♦♠ .❤❡ ♣#❡✈✐♦✉- ❧❡♠♠❛ .❤❛. ✐❢ piS > 1−αf(0)

✱ .❤❡ #❡.❡♥.✐♦♥ ♣#✐❝❡ ✇✐❧❧ ❜❡ -❡. .♦

♠❛.❝❤ .❤❡ -✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡✱ ❧❡❛✈✐♥❣ θS = 0 ❛♥❞ ③❡#♦ #❡✈❡♥✉❡ ❢#♦♠ -✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦♥-✉♠❡#-✳

❆ -♠❛❧❧ ❞❡✈✐❛.✐♦♥ .♦ ❧♦✇❡#✐♥❣ .❤❡ ♣#✐❝❡ ✐- .❤✉- ♣#♦✜.❛❜❧❡✳ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ ❝♦♥-✐❞❡# ❛♥ ❡3✉✐✲

❧✐❜#✐✉♠ ✇❤❡#❡ .❤❡ -✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡ ✐- ③❡#♦✳ ❋#♦♠ .❤❡ ♣#❡✈✐♦✉- ❧❡♠♠❛✱ .❤❡ ❜❡-. #❡-♣♦♥-❡

#❡.❡♥.✐♦♥ ♣#✐❝❡ ✐♥ .❤✐- ❝❛-❡ ✐- ♣♦-✐.✐✈❡✱ ❛♥❞ θS > 0❀ ❤❡♥❝❡✱ ❛ ❞❡✈✐❛.✐♦♥ .♦✇❛#❞- #❛✐-✐♥❣

.❤❡ -✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡ ✇♦✉❧❞ ✐♠♣#♦✈❡ ♣#♦✜. ❢#♦♠ ③❡#♦ .♦ ❛ ♣♦-✐.✐✈❡ ❛♠♦✉♥.✳ ❚❤✉-✱ .❤❡

❜❡-.✕#❡-♣♦♥-❡ -✇✐.❝❤✐♥❣ ♣#✐❝❡ -❤♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥.❡#✐♦# ✐♥ ❛♥② ❡3✉✐❧✐❜#✐✉♠ ❛♥❞ .❤❡ ✜#-.✕♦#❞❡#

❝♦♥❞✐.✐♦♥ ❛❣❛✐♥ -✉✣❝✐❡♥.✳


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✷✶

❊!✉✐❧✐❜&✐✉♠ ❆♥❛❧②,✐,✿ ❈♦❧❧❡❝'✐♥❣ '❤❡ ❡❛-❧✐❡- -❡.✉❧'.✱ ✇❡ ❛-❡ ♥♦✇ -❡❛❞② '♦ .'❛'❡ '❤❡ ❡4✉✐❧✐❜-✐✉♠

♦❢ '❤❡ ♠❛'✉-❡ ♠❛-❦❡' ♣-✐❝✐♥❣ ❣❛♠❡✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✹✳✶ ✭❉✉♦♣♦❧② ▼❛'✉-❡ ▼❛-❦❡' ❊4✉✐❧✐❜-✐✉♠✮✳ ❲✐/❤ N = 2✱ /❤❡&❡ ✐, ❛♥ ❡!✉✐✲

❧✐❜&✐✉♠ ,✉❝❤ /❤❛/✱ ❢♦& ❡❛❝❤ ✜&♠ i ∈ N ✱

✶✳ ❚❤❡ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥,✉♠❡&, ❛&❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

0 =1− F (θ∗R)

f(θ∗R)− θ∗R ✭✶✳✹✳✸✮

0 =1− 2F (θ∗S)

f(θ∗S)− θ∗S ✭✶✳✹✳✹✮

✷✳ >&✐❝❡, ❛&❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

0 = α1− F (θ∗R)

f(θ∗R)+ p∗iR − p∗iL ✭✶✳✹✳✺✮

0 = (1− α)1− F (θ∗S)

f(θ∗S)− p∗iR ✭✶✳✹✳✻✮

0 = (1− α)F (θ∗S)

f(θ∗S)− p∗iS ✭✶✳✹✳✼✮

▼♦&❡♦✈❡&✱ /❤❡ ❡!✉✐❧✐❜&✐✉♠ ✐, ♣❛②♦✛✕✉♥✐!✉❡✳

>&♦♦❢✳ ❈♦♥.✉♠❡- ❜❡❤❛✈✐♦✉- ✇❛. ❢♦✉♥❞ ✐♥ ✶✳✹✳✸ ❛♥❞ ✐. ♦♥❧② .'❛'❡❞ ❢♦- ❝♦♠♣❧❡'❡♥❡..✳ ❚♦ ❞❡-✐✈❡

'❤❡ ❡4✉✐❧✐❜-✐✉♠ ♣-✐❝❡.✱ ❝♦♠❜✐♥❡ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✻ ❛♥❞ '❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ❝❛.❡ ♦❢ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✼✳

❋♦- '❤❡ ♠❛-❣✐♥❛❧ -❡'❛✐♥❡❞ ❝♦♥.✉♠❡-✱ .✉❜.'✐'✉'❡ '❤❡ ❞❡✜♥✐'✐♦♥ θR = (piL − piR)/α ✐♥'♦

❡4✉❛'✐♦♥ ✳ ❙✐♠✐❧❛-❧②✱ ❢♦- '❤❡ ♠❛-❣✐♥❛❧ .✇✐'❝❤❡-✱ .✉❜'-❛❝' ❡4✉❛'✐♦♥ ❢-♦♠ ❛♥❞ .✉❜.'✐'✉'❡ ❢♦-

'❤❡ ❞❡✜♥✐'✐♦♥ ♦❢ θS = (piR − p−iS )/(1− α✮✳

❋♦- .✇✐'❝❤✐♥❣ ❛♥❞ -❡'❡♥'✐♦♥ ♣-✐❝✐♥❣✱ '❤❡ ❡4✉✐❧✐❜-✐✉♠ ❝♦♥❞✐'✐♦♥. '❡❧❧ ✉. '❤❛' '❤❡ ♣-✐❝❡

♠✉.' ❡4✉❛❧ '❤❡ -❛'✐♦ ♦❢ ✐♥❢-❛✕♠❛-❣✐♥❛❧ ❧♦.. ✭❣✐✈❡♥ ❜② F (x) ❛♥❞ 1 − F (x) -❡.♣❡❝'✐✈❡❧②✮ ♦✈❡-

'❤❡ ❡①'-❛✕♠❛-❣✐♥❛❧ ❣❛✐♥ ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡-.✱ ✇❤✐❝❤ ✐. f(x)✳ ❚❤❡.❡ ❡①♣-❡..✐♦♥. ❛-❡ .❝❛❧❡❞ ❜② '❤❡

❡❧❛.'✐❝✐'②✱ 1 − α✳ ❚❤✉. ❡❛❝❤ ✜-♠ .❡'. ♣-✐❝❡. '♦ ♠❛①✐♠✐.❡. -❡✈❡♥✉❡✱ ♥♦' '❛❦✐♥❣ ✐♥'♦ ❛❝❝♦✉♥'

'❤❡ ❜✉.✐♥❡.. .'❡❛❧✐♥❣ ❡①'❡-♥❛❧✐'② ♦♥ '❤❡ -✐✈❛❧✳ ❍♦✇❡✈❡-✱ ✇❤❡♥ .❡''✐♥❣ ❧♦②❛❧ ♣-✐❝❡.✱ '❤❡ ✜-♠

'❛❦❡. ✐♥'♦ ❛❝❝♦✉♥' '❤❛' '❤❡ ♠❛-❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡- ✇♦✉❧❞ ♠♦✈❡ '♦ '❤❡ -❡'❛✐♥❡❞ .❡❣♠❡♥'✱ ✇❤✐❝❤

.'✐❧❧ ②✐❡❧❞. -❡✈❡♥✉❡ ❢♦- '❤❡ ✜-♠❀ '❤✉. '❤❡-❡ ✐. ♥♦ ❡①'❡-♥❛❧✐'② ❛' '❤✐. ♠❛-❣✐♥✳

■♥ ❡4✉✐❧✐❜-✐✉♠✱ '❤❡ ♠❛-❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡-. ❛-❡ ✜①❡❞✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥' ♦❢ '❤❡ ❡✛♦-' ❝♦.' ♦❢ -❡'❡♥✲

'✐♦♥ ✭♣❛-❛♠❡'❡- α✮✳ ❆. ❝❛♥ ❜❡ .❡❡♥ ❢-♦♠ '❤❡ ❜❡.' -❡.♣♦♥.❡.✱ .❛② ❛ -✐.❡ ✐♥ α ✐♥❝-❡❛.❡. '❤❡

❡❧❛.'✐❝✐'② ♦❢ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦- .✇✐'❝❤✐♥❣✴-❡'❛✐♥❡❞ ♣-✐❝❡.❀ '❤✉.✱ ❛' ❣✐✈❡♥ ♣-✐❝❡.✱ ❛ -❡❞✉❝'✐♦♥ ✐♥ ❜♦'❤


DOI: 10.2870/93798

✷✷ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

!❤❡ $✇✐!❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ,❡!❡♥!✐♦♥ ♣,✐❝❡ ✐$ ❝❛❧❧❡❞ ❢♦,✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ❢♦, ❛ ❣✐✈❡♥ ♣,✐❝❡ ❞✐✛❡,❡♥❝❡✱ ♠♦,❡

❝♦♥$✉♠❡,$ $✇✐!❝❤ ❛$ α ,✐$❡$✳ ❇② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ !❤❡ ❜❡$! ,❡$♣♦♥$❡$✱ ✇❡ $❡❡ !❤❛! !❤❡ !✇♦ ❡✛❡❝!$

❡①❛❝!❧② ❝❛♥❝❡❧ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ ❝❤❛♥❣❡$ ✐♥ !❤❡ ♣❛,❛♠❡!❡, ❞♦ ♥♦! ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥$✉♠❡,$✳

■♥ ❣❡♥❡,❛❧✱ ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈✐!② ❣✐✈❡$ ✉$ ,❡❧❛!✐✈❡❧② ❧✐!!❧❡ $!,✉❝!✉,❡ ,❡❣❛,❞✐♥❣ !❤❡ $✐③❡$ ♦❢ ♠❛,❣✐♥❛❧✱

,❡!❛✐♥❡❞ ❛♥❞ ❧♦②❛❧ $❡❣♠❡♥!$✳ ❲✐!❤✐♥ !❤❡ ❣❡♥❡,❛❧ ♠♦❞❡❧✱ ✇❡ ✇❡,❡ ♦♥❧② ❛❜❧❡ !♦ $❤♦✇ ❛ ✇❡❛❦

✉♣♣❡, ❜♦✉♥❞ ♦♥ !❤❡ ❛♠♦✉♥! ♦❢ $✇✐!❝❤✐♥❣ ❝♦♥$✉♠❡,$✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✽✳ ▲❡"" #❤❛♥ ❤❛❧❢ ❝♦♥"✉♠❡-" "✇✐#❝❤✱ ✐✳❡✳ F (θ∗S) <12✳

2-♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦$❡ ♥♦!✳ ❚❤❡♥

1−2F (θ∗S)

f(θ∗S)< 0✱ $♦ ✇❡ ♠✉$! ❤❛✈❡ θ∗S < 0✱ ❜② ❡D✉❛!✐♦♥ ✶✳✹✳✹✳ ❇✉!

!❤✐$ ❝♦♥!,❛❞✐❝!$ θ∗S ∈ (0, 1)

❲❡ ♥♦✇ !✉,♥ !♦ !❤❡ ❝♦♠♣❡!✐!✐✈❡ ❝❛$❡✳ ■♥ !❤✐$ ❝❛$❡✱ !❤❡ ❡D✉✐❧✐❜,✐✉♠ ✐$ ❛$ ❢♦❧❧♦✇$✿

()♦♣♦,✐.✐♦♥ ✶✳✹✳✷ ✭❈♦♠♣❡!✐!✐✈❡ ▼❛!✉,❡ ▼❛,❦❡! J,✐❝❡$✮✳ ❲✐#❤ N > 2✱ #❤❡-❡ ✐" ❛♥ ❡4✉✐❧✐❜✲

-✐✉♠ "✉❝❤ #❤❛#✱ ❢♦- ❡❛❝❤ ✜-♠ i ∈ N ✱

✶✳ ❈♦♥"✉♠❡-" ✇✐#❤ θ < θ∗S = θ∗R "✇✐#❝❤ ❛♥❞ ❛❧❧ ♦#❤❡-" -❡♠❛✐♥ ❧♦②❛❧❀ #❤❡ ♠❛-❣✐♥❛❧ ❝♦♥"✉♠❡-

"❛#✐"✜❡"

0 =1− F (θ∗S)

f(θ∗S)− θ∗S ✭✶✳✹✳✽✮

✷✳ ❚❤❡ ♠❛-❦❡# ♣-✐❝❡" ❛-❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

0 = α1− F (θi∗R )

f(θi∗R )+ p∗iR − p∗iL ✭✶✳✹✳✾✮

0 = (1− α)1− F (θi∗S )

f(θi∗S )− p∗iR ✭✶✳✹✳✶✵✮

0 = p∗iS

✭✶✳✹✳✶✶✮

▼♦-❡♦✈❡-✱ #❤❡ ❡4✉✐❧✐❜-✐✉♠ ✐" ♣❛②♦✛✕✉♥✐4✉❡✳

2-♦♦❢✳ ❲❡ ❢♦❧❧♦✇ ❡①❛❝!❧② !❤❡ $!❡♣$ ♦❢ ♣,♦✈✐♥❣ ♣,♦♣♦$✐!✐♦♥ ✶✳✹✳✶✱ ❜✉! !❤✐$ !✐♠❡ ❝♦♠❜✐♥✐♥❣

❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✻ ✇✐!❤ !❤❡ ❝♦♠♣❡!✐!✐✈❡ ❝❛$❡ ✐♥ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✼✳

❙✐♥❝❡ !❤❡ $✇✐!❝❤✐♥❣ ♣,✐❝❡ ♠✉$! ❜❡ ③❡,♦✱ ✉$✐♥❣ ❡D✉❛!✐♦♥ ✶✳✹✳✶✵ ♣,♦✈✐❞❡$ !❤❡ ❝♦♥❞✐!✐♦♥ ❢♦,

!❤❡ ♠❛,❣✐♥❛❧ $✇✐!❝❤❡,✱ (1−F (θ∗S))/f(θ∗S)−θ∗S = 0✱ ❛❢!❡, $✉❜$!✐!✉!✐♥❣ !❤❡ ❞❡✜♥✐!✐♦♥ ♦❢ θ∗S✳ ❇✉!

!❤✐$ ✐$ ❡①❛❝!❧② !❤❡ $❛♠❡ ❝♦♥❞✐!✐♦♥ ❛$ ♦❜!❛✐♥❡❞ ❢♦, θR ❢,♦♠ ❡D✉❛!✐♦♥ ✶✳✹✳✾❀ ❤❡♥❝❡ !❤❡ ❝♦♥$✉♠❡,

♠❛,❣✐♥❛❧ ❜❡!✇❡❡♥ $✇✐!❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ,❡!❡♥!✐♦♥ ✐$ ❛❧$♦ ♠❛,❣✐♥❛❧ !♦ ❧♦②❛❧✱ ❛♥❞ !❤❡ ,❡!❛✐♥❡❞ $❡❣♠❡♥!

✐$ ❡♠♣!②✱ ❛$ ❝❧❛✐♠❡❞✳


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✷✸

❋✐❣✉&❡ ✶✳✸✿ ❊,✉✐❧✐❜&✐✉♠ ❈❤♦✐❝❡4

5❛②♦✛✕✉♥✐,✉❡♥❡44✿ ❋✐&4;✱ ♣&♦✜; ❢&♦♠ 4✇✐;❝❤✐♥❣ ❝♦♥4✉♠❡&4 ♠✉4; ❜❡ ③❡&♦ ✐♥ ❛♥② ❡,✉✐✲

❧✐❜&✐✉♠ ❛4 piS

= 0 ❢♦& ❛❧❧ i✳ ❇✉; ❢♦& &❡;❛✐♥❡❞ ❛♥❞ ❧♦②❛❧ ❝♦♥4✉♠❡&4✱ ;❤❡ ❜❡4; &❡4♣♦♥4❡ ✐4

4✐♥❣❧❡✕✈❛❧✉❡❞✱ ;②✐♥❣ ❞♦✇♥ ;❤❡ ♣&♦✜; Π∗,RLi ❢♦& ❛❧❧ i✳✳

❖❜4❡&✈❡ ;❤❛; ;❤❡ ❡,✉✐❧✐❜&✐✉♠ ❝♦♥❞✐;✐♦♥4 ❛&❡ ②♠♠❡$%✐❝✿ ;❤❛; ✐4✱ ❢♦& ❛❧❧ ✜&♠4✱ ;❤❡ ❧♦②❛❧✱

&❡;❡♥;✐♦♥ ❛♥❞ ❧♦✇❡4; 4✇✐;❝❤✐♥❣ ♣&✐❝❡ ❛&❡ ✐❞❡♥;✐❝❛❧✳ ❚❤✐4 ❢❡❛;✉&❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♠♣♦&;❛♥; ✐♥ ❛♥❛❧②4✐4

♦❢ ;❤❡ ✜&4; ♣❡&✐♦❞✱ 4✐♥❝❡ ✐; ✐♠♣❧✐❡4 ;❤❛; ;❤❡ ❝♦♥;✐♥✉❛;✐♦♥ ✉;✐❧✐;② ♦❢ ❛ ❝♦♥4✉♠❡& ❞♦❡4 ♥♦;

❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✜&♠ ✇❛4 ❝❤♦4❡♥ ✐♥ ;❤❡ ✜&4; ♣❡&✐♦❞✳

❋✐❣✉&❡ ❄❄ ✐❧❧✉4;&❛;❡4 ;❤❡ 4;&✉❝;✉&❡ ♦❢ ;❤❡ ♠❛;✉&❡ ♠❛&❦❡; ❡,✉✐❧✐❜&✐✉♠ ✐♥ ;❤❡ ;✇♦ ❝❛4❡4✳

❯♥❞❡& ❞✉♦♣♦❧②✱ ;❤❡ ❧♦✇❡4;✕❝♦4; ❝♦♥4✉♠❡&4 4✇✐;❝❤✱ ❛♥❞ ❤✐❣❤❡4;✕❝♦4; ❝♦♥4✉♠❡&4 &❡♠❛✐♥ ❧♦②❛❧❀

;❤♦4❡ ✇✐;❤ ✐♥;❡&♠❡❞✐❛;❡ ❝♦4;4 ❝❧❛✐♠ ;❤❡ &❡;❡♥;✐♦♥ ♦✛❡&✳ ■♥ ;❤❡ ❝♦♠♣❡;✐;✐✈❡ ❝❛4❡✱ ;❤❡ ♠❛44

♦❢ ❝♦♥4✉♠❡&4 ❝❤♦♦4✐♥❣ ;❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡& ✐4 ;❤❡ 4❛♠❡ ❛4 ✉♥❞❡& ❞✉♦♣♦❧②❀ ❤♦✇❡✈❡&✱ ;❤❡&❡ ✐4 ♥♦

&❡;❡♥;✐♦♥ ✐♥ ❡,✉✐❧✐❜&✐✉♠✱ ❜✉; ✐♥4;❡❛❞ ❛ ❤✐❣❤❡& 4✇✐;❝❤✐♥❣ &❛;❡✳

✶✳✹✳✷ ■♥&'♦❞✉❝&♦'② -'✐❝✐♥❣

■♥ ;❤❡ ✜&4; ♣❡&✐♦❞✱ ♥♦ ❝♦♥4✉♠❡& ❤❛4 ②❡; ❜♦✉❣❤; ❢&♦♠ ❛♥② ✜&♠✳ ❍♦✇❡✈❡&✱ ;❤❡② ;❛❦❡ ✐♥;♦

❛❝❝♦✉♥; ;❤❡ ❝♦♥;✐♥✉❛;✐♦♥ ✉;✐❧✐;② ♦❢ ❜❡✐♥❣ ✏❧♦❝❦❡❞ ✐♥✑ ;♦ ❛ ✜&♠ ✐♥ ;❤❡ 4❡❝♦♥❞ ♣❡&✐♦❞ ❞✉❡ ;♦

4✇✐;❝❤✐♥❣ ❝♦4;✱ ✐♥ ❛❞❞✐;✐♦♥ ;♦ ;❤❡ ✐♥;&♦❞✉❝;♦&② ♣&✐❝❡✳ ❚❤✉4 ;❤❡&❡ ✐4 ❛ ❧✐♥❦ ❜❡;✇❡❡♥ ;❤❡ ;✇♦

♣❡&✐♦❞4❀ ❤♦✇❡✈❡&✱ 4✐♥❝❡ ;❤❡ 4❡❝♦♥❞✕♣❡&✐♦❞ ♣&✐❝❡4 ❛&❡ 4②♠♠❡;&✐❝✱ ;❤❡ ❝♦♥;✐♥✉❛;✐♦♥ ✉;✐❧✐;② ♦❢

❜❡✐♥❣ ❛ ❝♦♥4✉♠❡& ♦❢ ✜&♠ i ♦& j ✐4 ✐❞❡♥;✐❝❛❧❀ ;❤✉4✱ ❣✐✈❡♥ 4✉❜❣❛♠❡ ♣❡&❢❡❝;✐♦♥✱ ❝♦♥4✉♠❡& ❝❤♦✐❝❡

♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞4 ♦♥ ;❤❡ ✐♥;&♦❞✉❝;♦&② ♣&✐❝❡✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✹✳✾ ✭❋✐&4; 5❡&✐♦❞ ❈♦♥4✉♠❡& ❇❡❤❛✈✐♦✉&✮✳ ■♥ $❤❡ ✜% $ ♣❡%✐♦❞✱ ❝♦♥ ✉♠❡% ♣✉%❝❤❛ ❡

❛%❡ ❡✈❡♥❧② ❞✐✈✐❞❡❞ ❛♠♦♥❣ $❤❡ ✜%♠ ❝❤❛%❣✐♥❣ $❤❡ ❧♦✇❡ $ ♣%✐❝❡✿

C1(i, piI , . . . ) =

0 ✐❢ pIi > ♠✐♥{pIj}1

|min{pjI}|✐❢ pIi = ♠✐♥{pIj}


DOI: 10.2870/93798

✷✹ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

!♦♦❢✳ ■♥ "❤❡ ✜&'" ♣❡&✐♦❞✱ ❝♦♥'✉♠❡&' ❛&❡ ♥♦" ②❡" ✐♥❢♦&♠❡❞ ♦❢ "❤❡✐& ❡✛♦&" ❝♦'"✳ ❚❤❡ ✉"✐❧✐"② ♦❢

❛ ❝♦♥'✉♠❡& ❜✉②✐♥❣ ❢&♦♠ ✜&♠ i ✐' "❤✉' ❣✐✈❡♥ ❜② "❤❡ ♣❡&✐♦❞ ♣❛②♦✛ ♣❧✉' "❤❡ ❡①♣❡❝"❡❞ ♣❛②♦✛

♦❢ ❜❡✐♥❣ ❛ ✜&♠ i ❝♦♥'✉♠❡& ✐♥ "❤❡ '❡❝♦♥❞ ♣❡&✐♦❞✿

{β − piI}+ {β −θSˆ

0

(p∗iS + x)f(x)dx−θRˆ

θS

(p∗iR + αx)f(x)dx−1ˆ

θR

p∗iL f(x)dx}

❋&♦♠ ♣&♦♣♦'✐"✐♦♥' ✶✳✹✳✷ ❛♥❞ ✶✳✹✳✶✱ "❤❡ ❡@✉✐❧✐❜&✐❛ ✐♥ ❜♦"❤ "❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ❛♥❞ ❝♦♠♣❡"✐"✐✈❡ ❝❛'❡

❛&❡ '②♠♠❡"&✐❝❀ "❤✉' "❤❡ ❝♦♥"✐♥✉❛"✐♦♥ ✉"✐❧✐"② ✐♥ "❤❡ '❡❝♦♥❞ ♣❡&✐♦❞ ❞♦❡' ♥♦" ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ "❤❡

✜&♠ ❝❤♦'❡♥ ✐♥ ♣❡&✐♦❞ ✶✳ ❍❡♥❝❡✱ ♦♥❧② "❤❡ ✜&'" ❜&❛❝❦❡" ✕ ✜&'"✕♣❡&✐♦❞ ♣❛②♦✛ ✕ ✐' ♠❛&❣✐♥❛❧ ❢♦&

"❤❡ ♣✉&❝❤❛'❡ ❞❡❝✐'✐♦♥✳ ■❢ piI > ♠✐♥{pjI}✱ "❤❡&❡ ❡①✐'"' ❛ ✜&♠ j "❤❛" ♦✛❡&' ❛ ❧♦✇❡& ✜&♠ ❛♥❞

✐' '"&✐❝"❧② ♣&❡❢❡&&❡❞ ❜② ❛❧❧ ❝♦♥'✉♠❡&'✳ ❖♥ "❤❡ ♦"❤❡& ❤❛♥❞✱ ✐❢ pi = ♠✐♥{pjI}✱ "❤❡ ❝♦♥'✉♠❡& ✐'

✐♥❞✐✛❡&❡♥" ❜❡"✇❡❡♥ ✜&♠ i ❛♥❞ ❛♥② ♦❢ "❤❡ ✜&♠' ❛❧'♦ ❝❤❛&❣✐♥❣ "❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ♣&✐❝❡✳ ❚❤✉'✱ ❜②

✉♥✐❢♦&♠ "✐❡ ❜&❡❛❦✐♥❣✱ ❝♦♥'✉♠❡&' '♣❧✐" ❡✈❡♥❧② ❜❡"✇❡❡♥ "❤❡ ✜&♠'✳

■" &❡♠❛✐♥' ♦♥❧② "♦ '♦❧✈❡ "❤❡ ✐♥"&♦❞✉❝"♦&② ♣&✐❝✐♥❣ '"❛❣❡✳ ❖♥ "❤❡ ♦♥❡ ❤❛♥❞✱ ✐♥ "❤❡ ✜&'"

♣❡&✐♦❞ ♦♥❧② ✜&♠' ❝❤❛&❣✐♥❣ "❤❡ ❧♦✇❡'" ♣&✐❝❡ ✇✐❧❧ ♠❛❦❡ ♣♦'✐"✐✈❡ '❛❧❡'❀ ♠♦&❡♦✈❡&✱ "❤❡② ♦❜"❛✐♥

♣♦'✐"✐✈❡ ♣&♦✜"' ❢&♦♠ "❤❡✐& ❝♦♥'✉♠❡& ❜❛'❡ ✐♥ "❤❡ ♠❛"✉&❡ ♠❛&❦❡"✳ ❚❤✐' '✉❣❣❡'"' "❤❛" ✜&'"✕

♣❡&✐♦❞ ❝♦♠♣❡"✐"✐♦♥ '❤♦✉❧❞ ❜❡ ✜❡&❝❡✳ ❖♥ "❤❡ ♦"❤❡& ❤❛♥❞✱ "❤❡&❡ ✐' "❤❡ ✏♦✉"'✐❞❡ ♦♣"✐♦♥✑ ♦❢

❢♦&❣♦✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡&' ✐♥ "❤❡ ✜&'" ♣❡&✐♦❞ ❛♥❞ ❡♥❥♦②✐♥❣ '✇✐"❝❤✐♥❣ ♣&♦✜"' ✐♥ "❤❡ '❡❝♦♥❞ ♣❡&✐♦❞

♦♥❧②❀ "❤✐' '❡&✈❡' "♦ &❡'"&❛✐♥ ✜&'"✕♣❡&✐♦❞ ❝♦♠♣❡"✐"✐♦♥ ✇❤❡♥ '✇✐"❝❤✐♥❣ ♣&♦✜"' ❛&❡ ♣♦'✐"✐✈❡✳

❚❤❡'❡ ❝♦♥'✐❞❡&❛"✐♦♥' "❤✉' ❞❡"❡&♠✐♥❡ ✐♥"&♦❞✉❝"♦&② ♣&✐❝❡'✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✹✳✸✳ ❚❤❡ ✜$%&✕♣❡$✐♦❞ ♣$✐❝✐♥❣ ❡/✉✐❧✐❜$✐✉♠ ✐% ❝❤❛$❛❝&❡$✐%❡❞ ❜②

✶✳ ❋✐$%& ♣❡$✐♦❞ ♣$✐❝❡% ❛$❡ ❣✐✈❡♥ ❜② pII = Π∗,Si − Π∗,RLi ❢♦$ ❛❧❧ ✜$♠%

✷✳ ❈♦♥%✉♠❡$% ❡✈❡♥❧② %♣❧✐& ❜❡&✇❡❡♥ ✜$♠% ✐♥ &❤❡ ✜$%& ♣❡$✐♦❞

✸✳ ■♥&❡$&❡♠♣♦$❛❧ ♣$♦✜&% ❡/✉❛❧ Π∗,Si

▼♦$❡♦✈❡$✱ &❤❡ ❡/✉✐❧✐❜$✐✉♠ ✐% ♣❛②♦✛ ✉♥✐/✉❡✳

C$♦♦❢✳ ❚❤❡ ✜&♠✬' ♣&♦✜" ❢&♦♠ "❤❡ ✜&'"✕♣❡&✐♦❞ ♣❡&'♣❡❝"✐✈❡ ✐' ❣✐✈❡♥ ❜②

Πi =

piI +Π∗,RLi ✐❢ pIi < min{pIj}

1|min{pIj}|

{piI +Π∗,RLi }+

(

1− 1|min{pIj}|

)

Π∗,Si ✐❢ pIi = min{pIj}

Π∗,Si ♦"❤❡&✇✐'❡


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✷✺

"❡✢❡❝&✐♥❣ &❤❡ ❝❛,❡, ♦❢ ❡✐&❤❡" ❛&&"❛❝&✐♥❣ ❛❧❧ ❝♦♥,✉♠❡",✱ ,♦♠❡ ❝♦♥,✉♠❡", ♦" ♥♦ ❝♦♥,✉♠❡", ✐♥

&❤❡ ✜",&✕♣❡"✐♦❞✳

❈♦♥,✐❞❡" ✜",& &❤❡ ❝❛,❡ ✇✐&❤ N ≥ 3 ✜"♠,✳ ❚❤❡♥✱ ❢"♦♠ ♣"♦♣♦,✐&✐♦♥ ✶✳✹✳✷✱ Π∗,Si = 0 ❢♦" ❛❧❧

✜"♠,✳ ❲❤❡♥ piI = −Π∗,RLi ✱ &❤❡ ✜"♠✬, ❡?✉✐❧✐❜"✐✉♠ ♣"♦✜& ✐, ③❡"♦❀ &❤❡ ♣"♦✜& ❢"♦♠ ❞❡✈✐❛&✐♥❣ &♦

