il moto rettilineo uniformemente accelerato · la deduzione della relazione fra spazio e tempo nel...

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IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO L’accelerazione. Una automobile di grossa cilindrata, come la Ferrari 575M Maranello, è apprezzata per la sua ‘ripresa’, cioè per la sua capacità di variare la velocità in un breve intervallo di tempo. FERRARI 575M Maranello Velocità Massima 325 Km/h Accelerazione Massima 0-100Km/h in 4,2 s L’accelerazione è la grandezza fisica che dà informazioni sulla variazione di velocità nel tempo. Definiamo accelerazione il rapporto fra la variazione di velocità e l’intervallo di tempo in cui tale variazione avviene. ottenerla ad impiegato tempo di ervallo velocità di iazione one accelerazi - - - - - - - = int var Passiamo alle formule. Chiamiamo v 0 la velocità iniziale; v la velocità finale; t 0 l’istante iniziale; t l’istante finale. Avremo: 0 v v v - = = variazione di velocità; 0 t t t - = = intervallo di tempo 0 0 t t v v t v a - - = = = accelerazione La sua unità di misura nel S.I. è il m/s 2 (metro al secondo quadrato) 2 sec sec 1 sec sec sec m t v m t v t m v a = = = Anche per l’accelerazione abbiamo l’accelerazione media quando consideriamo la variazione di velocità totale avvenuta in un certo intervallo di tempo; e l’accelerazione istantanea quando l’intervallo di tempo è molto piccolo. Inoltre l’accelerazione è una grandezza vettoriale, poiché la velocità e le sue variazioni sono grandezze vettoriali. 0 v = velocità iniziale; v = velocità finale; 0 v v v - = = variazione di velocità; t v a = = vettore accelerazione La figura mostra la variazione di velocità v , che ha gli stessi direzione e verso dell’accelerazione a : 1

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IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Laccelerazione.Una automobile di grossa cilindrata, come la Ferrari 575M Maranello, apprezzata per la sua ripresa, cio per la sua capacit di variare la velocit in un breve intervallo di tempo.

FERRARI 575M MaranelloVelocit Massima 325 Km/hAccelerazione Massima 0-100Km/h in 4,2 s

Laccelerazione la grandezza fisica che d informazioni sulla variazione di velocit nel tempo.Definiamo accelerazione il rapporto fra la variazione di velocit e lintervallo di tempo in cui tale variazione avviene.

ottenerlaadimpiegatotempodiervallovelocitdiiazioneoneaccelerazi

=

intvar

Passiamo alle formule.Chiamiamo v0 la velocit iniziale; v la velocit finale; t0 listante iniziale; t listante finale.Avremo: 0vvv = = variazione di velocit;

0ttt = = intervallo di tempo

0

0

ttvv

tva

== = accelerazione

La sua unit di misura nel S.I. il m/s2 (metro al secondo quadrato)

2secsec1

secsecsec m

tvm

tv

t

mva ===

Anche per laccelerazione abbiamo laccelerazione media quando consideriamo la variazione di velocit totale avvenuta in un certo intervallo di tempo; e laccelerazione istantanea quando lintervallo di tempo molto piccolo.Inoltre laccelerazione una grandezza vettoriale, poich la velocit e le sue variazioni sono grandezze vettoriali.

0v

= velocit iniziale; v

= velocit finale; 0vvv = = variazione di velocit;

tva

=

= vettore accelerazione

La figura mostra la variazione di velocit v , che ha gli stessi direzione e verso dellaccelerazione

a:

1

Calcoliamo laccelerazione della Ferrari 575M Maranellov0= 0 Km/h; v = 100 km/h ; t = 4,2 sec; .

v=100Km/h=100 x 0,278 m/sec = 27,8 m/sec

20

0

sec62,6

2,408,27 m

ttvv

tva ==

==

Il moto rettilineo uniformemente accelerato.Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato quando la traiettoria una retta (rettilineo) e laccelerazione costante (uniformemente accelerato).

