induccion matematica primer aÑo tercer aÑo segundo aÑo
TRANSCRIPT
INDUCCION MATEMATICA
PRIMER AÑO
TERCER AÑO
SEGUNDO AÑO
INDUCCION MATEMATICA
, , ,
¿Qué figura sigue ? ¿Cuántas rectas forman cada figura?
3 5 7 9
Dibuja la figura y cuenta su número de rectas
¿Cuántas rectas formarán la octava figura?
?
17
¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántos círculos las forman?
, , , ,
1 4 7 10 13
Dibuja la novena figura de la serie :
¿Cuántos círculos la forman?
25
?
Una sucesión numérica es:
Secuencia de números relacionados de tal manera que cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia común.
2 , 7, 12 , 17 , 22 , 27, 32
+ 5 + 5 + 5
+ 5 + 5 + 5
DIFERENCIA COMUN ES 5
OBSERVA :
2 , 7, 12, 17, 22 , 27, …a1
1°
a1 + d
2°
a1+ 2d
3°
a1+ 3d
4°
a1+ 4d
5°
a1+ 5d
6°
a1+ (n-1)d
n°
Término inicial Término n-ésimo
¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?
an = a1 + (n – 1) d
APLICACION
Hallar el 23° término de la sucesión numérica 9 , 4 , -1 …
a23 = 9 + (23-1) (-5) a23 = 9 – 110
23° término es - 101
d = 4 – 9d = -5
Determinamos la diferencia común
Consecuente menos antecedente AntecedenteConsecuente
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
Hallar el 38° término de la sucesión numérica 2/3 , 3/2, 7/3 …
a38 = 2/3 + (38 – 1) (5/6 a38 = 2/3 + 185/6
38° término es 189/6 o 63/2
d = 3 - 2 2 3
d = 5 6
Determinamos la diferencia común
Consecuente menos antecedenteAntecedente
Consecuente
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
APLICACION
APLICACION
a6 = 3 + (6 – 1) d
8 = 3 + 5d
5d = 8 - 3
Diferencia común es 1
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
Hallar la diferencia común de la sucesión numérica 3, … , 8 donde 8 es el 6° término.
an = a1 + (n – 1) d
Buscando el valor de “d”
an - a1
d = n - 1
*
APLICACION
30 = 4 + (n – 1) ( 2 ) 30 = 4 + 2n - 2 28 = 2n n = 14
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4, 6, …30 ?
an = a1 + (n – 1) d
Buscando el valor de “n”
an - a1 + dn =
d
Buscamos diferencia común d = 6 – 4 d = 2 *
APLICACION
20 = a1 + (15 – 1) ( 2/7 ) 20 = a1 + 4
a1 = 16
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) dan = a1 + (n – 1) d
Buscando el valor de “a”
a1 = an – nd - d
*
El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la diferencia común 2/7. Hallar el primer término.
Determinamos la diferencia común
Antecedente Consecuente
Sustituimos valores conocidos
5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …
Término inicial
Consecuente menos antecedente9 – 5 = 4
an = a1 + (n – 1) d
an = 5 + (n – 1) 4
an = 5 + 4n - 4
an = 4n + 1
TERMINO ENESIMO GENERALIZACION
PRIMER AÑO
Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
9 – 5 = + 4n
4 ( 1 )
+ 4n
Primera posición
x + 4 = 5, donde x = + 1
+ 1
4n + 1
Generalización
*¿ Qué número sumado a cuatro veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?
5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …
AntecedenteConsecuente
Término inicialGENERALIZACION
Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
12 - 8 = 4n
4 ( 1 )
4n
Primera posición
x + 4 = 8, donde x = 4
+ 4
4n + 4
Generalización
*¿ Qué número sumado a cuatro veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?
8 , 12 , 16 , 20 , 24 , …
AntecedenteConsecuente
Término inicialGENERALIZACION
Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
11 - 9 = 2n
2 ( 1 )
2n
Primera posición
x + 2 = 9, donde x = 7
+ 28
2n + 7
Generalización
*¿ Qué número sumado a dos veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?
9 , 11 , 13 , 15 , 17 , …
AntecedenteConsecuente
Término inicialGENERALIZACION
¿ Cuántos cuadritos forman la figura que se ubica en la vigésima posición ?