❛♥② ❤✐❣❤❡" ♣"✐❝❡ ✐, Π∗,Si = 0✱ ❛ ❞❡✈✐❛&✐♦♥ &♦ ❧♦✇❡"✐♥❣ &❤❡ ✐♥&"♦❞✉❝&♦"② ♣"✐❝❡ ❜② ǫ ❝❛♣&✉"❡,

&❤❡ ❡♥&✐"❡ ❡♥&✐"❡ ♠❛"❦❡&✱ ❜✉& "❡,✉❧&, ✐♥ ❛ ❧♦,, ♦❢ ǫ✱ ,♦ ,✉❝❤ ❛ ❞❡✈✐❛&✐♦♥ ✐, ❛❧,♦ ♥♦& ♣"♦✜&❛❜❧❡✳

❍❡♥❝❡ &❤❡ ❝❧❛✐♠❡❞ ,&"❛&❡❣✐❡, ❛"❡ ❛♥ ❡?✉✐❧✐❜"✐✉♠ ✐♥ &❤❡ ❝♦♠♣❡&✐&✐✈❡ ❝❛,❡✳

◆♦✇ ❝♦♥,✐❞❡" &❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ❝❛,❡✳ ■♥ ❛ ,②♠♠❡&"✐❝ ❡?✉✐❧✐❜"✐✉♠✱ ❜♦&❤ ✜"♠, ❛"❡ ❝❤❛"❣✐♥❣ &❤❡

❧♦✇❡,& ♣"✐❝❡✳ ❍❡♥❝❡✱ ❢♦" ❛❜,❡♥❝❡ ♦❢ ♣"♦✜&❛❜❧❡ ♣"✐❝❡✕"❛✐,✐♥❣✱ ✇❡ ♠✉,& ❤❛✈❡ 1/2(piI +Π∗,RLi ) +

1/2Π∗,Si = Π∗,Si ❀ ,♦❧✈✐♥❣ ❢♦" &❤❡ ✐♥&"♦❞✉❝&♦"② ♣"✐❝❡ ②✐❡❧❞, &❤❡ ❝❧❛✐♠❡❞ ❝♦♥❞✐&✐♦♥✳

I❛②♦✛ ✉♥✐?✉❡♥❡,,✿ ❙✉♣♣♦,❡ &❤❡"❡ ✐, ❛ ✜"♠ ✇✐&❤ ♣❛②♦✛ ❣"❡❛&❡" &❤❛♥ Π∗,Si ✳ ❈❧❡❛"❧②✱ &❤✐,

✜"♠ ♠✉,& ❜❡ ♠❛❦✐♥❣ ♣♦,✐&✐✈❡ ,❛❧❡, ❛& ♣"✐❝❡ pIi > p∗Ii ❀ ❢♦" ,❛❧❡, &♦ ❜❡ ♣♦,✐&✐✈❡✱ ♥♦ ✜"♠ ,❤♦✉❧❞

❝❤❛"❣❡ ❛ ♣"✐❝❡ ❧♦✇❡" &❤❛♥ pIi ✳ ❚❤❡♥ ❡✐&❤❡" ✭❛✮ ❛❧❧ ♦&❤❡" ✜"♠, ❛"❡ ❝❤❛"❣✐♥❣ ♠♦"❡ &❤❛♥ pIi ✳ ■♥

&❤✐, ❝❛,❡✱ ❛♥② ♦❢ &❤❡ ♦&❤❡" ✜"♠ ❤❛, ❛ ♣"♦✜&❛❜❧❡ ❞❡✈✐❛&✐♦♥ &♦ ❧♦✇❡"✐♥❣ ♣"✐❝❡ pIi − ǫ✳ ❖" ✭❜✮✱

&❤❡"❡ ✐, ❛♥♦&❤❡" ✜"♠ ❝❤❛"❣✐♥❣ &❤❡ ,❛♠❡ ♣"✐❝❡ pIi ❛♥❞ ,❤❛"✐♥❣ &❤❡ ♠❛"❦❡& ✇✐&❤ ✜"♠ i✳ ■♥ &❤✐,

❝❛,❡✱ &❤❡ ♣"♦✜&❛❜❧❡ ❞❡✈✐❛&✐♦♥ ✐, ❢♦" ,❛✐❞ ✜"♠ &♦ ❧♦✇❡" ✐&, ♣"✐❝❡ ❜② ❛♥ ǫ✳

✶✳✺ ❙$%❛$❡❣✐❝ ❊✛❡❝$- ♦❢ ❘❡$❡♥$✐♦♥

❍♦✇ ❞♦ ❝❤❛♥❣❡, ✐♥ &❤❡ ❝♦,& ♦❢ ❝❧❛✐♠✐♥❣ "❡&❡♥&✐♦♥ ❛✛❡❝& ♠❛"❦❡& ❝♦♠♣❡&✐&✐♦♥❄ ❚❤✐, ?✉❡,&✐♦♥ ✐,

♦❢ ✐♥&❡"❡,& ✐♥ &❤❡ ❝❛,❡ ♦❢ ❞✉♦♣♦❧②✱ ❛, ✇❡ ❛❧"❡❛❞② ,❤♦✇❡❞ &❤❛& ✐♥ ❝♦♠♣❡&✐&✐✈❡ ♠❛"❦❡&, "❡&❡♥&✐♦♥

❞♦❡, ♥♦& ❛"✐,❡ ✐♥ ❡?✉✐❧✐❜"✐✉♠✳

❋✐",&✱ ✇❡ ❡,&❛❜❧✐,❤ &❤❛& &❤❡ "❡&❡♥&✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ♥❡,&, &❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐&❤ ✏♣✉"❡✑ ❜❡❤❛✈✐♦✉" ❜❛,❡❞

♣"✐❝❡ ❞✐,❝"✐♠✐♥❛&✐♦♥ ❛❧♦♥❣ &❤❡ ❧✐♥❡, ♦❢ ❈❤❡♥ ✭✶✾✾✼✮ ❛♥❞ ❚❛②❧♦" ✭✷✵✵✸✮ ❢♦" &❤❡ ❝❛,❡ ✇❤❡"❡

♣❛"❛♠❡&❡" α = 0✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✺✳✶✳ ❲❤❡♥ α = 0✱ %❤❡ ♣❛②♦✛ ✉♥✐-✉❡ ❡-✉✐❧✐❜0✐✉♠ ♦❢ %❤❡ ❣❛♠❡ ✐4 ❝❤❛0❛❝%❡0✐4❡❞

❛4 ❢♦❧❧♦✇4

✶✳ ■♥ %❤❡ ♠❛%✉0❡ ♠❛0❦❡%✱ ❝♦♥4✉♠❡04 ✇✐%❤ θ < θ∗S 4✇✐%❝❤ ❛♥❞ ♦%❤❡04 4%❛② ❧♦②❛❧ ✇✐%❤

0 =1− 2F (θ∗S)

f(θ∗S− θ∗S ✭✶✳✺✳✶✮


DOI: 10.2870/93798

✷✻ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

✷✳ ▼❛$✉&❡ ♠❛&❦❡$ ♣&✐❝❡- ❛&❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

1− F (θ∗S)

f(θ∗S)= p∗L = p∗R ✭✶✳✺✳✷✮

F (θ∗S)

f(θ∗S)= p∗S ✭✶✳✺✳✸✮

✸✳ ❈♦♥-✉♠❡&- ❡✈❡♥❧② -♣❧✐$ ❜❡$✇❡❡♥ ✜&♠- ✐♥ $❤❡ ✜&-$ ♣❡&✐♦❞

✹✳ ■♥$&♦❞✉❝$♦&② ♣&✐❝❡- -❛$✐-❢②

p∗I =F (θ∗S)

f(θ∗S)F (θ∗S)− 1− F (θ∗S)

f(θ∗S)

(1− F (θ∗S)

)✭✶✳✺✳✹✮

✺✳ ?❛②♦✛- ♦❢ ❛❧❧ ♣❧❛②❡&- ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐$❤ $❤❡ &❡❞✉❝❡❞ ❣❛♠❡ ✇❤❡&❡ $❤❡ &❡$❡♥$✐♦♥ ❛❝$✐♦♥ ✐-

❞❡❧❡$❡❞

?&♦♦❢✳ ❲❤❡♥ α = 0✱ ❛❧❧ ❝♦♥0✉♠❡30 ❝❤♦♦0❡ 4❤❡ ❝❤❡❛♣❡3 ♦❢ 4❤❡ ❧♦②❛❧✴3❡4❛✐♥❡❞ ♦✛❡30✿

θR =

1 ✐❢ pRi ≥ pLi

θS ♦4❤❡3✇✐0❡

✭✶✳✺✳✺✮

❚❤❡ ♠❛①✐♠✐0❛4✐♦♥ ♣3♦❜❧❡♠ ♦♥ 4❤❡ ♦✇♥ ❝♦♥0✉♠❡3 ❜❛0❡ 4❤❡♥ ❜❡❝♦♠❡0✿

♠❛①

pRi ,pLi

γi(1− F (θS))min{pRi , pLi }

✭✐✐✮ ❚❤✉0✱ 4❤❡ ♣❛②♦✛ ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞0 ♦♥ 4❤❡ 0♠❛❧❧❡3 ♦❢ 4❤❡ 4✇♦ ♣3✐❝❡0 ❛♥❞ ✇✐4❤♦✉4 ❧♦00 ♦❢

❣❡♥❡3❛❧✐4② ✇❡ ❝❛♥ 0❡4 4❤❡♠ ❡D✉❛❧✳ ❙♦❧✈✐♥❣ 4❤❡ ✜304 ♦3❞❡3✕❝♦♥❞✐4✐♦♥ 4❤❡♥ ②✐❡❧❞0 4❤❡ ❝❧❛✐♠❡❞

❧♦②❛❧✴3❡4❡♥4✐♦♥ ♣3✐❝❡ ❝♦♥❞✐4✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣3✐❝✐♥❣ ❢♦3 0✇✐4❝❤✐♥❣ ❝♦♥0✉♠❡30 ✐0 ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❢3♦♠

❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✼✳

✭✐✮ ❇② 0✉❜43❛❝✐♥❣ 4❤❡ ❝♦♥❞✐4✐♦♥0 ❢♦3 ♦♣4✐♠❛❧ 0✇✐4❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ❧♦②❛❧ ♣3✐❝❡

✭✐✐✐✮✱ ✭✐✈✮ ❢♦❧❧♦✇ ❞✐3❡❝4❧② ❢3♦♠ ♣3♦♣♦0✐4✐♦♥ ✶✳✹✳✸

✭✈✮ ❇② ❞✐3❡❝4 ❝♦♠♣❛3✐0✐♦♥ ♦❢ ❡D✉✐❧✐❜3✐✉♠ 043❛4❡❣✐❡0✳

❚❤✉0✱ 0✐♥❝❡ ♦✉3 ♠♦❞❡❧ ✐0 ❝♦♥4✐♥✉♦✉0✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥0✐❞❡3 ❝♦♠♣❛3❛4✐✈❡ 04❛4✐❝0 ❛4 α = 0

4♦ ✐♥✈❡04✐❣❛4❡ 4❤❡ ❡✛❡❝40 ♦❢ ✐♥43♦❞✉❝✐♥❣ 3❡4❡♥4✐♦♥✳ ▼♦3❡♦✈❡3✱ ♦✉3 ❝♦♠♣❛3❛4✐✈❡ 04❛4✐❝0 ❛3❡

♠♦♥♦4♦♥❡❀ 4❤✐0 ❛❧❧♦✇0 ✉0 4♦ ❡✈❛❧✉❛4❡ ❛❧0♦ 3❛4❤❡3 ❞✐0❝♦♥4✐♥✉♦✉0 ♣♦❧✐❝② ♠♦✈❡♠❡♥40 ✇❤❡3❡ α

✏❥✉♠♣0✑ ✐♥4♦ 4❤❡ ✐♥4❡3✐♦3✳

❆0 α 3✐0❡0✱ ✐♥0♣❡❝4✐♦♥ ♦❢ 4❤❡ ♣3✐❝✐♥❣ ❡D✉❛4✐♦♥ ✐♥ ♣3♦♣♦0✐4✐♦♥ ✶✳✹✳✶ 0❤♦✇0 ✉0 4❤❛4 4❤❡

❞❡♠❛♥❞ ❢♦3 0✇✐4❝❤✐♥❣ ❛♥❞ 3❡4❛✐♥❡❞ ♦✛❡30 ❜❡❝♦♠❡0 ♠♦3❡ ♣3✐❝❡ ❡❧❛04✐❝✱ ✇❤✐❧❡ 4❤❡ ❞❡♠❛♥❞ ❢♦3


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✷✼

"❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡* ❜❡❝♦♠❡. ❧❡.. ❡❧❛."✐❝✳ ■♥"✉✐"✐✈❡❧②✱ ❛. α→ 1✱ "❤❡ *❡"❡♥"✐♦♥ ♦✛❡* ❜❡❝♦♠❡. ❛ ❝❧♦.❡*

.✉❜."✐"✉"❡ ❢♦* .✇✐"❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ❛ ♠♦*❡ ❞✐."❛♥" ♦♥❡ ❢♦* "❤❡ ❧♦②❛❧ ♦✛❡*✳ ❖♥❡ ♠❛② "❤✉. "❤✐♥❦ "❤❛"

"❤❡ .✇✐"❝❤✐♥❣ ❛♥❞ *❡"❡♥"✐♦♥ ♣*✐❝❡. ❢❛❧❧✳ ❋♦* "❤❡ ❧♦②❛❧ ♣*✐❝❡✱ "❤❡*❡ ❛*❡ "✇♦ ❡✛❡❝".✿ ✜*."✱ "❤❡

✐♥❝*❡❛.✐♥❣❧② ✐♥❡❧❛."✐❝ ❞❡♠❛♥❞ ❝❛❧❧. ❢♦* ❛ ❤✐❣❤❡* ♣*✐❝❡✳ ❙❡❝♦♥❞✱ "❤❡ ❢❛❧❧✐♥❣ *❡"❡♥"✐♦♥ ♣*✐❝❡ ❝❛❧❧.

❢♦* ❛ ❧♦✇❡* ♣*✐❝❡✳ ❉✉❡ "♦ "❤❡ ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈❡ "②♣❡ ❞✐."*✐❜✉"✐♦♥✱ "❤❡ ❧❛""❡* ❡✛❡❝" ❛❧✇❛②. ♦✉"✇❡✐❣❤.

"❤❡ ❢♦*♠❡*✳ ❚❤✉.✱ ✐♥ ❢❛❝"✱ *✐.✐♥❣ ❝♦." ♦❢ *❡"❡♥"✐♦♥ ❧❡❛❞. "♦ ❛❧❧ ♠❛"✉*❡ ♠❛*❦❡" ♣*✐❝❡. ❢❛❧❧✐♥❣✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✺✳✷✳ ■♥ $❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ❝❛-❡✱ ❛❧❧ ♠❛$✉0❡ ♠❛0❦❡$ ♣0✐❝❡- ❛0❡ ❞❡❝0❡❛-✐♥❣ ✐♥ α✳

▼♦0❡♦✈❡0✱

dp∗R

dα< dp∗S

dα< dp∗L

dα< 0✱ $❤❛$ ✐-✱ $❤❡ 0❡$❡♥$✐♦♥ ♣0✐❝❡ ❢❛❧❧- -$0♦♥❣❡-$✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② $❤❡

-✇✐$❝❤✐♥❣ ♣0✐❝❡❀ $❤❡ ❡✛❡❝$ ♦♥ $❤❡ ❧♦②❛❧ ♣0✐❝❡ ✐- ✇❡❛❦❡-$✱ ❜✉$ -$✐❧❧ ✉♥❛♠❜✐❣✉♦✉-❧② ♥❡❣❛$✐✈❡✳

<0♦♦❢✳ ❋*♦♠ ♣*♦♣♦.✐"✐♦♥ ✶✳✹✳✶✱ ♣❛*" ✭✶✮✱ ✐" ✐. ❝❧❡❛* "❤❛" ♠❛*❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡* ❛*❡ ✜①❡❞ ✐♥❞❡♣❡♥✲

❞❡♥" ♦❢ α✳ ❚❤✉.✱ "♦ ✜♥❞ "❤❡ ♣*✐❝❡ ❡✛❡❝".✱ ✇❡ ❝❛♥ .✐♠♣❧② ❞✐✛❡*❡♥"✐❛"❡ "❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐" ❢✉♥❝"✐♦♥.

❢♦* ❡J✉✐❧✐❜*✐✉♠ ♣*✐❝❡.✱ "*❡❛"✐♥❣ θ∗R ❛♥❞ θ∗S ❛. ❝♦♥."❛♥".✳ ❚❤✐. ②✐❡❧❞.

dp∗S

dα= −F (θ∗S)

f(θ∗S)

dp∗R

dα= −1− F (θ∗S)

f(θ∗S)

dp∗L

dα=

1− F (θ∗R)

f(θ∗R)− 1− F (θ∗S)

f(θ∗S)

❋*♦♠ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✽ ✇❡ ❤❛✈❡ "❤❛" 0 < F (θ∗S) < 12✳ ❍❡♥❝❡ ✐" ✐. ✐♠♠❡❞✐❛"❡ "❤❛"

dp∗S

dα< dp∗R

dα❀

❛♥❞ "❤❡ ♣*✐❝❡ ❡✛❡❝". ❛*❡ ."*✐❝"❧② ♥❡❣❛"✐✈❡✳ ❚♦ .❡❡ "❤❛" "❤❡ ❧♦②❛❧ ♣*✐❝❡ ✐. ❞❡❝*❡❛.✐♥❣✱ ♥♦"❡ "❤❛"

1−F (θ)f(θ)

✐. ❛ ."*✐❝"❧② ❞❡❝*❡❛.✐♥❣ ❢✉♥❝"✐♦♥✱ ❜② ❧♦❣✕❝♦♥❝❛✈✐"②✱ ❛♥❞ ❝♦♠❜✐♥❡ ✇✐"❤ θ∗S < θ∗R✳

❙✐♥❝❡ ❛❧❧ ♣*✐❝❡. ❢❛❧❧ ✐♥ "❤❡ ♠❛"✉*❡ ♠❛*❦❡"✱ ♣*♦✜". ♠✉." ❢❛❧❧ ❛. ✇❡❧❧✳ ■♥ ♣❛*"✐❝✉❧❛*✱ "❤❡

♣*♦✜". ❢*♦♠ .✇✐"❝❤✐♥❣ ❝♦♥.✉♠❡*. ❢❛❧❧✳ ❙✐♥❝❡ "❤❡ ✏*❡.❡*✈❛"✐♦♥ ♣*♦✜"✑ ❢*♦♠ .✇✐"❝❤✐♥❣ ❝♦♥.✉♠❡*.

❞❡"❡*♠✐♥❡. ✐♥"❡*"❡♠♣♦*❛❧ ♣*♦✜".✱ "❤❡.❡ ♣*♦✜". ❛*❡ ❢❛❧❧✐♥❣✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✺✳✸✳ ■♥ $❤❡ ❞✉♦♣♦❧② ❝❛-❡✱ ✐♥$❡0$❡♠♣♦0❛❧ ♣0♦✜$- ❛0❡ -$0✐❝$❧② ❞❡❝0❡❛-✐♥❣ ✐♥ α✳

<0♦♦❢✳ ❇② ♣*♦♣♦.✐"✐♦♥ ✶✳✹✳✸✱ ✐♥"❡*"❡♠♣♦*❛❧ ♣*♦✜". ♣*♦✜". ❡J✉❛❧ .✇✐"❝❤✐♥❣ ♣*♦✜". ✐♥ "❤❡ ♠❛✲

"✉*❡ ♠❛*❦❡"✳ ❉✐✛❡*❡♥"✐❛"✐♥❣ ✇✐"❤ *❡.♣❡❝" "♦ α✱

dΠ

dα= F (θ∗S)

dp∗S

dα= −F (θ∗S)2

f(θ∗S)< 0 ✭✶✳✺✳✻✮

✇❤❡*❡ "❤❡ .❡❝♦♥❞ ❡J✉❛❧✐"② ✐. ❢*♦♠ ♣*♦♣♦.✐"✐♦♥ ✶✳✺✳✷✳


DOI: 10.2870/93798

✷✽ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

❚❤❡ ❝♦♠♣❛*❛+✐✈❡ .+❛+✐❝. ♦❢ +❤❡ ✐♥+*♦❞✉❝+♦*② ♣*✐❝❡ ♣♦.❡ ❛♥ ✐♥+❡*❡.+✐♥❣ ❝❤❛❧❧❡♥❣❡✳ ❚❤❡ ✐♥✲

+*♦❞✉❝+♦*② ♣*✐❝❡ ✐. ❞❡+❡*♠✐♥❡❞ ❜② +❤❡ ❞✐✛❡$❡♥❝❡ ❜❡+✇❡❡♥ .✇✐+❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✴*❡+❛✐♥❡❞ ♣*♦✜+.

✐♥ +❤❡ ♠❛+✉*❡ ♠❛*❦❡+✳ ❈❧❡❛*❧②✱ ❜♦+❤ ❡①♣*❡..✐♦♥. ❛*❡ ❢❛❧❧✐♥❣✱ ❜✉+ ✇❤✐❝❤ ❡✛❡❝+ ❞♦♠✐♥❛+❡.❄ ■+

✐. .✉*♣*✐.✐♥❣❧② ❞✐✣❝✉❧+ +♦ ❣✐✈❡ ❛ ❞❡✜♥✐+❡ ❛♥.✇❡* +♦ +❤✐. D✉❡.+✐♦♥✳ ❚♦ ♣*♦❝❡❡❞ ❢✉*+❤❡* ✇✐+❤

+❤❡ ❛♥❛❧②.✐.✱ ✇❡ ✐♥+*♦❞✉❝❡ +❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐+✐♦♥✿

❆!!✉♠♣%✐♦♥ ✸ ✭❲❡❧❧✕❇❡❤❛✈❡❞ ❈♦♥❞✐+✐♦♥✮✳ F (θ) ✐' '✉❝❤ *❤❛*

F (θ∗R) ≤ F (θ∗S)

f(θ∗S)θ∗R

❚❤❡ ✏✇❡❧❧✕❜❡❤❛✈❡❞ ❝♦♥❞✐+✐♦♥✑ ❡✛❡❝+✐✈❡❧② ♣❧❛❝❡. ❛ ❧♦✇❡* ❜♦✉♥❞ ♦♥ +❤❡ ♠❛.. ♦❢ ❧♦②❛❧ ❝♦♥✲

.✉♠❡*.✱ *❡D✉✐*❡❞ ❢♦* ❝♦♠♣❛*❛+✐✈❡ .+❛+✐❝. ❢*♦♠ ♥♦✇ ♦♥✳ ■+ ✐. ♥♦+ ♦✈❡*❧② *❡.+*✐❝+✐✈❡ ✕ ❢♦*

❡①❛♠♣❧❡✱ +❤❡ ✉♥✐❢♦*♠ ❞✐.+*✐❜✉+✐♦♥ .❛+✐.✜❡. ✐+❀ ♠♦*❡♦✈❡*✱ ✐♥ ♥✉♠❡*✐❝❛❧ .✐♠✉❧❛+✐♦♥.✱ ❛❧❧ .②♠✲

♠❡+*✐❝ ❇❡+❛ ❞✐.+*✐❜✉+✐♦♥. .❛+✐.❢② +❤✐. ❝♦♥❞✐+✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡*✱ ❢✉*+❤❡* *❡.✉❧+. *❡♠❛✐♥ ❝♦♥❥❡❝+✉*❡

❛+ +❤✐. ♣♦✐♥+✳

❯♥❞❡* +❤✐. ❝♦♥❞✐+✐♦♥✱ +❤❡ ✜*.+✕♣❡*✐♦❞ ♣*✐❝❡ ✇✐❧❧ ♥♦+ *✐.❡ ❜② ♠♦*❡ +❤❛♥ +❤❡ ❧♦②❛❧ ♣*✐❝❡ ❢❛❧❧.✿

+,♦♣♦!✐%✐♦♥ ✶✳✺✳✹✳ ❯♥❞❡$ *❤❡ ✇❡❧❧✕❜❡❤❛✈❡❞ ❝♦♥❞✐*✐♦♥✱ ✜$'* ♣❡$✐♦❞ ♣$✐❝❡ $✐'❡' ✐♥ ❞✉♦♣♦❧② ❛$❡

❜♦✉♥❞❡❞ ❜②

dp∗I

dα≤ −dp∗L

dα7$♦♦❢✳ ❚❤❡ ✐♥+*♦❞✉❝+♦*② ♣*✐❝❡ ✐. ❣✐✈❡♥ ❜②

p∗Ii = Π∗,Si − Π∗,RLi =

θSˆ

0

p∗Sf(x)dx−θRˆ

θS

p∗Rf(x)dx−1ˆ

θR

p∗Lf(x)dx

✇❤❡*❡ +❤❡ .❡❝♦♥❞ ❡D✉❛❧✐+② ✐. ❢*♦♠ .✉❜.+✐+✉+✐♥❣ ❡D✉✐❧✐❜*✐✉♠ ♣*♦❞✉❝❡* ❛♥❞ ❝♦♥.✉♠❡* ❜❡❤❛✈✐♦✉*

❢*♦♠ ♣*♦♣♦.✐+✐♦♥ ✶✳✹✳✶✳ ❉✐✛❡*❡♥+✐❛+✐♥❣ ✇✐+❤ *❡.♣❡❝+ +♦ +❤❡ ♣❛*❛♠❡+❡*✱

dp∗Iidα

=

θSˆ

0

dp∗S

dαf(x)dx−

θRˆ

θS

dp∗R

dαf(x)dx−

1ˆ

θR

dp∗L

dαf(x)dx

= F (θS)

(dp∗S

dα+

dp∗R

dα

)

︸︷︷︸

−1/f(θ∗S)

−F (θR)

(dp∗R

dα− dp∗L

dα

)

︸︷︷︸

−(θR)

− dp∗L

dα︸︷︷︸

(−)

= F (θR)θR −F (θS)

f(θ∗S)︸︷︷︸

<0

−dp∗L

dα

✇❤❡*❡ +❤❡ ✜*.+ ❡D✉❛❧✐+② ❛♣♣❧✐❡. ▲❡✐❜♥✐+③✬ *✉❧❡✱ *❡❝♦❣♥✐.✐♥❣ +❤❡ ❢❛❝+ +❤❛+ ♠❛*❣✐♥❛❧ ❝♦♥✲

.✉♠❡*. ❛*❡ ✜①❡❞✳ ❲❡ +❤❡♥ .♦❧✈❡ +❤❡ ✐♥+❡❣*❛❧ ❛♥❞ ✜♥❛❧❧② ✉.❡ +❤❡ ✇❡❧❧✕❜❡❤❛✈❡❞ ❝♦♥❞✐+✐♦♥✳


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❈❤❛♣$❡&✶ ✷✾

❋✐❣✉&❡ ✶✳✹✿ ❊✛❡❝/0 ♦❢ ❘❡/❡♥/✐♦♥ ✐♥ /❤❡ ▼❛/✉&❡ ▼❛&❦❡/ ✭❯♥✐❢♦&♠ ❊①❛♠♣❧❡✮

✶✳✺✳✶ ❯♥✐❢♦(♠ ❊①❛♠♣❧❡

❋♦& ❝♦♥❝&❡/❡♥❡00✱ ❝♦♥0✐❞❡& ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐/❤ ❛ ✉♥✐❢♦&♠ ❞✐0/&✐❜✉/✐♦♥ ♦♥ [0, 1]✳ ❋&♦♠ ❧❡♠♠❛0

✶✳✹✳✻ ❛♥❞ ✶✳✹✳✼✱ ✇❡ ♦❜/❛✐♥ ♣❛&❛♠❡/&✐❝ ❡①♣&❡00✐♦♥0 ❢♦& /❤❡ ❜❡0/✕&❡0♣♦♥0❡ ❢✉♥❝/✐♦♥0✿

p∗S =pR

2

p∗R =1− α + pS

2

p∗L =1 + pS

2

❚❤✉0✱ ✐♥ /❤❡ ✉♥✐❢♦&♠ ❝❛0❡✱ /❤❡ ❜❡0/ &❡0♣♦♥0❡ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ 0✇✐/❝❤✐♥❣ ♣&✐❝❡0 ❞♦ ♥♦/ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥

/❤❡ ♣❛&❛♠❡/❡&✳ ❚❤✐0 ❢❛❝✐❧✐/❛/❡0 ❛ ❣&❛♣❤✐❝❛❧ ❛♥❛❧②0✐0 ♦❢ /❤❡ ❡✛❡❝/ ♦❢ &❡/❡♥/✐♦♥ ♣&✐❝✐♥❣✳ ■♥ ✜❣✉&❡

❄❄✱ /❤❡ ✐♥/❡&0❡❝/✐♦♥ ♦❢ ❧✐♥❡0 L∗ ❛♥❞ S∗✱ ❞❡♥♦/❡❞ E1✱ ✐0 /❤❡ ❡K✉✐❧✐❜&✐✉♠ ♣&✐❝❡ ♣&♦✜❧❡ ✇❤❡♥

&❡/❡♥/✐♦♥ ✐0 ✏❜❛♥♥❡❞✑✱ ♦& ❛❧/❡&♥❛/✐✈❡❧② /❤❡ ❡✛♦&/ /♦ 0❡❝✉&❡ &❡/❡♥/✐♦♥ ✐0 ③❡&♦✳ ❈♦♥0✐❞❡& ♥♦✇ ❛

0✐/✉❛/✐♦♥ ✇❤❡&❡ α > 0✳ ❚❤❡♥ /❤❡ ✐♠♠❡❞✐❛/❡ ❡✛❡❝/ ✐0 ❛ ❞♦✇♥✇❛&❞0 0❤✐❢/ ✐♥ /❤❡ &❡/❡♥/✐♦♥ ❜❡0/

&❡0♣♦♥0❡ ❢✉♥❝/✐♦♥✱ R∗❀ /❤❡&❡ ✐0 ♥♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ /❤❡ ❜❡0/ &❡0♣♦♥0❡ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ 0✇✐/❝❤✐♥❣ ❢✉♥❝/✐♦♥0✱

❛ 0♣❡❝✐✜❝ ❢❡❛/✉&❡ ♦❢ /❤❡ ✉♥✐❢♦&♠ ❡①❛♠♣❧❡✳ ❚❤❡ ❡K✉✐❧✐❜&✐✉♠ ✇✐/❤ &❡/❡♥/✐♦♥ ✐0 &❡❛❝❤❡❞ ❛/ E2✱

❛♥❞ /❤❡ ❧♦②❛❧ ♣&✐❝❡ ✐0 L2✳ ❚❤✉0✱ ❛❧❧ ♠❛/✉&❡ ♠❛&❦❡/ ♣&✐❝❡0 ❛&❡ ❜❡❧♦✇ /❤❡ ✐♥✐/✐❛❧ ❧❡✈❡❧ E1❀ /❤✐0

❢❡❛/✉&❡✱ ❛0 ✇❡ ❤❛✈❡ ❞✐0❝✉00❡❞✱ ✐0 ♠♦&❡ ❣❡♥❡&❛❧✳

❇② 0✉❜0/✐/✉/✐♦♥ ✐♥/♦ ♣&♦♣♦0✐/✐♦♥ ✶✳✺✳✹✱ ✇❡ ✜♥❞ /❤❛/ /❤❡ ❡K✉✐❧✐❜&✐✉♠ ✜&0/ ♣❡&✐♦❞ ♣&✐❝❡ ✐0

p∗I = − (4−α)12

✱ ✇❤✐❝❤ ✐0 ✐♥❝&❡❛0✐♥❣ ✐♥ /❤❡ ♣❛&❛♠❡/❡&✳ ❚❤✉0✱ /❤❡ ❡✛❡❝/ ♦❢ ♠♦&❡ ✜❡&❝❡ ♠❛/✉&❡

♠❛&❦❡/ ❝♦♠♣❡/✐/✐♦♥ ✐0 ❝♦✉♥/❡&❛❝/❡❞ ❜② ✇❡❛❦❡& ✜&0/✕♣❡&✐♦❞ ❝♦♠♣❡/✐/✐♦♥✳

✶✳✻ ❲❡❧❢❛(❡

❘❡/❡♥/✐♦♥✱ ✐♥ ❛♥ ✐♠♣❡&❢❡❝/❧② ❝♦♠♣❡/✐/✐✈❡ 0❡//✐♥❣✱ ❝❡&/❛✐♥❧② ❤❛&♠0 ✜&♠ ♣&♦✜/❛❜✐❧✐/②✱ ❛0 ✇❡

❤❛✈❡ ❛❧&❡❛❞② ❞✐0❝✉00❡❞❀ ②❡/ /❤❡ ♦✈❡&❛❧❧ ✇❡❧❢❛&❡ ❡✛❡❝/0 &❡♠❛✐♥ /♦ ❜❡ ❛❞❞&❡00❡❞✳ ❋✐&0/✱ ♦❜0❡&✈❡


DOI: 10.2870/93798

✸✵ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

"❤❛" ❞✉❡ "♦ "❤❡ ♠♦❞❡❧ ❤❛✈✐♥❣ ✐♥❡❧❛/"✐❝ ❞❡♠❛♥❞✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦" ❛❧❧♦✇ ❢♦4 "❤❡ ♣♦//✐❜✐❧✐"② "❤❛" ♣4✐❝❡

❢❛❧❧/ ❝❛♥ 4❛✐/❡ ✇❡❧❢❛4❡ ❜② ✐♥❝4❡❛/✐♥❣ ❝♦♥/✉♠♣"✐♦♥✳ ❆/ ❙"♦❧❡ ✭✷✵✵✼✮ ❡♠♣❤❛/✐/❡/✱ ♦♥❡ ♠✉/"

"❤✉/ "❛❦❡ ❝❛4❡ "♦ ✐♥"❡4♣4❡" ✇❡❧❢❛4❡ 4❡/✉❧"/✱ ❜❡❛4✐♥❣ ✐♥ ♠✐♥❞ "❤❛" "❤❡ ♠♦❞❡❧ ✉♥❞❡4❡/"✐♠❛"❡/

♣♦//✐❜❧❡ ❣❛✐♥/ ✇❤❡♥ "❤❡4❡ ❛4❡ ❣❛✐♥/ "♦ ❜❡ ❤❛❞ ❜② ✐♥❝4❡❛/✐♥❣ ♠❛4❦❡" ❝♦✈❡4❛❣❡✳ ■♥ ♦✉4 ♠♦❞❡❧✱

/♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛4❡ ♠✉/" ❢❛❧❧ ✇❤❡♥ 4❡"❡♥"✐♦♥ ✐/ ❛❧❧♦✇❡❞✿ ❝♦♥/✉♠❡4/ /♣❡♥❞ /♦♠❡ ❡✛♦4" "♦ /❡❝✉4❡ "❤❡

4❡"❡♥"✐♦♥ ♦✛❡4✱ ❛♥❞ "❤✐/ ❡✛♦4" ✐/ ❞❡❛❞ ✇❡✐❣❤" ❧♦//✳ ❇✉" ✉♥❞❡4 "❤❡ ✇❡❧❧✕❜❡❤❛✈❡❞ ❝♦♥❞✐"✐♦♥✱

❝♦♥/✉♠❡4 /✉4♣❧✉/ 4✐/❡/✳ ■♥ ❢❛❝"✱ "❤❡ 4✐/❡ ✐/ /✉✣❝✐❡♥"❧② /"4♦♥❣ "❤❛" ❡❛❝❤ ❝♦♥/✉♠❡4 "②♣❡ ✐/

❜❡""❡4 ♦✛✳

❈♦♥/✉♠❡4 /✉4♣❧✉/ ✐/ ❞❡✜♥❡❞ ❛/ "❤❡ ❡①♣❡❝"❡❞ ✉"✐❧✐"② ♦❢ ❛ ❝♦♥/✉♠❡4 ❣✐✈❡♥ ❡I✉✐❧✐❜4✐✉♠

/"4❛"❡❣✐❡/✿

CS(α) = β − p∗I(α) + β −θ∗Sˆ

0

(p∗S(α) + x)f(x)dx ✭✶✳✻✳✶✮

−θ∗Rˆ

θ∗S

(p∗R(α) + αx)f(x)dx−1ˆ

θ∗R

p∗L(α)f(x)dx

= 2β − Π∗S(α)− Φ(α) ✭✶✳✻✳✷✮

✇❤❡4❡ Π∗S(α) ✐/ ♣4♦❞✉❝❡4 /✉4♣❧✉/✱ ❛/ ❞✐/❝✉//❡❞ ❛❧4❡❛❞②✱ ❛♥❞ Φ(α) ✐/ "❤❡ ❞❡❛❞ ✇❡✐❣❤" ❧♦//

♦❢ /✇✐"❝❤✐♥❣ ❡✛♦4"✿

Φ(α) =

θ∗Sˆ

0

xf(x)dx+

θ∗Rˆ

θ∗S

αxf(x)dx

❍❡♥❝❡✱ ✐♥❞❡❡❞✱ /♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛4❡ ✐/ ❛✛❡❝"❡❞ ❜② 4❡"❡♥"✐♦♥ ♦♥❧② "❤4♦✉❣❤ /✇✐"❝❤✐♥❣ ❡✛♦4"✱ ❛♥❞

❢❛❧❧/ ❛/ "❤❡ ♣❛4❛♠❡"❡4 4✐/❡/✿

W (α) = CS(α) + Π∗S(α) = 2β − Φ(α)

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✶✳✻✳✶✳ ❯♥❞❡' (❤❡ ✇❡❧❧✕❜❡❤❛✈❡❞ ❝♦♥❞✐(✐♦♥✱ ❝♦♥1✉♠❡' 1✉'♣❧✉1 ✐1 1('✐❝(❧② ✐♥❝'❡❛1✲

✐♥❣ ✐♥ α❀ ♠♦'❡♦✈❡'✱ ❛1 α '✐1❡1✱ ❡❛❝❤ (②♣❡ ✐1 ✇❡❛❦❧② ❜❡((❡' ♦✛

;'♦♦❢✳ ✳

✶✳ ❚❤❡ ❞❡4✐✈❛"✐✈❡ ♦❢ ❝♦♥/✉♠❡4 /✉4♣❧✉/ ✐/

dCS

dα= −dp∗I

dα− F (θ∗S)

dp∗S

dα− [F (θ∗R)− F (θ∗S)]

dp∗S

dα− (1− F (θ∗R))

dp∗L

dα

≥ p∗L

dα− p∗L

dα= 0


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✶ ✸✶

✇❤❡%❡ &❤❡ '❡❝♦♥❞ ❡,✉❛❧✐&② ❢♦❧❧♦✇' ❢%♦♠ ♣%♦♣♦'✐&✐♦♥ ✶✳✺✳✷ ❛♥❞ &❤❡ &❤✐%❞ ❢%♦♠ ♣%♦♣♦'✐&✐♦♥

✶✳✺✳✹✳

✷✳ ❋✐%'&✱ ❢♦% '✇✐&❝❤✐♥❣ ❝♦♥'✉♠❡%'✱ ✇❡ ❤❛✈❡

du∗dα|S = −dp∗I

dα− dp∗S

dα>

dp∗L

dα− p∗S

dα> 0

❢♦% ❧♦②❛❧ ❝♦♥'✉♠❡%'✱ &❤❡ %❡'✉❧& ✐' ✐♠♠❡❞✐❛&❡✳ ■& %❡♠❛✐♥' &♦ ❝❤❡❝❦ ❢♦% %❡&❛✐♥❡❞ ❝♦♥'✉♠❡%'✿

du∗dα|R = −dp∗I

dα− dp∗R

dα− θ

≥(1− F (θ∗R)

f(θ∗R)− 1− F (θ∗S)

f(θ∗S)

)

+1− F (θ∗S)

f(θ∗S)− θ

≥ 0

✇❤❡%❡ &❤❡ ❧❛'& ✐♥❡,✉❛❧✐&② ❢♦❧❧♦✇' ❜❡❝❛✉'❡ &❤❡ ❤✐❣❤❡'&✕❝♦'& %❡&❛✐♥❡❞ ❝♦♥'✉♠❡% ✐' ❛& θ∗R✳

❚❤❡ ❝♦♥'✉♠❡% ❣❛✐♥' ❢%♦♠ %❡&❡♥&✐♦♥ ❛%❡ ♥♦& ❡✈❡♥❧② ❞✐'&%✐❜✉&❡❞✳ ■♥❞❡❡❞✱ '✇✐&❝❤✐♥❣ ❝♦♥✲

'✉♠❡%' ❜❡♥❡✜& &❤❡ ♠♦'& ❢%♦♠ %❡&❡♥&✐♦♥❀ %❡&❛✐♥❡❞ ❝♦♥'✉♠❡%' ❡♥❥♦② &❤❡ ❧❛%❣❡'& ♣%✐❝❡ ❢❛❧❧✱

❜✉& ❛❧'♦ ❜❡❛% &❤❡ ✐♥❝%❡❛'❡❞ ❝♦'& ♦❢ ❡✛♦%& ❛' α %✐'❡'✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❧♦②❛❧ ❝♦♥'✉♠❡%' ❡♥❥♦② ❛ ♠✐❧❞

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✸✷ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

❙✉♣♣♦&❡ ❜❡❢♦*❡ +❤❡ &+❛*+ ♦❢ +❤❡ &❡❝♦♥❞ ♣❡*✐♦❞✱ ❡❛❝❤ ✜*♠ ❤❛& +❤❡ ♦♣+✐♦♥ +♦ ❝♦♠♠✐+ +♦

&❡++✐♥❣ +❤❡ *❡+❡♥+✐♦♥ ♣*✐❝❡ ❡6✉❛❧ +♦ +❤❡ &✇✐+❝❤✐♥❣ ♣*✐❝❡✳ ■♥ &✉❜❣❛♠❡& ✇❤❡*❡ +❤❡ ✜*♠ ✐&

❝♦♠♠✐++❡❞✱ +❤❡ ♣*✐❝❡ ♠❛+❝❤✐♥❣ ❧♦❣✐❝ ❛♣♣❧✐❡&✿ ❢♦* ❛♥② &✇✐+❝❤✐♥❣ ♣*✐❝❡✱ +❤❡ ❝♦♠♣❡+✐+♦* ✇✐❧❧ ♥♦+

♠❛❦❡ ♣♦&✐+✐✈❡ &❛❧❡&❀ &♦ ❛♥② &✇✐+❝❤✐♥❣ ♣*✐❝❡ ❝❛♥ ❜❡ &✉♣♣♦*+❡❞ ✐♥ ❡6✉✐❧✐❜*✐✉♠✳ ❚❤❡ ❧♦②❛❧ ♣*✐❝❡

✐& ❛ ❜❡&+ *❡&♣♦♥&❡ +♦ ✇❤❛+❡✈❡* &✇✐+❝❤✐♥❣ ♣*✐❝❡ ✐& ❝❤♦&❡♥ ✐♥ ❡6✉✐❧✐❜*✐✉♠✳ ■♥ &✉❜❣❛♠❡& ✇❤❡*❡

+❤❡ ✜*♠& ❝❤♦♦&❡& ♥♦+ +♦ ❝♦♠♠✐+✱ +❤❡ ♠❛+✉*❡ ♠❛*❦❡+ ❛& ❛♥❛❧②&❡❞ ❜❡❢♦*❡ ✉♥❢♦❧❞&✳

■♥ &✉❝❤ ❛♥ ❡①+❡♥❞❡❞ ♠♦❞❡❧✱ ✇❡ ❝❛♥ ❤❛✈❡ ❡6✉✐❧✐❜*✐❛ ✇❤❡*❡ *❡+❡♥+✐♦♥ ✐& ♣*✐❝❡ ♠❛+❝❤✐♥❣✳

❍♦✇❡✈❡*✱ +❤❡&❡ ❡6✉✐❧✐❜*✐❛ ❛*❡ ♠♦"❡ ❞❡&✐*❛❜❧❡ ❢*♦♠ ❜♦+❤ ❛ ❝♦♥&✉♠❡* ❛♥❞ &♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛*❡ ♣❡*✲

&♣❡❝+✐✈❡✳ ❚❤✐& ❛*✐&❡& ❜❡❝❛✉&❡✱ ✉♥❞❡* ♣*✐❝❡ ♠❛+❝❤✐♥❣✱ +❤❡ ❝♦♥+✐♥✉❛+✐♦♥ ♣*♦✜+ Π∗S ✐& ③❡*♦❀

❤❡♥❝❡ ✜*&+ ❝♦♠♣❡+✐+✐♦♥ ✐& &✉✣❝✐❡♥+❧② ✜❡*❝❡ &♦ +❤❛+ ❝♦♥&✉♠❡*& ❝❛♥ &❡❝✉*❡ +❤❡ ❡♥+✐*❡ &✉*♣❧✉&✳

❚❤✉&✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦* ♣*✐❝❡ ♠❛+❝❤✐♥❣ ❡✈❡♥ &+*❡♥❣+❤❡♥& ♦✉* *❡&✉❧+& *❡❣❛*❞✐♥❣ +❤❡ ♣*♦✕❝♦♠♣❡+✐+✐✈❡

❡✛❡❝+& ♦❢ *❡+❡♥+✐♦♥✱ ❜✉+ ❢♦* +❤❡ ♦♣♣♦&✐+❡ *❡❛&♦♥ ✭✜❡*❝❡ ✜*&+✕♣❡*✐♦❞ ❝♦♠♣❡+✐+✐♦♥✮ ❛& ♦♣♣♦&❡❞

+♦ +❤❡ ♣*✐❝❡ ❞✐&❝*✐♠✐♥❛+✐♦♥ ♠♦❞❡❧✳

❊①❛♠♣❧❡ ✶✳✼✳✶ ✭❊6✉✐❧✐❜*✐✉♠ ✇✐+❤ K*✐❝❡ ▼❛+❝❤✐♥❣✮✳ ■♥ &❤❡ (✉❜❣❛♠❡ ✇❤❡"❡ &❤❡ ✜"♠ ❝❤♦♦(❡(

♣"✐❝❡ ♠❛&❝❤✐♥❣✱ &❤❡ ♣"♦✜& ♦♥ (✇✐&❝❤✐♥❣ ❝♦♥(✉♠❡"(✱ θR = 0 ❢♦" ❛❧❧ p✱ ♣"❡❝✐(❡❧② ❞✉❡ &♦ &❤❡

❣✉❛"❛♥&❡❡✳ ❍❡♥❝❡✱ ❛♥② (✇✐&❝❤✐♥❣ ♣"✐❝❡ ✐( ❛ ❜❡(& "❡(♣♦♥(❡✳ ❋♦" ❡①✐(&✐♥❣ ❝♦♥(✉♠❡"(✱ &❤❡ ♣"♦❜❧❡♠

❜❡❝♦♠❡(

♠❛① [1− F (θR)]piL + [F (θR)− F (θS)]p

iR

= [1− F (θR)]piL + [F (θR)− 0]pi

S

✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞( &❤❡ (❛♠❡ ❜❡(& "❡(♣♦♥(❡ ❡①♣"❡((✐♦♥ piL∗(piS) = α 1−F (θR)

f(θR)+ pi

S✉(✐♥❣ &❤❡ (&❡♣(

❛( ✐♥ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✻✳

❍❡♥❝❡ ✇❡ ♠❛② ❤❛✈❡ ❛♥ ❡?✉✐❧✐❜"✐✉♠ ✇❤❡"❡✱ ❢♦" ❡①❛♠♣❧❡✱ piL∗ = β✱piS∗

= piL∗−1(β) ✉♥❞❡"

♣"✐❝❡ ♠❛&❝❤✐♥❣✳ ❚❤✐( ❛((✉"❡( &❤❡ ♠♦♥♦♣♦❧② ♣"♦✜& &♦ &❤❡ (❡❧❧❡"✱ ✇❤✐❝❤ ✐( ❜❡&&❡" &❤❛♥ ❛"❝❤✐✈❡❞

✉♥❞❡" ♣"✐❝❡ ❞✐(❝"✐♠✐♥❛&✐♦♥✳ ❍❡♥❝❡✱ &❤❡ ✜"♠ ✇✐❧❧ ❝❤♦♦(❡ ♣"✐❝❡ ♠❛&❝❤✐♥❣✳ ❇✉& &❤❡♥ &❤❡ ✜"(&✕

♣❡"✐♦❞ ♣"✐❝❡ ❡?✉❛❧( −Π∗2,RL✱ (✐♥❝❡ (✇✐&❝❤✐♥❣ ♣"♦✜&( ❛"❡ ③❡"♦✳ ❙♦ ✐♥&❡"&❡♠♣♦"❛❧ ♣"✐❝❡( ❛"❡ ③❡"♦✱

❝♦♥(✉♠❡"( ❡①&"❛❝& ❛❧❧ &❤❡ (✉"♣❧✉(✱ ❛♥❞ ❢✉❧❧ ❡✣❝✐❡♥❝② ✐( ❛❝❤✐❡✈❡❞ (✐♥❝❡ &❤❡"❡ ✐( ♥♦ (✇✐&❝❤✐♥❣✳

❚❤✉(✱ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦" ♣"✐❝❡ ♠❛&❝❤✐♥❣ ❞♦❡( ♥♦& ✇❡❛❦❡♥ ♦✉" "❡(✉❧&( ❛❜♦✉& "❡&❡♥&✐♦♥ ❜❡✐♥❣ ♣"♦✕

❝♦♠♣❡&✐&✐✈❡✳

❖♥ &❤❡ ♦&❤❡" ❤❛♥❞✱ &❤❡"❡ ♠❛② ❜❡ ❡?✉✐❧✐❜"✐❛ ✇❤❡"❡ ✐♥ &❤❡ ♣"✐❝❡ ♠❛&❝❤✐♥❣ ❝♦♥&✐♥✉❛&✐♦♥✱

(✇✐&❝❤✐♥❣ ♣"✐❝❡( ❛"❡ ❧♦✇ ✕ (❛② ③❡"♦✳ ❚❤❡♥✱ &❤❡ ✜"♠ ✇♦✉❧❞ ♥♦& ❝❤♦♦(❡ &♦ ❝♦♠♠✐&✱ ❛♥❞ &❤❡

❡?✉✐❧✐❜"✐✉♠ ♦✉&❝♦♠❡( ❝♦""❡(♣♦♥❞ &♦ &❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐&❤♦✉& ♣"✐❝❡ ♠❛&❝❤✐♥❣✳


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❈❤❛♣$❡&✶ ✸✸

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❚❤#♦✉❣❤♦✉' '❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ✇❡ #❡.✉✐#❡❞ ❝♦♥2✉♠❡#2 '♦ ❤❛✈❡ ❛ ❤✐❣❤ ❞❡❣#❡❡ ♦❢ #❛'✐♦♥❛❧✐'②❀ ✐♥ ♣❛#✲

'✐❝✉❧❛#✱ ❝♦♥2✉♠❡#2 ❛#❡ ✇❡❧❧✕✐♥❢♦#♠❡❞ ❛♥❞ ❝♦##❡❝'❧② ❛♥'✐❝✐♣❛'❡ '❤❛' #❡'❡♥'✐♦♥ ♦✛❡#2 ✇✐❧❧ ❜❡

♠❛❞❡✳ ■♥ '❤❡ ✜#2' ♣❡#✐♦❞✱ ❝♦♥2✉♠❡#2 ❛♥'✐❝✐♣❛'❡ '❤❛' '❤❡ ✏❜❛#❣❛✐♥✑ ♣#✐❝❡2 ✐♥ '❤❡ ✜#2' ♣❡#✐♦❞

❛#❡ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ✏#✐♣✕♦✛2✑ ✐♥ '❤❡ ♠❛'✉#❡ ♠❛#❦❡'✱ '♦ ✉2❡ '❤❡ '❡#♠✐♥♦❧♦❣② ♦❢ '❤❡ ❋❛#❡❧❧ 2✉#✈❡②✳

❍❡♥❝❡ ✐' ✐2 ✐♠♣♦#'❛♥' '♦ ❛2❦ ❤♦✇ '❤❡ ❝♦♥❝❧✉2✐♦♥2 ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛✛❡❝'❡❞ ✐❢ ❝♦♥2✉♠❡#2 ❢❡❧❧ 2❤♦#' ♦❢

'❤✐2 #❛'❤❡# 2'#✐❝' ❜❡♥❝❤♠❛#❦✳

❲❡ ♥♦✇ ✐♥'#♦❞✉❝❡ ❛ #❛'❤❡# 2'#♦♥❣ ❢♦#♠ ♦❢ ♠②♦♣✐❛ ✐♥'♦ '❤❡ ♠♦❞❡❧✳ ▲❡' ✉2 ❛22✉♠❡ '❤❛'

❝♦♥2✉♠❡#2 ✐♥ '❤❡ ♠❛'✉#❡ ♠❛#❦❡' ❞♦ ♥♦' ❛♥'✐❝✐♣❛'❡ '❤❛' #❡'❡♥'✐♦♥ ♦✛❡#2 ✇✐❧❧ ❜❡ ♠❛❞❡❀ '❤✉2✱

❛ ❝♦♥2✉♠❡# ✜#2' ❞❡❝✐❞❡2 ✇❤❡'❤❡# '♦ 2✇✐'❝❤✱ ❜❛2❡❞ ♦♥ ❝♦♥2✐❞❡#❛'✐♦♥2 ♦❢ ❧♦②❛❧ ❛♥❞ 2✇✐'❝❤✐♥❣

♣#✐❝❡2✳ ❚❤❡ ♠❛#❣✐♥❛❧ ❝♦♥2✉♠❡# ✐2 '❤✉2 ❜❡'✇❡❡♥ 2✇✐'❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✱ ❛♥❞ ❤❛2 '②♣❡ θSL =

piL − piS✳ ❈♦♥2✉♠❡#2 ✇✐'❤ ❧♦✇❡# '②♣❡ '❤❡♥ 2✇✐'❝❤ ❛♥❞ ❛#❡ ✏2✉#♣#✐2❡❞✑ '♦ #❡❝❡✐✈❡ ❛ #❡'❡♥'✐♦♥

♦✛❡#✳ ❚❤❡ ♦✛❡# ✇✐❧❧ ❜❡ ❛❝❝❡♣'❡❞ ✐❢ β − piR − αθ > β − piS− θ❀ ❤❡♥❝❡ '❤❡#❡ ✐2 ❛ ♠❛#❣✐♥❛❧

❝♦♥2✉♠❡# θSR =piR−p

iS

1−α✳ ■♥ '❤❡ ✐♥'#♦❞✉❝'♦#② ♣❡#✐♦❞✱ ❝♦♥2✉♠❡#2 ❜❛2❡ '❤❡✐# ♣✉#❝❤❛2❡ ❞❡❝✐2✐♦♥2

♦♥❧② ♦♥ '❤❡ ♣#✐❝❡2 ♦✛❡#❡❞ '❤❛' ♣❡#✐♦❞ ❛♥❞ ❞♦ ♥♦' '❛❦❡ ✐♥'♦ ❛❝❝♦✉♥' '❤❡ ❝♦♥'✐♥✉❛'✐♦♥ ✉'✐❧✐'②

♦❢ ❜❡✐♥❣ ❧♦❝❦❡❞✕✐♥ ✐♥ '❤❡ 2❡❝♦♥❞ ♣❡#✐♦❞✳

❚❤✐2 ❧❡❛❞2 '♦ ❛ #❡✈✐2❡❞ ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝'✐♦♥ ❢♦# '❤❡ ✜#♠✬2 ♦✇♥ ❝♦♥2✉♠❡# ❜❛2❡✿

♠❛①

pRi ,pLi

γi{[1− F (θSL)]piL + F (θSL)F (θSR|θ < θSL)p

iR}

2✳'✳ β − pLi ≥ β − pSi− θ ❢♦# θ ∈ [θR, 1] ✭L❈✮

β − pRi − αθ ≥ β − pSi− θ ❢♦# θ ∈ [θS, θR] ✭L❈✮

❚❤❡ ❛22♦❝✐❛'❡❞ ❜❡2' #❡2♣♦♥2❡ ❢✉♥❝'✐♦♥2 ❛#❡

p∗Li =1− F (θSL)

f(θSL)

p∗Ri = (1− α)1− F (θSR)

f(θSR)

❇② ❝♦♠♣❛#✐2♦♥ ✇✐'❤ ❧❡♠♠❛ ✶✳✹✳✻✱ ✐' ✐2 ❛♣♣❛#❡♥' '❤❛' '❤❡#❡ ✐2 ❛♥ ✉♣✇❛#❞2 2❤✐❢' ✐♥ '❤❡ ❧♦②❛❧

❜❡2' #❡2♣♦♥2❡ ❢✉♥❝'✐♦♥ ❛♥❞ ♥♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ '❤❡ #❡'❡♥'✐♦♥ ❜❡2' #❡2♣♦♥2❡ ❢✉♥❝'✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡#✱ ❢♦#


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✸✹ ❛②✐♥❣ ❈♦♥(✉♠❡,( -♦ ❙-❛②✿ ❘❡-❡♥-✐♦♥ ,✐❝✐♥❣ ❛♥❞ ▼❛,❦❡- ❈♦♠♣❡-✐-✐♦♥

"✇✐❝❤✐♥❣ ❝♦♥"✉♠❡-"✱ ✇❡ ❤❛✈❡

♠❛①

pSi

F (θSL)F (θSR|θ < θSL)pSi

"✳3✳ β − pLi ≥ β − pSi− θ ❢♦- θ ∈ [θR, 1] ✭6❈✮

β − pRi − αθ ≥ β − pSi− θ ❢♦- θ ∈ [θS, θR] ✭6❈✮

✇❤✐❝❤ ❛❣❛✐♥✱ ②✐❡❧❞" ❛♥ ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❜❡"3✕-❡"♣♦♥"❡ ❢✉♥❝3✐♦♥ ✈✐"✕❛✕✈✐" 3❤❡ -❛3✐♦♥❛❧ ❝❛"❡✿

p∗Si = αF (θSR)

f(θSR)

■♥ 3❤❡ ✜-"3 ♣❡-✐♦❞✱ ♠②♦♣✐❛ ♦❜✈✐♦✉"❧② ❞♦❡" ♥♦3 ♣❧❛② ❛ -♦❧❡ "✐♥❝❡ 3❤❡ ❝♦♥3✐♥✉❛3✐♦♥ ✉3✐❧✐3✐❡"

♦❢ ❜✉②✐♥❣ ❛-❡ ❡B✉❛❧ ❜❡3✇❡❡♥ ✜-♠" ✭"❡❡ ❞✐"❝✉""✐♦♥ ✐♥ ❋❛--❡❧❧ ❛♥❞ ❑❧❡♠♣❡-❡- ✭✷✵✵✼✮✮✱ "♦ 3❤❡

✐♥3-♦❞✉❝3♦-② ♣-✐❝❡ ✐" "3✐❧❧ ❞❡3❡-♠✐♥❡❞ ❜② 3❤❡ ❞✐✛❡-❡♥❝❡ ❜❡3✇❡❡♥ "✇✐3❝❤✐♥❣ ❛♥❞ ❧♦②❛❧✴-❡3❡♥3✐♦♥

♣-♦✜3✳ ❍❡♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝❧✉❞❡ 3❤❛3 ♠②♦♣✐❛ ❤❛" ♦♥❧② ♠✐❧❞ ✐♠♣❛❝3" ♦♥ ♦✉- -❡"✉❧3"✿ ❚❤❡

♠❛3✉-❡ ♠❛-❦❡3 "✇✐3❝❤✐♥❣ ❛♥❞ -❡3❡♥3✐♦♥ ♣-✐❝❡" ❛-❡ ✉♥❛✛❡❝3❡❞❀ 3❤❡ ❧♦②❛❧ ♣-✐❝❡ ✐" ❣❡♥❡-❛❧❧② ❛3 ❛

❤✐❣❤❡- ❧❡✈❡❧ 3❤❛♥ ✉♥❞❡- ❢♦-✇❛-❞✕❧♦♦❦✐♥❣ ❝♦♥"✉♠❡-"✱ ❜✉3 "3✐❧❧ ❞❡❝-❡❛"✐♥❣ ✐♥ α ✭❞✉❡ 3♦ "3-❛3❡❣✐❝

❝♦♠♣❧❡♠❡♥3❛-✐3② ✇✐3❤ 3❤❡ "✇✐3❝❤✐♥❣ ♣-✐❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐" ❞❡❝-❡❛"✐♥❣✮✳

✶✳✼✳✸ ❚❤❡ ❘♦❧❡ ♦❢ ❈♦♥-✉♠❡0 ❍❡2❡0♦❣❡♥❡✐2②

❚❤❡ ❝♦-❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ 3❤❡ ♣❛♣❡- ❢♦❝✉"❡" ♦♥ 3❤❡ ❝❛"❡ ✇❤❡-❡ ❡✛♦-3 ❝♦"3" ❢♦❧❧♦✇ "♦♠❡ ❞✐"3-✐❜✉3✐♦♥

♦♥ 3❤❡ ✉♥✐3 ✐♥3❡-✈❛❧✳ ❲❤✐❧❡ ✐3 ✐" ❝❧❡❛- 3❤❛3 ❤❡3❡-♦❣❡♥❡✐3② ✐" ❝-✉❝✐❛❧ ✕ ✐❢ 3❤❡ ❞✐"3-✐❜✉3✐♦♥ ✇❡-❡

❞❡❣❡♥❡-❛3❡ ❛3 ❛ ♣♦✐♥3✱ 3❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇♦✉❧❞ "✐♠♣❧② ❤❛✈❡ "✇✐3❝❤✐♥❣ ♣-✐❝❡" ❛3 ♠❛-❣✐♥❛❧ ❝♦"3✱ ❧♦②❛❧

♣-✐❝❡" ❛♥❞ 3❤❡ "✇✐3❝❤✐♥❣ ❝♦"3 ❛♥❞ ✐♥3-♦❞✉❝3♦-② ♣-✐❝❡" "❡3 3♦ "❡3 ✐♥3❡-3❡♠♣♦-❛❧ ♣-♦✜3" 3♦ ③❡-♦✱

✇✐3❤ ♥♦ ❜❛"✐" ❢♦- -❡3❡♥3✐♦♥ ♣-✐❝✐♥❣ ✕ ✐3 -❡♠❛✐♥" ✐♥3❡-❡"3✐♥❣ 3♦ ❛"❦ ✇❤✐❝❤ ❢♦"♠ ♦❢ ❤❡3❡-♦❣❡♥❡✐3②

-❡❛❧❧② ❛✛❡❝3" ♣-✐❝❡"✳

❚♦ ✐♥✈❡"3✐❣❛3❡ 3❤✐" B✉❡"3✐♦♥✱ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ❇♦✉❝❦❛❡-3 ❡3 ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮ ❛♥❞ ❝♦♥"✐❞❡- ❛ ❝♦♥3✐♥✉♦✉"

✉♥✐❢♦-♠ ❞✐"3-✐❜✉3✐♦♥ ♦♥ [e, e]✱ ✇❤❡-❡ 0 < 2e < e✳ ❚❤❡ ❧❛33❡- ✐♥❡B✉❛❧✐3② ❛""✉-❡" 3❤❛3 3❤❡

❞✐"3-✐❜✉3✐♦♥ ❤❛" "✉✣❝✐❡♥3 ❞✐"♣❡-"✐♦♥ ❢♦- ❛♥ ❡B✉✐❧✐❜-✐✉♠ ✇✐3❤ ♣-✐❝❡ ❞✐"❝-✐♠✐♥❛3✐♦♥ 3♦ ❡①✐"3✳

❋✐-"3✱ "✉❜"3✐3✉3❡ 3❤❡ ❡①♣-❡""✐♦♥" ♦❢ ✉♥✐❢♦-♠ ❞❡♥"✐3② ✐♥3♦ ✐♥3❡-3❡♠♣♦-❛❧ ♣-♦✜3" ♦❢ 3❤❡

❞✉♦♣♦❧② ❝❛"❡✿

Π∗S = (1− α)(e− 2e)2

9✭✶✳✼✳✶✮

❋♦- 3❤❡ ❝❛"❡ ♦❢ α = 0✱ 3❤❡ ❡①♣-❡""✐♦♥ ❝♦✐♥❝✐❞❡" ✇✐3❤ ❇♦✉❝❦❛❡-3 ❡3 ❛❧✳ ✭✷✵✶✵✮✳ ❚❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥3❛❧

✐♥"✐❣❤3 ❤❡-❡ ✐" 3❤❛3 ❛ ♠❡❛♥✕♣"❡)❡"✈✐♥❣ )♣"❡❛❞✱ ✇❤❡-❡ e ✐" ✐♥❝-❡❛"❡❞ ❜② 3❤❡ "❛♠❡ ❛♠♦✉♥3 ❛" e


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❞❡❝%❡❛'❡' %❛✐'❡' ♣%♦✜,'❀ ,❤❡ ✐♥,✉✐,✐♦♥ ❜❡✐♥❣ ,❤❛, ♠♦%❡ ❤❡,❡%♦❣❡♥❡✐,② %❡',%❛✐♥' ,❤❡ ✐♥❝❡♥,✐✈❡'

♦❢ ❡✐,❤❡% ✜%♠ ,♦ ❝✉, ♣%✐❝❡'✳ ▲❡'' ✐♥,✉✐,✐✈❡❧②✱ ❛ %❛✐'❡ ✐♥ ,❤❡ ♠❡❛♥ ❡✛♦%, ❝♦',✱ ❜✉, ❦❡❡♣✐♥❣

❞✐'♣❡%'✐♦♥ ❝♦♥',❛♥,✱ ❡❞✉❝❡% ♣%♦✜,'✿ ❛, ,❤❡ ♠❛%❣✐♥✱ ✐, ❝♦♠❡' ♠♦%❡ ❛,,%❛❝,✐✈❡ ,♦ ✜❣❤, ❢♦%

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❆' %❡,❡♥,✐♦♥ ✐' ✐♥,%♦❞✉❝❡❞ ✕ '♦ α ✐' ♥♦♥✕③❡%♦ ✕ ,❤❡ ❢❛❧❧ ✐♥ ✐♥❞✉',%② ♣%♦✜,' ✐' ❧❛%❣❡% ,❤❡

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♣%♦✜,' ❛%❡ ✐♥ ,❤❡ ❛❜'❡♥❝❡ ♦❢ %❡,❡♥,✐♦♥✱ ,❤❡ ❣%❡❛,❡% ✇♦✉❧❞ ❜❡ ,❤❡ ❛''♦❝✐❛,❡❞ ♣%♦✜, ❢❛❧❧' ✇❤❡♥

%❡,❡♥,✐♦♥ ✐' ✐♥,%♦❞✉❝❡❞✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❞✐%❡❝,❧② %❡❧❡✈❛♥, ❢♦% ♦✉% ♣✉%♣♦'❡' ✐' ,❤❡ ✐♥,❡%❛❝,✐♦♥ ♦❢

❝♦♥'✉♠❡% ❤❡,❡%♦❣❡♥❡✐,② ❛♥❞ ,❤❡ ✐♠♣❛❝, ♦❢ %❡,❡♥,✐♦♥✳ ❚❤❡ %❡❧❡✈❛♥, ❡①♣%❡''✐♦♥ ❜❡✐♥❣✿

dpRidα

= −2b− a

3

❍❡♥❝❡✱ ❢♦% ❣✐✈❡♥ α✱ ♠♦%❡ ❝♦♥'✉♠❡% ❤❡,❡%♦❣❡♥❡✐,② ❧❡❛❞' ,♦ ❛ ',❡❡♣❡% ❞%♦♣ ✐♥ ♣%✐❝❡'❀ ❤♦✇❡✈❡%✱

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❋❛❝✐♥❣ ♣&✐❝❡0 pANEW ❛♥❞ pBNEW ❜② ✐♥❝✉♠❜❡♥1 ❛♥❞ ❡♥1&❛♥1 &❡0♣❡❝1✐✈❡❧②✱ 1❤❡✐& ✉1✐❧✐1② ❢✉♥❝1✐♦♥

✐0 ❣✐✈❡♥ ❜②

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β − pANEW − tx ✐❢ ❜✉②✐♥❣ ❢&♦♠ ❆

β − pBNEW − t(1− x) ✐❢ ❜✉②✐♥❣ ❢&♦♠ ❇

0 ♦1❤❡&✇✐0❡

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❙❡❝♦♥❞✱ 1❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥1 A ❤❛0 ❛♥ ✐♥❤❡&✐1❡❞ ❝♦♥0✉♠❡& ❜❛0❡ ✭✏♦❧❞ ❝♦♥0✉♠❡&0✑✮❀ 1❤❡0❡ ❝♦♥✲

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1 − θ✳ ▲✐❦❡ ♥❡✇ ❝♦♥0✉♠❡&0✱ 1❤❡0❡ ❝♦♥0✉♠❡&0 ❤❛✈❡ ✉♥✐❢♦&♠❧② ❞✐01&✐❜✉1❡❞ ❜&❛♥❞ ♣&❡❢❡&❡♥❝❡❀

❤♦✇❡✈❡&✱ ✐♥ ❝❛0❡ ❛♥ ♦❧❞ ❝♦♥0✉♠❡&0 0✇✐1❝❤❡0 1♦ B✱ 0❤❡ ✐♥❝✉&0 ❛ ✭&❡❛❧✮ 0✇✐1❝❤✐♥❣ ❝♦01 s✳ ❖❧❞

❝♦♥0✉♠❡&0 ♠❛② ❝❤♦♦0❡ ❜❡1✇❡❡♥ 1❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥1✬0 ♣&♦❞✉❝1✱ ❛1 ♣&✐❝❡ pAOLD✱ ❛♥❞ 1❤❡ ❡♥1&❛♥1✬0

♦✛❡& ✐♥1❡♥❞❡❞ ❢♦& ♦❧❞ ❝♦♥0✉♠❡&0✱ pBOLD✳ ❚❤✐0 ♣&✐❝❡ ✐0 ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ 1♦ ♦❧❞ ❝♦♥0✉♠❡&0 1❤❛1 ✈♦❧✲

✉♥1❛&✐❧② ❝❤♦♦0❡ 1♦ &❡✈❡❛❧ 1❤❛1 1❤❡② ♣&❡✈✐♦✉0❧② ♣✉&❝❤❛0❡❞ ❢&♦♠ 1❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥1✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ♦❧❞

❝♦♥0✉♠❡&0 ❝❛♥ ♠❛0N✉❡&❛❞❡ ❛0 ♥❡✇ ❝♦♥0✉♠❡&0 ❛♥❞ ♦❜1❛✐♥ 1❤❡ ♥❡✇ ❝♦♥0✉♠❡& ♦✛❡& ❢&♦♠ B✱

♣&✐❝❡❞ ❛1 pBNEW ✳ ❚❤✐0 ❣✐✈❡0 1❤❡ ✉1✐❧✐1② ❢✉♥❝1✐♦♥

uOLD(•) =

β − pAOLD − tx ✐❢ 01❛②✐♥❣ ✇✐1❤ ❆

β − pBOLD − t(1− x)− s 0✇✐1❝❤ 1♦ ❇✱ &❡✈❡❛❧ 01❛1✉0

β − pBNEW − t(1− x)− s 0✇✐1❝❤ 1♦ ❇✱ ♠❛0N✉❡&❛❞❡

0 ♦1❤❡&✇✐0❡

✭✷✳✷✳✷✮

❉❡♥♦1❡ ❜② xNEW ❛♥❞ xOLD &❡0♣❡❝1✐✈❡❧② 1❤❡ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥0✉♠❡& 1②♣❡ ✐♥❞✐✛❡&❡♥1 ❜❡1✇❡❡♥

1❤❡ 1✇♦ ✜&♠0✳


DOI: 10.2870/93798

✹✹ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

❚♦ ❣✐✈❡ ❢♦❝✉* ❢♦+ ,❤❡ ✇❡❧❢❛+❡ ❛♥❛❧②*✐*✱ ✇❡ ♥♦✇ ✐♠♣♦*❡ ,❤❡ ❛**✉♠♣,✐♦♥ ♦❢ ❢✉❧❧ ♠❛+❦❡,

❝♦✈❡+❛❣❡✱ *♦ ,❤❛, ❛❧❧ ❝♦♥*✉♠❡+* ♣✉+❝❤❛*❡ ❢+♦♠ ♦♥❡ ♦❢ ,❤❡ ✜+♠*✿

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❚❤✐* ❝♦♥❝❡♥,+❛,❡* ♦✉+ ❛,,❡♥,✐♦♥ ♦♥ ,❤❡ ✐**✉❡* ♦❢ ❞✐*,♦+,✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥*✉♠❡+* ❜❡,✇❡❡♥ ✜+♠*✱

❛♥❞ ,❤❡ ,+❛❞❡✕♦✛ ❜❡,✇❡❡♥ ♣+♦❞✉❝, ✈❛+✐❡,② ❛♥❞ ❞✉♣❧✐❝❛,✐♦♥ ♦❢ ✜①❡❞ ❝♦*,*✳

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❝♦*,*

✹

✿

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■♥ ,❤❡ *❡❝♦♥❞ ♣❡+✐♦❞✱ ,❤❡+❡ ❛+❡ ,✇♦ ❛*②♠♠❡,+✐❡* ❜❡,✇❡❡♥ ❡♥,+❛♥, ❛♥❞ ✐♥❝✉♠❜❡♥,✳ ❋✐+*,✱

,❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥, ✐* ♣+♦,❡❝,❡❞ ❜② *✇✐,❝❤✐♥❣ ❝♦*, ❛♠♦♥❣ ♦❧❞ ❝♦♥*✉♠❡+* ✭♦❧❞ ❝♦♥*✉♠❡+* ♣❛② ❛

✉,✐❧✐,② ❝♦*, ✇❤❡♥ ♠♦✈✐♥❣ ,♦ ,❤❡ ❡♥,+❛♥,❀ *❡❡ ❜❡❧♦✇ ❢♦+ ❞❡,❛✐❧*✮✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ,❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥, ❝❛♥

+❡❝♦❣♥✐*❡ ♦❧❞ ❝♦♥*✉♠❡+* ✭♣❡+❤❛♣* ❜❡❝❛✉*❡ ,❤❡+❡ ✐* ❛ ❝♦♥,+❛❝, ✐♥ ♣❧❛❝❡✮ ❢+♦♠ ♥❡✇ ♦♥❡*✳ ❚❤✐*

❛❧❧♦✇* ,❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥, ,♦ ♦✛❡+ ❞✐✛❡+❡♥, ♣+✐❝❡* pAOLD ❛♥❞ pBNEW ❢♦+ ,❤❡ ,✇♦ ❝♦♥*✉♠❡+ *❡❣♠❡♥,*✱

❡♥❣❛❣✐♥❣ ✐♥ ♣+✐❝❡ ❞✐*❝+✐♠✐♥❛,✐♦♥ ♦♥ ♦❜*❡+✈❛❜❧❡*✳ ❚❤❡ ❡♥,+❛♥, ❝❛♥♥♦, ❞✐+❡❝,❧② ❞✐*,✐♥❣✉✐*❤

❝♦♥*✉♠❡+*✱ ❜✉, ♠❛② ❝♦♠❡ ,♦ ❦♥♦✇ ,❤✐* ✐♥❢♦+♠❛,✐♦♥ ✐❢ ,❤❡ ❝♦♥*✉♠❡+* ❝❤♦♦*❡* ,♦ +❡✈❡❛❧ ✐,

✭❡✳❣✳ ❜② *❤♦✇✐♥❣ ❛ +❡❝❡✐♣, ❢+♦♠ ,❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥,✮✳ ❚❤✉* ,❤❡ ❡♥,+❛♥, ❡♥❣❛❣❡* ✐♥ *❡❝♦♥❞✕❞❡❣+❡❡

♣+✐❝❡ ❞✐*❝+✐♠✐♥❛,✐♦♥✱ ❛♥❞ ♦✛❡+* pBOLD ❛♥❞ pBNEW +❡*♣❡❝,✐✈❡❧②✳ ❆**✉♠✐♥❣ pBOLD < pBNEW ✕ *♦

,❤❡ ❡♥,+❛♥,✬* ♣+✐❝❡ ❞✐*❝+✐♠✐♥❛,✐♦♥ ✐* ✐♥❝❡♥,✐✈❡ ❝♦♠♣❛,✐❜❧❡ ✕ ,❤❡ ♣+♦✜, ❢✉♥❝,✐♦♥* ♦❢ ,❤❡ ,✇♦

✜+♠*✱ ❛❢,❡+ ✜①❡❞ ❝♦*,* ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ *✉♥❦✱ ❝❛♥ ❜❡ ✇+✐,,❡♥ ❛*

πA(~p) = (1− θ)xOLD(pAOLD, p

BOLD)

(pAOLD − c

)✭✷✳✷✳✸✮

+ θxNEW (pANEW , pBNEW )(pANEW − c

)

πB(~p) = (1− θ)(1− xOLD(pAOLD, p

BOLD))

(pBOLD − c

)✭✷✳✷✳✹✮

+ θ(1− xNEW (pANEW , pBNEW ))(pBNEW − c

)

✇❤❡+❡ ❢♦+ ♥♦,❛,✐♦♥❛❧ *✐♠♣❧✐❝✐,②✱ ~p = (pAOLD, pANEW , pBOLD, p

BNEW )✱ ,❤❡ ✈❡❝,♦+ ♦❢ *❡❝♦♥❞✕♣❡+✐♦❞

♣+✐❝❡*✳

✹

❚❤✐# ❛##✉♠♣(✐♦♥ ✐# ❢♦, ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡ ❛♥❞ ✇✐(❤♦✉( ❧♦## ♦❢ ❣❡♥❡,❛❧✐(②


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❈❤❛♣$❡&✷ ✹✺

▲✐♠✐#$ #♦ &'✐❝❡ ❉✐$❝'✐♠✐♥❛#✐♦♥✳ ❇❡❤❛✈✐♦✉+ ❜❛-❡❞ ♣+✐❝❡✕❞✐-❝+✐♠✐♥❛4✐♦♥ ♠❡❛♥- ❝❤❛+❣✐♥❣ ❞✐❢✲

❢❡+❡♥4 ♣+✐❝❡- ❛❝❝♦+❞✐♥❣ 4♦ ♣✉+❝❤❛-❡ -4❛4✉-✳ ■♥ ❧✐♥❡ ✇✐4❤ ❝♦♠♠♦♥ ❝♦♠♣❡4✐4✐♦♥ ❧❛✇ ♣+❛❝4✐❝❡✱

✇❡ ❝♦♥-✐❞❡+ 4❤❡ ♣♦--✐❜✐❧✐4② 4❤❛4 4❤❡ ❞❡❣+❡❡ ♦❢ ♣+✐❝❡ ❞✐-❝+✐♠✐♥❛4✐♦♥ ❜② 4❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥4 ♠❛② ❜❡

❝♦♥-4+❛✐♥❡❞ ❜✉4 ❞♦ ♥♦4 ❛❧❧♦✇ ❢♦+ ❝♦♥-4+❛✐♥4- 4♦ 4❤❡ ❡♥4+❛♥4✬- ♣+✐❝✐♥❣ -4+❛4❡❣②✳ ■♥ ♣❛+4✐❝✉❧❛+✱

❛ ❝♦♠♣❡4✐4✐♦♥ ❛✉4❤♦+✐4② ♠❛② ❧✐♠✐4 4❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥4 4♦ ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ♣+✐❝❡ ❞✐✛❡+❡♥❝❡ q ❜❡4✇❡❡♥

4❤❡ 4✇♦ ♠❛+❦❡4 -❡❣♠❡♥4-✿

|pAOLD − pANEW | ≤ q ✭✷✳✷✳✺✮

❚❤✉- q = 0 ✇♦✉❧❞ ❝♦++❡-♣♦♥❞ 4♦ ❛ ❝♦♠♣❧❡4❡ ❜❛♥ ♦❢ ♣+✐❝❡ ❞✐-❝+✐♠✐♥❛4✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥4❡+♠❡❞✐❛4❡

✈❛❧✉❡- ✐♠♣♦-❡ -♦♠❡ +❡-4+❛✐♥4 ♦♥ 4❤❡ ♣+✐❝✐♥❣ -4+❛4❡❣② ♦❢ 4❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥4 ✇✐4❤♦✉4 ❜❛♥♥✐♥❣

❇❇F❉ ❡♥4✐+❡❧②✳

❋♦+ 4❤❡ ♣✉+♣♦-❡ ♦❢ 4❤❡ ♣+❡-❡♥4 ❛♥❛❧②-✐-✱ ✇❡ 4❛❦❡ q 4♦ ❜❡ ❛ ♣❛+❛♠❡4❡+ ❛♥❞ -✐♠✉❧❛4❡ 4❤❡

❝♦♠♣❡4✐4✐✈❡ ❛♥❞ ✇❡❧❢❛+❡ ❝♦♥-❡I✉❡♥❝❡- ♦❢ ♣♦--✐❜❧❡ +❡-4+✐❝4✐♦♥- ♦♥ ♣+✐❝❡ ❞✐-❝+✐♠✐♥❛4✐♦♥❀ ❤❡♥❝❡

4❤❡ ❝♦♠♣❡4✐4✐♦♥ ❛✉4❤♦+✐4② ✐- ♥♦4 ❛ -4+❛4❡❣✐❝ ♣❧❛②❡+ ✐♥ 4❤❡ ♠♦❞❡❧✳

❙♦❧✉#✐♦♥ ❈♦♥❝❡♣#✳ ❉✉❡ 4♦ 4❤❡ -❡I✉❡♥4✐❛❧ ♥❛4✉+❡ ♦❢ 4❤❡ ❣❛♠❡✱ ♦✉+ -♦❧✉4✐♦♥ ❝♦♥❝❡♣4 ✐- -✉❜✲

❣❛♠❡ ♣❡+❢❡❝4 ◆❛-❤ ❡I✉✐❧✐❜+✐✉♠ ✭❙F◆❊✮✳ ❊I✉✐❧✐❜+✐✉♠ ♣+♦❝❡❡❞- ❜② ❛♥❛❧②-✐♥❣ ♠❛+❦❡4 ♦✉4✲

❝♦♠❡- ✐♥ ❡❛❝❤ ♦❢ 4❤❡ ♣♦--✐❜❧❡ 4②♣❡- ♦❢ -✉❜❣❛♠❡- ✭❝♦♠♣❡4✐4✐♦♥✱ ✐♥❝✉♠❜❡♥4 ♠♦♥♦♣♦❧②✱ ❡♥4+❛♥4

♠♦♥♦♣♦❧②✮✱ ❜❡❢♦+❡ 4✉+♥✐♥❣ 4♦ 4❤❡ ♠❛+❦❡4 ❡♥4+② -4❛❣❡✳

✷✳✸ ❊$✉✐❧✐❜)✐✉♠ ❆♥❛❧②/✐/

❚❤✐- -❡❝4✐♦♥ ❞❡✈❡❧♦♣- 4❤❡ -✉❜❣❛♠❡ ♣❡+❢❡❝4 ❡I✉✐❧✐❜+✐❛ ♦❢ 4❤❡ ♠♦❞❡❧✳ ❋✐+-4✱ ■ ❛♥❛❧②-❡ ♣+✐❝❡

❝♦♠♣❡4✐4✐♦♥ ✉♥❞❡+ ❞✉♦♣♦❧② ✇✐4❤ ❛♥❞ ✇✐4❤♦✉4 ❧✐♠✐4- 4♦ ♣+✐❝❡ ❞✐-❝+✐♠✐♥❛4✐♦♥ ❛♥❞ ♣+♦✈✐❞❡ +❡❧❡✲

✈❛♥4 ❝♦♠♣❛+❛4✐✈❡ -4❛4✐❝- +❡-✉❧4-✳ ❚❤❡♥ ■ ❛♥❛❧②-❡ ♠♦♥♦♣♦❧② ♣+✐❝✐♥❣ ✇❤❡♥ ♦♥❧② 4❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥4

♦+ ❡♥4+❛♥4 ✐- ❛❝4✐✈❡ ✐♥ 4❤❡ ♠❛+❦❡4✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ -✉❜-❡❝4✐♦♥ ✷✳✸✳✹ 4✉+♥- 4♦ 4❤❡ ✜+-4 -4❛❣❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤

✜+♠ ❡♥4+②✴❡①✐4 ✐- ❞❡4❡+♠✐♥❡❞✳

✷✳✸✳✶ ❯♥&❡❣✉❧❛,❡❞ ❉✉♦♣♦❧②

❈♦♥$✉♠❡' ❇❡❤❛✈✐♦✉'✿ ●✐✈❡♥ 4❤❛4 ❜♦4❤ ✜+♠- ❛+❡ ❛❝4✐✈❡ ✐♥ 4❤❡ ♠❛+❦❡4✱ ♦❧❞ ❝♦♥-✉♠❡+- ❤❛✈❡

❛ ❝❤♦✐❝❡ ❜❡4✇❡❡♥ pAOLD, pBOLD ❛♥❞ pBNEW ✐❢ 4❤❡② ❝❤♦♦-❡ ♥♦4 +❣❡✈❡❛❧ 4❤❡✐+ ♣✉+❝❤❛-❡ -4❛4✉- 4♦

4❤❡ ❡♥4+❛♥4✳ ❖❧❞ ❝♦♥-✉♠❡+- -✇✐4❝❤✐♥❣ 4♦ 4❤❡ ❡♥4+❛♥4 +❡✈❡❛❧ 4❤❡✐+ ♣✉+❝❤❛-❡ -4❛4✉- ✐❢ pBNEW ≥pBOLD

✺

❀ ♦4❤❡+✇✐-❡✱ ♦❧❞ ❝♦♥-✉♠❡+- -✇✐4❝❤✐♥❣ 4♦ B ♠❛-I✉❡+❛❞❡ ❛- ♥❡✇ ❛♥❞ ♣❛② pBNEW ✳ ❚❤✉-

✺

!❡❝✐%❡❧②✱ )❤❡ ❛%%✉♠♣)✐♦♥ ✐% )❤❛) ♦❧❞ ❝♦♥%✉♠❡!% ❝❛♥ ♣!♦✈❡ )❤❡✐! %)❛)✉% ✕ ❡✳❣✳ ❜② %❤♦✇✐♥❣ ❛ !❡❝❡✐♣) ✐%%✉❡❞

❜② ✜!♠ A ✐♥ )❤❡ ✜!%) ♣❡!✐♦❞ ✕ ✇❤✐❧❡ ♥❡✇ ❝♦♥%✉♠❡!% ❝❛♥♥♦) ♣!♦❞✉❝❡ ❛ ❢❛❧%✐✜❡❞ !❡❝❡✐♣)


DOI: 10.2870/93798

✹✻ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

"❤❡ ♠❛'❣✐♥❛❧ ❝♦♥.✉♠❡'. ❛'❡ ❣✐✈❡♥ ❜②✿

xOLD =

pBOLD−pAOLD+t+s

2t✐❢ pBOLD ≤ pBNEW

pBOLD−pANEW+t+s

2t♦"❤❡'✇✐.❡

✭✷✳✸✳✶✮

xNEW =pBNEW − pANEW + t

2t✭✷✳✸✳✷✮

❲❤❡♥ .✇✐"❝❤✐♥❣ ❝♦.". ❛'❡ ✈❡'② ❤✐❣❤✱ "❤❡ ❡♥"'❛♥" ♠❛② ♥♦" ❜❡ ❛❜❧❡ ❡✛❡❝"✐✈❡❧② ❝♦♠♣❡"❡ ❢♦'

"❤❡ ♦❧❞ .❡❣♠❡♥"❀ ✐♥ "❤✐. ❝❛.❡✱ ♦❧❞ ❝♦♥.✉♠❡'. ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ✏.❤❡❧"❡'❡❞ .❡❣♠❡♥"✑✳ ❆. ✇✐❧❧ ❜❡❝♦♠❡

❝❧❡❛' .❤♦'"❧②✱ "❤❡ .❡❣♠❡♥" ♦❢ ♦❧❞ ❝♦♥.✉♠❡'. ❤❛. ♣♦.✐"✐✈❡ .✇✐"❝❤✐♥❣ "♦ "❤❡ ❡♥"'❛♥" ♦♥❧② ✐❢

❝♦♥❞✐"✐♦♥ ❈✶ ❤♦❧❞.✿

s ≤ 3t ✭❈✶✮

❲❡ .❤❛❧❧ ❛..✉♠❡ "❤❛" ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ❈✶ ✐. .❛"✐.✜❡❞✳ ❍❡♥❝❡✱ ❣✐✈❡♥ ♣'✐❝❡. (pAOLD, pANEW ) ❛♥❞

(pBOLD, pBNEW )✱ ❡H✉❛"✐♦♥ ✷✳✸✳✶ ❣✐✈❡. "❤❡ ♠❛.. xOLD ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡'. ♣✉'❝❤❛.✐♥❣ ❢'♦♠ ✜'♠ A

✐♥ "❤❡ ♦❧❞ ❝♦♥.✉♠❡' .❡❣♠❡♥"✳ ❇② "❤❡ ❢✉❧❧ ❝♦✈❡'❛❣❡ ❛..✉♠♣"✐♦♥✱ "❤❡ ♠❛.. ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡'. ♣✉'✲

❝❤❛.✐♥❣ ❢'♦♠ B ✐. .✐♠♣❧② 1−xOLD❀ ❛♥❛❧♦❣♦✉. ❡①♣'❡..✐♦♥. ❤♦❧❞ ❢♦' "❤❡ ❝❛.❡ ♦❢ ♥❡✇ ❝♦♥.✉♠❡'.✳

!✐❝❡ ❙❡&&✐♥❣✿ ❈♦♥.✐❞❡' ✜'." "❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥" ✜'♠ A✳ ❙♦❧✈✐♥❣ "❤❡ ✜'."✕♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥ ♦❢

❡H✉❛"✐♦♥ ✷✳✷✳✸ ✇✐"❤ '❡.♣❡❝" "♦ pAOLD ❛♥❞ pANEW '❡.♣❡❝"✐✈❡❧② ②✐❡❧❞.

p∗AOLD(~pB) =

pBOLD+t+s+c

2✐❢ pBOLD ≤ pBNEW

pBNEW+t+s+c

2♦"❤❡'✇✐.❡

✭✷✳✸✳✸✮

p∗ANEW (~pB) =pBNEW + t+ c

2✭✷✳✸✳✹✮

❉✉❡ "♦ "❤❡ ❝♦♥❝❛✈✐"② "❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ✐" ❝❛♥ ❜❡ ✈❡'✐✜❡❞ ❞✐'❡❝"❧② "❤❛" "❤❡ .❡❝♦♥❞✕♦'❞❡' ❝♦♥❞✐"✐♦♥.

❤♦❧❞✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ❣✐✈❡♥ ❛..✉♠♣"✐♦♥ ❈✶✱ "❤❡ ❡H✉✐❧✐❜'✐✉♠ ✐. ❣✉❛'❛♥"❡❡❞ "♦ ❜❡ ✐♥"❡'✐♦'✳

◆♦✇ "✉'♥ "♦ "❤❡ ❡♥"'❛♥" B✳ ❚❤❡ ♣'♦❜❧❡♠ ✐. ✷✳✷✳✹✱ .✉❜❥❡❝" "♦ "❤❡ ✐♥❝❡♥"✐✈❡✕❝♦♠♣❛"✐❜✐❧✐"②

❝♦♥."'❛✐♥" ♦❢ ❝♦♥.✉♠❡'. pBOLD ≤ pBNEW ✳ ❲'✐"✐♥❣ ✐♥ ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡' ❢♦'♠ ②✐❡❧❞.