0

0

ttvv

tva

== =costante

Poich laccelerazione una grandezza vettoriale, che sia costante implica che abbia direzione, verso ed intensit costanti. Il moto rettilineo, quindi ad una dimensione, e come riferimento si considera un solo asse cartesiano. Le grandezze coinvolte sono mostrate nelle figure sottostanti.

0s

= spostamento iniziale; s

= spostamento finale ; 0sss = = variazione di spazio.

Ricordiamo che la velocit tsv

=

ha direzione e verso di s

2

0v

= velocit iniziale; v

= velocit finale; 0vvv = = variazione di velocit;

accelerazione

Ricordiamo che laccelerazione (indicata nelle figure dalla freccia rosa) tva

=

ha la direzione

ed il verso di v . Se la velocit iniziale 0v

minore della velocit finale v , il moto accelerato, e laccelerazione ha gli stessi direzione e verso del moto.

accelerazione

Se la velocit iniziale 0v

maggiore della velocit finale v

, il moto decelerato ( o ritardato), e laccelerazione ha la stessa direzione del moto, ma verso opposto.

Poich abbiamo un moto unidimensionale, possiamo tralasciare la notazione vettoriale, e considerare positive tutte le grandezze con il verso del moto, e negative tutte le grandezze che hanno verso opposto.

ESEMPIO: MOTO ACCELERATOv0= 0 Km/h; v = 100 km/h ; t = 8 sec; vogliamo conoscere laccelerazione.

v=100Km/h=100 x 0,278 m/sec = 27,8 m/sec

3

tvv

tva

== 0 = 22 sec

5,3sec8

08,27 mm =

ESEMPIO: MOTO RITARDATOv0= 50 Km/h; v = 0 km/h ; t = 6 sec; vogliamo conoscere laccelerazione.

v=50Km/h=50 x 0,278 m/sec = 13,9 m/sec

tvv

tva

== 0 = 22 sec

3,2sec6

9,130 mm = NOTARE IL SEGNO MENO DELLACCELERAZIONE

La relazione tra velocit e tempo.Poniamoci nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale ( 0s

=0), tempo iniziale

(t0=0), e velocit iniziale ( 0v

=0) sono nulli.Laccelerazione diventa:

==tva costante .

e la sua rappresentazione grafica mostrata in figura.

Dalla formula precedente possiamo trovare la velocit:

v = a x t con a = costante.

Se rappresentiamo questa relazione su un grafico avremo una retta che passa per lorigine degli assi.

4

In questo moto si verificano le seguenti condizioni:1) al crescere di t (variabile indipendente), cresce v (variabile dipendente);2) il rapporto v/t (che laccelerazione) costante;3) il grafico di v in funzione di t una retta che passa per lorigine degli assi.

Si conclude quindi che la velocit v ed il tempo t sono direttamente proporzionali nel moto rettilineo uniformemente accelerato.Moti che hanno diversa accelerazione, avranno grafici con differente pendenza.

La figura mostra il grafico velocit-tempo per due moti con accelerazione diversa, e dai dati riportati si possono calcolare le due accelerazioni:

21 sec18,6

1318,654,18 ma =

= 22 sec

27,913

27,981,27 ma ==

La relazione fra spazio e tempo.La deduzione della relazione fra spazio e tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato si fa rigorosamente mediante il calcolo infinitesimale. Cerchiamo quindi di dare una giustificazione elementare ed intuitiva.Rimaniamo nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale ( 0s

=0), tempo iniziale

(t0=0), e velocit iniziale ( 0v

=0) sono nulli. Il grafico velocit-tempo il seguente:

Come gi sappiamo dallo studio del moto rettilineo uniforme, larea tratteggiata in figura fornisce lo spazio percorso nel tempo t (a partire dallistante iniziale). Questa figura un triangolo, quindi la sua area :AREA = BASE x ALTEZZA / 2

s = t x v /2 = t x a x t /2= 221 at

2

21 ats = la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato quando s0 = 0; t0 = 0; v0 = 0.

