indiceindice

Schema fisico

Sistema di PDEs che governa il processo

Ipotesi fondamentali del modello di trasporto

Equazioni del modello di trasporto

Qualche formula empirica per il trasporto solido

Andamento delle curve caratteristiche

Qualche confronto con dati sperimentali

Schema fisicoSchema fisico

z = 0

zb

qb

L’

H

h

s

s

INVERTz = 0Bed layer

Bed depth

LQ

Suspendedlayer

h

zb

Sistema di PDEs che governa il processoSistema di PDEs che governa il processo

ql

Pzb/x

z = 0 invert datum

Q + Q/x dxQh

zb

dx

zb

z = 0

h

L

1. Equazione di continuità della miscela acqua - sedimenti1. Equazione di continuità della miscela acqua - sedimenti

lqt

hL

t

zP

x

Q b

Q volume della miscela che entra nel volume di controllo; Q+Q/x dx volume uscentePdx zb/x variazione nel tempo del volume di solido: al tempo t un certo volume solido appartiene al fondo fisso e dopo un t può essere trascinato via dalla corrente.

lb qt

zP

termine sorgente

dxt

variazione nell’unità di tempo del volume della miscela nel volume di controllo

Se la concentrazione di materiale solido è bassa (< 10Se la concentrazione di materiale solido è bassa (< 10-3-3) ) l’equazione di conservazione dell’energia per la miscela è l’equazione di conservazione dell’energia per la miscela è analoga a quella della sola fase liquida.analoga a quella della sola fase liquida.

Sx

zg

x

hg

Q

x

hQL

x

QQ

t

Q bhx

2

2

2

2

2

2. Equazione di conservazione dell’energia della 2. Equazione di conservazione dell’energia della miscela acqua – sedimentimiscela acqua – sedimenti

qs + qs/x dx

(1-p)L zb/x

z = 0 invert datum

qs h

zb

dx

Cdx

qs carico solido volumetrico entrante nel volume di controllo

dxt

zpdx

x

qq bs

s

1 carico solido volumetrico uscente

dxCt

dM

variazione nel tempo del carico solido volumetrico dentro il volume di controllo

cdC concentrazione

volumetrica media in

Lt

zp

t

C

x

q bs

1 Lt

zp

x

q bs

1Equazione di Exner

3. Equazione di continuità della fase solida3. Equazione di continuità della fase solida

Ipotesi fondamentaliIpotesi fondamentali

Sussistono condizioni di equilibrio tra il trasporto solido di fondo e le caratteristiche idrodinamiche della corrente

Valore basso della concentrazione in sospensione e sul fondo (C <= 10-3)

Corrente 1 – D con distribuzione idrostatica delle pressioni lungo la verticale.

Equazioni del modelloEquazioni del modello

0

x

Q

t

Sgx

zg

x

hg

Q

xt

Q b

2

'L

x

QC

t

Cs

ssb

x

q

t

zp

)1( formula di Ackers e White (1973) UCq Vs

UhCCL eqs

*

1

formula monomia b

s aUq

Funzione di h, U, zb e H/x; compare anche la soglia critica di moto incipiente del materiale

funzione di U tramite i coefficienti a e b calibrati “ad hoc”

Valutato con formule trovate in condizioni di equilibrio

Formula di Ackers and White (1973)Formula di Ackers and White (1973)

nn

ergV U

u

RWd

RGC

*

1

50,

m

rg

rgrgrg A

AFHG

,

,,,

n

nn

rg d

RU

dsg

uF

1

5010

1

50

,

12log32

1

* rgrg DA ,, 23.014.0

rgDm ,66.934.1 grDn 10log56.000.1 53.3loglog86.2log 2,10,1010 rgrg DDH

UCq Vs

UhCCL eqs

*

1

*5.1exp1

*6/1

u

w

hhhhU

wL ss

6.0

4.2

012.0 grcr

eq Dh

d

dg

UUC

Flusso di interscambio Flusso di interscambio

0

x

Q

t

Sgx

zg

x

hg b

'L

x

QC

t

Cs

ssb

x

q

t

z)p(

1

UBUUA

U

xt

bz

C

U

h

U

s

s 'LQ

Ug

2

30

UB

pz

q

pU

q

ph

qU

gUg

hU

b

sss

1

10

1

1

1

1000

0

00

UA

Curve caratteristiche del sistema di PDEsCurve caratteristiche del sistema di PDEs

0

11

1

1

1

12

U

q

p

U

h

q

p

h

pz

qh

gpz

q

U)U(ss

b

s

b

s

01

)( 2

U

q

p

UhgUU s

1,, 4321

hp

Uq

zq

hq

hUq

U

Us

b

sss

hp

Uq

Uq

U

s

s

1 ... 4

1 0

t

z

x

Uh

x

hU

t

h b

2 0

11

1

112

12

3

t

z

Csh

ppUs

x

C

Cs

sgh

Q

Ug

x

zg

x

UU

x

hg

t

U bb

3 0)1(

t

Ch

x

q

t

zp sb

PDEs del modello completo PDEs del modello completo (Wu et al. 1973)(Wu et al. 1973)

“full model” = 1

“standard model” = 0

= 0 se C < 10-3. I termini proporzionali a C o alle derivate spazio/temporali di C possono essere trascurati rispetto ai termini proporzionali alle caratteristiche cinematiche della corrente (U or h), o alle loro derivate.