L = (1− θ)(1− xOLD)(pAOLD, p

BOLD)

(pBOLD − c

)✭✷✳✸✳✺✮

+ θ(1− xNEW (pANEW , pBNEW ))(pBNEW − c

)− λ(pBOLD − pBNEW )

❈♦♥.✐❞❡' ✜'." "❤❡ ❝❛.❡ ✇❤❡'❡ "❤❡ ✐♥❝❡♥"✐✈❡ ❝♦♥."'❛✐♥" ❞♦❡. ♥♦" ❜✐♥❞ ✭λ = 0✮✳ ❚❤❡♥✱ "❤❡

.♦❧✉"✐♦♥ ♦❢ "❤❡ ♣'♦❜❧❡♠ ✐. ❣✐✈❡♥ ❜②

p∗BOLD(~pA) =

pAOLD + t− s+ c

2✭✷✳✸✳✻✮

p∗BNEW ( ~pA) =pANEW + t+ c

2✭✷✳✸✳✼✮


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❈❤❛♣$❡&✷ ✹✼

✇❤✐❝❤ ✐& ❢❡❛&✐❜❧❡ ❛& ❧♦♥❣ ❛& pAOLD ≤ pANEW + s✳

◆♦✇ ❝♦♥&✐❞❡2 3❤❡ ❝❛&❡ ✇❤❡2❡ 3❤❡ ❝♦♥&32❛✐♥3 ❜✐♥❞& ✭λ 6= 0✮✳ ❚❤❡♥✱ ✇❡ ♠✉&3 ❤❛✈❡ ❛&

&♦❧✉3✐♦♥

p∗BOLD(~pA) = p∗BNEW ( ~pA) =

(1− θ)pAOLD + θpANEW − t+ s− c

2✭✷✳✸✳✽✮

❱❛❧✉❡ ♦❢ ❈♦♥)✉♠❡+ ■♥❢♦+♠❛-✐♦♥✿ ❚❤❡ ✜2&3 ✐♠♣♦23❛♥3 ♦❜&❡2✈❛3✐♦♥ ❝♦♥❝❡2♥& 3❤❡ ❡①3❡♥3 3♦

✇❤✐❝❤ ❡♥32❛♥3 ✐& ❞✐&❛❞✈❛♥3❛❣❡❞ ❜② 3❤❡ ❧❛❝❦ ♦❢ ❤❡2 ❛❜✐❧✐3② 3♦ ♦❜&❡2✈❡ ❝♦♥&✉♠❡2&✬ ♣✉2❝❤❛&❡

&3❛3✉&✳ ❆& 3❤❡ ❜❡&3 2❡&♣♦♥&❡ ❛♥❛❧②&✐& &❤♦✇❡❞✱ ❢♦2 &♦♠❡ ♣2✐❝❡ ♣2♦✜❧❡& ❜② 3❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥3✱ 3❤✐&

❝♦♥&32❛✐♥3 ✐& ❜✐♥❞✐♥❣ ❛♥❞ ♠❛② ❛❞✈❡2&❡❧② ✐♠♣❛❝3 ♣2♦✜3&✳ ❚❤✐& ♦❝❝✉2& ✇❤❡♥ 3❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥3✬&

♣2✐❝❡ ♦✛❡2❡❞ 3♦ ♦❧❞ ❝♦♥&✉♠❡2& ❡①❝❡❡❞& 3❤❡ ♣2✐❝❡ ♦✛❡2❡❞ 3♦ ♥❡✇ ❝♦♥&✉♠❡2& ❜② ♠♦2❡ 3❤❛♥

s✳ ❨❡3✱ 3❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣2♦♣♦&✐3✐♦♥ &❤♦✇& 3❤❛3 3❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥3 ✇✐❧❧ ♥♦3 &❡3 &✉❝❤ ♣2✐❝❡& ✐♥

❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✶✳ ❚❤❡ ✐♥❝❡♥-✐✈❡ ❝♦♠♣❛-✐❜✐❧✐-② ❝♦♥)-+❛✐♥- ♦❢ -❤❡ ❡♥-+❛♥- ✐) ♥♦- ❜✐♥❞✐♥❣ ♦♥

♣+✐❝✐♥❣ )-+❛-❡❣✐❡) ✐♥ ❛♥② ❡9✉✐❧✐❜+✐✉♠

:+♦♦❢✳ ❈♦♥&✐❞❡2 ❛♥ ❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠ &32❛3❡❣② ♣2♦✜❧❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ 3❤❡ ✐♥❝❡♥3✐✈❡ ❝♦♥&32❛✐♥3 ♦♥ B ✐&

❜✐♥❞✐♥❣✳ ❚❤✐& ✐♠♣❧✐❡& pBOLD = pBNEW ✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠ 2❡G✉✐2❡& 3❤❛3 (pAOLD, pANEW )

❛2❡ ✐♥ 3❤❡ 2❡&♣♦♥&❡✱ ✐✳❡✳ &❛3✐&❢②✐♥❣ ❡G✉❛3✐♦♥& ✷✳✸✳✸ ❛♥❞ ✷✳✸✳✹✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ 3❤❡&❡ 3✇♦ ②✐❡❧❞&

pAOLD = pANEW + s2✱ ✇❤✐❝❤ ♠✉&3 ❤♦❧❞ ✐♥ 3❤❡ ❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠✳

❍♦✇❡✈❡2✱ ✐♥ 3❤✐& ❝❛&❡ 3❤❡ ❡♥32❛♥3 B ❤❛& ❛♥ ✉♥❝♦♥&32❛✐♥❡❞ ❜❡&3 2❡&♣♦♥&❡ pBOLD < pBNEW ✱

✇❤✐❝❤ ✐& ❛❧&♦ ❢❡❛&✐❜❧❡ ✭&✐♥❝❡ pAOLD ≤ pANEW + s✮✳ ❍❡♥❝❡✱ 3❤❡ &32❛3❡❣② ♣2♦✜❧❡ ✇✐3❤ ❜✐♥❞✐♥❣

✐♥❝❡♥3✐✈❡ ❝♦♠♣❛3✐❜✐❧✐3② ❝♦♥&32❛✐♥3 ❝❛♥♥♦3 ❝♦♥&3✐3✉3❡ ❛♥ ❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠✳

❚❤✉&✱ 3❤❡ ❡♥32❛♥3 ✐& ❛❜❧❡ 3♦ ❡①32❛❝3 3❤❡ ✐♥❢♦2♠❛3✐♦♥ ♦♥ ♣✉2❝❤❛&❡ &3❛3✉& ❢2♦♠ ❝♦♥&✉♠❡2&

3❤2♦✉❣❤ &❡❝♦♥❞✕❞❡❣2❡❡ ♣2✐❝❡ ❞✐&❝2✐♠✐♥❛3✐♦♥❀ 3❤❡ ❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠ &32❛3❡❣② ❛♥❞ ♣2♦✜3& 3❤✉& ❝♦✐♥✲

❝✐❞❡ ✇✐3❤ ❛♥ ❛❧3❡2♥❛3✐✈❡ ♠♦❞❡❧ ✇❤❡2❡ 3❤❡ ♣✉2❝❤❛&❡ &3❛3✉& ✐& ♣✉❜❧✐❝❧② ♦❜&❡2✈❛❜❧❡✳ ■♥ ❝♦♥32❛&3✱

●❡❤2✐❣ ❡3 ❛❧✳ ✭✷✵✶✶✮ ❞♦ ♥♦3 ❛❧❧♦✇ 3❤❡ ❡♥32❛♥3 3♦ ✉&❡ &❡❝♦♥❞✕❞❡❣2❡❡ ♣2✐❝❡ ❞✐&❝2✐♠✐♥❛3✐♦♥✱

❞✐2❡❝3❧② ✐♠♣♦&✐♥❣ ✉♥✐❢♦2♠ ♣2✐❝✐♥❣ ❛& ❛ ❝♦♥&32❛✐♥3 ♦♥ 3❤❡ ❡♥32❛♥3✬& &32❛3❡❣②✳

❆♥② ❡G✉✐❧✐❜2✐✉♠ 3❤✉& ✐♥✈♦❧✈❡& ♣2✐❝❡ ❞✐&❝2✐♠✐♥❛3✐♦♥ ❜② ❜♦-❤ ✜2♠&✳ ■3 2❡♠❛✐♥& 3♦ ❞❡2✐✈❡

3❤❡ ❡①♣❧✐❝✐3❧② 3❤❡ ♠❛2❦❡3 ♦✉3❝♦♠❡&✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✷✳ ❯♥❞❡+ ❞✉♦♣♦❧② ❛♥❞ ♥♦ ❝♦♥)-+❛✐♥- ♦♥ ♣+✐❝❡ ❞✐)❝+✐♠✐♥❛-✐♦♥ ✐) ✐♠♣♦)❡❞✱

-❤❡ ✉♥✐9✉❡ ❡9✉✐❧✐❜+✐✉♠ ❤❛)

✶✳ ❖❧❞ ❝♦♥)✉♠❡+) ✇✐-❤ xOLD ≤ 12+ s

6t❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥)✉♠❡+) ✇✐-❤ xNEW ≤ 1

2♣✉+❝❤❛)❡ ❢+♦♠

✜+♠ A❀ ♦-❤❡+✇✐)❡✱ -❤❡② ♣✉+❝❤❛)❡ ❢+♦♠ B


DOI: 10.2870/93798

✹✽ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

✷✳ ❋✐$♠ A &❡(& ♣$✐❝❡& pAOLD = t+c+ s3❛♥❞ pANEW = t+c❀ ❋✐$♠ B ❝❤❛$❣❡& pBOLD = t+c− s

3

❛♥❞ pBNEW = t+ c

✸✳ ❊3✉✐❧✐❜$✐✉♠ ♣$♦✜(& ❛$❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

π∗ADUO =s2(1− θ)

18t+

s(1− θ)

3+

t

2

π∗BDUO =s2(1− θ)

18t− s(1− θ)

3+

t

2

;$♦♦❢✳ ❇② ♣%♦♣♦'✐)✐♦♥ ✷✳✸✳✶✱ )❤❡ ❡2✉✐❧✐❜%✐✉♠ ♠✉') ✐♥✈♦❧✈❡ ♣%✐❝❡ ❞✐'❝%✐♠✐♥❛)✐♦♥ ❜② )❤❡ ❡♥)%❛♥)✳

❚❛❦✐♥❣ )❤❡ ❛♣♣%♦♣%✐❛)❡ '❡❝)✐♦♥' ♦❢ )❤❡ ❜❡') %❡'♣♦♥'❡ ❢✉♥❝)✐♦♥' ❡2✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✸✳✸✲✷✳✸✳✼✮ ②✐❡❧❞'

❛ ✹①✹ ❧✐♥❡❛% '②')❡♠ ✇✐)❤ ❢✉❧❧ %❛♥❦✳ ❙♦❧✈✐♥❣ )❤✐' '②')❡♠ ②✐❡❧❞' ❛' )❤❡ ✉♥✐2✉❡ '♦❧✉)✐♦♥ )❤❡

♣%✐❝❡' ❝❧❛✐♠❡❞ ✐♥ ✭✐✐✮✳ ❙✉❜')✐)✉)✐♥❣ )❤❡'❡ ♣%✐❝❡' ✐♥)♦ ❡2✉❛)✐♦♥' ✭✷✳✸✳✶✲✷✳✸✳✷✮ ②✐❡❧❞' ❡2✉✐❧✐❜%✐✉♠

♠❛%❣✐♥❛❧ ❝♦♥'✉♠❡%' ❢♦✉♥❞ ✐♥ ✭✐✐✮✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ♣❛%) ✭✐✐✐✮ ❝♦♥)❛✐♥' )❤❡ ♣%♦✜) ❢✉♥❝)✐♦♥' ✭✷✳✷✳✸✲✷✳✷✳✹✮

❡✈❛❧✉❛)❡❞ ❛) ❡2✉✐❧✐❜%✐✉♠✳

❚♦ ❛''✉%❡ )❤❛) ❛''✉♠♣)✐♦♥ ✹ ✐' '❛)✐'✜❡❞✱ )❤❡ ✉)✐❧✐)② ♦❢ ❡❛❝❤ ❝♦♥'✉♠❡% ❤❛' )♦ ❡①❝❡❡❞ )❤❡

%❡'❡%✈❛)✐♦♥ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ③❡%♦✳ ❙✐♥❝❡ )❤❡ ♠❛%❣✐♥❛❧ ♦❧❞ ❝♦♥'✉♠❡% ❤❛' )❤❡ ❧♦✇❡') ✉)✐❧✐)② ✐♥ ❡2✉✐❧✐❜✲

%✐✉♠✱ ❡✈❛❧✉❛)✐♥❣ ❡2✉❛)✐♦♥ ✷✳✷✳✷ ❛) )❤❡ ❡2✉✐❧✐❜%✐✉♠ ②✐❡❧❞' )❤❡ ❝♦♥')%❛✐♥) ♦♥ )❤❡ ♣❛%❛♠❡)❡%'

%❡2✉✐%❡❞ )♦ '❛)✐'❢② )❤❡ ❛''✉♠♣)✐♦♥✿

β ≥ 3t+ s

2+ c ✭J✶✮

❯♥❞❡% ✉♥❝♦♥')%❛✐♥❡❞ ♣%✐❝❡ ❞✐'❝%✐♠✐♥❛)✐♦♥✱ ❡♥)%❛♥) ❛♥❞ ✐♥❝✉♠❜❡♥) ❡✛❡❝)✐✈❡❧② ❝♦♠♣❡)❡

'❡♣❛%❛)❡❧② ✐♥ )❤❡ ♦❧❞ ❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥'✉♠❡% ♠❛%❦❡)'✳ ■♥ )❤❡ ♥❡✇ ❝♦♥'✉♠❡% ♠❛%❦❡)✱ )❤❡%❡ ✐' ♥♦

%❡♥) )♦ ❜❡ ❡❛%♥❡❞ ❢%♦♠ '✇✐)❝❤✐♥❣ ❝♦')'❀ ❣✐✈❡♥ )❤❛) ♠❛%❣✐♥❛❧ ❝♦')' ❛%❡ ❡2✉❛❧✱ ❡♥)%❛♥) ❛♥❞

✐♥❝✉♠❜❡♥) ❞✐✈✐❞❡ )❤✐' ♠❛%❦❡) ❡✈❡♥❧②✳ ❋♦% ♦❧❞ ❝♦♥'✉♠❡%'✱ )❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥) ❝❤❛%❣❡' ❛ ♣%❡♠✐✉♠

♣%✐❝❡ )♦ %❡❝♦✈❡% %❡♥) ♦♥ )❤❡ '✇✐)❝❤✐♥❣ ❝♦')❀ )❤❡ ❡♥)%❛♥) ✏♣❛②' )♦ '✇✐)❝❤✑ ✭❈❤❡♥✱ ✶✾✾✼✮ ❛♥❞

♦✛❡%' ❛ ❞✐'❝♦✉♥) ✈✐'✕❛✕✈✐' )❤❡ ♣%✐❝❡ ♥❡✇ ❝♦♥'✉♠❡%' ♣❛②✳ ❋✉%)❤❡%♠♦%❡✱ )❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥) %❡♠❛✐♥'

❞♦♠✐♥❛♥) ✐♥ )❤❡ ♠❛%❦❡) ❢♦% ♦❧❞ ❝♦♥'✉♠❡%' ✕ ❤❛✈✐♥❣ ♠♦%❡ )❤❛♥ ✺✵✪ ♠❛%❦❡) '❤❛%❡ ✕ ❛' ✐♥

●❡❤%✐❣ ❡) ❛❧✳ ✭✷✵✶✶✮ ❛♥❞ ❇♦✉❝❦❛❡%) ❡) ❛❧✳ ✭✷✵✶✸✮✳

❚❤❡ ❤✐❣❤❡% '✇✐)❝❤✐♥❣ ❝♦')' ❛%❡✱ )❤❡ ❣%❡❛)❡% )❤❡ ♣%♦✜) ♦❢ )❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥) ❛♥❞ )❤❡ ❧♦✇❡%

♣%♦✜)' ♦❢ )❤❡ ❡♥)%❛♥)

✻

✳ ●%❡❛)❡% )%❛♥'♣♦%)❛)✐♦♥ ❝♦')' t ✐♠♣%♦✈❡ )❤❡ ♣%♦✜)' ♦❢ ❜♦)❤ ✜%♠'✳

❋✐♥❛❧❧② ♥♦)❡ )❤❛) )❤❡ ♠❛%❣✐♥❛❧ ❝♦') ❞♦❡' ♥♦) ❛✛❡❝) ♣%♦✜)' ✐♥ ❡2✉✐❧✐❜%✐✉♠✱ ❜❡❝❛✉'❡ )❤❡%❡ ✐'

♣❡%❢❡❝) ❝♦') ♣❛''✕)❤%♦✉❣❤ )♦ ❝♦♥'✉♠❡% ♣%✐❝❡'✳

✻

▼♦♥♦#♦♥✐❝✐#② ♦❢ ❡♥#)❛♥#✬, ♣)♦✜# ✇✐#❤ )❡,♣❡❝# #♦ ,✇✐#❝❤✐♥❣ ❝♦,# ❢♦❧❧♦✇, ❢)♦♠ ❈✶


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❈❤❛♣$❡&✷ ✹✾

✷✳✸✳✷ ❉✉♦♣♦❧② ✇✐+❤ ❘❡❣✉❧❛+❡❞ 23✐❝❡ ❉✐5❝3✐♠✐♥❛+✐♦♥

❲❡ ♥♦✇ ❛❧❧♦✇ ❢♦* ❧✐♠✐-. -♦ ♣*✐❝❡ ❞✐.❝*✐♠✐♥❛-✐♦♥ ✐♠♣♦.❡❞ ❜② -❤❡ ❝♦♠♣❡-✐-✐♦♥ ❛✉-❤♦*✐-② ♦♥ -❤❡

✐♥❝✉♠❜❡♥-✬. ❡①-❡♥- ♦❢ ♣*✐❝❡ ❞✐.❝*✐♠✐♥❛-✐♦♥✳

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✸✳ ❯♥❞❡$ ❞✉♦♣♦❧② ✇✐,❤ ❛ ❜✐♥❞✐♥❣ ❝♦♥2,$❛✐♥, ♦♥ ♣$✐❝❡ ❞✐2❝$✐♠✐♥❛,✐♦♥✱ q ∈[0, s

3)✱ ,❤❡ ✉♥✐5✉❡ ❡5✉✐❧✐❜$✐✉♠ ❤❛2

✶✳ ❖❧❞ ❝♦♥2✉♠❡$2 ✇✐,❤ xOLD ≤ sθ+6t+2s−3qθ12t

❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥2✉♠❡$2 ✇✐,❤ xNEW ≤ sθ+6t−s+3q(1−θ)12t

♣✉$❝❤❛2❡ ❢$♦♠ ✜$♠ A✱ ❛♥❞ ❛❧❧ ♦,❤❡$2 ❢$♦♠ ✜$♠ B

✷✳ ❋✐$♠ A 2❡,2 ♣$✐❝❡2 pAOLD = s(1−θ)3

+ qθ + t+ c✱ pANEW = s(1−θ)3− q(1− θ) + t+ c✳ ❋✐$♠

B✬2 ♣$✐❝❡2 ❛$❡ pBOLD = (3q−s)θ6

− s3+ t+ c ❛♥❞ pBNEW = −q 1−θ

2+ s(1−θ)

6+ t+ c

✸✳ ❊5✉✐❧✐❜$✐✉♠ ♣$♦✜,2 ❛$❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

π∗ADUO =s2(1− θ)

18t+

s(1− θ)

3+

t

2− q(q − s)(1− θ)θ

4t

π∗BDUO =s2(1− θ)

18t− s(1− θ)

3+

t

2+

(s− q)2θ(1− θ)

8t

A$♦♦❢✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ ✐♥❡;✉❛❧✐-② ❝♦♥.-*❛✐♥- ✭❡;✉❛-✐♦♥ ✷✳✷✳✺✮ -♦ -❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥-✬. ♣*♦❜❧❡♠✱ -❤❡ ✐♥✲

❝✉♠❜❡♥-✬. ♣*♦❜❧❡♠ ✐♥ ❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡* ❢♦*♠ ❜❡❝♦♠❡.✿

L = (1− θ)xOLD(pAOLD, p

BOLD)

(pAOLD − c

)✭✷✳✸✳✾✮

+ θxNEW (pANEW , pBNEW )(pANEW − c

)− λ(pAOLD − pANEW − q)

❙✉♣♣♦.❡ ✜*.- -❤❡ ❝♦♥.-*❛✐♥- ❞♦❡. ♥♦- ❜✐♥❞ ✭λ = 0✮✳ ❚❤❡♥✱ -❤❡ .♦❧✉-✐♦♥. ♦❢ -❤❡ ♣*♦❜❧❡♠

❛*❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ❡;✉❛-✐♦♥. ✭✷✳✸✳✸✲✷✳✸✳✹✮✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ✇✐-❤ -❤❡ ❜❡.- *❡.♣♦♥.❡. ♦❢ -❤❡ ♥❡-*❛♥-

✭✷✳✸✳✻✲✷✳✸✳✼✮ ✇❡ -❤✉. ❤❛✈❡ -❤❡ .❛♠❡ ❡;✉✐❧✐❜*✐✉♠ ❛. ✐♥ ♣*♦♣♦.✐-✐♦♥ ✷✳✸✳✷✳ ❇② ❡①❛♠✐♥✐♥❣ -❤❡

✐♥❝✉♠❜❡♥-✬. ♣*✐❝❡ ❞✐✛❡*❡♥❝❡ p∗AOLD − p∗ANEW = s3✱ -❤✐. ❡;✉✐❧✐❜*✐✉♠ ✐. ❢❡❛.✐❜❧❡ ❢♦* q ≥ s

3✳

❲❤❡♥ -❤❡ ❝♦♠♣❡-✐-✐♦♥ ❛✉-❤♦*✐-②✬. ❝♦♥.-*❛✐♥- ✐. ❜✐♥❞✐♥❣ ✭λ 6= 0✮✱ -❤❡ ✜*.-✕♦*❞❡* ❝♦♥❞✐-✐♦♥

②✐❡❧❞.✿

pAOLD(~pB) =

((1−θ)pBOLD+θpBNEW )+(2q−s)θ+t+s+c

2✭✷✳✸✳✶✵✮

pANEW ( ~pB) =((1−θ)pBOLD+θpBNEW )+(2q−s)θ+t+s+c

2− q ✭✷✳✸✳✶✶✮

❋*♦♠ ♣*♦♣♦.✐-✐♦♥ ✷✳✸✳✶✱ ✐- ✐. ✐♠♠❡❞✐❛-❡ -❤❛- -❤❡ ❡♥-*❛♥- ✐. ❛❜❧❡ -♦ ❡♥❣❛❣❡ ✐♥ ♣*✐❝❡ ❞✐.❝*✐♠✐✲

♥❛-✐♦♥ ❛ ❢♦*-✐♦*✐ ✐❢ -❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥- ✐. ❝♦♥.-*❛✐♥❡❞ ✭❛. -❤❡ ♣*✐❝❡ ❞✐✛❡*❡♥❝❡ .❤*✐♥❦.✮✳

❈♦♠❜✐♥✐♥❣ ❡;✉❛-✐♦♥. ✭✷✳✸✳✶✵✲✷✳✸✳✶✶✮ ❛♥❞ ✭✷✳✸✳✻✲✷✳✸✳✼✮ ❛❣❛✐♥ ②✐❡❧❞. ❛ ❢✉❧❧✕*❛♥❦ ✹①✹ .②.-❡♠✱

❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ .♦❧✈❡❞ -♦ ②✐❡❧❞ -❤❡ ✉♥✐;✉❡ ❡;✉✐❧✐❜*✐✉♠ ♣*✐❝❡. ❝❧❛✐♠❡❞ ✐♥ ♣❛*- ✭✐✐✮ ♦❢ -❤❡

♣*♦♣♦.✐-✐♦♥✳ S❛*-. ✭✐✮ ❛♥❞ ✭✐✐✐✮ ❛*❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉. -♦ ♣*♦♣♦.✐-✐♦♥ ✷✳✸✳✷✳


DOI: 10.2870/93798

✺✵ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

❲❤❡♥ ❛ ❜✐♥❞✐♥❣ ❝♦♥-./❛✐♥. ♦♥ ♣/✐❝❡ ❞✐-❝/✐♠✐♥❛.✐♦♥ ✐- ✐♥./♦❞✉❝❡❞✱ ❤♦❧❞✐♥❣ .❤❡ ❡♥./❛♥.✬-

♣/✐❝❡- ❝♦♥-.❛♥.✱ .❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥. ❧♦✇❡/- .❤❡ ♣/✐❝❡- ❢♦/ ♦❧❞ ❝♦♥-✉♠❡/- ❛♥❞ ✐♥❝/❡❛-❡- .❤❡♠ ❢♦/ ♥❡✇

❝♦♥-✉♠❡/-✳ ❖❜-❡/✈❡ .❤❛. .❤✐- ❝♦♥-./❛✐♥. ♦♥ .❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥.✬- ♣/✐❝❡ ❞✐-❝/✐♠✐♥❛.✐♦♥ ❛❝.✉❛❧❧②

❡♥❤❛♥❝❡- .❤❡ ❡♥./❛♥.✬- ♣/✐❝❡ ❞✐-❝/✐♠✐♥❛.✐♦♥ ✕ .❤❡ ♣/✐❝❡ ❞✐✛❡/❡♥❝❡ B ❝❤❛/❣❡- ♥❡✇ ❛♥❞ ♦❧❞

❝♦♥-✉♠❡/- ❛❝.✉❛❧❧② ✐♥❝/❡❛-❡-✳

❈♦❧❧❡❝.✐♥❣ -②-.❡♠❛.✐❝❛❧❧② .❤❡ ❝♦♠♣❛/❛.✐✈❡ -.❛.✐❝- /❡-✉❧.-✱ ❛♥❞ ♥♦.✐♥❣ .❤❛. ❛ ❢❛❧❧ ✐♥ q

♠❡❛♥- -./✐❝.❡/ /❡❣✉❧❛.✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✹ ✭❊✛❡❝.- ♦❢ ▲✐♠✐.✐♥❣ C/✐❝❡ ❉✐-❝/✐♠✐♥❛.✐♦♥✮✳ ❆$ ♣&✐❝❡ ❞✐$❝&✐♠✐♥❛-✐♦♥ ♦♥

-❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥- ✐$ ❝♦♥$-&❛✐♥❡❞ ✭dq < 0✮✱

✶✳ -❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥-✬$ ♠❛&❦❡- $❤❛&❡ ❛♠♦♥❣ ♦❧❞ ❝♦♥$✉♠❡&$ &✐$❡$ ✭dxOLD/dq < 0✮ ❛♥❞ ❢❛❧❧$

❛♠♦♥❣ ♥❡✇ ❝♦♥$✉♠❡&$ ✭dxNEW/dq > 0✮❀ ❛❝&♦$$ $❡❣♠❡♥-$✱ ♠❛&❦❡- $❤❛&❡$ ❛&❡ ✉♥❝❤❛♥❣❡❞

✭d(θxNEW + (1− θ)xOLD/dq = 0✮

✷✳ ❜♦-❤ ✐♥❝✉♠❜❡♥- ❛♥❞ ❡♥-&❛♥- &❡❞✉❝❡ ♣&✐❝❡$ ❢♦& ♦❧❞ ❝♦♥$✉♠❡&$ dpiOLD/dq > 0 ❛♥❞ &❛✐$❡

♣&✐❝❡$ ❢♦& ♥❡✇ ❝♦♥$✉♠❡&$ ✭dpjNEW < 0✮

✸✳ ❡♥-&❛♥- ♣&♦✜- &✐$❡$✱ dπ∗B/dq < 0 ✇❤✐❧❡ -❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥-✬$ ♣&♦✜- ❢❛❧❧$ dπ∗A/dq > 0

?&♦♦❢✳ ❯-✐♥❣ ♣/♦♣♦-✐.✐♦♥ ✷✳✸✳✸ ❞✐/❡❝.❧②✱

✶✳ ❋♦/ ♦❧❞ ❝♦♥-✉♠❡/-✱ dxOLD/dq = − θ4t< 0❀ ✇❤✐❧❡ ❢♦/ ♥❡✇ ❝♦♥-✉♠❡/- dxNEW/dq = 1−θ

4t<

0✳

❚❛❦✐♥❣ d ((1− θ)xOLD + θxNEW ) /dq = − (1−θ)θ4t

+ (1−θ)θ4t

= 0✱ ❛- ❝❧❛✐♠❡❞✳

✷✳ ❋♦/ .❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥.✱ dp∗AOLD/dq = θ > 0✱ dp∗ANEW/dq = −(1 − θ) < 0❀ ✇❤✐❧❡ ❢♦/ .❤❡

❡♥./❛♥.✱ dp∗BOLD/dq =θ2> 0✱ dp∗BNEW/dq = − (1−θ)

2< 0✱

✸✳ ❋♦/ .❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥. ❛♥❞ ❡♥./❛♥. /❡-♣❡❝.✐✈❡❧②✿

dπ∗ADUO

dq=

(s− 2q)(1− θ)θ

4t> 0 ✭✷✳✸✳✶✷✮

dπ∗BDUO

dq= −(s− q)(1− θ)θ

4t< 0 ✭✷✳✸✳✶✸✮

◆♦.✐♥❣ .❤❛. .❤❡ ♣/♦♣♦-✐.✐♦♥ ✐♥❞✐❝❛.❡- q ∈ [0, s/3)✱ .❤❡ ❡①♣/❡--✐♦♥- ❛/❡ ❞❡✜♥✐.❡❧② -✐❣♥❡❞✳


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✷ ✺✶

❘❡❣✉❧❛(✐♦♥ ♦❢ ♣.✐❝❡ ❞✐1❝.✐♠✐♥❛(✐♦♥ ❛✛❡❝(1 (❤❡ ♦❧❞ ❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥1✉♠❡. 1❡❣♠❡♥(1 ❞✐✛❡.❡♥(❧②✳

❋♦. ♦❧❞ ❝♦♥1✉♠❡.1✱ (❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥(✬1 ♣.✐❝❡ ✐1 ❞❡♣.❡11❡❞❀ 1✐♥❝❡ (❤❡ ❡♥(.❛♥(✬1 ♣.✐❝❡ ❞♦❡1 ♥♦(