5

La rappresentazione grafica di tale legge riportata in figura:

Questa curva particolare si chiama parabola, e si parla di proporzionalit quadratica fra spazio e tempo.Nel moto uniformemente accelerato lo spazio percorso direttamente proporzionale ai quadrati dei tempi impiegati a percorrerlo, con costante di proporzionalit uguale alla met della misura dellaccelerazione.

Due grandezze X e Y sono in relazione di proporzionalit quadratica se vi una diretta proporzionalit tra una grandezza (Y) ed il quadrato dellaltra (X):

Y = K x X2 dove K = costante Quando due grandezze X e Y hanno una relazione di proporzionalit quadratica, si ha che:

1) il grafico che le rappresenta una parabola;2) Y ed X2 sono direttamente proporzionali, per cui il loro rapporto costante (Y/X2

=costante);3) Soddisfano una relazione del tipo Y = K x X2.

6

Moto rettilineo uniformemente accelerato con velocit iniziale v0.Consideriamo che il corpo abbia una velocit iniziale v0 , ma un tempo iniziale nullo t0=0.

Laccelerazione : tvv

tva 0

=

= = costante; la velocit diventa: v = v0 + at ; lequazione del

moto: tvats 02

21 += .

Rappresentazioni grafiche per il moto con: vo = 2 m/sec a = 1 m/sec2

Moto rettilineo uniformemente ritardato.Nel moto ritardato si osserva ad esempio un automobile che frena, da 100Km/h a 0 Km/h. Nel moto ritardato quindi la velocit iniziale sempre presente. In questo caso occorre premettere un segno meno allaccelerazione, e le formule diventano:

-tvv

tva 0

=

= = -costante; v = v0 at; 20 2

1 attvs =

Rappresentazioni grafiche per il moto con: vo = 4 m/sec a = 1 m/sec2

7

Moto rettilineo uniformemente accelerato: formule generali.Diamo le formule del moto nel caso si abbia spostamento iniziale s0 ; velocit iniziale v0; e tempo iniziale t0.

0

0

ttvv

tva

== =costante; v = v0 + a(t-t0); 00

2

21 stvats ++=

Moto rettilineo uniformemente ritardato: formule generali.Diamo le formule del moto nel caso si abbia spostamento iniziale s0 ; velocit iniziale v0; e tempo iniziale t0.

-0

0

ttvv

tva

== = -costante; v = v0 a(t-t0); 200 2

1 attvss +=

Bibbliografia del testo e delle figure:Mario Michetti, Fisica, Ist. Tecn. Industriali (vol. 1), Libreria Editrice Canova, Treviso 1963Sergio Fabbri, Mara Masini, Fisica, percorsi attivi (vol.1), SEI, Torino 2005Sito web ufficiale della Ferrari

A cura di: Prof. Taccone Anna, ITIS G. Vallauri di Reggio Calabria, a.s. 2005/06

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IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATOESEMPIO: MOTO RITARDATOPoniamoci nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale (=0), tempo iniziale (t0=0), e velocit iniziale (=0) sono nulli.La deduzione della relazione fra spazio e tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato si fa rigorosamente mediante il calcolo infinitesimale. Cerchiamo quindi di dare una giustificazione elementare ed intuitiva.

Rimaniamo nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale (=0), tempo iniziale (t0=0), e velocit iniziale (=0) sono nulli. Il grafico velocit-tempo il seguente:Nel moto ritardato si osserva ad esempio un automobile che frena, da 100Km/h a 0 Km/h. Nel moto ritardato quindi la velocit iniziale sempre presente. In questo caso occorre premettere un segno meno allaccelerazione, e le formule diventano: