IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Cecilia Leto

BIOGRAFIA

Niccolò Fontana conosciuto come Tartaglia, nacque nella città di

Brescia nell'anno 1499 circa, in una famiglia poverissima.

Stava per morire a dodici anni a causa di orrende ferite facciali, che tagliarono la sua mascella e il palato durante l’assedio da parte dei francesi nel 1512. Le cure della madre assicurarono che il giovane potesse sopravvivere, ma nel corso della vita Niccolò portò sempre la barba per nascondere le sue ferite e poté solo parlare con difficoltà: gli venne, perciò, affibbiato il soprannome Tartaglia, che significa proprio balbuziente. Niccolò Tartaglia fu autodidatta in matematica e, avendo una straordinaria abilità, fu capace di guadagnarsi da vivere insegnando a Verona e a Venezia. Partecipò a un gran numero di dibattiti.

Niccolò Tartaglia fu oggetto di attenzioni da parte di Gerolamo Cardano, che nel marzo del 1539 lo invitò a Milano e si fece confidare la famosa formula, dietro la promessa che non ne avrebbe parlato ad alcuno. Basandosi sulla formula di Tartaglia, Cardano e Ludovico Ferrari, il suo assistente, fecero grandi progressi trovando conferma di tutti i casi della cubica e, persino risolvendo l'equazione quartica. Tartaglia non si mosse a pubblicare la sua formula. Molto probabilmente egli desiderava tenere la sua formula di scorta per un eventuale dibattito.

Nel 1545 Cardano pubblico "Ars magna" conosciuta per le soluzioni cubiche e le equazioni quartiche e tutto il lavoro addizionale che egli aveva completato dalla formula di Tartaglia.

Oggi la formula per risolvere la cubica viene chiamata formula di Cardano-Tartaglia. Tuttavia, Tartaglia diede un contributo alla matematica anche in altri campi. Morì a Venezia il giorno 13 dicembre 1557.

IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA/ PASCAL

IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA O DI PASCAL

Se indichiamo con x e y due numeri successivi posti su di una stessa riga, l’elemento posto tra essi, nella riga immediatamente al di sotto, è la loro somma.

x y

x + y

ESEMPIO

1 1 4 6 4

1 + 4

5 1

4 + 6

10

6 + 4

10

4 + 1

5 1

COEFFICIENTI BINOMIALI

Gli elementi del triangolo di Tartaglia sono detti coefficienti binomiali poiche coincidono con i coefficienti delle potenze di un binomio.

Riga Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b)

0 1 (a+b)0 = 1

1 1 1 (a+b) =1a+1b=a+b

2 1 2 1 (a+b)2 =1a2 +2ab+1b2

3 1 3 3 1 (a+b)3 =1a3 +3a2b+3ab2 +1b3

4 1 4 6 4 1 (a+b)4 =1a4 +4a3b+6a2b2 +4ab3 +1b4

5 1 5 10 10 5 1 (a+b) =1a5+5a4b+10a3b2 +10a2b3 +5ab4 +1b5

6 1 6 15 20 15 6 1 (a+b) =1a6 +6a5 b+15a4b2 +20a3b3 +15a2b4 +6ab5 +1b6

I numeri che compaiono nel triangolo di Tartaglia hanno moltissime applicazioni: possono essere usati, per esempio, per risolvere problemi di probabilità. Possiamo calcolare la potenza n-esima di un binomio utilizzando il triangolo.

(A + B)1 = 1 A + 1 B 1 1

(A + B)2 = 1 A2 + 2 AB + 1 B 2 1 2 1

(A + B)3 = 1 A3 + 3 A2B + 3 AB2 + A B3 1 3 3 1

- I coefficienti di (A+B)1 coincidono con i numeri della riga 1 del triangolo di Tartaglia

- I coefficienti di (A+B)2 coincidono con i numeri della riga 2 del triangolo di Tartaglia

- I coefficienti di (A+B)3 coincidono con i numeri della riga 3 del triangolo di Tartaglia

POTENZA n-ESIMA DI UN BINOMIO

Lo sviluppo della potenza m-esima di (A+B) è un polinomio omogeneo di grado n. ordinato secondo le potenze decrescenti di A e crescenti di B, i cui coefficienti sono quelli della n-esima riga del triangolo di Tartaglia.

n=0 1 (a+b)0 = 1

n=1 1 1 (a+b)1 = a+b

n=2 1 2 1 (a+b)2 = a2+2ab+ b2

n=3 1 3 3 1 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

n=4 1 4 6 4 1 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

n=5 1 5 10 10 5 1 (a+b)5= a5 + 5a4b + 10a3b2 +10 a2b3+ 5ab4 +b5

ESEMPIO

(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5

(x2 + 2)5 = x10 + 10 x8 + 40 x6 + 80 x4 + 80 x2 +32

FINE