❢❛❧❧ ♦♥❡✕❢♦.✕♦♥❡✱ (❤✐1 .❡1✉❧(1 ✐♥ ❛ ❢❛❧❧✐♥❣ ♣.✐❝❡ ❞✐✛❡.❡♥❝❡ pAOLD − pBOLD✱ ❛♥❞ (❤✉1 1❤✐❢(1 (❤❡

♠❛.❣✐♥❛❧ ❝♦♥1✉♠❡. (♦✇❛.❞1 (❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥(✳ ❚❤✉1✱ .❡❣✉❧❛(✐♦♥ 1(.❡♥❣(❤❡♥1 (❤❡ ♠❛.❦❡( 1❤❛.❡ ♦❢

(❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥( ✐♥ (❤❡ ♦❧❞ 1❡❣♠❡♥(✳ ■♥ ❝♦♥(.❛1(✱ (❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥(✬1 ♣.✐❝❡ ❢♦. ♥❡✇ ❝♦♥1✉♠❡.1 .✐1❡1❀

❛❣❛✐♥✱ (❤❡ ❡♥(.❛♥( ♣❛.(✐❛❧❧② ❢♦❧❧♦✇1 1✉✐(✱ ❤❡♥❝❡ ❣❛✐♥✐♥❣ ♠❛.❦❡( 1❤❛.❡ ❛♠♦♥❣ ♥❡✇ ❝♦♥1✉♠❡.1✳

❘❡❣✉❧❛(✐♦♥ ❞♦❡1 ♥♦( ❛✛❡❝( (❤❡ ♦✈❡.❛❧❧ ♠❛.❦❡( 1❤❛.❡1 ♦❢ (❤❡ (✇♦ ✜.♠1✳

❆1 ♦♥❡ ♠❛② ❡①♣❡❝(✱ (❤❡ .❡❣✉❧❛(✐♦♥ ❤❛.♠1 ♣.♦✜(❛❜✐❧✐(② ♦❢ (❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥(✳ ❚❤❡ ❡♥(.❛♥(

❣❛✐♥1✳ ❚❤✐1 ✐1 ❛1 ✐♥ ❇♦✉❝❦❛❡.( ❡( ❛❧✳ ✭✷✵✶✸✮ ❛♥❞ ❈❤❡♥ ✭✷✵✵✽✮✱ ❜✉( ♥♦( ❛1 ✐♥ ●❡❤.✐❣ ❡( ❛❧✳

✭✷✵✶✶✮ ✇❤❡.❡ (❤❡ ❡♥(.❛♥( ✐1 ❝♦♠♣❡❧❧❡❞ (♦ ✉♥✐❢♦.♠ ♣.✐❝✐♥❣✳

✷✳✸✳✸ ❊♥%&❛♥% ♦& ■♥❝✉♠❜❡♥% ▼♦♥♦♣♦❧②

◆♦✇✱ ■ 1♦❧✈❡ ❢♦. (❤❡ ♠❛.❦❡( ♦✉(❝♦♠❡1 ✇❤❡♥ ❡✐(❤❡. ✐♥❝✉♠❜❡♥( ♦. ❡♥(.❛♥( ✐1 ✐♥ ❛ ♠♦♥♦♣♦❧②

♣♦1✐(✐♦♥✿

■♥❝✉♠❜❡♥' ▼♦♥♦♣♦❧②✳ ❈♦♥1✐❞❡. ✜.1( (❤❡ ❝❛1❡ (❤❛( ♦♥❧② (❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥( ✐1 ❛❝(✐✈❡ ✐♥ (❤❡ ♠❛.❦❡(✳

■♥ (❤✐1 ❝❛1❡✱ (❤❡ ♠❛.❣✐♥❛❧ ❝♦♥1✉♠❡. ✐1 ✐♥❞✐✛❡.❡♥( ❜❡(✇❡❡♥ ♣✉.❝❤❛1✐♥❣ ❢.♦♠ ✜.♠ A ❛♥❞

❛❜1(❛✐♥✐♥❣ ❢.♦♠ (❤❡ ♠❛.❦❡(✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ❢♦. (❤❡ ♠❛.❣✐♥❛❧ (②♣❡ ✉1✐♥❣ ❡Q✉❛(✐♦♥1 ✷✳✷✳✷ ❛♥❞ ✷✳✷✳✶

.❡1♣❡❝(✐✈❡❧②✱

xOLD =β − pAOLD

txNEW =

β − pANEW

t✭✷✳✸✳✶✹✮

❚✇♦ ♣♦✐♥(1 ❛.❡ ♥♦(❡✇♦.(❤② ❛❜♦✉( (❤❡1❡ ❡①♣.❡11✐♦♥1✳ ❋✐.1(✱ ✐( ✐1 ❝❧❡❛. (❤❛( (❤❡.❡ ✐1 ♥♦

❝♦♠♣❡(✐(♦. (♦ 1✇✐(❝❤ (♦ ✉♥❞❡. ✐♥❝✉♠❜❡♥( ♠♦♥♦♣♦❧②❀ (❤✉1 ✐( ✐1 ❛❧1♦ ✐♥(✉✐(✐✈❡ (❤❛( ✉♥✐❢♦.♠

♣.✐❝✐♥❣ ✇✐❧❧ ❛.✐1❡ ✐♥ (❤✐1 1❡((✐♥❣✳ ❙❡❝♦♥❞✱ (❤❡ ❢✉❧❧ ♠❛.❦❡( ❝♦✈❡.❛❣❡ ❛11✉♠♣(✐♦♥ (✐❡1 ❞♦✇♥ (❤❡

♣.✐❝❡1 ❞✐.❡❝(❧② ✐♥ (❤❡ ♠♦♥♦♣♦❧② ❝❛1❡❀ ✐( .❡♠❛✐♥1 (♦ ✜♥❞ ❜♦✉♥❞❛.✐❡1 ♦♥ (❤❡ ♣❛.❛♠❡(❡.1 ❢♦.

✇❤✐❝❤ ❢✉❧❧ ♠❛.❦❡( ❝♦✈❡.❛❣❡ ❝❛♥ ❛.✐1❡ ✐♥ ❡Q✉✐❧✐❜.✐✉♠✳

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✺✳ ❯♥❞❡/ ✐♥❝✉♠❜❡♥' ♠♦♥♦♣♦❧②✱

✶✳ ❆❧❧ ♦❧❞ ❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥7✉♠❡/7 ♣✉/❝❤❛7❡ ❢/♦♠ ✜/♠ ❆✱ xOLD = xNEW = 1

✷✳ ❚❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥' ❝❤❛/❣❡7 ♣/✐❝❡7 pAOLD = pANEW = β − t

✸✳ ■♥❝✉♠❜❡♥' ♣/♦✜' ❡?✉❛❧7 π∗AMON = β − t− c

@/♦♦❢✳

✶✳ ❚❤✐1 ✐1 ❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛(❡ ❝♦♥1❡Q✉❡♥❝❡ ♦❢ ❛11✉♠♣(✐♦♥ ✹✱ ✐✳❡✳ (❤❛( (❤❡ ♠❛.❦❡( ✐1 ❢✉❧❧② ❝♦✈❡.❡❞✳


DOI: 10.2870/93798

✺✷ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

✷✳ ❚♦ ✜♥❞ ♠♦♥♦♣♦❧② ♣,✐❝❡0✱ ♥♦2❡ 2❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥2✬0 ♣,♦❜❧❡♠ ✐0 ❣✐✈❡♥ ❜②

♠❛①

{pAOLD,pANEW }πA = (1− θ)xOLD(p

AOLD)

(pAOLD − c

)✭✷✳✸✳✶✺✮

+θxNEW (pANEW )(pANEW − c

)

❚❤❡ ✜,02✕♦,❞❡, ❝♦♥❞✐2✐♦♥ ❢♦, ❡✐2❤❡, ♣,✐❝❡ pAOLD ✐0 ❣✐✈❡♥ ❜②

dπA

dpAOLD

=

0 ✐❢ pAOLD ≥ β

1−θt

(β + c− 2pAi

)✐❢ β − t ≤ pAOLD ≤ β

−1 ✐❢ pAOLD < β − t

❚♦ 0❛2✐0❢② 2❤❡ ❢✉❧❧ ♠❛,❦❡2 ❝♦✈❡,❛❣❡ ❛00✉♠♣2✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛2❡❧② ♦❜0❡,✈❡ ❢,♦♠

❡C✉❛2✐♦♥ ✷✳✸✳✶✹ 2❤❛2 pAOLD = pANEW = β − t✳ ❋♦, 2❤✐0 2♦ ❜❡ ❛ 0♦❧✉2✐♦♥ ♦❢ 2❤❡ ✜,♠✬0

♣,✐❝✐♥❣ ♣,♦❜❧❡♠✱ ✇❡ ♠✉02 ❤❛✈❡

β ≥ 2t+ c

✸✳ ❋♦❧❧♦✇0 ❞✐,❡❝2❧② ❜② 0✉❜02✐2✉2✐♥❣ 2❤❡ ❡C✉✐❧✐❜,✐✉♠ ♣,✐❝❡0 ❛♥❞ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥0✉♠❡,0 ✐♥2♦

2❤❡ ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝2✐♦♥✳

❊♥"#❛♥" ▼♦♥♦♣♦❧②✳ ❯♥❞❡, ❡♥2,❛♥2 ♠♦♥♦♣♦❧②✱ ❛❧❧ ♦❧❞ ❝♦♥0✉♠❡,0 ❢❛❝❡ 0✇✐2❝❤✐♥❣ ❝♦02✳ ❚❤✐0

②✐❡❧❞0 ❛ ♠♦❞✐✜❡❞ ♠❛,❣✐♥❛❧ ❝♦♥0✉♠❡, ❝♦♥❞✐2✐♦♥ ✐♥ 2❤✐0 0❡❣♠❡♥2✳ ❋♦, ♥❡✇ ❝♦♥0✉♠❡,0✱ 2❤❡

❡①♣,❡00✐♦♥ ,❡♠❛✐♥0 ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❢,♦♠ 2❤❡ ♣,❡✈✐♦✉0 0❡❝2✐♦♥✿

xOLD =β + t+ s− pBOLD

txNEW =

β + t− pBNEW

t✭✷✳✸✳✶✻✮

●✐✈❡♥ 2❤❡ 0②♠♠❡2,② ♦❢ 2❤❡ ♠♦❞❡❧✱ 2❤❡ ❛♣♣,♦♣,✐❛2❡ ❝♦♥❞✐2✐♦♥ 2♦ 0❛2✐0❢② 2❤❡ ❢✉❧❧ ❝♦✈❡,❛❣❡

❛00✉♠♣2✐♦♥ ✐0 2❤❛2 xj = 0 ✐♥ ❜♦2❤ 0❡❣♠❡♥20✳ ❙♦❧✈✐♥❣ 2❤❡ ♣,✐❝✐♥❣ ♣,♦❜❧❡♠ 2❤❡♥ ②✐❡❧❞0

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✻✳ ❯♥❞❡# ❡♥"#❛♥" ♠♦♥♦♣♦❧②✱

✶✳ ❆❧❧ ♦❧❞ ❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥4✉♠❡#4 ♣✉#❝❤❛4❡ ❢#♦♠ ✜#♠ ❇✱ xOLD = xNEW = 0

✷✳ ❚❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥" ❝❤❛#❣❡4 ♣#✐❝❡4 pBOLD = β − t − s ❛♥❞ pBNEW = β − t "♦ ♦❧❞ ❛♥❞ ♥❡✇

❝♦♥4✉♠❡#4 #❡4♣❡❝"✐✈❡❧②


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✷ ✺✸

✸✳ ❚❤❡ ❡♥&'❛♥&✬* ♣'♦✜& ❡.✉❛❧* π∗BMON = β − t− c− s(1− θ)

1'♦♦❢✳

✶✳ ❋♦❧❧♦✇( ❞✐+❡❝.❧② ❢+♦♠ ♠❛+❦❡. ❝♦✈❡+❛❣❡✱ ❛( ❜❡❢♦+❡

✷✳ ❚❤❡ ❡♥.+❛♥.✬( ♣+♦❜❧❡♠ ✐( ❣✐✈❡♥ ❜②

♠❛①

{pBOLD,pBNEW }πB = (1− θ)(1− xOLD)(p

BOLD)

(pBOLD − c

)✭✷✳✸✳✶✼✮

+θ(1− xNEW )(pBNEW )(pBNEW − c

)

❚❤❡ ✜+(.✕♦+❞❡+ ❝♦♥❞✐.✐♦♥( ❛+❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

dπB

dpBOLD

=

0 ✐❢β − s ≤ pBOLD

1−θt

(β − s+ c− 2pBOLD

)✐❢ β − t− s ≤ pBOLD ≤ β − s

−1 ♦.❤❡+✇✐(❡

dπB

dpBNEW

=

0 ✐❢β ≤ pBOLD

θt

(β − c− 2pBNEW

)✐❢ β − t ≤ pBNEW ≤ β

−1 ♦.❤❡+✇✐(❡

❚♦ (❛.✐(❢② .❤❡ ❢✉❧❧ ♠❛+❦❡. ❝♦✈❡+❛❣❡ ❛((✉♠♣.✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♠♠❡❞✐❛.❡❧② ♦❜(❡+✈❡ ❢+♦♠

❡E✉❛.✐♦♥ ✷✳✸✳✶✹ .❤❛. pBOLD = β − t− s ❛♥❞ pBNEW = β − t✳ ❋♦+ .❤✐( .♦ ❜❡ ❛ (♦❧✉.✐♦♥ ♦❢

.❤❡ ✜+♠✬( ♣+✐❝✐♥❣ ♣+♦❜❧❡♠✱ ✇❡ ♠✉(. ❤❛✈❡

β ≥ 2t+ c+ s β ≥ 2t+ c

❢♦+ .❤❡ ❋❖❈ ♦❢ ♦❧❞ ❛♥❞ ♥❡✇ ❝♦♥(✉♠❡+( +❡(♣❡❝.✐✈❡❧②✳ ❙✐♥❝❡ .❤❡ ✜+(. ❝♦♥(.+❛✐♥. ✐( .✐❣❤.❡+✱

.❤❡ ❢✉❧❧ ❝♦✈❡+❛❣❡ ❛((✉♠♣.✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡( β ≥ 2t+ c+ s✳

✸✳ ❇② (✉❜(.✐.✉.✐♦♥ ♦❢ ❡E✉✐❧✐❜+✐✉♠ ♣+✐❝❡( ✐♥.♦ .❤❡ ♣❛②♦✛ ❢✉♥❝.✐♦♥✳

✷✳✸✳✹ ❊♥&'② ❙&❛❣❡

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛❞♠✐.( ❢♦+ .❤❡ ❡E✉✐❧✐❜+✐✉♠ ♠❛+❦❡. (.+✉❝.✉+❡( ♦❢ ❞✉♦♣♦❧②✱ ♠♦♥♦♣♦❧② ❜② ❡♥.+❛♥.

✭❡①✐.✮ ♦+ ♠♦♥♦♣♦❧② ❜② .❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥. ✭♥♦ ❡♥.+②✮✳ ❉❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ .❤❡ ♣❛+❛♠❡.❡+( ✕ ✜①❡❞ ❝♦(.

♦❢ ❡♥.+②✱ (✇✐.❝❤✐♥❣ ❝♦(.✱ +❡❣✉❧❛.✐♦♥ ♦❢ ♣+✐❝❡ ❞✐(❝+✐♠✐♥❛.✐♦♥ ✕ ❞✐✛❡+❡♥. ♦✉.❝♦♠❡( ❛+❡ ♣♦((✐❜❧❡✳

❲❡ ❞❡+✐✈❡ .❤❡ ♠♦♥♦♣♦❧② ❡E✉✐❧✐❜+✐✉♠✱ .❤❡♥ ✜+(. ❡(.❛❜❧✐(❤ ❛♥ ♦+❞❡+✐♥❣ ♦❢ .❤❡ ♣+♦✜.(✱ ❛♥❞

✜♥❛❧❧② ✜♥❞ ❢♦+ ✇❤✐❝❤ ♣❛+❛♠❡.❡+ ❝❛(❡( ❛ ♣❛+.✐❝✉❧❛+ ♠❛+❦❡. (.+✉❝.✉+❡ ✐( ❛♥ ❡E✉✐❧✐❜+✐✉♠✳


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✺✹ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

❋✐❣✉&❡ ✷✳✷✿ ❈♦♥./❡❧❧❛/✐♦♥ ♦❢ ❊4✉✐❧✐❜&✐✉♠ ▼❛&❦❡/ ❙/&✉❝/✉&❡.

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✸✳✼✳ ●✐✈❡♥ %❤❡ ♣❛)❛♠❡%❡)+✱ %❤❡ ❡-✉✐❧✐❜)✐✉♠ ♠❛)❦❡% +%)✉❝%✉)❡ ✐+ ❣✐✈❡♥ ❜②

✶✳ FA < π∗ADUO✱FB < π∗BDUO✿ ✉♥✐-✉❡ ❡-✉✐❧✐❜)✐✉♠ ✇❤❡)❡ ❜♦%❤ ✜)♠+ ❡♥%❡)

✷✳ FA < π∗ADUO✱π∗BDUO < FB < π∗BMON ✿ ✐♥❝✉♠❜❡♥% ♠♦♥♦♣♦❧② ✐+ %❤❡ ✉♥✐-✉❡ ❡-✉✐❧✐❜)✐✉♠

✸✳ π∗ADUO < FA < π∗AMON ✱ FB < π∗BDUO✿ ❡♥%)❛♥% ♠♦♥♦♣♦❧② ✐+ %❤❡ ✉♥✐-✉❡ ❡-✉✐❧✐❜)✐✉♠

✹✳ π∗ADUO < FA < π∗AMON ✱ π∗BDUO < FB < π∗BMON ✿ ❡✐%❤❡) ❡♥%)❛♥% ♦) ✐♥❝✉♠❜❡♥% ♠♦♥♦♣♦❧② ❛)❡

❡-✉✐❧✐❜)✐❛✳

>)♦♦❢✳ ❚❤❡ ❡♥/&② ./❛❣❡ ✐. ❛ ✷①✷ ❣❛♠❡✳ ❋✐&./✱ ❝♦♥.✐❞❡& /❤❡ ❝❛.❡ /❤❛/ Fi < π∗iDUO✳ ■♥ /❤✐. ❝❛.❡✱

✐/ ✐. ❛ ❞♦♠✐♥❛♥/ ./&❛/❡❣② ❢♦& ✜&♠ i /♦ ❡♥/❡& /❤❡ ♠❛&❦❡/✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ✐❢ π∗iDUO < Fi < π∗iMON ✱ ✜&♠

i✬. ❜❡./ &❡.♣♦♥.❡ ✐. /♦ ❡♥/❡& ✐❢ /❤❡ &✐✈❛❧ ❞♦❡. ♥♦/✱ ❛♥❞ ♦/❤❡&✇✐.❡ ❛❜./❛✐♥ ❢&♦♠ /❤❡ ♠❛&❦❡/✳

❚❤❡ ❝❧❛✐♠❡❞ ♠❛&❦❡/ ./&✉❝/✉&❡. ✐♥ /❤❡ ♣&♦♣♦.✐/✐♦♥ /❤❡♥ ❢♦❧❧♦✇ ❞✐&❡❝/❧② ❢&♦♠ ❝♦♠❜✐♥✐♥❣

/❤❡ ❝❛.❡. ❥✉./ ❞✐.❝✉..❡❞✳

❋✐❣✉&❡ ✷✳✷ .✉♠♠❛&✐.❡. ❣&❛♣❤✐❝❛❧❧② /❤❡ ♣♦..✐❜❧❡ ♠❛&❦❡/ ./&✉❝/✉&❡.✳

✷✳✹ ❲❡❧❢❛(❡ ❛♥❞ +(✐❝❡ ❉✐/❝(✐♠✐♥❛1✐♦♥

❈♦♥.✉♠❡& ❙✉&♣❧✉.✿


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❈❤❛♣$❡&✷ ✺✺

CS = β + θ

xNEWˆ

0

−tx− pANEWdx+

1ˆ

xNEW

−t(1− x)− pBNEWdx

✭✷✳✹✳✶✮

+ (1− θ)

xOLDˆ

0

−tx− pAOLDdx+

1ˆ

xOLD

−t(1− x)− pBOLD − sdx

!"♦✜%& ✇❡"❡ ❛❧"❡❛❞② ❞❡"✐✈❡❞ ❜❡❢♦"❡✳ ❙♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛"❡ ✐& ❣✐✈❡♥ ❜②

W = β + θ

xNEWˆ

0

−txdx+

1ˆ

xNEW

−t(1− x)dx

✭✷✳✹✳✷✮

+ (1− θ)

xOLDˆ

0

−txdx+

1ˆ

xOLD

−t(1− x)− sdx

❚❤❡ ❡①♣"❡&&✐♦♥ ♠❛❦❡& ❝❧❡❛" %❤❡ ♥❛%✉"❡ ♦❢ %❤❡ ✇❡❧❢❛"❡ ❞✐&❝✉&&✐♦♥✳ ●✐✈❡♥ %❤❡ ❢✉❧❧ ❝♦✈❡"❛❣❡

❛&&✉♠♣%✐♦♥✱ %❤❡ &♦✉"❝❡& ♦❢ ✐♥❡✣❝✐❡♥❝② ✐♥ %❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛"❡ ✭❛✮ ♠✐&❛❧❧♦❝❛%✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥&✉♠❡"& ❛✇❛②

❢"♦♠ %❤❡ ♣"❡❢❡""❡❞ ❜"❛♥❞ ❛♥❞ ✭❜✮ &✇✐%❝❤✐♥❣ ❝♦&%&✳

✷✳✹✳✶ $%✐❝❡ ❉✐*❝%✐♠✐♥❛.✐♦♥ ✐♥ ❖❧✐❣♦♣♦❧②

❲❡ ♥♦✇ ❞❡"✐✈❡ %❤❡ ✇❡❧❢❛"❡✕♠❛①✐♠✐&✐♥❣ ♣♦❧✐❝② ♦♥ ♣"✐❝❡ ❞✐&❝"✐♠✐♥❛%✐♦♥ ✭✐✳❡✳ q✮✱ ❣✐✈❡♥ %❤❛% ❛

❞✉♦♣♦❧② ✐& ✐♥ ♣❧❛❝❡✳ ■% %✉"♥& ♦✉% %❤✐& ♣♦❧✐❝② ✐& %♦ ❜❛♥ ♣"✐❝❡ ❞✐&❝"✐♠✐♥❛%✐♦♥✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✷✳✹✳✶✳ ●✐✈❡♥ ❞✉♦♣♦❧②✱ ,❤❡ ✇❡❧❢❛1❡✕♠❛①✐♠✐5✐♥❣ ♣♦❧✐❝② ❝❛❧❧5 ❢♦1 ❛ ❝♦♠♣❧❡,❡ ❜❛♥ ♦❢

❜❡❤❛✈✐♦✉1✕❜❛5❡❞ ♣1✐❝❡ ❞✐5❝1✐♠✐♥❛,✐♦♥ ❜② ,❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥,✳ ❚❤✐5 ♣♦❧✐❝② ♠❛①✐♠✐5❡5 ❜♦,❤ ❝♦♥5✉♠❡1

5✉1♣❧✉5 ❛♥❞ ♣1♦❞✉❝❡1 5✉1♣❧✉5✳

;1♦♦❢✳ ❙✉❜&%✐%✉%✐♥❣ ✐♥%♦ ❡F✉❛%✐♦♥& ✭✷✳✹✳✶✕✷✳✹✳✷✮ %❤❡ ❡F✉✐❧✐❜"✐✉♠ ♠❛"❣✐♥❛❧ ❝♦♥&✉♠❡"& ❢♦✉♥❞

✐♥ ♣"♦♣♦&✐%✐♦♥ ✷✳✸✳✸✱ ✇❡ ✜♥❞ ❛❢%❡" %❛❦✐♥❣ ❞❡"✐✈❛%✐✈❡& ✇✐%❤ "❡&♣❡❝% %♦ q

dCS

dq= −(s− q)(1− θ)θ

8t✭✷✳✹✳✸✮

dPS

dq= −q(1− θ)θ

4t✭✷✳✹✳✹✮

dW

dq= −(s+ q)(1− θ)θ

8t✭✷✳✹✳✺✮

❙✐♥❝❡ q ∈ [0, s/3]✱ %❤❡ ✜"&% ❡①♣"❡&&✐♦♥ ✐& ✉♥❛♠❜✐❣✉♦✉&❧② ♥❡❣❛%✐✈❡❀ &✐♠✐❧❛"❧②✱ %❤❡ ❞❡"✐✈❛%✐✈❡ ♦❢

✇❡❧❢❛"❡ ✇✐%❤ "❡&♣❡❝% %♦ q ✐& ✉♥❛♠❜✐❣✉♦✉&❧② ♥❡❣❛%✐✈❡✳ ❚❤✉& q = 0 ♠❛①✐♠✐&❡& ❜♦%❤ &♦❝✐❛❧ ❛♥❞

♣"♦❞✉❝❡" &✉"♣❧✉& ❛& ❝❧❛✐♠❡❞✳


DOI: 10.2870/93798

✺✻ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

❋✐❣✉&❡ ✷✳✸✿ ❲❡❧❢❛&❡ ❊✛❡❝34 ♦❢ 6&✐❝❡ ❉✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥

6&✐❝❡ ❞✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥ ✐4 3❤✉4 ✈❡&② ❞❛♠❛❣✐♥❣ 3♦ ✇❡❧❢❛&❡ ✐♥ 3❤❡ ♣&❡4❡♥3 ♠♦❞❡❧✱ ❛♥❞ ❧❡❛❞4

3♦ ❛ ✏❞♦✉❜❧❡ ❧♦44✑ ❢♦& ❜♦3❤ ❝♦♥4✉♠❡&4 ❛♥❞ ♣&♦❞✉❝❡&4✳ 6&♦❞✉❝❡& 4✉&♣❧✉4 ❢❛❧❧4 ❜❡❝❛✉4❡ 3❤❡

✐♥❝✉♠❜❡♥3 ❧♦4❡4 ♠♦&❡ 3❤❛♥ 3❤❡ ❡♥3&❛♥3 ❣❛✐♥4✱ ❛4 ❞✐4❝✉44❡❞ ❛❜♦✈❡ ❛♥❞ ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐3❤ ♦3❤❡&

♠♦❞❡❧4✳

❋✐❣✉&❡ ✷✳✸ ✐❧❧✉43&❛3❡4 3❤❡ ❡✛❡❝34 ♦❢ ♣&✐❝❡ ❞✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥ ♦♥ 3❤❡ 43&✉❝3✉&❡ ♦❢ 3❤❡ ❡D✉✐❧✐❜&✐✉♠✳

❚❤❡ ✜&43✕❜❡43 ❛❧❧♦❝❛3✐♦♥ ❞✐✈✐❞❡4 ❝♦♥4✉♠❡&4 ❡✈❡♥❧② ❜❡3✇❡❡♥3 3❤❡ 3✇♦ ✜&♠4 ✐♥ 3❤❡ ♥❡✇ 4❡❣♠❡♥3

✭xFBNEW = 1

2✮✱ ❛4 ♦♥❡ ✇♦✉❧❞ ❡①♣❡❝3 ❣✐✈❡♥ 3❤❡ ✉♥✐❢♦&♠❧② ❞✐43&✐❜✉3❡❞ ❜&❛♥❞ ♣&❡❢❡&❡♥❝❡ ❛♥❞

❡D✉❛❧✐3② ♦❢ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦434✳ ❲❤❡♥ ♣&✐❝❡ ❞✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥ ✐4 ♥♦3 &❡❣✉❧❛3❡❞✱ 3❤✐4 ❛❧❧♦❝❛3✐♦♥ ✐4 ❛❧4♦

✐♠♣❧❡♠❡♥3❡❞ ❜② 3❤❡ ♠❛&❦❡3 3❤&♦✉❣❤ ❡D✉❛❧ ♣&✐❝❡4 ❢♦& ♦❧❞ ❝♦♥4✉♠❡&4 ♦✛❡&❡❞ ❜② ✜&♠4 A ❛♥❞ B

✭3❤❡ &❡❞ ❧✐♥❡ ✐♥❞✐❝❛3❡4 ♣&❡✕&❡❣✉❧❛3✐♦♥ ♣&✐❝❡4✮✳ ❆4 &❡❣✉❧❛3✐♦♥ ✐4 ✐♠♣♦4❡❞✱ 3❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥3✬4 ♣&✐❝❡

❢♦& ♥❡✇ ❝♦♥4✉♠❡&4 &✐4❡4 ❢❛43❡& 3❤❛♥ 3❤❡ ❡♥3&❛♥3✬4 ♣&✐❝❡❀ 3❤❡ ♥❡✇ ♣&✐❝❡ 43&✉❝3✉&❡ ✐4 ✐♥❞✐❝❛3❡❞

✐♥ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ ❡♥3❛✐❧4 ❛ ❣❛✐♥ ✐♥ ♠❛&❦❡3 4❤❛&❡ ❢♦& 3❤❡ ❡♥3&❛♥3 ❛♠♦♥❣ ♥❡✇ ❝♦♥4✉♠❡&4✳

❆♠♦♥❣ ♦❧❞ ❝♦♥4✉♠❡&4✱ 3❤❡ ✜&43 ❜❡43 ❤❛4 ❛ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥4✉♠❡& xFBOLD = 1

2+ s

2t♦❢ ✜&♠ A✳

❇✉3 ❛4 ✐♥❞✐❝❛3❡❞ ✐♥ ♣&♦♣♦4✐3✐♦♥ ✷✳✸✳✷✱ ✉♥❞❡& ✉♥❢❡33❡&❡❞ ♣&✐❝❡ ❞✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥ 3❤❡ ♠❛&❦❡3 4❤❛&❡

♦❢ A ✐4✱ ✐♥ ❢❛❝3✱ ❜❡❧♦✇ 3❤✐4 ✈❛❧✉❡✳ ❚❤✉4✱ 3❤❡ ♠♦❞❡❧ ❡①❤✐❜✐34 ❡①❝❡44✐✈❡ 4✇✐3❝❤✐♥❣ ❞✉❡ 3♦ 3❤❡

✐♥❝✉♠❜❡♥3 ❤❛&✈❡43✐♥❣ &❡♥3 ❢&♦♠ 4✇✐3❝❤✐♥❣ ❝♦434 ✭♣&✐❝❡4 ♦✛❡&❡❞ ❜❡❢♦&❡ &❡❣✉❧❛3✐♦♥ ❛&❡ ❛❣❛✐♥

✐♥❞✐❝❛3❡❞ ✐♥ &❡❞✱ ✇✐3❤ A ❝❤❛&❣✐♥❣ ♠♦&❡ 3❤❛♥ B✮✳ ❆4 ♣&✐❝❡ ❞✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥ ✐4 &❡43&✐❝3❡❞✱ 3❤❡