Primer figura
Segunda figura
5
913
17
21
Cuarta figura
Quinta figura
Tercer figura
4n + 14(20) + 1
81 cuadrados debe tener la vigésima figura
¿ Cuál es la regla para encontrar el número de cubos que hay en una figura cualquiera de esta sucesión? ¿ Cómo se puede expresar esta regla con una fórmula ?
Primer figuraSegunda figura
Tercer figura
3
7
5
2n + 1
Generalización
De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.
Primer figura Segunda figura
Tercer figura
Cuarta figura
2 5
811
3n - 1
Generalización
3(5) – 1 = 14
De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.
Primer figura
Segunda figura
Tercer figura
Cuarta figura
48
12
16
4n
Generalización
De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.
Primer figura Segunda figura
Tercer figura
Cuarta figura
5 9 13
17 4n + 1
Generalización
De la siguiente sucesión, determina cuántas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalización.
Primer figura
Segunda figuraTercer figura
Cuarta figura
Quinta figura
4
7
10
13
16
3n + 1
Generalización
De la siguiente sucesión, determina cuántas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalización.
Primer figuraSegunda figura
Tercer figuraCuarta figura
Quinta figura
510
1520
25
5n
Generalización
4 , 6 , 8 , 10 ,
1. Hallar los dos términos siguientes de las sucesiones que se indican:
14
-5 , -2 , 1 , 4 , 10 13
-3 , 5 , -7 , 9 , 13 -15
1 , 4 , 9 , 16 , 36 49
1 , 2 , 4 , 7 , 16 22
1 , -2 , 3 , -4 , 7 -8
27 , 23 , 19 , 15 , 11 7
1 , 5 , 9 , 13 , 25 29
7 ,
-11 ,
25 ,
11 ,
5 , -6 ,
17 , 21 ,
12
2. Determine el décimo término:
8 , 12 , 16 , 20 ,
3 , 6 , 9 , 12 ,
9 , 11 , 13 , 15 ,
57 , 60 , 63 , 66 ,
15 ,
17 ,
69 ,
24 , …
…
…
…
30
27
84
44
4n + 4 4(10) + 4 = 44
3n 3(10) = 30
2n + 7 2(10) + 7 = 27
3n + 54 3(10) + 54 = 84
2 , 4 , 6 , 8 ,
3. Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:
5 , 10 , 15 , 20 , 5n
10 , 20 , 30 , 40 , 10n
50 , 57 , 64 , 71 , 7n + 43
14 , 21 , 28 , 35 , 7n + 7
15 , 20 , 25 , 30 , 5n + 10
35 , 40 , 45 , 50 , 5n + 30
17 , 22 , 27 , 32 , 5n + 12
25 ,
50 ,
…
42 ,
35 , 40 ,
37 , 42 ,
2n10 , 12 ,
30 , 35 ,
55 , 60 ,
47 , …
…
…
…
…
…
…
4. Completa cada sucesión numérica y escribe el patrón que la generaliza:
3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 3n
Generalización
7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 , 37 5n + 2
5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , 29 4n + 1
1 , 8 , 15 , 22 , 29 , 36 , 43 7n - 6
2 , 11 , 20 , 29 , 38 , 47 , 56 9n - 7
SEGUNDO AÑO
Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
- 2 - ( - 5 ) = + 3n
3 ( 1 )
+ 3n
Primera posición
x + 3 = - 5, donde x = - 8
- 8
3n - 8
Generalización
*¿ Qué número sumado a tres veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?
- 5 , - 2, 1 , 4 , 7 , …
AntecedenteConsecuente
Término inicialGENERALIZACION
Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
3 - 7/2 = - 1/2 n
- 1/2 ( 1 )
- 1/2 n
Primera posición
x - 1/2 = 7/2, donde x = 4
+ 4
-1 n + 4 2
Generalización
*¿ Qué número sumado a – 1/2 veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?
7/2 , 3 , 5/2 , 2 , 3/2 , …
AntecedenteConsecuente
Término inicialGENERALIZACION
Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
23 - 28 = - 5n
- 5 ( 1 )
- 5n
Primera posición
x - 5 = 28, donde x = 33
+ 28
- 5n + 33
Generalización
*¿ Qué número sumado a - cinco veces la primera posición de la sucesión da como resultado el primer término de ésta ?
