il metodo delle trasformazioni per le rh equivalenti

5/10/2018 Il metodo delle trasformazioni per le RH equivalenti - slidepdf.com

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Rosario Turco

critica".

Un possibile metodo, da cui successivamente è nato anche il criterio di Li è quello mostrato di seguito,impostando una funzione di trasformazione.

Nell'articolo seguiremo la strada dell'articolo visto in [1]; ovviamente definendo diversamente lafunzione di trasformazione si arriva al criterio di Li.

Seguendo questi approcci si giunge sempre ad una RH equivalente, con una impalcatura matematicacoerente con la RH stessa e difficilmente utili per una dimostrazione della RH o una violazione dellestessa.

Ad esempio è possibile definire la seguente trasformazione:

s=1-1/z0z=1/(1-s) (1)

trasformazione diMoebius.

E' evidente che la trasformazione fa sì che se consideriamo la regione con R(s)1/2 ne consegue una

E' quindi possibile scegliere la trasformazione F in modo che l'ipotesi di Riemann corrisponde ad avereuna F analitica in |z|<1. L'area in giallo per corrisponde all'interno del cerchio e il bordo delcerchio stesso.



x

0 1 2 3

y

1

2

3



s

0 1



s0

Esaminimo la F.

L'idea iniziale è di considerare uno sviluppo in serie di Mac Laurin della F(z)= che converge pe

|z|<1. Ed è possibile vederne le approssimazioni con Maple con lo sviluppo in serie di Mac Laurin (oserie di Taylor con x=0) o come serie di Laurent, notando che in questo caso serie di Mac Laurin e

dimostrabile come in [2].

Inoltre z=0 è una singolarità rimovibile poichè |z*F(z)| = 0 e ciò consente lo sviluppo in serie

intorno a z=0.

Si nota, inoltre, nello sviluppo in serie della F(z) il legame con lacostanti di Stieltjes.



0



(1(1

x

0 2 4 6

y

2

4

6

true

Se sfruttiamo adesso lo sviluppo in serie di Laurent e lo eguagliamo a F(z)= si nota subito che:

c1

c2 =

c3 =



(5(5

(4(4

(3(3

(2(2

costanti di Stieltjes. Qui i coefficienti cn sono reali e c0=0.

Possiamo vedere i coefficienti calcolati facilmente con Maple. Basta fare una evalf dello sviluppo inserie di 200 termini ad esempio.Si nota che i coefficienti sono sia positivi che negativi (i primi negativi si trovano però dal 156-esimotermine).

Questo sviluppo però è ingannevole, se non si procede attentamente. Non si deve essere tratti in ingannodal fatto che i primi 150 termini sono positivi e strettamente decrescenti, ed evitare di congetturare che ilfatto che i coefficienti cn siano positivi all'infinito implichi la RH. Difatti se fosse realmente così, cn

positivi all'infinito, se la RH fosse falsa per assurdo, allora in F(z) ci dovrebbero essere dei punti di nonanaliticità esistenti nel cerchio |z|<1; poichè i cn sono positivi all'infinito, allora dovrebbero esistere delle

singolarità di F(z) nell'intervallo reale (0,1); ma la costruzione della F(z) è tale da escluderle.

Purtroppo i cn NON sono sempre positivi e strettamente decrescenti. Si scopre, invece, un

comportamento monotono descescente dei cn fino ad un minimo (c266) e uno monotono crescente fino

ad un massimo (c217).

Si dovrebbe comprendere se il fatto dell'esistenza di un unico minimo assoluto possa essere legato allaRH; questo perchè se risultassero tutti i coefficienti cn > -c (il minimo assoluto) allora F(z) + c/(1-z)dovrebbe avere uno sviluppo in serie di Mac Laurin a coefficienti positivi. Ma esiste un unico minimoassoluto?

Ovviamente è possibile stabilire una fiormula per il calcolo dei cn, deducibile dallo sviluppo in serie

precedente legato alle costanti di Eulero-Mascheroni e le costanti di Stieltjes.

Tuttavia questa strada, utile a mostrare il metodo in generale delle trasformazioni, non è così utile alladimostrazione della RH.

0.5772156649

0.4834425485

0.4068989761



(6(6undefined

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