✐♥❝✉♠❜❡♥3 ✐4 ❢♦&❝❡❞ 3♦ ❧♦✇❡& ♣&✐❝❡4 ❢♦& ♦❧❞ ❝♦♥4✉♠❡&4❀ 4✐♥❝❡ 3❤❡ ❡♥3&❛♥3✬4 ♣&✐❝❡ ❝✉3 ✐4 4♠❛❧❧❡&✱

3❤❡ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥4✉♠❡& 4❤✐❢34 3♦✇❛&❞4 A✱ ✇❤✐❝❤ 3❡♥❞4 3♦ ✐♠♣&♦✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝②✳

❙♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛&❡ &✐4❡4 ✇❤❡♥ ♣&✐❝❡ ❞✐4❝&✐♠✐♥❛3✐♦♥ ✐4 ❝✉&3❛✐❧❡❞✳ ❘❡❣✉❧❛3✐♦♥ ✐♠♣&♦✈❡4 ✇❡❧❢❛&❡

✐♥ 3❤❡ ♦❧❞ 4❡❣♠❡♥3 ❜② ♠♦✈✐♥❣ 3❤❡ ♠❛&❣✐♥❛❧ ❝♦♥4✉♠❡& ❝❧♦4❡& 3♦ 3❤❡ ✜&43✳ ❚❤✐4 ❣❛✐♥ ✐4 43&♦♥❣✱

❜❡❝❛✉4❡ 3❤❡ ❞✐43♦&3✐♦♥ ✕ ❞✉❡ 3♦ ✐♥❡✣❝✐❡♥3 4✇✐3❝❤✐♥❣ ✕ ✐4 43&♦♥❣ ❛❜4❡♥3 &❡❣✉❧❛3✐♦♥❀ 3❤❡ ❧♦44

♦❢ ✇❡❧❢❛&❡ ✐♥ 3❤❡ ♥❡✇ 4❡❣♠❡♥3 ✐4 4♠❛❧❧❡&✱ ❡43❛❜❧✐4❤✐♥❣ 3❤❡ ✇❡❧❢❛&❡ &❡4✉❧3✳ ❈♦♥4✉♠❡& 4✉&♣❧✉4

❢❛❧❧4 ✐♥ 3❤❡ ♥❡✇ 4❡❣♠❡♥3✱ ✇❤✐❝❤ ✐4 ❤✉&3 ❜② ❤✐❣❤❡& ♣&✐❝❡4✳ ❇✉3 ♦❧❞ ❝♦♥4✉♠❡&4 ❜❡♥❡✜3 ❜♦3❤

❢&♦♠ ❛ ♣&✐❝❡ ❢❛❧❧ ❛♥❞ 3❤❡ &❡❞✉❝3✐♦♥ ✐♥ 4✇✐3❝❤✐♥❣ ❡✛♦&3✳ ❆❣❛✐♥✱ 3❤❡ ❣❛✐♥ 3♦ ♦❧❞ ❝♦♥4✉♠❡&4 ✐4

4✉✣❝✐❡♥3❧② 43&♦♥❣ 3♦ ❞&✐✈❡ 3❤❡ ♦✈❡&❛❧❧ &❡4✉❧3✳


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❯♥❞❡& '❤❡ ✇❡❧❢❛&❡✕♠❛①✐♠✐1✐♥❣ ♣♦❧✐❝② ✕ ✇❤✐❝❤✱ ❜② '❤❡ ♣&♦♣♦1✐'✐♦♥ ✐1 ❛ ❜❛♥ ♦♥ ♣&✐❝❡ ❞✐1✲

❝&✐♠✐♥❛'✐♦♥✱ '❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✇❡❧❢❛&❡ '❤❛' ❝❛♥ ❜❡ ❛''❛✐♥❡❞ ✉♥❞❡& ❞✉♦♣♦❧② ✐1✿

W3 = β − c− t

4− 7(sθ)2 + 13s2θ

144t− s(1− θ)

2+

5s2

36t− Fb − Fa ✭✷✳✹✳✻✮

✷✳✹✳✷ ❊♥%&②✱ )&✐❝❡ ❉✐.❝&✐♠✐♥❛%✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛&❡

❚❤✐1 1❡❝'✐♦♥ ❡1'❛❜❧✐1❤❡1 '❤❡ ❝❡♥'&❛❧ &❡1✉❧'1 ♦❢ '❤❡ ♣❛♣❡& &❡❧❛'✐♥❣ '♦ ✇❡❧❢❛&❡✱ ♣&✐❝❡ ❞✐1❝&✐♠✐♥❛✲

'✐♦♥ ❛♥❞ ❡♥'&②✴❡①✐'✳ ❚❤❡ ✜&1' ♣&♦♣♦1✐'✐♦♥ ❢♦❝✉1❡1 ♦♥ '❤❡ ❝❛1❡ ✇❤❡&❡ '❤❡ ❡♥'&② ♦❢ ✜&♠ B ✐1

♣♦'❡♥'✐❛❧❧② ❛✛❡❝'❡❞ ❜② ♣&✐❝❡ ❞✐1❝&✐♠✐♥❛'✐♦♥❀ ✐' 1❤♦✇1 '❤❛'✱ ✐❢ ♣&✐❝❡ ❞✐1❝&✐♠✐♥❛'✐♦♥ ✐1 ♠❛&❣✐♥❛❧

'♦ ❡♥'&②✱ '❤✐1 ♠✉1' ✐♠♣❧② '❤❛' ❇✬1 ✜①❡❞ ❝♦1' ✐1 1✉✣❝✐❡♥'❧② ❤✐❣❤ '♦ ♠❛❦❡ ❡♥'&② ✐♥❡✣❝✐❡♥'✳

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W1 =

1ˆ

0

(β − tx)dx− c− FA ✭✷✳✹✳✼✮

= β − t

2− c− FA

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❜② '❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥' ♠❛①✐♠✐2❡2 2♦❝✐❛❧ ✇❡❧❢❛6❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❞♦❡2 ♥♦' ❝❛✉2❡ ❡♥'6②

96♦♦❢✳ ❚♦ ❡♥1✉&❡ '❤❛' '❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥' &❡♠❛✐♥1 ✐♥ '❤❡ ♠❛&❦❡'✱ ✇❡ ♠✉1' ❤❛✈❡ FA ≤ π∗ADUO✳

❚❤❡♥✱ '✇♦ ❝❛1❡1 ❝❛♥ ❜❡ ❞✐1'✐♥❣✉✐1❤❡❞✿

✶✳ P&✐❝❡ ❞✐1❝&✐♠✐♥❛'✐♦♥ ♥♦' ♠❛&❣✐♥❛❧ '♦ ❡♥'&②✳

❇② ♣&♦♣♦1✐'✐♦♥ ✷✳✸✳✼✱ ✐❢ Fb ≤ π∗BDUO|q = s/3✱ ❢♦& ❛♥② ♣♦❧✐❝② q✱ '❤❡ ✉♥✐R✉❡ ❡R✉✐❧✐❜&✐✉♠

❤❛1 ❜♦'❤ ✜&♠1 ❛❝'✐✈❡ ✐♥ '❤❡ ♠❛&❦❡'✳ ❇② ❛♣♣❡❛❧ '♦ ♣&♦♣♦1✐'♦♥ ✷✳✹✳✶✱ ✉♥❞❡& ❞✉♦♣♦❧②✱ ✐'

✐1 ✇❡❧❢❛&❡ ♠❛①✐♠✐1✐♥❣ '♦ ❜❛♥ ♣&✐❝❡ ❞✐1❝&✐♠✐♥❛'✐♦♥ ♦❢ '❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥' ✭q = 0✮✳

✷✳ P&✐❝❡ ❞✐1❝&✐♠✐♥❛'✐♦♥ ✐1 ♠❛&❣✐♥❛❧ '♦ ❡♥'&②


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✺✽ ❍✐"#♦%②✕❇❛"❡❞ ,%✐❝❡ ❉✐"❝%✐♠✐♥❛#✐♦♥ ❛♥❞ ❲❡❧❢❛%❡ ✐♥ ❛ ●%♦✇✐♥❣ ▼❛%❦❡#

❲❤❡♥ π∗BDUO|q = s/3 ≤ Fb ≤ π∗BDUO|q = 0✱ '❤❡(❡ ✐* ❛♥ ❡,✉✐❧✐❜(✐✉♠ ✇✐'❤ ✐♥❝✉♠❜❡♥'

♠♦♥♦♣♦❧② ✐❢ ♣(✐❝❡ ❞✐*❝(✐♠✐♥❛'✐♦♥ ✐* ✉♥(❡*'(❛✐♥❡❞✱ ❛♥❞ ❛♥ ❡,✉✐❧✐❜(✐✉♠ ✇✐'❤ ❞✉♦♣♦❧② ✐❢

♣(✐❝❡ ❞✐*❝(✐♠✐♥❛'✐♦♥ ✐* (❡*'(✐❝'❡❞✳ ❲✐'❤ ❡♥'(②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ '❤❡ ❣❛✐♥ ✐♥ ♣(♦❞✉❝' ✈❛(✐❡'② ✭❧♦✇❡(

'(❛♥*♣♦('❛'✐♦♥ ❝♦*'✮✱ ❜✉' ♥❡❡❞ '♦ *✐♥❦ '❤❡ ✜①❡❞ ❝♦*' ♦❢ ✜(♠ B ❛♥❞ ❝(❡❛'❡ *✇✐'❝❤✐♥❣

❝♦*'*✳

❈♦♠♣✉'✐♥❣ '❤❡ ✇❡❧❢❛(❡ ❣❛✐♥ ♦❢ ❞✉♦♣♦❧②✿

W3 −W1 =t

4− 7(sθ)2 + 13s2θ

144t− s(1− θ)

2+

5s2

36t− Fb ✭✷✳✹✳✽✮

≤ t

4− Fb ✭✷✳✹✳✾✮

≤ t

4− (

t

2+

s2(1− θ)

18t− s(1− θ)

3) < 0 ✭✷✳✹✳✶✵✮

✇❤❡(❡ '❤❡ ✜(*' ✐♥❡,✉❛❧✐'② ✐* '❤❡ ✉♣♣❡( ❜♦✉♥❞ ♦♥ ✇❡❧❢❛(❡ ❣❛✐♥*✱ ✐❢ *✇✐'❝❤✐♥❣ ❝♦*'* ❛(❡

❞✐*(❡❣❛(❞❡❞✳ ❚❤❡ *❡❝♦♥❞ ✐♥❡,✉❛❧✐'② *✉❜*'✐'✉'❡* '❤❡ ❧♦✇❡( ❜♦✉♥❞ ♦♥ ✜①❡❞ ❝♦*' ♦❢ '❤❡

❡♥'(❛♥'✳ ❈♦♠❜✐♥✐♥❣✱ ✇❡ ♦❜'❛✐♥ '❤❛' ✇❡❧❢❛(❡ ✐* ❤✐❣❤❡( ✉♥❞❡( ✐♥❝✉♠❜❡♥'✬* ♠♦♥♦♣♦❧②

'❤❛♥ ❞✉♦♣♦❧② ❢♦( '❤❡ ❝❧❛✐♠❡❞ (❛♥❣❡ ♦❢ ❡♥'(❛♥'✬* ✜①❡❞ ❝♦*' ✉*✐♥❣ ❝♦♥❞✐'✐♦♥ ❈✶✳

❲❤❡♥ ♣(✐❝❡ ❞✐*❝(✐♠✐♥❛'✐♦♥ ✐* ♥♦' ♠❛(❣✐♥❛❧ '♦ ❡♥'(②✱ '❤❡ ✇❡❧❢❛(❡ (❡*✉❧'* ♦❜'❛✐♥❡❞ ♣(❡✈✐♦✉*❧②

❛♣♣❧②✿ ❡①❝❡**✐✈❡ *✇✐'❝❤✐♥❣ ❛♠♦♥❣ ♦❧❞ ❝♦♥*✉♠❡(* ✐* ♠♦(❡ ❝♦*'❧② ❢(♦♠ ❛ ✇❡❧❢❛(❡ ♣❡(*♣❡❝'✐✈❡

'❤❛♥ '❤❡ ❞✐*'♦('✐♦♥ ♦❢ ♠❛(❦❡' *❤❛(❡* ❛♠♦♥❣ ♥❡✇ ❝♦♥*✉♠❡(*✳ ▼♦(❡♦✈❡(✱ ❜♦'❤ ❝♦♥*✉♠❡(* ❛♥❞

♣(♦❞✉❝❡(* ❜❡♥❡✜' ❢(♦♠ ❛ ❜❛♥ ♦♥ ♣(✐❝❡ ❞✐*❝(✐♠✐♥❛'✐♦♥ ✐♥ '❤✐* ❝❛*❡✱ ❛* ❞✐*❝✉**❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ▼❛''❡(*

❛(❡ *❧✐❣❤'❧② ♠♦(❡ ❝♦♠♣❧❡① ✇❤❡♥ ♣(✐❝❡ ❞✐*❝(✐♠✐♥❛'✐♦♥ ❛✛❡❝'* '❤❡ ❡♥'(② ❞❡❝✐*✐♦♥ ♦❢ ✜(♠ B✳

❙✐♥❝❡ ❜② ❝♦♥*'(✉❝'✐♦♥ '❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥'✬* ❛❝'✐✈✐'② ✐♥ '❤❡ ♠❛(❦❡' ✐* ♥♦' ❛' *'❛❦❡✱ ❢(♦♠ ❛ ✇❡❧❢❛(❡

♣❡(*♣❡❝'✐✈❡ ❤❡( ✜①❡❞ ❝♦*'* ❛(❡ ❝♦♥*✐❞❡(❡❞ *✉♥❦✳ ❚❤❡ ❡♥'(② ♦❢ '❤❡ ✐♥❝✉♠❜❡♥' '❤❡♥ ♣(♦♠♦'❡*

✇❡❧❢❛(❡ '❤(♦✉❣❤ ❛ (❡❞✉❝'✐♦♥ ✐♥ '(❛♥*♣♦('❛'✐♦♥ ❝♦*'*✱ ❜✉' ❝(❡❛'❡* ❝♦*'* '❤(♦✉❣❤ ✐♥❡✣❝✐❡♥'

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W2 = θ

1ˆ

0

β − t(1− x)dx+ (1− θ)

1ˆ

0

β − t(1− x)− sdx− c− FB ✭✷✳✹✳✶✶✮

= β − t

2− (1− θ)s− c− FB

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❲❤❡♥ π∗ADUO|q = 0 ≤ Fa ≤ π∗ADUO|q = s/3✱ ♣♦❧✐❝② ♠❛② ❜4✐♥❣ ❛❜♦✉% ❜♦%❤ ❡H✉✐❧✐❜4✐❛ ✐♥

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W3 −W2 =t

4− 7(sθ)2 + 13s2θ

144t+

s(1− θ)

2+

5s2

36t− Fa ✭✷✳✹✳✶✷✮

≤ t

4+ s(1− θ)− Fa ✭✷✳✹✳✶✸✮

= − t

4− s2(1− θ)

18t+

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✐♥❣ ✈❡&② ❝❧♦/❡❧② F❧❛.. ❡. ❛❧✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ❆✉❣❡♥❜❧✐❝❦ ✭✷✵✶✷✮ ❛♥❞ ❍✐♥♥♦/❛❛& ✭✷✵✶✵✮✳

❆✉❝&✐♦♥ ❘✉❧❡1 ✿ ❚❤❡&❡ ✐/ ❛ /✐♥❣❧❡ ❣♦♦❞ ❝♦♠♠♦♥❧② ✈❛❧✉❡❞ ❛. V ❜② ❛❧❧ ♣♦.❡♥.✐❛❧ ❜✐❞❞❡&/✱ ♦❢

✇❤✐❝❤ .❤❡&❡ ❛&❡ N ✱ ❛♥❞ .❤❡ ♥♦♥✕/.&❛.❡❣✐❝ /❡❧❧❡&✳ ❚❤❡ ❛✉❝.✐♦♥ ♣&♦❝❡❡❞/ .❤&♦✉❣❤ ❛ /❡&✐❡/ ♦❢

(♦✉♥❞1✱ i = 0, 1, 2, . . . ✳ ■♥ &♦✉♥❞ ③❡&♦✱ .❤❡ /.❛&.✐♥❣ ♣&✐❝❡ ✐/ ❛❧/♦ ❡[✉❛❧ .♦ ③❡&♦ ✕ /♦ .❤❡&❡ ❛&❡

♥♦ &❡/❡&✈❡ ♣&✐❝❡/ ✕ ❛♥❞ &✐/❡/ ❜② ❛♥ ❡①♦❣❡♥♦✉/❧② ✜①❡❞ ✐♥❝&❡♠❡♥. β > 0 ❡❛❝❤ &♦✉♥❞

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✳ ❚❤✉/✱

✐♥ &♦✉♥❞ i✱ .❤❡ ❝✉&&❡♥. ♣&✐❝❡ ✐/ /✐♠♣❧② βi✳ ❋&♦♠ &♦✉♥❞ ✶ ♦♥✇❛&❞/✱ .❤❡&❡ ✐/ ❛ ❝✉((❡♥& ❤✐❣❤❡1&

❜✐❞❞❡(✱ ✇❤♦ ✐/ &❛♥❞♦♠❧② /❡❧❡❝.❡❞ ❢&♦♠ ❛❧❧ ❛❣❡♥./ .❤❛. ♣❧❛❝❡❞ ❛ ❜✐❞ ✐♥ .❤❡ ♣&❡✈✐♦✉/ &♦✉♥❞ ❛♥❞

♣❛②/ ❛ ❜✐❞❞✐♥❣ ❢❡❡ f ❢♦& ❤❡& ❜✐❞✳ ❚❤❡ ❝✉&&❡♥. ❤✐❣❤❡/. ❜✐❞❞❡& ✐/✱ ❜② ❛//✉♠♣.✐♦♥✱ ♥♦. ❛❧❧♦✇❡❞

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❋♦" ❡①❛♠♣❧❡✱ ❲♦♦❞❧❛♥❞ ❛♥❞ ❲♦♦❞❧❛♥❞ ✭✶✾✾✹✮ ♣"❡2❡♥3 ❡✈✐❞❡♥❝❡ ♦❢ 3❤❡ ❧♦♥❣ 2❤♦3 ❜✐❛2 ❢♦" ❜❛2❡❜❛❧❧ ❜❡33✐♥❣✱

❛♥❞ ❍♦❞❣❡2 ❡3 ❛❧✳ ✭✷✵✵✸✮ ❢♦" ❢✉3✉"❡2 ♦♣3✐♦♥2

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❆❧3❤♦✉❣❤ 2♦♠❡ ❛✉❝3✐♦♥2 ✇✐3❤ β = 0 ❛"❡ ♦❜2❡"✈❡❞✱ ✐♥ 3❤✐2 ❝❛2❡ 3❤❡ ❛✉❝3✐♦♥ "❡❞✉❝❡2 3♦ ❛ ❲❛" ♦❢ ❆33"✐3✐♦♥✳

❙✐♥❝❡ 3❤✐2 ❝❛2❡ ✐2 ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥✱ ✐3 ✐2 ♦♠✐33❡❞ ❢"♦♠ 3❤❡ ♣"❡2❡♥3 ❛♥❛❧②2✐2


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"♦ ♣❧❛❝❡ ❛ ❜✐❞✳ ❆♥② ♦"❤❡1 ❛❣❡♥"3 "❤❛" ♣❧❛❝❡❞ ❜✐❞3 ❛♥❞ ✇❡1❡ ♥♦" ❝❤♦3❡♥ "♦ ❜❡❝♦♠❡ ❝✉11❡♥"

❤✐❣❤❡3" ❜✐❞❞❡1 ❛❧3♦ ❞♦ ♥♦" ♣❛② "❤❡ ❢❡❡✳ ■❢ ✐♥ 1♦✉♥❞ i > 0 ♥♦ ❜✐❞ ✐3 3✉❜♠✐""❡❞✱ "❤❡ ❣♦♦❞ ✐3

❛✇❛1❞❡❞ "♦ "❤❡ ❝✉11❡♥" ❤✐❣❤❡3" ❜✐❞❞❡1 ✇❤♦ ♣❛②3 "❤❡ ❝✉11❡♥" ♣1✐❝❡ βi✳ ■❢ ♥♦ ❜✐❞ ✐3 3✉❜♠✐""❡❞

✐♥ 1♦✉♥❞ ③❡1♦✱ "❤❡ ❛✉❝"✐♦♥ ❡♥❞3 ✐♠♠❡❞✐❛"❡❧② ❛♥❞ "❤❡ 3❡❧❧❡1 ❦❡❡♣3 "❤❡ ❣♦♦❞✳

❙!"❛!❡❣✐❡' ✿ ❲❡ ❛1❡ ❧♦♦❦✐♥❣ ❢♦1 ❡>✉✐❧✐❜1✐❛ ✐♥ ▼❛1❦♦✈✐❛♥ ♠✐①❡❞ 3"1❛"❡❣✐❡3✳ ■♥ ❡❛❝❤ 1♦✉♥❞ i✱ "❤❡

j = 1, . . . , N − 1 ❝✉11❡♥" ♥♦♥✕❤✐❣❤❡3" ❜✐❞❞❡13 ♣❧❛❝❡ ❛ ❜✐❞ ✇✐"❤ ♣1♦❜❛❜✐❧✐"② pji ✳ ❆3 ✇❡ 3❤♦✇

❜❡❧♦✇✱ ✇✐"❤♦✉" ❧♦33 ♦❢ ❣❡♥❡1❛❧✐"② ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥✜♥❡ ❛""❡♥"✐♦♥ ❢✉1"❤❡1 "♦ "❤❡ 3❡" ♦❢ 3②♠♠❡"1✐❝

❡>✉✐❧✐❜1✐❛✳ ❚❤✉3 "❤❡ 3"1❛"❡❣② 3♣❛❝❡ ♦❢ "❤❡ ❣❛♠❡ ❝❛♥ ❜❡ ✇1✐""❡♥ ❛3 "❤❡ ✐♥✐✜♥✐"❡ 3❡>✉❡♥❝❡✱

{pi}∞0 ✳

❍❛③❛"❞ ❘❛!❡' ✿ ▲❡" h(i) ❜❡ "❤❡ ❤❛③❛"❞ "❛!❡ ♦❢ "❤❡ ❛✉❝"✐♦♥ ✐♥ 1♦✉♥❞ ✐✱ ✐✳❡✳ "❤❡ ♣1♦❜❛❜✐❧✐"② ♦❢

"❤❡ ❛✉❝"✐♦♥ ❡♥❞✐♥❣ ✐♥ 1♦✉♥❞ i✱ ❝♦♥❞✐"✐♦♥❛❧ ♦♥ ❤❛✈✐♥❣ 1❡❛❝❤❡❞ "❤✐3 1♦✉♥❞✳ ❙✐♥❝❡ "❤✐3 >✉❛♥"✐"②

✇✐❧❧ ❜❡ ❡33❡♥"✐❛❧ ❢♦1 ❡♠♣✐1✐❝❛❧ ❛♥❛❧②3✐3✱ ♦❜3❡1✈❡ "❤❛" ❜② "❤❡ 1✉❧❡3 ♦❢ "❤❡ ❣❛♠❡ "❤❡ ❤❛③❛1❞ 1❛"❡

✐3 1❡❧❛"❡❞ "♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❜✐❞❞✐♥❣ ♣1♦❜❛❜✐❧"✐❡3 ❛3 ❢♦❧❧♦✇3✿

h(i) =

(1− pi)N−1

✐❢ i ≥ 1

(1− pi)N

✐❢ i = 0✭✸✳✸✳✶✮

❋✉1"❤❡1♠♦1❡ ❧❡" f(i) ❞❡♥♦"❡ "❤❡ ♣1♦❜❛❜✐❧✐"② ♦❢ "❤❡ ❛✉❝"✐♦♥ ❡♥❞✐♥❣ ✐♥ 1♦✉♥❞ i ✭❡♥❞✐♥❣

♣1♦❜❛❜✐❧✐"②✮✳ ❚❤✐3 ✐3 ❛ ❞✐1❡❝" ❢✉♥❝"✐♦♥ ♦❢ "❤❡ ❤❛③❛1❞ 1❛"❡✿

f(i) = h(i)i−1∏

k=0

(1− h(k)) ✭✸✳✸✳✷✮

❙❡❧❧❡"✬' ❘❡✈❡♥✉❡ ✿ ❙✉♣♣♦3❡ "❤❡ ❛✉❝"✐♦♥ ❡♥❞3 ❛❢"❡1 1♦✉♥❞ i✳ ❚❤❡♥✱ "❤❡ ❝✉11❡♥" ♣1✐❝❡ ✐3 βi✱ ❛♥❞

i ❜✐❞3 ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣❧❛❝❡❞✳ ❚❤✐3 ②✐❡❧❞3 "❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①♣1❡33✐♦♥ ❢♦1 ❡①♣❡❝"❡❞ 1❡✈❡♥✉❡✿

E(R) =∞∑

i=0

(f + β)if(i) ✭✸✳✸✳✸✮

2❛②♦✛' ✿ L❧❛②❡13 ❤❛✈❡ ❛♥ ❡①♣❡❝"❡❞ ✉"✐❧✐"② ❢✉♥❝"✐♦♥ u(x) ❛❝❝♦1❞✐♥❣ "♦ ✇❤✐❝❤ ♦✉"❝♦♠❡3 ❛1❡

❡✈❛❧✉❛"❡❞✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✈❛1✐♦✉3❧② ❛33✉♠❡ "❤✐3 ❢✉♥❝"✐♦♥ "♦ ❜❡ ❡✐"❤❡1 1✐3❦✕♥❡✉"1❛❧ ♦1 1✐3❦✕❧♦✈✐♥❣✳

❋✉1"❤❡1♠♦1❡✱ ❧❡" VN(i) ❞❡♥♦"❡ "❤❡ ❝♦♥"✐♥✉❛"✐♦♥ ✉"✐❧✐"② ♦❢ ❛ ♣❧❛②❡1 1❡❛❝❤✐♥❣ 1♦✉♥❞ i ❛3 ♥♦♥✕

❤✐❣❤❡3" ❜✐❞❞❡1✱ ❛♥❞ VH(i) "❤❡ ❝♦♥"✐♥✉❛"✐♦♥ ✉"✐❧✐"② ♦❢ ❜❡✐♥❣ ❤✐❣❤❡3" ❜✐❞❞❡1✳

❋✐❣✉1❡ ✸✳✻ ✐❧❧✉3"1❛"❡3 "❤❡ 1✉❧❡3 ♦❢ "❤❡ ❣❛♠❡ ❢♦1 ❛ ♣❡♥♥② ❛✉❝"✐♦♥ ✇✐"❤ ✸ ♣❧❛②❡13✳ ❙✉♣♣♦3❡

"❤❡ ❣❛♠❡ ✐3 ❝✉11❡♥"❧② ✐♥ 1♦✉♥❞ i ≥ 1✱ ❛♥❞ ♣❧❛②❡1 ✶ ✐3 "❤❡ ❝✉11❡♥" ❤✐❣❤❡3" ❜✐❞❞❡1✳ L❧❛②❡13


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✼✹ ❖❢ "❡♥♥✐❡& ❛♥❞ ")♦&♣❡❝-&✿ ❯♥❞❡)&-❛♥❞✐♥❣ ❇❡❤❛✈✐♦✉) ✐♥ "❡♥♥② ❆✉❝-✐♦♥&

❋✐❣✉&❡ ✸✳✻✿ ❙-❛❣❡ ●❛♠❡ ✇✐-❤ ◆❂✸

✷ ❛♥❞ ✸ 8✐♠✉❧-❛♥❡♦✉8❧② ❞❡❝✐❞❡ ✇❤❡-❤❡& -♦ ♣❧❛❝❡ ❛ ❜✐❞✳ ■♥ ❝❛8❡ ♥❡✐-❤❡& 8✉❜♠✐-8 ❛ ❜✐❞✱ -❤❡

❛✉❝-✐♦♥ ❡♥❞8✳ A❧❛②❡& ✶ ✇✐♥8 -❤❡ ❣♦♦❞ ❛- ♣&✐❝❡ β(i − 1)✱ ❛♥❞ ♣❧❛②❡&8 ✷ ❛♥❞ ✸ ❛&❡ ❧❡❢- ✇✐-❤

-❤❡✐& &❡8❡&✈❛-✐♦♥ ✉-✐❧✐-②✳ ■♥ ❝❛8❡ ♦♥❧② ♦♥❡ ♦❢ ♣❧❛②❡&8 ✷ ❛♥❞ ✸ ♣❧❛❝❡8 ❛ ❜✐❞✱ -❤✐8 ♣❧❛②❡& ❜❡❝♦♠❡8

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v − βi(v − βi)− f = 0 ✭✸✳✸✳✽✮

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DOI: 10.2870/93798

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(V − βi− f, µi;−f, 1− µi)

✇❤✐❝❤ ✐) ❛ ♠✐①❡❞ ♣ ♦.♣❡❝(✱ ✐✳❡✳ ✐♥ ❝❛)❡ ♦❢ ✇✐♥♥✐♥❣✱ ②✐❡❧❞) (♦ ❛ ❣❛✐♥✱ ❛♥❞ ♦(❤❡%✇✐)❡ ❛ ❧♦))✳

❚❤❡ ♣%♦)♣❡❝( ✐) ❡✈❛❧✉❛(❡❞ ❛)

PTi(µi) = w+(µi)v(V − βi− f) + w−(1− µi)v(−f) ✭✸✳✹✳✶✮

✇❤❡%❡ v(x) ✐) (❤❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝(✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐) ❝♦♥❝❛✈❡ ❢♦% x > 0 ❛♥❞ ❝♦♥✈❡① ❢♦% x < 0✱ ✇✐(❤

v(x) > −v(−x) (♦ ❝❛♣(✉%❡ ❧♦)) ❛✈❡%)✐♦♥✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ (❤❡ ❢✉♥❝(✐♦♥❛❧ ❢♦%♠ ✉)❡❞ ✐♥