28 , 23 , 18 , 13 , 8 , …
AntecedenteConsecuente
Término inicialGENERALIZACION
1. Determina el décimo término:
5 , 2 , - 1 , … - 3n + 8 - 22
1 , 12
, 0 , - 1 2
, … -n + 3 2
- 7 2
- 3 ( 10) + 8 = 22
-10 + 3 = - 7 2 2
44 , 41 , 38 , 35 ,
2. Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:
28 , 23 , 18 , 13 , - 5n + 33
8 , -2 , -12 , -22 , - 10n + 18
-80 , -66 , -52 , -38 , 14n - 94
-5 , -8 , -11 , -14 , - 3n - 2
-24 , -18 , -12 , -6 , 6n - 30
-30 , -25 , -20 , -15 , 5n - 35
-7 , -5 , -3 , -1 , 2n - 9
8 ,
-32 ,
-24
-17 ,
0 , 6 ,
1 , 3 ,
- 3n + 4732 , …
3 , …
-10 , -5 ,
…
…
-20
…
…
, …
, …
-5 , -7 , -9 , -11 ,
20 , 10 , 0 , -10 , - 10n + 30
-3 , -8 , -13 , -18 , - 5n + 2
2 , -4 , -10 , -16 , - 6n + 8
-1 , -2 , -3 , -4 , - n
6 , 3 , 0 , -3 , - 3n + 9
- 3 22
, -1 , - 1 2
, 0 , 1 n – 2 2
-20 ,
-23 ,
…
-5 ,
-6 , …
- 2n - 3-13 , …
…
12
, …
…
…
Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:
-22 ,
4 , 3 , 2 , 1 , - n + 50 , …
-9 , -15 , -21 , -27 , - 6n - 3 -33 , …
72
, 3 , 52
, 2 , - 1 n + 4 2
32
, …
-10 , -8 , -6 , -4 , 2n - 12-2 , …
Escribe la generalización de cada una de las sucesiones siguientes:
-3 , -7 , -11 , -15 , - 4n + 1-19 , …
5 , 3 , 1 , -1 , - 2n + 7-3 , -5 , …
TERCER AÑO
De la siguiente sucesión, determina cuántos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalización.
Primer figura Segunda figura Tercer figura
Cuarta figura
1
4
9
16n2
Generalización
(5)2
25 cuadrados
Número de mosaicos blancos que tendrá la figura que ocupa la quinta posición en la siguiente sucesión:
Primer figura Segunda figura
Tercer figura
Cuarta figura
Observamos que en las figuras propuestas, se presenta un mosaico blanco en cada una de sus esquinas.
CUATRO MOSAICOS BLANCOS APARECEN EN CADA FIGURA
MOSAICOS CENTRALES
1 , 4 , 9 , 16
n2 + 4
Generalización
Buscamos el quinto término:
n2 + 4 = 52 + 4 = 29
29 mosaicos blanco debe tener la quinta figura
En la siguiente sucesión determina cuántos cuadrados formarán la sexta figura.
Primera figuraSegunda figura
Tercer figura
Cuarta figuraQuinta figura
1 36
1015
Diferencias finitas
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b
7a + b
2a
2a
1
3
6
10
2
3
4
1
1
abc
Generalización
2
3
4
En la siguiente sucesión determina cuántas bolitas hay en la quinta figura y escribe su generalización.
Primer figura Segunda figura
Tercer figura Cuarta figura
2
6
1220
Diferencias finitas
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b
7a + b
2a
2a
2
6
12
20
4
6
8
2
2
abc
Generalización
2
3
4
En la siguiente sucesión, en la figura 1 se ven tres caras del cubo, y en la figura 2 se ven nueve caras.
Primer figuraSegunda figura
Tercer figura Cuarta figura
3
9
17
27
Diferencias finitas
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16ª + 4b + c
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b
7a + b
2a
2a
3
9
17
27
6
8
10
2
2
abc
Generalización
2
3
4
En la vigésima quinta figura es posible ver 152 caras
Diferencias finitas
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
5a + b
7a + b
2a
2a
10
24
44
14
20
26
6
6
abc
2
3
4
Ejercicio a
10 , 24 , 44 , 70 , 102, …
70
Diferencias finitas
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
5a + b
7a + b
2a
2a
5
11
21
6
10
14
4
4
abc
2
3
4
Ejercicio b
5 , 11 , 21 , 35 , 53 , …
35
Diferencias finitas
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + ca(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
- 4
- 1
4
3
5
7
2
2
abc
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
5a + b
7a + b
2a
2a
2
3
4
Ejercicio c
- 4 , - 1 , 4 , 11 , 20 , …
11
Diferencias finitas
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
0
3
8
3
5
7
2
2
abc
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
5a + b
7a + b
2a
2a
2
3
4
Ejercicio d
0 , 3 , 8 , 15 , 24 , …
15
Diferencias finitas
a(1)2 + b(1) + c = a + b + c
a(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + c
a(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
a(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c
12
27
52
15
25
35
10
10
abc
1 a + b + c3a + b
4a + 2b + c
9a + 3b + c
16a + 4b + c
5a + b
7a + b
2a
2a
2
3
4
Ejercicio e
12 , 27 , 52 , 87 , 132, …
87
5 , 14 , 29 , 50 , 77 , …
3a + b2a
5
14
29
50
9
15
21
6
6
abc
Generalización
7727
6
a + b + c
Ejercicio f
-7 , 2 , 17 , 38 , 65 , …
3a + b2a
-7
2
17
38
9
15
21
6
6
abc
Generalización
6527
6
a + b + c
Ejercicio g
6 , 13 , 24 , 39 , 58 , …
3a + b2a
6
13
24
39
7
11
15
4
4
abc
Generalización
58
a + b + c
Ejercicio h
419
5 , 12 , 23 , 38 , 57 , …
3a + b2a
5
12
23
38
7
11
15
4
4
abc
Generalización
57
a + b + c
Ejercicio i
419
5 , 11 , 21 , 35 , 53 , …
3a + b2a
5
11
21
35
6
10
14
4
4
abc
Generalización
53
a + b + c
Ejercicio j
418
0 , 1/2 , 3/2 , 3 , 5 , …
3a + b2a
0
1/2
3/2
3
1/2
1
3/2
1/2
1/2
abc
Generalización
5
a + b + c
Ejercicio k
1/22
1/2 , 2 , 9/2 , 8 , 25/2 , …
3a + b2a
1/2
2
9/2
8
3/2
5/2
7/2
1
1
abc
Generalización
25/2
a + b + c
Ejercicio l
19/2
1/4 , 1 , 9/4 , 4 , 25/4 , …
3a + b2a
1/4
1
9/4
4
3/4
5/4
7/4
1/2
1/2
abc
Generalización
25/4
a + b + c
Ejercicio m
1/29/4
- 3 , 3 , 13 , 27 , 45 , …
3a + b2a
- 3
3
13
27
6
10
14
4
4
abc
Generalización
45
a + b + c
Ejercicio n
418
3 , 6 , 11 , 18 , 27 , …
3a + b2a
3
6
11
18
3
5
7
2
2
abc
Generalización
27
a + b + c
Ejercicio ñ
2 9
2 , 8 , 18 , 32 , 50 , …
3a + b2a
2
8
18
32
6
10
14
4
4
abc
Generalización
50
a + b + c
Ejercicio o
418
-1 , 8 , 23 , 44 , 71 , …
3a + b2a
- 1
8
23
44
9
15
21
6
6
abc
Generalización
71
a + b + c
Ejercicio p
627
0 , 2 , 6 , 12 , 20 , …
3a + b2a
0
2
6
12
2
4
6
2
2
abc
Generalización
20
a + b + c
Ejercicio q
28
3 , 12 , 27 , 48 , 75 , …
3a + b2a
3
12
27
48
9
15
21
6
6
abc
Generalización
75
a + b + c
Ejercicio r
627
4 , 15 , 30 , 49 , 72 , …
3a + b2a
4
15
30
49
11
15
19
4
4
abc
Generalización
72
a + b + c
Ejercicio s
423
1/2 , 3 , 15/2 , 14 ,45/2, …
3a + b2a
1/2
3
15/2
14
5/2
9/2
13/2
2
2
abc
Generalización
45/2
a + b + c
Ejercicio t
217/2
- 3/2 , 0 , 5/2 , 6 ,21/2, …
3a + b2a
- 3/2
0
5/2
6
3/2
5/2
7/2
1
1
abc
Generalización
21/2
a + b + c
Ejercicio u
1 9/2