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IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Professoressa CORONA PAOLA

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  • IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE

    ACCELERATOProfessoressa CORONA PAOLA

  • Il moto di una mela che cade

    Per misurare gli spostamenti è stato fissato un asse verticale orientato verso il basso che ha origine nella posizione iniziale della mela.

    Durante il moto di caduta la velocità istantanea della mela aumenta e le distanze da essa percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.

    La figura mostra una sequenza di scatti fotografici a intervalli regolari (0,1 s) di una mela che cade.

  • Il moto rettilineo uniformemente accelerato

    nel moto rettilineo uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo in cui esse avvengono.

    Dal grafico velocità-tempo si osserva che:

    20,98 m/s 9,8 m/s0,1 sm

    va at

    D= = = =

    D

    Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato il movimento di un punto materiale che si sposta lungo una retta con accelerazione costante.

    Dai dati della mela che cade si ricava:

  • Il grafico spazio-tempo del moto

    Infatti:

    nel moto rettilineo uniformemente accelerato di un punto materiale che parte da fermo la distanza percorsa è direttamente proporzionale al quadrato del tempo trascorso.

    Riportando su un grafico spazio-tempo le posizioni della mela che cade da ferma, si ottiene un arco di parabola.

  • L’accelerazione dei corpi che cadono

    Gli esperimenti nel vuoto confermano che, per esempio, una mela e una piuma restano affiancate per tutta la caduta.

    Tutti i corpi che cadono da fermi vicino alla superficie terrestre scendono verticalmente verso il basso con la stessa accelerazione g = 9,8 m/s2 (accelerazione di gravità).

    Galileo per primo sostenne che, in assenza dell’aria, tutti i corpi cadrebbero di moto uniformemente accelerato con la stessa accelerazione.

  • Le leggi del moto (con v0 = 0)

    uLa legge della velocità

    La legge della velocità fornisce la velocità istantanea di un punto materiale a ogni istante successivo all’inizio del moto (t = 0).

    Se la velocità iniziale è nulla (partenza da fermo) e l’accelerazione è costante, la legge della velocità è:

  • Le leggi del moto (con v0 = 0)

    uLa legge della velocità - grafico

    Il grafico velocità-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è una retta che passa per l’origine (la velocità v e il tempo t sono direttamente proporzionali).

    La legge della velocità - dimostrazione

    Dalla definizione di accelerazione media tra l’istante iniziale t0 = 0 e un generico istante t in cui la velocità è v, vale la relazione:

    0

    0

    00

    v vv v vat t t t t

    -D -= = = =D - -

    da cui: v at=

  • Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)

    uLa legge della posizione

    Per un punto materiale che parte da fermo dall’origine all’istante t = 0 e che si muove con accelerazione costante, la legge della posizione (o legge oraria del moto) è:

    Il grafico spazio-tempo di un corpo che parte da fermo con accelerazione costante è un arco di parabola con vertice nell’origine.

  • Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)

    uArea e spostamento

    Moto rettilineo uniforme:

    Lo spostamento compiuto in un intervallo di tempo è dato dall’area sotto il grafico velocità-tempo entro tale intervallo.

    area = vt

    = s vt

    Moto uniformemente accelerato:

    ( ) 21 1area = 2 2t at at=

    21 = 2

    s at

    tD

  • Le leggi del moto (con s0 = 0,v0 = 0)

    uIl calcolo del tempo

    Perciò, per un punto materiale che parte

    § da fermo, § dall’origine degli assi, § con accelerazione costante,

    il tempo per raggiungere la posizione s è dato da:

    2 21 2 2 = 2

    s ss at t ta a

    Þ = Þ =

    Dalla legge della posizione segue che:

  • Le leggi del moto (con v0 ≠ 0)

    uLa legge generale della velocità istantanea

    Il corrispondente grafico velocità-tempo è una retta che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata v0.

    Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v0, la legge della velocità è:

  • Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)

    uLa legge generale della posizione

    Il corrispondente grafico spazio-tempo è un ramo di parabola che interseca l’asse verticale nel punto di ordinata s0.

    Per un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale s0 e velocità iniziale v0, la legge della posizione è:

  • Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)

    uLa legge generale della posizione - dimostrazione

    Lo spostamento dopo un tempo tdall’istante iniziale si calcola come area della superficie sottesa dal grafico velocità-tempo in tale intervallo (cioè l’area del trapezio evidenziato nel grafico):

    sD

    area

    20 0

    1area 2

    s s s v t at= D = - = +da cui:

  • Le leggi del moto (con s0 ≠ 0, v0 ≠ 0)

    uSpostamento e velocità

    Mettendo a sistema le leggi del moto uniformemente accelerato è possibile ricavare una formula che lega direttamente lo spostamento alla velocità, utile ad esempio, per il calcolo della distanza di arresto:

    00

    220 00 0

    0 0

    1 12 2

    v vtv v at av v v vs s v t at s s v aa a

    -ì == +ì ïï ïÞí í- -= + + æ öï ï = + +î ç ÷ï è øî

    Da cui, con semplici passaggi algebrici, si ottiene:

  • Il grafico accelerazione-tempo

    Poiché l’accelerazione nel moto uniformemente accelerato è costante, il grafico accelerazione-tempo è un segmento orizzontale

    § nel semipiano positivo se a > 0 (velocità crescente);§ nel semipiano negativo se a < 0 (velocità decrescente);§ sull’asse dei tempi se a = 0 (moto uniforme).

    Grafico velocità-tempo Grafico accelerazione-tempo

  • Il lancio verticale verso l’altouLa salita

    L’accelerazione di gravità g agisce su tutti i corpi vicini alla superficie terrestre, siano essi in caduta o lanciati verso l’alto.

    Se l’asse verticale è verso l’alto, con l’origine nel punto di lancio, durante la salita la palla ha:

    § velocità iniziale v0 positiva (stesso verso dell’asse)

    § accelerazione di gravità negativa(verso opposto rispetto all’asse).

    Le leggi del moto diventano: 20 01; 2

    v v gt s v t gt= - = -

  • Il lancio verticale verso l’altouIl tempo di salita

    La posizione più alta raggiunta dalla palla è quella in cui la velocità si annulla istantaneamente, prima di invertire il moto.Dalla legge della velocità si ricava l’istante di tempo in cui si raggiunge l’altezza massima:

    da cui:

    0 max0 v gt= -

  • Il lancio verticale verso l’altouL’altezza massima

    Per ricavare l’altezza massima si pone t = tmax nella legge della posizione:

    da cui:

    2 2 22 0 0 0 0

    max 0 max max 01 12 2 2

    v v v vs v t gt v gg g g g

    æ ö= - = - = -ç ÷

    è ø

  • Il lancio verticale verso l’altouTempo di volo e velocità al ritorno

    L’accelerazione è sempre la stessa (pari a -g) durante tutto il lancio.

    Ne consegue che:

    Il moto di salita e il moto di discesa sono simmetrici.Ovvero che:

    Il tempo di volo è il doppio del tempo di salita tmax e la velocità al ritorno è -v0, uguale in modulo alla velocità di lancio, ma con verso opposto.

  • Il lancio verticale verso l’altouGrafici spazio-tempo e velocità-tempo

    Il grafico v-t è una retta inclinata verso il basso, che taglia l’asse del tempo in corrispondenza dell’istante di inversione del moto.

    Il grafico s-t è un arco di parabola con la concavità verso il basso, il cui vertice corrisponde al punto di inversione (altezza massima).

  • Grafici spazio-tempo e velocità-tempouDiscesa con velocità iniziale nulla

    L’atleta parte da fermo. Nel tratto rettilineo l’accelerazione è circa 4 m/s2.

    Il grafico v-t è una semiretta uscente dall’origine. In ogni secondo la velocità aumenta di 4 m/s.

    Il grafico s-t è un arco di parabola con vertice nell’origine. In ogni secondo l’atleta percorre 4 m in più del secondo precedente.

  • Grafici spazio-tempo e velocità-tempouPiù veloce

    Dopo 10 m alla velocità di 3 m/s il conducente accelera di 2 m/s2

    per 5 s.

    Il grafico v-t è una semiretta che non passa per l’origine perché la velocità iniziale non è nulla.

    Il grafico s-t è un arco di parabola con vertice che non è nell’origine. Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali aumentano.

  • Grafici spazio-tempo e velocità-tempouSalita e discesa

    Con velocità iniziale di 8 m/s e accelerazione di 4 m/s2 il ragazzo arriva in cima con velocità nulla, si gira e scende sempre più veloce.

    La velocità si riduce di 4 m/s in ogni secondo: è positiva (in salita), si annulla all’inversione, diventa negativa (in discesa).

    Il vertice della parabola è il punto di inversione del moto. Le distanze percorse in intervalli di tempo uguali si accorciano in salita e aumentano in discesa.