❚✈❡%)❦② ❛♥❞ ❑❛❤♥❡♠❛♥ ✭✶✾✾✷✮ ✐♥ (❤❡ ❛♥❛❧②)✐)✿

v(x) =

xα✐❢ x > 0

0 ✐❢x = 0

−λ(−x)α ✐❢ x < 0

✭✸✳✹✳✷✮

✇❤❡%❡ α ∈ (0, 1]✱ ❛♥❞ λ ≥ 1✳ ❙❡❝♦♥❞❧②✱ (❤❡ ♣%♦❜❛❜✐❧✐(② ✇❡✐❣❤(✐♥❣ ❢✉♥❝(✐♦♥) w+(p) ❛♥❞

w−(p) ❝❛♣(✉%❡ (❤❡ ♥♦(✐♦♥ ♦❢ ✏❞✐♠✐♥✐)❤✐♥❣ ♠❛%❣✐♥❛❧ )❡♥)✐(✐✈✐(②✑✿ ❢♦% )♠❛❧❧ ♣%♦❜❛❜✐❧✐(✐❡)✱ (❤❡②


DOI: 10.2870/93798

❈❤❛♣$❡&✸ ✼✾

✐♥❞✉❝❡ ❛ ❞✐)♣+♦♣♦+-✐♦♥❛-❡❧② ❤✐❣❤ ❞❡❝✐)✐♦♥ ✇❡✐❣❤- ✭w(p) > p ✇❤❡♥ ♣ )♠❛❧❧✮✱ ✇❤✐❧❡ ❧❛+❣❡

♣+♦❜❛❜✐❧✐-✐❡) ❛+❡ ✉♥❞❡+✲✇❡✐❣❤-❡❞✳ ❚❤✐) ✐❞❡❛ ✐) ❝❛♣-✉+❡❞ ✉)✐♥❣ -❤❡ ♦♥❡✕♣❛+❛♠❡-❡+ ❢✉♥❝-✐♦♥❛❧

❢♦+♠ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ✐♥ ▲❛--✐♠♦+❡ ❡- ❛❧✳ ✭✶✾✾✷✮✿

w(p) =pγ

pγ + (1− p)γ✭✸✳✹✳✸✮

✇❤✐❝❤ ♥❡)-) ♣+♦❜❛❜✐❧✐-② ✇❡✐❣❤-✐♥❣ ❛❝❝♦+❞✐♥❣ -♦ ♦❜❥❡❝-✐✈❡ ♣+♦❜❛❜✐❧✐-✐❡) ❢♦+ -❤❡ ❝❛)❡ ♦❢ γ = 1✳

❋♦+ -+❛❝-❛❜✐❧✐-②✱ ✇❡ ✐♠♣♦)❡ -❤❡ ❛))✉♠♣-✐♦♥ ♦❢ ❡✢❡❝$✐♦♥✱ ♠❡❛♥✐♥❣ -❤❛- w+(p) = w−(p)✱

✐✳❡✳ ❣❛✐♥) ❛♥❞ ❧♦))❡) ❛+❡ )✉❜❥❡❝- -♦ -❤❡ )❛♠❡ ♣+♦❜❛❜✐❧✐-② ✇❡✐❣❤-✐♥❣✳

❚❤❡ ❛❧-❡+♥❛-✐✈❡ -♦ -❤❡ ♣+♦)♣❡❝- ♦❢ ❜✐❞❞✐♥❣ ✐) ❢♦+ ♣❧❛②❡+) -♦ +❡♠❛✐♥ ❛- -❤❡ +❡❢❡+❡♥❝❡ ♣♦✐♥-

✇✐-❤ ♣+♦❜❛❜✐❧✐-② ♦♥❡✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛) ✈❛❧✉❡ v(0) = 0✳ ❆) ✉♥❞❡+ ❡①♣❡❝-❡❞ ✉-✐❧✐-②✱ -❤❡ ♣+✐♥❝✐♣❧❡ ✐) -♦

♠❛❦❡ ❜✐❞❞❡+) ✐♥❞✐✛❡+❡♥- ♦✈❡+ -❤❡✐+ ♣❛+-✐❝✐♣❛-✐♦♥ ✐♥ ❡❛❝❤ +♦✉♥❞ ♦♥ -❤❡ ❡J✉✐❧✐❜+✐✉♠ ♣❛-❤❀ -❤✐)

✐) ❛❝❤✐❡✈❡❞ -❤+♦✉❣❤ -❤❡ ❞❡-❡+♠✐♥❛-✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❛♣♣+♦♣+✐❛-❡ )❡J✉❡♥❝❡ ♦❢ ❤❛③❛+❞ +❛-❡)✳ ●✐✈❡♥ -❤❡

✐♥❞✐✛❡+❡♥❝❡ ♦❢ -❤❡ ♣❧❛②❡+)✱ ✇❡ ❛+❡ ❢+❡❡ -♦ )❡- -❤❡✐+ ♣+♦❜❛❜✐❧✐-② ♦❢ ❜✐❞❞✐♥❣ )♦ -❤❛- -❤❡ +❡J✉✐+❡❞

❤❛③❛+❞ +❛-❡) ❛+❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥-❡❞✳

❚❤✐) ❧❡❛❞) -♦ -❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐-✐♦♥ ❡J✉✐❧✐❜+✐✉♠✿

!♦♣♦$✐&✐♦♥ ✸✳✹✳✶✳ ❆♥ ❡)✉✐❧✐❜ ✐✉♠ ✉♥❞❡ ♣ ♦0♣❡❝$ $❤❡♦ ② ✐0 ❛ 0❡)✉❡♥❝❡ ♦❢ ❤❛③❛ ❞ ❛$❡0

0♦❧✈✐♥❣

(p

1− p

)γ

= λ

(f

v − βi− f

)α

✭✸✳✹✳✹✮

❢♦ ♦✉♥❞0 i = 1, . . . , i − 1✳ ❆❞❞✐$✐♦♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ p(0) = 1 ❛♥❞ p(i) = 0 ❢♦ i ≥ i✳ ❚❤❡

❡)✉✐❧✐❜ ✐✉♠ ❝❛♥ ❜❡ 0✉♣♣♦ $❡❞ $❤ ♦✉❣❤ ❛ 0❡)✉❡♥❝❡ ♦❢ 0②♠♠❡$ ✐❝ ♠✐①❡❞ 0$ ❛$❡❣✐❡0✳

= ♦♦❢✳ ❆) ✐♥ -❤❡ ❡①♣❡❝-❡❞ ✉-✐❧✐-② ❝❛)❡✱ ❢♦+ ❛ ❜❡❤❛✈✐♦✉+❛❧ ❛❣❡♥- -♦ ❜❡ ✐♥❞✐✛❡+❡♥- ♦✈❡+ ❜✐❞❞✐♥❣

❛♥❞ ♥♦- ❜✐❞❞✐♥❣✱ ✇❡ ♠✉)- ❤❛✈❡

PTi(µ∗i ) = 0 ❢♦+ i = 0, . . . , I

❙✐♥❝❡ w(1) = 1✱ -❤❡ ❧❛)- +♦✉♥❞ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✐- ✐) ♣♦))✐❜❧❡ -♦ ✜♥❞ ❛♥ ✐♥-❡+✐♦+ ✇✐♥♥✐♥❣ ♣+♦❜❛❜✐❧✐-②

❝♦✐♥❝✐❞❡) ✇✐-❤ -❤❡ ❡①♣+❡))✐♦♥ ❞❡+✐✈❡❞ ✐♥ ♣+♦♣♦)✐-✐♦♥ ✸✳✸✳✶✳

◆♦✇✱ ❝♦♥)✐❞❡+ ✐♥-❡+✐♦+ +♦✉♥❞)✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ❞✐+❡❝-❧② ❢♦+ -❤❡ ✐♥❞✐✛❡+❡♥❝❡ ❝♦♥❞✐-✐♦♥ ②✐❡❧❞)✿

(p

1− p

)γ

= λ

(f

v − βi− f

)α

✭✸✳✹✳✺✮


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✽✵ ❖❢ "❡♥♥✐❡& ❛♥❞ ")♦&♣❡❝-&✿ ❯♥❞❡)&-❛♥❞✐♥❣ ❇❡❤❛✈✐♦✉) ✐♥ "❡♥♥② ❆✉❝-✐♦♥&

❢♦$ ❛❧❧ i = 0, . . . , i− 1✳

❙✐♥❝❡ ♣❧❛②❡$/ ❛$❡ ✐♥❞✐✛❡$❡♥2 ❜❡2✇❡❡♥ 2❤❡ ♣$♦/♣❡❝2/✱ ❛/ ❜❡❢♦$❡✱ ✇❡ ❛$❡ ❢$❡❡ 2♦ ❛//✐❣♥ ❜✐❞❞✐♥❣

♣$♦❜❛❜✐❧✐2✐❡/ 2♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣❧❛②❡$/ 2❤❛2 /✉♣♣♦$2 2❤❡ $❡:✉✐$❡❞ ❤❛③❛$❞ $❛2❡/✳

❖❜/❡$✈❡ 2❤❛2 2❤❡ $✐/❦✕♥❡✉2$❛❧ ❡:✉✐❧✐❜$✐✉♠ ❞❡$✐✈❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐/ ♥❡/2❡❞ ❛/ ❛ /♣❡❝✐❛❧ ❝❛/❡ ♦❢

2❤❡ ♣$♦/♣❡❝2 2❤❡♦$② ♠♦❞❡❧ ✇❤❡♥ 2❤❡$❡ ✐/ ♥♦ ❧♦// ❛✈❡$/✐♦♥ ❛♥❞ 2❤❡ ❡①♣♦♥❡♥2/ ♦❢ ✈❛❧✉❡ ❛♥❞

♣$♦❜❛❜✐❧✐2② ✇❡✐❣❤2✐♥❣ ❢✉♥❝2✐♦♥ ❛$❡ ❡:✉❛❧✿

▲❡♠♠❛ ✸✳✹✳✶✳ ▲❡" λ = 1 ❛♥❞ α = γ✳ ❚❤❡♥✱ "❤❡ ❤❛③❛+❞ +❛"❡, ♦❢ "❤❡ ♣+♦,♣❡❝" "❤❡♦+② ♠♦❞❡❧

❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐"❤ "❤❡ +✐,❦✕♥❡✉"+❛❧ ❜❡♥❝❤♠❛+❦

:+♦♦❢✳ ❚❤❡ $❡/✉❧2 ❢♦❧❧♦✇/ ❢$♦♠ ❞✐$❡❝2 /✉❜/2✐2✉2✐♦♥✳ ❲❡ ❤❛✈❡

p

1− p=

(f

V − βi− f

)

✭✸✳✹✳✻✮

p =f

V − βi✭✸✳✹✳✼✮

■♥2❡$❡/2 ♥♦✇ 2✉$♥/ 2♦ 2❤❡ :✉❡/2✐♦♥ ✐❢✱ 2❤$♦✉❣❤ /✉✐2❛❜❧❡ ♣❛$❛♠❡2❡$/✱ 2❤❡ ♣$♦/♣❡❝2 2❤❡♦$②

♠♦❞❡❧ ✐/ ❛❜❧❡ 2♦ ❡①♣❧❛✐♥ 2❤❡ /2②❧✐/❡❞ ❢❛❝2/ ♦❢ ♣❡♥♥② ❛✉❝2✐♦♥ ❜❡❤❛✈✐♦✉$ 2❤❛2 ❛$❡ ♦❜/❡$✈❡❞

❡♠♣✐$✐❝❛❧❧②✳ ❋✐$/2✱ ❝♦♥/✐❞❡$ 2❤❡ ❝❛/❡ ✇✐2❤♦✉2 ❧♦// ❛✈❡$/✐♦♥✿

▲❡♠♠❛ ✸✳✹✳✷✳ ▲❡" λ = 1✳ ■❢ γ < α✱+♦✉♥❞, ✇✐"❤ V −βi < 2f ❤❛✈❡ ❛ ♣♦,✐"✐✈❡ ❡①♣❡❝"❡❞ +❡"✉+♥

"♦ ❜✐❞❞✐♥❣❀ ❛♥❞ +♦✉♥❞, ✇✐"❤ V − βi > 2f ❤❛✈❡ ❛ ♥❡❣❛"✐✈❡ ❡①♣❡❝"❡❞ +❡"✉+♥ "♦ ❜✐❞❞✐♥❣

:+♦♦❢✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐2 ❢✉♥❝2✐♦♥ ❢♦$ 2❤❡ ❡♥❞✐♥❣ ♣$♦❜❛❜✐❧✐2② ✐♥ 2❤✐/ ❝❛/❡ ✐/

(p

1− p

) γα

=

(f

v − βi− f

)

✭✸✳✹✳✽✮

❇② 2❤❡ $❡/✉❧2/ ♦❢ 2❤❡ ♣$❡✈✐♦✉/ /❡❝2✐♦♥✱ 2❤❡ $✐/❦✕♥❡✉2$❛❧ ❡♥❞✐♥❣ ♣$♦❜❛❜✐❧✐2✐❡/ ②✐❡❧❞ ❛ ③❡$♦

❡①♣❡❝2❡❞ $❡2✉$♥✳ ❚❤❡ 2❛/❦ ✐/ 2❤✉/ 2♦ ❝♦♠♣❛$❡ 2❤❡ /♦❧✉2✐♦♥/ ♦❢ 2❤❡ ♣$❡/❡♥2 ❡:✉❛2✐♦♥ 2♦

2❤♦/❡ ♦❢ ✸✳✹✳✻❀ ✇❤❡♥❡✈❡$ 2❤❡ p /♦❧✈✐♥❣ 2❤❡ ❝✉$$❡♥2 ❡:✉❛2✐♦♥ ✐/ ❜❡❧♦✇ 2❤❡ /♦❧✉2✐♦♥ ♦❢ ✸✳✹✳✻

✭pRN ✱ ❡:✉✐❧✐❜$✐✉♠ ♣$♦❜❛❜✐❧✐2② ♦❢ ✇✐♥♥✐♥❣ ✐/ ❧♦✇❡$ 2❤❛♥ ✉♥❞❡$ $✐/❦✕♥❡✉2$❛❧✐2②✱ ❛♥❞ /♦ ✐/ 2❤❡

❡①♣❡❝2❡❞ ✭♠♦♥❡2❛$②✮ $❡2✉$♥ 2♦ ❛ ❜✐❞✳

❋✐$/2✱ ❧❡2 V −βi = 2f ✳ ■♥ 2❤✐/ ❝❛/❡✱ p = pRN ✱ ❛♥❞ 2❤❡ ❡①♣❡❝2❡❞ $❡2✉$♥ 2♦ ❛ ❜✐❞ ✉♥❞❡$ N❚

❝♦✐♥❝✐❞❡/ ✇✐2❤ 2❤❡ ❡①♣❡❝2❡❞ $❡2✉$♥ 2♦ ❛ ❜✐❞ ✉♥❞❡$ ❘◆✳ ❙❡❝♦♥❞✱ ❧❡2 v− βi < 2f ✳ ■♥ 2❤✐/ ❝❛/❡✱

❢♦$ γ/α < 1✱ p > pRN ❜② /✐♠♣❧❡ ❛❧❣❡❜$❛✳ ❍❡♥❝❡✱ 2❤❡ ❡①♣❡❝2❡❞ $❡2✉$♥ 2♦ ❜✐❞❞✐♥❣ ✐/ ♣♦/✐2✐✈❡

✐♥ 2❤❡ ❝❛/❡ 2❤❛2 2❤❡ ✉2✐❧✐2② ♦❢ ✇✐♥♥✐♥❣ ✐/ ❧♦✇✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✐❢ v − βi > 2f ✱ 2❤❡ ❡①♣❡❝2❡❞ $❡2✉$♥ 2♦

❜✐❞❞✐♥❣ ✐/ ♥❡❣❛2✐✈❡ ❛/ p < pRN ✳


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❈❤❛♣$❡&✸ ✽✶

❚❤✉%✱ ✉♥❞❡* ♣*♦%♣❡❝. .❤❡♦*②✱ .❤❡*❡ ❡①✐%.% ❛ ❝*✐.✐❝❛❧ *♦✉♥❞ i ✇❤❡*❡ .❤❡ ❡①♣❡❝.❡❞ *❡.✉*♥

.♦ ❜✐❞❞✐♥❣ ❝❤❛♥❣❡% %✐❣♥✳ ■♥ *♦✉♥❞% ❜❡❢♦*❡ i✱ .❤❡ ♣♦.❡♥.✐❛❧ ❣❛✐♥% ❢*♦♠ ✇✐♥♥✐♥❣ ❛*❡ ❤✐❣❤✳

❊<✉✐❧✐❜*✐✉♠ *❡<✉✐*❡% ❛ ❧♦✇ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.② ♦❢ ✇✐♥♥✐♥❣✱ ✇❤✐❝❤ ✐% ✐♥ .❤❡ *❡❣✐♦♥ ✇❤❡*❡ .❤❡ ❛❣❡♥.

♦✈❡*✇❡✐❣❤.% ♣*♦❜❛❜✐❧✐.✐❡%✳ ❍❡♥❝❡✱ .❤❡ ❡①♣❡❝.❡❞ *❡.✉*♥ .♦ ❜✐❞❞✐♥❣ ✐% ♥❡❣❛.✐✈❡✳ ■♥ ❧❛.❡ *♦✉♥❞%✱

.❤❡ ❣❛✐♥ ❢*♦♠ ✇✐♥♥✐♥❣ ✐% %♠❛❧❧✱ ❛♥❞ ❡<✉✐❧✐❜*✐✉♠ *❡<✉✐*❡% ❛ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.② ♦❢ ✇✐♥♥✐♥❣✳ ❇✉.

❤✐❣❤ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.✐❡% ❛*❡ ✉♥❞❡*✲✇❡✐❣❤.❡❞ ❜② ♦✉* ❜❡❤❛✈✐♦✉*❛❧ ❛❣❡♥.%✱ ❛♥❞ .❤✉% .❤❡ ♠♦♥❡.❛*②

❡①♣❡❝.❡❞ *❡.✉*♥ .♦ ❜✐❞❞✐♥❣ ✐% ♣♦%✐.✐✈❡✳ ◗✉❛❧✐.❛.✐✈❡❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ .❤✉% ❝❛♣.✉*❡ %.②❧✐%❡❞ ❢❛❝. ✹✳

◗✉❛♥.✐.❛.✐✈❡❧②✱ .❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐.❤♦✉. ❧♦%% ❛✈❡*%✐♦♥ ✐% ❧❡%% %✉❝❝❡%%❢✉❧✿ ❢♦* ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ .❤❡ ❝❛%❡

♦❢ ❛ ✜①❡❞✕♣*✐❝❡ ❛✉❝.✐♦♥ ✇✐.❤ ❜✐❞❞✐♥❣ ❢❡❡ ●❇G ✵✳✺✵✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ♣♦%✐.✐✈❡ ❡①❝❡%% *❡✈❡♥✉❡

✇❤❡♥❡✈❡* .❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ .❤❡ ♦❜❥❡❝. ❡①❝❡❡❞% ●❇G ✶✳✵✵✳ ❇✉. .❤✐% ❝✉.✲♦✛ ✐% ❢❛* ❧♦✇❡* .❤❛♥

❞✐%❝✉%%❡❞ ✐♥ %.②❧✐%❡❞ ❢❛❝. ✸✳ ❚❤✉%✱ .❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣*❡❞✐❝.% ❡①❝❡%% *❡✈❡♥✉❡✱ ❜✉. ✐♥ .♦♦ ♠❛♥② ❝❛%❡%

❝♦♠♣❛*❡❞ .♦ ✇❤❛. ✇❡ ♦❜%❡*✈❡ ✐♥ .❤❡ ❞❛.❛✳

◆♦✇✱ ❝♦♥%✐❞❡* .❤❡ ❧♦%% ❛✈❡*%✐♦♥ ♣❛*❛♠❡.❡* λ✳ ■♥ ❣❡♥❡*❛❧✱ ❧♦%% ❛✈❡*%✐♦♥ ♠❛❦❡% .❤❡ ♣*♦%♣❡❝.

♦❢ ❜✐❞❞✐♥❣ ❧❡%% ❛..*❛❝.✐✈❡ ❢♦* .❤❡ ❛❣❡♥.✳ ❚❤✉%✱ ❛❣❡♥.% ✇✐❧❧ *❡<✉✐*❡ ❤✐❣❤❡* ♣*♦❜❛❜✐❧✐.✐❡% ♦❢

✇✐♥♥✐♥❣ .♦ ❜❡ ✐♥❞✐✛❡*❡♥. ❛❜♦✉. ♣❛*.✐❝✐♣❛.✐♥❣ ✐♥ .❤❡ ❛✉❝.✐♦♥❀ .❤✐% *❡%✉❧.% ✐♥ ❧♦✇❡* *❡✈❡♥✉❡ ❢♦*

.❤❡ %❡❧❧❡*✳ ❚♦ ✜♥❞ .❤❡ ❝*✐.✐❝❛❧ *♦✉♥❞ ✇❤❡*❡ ❡①♣❡❝.❡❞ *❡✈❡♥✉❡ ❝❤❛♥❣❡% %✐❣♥✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉.❡

(p

1− p

) γα

λ−1α =

(p

1− p

)

=

(f

v − βi− f

)

✭✸✳✹✳✾✮

❆❢.❡* %♦♠❡ ❛❧❣❡❜*❛✱ .❤✐% ②✐❡❧❞%

v − βi = f(

1 + λ1

α−γ

)

✭✸✳✹✳✶✵✮

❲❤✐❝❤ ✐% ✐♥❝*❡❛%✐♥❣ ✐♥ λ✱ ❛% ❡①♣❡❝.❡❞✳

❚♦ ✜① ✐❞❡❛%✱ ❝♦♥%✐❞❡* ❛❣❛✐♥ ❛ ♥✉♠❡*✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐.❤ ❛ ✜♥❛❧✕♣*✐❝❡ ♦✛ ❛✉❝.✐♦♥✳ ▲❡.

α = 1✱ %♦ .❤❡ ❛❣❡♥. ✐% *✐%❦✕♥❡✉.*❛❧✱ ❛♥❞ ✜① λ = 2.25 ✐♥ ❧✐♥❡ ✇✐.❤ ❚✈❡*%❦② ❛♥❞ ❑❛❤♥❡♠❛♥

✭✶✾✾✷✮✳ ❚❤❡♥✱ ❣✐✈❡♥ .❤❡ ❜✐❞❞✐♥❣ ❢❡❡ ♦❢ ●❇G ✵✳✺✵✱ ❛ ♣*♦❜❛❜✐❧✐.② ✇❡✐❣❤.✐♥❣ ♣❛*❛♠❡.❡* γ = 0.80

♣*❡❞✐❝.% .❤❡ ❜*❡❛❦✲❡✈❡♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ .❤❡ ❣♦♦❞ v = 29.33✱ ✇❤✐❝❤ ✐% ❝❤♦%❡♥ .♦ ♠❛.❝❤ %.②❧✐%❡❞ ❢❛❝.

✷ <✉❛♥.✐.❛.✐✈❡❧②✳ ❆♣♣❧②✐♥❣ .❤❡ %❛♠❡ ♣❛*❛♠❡.❡*% .♦ ♦❜.❛✐♥ .❤❡ ❡①♣❡❝.❡❞ *❡✈❡♥✉❡ ❢♦* ❛♥

❛✉❝.✐♦♥ ♦❢ .❤❡ ◆✐❦♦♥ ❉✾✵✱ ✇✐.❤ *❡.❛✐❧ ♣*✐❝❡ ●❇G ✼✾✶✳✹✾✱ ②✐❡❧❞% ❛ *❡✈❡♥✉❡ ♣*❡❞✐❝.✐♦♥ ●❇G

✶✽✵✾✳✸✸✳ ❚❤✐% ❝♦♠♣❛*❡% .♦ ❛♥ ♦❜%❡*✈❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ●❇G ✶✾✾✺✳✻✵ ✐♥ .❤❡ %❛♠♣❧❡ ✭%.②❧✐%❡❞ ❢❛❝.

✶✮✳ ▼♦*❡♦✈❡*✱ ❝♦♥%✐❞❡* .❤❡ ◆✐♥.❡♥❞♦ ❲✐✐ ❡①❛♠♣❧❡ ❢*♦♠ %.②❧✐%❡❞ ❢❛❝. ✹✳ ❙♦❧✈✐♥❣ ❡<✉❛.✐♦♥

✸✳✹✳✶✵ ❢♦* .❤❡ ❝*✐.✐❝❛❧ *♦✉♥❞ ✇❤❡*❡ ❡①♣❡❝.❡❞ *❡.✉*♥ .♦ ❜✐❞❞✐♥❣ ✐% ♣♦%✐.✐✈❡ ②✐❡❧❞% i = 1506.67✳

❚❤✐% ✐% ❤✐❣❤❡* .❤❛♥ .❤❡ ❡♠♣✐*✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡ ✭✶✶✽✵✮✱ ❜✉. ❛. ❧❡❛%. ❛♥ ❛♣♣*♦①✐♠❛.✐♦♥✳ ❚❤✉%✱ ❡✈❡♥

✇✐.❤ ✏♠❛♥✉❛❧ ❝❛❧✐❜*❛.✐♦♥✑✱ ✐. ❛♣♣❡❛*% .❤❛. .❤❡ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ ♠❛.❝❤ %❡✈❡*❛❧ %.②❧✐%❡❞ ❢❛❝.% ♦❢ .❤❡

❞❛.❛%❡.✳


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✽✷ ❖❢ "❡♥♥✐❡& ❛♥❞ ")♦&♣❡❝-&✿ ❯♥❞❡)&-❛♥❞✐♥❣ ❇❡❤❛✈✐♦✉) ✐♥ "❡♥♥② ❆✉❝-✐♦♥&

✸✳✺ ❊$%✐♠❛%✐♦♥

❚❤❡ %❤❡♦'✐❡) ♦❢ ❜✐❞❞❡' ❜❡❤❛✈✐♦✉'✱ ❜♦%❤ ✉♥❞❡' ❡①♣❡❝%❡❞ ✉%✐❧✐%② ❛♥❞ ♣'♦)♣❡❝% %❤❡♦'②✱ ❣❡♥❡'❛%❡

♣'❡❞✐❝%✐♦♥) '❡❣❛'❞✐♥❣ %❤❡ ❤❛③❛#❞ #❛%❡✱ ✐✳❡✳ %❤❡ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%② %❤❛% ❛♥ ❛✉❝%✐♦♥ ✇✐❧❧ ❡♥❞ ✐♥ ❛

❣✐✈❡♥ '♦✉♥❞✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ %❤❡ ♣❛'❛♠❡%❡')✳ ❚❤✐) )✉❣❣❡)%) ❛ ♠❛①✐♠✉♠ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❛♣♣'♦❛❝❤

%♦ ♠♦❞❡❧ ❡)%✐♠❛%✐♦♥✳ ❚❤✉)✱ ❧❡% X ❞❡♥♦%❡ %❤❡ '❛♥❞♦♠ ✈❛'✐❛❜❧❡ %❤❛% ❛ ♣❡♥♥② ❛✉❝%✐♦♥ ✇✐❧❧ ❡♥❞

✐♥ '♦✉♥❞ x✳ ❋♦' %❤✐) %♦ ♦❝❝✉'✱ %❤❡ ❛✉❝%✐♦♥ %❤❡'❡ ♠✉)% ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♥♦ ❤❛③❛'❞ ✐♥ ❛♥② ♣'❡✈✐♦✉)

'♦✉♥❞ ❛♥❞ ❤❛③❛'❞ ✐♥ '♦✉♥❞ x✱ %❤✉) %❤❡ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%② ♦❢ %❤❡ ❡✈❡♥% ✐) ❣✐✈❡♥ ❜②

f(x; θ) = h(i; θ)i−1∏

j=1

(1− h(j; θ)) ✭✸✳✺✳✶✮

❚❤❡ ❤❛③❛'❞ '❛%❡ ✐) ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② %❤❡ ❡C✉✐❧✐❜'✐✉♠ )%'❛%❡❣✐❡)✿

h(i) =N−1∏

j=0

(1− σj) ✭✸✳✺✳✷✮

■♥ ❛ )❛♠♣❧❡ ♦❢ ♦❜)❡'✈❛%✐♦♥) o = 1, . . . , O✱ ✇❤❡'❡ oj ❞❡♥♦%❡) %❤❡ ❞✉'❛%✐♦♥ ♦❢ ❛✉❝%✐♦♥ ❥ ✐♥

%❤❡ )❛♠♣❧❡✱ %❤❡ ❧♦❣ ❧✐❦❡❧✐❤♦♦❞ ❢✉♥❝%✐♦♥ ✐) %❤❡♥ ❣✐✈❡♥ ❜②

llf(θ) =O∑

o=1

log(f(oi; θ)) ✭✸✳✺✳✸✮

❙✐♥❝❡ ❝❧♦)❡❞ ❢♦'♠ ❡①♣'❡))✐♦♥) ❛'❡ ♥♦% ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ❢♦' f(x; θ)✱ ♦♣%✐♠✐③❛%✐♦♥ ♠✉)% ❜❡ ❝❛''✐❡❞

♦✉% ♥✉♠❡'✐❝❛❧❧②✳ ❚❤✐) ②✐❡❧❞) ❡)%✐♠❛%❡) θ ❢♦' ❡❛❝❤ ♦❢ %❤❡ ♠♦❞❡❧) ❝♦♥)✐❞❡'❡❞✳ ❋♦' ✐♥❢❡'❡♥❝❡✱

✇❡ '❡❧② ♦♥ %❤❡ )%❛♥❞❛'❞ ♣'♦♣❡'%② %❤❛%

√N(θ − θ)→ N(0, I(θ)−1) ✭✸✳✺✳✹✮

✐♥ )✉✣❝✐❡♥%❧② ❧❛'❣❡ )❛♠♣❧❡)✱ ✇❤❡'❡ I(θ) ✐) %❤❡ ❋✐)❤❡' ✐♥❢♦'♠❛%✐♦♥ ♠❛%'✐①✳ ❚❤✉)✱ %❤❡

❡)%✐♠❛%♦' ❤❛) ❛ )%❛♥❞❛'❞ )❛♠♣❧✐♥❣ ❞✐)%'✐❜✉%✐♦♥ ❛♥❞ ✉)✉❛❧ )✐❣♥✐✜❝❛♥❝❡ %❡)%) ❝❛♥ ❜❡ ❝❛''✐❡❞

♦✉%✳ ❚❤❡)❡ ♣'♦❝❡❞✉'❡) ✇❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥%❡❞ ✐♥ ●◆❯ ❘✳

✸✳✻ ❘❡$✉❧%$

❚❤✐) )❡❝%✐♦♥ ❛♣♣❧✐❡) %❤❡ ♠❡%❤♦❞) ♦❢ )❡❝%✐♦♥ ✸✳✺ %♦ %❤❡ ❞❛%❛✳ ❋♦' ❡)%✐♠❛%✐♦♥✱ ❛ )✉❜✕)❛♠♣❧❡ ✇❛)

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industrial organization and behaviour hinnerk gnutzmann · 2019-03-11 · hinnerk gnutzmann thesis...

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