La (3) si riduce all’equazione di Exner; U può essere considerata la velocità media della fase liquida; l’ultimo

termine nella (1) è trascurabile rispetto agli altri, pertanto la (1) diventa l’equazione di continuità della fase liquida;

Per la stessa ragione, la (2) diventa l’equazione del momento della sola fase liquida.

qs total solid load

Celerità relative per un modello completoCelerità relative per un modello completo

C trascurabile = 0

C non trascurabile = 1

h

q

hp

gh

UF

Udt

dx

s

1

1

1

(Morris & Williams, 1996)

Confronto con dati sperimentaliConfronto con dati sperimentali

Prove di accumulo (aggradation) eseguite da Soni et al. (1980) (Roorkee University);

Prove di accumulo ed erosione (degradation) eseguite da Suryanarayana (1969) (Colorado State University, Fort Collins);

Prove di accumulo ed erosione eseguite presso il Laboratorio Grandi Modelli dell’Università della Calabria, (Giugno – Luglio 2003, Febbraio – Marzo 2004)

Nelle prove sperimentali considerate il trasporto solido in sospensione è stato trascurabile rispetto a quello di fondo

Prove condotte da Soni et al. (1980)Prove condotte da Soni et al. (1980)

0.2 m

30 m

h0

h 0 [m] U 0 [m/s] Q 0 [mc/s] S 0 n [m1/2] q s0 [mc/s] q s /q s0

0.05 0.40 0.004 0.00356 0.02024 2.96960E-06 4.00

d50 = 0.32 mm, p = 0.4

test di test di aggradationaggradation

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x [m]

Z,

h [

m]

Z DORA1h DORA1Z meash measZ DORA2h DORA2

30 minutes

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x [m]

Z,

h [

m]

Z DORA1h DORA1Z meash measZ DORA2h DORA2

40 minutes

Differenza tra la quota attuale e quella iniziale del letto di sedimenti e del profilo idrico

Prove condotte da B. Suryanarayana (1969)Prove condotte da B. Suryanarayana (1969)

0.6 m

18 m

h0

d50 = 0.45 mm, p = 0.4

RUN h 0 [m] U 0 [m/s] Q 0 [mc/s] S 0 n [m1/2] q so [mc/s] q s /q s0

A 21 0.053340 0.443484 0.01414 0.003296 0.01832 4.8305E-06 1D 24 0.033223 0.583692 0.00388 0.006766 0.01456 1.4285E-05 -1

test di test di aggradationaggradation

Differenza tra la quota attuale e quella iniziale del letto di sedimenti.

Ackers e White

-2.E-02

-1.E-02

0.E+00

1.E-02

2.E-02

3.E-02

4.E-02

5.E-02

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [m]

Z [

m]

meas

DORA

60 minutes

-2.E-02

-1.E-02

0.E+00

1.E-02

2.E-02

3.E-02

4.E-02

5.E-02

6.E-02

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [m]

Z [

m]

meas

DORA

150 minutes

test di test di degradation degradation

Differenza tra la quota attuale e quella iniziale del letto di sedimenti

Ackers e White

-5.00E-02

-4.00E-02

-3.00E-02

-2.00E-02

-1.00E-02

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [m]

Z [

m]

measDORA

60 minutes

-9.E-02

-8.E-02

-7.E-02

-6.E-02

-5.E-02

-4.E-02

-3.E-02

-2.E-02

-1.E-02

0.E+00

1.E-02

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

x [m]

Z [

m]

meas

DORA

270 minutes

Prove condotte all’Università della CalabriaProve condotte all’Università della Calabria

d50 = 3 mm, p = 0.288

Test h 0 [m] U 0 [m/s] Q 0 [mc/s] S 0 n [m1/2] q s0 [mc/s] q s /q s0

A1 0.0389 0.57 0.0036 0.01 0.0157 2.11E-06 3.1A2 0.0435 0.66 0.0047 0.01 0.0147 3.50E-06 1.4

Test h 0 [m] U 0 [m/s] Q 0 [mc/s] S 0 n [m1/2] q s0 [mc/s] q s /q s0

D1 0.03814 0.602858 0.00384 0.01122 0.016 2.25E-06 -1D2 0.0407 0.701816 0.0048 0.01122 0.0141 4.52E-06 -1D3 0.0458 0.734612 0.005716 0.01122 0.01435 5.10E-06 -1

test di test di aggradationaggradation

Differenza tra la quota attuale del letto di sedimenti e della superficie idrica e la generatrice inferiore della canaletta.

Ackers e White

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0 1 2 3 4 5

x [m]

z b',

H' [

m]

zb' DORA

zb' meas

H' DORA

H' meas

20 minutes

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 1 2 3 4 5

x [m]

z b',

H' [

m]

zb' DORA

zb' meas

H' DORA

H' meas

30 minutes

Fenomeno di erosione localizzata nella zona di transizione di monte letto fisso – mobile. Notevole immissione di carico solido nel tratto di canale seguente.

Il processo di erosione localizzata è assimilato a quello causato da un getto 2D turbolento di parete uscente da un orifizio di diametro b0 con velocità U0. Il carico solido eroso si calcola in funzione della b.

erbb zxGbx

dUC ,101

220 ,

1

=1

91.02

0 7.2 d

bxc

1

1

20

cr

c C

d

bx

3

20

20

gd

bU

Hogg et al. (1997), x < xc

Prove di degradation – Erosione localizzataProve di degradation – Erosione localizzata

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x [m]

z'b [

m]

modello

meas

10 minuti

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x [m]

z'b

[m]

modello

meas

20 minuti

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0.050

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x [m]

z'b

[m]

modello

meas

30 minuti

Prova di degradation Prova di degradation – alcuni confronti– alcuni confronti